COLEGIO AUGUSTO WALTE.

CONJUNTOS NUMERICOSCuadro comparativo de las propiedades que cumplen los nmeros naturales, enteros y racionales.NMEROS NATURALESNUMEROS ENTEROSNMEROS RACIONALES

Conjunto discreto

Conjunto infinito

Primer elemento = 1

Conjunto ordenado

Todos tienen sucesor

Todos menos el 1 tienen antecesor

Operaciones que se pueden efectuar siempre: adicin, multiplicacin y potenciacin; no siempre sustraccin, divisin y radicacin Conjunto discreto

Conjunto infinito

No posee ni primero ni ultimo elemento

Conjunto ordenado

Todo nmero entero tiene un sucesor y un antecesor

Operaciones que siempre son posibles: adicin, sustraccin, multiplicacin y potenciacin de base entera y exponente naturales; no siempre : divisin, potenciacin de exponentes negativos y radicacin Conjunto denso Conjunto infinito

No posee ni primero ni ultimo elemento

Conjunto ordenado

Ninguno tiene antecesor ni sucesor

Operaciones siempre posibles: adicin. Sustraccin, multiplicacin, divisin (divisor0) y potenciacin de base racional y exponente entero. No siempre posible: potenciacin de base racional y exponente racional y la radicacin

NUMEROS IRRACIONALES

Las expresiones decimales peridicas tienen cifras que se repiten peridicamente infinito nmero de veces, 0.989898,135.485666666 y que se pueden trasformar en nmeros racionales.

Existe otro tipo de expresiones decimales, como: 0.112211222112221112211, 0.24680121, 15.35791113 no peridicas, es decir no existe un bloque de cifras que se repiten indefinidamente.

Los nmeros de infinitas cifras d decimales no peridicas se llaman Nmeros irracionales. Los nmeros irracionales fueron descubiertos por Pitgoras cuando demostr que 2 no es un nmero racional.

Pitgoras los llam irracionales por oposicin a los racionales que eran conocidos. Posteriormente los matemticos demostraron que si la raz ensima de un nmero entero positivo no es nmero entero, entonces es un nmero irracional.. Ejemplo 2, 3 .5. 7 .etc. Los nmeros irracionales se representan por la letra I.

NUMEROS REALES

Es el conjunto numrico que resulta de unir los racionales y los irracionales

R = Q U QA cada nmero real le corresponde en la recta numrica un nico punto y de la misma manera, cada punto de la recta corresponde a un nmero real. Por esta razn a la lnea recta se le llama recta real.

Propiedades

1) R es un conjunto infinito

2) R es un conjunto denso y continuo. 3) Entre dos nmeros reales existen infinitos nmeros reales, es decir, Res un conjunto denso pero sin agujeros (los agujeros han sido cubiertos por los irracionales), por lo tanto se dice que el conjunto R es denso y continuo.4) R no tiene ni primero ni ltimo elemento.5) Ningn nmero tiene antecesor ni sucesor. Si a R a no tiene ni antecesor ni sucesor. 6) R est totalmente ordenado por la relacin .7) En R son siempre posibles las operaciones de adicin, sustraccin multiplicacin divisin (divisor diferente de cero), la potenciacin de base real y exponente entero (excepto 0) y la radicacin de radicando no negativo.

Orden en los nmeros reales

Los siguientes axiomas llamados de orden, son los que permiten clasificar a los nmeros reales en positivo, negativos o cero, y definir las relaciones mayor que y menor que en R.

AXIOMA 1: Si a, b R a+b R Y a.b REste axioma dice que al sumar o al multiplicar dos nmeros reales positivos el resultado es de la misma clase, reales positivos.

AXIOMA 2: Si a R una y solo una de las siguientes proposiciones es cierta:

a R a R a 0El orden en R queda establecido con la siguiente definicin: sean a y b dos nmeros reales, entonces se dice que:

1. a < ba-b a + R2. a > b a-b a R3. a = b a- b = 0Ejemplos

7< 9 ya que 7 -9 = -2, y -2 R

8> 5 ya que 8 5 = 3, y 3 R4 = 4 ya que 4 4 = 0

PROPIEDADES DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO DE NMEROS REALES

Sea a, b, c nmeros cualesquiera:

1) DE CIERRE O CLAUSURATIVA.a) La suma de dos nmeros reales es un nmero real

Si 2 y 5 R, 2 + 5 = 7 7 Rb) El producto de dos nmeros reales es un nmero real

Si 3 y 4 R, 3*4 = 12 12 R 2) CONMUTATIVAa) a+ b = b + a

4 + 8 = 8 +4

12 = 12b) a* b = b * a

4* 8 = 8 * 4

32 = 323) ASOCIATIVAa) (a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7)

7 + 7 = 2 + 12

14 = 14

b) ( a * b ) * c = a *( b * c )

(3 * 4) * 2 = 3 * (4 * 2)

12 * 2 = 3 * 8

24 = 244) DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO SOBRE LA SUMAa) a* ( b+ c ) = a * b + a* c

5 * (2 + 6) = 5 * 2 + 5* 6

5 * 8 = 10 + 30

40 = 405) ELEMENTO IDNTICOa) Existe un nico nmero real. El cero, tal que a + 0 = 0 +a = a

5 + 0 = 0 + 5 = 5 .Se dice que el 0 es el elemento idntico para la sumab) Existe un nico elemento real, el uno, tal que a*1 = 1*a = a

8*1 = 1*8 = 8. Se dice que el 1 es el elemento idntico para el producto6) ELEMENTO INVERSOa) Para cada nmero real a existe un nico inverso aditivo u opuesto denotado por a tal que

A + (-a) = (-a) + a =0

8 + (-8) = (-8) + 8 = 0b) Para cada nmero real a = 0 existe un nico inverso multiplicativo o recproco denotado por 1/a EJERCICIOS

1) Considere el conjunto de nmeros Escribe los elementos del conjunto que sean

a) Nmeros naturales b) Nmeros enterosc) Nmeros racionalesd) Nmeros irracionales2) Escribe a la par de cada nmero el conjunto numrico sin extensin al que pertenecen.

a) 3 __________ h) 1.5 __________

b) __________ i) ____________c) _________ j) 0.0112233. . . ______________

d) _________ k) + 5 _____________________

e) - - _________ l) 12 _______________________

f) 0 __________ m) 0.363636. . . ______________

g) __________ n) 0.1010010001 . . . _________

3) Mencione si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsasa) 0 , , -5.7 son nmeros racionales

b) 0/1 no es un nmero real

c) 1.25 es un nmero irracional

d) 7 es un nmero irracional

e) 5 + 7 es un nmero real

f) Cualquier nmero racional o irracional es un nmero real

g) 3 es un nmero racional

4) Seala los axiomas de los nmeros reales o definicin utilizados en las igualdades siguientes:a) ( 3 ) (5) = ( 5 ) ( 3 )

b) (-5) + 5 = 0

c) [ (5)(7)] 8 = [(7)(5)]8d) + e) -13 + 0 = -13

f) (1/2) + ( -1/2 ) = 0

g) h) 5) En los enunciados siguientes completa el lado derecho del signo de igualdad utilizando el axioma dado.a) ( 5 + 6 ) + (-4) = ______________________________Asociatividad

b) 7 + 2 = _______________________________ Conmutatividadc) 3 ( 8 + 5 ) = _______________________________Distributividad

d) 3(5) = ______________________________ Conmutatividad

e) 2( ) = ______________________________ elemento inverso

f) 7 + 0 = ______________________________ Elemento identidad

g) [ (9) (7) ] 5 = ______________________________ Asociatividad

h) 1(7) = ______________________________ Elemento identidad

i) 8 + ( -8) = ______________________________ Elemento inverso

j) (3)(5) + (3)(4) = ____________________________ Distributividad6) En los espacios indicados coloque ,= para que el enunciado sea verdadero.

a) 4 ________________ 2

b) -3 _______________ -7

c) 1.05 ____________ 1.5

d) 1/5 _____________

e) 1 ______________ 5

f) -5 ______________ 0

g) -1.02 ___________ -1.2

h) 1/3 _____________

i) -3 ______________ 2

j) -3 ______________ -2.9

k) 1/3 _____________ 0.333 . . .

l) 0.33 _________ 0.33344

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