conjuntos numericos-material de apoyo

CONJUNTOS NUMERICOS

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MATERIAL DE APOYO PREPARATORIO AL CURSO.

ELABORADO POR: PROF. HENRY AJQUEJAY Página 1

« Cuando me preguntan para qué puede servir una educación

Matemática en el colegio a una persona que en su oficio no nece-

sitará ningún conocimiento científico, una de mis respuestas es que

la ciencia permite formar un buen ciudadano: su práctica enseña a

distinguir un razonamiento justo, motivado y bien construido de un

enredo de razonamiento engañoso y erróneo. »

Wendelin Werner, profesor de matemáticas, Universidad de Paris-

Sur y Escuela Normal Superior, Medalla Fields 2006. (Febrero de

2009)

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES

Son los números con los que estamos familiarizados contar y cada uno de ellos tienen características comunes, todos

son positivos y “enteros” iniciando desde el cero. A este conjunto lo denotamos con N.

Representación del conjunto en forma enumerativa:

{ }0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...N+

= ∞

Representación del conjunto en forma descriptiva:

{ }/N x x N= ∈

Representación del conjunto por diagrama de Venn:

U = ∞

N 0, 1, 2

3, 4, 5, 6…

Donde U es el conjunto Universo y esta constituido por todos los números que existen, sean estos enteros positivos o

negativos, racionales, irracionales, etc. En fin los reales (mas adelante veremos de qué se tratan estos números).

Nota: recuerden que para representar un conjunto en un diagrama de Venn deben tener necesariamente un conjunto

Universo!!!.

Representación del conjunto en la recta numérica:

+∞

0 1 2 3 4 5 6,…

En otro apartado veremos como realizar operaciones aritméticas dentro de este conjunto, pero en fin es muy sencillo.

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EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

Son los números que están constituidos por los enteros negativos y los enteros positivos (naturales), incluyendo el

cero el cual no es positivo ni negativo. Surgen a raíz de lo limitado de los números naturales pues según la historia de la

contabilidad y otras ciencias afines no les permitía llevar un control mas ordenado del capital que representaba un negocio,

en la historia de la contabilidad a veces, la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que

el banquero estaba en “números rojos”. Esta expresión venia del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se

representaban escritos en números rojos, así: 30 representaba un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito en

tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos. Así como también los números enteros

pueden aplicarse a diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo

cero, o deudas, entre otros. (Piense en otro ejemplo de aplicación).

Al conjunto de los números enteros lo denotamos con Z.


{ },..., 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,...,Z− +

= ∞ − − − − − − − ∞


{ }/Z x x Z= ∈


U = ∞

Z N

…, -5, -4 -3, -2 0, 1, 2, 3,…

-1

Bajo ciertas observaciones nos podemos dar cuenta que el conjunto de los números naturales esta contenido dentro

del conjunto de los números enteros y estos, son los enteros positivos. En términos de conjuntos: N Z⊂ , o bien podemos

decir también que Z contiene a N , también podemos darnos cuenta que N es un subconjunto de Z y ambos a la vez son

subconjuntos de U . Notar que no todo entero es un natural, es natural si y solo si es un entero positivo.

Representación del conjunto en la recta numérica:

−∞ +

∞

…,-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4,…

En otro apartado veremos como realizar operaciones aritméticas utilizando números enteros.

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EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales surge de la necesidad de repartir, dividir o compartir. En sentido amplio, se

llama numero racional a todo numero que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto

de cero es decir una fracción común, se debe ser claro que el termino “racional” alude a “ración” o “parte de un todo”, y no el

pensamiento o actitud racional. Es decir todo numero escrito de la forma , 0a

bb

≠ , es un numero racional. El conjunto de

los números racionales se denota por Q, que significa “cociente” de Quotient (escrito en algún idioma europeo).


7 13 6 11 5 9 4 7 3 5 2 3 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8,..., , , , , , , , , , , , , , ,0, , , , , , , , ,...,

2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2Q

− + = ∞ − − − − − − − − − − − − − − ∞


/ , con 0a

Q a b Z bb

= ∈ ≠


U = ∞

7/2, 3/2

-4/2 -2/2

0, 2/2

1/2 5/2

Del diagrama de Venn podemos observar que cualquier numero natural o entero es a la vez un numero racional

puesto que los podemos expresar de la forma a

b, así por ejemplo el numero 1 lo podemos expresar de la forma 1

1

y

entonces se cumple la condición ya que tenemos como numerador a un natural que también es entero y como denominador

de la misma manera, natural y entero, así también esta expresado de la forma a

b, por lo tanto cualquier numero natural,

entero positivo o negativo es un numero racional. Pero es importante señalar también que no todo numero racional es a la

vez un natural o un entero, p.e: 1

2 es un racional pero no un entero ni mucho menos natural,

2

2− es un racional, un entero

pero no un natural. Es un entero porque 2

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− = − . Entonces en conclusión N y Z son subconjuntos de Q , en otras palabras

N Z Q⊂ ⊂ . Y Q sigue siendo subconjunto de un conjunto Universo U que mas adelante veremos de quien se trata.

Nota importante: la división entre cero no esta definida!!! (Averiguar porque?)

HE AQUÍ ALGUNAS DE LAS MUCHAS PROPIEDADES DE LOS RACIONALES…POCO A POCO LO IREMOS A VER. (Cuando veamos operaciones entre números racionales).

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RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y ORDEN EN Q:

i. Se define la equivalencia a c

b d= cuando ad bc= .

ii. Los racionales positivos son todos los a

b tales que 0ab > .

iii. Los racionales negativos son todos los a

b tales que 0ab < .

iv. Se define el orden a c

b d> cuando 0ad bc− > .

NOTACION:

i. Los números de tipo a

b

− o

a

b− son denotados por

a

b− . (esto es de la división pero para que se le aprendan de

antemano).

ii. Todo numero 1

a se denota simplemente por a .

iii. Las fracciones mixtas escritas de la forma b

ac

también pueden ser expresadas como fracciones de la forma

,d

d ac bc

= + .

Tanto las fracciones simples, mixtas, propias e impropias, reducibles e irreducibles, deben de recordar porque son

temas de hace varios años de estudio y si no, lo pueden investigar de internet o de algún libro de texto, etc.

Si alguno pensó tendrá alguna otra forma de representar un numero racional?

La respuesta es para colmo de muchos porque hay mas contenido que estudiar, un rotundo SI.

REPRESENTACION DECIMAL DE LOS NUMEROS RACIONALES

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión solo puede ser de tres tipos:

i. EXACTA: La parte decima tiene un numero finito de cifras.

p.e: 8

1.65

=

ii. PERIODICA PURA: Toda la parte decimal se repite indefinidamente.

p.e: 1

0.142857142857...7

=

iii. PERIODICA MIXTA: No toda la parte decimal se repite.

p.e: 1

0.166666... 0.16...60

= =

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, solo existen un numero finito de restos posibles.

Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el

calculo se repite igual.

p.e:

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0.1428571

7 10

30

20

60

40

50

10

.

.

.

Recíprocamente, todo numero con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:

i. DECIMALES EXACTOS O FINITOS: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un numero

entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

p.e: 3465

34.65100

=

ii. DECIMALES PERIODICOS PUROS: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia

entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene

el periodo.

p.e: 1534 15

15.3434...99

−=

iii. DECIMALES PERIODICOS MIXTOS: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito

sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador

tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya.

p.e:

Sea el numero 12.345676767....

Entonces: 1234567 y 12345a b= = , por lo que:

1234567 1234512.345676767....

99000

−=

Y para terminar con este resumen, nos falta representar el conjunto de los números racionales en la recta

numérica.

Representación del conjunto en la recta numérica.

−∞ +

∞

…., -7/2 -3 -5/2 -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2,….

Es un poco mas contenido para el conjunto de los números racionales, en otro apartado continuaremos con

conjuntos numéricos: el conjunto de los números irracionales.

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