conjuntos numericos

Matemática Básica

Matemática

Básica

Profesor Ociel López Jara

Matemática Básica

Objetivo de curso:

• Podrá afrontar las exigencias del curso con una base suficiente en la disciplina de las matemática y estadística requeridas por los otros ramos.

• Conocer herramientas básicas de la aritmética, el álgebra, los conjuntos y las proporciones.


Matemática Básica

UNIDAD 1 Conjuntos numéricos

• Definición de conjunto y operaciones básicas. • Conjunto de los números Naturales, sus

operaciones básicas y propiedades. • Conjunto de los números Enteros, sus operaciones

básicas y propiedades. • Conjunto de los números Racionales, sus

operaciones básicas y propiedades. • Conjunto de los números Irracionales, sus

operaciones básicas y propiedades. • Conjunto de los números Reales, sus operaciones

básicas y propiedades.


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UNIDAD 2 Razones y proporciones

• Concepto de Razón

• Concepto de proporción

• Proporción Directa

• Proporción Inversa

• Porcentaje, aplicación.


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UNIDAD 3 Funciones Lineales

• Concepto de relación

• Concepto de Función

• Dominio y recorrido de una Función

• Funciones Lineales

• Representación grafica de una función lineal

• Regresión Lineal

• Correlación lineal.


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UNIDAD 1

Conjuntos Numéricos


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La idea de Conjunto…

En el lenguaje cotidiano, decimos un curso de Algebra, un montón de libros de matemática, un cajón de ropa, la ciudad de Concepción , etc., es decir, usamos muchas palabras para expresar una misma idea.

Los matemáticos prefieren la palabra Conjunto para expresar lo mismo.


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Conjunto es toda colección, lista, agrupación,

clasificación de objetos bien definidos.

Estos objetos se llaman elementos del conjunto.

Ejemplos:

A ={ Jugadores de la Selección chilena año 2010 }

B={ a, e, i, o, u }

C={ números naturales mayores que 2 y menores que 6 }


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a {las vocales}, se lee: a pertenece al

conjunto de las vocales.

2 {3, 5, 7, 9, 11}, se lee: 2 no pertenece al

conjunto de los números impares mayores de 1 y menores de 13.


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Conjunto vacío

Es el conjunto que no tiene elementos.

El conjunto { 0 } tiene un único elemento que es el número cero, por lo tanto no es vacío.

{ 0 } ≠


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Conjuntos disjuntos:

Son los que NO tienen ningún elementos en común

13 15

14 17

19 11

A B


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Definición de un Conjunto:

por extensión, cuando se define nombrando todos sus elementos.

Por ejemplo: el conjunto de las vocales se expresaría por extensión así:

A={a, e, i, o, u}

por comprensión, cuando se define indicando una cualidad de los elementos que lo forman.

Por Ejemplo: A={las vocales}, o bien A={x| x es vocal}


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Subconjunto:

Los elementos del conjunto X están (todos) en el conjunto Y, por lo tanto X es subconjunto de Y.

En símbolos: X Y

A

G

A D E

G H T

V

X Y

D H T

E V

A G


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Intersección de conjuntos


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Unión de conjuntos:

es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos (los elementos repetidos se consideran sólo una vez).

Se simboliza A B.

A B A U B

1

3

5 2 4

6

1 5 3

4 2 6


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Conjuntos Numéricos

La idea de número ha evolucionado de la mano con el desarrollo del hombre. En un inicio el hombre necesitaba “contar” sus animales: uno, dos, tres, etc. Luego fue necesitando “mejorar” la idea de número a medida que fue desarrollando su conocimiento. Necesitó medir distancias, medir el tiempo, dividir los campos, etc…


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Conjunto de los números naturales

Al conjunto de los números que sirven para contar {1, 2, 3, 4, ...} los llamaremos números naturales y lo notaremos con la letra N.

Están ordenados y se pueden representar:


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2 + 5 = 7

12 + 23 = 35

3 + 20 = 23

La suma de dos números naturales da siempre

como resultado un número natural

Operaciones en los naturales El resultado en un número NATURAL


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La multiplicación

2 * 7 = 14

5 * 8 = 40

10 * 3= 30

La multiplicación de dos números naturales da siempre como resultado un número natural

El resultado es un número

NATURAL


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La resta

8 – 3 = 5

20 – 7 = 13

7 – 20 = ?

5 – 5 = ?

La resta de dos números naturales no siempre da un número natural

Es un número Natural

Este resultado NO es un número NATURAL


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Conjunto de los números enteros

El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z.

Se debe tener presente que N Z, es decir, el conjunto de los naturales es subconjunto de los enteros.


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Con la definición de los números enteros podemos redefinir la resta de dos números naturales como la suma de dos enteros.

23 - 30= ?

23 + (-30) = - 7


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Orden de los números enteros

Todo número entero situado en la recta numérica y a la derecha de otro es mayor que él.

1 es mayor que -5


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La suma de números enteros

Para sumar dos números enteros de igual signo, se suman sus valores y se conserva el signo de ellos.

Ejemplo:

(+ 4) + (+10) = +14

(- 6) + (- 8) = - 14


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Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores y se conserva el signo del mayor de ellos.

Ejemplo:

(+4) + (-20) 20 – 4 = 16 16

( 12) + (+ 30) 30 12 = 18 +18


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La resta de números enteros

La sustracción de dos números enteros "a" y "b" es igual a la suma de "a" y el inverso aditivo de "b", es decir:

Ejemplo:

(+5) – (+4) = (+5) + (- 4) = +1

(- 3) – (- 15) = (- 3) + (+ 15) = + 12


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La multiplicación de números enteros

Para la multiplicación se debe tener presente la siguiente regla:

Ejemplo:

(- 12) * (- 4) = +48


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La división de números enteros

Al dividir dos números enteros, su resultado no siempre es otro número entero:

Z3

535

Z 248


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Conjunto de los números racionales

El conjunto de los números racionales, Q, es el que contiene todos los números que se pueden escribir de

la forma m/n, donde n≠0 y m, n Z.

Ejemplo: el número 2,5 se puede escribir de la siguiente forma:

Luego 2,5 es un número racional.

2

55,2


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Sea a y b dos números enteros, entonces:


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Los números racionales también se pueden representar en una recta numérica:

Por supuesto, los números enteros están incluidos en Q. Así, el número entero 3 puede tomar la forma racional 3/1 o bien 6/2 o 9/3 etc.


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Ejemplo de números racionales

• 7/5 es racional pues 7 es entero y 5 es entero.

• -4/3 es racional pues –4 es entero y 3 es entero.

• 4 es racional pues 4/1 = 4 y 4 y 1 son enteros.

• 0,3 es la expresión decimal de un número racional porque 0,3 =3/10 con 3 y 10 enteros.

• es la expresión decimal de un número racional porque = 5/9 y 5 y 9 son enteros.

• es la expresión decimal de un número racional porque = (15-1)/90 = 14/90 donde 14 y 90 son enteros.

5,05,0

51,051,0


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Todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte decimal puede ser periódica, pura o mixta, con un número finito de cifras.

Así, por ejemplo:


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Cuando el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por un mismo número se obtiene otra fracción equivalente, esto se llama amplificar la fracción, por ejemplo:

La fracción 2/3 amplificada por 3 es igual 9

6

3

3*

3

2


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Cuando el numerador y el denominador de una fracción se dividen por un mismo número se obtiene otra fracción equivalente, esto se llama simplificar la fracción, por ejemplo:

La fracción 9/24 simplificada por 3, resulta 8

3

3

3

24

9


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Dos fracciones son equivalentes (son iguales) si y sólo si,

Definimos el inverso de un número a (≠ 0) como el

número racional que multiplicado por a nos dé 1, es

decir:

n

my

q

p

mqnp **

11

aa


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Operaciones en los racionales

La suma y resta:

Si los denominadores son iguales, entonces se conserva y se suman o restan los numeradores.

La multiplicación:

La división:

db

cbda

d

c

b

a

*

**

db

ca

d

c

b

a

*

**

1

**

d

c

b

a

c

d

b

a

d

c

b

a


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Conjunto de los números irracionales

El conjunto de los números Irracionales I está formado por todos los números que no se pueden expresar en la forma p/q, con p y q enteros.

Por ejemplo:

No existe un p y un q que permita escribir la raíz de 2 como p/q

...41421356,12


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Conjunto de los números reales

El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales, y se designa por R.


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Potenciación, Radicación y Logaritmo en los REALES.

Frente a esta igualdad se pueden dar tres situaciones que dan origen a tres operaciones diferentes. A saber: Potenciación, radicación y logaritmo.

Can


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Potenciación

Cuando a y n son conocidas, se define la operación de

“potenciación” donde se debe encontrar el valor de c.

Si a es un número real y n es un número natural, entonces

decimos que an se obtiene multiplicando n veces el factor a, es

decir:

Can


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Propiedades de potencia

Sean a, b números reales, m, n números enteros,


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Radicación.

La radicación es una operación inversa de la potenciación.

Se llama raíz enésima de un número a, al número b tal que la

potencia enésima de b es igual a a. En símbolos:

Ejemplo:

abn

4224 22


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Propiedades de la radicación

Sean a, b números reales positivos y n, m naturales:


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Logaritmo.

abcCuando en la expresión

se necesita conocer c, que es el exponente al cual

se debe elevar b para obtener a, entonces se

define una operación llamada logaritmo.


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Ejemplo: ¿Cuál es el exponente qué debemos elevar 2 para que resulte 8?

8238log2

xx


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En la práctica hay dos bases de interés especial: 10 y e

= 2,7182... El logaritmo en base 10 de un número a,

llamado logaritmo vulgar, se denota log a, es decir

log10a = log a, mientras que el logaritmo en base e de

a, llamado logaritmo natural o neperiano, se denota ln

a, es decir log e a = ln a.


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Propiedades de los logaritmo

Cambio de base


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