CONJUNTOS II

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNIÓN O REUNIÓN (A U B)

La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de

todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”.

Notación: A B (A o B)

Simbólicamente se define:

A B = {x/x A x B}

Observación

“ <> ó: unión”

Ejemplo:

A = { 2, 3 }¿}¿¿¿ A B = {2, 3, 4}

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

B A

Observación

Si : B A A B = A

Propiedades:

A B = B A (Conmutativa)

A (B C)=(A B) C (Asociativa)

A A = A (Idempotencia)

A U = U

A = A (Elemento Neutro)

2. INTERSECCIÓN (A ∩ B)

La intersección de dos conjuntos “A”y “B” es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.

Notación: A B (A y B)

Simbólicamente se define:

A B = x/x A x B

Observación

“ <> y: intersección”

Ejemplo:

A = { 3, 4, 5 } ¿}¿¿¿ A B = {4, 5}

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

Observación

* Si : B A A B = B

* Si : A y B son conjuntos disjuntos

A B =

Propiedades:

A B = B A (Conmutativa)

A (B C)=(A B) C (Asociativa)

A A = A (Idempotencia)

A U = A

A = (Elemento Neutro)

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

- Distributiva:

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

- Ley de Absorción:

A (A B) = A

A (A B) = A

(A B) C) A C y B C

Si: A B y C D (A C) (B D)

3. DIFERENCIA (A – B)

La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”

Simbólicamente:

Notación: A – B

Se lee: “A pero no B” (sólo A)

Simbólicamente:

A – B {x/x A x B}

Observación

Si : A B A – B B – A

Si : A = B A – B = B – A =

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

A – B

Observación

* Si: B A B – A =

* Si: A y B son conjuntos disjuntos

A – B = A ; B – A =B

Ejemplo:

A={ 2, 3, 4 }¿} ¿}¿¿¿ A−B={ 2 }B−A ={ 5, 6 }

4. DIFERENCIA SIMÉTRICA (A ∆ B)

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos.

Notación: A B

Simbólicamente se define:

A B = {x/x (A – B) x (B – A)}

ó

AB = {x/x A x B x A B}

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

Observación

* Si: B A B – A =

* Si: A y B son conjuntos disjuntos

A B = A B

Propiedades:

* A B = (A - B) (B - A)

* A B = (A B) - (A B)

* A B =

* A = A

Ejemplo:

A ={ 2, 3, 4 }¿} ¿ }¿¿ A ΔB ={ 2,5}¿5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (A’)

El complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenece al

conjunto universal U pero no a “A”

Notación: A´ ; A ; AC ; C A

Simbólicamente:

A´ = {x/x U x A} = U – A

Diagrama

A‘

Observación

CBA

= B – A

Propiedades

1. ( A´)´ = A (Involución)

2.

φ ´ =UU´=φ

3. A−B=A∩B´

4.

A∪A´=UA∩A´=φ

5. Leyes de Morgan

( A∪B )´ = A´ ∩ B´( A ∩ B)´ = A´ ∪ B´

6. Caso particular de la absorción

A´ ∪( A ∩ B)= A´ ∪ BA´ ∩( A ∪ B)= A´ ∩ B

Observación

1) n( )=0

2) n(A B)=n(A)+n(B)-n(A B)

3) Si A y B son conjunto disjuntos: n(AB)=n(A)+n(B)

4) n(ABC) = n(A)+n(B)+n(C) - n(AB) – n(AC) - n(BC) + n(ABC)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Si: n(A)=70; n(B)=50 y n(AB)=32. hallar n(AB)

a) 68 b) 78 c) 98

d) 58 e) 88

2. Si:

A = {4; 5; 6}

B ={6; 7}

C = {3; 5; 7; 9}

Cuántos elementos tiene:

E =(A - B) (A-C)

a) 3 b) 4 c) 2

d) 5 e) 1

3. Sean los conjuntos:

A={1; 2; 3; 4}, B={2; 4; 6}, C={2; 3; 4}

Hallar el número de elementos que tiene “E” si:

E = [(A-B)(A-C)] [(B-C) (B-A)]

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

4. Si:

A = {x/xN 2 x 6}

B = {x/xN 3 x 9}

Hallar el número de subconjuntos de (AB)

a) 8 b) 16 c) 128

d) 32 e) 64

5. Sabiendo que:

A = { 0; 4; 8; 12; ………; 96 }

B = { 3; 6; 9; 12; ………; 75 }

C = { 2; 4; 8; 16; ………; 256 }

Hallar: n[(A B) C]

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) N.a.

6. Si:

A = { x/x Z x2 < 5 }

B = { x/x A x+1 > 0 }

Halle el cardinal de: [(A B) x A]

a) 12 b) 9 c) 18

d) 15 e) 10

7. Se tiene 2 conjuntos A y B, tales que:

(A B) = 15

(A B) = 3

(A) – n(B) = 2

n(B´)=8

Hallar el cardinal del Pot(A´)

a) 32 b) 16 c) 64

d) 128 e) 256

8. Sabiendo que:

n(G)n( S )

=23 además: n[P(S)]=576 y : n(G S) = 2.

Hallar : n(G S)

a) 13 b) 12 c) 14

d) 10 e) N.A.

9. A y B son dos conjuntos tales que:

n(AB)=12, n(AB)=7; n(A)=n(B)+1 Calcule cuántos subconjuntos propios tienen

(A - B)

a) 7 b) 8 c) 9

d) 5 e) 10

10. Si se cumple:

A = { x3/x N 1< 2 – 3 9 }

B = { x – x4/x Z 2 < x < 5}

Cuántos subconjuntos propios tiene (AB)

a) 24 b) 30 c) 76

d) 63 e) 62

11. Si: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Calcule: n[(AxB)(BxA)]+n[(AxB)–(BxA)]

a) 32 b) 64 c) 25

d) 48 e) 128

12. Si se sabe que:

n[P(AB)]=1

n(C-A)=12=2n(AC)

n(CC(ACC))=40

Calcular n()

a) 48 b) 50 c) 60

d) 62 e) 58

13. Simplificar la expresión conjuntista: {[A(CA)] [BC]C [B(AC B)C]}

a) A B b) A B c) ABC´

d) B C e) A B C

14. Dados los conjuntos:

A = {x/x N; 5 < x < 15}

B = {x/x N; 3 < x < 10}

¿Cuántos subconjuntos tiene A B?

a) 4 b) 8 c) 16

d) 32 e) 64

15. Dados los conjuntos:

A = {x + 2 / x N; 2 < x < 10}

B = {3x / x N; x 2}

¿Cuántos subconjuntos tiene A - B?

a) 4 b) 8 c) 16

d) 32 e) 64