Conjuntos Convexos

M.C. Ing. Julio Rito Vargas Avilés Agosto 2008

Universidad Nacional de Ingeniería

Sede: UNI-Norte

Asignatura: Investigación de Operaciones I

II Semestre 2008

Conjuntos Convexos

• Concepto de conjunto convexo:

– Es un conjunto que contiene cualquier segmento que une dos

puntos del conjunto.Ejemplos:

Conjunto A Conjunto B Conjunto C Conjunto D

Conjuntos Convexos

• Los conjuntos convexos son los conjuntos más sencillos que aparecen de forma natural en la programación matemática. Un conjunto S es convexo si la línea que une dos puntos arbitrarios de ese conjunto, pertenece al conjunto.

• Teorema (teorema de representación de conjuntos convexos finitos). Si un conjunto convexo está acotado y cerrado, cualquiera de sus puntos puede escribirse como una combinación convexa de sus puntos extremos.

Conjuntos Convexos

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Poliedro Definición (poliedro). Un poliedro es la intersección de

un número finito de semiespacios:

Si S está acotado, S es un politopo. La expresión muestra que el conjunto de todas las

soluciones factibles de un conjunto de desigualdades es un poliedro.

• El conjunto de restricciones de un PPL define un poliedro.

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• Es claro gráficamente que para cualquier par de puntos x, y, el segmento que los une está totalmente contenido en dicho conjunto.

• Consideremos un último ejemplo en el plano, sea el conjunto E

  conjunto poligonal delimitado por los puntos ( (0,0),(5,0),(0,3),(1,2),(0,0) )

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• Se puede ver que existen segmentos, como el indicado en la figura que se sale del conjunto por lo que este conjunto no sería CONVEXO.

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• Así por ejemplo si consideramos el conjunto

 

• ¿Qué hacemos para dibujar este conjunto?

Usaremos Derive para graficar el conjunto de puntos.

Obsérvese que es claramente convexo pues cualquier par de puntos que estén en S3; el segmento que los une está claramente contenido en S3.

xy

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• Qué sucedería si no podemos representar gráficamente el conjunto, como sucede con conjuntos de dimensión superior a 3?

• En esos casos es necesario dar una definición analítica de conjunto convexo, para lo cual efectuamos la siguiente definición:

CONJUNTO CONVEXO. Diremos que un subconjunto es convexo si para cualquier

par de puntos   y para cualquier se cumple que   está en S, es decir que si llamamos segmento de extremos por

• S es convexo si para cualesquiera  , 

nRS

1,0

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• Ejemplo: Estudiar analíticamente si el conjunto siguiente es convexo.

• Para ello consideraremos dos vectores de S3

Habrá que comprobar si para cualquier

valor Es decir, tendremos que probar si como así mismo sumando ambas expresiones la desigualdad, por

tanto S3 es un conjunto convexo.

xyRyx !),( 2

),(),,( 2211 yxyx

32211 ),)(1(),( Syxbyxb 1,0b

2121 )1()1( ybbyxbbx

1111 )( bybxyx

2222 )1()1()( ybxbyx

2222 )1()1()( ybxbyx

Intersección de conjuntos convexos

Conjunto Convexo

Conjunto Convexo

Ejemplos

• Usaremos el Software matemático Derive en su versión 6 para ejemplificar gráfica y analíticamente si un conjunto es convexo.