conjuntos y estructuras

'.

HARLA, S. A. DE C.V.HA R L A Harper & Row Latinoamericana

México, Buenos Aires, Bogotá, Sao Paulo

ALVARO PINZON ESCAMILLAMatemático de la Universidad Nacional de ColombiaMiembro de la Mathematical Society o(Americay de la Mathematical Association o(Americe

teoría350 problemas resueltos433 ejercicios propuestos

Edición revisada

conjuntosy estructuras

coleccion harper

Impreso en México - Printed in México

Coordinación y preparación: EDITORIAL TEC-CIEN LTDA.

Copyright© 1973,1975 por HARLA, S.A. de C. V., AntonioCaso 142, México 4, D. F. 'I'el. 566-4589. Miembro ce la Cama­ra Nacional de la Industria Editorial, registro No. 723. Reser­vados todos los derechos. Queda terminantemente prohibidoreproducir este libro, por cualquier medio, total o parcialmen­te, sin permiso expreso de los editores. Es propiedad.

Alvaro Pinzón Escamilla

CONJUNTOS y ESTRUCTURASEdición revisada

5

CAPITULO 7. leyes de composición 173

Subconjunto estable con respecto a una ley interna. . . . . . . . . . . . . . . . . 177Asociatividad de una ley de composición interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Distributividad de una operación interna con respecto a otra ley in-terna... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Operación interna compatible con una relación de equivalencia. . . . . .. 188Números naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

CAPITULO 6. Relaciones de orden en un conjunto................... 157Función creciente, función decreciente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Elementos notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

CAPITULO 5. Familias de conjuntos. Operaciones generalizadas..... 149

CAPITULO 4. Funciones y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 114

Funciones especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Imagen directa, imagen recíproca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Restricción, prolongación de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Composición de funciones'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Relaciones binarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Relaciones especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Composición de relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Relaciones binarias en un conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

CAPITULO 3. Relaciones entre. conjuntos. Relaciones binarias. Pro­ducto cartesiano........................................... 73

CAPITULO 2. Conjuntos. Operaciones entre conjuntos............... 51

Construcción de conjuntos a partir de conjuntos dados. . . . . . . . . . . . . . 58

CAPITU LO 1. L6g íca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Nociones de lógica elemental.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Tablas de verdad............................................... 10Cuantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Proposiciones que tienen tablas de verdad dadas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Aplicaciones a la teoría de circuitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Métodos de demostración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

PROLOGO _.. _ . _. _ __. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

Contenido

205205212218223234241248260263268279

BIBLlOGRAFIA 351

PROPOSICIONES QUE SE EMPLEAN CON MAYOR FRECUENCIA. 352

LISTA DE SIMBOLOS ;........ .. 353

INDICE . 355

CAPITULO 11. Aplicaciones de la teoría de conjuntos................. 327

Algebra de conjuntos -. : . . . . . . . . . . . . . . .. 327Algebra booleana.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 329Orden y congruencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334AIgebras de Boole especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 336Anillos algebraicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 337Aplicaciones al estudio de las redes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 339

CAPITULO 10. Análisis combinatorio..................................... 296

Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 302Combinaciones .... _. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303Binomio de Newton '. . . . . . . . . . . . . . .. 306Repartos .... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 320

9. El cardinal de un conjunto. Estructuras de orden.... 281

-Estructura de grupo .Ejemplos de grupo : .Subgrupos .Grupos isomorfos '.' _ .Tablas de grupos : .Grupos cíclicos : .Producto de grupos ' .Anillos .Ideales .Homomorfismo .Cuerpos .Espacio vectorial , .

CAPITULO 8. Estructuras algebraicas. Anillos. Cuerpos -, 205

CONTENIDO6

El propósito de esta obra es que los estudiantes de primer año de universidad, los que van aterminar la enseñanza media y todos aquellos que tengan interés en las matemáticas puedanconocer las técnicas de la lógica, los conjuntos y las estructuras fundamentales. Hoy día estosconocimientos son básicos para todo estudiante de cualquier profesión. Sin conocer estas téc­nicas no es posible dominar con propiedad los cursos superiores de matemáticas ni conocerla ilimitada cantidad de aplicaciones de las matemáticas a todas las ramas de la ciencia y latecnología. '

Los conjuntos han ayudado a renovar los fundamentos y a explicar la naturaleza de lasmatemáticas actuales, mostrando el papel fundamental que la idea de conjunto desempeñaen la definición de pareja ordenada, producto cartesiano, relación, función, etc .

. La teoría de conjuntos es la clave para entender muchas etapas de la matemática y su apli­cación a otras ramas de la ciencia. Por esta razón los conjuntos se estudian en todos los nivelesde la enseñanza. Sus conceptos son fáciles de asimilar, y un estudio a fondo de los mismos re­vela una estrecha relación con la 'lógica y muestra cómo a partir de ellos se pueden construirtodas las matemáticas.

El libro está redactado con la claridad necesaria para que ,los estudiantes puedan asimilarcon facilidad parte del lenguaje de las matemáticas actuales. Las definiciones están expuestascon sencillez y van seguidas de ejemplos que facilitan su totaJ comprensión.

Los primeros capítulos constituyen una exposición detallada de las nociones clásicas delógica y lo que es una demostración matemática, así como las operaciones con conjuntos, re­laciones, grafos, correspondencia, función y relación de equivalencia. Los restantes capítulosse,dedican al estudio de las operaciones, de unión e intersección de una familia de conjuntos,relaciones de orden, leyes de composición y al estudio de las estructuras fundamentales degrupo, anillo y cuerpo. En los últimos capítulos se estudia la combinatoria y lo que es un ál­gebra, en particular el álgebra de Boole y su aplicación al estudio de .las redes de circuitos.

El capítulo 1 incluye una descripción elemental de las reglas y símbolos que se empleanen el razonamiento lógico. Una de las mayores dificultades al analizar el rigor matemáticode una demostración se halla en el hecho de que debemos comunicar nuestras ideas empleandoel lenguaje ordinario, que está lleno de ambigüedades. En ocasiones es difícil decidir si deter­minada linea de razonamiento es correcta o no. La lógica elimina estas ambigüedades aclarandocómo se construyen las proposiciones, hallando su valor de verdad y estableciendo reglas es­pecíficas de inferencia por medio de las cuales se puede determinar si un razonamiento es vá-lido o no. -

En los capítulos 1 y 2 se presentan muchos problemas con su demostración formal paraque se entienda con claridad 10 que es una demostración matemática y los diferentes métodosde demostración que existen aplicados a problemas concretos. Se hace resaltar la manera deempleo de las tautologías que justifican Jos pasos en el proceso de una demostración. Esteproceso no se sigue con los demás problemas no solo porque ello hubiera hecho 'el libro muyvoluminoso, sino porque esmás provechoso que el estudiante se acostumbre a hacer por su cuenta

7

Prólogo

. las demostraciones, y cuando encuentre dificultades, lo más aconsejable es que reconstruyala demostración y vea si los pasos que ha escrito se justifican lógicamente y si la demostraciónes una demostración matemática o no.

Cada capítulo empieza con el enunciado de las definiciones, principios y teoremas básicos,seguidos de un conjunto selecto de problemas resueltos en detalle y de otro grupo de proble­mas propuestos o ejercicios para resolver. Los problemas resueltos dan un enfoque prácticoa la obra y permiten 'asimilar con mayor facilidad la teoría expuesta, aclarando a la vez aque- .llos puntos en los que el estudiante se siente inseguro y repitiendo los principios básicos queson vitales en un aprendizaje efectivo. Se recomienda que el estudiante trate de resolver losproblemas por cuenta propia y después compare las soluciones obtenidas con las que vanen el libro, lo cual le dará confianza y seguridad y le brindará la oportunidad de hallar otrassoluciones. Los ejercicios para resolver tienen por objeto ver hasta qué punto el estudianteha ido asimilando lo estudiado. A la vez, se amplía en ellos la teoría.

La obra se ha concebido para ser empleada como libro de texto o como complementopráctico de los cursos de matemáticas básicas en las universidades, escuelas superiores e ins­titutos politécnicos. Puede utilizarse también provechosamente para cursos de nivel preuni­versitario. Incluye material suficiente para cursos regulares y se recomienda también comotexto para cursos intensivos. de actualización de profesores de secundaria e institutos técnicosy para estudio personal o introducción a cursos avanzados en otras áreas de la matemáticaque tengan por requisito el contenido de este libro.

El libro es completo, en el sentido de que no es necesario emplear otras obras de referenciapara su estudio, pues solo exige el mínimo de conocimientos de matemáticas que se enseñanen la secundaria.

Finalmente, quiero expresar mi agradecimiento al profesor. Jesús María Castaño porla revisión crítica de la obra y por: sus valiosas sugerencias, así como a los señores FranciscoGutiérrez, Director General de Harper & Row Latinoamericana, por la colaboración yestímulo que en todo momento me blindaron.

PROLOGO8

9

Si p es una proposición fundamental, p se puede negar de varias maneras. Por ejemplo, si pes la frase «las matemáticas son fáciles», entonces la negación de p es la frase «las matemáticasno SOD fáciles». Si no se desea especificar la frase de la cual se habla, entonces se designa por py su negación por: nop, -p o p. Si -p es falsa, p es verdadera y viceversa.

El conectivo «no»

Una de las mayores dificultades en analizar el rigor matemático en una demostración es elhecho de que debemos comunicar nuestras ideas entre nosotros empleando el lenguaje ordi­nario. El lenguaje ordinario está lleno de ambigüedades; las palabras tienen varios significados,algunos de ellos son muy vagos y a veces es dificil decidir si determinada línea de razonamientoes aceptable o no.

, Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar estas ambigüedades, aclarandocómo se construyen tales proposiciones, evaluando el concepto de verdad y estableciendoreglas específicas de inferencia por medio de las cuales tal argumento puede ser juzgado comoválido o no.

A continuación estudiaremos la construcción de proposiciones y su verdad. El primerobjetivo es examinar las «partes»' de las cuales se forman proposiciones. .

Empezamos considerando la frase «uno más uno es dos» o simbólicamente «1 + 1 = 2».Sabemos que este resultado es verdadero en la aritmética ordinaria. Pero si consideramosla frase «1 + 1 = O»en la aritmética módulo dos, que se estudiará más adelante, es verda­dera, pero en la aritmética ordinaria no lo es. Esto muestra que la «verdad», en matemáticas,es una verdad relativa al modelo matemático que se considere.

Las frases simples que forman las proposiciones fundamentales no son suficientes ni si­quiera para expresar una mínima parte de la terminología matemática. Nos damos cuentaque cuando expresamos nuestras ideas por medio de frases compuestas intervienen conectivoscomo «no», «y», «o». Es necesario introducir los conectivos lógicos que nos permiten formarproposiciones más complejas. Entre ellos se encuentran «no», «y» y «o». El más simple deellos es «no».

lenguaje simbólico

NOCIONES DE lOGICA ELEMENTAL

Este capítulo tiene por objeto dar una descripción elemental de las reglas y símbolos que seemplean en el razonamiento lógico. No es una exposición de tipo filosófico ni formal de lalógica. Al final se estudiarán los métodos de demostración matemática, que es el objetivo fun­damental de este capítulo.

lógica

CAPITULO

También utilizamos 1 para verdad y Opara falsedad. (Vea Tabla 1-1)

o1

1O

FV

V·F

-pp-pp

Tabla 1-1. Tabla de verdad para -p

TABLAS DE VERDAD

Resumamos los resultados obtenidos hasta ahora de la siguiente manera:A partir del conjunto original de proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo

conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones del conjunto original, que sepueden formar empleando los conectivos lógicos A, v, -. Los elementos del último conjun­to se llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahora proposiciones compuestas deltipo (p A q) V r.

El válor de verdad que se asigna a una proposición compuesta suponemos que se asignade acuerdo con la extensión natural de las hipótesis anteriores.

Estas hipótesis se resumen y generalizan por .medio de lo que se llama una tabla de verdad.Las tres tablas de verdad de -, A , v » se dan a continuación. Se puede conocer el va­

lor de verdad de una proposición, que contiene conectivos, determinando el valor de ver­dad de cada una de las componentes; Las posibilidades se dan en fila debajo de cadacomponente. A una proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden,debajo de la proposición p.

El conectivo «o»En matemáticas se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término legal y/o.Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q o ambas». Con estoen mente, admitimos la frase compuesta <<p o q» como una proposición. Esto se abrevia escri­biendo p v q. El símbolo se llama disyunci6n y la proposición p v q se llama disyunción dep y q. Parece razonable que si p es verdadera o q es verdadera (o ambas), entonces p v q debeser verdadera. Entonces suponemos que p v q tiene el valor de verdad F si p tiene el valorde verdad F y q el valor de verdad F; de otra manera p v q tiene el valor de verdad V.Ejemplo t.z. Si p es la frase «2 es un par» y 'q es la frase «3 es un primo», p v q esla frase «2 es un par o 3 es un primo».

El conectivo «y»Vamos a estudiar otros conectivos con los mismos objetivos en mente. Si p y q son dos pro­posiciones fundamentales se acepta la.frase «p y q» como una frase compuesta, que se designapor p A q. El símbolo A es el símbolo lógico para <<y»,y se llama conjunción; p A q se llamaconjunción de p y q. ¿Cómo se asignan los valores de verdad a p A q si se dan los valores deverdad de p y q individualmente?

Intuitivamente, vemos que p A q debe ser verdadera si, y solamente si, p y q son verda­deras. Entonces suponemos que el valor de verdad de p A q es V si el valor de verdad de p es. V y el valor de verdad de q es V; de otra mal:!-erael valor de verdad de p A q es F.

Ejemplo 1-1. Sip es la frase «1 es un número impar» y q es la frase «3_es un número primo»,entonces p 1\ q es la frase «1 es un número impar y 3 es un número primo».

Con esto logramos dos objetivos: primero, enriquecer el lenguaje, admitiendo nuevas pre­posiciones: la negación de las proposiciones fundamentales o primitivas, y segundo, dandométodos para asignar los valores de verdad a tales proposiciones.

LOGICA10

Figura 1-3

En este caso, para el álgebra de circuitos se cambia v por +. Corresponde a un circui­to en paralelo. (Vea Fig. 1-3.)

111O

1O1O

11OO

VVVF

VFVF

VVFF

pvqqppvqqp

Tabla 1-3. Tabla de verdad para p v q

Figura 1-2

_/___/. º 0.0 = O no prende la lámpara

• • • º O.l = O no prende la lámpara

• • /. O 1.0 = O no prende la lámpara

"1• • • • '::9:: 1.1 = 1 sí prende la Lámpara

En el álgebra de circuitos representamos la Tabla 1-2 cambiando «A» por «.» y seobtiene:

Figura 1-1

Tabla 1-2. Tabla de verdad para p 1\ q

P q pl\q P q pl\q

V V V 1 1 1V F F 1 O OF V F O 1 O.F F F O O O

no pasa la corriente

pasa la corriente1

En el álgebra de circuitos 1 indica un interruptor cerrado y Oel interruptor abierto. (VeaFig. 1-1.)

11LOGICA

Tabla 1-5. Tabla de verdad para (p ~ q) 1\ (q ~ p)

p q p=q q=p (p= q) 1\ (q ~ p)

V V V _ V VV F F V FF V V F FF F V V V

Al principiante le sorprende el hecho de asignarle el valor V a p => q, cuando p es falsacomo lo indica la Tabla 1-4. Por ejemplo, la proposición «si 4 es un número-primo, entonces6 es primo», es una proposición verdadera a pesar de que «4 es un número primo» es una pro­posición falsa. El que la proposición «6 es un primo» sea falsa, no tiene importancia. Nadase afirma con respecto al valor de verdad de q en este caso, solamente el valor de verdad dep => q, y éste queda completamente determinado por las tablas fundamentales.

Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la forma «p si, y solamentesi, q» (que se suele abreviar «ssi»), Intuitivamente esta proposición parece ser la combinaciónde p ~ q y q ~ p, esta última llamada recíproca de la p ~ q. Estudiemos la tabla de verdadde (p ~ q) /\ (q ~ p) empleando la Tabla 1-4 como guía.

Tabla 1-4. Tabla de verdad de -p v q

p q -p q (-p v q)

V V F V VV F F F FF V V V VF F V F V

Las tablas de verdad anteriores son las que se necesitan para deducir el valor de verdad de cual­quier proposición por complicada que sea. A las tablas de verdad deducidas a partir de ellasse les llama tablas de verdad deducidas.

Esto lo ilustramos con el siguiente ejemplo: Calculemos la tabla de verdad de la propo­sición -p v q. Como lo indica la Tabla 1-4, debemos empezar con todas las posibles combi­naciones de valores de verdad de p y q, las cuales se dan en las dos primeras columnas. La co­lumna 3 contiene los valores de verdad de p que se deducen de la columna 1,según laTabla 1-1.Se vuelve a escribir la columna 2 en 4 y aplicamos la Tabla 1-3 a las columnas 3 y 4 para­obtener el resultado pedido en la columna 5. Comparando los valores. de verdad de - p v qcon los de p y q, vemos que - p v q es falsa solamente cuando p es verdadera y q falsa. Poresta razón usamos la frase «si p entonces q» por la abreviación p ~ q, que es muy común enmatemáticas. Esta proposición se llama condicional. Otras frases que comúnmente se consi­deran equivalentes son: «p implica q», «p solamente si q», «p es suficiente para q» y «p es ne­cesano para q».

Usamos el símbolo p => q para indicar. esta disyunción particular. Entonces, p ~ q y-p v q son símbolos de la misma proposición.

Tablas de verdad derivadas y tautologías

Las tablas anteriores constituyen las. hipótesis de la forma en que se asignan los valoresde verdad. Parecen razonables y coinciden con nuestra intuición. Si las cambiamos, tendremosuna lógica diferente, y, por tanto, una manera diferente de determinar la «verdad». Si las acep­tamos como hipótesis, debemos atenernos a sus consecuencias.

LOGICA12

Se observa -que el valor de verdad de p v -pes V, independiente del valor de verdadde p. Tales proposiciones se llaman tautologías. Lo contrario, una falsedad. Su importanciaderiva del hecho de que son «verdaderas» en el sentido de que el valor de verdad es indepen­diente del valor de verdad de sus componentes. Algunas de estas tautologías son muy comunesy útiles y por eso se les llama leyes. La tautología de la Tabla 1-7 se llama ley del tercio ex­cluido.

VV

FV

VF

p v -p-pp

Tabla 1-7. Tabla de ver­dad para p v -p

La Tabla 1-7 muestra el valor de verdad de la proposición p v -p.

Tautologías

proposiciones.

Tabla 1-6. Tabla de verdad de [(p v q) 1\ r] =- -q 1\ P

P q r pv q (p v q) 1\ r -q -q 1\ P [(p V q) 1\ r] => -q 1\ P

V V V V V F F FV V F V F F F VV F V V V V V VV F F V F V V VF V V V V F F FF V F V F F F VF F V F F V F VF F F F F V F V

Para tres proposiciones, la primera columna tiene V, V, V, V, y F, F, F, F; la segundade a dos, V, V, y F, F; la tercera, V, F, V, F, V, F, V, F.

Para cuatro proposiciones, la primera columna tendrá ocbo V y ocho F, la segunda empe­zará con cuatro V, después cuatro F, y así sucesivamente. La Tabla 1-6 ilustra el caso de tres

Regla. Si se tienen dos proposiciones, la primera columna tiene V, V, YF, F, Y la segundaV, F, V, F.

La columna 4 resulta de considerar la Tabla 1-4 con p y q intercambiadas. La tabla re­sultante revela que la proposición (p => q) 1\ (q =>p) es verdadera cuando p y q tienen el mismovalor de verdad, y falsa de otra manera. Esta parece una interpretación adecuada del valorde verdad de la frase «p si, y solamente si, q», A este conectivo lógico especial lo llamamos equi­valencia Iágica o bicondicional y utilizamos el símbolo <=> para indicarlo, entonces p -ee- q eslo mismo que (p => q) A (q => p).

Existen claras limitaciones al uso de las tabias de verdad para establecer el valor de ver­dad, puesto que el númerode Rrgp.osiciones diferentes que pueden formar las proposicionescompuestas las hace demasiado complicadas. Para una sola proposición se tienen dos valores.Para dos proposiciones se tienen 22 = 4 posibles combinaciones de V y F. Para tres, 23 = 8.En general, para n, 2" combinaciones.

13LOGleA

t Por frase abierta se debe entender una función proposicional que al remplazar las variables por elementos de unreferenciaJ la convierte en una proposición que es verdadera o falsa. _

No usamos la expresión «función proposicional» con el fin de que el estudiante en un comienzo no tenga la im­presión. de que existen varios tipos de funciones.

Hasta el momento, la discusión se ha restringido al caso en que p, q, r, ... , son proposiciones.Considere la frase abierta t «x > 5», llamada fórmula. Vemos que esta fórmula no es ni ver­dadera ni falsa. Supongamos que la variable x toma valores en el conjunto {2, 4, 6}. Enton-

CUANTIFICADORES

FF

FV

_VF

P 1\ -p-p'p

La equivalencia de la Tabla 1-9 se llama ley conmutativa.Una proposición p, que es a la vez verdadera y falsa, se dice contradictoria. Su tabla de

verdad en la última columna contiene únicamente F. Ejemplo p A-p. (Vea Tabla 1-1D.)

Tabla 1-10

Tabla 1-9. Tautología (p 1\ q) -ee- (q 1\ p)

P q (p 1\ q) (q 1\ p) (p 1\ q)<:> (q 1\ p)

V V V V VV 'F F F VF V F F VF F F F V

Supongamos que p <:> q es una tautología para las proposiciones p y q. Recordando laTabla de verdad 1-5, para p <:> q, vemos que esto se puede presentar solamente cuando p y qtienen el mismo valor de verdad. Por ejemplo, la Tabla 1-9 muestra que (p A q) <:> (q A p)es tal caso. El significado del caso en que p -ee- q es una tautología, es que p y q, teniendo elmismo valor de verdad, se pueden intercambiar en cualquier proposición, sin afectar el valorde verdad de la proposición. Esto no implica que p = q, lo que dice es que p y q son equiva­lentes en cierto sentido, por tanto, decimos que p y q son tautológicamente equivalentes cuandop <=> q es una tautología y algunas veces se' escribe p eq q.

Tabla 1-8. Implicación 'tautQf4g~ .para(p 1\ q) => P

P q pl\q (p 1\ q) => P

V V V VV F F VF V F VF F F V

Definición. Cuando la proposición p => q es una tautología, decimos que p implica tautológi­camente a q, o es un condicional. En tal caso, q debe ser verdadera cuando p es verdadera,porque p => q es falsa solamente cuando p es verdadera y q falsa, y este caso no se presentacuando p => q es una tautología.

La Tabla 1-8 ilustra el caso de una implicación tautológica, que se llama ley de la con­tracción conjuntiva.

LOGICA14

ces la frase abierta «x > 5» da las tres proposiciones <<2 > 5», «4 > 5», «6 > 5», dos de lascuales son falsas y una verdadera.

El análisis de la asignación de valores de verdad a tales frases abiertas es más complicado,aunque semejante en estructura al análisis de verdad que se discutió. En cualquier enunciado'que contenga fórmulas, p(x), q(x), r(x), etc., un universo o conjunto de referencia, donde lavariable x toma sus valores, se debe hacer explicito. Si interviene más de una variable, se debendar los conjuntos donde toman valores. El remplazo de x por un elemento del conjunto uni­versaltransforma la fórmula en x en una proposición. El análisis anterior se aplica, suponiendoque cada una de tales proposiciones tiene un valor de verdad V o F. Además, sip(x) y q(x) sondos fórmulas y a un elemento específico del conjunto universal, entonces pea), q(a) v pea),pea) 1\ q(a), etc., son proposiciones compuestas.

Esto sugiere que definamos el concepto de fórmula compuesta como la que se obtiene defórmulas dadas, empleando los conectivos -, 1\, v, como se definieron anteriormente paraproposiciones. De una fórmula compuesta, como p(x) => q(x), se puede obtener la propo­sición compuesta pea) => q(a), remplazando x por a. Es importante en tales casos que se rem­place el mismo valor de x para la fórmula compuesta.

Ahora hemos ampliado el conjunto de proposiciones de la teoría de que se habla, agre­gando las proposiciones obtenidas de fórmulas al remplazar las variables por elementos delconjunto universal.

Consideremos la fórmula p(x) con x tomando valores en el conjunto X. Diremos que p(x)es universalmente verdadera si el valor de verdad de p(x) es V para cada remplazo de x por ut'elemento de X. Por ejemplo, la fórmula «x > 5» es universalmente verdadera siX={6, 8, 'lO.}Como el conjunto X se fija en cualquier contexto, siempre podremos afirmar si una fórmuladada es universalmente verdadera o no.

En general, como se vio, el valor de verdad de una fórmula depende del universo de susvariables. Algunas fórmulas, a causa de su forma, son universalmente verdaderas, indepen­diente del universo que se seleccione.Por ejemplo, si q(x) = (<X > 5» o «x ~ 5», q(x) es uni­versalmente verdadera para cualquier conjunto de números reales. Esto se debe a la formade q(x). En general, la fórmula p(x) v - p(x) será universalmente verdadera para cualquieruniverso, para el cual p(x) tenga sentido. Para ver esto, sea «a» un elemento específicode X.Si se remplaza x por a se obtiene la proposición p(a) v - p(a).

Como la última es una tautología, podemos decir que pea) v -pea) tiene por valor deverdad V. Al remplazar x por otro elemento de X, también se Jlega a la misma con­clusión.

Las fórmulas de este tipo que son universalmente verdaderas para cualquier universoadmisible se llaman tautologías, puesto que su valor de verdad depende solamente de su forma.Es claro que cualquier proposición tautológica es también una tautologia si las variables pro­posicionales se remplazan por fórmulas.

Existe otro método de formar proposiciones a partir de fórmulas y es muy común en ma­temáticas. Suponga quep(x) es una fórmula universalmente verdadera para un universo dado X.Esto es equivalente, como se vio, a verificar si.p(x) da una proposición verdadera para todoelemento x de X. Abreviando la frase «para todo» por el símbolo 'ti, se admite la nueva frase«'tIx: p(x)>>, que representa «para todo x, p(x) da una proposición verdadera». Tal proposi­ción es verdadera si p(x) es universalmente verdadera y falsa de otra manera. Esto muestraque el valor de verdad de «'tIx, p(x)>>depende del universo que se dé. En la práctica no hay ne­cesidad de distinguir entre las frases «para todo», «para cada» y «para todos». Todas se de­signan por 'ti, que se llama cuantificador universal.

Como 'tIx, p(x) se admite como proposición, debemos saber negarla para que sea consisten­te con el desarrollo anterior. Si 'tIx, p(x) no es verdadera, entonces debe existir un elemento, di­gamos a, en el universo, tal que p(a) tenga el valor F o equivalentemente, -pea), tenga elvalor V.

Por ejemplo, con el universo {2, 4, 6}, la proposición 'tIx, x > 5 es falsa. En este caso,se puede tomar a «a» como 2 o 4. Esto sugiere que la negación de 'tIx, p(x) debe ser la propo­sición «existe x tal que -p(x) dé una proposición verdadera», y esta proposición es verdadera

15LOGICA

Ejemplo 1-3. Hallar la proposición cuya tabla de verdad contiene V en la primera, segunday última filas y F en las demás. La proposición pedida es la disyunción de la primera,segunda y última filas de la Tabla 1-11, es decir,

(p 1\ q A r) v (p 1\ q A -r) v (-p A -q A -r)

A tales proposiciones las llamaremos conjuncionesfundamentales. Contienen cada variableo su negación, según que la variable tenga V o F en su respectiva columna. La disyunción dedos proposiciones fundamentales es verdadera en dos casos; la de tres, en tres casos, etc. Portanto, para hallar la proposición que tiene una tabla de verdad dada se forma la disyunciónde las conjuciones fundamentales cuyo valor de verdad es V el cual se da en la Ta­bla 1-11.

Tabla ,-"

p q r Conjuncionesfundamentales

V V V pl\q 1\ rV V F pl\q 1\ -rV F V P 1\ -q 1\ rV F F p 1\ -q 1\ -rF V V -p 1\ q 1\ rF V F -p 1\ q 1\ -rF F V -p 1\ -q 1\ rF F F -p 1\ -q 1\ -r

Ahora vamos a considerar el problema: dada una tabla de verdad, haUe la proposición o pro­posiciones que la satisfacen. Consideremos el problema para el caso de tres variables,únicamente; su generalización es fácil. Suponga que la tabla de verdad dada contiene en suúltima columna únicamente F. Si observa la tabla de verdad de la proposición p A -p, vemosque contiene solamente F en la última columna; esta proposición es una de las respuestas delproblema. Ahora se van a considerar tablas de verdad que contienen una o más V en la últimacolumna. El método que se empleará es construir proposiciones que sean verdaderas únicamenteen un caso, y después, construir las proposiciones pedidas como las disyunciones de éstas. LaTabla 1-11muestra ocho proposiciones, cada una verdadera en un caso.

PROPOSICIONES QUE TIENEN TABLAS DE VERDAD DADAS

si, y solamente si; VX, p(x) es falsa. Se abrevia la frase «existe UD» por ~ y se escribe Ix, -p(x)por la proposición anterior,

Así se ha definido - (Vx, p(x» <=> ]x, -p(x).En general, si q(x) es cualquier fórmula, la frase ]X, q(x) es una proposición cuyo valor

de verdad es V si existe un remplazo para x en el universo, para el cual q(x) es una proposiciónverdadera. De otra manera 3x, q(x) tiene valor de verdad F, "entonces

-(3x, q(x»<=>Vx, -q(x)

No se hace distinción entre la frase «existe U!!» y «para algunos». Ambas se designan por ],que se llama cuantificador existencial.

Hasta el momento se ha enriquecido el vocabulario incluyendo fórmulas y cuantificadorespara convertir las fórmulas en proposiciones. Sabemos que algunas fórmulas son universal­mente verdaderas en cualquier universo a causa de su forma y se llaman tautologías. En lastablas que se darán a continuación, p, q, r, ... , se pueden interpretar como representantesde proposiciones o fórmulas.

lOGICA18

La Figura 1-4 muestra el circuito más simple, en el cual T1 y T2 están conectados por unalambre que contiene un interruptor P. En caso de que el interruptor esté cerrado, pasa co­rriente de T1 a T2• La Figura 1-5 muestra los interruptores P y Q en «serie». Si P y Q estáncerrados, pasa corriente de T1 a T2.

Asociemos una proposición a cada interruptor. Sea p la proposición «el interruptor Pestá cerrado» y q «el interruptor Q está cerrado». La Figura 1-4 dice que si p es verdadera, pasacorriente, y la Figura 1-5, que si p y q son verdaderas, pasa corriente. La Figura 1-6 muestra

T¡_p-Q_T2

Figura 1-5Figura 1-4

La teoría de las proposiciones compuestas tiene muchas aplicaciones, entre ellas la teoría delos circuitos eléctricos.

Un circuito puede estar «abierto» o «cerrado». Cuando está abierto no permite el pasode corriente, mientras que cuando está cerrado sí lo permite.

Se desea resolver el siguiente problema: Dado un circuito, con algunos interruptorescerrados, determinar si pasa corriente de T1 a T2.

APLICACIONES A LA TEORIA DE CIRCUITOS

Esto muestra que hemos reducido el problema al de hallar una proposición que tienepor tabla de verdad la anterior. Siguiendo el método general, vemos que la proposición(p A q) V (- P A - q) la verifica. Entonces el lógico debe hacer la pregunta: «¿Conduce laprimera puerta a la libertad y usted dice la verdad, o la segunda puerta conduce a la libertady usted miente?» La proposición p <=> q tiene la misma tabla de verdad, luego una preguntaequivalente y más corta sería: <<¿Conduce la primera puerta a la libertad si, y solamente si,usted dice la verdad?»

Tabla 1-12

Respuesta Tabla de verdadp q deseada de la pregunta

V V Sí VV F Sí FF V No FF F No V

Sea p la proposición «la primera puerta conduce a la libertad» y q la proposición «ustedsiempre dice la verdad». Se quiere hacer una pregunta en la que una respuesta «sí» signifiqueque p es verdadera y un «no» signifique que p es falsa, entonces el valor de verdad es F. Unanálisis similar vale si la respuesta es «no». Los valores de verdad de la pregunta pedida semuestran en la Tabla 1-12.

Ejemplo 1-4. Un lógico es hecho prisionero por una tribu, y lo llevan a una cárcel que tienedos puertas. El jefe de la tribu le ofrece al prisionero la siguiente oportunidad para que quedeen libertad: «Una de las puertas le lleva a la muerte y la otra a la libertad. Usted puede salirpor cualquier pu~a. Para ayudarle a que tome su decisión, dos guerreros estarán con ustedy le contestarán cualquier pregunta que les haga. Le prevengo que uno de mis guerreros siempredice la verdad, mientras que el otro siempre miente.» ¿Qué debe preguntar?

El lógico, después de pensar un momento, hace una pregunta y escoge la puerta que con­duce a la libertad. ¿Qué pregunta hizo?

17LOGleA

La proposicion asociada es [p v (- P A - q)] V [p A q]. Como la propostcion esfalsa, solamente si p es falsa y q verdadera la corriente fluirá a menos que P esté abierto y Qcerrado.

Verificación: Si P está cerrado pasará corriente, pues por la parte superior pasa corriente,independientemente de que Q esté abierto o cerrado. Si ambos están abiertos, entonces P' yQ' están cerrados; por tanto, pasará corriente por el circuito intermedio. Pero si P está abiert-oy Q cerrado, por ninguno de los circuitos pasa corriente.

Observe-que no es necesario considerar el paso de corriente por el circuito inferior.' Lacontraparte lógica de este.hecho es que la proposición asociada al circuito es equivalente a[p v (- P /\ - q)], cuyo circuito es únicamente la parte superior del que estamos conside­rando. En otras palabras, las propiedades eléctricas del circuito son las mismas si el circuitoinferior se omite. Como último problema considere el diseño de una red que tenga determi­nadas propiedades. Esto es equivalente al problema de reconstruir una proposición a partirde una tabla de verdad.

En lo anterior se desarrolló un método para hallar una proposición a partir de una tablade verdad. (El circuito que corresponde a una tabla de verdad formada por F no es de interés,puesto que no pasa corriente en el circuito.)

Cada una de tales proposiciones se puede construir como una disyunción de las conjuncio­nes fundamentales; son de la forma p /\ q /\ r, p /\ q /\ - r, etc.; cada una representa uncircuito con tres interruptores en serie y se llama circuito serie fundamental. La disyunción dealgunas de estas conjunciones básicas se representa por un circuito que se obtiene al unir .varioscircuitos que están en serie, en paralelo.

Figura 1-8

un circuito en el cual P y Q están conectadas en paralelo. La corriente pasa de- Ti a T2 sip y q es verdadera.

La Figura 1-7muestra un circuito en serie y en paralelo. La parte superior está represen­tada por p A q Y la inferior por r A s; el circuito completo está representado por(p A q) V (r A s). Como hay cuatro interruptores y cada uno puede estar abierto o cerrado,hay 24'= 16 posibilidades de conexión. La tabla de verdad de (p A q) V (r A s) contienecuatro variables,p, q, r Ys, es decir, 16 filas. Las combinaciones de interruptores que permitenel paso de corriente corresponden en la tabla a las filas que dan por. valor de verdad V. No esnecesario que los interruptores actúen independientemente. Es posible acoplar dos o más in­terruptores, de manera que unos estén cerrados y abiertos simultáneamente. Se indica estoen el diagrama, asignando la misma letra a tales interruptores. También es posible acoplar dosinterruptores, de manera que uno esté cerrado y el otro abierto. Indicamos esto asignando laletra P al primero y P' al segundo. La proposición «p está cerrado» es verdadera ssi «p'» estácerrado es falsa. Por tanto, sip es la frase «p está cerrado», entonces -pes «P' está cerrado».Esto se ilustra en la Figura 1-8.

Figura 1-7Figura 1-6

T'--CY--T'LOGICA18

4. Construya la tabla de verdad del circuito del Ejercicio 3. ¿Qué dice con relación al circuito?

5. Diseñe un circuito más simple que el del Ejercicio 3 y que tenga las mismas propiedades.

3. ¿Qué proposición representa el' circuito de la Figura 1-107

[(P 1\ -q) V (-p 1\ q)] V (-p 1\ -q)

1. ¿Qué tipo de circuito le corresponde a una tautología 7 Dé un ejemplo.

2. Construya el circuito correspondiente a la proposición

EJERCICIOS PROPUESTOS

Figura 1-10Figura 1-9

lámparaBatería

La Figura 1-9 muestra el circuito pedido.

(p 1\ q 1\ r) v (p 1\ q 1\ -r) v (p 1\ -q 1\ r) v (-p 1\ q 1\ r)

Ejemplo 1-5. Un comité de tres personas desea emplear un circuito eléctrico para registraruna votación secreta y mayoritaria. Diseñe un circuito de manera que cada miembro puedapresionar un botón para su voto «sí» (no se presiona para un voto «no») y que se enciendauna lámpara cada vez que la mayoría del comité vote «sí».

Sea p la proposición «el miembro 1 del comité vota "sí"», sea q la frase «el miembro 2vota "sí"» y r «el miembro 3 vota "sí?». La tabla de verdad de <damayoría de los' miembrosvota "sí"» se da en la Tabla 1-13. La tabla muestra que la proposición compuesta que.se pide es

LOGICA 19

Tabla 1-13

Valor de verdad Conjunción fundamentalp q r deseado correspondiente

V V V V pl\q 1\ rV V F V pl\q 1\ -rV F V V P 1\ -q 1\ rV F F F p 1\ -q 1\ -rF V V V -p 1\ q 1\ rF V F F -p 1\ q 1\ -rF F V F -p 1\ -q 1\ rF F F F -p 1\ -q 1\ -r

En este caso, el razonamiento es verdadero' y la conclusión verdadera, y las dos premisasfalsas.

Por tanto, todos Jos perros son carnívoros.

nplo 1-8. Todos los perros tienen dos patas.Todos los animales de dos patas son carnívoros.

En este caso, la conclusión es falsa, pero el razonamiento es correcto, porque la conclu­sión es consecuencia de las premisas. Si observa que la primera premisa es falsa, la paradojadesaparece.

Si un razonamiento es correcto, entonces la conjunción de todas las premisas implica laconclusión. Si las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Sin embargo, si unao más de las premisas es falsa, la conjunción de todas las premisas es falsa; por tanto, la con­clusión puede ser verdadera o falsa.

Todas las premisas pueden ser falsas, la conclusión verdadera y el razonamiento verdade­ro, como lo muestra el ejemplo siguiente .

Por tanto, Inglaterra no es una democracia.

Ejemplo 1-7. En una democracia al presidente lo elige el pueblo.En Inglaterra, el primer ministro es el jefe ejecutivo.El primer ministro británico no es elegido directamente.

La conclusión es verdadera. El razonamiento no es válido, porque la conclusión no esconsecuencia de las premisas.

Por tanto, los Estados Unidos es una democracia.

Ejemplo 1-6. Si los Estados Unidos es una democracia, entonces sus ciudadanos tienen elderecho de votar.Sus ciudadanos tienen el derecho de votar.

Uno de los objetivos fundamentales de este capítulo es ver si' determinados razonamientosson verdaderos o falsos.

Por razonamiento se debe entender la afirmación de que determinada proposición (laconclusión) sea consecuencia de las otras proposiciones (las premisas). Un razonamiento esválido si, y solamente si, la conjunción de las premisas implica la conclusión, es decir, cuandolas premisas son todas verdaderas, la conclusión es verdadera.

Observe que la verdad de la conclusión es independiente de la manera de demostrar lavalidez de un razonamiento. Una conclusión verdadera no es ni condición necesaria ni sufi­ciente para la validez de un razonamiento. Los dos ejemplos siguientes muestran este hechoy la forma en que se establece un razonamiento. Las premisas se separan.de la conclusión poruna raya.

Razonamientos válidos

6. Un grupo de cinco candidatos debe resolver un examen, verdadero-falso, con c~atro preguntas. Dise­oe un circuito de tal manera que un candidato presione botones para las preguntas que desea contes­tar «verdaderas- y que el circuito indique el número de respuestas correctas. (Indicación: tiene cincoluces, correspondientes a 0, 1, 2, 3, 4, respuestas correctas, respectivamente.)

7. Diseñe un esquema para trabajar con tablas de verdad empleando circuitos.

LOGICA20

Tabla 1-15

P q r p~q q~r p~r

V V V V V VV V F V F FV F V F V VV F F F V FF V V V V VF V F V F VF F V V V VF F F V V V

En la primera falacia, ambas premisas son verdaderas en el primer y tercer caso de la Ta­bla 1-14, pero la conclusión falsa en el tercer caso; por tanto, el razonamiento es falso.

En la segunda falacia, ambas premisas son verdaderas en los dos últimos casos, y la con­clusión falsa en el tercero.

Un razonamiento depende únicamente de su f~a y es independiente del valor de verdadde sus componentes. La tabla de verdad muestra que si ambas premisas son verdaderas, en­tonces las conclusiones de los razonamientos 1) y 2) son verdaderas. Además muestra que esposible escoger ambas premisas verdaderas sin que la conclusión sea verdadera, como en3) y 4).

-q

4) p => q-p

Ejemplo 1-9. 3) p => q_q_

p

La Tabla 1-14muestra que para el primer razonamiento existe únicamente un caso en queambas premisas son verdaderas, es decir, el primer caso, y la conclusión verdadera; entoncesel razonamiento es verdadero. Un razonamiento que no es verdadero se llama una falacia.

Tabla 1-14

P q p~q P q p~q -q -p

V V V V V V F FV F F V F F V FF V V F V V F VF F V F F V V V

Sus tablas de verdad son;

-p

2) p => q-q

1) p => q_p_

q

Cada uno de estos ejemplos hace resaltar el hecho de que ni el valor"de verdad ni el con­tenido de cualesquiera de las proposiciones que intervienen en el razonamiento determina lavalidez del argumento.

Las siguientes son formas correctas de razonamiento:

21LOGICA

P PI q P=>Pl Pl => q P /\ (P => Pi) /\ (PI => q) [(P /\ (P => PI) /\ (p¡ => q)] => q

V V V V V V VV V F V F F VV F V F V F VV F F F V F VF V V V 'V F VF V F V F F VF F .V V V F VF F F V V F V

Tabla 1-16

q: Luis se graduará.

p: Luis se levanta a las siete.P => PI: Si Luis se levanta a las siete va a clase.PI => q: Si Luis va a clase, entonces se graduará.

Con esto se quiere decir que, como las proposiciones SI' S2' ..• , s; son verdaderas, por tanto (."),I es verdadera. A las proposiciones SI' S2' ..• , s; se les llama premisas del razonamiento y a tconclusión. Se dice que tal razonamiento es válido si, y solamente si, la proposición(SI /\ S2 /\ ... /\ S,,) => t es una tautología. Por ejemplo, considere el siguiente razonamiento:

..A_t

En resumen: una demostración matemática consiste en que a partir de una proposición ver­dadera R y empleando las tautologías anteriores, se demuestra que una proposición S es ver-dadera. .

La demostración de un teorema consiste en mostrar una argumentación convincente deque el teorema es consecuencia lógica de las hipótesis y teoremas ya demostrados. ¿Qué signi­fica que un teorema es consecuencia lógica de las hipótesis y teoremas ya demostrados? Comoveremos a continuación, son precisamente las tautologías las que determinan esto; es decir,las tautologías determinan las reglas de inferencia lógica que se emplean para deducir un teo­rema a partir de proposiciones conocidas.

Este proceso de inferir una proposición t de las proposiciones dadas s 1> S2, ... , s" se llamarazonamiento y se representa de la siguiente mañera:

METODOS DE DEMOSTRACION

Las dos premisas son verdaderas en los casos 1, 5, 7 Y8 filas de la Tabla 1-15. Como encada uno de estos casos la conclusión es verdadera, el razonamiento es correcto.

Ejemplo 1-10. Considere el siguiente razonamiento:

p=>qq=>r

LOGleA22

P ::;.PI

pSuponga que a y b son números pares.

Entonces, según Oladefinición de número par, 2 1 a y 2 1 b.Esto significa que a = 2 . m y b = 2 . n para dos enteros m y n,según la definición de lo que significa un número entero dividea otro.

Pero, si a = 2· m y b = 2 . n, entonces a + b = 2· m + 2· n =2 . (m + n), por la propiedad distributiva.

Como a + b = 2· (m + n) y m + n es un entero, 21 (a + b).Si a + b es divisible por 2, esto quiere decir que es par; según ladefinición de número par.Por tanto, a + b es un número par.

Ejemplo l-Ll .. Considere la demostración del siguiente teorema: «Si a y b son números pares,entonces a + b es un número par» (p => q).

Al demostrar un teorema de la forma «si P entonces q» (p => q). comúnmente se empiezasuponiendo que P es dado; después se construye una cadena de proposiciones de la formaP => Pi' PI => P2' ... , P« => q, cada una de las cuales es una hipótesis dada de antemano oun teorema ya demostrado. Tan pronto se llega en esta cadena a la proposición Pn => q, deello se concluye q. Este razonamiento es válido, pero ¿cómo demuestra el teorema, es decir,como establece la verdad de la implicación P => q? Para ver esto recuerde que una implicaciónp => q es falsa solamente cuando P es verdadera y q falsa; entonces todo lo que se necesita paramostrar que P => q es verdadera es el caso en que P es verdadera, q necesariamente debe serverdadera. Esto es precisamente lo que el razonamiento anterior determina.

Porque siendo un razonamiento válido, la proposición formada por la conjunción de laspremisas implica la conclusión.

[p 1\ (p => PI) 1\ (PI => /)2) 1\ ... 1\ (Pn'=> q)] => q

es una tautología. Y resulta que, como en la demostración de un teorema de la forma p => q,cada una de las proposiciones p, P => PI' PI => P2, ... , Pn => q es verdadera, puesto que esuna hipótesis dada o un teorema demostrado. Así, si p es verdadera, P 1\ (p => P1) 1\ <PI => P2)1\ ... 1\ <Pn => q) es verdadera, porque es una conjunción de proposiciones verdaderas. Peroesto también quiere decir que q debe ser verdadera para que la proposición [p 1\ (p => P1)1\ ... 1\ (Pn => q)] => q sea verdadera (puesto que una implicación es únicamente verdaderaen los casos V => V y F => F).

Un razonamiento del tipo anterior se puede emplear para demostrar un teorema de laforma «si p entonces q» (P => q). Se supone la hipótesis P, y después- se construye una «cadena»de proposiciones conocidas- (hipótesis o definiciones dadas anteriormente, o teoremas de­mostrados y aplicaciones de éstos) que conducen de P a q, y de lo cual se concluye q. (Fig. 1-1].)

Pn => qq

Este razonamiento es válido porque la proposición formada por la conjunción de las pre­misas implica la conclusión; es decir, la proposición (p 1\ (P =:> PI) 1\ (Pi => q)] => q es unatautología, como lo muestra la Tabla 1-16.

De la misma manera la generalización del razonamiento anterior es válida.

PP => PiPI => P2

23LOGICA

Demostración. Suponga que no son ambos impares Entonces, uno de ellos, digamos x, espar, x = Zz. Por tanto, xy = 2yz, que es un número ·par contrario a la hipótesis.

Ejemplo 1-13. Si x y y son enteros positivos y xy un número impar, entonces x y y son im­pares.

Ejemplo 1-12. Teorema. Sean a, b y e números enteros positivos. Si

a + e < b + c, entonces a < b

Demostración. A continuación se va a demostrar el contrarrecíproco: si a { b, entoncesa + e 1: b ,+ c. Por tanto, suponga que a { b. Entonces, por la propiedad tricotómica, a = bo b < a. En el primer caso se tendría a + e = b + e, y en el segundo caso, b + e < a + e;en cualquier caso se tiene que a + e 1: b + c. Por tanto, si a { b, entonces a + e {. b + c.

El primer tipo de demostración indirecta se llama demostración por contraposición. Como elnombre lo indica, consiste en que para demostrar un teorema de la forma «si p entonces q»,demuestra su contrarrecíproco (- q) => (- p). En este caso. se construye una cadena de pro­posiciones que conducen de (- q) a (- p), en vez de P a q. Esta implicación es verdadera puestoque (-q) => (-p) es equivalente a P => q, que es verdadera. El siguiente ejemplo ilustra estemétodo de demostración.

2. Demostración indirecta

Lo estudiado anteriormente describe el método de demostración directa. Consiste en la apli­cación del modus ponens. Es decir, si la proposición P es verdadera y la implicación (p => q)es verdadera, entonces q es verdadera.

1. Demostración directa o por implicación

Los métodos más usados son los siguientes ;

Pn => qq

Este razonamiento establece la verdad de Pl => q.

Un análisis de la demostración muestra que el razonamiento es válido. Establece el teo­rema, porque cada una de las proposiciones P =>Pl' Pl ~ P2' P2 => P3' P3 => P4 Y P4 => q,es un resultado que ha sido enunciado o demostrado anteriormente.

Si el teorema que se va a demostrar no es de la forma P => q, sino una proposición q, en­tonces se remplaza p en el argumento anterior por una proposición apropiada PI. que se conocey después se construye una cadena de proposiciones que van de PI a q:

PIPi => P2P2 => P3

Figura 1-11

LOGICA24

que es falsa. Por tanto, si S'es el conjunto de los números primos, entonces S es un conjuntoinfinito, .

(P /\ -q) => (r /\ -r)

Así hemos llegado a una contradicción (r /\ - r). Puesto que la hipótesis de que el con­junto S no es infinito conduce a la contradicción

p' no divide a b. I-rl

Como p' es primo y S contiene todos los números primos, se debe tener que p'E S. Sin em­bargo, ningún primo en S divide a b; por tanto,

p' divide a b. 0Entonces existe un número primo p' tal que

Demostración. Suponga que no; es decir, que S es el conjunto de todos los primos y que Sno es infinito. (p /\ - q), la negación de (p => q).

Entonces S es un conjunto finito, digamos S = {Pl' P2' ... ,Pk}' Como S es finito, elpro-dueto P1' P2' P.. de todos los primos en S se puede hacer, y además formar el númerob = (Pi' P2- - Pk) + 1.

Ejemplo 1-14. Teorema. Si S es el conjunto de todos los números primos, entonces S esun conjunto infinito. 1 p => q l.

El segundo método de demostración indirecta de un teorema t consiste en establecer laverdad de 1, estableciendo la falsedad de su negación de la siguiente manera: se muestra quela negación de 1, + l , lleva a una contradicción, de la forma r /\ r=]", Este método se llamademostración por contradicción o por reducción al absurdo.

Si se muestra que - t implica tal contradicción, es decir, si se establece la verdad de laproposición (-t) => (r /\ -r) para alguna proposición r, entonces, en virtud de que r /\ -res falsa, se concluye que - t también es,falsa (porque los únicos casos en que la implicación esverdadera son V => V, F => V, F => F) y, por tanto, t es verdadera. El siguiente ejemplo ilustraeste método.

(p => q) ~ [«P./\ -q) => - p)](p => q) -ee- [«P /\ -q) =>. -q)](P => q) <:;> [( (P /\ - q) => (r /\ - r)]

1Nota. Las siguientes tautologías muestran que' en el método indirecto de demostración sepuede hacer uso de la hipótesis original y la negación de q, es decir, -q. La tercera muestraque la doble hipótesis p y -q puede conducir a una contradicción de la forma r /\ -r, quees la demostración por contradicción o reducción al absurdo.

-q} -q => -p-p

~} p=>.qxy número imparx y y son ambos impares

x y y no son ambos imparesxy es par

Dado:Demuestre:Suponga:Entonces:

De esta demostración, al escribirla en forma explícita, se tiene lo siguiente:

25LOGICA

Ejemplo 1-16. Sea p: «n es un entero divisible por 6 y por 4».Sea q: «n es divisible por 24».

¿Es verdad que p => q? No, porque, por ejemplo, 12 hace que p y -q sean simultáneamenteverdaderas. Entonces p:4> q.

4. Demostraci.ón por contraejemploPara demostrar la negación de una implicación p =1> q se debe dar un contraejemplo, es decir,un ejemplo en el cual p y - q son simultáneamente verdaderas.

En efecto, P. v -pes verdadera por la ley del tercio excluido, y por la tautología[(p v q) A (p => r) A (q => r)] => r; q es verdadera.

Como ilustración de este caso, vea los Problemas 1-56 y 1-57.

[(P => q) A (-p => q)] => q

3. Demostración por disyunción de casosSi las implicaciones p => q y - p => q son verdaderas, entonces q es verdadera por la tauto­logía

Esto nos condujo a la contradicción -$ => r A -r y, por tanto, es falsa. Lo cual demues­tra el teorema.

Los Ejemplos 1-14 y 1-15 muestran que para demostrar que una proposición p es ver­dadera en una teoría T, se construye una teoría T', obtenida uniendo a T el axioma «-p».Se halla en T' una proposición contradictoria. Si en una teoría una proposición es contradic­toria, entonces toda proposición de la teoría es contradictoria, -pes contradictoria. Por laley del tercio excluido la teoría no se acepta y, por tanto, p es verdadera en T.

.Vamos a ver que esta hipótesis conduce a una contradicción: Como x no es impar, x debeser par, y, por tanto, 21 x. Cj:Pero como x es primo, sus únicos divisores son 1 y x; y comox es mayor que ~, 2 no es un divisor; es decir,

Suponga que existe un número natural x que es primo y mayor que 2, y que no es impar. l-sl.l-sl: 3x E N, p(x) A -q(x)

con p(x) la frase abierta «x es un número primo mayor que 2» y con q(x) la frase abierta «x esun número impar». Su negación es .

s : "Ix EN, p(x) => q(x)

Demostración. Este teorema es de la forma

Ejemplo 1-15. Todo número natural primo, mayor que 2 es un número impar.

Nota. Cualquier proposición t es equivalente a la proposición (- t) => (r A - r), indepen­diente de lo que pueda ser r. Porque si t es V, - t es F, y como r A - r es F, (- t) => (r A - r)es V; y si tes F, -t es V, y así (-t)=>(rA -r) es F; entonces t y (--t)=>(rA -r) tiene losmismos valores de verdad y, por tanto, son equivalentes. Esto quiere decir que para probarun teorema t por reducción al absurdo se establece la verdad de la proposición (- t) => (r A -r),para alguna proposición r, y como son equivalentes, queda demostrado el teorema t.

LOGleA26

2. P v (- P /\ q).1. (-p v q).Solución

l. No es cierto que ella sea rubia o elegante.2. Ella es rubia o ella no es elegante y rubia.

Problema '.2- Escriba simbólicamente las siguientes proposiciones:Si p quiere decir «ella es rubia» y q «ella es elegante».

2. Si 2 es un número racional, entonces 3/2 no es un número racional.3. 2 no es un número par y 3/2 no es un número racional.4. Si 2 es un número par y 3/2 no es un número racional, entonces 2 es par.

1. Dos es un número par o 3/2 es un número racional.Solución

4. (p 1\ -q) => p.3. -p 1\ -q.2. p => -q.1.. p v q

. P.ro·J)iem~ i;:(~Suponga que pes «2 es un número par» y q es «3/2 es un número racional».Por medio de palabras exprese las siguientes proposiciones:

. PROBLEMAS R·ESUELTOS

1. Paso fundamental: Probar quep(O) es verdadera: 2° $; 21+0, 2°+1 = 2,2° = 1; portanto, 20 $; 21+0.

2. Paso inductivo: Probar que 'l/k[p(k ) => p(k + 1)].Suponga que p(k) es verdadera: 2" $; 2"+ 1 .

Deducir: p{k + 1): 2k+1 $; 2k+2.Como 21 $; 21:+1, 2" . 2 $; 2H 1 • 2 o 2k+1 $; 2k+2 es decir, p(k + 1) es verdadera .

Demostración. p(n): 2" $; 2"+ 1.

Ejemplo 1-17. Mostrar que 'l/n, 2n s 2n+ l.

Si se puede demostrar que el antecedente p(O) 1\ 'o'k[p(k) => p(k + 1)J es verdadera, en-tonces empleando el modus ponens se deduce que 'l/np(n) es verdadera.

Hay dos pasos en la demostración por inducción:1. Paso fundamental: Probar que p(O) es verdadera.2. Paso inductivo: Probar que para todo k[P(k) => p(k + 1)].

p(O) 1\ 'l/k[p(k) => p(k + 1)] => 'rJnp(n)

El razonamiento por recurrencia se puede utilizar para demostrar que, cualquiera que sea elentero natural n, una proposición en la cual intervenga n es verdadera. Para eso es suficienteestablecer que la afirmación es verdadera para el entero cero y que si es verdadera para el en­tero n, entonces es verdadera para el siguiente de ~.

En efecto, la parte A de N que contiene los enteros x para los cuales la proposición es ver­dadera, contiene a cero, y cuando contiene a n, contiene al sucesor de n. Entonces, por el axiomade inducción, A = N.

Simbólicamente, la proposición de inducción es la siguiente:

5. Demostración por recurrencia o inducción

27LOGICA

1.

P q -p -p 1\ q P q P 1\ q

V V F F V V F V F VV F F F V F F V F FF V V V F V V F V VF F V F F F V F F F

Paso 2 1 3

MétoCÚ)1 Método 2

2.

p q -q p=- -q -(p =- -q) p q v= -q)

V V F F v V V V V F F VV F V V F V F F V V V FF V F V F F V F F V F VF F V V F F F F F V V F

Paso 4 1 3 2

Método 1 Método 2

3.

p q pl\q pvq (p 1\ q) =- (p v q)

V V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

3. (p 1\ q) =- (p v q).4. -(p 1\ q) V -(q -ee- p).

1. -p 1\ q.2. -(p ~ -q).

Halle las tablas de los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

Si p es «2 + 2 = 5» y q es <<3 + 3 = 6». Como p es falsa y q verdadera, entoncesp =- q es verdadera, es decir, la proposición es verdadera.

2. Sea p «1 + 1 = 3» y q <<2 + 1 = 3» y sea r «p v q». Como p es falsa y q es verdadera, entoncesp v q, que es r, es verdadera. Como la proposición dada es -r, entonces es falsa.

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:1. Si 2 + 2 = 5, entonces 3 + 3 = 6.2. Es falso que 1 + 1 = 3 o 2 + 1 = 3.

lOGICA28

1.

p q pAq - (p A q) -p -q -p V -q

V V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V

Verifique por medio de tablas de verdad que1. - (p 1\ q) -ee- (- p v - q) (ley de De Morgan).2. -(p V ú= (-p 1\ -q) (ley de De Morgan).3. -(p=>q)<=>P/\ -q.4. - (p <=> q) <=> [p -ee- -qJc::;.[- P -ee- q].

LOGICA 29

p q (p A q) => (p V q)

V V V V V V V V VV F V F F V V V FF V F F V V F V VF F F F F V F F F

Paso 1 2 3 1 2 1

Método 2

4.

P q P A q q~p -(p A q) -(q -ee- p) -(p A q) V -ts=»)V V V V F F FV F F F V V VF V F F V V VF F F V V F V

Método 1

p q -(p A q) V -(q<:>p)

V V F V V V F F V V VV F V V F F V V F F VF V V F F V V V V F FF F V F F F V F F V F

Paso 3 1 2 4 3 2 1

Método 2

Observe que el segundo método es más corto.

1. -(pv -q)<:>(-p/lo - -q)e..(-p/loq).2. -(-p => q).;::.(-p /lo -q).3. -(p /lo -q).;::.(-p V - -q)e.. (-p /lo q).4. -(-p /lo -q).;::.(- -p V - -q)<:::>(P V q).5. -(-p_q)<:>(- -p<:>q)<::>(p.;::.q).6. -(-p= -q).;::.(-p /lo - -q)<:>(-p /lo q).

5. -(-p<=>q).6. -(-p==--q).

3. - (p 1\ -q).4. - (-p 1\ -q).

proposiciones:1. -(p v -q).2. - ( - p => q).

Use las leyes de los Problemas 1~5y 1-6 para simplificar las siguientes

Jt

VF

FV

VF

- -p-pp

p q p<:>q - (P'<:>q) -p -p<:>q -q p<:>-q

V V V F F F F FV F F V F V V VF V F V V V F VF F V F V F V F

.-Verifique que - -p = p.

4.

3.

p q p=q -(p=q) -q P /lo -q

V V V F F FV F F V V VF V V F F FF F V F V F

30 LOGICA

2.

P q pvq -(p v q) -p -q -p /lo -q

V V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V

rO&1tml~:~·.l.o.-Muestre que la operación de disyunción se puede escribir en térmi­nos de las operaciones de conjunción y negación. O sea, p v q -ee- - ( - P /\ - q).

2.

p q r q 1\ r p v (q 1\ r) pvq pvr (p v q) 1\ (q V r)

V V· V V V .V V VV V F F V V V VV F V F V V V VV F F F V V V VF V V V V V V VF V F F F V F FF F V F F F V FF F F F F F F F

'S~I~Fi~n

1.

P q r pl\q (p 1\ q) 1\ r q 1\ r p 1\ (q 1\ r)

V V V V V V VV V F V F F FV F V F F F FV F F F F F FF V V F F V FF V F F F F FF F V F F F' FF F F F F F F

~P~j~hÜj·-~':9'=·_-= •• ~.~' _'_ 1. Verifique la ley asociativa (p /\ q) /\ r <=> p /\ (q /\ r).2. Verifique la ley distributiva p v (q /\ r) -ee- (p V q) /\ (p V r).

¡:¡-r¡~~~.'1:.."':.. -::- ~~!~ol",ci6n....1 Pu (P) ( , I .. , d d . I ti.~'t~,•'. . . • • esto que - v q <=> - p 1\ - qJ, a propOSlClOn a a es eqUlva ente a «e a noes rubia ni elegante».

2. Puesto que - (p -ee- q) -ee- (p <=> -q), la proposición dada es equivalente a «las rosas son ro­jas si, y solamente si, las violetas no son azules».

Simplifique las siguientes proposiciones:No es verdad que ella sea rubia o elegante.No es verda.dque las rosas son rojas si, y solamente si, las violetas son azules.

31lOGICA

Como (p 1\ q) => (p <:> q) es una tautología,.p 1\ q => (p <:> q).

VVVV

VFFV

VFFF

VF.VF

VVFF

(p 1\ q) => (q -ee- r)pl\qqp

La tabla de verdad para (p 1\ q) => (p <:> q) es:

Muestre que p 1\ q implica lógicamente a p -ee- q...... , ~I~ .. ~· i<'"';.1"(~.""'~:::_!...~"!- ~>_: T"":~:~~'. ' •• I : ••t,~~;~ ~~. . ~~.~:..

p => (p 1\ q) no es una tautología; por tanto, 1 es falsa.p => (p v q) es una tautología; por tanto, 2 es verdadera .

,; La siguiente tabla muestra que

p q pl\q P => (p 1\ q) pvq P = (p v q)

V V V V V VV F F F V VF V F V V VF F F V F V

Vea cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:1. p =>P A q. 2. p => p v q.

p q r q 1\ r p= (q 1\ r) p =>'q p=r (p => q) 1\ (p= r)

V V V V V V V VV V F F F V F FV F V F F F V FV F F F F F F FF V V V V V V VF V F F V V V VF F V F V V V VF F F F V V V V

Demuestre que p => (q 1\ r) -ee- [(P => q) A t»= r)J.

p q pvq -p -q -p 1\ -q -(-p 1\ -q)

V V V F F F VV F V F V F VF V V V F F VF F F V V V F

LOGleA32

La operación lógica ¡se llama la negación conjunta de p y q y se lee«ni p ni q». Es verdadera en el caso en 'que p es falsa y q falsa.

Verifique que a) -s=r+», b) p /\ q<»[(P¡p)!(q!q)J;e) p v q <» [(P !q)l (p !q)].

p q (p v q) 1\ - (p 1\ q)

V V V V V F F V V VV F V V F V V V F FF V F V V V V F F VF F F F F F V F F F

Paso 1 2 1 4 3 2 1..Como los valores de verdad de p :::::q y [(p v q) 1\ - (p 1\ q)] son idénticos, p :::::q -ee- [(p v q) 1\

-(p 1\ q)].

2. Considere la siguiente tabla:

p q p:::::_q

V V FV F VF V VF F F

1.

p v q es verdadera si p es verdadera o q es verdadera, pero no sucede tal cosa si tanto pcomo q son verdaderas; entonces las tablas de valores de verdad para p :::::q son: .

..~ 7~._La disyunción exclusiva de dos proposiciones se simboliza por p v qy se lee «p o q, pero no ambas». -

1. Construya la tabla de valores de verdad para p v q.2. Muestre que p v q<=>[(p v q) /\ - (p /\ q)J. Esto-muestra que v se puede escribir

en términos de las operaciones lógicas: v, r«,

Recuerde que p = -q implica lógicamente a p => q si p => q es verdadera cuando p => -q es verda­dera. Pero p => -q es verdadera en el caso de la tabla anterior (línea 2) y en ese caso p => q es falsa.Entonces p -ee- -q no implica lógicamente a p => q.

v VV FF VF F

-q p -ee- -q p=>q

F F VV V FF V VV F V

p q

~!'$.~ .~:;trt~1UciÓD:':;~_ .•,::.; -: Construyendo la tabla para p <=> - q y p =- q

Muestre que p<=> -q no implica lógicamente a p ~ q.

33LOGICA

Es decir, hay 24 = 1~ proposicionesno equivalentesde dos componentes.

Determine el número de proposiciones de dos componentes que noson equivalentes.

La tabla de verdadcontendrá22 = 4 líneas.En cada líneaV y F sepuedenpresentarcomose indica en

P q PI P2 P3 P4 Ps P6 P7 Pe P9 PlO Pl1 PI2 PI3 P14 PIS PI6

V V V V V V V V V V F F F F F F F FV F V V V V F F F ·F V V V V F F F FF V V V F F V V F F V V F F V V F FF F V F V F V F V F V F V F V F V F

p Pl(P) P2(P) P3(P) P4(P)

V V V F FF V F V F

Halle cuatro de tales proposiciones.

~Só~Ci¿_::f,Ob .__ serve.

P -P P v -p P 1\ -p

V F V FF V V F

rQ J ~ ~~ Existen a lo más cuatro proposiciones diferentes, no equiyalentes. Lastablas de verdad de tales proposiciones son las siguientes:

34 LOGICA

~~~.~. Sólucíón1it~ ~_.....

a) b)P -P ,p!p p q pl\q p!p q!q (p J.p)! (qJ. q)

V F F V V V F F VF V V V F F F V F

F V F V F F1 T F F F V V F

e)p q pvq p!q (p J. q) J. (p !q)

v v V F VV F V F VF V V F VF F F V F

La doble flecha muestra que se cumple.

Muestre que p => (q /\ r) -ee- [(p => q) /\ (p => r)J.• ~.~,--f!'!lt;--~, silúfit61l~

.... ~_ ..t .. -....4-

P q r q /\ r p = (q /\ r) p=q p=r (p = q) /\ (p= r)

V V V V V V V VV V F F F V F FY F Y F F F Y FV F F F F F F FF V V V V V V VF V F F V V V VF F V F V V V VF F F F V V V V

(p 1\ q) => (p V q) es una tautología.

p q p /\ q pvq (p /\ q) = (p v q)

V V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

Como el valor de (p /\ q) /\ -(p V q) es F para todos los valores de p y q, esto muestra que es unacontradicción.

:.:"';:'!:.;;:~~-.",!'.":-!"':~~:~'Soh.J~¡6ri...... _ ... O'~

P q P /\ q P V q - (p v q) (p /\ q) /\ -(p V q)

V V V V F FV F F V F FF Y F Y F FF F F F V F

Como en la última columna aparece solamente Y, esto muestra que es una tautología.

p q P /\ q -(p /\ q) P V - (p /\ q)

V V V F VV F F V VF V F y VF F F y V

r;!f;"""'. ~.......... t.

¡~~~,~~,~~!~n.La tabla de verdad es:

Verifique que la proposición p v - (p 1\ q) es una tautología.

35LQGICA

4. Dados E = {2, 4, 6, ... } y F = {1, 3, 5, ... }. ¿son E'Y F cerrados respecto de las operaciones de(1) adición, (2) multiplicación?

SolucÍÓD:(1) La suma de dos números pares es par; por tanto, E es cerrado respecto de la operación adición. La suma

de dos números impares no es impar; luego F no es cerrado respecto de la operación de adición.(2) El producto de dos números pares es par, y el producto de dos números impares es impar; luego ambos E

y F son cerrados respecto de la operación multiplicación.

2. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos R, N y Q'.Solución:

N y Q' son ambos subconjuntos de R. Pero N y Q' no son comparables. Según esto, el diagrama lineal es

R

/\N Q'

3. ¿A cuáles de los conjuntos R, Q, Q', Z, N y P pertenece cada uno de los números siguientes?(1) - 3/4, (2) 13, (3) ~.

Solución:(1) -3/4 eQ, de los números racionales, ya que es la razón de dos enteros -3 y 4. Asimismo, -3/4 e R, ya

que Qe R.(2) 13 f: P, porque los únicos divisores de 13 son 13 y 1. 13 pertenece también a N, Z, Q- y R, pues P es

subconjunto de cada uno de éstos.(3) ¡-::7 no es un número real; así, pues, no pertenece á ninguno de los conjuntos dados.

Solución:(1) Falso. N solo contiene los enteros positivos; -7 es negativo.(2) Cierto. .jino se puede expresar como razón de dos enteros, así que .jí no es racional.(3) Cierto. Z, el conjunto de los enteros, contiene todos los enteros, positivos y negativos.(4) Falso. 3 divide a 9, así que 9 no es primo.(5) Falso. 7tno es racional ni tampoco 37t.(6) Cierto. Los números racionales incluyen a los enteros. Así, -6 = (-6/1).(7) Cierto. il no tiene divisores.exeepto 11 y 1; así que 11 es primo.(8) Falso. t no es entero.(9) Falso.. ~ no es un número real; por tanto, en particular, no es un número irracional.(lO) Cierto. 1 es un número real.(11) Cierto.. .y8 = 2 que es un entero positivo.(12) Falso. j9j4 = 3/2 que es racional.(13) Cierto.vZ consta de los enteros positivos y negativos.(14) Cierto. 7t es real"y también lo es 1[2.

(15) Falso. .¡-::¡ = 2i no es real.

1. Entre lo que sigue, decir qué es verdadero y qué falso.

(1) -7 t: N (6) -6eQ (11) Vs e N(2) V2 t: Q' (7) 11e P (12) V974 E" Q'(3) 4cZ (8) i e Z (13) -2eZ(4) 9 eP (9) v=s t: Q' (14) r.2 e R(5) 311'e Q (10) 1 e R (15) ReR

CONJUNTOS DE NUMEROSEn los problemas siguientes, R, Q, Q', Z, N y P designan, respectivamente, los números reales,

racionales, irracionales, enteros, naturales y primos.

Problemas resueltos

[CAP. 3CONJUNTOS DE NUMEROS36

Recuérdese que a < b significa que a está a la izquierda de b sobre la recta real. De acuerdo con esto,(1) y> 8 o también 8 < y.(2) z < O.(3) -3 < x y x < 7, o más brevemente, -3 < x < 7.(;4) S> w y w > 1, o bien w < S y 1 < w. O también 1 < w < S. No es costumbre escribir S > w> 1.

(3) x está entre -3 y 7.(4) w está entre 5 y 1.

10. Escribir las siguientes relaciones geométricas entre números reales con la notación de las des­igualdades:(1) y está a la derecha de 8.(2) z está a la izquierda de O.SoIuci6a:

(b + e) - (a + e) = b - a

que, por hipótesis, es positivo. Entonces a + e < b + e.

9. Demostrar: Si a < b, entonces a + e < b + c.SoNd6a:

Obsérvese que

(b - a) + (e - b) = e - a­es poSItIVO.As! que, por definición, a < e.

SoIuci6a:Por definición, a < b y b < e significan que e - b es positivo y que b - a también lo es. Como la suma

de dos números positivos es positiva,

8. Demostrar: Si a < b y b < e, es a < c.

(1) 3> -9" (2) -4.> -8, (3) 31> 7, (4) -6 < 3, (5) 31= 9, {6) -;- < v/2.

(5) 32 •••• 9(6) -r..... r./2

(3) 32 •••• 7(4) -5 .... 3

(1) 3 -9(2) -4 -8Soluclóa:

.Se escribe a < b·si b - a es positivo, a > b si b - a es negativo y a = b si b - a = O. Entonces

7. Insertar entre los siguientes pares de números el signo adecuado: < t > o =

6. Valiéndose de la notación, escribir las afirmaciones siguientes:(1) a es menor que b. (4) . a no es menor que b.(2) a no es mayor o igual que b. (5) a és mayor o igual que b.(3) a es menor o igual que b. (6) a no es mayor que b.

SoIuc:i6a:Recuérdese que un trazo vertical u oblicuo que atraviesa un signo indica el significado opuesto del signo.

Se .escribe:

(1) a < b, (2) a ~ b, (3) a ~ b, (4) a 4: b, (6) a?!! b, (6) a:t> b,

DESIGUALDADES :y VALORES ABSOLUTOS

5. De los conjuntos R, Q, Q', Z, N y P, ¿cuáles no son cerrados respecto de las operaciones de(1) adición, (2) 'sustracción?Solud6a:(1) Q' Y P. Por ejemplo, .-.Ji t Q' y.Ji eQ', pero -.Ji + .Ji = Ot Q'; 3 & P Y S e P, pero 3 + S = 8 t P.(2) Q', N y P. Por ejemplo, .Ji & Q', pero .Ji - fi = 'O~Q'; 3 e N y 7 & N, pero 3 - 7 = -4 t N; 7 e P

y 3 .:P, pero 7 - 3 = 4 t P.

37CONJUNTOS. DE NUMEROSCAP. 3]

Siendo p «hace calor» y q «estaba enfermo». Según el Problema 1-32, 1. es una falacia. Según el Pro­blema 1-28, 2. es correcto.

2. p=q, -ql- -p.L p=>q, -pI- -q.

~Sokaol6 IÜI L t' • bóli de Jas arzumentaci~ ~ «, '.;.:!{ti, a iOrtna sun lea e as argumentaciones es:

No hizo calor.No estaba enfermo.

2. Si hace calor, estaré enfermo.No estaba enfermo.

1. Si hace calor, estaré enfermo.No hizo calor.

_- _- ... ;.p.~~f.?'e~~..17;~;:... Verifique la validez del siguiente argumento:

La tabla muestra que cada vez que la hipótesis es verdadera, lo mismo sucede con la conclusión,como se puede apreciar en las filas 1, 3 y 4. Por lo tanto la argumentación es correcta.

p q pvq (PVq) '* q -P -pvq

V V V V F VV F V F O OF V V V V VF F F V V V

..,-... " .i!;~ój~~tpta::. La tabla de verdad correspondiente es:

(p v q) '* q:. - PVq

[ (p v q ) = q ] r-- (-p v q}, ó,

Demuestre que la siguiente argumentación es correcta:

Como la proposición [( - p=q) " p] => - q no es una tautología, la argumentación - p => q,P 1- - qes una falacia.

V VV FF VF F

-p -p => q (-p => q) " p -q [(-p=>q) "p]=>-q

F V V F FF V V V VV V F F VV F F V V

p q

~-~ ..... - .. .:0-

. ~~Ucl~n' La tabla "dé verdad correspondiente a [(-p => q) "p] => -q es

38 LOGICA

-p

que el siguiente razonamiento es correcto:rp =;. -qr=;.qp =;. - q, r =;. q, r 1- - p, o, _ ___;:__

Recuerde que un argumento es válido si la conclusión es verdadera cuando quiera que las premisasson verdaderas. En el caso 1 de la tabla anterior, las premisas p => q y q v r son verdaderas, pero la con­clusión r => -pes falsa; por tanto, el razonamiento es una falacia.

p q r p=>q q v r -p r.=> -p

V V V V V F FV V F V V F VV F V F V F FV F F F F F VF V V V V V VF V F V V V VF F V V V V VF F F V F V V

Si p es «me gusta la topología», q es «yo estudio», r es <<yofracaso». Entonces la formasímbólica de dicho razonamiento es: p => q, q v r f- r => -p.

La tabla de verdad correspondiente es:

"

Si fracaso, entonces no me gustan las matemáticas.

a"" ~~ ..... -:::7" ~ ~

~~~.m,it·;~;~~.:i. Verifique la validez del siguiente razonamiento:Si me gusta la topología, entonces estudiaré.Estudio o fracaso.

Es decir, es una falacia, puesto que en la línea 3, p => q y - p sonverdaderas y -q falsa.

te tabla:

p q p=>q -p (p => q)1\ -p -q [(p => q)1\ -p] => -q

V V V F F F VV F F F F V VF V V V V F FF F V V V V V

Puesto que la proposición [(p => q) 1\ -p] => -q no es una tautología, según la siguien-

-q

'p =;. q-pp =;. q, -pI- - q, o, --''-----

La siguiente argumentación es una falacia:

39LOGICA

2. "Ix p(x) y 3y q(y)?1. "Ixp(X) A 3y q(y).

¿Cuál es la negación de las proposiciones:

1. Falsa. Porque ningún número en A es solución de x + 3 = 10.2. Verdadera. Porque todo número de A satisface la relación x + 3 < ío.3. Verdadera. Porque si Xo = 1, entonces Xo + 3 < 5, es decir, es solución.4. Falsa. Porque si Xo = 5, entonces Xo + 3 '$ 7. En otras palabras, 5 no es solución,Observe que la negación de las proposiciones anteriores es:

1. -(3XEA: x + 3 = lO)<=> VXEA : -(x + 3 = lO)<=> VXEA : x + 3 =F 10.2. - ('Ix E A : x + 3 < 10) -ee- 3x E A : - (x + 3 < 10) -ee- 3x E A : x + 3 z 10.3. - (h E A : x + 3 < 5) -ee- 'Ix E A : - (x + 3 < 5) -ee- 'Ix E A : x + 3 z 5.4. - ('Ix E A : x + 3 ~ 7) <=> 3x E A : - (x,+ 3 ~ 7) <=> 3x E A : x + 3 > 7.

3. 3x E A : x + 3 < 5.4. "Ix EA : x + 3 ~ 7.

1. 3x EA : x + 3 = 10.2. "Ix E A : x + 3 < 10.

Dada.Dada.Contrarreciproca de 2.Ley del silogismo usando 1 y 3.Contrarrecíproca de 4.Dada.Ley de simplificación usando 5 y 6.

RazónProposición

1. p => - q es verdadera.2. r => q es verdadera.3. -q => -r es verdadera.4. p => -r es verdadera.5. r => -p es verdadera.6. r es verdadera.7. Entonces -p es verdadera.

[(p=> -q)" (r=>q) " r]=>p

se encuentra que es una tautología. Por tanto, el razonamiento es correcto.

Método 3

Ahora, p => -q, r => q y r son verdaderas simultáneamente solo en el caso 5, con -p también verdadera;entonces el razonamiento es correcto.

Método 2. Al construir la tabla de verdad correspondiente a la proposición

40 LOGICA

Método 1. La tabla de verdad correspondiente es:

p q r p=> -q r=>q -p

1 V V V F V F2 V V F F V F3 V F V V F F4 V F F V V F5 F V V V V V6 F V F V V V7 F F V V F V8 F F F V V V

-['le> O, 3nQ. 'In (11 > no => Iq.1 < e)] - 3e > O, '1no, 3n - (n > no => Iq.1 < 8)- 38> O, '1no, 3n (n > no 1\ -(!q.1 < 8»<:::> 38> O, '1no, 3n (n > no 1\ !qll! 2:: E)

Niegue la frase.

~e > O, 3no, ~n (n > no => Iq,,1 < e)

La siguiente frase es el enunciado de la definición de que la sucesiónal' a2' ... , tiene un límite.

1. - (3x '1y, p(x, y» -ee- 'Ix 3y - (P(x, y».2. - (l/x '1y, p(x, y» -ee- 3x 3y - (P(x, y».3. -(3x3y'lz, p(x, y, z»<:::>'Ix '1y 3z -(P(x, y, z».4. -[3y 3x (P(x) 1\ -q(y))]..;:. '1y 'Ix -[P(x) " -q(y)] ~ \'y 'Ix [-p(x) v q(y)].

3. 3y 3x ~z p(x, y, z).4. 3y 3x [P(x) r; -q(y)].

1. :Ix, ~y p(x, y).2. ~x ~y p(x, y).

1. Observe que 4 no es primo; entonces 4 sirve como contraejemplo.2. Puesto que 3 es impar, éste sirve como el contraejemplo.

2. ~x EB, x es un número par.1. ~x EB, x es un número primo.

.--=.. !ft".

:\¬ g1iI~~1t:--·Halle un contraejemplo para las siguientes proposiciones, siendoB = {2, 3, ... , 8, 9}:

. !.~___ ,,:QP'Jkl Observe que -(p " ss= -p v -q, por tanto, «es falso que sea de día y que toda lagente se haya levantado».

«No es de día o es falso que toda la gente se haya levantado.»«Es de noche o alguien no se ha levantado.»

Es de día y toda la gente se ha levantado.

Niegue la siguiente proposición:

-('1xp(x) v 3yq(y»..;:. -('1xp(x»" -(3yq(y»<:>3x -(P(x»1" \'y -(q(y»

2. Observe que - (p " q) -ee- - p v - q, entonces:

-(\'xp(x)" 3yq(y»~ -(\'xp(x» v -(3yq(y»~3x -p(x» v \'y -(q(y»)

1. Observe que -(p " q)~ -p v '-q; entonces:

41LOGICA

a) Observe que -Vx Vy lz (x + y = z)«> h -Vy 3z (x + y = z)~ 3x 3y -h (x + y = z)«> 3x 3y Vz (x + y =F z)

b) Observe que - 3y Vx (xy :s; 2) «> Vy - Vx (xy :s; 2)«> Vy 3x -(xy :s; 2)<:> Vy h (xy > 2)

a) Vx Vy 3z (x + y = z) es 3x 3y Vz (x + y 1= z).b) 3y Vx (xy :s; 2) es Vy 3x (xy > 2).e) Vx [P(x) v q(x)] es 3x [ -p(x) 1\ -q(x»).d) Vx 3y [P(x) 1\ y :s; x}] es 3x Vy [ -p(x) v y > x).

Verifique que la negación de:

s, por modus ponens

- h => s, por modus ponens de 1 y 67. -h => s

-h

- h, por modus ponens de 5 y 31. -s => h6. (-$ => h)= (-h => s) es una tautología

i=> _;_h, por modus ponens de 2 y 45. i=-h3.

1. h- s => ~ } premisas2. =>-13. i4. (h => - i) => (i= - h) tautología

~~r'~l1rnl2l_Deduzca S de las premisas - s => h, h => - i, e i.

-p, por modus ponens.

- q => - p, por modus ponens de 2 y 31. -q2. -q=>-p

1. - q } premisas2. »=»3. (p => q) => (-q => -p) tautología

Deduzca -p de las premisas -q y p => q.

LOGICA42

/1 () 12 =1= cjJ => 1: A =1= 1: BSuponga que 11 () /2 =1= (j), es decir, que las dos rectas se cortan en un punto R. Entonces, ReB es un trián­gulo; por consiguiente, 1:e + 1:B + 1:R = 18{f. También los ángulos A y e son suplementarios. En­tonces, 1:e + 1:B + 1:R = ~ A + 1:e, por tanto, 1:B + 1:, R = 1:,A. Recuerde que la medida del ángulode cualquier triángulo es positiva: por tanto, 1:R > O. Entonces, 1:B < ~A o sea que 1:,A =F ~B.

Demostración. La contrarrecíproca de la proposición es:

Figura 1-12

Problema 1-45 Pruebe que p ~ q demostrando su contrarrecíproca -q ~ -p. Elsiguiente teorema es de la geometría euclidiana. Demuestre que 1:A = 1:B => 11 (') /2 = 4>.((') se lee intersección.)

VxVe> O 3ó > O, ° < [x - xol < o=> I/(x} - LI < f.

3x 3e > O Vó > O; O < Ix - xol < a /\ If(x) - LI ~ e3M 'fIx, I/(x) I S; M'fIM ]x, Ij{x)1> M'fIx 'fIe> O 3c5> 0, [x - xol < c5 => I/(x) - /(xo) 1 < e3x 36 > O 'fió > O, Ix - xol < a /\ I/(x) - /(xo)1 ~ c.'fIx E E Ve > O 36 > O Vy E E, Ix - yl < (J =:> li(x) - /(Y)I < e3xeE 36 > O 'fI{)> O 3YEE, Ix - JI < [> /\ I/(x) - ley) ~ eVe > O 30 > O 't/x E E Vy E E, [x - y <'ó => Il(x) - /(y) I < e3e > O Va > o 3x E E 3y E E, Ix - y < a /\ I/(x) - l(y)1 ~ e

1. a)b)

2. a)b)

3. a}b)

.4. a)b)

5. a)b)

{itoblema .1'~44'.:.:.:.<.u,>_ '.' _ .. a) Exprese simbólicamente las siguientes proposiciones. b) Dé enforma simbólica su negación.

1. Una funciónftiene un limite Len Xo si, y solamente si, para todo x y para todo e > 0,existe un fJ > O tal que lf(x) - LI < e cuando O < [x - xol < 6.

2. Una función fes acotada si, y solamente si, existe M tal que para todo x, V(x) I ~ M.3. Una funciónfes continua en Xo si, y solamente si, para todo x y para todo e > Oexiste

Ó > O tal que si Ix - xol < Ó, entonces V(x) - !(xo)1 < e.4. Una función! es continua sobre un conjunto E si, y solamente si, para cualquier x

en E y para todo e > °existe b > Otal que V(x) - f(y)1 < e cuando y está en E y Ix - yl < b.5. Una función f es uniformemente continua sobre un conjunto E si, y solamente si,

para todo e > Oexiste un b > Otal que If(x) - f(y)1 < e cuando x y y están en Ey [x - yl < Ó.

e) Observe que - Vx [P(x) v q(X)] <:> 3x - [P(x) v q(x»- 3x [ -p(x) /\ -q(x)]por la tautología -(p v q)<:>(-p /\ -q)

d) Observe que - Vx 3y [P(x) /\ y S; x J .;:> 3x "'y - [p(x) /\ y S; x]_ 3x 'fIy [ -p(x) v y> x]por la tautología -(p /\ q).;:> (-p v -q)

43LOGICA

Demostración. La parte p => q se demuestra en el Problema 1-46. La parte -p => - q es decir, a no espar (impar) =>a2 no es par (impar). Suponga que a es un entero impar. Entonces, a = 2k + 1 para un en­tero k, por tanto, a2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. Entonces, a2 es un entero impar.

Para demostrar- una proposición del tipo p <::> q se puede demostrarque p => q y que -q => -p. Demuestre que a2 es par si, y solamente si, a es par.

Por consiguiente, a + b = -p y ah = q (complete los detalles de las operaciones).b} (Necesidad.)Sia + b = -pyah = q,entoncesaybson las raíces de la ecuación X2 + px + q = O.Suponga que a + b = -p y ah = q. Entonces, a + b = -p implica que b = -p - a y, por tanto,

(-p - a)a = -pa - a2 = q. Entonces, a2 + pa + q = O; por tanto, a es una raíz de la ecuaciónxl + px + q = O.

-p + Jp2 - 4qa = --='--~2-=---..:.

. -p - Jp2 - 4qb = ---'-2---y

que:

Demostración. a} (Suficiencia.) Si a y b son las raíces de la ecuación X2 + px +q= O,entonces a + b = -py ab = q.

Supongamos que a y b son raíces de la ecuación. Entonces, empleando la fórmula cuadrática, sabemos

Para demostrar una proposición del tipo p <::> q primero se demuestraque p => q y después que q => p. Demuestre que los números reales a y b son raíces de la ecuaciónX2 + px + q = O si, y solamente si, a + b = -p y ab = q.

a) (p => (q " r)] ~ [(P =>q) " (p:;> r)]b} [(p => q) => (s => r)] -ee- [(p => q) " s) => r]

a) Los mat.emáticos frecuentemente demuestran proposiciones del si­guiente tipo: p => lq /\ r), demostrando que (p => q.) y (p => r). Halle una tautología que jus­tifique esto.

b). Se demuestran proposiciones del tipo (p => q) => (s => r), demostrando que[(p => q) 1\ s] => r. Dé la tautología que justifica esto.

Demostración. La contrarreciproca es: a =F O=> le > O (Ial ~ e). Ahora, a =F O=> lal > O, según la de­finición de valor absoluto. Por tanto, existe un e > O tal que lal ~ e, es decir, e = lal:

[Ve> O (Ial < 8)] => a = O

Demuestre la siguiente proposición empleando la' contrarrecíproca.

Demostración. La contrarrecíproca de la proposición es: Si a es un entero impar, entonces a2 es un ente­ro impar. Suponga que a es un entero impar. Entonces a = 2k + 1 para algún entero k; por consiguiente,a2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. Entonces a2 es un entero impar.

Demuestre la: siguiente proposición empleando la contrarrecíproca.Si a2 es un entero par, entonces a es un entero par.

lOGICA44

Demos/ración. Si x es un número real, entonces x > O v x < O v x = O.Caso 1. x> O=:> Ixl = x por definición. x> O = -x < O=> I-xl = - (-x) = x, por definición.

Por tanto, 1-xl = x.Caso 2. x < O = Ixl = - x. x < O= - x > O = 1-xl = -x. Por tanto, 1-xl = x.Caso 3. x = 0= -x = O. => I-xl = 0= x. Por tanto, I-xl = x.

(Prueba por casos.) Si x es un número real, entonces 1-xl = x.

Demostración. Si x es unnúmero real, entonces x ~ O v x < O. Pruebe que (x ~ O v x < O) :=> Ixl ~ O.Caso J. x ~ O. Si x ~ O, entonces, por definición, Ixl = x; por tanto, Ixl ~ O.Caso 2. x < O. Si x < O, entonces, por definición, Ixl = - x. Por propiedades de las desigualdades

si x < O, entonces - x > O; por tanto, Ixl > O.

(prueba por casos.) Demuestre que si.x es un número real, entoncesIxl ~ O.Recuerde que Ixl = x cuando x ~ Oy Ixl = -x cuando x < O.

Demostración. Para demostrar una proposición del tipo (p v r) => q, esta demostración utiliza la tau-tología [(p => q) 1\ (r => q)] = [(p v r) => q]. .

La demostración se obtiene probando que el antecedente (p => q) 1\ (r =:> q). es verdadero. Por tanto,p =:> q y r =:> q quedan demostrados.

Caso J. Pruebe que a = O=:> ab = O.Suponga que a = O. Entonces, ah = O. b = O por el teorema O' b = O.Caso 2. Pruebe que b = O =:> ah = O.La demostración es análoga al caso l.

~Ti~:!~ (prueba por casos.) Demuestre que (a = Ov b = O)=> ab = O.

Demostración. Hay que mostrar que existe un elemento del conjunto universal para el cual la proposi­ción es verdadera.

En efecto, la función f(x) = Ixl es una función que es continua, pero no diferenciable.

3f([ continua A f no es diferenciable)

Demuestre una proposición del tipo 3x p(x). Pruebe que

'r/f(j es diferenciable => f es continua)

hemos demostrado que

ef es diferenciable => f es continua»

Vea la demostración de este .hecho en un libro de cálculo. Una vez que se ha demostrado que

«f es diferenciable => f es continua»

Demostración. Para demostrar la proposición, sea f una función arbitraria y demuestre que

't/f([ es diferenciable => f es continua)

i!ffBi~iifi~i{;~~r~ii~.tt."'t¡ga;J:.f(:m,¡.:.i;l;-:.,.~;.:"il! Demuestre una proposición del tipo 't/xp(x). Considere la proposición:

45LOGICA

a) Existencia. Pruebe que 3x p(x), con p(x) : 'rIy, x + y = y + x.Como 'rIy, O+ y = y + O= y, esto prueba que existe un x, es decir, O.b) Unicidad. Pruebe 'rIx 'rIz, [P(x) A pez}] :::;.X = z.

Demostración. En este tipo de demostraciones hay dos partes:a) Existencia. Pruebe que existe un .x tal que p(x) es verdadera.b) Unicidad. Pruebe que si hay dos elementos x y ~ tales que p(xr y pez) son verdaderas, en­

tonces x = z.

Jos números

Demostración. a) Para obtener la contradicción, suponga que x =1= O A Y =F O A xy = O.Entonces X-l. (xy) = [x : x-t)y = 1 . y = y por los axiomas de los números reales. También como

xy = O,X-l. (xy) = X-l. 0= O.Por consiguiente, y = O.Pero se supuso que y j. O.Lo cual da una con­tradicción.

b) Para obtener una contradicción, suponga que 3x> O,¡;2: Jx+I.Entonces x = Jx .Jx 2: Jx .Jx+I por una propiedad de las desigualdades, porque Jx > O

2:Fx+l. Fx+l por hipótesis=x+l

Por consiguiente, x ~ x + 1, que contradice el hecho de que x < x + 1.

. ~,~ ~~ ;.~ bJJlji_a...~~ Demuestre por contradicción: a) (x f OA Y =1= O)=>xy =1= O.b) Para todo

x > O, Jx < Jx+1.

Demostración. La proposición es de la forma (p A q) =>r, siendo p : x es racional; q : )' es irracional;r : x + y es irracional.

Para obtener una contradicción, suponga que -[(p A q)=> r] o (p A q) A -r r, Es decir, supongaque x es racional; y es irracional y x + y no es irracional, es decir, racional.

Como X.y x + y son racionales, x = ajb y x + y = c/d (a, b, e, d números enteros). Entonces (x + y)-x = c/d - afb = (eb - da)/dh. Como ah - da Y db son números enteros, (x + y) - x es un númeroracional.

Pero (x + y) - x = y, y, por tanto, y es racional. Es decir, -q :es falso que y sea irracional. Hemosobtenido la contradicción q A -q. Por consiguiente, hemos demostrado que (p A q) => r es verdadero.

f!:ito~lé~;·::'·.57. 'L....l:.,. .... _.....~ _ ....t<i_" Pruebe por contradicción que si x es un número racional y y es unnúmero irracional, entonces x + y es irracional.

Para la contradicción suponga que la negación, x =1= O A x" I = O es verdadera.Por un axioma de los números reales x· x-1 = 1. También empleando x-¡ = Oy el teorema X·-O = O

se obtiene x . x-¡ = x . O= O. Entonces 1 = O.Así hemos obtenido la contradicción 1 =1= O A 1 = O. Por tanto, x =F O=>x-1 =1= O.

[ -p A (r ti -r)] =>p

Demostración. Recuerde que la demostración por contradicción de una proposición p es una demostra­ción que supone que -p es verdadera y se obtiene una proposición de la forma r A -r, siendo r cualquierproposición que incluya a p, un axioma, o cualquier teorema demostrado de antemano. Este razonamientoestá justificado por la tautología

Demuestre por contradicción que x i- O=> x-¡ =1= O.

LOGICA46

21. Dibujar los circuitos correspondientes a las expresiones simbólicas:a) (p A q) v-p.b) (p A -q) V (-p 1\ q).

20. Escribir las siguientes equivalencias en la forma «condición necesaria y suficiente».a) Dos rectas son paralelas si, y solamente si, están a igual distancia en todos sus puntos.b) Un entero es par si, y solamente si, es divisible por 2.e) Todo triángulo es equilátero si, y solamente si, es equiángulo.

19. Escribir las implicaciones del problema anterior usando la frase «solo si».

18. Escribir la implicación dada usando la forma «condición necesaria».a) Si un triángulo está circunscrito en un semicirculo, entonces es rectángulo.b) Si x = 3, entonces X2 = 9.e) Si un triángulo es equiángulo, entonces es equilátero.

17. Escribir la implicación dada usando la forma «condición suficiente».. a) Si los ángulos de la base de un triángulo son iguales, el triángulo es isósceles.b) Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, son paralelas.e) Si ex = O, entonces x = O.

16. Establecer cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones.a) Mañana será martes.b) 5 = 3 + 2 y 3 = 4 - 1.e) Un triángulo es isósceles.

15. La negación de una condicional (o implicación) es equivalente a la conjunción de su antecedentey a la negación de su consecuente.

14. Cuando ABCD es un cuadrilátero, entonces la condición necesaria para que sea un cuadrado es quesea un rectángulo.

13. Si p y q son enteros y q =1= 0, entonces p/q es un número racional.

12. Si a es perpendicular o e o b es perpendicular a e, entonces a es paralela abo a no es para­lela a b.

11. y es un paralelogramo o y es un rectángulo.

10. No es el caso de que todas las rosas sean rojas y todas las violetas azules.

9. y no es un isósceles o y tiene dos ángulos iguales.

8. x es un número real y complejo, pero no irracional.

Utilizando las proposiciones p, q, r.... , escribir en notacióo simbólica las siguientes proposiciones:

EJERCICIOS PROPUESTOS

Entonces, x + ::= ::+ x = z y :: + x = x + z = x. Por consiguiente, x = z.

'r/y, t+y=y+ z=y

y

'rIy, x + y = y + x = y

Sean x y )' números arbitrarios y suponga que p(x) A pez) es verdadera. Entonces,

47LOGICA

Ley del Modus Tollens.

Ley de la conmutación.

Leyes distributivas.

Ley de la contradicción.Reducción al absurdo.Ley transitiva.

Leyes asociativas

Leyes conmutativas.

Ley de la doble negación.Ley de la contrarrecíproca.

Leyes de De Morgan.

Ley del absurdo.

Ley del medio excluido.Ley de separación o modus ponendo ponens.Leyes de simplificación.Ley de adición.Prueba por casos.

a) p v -pb) [p " (p => q)] => qe) (p " q) => p; (p " q) => qd) p = (p v q)e) [(p => q) " (r = q)] e> [(p V r) => q]f} [(p v q) " -p] => q

1~) [(p = q) " (p => -q)] => -ph) (p"-p)=>qi) p - - - p (negación de p).j) (p=q)<::> (-q= -p)k) -(p" q)<::>(-p V -q) }-(pvq)<::>(-p" -q)1) (p " q) <.:> (q " p) 1(p v q)_(q v p)11) [p " (q " r» -ee- [(P " q) /\ r)] }[p v (q v r)] -ee- [(P V (1) v r)]m) «(p /\ (q V r»=-(p" q) v ip »; r) }

«P v {q /\ r»e> «P v q) " (p v r»n) -(p" -p)o) [(P /\ -q) => (r " -r)] e> (p =- q)p) «P => q) /\ (q =- r» => (p => r)q) (p=>a V b)<::>{-b= (p=>a))r) (p => (q::> r» ¿ (p " q =- r)s) v= q) /\ (p = r) -ee (p => q " r)t) p " q => (p => q)u) [(r v s) " (r => s) " (s => e)] => su) [q ,,(-p '* q) ] '* q

26. A continuación se da una lista de tautologías. algunas con sus nombres. Verifique que cada una esuna tautología.

25. Usando la fórmula p => q. muestre que (p => q) e> (-p V q).

24. Suponga que p, q, r son tres proposiciones que tienen por valor de verdad V, V y F, respectivamen­te. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición - (p v q) " (q => r)?

.n q-=(-pvq).g) p =- -le¡ " r).h) (p=-(q=-r»-=(p"q=>r).i) (p => a v 6) e> (p =- a) v (p => b).j) - (p " b) -= (p => -b).

o) ip »; -q).b) (p v p).e) tp »; q) =- r.ti) (r v s) " - (r '" s).e) -(p"q)vr.

23. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

Figura 1-13

._¿}- _/---C~'_¿J--G.~ ~~}-

22. Escribir las expresiones simbólicas correspondientes a los circuitos de la Figura 1-13 y construir lascorrespondientes tablas de verdad .

48 LOGICA

Indicación. Se puede determinar la profesión de cirujano, dentista o farmacéutico, de cada uno delos hermanos Andrés, Bernardo y Carlos, según la siguiente correspondencia: «Si Andrés es cirujano,entonces Bernardo es dentista.»

35. Tres personas, A, B y C, dicen lo siguiente:A: Yo tengo 22 años, y dos menos que B y uno más que C.B: No soy el más joven, C y yo tenemos tres años de diferencia. C tiene 25 años.C: Yo soy más joven que A. A tiene 23 años. B tiene tres años más que A.Detenuine la edad de cada una de las personas sabiendo que únicamente una de las afirmaciones quehace cada persona es falsa.

36. Los caníbales de una tribu se preparan para comerse un misionero. Le proponen que decida su suer­te haciendo una declaración corta. Si es verdadera, será asado; si es falsa, lo cocinarán. ¿Con cuáldeclaración el misionero les puede imponer una tercera solución? (El tercero excluido, a priori, en lalógica caníbal.) Resp.: Si el misionero declara que será cocinado ...

37. Una prisión está dotada de dos puertas: una conduce a la libertad y otra a la muerte; en cada puer­ta hay un guardián que conoce la función de las dos puertas; cada guardián puede responder única­mente sí o DO; uno de los dos da siempre una respuesta verdadera, el otro siempre una respuesta falsa.El prisionero ignora cuál dice la verdad y cuál miente. Le puede hacer una, y solo una, pregunta a unode los guardianes. ¿Qué pregunta debe hacer para poder detenuinar la puerta que conduce a la libertad?

Resp.: El prisionero puede obtener una respuesta falsa, pidiendo a uno de los guardianes la respues­ta del otro.

34. A cada uno de los tres elementos, A, B Y C, se le debe asociar una, y solo una, de las trespropiedades e, d, p. Determine la propiedad asociada a cada elemento, sabiendo que:1. A(e) =>B(d).2. A(d) => B(P).3. B( -e) => C(d).4. C(P) => A(d).

33. Niegue las proposiciones:a) «r v S)A (J.h) «r A s) v r ).

( r => t).;:;. (s => t)('t=> r)=-(t => s)

32. Si (r =- S ) es verdadera. verifique que las siguientes proposiciones son verdaderas:

28. Sea p(x} = «x es par» y q(x) = <<X divide a 44», x toma valores en los naturales. Traslade las siguien­tes proposiciones simbólicas a frases:

a) 3x, p(x) A q(x).h) Vx, p(x) => q(x).e) 3x, - (P(x) A q(x».d) Vx, p(x) v p(x).e) 3x, (P(x) => q(x)) v (- p(x) A - q(x».

29. Pase a lenguaje simbólico las siguientes frases, definiendo las fórmulas y el conjunto donde cambiala variable. (Algunas proposiciones son verdaderas y otras falsas.)a} Todos tos números racionales son reales.h) Algunos enteros positivos son números primos.e) Todo entero es positivo o negativo.d) Los números irracionales no son nunca primos.e) Existen enteros pares que no son negativos.

30. Muestre que la negación de (Vx); (x€A => xeñ) es (3x): (xEAA.7CrjB)

31. Mostrar que si las implicaciones (pr; -q) => q, y, (pr.q¡ => -q, son verdaderas, entonces p es falsa.

27. Suponga que p => q es una tautología y p tiene por valor de verdad V. ¿Qué se puede decir con res­pecto al valor de verdad de q?

49LOGICA

n (n+1) (2n+1)6

b) 1+3+5+ ... + (2n-1) =n2

n (n+l)a) 1+2+3+' _. + n =--'---

2

43. Demostrar por inducción que para todo entero n ~ 1:

Resp.: V F V V F.

Resp.: Válidos a, b, e, d.

40. Dé una demostración indirecta de la siguiente proposición:

a) Si X2 es impar =- x es impar (x un entero).b) Si p v q y =q, entonces p.e) Si p -ee- q y p= -r y r, entonces -p.

41. Escribir el siguiente razonamiento en forma simbólica y compruebe su validez: «Mi padre me alabasi yo estoy orgulloso de mí mismo. O me va bien en deportes o no puedo estar orgulloso.de mi mismo.Si estudio bastante, entonces no me va bien en deportes. Por tanto, si mi padre me alaba, entoncesno estudio bastan te.»

42. Un estudiante tenia que presentar un test de cinco preguntas. Sabe que su instructor siempre hace máspreguntas verdaderas que falsas, y que nunca se presentan tres preguntas seguidas en una fila conlas mismas respuestas. Por la naturaleza de la primera y última preguntas sabe que son respuestasopuestas. La única pregunta que sabe contestar es la número dos, que es falsa. Esto le asegura decontestar todas las preguntas correctamente. ¿Cuál es la respuesta a las cinco preguntas?

a) p=q b) pvq e) p 1\ q d) p=qP -p -p= q -p=- -r

q q -q r=>p

e) p=q f) p<=>q g) p=-q-r= -q q v r -p => -q

-r p 1\ -r-r= -p _--

-p s

38. Para escoger un ministro entre tres candidatos, A, B y e, un rey los somete a una prueba: sobre lacabeza de cada uno de ellos se coloca una bola, que no ven, pero sí ven la bola situada sobre la ca­beza de los demás. Los candidatos saben que las bolas se escogen entre cinco: tres negras y dos blancas;el primero que diga el color de la bola que tiene sobre su cabeza será ministro; si se equivoca, le cor­tan la cabeza. Uno de ellos, A, que_ve una bola negra sobre la cabeza de los otros dos, afirma conseguridad, viendo que los otros no dicen nada: «yo tengo una bola negra». Explique su razonamiento.

Resp.: A se dice: «si yo tengo una bola blanca, B se dirá: "si yo tengo una bola blanca, e ve dos bo­las blancas y entonces e puede afirmar: 'yo tengo una bola negra"'. e no dice nada, esa hipótesis hayque rechazarla, entonces yo tengo una boja negra.» B no dice nada ..., es decir: A construye una teoría T'formada por el enunciado T y el axioma: yo tengo una bola blanca; se supone entonces que B cons­truye Lateoría TU formada por T' y el nuevo axioma: yo, B, tengo una bola blanca ...

39. ¿Cuáles de los siguientes razonamientos son correctos?

50 LOGICA

se simboliza por a EE Y se lee «a pertenece a E». .La negación de a E E se simboliza por a;' E y se lee «a no pertenece a E».

61

a es elemento de E

La idea de conjunto es una idea primitiva y, por tanto, no es susceptible de definición. Pro­viene de las nociones corrientes que se tienen de conjunto, colección, agrupación de objetoscualesquiera. La teoría de conjuntos es una teoría de la-relación de pertenencia. Las ideas pri­mitivas son: elemento, conjunto y relación de pertenencia.

Un conjunto E está compuesto de objetos, llamados elementos de E.

La relación de pertenencia y el concepto de conjunto

En este capítulo se introducen los conceptos más simples de la teoría de conjuntos, puesto quepermiten, de una parte, clarificar y simplificar el lenguaje matemático y, por otra, 'aclarar lasmaneras de razonar que se emplean, ya que el lenguaje 'matemático debe ser claro y preciso.

Los signos que se introdujeron en el capítulo anterior son de naturaleza puramente lógica:su función es «formalizar» las maneras de razonar.

Ahora se van a introducir los símbolos fundamentales (=, E) que permiten construir re­laciones y objetos con significado matemático. El signo = se utiliza para formar relaciones,como se indica a continuación:

Si a y b son objetos matemáticos (o conjuntos) se obtiene la relación a = b. Si la relaciónes verdadera, significa que los objetos son idénticos.

El siguiente enunciado resume las «reglas de juego» que se deben tener en cuenta paraemplear correctamente el signo de igualdad.

a) La relación x = x es verdadera para todo x.b) Las relaciones x = y y y = x son equivalentes para todo x y y.e) Las relaciones x == y y y = z implican la relación x = z para todo x, y y z.d) Si u y v son objetos matemáticos tales que u = v YR(x). una relación que contiene la

letra x, entonces las relaciones R(v) y R(u), que se deducen de R remplazando x por u y v, res­pectivamente, son equivalentes.

En la práctica se utiliza constantemente este axioma sin hacer referencia a él en formaexplícita.

Conjuntos, Operacionesentre conjuntos

CAPITULO

La igualdad A = B traduce la equivalencia.lógica (P) <;:> (q). .Suponga que A = B Y sea x tal que p(x). Si x pertenece a A,. entonces x pertenece

a B: por tanto, q(x); por consiguiente, (P) => (q). De la misma manera se muestra que(q) => (P).

A = {x : p(x)},

Este concepto corresponde a la noción común de identidad,Sean A y B dos conjuntos definidos por comprensión: A el conjunto de los elementos

que satisfacen la propiedad (p); B el conjunto de los elementos que satisfacen la propie-dad (q), .

B = {y :-q(y)}

E = R -ee- [(x E E) <;:> (x E F»

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos

Igua~dad de dos conjuntos

Ejemplo 2-1. p(x) representa la fórmula «x es un entero positivo menor que 5».

Si remplazamos por x los enteros positivos, se encuentra que el conjunto {l, 2, 3, 4} haceque la proposición considerada sea verdadera y falsa para los demás valores. Este conjunto,que hace a la fórmula verdadera, se llama conjunto solución.

Nota. La definición de igualdad de conjuntos que se dará más adelante se toma como elaxioma que rige el empleo Gel símbolo E. .

Un conjunto se puede definir de dos maneras:Primera. Cuando se dan en forma explícita sus elementos, se dice que el conjunto se de-

finió por extension, En este caso se escriben sus elementos entre dos llaves.'Por ejemplo, E = {O, 3.7.9, II}.El conjunto formado por un solo elemento se escribe {a}. Se tiene a E {a}.Segunda. Cuando se da un criterio de pertenencia que permita decidir si un elemento

.pertenece o no al conjunto considerado. En este caso se dice que el conjunto se definió porcomprensión.

Se escribe E = {x: p(x)} y se lee «el conjunto E está formado por los elementos x que ve­rifican la propiedad (P)>>.

Por ejemplo, E es el conjunto de los números primos.

Determinación de un conjunto

Los elementos de un conjunto se representanpor diagramas de Venn cuando los de­talles descriptivos de sus elementos no se tienen en cuenta.

Se utilizan letras mayúsculas para representar los conjuntos y minúsculas para designarsus elementos, y sus elementos se escriben entre dos llaves.

Los conjuntos más usados en este texto son:N = {O, 1,2,3,4, , .. }. Los números naturales.N+ = {l, 2,3,4, ... }.Z = {... , -2, -1,0,1,2,3, ' , .}. Los números enteros.Z+ = {l, 2, 3, ... }.Z- = {-l, -2, -3, }..Q = {O, ±t, +!, 2, }. Los números racionales.R = {... , ±2, 1, 1/2, Js, ... }.Los reales.C = {a + bi, con a y b reales}. Los números complejos.

CON,JUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS52

La Figura 2-1 ilustra ese hecho.

F e E <=> (si x E F => X E E)

Definición. Se dice que un conjunto F está incluido en un conjunto E cuando todo elementode F pertenece a E.

A partir del signo E se introduce la abreviación que se nota por e y se llama signo de inclusión.

Inclusión

Sea E(P) = K = {X, xrtX}, es decir, que E(p) es el conjunto de los conjuntos que no son ele­mentos de sí mismos.

¿Se debe escribir K E K o K rt K?Si K E K, entonces por definición de K, K tt K.Si K rt K, entonces por definición de K, K E K.En los dos casos haycontradicción. Se evita eliminando el concepto de conjunto de todos los

conjuntos, lo mismo que la relación X E X: un objeto matemático no puede ser a la vez unconjunto y a la vez elemento de ese conjunto.

En contraste con las parejas ordenadas (a, b), en las que se tiene en cuenta el orden,{a, a} = {a} porque a = a y un conjunto está determinado por sus elementos. La distinciónque se hace entre {a} y a es fundamental, porque de lo contrario violaría la norma que en lavida corriente se hace cuando decimos: «si en la universidad hay un estudiante que estudia"ruso", es necesario distinguir entre ese alumno y la clase de "ruso" que contiene a ese únicoalumno».

Es conveniente considerar el conjunto que no contiene elementos; se llama conjunto vacíoy se simboliza por 4> o { }.

Además {{ }} = {4>} =f.. 4>.Cualquiera que sea a, a fI <p es verdadera y a E 4> es falsa.El conjunto {x : x es entero y 2x = S} = 4>.

[X, (p)] -ee- (X rt X)

Los matemáticos se han visto obligados a excluir algunos conceptos, en particular el conjuntode todos los conjuntos que conduce a contradicciones o antinomias. La siguiente paradoja sedebe a Russell:

Si el conjunto de todos los conjuntos existe, sea E.Entonces, cualquiera sea el conjunto X, X E E y en panicular E E E.Para los conjuntos X, considere la siguiente propiedad (p):

Antinomias

La igualdad entre conjuntos cumple las reglas impuestas al concepto de igualdad (=). Los con­juntos son objetos matemáticos y pueden a su vez ser elementos de un conjunto.

Un conjunto F cuyos elementos son conjuntos se llama familia o clase.

Conjunto de conjuntos

Ejemplo 2-2. Sea A = {O, 2. 4, 6, 8, ... l y B el conjunto de los naturales divisibles por 2.Entonces A = B.

Suponga que (p) <=> (q) y sea x elemento de A. Entonces p(x); esto implica que x es ele­mento de B. De la misma manera se demuestra que todo elemento de B es elemento de A.

Las propiedades (P) y (q) se llaman propiedades coracteristicas de los conjuntos A (o B).

53CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Nota 3. La igualdad de dos conjuntos es la conjunción de las dos inclusiones E e F y F e E.Para demostrarla, se deben mostrar las dos inclusiones. Se empieza con un x en E y se mues­tra que x E F; esto muestra que E e F. Si se toma un elemento arbitrario y E F Yse muestraque y E F, entonces Fe E. De los resultados E e F y F e E se concluye que E = F.

Nota 2. Para demostrar la negación E <t F es suficiente probar la existencia de por lo menosun elemento de E que f!.o pertenece a F.

Nota 1. Para mostrar la inclusión E e F,es suficiente mostrar que todo elemento de E eselemento de F.

(ser múltiplo de 6) => (ser múltiplo de 3)

Ejemplo 2-4. Sea E el conjunto de los enteros múltiplos de 6 y F el conjunte de los en­teros múltiplos de 3.

La inclusión E e F equivale a:

La implicación (P) =!> (q) dice que si x es elemento de E, es decir, si x verifica la pro­piedad (P), entonces x tiene la propiedad (q), y x es elemento de F.

Por consiguiente, (P) =!> (q) implica la inclusión E e F.La inclusión E e F equivale a la implicación (P) =!> (q).

(p)=!> (q)

La implicación E =F dice que si x verifica la propiedad (p), es decir, x es elemento deE, entonces x es elemento de F, y x posee la propiedad (q). Por consiguiente, E e F implicaque:

Si E Y F son dos conjuntos definidos por comprensión por las propiedades (P) y (q),E = {x: p(x)}, F = {y: p(y)}.

Inclusión de conjuntos e implicación lógica

Ejemplo 2-3. Si E es el conjunto de los enteros y F el de los pares, se tiene que Fe E.

Las diferentes maneras de leer la fórmula son: «F está incluido en E» o «F es un subcon­junto de E».

Si F e E y E =1= F se dice que la inclusión es estricta y que F es un subconjunto propio de E.Cuando existe un elemento de F que no pertenece a E se dice que no está incluido en E y

se escribe Fct E. .

Figura 2-'

FCE

CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS54

Figura 2-2

La Figura 2-2 ilustra esta definición.

Ejemplo 2-5. Si E = {1, 2, 3} Y A = {l, 2} ~ CEA = {3}.

Definición. Dado un subconjunto A de E, se llama complemento de A con relación a E, alconjunto de los elementos de E que no pertenecen a A.

CEA = {x : x ~ A Á X E E}También se simboliza por AC o CA o A' o A cuando no se preste a confusión.

Complementario de un subconjunto

3 .. Partiendo de un esquema, dibuje los conjuntos

A e B; A e B y A =F B; A ([_B; A e 8 y B ([_A; A « B y B a: A

1. Construya conjuntos A y B para los cuales A e B: A =i= B; A :::> B.

2. En el conjunto universal Z de los enteros, halle el conjunto solución de las siguientes frases abiertas:

a) X2 + x = x(x + 1).b) X2 + X + 1 = O.e) 2x - 3 = 7.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Demostracíán. 1. Suponga que existe un conjunto E tal que <p ([_ E. Esto quiere decir queexiste un elemento en <p que no es elemento de E. Como no hay elementos en <p, entonces <p e Ees verdadera. -

2. La relación x E E implica la relación x E E, entonces E e E.3. E e F y F e E ~ E = F. E e F significa que para todo XE E se tiene x E F. F e E

significa que para todo x E F se tiene x E E; por tanto, los dos conjuntos son el mismo.-4. La relación x E E ~ x E F implica la relación x E G. Por tanto, la primera relación

implica la última (según la inferencia tautológica).Además <p es único.En efecto, suponga que existe otro conjunto vacío (); como () no tiene elementos por la

propiedad 1, ()e E, para todo conjunto E, así como <p e E.En particular e ~ <p y como sabemos que <p ~ e, porque-e es un conjunto, entonces O = <p.

Propiedades de la inclusión1. Cualquiera que sea el conjunto E : <p e E.2. E e E, para cualquier conjunto E. Reflexiva.3. (Ee F y F e E) ~ E = F. Antisimétrica.4. (E ~ F y F ~ G) ~ E e G. Transitiva.

55CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

CP(E) = {A : A ~ E}

Se admite el siguiente axioma: Si se consideran todos los subconjuntos de un conjunto E, ellosdan origen a un nuevo conjunto, que se llama conjunto de partes de E.

E

I Conjunto de partes de un conjunto

Figura 2-3

EE

La Figura 2-3 ilustra este hecho.

[(p) =>(q)] <=> [( -q) => (-p)]

Fsto es la traducción de la equivalencia lógica

En efecto, si CEA = CEB, entonces CE(CEA) = CE(CEB) => A = B.3. Si A e B, entonces el complementario de B está incluido en el complementario de A

(con relación al mismo conjunto E).En efecto, si x E CEB => x (= B; A e B y x rf= B, implica que x fj A. (Contrarredproco de

(x E A) => (x E B)}; entonces x E CEA,. .

Iiropiedades. Para todo conjunto E:1. CEE = <P y CE<P = E.2. Dos conjuntos que tienen el mismo complementario con relación al mismo conjunto

son iguales

Por tanto, CE(CEA) = A que equivale a [-(-p)<:> (P)J.. Se dice que A y CEA son complementarios.

{si x E A => x rf= CEA, entonces x ECE{CEA)si x ECE(CEA) => x rf= CEA, entonces x E A

A = {x : p(x)}'; CEA = {y : -p(y)}

Para toda parte A de E

En un referencial E, ser elemento de' una parte A de E es poseer la propiedad (P); ser ele­mento del complemento CA significano poseer la propiedad (p), esdecir, tiene lapropiedad (- p).

Complementario y negación lógica

CONJUNTO.S. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS56

4. Determine todos los elementos de CP(E) si E = {l, 2, 3, 4}.5. Determine CP(E) y <J>(<J>(E» para un conjunto E con dos elementos.

6. Determine <J>(E), <J>(<J>(E», <J>(<J>{<P(E») para un conjunto con un elemento.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio. Repetir el ejercicio de la Figura 2-4 para el caso en que E se descomponga en tres,cuatro y cinco subconjuntos respectivamente.

Figura 2-4

É, (1É2 E, (1E2 E, VE2

~ ~

E, VEz El fj. E2

E

El diagrama en bandera de un conjunto permite representar los conjuntos de partes de unconjunto E.

Se representa por medio de un cuadrado-que contiene 2" cuadrados iguales.en el que nes el número de subconjuntos del conjunto considerado E. Todo subconjunto y su complementodeben formar una partición del cuadrado E y todas las particiones deben ser distintas. De estamanera se obtienen tantas banderas como subconjuntos tenga E.

Por ejemplo, si E está descompuesto en dos subconjuntos El y E2, elconjunto E se pue­de descomponer como lo indica la Figura 2-4.

Diagrama en bandera

Nota. ~(cjJ) no es vacío si E = cjJ porque contiene a cjJ.

Para todo conjunto E se tiene que a E E -ee- {a} e E <=> {a} E ~(E).

Ejemplo 2-6. Si E = {a, b, e}. Decir que A e E<=>A E ~(E).

57CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

. E n F = {x : x E E 1\ X E F}Si En F = <p, los conjuntos E y F no tienen elementos comunes, en este caso se dice que los

Definición. '-La intersección de los conjuntos E y F es el conjunto de los elementos comunesaEyF.

Intersección

CONSTRUCCION DE CONJUNTOS A PARTIRDE CONJUNTOS DADOS

-[3XEE. (P)J=-['VxEE, (-p)]Entonces;

CE(p) = E, es decir, E(-p) = E o 'VXEE. (-p)

La negación de esta proposición es

CE(p) =1= E

Así, «todos los rusos son mentirosos», tiene por negación a «existe por 10 menos un rusoque no es mentiroso».

La negación de 3x E E, (p) es 'VX E E, (- p).En efecto, 3x E E, (p) equivale a E(p) =1= <p. que equivale a

-['VxEE, (P)J=-[3XEE, (-p)]Entonces

CE(P) =1= <p, es decir, 3XE CE(p) o 3x, (-p)

La negación de esta proposición es

CE(p) = <p

Recordemos que la negación de 'Vx E E, (P) es 3x E E, (- p).En efecto, ['Vx E E, (P)] equivale a E(P) = E, que equivale a

Definición. Una variable que en una proposición figura cuantificada se llama variable ligada;de lo contrario, variable libre.

En el caso de las variables libres, se considera la proposición corno verdadera para cual­quier elemento.

Si E(P) = E, se escribe 'Vx E E, (P) y se lee «para todo x de E la propiedad p es verdadera».El símbolo 'V es el cuantificador"universal.Si E(P) =f <p, se escribe h EE, (P) y se lee «existe por lo menos un x de E que cumple la

propiedad (p)>>.El símbolo 3 se llama cuantificador existencial.

E(P) = {x: XE E 1\ p(x)}

Sea E un conjunto universal y (P) una propiedad. Sea E(P) el subconjunto de E cuyos elementoscumplen la propiedad (P)

los cuantificadores

CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS58

La unión de los conjuntos E y F es el conjunto de los elementos que pertenecen a uno por lomenos de los conjuntos E y F.

E UF = {x : x E E v X E F}

E UF es el conjunto más pequeño que contiene a la vez a E y F.

Unión

Demostración. l. A n <p = <1>. En efecto, no teniendo <1> ningún elemento, su intersecciónen A carece de elementos.

2. Sea x E A nA=> x E A 1\ X E A por definición de n y esto a su vez implica quex E A por la tautología p 1\ P -ee- p. Como x es arbitrario, A nA C A. Recíprocamente, seaXEA => XEA n A por la misma tautología,ycomoxesarbitrario,AC A n A.DeA CAn AydeAnACA,seconcJuyequeA=AnA. - -

3. Sea X-E A nB => x E A 1\ X E B. entonces x E B 1\ X E A, por la tautología p 1\ q <=>q 1\ p; como x es arbitrario, entonces A n8C B nA. Para la otra parte, simplemente seinvierten las implicaciones. -

4. Sea x E A n (B n e)=> x E A 1\ X E B n e => x E A 1\ X E B 1\ X E e => x E A n B1\ X E e .. A n (B n e)~ (A n B) n c. Por la tautología p 1\ (q 1\ r) -ee- (p 1\ q) 1\ r,

Para demostrar la inclusión en sentido contrario, simplemente se invierten las impli­caciones.

Cualesquiera que sean los conjuntos A. 8 y e se tiene que1. A n 4> = <1>. A nCEA = 4>.'2. A nA = A. Idempotencia.3. A n8 = 8 nA. Conmutativa.4. A n (8n e) = (A n 8) n c. Asociativa.

Propiedades 'de la intersección

El concepto de intersección corresponde a la conjunción lógica.

Noto. Si los conjuntos E y F se definen por comprensión según las propiedades (p) y (q),E = {x : p(x)} y F = [y : q(y)}, entonces

En F = {x : p(x) 1\ q(x)}

Ejemplo 2-7. Si E = {l, 2, 3, 4, S} Y F = {3, 4}, entonces En F = {3, 4}.

Figura 2-5

dos conjuntos son disjuntos. Si la intersección no es vacía, es decir, En F =1= </1, se dice que losconjuntos se intersecan.

La Figura 2-5 ilustra la intersección de dos conjuntos.

59CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. A n (B U C) = (A n B) U (A n C). Distributividad de la n con respecto a la U.2. A U (B n C) = (A U B) n (A U C). Distributividad de la U con respecto a la n.3. A U CEA = E. .A n CEE = 4>.4. a) CE(A n B) = CEA U CEB Leyes dé De Morgan.

b) CE(A U B) = CEAnCEB

.Cualesquiera que sean los subconjuntos A, By C de un conjunto E, se cumplen las siguientespropiedades: '

Relaciones entre unión, intersección y complemento

Las demostraciones se dejan como ejercicio. Son paralelas a las de las propiedades de laintersección; simplemente se cambia n por U.

1. A U 4> = A. A U CEA = E.2. A U A = A. Idempotencia.3. A U B = BU A. Conmutativa.4. (A U B) U C = A U (B U C). Asociativa.

Cualesquiera que sean los conjuntos A, B y C se demuestra que:

Propiedades de la unión

El concepto de unión equivale al concepto de la disyunción no exclusiva.

Nota 2. Si las propiedades (P) y (q) definen por comprensión los conjuntos E y P, respectiva­mente, E = {x: p(x)} y F = {y: q(y)}, entonces E U F = {x: p(x) v q(x)}. Por consi­guiente, ser elemento de E U F es tener por lo menos una de las propiedades (P), (q).

Nota l. El conjunto E U F tiene por elementos:

Todos los elementos que pertenecen a E y no a F.Todos los elementos que pertenecen a F y no a E.Todos los elementos comunes a E y F.

Figura 2-6

La Figura 2-6 ilustra la unión de dos conjuntos.

Ejemplo 2-8. Si E = {l, 2} y F = {a, b, e} entonces E VF = {l, 2, a, b, e}.

CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS60

es decir, que M eN.

X - (X - M) e X - (X - N)

Ejemplo 2-9. Si A es el conjunto de los naturales y B el de los naturales pares, entonces A - Bes el conjunto. de los naturales impares.

Teorema. a) Si Ni y N son subconjuntos de un conjunto X, mostrar que las relaciones M e Ny X - N e x - M son equivalentes. b) Para todo subconjunto M de X se tiene queX - (x - M) = M.

Demostración. a) Suponga que M e N e x. Sea x E M => X E N, porque M e N. Al ne­gar lo anterior se tiene que x E X - N => X E X - M .'. X - N e X-M. Empleando elmismo razonamiento y X - N e X - M se tiene que

A ...:.B = CA(A n B)

A - B = {x : x E A A X ~ B}

Se simboliza por A - B Y se lee «A menos -B».Observe que

Definición. La diferencia A menos B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen aA y no a B.

Diferencia de dos conjuntos

La conjunción de las proposiciones A UCEA = E y A n CEA = 4> es la traducción conjuntistade "la ley del medio excluido.

En efecto, .para todo x EE, X"EA es verdadera o x EA es falsa; entonces x EA o X ECA,y X EA UCA. Por otra parte, para x, no se puede tener a la vez que x E A sea verdadera y falsa,entonces x no puede ser común a A y CA.

La relación C(A U B) = CA n CB es la traducción de -[(p) o (q)] -ee- [(-p) y (-q)].La relación C(A n B) = CA U CB es la traducción de - [(p) y (q)] -ee- [( - p) o (- q)].

Relaciones con las leyes de la lógica

Demostración.4. a) Sea xeCE(A n B)<:> (xeE) A (x~A n B)

<:> (x e E) A - (x EA A X e B)<:> (x e E) A (x ~ A v x ~ B).

Por la tautología - (p A q)<:> -q V -p:<:> [(x EE) A (x ~ A)] v [(x E E) A (x E B»).

Por la tautología pP A (q V r)] -ee- [(p A q) V (p A r)].-ee- X ECEA v x E CeB. Por definición.<:> x e CEAUCEB. Por definición.

b) Se demuestra cambiando en la anterior n por U y U por n.

¡

XEA ¡XeA {XEA A XEBSea x E A n (B U e) -ee- A <:> A -ee- V

. x e Bsj C xEBvxeC xEAAxee

Por la tautología [p A (q V r» -ee- [(p A q) V (p A r)].

¡xeA n B<:> A -ee- X E (A n B) U (A n C) .. A n (B U C) = (A n B) U (A n C)

XEA neDemostración de la otra parte, análoga.

61CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Sea E un conjunto de posibilidades lógicas. Si se tienen determinadas proposiciones relativasa E existe una manera de asignarles un conjunto a cada una de esas proposiciones. A cadaproposición se le asigna el conjunto de posibilidades lógicas del conjunto universal, para lascuales la proposición es verdadera.

Relaciones entre conjuntos y proposiciones compuestas

[ - p(x) A q(x)]}

La diferencia simétrica es la traducción del «o» exclusivo.

Si A = {x : p(x)} y S = {y : q(y)}, entonces

A ~ S = {x : [P(X) A -q(x)] o

A ~ B = (A - Sfu (S - AJo

At::.8

Figura 2-7

Nota. La definición se traduce por

A ~ B = (A UB) - (A nB)

...-'1I ........, .;

I '\ ,,"

•

\;' 1\

/ ';' \, I" I......... _-;

B-A

;--,.; I,

I

I ~'II,I\ .;' __ <tfI!"

A-B

La Figura 2-7 ilustra los conjuntos A - S, B - A Y A ~ S.

Ejemplo 2-10. Si A = {l, 2, 3,4,5,6, 7} Y S = {3, 4, 7, 8, 9} entoncesA ~S = {l, 2, 5, 6, 8, 9}

Definición. La diferencia simétrica de los conjuntos A y S es el conjunto de los elementos deA y de S, excepto los que pertenecen a la intercepción.

A ~ S = {x : (x EA A X f: B) v (x f: A A X E BnSe simboliza por A ~ S y se lee «A delta S».

Diferencia simétrica de dos conjuntos

X - (X - M) = X

b) Sea x E X - (X - M) => x f: X - M => X EM, Como las implicaciones son válidasen sentido contrario, de esto y lo anterior se concluye que

CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS62

Figura 2-10

Observeque el área sin rayar esP - Q = P n CEQ, que esel conjunto solucióndep /\ - q.Así, el área rayada es el conjunto CE(P - Q) = CE(P () CEQ), que es el conjunto solución de- [p ¡\ -q]. Es decir, descubrimos la equivalencia lógica de p => q.

Esto también nos muestra que los diagramas de Venn son útiles para hallar relacionesentre proposiciones.

Sip es una. tautología, su conjunto solución es E. Sip es falsa, en todos los casos su con­junto solución es <p.

2. Finalmente, recuerde que p ;;:> q equivale a que el condicional p ;;:> q es lógicamenteverdadero. Pero p => q es verdadero si, y solamente si, su conjunto solución es E, es decir,CE(P - Q) = E o P - Q = <p.

La Figura 2-10 muestra que si P - Q es vacío, entonces pe Q.

Figura 2-9

p

Figura 2-8

A estos conjuntos se les llama conjuntos solución de las proposiciones.Sip Yq son proposiciones,para hallar el conjunto solucióndep v q yp ¡\ q sedebe asignar

a p v q las posibilidades lógicasque estén en los conjuntos Po Q (o ambos); es decir, se debeasignar a p v q el conjunto P U Q. La proposición p ¡\ q es verdadera si, y solamente si, py q lo son, entonces se asigna a p ¡\ q el conjunto P () Q.

Como la palabra «no» se emplea en la definición del complemento de un conjunto, en­tonces el conjunto solución de «-p» es CP.

La Figura 2-8 muestra el conjunto solución de dos proposiciones p y q. Muestra las dis­tintas posibilidades lógicas para las dos proposiciones p y q.

La relación que existeentre una proposición y su conjunto solución hace posible traducirun problema de proposiciones a uno de conjuntos. Recíprocamente, dado un problema rela­tivo a conjuntos, piense en el conjunto universal como el conjunto de posibilidades lógicasy en un subconjunto como el conjunto solución de una proposición.

Como los demás conectivos lógicos se definen en función de ¡\, v, -, vamos a calcularlos conjuntos solución de otros conectivos lógicos.

1. p => q equivale a - p v q, entonces su conjunto solución es el de - p v q, es decir,(CEP) U Q, que se muestra en la Figura 2-9 como el área rayada.

63CONJUNTOS_ OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

_-..-.- _.' .SoIuci.ón ...;;;._ .~. SI A = {l} y B = {cp, {1}}. entonces AeB.

Si A = {1} y B = {l, 2}, entonces A e B, y, por tanto, A ~ B.

A e B, A ~ B y A C B

a.-~_....Construya ejemplos de conjuntos A y B para los cuales se verifiquenlas siguientes relaciones:

Demostración. Las proposiciones (x E A Y x EB -ee- X EA) Y (x EA => x EB) son equivalentes.

~ ~-.~'-~~~ ...~:. Muestre que A (1B = A <::> A C B.

Demostración. Sea x EA => X EB por hipótesis y x Ee por la misma razón. Así, x EB 1\ X E e => x E e,por la ley de simplificación. Como x es arbitrario, A ~ e por definición.

Demostración. Sea A un conjunto. Suponga que cp rt A => 3x tal que x E cp Y x rt A por definición. Perox rt cp por definición. Así x E cp Y x rt cp. lo cual es una contradicción. Entonces cp e A por reducción alabsurdo. -

,·~{obi~iiit.t.2'¡';¡ MI' " 'd. ~~:.: ~ uestre que e conjunto vacío esta conteru o en todo conjunto.

PROBLEMAS RESUELTOS

p(x)q(x)p(x) => q(x)p(x) -ee- q(x)-p(x)- (- p(x» <=> p(x)p(x) y q(x)p(x) o q(x)p(x), q(x) incompatiblesq(x) <=> - p(x)

xeAxeBACBA=BxeCEAC.e(CEA) = AxeA (lBxeAUBA(lB=4>A(lB=4>yAUB=E

Resumen. A cada proposición le corresponde un conjunto solución. A cada conectivo lógicole corresponde una operación entre conjuntos. A cada relación entre proposiciones le corres­pende una relación entre los conjuntos solución.

Los conjuntos solución de las proposiciones p v q, P 1\ q, - P yP => q son P UQ,P (1Q,CEP y C.e{P - Q). .

La proposición p es lógicamente verdadera si P = E y falsa si P = 4>.Las proposiciones p y q son lógicamente equivalentes si, y solamente si, P = Q, y p => q

si, y solamente si, P C Q.A continuación se da una relación de las correspondencias que existen entre las partes

de un conjunto E y las propiedades definidas sobre ese conjunto.

CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS64

Entonces A UCA = U, por propiedad de la uniónA U CA = A U A, porque A = CA

= A, por propiedad de la uniónPor tanto, U = A.

Para obtener una contradicción suponga que 3A (A = CA).

A =1= CA.Por contradicción, demuestre que para cualquier subconjunto A de U,

Entonces (A = </> 1\ B = </J) => A U B = <1> UE, por sustitución. =B

=<1>Entonces A U B = if> 1\ A U B =f. </J, lo cual es una contradicción.

3A 3B [A U B =1= 4> 1\ (A = </J 1\ B = </J)]

~~~~·~¡?::~f.'l/~··::/·"~!~t;1.. :.:ti,-Cl-tti"'f.n·::¡ . . . " .t~¡;:,~':...:'·!::;·!·¡'.·~~·l,"':.'. Sea x E A U B arbitrario. Entonces x E A v X E B, por definición, que es lo mismo quex E B v X E A, por la tautología de la ley conmutativa. Entonces x E B UA por definición. Como x es ar­bitrario, A U B ~ 8U A por definición de U.

Análogamente se muestra que B U A~ A U B, por tanto, A U B = BU A.

~,;:~!l~~\~~~~Demuestre por contradicción que para todo subconjunto A y B de U,A U B =1= <j> => (A =1= <p v B =1= <j».

Ytr¡.t ~!:. ;:t~~!i':"'.~'-";~~"..:;.~mjj_~:~..'t: Sean A y B conjuntos. Entonces A U B = B U A.

a,.¡~;·'_"_....... ...

~~t~rin~ a) ua = {l}U {2} = {l, 2} = A. na = {l} n {2} = </J.

UCP(A)= <1> U {l} U {2}U A = A. n<:P(A)= <1> n {l} n {2}nA = <1>,UCP«j.) = <1> U {{l}} U {{2}} U {{l}, {2}} = {{l}, {2}} = a

b) A!J. A = (A - A) U (A - A) = </J U </J = </J; A!J. </J = (A - </J) U (4) - A) = A U </J = A,

a) Sea A = {l, 2} y a = {{l}, {2}}. Determine ua, na y halleU(P(A), n<p(A), U<P(<t)· b) Muestre que A óA = <j> y A ó <1> = A.

m!r~~':lt:~''!!~1f~~~;:~{~j Sea U = {i, 2,3,4,5,6,7,8,9, !O} un universo, A = {t, 2, 3, 4, 5} YB = {2, 4, 6, 8, lO}. Determine los siguientes conjuntos: A UB; A nB; A - B; B - A;CuA; CuB; Cu(A UB); Cu(A n B); CCA.

~ ,;:::I§fK!.i{i!ff!: A U B = { 1,2,3,4,5,6,8,10 };A nB = {2,4};A - B = {1,3,5};B - A = {6,8, lO};CuA = {6, 7, 8, 9, lO}; CuB ={l, 3, 5, 7, 9}; CuCA UB) = {7, 9}; CuCAn B)= {l, 3, 5, 6, 7, 8, 9, lO};OOA == {l, 2, 3, 4, 5}.

:g~'~~!4m<:P(A) = {</J, {</J}, {l}, {{l}}, {</J, l}, {</J, {l}}, {l, {l}}, A}

<P(<P(</J)) = {</J, {</J}}

Sea A = {<j>, 1, {l}}. Halle (P(A). Determine CP((P(<j»).

65CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

el Proposiciones R y P.b) Proposiciones Q y R.a) Proposiciones P y Q.

Demostración. Dado AUB=A. Si x e B, entonces xEAUB. Como AUB=A. entonces xeA.Por tanto, A n B::> B. De manera análoga se muestra que A n Be B. De donde se sigue queA n B = B.

Proposición R. Si A U B = A, entonces A n B = B.

Demostración. Por definición, A U B 2 A. Para mostrar la inclusión contraria. observe que si y E A U B.entonces y E A o y E B_ .

Como A ~ B, todo elemento de B es elemento de A. Así. todo elemento de B y de A U B está en A yA UB <;;;:A. Por consiguiente. A U B = A.

Proposición Q. Si A 2 e, entonces A UB = A.

Proposición P. Si A n B = B. entonces A '2 B.

Demostracián. Dado A n B = B. Si x E B, entonces como B = A n B. x E A n 8, esto implica quex E A Y x E B_ Por tanto, cuando x e B, x E A. por definición. B es un subconjunto de A.

Primero vamos a establecer las siguientes proposiciones.Scitucfón

a) Si A n B = B, entonces A UB = A y A J B.b) Si A J B, entonces A n 8 = B Y A UB ~ A.e) Si A O B = A, entonces A n B = B y A ¿ B.

1. X = E, pues BnE = </>2. X = E, pues E~ y E ~ B.3. X =B, pues B~A y B q; C.4. No existe subconjunto X que cumpla estas condiciones.

¡;t:~.t:!l:.~'" ..'!.; •.;::r.i--I-: •• ,,-: .. : ... :~" ~ ·5r1~• '''i;P2:''12:;~' \Ir' -~~}!W~ ...g......f:.f Sean A = 11,2, ...• 8,9 : , B = 12,4,6,8 \, e = {1,3,5, 7,9,. D = {3,4,5 }y E =

{3,5} . Indique cuales de estos conjuntos pueden ser X, donde X satisface una de las siguientes condicio­nes: 1. X y B son disjuntos.2.X<;;;:D.y X ([: B 3.X<;;;: A y X ([, C. 4.X ~ e y X ~ A.

Soluch~rt-. ) S S 1"'\ cr B r> (B (') ( A."......... a ea x E A U( I I J -ee- X E A. v X E n 1.. <:> X E A v x E 1\ X E ..-ee- X E.'1 V

X EB) 1\ (x E A v X E e) <:> X E A UB 1\ X EA UC -ee- X E (A UB¡ n (A UC).b) Siempre se verifica que A <;;;:A U ( B U A l· como A e A ceión. Es evidente que A U Cu A e u.

Sí x E U. entonces x E A v x rt CuA (por la leydel tercio excluido)o x E A U CuA.por tanto, U <;;;:A U ](1A.

~i~~~~ii1~~i'r~Si A, B y eson subconjuntos de un conjunto universal U muestre que:

a) A U (B n C) = (A U B) n (A U C).b) A n (B U A) = A.

También, A n CA = 4J. por propiedad de la intersecciónA n CA = AnA. porque A = CA

= A. por propiedad de la intersecciónEntonces, 4> = A. .'. U = 4J. porque 4> = JI Y U = A. Pero U =fo 4J. lo cual es una contradicción.

CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS66

....._...._.. a.) A n (B - e) = A n (B n Ce)= B n (A n e':) = (A n B) n CC

= (A n B) - e= «A n B) n Ce) U 4>= «A n B) n Ce) U (AC n (A n B»= (A nB) n(éU Ce)= (A n B) n (A (1ef= (A nB) - (A ne).

b) A - B = A nBc= (A nBe) U 4>= (A (l Be) U (A nAC)

= A n (BC U AC) = A n (A nB)C= A -1A nB).

e) (A - B) U (A - e) = (A n Be) U (A n Ce)= A n (Be U CC)= A n (Bn cf= A - (Bn e).

Teniendo en cuenta que B - C = B n Ce, demuestre quea) A n (B - C) = (A n B) - (A n C). b) A - B = A - (A n B). e) A - (B n C) =(A - B) U (A - C) .

xe (A n E) U (A-B) => xeA n B. Si xeA n B => xe.4 si xeA - B => xeA y xeñ. Por tanto xeA.Veamos que (AnE) n (A - B) = cp. Esto es consecuencia de la definición de A - B, pues si xe(AnE) n (A - E) => x€A nB y xe A - E; pero, x€ A - B => x€A y xeñ => xe A nE.

Reciprocamente:

xeA =? xeAnE, o, xA nE. Si x A n E ~ x E, pues x€A ; luego x€ ~ - B.Así pues, x€A ~ xeA.fIB o xe A - B => x e (AnB) U (A - B)

Para dos conjuntos A y B probar que: A= (AnE) U (A - B), que es la represen­tación de A como unión de conjuntos disjuntos.

De lo anterior se obtiene: (A)n (B) = (AnE).

(A)n(A)=? z€ (B)

{

Z€ y

ze (B)

(AnB) => zC AnB ~ ¡ZCAy =>zCE

ze

2. xexe (A) ~ x CA. ComoA CE resulta que x CB, por lo que x e (B).

(A)n (B)~. ¡X€ (A) ¡x C Ay => y => x CA nB =>XE (AnE).x€ (B) x CE

1.

Probar: 1.A CB => (P(A)e (p (B);2. (» (A) n (» (B) = Cp (A n B).

• 1"'~'6:p'>hlc"'6-~~:" ,!!'fJiJ. Ce <Y (e) es cierta; Ce (p (e) es falso, ya que e esun elemento de cp(e); {e} € CP (e)es falso ya que {e} es un subconjunto de (p (e); {e} C cp(e) es cierta.

( e e <Y (e), (e Cetc; {eJ € <Y (e), {e} C <Y (ej.

Establecer cuando es cierto y cuando es falso cada una de las siguientes rela-

67CONJÜNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

'i~~tótii¡iWIr'~~., '.~'.. ¡/~';'f~r '~$~-.t .~t4.Considere el siguiente problema: En una encuesta a 200 estudiantes,se halló que:

1. 68 se comportan bien.2. 138 son inteligentes.3. 160 son habladores.4. 120 son habladores e inteligentes.

Esto muestra que n(B () E) = 12. Entonces Juan come huevos y tocino durante 12 mañanas.

n(E) = número de elementos en En(B UE) = n(B) + n(E) - n(B () E)

~~31 25 18 ?

t'~:::'.i....", ~"_~'1! .,':J:9~.~!~.41Sea B el conjunto de los días de enero en que Juan come tocino al desayuno y E el conjuntode días en los cuales come huevos. Como enero tiene 31 dias y como puede comer huevos, tocino o amboscada día, entonces n(B U E) = 31. El problema enunciado algebraicamente es

I;~' Jl"':~ ~,~~lliJf.~P!~ Suponga que Juan toma huevos o tocino (o ambos) para su desayu­no cada mañana durante el mes de enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas,¿cuántas mañanas come huevos y tocino?

Pruebe que a) A U B = A n B si, y solamente si, A = B.b) A U B = (A - B) U E. e) (A - B) U B = A si, y solamente si, A "2 B.

"~~-'~j .¡¡.!fL., f6lt.{f~a) Si A = B, entonces A:) By B e A y A U B = A = B = A () B, es decir, A U B= A () B. Recíprocamente, si A U B = A ñB, entonces A () B e A e A U B Y A () B e B eA U B,es decir, A U B = A = B = A () B, o sea A = B. - - - -

b) (A - B) U Be A U B, porque A - B eA eA U B y Be A U B. Ahora, si X E A U B, en­tonces x EA o X EB. si x E B, entonces x E (A - -B) UB, Ysi x rt B, entonces x e A y x e A - B, es decir,x E (A -, B) U B. Entonces A U B ~ (A - B) U B, Y teniendo en cuenta la parte a) se obtiene queA U B = (A - B) U B.

e) De b), (A - B) U B = A U B. Entonces (A - B) U B = A si, y solamente si, A = A U B, esdecir, A :) B.

a) (A - B) U (B - A) = (A () BC) U (B () AC)= «A () BC) U B) () «A () BC) UAC)

= «A U B) () (B U OC» () «A U AC) () (AC U OC»= «A UB) () 'U) () (U () (AG UBC»= (A U B) () (AC U BC)

= (A UB) () (A () Bf= (A U B) - (A () B)

b) A - (A - B) = A () (A () Be)e= A () (AC U B)= (A () é) U (A () B)= <1> U (A () B)= A () B.

1fA~!t Muestre que a) (A - B) U (E - A) = (A U B) - (A n E).b) A - (A - B) = A n B.

CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS68

e) Suponga que S = TU U. Si x E T, entonces x E T U U Y como S = T U U, X E S. EntoncesTeS. Por otra parte, si se supone que Te S, entonces x E T U U, lo cual implica que x E S. Por tanto,TÜS <,;;;; S. Es obvio que S <,;;;; TU U. De donde se concluye que T U S = S.

b) Demostración análoga a a).

a) Si S~ T Y U es cualquier conjunto, entonces S U Ue TU U.b) Si Se T y U es cualquier conjunto, entonces Sn U e T u U.e) T ~ S si, y solamente si, S = TUS.

La Figura 2-11 muestra los tres subconjuntos de U. El problema consiste en hallar n(WC n y<: n JC).En cada una de las ocho regiones del diagrama se colocan el número de estudiantes que corresponden alsubconjunto de la región. Por ejemplo. el dato 1 DO es útil porque dice que n(W) = 68, pero W se divide encuatro regiones,y no se sabe cómo se parte el conjunto de los 68 estudiantes. El dato 7 dice que n( WnTn JC)= 15,por tanto, colocamos 15en la región correspondiente. El dato 5 dice que n( WnJC) = 20. El diagramamuestra que W n JC está compuesto de dos regiones, una se sabe que tiene 15 elementos. Entonces la otraregión debe contener 5 elementos, y colocamos 5 en esa región. Se continúa con el proceso basta agotar todoslos datos, en el orden 7, 5, 6, 1,4,2 y 3. Como n(U) = 200, entonces n(WC n y<: n JC) = 17, que es la res­puesta al problema.

Figura 2-11

u

'....~.- -.. ..._UitSoh,cfó~;·~.Considere al conjunto de los 200 estudiantes como el conjunto universaJ. Los datos delproblema se pueden enunciar en función de tres subconjuntos de U, a saber:

W el subconjunto de los estudiantes que se comportan bien.J el conjunto de estudiantes inteligentes.T el conjunto de los estudiantes habladores.

5. 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes.6. 13 se comportan bien y no son habladores.7. 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, son habladores y

no son inteligentes? .

69CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

11. Muestre gráfica y analíticamente las siguientes relaciones:

A - B = (A U B) - .8 si 8 e A, A (\ 8 -ee- A n 8 = A - A U B = 8A-8=A-AnB=.-B-A=a

12. a) Sea A = {., 1, {l}}. Halle <P(A), <P(<P(A».b) Sea E = {l, 2, 3, 4, 5. 6}, A = {t, 4, 5, 6} y B = {2. 4, 6}. Determine los siguientes conjuntos:

A = CEA; E = CE8; A nE; A nB; A U E; A (\ E; CECA(\ E); (A (\ 8) U (A-n lh

A

E

Figura 2-12

E

E

'@~

oy§

E

E

10. Exprese los conjuntos que indican cada uno de los diagramas de la Figura 2-12 empleando U, n.. C. -, tl. Tome las partes rayadas.

7. Si A YB son subconjuntos cualesquiera de E, halle todos los subconjuntos X, tales que B n X = AY todos los subconjuntos Y, tales que BU'y = A. -

8. En el conjunto E de los triángulos, considere el subconjunto A de los triángulos isósceles y 8 el sub­conjunto de los triángulos rectángulos.Defina los conjuntos A (\ B, CEA, CEB, CECA(\ B).

9. Verifique las siguientes relaciones:

D e A, D e B y D e C => D e (A n B n C)A e D, BCD y Ce D => CA U 8 U C)e D

EJERCICIOS P'ROPUESTOS

CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS70

Figura 2-13

22. Dada I~ Figura 2-13, construya a partir de X un conjunto X', que sea «sandwich» entre A y B,A e X' e B, con las condiciones: a) Quitar a X el menor número posible de elementos. b) Agregara X el menor número posible.

a) lA U Bl n (CUD) = (A n e)U (A n D) U (8 n e)U (B n D).b) (A n B) U (en D) = (A U e)n (A UD) n (B U e) n (B UD) ..e) (A - B) n (e - D) = (A n e) - (B UD).

21. Si A, 8. e y D son subconjuntos de E, verifique las siguientes relaciones:

a) A e B e e -ee- A U B = B n c.b) (A - E) n e = (A n C) - (B n e) = (A n e) - B = (A - B) n (e - B).e) A n (B - C) = (A n B) - (A n e) = (A - e)n B = (A n B) - (B n e) = (A n B) - e =

(A - e) n (B - e).

20. Muestre que:

a) (A - B) n (A - e) = A - (BUe).b) (A - e) - (B - e) = (A - B) - ee) (A - B) - (A - e) = AfI (e - B).

19. Verifique las siguientes relaciones:

E = {l, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8}Cl:lA = {2, 3, 5, 7}CEB = {I, 4, 7}A~B = {l, 2, 3, 4, 5}

18. Determine los elementos de A y B sabiendo que

17. Probar que A C B <:!> (Bne) UA = Bn (eU A) para todo e.

d) Demuéstrelas analíticamente. Verifiquelas utilizando tablas de verdad.

16. Haga diagramas en colores que ilustren las siguientes relaciones:

CE(A U B U e) = {l, 8, 12}, B n e = 4>, A n e = {5}, A U B = {2. 3, 4, 5, 7, 9}A U e = {2, 3, 4,5,6, ro, t1}, CEB = {l, 2,5,6,8,10, 11, 12}

15. Determine E y sus subconjuntos A, B, e sabiendo que

14. Determine los elementos de los subconjuntos A y B contenidos en E sabiendo que CEA = {f, g, h, ¡},A UB = {a, b, d, e, f}, A nB = {d, e}.

] 3. Probar que (J>(A)U (J>(B) C(J>(AUB), para todo par de conjuntos A y B. Encontrar un ejemplopara probar que (J> (AUB) (J> (A) U (J> (B).

71CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

• •25. Demuestre que [3x, (p y q)] => [(3x, (P) y 3x, (q)].Demuestre que [3x, (p) y 3x, (q)] f:> [3x, (p y q)).Demuestre que [3x, (p o q)] ~ [Ix, (P) o h, (q)J.Demuestre que ["x, (p) o 'Ix, (q)] => [\fx, (p o q)].

26. Forme las negaciones de "Ix E E, [p y (-q)].Vx E E, [p o (-q)].

Resp.: -[VxEE, (p y -q)] es {3XEE, -[p y {-q)]}.Queda por explicar la negación de yola de o.

24. Determine los conjuntos X = (A U B) n (A U BC); y = (AC U BC) n (Ac U B).Resp.: X = A; Y = cA.

Sea x E8: si x E A, entonces x EiA n B; por (2) x EA n' e, entonces x E e.si x d A, entonces XEA UB; por €1) XEA U e y como xfÍA, xEC.

(1) (A U B) C (A U e)y

{2) (A n B) e (A n e)

Por hipótesis

Indicación. Este es-un ejemplo de demostración por disyunción de los casos:

{

(A U B) C (A U e) }y «e c:c

(A nB) C (A ne)

23. Demuestre que

72 CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

73

y se dice que (x, y, z) es una terna ordenada.Para que las parejas (Ix.j), z) y «xl,y');Z') sean iguales es necesario y suficiente que x = x';

y = y', z = Z'; porque (Ix', y),z') = «x, y), z) <=> (x, y) = (x', y') y z = Z' <=> X = x', y = y',z = z',

En general, se define un k-pIe ordenado (Xl' X2, ... , Xk) como la pareja ordenada«(XI' X2, ... , Xk- d, Xl)'

Las k-plas (Xl> X2, .• " x,J Y (yl' Y2, ... , Yk) son iguales si, y solamente S1, Xl = Yl'X2 = Y2' ... , xk = Yk'

(x, y, z) = (Ix, y), z)

El elemento x es el origen o primera proyección (1 primera coordenada de la pareja y seescribe x = pI' 1 u.

El elemento y es el extremo o segunda proyección o segunda coordenada de la pareja yse escribe y = pI' 2 u. .

La igualdad entre parejas verifica los axiomas impuestos al concepto de (=) y, por tanto,son objetos matemáticos que pueden ser elementos de un conjunto.

El concepto de pareja se amplía de la siguiente manera: Dados tres objetos matemáticosx, y y z, y se define:

.Vota. Algunos autor~s emplean la regla anterior como definición de pareja.

Regla. Para que se cumpla que (x, y) = (u, v) -ee- x = u y y = v. En particular (x, y) = (y, x)ssi x = y .

Definición. Una pareja ordenada es un objeto matemático que se simboliza por (x, y) y sedefine como u = (x, y) = {x, {{x.} y}}.

La operación de formar parejas está sujeta a la siguiente regla de empleo:

Pareja

La finalidad de este capítulo es «poner en correspondencia» o en «relación» los elementos deun conjunto consigo mismo o con los de otro cdnjunto. Después se estudiarán las propiedadesde la «correspondencia» que se llama relación binaria.

Los signos = y E sirven para construir relaciones.

Relaciones entre conjuntos.Relaciones binarias.Producto cartesiano

CAPITULO

Figura 3-4

5432o . 1 N

Jt(l=NxN

" ¡,'1' ", "

, ...¡, ¡,'" "'1'

"

... " ... ¡, ,, '1' '1'

," ,¡, ,¡,'1"- '" .... "'1'

N3

2

IF1

ExFO

E

Figura 3-3

Figura 3-2Figura 3-'

x-t-------4----E

O

ExF

y ...,p(x. y)

II,,

FFE

Nota. Si E = F, se obtiene el producto cartesiano de un conjunto por sí mismo y se simbolizapOI E2.

Se llama diagonal de E x E al conjunto de las parejas (x, x).Un producto cartesiano E x F es vacío cuando por lo menos uno de los dos conjuntos es

vacío.El producto E x F es distinto de F x E cuando E =1= F.Si se escoge un sistema de coordenadas para el plano de la geometría elemental, con ejes

coordenados OX y O y y unidades de longitud sobre dichos ejes, entonces se puede definirla abscisa y ordenada de todo punto P del plano. Si x y y son sus coordenadas, se escribeP = (x, y).' '

E x F = {íx, y) : x EE /\ Y E F}

Ejemplo 3-1. Si E = {l, 2, 3} y F = {a, b}, entonces E x F = {el, a), (1, b), (2, a), (2, b),(3, a), (3, b)}.

Definición. El producto cartesiano (o conjunto producto) de un conjunto E por el conjuntoF es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que x E E y y E F.

Producto cartesiano de dos conjuntos

Comúnmente, la manera en que tales conjuntos de parejas ordenadas se presentan escomo subconjuntos de un universo formado de todas las posibles parejas dé elementos toma­das de un conjunto A =1= <P fijo. El caso más simple es cuando A = {a}; la única pareja orde­nada que se puede formar, a partir de A es (a, a). Es decir, el conjunto de las posibles parejasque se pueden formar a partir de A son {(a, a)} .

. El otro extremo es cuando A son 'los reales; entonces el conjunto de todas las parejas cuyascoordenadas son elementos de A es el conjunto de todas las parejas de números reales.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS74

Es evidente que C(xo) =1= 4> si Xo E A'* y C(xo) = 4> si Xo E CA(A*).

Definición. Sea Xo un elemento de A. Se llama corte de] grafo G, según el elemento xo, al con­junto de las parejas (xo, y) que pertenecen a G.

Corte de un grafo

La Figura 3-5 muestra las dos proyecciones de un grafo G en el cual A* = pr1 G yB'* = pr2 G.

Figura 3-5

__ .J- --L__ Á: A*

B

rAxB

- ----~A*XB*

YB* ~- ----, ,

, I

De la misma manera se define la segunda proyección de] grafo G como el conjunto de los ele­mentos y de B tales que la pareja (x, y) pertenece aG.

pr2 G = {y : (x, y) EG}

P'l G = {x : (x, y) EG}

Definición. Se llama primera proyección del grafo G al conjunto de los elementos x de Atales que la pareja (x, y) pertenece a G:

Proyección de un grafo

Si la pareja (x, y) pertenece a un grafo G, se dice que y corresponde a x según G.

Ejemplo 3-2. Si A = {a, b, e} y B = {l, 2}, G = {(a, 1), (b, 1), (e, 1), (e, 2)} es un grafoGCA x B.

Definición. Dados dos conjuntos A y B Y su producto cartesiano A x B. Se llama grafo Gun subconjunto del producto A x B. .

Es decir, es un conjunto de parejas ordenadas (x, y) de A x B.

Grafo

Las Figuras 3-1 a 3-4 ilustran este concepto: en el caso de 'que los conjuntos son puntos,puntos de rectas, segmentos de rectas '0 sucesiones de puntos separados.

Al fijar un sist.ema de coordenadas para el plano (por ejemplo, las coordenadas cartesia­nas), esto permite asimilar el plano al conjunto R x R = R2 o espacio euclidiano de dos di­mensiones.

El conjunto de todos las k-plas cuyas coordenadas son números reales se designa porR x R x . . . x R = R", o espacio euclidiano de k dimensiones.

75RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Figura 3-10Figura 3-9Figura 3-8

11¡._

E = {- 3, - 2, - 1, 0, l}

2..+--4-+---+--+--

~ '_-4--+--+--+--F ~~~--+--+--._-X -3 -2 -1 O I

o X X1 X X9 X4 X Xx

JI --------;?P(x. y)///

Los grafos Se representan por diferentes esquemas:

1. Cuando la primera y segunda componente de la pareja son la «abscisa» y «ordenada»del punto representado por la pareja, referido a dos ejes. (Vea Fig. 3-8.)

2. Tabla d; doble entrada. Los elementos de E se escriben horizontalmente y los de Fverticalmente. Con una cruzse marcan los elementos que pertenecen al grafo. (Vea Fig. 3-9.)

G = {(-3, O), (-3, 1), (-3,9), (-2,4), (-1,1), (O,O), (1, 4)}subconjunto de E x Fcon E= {-3, -2, -1, 0:1}y F= {O, 1,9, 4}. .

3. Diagrama cartesiano. Está formado por un reticulado de rectas que indican loselementos de cada conjunto. Las verticales corresponden al conjunto de partida E y las hori­zontales al conjunto de llegada F. (Vea Fig. 3-10.)

4. Diagrama sagital. Los elementos de cada conjunto son puntos, y una flecha unela primera componente con la segunda. (Vea Fig. 3-1t.)

5. Diagrama de Euler o Venn. Los conjuntos E y F se representan por puntos encerra­dos por una curva. (Vea Fig. 3-12.)

Los subconjuntos de R x R y su representación gráfica en el plano son muy importantesen matemáticas. No solamente permiten analizar las relaciones numéricas en forma sistemá­tica, sino que también dan una idea intuitiva de las relaciones.

Por ejemplo, si se considera la frase abierta «y = x» una parte de la representación gráficadel conjunto soluciónj tr, y): Y = x}, lo muestra la Figura 3-13.

Representación de los grafos

Las Figuras 3-6 y 3-7 muestran el corte de G, según los elementos Xo y Yo.

C{Yo) = {(x, Yo) : (x, Yo) EG}

De la misma manera se define el corte del grafo G, según el elemento Yo, como el conjuntode parejas (x, Yo) de G:

Figura 3-6

Xo-----L------A

B

P,c(x,)i~~:~~~~I1

AxB

R"ELACIONESENTRE CONJUNTOS76

En' la práctica es conveniente no hacer distinción entre dichas parejas, Por tanto, se con­sideran los conjuntos (X x Y) x Z, X x (Y x Z) como idénticos, (Esta convencjón, hablan­do formalmente es contradictoria, corno sucederá con otras convenciones.) Se acepta estoporque las contradicciones a que dan lugar no son de mucha importancia y porque en unaprimera etapa no es conveniente que el lector entre en detalles más finos,

Si X es un conjunto se escribe: X2 = X X X, X3 = X X X x X, etc.

Nota, La relación (X x Y) x Z = X x (Y x Z) es falsa, porque los elementos del primermiembro son (íx, y), z) con x E X, Y E Y, Z E Z y Jos del segundo miembro (x, (y, z), sencilla­mente porque la regla de igualdad de dos parejas no permite escribir ((x, y)"z) = (x, (y, z)).

Figura 3-13

F= Y

Los elementos de X x y x Z son ternas (x, y, .::)con x E X, y E Y, Z E Z y los deX x Y x Z x T son los cuádruples (x, y. :, t) con x E X, JI E Y, Z E T, lE T.

Recuerde que siempre que se habla de pareja o n-pla ordenada, se habla de un conjunto,

x x Y x Z = (X x Y) x Z, X x Y x Z x T = (X x y x Z) x T, ,. ,

Si se suben tiende que el universo es R x R, la flecha indica que el grafo se extiende enforma indefinida en ambas direcciones,

El concepto de producto cartesiano se puede extender al caso de que se tengan más dedos factores.

En efecto, si X, Y, Z, .. , , son conjuntos, se define:

Figura 3-12Figura 3-11

4

-)

E F- J .....,,=:--------- O

-2

9

o

FE

77RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

G = {(x, y) : x E E*, y E F*, y E r(x)}

El grafo de la correspondencia del ejemplo anterior es: G = {(a, 2), (b, 2), (b, 3), (e, 2), (e, 3)}.

Definición. Se llama grafo de una correspondencia el conjunto de parejas (x, y) tales quex E E* y y E I'(x).

Se puede representar la correspondencia r por medio de un diagrama como lo indica la Fi­gura 3-14. La Figura 3-15 representa el diagrama de la correspondencia del Ejemplo 3-3.

Diagrama de una correspondencia

fa -+- f(a) = 2

f b -+- f(b) = {2, 3}e -+ f(c) = {2, 3}

En este caso, el conjunto de partida es: E = {a, b, e, d},el conjunto de definición: E* = {a, b, e},el conjunto de llegada: F = {l, 2, 3},el conjunto de valores: F* = {2,3}.

Ejemplo 3-3. Sea E = {a, b, e, d} y F = {l , 2, 3} dos conjuntos. Una correspondencia f estádefinida por:

F* = {I'(x) : x EE*}

El elemento x es el argumento (o variable) y T(x) es la imagen de x por la correspondencia r.E es el conjunto de partida y F el de lJegada. El conjunto E* = {x : x E E y T(x) :f. 4>}

es el conjunto de definición. El conjunto F* = {y : y E F(x) y X E E*} es el conjunto de valores.También

I": x E E -+ f(x) E <P(F)

Definición. Dados dos conjuntos, E y F, si a un elemento x de E una operación I' le asociaun subconjunto í(x} de F, se dice que r define una correspondencia entre el conjunto E y elconjunto F. Es decir,

Correspondencias entre dos conjuntos

5. Explique las siguientes relaciones con la ayuda de ejemplos bi~n escogidos:a) (El n E2) x (Fl n F2) = (El X F¡) n (El x Fl)·b) (El U E2) X (F¡ U F1) ~ (El x F¡) U (E2 X Fz)·

4. Sea E = {l, 2, 3,4, 5}; A = {I, 2, 3}; B = p, 4}.Compare F= CExEA x B; G = CEA x CeB; 1 = B x CEA; J = A x CEB.

2. Si SC T, explique por qué S x TC T x TSxSCSxT.

3. Sea E = {I, 2, 3, ... , 12}, A = {2. 4. 6, ... , 12}, B = {4, 5, 6, 7. 8}.Dé los elementos de A x B; gEXl:;A x B; A x CEB; CEA x CEB.

a) A x B = 4J -ee- (A = 4J o B = 4J).b) (C=I=I/> yAxC=BXC) ~ A =Be) A x (B U C) = (A x B) U (A xC).d) A x (E - C) = (A x B) - (A x e).

1. SiA y B son conjuntos, demuestre las siguientes relaciones:

EJERCICIOS PROPUESTOS

RELACIONES ENTRE CONJUNTÓS78

Figura 3-17

--'----........,.,y ......'-- FI I

II

-t-IIII

-j-I- --;--II

E

Figura 3-16

I I_,J-I _ds.....,_"-----L_ E

prIC(y) = r-'(v)--- f:9

y

Se dice que r(X) es la imagen del subconjunto X por la correspondencia r.

r(X) = {T(x) : x EX} = {y : x EX, Y E F, (x, y) EG}

Sea X UD subconjunto de E : x E E.Se designa por F(x) el subconjunto de F, formado por las imágenes F(x) de los elemen­

tos x que pertenecen a X.

Imagen de un subconjunto

Definición. Una correspondencia (E, F, G) se dice es funcional en y si cualquiera que sea elx de E le corresponde un elemento, y solo uno, y por la correspondencia. En otras palabras,el conjunto de definición es igual al conjunto de partida y todas las secciones según x contienenun elemento único. El estudio de este tipo de correspondencias es muy importante. Antes sellamaba función uniforme.

El Ejemplo 3-3 no es una correspondencia funcional.

En forma más exacta que la anterior podemos definir una correspondencia entre los con­juntos E y F, como una terna (E, F, G), siendo E el conjunto de partida, F el conjunto de lle­gada y G el grafo de la correspondencia.

Anteriormente una correspondencia de este tipo se llamaba función multiforme no deltodo definida.

figura 3-15Figura 3-14

79RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Entonces h = g o f: x -+ y = (2 sen x _ l)j(sen x + 1).

g : u -+ y = (2u _. t)j(u + 1)

Ejemplo 3-5. Si f: x -+ u = sen x

La correspondencia h se llama la compuesta de las correspondencias j'y g. (Vea Fig. 3-18.)Se escribe Ir = g of

Figura 3-18

h(x)

h : x EA -+ h(x) = g(f(x» e C

Así, al elemento x de A se le asocia una parte g(f(x» de C. Esto define una correspondenciaIr entre el conjunto A y el conjunto C:

f: x E A -+ f(x) e Bg :f(x) e B -+ g(f(x» e C

Sea f una correspondencia entre los conjuntos A y B, y g una correspondencia entre los con­juntos B y C. Es decir,

Compuesta' de dos correspondencias

11 -+ {2 -+11(2)= {a, b, e}3 -+11(3)= {b, e}

El grafo de r:es: G-1 = {(2, a), (2, b), (2, e); (3, b), (3, cH.

Ejemplo 3-4. La correspondencia recíproca de la correspondencia f del ejemplo anterior es:

El conjunto de partida es P y el de llegada E. .El conjunto de definición es p* y el'conjunto de valores E*. El grafo G- 1 de F" 1 se OQ­

tiene a partir de G, permutando los papeles de E y F. (Vea Fig. 3-17.)

r-1 : yEP·-+ r-1(y) = P'l C(y)

A un elemento y del conjunto F se le puede hacer corresponder la primera proyección de lasección del grafo G de r según el elemento y. Se define así una correspondencia entre el con­junto F y el-conjunto E: es la correspondencia recíproca de la correspondencia r. Se repre­senta por T" 1•

CorrespondenCia recíproca

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS80

Ejemplo 3-8. E = F = R y la relación <<X < y», para todo par de reales. El conjunto{(x, y): x < y} es un subconjunto .bien definido de R x R.

El conjunto de partida y llegada es R. (Vea Fig. 3-20.)

Así el concepto de grafo es equivalente al concepto lógico de relación binaria. El conjunto Ese llama conjunto de partida y F conjunto de llegada. Si la relación <R se verifica para toda pa­reja (x, y), es decir, GOl = E x F, la relación se llama trivial.

Por ejemplo, el grafo de la relación «es el padre de ... » se muestra en la Figura 3-19.

xCRy <=> (x, y) E GrJl

Definición. El conjunto de las parejas (x, y), tales que x<Ry, es un subconjunto de E x F,y se llama grafo de la relación, y se simboliza por GrJI. .

Recíprocamente, sean E y F dos conjuntos dados y G su grafo (subconjunto de E x F).El grafo G determina la relación CRde E a F, definida por x<Rysi, y solamente si, (x, y) perte­nece a G.

Definición. Sean E y F dos conjuntos. Toda proposición que sea verdadera para algunasparejas (x, y) de E x F se llama una relación binaria de E a F.

En otras palabras: una relación binaria es un subconjunto de E x F. Si la proposiciónes verdadera para la pareja (x, y), se escribe xCRyy se lee «x está en relación CRcony» o «x, r, y».

RELACIONES BINARIAS

Observe que la correspondencia r no es funcional porque, por ejemplo, de 2 saleo dosñechas,' y para que sea funcional, según la definición, puede salir de cada elemento de A a lomás una flecha.

r- I = (C-1, B, A)

Por ejemplo, r-l({b¡, b2• b3, b4}) = r-1({b1, P3, b4}) ={l, 2, 3,4, 5, 6, 7}.

r-I({b3, b4}) = {2, 3, 5, 6}r-1({b2}) = 4>, etc.

T" 1 se obtiene cambiando el sentido a todas las flechas, así:

BrAI

Ejemplo 3-7. Para la siguiente correspondencia r = (A, B, G) se tiene que:

el al el

eze2

a3 el

e3 Q4 e4

e. a,

Ejemplo 3-6. El diagrama de la izquierda representa dos correspondencias y el de la derechala compuesta de las dos correspondencias. - -

81RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Nota. 4J e E x F, en este caso se habla de la relación vacía, es decir, la relación que no re­_laciona ningún par de elementos.

Si E .tiene m elementos y F n elementos, entonces E x F tiene m . n elementos.De esto se sigue que <P(E x F) tiene 2m'n elementos y cada uno de estos elementos es una

relación de E x F.

Figura 3-22

75

Figura 3-21

3

N 3 5 7

1 x x x

3 x x x

11 x

7

71---1----If--__~-__~

lll--~~--II--__If--__I

El grafo de la relación anterior se ilustra en las Figuras 3-21 y 3-22.

Solución. G = {(3, 1), (3, 3), (3, 11), (5, 1), (5, 3), (7, 1), (7, 3)}.

Ejemplo S-S, Sea E = {3,5, 7} yF = {1,3, 11, 17}. ¿Cuál es el grafodela relación x + y < 15,con x EE Y y E F?

~ menor o igual que/ divide a// es paralelo a1. es perpendicular a

= igual a=/= diferente de<=> equivale aE pertenece ae está contenido en

Nota 2. Las relaciones binarias de mayor uso en Ias matemáticas son:

Nota l. Una relación se expresa en el lenguaje común, remplazando el símbolo CRpor un verboo expresión verbal. 'Por ejemplo, x es menor que )'.

Hablando estrictamente, « -c » no es la relación, sino que ella determina la relación comoel conjunto solución de la frase «x < y»). Sin embargo, se habla de «<» como si fuera la re­lación y se escribe 2 < 3 en vez de (2, 3) E {(x, y) : x < y}.

Figura 3-20E = conjunto de personas

Figura 3-19

y- xR

Ro

x<y

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS82

Figura 3-28Figura 3-27

3. E () F = cp, y ningún alumno de F es más alto que ningún alumno de E. En estecaso se obtiene la relación vacía 4>. (Vea Fig. 3-25.)

Figura 3-25Figura 3-25

2. E () F = 4>, y todo alumno de E es más pequeño que todo alumno de F. La relaciónque se obtiene en este caso es el producto cartesiano de E x F. (Vea Fig. 3-24.)

Figura 3-24Figura 3-23

Ejemplo 3-ll. Sean E y F dos conjuntos de alumnos de una clase. Se define una relación deE a F de la siguiente manera: todo alumno de E señala a todo alumno de F que sea más altoque él. Esto da lugar a las siguientes posibilidades:

1. Los conjuntos E y F son disjuntos. La Figura 3-23 ilustra una relación de E a F.

Sin embargo, no es necesario que D:Il. sea todo E.Se llama conjunto de imágenes o de valores de <R.alconjunto de las segundas componentes

y se representa por CRat.

DO! = {x : x E E " (x, y) E <R.para algún y E F}

Ejemplo 3-10. Si <R. = {Ca, 1), (b, I)} es una relación dada, entonces Dm = {a, b} = E.

Definición. Se llama dominio de ffi su conjunto de definición, o sea el conjunto de las prime­ras coordenadas de <R..Es la primera proyección de su grafo.

83RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

'La Figura 3-30 es el grafo de la relación.En la tabla de E x E marque con un punto los elementos de S = {(m, n) : m está sobre

la misma diagonal que-n}.Observe que en la tabla E x E los puntos están distribuidos simétricamente con respec­

to a la diagonal principal.

Figura 3-30Figura 3-29ABA

eD

Ejemplo 3-12. Sea A, B, e, D, un cuadrado de centro O. En el conjunto de puntos E = {A,B, e, D, O} considere la relación:

m(Rn <::>m está sobre la misma diagonal que n.

(x, y) E S(x,y)~S

yy

x/yxXy

.Para cada pareja (x, y) E E x E se tiene la siguiente alternativa:

ExE A B e D o

A • • •B • • •e • • •D • • •o • • • • •

-1 O 1 2-1 x xO x x x1 x x

2 x x x

Tabla 3-2Tabla 3-1. Tablade E x E

4. En F =F cIJ· El grafo de la Figura 3-26 da una relación de E a F.5. Si E = F, se tiene la relación de la Figura 3-27.Por ejemplo, en E = {-1, O, 1, 2}, considere la relación de divisibilidad: Existen algunas

parejas (x, y) para las cuales x es divisible por y, esas parejas forman un subconjunto Sde E x E.

1/2 <::>(2,1)ES2/0 <::>(O, 2) E S1/ - 1 <::>( - 1, 1) E S

-1/1 <::>(l,-l)ES2Xl -ee- (1, 2)~ SOXO <::>(O, O)'¡ S

Al representar en un diagrama, con una flecha de x a y, cuando x/y, se obtiene el grafode la Figura 3-28.

Observe que en todo punto distinto de O hay bucles. Esta relación binaria también se puederepresentar en una tabla con dos entradas. Una x representa un elemento de S. (VeaTabla 3-1.)

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS84

CR(20)= {(20, 1), (20, 2), (20, 4), (20, 5), (20, 10), (20, 20)}(R-I(4) = {(4,20)}

Ejemplo 3-14. En N +, si CRes la relación «múltiplo de». entonces

Figura 3-34Figura 3-33

------L------------E

CR-1(yO) = {Ix, Yo) : (x. Yo) E GIII}

El corte o sección recíproca, según el elemento Yo E F, es el conjunto simbolizado por Gi - I (Yo)y se define como

El corte directo o seccián del grafo G~, según el elemento Xo de E, es el conjunto de las parejas(xo, y) tales que xoffiy y se representa por ffi(xo). Entonces,

Secciones de un grafo

Figura 3-32Figura 3-31

Ejemplo 3-13. En N"', si CRes la relación «menor que», CR-1 es la relación «mayor que». LaFigura 3-31 muestra el grafo de una relación CRy la Figura 3-32 el grafo de la relación (ft.- l.

Definición. La relación recíproca de la relación (R de E a F es la relación binaria de Fa E. sim­bolizada por cA. - 1, Yse define como

Relación recíproca

Las relaciones se pueden clasificar, según las propiedades que poseen, de la siguiente manera:

RELACIONES. ESPECIALES

85RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

La' relación fF se escribe ;¡= S o (R y se lee «$ compuesta eR». Si S = eR. se escribe (R 2•

Nota.' Observe que el orden en que se componen las relaciones es inverso del orden en quese dan.

(x, z) E(R 1\ (z , y) E S

Es decir; -existe un z , en F tal que

xfFy <=> x E E, y E G, 3z E F:xCRz, y, zSy

Definición. Sea m una relación binaria definida de un conjunto E a un conjunto F, y S la re­lación definida de Fa G. La compuesta de<Ry S es la relación binaria s:de E a G, definida por

Figura 3-35

Sea E el conjunto de, los hijos de F y F el conjunto de los hijos de G. (R es la relación «hijode . , .» de E a F; S es la relación «hijo de ... » de F aG.

Se puede formar una nueva relación de E a G que se ilustra en la Figura 3-35 y la relaciónresultante es «nieto de .. .». .

COMPOSICION DE RELACION-ES

.xmy ~ xSyes decir,

Definición. Se dice que la relación binaria ~ es más fina que la relación $ si

(R = S<=> 't/x E E, CR(x) = S(x)

En caso de que las relaciones no estén dadas por, sus grafos, la igualdad se define por

La igualdad de dos relaciones binarias (R y S de E a F se define 'por medio de la.igualdad desus grafos. '

"Igualdad de dos relaciones

RELACIONES_ENTRE CON~UNTOS86

Engeneral, si la pareja (x, y) pertenece al grafo de la relación, la pareja transpuesta (y, x) ,también pertenece al grafo:

ffi es simétrica <::;> (xCRy:::;./y<Rx), "'Ix, "'Iy'

Si ffi es la relación considerada y (x, y) una pareja cualquiera

Ejemplo 3-18. En N la relación «tiene por cuadrado a ... » no es simétrica, porque-la pare­ja (3, 9) la verifica, pero (9, 3) no.

Ejemplo 3-17. En N la relación <<X = y» es simétrica porque «y = x».

Definición. Una relación binaria, definida en un conjunto E, es simétrica si cualquiera quesea la pareja (x, y) que verifica-la relación, entonces la pareja (y, x) también la verifica. '

Relaciones simétricas

Si se considera el conjunto de las partes de un conjunto E, <P(E), fa inclusión y la igualdadson reflexivas. .

En términos del grafo" una relación es reflexiva si, y solo si. su grafo contiene en cadapunto un bucle.

Figura 3-37Figu-ra 3-36

E

E

Relación no reflexivaRelación reflexiva

E

E

Ejemplo 3-16. Sea E = N y <R la relación «x = y», x, y EN.

Las parejas (O,O),(1, 1), (2,2), . '.. , pertenecen al grafo de <R. Entonces para todo x e N,xCRy.Es decir, CRes reflexiva.

El grafo de' CRcoptiene el conjunto de las parejas (x, x), que es la diagonal de E2 •

. Entonces CRes, reflexiva -ee- (diagonal de E2) e GOl'

No es reflexiva porque las únicas parejas de la forma (x, x) son (O,O) y (1, 1).

Ejemplo 3-15. Sea E = N y CRla relación «tiene por cuadrado a ... »..

~ Definición. Una relación binaria, definida en un conjunto, es reflexiva si cualquiera que seael elemento x del conjunto, la pareja (x, x) verifica la relación.

Entonces en E : CRes reflexiva <::;> "'Ix EE, x <R x.

Relaciones reflexivas

En esta parte se van a estudiar relaciones bien definidas en un conjunto E, es decir, los grafosde E x E.

RELACIONES BINARIAS EN UN CONJUNTO

87RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Figura 3-38

También se debe tener en cuenta, al verificar la transitividad de eR, el estudiar parejas dela forma, (x, y).y (y, z); es decir, deben coincidir la segunda coordenada de laprimera parejade prueba y la primera coordenada de la segunda".pareja de prueba, .

Por ejemplo, si se escoge (1,3) corno la pareja (x, y) en la relación anterior, vemos que noexiste pareja (y, x) en eR que tenga su primera componente igual a 3. En el caso deque se escojala pareja (~, 4~como (x, y), pareja de prueba en la relación CR:entonces la única elección que

eR no es transitiva porque (2, 1)E CRy (1, J) EeR, pero (2, 3) ~ (R

Ejemplo 3-22. Si CR= {(l, 2), (2, 1), (l, 1), (1, 3), (4, 4)},

Nota. La siguiente precaución es útil. En la definición anterior nos referimos a 'las parejas(x, y) y (y; z) tomo las parejas de prueba y llamamos a (x, z) la pareja resultante. Entonces,para mostrar que una relación <R es transitiva, primero se deben examinar todas las posiblesparejas de prueba que pertenecen a (R y verificar si la pareja resultante pertenece' o no a (R.

No es suficiente hallar que para algunas parejas de prueba la resultante está en eR, pues todaposible elección de parejas de prueba se debe examinar. Por otra parte, una vez que se halle uncaso en que las parejas de prueba no den una pareja resultante en (R, esto muestra que-él noes transitiva.

Ejemplo 3-21. En N la relación < es transitiva porque si a < b y b < e => a < c.

Ejemplo 3-19. La relación «C» entre conjuntos es transitiva porque si A e By B C e, enton­ces A C C.

Ejemplo 3-20. La relación (=) en G>(E)es transitiva.

Definición. Una relación binaria, definida en un conjunto, es transitiva si, cualesquiera quesean las parejas (x, y) y (y, z) que verifican la relación, entonces la pareja (x, z) también la ve­rifica.

Relaciones transitivas

Si se considera el conjunto G>(E), la igualdad es simétrica, pero la inclusión no.Observe que si eR es simétrica, eR y (R - 1 son iguales. En términos del grafo esto quiere de­

cir que siempre que hay una flecha de a a b, bay otra de b a a.

<R es simétrica <=> [(x, y,) EG<Il<=> (y, x) EG<IlJ

Si G<Iles el grafo de la relación eR

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS,88

Estos subconjuntos se llaman clases de equivalencia, que están formadas por los elementosequivalentes entre sí. Se obtuvo uria partición de Z en tres clases,

{ , -9. -6, -3,0,3,6, ... }='C{ ,,-5,-2,1,4, .... }=i{ , -4, - 1, 2, 5, . . . } = :2

'tIx E E. x = x (mod <R)x = y (mod <R) = y = x (mod <R)x = y (mod <R) 1\ Y = z (mod <R) ~ x = z (mod CR)

Ejemplo 3-25.' Si E es el conjunto de los alumnos de un liceo, formado por clases de alumnosdos a dos disjuntas y la unión de todas las clases es el conjunto de los alumnos del liceo. Cadaclase tiene alumnos, esto es, no 'es vacía,

En este conjunto, la relación binaria «está en la misma clase que» es reflexiva, simétricay transitiva. Por tanto, es ,una relación' de equivalencia. . .

Ejemplo 3-26. Sea Z = {... , -3, -:2. -1,0,1,2, ... }. Co;sidere en Z la relación binaria«la diferencia de dos enteros es un múltiplo de 3». (Relación llamada congruencia.¡

1. La relación es reflexiva porque 'tia, a- - a = O.2. .La relación es simétrica porque si a - b es múltiplo de 3, (b .: a) es múltiplo de 3.3. La relación es transitiva porque si a - b es múltiplo de 3 y b - e es múltiplo de 3,

entonces a - e es múltiplo de 3.En este caso las clases son:

Entonces si x, y y z son elementos cualesquiera de un conjunto E, y si <R es una relación deequivalencia en E,

x = y (mod CR); que se lec «x es equivalente a y módulo CR»

Definición. Una relación binaria, definida en un conjunto E =f 4), es una relación de equit:a­lencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Si <R es una relación de equivalencia. para traducir que una pareja (x, y) verifica la rela­ción en se remplaza la notación general x<Ry por

Relaciones de equivalencia

No la. La igualdad es una relación simétrica y antisirnétrica. ¿Cómo se interpreta en un grafo?

Ejemplo 3-24. En <P(E) la igualdad y la inclusión son antisimétricas.

Ejemplo 3-23. En N la relación «divide a ... » es antisirnétrica, porque si x/y 1\ ylx => X = y.

Definición. U na relación binaria, definida en un conjunto, es antisimétrica si toda pareja (x, y)y su transpuesta (y, x) verifican simultáneamente la relación; entonces x es igual a y.

Luego <R es antisimétrica <=> [(x(Ryl\y(RX)= x = y], 'r/x, 'r/y.

Relaciones antisimétricas

queda para la pareja (y, z) es (4,4). La pareja resultante es (4, 4) E <R. Tales parejas verificanla transitividad automáticamente.

La relación idéntica 1es transitiva, porque las únicas parejas de prueba son de la forma (x,x).En el grafo de una relación transitiva, esta propiedad se ilustra mostrando que si una fle­

cha va de x a y y otra de y a z, entonces existe una flecha d~ x a z . (Vea Fig. 3-38.)

89RELA.CIONES ENTRE CONJUNTOS

8

10

Figura 3-39

A

-9

8

7

6

5

4

3

2

1~J 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

Demostración. 1. Las clases de equivalencia son subconjuntos no vacíos de E. En efecto,cualquiera que sea la clase a, Cl(a), contiene el elemento a (a<Ra por la reflexiva).

2. La unión de todas las clases es el conjunto E, puesto que todo elemento x de E per­tenece a una clase (x ECl(x»).

3. Dos clases distintas son disjuntas. En efecto, si dos clases a y b tienen una intersec­ción =f <1>, existe x E a () b; entonces, por el teorema anterior, a = x = b.

Recuerde: Una partición de un conjunto E es una familia de subconjuntos no vacía, dos a dosdisjuntos, y tal que la unión de esos subconjuntos es igual a E.

Teorema. Las clases de equivalencia con respecto a una relación de equivalencia en un con­junto producen una partición de ese conjunto.

Nota. Este teorema muestra que una clase de equivalencia queda determinada por uno cual­quiera de sus elementos, llamado representante de la clase.

En efecto, sea a' E a, si x E á' =>(a eRa' ¡\ a CRx) =:>0 fRx.Entonces, 'rJxE a'; x E a', de donde a' e a.De la misma manera se muestra que a e a' a = a'.

Teorema. Si a' pertenece a la clase de a, entonces la clase de a' y la de a son idénticas.

La clase de a es la segunda proyección de la sección del grafo G<llpor el elemento a.

CJ(a) = a = {x :a<Rx}

Definición. La clase de a, módulo <R. es el conjunto de los elementos x EE, equivalentes a a,módulo (R. Se escribe Cl(a) o a.

Sea ffi una' relación de equivalencia definida en un conjunto E =F ljJ y a E E.

Clases de equivalencia

Ejemplo 3-28. La relación de paralelismo Uf) es una relación de equivalencia en el conjuntode las rectas del plano.

Ejemplo 3-27. La igualdad es una relación de equivalencia.

90 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Ejemplo 3-32. Las clases de equivalencia de la relación (= ),definida en el conjunto E de iasfracciones por alb = a'lb' -ee- ab' = a'b, son los números racionales, y elconjunto cociente

es el conjunto Q de los números racionales. Por abuso de lenguaje se escribe 2. = ~ en vez de. . 3 1

(~) = ({).

Ejemplo 3-31. Si la relación es (j/), las clases de equivalencia son las direcciones de las rectas.

Definición. El conjunto de las clases de equivalencia de E, módulo (R, se llama conjunto co­ciente de E por al y se escribe E/al.

Las clases de equivalencia son, por una parte, subconjuntos de E, y por otra, elementosdel conjunto E/IJ't..

Ejemplo 3-30. Las clases de equivalencia de Z/(3), donde (3) es «múltiplo de 3», son Ó, i, i,

Conjunto cociente

Figura 3-40

8 9

2

A

o -------:-,i I

8 I Ii ¡

5 i--- ---4 I '

,~I

61---

f r

1 1 l" ---

9 ---1--- 1---1:',I f

1 :7 ! II I

3 I I

i :2 ________ .:»:42 3 7 9 1 6 4 S 8 10

Los cuatro subconjuntos {2, 3, 7, 9}, {l, 6}, {4}, {5, 8, lO} forman una partición de A.(Vea Fig. 3-40.)

G(l) = G(6) = {l, 6}; G(4) = {4}; G(5) = G(8) = G(10) = {5, 8, lO}

Este subconjunto está formado por elementos equivalentes. De igual manera se haUa que

G(2) = G(3) = G(7) = G(9) = {2, 3, 7, 9}

Ejemplo 3-29. Considere los grafos de la Figura 3-39 que definen una relación de equivalencia.El corte del grafo según el elemento 2 es G(2) = {2, 3, 7, 9}, lo cual significa que 2 ,..:2,

2 '" 3, 2 ,....,7, 2 ,....,9. Como la relación es simétrica, entonces 3 '" 2, 7 "" 2, 9 '" 2, y, final­mente, como es transitiva, se tiene que 3 "" 3, 3 '" 7, 3 ,....,9, 7 ,....,3, 7 "" 7, 7 ,....,9, 9 '" 3,9 '" 7, 9 -: 9. Esto nos dice que

Recíprocamente a toda partición de un conjunto E, le corresponde una relación (R; de­finida en E por x(fty si x y y pertenecen al mismo subconjunto.

La transitiva proviene del hecho de que los subconjuntos son disjuntos.

91RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

A x (S Ve) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4). (b, 2), (b, 3), (b, 4)}

~~~ a) Un método adecuado de hallar A x S x e es emplear un árbol como se muestraen la Figura 3-41.

El producto A x S x e está formado por las ternas ordenadas que están a la derecha del árbol.

b) 1. Como S Ue = {2, 3, 4}, entonces

3. A x (B n C).4. (A x B) n (A xC).

1. A x (BUC).2. (A x B) U (A xC).

o. a) Sea A = {J ,.2, 3}, B = {2, 4} Y C = {3, 4, 5}. Halle A x B x C.b) Sea ~ = {a, b}, B = {2,.3} y C = {3, 4}. Halle

Producto cartesiano. Relaciones

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 3-35. En N, la relación «divide a» es una relación de orden.

Ejemplo 3-36. La inclusión es un orden parcial en C9(E).

Ejemplo 3-37. La relación :S es un orden total en N.

Cuando todos los elementos de E se pueden comparar dos a dos, el orden se llama total;en caso contrario, parcial.

En el primer caso se dice que el conjunto E es totalmente ordenado y en el segundo quees ordenado. Cuando E es totalmente ordenado, se dice que E es una cadena para la relaciónde orden. .

Ejemplo 3-33. En N, la relación :S es un orden.

Ejemplo 3-34. En <9(E), la relación de inclusión es una relación de orden.Dos elementos x y y de un conjunto E, dotado de una relación de orden (-<), son com­parables si una de las relaciones x ~ y o y ~ x es verdadera.

Un conjunto dotado de una relación de orden se llama un conjunto ordenado.

ReflexivaantisimétricaTransitiva

VXE E, x ~ x(x < Y 1\ Y ~ x) =- x = y(x ~ y 1\ Y -< z) => x < z

Se representa por «~» y se lee «precedente li» o «antes de». Para traducir que la pareja(x, y) verifica la relación de orden <, se escribe x ~ y, que se lee «x está antes que y» o <<X pre­cede a y». La relación recíproca se lee «y sigue a x». Entonces, si x, y, Z EE, y si ~ esuna relación de orden definida en E,

Relaciones de ordenDefinición. Una relación binaria, definida en un conjunto E, es una relación de orden si esreflexiva, transitiva y antisimétrica.

La siguiente definición matemática define el concepto usual que se tiene de «precede a».

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS92

Sóh.l~lir¡i.. . . .__ .'. ::n..s...::::E a) Sea (x, y) un elemento de A x e; entonces x E A Yy E e, por hipótesis A es un sub-conjunto de B y e es un subconjunto de D; entonces la pareja ordenada (x, y) E B x D. De donde se con­cluye que A x cc s x D.

b) Se va a mostrar que A x (BnC) es un subconjunto de (A x E) n (A x C). Sea (x, y) un ele­mento de A x (B n C); entonces x EA Yy EB n e. Por definición de intersección, y pertenece a B y ae, como x E A Yy E B, entonces (x, y) E A x B. Como x E A Yy E e, entonces (x, y) E A x e. De esto seconcluye que (x, y) E (A x B) n (A x e). Por tanto, A x (B n e)e (A x B) n (A x C).

. Ahora se quiere mostrar qu~ (A x B) n (A x C)e A x (B n e). Sea (z, w) un elemento de (A x B)n (A x e); entonces (z, w) EA x By (z, w) EA x C. De esto se sigue que z EA YW E B; z EA YW EC.Como W pertenece a B y a e, entonces W E B n c. Se tiene que Z E A YW E B n e; entonces (z, w) E A x(B n e). Por tanto, (A x e) n (A x e)e A x (B n e).

a) Si A e B y e eD, entonces (A x e)e (B x D).b) Demuestre que A x (B n e) = (A x B) n (A x e).

(A x B) n (A x e) = {(a, 3), (b, 3)}

3. Como B n e = {3}, entonces A x (B n e)= {(a, 3), (b. 3)}.4. Según 2, la intersección es

(A x B) U (A x e) = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3), (a, 4), (b, 4)}

Entonces,

2. Como A x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)}A x e = {(a, 3), (a, 4), (b, 3), (b, 4)}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 93

.<'<C: (1, 2, 3)(1, 2, 4)(1, 2, 5)

(1, 4, 3)

4~~(1, 4, 4)(1, 4, 5)

,<'<: (2, 2, 3)(2, 2, 4)(2, 2, 5)

(2, 4, 3)4<C: (2, 4, 4)(2, A, 5)

3<'<C: (3. 2, 3)(3, 2. 4)(3, 2, 5)

(3, 4, 3)

4 -c:::: (3, 4, 4)(3, 4, 5)

Figura 3-41

Según el diagrama,ffi(a) = b,(R(b) = c,(}~(c)= b y(R(d) = a. Entonces

G = {(a, b), (b, e), (e,b), (d, a)}

Dibuje las parejas de G en el diagrama E x E como se muestra en la Figura 3-42.

a) Sea E = {a,b,c,d} y<R la relación definida según el diagrama de laFigura 3-42. Halle el grafo de la relación (R y dibújelo en un sistema de coordenadas.

b) Sea E = {a. e, i, o, u}. Supongamos que ét es la relación que a cada letra de E le hacecorresponder la letra siguiente según el orden alfabético. Halle el grafo G de la relaciónél.

,:>}ff/'~':" •.,,:~....r.•_,.,~.:Z.:'F,~.,.".!::..~. •"'$ t 'tcI"'"~k:,..;~·~\-;,y~:,;'~i,<P(A) = {f/J. {O},{I}. {2}, {O. l}, {O,2}, {2, 1}, A}.<R = {(cIJ, f/J), (41, {O}), ... , (41, A), ({O},{O}), ({O}, {O, l}), ({O}, {O,2}), ({O},A), ({1}, {l}), ({I}, {O, 1}),

({I}. {l, 2}), ({l}, A), ({2}, {2}), ({2}, {O,2}), {{2}. {l, 2}), ({2}, A), ({O, 1}, {O,l}), ({O, l}, A), ({O, 2}, {O, 2}),({O,2}, A), ({l, 2}, {l, 2}), ({l, 2}, A), (A, A)}.

tl:~¡¡~:::~....-;:~rl:~f§.:i;J'.~~~ Sea A = {O,1, 2}, forme el conjunto de partes <J>(A). Halle la relaciónque determina en <J>(A) la inclusión.

:y:;::N.tP,·!.~'~.':."·,.~·v~~~.~.~~f.~~'~ 'hjt16.r'j(~k:.:'.~. _:.:_;"'¡':J~~:' Si uno de los tres conjuntos es vacío. entonces (S x T) x U = 4> = S x (T x U). Recí-procamente. suponga que (S x T) x U = S x (T x 0). Si S =F 41, T =F 41 y U -+ f/J. hay por lo menosun elemento (x,y) en (S x T) x U, X € S x Ty y € U.Pero (x,y) también debe serun elementode S x (T x Uj.Entonces x € S. Esto es una contradicción, porque x no puede serun elemento de S y de S x T. Por tanto,la hipótesis de que S 4= cIJ, T f 41 y U -+ 41 es falsa, y, por consiguiente, S, T o U es vacío.

Sean S, T y U tres conjuntos. Pruebe que (S x T) x U = S x (T x U)si, y solamente si, por lo menos uno de los tres conjuntos es vacío.

,~-,.~~~::..~~~~~~~~iill'~:~M'f¡i'{fjJ,:!;;1.;i!;.t;::¡:!.~~Ir.f1.·ili:.4N;Sean F y S las correspondencias de R en R definidas por: F = { (x,y)e RXR: X2+ 2y = 5} , S = {(x,y) € RXR: 2y -z = 3}. Calcular S oF y F o S.

Wi'gíu~i8i:;?,¡: 5- 2'Ji.:'¡;;_:'::J;:r";:::·¿'l.!,i· De la definición de F resulta que y = F (x) :;> y =-r' De la definición de S resultaque z =S (y) =*z =2y-3. 2

[ ] 5 -x 2 2 { 2}SoF(x)=S F(x) =2( -2- )-3=5-x -3=2-x .LuegoSoF= (x.z)eRXR·z=2-x

Analogamente de S = {(x,y): 2x-y = 3} y F= {(y,3): y2 + 2z = 5}se obtiene:

{5 -C2X-3)2}F o S:::: (x,z):z: 2

':.-S¿i~~i6~<iS T' ti S T T2 T S S A.' T A.' l' d fi . ió:::!••:' .•.•, ';:'::.' = unp ca que x = = x ; y = 'f' o = 'f' unp lea, por e nrci Dde producto cartesiano de cualquier conjunto y el conjunto vacío, que S x T = cIJ = T x S. Por tanto,S x T = T x S, cuando S = T o S = 1> o T = 41. Recíprocamente, suponga que S x T = T x S. Tam­bién debemos suponer que S f f/J y T =F 41. Sea t e T y S E S (tales elementos existen porque se supone quelos dos conjuntos son diferentes del conjunto vacío). Entonces (8, t) € S x T y como S x T = T x S,(s, t) E T x S. Entonces, de la definición de T x S se sigue que t E S y S E T. Por tanto, Te S y Se T,o sea, T = S. - -

~}!/t~f!t~"f!fIi~'!fJJ/¡Sean S, T dos conjuntos. Pruebe que S x T = T x S si, y solamente si,S = T o uno de los dos conjuntos es vacío.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS94

Figura 3-44Figura 3-43

3

E

5

F

ea432

CR-1 = {(3, 1), (5, 1), (3,2), (5,2), (5, 3), (5,4)}

b) CRestá dibujada en el producto cartesiano E x F como lo muestra la Figura 343.e) La recíproca de al está formada por las parejas que definen a (R con el orden transpuesto; entonces

<R = {(1,3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3,5), (4, 5)}

tonces6l está formada por las parejas ordenadas (x, y) E E x F, para las cuales x < y; en-

a) Escriba a 6l. como un conjunto de parejas ·ordenadas.b) Dibuje a <R en el producto cartesiano E x F.e) Halle la relación recíproca 6l.-1.

_"'"""-'__ --.r._~~ Sea 6l. la relación < de E = {l, 2, 3, 4} a F = {l, 3, 5}, es decir, de­finida por «x es menor que y». (Vea Fig. 3-43.)

b) 6l.(a) = b,6l.(e) = J.6l.(i) = ¡,6l.(o) = p y!11(u) = v. Entonces

G = {(a, b), (e,j), (i,j), (o,p), (u, vn

Figura 3-42

Ea bcd

a

b

dI

G

e

EE

E

96RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) 1. El dominio de CR está constituido por el conjunto de los primeros elementos queforman las parejas de eR. es decir, el conjunto {l, 4, 3, 7}.

Figura 3-46

2R

'"'1.Si <R es la relación CR= {(1, 5), (4, 5), (1, 4), (4, 6), (3, 7), (7, 6)}:

a) Halle: 1, el dominio de CR,2, el conjunto de valores deCR.b) Sea<R= {(x, y)jxER, y'ER, 4x2 + 9y2 = 36}. Construya un dibujo deCRen el pro­

ducto cartesiano R x R y halle: 1, el dominio de m; 2, el conjunto de valores de eH; 3, (R -1.

Figura 3-45

y<3-x

R

y ~ sen x~

RR

b) y < 3 - x, . e) y ~ sen x

R

Haga un dibujo en R x R de las siguientes relaciones:

<R-1 = {(b, a), (a, b), Cb,b), (d, b), (e, b), Ce,e), (a, d), (b, d)}

~C~ ..: a) ~Larecta horizontal que pasa por b y que contiene todos los puntos de CR en los cua­

les b es la segunda -componente son: (a, b), {b, b),y (d, b). Entonces el conjunto pedido es: {a, b, d}.b) La recta oblicua que pasa por d que contiene todos los puntos de <R en los cuales d es el primer

elemento son: (d, a) y (d, b). Entonces {a, b} es el conjunto pedido.e) Como CRes:CR= {(a, b), (b, a), (b, b), (b, d), (b, e), (e, e), (d, a), (d, b)}. Entonces<R-1 se obtiene

transponiendo las parejas deCR

~ __ """IWíIi~ Sea E = {a, b, e, d} y <R una relación en E formada por las parejas quese muestran en el producto cartesiano E x E en la Figura 3·44.

a) Halle todos los elementos en E que estén relacionados con b, es decir, {x : (x, b) E <R}.b) Halle todos los elementos de E que estén relacionados con d en el conjunto de partida.e) Halle la relación reciproca <R - l.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS96

f~:·S~~" ~¡Y·"·''Tf: .o.luc,()n a) 1. Como todo número es divisor de sí mismo. la relación es reflexiva.

2. Como 3 + 3 =f 10, 3 no está relacionado consigo mismo, entonces ffi no es reflexiva.3. El máximo común divisor de 5 y 5 es 5; por tanto. (5. 5) e(R Entonces ffi es reflexiva,b) Si una relación en E es reflexiva, entonces (1, 1), (2. 2), (3, 3) deben pertenecer a la relación. Enton­

ces las únicas relaciones que son reflexivas son ah y CR5'

CR.l = {(l, 2), (3,2), (2,2), (2. 3)}CR2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}CR3= {el, 1), (2,2), (2, 3), (3,2), (3, 3)}(R4 = {(1, 2)}CRs= E x E

-Problema 3-14 a) Las siguientes expresiones definen una relación en el conjunto N delos números naturales. Diga cuáles de ellas son reflexivas.

1. x divide a y. 2. x + y = 10. 3. x y y son primos relativos.b) Si E = {l, 2, 3}, ¿cuáles de las siguientes relaciones en E son reflexivas?

Solución a) (H no es reflexiva si hay por lo menos un elementox E E. tal que (x, .r) rj;CR.b) CRno es reflexiva porque 3 EE Y (3, 3)~(R

t¡~~~~tii\~~~:f¡(¡f~~'a) ¿Cuándo una relación (fl en un conjunto E no es reflexiva?b) Sea E = {l, 2,3, 4} y <R = ((1,1), (1. 3), (2,2), (3, 1), (4, 4)}. ¿Es reflexiva CR.?

Relaciones reflexivas

~§lti~~Ó~;:;a) Como CR-1 está formada por las mismas parejas de <:R, excepto el orden. cada primerelemento en (Res segundo elemento en CR.-I, y viceversa; entonces el dominio de <R es el conjunto' de valo­res de (R-l 'y el conjunto de valores de CR es el dominio de (R-l.

b) El conjunto solución de 2x + y = 10 es: CR= (ti, 8), (2,6), (3,4), (4,2), ... } a pesar de que hayun número infinito de elementos en N.

1. El dominio de CRestá formado por los primeros elementos de <R, es decir, {1, 2, 3, 4, ... }.2. El conjunto de valores de <Restá formado por los segundos elementos deCR,es decir, {8, 6,4,2, ... }.3. CR-l = {(x, )I)!X EN, r EN, x + 2.1'= IO]. Entoncesffi-l = {(8, 1), (6,2), (4,3), (2,4), ... }.

~~~~~~~0~.:a) ¿Qué relación, si la hay, existe entre el conjunto de valores de unarelación CRy el dominio y el conjunto de valores de m- I ?

b) Sea <n la relación: m= {(x, y)jxeN, yeN, 2x + y = lO}.Halle: 1, el dominio de ffi; 2, el conjunto de valores de CR;3, <R -l.

2. El conjunto de valores de m está constituido por los segundos elementos de las parejas que formanam, es decir, por el conjunto {5, 4,6, 7}.

b) El dominio de mes el intervalo [ - 3, 3], puesto que cada recta vertical que pasa por cada uno deestos núineros, y solamente estos números, contiene por lo menos un punto de(R.

El conjunto de valores de m es el intervalo [-2, 2J,puesto que la recta horizontal que pasa por cadauno de estos elementos, y solamente estos elementos, contiene por 10 menos un punro de m.

m-¡ es: m-I = {(y,x)/xeR, yeR, 9X2 + 4)12 = 36}.

97RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

¿Cuáles de estas relaciones son antisimétricas?

<Rl = {(1, 1), (2, 1), (2,2), (3, 2), (2, 3)}<R2 = {el, l)}<R3 = E x E

a) ¿Cuándo una relación (R en un conjunto E'no es antisimétrica?b) ¿Puede una relación CRen un conjunto E ser a la vez simétrica y antisimétrica ?e) Sea E = {l, 2, 3}. Considere las siguientes relaciones en E: .

Relaciones antisimétricas

métrica.b) Como (Rym: son subconjuntos de E x E, entonces (Rn (R' es también un subconjunto de E x E

y es, por tanto, una relación en E.Sea (a, b) E (Rn(R'. Entonces (a, 6) E (RY (a, b) e (R'. Como (Ry CR'son simétricas, (h, al también per­

tenece a (fl y (b,a)'a (R', entonces (b,a)e(Rn(R'.Se mostró que (a, b) e (Rn (R', entonces (b, a) e (Rn (R'; por tanto, (Rn (R' es simétrica.

Diga cuáles son simétricas.b) Si (R y CR'son relaciones simétricas en un conjunto E, entonces (Rn CR'es una relaci.ón

simétrica en E.

(flI = {(l, 1), (2, 1), (2,2), (3, 2), (2, 3)}<R2= {el, l)}CR3= E x E

.$l §",.

'.~ -4!t. a) al no es simétrica si existen elementos a E E, b e E tales que (a, b) e(R,y (b, a) r¡CRObserve que a =1= b, de otra manera (a, b) e CR implica (b, a) e<R.b) Si E es el conjunto nulo O si E contiene solamente un solo elemento, entonces toda relación en E

es simétrica.e) 1. 2 divide a 4, pero 4 no divide a 2, (2, 4)E<Ry (4,'2)~(ft Entonces (fl no es simétrica.2. Observe que (2,4) E CRy (4; 2) ~<R, es decir, 2 + 2(4) = 10, pero 4 + 2(2) =1= 10. Entonces (R 00

es simétrica.

¿cuáles de dichas relaciones son simétricas?

2, x + y = 10;1, x divide a y;

lialIiIliiOo:lIoIitJ;',;;~~;'=81.P'3-15· a) ¿Cuándo una relación <Ren un conjunto E no es simétrica?b) ¿Existe un conjunto E para el cual toda relación en E sea simétrica?e) Si al es una relación en e1 conjunto de los números naturales N, definida por

Relaciones simétricas

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS98

... .....L>,,~:;,·~~_-t!....·ii!: a) Si (a, b) y (b, e)effi-1, entonces (e, b)effiy (b,a)E<R. Como Ol es transitiva., (e, a)effi,entonces (a, e) € <R- ¡•

b) ()tI y ffi3 son transitivas, pero ffi:! no, puesto que (2,1) effiz, (1,2) eCR2, pero (2,2) M2'

a) Demuestre que si una relación <R es transitiva, entonces la relaciónrecíproca (R - 1 también es transitiva.

b) . Si E = {l, 2, 3},.¿cuáles de las siguientes relaciones en E son transitivas?1. <RI = {(1, 2), (2, 2)}.2. <R2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)}.3. CR3 = E x E .

3 + 2(2) =1= 5pero1 + 2(2) = 5,3 + 2(1) = 5,

•:: ..~ .:.!: 'f,:·;:;;';i$::l1~·N~ ~f.I.~'~~tfa) CRno es transitiva si existen elementos a, b y e en E, no necesariamente distintos, talesque (a, b) eCR, (b, e) eCR, pero (a, e) ~ffi.

b) 1. Como a ~ b y b ~ e, entonces a .$; e; por tanto, la relación es transitiva.2. <R no es transitiva, puesto que (3, 1) €ffi, (1,2) e<R, pero (3, 2) ~(R, es decir,

... ' ......... ., ..... - ......... ¡,: ....._....,' .. - ....'.p .. ·b1'·;:-:·:~··::jl't!t:g::l.:. ·r:g.::.~'!J~;~::!!#.~:;.:fia) ¿Cuándo una relación <R en un conjunto E no es transitiva?

b) Verifique si las siguientes relaciones en el conjunto de los números naturales N sontransitivas o no.

1. x es menor o igual a y.2. x + 2y = 5.

Relaciones transitivas

~";t:n'~::~::,~~"-';;;;:~l!"Sc;W·éxts.:-.. ;,..;.\J..~..:~.'" a) La relación ffi = {(1,2), (2,1), (2,3)} no es simétrica puesto que (2,3)eCR, pero

(3, 2) f,iCR Además, CR no es antisimétrica puesto que (1, 2) e CR y (2, 1) effi.b) 1. Si a =1= b, entonces a < b o b < a; entonces ffi es antisirnétrica.2. El conjunto solucióo es (R = {(2,4), (4,3), (6,2), (8, 1)}. Note que ffi nffi -1 = 4>, que es un sub­

conjunto de la diagonal de N x N. Entonces <R es antisimétrica.3. Como a divide a b y b divide a a. entonces a = b, CR es aotisimétrica.

¿cuáles de dichas relaciones son antisimétricas?

3, x divide a y;2, x + 2y = 10;1, x es menor que y;

;~m: ••:.:.:,;z.,,~:¡~;;:~:.."=ti:'~;otif.....""Sl'-m",:i .':::•.,,-,~9:1~ifbJ~::~~a) Si E = {1, 2, 3}, dé un ejemplo de una relación ffi en E tal queCRno sea ni simétrica ni antisimétrica.

b) Si (R es una relación definida en el conjunto de los números naturales N por:

f:E~~.~~!~~.~~: a) CR no es antisimétrica si existen elementos a e E y b e E, a =1= b tales que (a, b) eCR

y (h, a) eCR.h) Cualquier subconjunto de la diagonal de E x E, es decir, cualquier relación ffi en E2 para la cual

(a, h) e ffi implica a = b, es simétrica y antisimétrica.e) ffil no es antisimétrica puesto que (3, 2)eCR1 y (2, 3)effi¡.ffi2 es antisimétrica.Oi , no es antisimé­

trica puesto que si (a, b) E E x E, entonces (b, a) e E x E.

99RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

de Ya X.

b) Defina a Ix = {(x, y)j(x, y) E X X Xy x = y}. Sea S una relación de X a Y.Demuestreque 1., o S = S y S o t; = S.

a) Sea S una relación de X a Y. Demuestre que S- 1 es una relación

2. El dominio de S () CRes [ - l,2J, puesto que una recta vertical que pase por cada punto de esteintervalo, y solamente uno de estos puntos, contiene un punto de S ()<R'.

3. El conjunto de valores de 3 ()<R' es [O,4J, puesto que una recta horizontal que pase por cada puntode este intervalo, y uno solo de estos puntos, contiene por lo menos un punto de S n<R'.

Figura 3-47

R

Construya S yCR' en R x R con rayados distintos. Entonces S ()<R' está dada en la

Sea $ = {(x,y)jxER,YER,y ~ x2}CR' = {(x,y)/xER,YER,y ~ x + 2}.

1. Haga un dibujo de S (1<R' en R x R.2. Halle el dominio de S n<R'.3. Halle el conjunto de valores de S (lCR'.

_-J.*f •.-IOUn.....,;,:.. a) 1. Si (a, b) e<RUm" entonces (a, b) pertenece a (Ro a<R·',que son simétricas.Entonces (b, a) también pertenecen a <R o CR'.Por tanto, (b, a) e(RU CR'y (RU m' es simétrica.

2. <R es reflexiva si contiene la diagonal de E x E, pero D C <R y mC (RU CR.'implica queDCffiUm'. EntoncesCR.UCR' es reflexiva.

b) 1. CR= {el, 2)} y CR'= {(2, l)} son antisimétricas; pero ffi U CR= {(I, 2), (2, in, que no esantisimétrica.

2. m = {(1,2)} Y(R' = {(2,3)} son transitivas; pero m uCR' = {(1,2), (2,3)} no es transitiva.

tes proposiciones:1. Si (R y (R' son simétricas, entonces (RU (R' es simétrica.2. Si <R es reflexiva y m' es cualquier relación, entonces <R U(R' es reflexiva.

b) Demuestre que las siguientes proposiciones son falsas dando un contraejemplo.l. Si (R y m' son antisimétricas, entonces (RUm' es antisimétrica.2. Si m y m' son transitivas, entonces (RU (R' es transitiva.

a) Si <R y (R' son relaciones en un conjunto E, demuestre las siguien-

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS100

i .':·j'~~·:;;·:1?i::~::::J~~:,·,_:~~~l:~ta) Sea S reflexiva. Sea (x, y) E Ix. Entonces x = y. Pero (x, x) €o S, puesto que S es refle­xiva. Entonces (x, y) = (x, x) E S. Ix e S. Sea ls: e S para demostrar la recíproca. Sea x e X. (x. x) E Ix­Pero t,e S. Por tanto, (x, x) E S y ~ es reflexiva.

b) S es irreflexiva ssi (x, x) fi S para todo x E X ssi (X. x) rt S para todo (x, x) e I, ssi S n Ix = 4>.e) Suponga que S es transitiva. Si (x, z) E S e S. entonces (x, y) E S y (.1'. Z) ES para algún y EX Pero

si S es transitiva, entonces (x, z) E S. S e S e S.Recíprocamente, sea S o S e S. Suponga que (x, y) E S. (y. z) ES. Entonces (x, z) E S" S- Como

~ o S c~, también (x, z] E S. Por tanto, S es transitiva.d) Suponga queS no es transitiva, ~ (x, y) E S Y (y, z) E S => (x, z) ~ S, Sea (x, Z) E S·\ S. Entonces

(x, y) E S y (y, z) E S para algún y e X. Por tanto, (x, z) rt 3. (S S) n S = 4>. Recíprocamente. sea (S" S) n~=4>. Sea (x,y)eSy (y,z)~S. (X,Z)ES()~. (x,z)~S,

e) S es simétrica ssi «x, y) E S implica que (y, x) ES) ssi «x, y) E S implica lr. x) E~ -1) ssi Se S - Issi S= S-l.

f) Suponga S antisimétrica. Suponga (x, y) E ~ n S- l. Entonces (x, y) E ~ Y (A. y) E ~ - t => (y, x) E S.Por la antisimetría x = y. (x, y) = (x, x) E Ix. Reciprocamente, sea S n S- t e Ix. Sea (x, y) E S y(y,X)ES. Entonces (x,y)eS y (x,y)e3-1• (x,y)eSnS-1• (x,Y)E/x' x=y.

g) Si S es transitiva, entonces S"SCS. Sea (x,y)eS. Por la reflexividad (x,x)eS. Por tanto.(x, y) E S e S. S e S o S. No, la recíproca no es verdadera. Por ejemplo, para X = 1, y S = O.

t:j:Iit.IIl~~~If5!:5:1ifft.;;u:~.Jl!.~<::~:fl:: Demuestre que' para una relación S en, X:

a) S es reflexiva ssi t,e S.b) S es irreflexiva ssi Ix n S = 4>.e) S es transitiva ssi (S" S) e s.d) S no es transitiva ssi (S e S) n S = 4>.e) S es simétrica ssi S = S- l.f) S es antisimétrica ssi S n S-1 e t;g) Muestre que si E es transitiva y reflexiva, entonces S :' S = S. ¿Es verdadera la re­

cíproca?

:> i~~~ti1fi;'~.a) y E S(A) implica que (x, y) e S para algún x e A que a su vez implica que ye Y.b) Z E (5'0 S)(A)ssi (x. z) E:r, S para algún XE A ssi (x, y) E Sy (y, z) e 3'para algúnye Yy XEA ssi

(y, x)e T para algún yESCA) ssi =eg:(S(A».e) y E StA) U S(B) implica y E S(A) o Y E S{B) que implica (XI' y) E S para algún Xl E A o (Xl' y) E S

para algún X2 e B que a su vez implica que (Xl' y) E ~ para algún Xl E A U B o (xz, y) E S para algúnX2 EA U B que implica y E SeA U B).

y E S(A U B) implica que (x, y) E ~ para algún x E A U B. Si x E A, entonces (x, y) E S para algúnx E A, entonces y E S(A), Por otra parte, x E B, entonces (x, y) E S para algún x e B, lo que da y E S(B). Encualquier casov j: E SeA) U S(B).

d} y eS(A n B) implica que (x, y) E S para algún x E A n B, que a su vez implica que x E A y X E BY (x. 1') E S para algún X E X que implica que y E S(A) y J' E SeD) que implica y E SeA) n S(B).

·HH • ~~~~~;¡;1~1ÉflEo<:,'~~~",;%!~r Sea S una relación de X a Y y 5" una relación de y a Z. Defina paraA e x, S(A) = {y/tx, y) E S para algún x E A}.

a) Demuestre que SeA) e Y.b) Demuestre que ([Fo S)(A) = 5-'(S(A».e) Demuestre que SeA U B) = SeA) U S(B).d) Pruebe que S(A n 8) e S(A)n S(B).

¡:,.¡ ;;;.··.;:1 ...... ",:'!'.U!¡O::"""""',s"'I" ".,-~t,,~ui~'~11.lt:a) Como X x X y S son conjuntos, S-l = {(y,x)/(y,x)e y x X y (X,Y}E~} es unconjunto. S - I es una relación de Y a X puesto que es un subconjunto de y x X.

b) Sea (x, y) E S. Entonces ye Y y, por tanto, (y, y) E Iy, Entonces (x, y) e I,o S. Por otra parte, sea(x, y) E 1, oS, (x, z) E ~ Y (z, y) E 1)' para algún Z E Y. Pero (z, y) E l, da z = y. z = y implica que (x, y) eS.La segunda ecuación se demuestra por un razonamiento similar.

101RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

SiE= {a,b,e,d,e} se particiona delasiguiente manera: E, = {a};Ez{b,d} ; E3 = {e} ;-E4 = {e} . Dé la relación de equivalencia que inducen estos cuatro subcon­juntos.

:.SÓ!~'f.~"i!:a) <R es reflexiva porque a s a para todo a eN.b) m no es simétrica, porque, por ejemplo, 3 s 5, pero 5 $ 3, es decir, (3,5) E.m, pero (5,3) f1me) <R es transitiva, puesto que a ~ b y b ~ e implica a ~ e.d) <R no es una relación de equivalencia, puesto que no es simétrica.

e) Transitiva.d) Una relación de equivalencia.

Sea <R la relación ::; en N* = {1, 2, 3, ... }, es decir, (a, b) E <R ssi

Relaciones de equivalencia y particiones

Para e: {{O}, {i}, {2}, {4}, {5}, {6}, {7}}.Para d: {{O, 2, 4, 6}, {l, 3, 5, 7}}.

Transitivas: a, b, e, d, e.Atransitivas: fOrdenes: a, e.Relaciones de equivalencia: e, d.

Simétricas: e, d.Antisimétricas: a, b, e, e, fReflexivas: a, e, d.Irreflexivas: b, e, f.

b) S - Is.e) Is.d) l8 U {(O, 2), (0,4), (0,6), (2,O), (2,4). (2,6), (4,O), (4,2), (4,6),

(6,O), (6, 2), (6,4), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 1), (3, 5), (3, 7),(5,1), (5,3), (5,7), (7,1), (7,3), (7,5)}.

e) {(5, O), (6, O), (7, O), (6,1), (7,1), (7,2)}.f) {(O,1), (1,2), (2,3), (3,4),' (4, 5), (5,6), (6,7)}.

a) S = {(O,O), (0, 1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), (0,7),(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7),(2,2), (2, 3), (2,4), (2, 5), (2, 6), (2, 7),(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7),(4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (5,5), (5,6), (5,7), (6,6), (6, 7), (7,7)}

Construya las siguientes relaciones sobre el conjunto:

8 = 8 U {8}.==, {O,1, 2, 3,4, 5, 6, 7}

vea la definición del problema 3-30.a) ::;, siendo x ::; y ssi y - x E 8. -b) <, siendo x < y ssi y - x E 8 y y - x =1= <P­e) =, siendo x = y ssi y - x = O.d) "', siendo x '" y ssi y - x es un entero divisible por 2.e) *, siendo x * y ssi 4 < x-y.f) &, siendo x & y ssi y - x = 1. .¿Cuáles de las relaciones son simétricas, antisimétricas, reflexivas, irreflexivas, transitivas

y atransitivas? ¿Cuáles de las relaciones soo órdenes? ¿Cuáles son relaciones de equivalencia?Para cada relación de equivalencia, ¿cuál es la correspondiente partición de 8?

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS102

1. [{a; b; e, d}].

2. [{a}, {b, e, dH [{b}, {a, e, d}], [{e}, {a, b, d}], [{d}, {a, b, en[{a, b}, {e, d}], [{a, e}, {b, d}], [{a, d} , {b, e}].

3. [{",}, {b}, {e, d}], [{a}, {e}, {b, d}], [{a}, {d}, {b, en [{b}, {e}, {a, d}][{b}, id}, {a, e}], [{e}, {d}, {a, b}].

4. [{á}, {b}, {e}, {d}].En total hay quince particiones diferentes.

Halle todas las particiones del conjunto X = {a, b, e, d}.

Particiones

13,]3 U {(O,1), (1, O)}, 13U {(2,O), (0,2)}, 13U {el, 2), (2,J)}, 3 x 3

Las relaciones de equivalencia correspondientes son:

{{O},{I}, {2}}, nO, l}, {2}}, {{0,2}, {l}}, {{l,2}, {O}},{{O,1,2}}

Las particiones del conjunto 3 = {O, 1, 2} son:

___ ,"",,"--,;;,,;.......;ó;_, Se define: 0= 4>, 1 = OU {O}= 4> U {O}= {O},2 = 1 U {l} = {O}U {{O}}= {O,llo3 = 2 U {2} = {O, 1} U {2} = {O, 1, 2}.

Construya todas las relaciones de equivalencia que hay en el conjunto 3.

Para todo (a, b) E N x N, (a, b) ~ (a, b), puesto que ab = ba; entonces ffi es reflexiva.Suponga que '(a, b) ~ (e, d). Bntoncescz = be, que implica que ed = da. Entonces (e, d) :: (a, b) y,

por tanto, <R es simétrica. .Ahora suponga que (a, b) ~ (e, d) y (e, d) ~ (e,f). Entonces ad = be y el = de. Así, (ad)(ef) = (be)(de)

y empleando la cancelativa, se tiene que af = be. Análogamente, (a, b) ~ (e, f). Por tanto, <R es transitiva.Como <R es reflexiva, simétrica y transitiva, CRes una relación de equivalencia.

Sea N = {1, 2, 3, ... } y ffi la relación '" en N x N definida por(a, b) ~ (e, d) ssi ad = be.

Demuestre que CRes una relación de equivalencia.

-.. ......_ ..... E 1diagrama adjunto muestra .que la relación de equivalencia determinada por la parti­ción dada es CR= {(a, a), (b, b), (d, b}, (d.b), (d,d), (c.c),(e,e) }

103RELACIONES. ENTRE CONJUNTOS

Para todo X de A, X = x; por tanto, (x, x) E l,.. Reflexiva.Si (x, y) E ÍA• entonces x = y; por tanto, (y, x) € lA' Simétrica.Si (x,y) E l .•• y (y, z) € lA, entonces x = y y y = z; por tanto, x = z y (x, z) E lA' Transitiva.(x, y) E lA si, y solamente si, (y, x) € lA. es decir. y = x; por tanto, (x, y) E f,.. <P = {{x}: x E A}.

>Di .. t ffili,1$] ~ .....iij~1l0 . e.ma _'-~.. . . ., .ti! 6~ ••.¡,¡:u.:c2-illi __ ~l A es un conjunto, entonces lA, la relación idéntica en A, es unarelación de equivalencia. Verifique esto y muestre que rAI = lA' ¿Qué partición induce lA?

o sea la recta paralela a OX2 a distancia una unidad.

1. a) CResreflexiva. V(XI, X2) E Rx Ri corno x¡ =XI=(Xl. X2)<R(X¡,Xz)b) Simétrica. Si (X¡,X2)(R(YI.Y2) =>XI =YI => (y ¡,yz)(R(xI,X2)'e) Transitiva.si (xl.Yz)(R(Yl,Y2) => XI =Yl }

(YI,Y2)(R (ZI.Z2) =>YI =zl => XI =zl ~ (XI.X2) (R (Zl.Z'l)'

2. Sea C(l-;-l) la clase asociada al par (1,-1). Esta determinada por:

C(l;-l) ={(XI. Xl) e RxR: Xl =1}

XlC(l,-l)

o

~·p,-i~l~·rn.~;~~H~ti¡tEn el conjunto R xR de todos los pares de números reales se defi­ne la relación binaria <Rpor: (Xl' Xz) (R (y J , Y2) -ee- x¡ = Y I .

l. Probar que <R es una relación de equivalencia sobre R xR.2. Determinar la clase asociada al par (1, - 1) Ysobre unos ejes ortogonales cartesianosrepresentar esta clase.

a) {A 1> A2, A3} no es una partición de X porque f € X, pero f no pertenece a ningunode los tres conjuntos.

b) {Bl. B2, B3} no es una partición de X porque e EX pertenece a BI y B3'e) {el' el' e3} es una partición de X porque cada elemento de X pertenece exactamente a una' par­

te, es decir, X = el Uez UC3 y los conjuntos son disjuntos dos a dos.d) {DI} 'es una partición de X.

Sea X =' {a, b, e, d, e, f, g} y sea

a) Al = {a, e, e}, A2 = {b}, A3 = {d, g}.b) B¡ = {a, e, g}, B2 = {b, e,j}. E3 = { e }.e) el = {a, b, e, g}, e 2 = {e}, e 3 = {d, j}.d) DI = {a, b. e, d, e,j, g}.¿Cuáles de los siguientes conjuntos son particiones de X?

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS104

ffi = {(a, a), (h, h), (b, d), (d, h), (d, dl, Ce. e), (e, e)}.

·j:i~§!!mit.:}@~;·-Si S = {a, b, e, d, e} se reparte de la siguiente manera: SI = {a},S2 = {b, d}, S3 = {e}, S4 = {e}. Dé la relación de equivalencia que inducen estos cuatrosubconjuntos.

(1,1), (1,2). (1,4), (2,1), (2.2), (2,4), (4, !). (4.2), (4,4).

'-::#i§h1tima ~-38. Suponga que SI = {l, 2, 4} es una clase de equivalencia con respecto auna relación de equivalencia en un conjunto S. Dé los elementos que deben pertenecer a larelación de equivalencia para que SI sea un subconjunto de S.

Solución a es equivalente a: a y d; h es equivalente a: b, e y f; e es equivalente a: b, e y 1; d es equi-valente a: a y d; e es equivalente a: e; fes equivalente a: b. (' y f.

Las clases de equivalencia son: SI = {(I, d}; S2 = {b. c. f} y S3 = le:.Estos conjuntos on disjuntos dos a dos y su unión es S.

- 'r.. ':,""~/-;;:rl$:.""!"";...qy~.....,.

tr.·R.j~~J1l!Sea S = {a, b, e, d, e.f) y CR= :«(1, a). (a, d), (b, b), tb. e), (b,f), (e, b).(e,e), (e,f), (d,a), (d,d), (e,e), (f, b), (f,c) (f,f)} una relación de equivalencia. Dé los ele­mentos equivalentes a cada uno de los elementos de S. Dé las clases de equivalencia y muestreque forman una partición de S. .

~··"~·;:~~~:-:~i·~'..'" ;.:;!~!l!e.6('.,·... Reflexiva. Si x es un entero, x· x ~ 0, y. por tanto, (x, x) e(R.

Simétrica. Si x y y son enteros y x :)' ~ O=:,-y . x ~ 0, por tanto. (y. xl e(RNo es transitiva. porque. por ejemplo. (-1, O)e (R y (O.Ile<R, pero (- 1, 1)~ffi.Para que sea una relación de equivalencia hay que quitar de Z el cero y agregar (/ . h ~ O.

~~;~.~.;-':":?'::~~~~~~~~~;~l~~J!m!~:..;¡~~ En el conjunto Z, considere la relación affi bdefinida por

.affi b -= a . b ~ O¿Es CR una relación de equivalencia? Si no lo es, ¿qué condiciones debe agregar para que

sea relación de equivalencia?

"-~Si!l.;__1:"":i:~~·::..~~~~.'6Qlij,fllQ"<..~!I!f!¡."i·:~,;~,_o:.-¡j•.,~í;.:·Reflexiva. (a, b) ~ (a, b) porque a + b = b + a.

Simétrica. Suponga que (a, b) ~ (e, d), entonces a + d = b + e, lo cual implica que (' + b = d + a.Así, (e, d) ~ (a, b).

Transitiva. Suponga que (a, b) ~ (e, d) y (e, d) ~ (e, f). Entonces a + d = b + e y e + f = d + e.Así, (a + d) + (e + f) = (b + e) + (d + e):::> a + f = b + e, es decir, (a; b) ~ (e, f).

Esto muestra que (R es una relación de equivalencia.

1!l~""~Considere el conjunto N x .N, es decir, el conjunto de las parejasde números naturales. Sea <R una relación en N x N, definida de la siguiente manera:

(a, b)(R(e, d) si, y solamente si, a + d = b + e

Pruebe que ffi es una relación de equivalencia.

:105RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

_. ..~::t<~I~::;;;Solución' ) e 3 divid 4 l coni lm d da omo no IVI e a ,e conjunto no es tota ente or ena o.

b) Como 2 divide a 4 y 4 divide a 8 y 8 divide a 16, el conjunto es totalmente ordenado.e) El conjunto no es totalmente ordenado porque, por ejemplo. 2 y 3 no son comparables.d) Cualquier conjunto que contiene un solo elemento es totalmente ordenado.

La relación <<X divide a )1» en el conjunto de los números naturales de­fine un orden parcial. i.Cuáles de los siguientes subconjuntos de N son totalmente ordenados?

a) {4, 3, 15}; b) {2, 4, 8, 16}; e) {t, 2, 3,' ... }; d) {5}.

La Figura 3-49 muestra que la relación es un orden parcial.

La Figura 3-48 permite clasificar por niveles los elementos del conjunto. En el nivel O, I no es divisiblesino por sí mismo; en el nivel 1 figuran los números primos divisibles por sí mismos y por la unidad; en elnivel 2, los números divisibles por dos factores y por la unidad, etc. Las flechas del dibujo indican que severifica la relación de divisibilidad; así, son divisibles por 7: L4, 21, 28, 42 Y84. Al contrario, 12 no es di­visible por 7; 6, 7,14,21,42, no lo son por 4, etc. No se muestran las flechas que indican la propiedad tran­sitiva.

Figura 3-49

NivelO

. Nivel I

Nivel 2

Nivel 3

2

3

4

6

7

12

14

21

28

42

84

Figura 3-48

Nivel 484

64 12 14 21 28 42 84732

i Sea E = {l, 2, 3, 4, S, 6. 7, 12, 14, 2J, 28, 42, 84} y considere la relación«divide ID>. Muestre que la relación de divisibilidad es un orden parcial y construya un retículoque muestre por niveles los diversos elementos del conjunto.

DE ORDEN

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

RELACIONES

106

Suponga que N x N está ordenado lexicográficamente. Compare Jossiguientes pares de elementos:

a) (10, 14) Y (3, 4); b) (3, 2) Y (7, 12); e) (2, 5) y (2, 11).

9 < 354 -< 16;3 < 7;

Un número que esté en una fila superior precede a un número que esté en una fila inferior y si dos númerosestán en la misma fila, el número que está a la izquierda precede al que está a la derecha. Entonces

Los elementos de N se pueden escribir de la siguiente manera:

NO 2 3 4 5 6 7

O 1 3 5 7 9 11 13 J5r 1 2 6 lO 14 18 22 26 30

2 4 12 20 28 36 44 5.2 60

Suponga el conjunto N de los números naturales ordenado de la si­guiente manera: cada par de elementos a, a' E N se pueden escribir unívocamente en la formaa = 2' (2x + 1), al = 2,1 (2X' + 1) con r, r', x, x' E N.

Sea a <, al si r < r' o si r = r' y x < x'. Compare los siguientes pares de números: (3, 7),(4, 16) Y (9, 35).

Como hay una trayectoria de d a b y a a, d precede a a; entonces a< o.Como hay una trayectoria de e a e y a a, e precede a o; entonces e< Q.

Note que e y d no son comparables, porque no existe ninguna trayectoria que los una.

rt:~ Ir ";7!iS'S:ii~U~~B El orden inverso se halla invirtiendo el diagrama original e invirtiendo las flechas:

Construya el diagrama que defina el orden inverso. Compare las parejas de elementos (d,a) y (e, a).

Sea E = {a, b, e, d, e} ordenado según lo indica el siguiente diagrama..

107RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Demostración. a) Como <R es reflexiva. (a,a)ECR para 'VaEX y,. por tanto, aE[aJ.

b) Suponga que (a. b) Effi. Se quiere mostrar que [a] = [b]. Sea x E [b]; entonces ib, x) e(Jt Por hi-pótesis, (a,b)ECHy por la transitividad (a,x)Effi. Análogamente, xE[a]. Así [b]C[a]'

Para demostrar que [a] C [b]. observe que (a,h)E6l implica, por simetría, que (b,a)effi.Entonces, empleando un argumento similar, se obtiene que [a] C [b]. Entonces (o, b)effi.

e) Se va a demostrar la proposición contrapositiva equivalente:Si [a] n [b] =F 4> => [a] = [b].Si [a] n [b] =F cjJ, entonces existe un elemento XE X con XE [a] n [b). Entonces (a, X)E (R y

(b,x)e6l. Por simetría, (x, b) e6l. y por transitividad, (a,b)effi. Entonces, por bi; laJ = lbJ.

Sea lR una relación de equivalencia en un conjunto X. Entonces el con­una partición de X. Específicamente:

a) ae[a], 'rJaEX.b) [a] = [b] ssi (a, b) EGte) Si [a] =/= [b] => [a] y [b] 'son disjuntos. [ ] = clase de equivalencia.

{e}{a}{b}

{a,b} {a.e}

/ \ / \

er

~·$oluci6.ó'. '" Los subconjuntos totalmente ordenados de ~ son: :a}, {b}. {e}, {o, b}. {a, e}. Entoncesel diagrama de ~ es:

Sea g: la familia de los subconjuntos no vacíos de E. y ¡f ordenada parcialmente por larelación de inclusión. Construya un diagrama de g:,.

c./• a

b. <,

~!'J!fl;t'!1f~r Sea E = {a,b, e}ordenado de la siguiente manera:

a) (10,14) >- (3, 4) porque 14"> 4.b) (3,2) -< (7, 12) porque 3 < 7.e) (2. 5) < (2. 11) porque 2 = 2 Y 5 < .11.

(a, b) -< (a', b') si a < a' o si a = o' y b < b'

La definición del orden lexicográfico es la siguiente:

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS108

'~~!~~ic(~'

17. Dé un ejemplo de dos relaciones diferentes (R y S cuyos dominios y conjuntos de valores seanidénticos.

18. Construya todas las relaciones posibles en A = {O}.

¿Es un grafo funcional?Muestre que G permite definir una correspondencia f. Déla.Muestre que G permite definir una relación R. Déla.

16. Representar el grafo de la relación binaria CR xC){ y -ee- x = 2 y en E1= {1, 2, 3, ... , 18} . Represen­tar el grafo de C){-l.

G = {(2, 1), (1,4), (3, 5), (4, 2)}

Dé la representación gráfica de las tres relaciones..

15. Sea E el conjunto E = {l, 2, 3, 4, 5} Y en E2 considere el grafo

x Ry <=> y = X2

X R' y -= y :$ 16 - x2

S = R Y R'

Dé el grafo y la representación gráfica de R.

14. Sea E el conjunto E = {I, 2, 3.4, 5, 6, 7, 8. 9}, Considere las relaciones R y R' y S definidas en E por

xRy<=>x-y= 1

13. Sea E el conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, En E2 se define la relación R por

12. Si E = {I, 2, 3, 4, 5}, construya los subconjuntos de E x E tales quea) (ex, y) E E x E : x = y + 1}.b) {(x,y)eExE:x=y+5}.

Muestre que G define una correspondencia ¡de A en B.

G = {(l, 3), (2,5), (2,6), (3,1), (3,6), (4, ·5)}

Dé el grafo de f. ¿Cuál es el diagrama de f? ¿Cuál es la representación gráfica de f1 Determine la co­rrespondencia reciproca r 1. Dé el grafo y la representación gráfica de' f":':

11. Si A = {I, 2, 3, 4} y, B = {l, 2, 3, 4, 5, 6}. Se considera· el grafo Ge A x B:

f: 3 -. 14-+25-+24 .....31-.2

9. Si A = {O, 1, 2} y B = {O, l}, escriba: A x B y B x A,

10. Considere los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} YB = {l, 2, 3}-,Se define la siguiente correspondencia:

7. Si A tiene n elementos, ¿cuántos hay en A x A 18. Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B tales que A x B = B x A.

6. Determine A x A si:a) A = {2,3}.b) A = {B, e, D}, B, e, D conjuntos.e) A = B x B, B = {O,I}.d) A = 0>(0)(4>)).

EJERCICIOS PROPUESTOS

109RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

30. Si E es el conjunto de alumnos de su clase. Decimos que dos alumnos a y b pertenecen "a la mis'ma clase" si "a es condiscípulo de b". l~ Ver si la relación {R así definida es de equivalencia. Ydar el conjunto cociente E/IR

29. El mismo estudio del ejercicio 23 en E x E para la relación (a, b) == (c.d) <=>a+b= e+d.

28. Sea E = {l, 2, 3, ... , 9}. En E x E, se define la relación (a; b) == (e; d) si a - b = e - d o sib - a = d - e.

Muestre que es una relación de equivalencia y en la tabla de E x E señale las clases de equi­valencia.

26. Sea A = {l, 2,3,4, 5} y {R = {(l, 1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1, 3), (3, 1), (2, 5), (5, 2)}. Entonces<R es una relación de equivalencia en A. Determine las clases de equivalencia para cada uno de los ele­mentos de A. ¿Cuántas son distintas?

27. ¿En el conjunto E = {-2, -1,0, 4} la relación a2 + a = b2 + b es una relación de equivalencia?¿En los enteros?.

a) Halle (R, o{R2 oCR3.b) Halle(R;1 o<Ri! o{R¡I.

a) Halle los cortes según cada uno de los elementos de A.b) Halle CH2 oCR¡ ; <R3 o<R2; ah o <R2 o(R¡; (<R 2 o<RI)- j.

25. Si E = {l, 2, 3, 4, 5} y CRI = {{x, y) E E x E: x = y + l}ah = {(y, z) E E x E: x = y + z = 2k, k un entero}CR3 = {(z, t) E E x E: z > r},

<RI bl <Rz elal

a2 dJ

a3d2

a4

B e D

24. Considere las siguientes relaciones representadas por el siguiente diagrama:

22.

23. Sea.<R = {(O,O), (0,1), (1,2), (2,3)}. Una relación de A = {O, 1, 2} a B = {O, 1,2, 3}. Halle <R:-1•Compare dominio de <R- 1 Y conjunto de valores de <R. Halle (<R-1)-1.

a sí sí síb sí sí noe si no síd no sí síe sí no nof no sí nog no no síh no no no

Dé las relaciones inversas del Ejercicio 14.

Reflexiva Simétrica Transitiva

19. Sea A = {a, b, e}, B = {O, l}. Construya todas las relaciones de A a B.

20. Sea A = {a, b, e}. Halle .(P(A). Halle en (P(A) la relación determinada por ~.

21. Sea A = {O, 1, 2f. Construya relaciones en A que satisfagan las siguientes condiciones:

110 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a=cyb>do(a, b) precede a (e; d) si a < e

40. Si E = {l, 2, 3, 4} Y F= {l, 2, 3} ordene E x F de la siguiente manera

Muestre que es una relación de equivalencia y determine sus clases.

39. ¿La relación A n B = A es una relación de orden en <P(E)?

a R b -ee- (a - b) es divisible por 2

38. En Z se define la siguiente relación R:

Muestre que es una relación de equivalencia y que sus clases de equivalencia son Al = {a, b, e};A2 = {c,f}; AJ = {d}.

x.(R y <:> Sx es semejan te al 6y

En el conjunto X = {a, b, e, d, e, /} considere la relación de semejanza

FFigura 3-51

A

36. Sea A = {D, 1,2, 3} ye una partición: e = {{D, I}, {2}, {3}} de A. Muestre que esta partición einduce la relación: Gt = {(O.O). (l. 1). (O, 1). (1. O). (2. 2), (3, 3)} y que tR es una relación de equivalencia.

37. Una figura tiene seis triángulos. (Vea Fig. 3-51.)El triángulo a de vértices A, D, E.El triángulo b de vértices A, B, C.El triángulo e de vértices D, E, F.El triángulo d de vértices e, E, G.ti triángulo e de vértices e, E, F.El triángulo f de vértices B, D, F.

34. Sea R una relación en un conjunto E.En la tabla de E x E las parejas que satisfacen la relación ocupan determinadas casillas. ¿Cómo

conoce qué relación es simétrica, reflexiva y transitiva?

35. En las clases de equivalencia mod 2, mod 3, mod 4, mod 6, mod lO, mod 12, verifique sobre los ejem­plos las propiedades de la relación de equivalencia.

a) ~,.::::; en R.b) ('X Y x no son primos entre sí» en CN{ I}.e) «x es múltiplo de y» en N.d) a - b > k, k dado; a, b. k EN.

31. Sea E= {l, 2, 3, 4} Y A = {I,2}. En <P(E), se introduce la relación XR y<=>XnA = YnA.Muestre que es una relación de equivalencia y describa sus clases de equivalencia. Además, mues­

tre que X == y (mod R) -ee- (X 6 Y) n A = <p. ¿Cuál es la relación R si A = <p? ¿A = E?

32. El mismo estudio para la relación X R Y -ee- X U A = Y U A.

33. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son reflexivas, simétricas y transitivas?

111RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

46. ¿Cuántos órdenes parciales distintos y órdenes hay en un conjunto que tiene tres elementos distintos?

47. Pruebe que x -< y introduce un orden parcial en el conjunto N de los números naturales si x -< J;se de­fine de la siguiente manera:a) x ~ y y x y y tienen la. misma paridad.b) x es par y x y y tienen paridades diferentes.

48. Pruebe que el conjunto de las ternas de números naturales (Xl' x2, x3) queda parcialmente ordenadopor el orden lexicográfico si (al, a2• aJ) -< (bl, b2• b3), si (11~·bl y si al = b¡, entonces a2 ::; b2 y sial = b, y a2 = b2, entonces a3 ~ b3.

{(a, b)}, {(a, a), (b, b), (e, e), (a, e)}{{b, e), (e, a)}, {(a, a), (b, b), (a, c)}, {(a, a), (b, b), (e, e), (a, e), (e, b)}{(a, a)}

45. Sea S= {a, b, e}, con a, b y e tres elementos distintos. Determine cuáles de las siguientes relacionesson órdenes en S, órdenes parciales en S y cuáles no lo son.

4? Repetir 2° si: E = {l,2,4,8}, E'::: {l,3,5,15} E" = {I,2.3,4.6.12}.

ba

44. Si se representa un conjunto ordenado por medio de puntos en el plano, uniendo cada elementoa a todo elemento b por medio de una flecha cuando a -< b. Tal diagrama se llama un árbol.1~ Estudiar en un libro de historia o un diccionario los árboles genealógicos de las familias quegobiernan. ¿Qué relación a -< b traducen dichos árboles genealógicos?2~ Construir el árbol correspondiente a a -< b si "a divide a b" para E::: {1,2,3,4,5,6, 7,8,9,} .Construir el grafo GCE 2 correspondiente.3? Determinar el grafo correspondiente al siguiente árbol

Ordene {a, b, e, d, e} = E por la relación < y después calcule a, b, e, d y e.

e-lO = e + ID = de = a + 20

a+b=ea+e=b+d

43. En N se tiene:

E9 = CU (A nB)E4 = en (A U.8)Es = e

E3 = A U BU eE7 = A n s t: e

El = Bn eEs = E

42. Ordene por inclusión A, 8 y e subconjuntos de E.

Si a y b son pares con a < b.Si a y b son impares con a > b.Si a es par y b impar.

41. Ordene a E = {l. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lO} sabiendo que a precede a b en los tres casos si­guientes:

112 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

50. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que una relación definida en E sea una re­lación de orden, es que su grafo verifique las siguientes condiciones:1? a) G o G = G.

b) o tva:' =D= diagonaldeEX E.2? Para que sea totalmente ordenado que:

a) G o O =0b) G U O -1= E X E.e) ana- l=D

49. Sea E = A x B el producto cartesiano de A = {0,1,2,3,4,5,6, 7,8} y B ={ 0,1,2,3,4,5,6}. ¿Cuálesson los elementos (x,y), (x',y') de E si (x,y) < (x ',y ') <=> {x ~x'

y~y'

113RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Considere el grafo G del conjunto de parejas {(O, 1), (O, 3), (O, 5), (1, 3), (4, 1), (1, 1), {4, 4)}.Las segundas componentes, 1, 3, 5_(elementos de P'2 G), están relacionadas con el elementoO de P'l G. Ver Figura 4.l.

Se dice que el conjunto G(O)= {l, 3, 5} es la imagen directa del grafo según el elemen­to O.Los conjuntos {1, 3} y {4, 1}son las imágenes directas del grafo G sFgún los elementos 1 y 4.

114

Corte o sección de un grafo

En el capítulo anterior se estudiaron las relaciones binarias entre elementos de los conjuntosE y F. En éste se van a estudiar determinado tipo de relaciones binarias, aquellas para las cua­les a cada origen de la pareja le corresponde a lo más un extremo. Son las relaciones funcionaleso funciones. Se estudiará el concepto de función en forma general y posteriormente se par­ticulizará a las funciones numéricas.

Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de conjuntos es la definición de fun­ción. Este concepto aparece en todas las ramas de la matemática y se le cataloga como unode los más importantes.

La gran variedad de expresiones, tales como aplicación, operación y correspondencia,que se han vuelto populares por su empleo en algunas ramas de la matemática, da la impresiónde que el concepto de función varía de una rama a otra, cosa que no es así. Veremos que estostérminos se refieren a la misma idea básica de función.

Muchas de las definiciones antiguas de «función» no son satisfactorias porque se em­pleaba un lenguaje ambiguo para describirla. Se hallan definiciones del tipo: «una funciónes una regla, que a cada valor de una variable, llamada independiente, le asigna un valor, deuna segunda variable, llamada dependiente».

Es dificil saber a partir de esta definición lo que es una función, a causa de los términossin definir, como «regla», «variable dependiente» y «hace corresponder». En realidad tal de­finición hace que una función aparezca como una entidad activa, una cantidad que actúa sobreuna variable de alguna manera. Es bien sabido que en matemáticas no se pueden definir todoslos términos empleados; se parte de unos llamados primitivos para los cuales se dan un con­junto de axiomas.

Una de las ventajas de la teoría de conjuntos es, poder definir el término función comoun conjunto. Esto permite tener una definición más precisa de función, muestra la aplicaciónde los conjuntos y permite ampliar la naturaleza de función a través de un estudio de conjun­tos. Esto Sé logra por medio del concepto de parejas ordenadas, que a su vez son tipos espe­ciales' de conjuntos.

Funciones y aplicaciones

CAPITULO

Figura 4-4Figura 4-3

A

fY:I I! 1

B8765432o

Nota. Observe que en el grafo existen elementos de N de los cuales no parte ninguna flecha.Por ejemplo, de 0, 1, 3, 5, ... Entonces, para x dado en E, existe a lo más un y de F talque xRy.

Ejemplo 4-2. Si N es el conjunto de los naturales 0, 1, 2, 3, ... , la relación binaria «x E (N)tiene por mitad a y E (N)>>.Un elemento x está relacionado, a lo más con un y, lo que signi­fica que la imagen directa G(x) del grafo para todo elemento x es vacía o contiene un solo ele­mento.Entonces esta relación es una relación funcional de N en N. Vea su grafo en la Figura 4-3.

Definición. Una relación binaria <5\, de un conjunto E a un conjunto F, se dice funcional, sipara todo x de E la imagen <5\(x) (o corte del grafo e) contiene a lo más un elemento. Estoquiere decir que en E pueden quedar elementos de los cuales no sale flecha.

<5\(3) = {(3. 3), (3, 6), (3, 9), (3, 3K), ... }cR-1(6) = ({l, 6), (2, 6), (3, 6), (6, 6)}

Ejemplo 4-1. Si N* = {1,.2, 3,4, ... } y si cR es la relación «divide a ... » Figura 4.2.

Definicián, Dado el grafo CóI,de una relación <5\, de un conjunto E a un conjunto F, el cortedirecto del grafo según el elemento a de E es el conjunto, simbolizado por <5\(a), de todas lasparejas (a, y) de elementos de GOl. (o tales que acRy).

El corte O sección recíproca del grafo. según el elemento b de F, es el conjunto de todaslas parejas (x, b) de elementos de COl. (o tales quexcRb). Se denota <5\-l(b).

El conjunto de parejas {(O, 1), (0, 3), (0, 5)} se llama sección o corte directo del grafo Gsegún el elemento O. Inversamente, sea 3 EPtz G. Este elemento está relacionado con ° y lde pr, e. Se dice que el conjunto {O, l}:escrito e-l(3), es la imagen recíproca del grafo e se­gún el elemento 3.

Recordemos dos definiciones dadas en el capítulo anterior.

Figura 4-2Figura 4-'

5432o••

••

5

4

3

2

9

8

7

6

5

4jE'---,.~"":"_---+ 3

2

N*N*

115FUNCIONES Y APLICACIONES

Ejemplo 4-4. La aplicación idéntica de E en E se define por 'rJxE E, lE(x) = X Y su grafo esla diagonal de E x E. .

Ejemplo 4-3. La función logaritmo neperiano Log: R*+ - R, es una aplicación del conjuntode los reales estrictamente positivos en los reales.

Nota. Muchos autores toman la definición de función como la definición de aplicación.

Definición. Si f(x) existe para todo x del conjunto E, la función f se llama aplicación de Een F. Es decir, una aplicación es una función que cumple con dos condiciones:

l. Toda sección directa <R(x) del grafo GtR, según el elemento x de E, contiene un ele­mento único.

2. E = pr1 G, es decir, todo elemento de E, es origen de una pareja.En otras palabras, en el conjunto E no' pueden existir elementos de los cuales no salga

ninguna flecha.Una función de E en F, cuyo dominio de definición E' está contenido en E, es una apli­

cación de E' en F.

Aplicaciones

El conjunto F'(F' e F) definido por F' = {y : y = f(x), X EE'} es el conjunto de lasimágenes, que se suele llamar conjunto de imágenes o conjunto de valores de la función y se re­presenta por <RI:

Definición. El conjunto E', (E' e E) de los elementos x para los cuales existe un y que ve­rifica y_= f(x), es el dominio de definición de la función y se representa por !Dr

Nota 3. y = f(x) <:!> (x, y) ef.

. Nota 2. Evite el abuso de lenguaje, que consiste en decir «la función f(x)>>. En efecto, f(x)no es la [unción, sino el elemento único de F, asociado al elemento x de E, por la función f

Nota l. Para que una función esté definida es necesario dar el conjunto E de partida, el con­junto F de llegada y la relación que liga todo x de E con el elemento asociado y de F.

El elemento f(x) se llama la imagen de x por f o valor de f en el punto x.

~- f(x); x-4 y; E-4 F, o f: E - F

Se dice que f es una función si f(x) contiene a lo más un elemento. Cuando A * = A, se diceque la función f es una aplicación. También se dice que el conjunto E es el conjunto de par­tida (o conjunto fuente) y F el conjunto de llegada o codominio. En otras palabras, una fun­oión es un conjunto de parejas ordenadas, en el cual no. existen dos parejas con las primerascomponentes iguales.' (Vea Fig. 4-4.)

Si f es una función de E en F y si y es el elemento de F asociado al elemento x de E,se escribe «y = f(x)>> o en forma simbólica

f: x EA - f(x) e B; f = (G, A, B)

Definición. Si para todo x de E existe á lo más un y de F tal que x<Ry,esta relación se llamafuncián definida en E y con .valores en F. Observe que esta definición crea la posibilidad de que'en ,E pueden existir elementos de los' cuajes no saje flecha. A partir del concepto de correspon­dencia, la definición de función es la siguiente:'

Sea f una correspondencia entre el conjunto A y el conjunto B.

FUNCIONES Y APLICACIONES116

Figura 4-8

º ---- ---___Q'----------4--~---

a

Figura 4-7

,VxeA. f(x)=xAplicacióncanónica

f

Si A es una parte cualquiera de E, la aplicación de A en E, que a todo x de A le hacecorresponder x considerado como elemento de E, se llama aplicación canónica de A en E (canó­nica quiere decir la más elemental de construir). (Fig. 4-7.)

E ElE

X5 x~

x.. .\'4

X3 XJ

X2 X2

X, X,.

Figura 4-6

VXE E.lE (x) =xFunción idéntica

La aplicación de E en E que hace corresponder a todo x de E el mismo elemento x se lla­ma aplicación idéntica y se designa por [/::. (Fig. 4-6.)

FE

Figura 4-5

"Ix e E. f(x) = bFunción constante

Ejemplo 4-6. Si la imagen J(E) del conjunto E tiene un solo elemento, decimos que la fun­ción es constante sobre E. Ea este caso todos los elementos de E tienen la misma imagen porla función f (Fig. 4-5.)

:D, = {O, 1, 5}; <R, = {2, 7, 6}

Ejemplo 4-5. El conjunto J = {(O, 2), (1, 7), (5, 6)} es una aplicación. Pero el conjuntog = {(O,1), (l , 3), (O,4)} no es una aplicación, porque (O, 1) y (0,4) tienen las primeras com­ponentes iguales.

'17FUNCIONES y APLICACIONES

J= (A, B, G)

Una manera más simplificada de definir una aplicación es

y = f(x)} .yG = {(x,y): (x,y)eA x B

Como se vio anteriormente, se puede decir «sea la aplicación /: x _,..f(x)>>. Si se dice«sea la función j(x)>>es un grave abuso de lenguaje, puesto que Jex) E B y.fE n:(A, B).

La confusión entre el valor de una función en x y la función j conduce con frecuencia aerrores. Así, por ejemplo, no se debe decir «la función sen x», sino «la función x _,. sen X)}.

El grafo de la aplicación o función J es un subconjunto de A x B definido por

Esta función se llama la función caracterís­tica del subconjunto A de E y se representaen ésta figura.Nota. El conjunto de todas las aplicaciones de A en B es un nuevo conjunto que simboliza'por n:(A, B) o BA.

En la práctica, si sedan A y B se identifica una aplicación de A en B por su grafo G e A x B;con esta convención, el conjunto de las aplicaciones de A .en B aparece como una parte delcorijunto, <P(A x B).

cp (x) = 1 si x EAcp (x) = O si x ~A.

Ejemplo 4-11. {(x, y) : x = 21, y = (2, tER} es una función.

Ejemplo 4-12. Sea E un conjunto y F = {0,1}. Sea A e E y considere la función <p de Een F, definida por:

Solución. Al resolver y = (2x + 1)/(x - 1) para x =F 1 se tiene

2x+J y+ly = -ee- xy "'7' y = 2x + I <=> x(y - 2) = y + 1 <=> x = -- /\Y =1= 2 ==> CR¡ =R - {2}

x-l y-2

y se escribe también como j = {(x, y) : x = y + 1 /\ Y E R - {2}}.y-2

Ejemplo 4-10. Halle el conjunto de valores dej={(x, y):y=(2x+l)/(x-I)/\xER-{l}}.

CR¡ = Reales.Solución. Como y = 5x ==> x = y/S.

Ejemplo 4-9. Halle el conjunto de valores dej= {(x, y): y = Sx, xER}.

Ejemplo 4-8. Sij= {(O, O), (1, 2), (2, 4)}, entoncesf= {(x, 2x): XE {O, 1, 2}} o tambiénj(x) = 2x para x E {O, 1, 2}.

Ejemplo 4-7. Sij= {(1, 6), (-3,4), (2, 1)} se tiene quej(l) = 6,j(-3) = 4 Y J(2) = 1-Entonces 6, 4 y 1 son las imágenes de 1, - 3 y 2 respectivamente. A veces se puede expresaruna función en forma más simple por medio de una fórmula conocida que describa las imá­genes, como lo ilustra el Ejemplo 4-8.

La geometría ofrece gran número de funciones que establecen una correspondencia entrelos elementos de una figura (conjunto) y los elementos de la misma figura. Por ejemplo, en elplano, la simetría con respecto a un eje aplica cada mitad del plano sobre el plano opuesto.Se dice que el plano se aplica sobre sí mismo.

En esta transformación, los puntos de eje a se aplican sobre sí mismos. (Fig, 4-8.)

FUNCIONES Y APLICACIONES118

E = {O, 1, 2, 3, 4}Figura 4-10Figura 4·-9

~----~-+--+--+--~-11k..

IX o 1 2 3 4

o X1 X2

4 X

9 X16 X

~----~-+--~~--~-

~----~-+--+-~--~-

Como toda función es una relación binaria particular. es posible representarla de diversasmaneras. Las representaciones son de cuatro tipos:

1. Tabla de doble entrada. Por ejemplo. el:conjunto de partida se representa en la pri­mera fila y el dc llegada en la primera columna. En este caso, lo que caracteriza una función esque existe a lo más una cruz en cada columna.

Ejemplo 4-/4. Si E = {O, 1,2,3, 4},fla función «elevar al cuadrado», cada uno de los ele­mentos de E en F = {O. 1, 2, 4, 9, 16}. (Vea Fig. 4-9.)

Representación de las funciones

/(x) = { 1 s! x es racional- I Sl .x es irracional

Existe una tendencia en los estudiantes al comienzo, y es pensar que toda función estádefinida por una «fórmula» que permite calcular f(x) en [unción de x. Idea errada como lomuestra el siguiente ejemplo:

j(x) -+ g(x)(3x E A)

y se escribe .r = g.Si una de las condiciones no se cumple, se dice que son diferentes y se escribe f =F g.En particular si A = A·, B = B' Y f =F K es equivalente a

f(x) = g(x)(\1x E A)

Ejemplo 4-13. Si A = B = R, cuando se dice considere la aplicación x - x3 de R en R, estose traduce por «considere la aplicación J de R en R, tal que f(x) = x3, o también «considerela aplicación j" ~ (R, R, G) donde G = {(x, y) E R x R : y = x3}».

Dos aplicaciones J = (A, B. G) y f = (A', B', G') se dicen iguales si, y solamente si,A = A', B = B', e = G'. Es decir, si tienen el mismo conjunto de partida y el mismo conjuntode llegada y si

Los conjuntos A, B, e deben verificar las siguientes condiciones:1. e e A x B ~ e es el grafo de f2. tJx EA, 3!y E B tal que (x, y) E e -ee- 't/x E A, 3z E e tal que x = pr1 (a) ~ pr1 (G) = A,

pr2 (e) = B.En la práctica, es más cómodo decir «sea J una aplicación de A en B», que decir «sea J

una función definida en A y con valores en B».En la práctica, en vez de designar una función por f,g, etc., se designa por la «fórmula»

que permite calcular a .ltx) en función de x.

119FUNCIONES Y APLICACIONES

Figura 4-13

Aplicación inyectivaFunción inyectiva

E* = E---L--------L-é

ElF

~I I

F

f(x' = ytal quey Ef(E) => 3!x, X E E

Definición. Sea f: E ~ F una aplicación. Si cada elemento y Ef(E) es imagen de un soloelemento x E E, se dice que la aplicación f es una inyección O aplicación inyectiua.

Invectivas

FUNCIONES ESPECIALES

4. Diagrama de Euler o Venn.· Los puntos del conjunto de partida y de llegada se re­presentan por diagramas de Venn. Se une cada punto con su imagen por una flecha. (VeaFig. 4-12.)

Las Figuras 4-9 a 4-12 representan gráficamente la función f «tiene por cuadrado a» delconjunto E = {O, 1, 2, 3, 4} en el conjunto F = {O, 1, 2, 4, 9, 16}.

4 16

3 9

2 4

.2

O OE F

Figura 4-11 Figura 4-12

2. Diagrama cartesiano. Se trata de un reticulado donde cada recta representa un ele­mento de los conjuntos considerados. Las rectas verticales corresponden al conjunto de par­tida. Para las funciones existe un punto único sobre cada vertical. La Figura 4-10 muestra larepresentación de f de la Figura 4-9.

3. Los elementos de los conjuntos se representan por puntos alineados verticalmente .. Seune por una flecha cada punto del conjunto de partida con su imagen. Esta representación sellama dual de 'la anterior. (Representación sagital.) (Vea Fig. 4-11.)

FUNCIONES y APLICACIONES120

¡f(E) = Ffes sobreyectiva <=> o

A todo punto de F llega por lo menos una flecha de f

Definición. Se llama sobreyeccián o aplicación sobreyectica una aplicación de un conjuntoE sobre un conjunto F cuando todo elemento de F es imagen de por lo menos un elementox de E. Es decir, cuando el conjunto de imágenes es F.

También se llaman aplicaciones sobre 'tJy E F, 3x E E, tal que f(x) = y.Es decir, f(E) = F. Se dice que f aplica E sobre F.

Sobr:eyectivas

U3xI (x2 + 1) = 3X2(X¡ + 1)

U3x¡ = 3x2

3x¡ U 3x2XI + 1 x2 + 1

E = F = R+, f: x -+~. La aplicación f es inyectiva porque. x + 1

f(x 1) = f(x2}

ejemplo 4-16.

UXI = x2

f(xl) =f(x2)

U2x1 - 1 = 2X2 - 1

U2xl = 2X2

Ejemplo 4-15. Sea E = F = N, f: x -+ y = 2x - 1. La aplicación es inyectiva porque

Para verificar sif: E -+ Fes inyectiva se toman (x, y) Efy (z, y) Efy semuestra que x = z.

{

f(XI) = f(x2) => Xl = X2

ofes inyectiva -ee- Xl =F X2 => f(xl) =F f(x2)

Si a todo punto de F llega a lo más una flecha.

Una aplicación es inyectiva si dos elementos diferentes tienen siempre imágenes distintas.

Enunciado de otra manera:

En una inyección la igualdad de las imágenes en el conjunto F de llegada implica la igual­dad de los elementos en el conjunto de partida E. La equivalencia inducida por una inyecciónes la igualdad.

121FUNCIONES .y APLICACIONES

,se obtiene una sobreyección de Z sobre e = {O, i,i, j, 4.}.

16 171 18 19-1l

12J 13 146 7 . 8 3 9 4.1 2 2 3 4

-4 -3 -2 -1-9 -8 -7 -6

1510

5 °O-5-10

Ejemplo 4-18. Si a todo entero x E Z se le hace corresponder el resto positivo o nulo r(x) dela división de x por 5:

La aplicación f es sobreyectiva del conjunto de los reales no nulos sobre F = {l, - -1 }.La aplicación f induce en E dos clases de equivalencia, R + y R-.

Ejemplo 4-17. E = eRO, F = {l, -l}, f: x -} y = I~I; x es positivo implica Ixl = x, en­

tonces y = ~ = 1. Si x es negativo, Ixl = - x :::;.y = ~ = - l.x -x

f: E~ <R¡sobre

Para averiguar si una función f: E - Fes sobreyectiva o no, se procede así: se toma y E Farbitrario. Empleando la definición d~J se halla un x E E tal que (x, y) Ef Esto muestra queF ~ (ft" puesto que y es arbitrario. Pero como se sabe que (ft, ~ F, entonces <R, = F. Si paraalgún y EF particular no existe x E E tal que (x, y) Ef, entonces <R, e F, y, por tanto, f noes sobreyectiva.

En general, si f: E -} F es una función, entonces <R, ~ F, Y decimos que f aplica Esobre (ft,.

Figura 4-14

Sobreyección de E sobre F (aplicación)Sobreyección de E sobre F (función)

E* E* == EE

Función sobreyectiva Aplicación sobreyectiva

E F E F

FUNCIONES Y APLICACIONES122

Aplicación biyectivaFigura 4-15

Función biyectiva

FF

Biyección: E ..... F (aplicación)Bryeccion de F. sobre F (función I

FEFE

En la literatura matemática son frecuentes los términos sinónimos: correspondenciabiunívoca, función 1 - 1, sobre, etc.

r bivecti {'rIy, «s r. 3!x, x e E, tal que)' =j(x).es 1 ectl va -ee- -. y A todo punto de F llega una, y solo una, flecha de E.

Si f es una biyccción de E en F, cada elemento JI de F es la imagen de un elemento úni­co x de E.

Definicíon. Se dice que una aplicación f: E -+ Fes biyectioa o una biyeccián si es a la vezinyectiva y sobreyectiva,

Recuerde: El conjunto de llegada F permite distinguir los distintos tipos de funciones.

Biyectivas

Ejemplo 4-19. La aplicación f de N -> N+ = N - {O}, definida por x -+ x + 1, es una apli­cación sobreyectiva. Además, inyeetiva.

Las clases de equivalencia así obtenidas se llaman clases de restos (mod 5) o clases re­siduales (mod 5). .

La relación significa que Xl - X 2 es un múltiplo de 5.Es decir, tenemos de nuevo la relación de congruencia (mod 5).

La relación de equivalencia inducida en Z por esa aplicación es la siguiente:

123FUNCION'ES y APLICACIONES

Ejemplo 4-23. La biyecciónf: N - N* definida por x -+ x + 1.Su recíproca} 1 : x -+ X -1.Es decir, ¡-1(X) == x - 1.

es f-l(X) = x.

Ejemplo 4-22. Seafla funciónf(x) = ..!.que a todo real =F Ole asocia su inversa y : X -+ Y = !.x 'x

La función recíproca es JI -+ x = !. Entonces JI (x) = ..!.. Por tanto, JI coincide con fy x

En vez de « función' recíproca» se dice con mucha frecuencia « función inversa », y

esto. conduce a graves confusiones como en el caso f(x) = x, cuya inversa es..!. y su recíprocax

Todo elemento y, y =1= 1, es la imagen del único elemento x = _y + 1.JIY - 1

- y2J_, ¡-1 es la biyección recíproca de f Aplica CR{l} sobre CR{- 1}.y-l

-y - 1xy + JI = X - 1 <::> x(y - 1) = -y - 1 <::> X = ___:__y - 1

X - 1Y = -_ se obtienex + 1

x-IEjemplo 4-21. f: x - JI = -- es una biyección de CR{-1} sobre CR{l}. En efecto, de

x+J

X = J-1 (y) -ee- JI = f(x)

Definición. Sea J una biyección de E sobre F tal que x-y.Si existe una sola biyección de F sobre E tal que y-x. Se dice que esta función es la

función, recíproca de f y se designa por F l.

El corte C(g) contiene un solo elemento si la función fes inyectiva, entonces y es imagen porf de un solo elemento x. Por tanto, si fes inyectiva, su recíproca j) es una función.

Una [unción f de E a F es, primero que todo, una relación. Entonces la relación inversaji es un subconjunto bien definido de F x E. Sin embargo, f- 1 no es necesariamente unafunción .de F a E y puede que no lo sea por dos razones: primera, puede suceder que ~ r: I 1= F.Esto sucede cuando <R¡ 1= F, porque ~¡-I = <R¡. Esto a su vez quiere decir quefes inyectivay no sobreyectiva. Segunda, puede suceder que a pesar de que ~¡-I = F exista y EF, y, .xl,Xl e E tal que (y, XIrE) 1,(y, xz) E}) Y XI =1= Xl' Pero esto quiere decir que (XI' y) ef conXli: Xl' En otras palabras: de un punto de F sajen varias flechas, es decir, no es [unción.

En. resumen, f- 1 es función solamente cuando .r es una biyección de E sobre F.

Función recíproca

Nota. Toda aplicación inyectiva f: E - F es una biyección de E sobre f(E).

Contraejemplo. Si <R es una relación de équivalencia en un conjunto E, la aplicación f de Een el conjunto cociente E/m, definida por x..4 f(x) = X, es sobreyectiva, pero no inyectivaen general, se llama sobreyeccián canónica.

Ejemplo 4-20. La aplicación f de N en N* = N - {O}, definida por x - x + 1, es una bi­yección.

124 FUNCIONES Y APLICACIONES

Figura 4-16E

OL-~~X-I-----X~2----~X~3L_--.X

y --

y

F

FF

Sea f una función que aplica el conjunto E en (sobre) el conjunto F. Todo elemento x de Etiene una imagen, un elemento determinado de F : f(x).

Recíprocamente, a un elemento y de F le corresponde el conjunto ¡- 1(y) de puntos quetienen a y como imagen.

es .rL(B)={I}es ¡-L(C) = {O, -1, -2, -3}es f-¡(D) = {-3,-2,-1,0,3}es ¡- I (G) = <p

B = {l, 4}C = {O}D = {O, 3}G = {4, 5, 6}

recíproca de

Ejemplo 4-24. Sea E = {SI' S2' S3' S4} Y F = {/I• (2' '3}'Defina f: E -lo F por f(sl) = '1' f{S2) = '1' f(s3) = '1' f(s4) = '3'Si A = {SI' S2} ~ feA) = {fl}' Si A = {S3, S4} ~ feA) = {ti' [3}'

Si B = {ti' 12} ~f-I(B) = {SI' .'12, S3}' Si B = {tI} ~¡-I(B) = {SI' S2' S3}'Si B = F~f-l(B) = E. Si B';' {t2} ~¡-I(B) = <p.

Ejemplo 4-25. Sea E = {-3, -2, -1,0, 1,2, 3},F = N y f: x -t y = X + Ixl. La imagen2

Nota 2. ¡-l(</» = </>, f-1(F) = E.

Nota l. Si A = {x},f(A) tiene solamente un elemento (f(x)}, que es una parte de F, mien­tras que f(x) es un elemento de F.

¡- 1(B) puede ser vacío sin que B lo sea, por ejemplo, si existe B =1= <p tal que B e F - f(A).

f-l(B) = {xe E: f(x) E B} = {x : para algún ye B, (x, y) El}

Definición de imagen recíproca de B por f. Se llama imagen recíproca de B por f el con­junto de los x e E tales que f(x) e B. Sea B un subconjunto de F y f: E -t F.

Definición de imagen directa. Sea f una función de un conjunto E en F; dada una parteA de E, se llama imagen de A por f el conjunto de los ye F que posean la propiedad 3x e Atal que y = f(x).

Sea f: E~ F y A e E, f(A) = {yeF: 3xeA tal que)' = f(x)}.'La imagen de A se designa por ¡(A); esto en lenguaje formal es incorrecto, puesto que ¡{A)

no tiene sentido sino para A e E. Cuando se dice la imagen por f se está cometiendo un abusode lenguaje, puesto que se debe decir imagen del conjunto de partida de f por f

Para toda función f se tiene J(if» = <p.

IMAGEN DIRECTA, IMAGEN RECIPROCA

125FUNCION ES y APLICACIONES

Nota. Por abuso de lenguaje se identifica a {xo} con Xo y f({xo}) con f(xo).

Ejemplo 4-26. Sea f: R -> R; ¡(x) = sen x.

Noca. Sif es una biyección de E sobre F, la imagen recíproca de F es E y la imagen recíprocade todo subconjunto S de F coincide con la imagen de S por la biyección r l.

de donde ¡[11(B)J C B,

¡-l(S) = {t}f[(-l(B)J = {1}

b) B = {l, 4} C N

a) A={-2,O}CE

. f(A) = {O} = eC Nrt[f(A)J = r I(C) = {O,-1, -2, -3}

de donde ¡-lUtA)]::) A.

La relación 1 esuna inclusión entre partes del conjunto de partida E y 2 ,una inclusiónentre partes del conjunto de llegada F.

Para el Ejemplo 4-25 se tiene:

2. ¡u- 1(B)J ~ B.

Nota. Dos conclusiones interesantes:

Figura 4-17

FEFE

Por ejemplo, en la Figura 4-16, rl(y) incluye, para determinados y, dos o tres x.Puede suceder que para determinada función ¡ la recíproca ¡-1 sea tal que para todo y

de la imagenf(E) el conjuntor1(y) sea un elemento x.En este caso no se hace distinción entre el conjunto {x} = rl(y) y el elemento que con­

tiene se escribe x =r 1(y).En estas circunstancias, r 1 no es una aplicación de f(E) en <P(E), sino una aplicación

de ¡(E) sobre E. (Vea Fig. 4-17.)

FUNCIONES y APLICACIONES126

Sea N = {O, 1, 2, ... } y f la aplicación de N en N que a todo x de N hace corresponderel siguiente de x, es decir, z = x + 1.

Sea g la aplicación de N en N que a todo entero u hace corresponder el cuadrado v =g(u) = uZ•

Como a todo x e N le corresponde por fun entero z ya todo z e N le corresponde por gun elemento yeN, existe una aplicación de N en N que a todo x asocia el elemento y. Estaaplicación se llama compuesta de f por g y se representa por g of

COMPOSICION DE FUNCIONES

Existen otras maneras, pero ésta es la más simple.

si x e X'si xeXg{x) = {f~)

Resultado. Sean X, X', Y tres conjuntos, con X' e X y f :X' _. Y, si y =f: <1>, 3g : X _. Y,que prolonga a f

Para construir g : X _. Y que prolongue a f, se escoge e e Y y se define

Solución. fU {el, 3)}.

Ejemplo 4-30 Halle una prolongación de f si R es su dominio y

x3 - 1f = {(x, y) : y = , X e R - {1}}x - 1

Ejemplo 4-29. Sean f y g funciones. ¿ En qué condiciones fU g es una prolongación de f?¿y de g? ¿Es f n g siempre una restricción de f y g?

Solución. fU g es una prolongación de f y g si es una función.

Ejem~/o 4-28. Halle una prolongación de J = {(x, y) : y = X2 - 1 Y x eR - {l}}.x - 1

Solución. Como Xl - 1 = x + 1, si x =/= 1 g = {(x, y) : y = x + 1 Y xeR} es una pro-. x - 1

longación de fObserve que la pareja que se agregó para obtener g fue (1, 2), es decir, fU {1, 2} = g.

!Dg = alg = R. Mientras que :DI = R - {1} y al! = R - {2}.

Ejemplo 4-27. 'Si f = {(O, ]), (2, 3), (5, 9)} y f' = {(O, 1), (5, 9)}. f' es una restricción de lafunción f

La restricción se designa por f' = J1E o fE'Si se dan dos aplicaciones f y g cuyos conjuntos de partida contengan a un conjunto X,

se dice que f y g coinciden en X si f{x) = g(x) para 't/xEX.

Nota. La restricción g defa E es única. En cambio existen varias prolongaciones h defa E2•

Se llama restricción de f a El la función g de El a F definida por Vx E El' g(x) = f(x).Se llama prolongación de f a E2 toda función h de E2 a F y cuya restricción a E es f

Definición. Sea f u~a función de E en F, El e E y E e E2•

RESTRICCION, PROLONGACjON DE UNA FUNCION

127FUNCIONES Y APLICACIONES

lo que muestra que la operación no es en general conmutativa, es decir, que f o g =F g of

(f o g)(x) = cos~'xy(g o f)(x) = cos (X2)

Ejemplo 4-31. Si A = B = C = R y f(x) = xl, g(x) = cos x, entonces

Nota. Hoy día la noción de aplicación compuesta remplaza al concepto de «función de fun­ción», y «producto de transformaciones» que se empleó en matemáticas clásicas.

es una función, llamada compuesta de f y g, y se designa por g of

{(x,z):xEAy z= (gof)(x)), o VxeA,h:x-+z=h(x)=g(f(x»

tales que feA) ~ C, el conjunto de parejas ordenadas

g:C-+Dyf:A-+B

Definición. Dadas- las aplicaciones

Figura 4-18

Se tiene z = g(y) = g(f(x».Procediendo de la misma manera, Vx, x e A, se define la aplicación h compuesta defy g;

se designa por h = g ofLa aplicación h está definida por h : x -+ z = g(f(x».La composición de las aplicaciones está resumida en la Figura 4-18. Observemos que el

orden en que se dan las aplicaciones es el opuesto del orden de composición.

g : y -t Z, Z e g(C) ~ D

Al elemento y le corresponde por g la imagen z en D.

f: x -+ y, y ef(A) ~ C

g o f: x -+ X2 + 2x + 1 = y

Sean f: A -+ B y g : C -+ D dos aplicaciones. Si feA) e C se puede definir una nuevaaplicación h de A en D, componiendo f y g. -

Sea x un elemento cualquiera de A y y la imagen de x por f

Es decir,

FUNCIONES Y APLICACIONES128

es una relación de equivalencia en A que se llama asociada a la aplicación f

x == y -ee- f(x) = f(y), con x, y EA

Definición. Sea f una aplicación de A en B; la relación R

Solución. Si .!(xl)=f(Y2)=>2x.-3=2x2-3=>x.=x2, por tanto,.r es biyeetiva. En­

tonces¡-! existe y está definida por J-I(y) = x, es decir, x = y + 3,¡-!(y) = Y + 3 para2 2

cada y Ef([ -2, 2J), es decir, en [-7, 1]. Al remplazar y por x se obtiene ¡-I(X) = x + 32

para cada x E [ - 7, 1J. Si se muestra que f o ¡-! = ¡-1 o f = 1, esto caracteriza la existenciade la función recíproca. 'En efecto, (/-. o f)(x) = r:' [f(x)] = f-l[(2x - 3)] = (2x - 3 + 3)/2= x para cada XE [-2, 2]; (jof-l)(X) = flf-!(x)] = f[(x + 3)/2J= 2(x + 3)/2 - 3 = x,para cada x E [-7, 1].Los grafos los muestra la Figura 4-20.

Ejemplo 4-34. Sea f(x) = 2x - 3 una aplicación definida sobre [-2,2 ],describa a f- I Ydibuje el grafo de f y el de ¡- l. Halle J- t:' y t: I ~f

Figura 4-20Figura 4-19

2-2 -1 ///// -1

///

//

///

////////////

3

2r¿::...-_ _'~~v1r--==-=--~~Or---~-S~~~--------~~

-1

-2

R

87

6S43

2

1O

-1

-2

RR

9 fEjemplo 4-33. x ~ X2 ~ 2X2. (Vea Fig. 4-19.)

Nota. En la notación fe g se escribe primero la aplicación efectuada en segundo término yf a continuación.

Ejemplo 4-32. Si A = B = e = E, siendo E el espacio de la geometría elemental, f y g dostransformaciones (en el sentido geométrico del término), rotación, traslación, homotecia, etc.,f o g es entonces el «producto» de las transformacionesfy g definidas en la geometría elemental.

129FUNCIONES y APLICACIONES

..~;g .o<:w';';~~ ¡¡;pQ ul~~¡·fJ,> '_ ~.:,:!t.:,.ii,·1. No. Porque al elemento e no se le hace corresponder. ningún elemento.

2. No. Porque los elementos 1 y 4 se corresponden al b. Por definición de función, solamente se lepuede asignar un solo elemento en el codominio.

Funciones

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 4-36. Considere la aplicaciónjdel conjunto P de ciudadanos dentro del conjunto Mde las profesiones que pueden ser ejercidas (suponiendo que cada ciudadano solo puede ejer­cer una profesión a la vez y que P está compuesto de adultos para que1sea una aplicación).Se define la relación de equivalencia en P por la relación «ejercer la misma profesión». Po­demos entonces descomponer ajen tres funciones:fl,/'Z,/3' La función j', hará correspondera un ciudadano la clase de equivalencia de los ciudadanos que ejerzan su misma profesión;la función f2 hará corresponder a esos ciudadanos la profesión que ejercen (esto es ahora unelemento f(P) EM). Finalmente, la función fl hará corresponder a cada profesión ejercida,por un ciudadano como mínimo, esta misma profesión en el conjunto general M.

----------------. 13

Bid>!I

A A/R

[1 1/,B I<A>

X2 11

A

Figura 4-21

Ejemplo 4-35. La funciónf cuyo grafo está representado en la Figura 4-21 está descompuestaen 13 que hace le corresponda {xo, Xl' x2} E AjR, a x¿ E A; en 12 que hace corresponder a(xo, Xl' X2) el elemento j(xo) = j(xl) = j(x2) de f(A) y, finalmente, en /1' que hace corres­ponder al elemento f(xo) E/(A) el elemento j(Xo)E B.

XH !1[f2[J~(XO)JJ es, pOI tanto, la función de A en B que se buscaba.

La función f3 es la aplicación canónica de A sobre AIR.- La función f2 es una biyección de AjR sobre J<A) que a la clase de equivalencia de los

elementos x E A tales que j(x) = f(xo) asocia el elemento J(xo) Ef<A).La función fl es la aplicación canónica de j(A) en B.

La funciónj de la definición anterior se puede descomponer en tres funciones.j', '/2'/3' tales que

Descomposición canónica de una aplicación

FUNCIONES Y APLICACIONES130

Figura 4-23

Los diagramas de la Figura 4-23 dan el total de dicbas aplicaciones.

conjunto E =

a) Como 2 pertenece al intervalo cerrado [-2,3], se emplea la fórmulaf(x) = X2 - 2.Entonces f(2) = 22 - 2 = 4 - 2 = 2.

b) Como 4 pertenece a ]3,00[, se -emplea la fórmula /(x) = 3x - 1. Entonces f(4) = 11.e) Como -1 pertenece al intervalo [- 2,3], se emplea la fórmula /(x) = X2 - 2. Entonces

/(-1) = -1.d) Como - 3 pertenece a ] -:x>, - 2[, se emplea la fórmula f(x) = 2x + 3. Entonces j{ - 3) = - 3.

Halle a) f(2), b) f(4), e) f(-l), d) f(-3).

.si x > 3si -2 S x S 3si x < -2

Sea f: R ~ R definida por

Figura 4-22

131FUNCIONES Y APLICACIONES

F

¿diga cuáles de las funciones son inyectivas?

a-+r a~a a-+zb~a b-+e b-+yc-+s c~e e-+xd-+r d-+r d-+ye-+e e-+s e-+zf g h

--_ ...~ -~r(iT;t.~~m~,-~t~:Si E = {a, b, e, d, e} y F son las letras del alfabeto; si las funciones f,

g y h están definidas por los siguientes diagramas:

Es decir, el conjunto de valores de fes {5, 2, J, 2, 5} = {5, 2, I}.

f(-2) = 5/(-1)=2feO) = 1/(1) = 2/(2) = 5

--·-~f..: ..~2!ifit~r¡ a) El conjunto de valores de f son los puntos imágenes, es decir, {2, 3, 5}. El grafo de fes G = {el, 3), (2,5), (3,5), (4,2)}.

b) Las imágenes de los elementos de E son:

Figura 4-24

EE

ra 4-24.a} Halle el conjunto de valores de f Halle el grafo de fb) Si E = {-2, -1,0, 1, 2}, defina la funciónf: E ---+ R por la fónnulaf(x) = X2 + 1.

Halle el conjunto de valores de f

Si E = {1, 2, 3, 4, 5} la función f: E ~ E está definida por la Figu-

U~!I!!I!t,;jRecuerde que un subconjunto de E x E es una aplicación si todo a E E es la primeracoordenada de exactamente una pareja de f.

a) No. Porque las parejas (2,3) Y (2, 1) tienen las primeras coordenadas íguales.b) No. 2 no aparece como primera coordenada de ninguna pareja.e) Si. El hecho de que la pareja (2,1) se repita no afecta el resultado.

__ """Sea E = {I, 2, 3, 4}. Determine cuáles de las siguientes relaciones sonaplicaciones de E en E.

(.1) f = {(2, 3), (1,4), (2, 1), (3, 2), (4, 4)}.b) g = {(3, 1), (4,2), (1, 1)}.e) h = {(2, 1), (3,4), (1,4), (2, 1), (4, 4)}.

FUNCIONESY APLICACIONES132

~ó1fr_i:~:Sean las funciones f: X -+ Y y g : Y -+ Z definidas por la Figura 4-25.a) Halle la función compuesta y el conjunto de valores g o f.b) Sea E = {1,2, 3, 4, 5}y las funcionesf: E -+ E y g : E -+ E definidas de-la siguiente

manera:f(1) = 3, f(2) = 5, f(3) = 3, /(4) = 1, f(5) = 2 <:> f = {el, 3), (2, 5), (3, 3), (4, 1), (5, 2)}g{l) = 4, g(2) = 1, g(3) = 1, g(4) = 2, g(5) = 3 <:> g = {(1, 4), (2, 1), (3, 1), (4, 2), (5, 3)}

Halle g of y f os

a) Como la función es sobreyectiva, entonces todo elemento del codominio de / estáen el conjunto de valores; entonces f(E) = F.

b) La función J¡ no es sobreyectiva porque no hay un número x E E tal que sen x = l.e) Si el codominio de una función f está formado por un solo elemento. entonces / es siempre la fun­

ción constante y es sobreyectiva.d) La función idéntica es siempre sobreyectiva ; por la nto, A puede ser cualquier conjunto.e) Ninguna de las funciones es sobreyectiva.

¿Qué función es sobreyectiva?e) ¿Es la función constante sobreyectiva?d) ¿En qué conjuntos es la función idéntica sobreyectiva?e) En el Problema 4-7, ¿cuáles de las funciones son sobreyectivas?

Defina las funciones g y h de E en E porg(x) = x3, h(x) = sen x

Sea f: E -+ F. Halle el conjunto de valores de f si f es una fun-

,.....,.-,..--- ...,....~SOI'!.~f6_n·.- a) La función f: A -+R no es inyectiva, puesto que h(!) = /.(-!), es decir, que a

dos números .distintos del dominio se les asigna la misma imagen.La función /2 : B -+ R es inyectiva, puesto que los cuadrados de números positivos distintos son di­

ferentes.La función fJ: e~ Res inyectiva, porque los cuadrados de números negativos diferentes son di­

ferentes.b) Como el intervalo D contiene solamente a los números positivos o los negativos, pero no ambos.

la función es inyectiva. D puede ser uno de los intervalos [O, ro[ o ] -::x:>, 0]- Puede haber otros intervalosinfinitos en los cuales / sea inyectiva, pero son subconjuntos de uno de los dos anteriores.

e) A puede ser cualquier conjunto. La función idéntica siempre es inyectiva.

Sean las funciones

_ ...............-"lo-s;;..:....,.... a) Sea A = [-1,1] = {x: -1 ~ x ~ 1},B= [1,3] y_ C= [-3, -1]-

fl:A-+Rf2:B-+R

-fJ:C-+Rdefinidas por la siguiente regla: a cada número se le asigna su cuadrado. ¿Cuáles de las fun­ciones son inyectivas?

b) HaUe el intervalo máximo D en el cual la fórmula f(x) = X2 define una función in­yectiva.

e) ¿En qué conjunto A es la función idéntica (. : A -+ A inyectiva?

l - 1, puesto que a a y dI_es hace corresponder r_

133FUNCIONES Y APLICACIONES

Figura 4-26

Sea E = {l, 2, 3, 4, 5}. Sea f: E - E definida por la Figura 4-26.

t=s= {el, 1), (2,3), (3,3), (4, 5), (5, 3)}, y s=t= {(l, 1), (2, 3), (3,1), (4,4), (5. I)}

e) (g o /)(x) = g(f(x» = g(x2 - 21xl) = (x2 - 21xl)2 + 1 = x4 - 41xlx2 + 41xl2 + 1(f o g)(x) = f(g(x» = /(x2. + 1) = (X2 + 1)2 - 21x2 + 11 = x4 + 2x2 + 1 - 21x2 + 11'(g 0/)(3) = 34 - 413132+ 41312 + 1 = 10(fog)(-2) = (-2t + 2(-2)2 + 1 - 21(-2)2 + 11= 15(g 01)( -4) = (_4)4 - 41-41( -4)2 + 41-414 + 1 = 65(f o g)(5) = (5)4 + 2(5f + 1 - 2152 + 11 = 624

Nota. Observe que las funciones f og y g o f no son iguales. Puesto que

(go/)(I) = g(f(l) = g(3) = I(g o /)(2) = g(f(2» = g(5) = 3(g o /)(3) = g(f(3» = g(3) = 1(g 0/)(4) = g(f(4» = g(1) = 4(g o /)(5) = g(f(5» = g(2) = 1

(f o g)(l) = f(g(l» = f(4) = I(f o g)(2) = /(g(2» = f(l) = 3(f o g)(3) = J(g(3» = f(1) = 3(f o g)(4) = f(g(4» = /(2) = 5(f o g)(5) = f(g(5» = f(3) = 3

(g o /)(a) = g(f(a}) = g(y) = I

(g o /)(6) = g(f(b» = g(x) = s(g o f}(c) = g(f(c» = g(y) = t

El conjunto de valores es: {s, t }b) Según la definición de función compuesta, se tiene que

~:':~'~~J'u~)~Aa) Según la definición de función compuesta, se tiene que

Halle (gof)(3), (fog)(-2), (gof)(-4), (fog)(5).Además halle f o g y g of

. f(x) = X2 - 21xl, g(x) = X2 + 1

e) Sea f: R - R y g : R - R definidas por

zyxFUNCIONES y APLICACIONES134

¿En qué condiciones el siguiente conjunto de parejas ordenadas

1" .......,.,,~lJ-·· f

~-:~I¡"~/¡6o. a) Según la Figura 4-27, 1(4) = 1, f(2) = 4, ¡- 1(3) = {3}, r 1(4)= {2,6}.Como 1(1) = 2, 1(2) = 4, f(3) = 3, f{4) = 1, f(5) = 2, f(6) = 4. El conjunto {x : x E R, f(x) < 3}

está. formado por los elementos de R cuya imagen es menor que 3, es decir, cuya imagen es 1 o 2.El conjunto es {1,4, 5}.

. b) l. Si cada recta horizontal contiene a-lo más un punto de h, entonces h(x) es vacío o está forma­do por un solo elemento en E y h es una inyección.

2. Si cada recta horizontal contiene por lo menos un punto de h, entonces h(E) no es vacío. Por tanto,h es una sobreyección.

Figura 4-27

~~;Afl~iba';'4~f1~':~_........;.. .,......._" ' ',i(. , .. Sea E = {l, 2, 3, 4, 5, 6} y F = {1,2, 3, 4}. El conjunto J de puntos deldiagrama de E x F en la Figura 4-27 es una función de E en F.

a) Halle f(2), f(4), ./1(3), ./1(4) Y {x: XER, f(x) < 3}.b) Si h es un conjunto de puntos de E x F, que es una función de E en F:1.' Si cada recta horizontal contiene a lo más un punto de h, ¿qué tipo de funciór; es h?2. Si cada recta horizontal contiene por lo menos un punto de h, ¿qué tipo de función es h?

rl(j(E» = E

. 'SoJuciórt '!~...... ;>.,....' .• _ a) ¡-1(2} = {4}.

f- 1(31= 4>, puesto que 3 no es la imagen de ningún elemento del dominio,¡-1(4) = {I, 3, 5}, .porque f(l} = 4, f(5) = 4 Y 4 no es la imagen de ningún otroelemento.¡-l({l, 2}) = {2,4}.¡-1({2, 3, 4}) = {4, 1,3, 5}.

b) 1. {... , -21t, -n, O, n, 2n, ... } = {x: x = mi, nEZ}.n

2. {x: x = 2 + Znn, n E Z}.

3. 4>.4. R = conjunto de los números reales.

e) Como la imagen de cualquier elemento en E está en el conjunto de valores de J,

e) Sif: E ~ F.Hallej'" 1(f(E)), es decir, la imagen recíproca del conjunto de valores' def

3. ./ 1(2).2. r 1(1).

a) Halle ¡-1(2), ¡-1(3), f-l(4), ¡-1{1, 2}, ¡-1{2, 3, 4}.b) Sea f: R ~ R definida por la fórmula f(x) = sen x. Halle

135FUNCIONES y APLICACIONES

a) Dé un ejemplo de función de N a un subconjunto propio de Nque no sea una biyección.

b) Una inyección de N a un subconjunto propio de N.e) De Z a un subconjunto propio de Z, que no sea una inyección.d) Una inyección de Z a un subconjunto propio de Z.e) Una función de R a N.f) Una función de R a N tal que para todo x, f(x) =1= x.

y x =,yy::sg-I(X) = .yx - 5

y - 5 = x3

:f.........~ • 'j .; • ~ •

r- 1Jótuci6n, . ) e Iicación tensa reci . fi . b'• . a eme para que una ap icacion tenga reciproca es necesano y su ciente que sea 1-

yectiva, entonces h es la única que tiene una recíproca.b) L JI es inyectiva, puesto que x =F y implica que XS =F y5. Además es sobreyectiva. Entonces

posee una aplicación recíproca.2. J2 es una aplicación inyectiva, pero no sobreyectiva; por tanto, no tiene recíproca.3. J3 tiene reciproca, puesto que es una biyección.e) Como y = J(x) = 2x - 3, entonces x = r=i». es decir, x = (y + 3)/2. Por tanto, ¡-1(X) =

(x + 3)/2. Para calcular la recíproca de g basta resolver la ecuación y = x3 + 5 para x en términos de y,es decir,

¿Cuáles de dichas aplicaciones tienen recíproca?

e) Sea f: R -+ R definida por f(x) = 2x - 3. Como es una biyección, halle .una fórmulade su recíproca11. Sea g : R -+ R definida por g(x) = x3 + 5. Como g es biyectiva, halleuna fórmula que dé su recíproca g - 1.

3. f3(X) = sen nx,2. f2(X) = sen x.

¿Cuáles de estas aplicaciones tienen recíproca?

b) Sea E = [ - J, l]. Sean f1' f2' f3' f4 aplicaciones de E en E definidas por

Figura 4-28

EE

a) Sea E= {l, 2, 3, 4, 5} y sean f i B .....E, g: E -+ E, h : E -+ E defi­. nidas por los diagramas de la Figura 4-28.

¡-1 = {(b, a), (d, b), (a, e), (e, d)}

b) Para hallar la función recíproca basta invertir el orden de las parejas, es decir,

F = {5,1,7, -3}yE= {1,3,4,-2}

a) J es una función de E en F si J es un subconjunto de E x F y cada elemento de E esel primer elemento de una, y solamente una, pareja de f. Entonces

FUNCIONES Y APLICACIONES136

Nota. En general, no se puede remplazar en las relaciones 1y 2 el signo de inclusión por el de igualdad.En general, A =F F I[f(A)]. Considere los conjuntos S = {al' a2' a3' a4.} Y T = {b1, b1, bJ}. Defina

[ : S -> T por [(a.) = b., [(02) = b, 1(a3) = b, y /(04.) = b3. Sea A = {al, aJ ==- 1(A) = {b.} y¡-1[{(A)] = r'({bJ}) = {al, 02' aJ} =F A.

En general, j[f-l(B)] =F B. Considere los conjuntos S = {SI' S2, sJ} YT = {tl' t2, 'J} con 1:S -> Tdefinida por [(s.) = 11, [(S2) = tI Y [(sJ) = (2' Sea B = {/2, (J}= jfjl(B)] = [({sJ}} = {/z} =F B.

Elección arbitraria.Definición de imagen.Definición de imagen recíproca.Lineas 2 y 3.

Elección arbitraria.Definición de imagen recíproca.Definición de imagen recíproca.Definición de función.Lineas 3 y 4.

Razón.Elección arbitraria.Definición de función, dominio de 1= E.Definición de imagen.Definición de imagen recíproca.

Demostracián 2.Sea y e~ '(B)]Para algún x e ¡-'(B), (x, y) e [x e ¡-I (B) para algún y' EB, (x, y) E[(x, y) e1& (x, y') e1=>y = y'ye8

Otra demostración.Sea y e.I[J 1(8)]Para algún x e ¡-I (B), /(x) = JIx er 1(B) => !(x) E ByeB

Demostración l.Sea x e APara algún y e F, (x, y) e [XEA & (x,y)e/==-yefl.A)y e [(A) & (x, y) e/=> x eF I[f(A)]

~6ÜI"l::! :.A~,6;: :e~ " .' Sea f: E ~ F una aplicación de E en F.Verifique las siguientes relaciones:1. A C¡-l(f(A)) "t:J parte A de E.2. B":J f<r 1(B» "t:J parte B de F.

b) [-1 es una biyección.Es sobreyectiva porque 'rJxEE. fl.x) = JI existe; entonces r: I(y) = x. Es inyectiva porque x = x' ==­

[(x) = [(x') (porque [está definida). Es decir, rl(y) = ¡-I(y'). Y = y'.

x = r'i» = JI = [(x)

Nota. r=. F->E, t:": y->x =r1(y).La aplicación reciproca F' 1, de I. se define por

Esto muestra que la relación binaria r: 1 es una relación funcional, que se llama la aplicación recíproca def, y se escribe r 1.

x =F x' ==- y =F f(x')

Demostración. a) Existencia de [- l. Sea [una biyección de E sobre F. Entonces 'rJyeF, 3x e E; [(x) = ynorque [ es sobreyectiva. Además, el elemento x es único porque [ es inyectiva

::l~¡;~~;..:~¡;:¡t~- ......~~,. rlS1lliWo" t.;JI ,,..,'t•.-o ;.i,,::..¡'.~~~~,,:~ Teorema. Si f es una biyección de E sobre F, existe la aplicación

recíproca de f, escrita f- 1, que es una biyección de F sobre E.

Por ejemplo: a) [= {(n, O)ln E N}.b) [= {(n, n + l)/n E N}.c) [= {en, O)ln e Z}.d) [= {(n, 2n)ln E Z}.e) [= {(x,O)/xeR}.f) [= {(x,O)lxeR - {O}}U {(O,1)}.

137FUNCIONES Y APLICACIONES

Elección arbitraria.Definición de imagen recíproca.Definición de U.Definición de imagen reciproca.Definición de U.

Definición de imagen recíproca.Definición de U.Definición de imagen recíproca.

Elección arbitraria.Definición de U.

Elección arbitraria.Definición de imagen recíproca.Definición de C.Definición de imagen recíproca.

Razón.

Parle TI.

Sea x e rl(BI U B2)

Para algún y es, U s; (x, y) Efy e B, o yeB2

xerl(B1) o xef-I(B2)xerl(B¡) U f-I(Bz)

Sea XErl(BI) Url(Bz)XErl(B1) o xerl(Bz)Para algún y e B¡, (x, y) Ef o para algúnyeB2, (x,y)EfPara algún y e s, U B2• (x, y) e fxer¡(B¡ UB2)

Demostración 2'. Parle l.

Sea x E¡-1(BI)Para algún ye BI, (x, y) efye BI y BI e s, entonces y e s,y e B2 y (x, y) E I. entonces x eF ¡(B2)

Demostración J'.

Demostración 4. Sea y ~ f(A2), 10 cual implica que si (x, y) e J, entonces x, A2 por definición de imagen.En el caso de que f sea inyectiva se cumple la igualdad, puesto que f(A ¡ - A2) e f(A 1) - f(A2)·

Nota. Si A es una parte de E, F I[feA)] :> A.Sí B es una parte de F, ¡V-' (B)] = Bnj{E).

Si f es inyectiva, la igualdad se cumple, puesto que ftA¡) ('¡ j{Al) e f(AI ('¡Al)' Para ver quef(AI ('¡ A2) 4= feA ¡)nf(Az) basta tomar a A ¡ = R, Al = R y sea rr, :R2 -> R definida por f(x, y) = y.

Sea Al la recta x = 1 y A2 la recta x = 2. Al nAz = <p y f(A¡} = f(A2) = R.

Razón.Elección arbitraria.Definición de imagen.Definición de intersección.Definición de imagen.Definición de imagen.Definición de intersección.

Sea y e tu, ('¡ A:2)Para algún xeA, ('¡A2, (x,y)efxeA, y xeAlxeA, y (x,y)efrYEf(A¡)x E A2 y (x, y) ef=- y Ef(Az)y E f(A¡} ('¡ f (Al)

Demostración 3.

¡(Al n A2) =f: f(Ad n¡(A2)

4. ¡(A 1 - A2) ~ ¡(A 1) - ¡(A2)·

La igualdad se cumple en el caso de que f sea inyectiva.Sean B1 Y B2 partes de F, entonces:1'. s, e B2 =-rl(El)er1(B2)·

2'. rl(Bl uB2) =rl(B1) Ur1(B2)·3'. ¡-l(Bl n B2) = f-l(Bd n ¡-1(B2)·

4'. ¡-l(E¡ - B2) = ¡-l(Bd - ¡-1(B2).

Seáfuna aplicación de E en F. Sean Al y A2 dos partes de E, entonces1. Ale A2 =- f(Al) ef(A2)·

2. n»,UA2) = f(Al) Uf(A2)·

3. f(Al n A2) ~¡(Al) nf(A2)·

Se cumple la igualdad en el caso de que f sea inyectiva.Empleando la función prl : Al x A2 ~ Al' dé un ejemplo para el cual

FUNCIONES Y APLICACIONES138

139

Elección arbitraria.Definición de imagen recíproca.Definición de complemento.Definición de imagen recíproca.

Definición de imagen reciproca.

Definición de imagen recíproca.Definición de complemento y pasos j, 4.

Definición de imagen recíproca.

Elección arbitraria.Definición de complemento.

Elección arbitraria.Definición de imagen recíproca.Definición de n.Definición de imagen recíproca.Definición de n.

Elección arbitraria.Definición de n.Definición de imagen recíproca.Definición de n.Definición de imagen recíproca.

Elección arbitraria.Definición de imagen recíproca.Definición de n.Definición de imagen recíproca.Definición de n.

Definición de imagen reciproca.

Definición de imagen recíproca.Definición de función.Definición de n.

Elección arbitraria.Definición de n.

Elección arbitraria.Definición de imagen recíproca.Definición de U.Definición de imagen recíproca.Definición de U.

Parte ll.

x e rl(BI - B2)

Para algún y eBI - B2, (x, y) e fy e B¿ y y e B¿y EB¡ y (x, y) E f implica x E ¡-1(B1)

Demostrad/m de 4'. Parte /.

Sea XE¡-I(BI) - rl(Bl)xErl(B¡) y xirl(B2)

xe¡-I(BI) implica que para algún y e Bv,(x,y)efx rir 1(B¡), entonces si (x, y) Ef, entoncesyf/:B1y e B¡ - B2

y EBI - Bl y (x, y) E[ implica quexerl(B¡ - B2)

Parte [l.

Sea x E ¡-l(BI nBz}f(x) EBIn B2[(x) E BI y f(x) EB2

xerl(BI) y xerl(B2)

x Erl(BI) n ¡-1(B2)

Otra demostración de 3'. Parte 1.Sea xe¡-I(B1) n¡-I(B2)

xer¡(B¡) y xeri(Bz)f(x) e BI y f(x) e B2f(x) e BI nB2x e ¡-1(B1 nBz)

Sea xe¡-I(BI nB2)

Para algún y e B1 n B2, (x, y) e fy e B¿ y ye B2

xerl(B¡) y xef-I(Bz}x e¡- l(BI)n¡-l(Bz)

Parte JJ.

Sea xerl(BI) nr1(B2)

XEf-I(B¡} y XEr1(B2)

Para algún y e Bl> (x, y) E I. Y para algúny' E B2, (x, y') e I. entonces y = y'(x y) e [ y (x, y') E f implica que y = y'yE s, n B2

y e BI nBl y (x, y) ef implica queXEJI(BI nB2)

Demostración 3'. Parte J.

Otra demostración de la Parte 11.

Sea XErl_(Bl UB2)f(x)eB1UB2f(x) E BI O f(x) E B2xerl(BI) o XE¡-1(B2)

xe¡-l(B¡) U rl(B2)

FUNCIONES Y APLICACIONES

f(C1) = {O}f(e2) = {I}f(C3) = {2}f(C4) = {3}

el = {-3, -2, -1, O}e, = {l}

. C3 ::;:: {2}e4 = {3}

. ~ Lá cruz indica los casos que corresponden a las parejas (x, f(x».Como todo elemento X tiene una imagen única f(x), cada columna de la tabla contiene una cruz,

y solo una.. Los elementos de A se reparten en cuatro clases de equivalencia:

Dé las clases de equivalencia correspondientes al problema anterior. (Vea Figs. 4-29y 4-30.)

Seaf: A-B, con A = {-3, -2, -1, 0,1,2, 3}y

Ixl + X I {X si X > OB = N = naturales y f :x - y = , recuerde: Ix = .-2 -x SI X < O

Esto muestra que toda relación de equivalencia se puede obtener a partir de una igualdad en unconjunto.

X = x }1-2 =x==xXz == Xl 1 3

Demostración.a) ~x, x == x entonces f(x) = f(x). Reflexiva.b) Xl:: X2 => ¡(Xl) = f(x2)

f(x¡) = ¡(x2) => f(x,.) = f(x1) => x2 == Xl' Simétrica.e) XI == .x2 => f(xl) = f(X2) } ji() _ ji() =- f() - f( ) => Xl - x3 = Xl - X3Xl = Xl = x2 - x3De donde:

Xl == X2 <:;> f(xl) = f(x2)(equivalencia en A) (igualdad en B)

. "'0. lema 4rlJh'¡ Teorema. Sea f : A _ B una aplicación; la igualdad de las imágenespor f en el conjunto de llegada B implica la equivalencia de los elementos de partida en A.

Elección arbitraria.Definición de imagen recíproca.Definición de complemento.Definición de imagen reciproca.Definición de complemento .

Parte l/.

Sea x Ef-I(Bl - B2)

,(x)eB, - B2

f(x) e s, y f(x) ~ B2

xerl(B¡} y xf/:r1(B2)

xerl(BI) - rl(B2)

Elección arbitraria.Definición de complemento.Definición de imagen recíproca.Definición de complemento.Definición de imagen recíproca.

Sea X er I(B1) - r t(B2)x EF I(B1) y X rj ,(-I(B2)

f(x) E s, y f(x) rj B2,(x) e BI - B2

XErl(B1 - B2)

Otra demostración de 4'. Paree l.

Definición de función.Definición de imagen .reciproca (línea 5).Definición de complemento.

Si (x, y') E,( entonces y = y', por tanto, y' fÍB2

X rtr1(BI)xef-l(Bl) - ¡-1(B2)

FUNCIONES Y APLICACIONES140

Figura 4-32

feBA

Como g es una inyección, j(x) '4= ./{y) => g(f(x» =1= g(f(y)).

Figura 4-31

eBA

Como f es una inyección, x =1= y=> j(x) =1= f(y).

x '4= y = (g0.n(x) =1= (g0.n(Y)

Demostración. Se debe mostrar que para todo x, y EA

inyección de A-C.La compuesta g o f de las inyecciones f :A - B Yg : B - e es una

En la tabla de A x N, a dos elementos equivalentes de A corresponden dos cruces situadas sobre lamisma fija.

Figura 4-30Figura 4-29

5

4

3 X

2 X

1 X

O X X X X

I~ -3 -2 -1 O 1 2 3

Tabla de A x Nx y = f(x)

-3 3+(-3)=02

-2 2 + (-2) = O2

-1 1+(-1)=02

O 0+0_02 -

1 .!_±_! - 12 -

2 2+2_22 -

3 3 + 3 _ 32 -

141FUNCIONES Y APLICACIONES

g eB

f h

A Dhogol

Figura 4-34

Esta propiedad se puede representar por la Figura 4-34.

h o (g o j) = (It o g) 01 = " o gol

Como las dos aplicaciones tienen el mismo conjunto de partida A y el mismo conjunto de llegadaD y comotoman el mismo valor cualquiera que sea x E A, entonces son iguales.

Esto permite eliminar los paréntesis

[(11o g) o jJ(x) = (h o g)/(x) = h(g(f(x»)[h o (g o j)](x) = h[(g "j)(x>J = h(gif(x»))

Demos/ración. Sea x E A.

Sean 1: A -+ B, g : B -+ e, h : e -+ D aplicaciones.Ento~ces (h o g) 01 = h o (g o f).

Demostración. En efecto, sea ; = g(y), por g, Z es la imagen de un elemento único y, y E B. Por 1,y es laimagen de un elemento único x, x E A. Así. por g., /. z es la imagen del elemento único x, x E E. Entoncesgol es biyectiva.

biyección 1:A -+ C.La compuesta de dos biyecciones, 1:A -+ B Y g : B -+ e, es una

(g o IHA) = g(j(A))= g(B) (porque I(A) = B por ser I sobreyectiva)=c

Demostración. Basta mostrar que (g o j)(A) = C. En efecto,

La compuesta gol de las sobreyecciones 1 : A -+ B y g : B -+ e esuna sobreyección gol: A -+ C.

Figura 4-33

B

f

Como (g o j)(x) = g(f(x» y (g o j)(y) = g(f(y» se ha demostrado que

x 4= y:. (g o j)(x) =1= (g o j)(y)

FUNCIONES Y APLICACIONES142

Entonces h = g, (= f-1).

(g o f) o h = g o (f oh)

{(g o f) o h = le o h = hg o (f oh) = golF = g

Para demostrar que g = h = f- 1, se va a demostrar que toda aplicación g y toda aplicación h, queverifican 4-25 y 4-26, son iguales,

En efecto,

y

Demostración, La condición es necesaria por los 4-~5 y 4-26 precedentes.Suponga que f es biyectiva, Entonces existe f- J Y

si, y solamente si, / es biyectiva. Entonces g = h.

ylo h = lF

Para una aplicación lEn: existen aplicaciones h y g de 9 que verifican

g o f(x/) = le(x/) = x'ygof(x) = le{x) = x

Entonces f(x) = f{x') => x = x',

of(x) = f(x') => g o f(x) = g o f{x')

Demostración. Supongamos que existe g tal que g o f = le' Entonces

, ">;'¡':;.:--;¿'f:"!¡."·?1"~:"'?4';·:~6··:;:t:t' r .....Ou ..~~/:. f:jiCo ... S" 1" , (") l / 1 I li , ,~.,..:...;.i.•.:.f'~-;~~":'_~<"" "_',:"'¡' 1existe una ap icacion g E u ta que g o = El entonces a ap icacion/ E n: es inyectiva.

Demostración, Supongamos que existe h tal que f oh = lp,Entonces "Iye F, f o h(y) = f, h(y) = y,Por consiguiente, basta tomar x = h(y) para que f(x) = y,

:~":'J ~."'-~;.~"".

~:~i~Wl!~~:;~.~.. Sea n:el conjunto de las aplicaciones de un conjunto E en un conjunto Fy S el conjunto de aplicaciones de F en E, Si existe una aplicación h E S, tal quejo h = lF =>la aplicación f e 5' es sobreyectiva,

f o f- 1 = ¡-1 o f = 1e

Nota, Si f es una biyección de E sobre E (permutación), ¡-1 es también una permutación de E, tal que

Demostración, a) En efecto, VyEF, r-r=i» = f(x), y = f(x),Entonces i-rn» = y y r-r: = lf'b) En efecto, VxeE, rlof(x) = ri». y = f(x),Entonces rJ of(x) = x y r: of= le'

Si / es una biyección de un conjunto E sobre conjunto F, entonces/or! = i, Y r: 0/= lE'

143FUNCIONES Y APLICACIONES

Considere las recíprocas de las dos implicaciones.

6. Muestre que )a función idéntica lE es una biyección.

{

3X -1 si x> 37. Sea t. R -+ definida por: ((x) = x - 2 si - 2 ~ x ~ 3

2x + 3 si x < - 2.1. Halle: f (2), f(4), ((-1), ((-3),¡-'(6), ¡-1(3); r 1({1,2}).2. Halle f -1; f o t: (o (o t: f -1 o f -1.

8. Sea E = {-5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, 4, 5}. y f una aplicación de E en E definida por:x ~ f(x) =_9_ .

2x-l

/ inyectiva => r 1U(A)] = A¡ sobreyectiva =>nr: (B)] = B

Estudie el grafo y la representación gráfica de [. ¿Cuál es la naturaleza de /? Estudie /-1.4. Dado el conjunto E = {I, 2. 3, 4, S} en E,2 considere el grafo

G = {(2, 1). (1,4), (3, S), (4,2)}

¿Es un grafo funciona)? Muestre que G permite definir una correspondencia ¡ y una relación binaria <R.5. Explique las siguientes implicaciones:

si x". 1{X -+ j(x) = x - 1

¡ x = I -+ ¡(x) = S

¿Cuál es la naturaleza de ¡? Construya su grafo. Estudie ¡-l.3. Dado el conjunto A = {I, 2, 3, 4, S}, se considera la función ¡ definida por

¿Es ¡ una función o una aplicación? Dé el conjunto de partida y el conjunto de llegada. ¿Es ¡ inyec­tiva? ¿Cuál es el conjunto de valores? ¿Es biyectiva?

2. Dado el conjunto E = {1, 2, 3, 4, S}, se define ¡ por

1si x < 2 -+ j(x) = 3

¡ si x > 2 ~ ¡(x) = 4si x = 2 -+ j(x) = I

lb ~ 2.r c-+4d-+I

1. Dados los conjuntos A = {a, b, e, d, e} y B = {l. 2, 3, 4}, sea ¡ definida por

EJERCICIOS PROPUESTOS

(I 1 og-l)o (go/) = r: o (g-I =ss=T= ¡-lo lp oI. por 4-23= r: o ¡ = lE' por 4-24

¡-I-s:' = (go/)-'

Demos/ración 2.

porque g es biyectiva.'. (g ,,/)-1 = r: 1o s: 1

z = (g o /)(x) = gU(x)] => ¡(x) = g-l(Z)=> X = F'(g-I(Z» porque ¡ es biyectiva

Demostracián l . Sea Z E C.

¿:-:~";:kt~~¡ril~~~..-=~..:;!;ib.7',:J:· J:!..~-:"".n Si f y g son aplicaciones biyectivas de / : A -t B, g : B -t e ~(g 0/)-1 = /-1 o s:'.

FUNCIONES y APLICACIONES144

21. See] la aplicación de CQ{l} en Q definida por 1: x ~ _x_. ¿Es una inyección? ¿Una sobre­x-}

yección? ¿Cuál es la imagen de 5/7? ¿Qué elemento tiene ~or imagen 1/4?

20. A todo elemento x E N*', se le hace corresponder el resto y 2:. Ode la división de x por 7. Halle I(N*).¿Cuáles son las clases de equivalencia inducidas por I en N*?

Halle las clases de equivalencia determinadas por I en E.

19. Sea I la aplicación de E = {x : x E Z, Ixl ~ 5} en Z definida por

Estudie estas aplicaciones de P en R ". ¿.cuáles son las clases de equivalencia inducidas por estas apli­caciones?

b) De los ángulos exteriores.a) De los ángulos interiores.

18. Sea P el conjunto de los polígonos convexos del plano. A' todo polígono se le hace corresponder lasuma:

¿Cuáles son las clases de equivalencia inducidas por I en E?

I : x -4 x~ - 8x3 + J4x2 + 8x - 15

17. Sea E = {- 1, O, 1, 2, 3, 4, 5} y una aplicación de E -+ Z definida por

16.

1 1 3 4e) Verifique que las seis aplicaciones son biyecciones de E = {-3, -'3' 4' 4' 3' 4} sobre sí mismo.

10. Sea I la función I(x) = 2x - l definida sobre R. Dibuje el grafo de gol si g es la función:a) g(x) = [xJ (parte entera de x); b) g{x) = Ixl; e) g(x) = x",

11. Una función 1: R -+ R es par si I( -x) = I(x) para todo x, e impar si I( -x) = -/(x) para todo x.a) Si I es par (y la compuesta está definida), muestre que gol es par.b) Si I y g son impares (y la compuesta está definida), muestre que gol y lo g son pares.

12. Si I está definida sobre [-2, 3J por I(x) = 3x - 2, determine ¡-I,J'. p.13. Si j(x) = Ixly g(x) = [x] = (parte entera de x) están definidas sobre R, determine lo g y g o f.¿Existe

alguna diferencia entre I y J' o entre g y g2? ¿Por qué estas dos funciones no tienen inversa?

14. Si I y g son funciones, ¿es posible que: a) le g sea invertible, sin que Iy g no sean ambas invertibles;b) lo g definida, pero no invertible, aunque I y g sean invertibles?

15. Si E = {l, 2, 3, 4, 5}v! = {el, 2), (2, 3)}es una función de E -+ E, ¿por qué no es una aplicación?

3xLa correspondencia x -+ 2 2x no es una aplicación de Q -+ Q. ¿Qué puntos se deben eliminar

x -del conjunto de pa rtida para que Lacorrespondencia sea una aplicación?

e, 1, g, h, k, 1

x 19. Si 1: x _ -- y g : x -+ _. Son funciones de R - R

x-l xa) Defina lo g, g o f, g o g. Dé los dominios de cada función.b) Si se toma h = lo g, k = gol, e = g o s. I = lo (g o f), forme la tabla de composición de las

seis aplicaciones

1. Determinar el grafo G de f y construir un diagrama sagital de G.2. ¿Cuál es la naturaleza de f?3. Definir f -1 partiendo del grafo Gf -1Y después por la relación que da a f -1(x).

145FUNCIONES Y APLICACIONES

32. SeaE = {- 3, -1,0, 2}un conjunto ordenado por la relación -c. Muestre que la aplícación f :x -+ Xl

no conserva la relación de orden.

1. ¿Es la relación funcional?2. ¿Es una aplicación?3. ¿Qué tipo de aplicación es?4. Se considera la misma relación de N -+ N y se compone la relación de A -+ N con la de N -+ N.

Indicar las imágenes de los düerentes elementos de A por la relación compuesta.5. ¿Es la relación compuesta una función? ¿Una aplicación? ¿Una biyección?

31. Sea A = {1, 9, 17, 25, 44, 697, 22.885, 999.999}. Se considera la relación de A -+ N, xEA,y EN:esla suma de las cifras de x.

30. En Z considere los subconjuntos A = {-3, -2, -1, O,1}y B = {-l, 0,1,2, 4} Yla aplica­ción f :x -+ X2.

Dé los elementos de f(A), f{B), f{A () E), f(A UE), f(A) Uf(B), f(A) nf(B).

29. Sea f una aplicación biyectiva de E sobre F y A un subconjunto de E. Mostrar que {(E-A) =F- {(A)

Muestre que f es biyectiva ssi a 1= o. ¿Con cuáles condiciones f coincide con la biyecciónf-1?27. Sea E= {a, b} y F= {d, e, f}.

¿CUántas funciones se pueden definir de E en F?¿Cuántas aplicaciones se pueden definir de E sobre F?¿CUántas inyecciones se pueden definir de E en F?

28. ¿CUántas biyecciones se pueden definir de E sobre sí mismo si E contiene 2 elementos, 3 elemen­tos, ... , n elementos?

a, beQf i x=v a x w b

Estudie esta aplicación de N en <P(P) con P el conjunto de los números primos.

26. Sea f una aplicación de Q en sí mismo definida por

75 -> {3, 5}.Ejemplo. 12 -+ {2, 3},

Estudie esas aplicaciones.25. A cada número natural 11 € N se hace corresponder el conjunto de sus factores primos.

x = p~'p~2, ... , P!" -+ z = n

g : x -+ Z, donde z es el número de factores primos diferentes en la descomposición de x.

x = p~t . p~2, ... , p:" -+ y = ce! + a2 + ... + IX.

¿Qué puede decir de n si (/)(n) es impar?Halle los números «perfectos», es decir, los números n, tales que (/)(11) = 2t1.

24. Sea E = {l, 2, 3, ... , 12} Y las aplicaciones f: x -+ y, donde y es el número de factores primos enla descomposición de x

tp : n -> ~(n) = número de divisores de n(Í : n -+ o(n) = suma de los divisores de 11.

22. Muestre que las aplicaciones e : x -+ xf: x -> -xg : x -+ l/xh : x~ -l/x

son biyecciones de E = {-2, -!, -1, t, 1, 2}en E.

23. Considere las aplicaciones siguientes de N en N:

146 FUNCIONES y APLICACIONES

f : X -+ f(x) = X2

g : x -> g(x) = x3

47. 1. Determine la función f o f si .r es la aplicación idéntica del conjunto N sobre sí mismo. es decir,f(x) = x,2. La misma pregunta para f(x) = 3x + 2.3. La misma pregunta si f es la aplicación de Q* ~ Q* definida por f(x) = l/x.

i.Qué aplicación define esta relación en N* y en qué conjunto?¿Cuáles son las cualidades de esa aplicación?

46. ¿Cuáles son las cualidades de las siguientes aplicaciones de R -+ R?:

(d/x significa d divide a x)x!... X = {d: d/x}

44. Indique cuáles de las siguientes funciones admiten recíprocas:1. Conjunto de partida y de llegada R - {O}; f(x) = l/x.2. Conjunto de partida y de llegada R; f(x) = 2 - x,3. Conjunto de partida R - {3/2}, conjunto de llegada R y f(x) = (x + 2)/(2x - 3).4. Conjunto de partida R +, conjunto de llegada R y f(x) = Jx.

45. Sea x un elemento de N* y f la relación tal que

Resp.: 24.

40. Sea E = {a, b, ej. Defina todas las aplicaciones de E a E. Muestre que existen seis biyecciones de Esobre E. Defina la compuesta de dos cualesquiera de esas biyecciones.

41. ¿Cuáles son las cualidades de la aplicación f de <f'(E) en <f'(E) tal que A 1.CEA?42 .. Sea E = {O, I}. A roda pareja (x, y) de El se asocia el número x + y - xy. ¿Define una aplicación

de E sobre E? Resp.: Sí.

43. Sea E= {1,2,3} Y F= {a,b,c,d}. ,1. ¿Cuál es el número de inyecciones de E en F?2. Dé la representación gráfica de dichas inyecciones.

39. Sea n E N y f la aplicación de R -+ R, definida por f :x -> X·. ¿Cuál es la condición para que f seabiyectiva ?

Si f no es inyectiva, ¿qué se puede decir de f(R)'?

38. Sea f una aplicación de N en N, que a todo natural le asocia el número de sus decenas.a) ¿Cuáles son las cualidades de f? b) Represente gráficamente la restricción 1* de f al conjunto

O $; x $; 120. Resp.: fes sobreyectiva.

37. ¿Qué tipo de aplicación es la definida por f= R3 ... R2 de la forma: {[ (al' a2, a3, ) ]

= (al + a2, a3) ?

36. ¿Cuándo es la unión de dos aplicaciones una aplicación? ¿Cuándo es la intersección de dos a­plicaciones una aplicación?

35. Sea A = { O, 1, 2, ... , 18, 19, 20 }. Sea x un entero cualesquiera; sea y el número que se obtieneal remplazar cada cifra por otra, de la siguiente manera: Opor 1, 1 por 2, ... , 8 por 9, 9 por O.Así si x= 14, y = 25.1. ¿La relación de x con y es una relación en A?2. ¿Es una relación de A en N? ¿Una función de A en N? ¿Una aplicación de A en N?3. Sea f dicha aplicación. Formar f ( { 9, 18, 20 } ).

Determinar g :::f o f y f -1 si {es la función de R ~ R definida por {(x) = (2x+2)2 D . 1 fu" , d x-3. etermmar a neron reciproca e g.3._!)eterminar g o f y f o g, si f y g son las aplicaciones de R -+- ... R. definidas por f (x) =V x,g (x) = x2.

34.

33. Sea Z ordenado por la relación>. Muestre que la aplicación f: x -> a x + b a, b e Z, conserva la re­lación de orden si a> O, es decir, Xl > X2 ee- fixl) > f(x2). ¿Qué sucede si a < O?

147FUNCIONES y APLICACIONES

h sobreyectiva => g sobreyectiva"inyectiva => I inyectiva

2. Para las aplicaciones del ejercicio anterior. muestre que

I:E-+Fg: F-+ Gh:E-+G

tales que h = g o f Dé ejemplos para los cuales:a) J¡ y I inyectivas, g no inyectiva.b) h y g sobreyectivas, I no sobreyectiva.

52. 1. Sean 1, g y h tres aplicaciones de FE, G", GE, respectivamente:

a) Exprese empleando a (/J.. y (/Ja la función característica del conjunto A-B.b) La misma pregunta para el conjunto (A U B) - (A n B).Resp.: a) CEA; b) la función g se asocia a A n By" a A U B.

h(x) = Q>.4(X) + Q>8(X) - Q>.. (x)· (/JB(X)yVXE E,

3. En general. si A y B son dos subconjuntos de un conjunto E, determine los subconjuntos de Ecuyas funciones características g y h se definen por

h(x) = Q>.. (x) + (/JB(X) - Q>,.(x)· (/JB(X)?yg(X) = (/J...{x) . (/JB(X)

¿Cuáles son los subconjuntos de E que admiten por funciones características las funciones g y h, de­finidas para todo x E E, por:

y(/J,.(x)· (/JB(X)

,2. Sea B = {a, b, e} Y (/JB su función característica. Para todo x E E, calcule

1 Para E = {a, b, e} y A = {b, d}, construya el grafo (/J... aracterística (/J.. de A, como la apli-Calcule I - (/JA(X) para todo x E E. ¿Cuál es el subconjunto de E que admite por función carac­

terística la función tf¡, definida por tf¡(x) = I - (/J,.(x) para todo XE E?

si x~Asi xEA

48. Sea E el conjunto de los puntos de una recta dada y F el conjunto de los puntos de un círculo. SeaO E F· I la aplicación que a todo punto M de E le hace corresponder la intersección M' distinta de O,de la recta OM con F. Precise I(E}.

49, Sean 1, g y h aplicaciones de un conjunto E en E. Demuestre que1. Si lo J¡ es sobreyectiva, entonces I es sobreyectiva.2. Si101es inyectiva, entonces I es inyectiva.

50. Sean E, F, G tres conjuntos.Sean II y 12 dos aplicaciones de E en F, y t, y g2 son aplicaciones de F - G.1. Si 11 es sobreyectiva, ¿en qué condiciones se verifica que gl 011 = g2 °/2?2. Si gl es inyectiva, ¿en qué condiciones se tiene que gl 011 = gl °/2?Resp.: 2. 11 = 12'

51. Para todo subconjunto A de un conjunto E, se define la función característica (/J,. de A, como la apli­cación del conjunto A en el conjunto {O,l}, definida por

FUNCIONES Y APLICACIONES148

B, = {1, 2, 3, 4, ... }, Bl = {2, 4, 6, 8, ... }, B3 = {3, 6, 9,. ... }

149

Ejemplo 5-2. Defina a B; = {x : x es un natural múltiplo de n}. Entonces

s, = [O, 1], B2 = [O, 1/2], B3 = [O, 1/3], ...

Ejemplo 5-1. Defina B; = {x: O ~ x ~ l/n, n natural}. Entonces

Nota. Cuando el dominio es el conjunto de ros números naturales se dice que esta funciónes una sucesión.

con F¡ = F(i), 'Vi E J(F')ieI = {(i, F(i» : i E l}

Cuando una función se expresa de esta manera se llama familia de conjuntos o familia indicialde conjuntos. El dominio de una familia se llama conjunto de índices y un elemento del dominio,índice. El valor, representado por Fi, de la familia para un Índice i se llama término de lafamilia,que es un elemento del conjunto de valores de la familia. En otras palabras, una familia deconjuntos es una función. Si J es el conjunto de índices, la familia se representa por (F¡)iel' Así:

Esto permite escribir la función F en la forma

A veces es conveniente escribir 10 anterior empleando una notación con subíndices de la forma

e _-------_,. .. pm = F(a), n = F(b), m = F(c), p = F(e)

la cual permite escribir .

F = {(a, m), (b, n), (c, m), (e, p)}

Considere la función

conjuntos.genera Iizadas

Familias deOperaciones

CAPITULO

s = (Xl X {I}) U (X2 X {2})U (X3 X {3})U ...

La unión de estos últimos es la suma de la familia de conjuntos XI' o sea

Xl x {I}, X2 x {2}, X3 x {3},

en los cuales Xli, X2i' ••• , son elementos del conjunto Xi'El conjunto de todos los productos de dos conjuntos de la forma Xi x {i} tendrá como

elementos .

(x li, i), (X2i' i), (X3i> i), ... , (Xp¡, í) ...

Sea (X¡)¡ef una familia de conjuntos con 1 como conjunto de subíndices. Es decir, una apli­cación de 1 en un conjunto E cuyos elementos son los conjuntos XI' Considere un índice i y elconjunto que le corresponde Xi; el producto cartesiano de los conjuntos Xi e {i}, es decir,Xi x {i} es el conjunto de los pares

Suma de una familia de conjuntos

(l[i - 1, i + 1J = cplfiN

y su intersección

U[i- 1, i.+ 1J = NieN

Ejemplo 54. Considere la siguiente familia de subconjuntos de números naturales, definidade la siguiente manera: a todo x E N se le hace corresponder el intervalo [x - 1, x + 1J E N.El conjunto de subíndices 1es igual a N. La unión de esta familia es

(lFi = Fo nF¡ nF2 = {a}¡el

Ejemplo 5-3. Si 1 = {O, 1, 2} y Fo = {a, b, e}, F¡ = {a, m, n} y F2 = {a, u, v}, entonces

UF¡ = F¿ UF¡ U F2 = {a, b, c, m, n, u, v}iel

Es decir, es el conjunto de los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de la familia (F¡)¡eI'

(lE- = {x : (x E UF;) 1\ (\fi)«i E 1) :;;> (x E F¡»}¡el ' ¡el

como

Definición 2. La intersección de una familia de conjuntos se representa por (lF¡ y se defineiel

Es decir, son los elementos que pertenecen, al menos, a uno de los conjuntos de la familia (F¡)¡e1'

UF¡ = {x : (3i)(i E 1) 1\ (X E F¡)}¡El

Definición l. La unión de una familia de conjuntos se representa por UF¡ y se define como¡el

FAMILIAS DE CONJUNTOS160

Figura 5-2Figura 5-1

3232,521,50,5~--~--~--~--------RR

I I'-----4III

2

R

3IIII

AJ_II

A2 _ 1----1---...;I I

Al -r----lI I

II I

La Figura 5-1 muestra los tres conjuntos en un sistema de coordenadas cartesianas.

Al = [1/2, 1]U [3/2,2] U [5/2, 3JA2 = [1/2, 3/2] U [2, 5/2]A3 = JI, 3/2[U J2, 5j2[

Ejemplo 5-7. Dada la familia de conjuntos {Al' A2, A3} con:

s = S2 U S3 U s, U ... = US¡¡El

S2 = {(2, 2), (4,2), (8, 2), (16, 2), }S3 = {(3, 3), (9,3), (27,3), (81,3), }Ss = {(S, 5), (25, 5), (125, 5), ... }

el conjunto de índices es 1= {2, 3,5,7,11, ... }.Los conjuntos de X¡ son disjuntos dos a dos porque se forman con las potencias de núme­

ros primos distintos. La suma de la familia (X¡) es la reunión de los siguientes conjuntos:

X2 = {2, 4,8, 16,32, } = {x E N : x es una potencia de 2}X3 = {3, 9,27,81, } = {x E N : x es una potencia de 3}Xs = {S, 25, 125, } = {x EN : x es una potencia de 5}

Ejemplo 5-6. Dada la siguiente familia (X¡)¡el definida de la siguiente manera:

s = {(r/>, 1)} U {(a, 2)} U {(b, 3)} U {(e, 4)} U {(a, 5), (b, S)} U {(a, 6), (e, 6)} U{(b, 7), (e, 7)} U {(a, 8), (b, 8), (e, 8)}

La suma de esta familia de conjuntos es

XI = r/>, X2 = {a}, X3 = {b}, X4 = {e}, Xs = {a, b}, X6 =. {a, e}, X7 = {b, e}, Xa = E

Ejemplo 5-5. Sea E = {a, b, e} y sea (X¡)¡el la familia de conjuntos formada por los subcon­juntos de E, es decir,

s = U(X¡ x {i})iel

Definición. Se llama suma de la familia de conjuntos (X¡)¡el la unión de la familia de con­juntos (X; x {i});el

151FAMILIAS DE CONJUNTOS

Por tanto, la familia (X¡)íel constituye una partición del conjunto E.

UX¡ = {a, b, e, d, e,j} y E = UX¡ie! iel

Ejemplo 5-9. Si E = {a, b, e, d, e, j} y la familia (X¡)¡EI = {Xa, Xp, Xy} con Xa = {a, b},Xp = {e}, X1 = {e, d,./}.

Se tiene que Xa n Xp = <p, X" n Xy = <p, Xp n X; = <p, es decir, los conjuntos son dosa dos disjuntos. Además

Sea (Xi)¡El una familia de conjuntos, dos a dos disjuntos. Esa familia es una partición del con­junto E si E = UX¡.

¡el

Partición de un conjunto

y, por consiguiente, (X¡)iEl es un recubrimiento del conjunto E.

entoncesUX¡ = {a, b, e, d, e,j},iel

La familia de conjuntos (X¡)¡el es un recubrimiento del conjunto E si E e UXi.iel

Porejemplo,siE= {e, b,c} y la familia (XJiel = {X,.,Xp,Xy} con X" = {a,b},Xp = {a,b,d},Xy = {a, e, e, f, d}, se tiene que

Recubrimiento de un conjunto

Definición 2. La aplicación de fiXi en Xi que a toda familia z'e rrx¡ le hace corresponder elelemento fU) E XI se llama función proyección de índice i, o función coordenada de índice i.

Nota. Como el producto es un conjunto de funciones de 1en UX¡ se necesita un axiomatet

(axioma de elección) que garantice que es posible escoger de cada conjunto X¡ un elemento b¡

Ejemplo 5-8. Si 1 = {I, 2, 3} y Xl = {a, b}, X2 = {m, n}, X3 = {u}. Entonces

nx¡ ;""{{el, a), (2, m), (3, u)}, {el, a), (2, n), (3, u)},¡el {el, b), (2, m), (3, un, {el, b), (2, n), (3, un}.

Definición l. Sea (X¡)¡Ef una familia de conjuntos. Se representa el producto cartesiano de lafamilia por nx¡ y se define como el conjunto de todas las funciones f de 1en UX¡ tales que

iel ielf(í) E Xi para todo i E l.

Producto de una familia de conjuntos

como lo indica la Figura 5-2.

s = {[1/2, 1] x el]} U {[3/2, 2) x el]} U {[S/2,3] x el]} U {[1/2, 3/2] x [2]}U{[2, 5/2] x [2]}U {JI, 3/2[ x [3]}U {J2, 5/2[ x [3]}

La unión de la familia es [lj2, 3J.La suma es

FAMILIAS DE CONJUNTOS152

('¡Xi e Xio e UX¡iel ¡el

p~¡jbMma::5~4. " '" _: Sea (X¡)iEI una familia de conjuntos y sea io E l. Enlonces

. ;~:!"..::r!I·,fjjf1!i;l.S,9t'}·~~}/!2Sea x E CF.(UX,). Entonces x E E, y para todo. iE J, x fj Xi' entonces x E CF.X;: por consi­

¡elguiente, x E ()(CEX¡). Recíprocamente. sea x E ()(CEX,) por definición de intersección, x E E. Además, si

iel te!

se tiene que x E UX¡, existirá ¡E J tal que x E Xi. lo que es contrario a la hipótesis de que x E ()(C¡¡X¡ iporj61

tanto, x ECE(UX;)_ Lo cual demuestra la primera fórmula. La segunda es inmediata si se tiene en cuentalel

la relación CE(CEX) = X para tod~ parte X de E.

2. CE«('¡X¡) = U(CEX¡).iel iel

y1. Ce(UX¡) = ('¡(CEXi)iel iel

ne queMuestre que para toda familia (Xi)iEI de partes de un conjunto E se tie-

. . - -...;-,So'uci6i1~• ..' a) Como (1, J/3) contiene a (1,1/7), B3 U B7 = B3'b) Como (0,1/11) es un subconjunto de (0,1/3), B3 () B r r = BII'

e) Sea m = min (i, j), es decir, el mínimo de los números i y j; entonces Bon es igual a B¡ o B¡ y con­tiene al otro como un subconjunto. Entonces B¡ U BJ = Bon•

d) Sea M = max (i, j), es decir, el máximo de los dos números; entonces B¡ () Bj = BM•

e) Sea a EA el número natural más pequeño en A. Entonces UB¡ = B,¡eA

J) Si X es un número real, entonces existe por lo menos un número i tal quc x rf (O. 'fi). Entonces()B, = 4>.

UE¡ = {2, 3, 4, ... } = N - {1}1El'

e) Todo número natural, excepto 1, es un múltiplo de por lo menos un número primo; entonces

b) Los múltiplos de 12 están contenidos en E4 y E6; por tanto,

'- .. -.. oll""~liicwJ.(.F a) Los números que son divisibles por 3 y por 5 son los múltiplos de 15; entonces~-.,.,a:-_!!.. ~li

.... ~ •. '~~ .; f-";''':'.';''." ,,- ......=.i ...e.:~,~~m.;..r:m Sea E" = {x : x es un múltiplo de n, n e N}. Halle: a)E3 ('¡Es; b) E4 ('¡E6;e) UE¡, con P el conjunto de los números primos.

¡"p

PROBLEMAS RESUELTOS

153FAMILIAS DE CONJUNTOS

¡(nA;) = N(AI)IGl lel

si f es inyectiva, entonces

f(nA;) e N(A¡)'lel lel

r¡;- ,;¡...t:~'~ -Fd~r - ;<.s.~a :~;~f.iSea f :X ~ Y una aplicación y (A¡)iel una familia no vacía de partesde X. Entonces

XEUAilel

yy = !(x)

Para y E Y, la relación y E U!(Aj) equivale a que existe un índice iE 1 tal que y E ¡(Al),¡"I

es decir, existe un índice i e I Yun x E A¡ tal que y = f(x), es decir, a la existencia de un x que verifica

f(UA¡) = Uf(A¡)lel ieJ

¡:: J , u¡~•·ir::~¡:t~::¡! \7l~.~-P.!ol:).!~;1hL .~Sea f :X ~ Y una aplicación y (A¡)lel una familia de partes de X. En­tonces

~fit~tq~,~...'·;";Sea B). = UA¡; para que x pertenezca a la reunión de la familia (A¡)i&1 es necesario yiE/),

suficiente que exista i E 1 tal que x E A;; como 1 es la reunión de los lA, esto significa que existe A. E A e ¡El).tales que x E Aj• entonces existe un A E A tal que x E B).; por consiguiente. la reunión de la familia (Adí.,es idéntica a la de la familia (B).heh> lo cual demuestra el teorema.

entonces UA¡ = U (UAJiel ).eA leJ1

J= U1i.leA

;!1 ~'U ...._!"':'l ..!I"~~ .f'::J!!o~1!.~~F.!.'(Asociatividad de la reunión.) Sean (A¡)ld y (J,J.<.eA dos familias de con­juntos, y supongamos que

~~-"''l/t~'-'r::~gtuc~~:~1Suponga que X contiene todos Jos Al; si x E A, existe un i tal que x E Ah Ycomo A¡ e xse tiene que x E X; entonces A e x. Recíprocamente, si X contiene a A, para mostrar que X contiene todoslos Al es suficiente establecer que A :) Al para todo i, lo cual es evidente.

"'--=.~ '" .... """T_:;.":I;I····~··

i1'iro~.~~.:.!!;~f:J Sea A la reunión de una familia de conjuntos (A¡)¡eJ' Para que un conjunto

X contenga A¡ para todo ¡E J es necesario y suficiente que X contenga a A.

Sea y E X¡o' Como io E 1, y E UXI• Por consiguiente,tet

"'1!"'fJfJ: ~~t.., ~4"'4:!e~~I~~ Sea x E()X¡; entonces x EXi para todo i El. En particular. x EXi.' Entonces

¡El

FAMILIAS DE CONJUNTOS164

nA¡ = () (() A¡)iel .IV\ ¡el.

3. Si (A¡)¡el y (1¡)~eAson dos familias de conjuntos e J, 1\ y IJ., no vacíos, y 1 = U/)., entonces).E(\

2. Pruebe que si J e I, entonces UX¡ e UX¡; además, si J -+ <p, entonces (lXi e ()X¡.¡El ¡El tet iEJ

1. Sea / = {l, 2, 3}. XI = {O,5}, X2 = {3,4} y X3 = {O,3, 7}. Además, sea 1 = {4, 5}, K4 = {I, 2} y

s, = {l, 2, 3}. Forme UX¡ y U( U X;) Ymuestre que son iguales. Similarmente, forme ()X¡ y n(n X;)i~J ¡tlJ iEK I ;61 jEJ ieK I

y muestre que son iguales.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Sotuci6n'.' .:.: .... Sea x E X; la relación x EX - nA, equivale a la negación de la relación: para todo i e IId

se tiene que x E A j, es decir, se obtiene la relación: existe iE [tal que x E X - Ai; entonces a x E U (x - A i),i~1

lo cual demuestra la primera fórmula. La segunda se demuestra teniendo en cuenta la fórmulaX - (X - A) = A.

2. X - (lA¡ = U(X - A;).iEl iel

1. X - UA¡ = (I(X - Al)'iel te!

P .()&{¿;".~~5~tO! .~.¡.~.!~!.;.~.;... Sea (A¡)ieJ una familia no vacía de partes de un conjunto X. Enton-

ces se tienen las relaciones

Solucj§jl En efecto, para que x E X pertenezca al primer miembro es necesario y suficiente que f(x)pertenezca a la intersección de losAj, es decir, quef(x) EA¡ para todo i,o dicho de otra manera, que x Ef-I (Ai)

para todo i, o sea que x pertenezca al segundo miembro.

r 1{(lA¡) = nr l(A¡)¡el ¡El

Probf.itt~·.5-9. ,-;.. , Sea f :X _. Y una aplicación y (A¡)¡el una familia no vacía de partesde Y. Entonces

Nota. La segunda parte del teorema puede ser falsa si I no es inyectiva. Si Yes un conjunto que contienepor lo menos dos elementos, a y b, y X el producto YxY, y por f la aplicación pr2; sea A el conjunto de lasparejas (a. y), y E YYB el conjunto de las parejas (b, Y), Y E Y; entonces A nB = <p; o sea f(A () E) = <p; yf(A) = f(8) = Y, entonces feA) () f(B) no es vacío. .

nJ(A¡) e f«()A¡)lEI IEI

Solución Si x E A¡ para todo i, se tiene que f(x) E f{A¡) para todo i; lo cual demuestra la primeraparte del problema.

Ahora supongamos que fes inyectiva, y considere el elemento y de la intersección de los f(A¡}; paratodo i existe un elemento de A¡, sea Xi tal que y = f(x;); pero como! es inyectiva, existe un solo x tal quey = !(x), y, por tanto, se tiene que x = Xi pard todo i; así, x E A¡ para todo i, y Y pertenece a la imagen porf de la intersección de los A¡; entonces

155FAMILIAS DE CONJUNTOS

lIX¡ eTIY¡tet ¡El

IlX¡ÍE{2.3}

7. Pruebe que si (X¡)iGl y (Y¡)¡GI son dos familias de conjuntos y si Xi e Y¡para todo ¡e J, entonces

6. Sea (X¡)IE(2.31una familia de conjuntos tales que X¡ = i para todo ie {2, 3}. Construya

2. (UX¡) x (UY,) = U (Xi X Y)¡eT jE) (i.j)"T x)

J =1= <p. J =1= <p.1. «(1X¡) x «(1Yj) = (1 (XI x Yj),IGI }GJ (i.})El x )

5. Pruebe que para dos familias de conjuntos (X¡)¡EI y (YJ)jú se tiene que

rl(UA¡) = Url(A¡)iel i~1

4. Sea f: x"--+ y una aplicación y (Ai)iGI una familia no vacía de partes de Y. Entonces

FAMILIAS DE CONJUNTOS156

157

Una relación es antisimétrica (en sentido amplio) cuando su grafo es antisimétrico (en sentidoamplio).

[(x, y) e G] A [(y, x) e G)] ==- (x = y)

Definición. Se dice que un grafo G es antisimétrico en sentido amplio cuando para todo par(x, y) del grafo la siguiente relación es verdadera:

Defmición. Un conjunto en el cual se ha definido una relación de preorden se llama «pre­ordenado» por dicha relación.

Ejemplo 6-2. Cualquier relación de equivalencia es una relación de preorden.

Figura 6-1

A

255

4

3

2

1:..1 2 3 4 5

Ejemplo 6-1. La relación cuyo grafo está dado por la Figura 6-1 es una relación de preorden.

Definición. Se dice que una relación definida en E x E es una «relación de preorden en E»si goza de las propiedades reflexiva y transitiva.

El concepto de orden generaliza la noción de prioridad, anterioridad, superioridad, etc.

Relaciones de orden en unconjunto

CAPITULD

Figura 6-4

A

1

5

4 .

3

2

1:Al 2 3 4 5

Ejemplo 6-4. El grafo representado en la Figura 6-4 es estrictamente antisimétrico.

Definición. Se dice que un grafo G es estrictamente antisimétrico cuando para toda pareja(x, y) E G la relación [(x, y) EG => (y, x) ,¡G] es verdadera.

La relación es estrictamente antisimétrica cuando su grafo lo es.

Nota. Algunos autores identificán La relación antisimétrica en sentido amplio con la rela­ción antisimétrica.

Figura 6-3

Figura 6-2

te25~

5

4

3

2

11 2 3 4 5

5

4

3

2

11 2 3 4 5

Ejemplo 6-3. Las relaciones cuyos grafos están dados por las Figuras 6-2 y 6-3 definen rela­ciones antisimétricas en sentido amplio.

RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO158

Figura 6-5

6 6 25

4

3

2 5 3

1A~l 2 3 4 5 6

Figura 6-6

I

6

5

4

3

2

11 2 3 4 5 6

Definición. Una relación definida en E x E es una «relación de orden estricto» en E cuandola relación es transitiva y antisimétrica en sentido estricto.

Nota. Algunos autores no diferencian entre los dos tipos de orden. Cuando hablemos deorden, se hace referencia al orden no estricto.

Un conjunto dotado de una relación de orden se llama un conjunto ordenado.

"t/xE E, x -< x'Ix, y E E, x -< y y y -< x =- x = y'tJx, y, Z EE, x -< y y y -< z =- x <, z

Definición. Se dice que una relación definida en E x E es una «relación de orden no estric­to» en E cuando la relación es reflexiva, transitiva y antisimétrica, en sentido amplio. Se re­presenta por x -< y y se dice que x es inferior a y. Los axiomas se escriben entonces como

Nota. La antisimetrfa en sentido estricto impone que para todo elemento x del conjunto(x, x) ~ G, es decir, que ningún elemento de la diagonal puede. pertenecer al grafo y tambiénque no puede haber ningún bucle.

Ejemplo 6-5. La relación a < b entre números naturales es una relación estrictamente anti­simétrica y a ~ b es una relación antisimétrica en sentido amplio. Lo mismo sucede con A e By A ~ B, entre conjuntos.

159RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO

Figura 6-7

6

5

4

3

2

11 2 3 4 5 6

Ejemplo 6-12. El grafo de la Figura 6-7 es totalmente ordenado.

Ejemplo 6-11. Si en N se ordena por la relación «x divide a Y», no es totalmente ordenado,porque los elementos, por ejemplo 2 y 5, no son comparables, es decir, 2X5.

Ejemplo 6-10. N ordenado por la relación x .:s; y es un conjunto totalmente ordenado. N or­denado por la relación x ~ y es un conjunto totalmente ordenado.

Definición. Se dice que una relación de orden sobre un conjunto E es una relación de ordentotal, si dos elementos cualesquiera de E son comparables por esa relación. Decimos que Ees totalmente ordenado; en caso contrario, que E es parcialmente ordenado, o que la relaciónes una relación de orden parcial.

Definición. Sea E un conjunto dotado de una relación de orden <'. Se dice que dos elemen­tos x y y de E son comparables por medio de esa relación si se tiene que x -< y o y -< x.

Nota. Dada una relación de orden que se-representa por <", se puede definir otra relaciónde orden, que se llama la opuesta y se representa por >-; por definición, x < y si, y solamentesi, y >- x; en este caso se dice que y es superior a x.

Si A e B y B e e, entonces A e c.

Si A e B y B e A, entonces A = B.

VA e E, A e A

Ejemplo 6-9. En CP(E),la relación X e y, definida en CP(E),es una relación de orden estricto.En efecto,

Ejemplo 6-8. La relación x = y y definida en E x E es una relación de orden no estricto.Es la única relación que es a la vez de equivalencia y de orden.

Ejemplo 6-7. La relación x 5: y en N es una relación de orden no estricto y x < y una re­lación de orden estricto.

Ejemplo 6-6. De las relaciones cuyos grafos se dan en las Figuras 6-5 y 6-6, la primera corres­ponde a un orden estricto y la última a un orden no estricto.

RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO160

Es una función creciente si x ~ O,y decreciente si x ~ o.

f: x E R ~ f(x) = Xl E R

Ejemplo 6-14. Sea f la función

Definición. Se dice que una aplicación f de A en B es creciente si la relación Xl < X2 implicaqueJ(x 1) -< ftx2); se dice que f es decreciente si la relación XI < X2 implica que f(x 1) >- f(x2).Se dice que f es monótona si f es creciente o si f es decreciente.

Cuando se verifica la desigualdad anterior en forma estricta, decimos que f es estricta­mente creciente o decreciente y que f es estrictamente monótona.

Sea -< la relación de orden en los dos conjuntos.

Aplicaciones de un conjunto ordenado Aen un conjunto ordenado B

FUNCION CRECIENTE, FUNCION DECRECIENTE

Figura 6-9

A A

·14

3

2

11 2 3 4

Figura 6-8

35

266

5

4

3

2

11 2 3 4 5 6

Ejemplo 6-13. Los grafos de las Figuras 6-8 y 6-9 son parcialmente ordenados.

161RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO

Ejemplo 6-19. Sea E = {,l/lO" : n E N}. Este conjunto no tiene elemento mínimo.

Ejemplo 6-18. Sea N el conjunto de los naturales, OE N es el elemento mínimo de N. N notiene máximo.

En forma análoga se demuestra que el elemento mínimo es único.

Demostración. Sean b y b' dos elementos máximos de E; b, b' E E. 'tJxEE, x -< b y 'tJxEE,x -< b'. En particular, b' -< b y b -< b', entonces b = b',

Teorema. Si E admite un elemento máximo b, ese elemento es único.

Definición. Se dice que un elemento a E E es el elemento mínimo de E si para todo x E Ese tiene que a -< x. Se dice que el elemento b de E es el elemento máximo si para todo x deE se tiene que x -< b.

También se denominan «primer elemento» y «último elemento», respectivamente.

Sea E un conjunto ordenado por la relación -<.Elementos máximo, mínimo

Ejemplo 6-17: El conjunto de los enteros superiores a 1 puede ordenarse por la relación «x di­vide a y». Los elementos minimales son los números primos.

Ejemolo 6-16, La relación de orden definida en CJ>(E)con E = {a, b, c. d} por a>(E) = {{a},{b}, {e}, {a, b}, {a, e}, {a, d}, {b, d}, {a, b, e}, {a, b, d}, {a, e, d}, {b, e, d}, E, {b, e}}.

Los elementos minimales son {a}, {b}, {e}, {d}. El elemento maximal es E.

Ejemplo 6-15'. En el conjunto ordenado por la Figura 6-11, sus elemen tos maximales son3, 5, 9, y sus elementos minimales son 1, 4, 6, 7.

Definición. Un elemento a de E es un elemento minimal si la relación x -< a implica que x = a.Se llama elemento maximal de E si la relación x >- a implica x = a.

-Sea E un conjunto ordenado de grafo G.

Elementos minimal, maximal

ELEMENTOS NOTABLES

Figura 6-11Figura 6-10

R

RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO162

Figura 6-14

Se ve que 4es un minorante porque 4 ~ 1,4 -< 7,4-< 9.Se ve que 7 es un minorante porque 7 -< 1,7 = 7,7-< 9.Se ve que 9 es un mayorante porque 9>- 1,9>- 7,9 = 9.Observe que 2 no es mayorante ni minorante porque

2 >- 1 Y 2 -< 9.

Ejemplo 6-25. Considere el siguiente conjunto ordenadocomo lo indica la Figura 6-14. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}y B = {l, 7, 9}.

,/"_"­

//

( 9,*,,~_,¿--+~~~\\\

Ejemplo 6-24. En el conjunto Q de los números racionalesconsidere el conjunto X = {l/lon : n EN}, ° es un mino­rante de X y O rt X, 1 es un mayorante de X y 1E X

Ejemplo 6-23. En N considere a B = {3, 5, 7}. Sus minorantes son {O, 1, ·2, 3} y sus mayo­rantes {7, 8, 9, ... }. Por tanto, B es acotado.

Definición. Sea E un conjunto ordenado y B una parte de E. Se llama minorante de B a todoelemento a E E tal que para todo b E B se tiene que a -< b. En forma análoga se llama «ma­yorante» de B a todo elemento a de E tal que b e B se tenga b -< a.

Si B es a la vez mayorado y minorado se dice que es acotado.

Mayorantes, minorantes

Demostración. En efecto, sí a es el elemento mínimo de E, todo elemento x de E es tal quea -< x; ningún elemento distinto de a verifica la definición de elemento minimal, porque paraun elemento a' distinto de a se tendría a -< a' sin que a' = a. .

Teorema. Si un conjunto ordenado E tiene un elemento mínimo a (respectivamente un ele­mento máximo b), tiene solamente un solo elemento: minimal que es a (respectivamente unsolo elemento maximal que es b).

Ejemplo 6-22. R, Q, Z ordenados por S; no tienen elemento máximo ni mínimo.

Ejemplo 6-21. Sea E un conjunto y <P(E) el conjunto de partes ordenado por inclusión. Elelemento mínimo de <P(E)es 4J y el máximo E.

Figura 6-13Figura 6-12

Ejemplo 6-20. En los conjuntos ordenados cuyos grafos están dados por las Figuras 6-12y 6-13, el demento máximo del primero es 3 y el mínimo 6. Para el segundo, 2 es el mínimoy no tiene máximo.

163RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO

_.- - --Elemento Elemento Minorante Extremo inferior

minirnal de E mlnimo de E de EC D de EC D

Definición Elemento a tal que Elemento a tal que Elemento a de D tal Elemento a de D. de

(x -< al => x = (J 'r:Jx,x E E => a < x que modo que sea el ma-

Vx, x E E => a -< X yor de los minoran-tes de E

El elemento perte- sí sí nunca nuncanece a E

Si existe es un solo sí sielemento nunca nunca

-Vea Figuras 6-16 y 3 y 5 son elementos E no tiene elernen- 4, 7 y 9 son los mino- 4 es el extremo6-17 O 6-18 y 6-19 minimales de E to mínimo rantes de E inferior de E

Tabla 6-1

La Tabla 6-1 resume los conceptos anteriores aplicados a las Figuras 6-16 a 6-19.

Figura 6-15

Observe que g no es extremo inferior de X porque gno precede a d; g y d no son comparables. Además e =sup X y pertenece a X, f = inf X y no pertenece a X.

Ejemplo 6-28. Sea E un conjunto ordenado como mues­tra la Figura 6-15 y sea el subconjunto X e E tal queX = {e, d; e}, entonces a, b y e son mayorantes de X, 'ff es el único minorante de X.

Ejemplo 6-27. Sea X = {l/lO" : n EN}, entonces inf X = O y sup X = 1.

Ejemplo 6-26. En N considere el conjunto X = {3, 5}, entonces inf X = 3 Ysup X = 5.

Demostración. g es un mayorante de X, por consiguiente, Vx E X, X ~ g. Además, si m esun mayorante de X, entonces g E X::::> g <' m. Por tanto, g es el elemento mínimo del con­junto de los mayorantes.

Teorema. Si X tiene un elemento máximo g, entonces g es extremo superior de X.

2. Se dice que un elemento de E es el extremo superior de X en E si es el elemento mí­nimo del conjunto de los mayorantes de X. Se designa por SUPE X.

Definición. l. Se dice que un elemento de E es el extremo inferior de X en E si es el elementomáximo del conjunto de los minorantes de X. Se designa por infEX.

Sea E un conjunto ordenado por la relación ~ y X un subconjunto de E.

Extremo superior, extremo inferior

RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO164

Ejemplo 6-29. Sea A un conjunto ; el conjunto <P(A) de las partes de A es filtrante para la re­lación C. En efecto, tomemos dos elementos X y Y de <P(A); por definición se tendrá X CAy Y CA; {X, Y} está mayorada por A.

Definición. Sea E un conjunto en el cual se ha definido una relación de orden representadapor -<. Se dice que «E es filtrante para la relación -<» cuando toda parte de E compuesta pordos elementos está mayorada. Se dice también, en este caso, que E es «filtrante a la derecha».Se dice que «E es filtrante para la relación >>> cuando toda parte compuesta por dos elementosde E está minorada. En este caso se dice que E es filtrante a izquierda.

Conjuntos filtrantes

Nota. Las Figuras 6-18 y 6-19 se obtuvieron al cambiar los elementos de la Figura 6-16 paraque queden por encima de la diagonal principal.

Figura 6-19Figura 6-18

D

8

2

6

5

3

4

7

9

1) 1 9 7 4 3 5 6 2 8

Figura .6-17Figura 6-16

DD -----_ .......

9

8

7

6

5

4

3

2

J II 2 3 4 5 6 7 8 9

165RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO

[a, -+[ = {x :·x >- a}Intervalo cerrado ilimitado a la derecba y de origen a:

]+-, aJ = {x : x -< a}

Intervalo cerrado ilimitado a la izquierda y de extremo a:

Intervalos ilimitados

La mayoría de los lectores conoce ya la definición de intervalo. A continuación los vamos adefinir para una relación de orden cualquiera.

. Sea E un conjunto en el que se ha definido una relación de orden. Sean a y b dos elemen-tos de E, de modo que a < b. Entonces definimos los siguientes intervalos:

Intervalo abierto: Ja, b[ = {x : a <. x -< b, x 1= a, x 1= .h}.Intervalo cerrado: [a, bJ = {x: a -< x -< b}.Intervalo semiabierto a izquierda: Ja, hJ = {x : a < x -< b, x + a}.Intervalo semiabierto a derecha: [a, b[ = {x : a -< x -< b, x 1= b}.

Ejemplo 6-32. En el conjunto N ordenado por la relación «x divide a y» el intervalo abiertoJ2, 48[ es el conjunto {4, 6, 8, 12, 16, 24}. En efecto, para cualesquiera de ellos, «2 divide a xy x divide a 48». Así, por ejemplo, 2 divide a 12y 12 divide a 48.

Ejemplo 6-33. Considere el conjunto A = {a, b, e, d}; en el conjunto <P(A) ordenado porinclusión, el intervalo cerrado [{a}, {a, b, e, d}] es el siguiente subconjunto Ó. de <P(A):

Ó. = {{a}, {a, b}, {a, e}, {a, d}, {a, b, e}, {a, b, d}, {a, e, d}, {a, b, e, d}}

'Intervalos

Nota. Un conjunto totalmente ordenado es filtrante a la derecha y a la izquierda.

(a < y) => (a = y)

El elemento y mayorante de {x, a} no puede ser otro que a. Puesto que a mayora a {x, a}, secumple que para todo x EE, x -< a.

Demostración. Queremos mostrar que, para todo x E E, se cumple x -< a, es decir,

\fx«x E E) => (x -< a»a es, pues, el elemento mayor de E. Pero, para todo x E E, la parte {x, a} de E está mayorada,lo cual significa que existe un y E E tal que x -< y y a -< y. Pero por definición, a es un ma­ximal, luego

Teorema. En un conjunto fiJtrante E a derecha, UD elemento maximal a es el elemento ma­ximo de E.

Ejemplo 6-31. El conjunto N* = {l, 2, 3, ... } de los números naturales es filtrante para larelación «x divide a y»; en efecto, si tomamos dos números a y b que pertenezcan a N siem­pre se encontrarán en N múltiplos comunes a a y b, que mayoran a {a, b}.

Ejemplo Q-30. El conjunto E de los cien primeros números naturales 1, 2, ... , 100 no es fil­trante para la relación <<X divide a y». Tomemos, en efecto, dos elementos, por ejemplo, el 11y el 13; este subconjunto {l l, 13}no está mayorado por ningún elemento de E ya que no hayningún número entero inferior a 101 que sea múltiplo de 11 y 13.

RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO166

Ejemplo 6-35. Considere a N ordenado por la relación ~. Sea E el conjunto de los intervaloscerrados ilimitados a la izquierda y de extremo x, x EN. Suponga que E está ordenado porla relación de inclusión.

Considere la biyección Ide N sobre A definida por x .....2.:c. Para dos números de N tales quex ::;;y, se tiene para los dos elementos correspondientes de A que f(x) divide a f(y) (por ejem­plo, 8 divide a 32).

Ejemplo 6-34. Considere el conjunto A = {l, 2, 4, 8, 16, ... } de las potencias de 2 en el cualse establece la relación de orden «x divide a y». Considere el conjunto N = {O, 1, 2, ... } enel cual se establece la relación de orden x ::;;y. El conjunto A se puede escribir como:

Definición. Se dice que f es un isomorfismo del conjunto ordenado E sobre el conjunto or­denado F si es biyectiva y si I y JI son crecientes; si E y F son iguales, y dotados de lamisma relación de orden, un isomorfismo de E sobre sí mismo se llama un automorfismo de E.

Isomorfismo de conjuntos ordenados

El orden de las palabras de un diccionario es un orden lexicográfico.

(a, b) -< (a', b'¡ si a -< a' o si a = a' y b -< b'

Es fácil ver que la relación -< es una relación de orden definida sobre El x E2• Se dice que elorden así definido es el orden producto de los órdenes definidos sobre El y E2•

2. Orden lexicográfico. Si A Y B son dos conjuntos totalmente ordenados, se puede de­finir UII orden en A x B de la siguiente manera:

Dados dos conjuntos ordenados, El y E2, se puede definir un orden sobre El x E2 empleandolos órdenes definidos sobre El y E2. Esto se puede hacer de varias maneras, como lo ilustranJos siguientes párrafos.

1. Sea El = {x l' .vI' ... }, Ez = {X2' >'2, .. .] dotados de la relación de orden ~. Seax = (XI' x2) Yy = (YI'Y2) Ydefina la relación -< sobre El x E2 de la siguiente manera:

Orden sobre el producto cartesiano de dos conjuntos

Nota. La parte vacía de E es un intervalo.

Nota. El conjunto E es un intervalo que se repres~nta por }-, .....[.

Ja, .....[ = {x : x ~ a, x =f a}

Intervalo abierto ilimitado a Ia derecha y de origen a:

}-, a[ = {x : x <, a, x -+ a}

Intervalo abierto ilimitado a la izquierda y de extremo a:

167RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO

Sea E = {2, 3, 4, 5, 6, 8~,9,. 10, 12, 14}ordenado por la relación <<X es unmúltiplo de y». 1. Halle los elementos maximales de E. 2. Halle los elementos minimales de E.3. ¿Cuáles son los elementos mínimo y máximo de E?

números primos.2. No existen elementos maximales porque para todo a E E, a divide, en particular, a 20.

t:~&~I·"'.e,!Ó.f'<J:1. Sea p un número primo, entonces únicamente p divide a p (porque 1 fj E); por con­siguiente, todos los números primos son elementos minimales. Además, si a E E no es primo, existe un nú­mero b E E tal que b divide a a, es decir, b -< a y b =1= a. Por tanto, los únicos elementos minimales son los

"

proble:2.~fl Sea E = {2, 3, 4, 5.... } ordenado por la relación «x divide a y». 1. Hallelos elementos minimales. 2. Halle los elementos maximales.

PROBLEMAS RESUE.LTOS

d8

e

f = {el, d), (2, e), (6. b). (8. a)}b

Fa

E

Los dos conjuntos son isomorfos, según lo demuestra el siguiente diagrama:

a b,/F e

td

Ejemplo 6-36. Sea E = {l, 2, 6, 8} ordenado por la relación «x divide a y» y F = {a, b, e, d}ordenado por el siguiente diagrama:

(3 < 5) <::> ({l, 2, 3}e {l, 2, 3, 4, 5})

o también

(3 < 5) <::> 0-, 3J e J-, 5])

Así, por ejemplo

(x < y) ~ (]-, x] e ]-,yJ)

La biyección x -+ ]-, x] sería también un isomorfismo del conjunto N ordenado por larelación estricta x e Y, es decir, '

(x ~ y) -ee- (}-, x] ~ ]<-, y])

La biyección de N 'sobre E definida por x -+ }-, x] es un isomorfismo de N sobre E,puesto que

RELACIONES DE ORDEN EN UN ~CONJUNTO168

. ' 0_' ,7.: .O', '9

~9!~.C?i~.e.~~Demostración por reducción al absurdo. Suponga que existe un número real e tal quee = min (a, b]. Por definiciónde mínimo, e satisface dos condiciones: primera, e E (a, b] p,?rquea < e ~ b,y segunda, c;S; x, Vx E (a, bJ. Vamos a ver que si la primera condición se cumple la segunda no.(a + c)/2 E (a, b] porque a < c"*' a < (a + c)/2 < e, y, por tanto, (a + c)/2 < e contradice la condi­ción de que e ;S;x, 'Ix E (a, b]. Entonces e no es el mínimo de (a, bJ.

Pió~J~n:aa!;~~:~j¡¡Demuestre que el intervalo (a, b] de números reales no tiene mínimo .

~~'U~~'Óh:' Como 1 y 2 dominan a todos los elementos de X, entonces {1,2} es el conjunto de los ma-yorantes de X

2. Como 7, 8 preceden a todo elemento de X, entonces {7, 8} es el conjunto de los minorantes de X.3. Como 2 es un primer elemento en {l, 2}, conjunto de los mayorantes de X, entonces sup X = 2.4. Como {7, 8}, conjunto de los minorantes de X, no tiene último elemento, entonces inf X no existe.

P"rdi1Hibia.6:~:;!.:. .:'" ..:' ;..;.:..,.;:}j Sea E= {t, 2, 3,4,5,6,7, 8} orde-nado como lo indica el diagrama de la derecha.

Sea X = {2, 3, 4} subconjunto de E. 1. Halle elconjunto de los mayorantes. 2. Halle el conjunto de losminorantes. 3. Halle sup X. 4. Halle inf X.

~~:,!p-:-! : ::: ....1,

!o~~16.-~~.1. Los elementos en {2, 9, LO,3} dominan a cada elemento de X y, por tanto, son losmayorantes.

2. Unicamente 6, 8 preceden a todo elemento de X; entonces {6, 8} es el conjunto de los minoran­tes. Observe que 7 no es un rninorante porque 7 no precede a 4 ni a 6.

3. Como 3 es el primer elemento en el conjunto de los mayorantes de X, sup X = 3. Observe que 3no pertenece a X.

4. Como 6 es el elemento mayor del conjunto de los minorantes de X, entonces inf X = 6. Observeque 6 pertenece a X.

8

~1ilr¡¡~:rw:i:~'.IE.;.lli.;=-=~~1,~ SeaE = {l, 2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, lO}ordenado como lo indica el diagrama de la derecha.

Sea X = {4, 5, 6}. 1. Halle el conjunto de los ma­yorantes de X. 2. Halle el conjunto de los minorantes.3. Halle sup X. 4. Halle inf X.

7

/I\\<,<;_--...,./

10

5

L Los elementos maximales son: io, 8. 14. 12, 9.2. Los elementos minimales son: 5, 2, 3.3. No existen elementos mínimo ni máximo.

910

t..:;::.....·;:::-..~ ..;;...._

¡¡ffJ!!iJi~Hi1El diagrama de E es el que se muestra a la derecha.

169RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO

Demostración. La condición es necesaria, si no e seria un mayorante de P estrictamente inferior a c.La condición es suficiente si m es tal que m < b, m =F b, m no mayora a P.

¡ir.,¡¡'it-"r.'f?ñ~!~~~;n¡f~!11~!1·I,~nJt.."~ Caracterización del extremo superior. Sea P un subconjunto de un con-junto totalmente ordenado E; para que b sea el sup E es necesario y suficiente que: 1. b mayorea P. 2. Para todo elemento e de E estrictamente inferior a b existe un elemento de P estric­tamente superior a c.

~\'!P ' ~'!11"'¡r';' ..' .JB~Jtr/Ill:l@¡:d Si E, F y G son tres conjuntos ordenados, f una aplicación de E en F,g una aplicación de F en G. 1. Si f y g son crecientes O decrecientes, entonces g o f es creciente.2. Si una de las funciones es creciente y la otra decreciente, entonces g o f es decreciente.Demostración. La demostración es inmediata y del mismo tipo para los dos casos. Vamos a hacerla úni­camente para el caso en que f es creciente y g decreciente. Sean x, x' EE, x -< x'; como hemos supuesto quef es creciente, entonces f(x) -< f(x'), por tanto, g(f(x)} -< g(f(x/», lo cual significaque g o f(x') -< g o f(x),o lo que es lo mismo, que g o fes decreciente.

Demostración. En el problema anterior se demostró que f es estrictamente creciente. Sean y y y' dos ele­mentos de F, y -< y', y sean x = f-l(y), x' = r1(y'). Como E es totalmente ordenado, se presentan trescasos; x = x', imposible porque y =f. y'; x' estrictamente inferior a x, imposible porque se tendría que,'estrictamente inferior a y, entonces no queda sino la posibilidad de que x sea estrictamente inferior a x',

~Ft..¡••~::~ •• '~\!13~.!4?!tt'~~¡L!;!kISi E y F son dos conjuntos totalmente ordenados; 'sif es una biyección cre­ciente de E sobre F,r 1 es una biyección creciente de F sobre E; ademá~f yr 1 son estricta­mente crecientes.

Demostración. Si fes inyectiva y creciente, y si x -< x', x =F x', se tiene que f(x) -< f(x') (creciente) yf(x) =F f(x/) (inyectividad), entonces f es estrictamente creciente.. Recíprocamente, si f es estrictamentecreciente, y si f(x) = f(x'), como E es totalmente ordenado, se tienen tres casos: x estrictamente inferiora x', se tendría que f(x) es estrictamente inferior a fl.x'); x' estrictamente inferior a x, se tendría f(x') estric­tamente inferior a f(x); queda la posibilidad x = x'.

~~~~ Sean E y F dos conjuntos totalmente ordenados. La condición necesaria ysuficiente para que una función creciente sea estrictamente creciente es que sea inyectiva.

..I~. ~ jO::1'r!il¡~l~!J!~'·,.lt.¡~a) ~I máximo común divisor de los elementos de X es inf X y siempre existe.b) El mínimo común múltiplo de los elementos de X es sup X y siempre existe.

~~'e~Fp:¿r. eynfnmr_t.~~~ILd~Sea N el conjunto de los naturales ordenado por la relación <<X dividea y» y sea X = {al' a2' ... , am} un subconjunto finito de N. ¿Existen sup X e inf X?

;~1J1/A1. X es mayorado porque, por ejemplo, 40 es un mayorante.

2. No existen minorantes para X, por tanto, no es acotado inferiorrnente.3. Sup X no existe. Si se considera a X como un subconjunto de los reales, entonces {/3 seria sup X;

pero como subconjunto de Q, sup X no existe.4. Inf X no existe porque el conjunto de los minoran tes es vacío.

Sea Q el conjunto de los números racionales y considere el subconjuntoX = {x : x EQ, x5 < 3}.

1. ¿Tiene X mayorantes? 2. ¿Tiene X minorantes? 3. ¿Existe sup X? 4. ¿Existe inf X?

RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO170

6 2 6

5

4

33 5

2

2 3 4 5 6 4

Figura 6=-20

1. Diga si el conjunto ordenado cuyo grafo se representa en la Figura 6-20 es estrictamente ordenado,totalmente ordenado, tiene un elemento maximal, tiene un elemento rninirnal. ¿Tiene elemento má­ximo y mínimo? Dé los mayorantes, minoran tes, extremo superior y extremo inferior de los siguien­tes subconjuntos: 1. {2,3, 4}. 2. {l, 4,5, 6}. 3. {l, 2, 3, 6}.

EJERCICIOS PROPUESTOS

-' ....'_fh 0(11;- ~.

,,$q~~~J~ri:f es un isomorfismo ordenado porque f y F' 1 conservan el orden y son biycctivas.g no es un Isomorfismo.h no es un isomorfismo porque la aplicación inversa no conserva el orden definido en C.

at• •• b, a, bl a,. •• el

a2•_..b2 a2 b2 °2. •• e2

a3• •• b3 °3 .b3 a3· •• e3

°4· •• b¿ °4 'eb• a•• ... e.f g /¡

Se definen las siguientes aplicaciones. Diga cuáles son isomorfismo .

al < a2, al < a3, O¡ < a4, a3 < a4

b, < b2, b, < b3, b, < bs, .b3 < b¿el < e2 < C3 < C4.

manera:

A = {al' a2• a3, a4}; B = {bl, b2,{el' e2, c3, c4}, Y defina las relaciones de orden para cada uno, de la siguiente

~¡;!-rcr:_::r:!:;~::¡~':~¡{!q~,:c1'trJiii:El conjunto R de los números reales, con el orden natural, es isomorfo a R con el ordeninvertido, por medio de la función f : R -> R definida por f(x) = -x; porque para cualquier par de nú­meros reales, x ;S; y si. y solamente si, -x ~ -y.

Dé un ejemplo de un conjunto ordenado (E, <) que sea isomorfo a(E, >-), o sea el conjunto E con el orden inverso.

171RELACIONES DE ORDEN EN UN CONJUNTO

4. Dé un ejemplo de un conjunto parcialmente ordenado que tenga tres elementos minimales y dos ele­mentos maxirnales .Y ninguno sea máximo ni mínimo.

5. Dé un ejemplo de un conjunto parcialmente ordenado en que todo subconjunto no vacío y acotadosuperiormente tenga un extremo superior y en el cual no todo subconjunto tenga un extremo in­ferior.

a) G o G = G.b) G n G-¡ = D, con D la diagonal de E x E.

3. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que un conjunto E, ordenado por una relaciónde grafo G, esté totalmente ordenado es que:

a) G Q G = G.b) G UG - 1 = E x E.e) cnc-1 = D.

2. Demuestre gue la condición necesaria y suficiente para que una relación .definida en E sea una rela­ción de orden es que su grafo verifique las siguientes condiciones:

172 RELACIONES DE ORDEN EN UN 'CONJUNTO

173

No tiene respuesta en N.

36.(~6, 6) .....'6 = 6

14(1~,3) -:+ 3" = ?

La multiplicación es ·también una aplicación de N x N en N.' Considere la resta en N.A determinadas parejas (x, y) de N x N les corresponde un elemento z llamado diferenciade «x» y «y». '. •

Por' ejemplo, a (3, 5) ~ 3 - 5 = ? no tiene respuesta .en N. La_glstra9~iºn. es_u!}ª ley decOYIQ9sición_int~rn~, pero no está definid,!~n todo N. ~ Tes_ta~Já deº-ni9.a_solamente si x >' y.Por .~I.!t.Q,_1ª sustracc_iQD_!1O_§_ una .aplicación de N >s.. N en ._N.

Por el_C;.9I!~ra.rio.l_ep.-ZJa, sustracción esunaley de composición. definida en todo Z._Esuna aplicación de Z x ~ en Z.

La división no está definida en todo· N.

•V(x, y), (x, y) EN x N, 3z : e = x . y(x, y) - z = x . y

Cualquiera que sea la pareja (x, y) existe en N un elemento z que es la suma de x y y.Se dice que la suma está definida en. todo N. . .

En N, la multiplicación es también una ley de composición interna definida en todo N..A toda pareja (x, y) de N x N le corresponde un elemento Z EN llamado producto deex» y de «y».. .

V(x, y), (x, y) EN x N, 3z: z = x + y(x, y) -+ z = x + y

A continuación se van a estudiar las «leyes de juego» que permiten «combinar» entre sí loselementos de un ·conjunto. .

Si se examinan las cuatro operaciones de la aritmética: adición, sustracción, multipli­cación y división, se verá en el capítulo siguiente que la suma y la multiplicación desempeñanun papel furidamental en virtud de sus propiedades.

En N, la suma hace corresponder a dos números, x, y, un tercer número Z EN, llamadola suma de (<X» y «y». La suma es una ley de composición interna: componierrdo x con y se.obtiene z. En términos de aplicación se puede decir que la adición hace corresponder a todapareja (x,' y) de N x N un elemento 'Z de N.

. .,cornposrcronLeyes de

CAPITULO

Si A, B, e representan los vértices de un triángulo equilátero, la biyección e correspondea una simetría cuyo eje es la mediatriz de AB (que pasa por e).

Figura 7-1

Ejemplo 7-2. Sea e la biyección del conjunto E = {A, B, e} .sobre sí mismo.

x+yx*y=---

2

Ejemplo 7-1. En R, la media aritmética es una operación interna

La ley representada por (+ ) se dice aditiva y la representada por (.) multiplicativa.Si S = E x E, se dice q':1e la ley de composición interna está definida en todo E. Una

!~y_de composición interna definida en todo E es una aplicación de E x E en E. En ese casose dice que la ley de composición es una operación interna, o cerrada o clausurativa,

. La ley de composición se llama interna por dos razones:a) Se componen dos elementos del mismo conjunto E.b) El resultado es un elemento de E.

¡z = x + y==x .yz=x*yz=xTy

Se dice que Z es la compuesta de x y de y. Se puede representar por

'V(x,y), (x,y)eS, 32: Z = x*yf: (x, y) -+ z = x * y, o, f[(x, y)] = z

Definición. Una ley de composición interna, notada *, hace corresponder a determinadasparejas (x, y) del conjunto prod_ucto E x E un elemento único z de E.

Es una aplicación de una parte S de E x E en E.

La división es una aplicación de Q+ x Q+ en Q+.

x'V(x,y), (x,y)eQ+ x Q+, 3z: z =­yx(x, y) ~ z = -y

Por el contrario, la división es una rey de composición interna definida en todo Q+. A todapareja (x, y) e Q x Q le corresponde un elemento Z EQ+ llamado cociente de x y y.

LEYES DE COMPOSICION174

Figura 7-4

entonces a = f * c:

Figura 7-3

(1

c(A) = B, /(B) = f[c(A)] = A ~ a(A) = Ac(B) = A, feA) = f[c(B)] = e=> a(B) = Cc(C) = C, f(C) = f[C{C)] = B => ale) = B

Se pueden componer las dos biyecciones y definir a partir de e yluna nueva biyección deE sobre sí mismo, realizando primero e y después f

La biyección obtenida se escribe: a = (* c.. .

Figura 7-2

+(1

A I le corresponde la rotación del triángulo ABC de l20" como se indica en la figura 7-2 al­rededor de O.

de E sobre sí mismo.Sea I la biyección

175LEYES DE COMPOSICION

Así el elemento a, compuesto de la biyección e seguido de la biyección J, figura en la.fila defy en-la columna de c. (Vea Tabla 7-1.) La flecha recuerda el orden en que se debencomponer las biyecciones. Se efectúa primero la biyección e y después f

En E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La formación del máximo común divisor (m.c.d.) es una ope­ración interna. Por el contrario, el mínimo común múltiplo (m.c.m.) no está definido en todo E.(Vea Tablas 7-2 y 7-3.)

En CP(E) la intersección, la reunión y la diferencia simétrica son operaciones internas.Si E = {a, b}, CP(E) está formado por los elementos <p, {a}, {b}, E. (Vea Tablas 7-4,7-5 y 7-6.)

rn. c. m.

Tabla 7-3

m. c. d.

I 2 3 4 5 6J .1 I 1 I 1 I2 1 2 I 2 1 2

3 I 1 3 I I 34 I 2 I 4 I 2

5 1 I 1 I 5 I6 I 2 3 2 1 6

Tabla 7-2

, * e a h 0 d fe r? a b e (cJ, Ia a e d f b eb b f e d e a

e e d f e a bd 7f-, e a b (f) 0[Z] 1; b e @] e (cJ)

Tabla 7-1

A esta biyección corresponde la simetría axial del triángulo ABC cuyo eje es la media­triz de BC (que pasa por A).

Existen seis biyecciones del conjunto E = {A, B, C} sobre sí mismo. (Vea Fig. 7-5.)A e corresponde una rotación de 0° alrededor de O (transformación idéntica). A d le corres­

ponde unarotación de 1200 alrededor de O en el sentido inverso a las manecillas del reloj. A fcorresponde una rotación de 120'"alrededor de O en el sentido de las manecillas.

A a le corresponde la simetría cuyo eje es la rnediatriz de Be.A b le corresponde la simetría cuyo eje es la rnediatriz de AC.A e le corresponde la simetría cuyo eje es la mediatriz de AB.Las rotaciones e, d, f conservan la orientación del triángulo, mientras que las simetrías

a, b, e la modifican.La composición de dos biyecciones de E sobre sí mismo es una biyección de E sobre sí

mismo. La composición de las biyecciones de E sobre sí mismo es una operación interna.Sea M = {e, a, b, e, d, j} el conjunto de las seis biyecciones de E sobre sí mismo. Forme­

mos la tabla de composición de esas biyecciones. En la tabla de M x M remplacemos cadapareja por su imagen. Por ejemplo, (j, e) por f * e = o.

Figura 7-.5

LEYES DE COMPOSICION176

f(a, e) = a . e

Ejemplo 7-7. El producto de un vector por un real, cuando Q = reales.

Ley externa. Una ley de composición externa, definida sobre un conjunto E = {q, b, e, ... }.Con un dominio de operadores Q = {a, {J, ... } es una operación que permite hacer corres­ponder .a todo par ordenado de Q x E un elemento bien determinado de E.

Es decir, es una. función con dominio Q x E y codominio E.

Ejemplo 7-6. En Z el subconjunto {n : n = zk, k E Z} es una parte permitida para la mul­tiplicación.

Definición. En un conjunto E un subconjunto A es una parte permitida para la ley * si 'tiaE A,'tJzE E, a * Z 1\ Z * a E A, lo cual significa que E * A e A 1\ A * E CA.

Ejemplo 7-5. En N el conjunto de los números primos no es estable ni para la adición ni parala sustracción.

Ejemplo 7-4. En Q los subconjuntos N, Z+, Z-, Q- son estables con respecto a la suma,y los subconjuntos N, Z, Q+ son estables con respecto a la multiplicación.

E es una parte estable de Z dotada de la multiplicación.En E los siguientes subconjuntos son estables:

-1 O 1

-1 I O -1

O O O O

I -1 O 1{O}. {l}, {-1, l}. {O, l}

Ejemplo 7-3. Si E = {-1, O, +1} la multiplicación es una opera­ción interna.

Tabla 7-7

Definición. Sea E un conjunto dotado de una operación interna *. Se dice que una parte Sde E es estable con relación a la operación * si la compuesta de dos elementos cualesquierade S es un elemento de S.

S es estable (clausurativa o cerrada) <::;> 'tJx, 'tJ).'. x E S A Y E S:::> X * Y E S.En este caso, la ley de composición * es una operación interna en S.

SUBCONJUNTO ESTABLE CON RESPECTOA UNA LEY INTERNA

~ 4J {a} {b} E

l/l 4J {a} {b} E

(a} {a} 4> E {b}

lb} {b} E q, {a}

E E {b} {a} 4J

u rp {a} {b} E

l/l 4J {a} {b} E

{a} {a} {a} E E

{b} {b} E lb} E

E E E E E

n rp {a} {b} E

l/l l/l 4J 4J 4J

{a} l/l {a} q, {a}

{b} l/l 4J {b} {b}

E l/l {a} {b} E

Tabla 7-6Tabla 7-5Tabla 7-4

177LEYES DE COMPOSICION

En cada caso, ¿qué se puede decir de A y B?

8. Examine el conjunto de los números pares para las leyes a + b, a- b.

9. Sobre el conjunto E = {I, 2, 5} se designa por a ...b él resto de la división de el' por 3. Construya.latabla para ~sta ley. ¿Por qué se obtiene una ley de composición interna?

10. La ley É x F, definida sobre la familia de conjuntos {E, F, G}, ¿es interna?

n 'A B 4>A IB B

ifJ.

Tabla 7-11 '

U A' B EA EB t>E -

Tabla 7-10

¿Se puede construir una tabla análoga en el conjunto {O,l}?' Si es así, ¿para cuál operaci~n?7. Complete las Tablas 7-10 y' 7-11.

Tabla 7-9Tabla 7-8

D

2: En los siguientes conjuntos se da una ley de composición. ¿Está definida en todas partés?

E Ley de composición.a) Múltiplos enteros de 7. Suma.b) Enteros módulo 5. Producto.

e) {;, m E z}. Suma.

d) {x: x = Zn, n EN}. Producto.e) {x: x = 2n. n EN}. Serniproducto.

3. Establezca la tabla de composición de las biyecciones de E = {a, b} sobre sí mismo.

4. Verifique que en E = {l, 2, 3, 6} la formación del m.c.m. es una operación interna./

5. Si E = {a, b, e}. forme la tabla de composición de' las biyecciones de E en E ..

6. Complete las Tablas 7-8 y 7-9.

(Z, -),- (Z-, '),)\ (Q+,:) C"

(Q-, -),' (Q, :),4 ({x: x;?; 3}, +)({x: x ;?; S). -) JI'.

1. Indique, en Q, cuáles de los siguientes subconjuntos. dotados de la operación indicada, -son estables:

EJERCICIOS PROPUESTOS

Es la exponenciaéión entera en Q.

f~ («, x)EN X Q+ -f(ct, x) = X'.

Ejemplo 7-8. Si n = N y sLE = Q+, se define una ley externa por

178 LEYES DE COMPOSICION

(1)

a+b---+e1 + ab a + b + e + abe(a*b)*e= =

l a + b 1 + ab + ac + be+ . e1 + ab

de donde

d= a + b1 + ab

cond+e(a * b) * e = d * e = ---

1 + de

Ejemplo 7-11. La ley x * y = x + y es as·ociativa en R.1+ xy

Cálculo de (a. b) * e.

a * (b * e) = a + (b + e - be) - a(b + e - be) = a + b + e - be - ab - ae + abe (2)

(1) Y (2) muestran que la operación es asociativa.

Remplace f por b + e - be

a * (b * e) = a *f = a + f - af

Cálculo de a * (b. e).Sea f = b * e = b + e - be.

(a * b) * e = (a + b - ab) + e - (a + b - ab)c = a + b + e - ab - ae - be + abe (1)

Remplacemos d por a + b - ab.

(a * b) * e = d * e = d + e - de

Ejemplo 7-10. La operación interna x * y = x + y - xy, es asociativa en R.Falta mostrar que 'Va, 'Vb, 'Ve (a * b) * e = a * (b * e).Cálculo de (a * b) * e.Sea d = a * b = a + b- - ab.

'V~~,~~*~*z=x*Z=xx * (y * z) = x * y = x

3. La operación x * y = x en R es asociativa.

\/x, 'Vy, 'Vz, (x· y) . Z = x· (y . z)

2. La multiplicación en R es asociativa.

'Vx, 'Vy, 'Vz, (x + y) + z = x + (y + z)

Ejemplo 7-9. 1. La suma en R es asociativa.

Cada vez que los dos términos de la igualdad estén definidos.

(x * y) * z = x * (y * z), 'Vx,y, Z E E

Definición. Una ley de composición interna, notada *, es asociativa en E si

ASOCIATIVIDAD DE UNA LEY DE COMPOSICION INTERNA

179LEYES DE COMPOSICION

Si se tiene n términos, al' a2, ... , a.; los paréntesis se pueden colocar de manera arbi­traria. Si la leyes la suma y el producto, la expresión al * tal * a3) ... a; se suele escribir:

3 Es decir, una de ias compuestas está definida, mientrasque la otra no.

3

oo(2 * 2) * 3 = O * 3 = 32 * (2 * 3) = 2 * ? = ?

32

o 2*

Para la ley x * y = x + y - xy el subconjunto S = {O,1, 2, 3} no es estable. Por tanto, la ley no está definida entodo S.3

2 2

Tabla 7-12

Nota 3. La asociatividad de una operación interna en E implica la asociatividad en todosubconjunto S de E.

Si S no es estable, puede suceder que la compuesta de varios elementos no esté definida.

Nota 2. La asociatividad, de tres elementos cualesquiera, implica la asociatividad para unnúmero finito cualquiera de elementos.

(x * y) * z = x. (y. z) = x * y * z

Nota l. La asociatividad de una operación interna permite suprimir los paréntesis.

( b) _ a + b _ 1 (a + b ) _ a+ Ó + 2ea» *e---*c-- --+e -----222 4h + e 1 ( b + e) 2a + b + e

a * (b * e) = a * -2- = '2 a + -2- = 4

La media aritmética en Q no es asociativa.

(2 : 3) : 4 = 2/3 : 4 = 2/3 . 1/4 = 1/62 : (3 : 4) = 2 : 3/4 = 2·4/3 = 8/3

La división en Q no es asociativa.

2 - (5 - 3) = 2 - 2 = G(2 - 5) - 3 = (- 3) - 3 = - 6;

Contraejemplos. La resta no es asociativa en Z.

Ejemplo 7-12. En CP(E), n, U, !l son operaciones asociativas.

(1) Y (2) muestran que la leyes asociativa.

(2)

b+ea+---1 + be a + abe + b + e

a * (b * e) = ---- =b + e 1 + be + ab + ael+a'---1 + be

de donde

1= b + e1 + be

cona+1a * (b * e) = a *I = -----"-1 + al

Cálculo de a • (b * e).

LEYES DE COMPOSICION180

x+yx*y=--=y*x2

'f/x, 'f/y,

En R, la media aritmética es conmutativa.

xy = yx'f/x, v».En R, la multiplicación es conmutativa.

x+y=y+x'f/x, 'f/y,

Ejemplo 7-13. En R, la suma es conmutativa.

Cualquiera que sea la pareja escogida (x, y) en E x E, la compuesta de x y y es independientedel or~en de composición. Las parejas (x, y) y (y, x) tienen la misma imagen: x *)' = y * x.

Cada vez que (x * y) y (y * x) estén definidos.

'f/x, yE E

Definición. Sea E un conjunto dotado de una ley de composición interna *. Se dice que laleyes conmutativa si

Conmutatividad de una ley de composición interna

13. Si f(x) = x + 3. g(x) = 2x, "(x) = X2, verifiqueque la compuesta de las tres funciones es asociativa.

14. En R. a y b dos reales dados. muestre que la ley x * y = ax + by es asociativa.

a)xy

e) x'" y = 2xy.x*y = __ .x+y

b) x * y = xy - x - y + 2. f)x+)'

x*)'=--'1 - xy

e)x + y + xy g) x * y = xy - 3x - 3)' + 12.x* y =

1 + 2xy2x + 2y - 3xy - I

d) x * y = xy + x + y. h) x* y = x + y - 2xy

, 2. Verifique cuáles de las siguientes leyes son asociativas.

d) x'" y = xy,e) x * y = X2 + y2.f) X * Y = xy + l.

a) x * y = 3x + 2y.b) x * y = 2y2.e) x * y = y.

11. ¿Cuáles de las siguientes operaciones son asociativas en Q?

EJERCICIOS PROPUESTOS

n1. al + a2 + ... + a; = L ajo Para la suma.

J= 1n

2. al x a2 x ... x a; = n ajo Para el producto.i=1

En el caso de que al = a2 = ... = a; = a se escribe:1. al + (12 + ... + an = na.2. a I x a2 x . . . x an = a":

181lEYES DE COMPOSICION

18. Sobre Q+, se define la ley a * b = a + l/b. Demuestre que esta ley no es asociativa y forme todoslos compuestos obtenidos con a, b, e y d en este orden.

d) Composición de simetrías axiales.xb) x *y = __ o

x-y

17. Sea * una ley no conmutativa. ¿Existe un elemento z tal que z * a = a * b para a y b dados?1

a) x * y ". 2x + y. e) x * y = x + _.y

a) x * y = x + 2y. f) ·x * y = x + y + 1.

b)x y

x * y = X2 - xy + y2.X * Y = -' _. g)3 2

e) x * y = 2xy. h) x * y = (x - 2y)(x + y) + 3y2.

d) x * y = xy2. i) x * y = [x - yl·e) x * y = (xy)2.

16. ¿Cuáles de las siguientes leyes son conmutativas?

15. ¿Es la composición de simetrías centrales conmutativa? ¿Es la composición de rotaciones con el mis­mo centro conmutativa?

EJERCICIOS PROPUESTOS

Nota 2. Si una leyes conmutativa en un subconjunto S de E no es necesariamente conmu­tativa en E. En el ejemplo del triángulo, la operación es conmutativa en el conjunto {e, d, J}de las rotaciones, pero no es conmutativa en {e, a, b, e, d, j}.

Nota 1. La conmutatividad de una operación en un conjunto E implica la conmutativídaden todo subconjunto S de E.

En N +, la operación de exponenciación, que a la pareja (a, b) asocia d', no es conmu­tativa.

Contraejemplos. La resta no es conmutativa en Z. 2 - 3 = -1, 3 - 2 = 1.La división no es conmutativa en Q+. 3 : 8 = 3/8. 8 : 3 = 8/3.La compuesta de dos biyecciones de E = {A, B, C} sobre sí mismo no es conmutativa.

En efecto, vea la .tabla del triángulo.

En CS'(E), la U, (l, ó. son conmutativas.

2xyx*y=-­

x+y2yx

y*x=-­y+x

'tIx,'tIy,

E~ R, la medía armónica es conmutativa.

x*y = Jxy

y*x=Fx

'tIx,'tIy,

En R+, la media geométrica es conmutativa.

LEYES DE COMPOSICION182

O es el elemento neutro.

x * y = x + y - xyx+yx.y =1+ xy

Ejemplo 7-19. Para las leyes

X ~ 4> = <p ~ X = Cx~(X n <p) = Cx4> = X

En efecto,

'tIX, X ~ <p = <p ~ X = X

Ejemplo 7-18. @(E) dotado de la diferencia simétrica, <p ~ el elemento neutro.

. 'tiX, X U <p = <p UX = X

Ejemplo 7-17. <P(E)dotado de la reunión, <p es el elemento neutro.

'tIX, X () E = E () X = X .

Ejemplo 7-16. En @(E) dotado de la intersección, el conjunto E es el elemento neutro.

Figura 7-6

En el ejemplo de las biyecciones de E = {A, B, e} sobre sí mismo .(vea Fig. 7-6) 1toma',en ese caso, el nombre de transformación idéntica o identidad.

'tIx, e: x - x

Ejemplo 7-15. En el conjunto M de las biyecciones de un conjunto X sobr.e sí mismo, la bi­yección que aplica a X sobre sí mismo es el elemento neutro para la composición de biyecciones.

'tIx, x . 1 = 1. x = x

En R, dotado de la multiplicación, 1 es elemento neutro.

'tIx, x + O = O + x = x

Ejemplo 7-14. En R, dotado de la adición, O es el elemento neutro.

'tIx, x * e = e * x = x

Definición. Se llama elemento neutro de una operación un elemento e tal que

Elemento neutro. Elemento absorbente

183LEYES DE COMPOSICION

De (1) y (2) y la transitividad de la igualdad se tiene

a = a' contrario a la hipótesis

(2)x = e, se tiene a * a' = a' * (X = (X'

En particular) si

a' es absorbente <::> 'r/x,x * (X' = a', * x = (X'

(1)x = a' se tiene a' * (X = (X' * (X = a

En particular, si

Teorema 2. Una operación interna admite a lo más un elemento absorbente.

Demostración. En efecto, supongamos que existen dos elementos absorbentes: a ya'.

a es absorbente ~ 'r/x,x * a = C( * x = a

Ejemplo 7-20. R dotado de la multiplicación, O es el elemento absorbente

Vx, x . O = O . x = O

Ejemplo 7-21. <P(E) dotado de la intersección, el conjunto <1> es,el elemento absorbente

VX, X n <1> = <1> nX = <1>

Ejemplo 7-22. <P(E) dotado de la reunión, el conjunto E es el elemento absorbente:

«x, X U E = E U X = E

De (1) y (2) y la transitividad de la igualdad se tiene

e = e' contrario a la hipótesis

Definición. Se llama elemento absorbente de una operación interna *, un elemento a tal que

'r/x)x * a = a * x = a

(2)x = e ~ e * e' = e' * e = e

En particular, Si

e' es elemento neutro -ee- Vx, X * e' = e' * x' = x

(1)x = e' ~ e' * e = e * e' = e'

En particular, Si

184 lEYES DE COMPOSICION

Teorema J. Una operación interna admite a lo más un elemento neutro.

Demostración. Supongamos que existen dos elementos neutros distintos e y e'.

e es neutro <::> Vx, x * e = e * x = x

Teorema. Si para una ley asociativa un elemento tiene simétrico, 'el simétrico es único.

Definición. En un conjunto que admite un elemento neutro (e) para la mul.tiplicación (*),un elemento a' es inverso a izquierda de a si a' ...a = e.

Un elemento a" es inverso a derecha de a si a ...a" = e.El elemento a' es simétrico de a si a' ...a = a * a' = e.Note que a también es simétrica de a'; los elementos a y a' se llaman simétricos. Se dice

que un elemento es sirnetrizable :o invertible si tiene simétrico.En el conjunto de los números, se llama opuesto al simétrico para la ley (+), e inverso al

simétrico para la ley O. En el conjunto de las biyecciones, se llama simétrica, a la aplicaciónrecíproca para la ley (o).

En el conjunto N, cero es el elemento neutro para la adición. Si a =1= 0, no existe a' en N talque a + a' = O.

En N, 1 es el elemento neutro para la multiplicación, pero no existe a' EN, tal que a . a' = 1.

Elementos simétricos

19. ¿Cuál es el elemento neutro de ES para la ley f o g?

20. En (N+, -), las leyes que a (a, b) le hacen corresponder el rn.c.d. y el m.e.m. de a y b; ¿cuál es el ele­mento neutro?

EJERCICIOS PROPUESTOS

3a tal que 'ib, a * b = b * a = b -ee- a es elemento neutro3b tal que Va, a * b = b * a = b <::> b es elemento absorbente

Nota. No se debe confundir el elemento neutro con el elemento absorbente. Los errores decálculo son frecuentes con ° y 1. La distinción entre elemento neutro y elemento absorbenteno se localiza en la fórmula de definición, sino en el empleo de los cuantificadores V, 3.

oO

(-1)*(1)= (-1)+(1)1+ (-1 )(1)

Aparentemente existen dos elementos absorbentes; este resultado no contradice el enun­ciado, por tanto, la ley no está definida en todas partes. La compuesta de 1y -1 no está de­finida:

1 - a2 = O =- a = 1, v, (X = - 1

y como esto se debe verificar cualquiera que sea x, resulta que

x+yx *y =

1 + xy

'ix, x * a = a * x = o: =- x + a = a =- x + a = el + xa2 =- x(l - al) = O1 + xa

Ejemplo 7-23. ¿Cuáles son los eventuales elementos absorbentes de la ley

185LEYES DE COMPOSICION

En <P(E), la U y la (') son distributivas la una con respecto a la otra (vea los diagramas 4,4a y 5, 5a de la Fig. 7-7).

(1 : 2) + (1 : 3) = 1/2 + 1/3 = 5/6(1 : 3) - (1 : 2) = 1/3 - 1/2 = -1/6

1 : (2 + 3) = 1 : 5 = 1/51 : (3 - 2) = 1 : 1 = 1

Por el contrario, la división no es distributiva respecto a la suma y la resta.

z z z'tIx, 'tIy, 'tIz, z =/= O

x+y=::+~z z z

x-y x y--=---

'tIx, 'tIy, 'tIz, z + O

En R, la división es distributiva a izquierda con respecto a la suma, y también es distributivaa izquierda con respecto a la sustracción.

x(y - z) = xy - xz(x - y)z = xz - yz

v«, 'tIy, 'tIz,'tIx, 'tIy, 'tIz,

En R, la multiplicación es distributiva con respecto a la sustracción; se tiene:

x(y + z) = xy + xz(x + y)z = xz + yz

'tIx, 'tIy, 'tIz,'tIx, 'tIy, 'tIz,

En R, la multiplicación es distributiva con respecto a la suma; se tiene:

DISTRIBUTIVIDAD DE UNA OPERACION INTERNACON RESPECTO A OTRA lEY INTERNA

En N todo elemento es regular para la suma y todo elemento distinto de cero es regular parala multiplicación. Cero es singular para la multiplicación.

Un elemento S es singular o absorbente si cualquiera que sea el elemento x,

x*a=y*a:::;.x=yy

Definición. Un elemento a es regular o simplificable para una operación (*) en un conjuntosi x y y son dos elementos cualesquiera del conjunto; entonces

En N se demuestra que la ecuación a + x = a + y :::;.x = y y que para a =/= O, si a . x =a· y:::;. x = y.

Pero O' x = O. y :t> x = y.

Elementos regulares

a' = a"

Demostración. Sea a' inverso a izquierda de G.

Sea a" inverso a derecha de a.

186 LEYES DE COMPOSICION

187

Figura 7-7

Verifique las relaciones anteriores utilizando colores.

(A (\ Bl b. (A n C)

6a

(A n Bl U (A n el

5a

(A U B) n (A UC)

4a

A 6. (86. el

3a

A U (BU el

2a

A n (Bn el

la

A n (B 6. e) =(A n 8) b. (A n C)

6

A n (8U e)­(A n Bl u (A n el

5

AU (Bn el =(A U 8) n (A uel

4

(A b. Bl 6. e = A 6. (B 6.el

(A U 8)U e = A U (B U el

2

(A nEln e = A n {B nel

LEYES DE COMPOSICION

A n {B b.el

A n (BU el

A U (Bn C)

(A b. D) b. e

(A U 8)V e

(An 8)n e

geC¡=> 7 + 9 = 16eCI-1eC4=> -3 + (-1)= -4eC1

-6eC4=> 2+(-6)= -4eC1

7 e C2,

-3 e C2,

2 e C2,

Estas clases gozan de una propiedad importante con respecto a la suma y la multiplica­ción en Z.

Caso de la suma:

Co = { , -lO, -5, O,5,10,15, } = {x: x = 5K,XeZ}CI = { , -9, -4,1,6, 11,16, } = {x : x = 5K + 1,K e Z}Cl = { , -8, -3,2,7, 12, 17, } = {x : x = 5K + 2, K e Z}C3 = { , -7, -2,3,8,13,18, } = {x: x = 5K + 3, KeZ}C4 = { , -6, -1,4,9, 14,19, } = {x : x = 5K + 4, K e Z}

En los párrafos 'anteriores se estudiaron las clases de restos (mod n). Tomemos el ejemplo delas clases de restos (rnod 5).

La relación de congruencia (mod 5) determina en Z cinco clases de equivalencia:

OPERACION INTERNA COMPATIBLE CON UNA RELACIONDE EQUIVALENCIA

x .1 (y + z ) -+ (x .1y) + (x .1 z)

de donde

(x + J') + (x .1 z) = x + x = 2xx L (y + z) = x

La operación .1 no es distributiva a izquierda con respecto a la' suma

(x + y) .1 z = (x .1z) + (y .1 z )

de donde

(x..l z) + (y .1 z) = x + JI(x * )') .1 ;:= x + )'

Ejemplo 7-24. Z dotado de la suma y la operación x .1y = x.La operación .1 es distributiva a derecha con respecto a la suma

Se dice que la operación .1 es distributiva con respecto a la operación * si ella es distributivaa derecha y a izquierda. Es el caso en que la operación .L es conmutativa.

x..l (y * z) = (x .1y) * (x .1z)IrJx, "V)', "V:

Se dice que la operación .1 es distributiva a izquierda con respecto a la operación * si

(x * y) .1z = (x .1z) * (y .1 z)'r/x, 'r/y, 1rJ=

Definiciones. Sea E un conjunto dotado de dos operaciones internas *, ..l. Se dice que la ope­ración .L es distributiva a derecha con relación a la operación * si

En CP(E), dotado de ~ y de n la intersección es distributiva con respecto a la diferenciasimétrica (vea los diagramas 6, 6a de la Fig. 7-7).

LEYES DE COMPOSICION188

Las dos propiedades estudiadas permiten dotar a los conjuntos de las clases residuales(mod n) de una adición y una multiplicación.

Para sumar dos clases es suficiente sumar en Z dos representantes cualesquiera escogidosen cada clase y tomar como suma de esas clases la clase que contiene la suma de los represen­tantes.

de donde

XIY¡ = (X2 + Kn)(yz + K'n)X1Yl = X2YZ + K'X2n + KY2n + KK'n2X1Yl - X2Y2 = (K'x2 + Kyz + KK'n)n

EZ

Multiplicando miembro a miembro las dos últimas igualdades se obtiene

Xl == Xz (mod n) => XI - x2 = Kn :::> Xl = X2 + Kn, K E ZYI == Y2(mod n) => Yl - Y2 = K'n e- Yl = Y2 + K'n, K' E Z

Propiedad 2. Si XI Y Xz son congruentes (mod n) y si Yl y Yz son congruentes (mod 11). Losproductos x1Y¡ Y X2YZ son congruentes (mod n).

En efecto,

Cualesquiera que sean los representantes escogidos, uno en la clase e2 y el otro en e4, su pro­ducto siempre pertenece a la clase e3. Se dice que la multiplicación en Z es compatible con larelación de congruencia (mod 5).

La propiedad general se enuncia así:

9 E C4 :::> 7 . 9 = 63 == 3 E e3

-1 EC4:::> (-3)(-L) = 3EC3

-6 E C4 => 2(-6) = 12E e3

7 E ez,-3 E e2,

2E e;

Caso de la multiplicación:

de donde

(x, - Xz) + (YI - Y2) = Kn + K'n(x¡ + Yl) - (X2 + Yz) = (K + K')n, (K + K')E Z

Sumando miembro a miembro las igualdades obtenidas

Xl == X2 (mod n):::> Xl - X2 = Kn, KE ZYl == Y2 (mod n) => Yl - Y2 = K'n, K' E Z

Propiedad 1. Si Xl Y Xz son congruentes (mod n) y si Y1 y Y2 son congruentes (mod n), las su­mas (x¡ + Yl) Y (x2 + Y2) son también congruentes (mod n).

En efecto,

Cualesquiera que sean los representantes escogidos, uno en la clase e2 y el otro en la clase e4,

su suma siempre es un elemento de el' Lo mismo sucede con las otras clases.Se dice que la adición en Z es compatible con la relación de congruencia (mod 5). Enun­

ciada en su forma general es:

189LEYES DE COMPOSICION

.21. Muestre que la relación p divide a x - x' en Z (p natural> 1) es compatible con la suma y multi­

plicación en Z. Construya las tablas de suma y productos de los conjuntos Z¡pZ para p = 2, p = 3,p = 4, P = 6.

EJERCICIO PROPUESTO

Se escribe e3 . C; = e2.

La Tabla 7-14 es de multiplicación de las clases de restos (mod 5).La multiplicación está definida totalmente. Es asociativa; por tanto, la multiplicación de

los representantes en Z es asociativa. e ¡ es el elemento neutro y eo el absorbente.

(mod 5), 12 E e,(mod 5), -63 E e2

(mod 5), 8 E e3(mod 5), -12 EC)

Co Cl e2 C3 e4

Co Ca Ca Co Co eo

Cl Co el C2 Cl e4

C2 Co e2 e4 CI e3

eJ Co e3 el C4 Cl

e4 eo C4 e3 e2 el

eJ . C; = ? 3· 4 = 12 == 2.(-7) . 9 = -63 == 2

"2·4=8=312 ··(-1) = -12 = 3

Ejemplo 7-26. Mod 5. e2 • e4 = ?

+ Co el el e3 e4

Co Co el e2 e3 C4

el el e2 e3 e4 Co

C2 C"}.e3 e4 eo CI

C3 el e4 Co el e2

C4 C4 Co CI e2 e3

Tabla 7-13 Tabla 7-14

Se escribe Co + e3 = e3.

La Tabla 7-13 es de adición de las clases de restos (mod 5).La suma está definida en todo. Es asociativa; por tanto, la suma de los representantes

en Z es asociativa. e; es el elemento neutro de la suma. Para multiplicar dos clases de restos(rnod n)~ se procede de la misma manera a partir de los representantes.

(mod 5), 18E e3

(rnod 5), 3Eel(mod 5), -2 E e3

(mod 5), 6 E e¡(mod 5), 1E el(mod 5), -4 E e¡

10 + 8 = 18 = 30+3=3=3

5 + (-7) = -2 = 3

Se escribe e2 + e4.= el;

2+4=6=17 + (-6) = 1 = 1

(-3)+ (-1)= -4= 1

Ejemplo 7-25. Mod 5.

LEYES DE COMPOSICION190

f: Xl . X2 = IXlX21 = Ixll.lx21XlX2 Xl X2

f: Xl ~ 1::J = f(xl);Xl .

f: X2 ~ Ix21 = f(x2);X2

En efecto, Oes el elemento absorbente de la multiplicación en Z, su imagen es O elementoabsorbente de la multiplicación en F. Por otra parte, si x~ y X2 son diferentes de cero se tiene

es un homomorfismo.¡X> O, X ~ 1f X = O, X ~ O

X < O, X -t -1

Ejemplo 7-27. Z dotado de la multiplicación y F = {-1, O, 1} dotado de la multiplicación.La aplicación f de Z sobre F definida por

Definición. Sea E un conjunto dotado de una operación interna * y. un conjunto F dotadode una operación interna .L.

Una aplicación f de E en F es UD homomorfismo si la imagen del compuesto de dos ele­mentos cualesquiera de E es igual a la compuesta de las imágenes de esos elementos en F.

La imagen de la suma en Z es igual a la suma de las imágenes en {Co, CI}. Se dice quef es un homomorfismo.

i==xl(mOd2)} . . (d. _ ( d 2) ~ 1 + J = XI + x2 == K mo 2) ~ Ck = C¡ + CjJ = Xz mo

i == XI (mod 2)j == x2 (mod 2)K == Xl + X2 (mod 2)

ooo

Xl ~ C¡X2 ~ Cj

XI + Xz ~ C"

De una manera general:

3..4 el-1 ..4 CI

(3) + (- J ) .= 2;

1..4 e¿

Esto da una aplicación f de Z sobre {Co, Cl}'Esta aplicación goza de una propiedad interesante. Si se suman dos enteros en Z y si se

suman las clases imágenes, las sumas obtenidas se corresponden por f

X: , -3, -2, -1, 0,1,2,3, , , .C/C : , CI, eo, el' co, CI, co, CI' ...Clase

Considere a Z dotado de la suma y el conjunto de las clases residuales (mod 2) dotado de lasuma {Co, CI}'

A todo número x E Z se le hace corresponder la clase (mod 2) a la cual pertenece,

Nociones de homomorfismo e isomorfismo

191LEYES DE COM,POSICION

Se pueden interpretar los resultados de los Ejemplos 7-29 y T·30 como una especie de dis­tributividadde la elevación a la potencia n y de la exfracción de la raíz cuadrada con relación.a la multiplicación. Se tienen las mismas propiedades con respecto a la división. En dichosejemplos se obtienen todos los casos de distributividades para las seis operaciones elementalesde la aritmética. Se resumen en el diagrama que se muestra a continuación: cada operaciónes distributiva con. relación a las dos operaciones de la línea precedente.

f: x¡ -+ Fx:f:X2-+~

f: XIX2 -+ "/XI'~2'= ¡-;;.Fx;.

Ejemplo 7-30. En R, dotado de la mUltipijcación, la aplicaciónf: x -+ Jx es un isomorfismode R + sobre sí mismo.

en razón de la conmutatividad y asociatividad de la multiplicación en R. De donde j'[x¡ x2) =f(x 1) . f(x2)· .

Cuando n es par, f aplica R sobre R + U {O}.Cuando n es impar, f es biyectiva y f verifica un isomorfismo.

n veces

Ahora:

f : XI -+ X; = f(x ¡)J: X2 -+ xi = ¡{x2)f: X¡X2 -+ (xIXZY' = f(x¡x2)

es un homomorfismo de R sobre sí mismo.

Ejemplo 7-29. En R, dotado de la multiplicación, la aplicación

Definición. Cuando la aplicación J que establece un homomorfismo es biyectiva, se diceque f es un isomorfismo.

En el ejemplo precedente f establece un isomorfismo entre N* dotado de la suma y F do­tado de la multiplicación.

producto de imágenesimagen de la suma

{XI -4 2x1X2 -4 2X1

XI + X 2 -+ 2x1 . 2X 1

XI + X2 -4 2X1+X2

Ejemplo 7-28. N* dotado de I~'suma y el conjunto F = {2ft, n E N*} dotado de la multiplica­ción. La aplicaciónf de N* sobre F = {2", n E N} definida por f: x -+ 2x es un homomorfismo.En efecto,

LEYES DE COMPOSICION192

El conjunto de los enteros naturales se puede determinar por los axiomas siguientes, llamadosaxiomas de Peano:

Axioma 1. Existe un conjunto N de elementos, llamados enteros naturales, a los cuales per­tenece cero.

Axioma 2. A todo entero natural 11 le corresponde otro entero natural, único, llamado elsiguiente de n y se representa por n" = n + J ..

Axioma 3. Dos .enteros distintos tienen. sucesores distintos.

Axioma 4. Cero no es el sucesor de ningún entero natural.

NUMEROS NATURALES

Con el fin de ilustrar los conceptos estudiados presentamos el conjunto N de los números naturales enforma axiomática.

Figura 7-8

Ejemplo 7-31. Entre <P(E) dotado de () y <P(E) dotado de U existe un isomorfismo, pasandoa los complementarios. (Vea Fig. 7-8.)

)9 + 16 = j25 = 5 =f= j9 + JT6 = 3 ~ 4 = 7

(3 + 2)2 = 52 = 25 :f: y + 22 = 9 + 4 = 13

J36 - 25 = JU :f: J36 - j25 = 6 - 5 =

(4 - 3)2 = 12 = 1 :f: 42 - 32 = 16 - 9 = 7

Por el contrario, la elevación a una potencia y la extracción de la raíz no son distribu- .tivas con respecto a la suma y a la resta.

una raiz .Extracción de

rDivisión

tpotencia

193LEYES DE COMPOSICION

Demostración por inducción sobre y. Se deja al lector como ejercicio.

x+y=y+xV(x,Y)EN x N,

Teorema 4. La ley + es conmutativa, es decir,

.Por el axioma de iI?ducción se sigue que la propiedad es verdadera para todo Z E N.

por definición de sumapor hipótesis de inducciónpor definición de sumapor definición de suma.

(x + y) ,: n" = «x + y) + n)·= (x + (y + n»·= x + (y + nt= x + (y + n·)

Si la propiedad es verdadera para n, (x + y) + n = x + (y + n), entonces

por definición de suma(x + y) + O = x + (y + O)

Demostración por inducción sobre z. La propiedad es verdadera para cero:

Teorema 3. La ley + es asociativa: \fx, y, z EN (x + y) + z = x + (y + z).

Demostración. En efecto, x + 1 = x + O·= (x + O)" por definición de suma y

x + 1 = x"

Teorema 2. Si el siguiente de cero es 1, entonces \fx EN, x· = x + 1.

Si la propiedad se verifica para n, es decir, O + n = n, entonces calculemos O + n", Pordefinición de adición, O + n· = (O+ n)., y por la hipótesis de recurrencia, O + n = n, en­tonces O + n· = n· y la propiedad es verdadera para n". Por consiguiente, según el axiomade inducción, la propiedad es verdadera para todo x que pertenece a N.

Demostración. La propiedad es verdadera para x = O: O + O= O, es decir, O es neutro aderecha.

O+x=x\fx EN,

Teorema 1. Cero es el elemento neutro para la adición.

Cero es el neutro a derecha. Las demás propiedades se demostrarán a continuación, basadasen los axiomas de Peana.

\fx E N, x + O = x\f(x, y) EN x N, x + y. = (x + yt

Definición. La suma en N es la aplicación de N x N en N, escrita +, tal que

Suma de números naturales

Axioma 5. (Axioma de inducción o recurrencia.t Si A es una parte de N que tiene por ele­mentos por una parte cero y por otra parte el siguiente de todo entero natural, entonces el sub­conjunto A es igual a N.

LEYES DE COMPOSICION194

La conmutatividad se establece por inducción sobre y. Pero antes de hacer esto es convenien­te demostrar el siguiente lema, que también se demuestra por inducción sobre y.

x'Y=Y'x'rJ(x, y) EN x N,

Teorema 2. La multiplicación es conmutativa, es decir,

Demostración por inducción sobre x.La propiedad es verdadera para x = O, por tanto, O. O= O por definición de la mul­

tiplicación.Si es 'verdadera para n, O. n = O

O. n" = O. n + O por definición de multiplicación= O+ O por hipótesis de inducción.

Según el axioma de inducción, la proposición es verdadera para todo x EN.

O'x=x'O

Teorema l. El número cero es singular para la multiplicación, es decir,

'rJ(X,y) EN x N, x : y. = x . )' + x.

X' O = O'rJxEN,

Definición. La multiplicación en N es la aplicación de N x N en N escrita (.) tal que

Multiplicación de enteros naturales

La demostración se hace por inducción sobre x y se utiliza el hecho de que la aplicación f talque x -+ f(x) = x + 1 es inyectiva.

La propiedad es verdadera para cero: a + °= b + O~ a = b.Si la propiedad es verdadera para /1, a + /1 = b + n ~ a = b.Sea ·a + n· = b + n", o (a + nt = (b + n)·, definición de suma.Como fes inyectiva, entonces a + n = b + n =:> a = b, según la hipótesis de inducción.

'rJxEN, a + x = b + x ~ a = b

Teorema 6. Todo entero natural es regular para la adición, es decir,

Entonces O = (x + .y). implica que O es el siguiente de un número, lo cual es contra­dictorio al Axioma 4.

La hipótesis y =1= O se debe desechar, de lo cual resulta que y = O.Como la suma es conmutativa, se obtiene de la misma manera que x = O.

por Teorema 2por Teorema 3por Teorema 4

x + y = x + (.y + 1)= (x + .y) + 1= (x + ·yt

Dcmostracián. Sea x + )' = O.Suponga que)' =1=- O; entonces)' tiene un antecesor .y = y - 1. Por consiguiente,

x + y = O ~ (x = 0, y' y = O)

Teorema 5. En N, ningún elemento distinto de cero tiene simétrico para la suma, es decir,

195LEYES DE COMPOSICION

por el Teorema 5 de la sumax· (.y) + x = O ~ x = O

Como

x .y = x· (.y) + x

Demostración. Sea xy = O.Si y =1= O, entonces existe .y (precedente de y)

y=OoX'y=O~x=O

Teorema 6. En N, si un producto es nulo, entonces uno por lo menos de los términos es nulo.

Demostración. Se establece por inducción sobre z, empleando el Teorema 4.

(x . y)z = x(y . z)\f(x, y, z) EN x N x N,

Teorema 5. La multiplicación es asociativa, es decir,

Entonces por el axioma de inducción la propiedad es verdadera para todo z EN.

por definición de multiplicaciónpor hipótesis de inducciónpor propiedad de la sumapor definición de multiplicación.

(x + y)n· = (x + y) . n + (x + y)=x'n+y'n+x+y= (x : n + x) + (y. n + y)= x :n· + y' n·

Demostración. Es suficiente demostrar la distributividad a derecha por inducción sobre z.La propiedad es verdadera para z = O, entonces (x + y)O = x . O' + y . O = O.Si es verdadera para 1'1, (x + y)n = x . n + y' n

(x + y)z = xy + xzV(x, y,::) EN x N x N,

Teorema 4. La multiplicación es distributiva con respecto a la adición

x . I = x . O· = x . O + x = x

Demostración. Es suficiente mostrar que 1 es el elemento neutro a derecha

l'x=x'¡ =xVXEN,

Teorema 3. El número ¡ es el elemento neutro para la multiplicación, es decir,

Por el axioma de inducción, se sigue que la 'proposición es verdadera para todo y EN.

por definición de multiplicaciónpor hipótesis de inducciónpor el lema.

x· n· = x· n + X

=n'X+X= n": x

Si es verdadera para n, x· n = n . x, entonces

x . O = O . x = O . por Teorema 1.

Demostración del Teorema 2. La propiedad es verdadera para y = O,

Lema. Cualesquiera que sean los naturales x y y, X· . y = xy + y.

196 LEYES DE COMPOSICION

¿Es f conmutativa?, ¿es asociativa? Halle el elemento neutro de f. ¿Qué elementos en N,si los hay, tienen inversos y cuáles son?

fia, b) = m.c.m. de a y b

Sea f :N x N -+ N la operación mínimo común múltiplo, es decir,

PROBLEMAS RESUELTOS

'tJaE N, 'tJ(m, n) E N2, a"'· a" = a,"+n'tJaEN, 'tJ(n, p)EN2, (a")P = a":"

Las propiedades de las potencias enteras resultan de la definición. En particular,

'tJaE N aO = 1,'tJaEN, 'tJn EN, a"+ 1 = an • a

La potencia n-ésima de a (a EN y n E N) es el entero natural, escrito a', que se lee «a elevadoa la n», definida por

Potencia entera de un natural

es inyectiva y que a =/= b => ga =1= b/J.En efecto, gn(x) = g/J(x) => a . x = b . x, si x =1= O=> a = b.

x -+ ga(x) = a . x

Consecuencia. De esta propiedad resulta que para todo a EN* la aplicación g, tal que

La demostración se hace por inducción sobre x, tomando por primer elemento x = 1.

x=/=O=>o=byax = by

Teorema 8. En N* = N - {O} todo elemento es regular para la multiplicación, es decir,

De la misma manera x =1= O, entonces existe "x, y, x = "x + 1.Por consiguiente, x . y = x· (.y) + x = 1 => x(·y) + "x = ° => "x = ° y x = 1.La hipótesis se convierte en 1· y = 1, de donde y = 1. .

Demostración. Sea x . y = 1.Entonces y =1= O (por el Teorema 1), por tanto, existe .y. y

y =;: 1yx·y=l=>x=l

Teorema 7. En N, ningún elemento distinto de 1 tiene simétrico para la multiplicación, esdecir,

y=Oo·x·y=O=>x=O

Entonces

197LEYES DE COMPOSICION

.-.;~~c" i~:, .n. <~~ 1. Como a '"b = a, y b * a = b, h no es conmutativa.2. Como (a * b) .. e = a", e = a y a", (b", e) = a .. b = a, h es asociativa.3. Si h tiene elemento neutro e, entonces, por definición de identidad, e • a = a para todo a E N. Pero

. por definición de h, e» a = e. Entonces no hay elemento neutro.4. No tiene sentido hablar de inverso cuando no existe elemento neutro.

1. ¿Es h conmutativa? 2. ¿Es h asociativa? 3. ¿Tiene elemento neutro? 4. Si loselementos tienen inverso, ¿cuál es?

h(a, b) = a .. b = a

Sea h una operación de N x N -+ N definida de la siguiente manera:

Así, si a -+ 1, entonces a tiene un inverso y es aj(a - 1).

x = alea - 1)a = x(a - 1),a = ax - x,a + x - ax = O,a * x = 0,

O es el elemento unidad.4. Para mostrar que a tiene inverso x, se debe tener que a * x = 0, puesto que por J, Oes el elemen­

to neutro.

e=Oe(1 - a) = O,e - ae = 0,~. ...._a ::¡... e - ae = a,a .. e = a,

Esto muestra que g es asociativa.3. Un elemento e es neutro para g si a .. e = a para todo a de Q.

(a * (b * e) = a >1< (b + e - be) = a + (b + e - be) - a(b + e - be) = a + b + e - be - ab - ae + abe

g es conmutativa porque la suma es asociativa y la multiplicación conmutativa.2. (a .. b),. e = (a + b - ab) • e = (a + b - ab) + e - (a + b - ab)c = (a + b - ab) + e - (a + b

- ab)e = a + b - ab + e - ac - be + abe = a + b + e - ab - ac - be + abe.

b.a=b+a-baya .. b = a + b - ab

1. Vea si g es conmutativa. 2. ¿Es g asociativa? 3. Halle el elemento neutro de g. 4. ¿Quéelementos de Q tienen inverso y cuáles son?

g(a, b) = a .. b = a + b - ab

fí: .0,: -::!>

Ji{~(~~~}~l Considere la operación g : Q x Q -+ Q definida de la siguiente manera:

~~: $otiJcTóñ - . . . .. . .~~.._ Como el m.e.m. de a y b es el rrurumo comun múltiplo de b y a, f es conmutativa.

La demostración de la asociatividad es simple.El número 1 es el elemento neutro porque el ID.C.m.de 1 y un número tI es a, es decir, m.e.m.

(1, a) = a.Como el m.e.m. de dos números a y bes 1 si, y solamente si, a = 1Yb ::; 1; el único número que tiene

inverso es J y, además, es su propio inverso.:

LEYES DE COMPOSICION198

¿Bajo qué condiciones es e independiente de x, de manera que la ley admita un elemento neutro?

. , Axy + 8(x + y) + e ,...Pruebe que la operacion x. y = () es asociatrva sr admite un elemento neu-

axy + b x + y + e

tro, Esta condición es apenas necesaria, pero no suficiente. (Vea el ejemplo x * y = x + y en R.), 2

29.

-bX2 + (8 - d)x ,:. De - --;;--:-----:-:-----::-- ax2 + (e - A)x - C

Muestre que la relación X. e = x implica

Axy + 8x + Cy + Dx*y =

axy + bx + cy + d

27. <P(E), dotado de la diferencia simétrica, ¿admite elemento absorbente?

28. Se da la ley de composición

d) <P(E), ne) <P(E), Uf) <P(E), 6

a) Z,b) Z, -e) Z, :

1. "Ix, x * x = e.2. e es el elemento neutro.3. a: es el elemento absorbente.Construya la tabla de composición.

26. Elementos idempotentes. Se llama elemento idempotente de una operación interna. todo elementotal que x. x = x.

El elemento neutro y el elemento absorbente son idempotentes. Encuentre otros elementos idem­potentes para las leyes siguientes:

22. Sea D(a) el conjunto de los divisores de un número natural a. Muestre que, en ese conjunto, el m.c.m.es una operación definida en toda parte. ¿Existe elemento neutro y elemento absorbente?

23. ¿Existe aplicación de R en R que desempeñe el papel de elemento absorbente para la composiciónde aplicaciones de R en R?

24. ¿Cómo se reconoce en una tabla la presencia de elemento neutro? ¿Elemento absorbente?

25. El conjunto E = {e, 0:, K} está dotado de una ley de. composición, tal que

EJERCICIOS PROPUESTOS

.~,..'¡'¡';"""''';;';;¡O!I!II 1. Conmutativa. (x, y) o (x', y') = (xx' .: yy, yx' + xy') = (x'x - y'y, y'x + x'y) =(x', y') o (x, y). Cj tr . . . " .

2. Asociativa. «x, y) o (x', y'» o (x", y") = (xx' - yy', yx' + xy') o (x", y") = «xx' - yy')x" -(yx' + xy')y", (yx' + xy')x" + (xx' - yy')y") = (xx'x" - yy'x" ~ yx'y' - xy'y", yx'x" + xy'x" +xx'y" - yy'y") = (x, y) o «x', y') o (x", y"» = (x, y) o (x'x" - r'r". y'x" + y"x') = (x(x'x" -y'y") - y{y'x'" + y"x'), y(x'x" - y'y") + x(y'x" .+ y"x'» = (xx'x" - xy'y" - yy'x" - yyrx', yx'x" -yy'y" + xy'x" + xy"x') = «x, y) o (x', y') o (x", y").

199LEYES DÉ COMPOSICION

36. En N se define la ley (T) por a T b = lo + b.L Calcule OT2; 3T5; 2T(3T4); (2T3)T4.2. ¿Cuáles son las cualidades de la ley T?3. ¿ Existe elemento neutro para la ley T?

{dI) = a'

4. Se define al") para n ~ 1 por a(n) = a"-1 T a.Calcule d2), a(3).

1. Calcule 1 * 2; O* 2; 3 * 4; (2 * 5) * 6.2. ¿Cuáles son las cualidades de la operación *?3. ¿Existe elemento neutro, en N, para la ley *? ¿Existen en N los elementos simetrizables para la

ley.?4. Estudie la distributividad de esa ley para la adición en 'N: para la multiplicación.5. Resuelva en N la ecuación (3 * X(21) + (2 * x) = 160. Si se define a(o) para n ~ 1 por,

I a(l) = a

a(o) =0(0-1)* o

a * b = a + b + ahVa, beN,

En el mismo conjunto se define una ley (T) por medio de la Tabla 7-16. Conteste la misma pregunta.Estudie la distributividad de las dos operaciones.

35. En N se define la operación (*) de la siguiente manera:

T O 1

O O O

1 O 1

* O 1

O O 1

1 1 O

Tabla 7-16Tabla 7-15

Estudie la ley de composición. ¿Es asociativa? ¿Admite elemento absorbente?

33. En Q, ¿es la ley .1 distributiva con respecto a la ley *?a) x * y = 2x + 2y. x..L y -~xy.b) x * y = x + y + 1. x .1y = xy,

34, Sea E = (O, I]. Se.define en E una ley (*) por la Tabla 7-15. ¿Es la ley asociativa, conmutativa, admiteelemento neutro? ¿Los elementos admiten simétrico?

con1 [ 1 t-=-+---1 11 12 1t/2

¿Es la ley asociativa? ¿Admite elemento neutro? Nf"¡~. . u~ <,

Dos lentes de distancias focales 11y 12están separadas por una distancia /. La distancia focal 1 delsistema está dada por

32.

con1 1 1-=-+­R s, R2

31. Estudie la ley de composición de las resistencias en paralelo:

30. . Compare las leyes de composición siguientes en R+ :

) Mdi . " a w ba e a antmeuca m. = -2-'b) Media geométrica mg = fo) M di , . 2Gbe e la armomca m~= --'

, a+bPruebe que m; = m•. m; y mh ~ mg ~ ma.

LEYES DE COMPOSICION200

1. Calcule a » b para a = -50, b = 25. a = 3/4; b = 25/3.2. ¿Es la operación [e] asociativa? ¿Tient> elemento neutro? ¿Es conmutativa?

a * b = .~(~ + ~)2 a b

41. En el conjunto de los racionales (cero excluido) se define la operación (-J:

a /\ (b v e) = (a /\ b) v (a /\ e)a v (h /\ e) = (a v b) /\ (a v e)

1. Calcule 12 /\ 36; J2 v 36; 5 /\ 2; 2 v 5.2. ¿Son las operaciones conmutativas? ¿Existe elemento neutro?3. Verifique por medio de dos ejemplos que

a v b = m.e.m. dc a y ba /\ b = m.c.d. de a y b :

40. En el conjunto N* de los naturales (cero excluido), se definen dos operaciones definidas de la siguien­te manera:

* a b e

a e b a

b b b b

e a b e

a b e d

a a b

b a b e d

e b e bd d

a b e

a e

b b

e a

Tabla 7-19Tabla 7-18Tabla 7-17

1. ¿Es conmutativa la operación", ¿asociativa?2. Muestre que existe elemento oeutro. ¿Todo elemento (subconjunto' de E) posee un simétrico?3. Muestre que la operación n es distributiva con respecto a la operación 6..

39. Sea E = {a, b, e}, dotado de una ley de composición interna, definida de manera incompleta por lasTablas 7-17.1. ¿Existe asociatividad, independientemente de ia manera como se llene la Tabla 7-17'! ¿Es impo-

sible que exista asociatívidad? .2. Las mismas preguntas para la conrnutatividad.3. ¿Existe elemento neutro, cualquiera que sea la manera en que se llene la Tabla 7-17?4. Las mismas preguntas para los cuatro elementos dotados de la ley interna que definen de

manera incompleta la Tabla 7-18.5. Para la ley de composición interna (*) que define la Tabla 7-19, determine los elementos x tales

que verifican las siguientes relaciones:a) x,.. b = e; b) X" x = e; e) x. X = x; d) e'" x = x.

A 6. B = CA - B} U (B - A)

1. Calcule 1 ,.. 1; 2 .. 4; 5.8; 2*(4,.. 5); 5*(5 * 8).2. ¿Cuáles son las cualidades de la ley *?3. ¿Existe elemento neutro a izquierda?, ¿a derecha?, ¿elemento neutro?4. Estudie la distributividad de la exponenciación con respecto a la multiplicación.

38. En <P(E), partes de un conjunto E, se define la operación 6. por

V(a,b)EN x N·, a e b = el'Va E N, a • O = aO = 1;

37. En N se define la exponenciación, simbolizada (*), por

201LEYES DE COMPOSICION

a =bSi a2 - b2 =f 0, x = (12 _ 2bz y y = ~2 _ 2b2 -= ,\"2((/2 - 2b~)2 = (12 Y y2((l2 - 2b2)2 = b2 -ee-

1 = (a2 - 2h2 )(x2 _ 2y2 l.Es decir, (x, y) E Z2 => a2 - 2b2 = ± 1.

45. En un conjunto E la operación (T) es asociativa. Sea o un elemento fijo de E. Se define una nueva ope­ración (*) tal que a la pareja (x, )') le hace corresponder el elemento x * )' = x T a T y.

1. Muestre que la operación (*) es asociativa:2. Muestre que la operación ". es conmutativa si T lo es.3. Suponga que la operación T es conmutativa, que posee un elemento neutro e, y que todo elemen­

to tiene un simétrico.Muestre que la operación * admite elemento neutro y que todo elemento de E tiene un simétricopara la operación *.

{ax + 2by = 1bx + ay = O

l. Estudie la asociatividad, la conrnutatividad, la existencia de elemento neutro, la eJÚstencia paraun elemento de un simétrico y la distributiva del producto con respecto :1 la suma.

2. Demuestre que los únicos elementos de A invertibles son tales que (12 - b2 = ± l.Resp.: a + bfi es invertiblc si, y solo si, existe (x, y) tal que

y una operación (x )

(al' + blfi) X (a2 + h2.ji) = (a1a2 + 2b1b2) + (a¡b2 + b102»)2

44. En el conjunto A de los números reales, de la forma a + b.ji con a y b enteros, se define unaoperación (+) de la siguiente manera:

la cual equivale a 4lJ +- 4ab + 2b + 1 = 0<::> (2a + 1)(2b + 1) = O.

43. En el conjunto Q de los racionales se define la ley (*) por a * b = a + b + 3ab._ 1 (3\1. Calcule. (-1) * (-2); '7 * -¡); [(-3).4] '"(-9).

2. ¿Cuáles son las cualidades de la ley (*l" .3. ¿Existe elemento neutro? ¿Cuáles son los elementos simetrizables? ¿Cuál es el simétrico de -3?,

¿de 2/3'1r I I '4. Demuestre que la restricción de * a Q' = Q - 1-.3 f es una ley interna en Q'.

porque a .L b = -t -ee- a + 2ab + b =--t,b =.-t,(0.1 b) = -4- *> a = -t,4. Se demuestra la propiedad contraria:

1. CaJcule (~) T (~); (- 2) T (~); (~) T (-~).

2. Estudie la conmutatividad y la asociatividad de la operación.3. ¿Existe elemento neutro? ¿Cuáles son los eiementos simetrizables?4. Demuestre que la compuesta de dos elementos distintos de -1/2 es un racional diferente

de -1/2.5. Demuestre que para todo racional, diferente de -1/2, admite un simétrico distinto de - 1(2.6. ¿Qué se puede decir de (Q - {-t}, T)?

Resp.: Los racionales excepto -j. son simetrizables ; el simétrico de a es a' = I~'2a + 1

o T h = a + 2ab + b

42. En el conjunto de los racionales se define una ley (T) por

202 LEYES DE COMPOSICION

si xEAsi x e A,q>A(X) = °52. Si F = {O, 1} y E un conjunto cualquiera, A un subconjunto de E, q>A es la aplicación de E en F tal que

Indicacián, 2. Utilice la definición de <p(n,p) dando a Xp+ 1sucesivamente los valores 0, 1, ... , n.3. Utilice la relación establecida en 2.4. Inducción sobre p (verdadera para p = 1).

Para demostrar que la relación es verdadera para p + 1, suponiendo que es verdadera para p,se debe mostrar que

(p + l)n(n + 1) ... (n + p - I)(P + I)(n - J)n ... (n + p - 2) + ... + 1 . 2 . 3 . .. =(p + 1)· n(n + 1)(n + 2) ... (n + p)

1·2·3 ... (p - 1)' p : <p(n, p) = (n + 1)(n + 2) ... (n + p)

3. Demuestre que q>(n, p) = q>(n - 1, p) + q>(n, p - 1).4. Demuestre por inducción que

q>(n, p) = q>(n, p - 1) + q>(n - 1, P - 1) + q>(n - 2, P - 1) + ... + q>(0, p - 1)

51. En el conjunto N de los enteros naturales, ¿cuál es el número de soluciones de la ecuación x + y = n?1. ¿Cuál es el número de soluciones de la ecuación x + y + z = n?2. Si q>(n, p) representa el número de soluciones, en N, de la ecuación Xl + Xz + ... + Xp+ 1 = n

(n y p enteros naturales dados). Demuestre que

1. S'(n) = J + 3 + 5 + ... + (2n - 3) + (2n - 1) = fl2.

I2. S3(n) = 13 + 23 + ... + (n - 1)3 + nJ = -n2(n + 1Y.

41 ~

3. ¿2(n) = 1·2 + 2· 3 + ... + n(n + 1) = 3n(n + I)(n + _¿).

14. ¿3(n) = 1 ·2· 3 + 2 . 3 . 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) = ¡n(n + l)(n + 2)(n + 3).

49. Se considera el conjunto K = {O, 1, 2, 3, 4}, que verifica los axiomas de Peano, remplazando elAxioma 3 por el Axioma 3': «cero es el siguiente de cuatro» y las definiciones de las leyes +y. Dé lastablas para la suma y el producto en K.

50. En el conjunto N, demuestre las siguientes relaciones por inducción:

es una relación de orden.

En un conjunto E dotado de una ley *, asociativa, conmutativa e idempotente, establezca que la re­lación ~ definida por

xc y-=Xn y= yy\1XEcP(E), Xn X = X

3. ¿Cómo se traduce esta propiedad en una tabla si la ley .. es conmutativa?

48. En cP(E) sabemos que la ley (l es asociativa, conmutativa e idempotente si

46. En un conjunto E dotado de una ley ("'), asociativa y no conmutativa, se define a', (nE N*) por al= ay a"+ I = ct * a.

Demuestre que "In E N*, .o" * a = a * a".47. En el conjunto E de los puntos de la recta real se define la ley (ti<) por m '"n = t, punto medio de los

puntos m y n.1. ¿Es la ley * asociativa? ¿Es conmutativa?2. Muestre que cualesquiera que sean los puntos a, b, e y d de E

203LEYES DE COMPOSICION

Si E es el conjunto de los naturales inferiores él 100.000, cuyas cifras, leídas de izquierda a derecha.no son crecientes. 19s números de una cifra (o excluidos) pertenecen a E. Si ti '1 O.¿cuántos númerosexisten en E, de dos cifras, que comienzan por (J y no son superiores al número que se escribe aa'l

¿Cuántos hay que comiencen por (a - ), (a - 2), ... ? Deducir que en E hay /1 (a + 1) - 1números de dos cifras no superiores a aa. ¿CUántos números hay en E de dos cifras? ¿CUál es el nú-mero de elementos de E? Resp.: 2997 números.

Si { 13(n) == .(2(n) + 12(n - 1) + + 12(1) + 12(0)14(n) == J3(n) + 13(n - 1) + + 13(1) + 13(0)

1Calcule 13(0),/3(1),/3(2),1;,.(0),/4(1),/4(2). Hallar f3 (n) =- (S3+3S2+2S).

Muestre que para n ~ O, entero, se tiene que 6

Calcule I¡(O), 11(1), 12(0), 12(1) y dé la expresión general de 11(n).Verifique que para n ~ 1, 12(n) = teSt + S2)' Deduzca la expresión general de 12(n).

I(n) = n11(11)= I(n) + fin - 1) + + 1(1) + 1(0)J~(n) = I¡(n) + I¡(n - 1) + + 11(1) + I¡(O)

¿Qué se puede deducir para las operaciones . y *?

53. Si SI = 1 + 2 + + n; S2 = )2 + 22 + ... + n2; SJ ;" 13 + 23 + ... + n3;S4 = 14 + 24 + + 114• calcular la fórmula que da a cada una de las sumas.

Si n es un número natural, se escribe:

.La operación es asociativa

yDemuestre que

y

3. En el conjunto de las aplicaciones de E en F se definen dos operaciones (-) y (*) definidas por

1. Si E = {a, b, e, -d} y A = {a, b, d}, represente el grafo de (/JA.'

2. Si A Y B son dos subconjuntos cualesquiera de E. A' el complemento de A con respecto a E.Demuestre .que cualquiera que sea el x EE

LEYES DE COMPOSICION204

205

zQR

Múltiplos de 11, 11 ENQ - {O}R - {O}{- 1, 1}Movimientos de un cuadrado.Movimientos de un polígono.Rotaciones de centro dado.El conjunto de vectores del plano o el espacio.

Operación

Suma.Suma.Suma.Suma.Multiplicación.Multiplicación.Multiplicación.Composición.Composición.Composición.Suma de vectores.

Conjunto

EJEMPLOS DE GRUPOS

Comen/ario. El Axioma 2 dice que si se dan tres elementos de G no importa el orden en quese realicen los dos productos. El Axioma 3 dice que G no es vacío, es decir, contiene por lo menosa e. Si x opera sobre la pareja (x, e) o (e, x), el resultado es x; como no afecta a x, se llamaelemento neutro o elemento identidad de O: Si G = {e} ~ e * e = e, en este caso es fácil verque [{e}, *) es un grupo, que se llama grupo trivial.

El Axioma 4 hace corresponder a cada x E G el elemento x' llamado inverso de x.

Definición. Si G es un conjunto dotado de una ley de composición interna (operación) *,se dice que (G, ..) es un grupo si se cumplen los siguientes axiomas:

Axioma 1. (Vx)(Vy): (x .. y) EG. Clausurativa.Axioma 2. (Vx)(Vy)(tiz): (x * y) * z .= x * (y * z). Asociativa.Axioma 3. (3e)(e E G)(Vx) : e * x = x * e = x. Existencia del elemento neutro.Axioma 4. (Vx)(3x!): X" x' = x~ = e. Existencia del elemento simétrico.

Se dice que G es un grupo conmutativo o abeliano si la ley * es conmutativa. Se dice queel grupo es finito si el grupo tiene un número finito de elementos. El número n de elementosse llama orden del grupo.

En este capítulo se estudiarán conjuntos dotados de una ley de composición interna que veri­fica determinadas propiedades; esto define una estructura.

El conocimiento de los conceptos de grupo, anillo y cuerpo, permiten dar una descripciónclara de las propiedades algebraicas elementales de los sistemas de números y también mostrarque e las estructuras algebraicas aparecen en muchas ramas de la matemática.

ESTRUCTURA DE GRUPO

Estructuras algebraicas.Anillos. Cuerpos

CAPITULO

De 'una manera general, la clase C¿ (mod n) contiene el número k. La clase Cn-k contieneel número n-k y las clases k y n-k son. inversos la una de la otra.

Ejemplo 8-7. Las clases residuales (mod 5) forman un grupo para la suma. (Tabla 8-3.)

Ejemplo 8-6. Sea E un conjunto dado. El conjunto CP(E),partes de E, dotado de la diferen­cia simétrica 1::., es un grupo abeliano.

La 1::. es una operación interna, asociativa, <p es el elemento neutro y la diferencia simétri­ca es conmutativa.

Cada subconjunto de E es igual a su inverso, entonces

Ejemplo 8-5. Si E tiene n elementos, el conjunto de las permutaciones de E para la operacióncompuesta de funciones es un. grupo y se llama grupo simétrico Sn' Si n ~ 3, S; no es abe1iano.

. En el conjunto E = {e, j', g, h} se escoge como operacióninterna la composición de biyecciones. Se' obtiene la Tablade composición 8-2.

La ley de composición es asociativa, porque la com­puesta de biyecciones es asociativa. La biyección idéntica ees el elemento neutro. Cada biyección coincide con la bi­yección inversa.

* e f g h

e e f g h

f f e h g

g g h e f

h h g + eIe*e=!*f=g*g=h*h=e

Tabla 8-2

Ejemplo 8-4. En Q - {O} se consideran las 4 biyecciones: * e O

e e O

O O ee: x- xf: x--x

1g: x--x-1h: x--x

Tabla 8-1

Ejemplo 8-3. Sea M = {e, O} y la ley de composición' definida porla Tabla 8-1. M es un grupo.

Ejemplo 8-2. El conjunto R3 de las temas (al' a2, a3) de números reales es un grupo conmu-tativo cuando la adición se define como .

Ejemplo 8-1. El conjunto de posibles parejas de números racionales (a, b) es un grupo conrespecto a la adición cuando la ley de composición se define de la siguiente manera:

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS206

x:Fy=>a*x=!=a*y!a(x) = a * x, a fija.

La segunda regla se demuestra de manera análoga.La contrarrecíproca de la primera regla es:

a * x = a * y <=> a' * (a * x) = a' * (a * y), asociativa(a' * a) * x = (a' * a) * y <=> e * x = e * y <=>.x = y, Axioma 3

se expresa este hecho diciendo que, en un grupo, todos los elementos son regulares o que laley * es cancelativa.

Demostración de la primera regla:

a*x=a*y=>x=yx*b=y*b=>x=y

por el Axioma 2}. I IXl = X2por el Axioma 2 ..

3. En un grupo

r '(') I "Xl * X * x2 = XI * X * x2 = e * x2 = x2, I I ( ') I ,x¡ * x * x2 = Xl * X * X2 = Xl * e = Xl

Demostración. a) x~ es un inverso de x <=> x~ * x = x * x~ = e.b) x; es un inverso de x -ee- x; * x = x * x; = e.

2. En un grupo, cada. elemento a.dmite un solo simétrico.a) Xl> un inverso de x.

Hipótesis: b) x2, un inverso de x.Conclusión: x~ = x;.

Demostración. Suponga que e' es otro elemento neutro de G, y e =/: e', por definición,e' * x = x * e' = x, 'rJX'E G.

En particular, e' * e = e porque e E G. Pero e * x = x * e; 'rJx E G, por el Axioma 3,=> e' * e = e' porque e' E G; por tanto, e = e' * e = e' => e = e'.

Así, e = e' y e :F e', lo cual es absurdo.

El simétrico de Co es e,El simétrico de C 1 es C4·

El simé trico de C1 es e;El simétrico de e3 es e;El simétrico de C4 es el'

l. En un grupo, el elemento neutro es único.

Algunas propiedades de los grupos

+ Co CI Cl C3 C4

Co Co CI C2 es C4

CI CI C2 es C4 Co

Cl c~ Cl c. Co CI

C3· C3 C4 Co .c, C2

C4 c. Co CI Cz C3

Tabla 8-3

207ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

1. u'" u = (a'" b) '" (b' '" a') = a » (b '" b') ...a' = a » e. a' = a * a' = e.2. u'" u = (b' '" a') • (a '" b) = b' '" (a' '" a) '" b = b' * e * b = b' '" b = e.

2. v * u = e.1. u * v = e.

Demostración. Sea u = a '" b. Falta probar que u = b' • a' es el inverso de u, es decir, que

5. En un grupo, el inverso del compuesto de dos elementos se obtiene componiendolos inversos en. el orden inverso.

(2) Es análoga.

por la asociativa.porque b' es el inverso de b.porque e es el elemento neutro.

(a * b') '" b :b aa. (b'*b) = aa. e = a

a=a

Vamos a ver que x 1 es solución:

x¡=a*b'

Como e es el elemento neutro, se obtiene

(XI. b). b' = a * b' <:> XI * (b * b'¡ = a'" b' -ee- Xl * e = a » b'

Componiendo a la derecha con el inverso b' de b

admite una solución única.Si la ecuación (1) admite una solución única x, se tiene que

muestra que en la tabla-de composición de un grupo cada columna contiene una vez, y unasola, cada elemento del grupo.

4. En un grupo, cada una de las ecuaciones:

gb : x -+ X. b

Esto muestra que fa es biyectiva.En la tabla de composición de un grupo cada fila contiene una vez, y una sola, cada ele­

mento del grupo.' Porque empleando la ecuación a '" x = 1:, todo elemento a tiene inversoa izquierda y a derecha quiere decir que en la fila de a debe estar b y en la columna de adebe estar b. De la misma manera la aplicación

la : a' * z -+ a * (a' ...z) = (a. a') ...z = e '" z = z

La aplicación fa : x -+ a *'x es inyectiva por la Propiedad 3 y sobreyectiva.En efecto, 'VzEG, existe x = a' * z, z la imagen por fa·

ESTRUCTURASALGEBRAICAS. ANillOS. CUERPOS208

Figura 8-1

1312

Definición. El grupo de todas las permutaciones del conjunto {I, 2,3, ... ,n} se llama elgrupo simétrico y se designa por Sn'

En la Figura 8-1 se da una interpretación geométrica del grupo simétrico 53' Se dan dostriángulos equiláteros con los vértices numerados. Los elementos de 53' corresponden a lasseis maneras posibles en que uno de los dos triángulos se puede superponer sobre el otro.

Nota. Si A tiene n elementos obtenemos para la ley (o) el grupo S A que en este caso tiene n!elementos.

La compuesta de biyecciones es asociativa.Esto nos muestra que el conjunto de las biyecciones de A sobre sí mismo es un grupo para

la ley (o), y se representa por SA'

P . l" (1 2 3) -1 (3 1 2) Aderná - ¡ 1or ejemp o, SI P2 = 3 1 2 => P2 = 1 2 3' ernas, P2 ~ P2 = .

que es otra biyección. Sabemos que las compuestas de dos biyecciones es otra biyección. Lainversa de una biyección es otra biyección.

1 = Po = (i 2 D = {el, 1), (2,2), (3,3)}2

G 2 D = {el, 2), (2,3), (3, l)}P1 = 3

G 2 ;) = {el, 3), (2, 1), (3,2)}P2 = 1

(i 2 ;) = {el, 1), (2,3), (3,2)}JiI = 3

G 2 D = {el, 3), (2,2), (3, 1)}Ji2 = 2

G 2 D = {el, 2), (2, 1). (3,3}}Ji3 = 1

Nota. La multiplicación de dos permutaciones se define como la compuesta de dos biycc-clones. Por ejemplo,

PI o Ji2 = G 2 DoG 2 D = e 2 D = fLl3 2 3

Sea A = {l. 2, 3}. Considere el conjunto de todas las biyecciones de A sobre sí mismo; es decir,las permutaciones de A, que son 3! = 6:

Grupos de permutaciones

209ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

5. La ley x- y = [x - r]. ¿es' una ley de grupo abeliano en E = {O, 1.2. 3}?

6. ¿PN qué las clases de restos (mod n) no forman con respecto a la multiplicación un-grupo?

7. Establezca las tablas de multiplicación de las clases CI, Cl •...• C,,_I (mod 11) en los siguientes casos:

n = 3, n = 4, I! = 5, n = 6, n = 7. n = 9, 11 = 12, 11 = 13

Si se excluye la línea y la columna de ceros, ¿en qué casos se obtiene una tabla de grupo? ¿Puede enun­ciar una regla general?

8. Si la suma de los vectores íT. y 02 se define por la Figura 8-2. muestre que el conjunto de vectores delplano forman un grupo abcliano.

a ...(b ...e)yCalcule:(a • b) • e

... e a b e d

e e a b e d

a a e d b e

b b e e d a

e e d a e b

d d b e a e

Tabla 8-5

.1. Indique por qué los siguientes conjuntos con la operación definida no son grupos.a) a b = a - b en E = {O, 1,2, 3, 4~.b) a b = a + b en E = :x : - I ~ x ~ l. x E Q:.e) a b = a en E = :1, 2, 3, -ll.

2. ¿Por qué <PIE) no es un grupo con respecto a la U y () ')

3. Establezca la tabla de composición de los movimientos que conservan globalmente las figuras siguien­tes: un triángulo isósceles. un rombo, un rectángulo. un cuadrado. un pentágono regular.

4. Verifique que la Tabla 8-5 no es un grupo.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Pi = rotación.J1l = imagen según la bisec­

triz de un ángulo.

o Po PI Pl /11 /12 /13

Po Po PI P2 /11 /12 P3

PI PI P2 Po Pl JII P2

P2 P2 Po PI P2 Pl PI

PI PI Jl2 Jl3 Po PI Pl

Jl2 112 JiJ JlI P2 Po PI

Jl3 PJ 11. ¡J,2 P. /)2 Po

S3 es el grupo de las simetrías del triángulo equilátero. Su tabla es la 8-4.

Tabla 8-4

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS210

16, Sea S = R - {I}, Se define una ley sobre S, como a • b = II + b + ah. Muestre que para esta ley,S es un grupo, y halle la solución de la ecuación 2. x * 3 = 7 en S.

15. a) En (G, .) se da la ecuación g. h = h, ¿qué es g?h) En (Sf;, o) se da la ecuación 1" g = g, ¿cuál es la permutación g?

-2 + x + 4 = 1g o x = lEAóX,6.A=Ba*b.x*c*d= v

a) En (Zs, +);b) En (SE' o);e) En (<P(E),,6.):d) En (e, -):

14, Resuelva las siguientes ecuaciones en los grupos indicados:

13, Muestre quc en (Se- ,,) la ecuación f o x e g = h admite la solución única:

x = 1-1 "kug-I

Figura 8-4 .

12, Muestre cuál es la solución de la ecuación anterior en las situaciones de la Figura 8-4.

X =.A,6. C,6. B

11, En (<P(l:,'), ¿S), la ecuación A ,6. X ,6.B = e admite la solución única:

x = -(l + e - h

Indicación. Para mostrar la propiedad asociativa use la Figura 8-3.

9. Axiomas débiles. Demuestre que los Axiomas 3 y 4 SI:: pueden remplazar por los axiomas más débi­les: 3', existe (al menos] un elemento neutro a la derecha. e. tal que a * e == 'VaE e: y 4', existe (al menos)un elemento inverso a la derecha, a', tal que a • a' = e.

indicación. Considere x tal que (J' * x = e; demuestre primero que a' es también inverso a la iz­quierda y después que es único.

9', Muestre que para un grupo finito los Axiomas 3 y 4 se pueden remplazar por:

3". e contiene un número finito de elementos.4". Todos los elementos de e son regulares.

10. Muestre que en Z la ecuación (1 + x + b = (' admite la solución única:

Figura 8-3Figura 8-2

211ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

La asociatividad en G asegura la asociatividad en S.

Nota. No se verifica la existencia del compuesto, del elemento neutro y de un inverso paracada elemento. Esa existencia está asegurada por las propiedades de G. Por el contrario, severifica la pertenencia de esos elementos a S.

Para demostrar que un subconjunto S de un grupo G es subgrupo, es necesario veri-ficar que

1. S es estable con relación a la operación del grupo.2. e pertenece al subconjunto S.3. El inverso de todo elemento de. S está en S.

Suhgrupo

Grupo aditivo de los enteros pares.(Q*+, ').({-l, 1}, -).Grupo de las rotaciones del triángulo equilá­tero {e, d, f}, subgrupos {e, a}, {e, b} y {e, e}.

Grupo

(Z, +)(CQ{O}, .).(CQ{O}, .)Grupo del triángulo equilátero.

Ejemplos de grupos y de subgrupos

a+a+···+a=pa

x=y=b+(-a)ob-a

-(1

Opuesto

o, O, Ó, ... , según los casos

Cero, elemento nulo

Suma

AditivoEl grupo es calificado de. . . . . . . . . . .. Multiplicativo

El compuesto se llama. . . . . . . . . . . . .. Producto

El elemento neutro toma nombre de... Elemento unidad.identidad enel caso (o)

El elemento neutro se representa por. . . e, 1, i,1, ... , según los casos

El elemento simétrico toma el nom-bre de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Inverso

El elemento simétrico de a se represen-tapor : o-I

Las soluciones de a * x = b y y * a = bse representan por................. x = a- ~ b y y = b * a- 1

y bla si es abelianoü * a * ... * a (p factores) se represen-ta por..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ü : a ... a = aP

Para una ley representadapor +

Si la ley se representa por*, o, ., o sin signo

Tabla 8-6

Un grupo G con más de un elemento admite por lo menos dos subgrupos: {e} y G.

Definición. Sucede a veces que una parte H de un grupo G forma ella misma un grupo; sedice entonces que H es un su~grupo de G.

SUBGRUPOS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS212

Figura 8-.5

• e a b e d f g h i k 1 In

e e a b e 'd I f g h i k 1 m

a a b ,c d f e h i k 1 m gb b e d J e a i k I nI g he e d J e a b k I m g ft id d J e a b e 1 m g J¡ i k

f f e a b e d m g h i k 1g g m I k i ft e f d e b ah h g m I k i a e J d e bi i h g m I k b a e f d ek k j ft g m I e b a e f dI 1 k i Ir g m d e b a e fm m 1 k j h g f d e b a e

Tabl.a 8-7

a =1= Oa2 b2 I

a2 - 2bl = O ~ a2 = 2h2 ~ - = 2 si' b =1= O o - = - SIb2 a2 2

'fi a .!. b .2 = i:Q, J2 a EQ, Jo que es imposible porque fi es irracional.

I a b. r=.a + bfi = a2 -' 2b2 - ~b2 y 2

'-----,,---' '-------'EQ EQ

a -b I r=.Sea r = y S = . Entonces ~ '= r + Sy 2 E S.a2 - 2hl a2 - 2b2. a + bv 2

\Observe que a2 - 2b2 no puede ser nulo, porque

(1 - bfi _ a - b.fi(a + b~)(a - bfi) a' - 2b2a + bfi

2. El número 1, elemento neutro para la' multiplicación, pertenece a S. En efecto,1 = 1 + O. fi E S.

3. El inverso de a + b/2, pertenece a S.

(a+ bj2)(x + cLj2) = (m + n)fi E S

Sea m = oc + 2bd y n = ad + be, entonces

r: r: (ae + 2bd) (cid + bc)fi(a + bv L)(X + dy 2) = Q + '----v----'--'

E EQ

1. S es estable para la multiplicación:

Ejemplo 8-8. En el grupo multiplicativo G de los números reales no nulos, el subconjuntoS = {a + bj2; a, bE Q} es un subgrupo.

Observe que o y b no son nulos simultáneamente, entonces

213ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Como H =F <P, existe por lo menos un elemento x E H. Entonces (x e H 1\x-1 e H) =:> X * x-¡ E H.

{H =F <Py (x eH 1\ ye H) =:> (x * y-l EH)

si y EH::::> y-l EH; por tanto, (x e H 1\ ye H) =:> X * y-l EH.La condición es suficiente. Sea H e G tal que

e «n » H =F <P,

Demostración. La condición es necesaria. Sea H un subgrupo de G,

{H es subconjunto no vacío de G

Teorema. H es un subgrupo de G <=> (H lJ) ( - 1) H. Y xe 1\ yeil =:> x*y. E .

SI U S2 = {e, a, b, e, d, j, s. i, l}

Nota. La reunión de dos subgrupos no es un grupo en general. Por ejemplo, si S¡ = {e, b,e, d, f} y S2 = {e, b, d, g, i, l} en el grupo del hexágono

'xeS nS {xes¡::=>x'es¡ (hipótesis l)} I S ns1 2::::> X e S2 =:> X' E S2 (hipótesis 2) ::=>x e 1 2

3. Todo elemento x e SI n S2 tiene por inverso x', elemento de SI n s,

Es decir, la intersección =F <Pe eS 1 (hipótesis 1)}S (hi . 2) =:> e e sin S2'e ~ 2 ipotesis

,xeSI} x e y e S¡

x e SI n S21_ ye SI ::=>(hipótesis 1)- =-x*yeS¡ns2

, .... x e S2 1. x * y e S2) e SI nS2 ye S2 f ::::>~pótesis 2)

2. ee SI n S2'

Demostración. 1. SI n S2 es estable.

Hipótesis: Sí SI. es un subgrupo de G, S2 un subgrupo de G ::=>SI nS2 subgrupo de G.

Caso general:

• e b d

e e b d

b b d e

d d e bSI n S2 = {e, b, d}

La intersección SI nS2 es un subgrupo,el grupo de las rotaciones del triángulo equilátero.

Tabla, 8-8

Considere de una parte el subgrupo SI de las rotaciones del hexágono, SI = {e, a, b, e, d, f},y de otra parte el subgrupo del triángulo equilátero S2 = {e, b, d, g, i, l}.

Ejemplo 8-9. La intersección de dos subgrupos es un subgrupo. Antes de verificar este hechose va a estudiar el grupo G del hexágono regular. (Vea Fig. 8-5.)

ESTRUCTURASALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS214

Ejemplo 8-12. Todo grupo aditivo de clases residuales (mod n) es un grupo CÍclico, genera-. .

n términos

a * ü» a, ... , * a = e ..' 3600 00rotación de n . -- =n

nió d 2 360"rotaci ne·--

n'600rotación de 3 . _J_n

a*a

360<'rotación dea

tro. Se tiene que

Sea a la rotación de 360" en sentido contrarío a las manecillas del reloj alrededor del cen­n

Ejemplo 8-11. El grupo de las rotaciones de un.polígono regular de n lados es un grupo cícli­co de orden n.

Definición. Se llama grupo CÍclico todo grupo cuyos elementos pueden ser obtenidos porcomposición de un solo elemento a y de su inverso a'.

Se dice que el elemento a genera el grupo considerado. El elemento inverso a' no inter­viene en la construcción del grupo cíclico si el grupo es infinito.

Grupos cíclicos

• e a b ee e a b ea a e e bb b e e a

e e b a e

V:+ Ó 1 2 3

Ó Ó 1 2 3

1 1 2 3 Ó

2 2 3 Ó 1

3 3 Ó i 2

Tabla 8-10Tabla 8-9

Ejemplo 8-10. Las Tablas 8-9 y 8-10 definen los grupos C4 (clases residuales mod 4) y elgrupode Klein. Los diagramas muestran los subgrupos de cada uno.

(x E H /\ Y E H) => (x E H /\ Y - 1E H)=> x * (y-l)-l EH=>x*YEH

Ahora, x * X-1 = e:::>e E H y y EH:::> (e * y-l) E H, porque si y E H su simétrico y-l EH.La ley *, asociativa por hipótesis, es ley de composición interna en H; entonces

215ESTRl¿cniRAS ALGEBRAICAS. ANilLOS. CUERPOS

Teorema 1. Todo grupo cíclico es abeliano.

Ejemplo 8-17. C4 es un grupo cíclico con i y :3 como generadores: (i) = (3) = C4• Encambio, el grupo de Klein V no es cíclico porque (a), (b) y (e) son subgrupos propios condos elementos.

C,,' n entero positivo, (C", +) es un grupo cíclico generado por i.

Solución. (3) debe contener: 3, 3 + 3 = 6, 3 + 3 + 3 = 9, etc.0, -3,(-3)+(-3)= -6, etc.

Es decir, el grupo cíclico generado por 3 está formado por todos los múltiplos de 3, tanto po­sitivos como negativos, y cero. Se representa por 3Z. Observe que 6Z e 3Z.

Ejemplo 8-/6. Sea (Z, +J un grupo cíclico. Halle (3).

Ejemplo 8-/5. Halle el subgrupo cíclico (3) de Cl2.

Solución. (3) debe contener a 3 y :3 + :3 = 6, y 3 + :3 + :3 = 9, y 9 + :3 = Ó, porque enCI2, -3 = 9 y. -6 = 6; entonces (3) = (Ó, 3, 6, 9}.

Nota. Si un grupo cíclico G es generado por a se escribe G = (a).

aO = e; por tanto, e E H Y para á EH, a:" E H y a-r• ar = e.

r, SE Za', as E H, ar • aS = ar+s EH;

Demostración. La operación producto es clausurativa en H. En efecto, para todo

,Teorema. Sea G un grupo y a E G. Entonces H = {d' : n E Z} es un subgrupo de G y es elsubgrupo más pequeño de G que contiene a a.

Ejemplo 8-14. En el grupo de las rotaciones del hexágono, los siguientes subgrupos soncíclicos ~

{e} {g, e} {k, e} {e, e}{a, b, e, d, J, e} {h, e} {l, e}

{b, d, e} {i, e} {m, e}

Definición. Se llama orden de un elemento, el orden deL grupo cíclico generado por eseelemento.

En un grupo cualquiera G, todo elemento x genera un grupo cíclico, que es un subgru­po de G.

do por la clase el' Tal grupo también puede ser generado por una clase cuyo índice es primocon n. Por ejemplo, el grupo aditivo de las clases de restos (mod 8) es generado por e3:

e3 = elC, + C, = C¿e3 + C3 + C3 = e¡el + e3 + C3 + C3 = C4el + C3 + C3 + C3 + el = C7e3 + C3 + C3 + C3 + C3 + C3 = C2

el + C3 + C3 + Cl + e, + C3 + 'C3 = Cs~+~+~+~+~+~+~+~=~

Ejemplo 8-13. Z, dotado de la suma, es un grupo cíclico infinito generado por 1 y -1.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS216

21. Resuelva las siguientes ecuaciones: x. a. x = a; a * x * a' = b.a) En el grupo del triángulo equilátero.b) En el grupo del hexágono regular.e) En el grupo abeliano cualquiera.

20. Estudie los subgrupos del grupo del rectángulo, del grupo del cuadrado, del grupo del triángulo equi­látero, del grupo de las clases residuales (mod n). ¿Cuáles son los subgrupos cíclicos?

x+ye) x*y=--1 - xy

xyd) x.y=--;

x-ye) x e y = xy;b) x*y=2x+y;

2xya) x.y=--;

x+y

leyes de grupo?

19. ¿Para cuáles de las siguientes leyes de composición es válida la regla de simplificación?

a. b = m.e.m. (a, b)a o b = m.c.d. (a, b)

18. Sea E el conjunto de los divisores de 24. ¿Son las leyes de composición

• e a b

e e a b

a b a e

b a e b

• e a b

e e a b

a a e b

b b b a

• e a

e e a

a a e

Tabla 8-13Tabla 8-12Tabla 8-11

17. ¿Cuáles de las siguientes tablas definen grupos? Dé Jos subgrupos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejemplo 8-1~. Lo~ subgrupos cíclicos de C6 son o» = {Ó}, (Í) = (5) = c6, (2) = (4) ={O,2, 4}, (3) = {O,3}.

Ejemplo 8-18. Los únicos subgrupos de (Z, +) son los subgrupos cíclicos nZ = (n).

Además, a" y ak E H, entonces ar E H. Pero como r < m, r = O.Así, k = mq. Todo elementode H es de la forma (am)q y G es el grupo 'cíclico generado por a".

Demostración. Sea H un subgrupo del grupo cíclico G = (a). Suponga que m es el mim­mo entero positivo para el cual am E H. Como todo elemento de H es un elemento de G, es dela forma a", k E Z. Como k = mq + r, OS r < m, entonces ak = (1"'4+r = (~~ . a", Y. portanto,

Teorema 2. Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Por tanto, G es abeliano.

Demostración. SeaG UD grupo cíclico y a un generador, es decir. G = (a). Sia, b e G => b = a'y e = a", para n, m E Z. Entonces

be = aía" = an+m = am+n = a"'a" = cb

217ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

A <P {a} {b} E

rf> <P {a} {b} E

{a} {a} if> E {b}

{b} {b} E rf> {a}E E {b} {a} rf>

Tabla 8-16

e:x~x[i x=« -xg i x=v L]»hv x.-» -l/x

* i r ·s 1

i i r s t

r r i I S

S S t i r

( t S r i

Tabla 8-14

(9(E) : 4>{a}{b}E = conjunto dado

• e f g h

e e f g h

f l e h g

g g h e fh h g f e

Tabla 8-15

Figura 8-6

. r I-f--~---~

II

I (I

Esta propiedad se llama un homomorfismo. Si JI además de ser un homomorfismo, esbiyectiva se dice que { es un isomorfismo. Endomorfismo, si es un homomorfismo 'de (E. *)en sí mismo. Automorfismo, si es un isomorfismo de (E:. *) sobre sí mismo.

Considere los siguientes grupos: el grupo del rectángulo, el grupo de las cuatro biyeccio­nes e, [, g, h y (J>(E) dotado de la diferencia simétrica 6 en el caso E = {a, b}.

El grupo del rectángulo comprende 4 elementos: la transformación idéntica i, dos sime­trías axiales s y t Y la rotación de 180", r, (Vea Fig. 8-6.)

\f(x, y) EE x E, f(x * y) = f(x) T f(y)

\ Desde el punto de vista conjuntista, una aplicación f de E en F puede ser inyectiva, sobreyec­tiva o biyectiva. Si E está dotado de una ley (*) y F de una ley (T), puede suceder que laaplicación f de (E, *) en (F, T) tenga la propiedad

. GRUPOS ISOMORFOS

22. ¿CuáJes de los siguientes grupos son cíclicos?G¡ = (Q, +).O2 = {6" : 11E Z} para la suma.03 = {a + bJ2; a, b~Z} para la suma.

23. Halle los subgrupos de (C7, +). Dé sus generadores y construya Jos diagramas correspondientes.Lo mismo para (C12' +).

24. Pruebe que un grupo cíclico' con un solo generador puede tener a lo más dos elementos.

218 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

't/x, f(e * x) = f{x * e) = j(x)

Por la biyección l. se tiene que en (;

't/x, e * x = x * e = x

Demos/ración. Sea e el elemento neutro de G y e el de (;. En G,

Teorema l. En un isomorfismo, los elementos neutros se corresponden.

dicho de otra manera:

'l/x, 'l/y, l(x * y) = .!IX) 1) I(y)

Definición. Sea G un grupo de operación (*) y G' un grupo de operación ( ). G y G' son iso­morfos si se puede establecer entre ellos la biyección :

La Tabla 8-18 es una representación del grupo de Klein para la ley *, siendo e la trans­formación idéntica; a, b. e, las simetrías con respecto a los ejes X, Y. Z en coojdenadas car­tesianas. Los tres grupos dados son isomorfos al grupo de Klein. [Verifiquelo!

'" (' a h e

<' (' a b e(/ a (! e b

b h (' (' (1

e e b a e

* 00~1IlO00~tIIO DO m1®~ @IJ 00IIJ 8118 DO

Tabla 8-18Tabla 8-17

Los tres grupos tienen la misma estructura. Es interesante hacer notar la analogía entre losgrupos escogidos en los tres dominios de la matemática: la geometría, el álgebra y el álgebrade conjuntos. Excepto las notaciones, los tres grupos tienen la misma tabla de composición.

Son tres modelos concretos dct mismo grupo abstracto: el grupo de Klein. (Vea Ta­blas 8-17 y 8-18.)

res = ( !*g = h {a} l:,. {b} = E"~~

Las biyecciones siguen siendo válidas si se componen dos elementos de un grupo y susimágenes en los otros grupos. Por ejemplo,

i++e++<jJI'++f++{a}s ++ g ++ {h}l++h-E

Entre los tres grupos (vea Tablas 8-14 a 8-16) se pueden establecer biyecciones compati­bles con las operaciones de los grupos.

219ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Teorema 5. Todos los grupos cíclicos de orden infinito son isomorfos a Z dotado de la adición.

La biyección establece el isomorfismo pedido.

n términosn términose = a'" a * a"" .. '" a +-lo el + el + el + ... + el = eo

.. ' ' : .

a +-lo ela * a +-lo el + el = e2

a » a '"a +-lo el + el + el = e3

Demostración. Sea G un grupo cíclico de orden n generado por el elemento a.y sea en el grupode las clases residuales (mod n) generado por el' Sea f la biyección definida por

Teorema 4. Todos los grupos cíclicos de orden n son isomorfos al grupo aditivo de las clasesresiduales (mod n).

Entonces x es de orden n en G.

n términos......-_-..._/-----'

En G se tiene que f(x'" x * x * ... '"x) = f(e) ==- f(x) o f(x) o .•. o f(x) = f(e)

x*x*x""""'x=en términos

Demostración. Sea x un elemento de orden n de G.

Teorema 3. Un isomorfismo conserva el orden de un elemento.

Por tanto, el elemento x' = f(x') es el inverso del elemento f(x) de G.

-1 - - -1 -xox=XoX =ef(x') o f(x) = f(x) o f(x') = f(e)ósea

Por ser f un isomorfismo, en (J se tiene que

f(x' '" x) = f(x '"x') = f(e)

Demostración. En efecto, en G, x' * x = x * x' = e. Por la biyección f, se tiene que en G

Teorema 2. En un isomorfismo la imagen del inverso de un elemento x es el inverso de laimagen de ese elemento.

Entonces e = f(e) es un elemento neutro en G. Como el elemento neutro es único, e = e', esel elemento neutro de G.

-ee- Vx, e o x = x o e = xComo f es un isomorfismo, "Ix, f(e) o f(x) = f(x) o f(e) = f(x).

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS220

, ,

Ejemplo 8-25. C6 no es isomorfo a S3' Ambos tienen seis elementos. C6 es abeliano y S3 no'es abeliano.

Ejemplo 8-24. (Q*,') y (R*, .) no son isomorfos, porque no existe una biyección entre ellosy también porque la ecuación X2 = 2 no tiene solución en Q*, pero sí en R*.

Ejemplo 8-23. (Z, +) y (Q, +) tienen el mismo número de elementos y, sin embargo, noson isomorfos, porque el primero posee la propiedad algebraica de ser cíclico, mientras queQ no lo es. .

Ejemplo 8-22. C4 y S6 no son isomorfos porque no tienen el mismo número de elementos.

~Ejemplo 8-21. (Z, +) y (2Z, +) son grupos isomorfos. La biyección x --+ 2x de Z en 2Zmuestra tal isomorfismo.

Para multiplicar dos elementos de S basta sumar los exponentes. Se remplaza la mul­tiplicación en S por la suma en Z, grupo isomorfo.

s, . -2 -·1 0° a, a2 a3... a , a , , , ,.t t ¡ ! t t

. . . -2, -1, O, 1, 2, 3, ...Z, +

Entonces:

-n 1a =-a"y

Este isomorfismo permite prolongar la correspondencia entre los exponentes en S y loselementos de Z con la convención

S ., 1 1 2 3-, -, _, 1, a, a , a , .... .. 03 02 at t tlit!

... -3, -2, -1, 0,1,2, 3,...Z,+

es isomorfo a

{ 11 1 23} ltinli .Sea S = - ... 3"' 2' -, 1, a, a , a , . .. es un grupo mu tip cativo, que. a a a

Z, dotado de la adición.

Ejemplo 8-20.

Esta biyección establece el isomorfismo.

a' +-+ -1(a. a)' = a' * a' H -2

Demostración. Sea G un grupo cíclico de orden infinito generado por el elemento a. Sea f labiyección definida por

221ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Además, a = 1 .1a y e = O .1a.

a' * a' * o •• * a' = (-n).1 an términos

a * a * (J * ... '" a :::::171. an términos

Q'=(-I).1aa.' * a' = (- 2).1 a

a * a = 2.1 (1

a * a * a = 3.1 a

Sea G un grupo dotado de la operación *. En Z se escribe: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 . 3 = 15.En R se escribe: ~ o ~ o ~ o ~ o ~ = (4) - s o

4 4 4 4 4Si se generalizan los dos ejemplos anteriores, se puede escribir:

Operación externa en un grupo

Por (1): f(x') o e = é /(x') = é => f(x') = e ~ x' ÉK

f(x') <) f(x) = f(x) o (x') = f(e)

Por la aplicación f en G se tiene que f(x' * x) = f(x * x') = f(e) y como f es un homo­morfismo:

X' * x = x * x' = eEn G:

(1)X E K::::> f(x) = e

Como f es un homomorfismo: f(x * y) = e =- x * y E K.2. e es un elemento de K porque: ¡(e) = e => e EK.3. Si x E K => x' E K

X E K=- f(x) = é} - - -. K fi() - =-f(x)of(y) = e» e = eyE =-oy=e

Demostración. l. K es estable:

Teorema. El núcleo K de un homomorfismo es un subgrupo de G.

Figura 8-7

Sea G un grupo dotado de la operación * y G un grupo dotado de la operación (o). Una apli­cación f de G en G es un, homomorfismo si

'tix , 'tIy f(x * y) = f(x) o f(y)

Definición. Se llama núcleo K de un homomorfismo de G en e el conjunto de los elementosde G que tienen por imagen el elemento neutro é en (JoK = {x : f(x) = e} o

Homomorfismo de grupos

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS222

Para todo n, n e N, existe por lo menos un grupo de orden n, el grupo cíclico de orden n : C".Cuando n es primo, no existe otro grupo de orden n. (Vea Ejercicios 6-7.) Cuando n = 4 exis­ten dos grupos no isomorfos: el grupo cíclico C" y el grupo de Klein. Los dos grupos son abe-

TABLAS DE GRUPOS

mea + b) = ma + mh

m términosa = 1· aO = O·a11 • (m· a) = (n . m) . a(m + n)a = m . a + 11 • a

(-a) + (-o) + ....+ (-a) = (-m) .o

a+a+a+···+a=n·on términos

Notación aditiva

m..L (o. h) = (ml. a). (ml. h)

Además, si G es abeliano:

a . a· a ... a = ann factores

1 1 1_._ ... _= a-mO O am factoreso = al1 = aO(0"')8 =a­a8+ ... = a8 • a"

a • a • a .....• a. = n..Lan términos

a' .. a' .. a' ..... * a' = (-m)..L a

m términosa = 1..L ae=O+an..L (m..La) = (n . m)..L a(n + m)..L a = (ml. a). (nl. a)

NotaciónmultiplicativaNo/ación general

A continuación se da el resumen de estas propiedades y las analogías que existen entre las no­taciones multiplicativas y las aditivas. Observe, en general, que la notación aditiva se reservapara los grupos abelianos.

Ejemplo 8-26. 31. (a * b) = a * b * a * b * a * b = a * a * a * b * b * b = (31. a) * (31. b).

En un grupo abeliano, Ja operación externa es distributiva con relación a la operación interna.

Así, (4 + 6)1. a = (41. a) * (61. a). Esta propiedad se parece a la distributividad.e) A las propiedades anteriores se agrega otra si el grupo G es abeliano.

~:,' ~~~ ':: ~: ~} m1. (a * b) = (m1. a) * (m1. b)

'rJm, 'rJn;.n E Z } (m + n).1 a = (m.1 a) * (n1. a)aeG

b)

Así, 3.1 (2.1 a) = (3 . 2).1 a = 6.1 a. Es decir, se pueden asociar los factores numéricos. Tam­bién se habla a veces de asociatividad con relación a los factores numéricos.

'rJm, 'rJn; m, n e Z} n.1 (m.1 a) = (n . m)1. aaeG

a)

El paralelismo en las dos notaciones está asegurado por el isomorfismo que existe entreZ dotado de la adición y el grupo cíclico de orden infinito generado por a, si a es de orden in­finito. Por el isomorfismo entre Z dotado de la adición y el grupo cíclico de orden n, si a es deorden n.

Así a toda pareja del conjunto producto Z x G le corresponde un elemento de G. Esaaplicación es una operación externa. El conjunto Z es el conjunto de operadores. .Los ope­radores actúan sobre los elementos de G y los transforman en elementos de G.

La operación externa definida en G con la ayuda de Z goza de las propiedades siguientes:

223ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

'" e a b e d 1 g h

e e a b e d f g h(J (J e d f b e h g

b b d e g a h e fe e J g e h a b dd d b a Iz e g f e1 1 e J¡ a s e el bg g }¡ e b 1 d e ah h g 1 d e b cJ e

Tabla 8-28.Producto directo de tres

grupos cíclicos C2 x C2 x C2

'" e a b e d 1e e (/ b e d Ja a b e d .r e

b b e a J e d

e e .r d e b a

d d e J a e b

·1 1 d e b a e

Tabla 8-25.Grupo simétrico o diédrico

'" e a b e

e e a b e

(/ a b e e

h b e e (/

(' e e C/ b

Grupo cíclico C4

Tabla 8-22 ..

'" e a b e d .r g h

e e a b e d J g h

a a b e e J g J¡ d

b b e e a g J¡ d fe e e a b Ir d 1 g

d d 1 s h e a h e.r .r g J¡ d a b e I?

g g h d .r b e e a

h Ir d 1 g e e a b

Tabla 8-27.Producto directo de dosgrupos ciclicos C" x C2

'" e a b e d J g "e e a b e d 1 g ha a b e d f g h eb b e d f g h e ae e d 1 g h e a bd d f g " e a b e1 1 g h e a b e dg g h e a b e d Jh h e a b e d J g

Tabla 8-26.Grupo cíclico Ce

Tablas de los grupos de orden 8

* (' a b e d fI! e (/ h e d f{I .(/ b e d / e

h IJ e d 1 e (/

e e d 1 e a b

d el f e a b e

J 1 I! a b e d

Tabla 8-24.Grupo cíclico Cs

'" e a b e d

e e a b e d

a a b e d e

b b e d e a

e e el e a b

d d e a b e

Tabla 8-21.

'" e (/ b e

e e a b e(/ a e e b

b b e e a

e e b a e

Tabla 8-23.Grupo de Klein

'" e a h

e e (/ b

a a b e

b b e u

'" (1 a

e e (1

a a e

Tabla 8-20.

Cl

Tabla 8-19.

C2

Tablas de los grupos de orden 2 a 6

lianas. Para n = 6 se tienen dos grupos: el grupo cíclico Có y el grupo simétrico S3. Este últimogrupo es isomorfo al grupo del triángulo equilátero, es el grupo no -abeliano más pequeño.Los grupos de orden 8 son cinco: tres son abelianos, Los dos grupos de orden 9 son abelianos.Para n = 10 existen dos grupos abelianos y un grupo no abeliano, isomorfo al grupo del pen­tágono regular. En fin, para n = 12, hay 4 grupos abelianos y 3 no abelianos. No se sabe cuán­tos grupos no isomorfos, de orden n, n EN, existen.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS224

• e a b e d f g J¡ i k 1 me e a b e d f g h i k 1 Ir!

a a b e ti f e fr i k I m g

b b e ti f e a i k 1 m g /¡

e e d f e a b k 1 m g h i

ti d f e a b e I m g h j k

f f e a b e d m g h j k I

g g m I k i h e b (/ e f d/¡ h g In 1 k i , d e b a e fi i h g m 1 k f d e b a ek k j h g m 1 e f d e b a1 1 k i h g m a e f d e bm m 1 k j h g b a e f ti e

Tabla 8-33. Grupo dicíclico de orden 12

* e (1 b e d f g J¡ i k ( In

I! e a b e d f g Ir i k [ 111

(1 {/ b e d f e h i g I m kb b e a f e ti i g J¡ m k 1(' e h 111 e 1 i i: a f g ti bel d i k {/ /Il g 1 b e h J ef f g 1 b k h ni e d i e a

1 f--

g g k f¡ b e ti m e a ih h In (' 1 i e a f k ti b gi i k d m g a b e 1 f e h

k k ti i g a m e 1 b e h f1 1 f g h b k d m e a i eni In e Ir i e 1 f k (1 b g d

Tabla 8-32. Grupo del tetraedro regular

• I! a b e d f x )¡ i k 1 me e a b e el f g h . k I In

a a b e d J e h i k 1 m g

b b e d f e (/ i k I m g h

e e d f I! a b k 1 ni g h i

ti d r e (/ b e I 111 g h i k

f I I! {I /J e d 111 g /¡ • i k 1

K g m 1 k i h e J ti e b a

Ir Ir o m 1 k i a (' I d e b,,,

i i h g In 1 k b a e I ti ek k ; /¡ g ni 1 e b (1 !' f d

I I k i It g tri ti e b a e fIr! In i k i h g J d e b a e

Tabla 8-31. Grupo del hexágono regular Ds

Tablas de los grupos no abelianos de orden 12

• e a h e d f g he e a b e d f g ha a b e e f K h db b e e a g " d fe e e a b h d f g

d d h g J b a e e

f f d h g e b a eg g J d h e e b ah h g f d a e e b

Tabla 8-30.Grupo diclclico de orden8 o de los cuaternios

* e a b e d f g he e a b e d J g Ir

a (/ b e I! f g J¡ d

h b e e a g h d fe e e a b h d J g

el d " g ( e (' b aJ

J f d /¡ g a e e bg g f el h b a I! e

h h g f ti e b a e

Tabla 8-29.Grupo del cuadrado D'I

225ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

La tabla de-multiplicar correspondiente a este conjunto es la Tabla 8-35. La Tabla 8-35muestra que la multiplicación es clausurativa, porque cada elemento de la tabla es un elemento del conjun-

'__ ............ "'"""'iíW Muestre que el subconjunto de los números complejos formado por{l, -1, i Y -i} es grupo para la multiplicación ordinaria.

1 i -1 -i

I 1 i -1 -i

i i -1 rr L 1

-1 -1 -/ 1 i. .

-i -i 1 i -1

$ a 1 2 ~

o o 1 :1 j

T T :1 j o1 1 3 o 1

j j O 1 1

Tabla 8-35Tabla 8-34

Ahora, 1'2 ~ r¿ o '4 ~ '2' Supongamos que 1'2 ~ '4' Restando /'2 - /'4 = .q.1l _. q211 + q3fl + q411 =(-q, - q2 + q3 + Q4)n. La igualdad significa que la diferencia de 1'2 y /'4 es un múltiplo entero de n. di­gamos kn. Entonces r2 - '4 = kn. Como r, ~ r4, por hip6tesiskn ~ '0. Pero r, = r4 + kn y O~ /'2 - /'4, <n,

De '2 - '4 = kn se sigue que O ~ k" < n. Las condiciones II > 1, kn ~ O y kn < 11 se verifican sik = O. Entonces kn = O y '2 - '4 = O. Así, '2 = '4' Esto implica que ¡:2= F4. Por un razonamiento análo­go -se muestra el caso '4 ~ '2- Lo cual completa la demostración del teorema.

El elemento O es el elemento neutro para la suma. Además. cada elemento del conjunto tiene unopuesto. El opuesto de O es O; el opuesto dc 2 es 2: el opuesto de I es 3, y el de 3, T. Esto completa la ve­rificación de qué dicho conjunto es un grupo.

En estos pasos se empleó la definición de suma para los elementos de {O. T, 2 ..... n.=I}.Queda por verificar que i'2 = F4. De las igualdades anteriores. se sigue que

sigue:

(ii $ 6) $ e = i'. + t, con a + b = q.fl + /'. Y O:::; /', <11

= i'z con 1', + e = q211 + 1"2 Y O 5 1'2 < 11

Ü $ (E EB e) = ti El1 'J' con b + e = q)11 + /') Y O 5 /'3 < 11

= '4 con a + '3 = q411 + '4 Y O ~ 1'4 < 11

,~.;"!f~ Como cada uno de los elementos de la tabla es un. elemento de {a, L 2, 3}, esto muestraque la operación es clausurativa. Una manera de comprobar la propiedad asociativa es verificar los 4 . 4 ·4casos posibles que se presentan. Pero es más fácil verificar esta propiedad teniendo en cuenta la definiciónde suma que se dio. Vamos a dar la demostración para el caso general. Sean lí, E, é E {a, T, 2, ... , n ~}.Vamos a mostrar que (ii $5)$(-:= ii$ (E $ e). Primero, simplifique cada lado de la igualdad como

Sean a y b enteros y sea a = qn + r; b = q 1n + ',. con O :::;r < n yO :::; '1 < n, con n, CJ., Ql' r, '1 EZ y n > L Se define la relación de congruencia en Z x Z dela siguiente manera: (a, b) pertenece a la relación <R ssi r = '1' Si (o, b) Effi , entonces a es con­gruente a b módulo n. Simbólicamente, a == b mod n ssi (a, b) E<R. Por ejemplo, 42 == 17 mó­dulo 5, porque 42 = 8 . 5 + 2 y 17 = 3 . 5 + 2. Como los residuos son iguales, queda veri­ficado que los dos números 'son congruentes módulo 5.

Muestre que el conjunto de los enteros módulo 4 es grupo para la suma, como lo-muestrala Tabla 8-34.

PROBLEMAS RESUELTOS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS226

..-~z¡;¡i¡¡;;i~¡;';'~~ Por la Propiedad 4 de los grupos sabemos que toda ecuación tiene solución en un grupoy que es única. (u, u) es el producto del simétrico de (2, -- 3) y 0/2,4). Como el simétrico de (a, b) E H es(l/a, -b/a), el simétrico de (2, -3) es 0/2,3/2). Entonces (u. r] = (1/2,3/2) .. (1/2, 4) = (1/4,3/4 + 4) =(1/4,19/4). El siguiente cálculo muestra que la solución hallada es correcta. En efecto, (2. -3) * (1/4, 19/4)= (2j4, -3j4 + 19/4) = (1/2,4).

!.tl"~~7~Resuelva la ecuación (2, -3) * (u, v) = (1/2,4) en el grupo anterior.

Esto muestra que el sistema (H, ..) es grupo para la operación así definida.

(l/a, -b/a) * (a. b) = (l/a' a, -b/a' a + b) = (a/a, -b + b) = (1, O)

(a, b) * (l/a, -b/a) = (a' l/a, b· i]« + (-bja)) = (aja, bla + (-bja) = (1, O)y

Ahora vamos a ver si existe el elemento simétrico. Suponga que (u, e) es el elemento simétrico de (a, b). Supon­ga que (a,b)* (u, 1') = (1,0). Por definición de *, (a.b). (U,L') = (au,bu + u). Entonces (au,bu + v) =(1, O). La igualdad de estas dos parejas implica que au = 1, de donde u = lja. Como a ,¡. O no se presentaningún problema con la división, por a. La igualdad de las segundas componentes da bu + v = O. y comoti = l/a, entonces bu + v = bl/a + v = b/a + u. Entonces bla + L' = O o II = -b/o. La hipótesis de que(ti, v) es el simétrico de (a, b) nos llevó a la conclusión de que (u, v) es (l/a, --bla). Es necesario verificar que(l/a, -b/a) es el simétrico de (a, b). En efecto,

(o. b). (1, O) = (a' 1, b· 1 + O) = (a. b)y(1. O) .. (a, b) = (1 . a, O' a + b) = (a, b)

(a. h) .. e". ¡:) = (a. h).

Según la definición de ., (a, b) .. (ti, r) = (all, bu + r-).Entonces si (u, p) es el elemento neutro, (au, bu + r) = (a, h). Entonces au = a, lo cual implica que

ti = 1. También como las segundas componentes son iguales, bu + l' = b si, y solamente si, t' = O. Comou=:l, entonces bu + li = h. 1 + v = b + l' = b + O= b.

Así, si (/J, L') es el elemento neutro, debe ser la pareja (1, O). Los siguientes pasos muestran que (1, O)es el elemento neutro:

Dé las razones que justifiquen los pasos anteriores.Ahora vamos a verificar la existencia de elemento neutro. En los problemas anteriores esto ha sido sen­

cilio. En este caso no es obvia su existencia. Suponga que existe un elemento (u, ¡I) E H tal que para cada(o, b) EH

1;.f'1I5-'::: ¡ &(i~.~ ~"On'h'~#.""..~J..", •• i.: ¡. La operación es clausurativa, porque el producto (a. h) * (e, d) = (ac. he + d) EH =~ - {O} x R porque ae E R - [O], y be + dER. El siguiente cálculo muestra que la operación es aso­ciativa. Sean (x, y). (1', w) y (u. r] elementos de R - {O} x R.

((x. y) * (z, IC)) * (11. r) = (x=. y= + u') * (11, L')= ((x:)u, (r + 1t'}1I + L')= ((X:)II, (y:)u + Il'II + r) = (:cu. .1'=11+ leu + e)

(x, y) * ((::. le) * (u, e)) = (x . .I') * (::u. U'u + L')= (x(=u), y(::u) + ICU + r) = (x=u, y::u + WII + r)

f.P~~.iijléin~~:;a'--Sean (a, b) y (e, d) parejas de números. con a y e elementos del conjuntode los reales distintos de cero y b y d elementos de R. Se define una operación * entre ellos dela siguiente manera: (a, b) * (e, d) = (ae, be + d). Muestre que el conjunto H de estas pa­rejas (a, b) forma grupo para la operación así definida.

to {1, -1, i, - i}. La propiedad asociativa es consecuencia del hecho de que {l, -1, i, - i} es un subcon­junto de los números complejos en los cuales es válida la propiedad asociativa. La tabla muestra que el ele­mento neutro es l. Además, cada elemento del sistema tiene un inverso: 1 es el inverso de 1, -1 es el inver­so de -1; el inverso de i ee - i Y el de - i, i. Esto muestra que el conjunto es un grupo respecto de la mul­tiplicación.

227ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

e ,..$fifLZ - .......

$olucfón .'='="" 'lo'".; "",ü Sea f(x) = ax + by g(x) = ex + d y h(x) = ex + f, con a, e y e diferentes de cero. Pordefinición de compuesta de funciones, (f o g)(x) = f(g(x» = f(ex + d) = a(ex + d) + b = (ae}x+ (ad+ b),que es de la misma forma, y ac =1= Oporque a y e son diferentes de cero. Esto muestra que el conjunto F esclausurativo para la compuesta de funciones. Sabemos que la compuesta de funciones es asociativa, enton­ces f o (g o h) = (f o g) o h. El elemento neutro es la función j tal que j(x) = x + O= x.

_. - ~--::""1Pro!l~~~.8::~. Muestre que el conjunto de las funciones de la forma t (x, y): y = ax + b,

. a rf O}= F, a, b ER, es un grupo para la operación de composición.

x = a'. b. a'Así,(a' • b) • a' = (x,. a). a' = x. (a • a') = x. e = x.

Halle x en a * x • a = b, si a, b, x son elementos de un grupo (G, *).~ ...Problema 8-7

Dé las razones que justifican estas igualdades. El elemento neutro es (O,O) porque (a, b). (O,_Q) = (e, b)y (O,O),. (a, b) = (O+ a, 0+ b) = (a, b). El simétrico de (a, b) es (-a, -b) porque (-a, -b),. (+a, -t-b)= (-a + a, +b + b) = (O, O) y (a, b),. (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b» = (O, O).

(a, b) • «e, d) • (e, f) = (a, b) • (e + e, d + f)= (a + (e + e), b + (d + f)= «a + e) + e, (b + d) + f)= (a + e, b + d) • (e, f)= «a, b),. (e, d» ,. (e, f)

Solución La propiedad clausurativa se verificaporque R es clausurativo para la suma. De la mismamanera, la asociatividad se verifica porque

Problema 8-6 Considere el conjunto R x R. Sean (a, b) y (e, d) elementos de R x R.Defina la operación • por (a, b) * (e, d) = (a + e, b + d). Muestre que este conjunto dota­do de la operación. es grupo.

(a. b) • (b' • a') = a. (b • (b' • a'»= a. «b. b'). a')= a. (e. a')= a. a' = e

y

(b',. a'),. (a * b) = b'. (a'. (a. b»=b'.(a'.a).b)= b' .. (e. b)= b'» b = e

Solución Para demostrar el problema hay que mostrar que (b',. a'),. (a,. b) = e y que (a,. b) *lb' ,.a') = e. En efecto,

~.Pro~~~a ._~-5 Si (G, *) es un grupo, con a y b elementos de G, y a' y b' sus simétricos,entonces el simétrico de a * b es b' * a', es decir, (a * b)' = b' * a'.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS228

,,*u=n+a-lI=oy

Entonces (a • b) .. e = a * (b • e), para todo a. b, e E Z; esto muestra que la operación. es asociativa. Vamosa mostrar que existe elemento neutro para el sistema. Para descubrir qué elemento es el elemento neutro,suponga primero la existencia de e y emplee las condiciones que debe verificar para determinar cuál ele­mento es el neutro, si existe. Por definición de elemento neutro debe verificar: a • e = a. Pero según la de­finición de *, a » I! = a + e - 11. Entonces a = o + e - n, lo cual implica que e = n, A continuación seva a verificar que, en efecto, TI es el elemento neutro. Los siguientes cálculos muestran que e es el elemen­to neutro.

(a,. b) • e = (a + b - 1/) ,. C

= (a + b - n) + e - 11

=0+6+c-2"a * (b • e) = (1 • (b + e - ,,)

= a + (b + e - 11) - 11=0+b+c-211

surauva en Z.Los siguientes cálculos muestran que la operación es asociativa:

La suma y la resta son operaciones clausurativas en Z: por tanto, la operación" es clau-Solución

Defina una operacion • de Z x Z en Z de la siguiente manera: a lapareja (a, b) de Z x Z se le hace corresponder el número 0* b = a + b - 11. Muestreque el conjunto (Z, *) es un grupo.

Problema 8·10

• a b e

el o b e

b b e a

e e a b

'" a b e

o o b e

b b e a

e e

• a b c

a a b e

b b

e e

Tabla 8-38Tabla 8-37Tabla 8-36

Solución Sea a el elemento neutro. Entonces la primera fila y primera columna de la tabla se puedenllenar como lo muestran las Tablas 8-36 a 8-.18.Ahora. considere b .. b: b '"b =: b. pero esta ver no sabemossi b » b = o o b • b = c. Por tanto. consideremos el elemento b * c. Ahora. b. c =1= b porque b • e = b,con b .. a = b, implicarían que e = a. Similarmente, b. e =1 e porque b '"e = e, con a .. e = e, implica­rían que b = a. Entonces b .. e == o.

De nuevo considere b • b. Sabemos que b .. e = (J: por tanto. b • b * ti porque b '"b = (1 y b .. e = aimplicarían e ~ h. Como hemos eliminado b '" b = b y b » b = a. entonces b .. b = c. (Vea Tabla 8-37.)

En la tercera fila, c. b ::/;b porque e" b = b y a * b = h implican e = u. Similarmente. c » b =1= e por­que e'" b = e y b '"b = e implican e = b. Por tanto. e • b = (l.Además, e • e :# e y e • e :# a porque e '" e = ay b .. e = o implican que e = b. Así, e .. e = h y la tabla queda completa. (Vea Tabla 8-3~.)

Determine todos los grupos de tres elementos.~.Problema 8-9

En efecto, fe j = j . f = fComo a =1= O, todo elemento de F tiene una función inversa p de la forma p(x) =x/a - bja. Para probar

esto hay que mostrar que para cada.r EF. P .r = J» p = j. En efecto. U o p)(x) = f(P(x» = .f(x/a - bja)= aix]« - b(a) + b = x - b + b = x = j(x). También (p f)(x) = p(f{x») = p(ax + b) = l/a(ax + b) +(-bja) = x = j(x). Entonces la existencia de simétrica se cumple. Por consiguiente, (f, o) es grupo.

229ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Problema 8-14 b 3 . ._-!.. ~ _ En el Pro lema 8-. se mostro que el conjunto de todas las parejas or-

denadas de números reales (a, b), con a =1= 0, es un grupo para la operación * definida dela siguiente manera: (a, b) * (e, d) = (ae, be + df Muestre que el conjunto de todas las pa­rejas de números reales de la forma (1, b) es subgrupo de este grupo.

Solución'·Para probar que es un subgrupo es suficiente mostrar que la suma verifica la propiedad

clausurativa y que todo elemento tiene opuesto.Sean nu, ny E nZ. Según propiedades de los enteros, nu + ny = n{u + y). Como u, y E Z, x + Y EZ.

Entonces, según la definición de nZ, n(u + y) EnZ. Esto muestra que se cumple la propiedad clausurativa.Para mostrar que todo elemento tiene opuesto, sea nu E nZ y como u es un entero, su opuesto -u tambiénes un entero. Como ti y (- u) son enteros, /l( - Z/) = - nu E nZ. Pero como - nu es el opuesto de nu porquenu + (-nu) = O, entonces hemos mostrado que todo elemento llene un opuesto.

Problema 8~13 Si nZ = {nx: n E e y x E Z} = {... , -2n, -n, 0, n, 2n, ... }. Muestreque este conjunto para la suma es un subgrupo de los enteros para la suma.

Se da b' o a' o b o a = e para cada a, b e G. Por definición de simétrico: b'ta' o (b o a)) =b' o b. Por tanto, a' n b 0(1 = b. Multiplicando a izquierda por a se obtiene: (a" a')" b" a = a o b. Enton­ces e o b "a = a o b O b o a = a o b.

Sol ución

Problema 8-12 Pruebe que si e es el elémento neutro de (O, o) y si para cada a, b e G,b' o a' o b o a = e, entonces (O, o) es un grupo conmutativo.

Solución Como (G, ,.) es un grupo. para cada a, b e G, a o b E G. Como eada elemento es su propiosimétrico, b o a = (b o (1)' = a' b', Por tanto, b o a = a' o b', Pero como a = a' y b = b', entonces b o (1 =a o b, lo cual muestra que (G, .,) es un grupo conmutativo.

..problema 8..11 Pruebe que si e es el elemento neutro de (O, o) y si para cada a E O,

a" a = e, entonces (O, o) es un grupo conmutativo.

Nota. Como a • b = a + b - n y b * a = b + a-n = a + b - 11, entonces el grupo es conmutativo.También este ejemplo generaliza el concepto de elemento neutro para la suma de los enteros que es Oy queen este caso se obtiene cuando 11 = O.

Por consiguiente, (Z, .) es grupo.

a • (2n - a) = a + 211 - a-n = n(2n - a) • a = 2n - a + a-n = n

Pero por definición de *, a * a' = a + a' - n. Entonces n = a + a' - n. Así, a' = 2n - a. En otras pa­labras, hemos mostrado que si el elemento a tiene un simétrico a', a' = 2n - a. Los siguientescálculos mues­tran que 2" - a es el simétrico de a.

a. a'= ti

La existencia de elemento simétrico en (Z, .) se demuestra de la misma manera. En efecto, suponga que a'es el simétrico de a. Empleando la definición de elemento simétrico y la de la operación ., vamos a deter­minar en (Z, *) cuál es el elemento simétrico de a'. Si a' es el simétrico de a, por definición de simétrico ybasados en el hecho de que n es el elemento neutro, entonces

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS230

Soluci6Jl {ü . ... {' }a) v,I,.(.,El)}Y O.b) {O, í, i, 3, Ea}. {O} y {O, i, Ea}.e) {O, i, i.3, 4, Ea} y {O}.d) {O, i, i, ~,4, S, Ea}, {b, 3, Ea} y {O, i, 4, El)}. {O}e) {O, i, i, j, 4, S, 6,7, Ea}, {D, 4, Ea} y {O, 4, i, 6, El)}.f) {O, i, 2, 3. 4,5.6,7,8, Ea}, {O} y {O, 3, 6, Ee}.

g) {O, i, i, ~,4, S, 6,7,8,9, Ee}, {O}, {O, 5, E9} y {O,2, 4, 6, 8. Ea}.h) {Ó, í, 2, 3, 4,5,6,1,8,9, (O, u, El)}, {O},{Ó, 6, Ea}, {ó, 4, 8, El)}, {Ó, 3, 6, 9, El)}y {Ó, 2, 4, 6.8. fo, El)}.

Problema 8-17 1 d 1 b d ......~ Ha le to os os su grupos e los siguientes grupos:a) {O, í. i, Ea}; b) {O, i, 2, ~, Ea}; e) {O, 1, i, 3, 4, Ea}; d) {o, i, i, 3, 4, 5, Ea};

e) {O, i, i, 3,4,5,6,7, Ea}; j) {O, i, i, 3,4,5,6,7,8, Ea}; g) {O, i, i, 3,4,5,6,7,8,9, Ea}; h) {O,1, z, 3, 4, ), t, 7, 8, 9, ro, 11, Ea}.

Solución Suponga que existe e E G tal que e E S • a y e E S • b. Esto significa que existe d E S talque e = d. a, y también f E S tal que e = f. b. Pero e = d. a implica que a = d' • c. con d' el simétri-

, co de d. Sea x un elemento arbitrario de S • a. Esto significa que existe g E S tal que g • a = x. Entoncesx = g • a = g • d' • e = g • d' • f. b y g. d' • f E S, puesto que g, d. d' E S y (S, .) es un subgrupo.Como g • d' • fES. (g. d' • f) •b = x E S. b. Como x es un elemento arbitrario y se mostró que estáen S. b, entonces S. ae s•b.

En forma análoga se muestra que e = f. b implica b = f' • e, con f' el simétrico de f Si y es un elemen­toarbitrariode S. b,entoncesexisteh E S tal quey := h • b = h • f' • c. Pero e = d. a; asi,y = h • f' •d. o.Por medio de un argumento similar al usado para x, cn el caso anterior. h - f' • d E S; por tanto. (11• f' • d) • a= y ES.a. Entonces S. b<;S.o. De los dos argumentos anteriores se concluye que S. a = S.b.

Problema 8-16 Sea (S, ..) un subgrupo de un grupo finito (G, -). Pruebe que si la inter-sección de los cogrupos a la derecha S,.. a y S,.. b de S no son vacíos, entonces S,.. o = S-b.

Solución a) SO i = {I}, S0 i = {i}, SO ~ = {~},y así sucesivamente.b) El conjunto no forma un subgrupo.e) SOi={i,~.9}=SO~=S09.

S0 i = {í, 6. S} = S 0 5 = S 0 6S O 4 = {4, 1'2.l'O}= S 0 1"0= S 0 1"2S07 = P.~,Ú} = S0 8 = S0 Ú.

d) S0 i = {i, S, 8, f2}= SO 5 = SO 8 = SO 1"2SO i = {i, 1"0,~, fl} = SO 3 = SO (O = SO 1"1SO 4 = {4, 7, 6, 9} = SO 6 = SO 7 = SO 9

e) SO i = {i, ~, 4, 9, 1'0, Ü} = SO ~ = S O 4 ::1 SO 9 = S O (O = S O 1'2S O i = {i, 6. 8. S. 7, Ú} = SO S = S O O = S O '7 = SO 8 = S O (1.

f) Este conjunto no forma un subgrupo.

ProbJema 8-15 Si (G, *) es un grupo y (S, *) un subgrupo de (G, _), se define el cogrupoa la derecha de S, como S _x = {s .. x : s ES}. Considere el grupo de los enteros módulo ]3,sin Ú, para la multiplicación definida en ese conjunto. Para cada uno de los subconjuntos dedicho grupo que se dan a continuación, vea cuáles son subgrupos y halle sus cogrupos corres­pondientes a derecha.

a) {i};b) {i, fO}; e) {i, 3, 9}; d) {i, 5, 8, (2}; e) {l, 3, 4, 9, ro, 12}; j) {i, 4, 9, f2}.

Solución Hay que mostrar que la suma es clausurativa y que todo elemento de esa forma llene unsimétrico. Por definición de la operación ., (1, x) • (1, y) = (1, x + y). Como x + y E R, esto muestra quese cumple la propiedad clausurativa. .

El elemento neutro es (1, O). Si (1, b) tiene un simétrico (e, d), entonces (1, b) • (e, d) = el, O). Es decir,(e, be + d) = (1, O), lo cual significa que e = 1 Y d = O - be = =b. Entonces el simétrico de (1, b) es(l, -b), que está en el conjunto porque +b E R.

231ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

:;:'~PiObl:mii-aJ21r, -. Si (aZ, +) y (bZ, +) son subgrupos de (Z, +), entonces su intersección

es el subgrupo determinado por el mínimo común múltiplo de los números a y b. Es decir,aZ n bZ = cZ, siendo e el mínimo común múltiplo de a y b.

El elemento neutro es N $ Ó o {O,4, 8}. La existencia de simétrica se cumple puesto que N$Ó y N E9(,son simétricos entre sí, lo mismo sucede con N $ i y N $ n, N $ 2 y N (17 io. N $ :3 y N $ 9; N E9 4 yN $ 8; N E9 5 y N $ 7.

La propiedad clausurativa se cumple puesto que :i + Y E N, La asociatividad es fácil de comprobar.

SoJución' : Lo { J.. {"'} • •. . s cogrupos a derecha son: N E9 v = O, 4, 8 = N E9 4 = N E9 8N E9 i = {í, 5, 9} = N E9 5 = N E9 9N E9 2 = {2, 6, fO} = N E9 6 = NE9 1'0N E9 :3 = {3, 7, Ü} = N (J7 '7 = NE9 Ú

·":.PrO'bll;tma 8-20" . ;, . . rO . A • • • • • •.' Considere el subgrupo norma] N={v,4,8Ea} de t , 1, L., 3, 4,5,6,7,8,9,i0,11,1"2 Ea}. Calcule los cogrupos N Eax de N. En el conjunto de cogrupos, defina una opera­ción * de la siguiente manera: (NEa x) * (N ffi y) = N ffi (x ffi y). Muestre que el conjun­to de cogrupos para la operación * forma un grupo.

Solución Sea (S,.) un subgrupo de un grupo conmutativo (G, *). Es suficiente mostrar quex * s • x' E S para cada x E G y cada s E S. Como Se G y G es conmutativo. x * s • x' = x * x' * s =e. s = s, y como s E S, entonces X. S. x' E S; por tanto, (S, .) es normaL

Problema '8-19 Un subgrupo (S, *) de un grupo (G, *) es normal si x * s * x' ES,con X'

el simétrico de x, para cada s E S y cada x E G. Pruebe que todo subgrupo de un grupo con­mutativo (G, *) es normal.

0 Ó 1 i j oÍ 5 6

Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó

i Ó i i j 4 5 6

i Ó i 4 6 i j 5

j Ó j 6 i 5 j .4

4 Ó 4 i 5 i 6 j

S Ó 5 j i 6 4 2

6 Ó 6 S 4 j í i

Tabla 8-39

Soluc'i6n . Los subgrupos son {i}, {i, 6}, {i, z, 4} y {i, i, 3,4,5, {¡}. (Vea Tabla 8-39.)

Halle los subgrupos del grupo de 1as clases residuales mod 7 para la~""l<'t.(.i!"~'~."'f.~--;:.•.r ». • ~.

::.Problema ,·8,;18'r.":.i.;. ...-:·:, .....:"':.';.:¡t.·•• ~. ,:~multiplicación.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS232

Problema 8-23 Para los siguientes conjuntos A y B determine si forman un subgrupopara la compuesta de funciones. Son subgrupos del grupo simétrico S4'

a) A-= {U 2 3 :)J; B= {C 2 3 4) G 2 3 ~)};2 3 2 3 4 ' 2 4

b) A = {G 2 3 :) , e 2 3 ~), G 2 3 ~)};2 3 4 2 3 4

B= {(~ 2 3 :), G 2 3 ~)}:2 3 2 4

e) A {G 2 3 :) . G2 3 ~), G ·2 3 ~}, G 2 3 ~), G 2 3 ~),=

2 3 4 2 3 4 2 4 4 3

(1 2 3 :)} ;3 2

B= {(i 2 3 :), (! 2 3 ~),(~2 3 i), G 2 3 1)};2 3 1 2 4 1 3 4

d) A = {(! 2 3 :), (! 2 3 j). G 2 3 ~), G 2 3 ~), (! 2 3 ~),2 3 1 2 4 1 2 4 1 3

(~2 3 1), (~ 2 3 :), G 2 3 :)} ;3 4 1 2 3 1

B= {(i 2 3 :), G 2 3 1), (! 2 3 ~),(; 2 3 ~)}.2 3 3-'4 1 2 4 1

'Solución' Sea S un conjunto de subgrupos de (G, *) y lila intersección de estos subgrupos. El ele­mento neutro e está en cada subgrupo, por tanto, e E H. Sean u y b dos elementos de H. Por definición deintersección, a y b están en cada subgrupo de S. Como un subgrupo es un grupo, entonces (J * b' pertene­ce a cada subgrupo de S. Como H es la intersección de estos subgrupos. a. b' E H. Por tanto, H es un sub­grupo. (b' es el simétrico de b.)

Problema 8-22 Si S es un conjunto de subgrupos del grupo (G, .), entonces la inter­sección de los elementos de S para la operación. es un subgrupo de (G, .).

Solución Vamos a mostrar que los dos conjuntos son iguales. Para mostrar que oZ () bZ e cZ,sea y E aZ () bZ. Entonces y E aZ y y E bZ, es decir, existen enteros m y n tajes que)' = am = bn. Comoa > O y b > O, uno de los siguientes casos es verdadero: m y n son 0, m y 11 son positivos o m y n son ne­gativos. Sí m = n = O, entonces y = O y O E cZ, porque O es un elemento de todo subgrupo de (Z, +).Ahora, suponga que m > O y 11 > O. En este caso, y E aM () bM, con oM = {a, 2a, 30, ... } ybM = {b, 2b, 3b, ... }; y como el mínimo común múltiplo de o y b es el elemento más pequeño dela intersección, entonces y es un múltiplo del mínimo común múltiplo, porque un mínimo común múlti­plo de dos números es siempre UD múltiplo del mínimo común múltiplo. Así, y E cZ. Para el tercer caso,m y n son negativos. Observe que -y, el opuesto de y, es un elemento de oZ () bZ. El argumento del se­gundo caso prueba que -y E cZ. Pero como este conjunto es un grupo para la suma, entonces y E cZ. Portanto, para cada y E aZ () bZ, se sigue que y E cZ. Por tanto, oZ () bZ e cz.

Para mostrar que cZ CaZ () bZ, sea z E cZ. Sabemos que e E oZ ()-bZ; por consiguiente, existennúmeros r y s tales que e = a;. = bs. Como e E cZ. existe un entero I tal que z = el. Entonces z = el = art =bSI. La condición z = art quiere decir que ; E aZ y la condición z = b51, que z E bZ; entonces z E oZ () bZ.Lo cual demuestra que cZ e aZ () bZ.

De aZ ~ bZ n eZ y de cZ ~ aZ nsz. se sigue que -z = aZ nbZ.

233ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Definición 2. Si (G, -) es un grupo, a e G, a' el simétrico de a y n un entero positivo, enton­ces - n . a = n . a'.

Definición l. Si (G, *) es un grupo, n un entero mayor o igual a O,e el elemento neutro de(G, ,..)y a e G, entonces el producto de n y a se define de la siguiente manera:

1. n :a = e para n = O, es decir, O' a = e.2. n : a = a para n = 1, es decir, 1 . a = a.3. (n + 1)' a = (n . a) • a para n 2:: l.Se llaman los productos de O y a, 1 y a, y de (n + 1) Y a, respectivamente.

GRUPOS CICLlCOS

Solución No, porque S U T no es clausurativo para la suma. No, porque S UT no es clausura-tivo para la suma. Sí, porque S U T = S es un subgrupo.

Si G es el grupo de los enteros para la suma, S el subgrupo de los rnúlti­. plos de 12 y T el subgrupo de los múltiplos de 16. ¿es S U T un subgrupo? Si S es el subgru­po de los múltiplos enteros de 24, ¿es SU T un subgrupo? Si S es el subgrupo de Jos múlti­plos enteros de 48, ¿es S U T un subgrupo?

Problema 8-25

Solución Si Se T, entonces SU T = T; si T e s. entonces S U T = S. En cualquier caso, S U Tes un subgrupo p014Ue S y T son subgrupos. -

Para la segunda parte de la demostración, la hipótesis es que S U T es un subgrupo. También supon­dremos que S ([_ Ty que T ([_S. Entonces existe un elemento s en S tal que no está en Ty un elemento le Tque no está en S. Según la definición de subgrupo, s. , e S U T. Esto quiere decir s. , e S o s. IET. Sis. , e S, entonces s' • (s. 1) = , E S, que contradice el hecho de que 1 e T. Por otra parte. si s * 1 e T, en­tonces (s • 1) • t'=s eT, contrario al hecho de que s e S. La hipótesis de S ([_T Yque T ([_S han dado lugara contradicciones; por tanto, estas hipótesis son falsas, Entonces debemos concluir que S e T o TeS.y así queda demostrada la segunda parte. - -

Problema 8-24 Sea (G, .) un grupo y S y T subgrupos de (G, .). Pruebe que SU Tesun subgrupo de (G, .) si, y solamente si, S ~ T o T ~ S.

Por tanto, (A U B. e) no es un subgrupo.

(J 2 3 4) (1 2 3 4) (1 2 3 4)4 J 2 3 e. 4 1 3 2 :: 2 4 1 3 ' no es un elemento de A

d) A U B - A, pero A no es clausurativa para la operación dada. Por ejemplo,

(1 2 3 4\ (I 2 3 4)4 1 2 3} = \4 3 1 2 . que no es un elemento de A U B( 1234)142 3

e) (A U B, ) no es un subgrupo porque no se verifica la propiedad clausurativa. Por ejemplo,

c ~ ; ~) o G ~ !~)= G ; ;:) que no es un elemento de A U B

es un subgrupo.h) (A U B. o) no es un subgrupo porque no se cumple la propiedad clausurativa. Por ejemplo,

a) A U B = B. Porque B es un subgrupo para la compuesta de funciones; (A U B, .)Solución

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS234

= m·a(m' a) * (n' a) = (m' a) ...(O' a)

= (m' a) * e= (m -a)

(m + n)' a = (m + O)· a

Solución El método de demostración consiste en suponer que m es un entero fijo y mostrar que elresultado se cumple para cualquier entero n. Se va a demostrar el resultado para los casos n = O, n > O ypara n < O.' .

Si n = O, entonces

Si (G, .) es un grupo, a EG, m y n enteros, entonces (m + 11) . a =PrObl~rhá -8..29(m·a}.{n·a).

Dé las razones que justifican la demostración anterior.

(n + 1) - (1 = - (n + 1) - a'= [- (n + 1)' (1'] .. e= [- (/7 + 1) - a'] • (a' • o)= ([- (/7 + 1) - 17'] • o') .. o= [- (n + 1) + )]. o' • o= [(-n)·o'].o= (n' a). o

Los siguientes pasos muestran cómo deducir (n . a) '" a a partir de (11 + 1). a.Solución

Si (G, .) es un grupo, a E G, n E Z y n < -1, entonces (n + 1)' 0=. Problema 8-28(n . a) • a.

=e

(n . a) ...a = (- 1 . a) ...(l= (1 -o') ...a= o' '" (J

(n + 1)' o = (- 1 + 1)' o= O· o=e

Solución El siguiente procedimiento muestra que (n + 1)· a = e para n = -1 Y también que(/1 . o) ...a = e. Entonces los pasos muestran que (n + 1)· a = (n . (1) ...a.

Si (G, ..) es un grupo, a EG y n = -1, entonces (n + 1) . (1= (n . a) .. a.

Dé las razones que justifican los pasos.-11' a.

Solución Para cualquier entero n, - (-n) = n, y si n < O, entonces -11 > O. Estas relaciones seemplean en los siguientes pasos: 11 • O' = - (-11) . O'

-n·(a,),

Probl~fJl{l.·8-26 Si (G, ot) es un grupo, n un entero negativo y si a' es el simétrico dea E e, entonces n . o' = -n' (l.

Los siguientes problemas contienen teoremas que generalizan estas dos definiciones para todosJos valores enteros de n.

235ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

{¡~~.?:..; -. ~·,,·Oo. ':

~.:.:s.óIUCJÓh.S () d d 1 d dE' 1< - • '. '.~.. uponga que x, y es un genera or e grupo a o. ntonces existen enteros m y n ta es

que m . (x, y¡ = (mx, my) = (2,3) Yn . (x, y) = (nx, ny) = (2,4). Por tanto, mx = 2 y nx = 2, de dondem = n. Pero my = 3 y ny = 4, lo cual implica que m =1= n. Entonces existe una contradicción y, por tanto.el grupo no tiene generador.

~"':-~ "!Ir~~ -...~ ...: r- -- • .f

,'''P':-bJe'ma;~8-33.t4::>:..!J!;.-;,;.:,¡:!:!.."<f· ' •. : • ..:.j: Pruebe que el .grupo ({a, b): a, b e Q, ...}) con (a, b) * (e, d) =(a + e, b + d), no es cíclico.

-» ~ ~oluéión Si x ER es un generador del grupo, entonces existen enteros m y n tales que ni' X = 2 conm =1= O y n . x = J2.Ahora, m . x = 2 o x = 21m, implica que x es racional porque es el cociente de dosnúmeros racionales. 2 y m. Pero si x es racional, entonces n . x es racional porque es igual al producto dedos racionales, ny x. Como n . x = J2,de esto se seguiría que J2 es racional, contrario al hecbo de que J2es irracional. Entonces tenemos una contradicción y, por tanto, debemos concluir que no existe x E R quegenere a (R, +), es decir, no es cíclico.

":"7~ 11-'7. ,'·7:-- ..."'"...:-. t-r -. :

~.Problem.a·:·S¡32 ..: P be q e el o (R +) cíclico.,.~. ~'L.~'/" ;'. ..... '. rue u grup , no es

A continuación se dan todos los generadores. a) i, 2, 3,4; b) i, 5; e) 2; d) í, 3.5,7:Soluci6ne) 3,4,5,9.

~-~-.... - ,.,

~Pr~bl~ñlif 8-3~ Definición. Si (G, *) es ungrupo, entonces (G, *) es un grupo cíclicosi existe a EG tal que para cada bE G, n . a = b para algún entero n. El elemento a se llama

. generador del grupo. Halle los generadores de los siguientes grupos:a) {O, i, 2, 3, 4} para la suma. b) {O, 1, i, 3, 4, 5} para la suma. e) Los enteros mó­

dulo 3 para la multiplicación. d) {O, i, i, 3, 4, s, 6, 7} para la suma. e) El subconjunto{i, 3, 4, 5, 9} de los enteros no nulos, módulo 11, para la multiplicación.

Se deja al lector la demostración por inducción sobre n,Sofución

Si (G, *) es un grupo, a EG, m y n enteros, entonces (m· n)' a =~Pf'obfem8·8:30m' in :a).

Caso en que n ~ O. Los siguientes pasos muestran que el resultado es verdadero para n negativo.

(m + n) . a = - (m + n) . a' definición y Problema 8-28= [(-m) + (-I1)J . a' propiedad de Jos enteros= (- m . a') ... (- n . a ') aplicación del caso anterior para - n > O= (m . a) ...(n . a) definiciones y Problema 8-26

asociatividad de la suma en Zdefinición y Problemas 8-27 y 8-28hipótesis de inducciónasociatividad de * en Gdefinición

[m + (n + tn· a = [(m + n) + 1] . a= [(m + n) . a] * a= [(m' a) * (n . al] * a= (m·a)*[(n·a).a]= (m . a) • [en + 1) . a]

Si n > O,hay que emplear la inducción para probar que el resultado es verdadero. Sea n = 1, entonces

(m + n) . a = (m + 1). a = (m . a) * a(m' a) * (n' a) = (m' a) * (1 . a) = (m' a) * a

Ahora vamos a suponer que el resultado es verdadero para n y a mostrar que también es verdadero paran + 1. Entonces suponemos que (m + n) . a = (m' a) ...(n . a) es verdadera. El siguiente cálculo muestraque el teorema es verdadero para n + l.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS236

2t

JEai=ót t t(-i)' i = 1

i = 3 = Ót t ti- (-i) = 1

3t

-I'(-i)= -1

Complete las demás posibilidades, Esto muestra que los dos grupos son isomorfos.

¡·(-1)= -i

i$j=it t t

-1 .(-i) = i

Ó Ea i = it t t1 . ; = i

Los siguientes diagramas muestran que a Lasuma de dos elementos en el grupo {O, i, z, 3} le corres­ponde el producto de dos elementos en el grupo {I, i, -1, - i}.

3 ++ -;i ++ -1i ++ i0++1

Se escoge la siguiente correspondencia entre los elementos de los dos grupos de tal manera que conservenlas operaciones y que sea biyectiva:

1 i -1 -i

1 1 i -1 -i

i i -1 -; I

-1 -1 -i 1 ;

-; -i 1 i -1

Tabla 8-41

$ Ó j i 3

ó Ó i i 3

i i i 3 oi i 3 Ó i

j j Ó i i

Tabla 8-40Solución

Las siguientes tablas definen dos grupos para las operaciones indi­cadas. Muestre que los dos grupos son isomorfos.Problema 8-35

Clasificación de los grupos cíclicos

Definición. Si (G, .) es un grupo, a e G y a' su simétrico y 11 un entero positivo, entonces a-n = (a')".

Problema 8-26. Si (G, ..) es un grupo, n un entero negativo y a' el inverso de a E G, entonces (a'y' = a" ",

Problema 8-27. Si (G, *) es un grupo. a E G y n = -1, entonces 0"+ I = a" .. a.Problema 8-28. Si (G, *) es un grupo, (1 E G y 11 < -1, entonces a"+ l = (j"" a.

Problema 8-29. Si (G,.) es un grupo, a e G, m y n enteros positivos, entonces (lm+. = a"' .. a".

Problema 8-30. Si (G, .) es un grupo. a E G, m y ti enteros positivos, entonces (¡'N" = (amr·

Definición. Si (G.• ) es un grupo. a E G, entonces (G, *) es cíclico si, y solamente si, existen (/ E G tal quepara cada b e G, ti' = b para un entero n. El elemento o se llama el generador del grupo.

a) a" = e para n = 0, es decir, aO = e.b) ti' = a para n = 1, es decir, al = a.e) tI'+ I = ti' .. a para n ~ 1.

Solución Definición. Si (G, .) es un grupo, n un entero mayor o igual a 0, e el elemento neutro de(G, .) y a E G, entonces las potencias enteras de a se definen de la siguiente manera:

-Problema 8-34 A partir del Problema 8-26 dé el enunciado de las definiciones 'f teo-

remas empleando la notación exponencial en vez de la notación multiplicativa.

231ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

-... Soluc.!.~~~ La función f(x) = 2x + 2 es una biyección. Además, f(x) + f(y) = 2x + 2 + 2y + 2 =2(x + y) + 4. Además, f(x + y) = 2(x + y) + 2. Por tanto, hemos mostrado que ¡(x) + f(y) :/= /(x + y).Esto muestra que f no es un isomorfismo entre los dos grupos.

-~r Prob!~a -8•.~ Dé un ejemplo de una biyección que 00 sea un isomorfismo entreel grupo de los enteros para la suma y el grupo de los enteros pares para la suma.

Solución Suponga que a es un generador de G y sea G = {a" : n E Z}. Como el orden de G es in-finito, todas las potencias de a son distintas, es decir. a" =f o" si n -+ m. Definamos una aplicación de G en Zde la siguientemanera: [ : G -+ Z y [(ti') = n para todo a" E G. Si [(ti') = fea'"), entonces n = m y a" = a"'.Esto muestra que f es inyectiva. Para cualquier n E Z, el elemento a" EG se aplica en n pór f. Esto mues­tra que f es sobreyectiva sobre Z.

Ahora f(a" * a"') = /(a"+m) = n + m = f(a") + /(a"'). Entonces f(a" • 0"') = /(a") + /(0"'). Por con­siguiente f es un isomorfismo entre los dos grupos.

Nota. Se deja como ejercicio demostrar que todo grupo cíclico finito es isomorfo al grupo de las clasesresiduales módulo n para la suma de clases residuales.

Muestre que cualquier grupo cíclico infinito G es isomorfo al grupo Zde los enteros para la suma.

Por consiguiente, hemos mostrado que ¡(x * y) = f(x) . f(y). En otras palabras, que los dos grupos sonisomorfos.

Nota. Si en vez de la biyección anterior se da la biyección ()++ B. 1 ++ c. i ++ A. entonces O e i = 1 nose corresponde con B o C = A, debido a que A no se corresponde con l. Entonces no se preservan las opera­ciones de grupo. Por tanto, no es un isomorfismo.

óei=2++C=AoCi E9 i = ó ++A = B oC;i e í = i ....B = C «C.

ó e i = i ....B = A o B;1e i = 2 ++ e= B o B;i E9 j = Ó ++ A = C o B;

óeó=ó++A=AoA;leÓ=i ....B=BoA;i~Ó= i++c= CoA;

Esta correspondencia conserva las operaciones como lo muestra la siguiente verificación:

ó ++A

La siguiente correspondencia es una biyección entre los dos gruposSolución

o A B C

A A B C

B B C A

C C A B

E9 Ó i i

e o j i

i i i Ó

i 2 o i

Tabla 8-43Tabla 8-42

ptobl~í!l.!8~36 Muestre que los grupos definidos por las siguientes tablas para suscorrespondientes operaciones son isomorfos.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS238

$~lii~:6n Los cogrupos a derecha del subgrupo {O,4, 8}de los enteros módulo 12 para la suma son:

{Ó, 4, 8} = N ffi Ó = N ffi 4 = N ffi 8; {í. 5, 9} = N ffi 5 = N ffi 9;{i, 6, fO} = N ffi i = N ffi 6 = N ffi 1'0; {3, '7, Ú} = N ffi 3 = N ffi '7 = N $ f¡

. Muestre que entre los cogrupos determinados por el subgrupo (0, 4, 8}de los enteros módulo 12 para la suma y el grupo de los enteros módulo 4 para la suma exis­te un isomorfismo.

(B, o) es isomorfo al grupo b). En erecto, la correspondencia BI - Ó. B2 H i, B3 .... i y B4 .... 3 esuna biyección entre los dos grupos que conserva las operaciones de grupo. Complete los detalles.

(e, o) es isomorfo al grupo a). Por medio de la biyección el .....i, el ....5. e3 .... 8 y e4 .....(2 se ob­tiene el isomorfismo entre los dos grupos

También la biyección B1 .... el, B2 .... el, B3 .... e4 y B4 .....e3 establece un isomorfismoentre los grupos (B, o) y (e, o).

(1 2 3 4)

Ao! = 4 3 2 1(1 2 3 4)

AJ = 3 4 1 ~ .(1 2 3 4)

A¡ = 2 1 4 3 '(1 2 3 4)l 2 3 4 '

Ao! A .. = A.¡ t !¡'I + I'I =

A2 A3::; Ao!¡ ¡ 15 + -; = 1'1

A. A. = A.¡ t ¡i + i = isi

Las siguientes correspondencias muestran que la biyección es un isomorfismo:

Solución (A, n) es isomorfo al grupo e) por medio de la biyección definida de la siguiente manera:

son isomorfos a uno de los siguientes grupos:a) El subconjunto {l. 5, 8, t'2} de los enteros distintos de cero, mod 13. para la mul­

tiplicación. b) Los enteros mod 4 para la suma. e) El conjunto [i, 5. '7. fl} de los enteros dis­tintos de cero, módulo J2, para la multiplicación.

Verifique que los siguientes grupos de permutaciones

(A, o) = {C 2 3 :), G 2 3 j). (j 2 3 ~), (! 2 3 ~). o};2 3 1 4 4 3 2

(B, o) = {C 2 3 :), G 2 3 1)· G 2 3 ~), (! 2 3 ;), o};2. 3 3 4 4 1 2

(e, o) = {G 2 3 :), G 2 3 j), G 2 3 ~), (! 2 3 ~), o} ;2 3 4 1 1 4 3 2

Entonces, (G, *) es isomorfo a (H. =), puesto que se cumple la definición de isomorfismo.

Problema 8-29.definición de f

Además, f(¡·a).,fU·a) = ¡·b.j·b= (i + j)' b

r"" -=-.: ...~or~!?~_Se~ e, a, 2 . a, ... , (n - l)a los elementos diferentes de G y P. b. 2 . b, .. " (n - l)b

los elementos distintos de H.Definamos una función f entre los dos grupos de la siguiente manera: fU' a) =i b. Es evidente que esta función es una biyección.

Vamos a mostrar que / conserva las operaciones de grupo. En efecto.fU' a * i a) = f(U + j) . a) Problema 8-29.

= (i + j) .h definición de f

Pruebe que si (G, *) tiene. n elementos y (H, e) tiene n elementos, sien­do G y H grupos cíclicos, entonces G es isomorfo a H.

239ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

SoluciónLa [unción I : (R", +) - (R, .) definida por I(x) = log x. El codominio de esta fun-

ción es R. Es inyectiva porque si Xl =1= x2' entonces I(x.> = log X. =F f(X2) = log x2, Sobreyectiva porqueaplica a R+ sobre R. Además, conserva las operaciones de grupo porque J(x . y) = log (x· y) = log x +log y = I(x) + ./{y). Por tanto, 1 es un isomorfismo.

~Pr~b'~'3'a .:~-·43 _ Pruebe que (R, +) es isomorfo al grupo multiplicativo de los realespositivos.

La aplicación Idéntica de SJ sobre si mismo.La función g, definida de la siguiente manera: ,,«1'1) = /1' g(/i) = /2' /{(f.,) = f), &ot{.,,) = /4.gU~) = Is' g(/6) = (6'La [unción h, definida de la siguiente manera: hUI) = (.' "t(2) = ./~,/¡U~) = 14' /¡U~) = /3'h(/s) = 16 y h(ft,) =15'La función m, definida de la siguiente manera: m({I) = /1' m(/2) = h,m(/) = 13,m(j.¡) = 12'm(/s) = 16 y 111(/6) = (s'La función r, definida de la siguiente manera: rUd = ./1' rUi) = 13, r(/) = 12' r({4) = (4'rUs) = ./6 y 1'(/6) = fs.La [unción s, definida de la siguiente manera: SUI) = 11' St(2)= fJ. S(3) = /4. $(/4) = Iz,s(/s) = Is y S(/6) = 16'La función " definida de la siguiente manera: l(jtl = (1' 1(/2)= /4' I({J) = 12, 1(/4)= Il'1(/5) = 15 y 1(/6) =k

Solución a) La aplicación idénuca del grupo C sobre sí mismo es un automorfismo.b) [es inyectiva porque [(XI) = JlxlI =" ....v •... (1 = n'" \'2'" a' => a « x. = a ...X2 => XI = "2' fes

sobrcyectiva porque ICC) = C, 'tIx E G.I es un isomorfismo porque Jtx ...yl - (a ...x"'.r'" (J') = ti .. \'. e. y ...(1' = (J'" X. ((1'. a} ....I'''' o' =

(a ...x ...a') ...(a ...y ...a') ...,I(x) ...f(y).e) 1. La funcién j', definida de la siguiente manera: /(0) = (1. /( i)= i.

2. La función [. definida de la siguiente manera: nO) - o. /(i) = i y 1(2) - i.La función 1(, definida de la sigurentc manera: g(O) = O. g(i) = 2, x(2) = i.

3, La función l.definida de la siguiente manera: f<Ó) = O, /e i)= i, (Ci) = 2 y /(3) - 3.La función g, definida de la siguiente manera: g(O) = O. ~(i) = j, gC~) = ~y g(3) = i.

4. La función j. deflnida de la siguiente manera: ((O) O,./(i) = i./(i) = 2yf(31 = j.J(4) ==4,1(5) - 5.La función g, definida de la siguiente manera: g(Ó) = Ó, g(i 1= 5. g(~) == 4. g(3) = 3. g(4) ==i y g(5) = i.

5. Sean I1 = (: ; ~)..fs = G ~D·./ft= G~~), I~= G 7D..fj = G;~)· j~ = (: ; ;),

Un isomorfismo de un grupo sobre sí mismo se llama un autornorfismo.a) Pruebe que lodo grupo tiene por lo menos un automorfismo. b) Si a E (G, *) es un elementofijo, entonces f, definida por f(x) = a ...x ...(1', es un automorfismo. e) Determine los auto­morfismos de los siguientes grupo :

1. Clases residuales módulo 2 para la suma.2. Clases residuales módulo 3 para la suma,3, Clases residuales módulo 4 para la suma,4. Clases residuales módulo 6 para la suma,5, El grupo simétrico 53'

Problema 8-42

[({3, 7, i'1}) = '3y[({i, 6. i'O}) = i[({i, 5, 9}) = i;J({O, 4, 8}) = O;

La siguiente biyección establece un isomorfismo entre el grupo que forman los cogrupos y el grupo delas clases residuales módulo 4 para la suma:

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ANILLOS. CUERPOS240

Las siguientes tablas muestran que al elemento (O, O) le corresponde el elemento Ó en la Tabla 8-45.A (O, i) le corresponde el elemento 1. Esto dice que se conservan las operaciones de grupo.

(D, O) ++ Ó(l,O)++i(i, O) ++ 2

(a, a) ++ O(a, i)++ j

··SolÜC~Qri. Las siguientes correspondencias definen dos biyecciones entre los subgrupos {(O, O),(O, i), +}; {(O, O), (Í, O), (i, O), +} de Z3 x Z2 y los grupos z; y Z3.

~;¿;¡'~tli ~ t. ..- -, .o..ti::~'!'-._ .. ~ Muestre que el grupo Z3 x Z2 contiene un subgrupo Isomorfo a Z2 ={Ó, I, ffi} y otro que es isomorfo a Z3 = {Ó, i, i, EB}.

Nota. Este grupo es conmutativo y cíclico; por ejemplo, el elemento (i, i) es un generador.

el opuesto de (O, O) es (O, O)el opuesto de (i, Ó) es (2, Q)el opuesto de (i, Ó) es (i, Ó)el opuesto de (Ó. i) es (D, i)el opuesto de (L i) es (2, l )el opuesto de (2, l ) es (Í, i)

Existencia del elemento opuesto. Un cálculo directo muestra que los siguientes elementos son opuestosentre sí:

Existencia de elemento neutro. Al sumarle a cualquier pareja de Z3 x Z2 la pareja (O. O) se obtiene elmismo elemento; entonces (O, O) es el elemento neutro.

(o, b) + (e, d» + (é,j) = (a $ e, b $d) + (e,I)= «á $ é) $e. (b $ d) $h= (a $ (e Ea él, b EI1 (d $ i»= (á, b) + (é.ff)e.dfDh= (ti, b) + «é. d) + (e, j»

Asociativa. Sean (~, b), (e, d), (e, f) E Z3 X Z2. Entonces

Clausuratioa. El dominio de la operación es (Z) x Z2) X (Z) x Z2) y el codominio Z3 x Z¡; esto mues­tra que la operación es clausurativa.

(i, i) + (l , i) = (2, Ó)(1, i) + (Í, O) = (2, i);(O, O) + (O, i) = (O, i);

SoluciónZ3 X Z! = {{O, O), (O, i), 0, O), (i, i), (2, O), (2, i)}. La primera componente perte­

nece a Z) y la segunda a Z2' Algunas de las sumas entre las parejas del conjunto Z3 x Z! son:

Problema 8-44 {' ., }Sea Z3 = O, 1, 2, EB el grupo de las clases residuales módulo 3 parala suma. Sea Z2 = {O, i,EB}el grupo de las clases residuales módulo 2 para Ia ,suma..Mues­tre que el conjunto Z3 x Z2 es un grupo para la operación definida por (a, b) + (e, d) =(a EB e, b EB d).

G x H = {(g, h), gEG Y hEH}

Definición. Si (G, *) y (H, o) son dos grupos finitos conmutativos, el producto cartesianode Jos conjuntos G y H se define como

PRODUCTO DE GRUPOS

241ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

(a',b') & (a,b) = (a'. a, b' o b)= (e, </»

(a,b) & (a', b') = (a. a', b o b')= (e, cp)

Existencia del elemento simétrico. El simétrico de (a, b) EG x H es (a', b'l, con a' el simétrico de a y b' elsimétrico de b, En efecto,

definición de &propiedades del elemento neutro de (G, .) y (H, o)definición de &propiedades del elemento neutro de (G, -) y (H. o)

(0, cp) & (a, b) = (8", a, cp o b). ::: (a,b)

(a, b) & (e, cp) = (a", 8, b o cp)= (a, b)

Existencia del elemento neutro. Si 8 y </> son los elementos neutros de G y H, respectivamente, entonces(8, </» es la identidad de (G x H, &). En efecto, si (a, b) E G x H, entonces .

definición de &definición de &propiedad asociativa de '" y o

definición de &definición de &

«a, b) & (e, d» & (e, f) = «a'" e, b o d» & (e, f)= «a *C) • e, (b o d) o f)= «a. (e", e), b o el) o f)= (a, b) & (eH, do f)= (a, b) & «e, d) & (e, f)

Asociativa. Sean (a, b), (e, d), (e, f) EG x H. Entonces

Solución Clausuratioa. El dominio' de la función es el conjunto (G x H) x (G x H) y el codo­minio G x H; entonces la operación & es cJausurativa.

. .Problema 8-46 ) ( b) ( d) G . .Si (G, *) y (H, o son grupos y a, ,e, E x H, y SI este conjunto

se dota de una operación & definida por (a, b) & (e, d) = (a'" e, b o d), entonces (G x H, &)es un grupo.

$ Ó i i

O O i i

i j i Ó

i i O i

Tabla 8-47

+ (O, Ó) (1, Ó) (2, Ó)

(O, O) (0,.0) (1, O) (2, Ó)

(i,O) (i, Ó) (2, O) (O,Ó)

(2, O) (2, O) (O,O) (1, Ó)

Tabla 8-46

Las siguientes tablas muestran que a (O, a) le corresponde a en la Tabla 8-47 y que a ri, a) le ~rres­ponde i y a (i, a) le corresponde 2. Esto muestra que las operaciones de grupo se conservan.

Ea Ó 1

O Ó 1

i 1 Ó

Tabla 8-45

+ (O, O) (Ó, i)

(O, Ó) (Ó, O) (O, i)

(0, i) (O, i) (O, O)

Tabla 8-44

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS242

25. Busque en las tablas de los grupos de orden 8 Jos subgrupos y cite los grupos cíclicos.

26. Halle los subgrupos de los grupos no abelianos de orden 12. Dé los subgrupos isomorfos a esos sub­grupos.

27. Dé los desplazamientos en el espacio que aplica un cubo sobre sí mismo. Muestre que dichos despla­zamientos forman un grupo de orden 24.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Problema 8-49 Construya el grupo G = (Z2 X Z9' +). ¿Es cíclico? ¿Es isomorfo a(ZlS' EB)? ¿Cuáles subgrupos de G son isomorfos a (22, EB),a (Z3' EB),a (Z9' EB),a (Z6' EB)?

Solución .. J..' J..' J..' J..' J.. ¿. J..' J.. ...- Los elementos de Z2 x Z9 son (O, O), ro, 1), (v, 2), (v, 3), (v, 4), (v, .J), (v, 6), (v, 1),(Ó,8), (i, O), tí, i), (i, i), 0,3), (1,4), (i,5), (i, 6), (i,7), 0,8).

G es cíclico porque (1, i) es un generador. G es isomorfo a (ZIS' $). El subgrupo ({O. Ó), (i, O)}, +)es isomorfo a (Z2' $). El subgrupo ({(O, O), (O, i), (0,2), (0, ~), (0,4), (0,5), (O, 6), (O, 7), (O, a)}, +)es isomorfo a (Z9' $). El subgrupo ({(D, O), (O, 3), (O, 6)}, +) es isomorfo a (Z3. $). El subgrupo ({(O, D),(0,3), (Ú, 6), (Í, O), (i, 3), (í, 6)}, +) es isomorfo a (Z6' $).

€e Ó i i

Ó Ó i i

i i i Ó

2 i Ó i

+ (Ó, Ó) O, Ó) (2, Ó)

(Ó, Ó) (O, Ó) (i, O) (2. O)

(1, Ó) O, Ó) (2, Ó) (Ó, Ó)

(2, Ó) (2, Ó) (O, Ó) 0, O)

Tabla 8-49Tabla 8-48

Las Tablas 8-48 y 8-49 muestran que se conservan las operaciones de grupo.

(0, O) O(i,O) l(i, O) 2

Solución' Los elementos del grupo son (Ó. Ó), (O. i), (0,2),0, O), (i, ¡). (i,2). (2, O), (2, l)y (2.2).El grupo no es cíclico porque no es generado por ninguno de sus elementos. Por consiguiente, 00 es isomor­fo a (Z9' $). El subgrupo (Z3 x {O}.+) es isomorfo a (Z), $), como lo muestra la siguiente biyección:

Problema 8-48 Construya el grupo (Z3 x Z3' +). ¿Es cíclico? ¿Es isomorfo a (Z9' EB)?¿Tiene algún subgrupo que sea isomorfo a (Z3, EB)?

-. -SoluciQñ . a) Según la nota del Problema 8 44, y como el subgrupo dado es cíclico, generado por

(l , O), entonces este subgrupo es isomorfo a (Z2. $).b) El subgrupo es cíclico porque es generado por (O. i). Entonces es isomorfo a (Z4' EB).

- >

Pro~ferna 8-_!7 Verifique los siguientes isomorfismos entre los subgrupos {(O, O),0, O), +} y {(Ó, Ó), (Ó, i), (O, 2), (0,3), +} de Z2 x Z4 y Z2 y Z4'

{(O, O), (i, O), +} isomorfo a (Z2' EB){(O, O), (O, l). (0,2), (O, j), +} isomorfo a (Z4. EB)

243ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

En particular, el elemento neutro de GI x Gl es (el' e2). siendo el el elemento neutro de GI y e2 elde Gl. GI x G2 dotado de la operación anterior se llama el producto directo de GI y G2.

44. Dados dos grupos (GI>.) y (Gl, o), se puede dotar el conjunto producto GI x Gl de una leyde grupo.definiendo:

Producto directo

42. En un grupo finito. abeliano o no. los elementos a • h Y b • a tienen el mismo orden.

43. Sea SI y S2 dos subgrupos de un grupo G de órdenes 1111 y 1112, respectivamente. Pruebe que si 1111 y1112 son primos entre sí. SInSl = {e}.Indicación. Razone por el absurdo. suponiendo que x "= e es un elemento de SI nS2 y uuhce losresultados del ejercicio anterior.

40. Sea S un subgrupo de un grupo G y a un elemento fijo. Sea Lo = {a. x: x E S}. Forme L. para ungrupo G del tetraedro regular y S = {e, r. g. k: forme Ll' Lb' En el caso general muestre que o E S =>

L. =S, o E CeS=> LonS = €p. Muestre que la aplicación \' -t a ,..x es una biyeeción entre S y Lo'

41. (o Sea G un grupo de orden 11 y S un subgrupo de orden k. Según el método del ejercicio anterior,forme Lo para un elemento (/ S, después L~ para b S U La. ele. Se de compone asi el grupo G en clasesdisjuntas de k elementos. Deduzca que el ordenk del subgrupo S es un divisor del orden n del grupo G.b) Si G es un grupo de orden n y x un elemento. Aplicar a) al subgrupo cíclico generado porx . Deducir que el orden de un elemento arbitrario x es un divisor del orden n del grupo G.

Orden de los subgrupos

37. Un grupo en el cual todos los elementos, excepto e. son involuiivos es un grupo abeliano. ¿Cuálesson los grupos de orden 11 :5; 8 que satisfacen esta condición?

38. Estudie el grupo <P(E) dotado de la diferencia simétrica en el caso E - :a, b. r}. i,A cuál grupo deorden 8 es isomorfo?

39. Si en un grupo. para Va. Vb tales que o'" h = ('=> a • (' = h. entonces el grupo está formado de ele­mentos involurivo . excepto e.

34. Se llama elemento mvolutivo todo elemento x =1= I tal que x'" x = e. Halle los elementos involutivosde los grupos de orden 11 :5; 8.

35. ¿üJáles son loe;elementos involuuvos del grupo multiplicativo de los reales no nulos'!

36. ¿Cuáles son los elementos involutivos de un grupo cíclico de orden /l'! Disunga los casos 11 par yTI impar.

Elementos involutivos

28. Halle los subgrupos del grupo del cubo.

29. Dé las 24 biyecciones de E = {o, b, c, d} sobre sí mismo.

30. A cada desplazamiento que aplica un cubo sobre sí mismo corresponde una biyección de las cuatrodiagonales. Muestre que el grupo del cubo es isomorfo al grupo simétrico S4'

31. Muestre que el grupo del paralelepípedo recto es isomorfo al grupo C2 x C2,x el'

32. Muestre que en un grupo el elemento neutro es el único elemento idcmpotente. x'" x = x=>\' = e.

33. Sobre un conjunto que contiene n elementos (11 ::;; 4) toda ley de composición definida totalmente,que admite elemento neutro y que satisface la regla de simplificación, es una ley de grupo abeliano.Construya las tablas a partir de las condiciones dadas.

244 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Describa esas operaciones en el caso de Z dotado de la adición y Q+ dotado de la multiplicación.

55. En un grupo abeliano dotado de una operación. se puede definir una operación inversa o escribiendo

x = a o b -ee- x • b' = a -= x = a • b'

Operación inversa en un grupo abeliano

son todos distintos y forman el grupo (Ejercicio 40). El elemento ba es entonces igual a uno de los 9elementos an'teriores. La única relación posible es ba = abo Los dos grupos son entonces abeLianos.

53. Estudie la misma construcción para los grupos de orden 6.

54. El grupo diédrico D; es el grupo generado por dos elementos s y 1¡que satisfacen las relaciones:

s" = (2= (SI)2 = e

Muestre que el grupo diédrico es isomorfo al grupo del poligono regular de n lados.

a3 = Cl = (ac)2 = e

52. Desarrolle el razonamiento anterior para mostrar que no existen sino dos grupos de orden 9.a) G es generado por un elemento de orden 9, es el grupo e9.

b) G es generado por dos elementos de orden k < 9.Para k = 3 (Ejercicio 41) se tienen los elementos:

e a a2b ab a2bb2 ab2 a2b2

50. Se llaman elementos generadores de un grupo G los elementos que permiten, por composición, re­construir lodos los elementos de G.

Un grupo cíclico de orden n puede ser generado por un solo elemento generador. Verifique que(vea las tablas de las páginas 224-225):a y e son elementos generadores del grupo 83.a y d son elementos generadores del grupo C4 x e2•

a y i son dos elementos generadores del grupo del tetraedro.e y g no son elementos generadores del grupo del tetraedro.

51. Se puede reconstruir la tabla de 83 a partir de dos elementos generadores a y c. teniendo en cuentalas tres relaciones fundamentales:

Relaciones fundamenta les

e) SnT = {e}.En esas condiciones, G es isomorfo al producto directo de S y T.

y V ye T,"Ix,)' E S,

45. Estudie los siguientes productos directos y dé los grupos isomorfos:a) e, x e; d) e3 x e;b) e, x e4- e) D4 x C2-

e) e2 x e; f) 83 x C2•

46. ¿En qué caso un producto directo es abeliano?

47. Muestre que G1 x G2 y G2 X G1 son isomorfos.

48. En el grupo e6• considere los grupos cíclicos generados por e2 y e3• Muestre que el producto direc­to de esos dos grupos cíclicos es isomorfo a C6.

49. Sean S y T dos grupos de un grupo G que satisfacen las siguientes condiciones:a) Todo elemento de G es de la forma x * y, x E S y y E T.b) Todo elemento de S conmuta con todo elemento de T.

245ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_ ANILLOS_ CUERPOS

Muestre que 1es un homomorfismo del grupo de Klein sobre el grupo de orden 2. La aplicación 1indica una equivalencia en el conjunto {I, R, CR, CT} que es la equivalencia lógica.

65. Muestre que el homomorfismo 1: Z -+ {O, i} definido por fin) = O, si n es par, y fin) = i. si n esimpar, es un homomorfismo de grupos. ¿Cuál es el núcleo de I?

66. En la Tabla 8-50 verifique la conmutatividad, la existencia de elemento neutro y de inversos. Veri­fique que la regla de simplificación también se satisface.

1: 1 -+ 1CR -+ 1R-+R

CT-+ R

64. Considere la aplicación 1:Componiendo las cuatro aplicaciones anteriores se obtiene un grupo. ¿Cuál?

1: (A ~ B) -+ (A ~ B) Identidad.R: (A ~ B) -+ (B ~ A) Recíproco.

CR: (A ~ B) -+ (B =,4) Contrarrecíproco.CT: (A ~ B) -. (A ~ B) Contrario.

63. Considere las 4 aplicaciones que hacen corresponder a una implicación lógica otra implicación lógica.

¿A qué grupo de orden 6 es isomorfo este grupo?

14: x -+ (x - I)/xI!>: x -+ 1 - X

16: x -+ x/ex - 1)

11: x-+x12: x -+ l/x13: x-+ 1/(1 - x)

61. Considere la tabla de multiplicación de los restos el, e2, e3, C¿ (mod 5) y la tabla de multiplicaciónde las clases de restos eJ, el' e" e9 (mod 10). ¿Los grupos obtenidos son isomorfos al grupo deKlein o al grupo ciclico de orden 4?

62. Las siguientes aplicaciones forman un grupo con respecto a la compuesta de funciones:

60. Muestre que la tabla de rotaciones del triángulo equilátero (vea Tabla 8-4) es isomorfa a la tabla delgrupo S3'

Homomorfismo e isomorfismo

57. Establezca la tabla de la operación inversa o para los grupos ee y e4 x e2•

58. Pruebe que a o b y b o a son inversos el uno del otro.

59. Demuestre la relación a o (a o b) = b y traduzca esa propiedad a Z dotado de la adición y Q+ dota­do de la multiplicación.

Verifique que esto sucede en todo grupo donde cada elemento es igual a su inverso.

56. Sea G un grupo abeliano, dotado de la operación •. Suponga que la operación inversa o no coincidecon la operación •.

Muestre que la operación inversa o no es ni asociativa ni conmutativa. No admite elementoneutro.

_Va. b

Muestre que el grupo de Klein, la operación • y la operación inversa o coinciden.Se tiene que

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS246

Halle el centro de los grupos de orden 8.

C = {x : x • y = y $ x, "'Iy, y E G}

71. Se llama 'centro de un grup? G el conjunto de los elementos que conmutan con todos los ele­mentos de G.

Centro de un grupo

es un homomorfismo. El núcleo de / ¿es isomorfo a Z?

f: x -> x :Cl

69. Verifique que en el grupo de Klein se tiene "'Ix, 2 .L x = e. Halle un grupo de orden 8 que goce de lamisma propiedad.

70. Sea Z dotado de la adición y el grupo de las clases residuales (mod 11). Muestre que la aplicación

Operación externa

No determina una estructura de grupo si se toma en E,

x_ax-b

f: x ~ 2,x s 2,

x € {1, 0, - I},

En E = Q, la ley u o v = ftx + y) = 2(x + y) - 1 = 11 fe v + 1 es una ley de grupo. Halle otrosejemplos.

68. En el ejercicio anterior, la hipótesis «f es biyectiva» es esencial. Z dotado de la adición y E = {e, a, b}.La aplicación:

f: x -+ u = 2x - 1y -+ v = 2y - 1

De esto resulta que G y E son isomorfos.

Ejemplo. Q dotado de la adición y

f(x) o f(y) = f(x • y)

Sea G un grupo y E un conjunto. Si existe una biyección f de G sobre E, se puede dotar a E de unaestructura de grupo, si en E

• e a b e d fe e a b e d fa a d e f b e

b b e e d f a

e e f d e a b

d d b f a e e

f f e a b e d

Calcule el orden de cada elemento. La tabla no correspondea un grupo. ¿Por qué?

Tabla 8-50

247ESTAUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Clausurativa.Asociativa.

't:Jx, 't:Jy : x + y EA't:Jx, 't:Jy, 't:Jz : (x + y) + Z = x + (y + z)

Axioma 1.Axioma 2.

Grupo abeliano aditivo. Sean x, y, Z E A.

Definición l. Sea un grupo aditivo abeliano A; si además A se dota de una segunda ley, lla­mada multiplicación, decimos que A es un anillo si se verifican los siguientes axiomas:

A continuación se van a estudiar conjuntos en los cuales se definen dos leyes de composición.

ANILLOS

Muestre que (G, .) es un grupo isomorfo a (G, -),Indicación. Se define la biyección 1: 0-+ 0-1, a EG, de (G, .) en (G, .) y como I(ab) = (ab)-I =b-1a-1 = I(b) ./(a), esto demuestra el isomorfismo.

83. Sea M el conjunto de los movimientos del triángulo equilátero y sea F = {1, -1}, dotado de la mul­tiplicación. A toda rotación del triángulo se le hace corresponder 1 y a toda simetría -1. Muestreque esa aplicación de M sobre F es un homomorfismo.

84. Sea 1un homomorfismo de E, dotado de la operación ., sobre F, dotado de la operación o. Muestreque si e es el elemento neutro de E,/(e) es el elemento neutro de F.

Si O( es un elemento absorbente. entonces 1(0() es el elemento absorbente de F. ¿Por qué es esencial'que 1sea sobreyectiva?

a, bEGa. b = a· b,

¿Qué es 12 • II?76. Sea B una parte fija de un conjunto E. Muéstre que la aplicación de <P(E) en <P(E), definida por

A ~ A 6. B, es una biyección. (Utilice las propiedades del grupo de la diferencia simétrica.)

77. Muestre que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los elementos x de G formanun subgrupo H de G.

78. Halle el subgrupo H del ejercicio anterior si G es:

a) El grupo de Klein; b) C4; e) (Q, +).

79. Muestre por medio de un ejemplo que la ecuación X2 = e puede tener más de dos soluciones en ungrupo G con identidad e.

80. a) Construya la tabla de multiplicar de S4' b) Halle el subgrupo cíclico de S4' generado por G !~~).e) S4 tiene 10 subgrupos; construya un esquema que muestre esto.

81. Muestre que C4 no es isomorfo al grupo V de Klein.

Indicación. C4 es cíclico. V tiene cuatro elementos x que satisfacen la ecuación x = e; C4 tiene so­lamente dos elementos que son solución de la ecuación correspondiente x + x = O.

82. Sea (G, .) un grupo. Considere la ley. definida sobre G de la siguiente manera:

11: x=s a e x s hh.: x=s c e x e h

75. En el grupo del cuadrado se consideran las aplicaciones:

74. Dos elementos a y b de un grupo G son conjugados si existe un elemento x tal que b = x • a • x',Muestre que esa relación es una equivalencia en G. Reparta en clases de elementos conjugados loselementos de algunos grupos conocidos.

72. Muestre que el centro de un grupo es un grupo abeliano.

73. ¿Cuál es el centro del grupo de un polígono regular?

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS248

Ejemplo 8-32. Sea A = {O,a, b, a + b}. La adición se define en la Tabla 8-51 y da un grupode orden 4. El producto se define como O. x = X· O= O 'rJxEA y por la Tabla 8-52. Esunanillo.

Ejemplo 8-31. Si A = {O}.Se define O+ O= O y O· O= O. Este es el anillo nulo.

[<P(E),.1, n] es un anillo unitario y conmutativo. Se llama anillo de Boole.

x () (Y!:i Z) = {x : (xeX) /\ «XE Y) v (xeZ»} = {x : (xeX) 1\ (xe Y) v (XEX) 1\ (xeZ)}= (XnY) .1 (X () Z)

tP es el elemento nulo porque'rJXe,CP(E), X!:i ifJ = tP.Además la ley n es asociativa y distributiva con respecto a la ley .1, porque

(X!:i Y)!:i Z = {x : (x E X!:i Y) v (x eZ)} = {x : (x E X) V (x E Y) v (x E Z)}= {x: (xeX) v (xe Y!:iZ)} = X .1 (Y!:iZ)

En efecto, la pareja (<P(E),.1) es un grupo conmutativo. Además la leyes conmutativa yasociativa porque

Ejemplo 8-30. <P(E)es un anillo conmutativo unitario dotado de las operaciones !:i y n.Ejemplo 8-29. Q, R, e, son anillos conmutativos unitarios para las operaciones + y (.).

Ejemplo 8-28. Sea P el conjunto de los enteros pares peZ; P, dotado de las operaciones+ y (.) de Z, es un anillo no unitario y conmutativo.

Ejemplo 8-27. Z para las operaciones + y (.) es un anillo conmutativo y con unidad.

Definición 4. Un anillo se llama anillo de división si los elementos distintos de cero formanun grupo multiplicativo para la multiplicación ..0,,,10 que es 10 mismo, si todo elemento de Adistinto de cero es una unidad.

Definición 3. Un elemento u de A se llama inversible si A tiene inverso multiplicativo en A.Por ejemplo, en Z, las únicas unidades son 1 y-l.

Definición 2. Un anillo A se llama anillo con unidad si la multiplicación tiene unidad. Elanillo se llama conmutativo si la multiplicación es conmutativa.

Clausurativa.Asociativa.Distributiva a izquierda.Distributiva a derecha.

Axioma 6. 'rJx, 'rJy : xye AAxioma 7. 'rJx, 'rJy, 'rJz: x(yz) = (xy)zAxioma 8. 'rJx, 'rJy, 'rJz : x(y + z) = xy + xzAxioma 9. 'rJx, 'rJy, 'rJz: (y + z)x = yx + zx

Para la segunda ley interna (.)

Axioma 5. 'rJx, 'rJy : x + y = y + x

Existencia del elemento neutro.Existencia del elemento inver­so aditivo.Conmutativa.

Axioma 3. 30 e A, 'rJx : O+ x = x + O = xAxioma 4. 'rJx, 3(-x): (-x) + x = x + (-x) = O

249ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Teorema 2. Va, b EA se tiene que (-o)b = - (ab) y (-a)( -b) = abo

La otra parte se demuestra de manera análoga.

Transitiva de la igualdadAxioma 2Axioma 3

(O . a + O . a) + (- O . a) = OO'a+O=O

O· a = O

Así,

Axioma 3Axioma 9Axioma 3Axioma 4Axioma 4

0+0=0(O + Ola = O . o + O . a

= O· a(O. a + O . a) + (- O . a) = O . a + (- O . a)

=0

Demostración. Se quiere demostrar que VaE A; 1~(1 . O = O, y 2~ O . (1 = O.

Teorema l. El elemento neutro de la primera operación es un elemento absorbente para lasegunda operación.

Teniendo en cuenta la regla para la + en el grupo de orden cuatro, estos ca os se reducen alprimero. Basta ver en la tabla del grupo que la columna encabezada por a + b es la suma delas dos primeras columnas.

x(a + b) = xa + xbx(b ... (a +.h» = xb + x(a + b)x(a + (a + b» = xa + x(a + b)

Si y = z, y + z = O y x)' - xz => xy + xz = O. Así. en este caso, x(y + z) = O = xy+ xz. Si uno de los tres: x. yo:: es O, la ley se cumple. Teniendo en cuenta la conrnutatividadde la + para cada x i= O, quedan tres posibilidades:

Verificación de la ley distributira. x(y + e) = xy + x:.

Si x = O, la ley se verifica. Si x = a O a + b => (y + z)x = y + :. mientras que )'X +zx = y + z, Si x = b => (y + :)b = O = O + O = yb + zb,

Verificación de la ley distributiiu. (y -l.. .:-)x= )'X -l.. :X.

Verificación de la asociatiridad del producto, x(.I'=)= (xy):.

Si x, yo;: son cero => (.1.'.1');, y, \'(.1':) son O. Si z=b, enlances n(xy) b:= O y x(yb)=xO = O.Si z = a o z = (1 + b => x(.r=) = xy = (xy):, por ser z unidad multiplicativa a derecha

Observe que a . b =f b . ([ y que a y (1 + b actúan como unidades multiplicativas aderecha

a b a+ba a O ab b O b

a+h a+b O a+b

+ O a b a+bO O a b a+ha a O· a+b b

h h a+h O· aa+h a+h h a O

Tabla 8-52Tabla 8-51

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS250

Los siguientes son ejemplos del anillo de los enteros módulo n para los cuales es posibleobtener en algunos casos Ó sin que ninguno de los factores sea Ó. Los otros muestranque no se puede obtener Ó sin que uno de los factores sea O.

Ejemplo 8.33. Sea A elemento de [(\)(E).,ó"n] y A=I=l/>, A=#=E. Entonces Ay CEAsondife­rentes de <1>. Además An C"A= rt>, es decir, los elementos A y C~ son divisores de cero.

Definición 5. Si (A, +, .) es un anillo con unidad, entonces (A,+, .) es un dominio deintegridad si, y solamente siA no tiene divisores de cero.

. . .=1= ° Y 3 =#= O.Si un sistema contiene elementos x y y tales que x.y = ° con x:¡éO, y'*O, decimos que elsistema contiene elementos que son divisores de cero.Si para todos los elernentos-x y y del sistema, x.y=O implica que x=O ó y=O, el sistemano tiene divisores de cero.El sistema de los números reales no tiene divisores de cero en cambio [Z¿ Q) 0) si tiene di­visores de cero.La propiedad de no tener divisores de cero se emplea para distinguir los dominios de in­tegridad de los anillos conmutativos con unidad, co~- se da en la siguien te definición:

No todos los sistemas empleados en este libro tienen esta propiedad, como se p~e­de comprobar con el anillo de los enteros módulo 6, (Z6 El0) en el cual ¿O 3 = b con 2

La hipótesis de que x'l- x - 2 = O tenga soluciones en R nos lleva a la conclusión de quex=-lóx=2.

,x -2 = Oóx+l ;;;;O

Ejemplo 8-33. Esta propiedad se aplica para hallar el conjunto solución de la ecuación:X2 - x - 2 = O en los reales. .La ecuación se puede Iactorizar como (x+l) (x-2) = O.Empleando la propiedad enun­ciada se obtiene:

Un dominio de integridad tiene todas las propiedades de uri anillo conmutativo con uni­dad, más una propiedad adicional que traducida al conjunto de los números reales nosdice que "si el producto de dos reales es cero, entonces por 10 menos uno de los factoreses nulo!' (x.y = O implica que x = O, ó, y = O).

Dominios de Integridad

(-0)( -b) = - (a(-b» = - « -ah» = ab

Para calcular (- a)( - b) se aplica dos veces la propiedad anterior:

Axioma 4Axioma 9Axioma 4

(-a)b = - (ab) -ee- (-a)b + ab = O<=> «-a) + a)b = O<=> O·b=O

(-a)b = -(ab)

Demostración.

251ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Definición 10. Un subconjunto no vacío J de un anillo conmutativo A es un ideal si1. 't:Jx E J, 'tJy E J, x - y E l.2. 't:Jx E 1, 't:JzE A, xz E 1.

Existen subconjuntos de los anillos que son importantes en matemáticas. Son los ideales.

Ideales de un anillo conmutativo

Figura 8-8

Anillos de división

Anillos conmutativos

Arullos

Grupos abelianos

Grupos

Nota. La Figura 8-8 es útil para comparar las distintas clases de estructuras algebraicas.Los segmentos significan inclusión en orden a ccndente.

Ejemplo 8-36. En el Ejemplo 8-32 del anillo definido por las Tablas 8-51 y 8-52, los sub-conjuntos {O,a}, {O,b}, {O,a + b} son subanillos. .

Ejemplo 8-35. En (Z, +, .) los múltiplos de un entero a son un subanillo.

Definidón 6. En todo anillo A, cualquier subconjunto que sea un subgrupo del grupo adi­tivo, usado para la multiplicación. posee la estructura de anillo y se denomina subanillo de A.

El problema 8-.78 demuestra que Zn es un dominio de i~tegridad si, y solamente si nes un primo. El problema 8-79 muestra la equivalencia de que no tener divisores de ceroes lo mismo que veri Iicar la propiedad cancclativa para la multiplicación.

. . .2 O 2 = °no tiene. . .20 3 = °no tiene2 O 4= Ó

Divisores de cerono tieneno tiene

SistemaZ2Z3Z4ZsZ6Z7Zs

Ejemplo 8-34

ESTRUCTURASALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS252

que es otra matriz de la misma forma, entonces se verifica la propiedad clausurativa.

r:-~: ••.:....I#"'. ~

~~,!~~~n Clausuratioa. La suma de dos matrices, A = (011a21

muestre que forman un anillo no conmutativo.

Considere el conjunto de las matrices cuadradas de la forma

A = (al1 012) cuyos elementos pertenecen a Q, R o C. Si en este conjunto definimos dos021 022

operaciones, la suma y la multiplicación de matrices, de la siguiente manera:

Anillos

PROBLEMAS RESUELTOS

Demostración. Como f es un homomorfismo del grupo (A, +) en (A', +), se demostró queel núcleo esun subgrupode (A, +). Además \fx e N, \fz e A,f(x . z) = f(x) . fez) = O' . fez) =O'.Entonces \fx e N, \fz e A, x . z e N, y la conclusión resulta de la definición de ideal.

Teorema. El núcleo de un homomorfismo f de un anillo (A, +, .) en un anillo (A', +, .)es un ideal de A.

f(x) = O'}yN = {x: x E A

El núcleo N del homomorfismo f es la imagen recíproca de O', elemento de A'.

f(x + y) = f(x) + f(y)f(xy) = f(x) . J(y)

\f(x,y)eAxA,\f(x, y) eA x A,

Definición 11. Una aplicación f de un anillo (A, +, .) en un anillo (A', +, .) es un homo­morfismo de anillos si es un homomorfismo para la suma y el (.).

Homomorfismo de anillos

Ejemplo 8-38. El conjunto formado por los múltiplos de 6 en Z es un ideal principal y serepresenta por 6Z.

Ejemplo 8-37. En (Z, +, .) todo conjunto 1= {x : x = az, z e Z} es un ideal de Z. Todoelemento de 1es múltiplo de un elemento fijo a. Cuando esto sucede se dice que el ideal es prin­cipal, o que el ideal es generado por el elemento o. Se representa por (a) o a . A.

La condición 1 significa que 1 es un subgrupo de (A, +).La condición 2 significa que 1 es una parte permitida de (A, -).

253ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Por tanto, el producto es distributivo.

A . (8 + e) = (a11> a12). [(bll , b12) + (C11, CI2)J = (011, a12)\0'21' a22 b21, b22 e21, C22 ,a21, 0'22

(all(b11 + C11) + a12(b21 + C21), 011(bI2 + C12) + a12(b22 + e22»)\021(b11 + C11) + a22(b21 + C21), a.21(bI2 + C12) + 022(b22 + C22)

= (a11b11 + 'aI2b21) + (a11Cll + aI2c21), (a11bI2 + aI2b22) + (allC12 + 012C22»)(a21b11 + a22b21) + (a21Cl1 + a22C2I), (a21b12 + a22b22) + (021C12 + a22c22)

Distributiia. Sean A = (al1~ a12) , B = (bb11, bbl2) y e = (Cll' el2). Entoncesa21, a22 21. 22 C21' C22

B) . C.

Entonces

Asociativa del producto. Sean A = (0'11 0'12), B = (b11 bI2). e = (~IIC12).0'21 0'22 b21 b22 e21 C22

Clausuratiia del producto. Según la definición del producto, el producto de dos matrices cuadradas (2 x 2)es otra matriz del mismo tipo; esto muestra que el producto es clausurativo.

esto muestra que -A es la opuesta de A.

(-a -a)11, 12. Entonces-0'21' -0'22

Existencia del elemento opuesto. Sea A = (al!0'21

= (a 11 + O, a 12 + 0) = (°1Ia21 + O, a22 + ° a21

Existencia del elemento neutro. La matriz O= (~~) es el elemento neutro puesto que:

Esto muestra que la suma es asociativa.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS254

Sean x, y E 2Z y a, b e Z.

Clausuratioa para la suma. Como la suma de dos enteros pares es par, (x + y) E 2Z. Porque Z es clausura­tivo para la suma, a + b e Z. Así, (x + y, a + b) E 2Z x Z.

AsoeiaÚvidad para la suma. «x, a) + (y, b» + (z, e) = (x + y, a + b) + (z, e)= «x + y) + z, (a + b) + e)= (x + (y + z), a + (b + e»= (x, a) + «y + z, b + e»= (x, a) + «y, b) + (z, e»

Considere el conjunto 2Z x Z. Defina la suma y producto en 2Z x Zde la siguiente manera: (x, a) + (y, b) = (x + y, a + b)y (x, a) . (y, b) = (xy + bx + ay, ab),(x, a), (y, b) E 2Z x Z. Muestre que (2Z x Z, +, .) es un anillo conmutativo con unidad.

(f' (g + h)){x) = f(x) . (g + h)(x)= ¡(x) . (g(x) + h(x»= f{x) . g(x) + f{x) . h(x)= (f. g + I: g)(x)

Distributiva. La propiedad distributiva es consecuencia de la propiedad correspondiente en (Z, +, '). Así,

Asociatiuidad de la multiplicación. Es consecuencia de la propiedad asociativa de los números enteros.

Clausuratioa para el producto. Es consecuencia de la c1ausurativa de la multiplicación de los númerosenteros.

Conmutativa. Es consecuencia de la conmutativa de la suma para los números enteros.

(f + g)(x) = f{x) + g(x) = f{x) + (- f{x» = O(g + f)(x) = g(x) + f{x) = - f(x) + ¡(x) = O

Existencia del elemento opuesto. Sea fE F; se define la opuesta de f como g(x) = - f{x), X E Z, puestoque todo entero tiene un opuesto. Entonces

(f + g)(x) = ¡(x) + g(x) = g(x) = g(x) + ¡(x) = (g + f)(x)

Existencia del elemento neutro. La función f{x) ~ O, para todo x E Z, en un elemento de F por definición.Entonces para todo g EF:

Asociativa. Sean f,g, h e F. Para cada x E Z: «((+ g) + h)(x) = (f + g)(x) + h{x) = (f(x) + g(x)) +"(x) = f(x) + (g(x) + h(x» = ¡(x) + (g + h)(x) = (f + (g + h»(x). Entonces, según la igualdad de fun­ciones: (f + g) + h = f + (g + h).

Sea F el conjunto de las funciones cuyos dominio y codominio son losenteros. Muestre que si el conjunto F se dota de las operaciones (f + g)(x) = f(x) + g(x) y(f, g)(x) = f(x) . g(x), f, g E F, es un anillo.

Solución (F, +, .) es un anillo, como se muestraa continuación. Sean f,g EF. Como el dominioy codominio de f y g son los enteros, la propiedad clausurativa es consecuencia de la clausurativa para losenteros.

(~ ~)(; ~} = (i ~)y

El siguiente ejemplo muestra que, en general, el producto de matrices no es conmutativo.

255ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

(2Z x Z, +, .) es un anillo conmutativo puesto que (x, a)· (y, b) = (xy. ab) = (yx, ba) = (y, b)· (x, a).El elemento unidad del anillo no es (l, 1) porque (x, a)· (L, 1) = (x, a) y (1, 1)· (x, a) = (x, a) y(1, 1) ~ (2Z x Z, +, .).

También «x, a) + (y, b» . (z, e) = (x + y, a + b) . (z, e)= (xz + yz, ae + be)= (xz, ae) + (yz, be)= (x, a) . (z, e) + (y, b) . (z, e).

Propiedad distributiva. (x, a) . «y, b) + (z, e» = (x, a) . (y + z. b + e)= (xy + XZ, ab + ae)= (xy, ab) + (xz, ae)= (x, a) . (y, b) + (x, a) . (z, e)

«x, a)· (y, b»· (z, e) = (xy. ab)· (z, e)= (xyz, abe)= (x(yz), atbc¡= (x, a) . (yz, be)= (x, a) . «(y, b) . (z, e»

Solución Como la definición de suma no se cambió, se verifican las cinco primeras propiedades.Entonces queda por probar la clausurativa, asociativa para el producto y la distributiva. Como el productode dos elementos de 2Z está en 2Z, xy E 2Z. Como ab E Z, la operación . es clausurativa. Para mostrar laasociatividad del producto, observe que

. Problema 8-53 Si la multiplicación en el conjunto 2Z x Z se define como (x, a)· (y, b)= (xy, ah). Muestre que el conjunto 2Z x Z, dotado de la suma del problema anterior y estamultiplicación, es un anillo conmutativo sin unidad.

Propiedad distributiva. 1. (x, a)· «y, b) + (z, e» = (x, a)(y + z, b + e)= (xy + xz + xb + xc + ay + az, ab + ac)= (xy + xb + ay, ab) + (x: + xc + az; ac)= (x, a) . (y, b) + (x, a) . (z, e).

2. «x, a)+ (y, b»· (z, e) = (x + y, a + b) . (z, e)= (xz + yz + ex + ey + az + bz, ae + eb)= (x, a) . (z, e) + (y, b) . (z, e)

Es conmutativo puesto que (x, a) . (y, b) = (xy + bx + ay, ab) = (yx + xb + ya, ba) = (y, b) . (x, a).El elemento unidad del anillo es (O, 1) porque (x, a) . (O, 1) = (x, a).

Asociativa para la multiplicación. «x, a)· (y, b»(z, e) = «x)' + bx + ay, ab»· (z, e)= (xyz + bxz + ayz + xye + bxc + aye + abz, abe)= (x(yz + ye + bz) + a(yz + ye + bz) + x(be), abe)= (x, a)· (yz + )le + bz, be) -= (x, a)· «y, b)· (z, e»

Clausuratioa para la multiplicación.Como el producto de un entero par por otro entero es par, xy, bx y ay sonlodos enteros pares. Entonces, por la propiedad clausurativa de la suma, (xy + bx + ay) E 2Z. Como lamultiplicación es clausurativa en Z, ab E Z. Así, (xy + bx + ay, ab) E 2Z x Z.

Conmutativa para la suma. (x, a) + (y, b) = (x + y, a + b) = (y + x, b + a) = (y, b) + (x, a).

Existencia del elemento opuesto para lo suma. Como -x E 2Z y -a E Z; (-x, -a) es el opuesto porquee-x, -a) + (x, a) = (-x + x, -a + a) = (O, O) y (x, a) + (-x, -a) = (x + (-x), a + (-a» = (O, O).

Existencia del elemento neutropara la suma. Como OE 2Z y °E Z, el elemento neutro para la suma es (O,O),porque (x, a) + (0, O) = (x + O, a + O) = (x, a) y (O, O)+ (x, a) = (O+ x, O + a) = (x, a).

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS256

asociativadefinición de resta

definición de resta

asociativa de sumadefinición de resta

definición de resta(a - b) - e = (a + (-b» - e= (a + (-b) + (-e)= a + «-b) + (-e»= a + «-b) - e)=a+(-b-e)= a - {b + e}

a - (b - e) = a + (-(b + e»=a+(-b+e)= (a + (-b» + e= (a - b) + e

definición de resta

definición de restaasociativaexistencia del elemento neutro

(a - b) + (b - e) = a + (-b) + b + (-e)= a + «-b) + b) + (-e)= a + O + (-e)=a+(-e)=a-e

definición de restadistributivaProblema 8-54 b)definición de resta

a(b - e) = a(b+ (-e»= ab + a(-e)= ah + (- (ae»= ab - ae

Problema 8-54 b)Problema 8-54 b)

(-a)( -b) = - (a(-b». = -(-(ab»= ab

e)

Problema 8-54 b)Problema 8-54 b) y simétrica de la igualdadtransitiva de la igualdad

Problema 8-54 a)axioma del elemento simétricodistributivaunicidad del simétrico de ab

O = a· O= a . (b + (- b»= (ab) + a( -b)

a( - b) = - (ab)

(-a)b = - (ab)- (ab) = a( - b)(-a)b = a(-b)

Problema 8-54 a)axioma del elemento simétricodistributivaunicidad del simétrico de ab

O = o· b= (a + {-a»·b= ab + (-a)b

(-a)b = - (ab)

Esto muestra que a . O debe ser el elemento neutro para la suma, y como el elemento neutro es único,a· 0= o.

b)

a . a = a . (a + O)= (a . a) + (a . O)

a) Como O es el elemento neutro para la suma,

a(b - e) = ab - ac; (a - b) + (b - e) = a - c; (a - b) - c = a - (b + e);a - (b - e) = (a - b) + e

·SÓíuci6n

e) Si a, b, e EA, entonces

(-a)b = -(ab); a(-b) = -(ab); (-a)b = a(-b); (-a)(-b) = ab

......".. __ . .~

l~~.r:~:blem~8~~~~ a) Si (A, +', .) es un anillo y si su elemento neutro para la suma serepresenta por O,entonces a . O= O= O. a, para todo a EA.

b) Si a, b EA, entonces

257ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS .

Solución Suponga que (B. +.. ) el> un subanillo, entonces vamos a mostrar que se cumplen las dospropiedades. Sean a. bE B. Como B es un anillo, entonces b e B implica que -h E B. De nuevo. como BesUD anillo. a + (-b) E B porque Bes clausurativo para la suma. Por dcfinición de resta CI + (-h) = u - h.Entonces o - b e B. Esto muestra que B es clausurativo para la resta. Para verificar que B es clausurativopara la multiplicación observe que, debido a que 8 es un anillo, se cumple la propiedad clausurativa para elproducto.

Ahora suponga que el sistema (E, +, .)cumple con las dos condiciones. y a partir de esto mostraremosque es un anillo.

Los Axiomas 1 a 5 que definen un anillo se cumplen porque algunos son consecuencia inmediata deque B es un subconjunto de A. La propiedad asociativa de la suma es válida en CA. - .. l. y como B es unsubconjunto de A. la propiedad asociativa también es válida en (B. + .. l. Lo mismo sucede con la propie­dad conmutativa de la suma. puesto que es conmutativa en A.

Si a E B, entonces. como se supone que B es clausurativo para la resta. la diferencia a - (J E B. Peroo - o = O. el elemento neutro de A. entonces OE B. Esto muestra que el elemento neutro del anillo A estácontenido en B. Es decir, OE B. Como B es clausurativo para la resta. para cada a E B, O - a E B. Pero0- (J = O + (-a) = -o. por tanto. -(1 E B. Esto muestra que para cada aE B. el opuesto -a está en B.

Sea (A, +, .) un anillo y D un subconjunto no vacío de A. El sistema(D, +, .) es un subaniUo de (A, +, .) si, y solamente si, para cada a, bE B: l. a - hE B y2, ab ED.

Problema 8-57

Subanillos

Sumando xb a ambos lados se obtiene xb - xa -r- xb + (- (xa».Sumando de nuevo xa a ambos lados se obtiene xb + xa = .\CI - '(h. entonces x(h + al = x«(/ + b).Así, b + a = a + b. puesto que xa = xb Implica que a = b, Entonces (A. + .. ) es un anillo.

hipótesis y definición de restadistributivaProblema 8-54 b)

simétrica de sumaO = a + b + (- (a + b»O = a + b + (-a - bl

Entonces x'O = x(a + b + (-a) + (-b»0= xa + xb + xl-a) + x(-b)O = (xa + xb) + (- (xa) l+ (- (xb »

Como A es clausurarivo, a + b E A lo mismo que - (a + b l. EntoncesSolución

Sea (A, +, .) un anillo en el cual no se ha probado que se verifique lapropiedad conmutativa de la suma. Si A tiene un elemento x tal que xa = xb implique quea = b para todo a, b E A, pruebe que (A, +, .) es un anillo.

Problema 8-56

Entonces a + b = (a + b) + (a· b) + (b' al. Sumando - (a + b) a ambos lados de esta última ecuación.se obtiene O = a . b + b . ao -a' b = b . a.También (-{l' h) . (-(1 .b) = ib : (/l . (h . (/) por hipótesis. Ade­más, (a· b)' (a . b) = (b' a)' (b' a) según el Problema 8-54 b). Entonces a . b = b . (l. es decir. (A. + .. )es un anillo conmutativo.

o + b = (o + b) . (a + b)= a· (a + b) + b . (a + b)= (a . a) + (a· b) + (b . a) ... (b' b)= o + (a' b) + (b' a) + b

Como (A, +, .) es clausurativo para la suma, o + b e A. entonces, por hipótesis.Solución

Problema 8-55 Pruebe que si (A, +, .)es un anillo y a, b E A, ya' a = a para cadaa E A, entonces (A, +, .)es un anillo conmutativo.

ESTRUCTURASALGEBRAICAS.ANILLOS CUERPOS258

Sea F el conjunto de las funciones cuyo dominio y codominio sonlos enteros. Este conjunto dotado de las operaciones (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (f. g)(x) =f(x) . g(x), f, g EF, es un anillo. (Vea el Problema 8-51.) Determine cuáles de los siguientessubconjuntos de F son subanilJos. f, {f: /(0) = O}; r; {f: feO) =1= O}; ~ '{f : f(O) = 1};4~{f: feO) = f(1)}; 5~{f: -1 ~ f(x) s 1}; 6~{f: j{x + 1)= f(x)}.

Solución Observe que ({O}, $, O) es un subanillo de cada uno de los anillos.1? (Z3' e, O).2? {{O, ~}, $, O) Y (Z., $, O).3? ({D, ~, 4}, $, O); ({O, ~}, $, O) Y (Z6' $, O).4? ({O,~, 6, 9}, $, O); ({O,~, 4, 6, 8, fo}, $, O); ({(),6}, $, O); ({(),4, 8}, $, O) Y (Z12' $, O).5? ({O, 5, lO}, $, O); ({O, 3, 6, 9, t'2}, $, O) Y (ZlS' $, O).6!> ({O, f2}, $ O); ({O, 8, 16}, $, O); ({O, 6, 1'2, l8}, $, O); ({O, 4, 8, 12, 1'6,20, $, O);

({Ó, j, 6, 9,1'2, rs, 1'8,21},$,O); {{Ó,:l, 4, 6,8,10, rz, 1'4. 1'6, 1'8,20, 22},$,O) y (Z24.$,O).

Prob~e,!l1a8-61 Halle los subanillos de los siguientes anillos: F, (Z3' El) , O); 2~ (Z4,El) , O); 3~(Z6' El) , O); ( (Zw El), O); 5~(Z15' El), O); 6~(Z24, El), O).

Solución El conjunto {a + 0.)3 : a e Q} no es vacío. Sean a + 0J3 :a EQ; b + 0J3 :be Q e{a + 0J3}. Entonces (a + 0J3) - (b+ 0J3) = a - b + 0J3. Como los números racionales son clau­surativos para la resta, (a - b)+ oJ3e {a + oJ3 : a E Q}. También (a + oJ3) . (b+ 0J3) = ab + 0J3.Como la multiplicación de números racionales es c1ausurativa,ah + 0J3 e {a + 0.)3 : a e Q}.

Problema 8-60 Pruebe que el conjunto {a + 0J3; a EQ} dotado de la suma y la mul­tiplicación es un subanillo de (Q(J3), +, ').

= (ri ~).Esto muestra que secumplen las propiedades 1y 2 del Problema 8-57,entonces «8, +', .) es un subanillo.

(~~)(~~)(a 0\ (b O) (a - b O)Sean A = \0 O) y B = O O ,entonces A - B = O O YA . B =Solución

Problema 8-59 Considere el anillo de todas las matrices cuadradas de orden 2 x 2 cuyoselementos son enteros. Sea es un subconjunto de dichas matrices; si A ECS, entonces

A = (~ ~), a E Z. Muestre que el sistema (CS, +, ·).es un subanillo.

Solución Sean a, b e 2Z, entonces a + b es un entero par y, por tanto, a + b e 2Z. Es decir, se cumplela propiedad 1del problema anterior. Además, ab es un entero par y, por tanto, se cumple la propiedad 2 delproblema anterior. Entonces (2Z, +, .) es un subanillo del anillo (Z, +, -),

Muestre que el sistema (2Z, +, .) es un subanillo del anillo (Z, +-, -).Problema 8-58

Para verificar la propiedad clausurativa de la suma hay que mostrar que si a, b e B, entonces a + be B.Según la propiedad opuesta que se acabó de verificar para B, +b e B. Por la primera condición del teore­ma, a - (-b)e B. Pero a - (-b) = a + (-(-b» = a + b; por tanto, la propiedad clausurativa tam-.bién se verifica.

La propiedad clausurativa para el producto se verifica por la condición dos del teorema. Las propie­dades asociativa para el producto y distributiva son válidas para R, porque son válidas en A y B ~ A.

259ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

Definición. Sea (A, +, .) un anillo y 1 un subconjunto no vacío de A. Entonces decimosqueelsistema(I, +, ')esunidealde(A, +, -j si, y solamente si, para cada a, b e lycadasEA.

1. La diferencia a - b E 1.2. El producto s . a E 1.3. El producto a . s El

IDEALES

blema 8-57, (A, +, .) es un subaniJlo de (Q, +, -).

Soluci6n a b a . 3'" - b . 3"Sean a/3", b/3" E A. Entonces - - - = + E A porque la suma, resta y rnulti-

3" 3m 3" m

li .. d ' lausurati '1 a b abp icacron e numeros enteros es e ausurauva. Ana ogamente, - . - = -- E A. Entonces, según el Pro-3" 3'" 3n+m

~.Problema 8-64 Sea A el conjunto de los números de la forma a/3", eon a, n E Z. Mues-tre que (A, +, .) es un subanillo de (Q, +, ').

Soluci6n a) Sean p/q, m/n EQ2' Entonces min - ptq = (mq - np)/nq EQ2, puesto que nq es elproducto de dos enteros que no tienen el factor 2 y, por tanto, no tiene el factor 2. Análogamente,mfn : p/q = mplnq E Q2' Entonces, según el Problema 8-57, (Q2. +, .)es un subanillo dc (Q, +, ').Observeque 3/5 E Q2 y 5/7 E Ql y t .;.= ~ 'Í Q2 porque 15y 35 no son primos relativos. Sin embargo, ~ . t es unelemento de Q2'

b) Sea Q el conjunto de los números racionales de la forma m/n, con In y ti E Z, n :1 O; m y n primosrelativos y 6 no es un factor de n. (Q6' +, .) no es un subaniJlo de (Q, +, .) porque la resta o la multipli­cación no son clausurativas. Por ejemplo, 1(1 y 1/3 son elementos de Q6 porque 6 no es un factor de 2 o 3;sin embargo, 1(1 - 1/3 = 1/6, que no es un elemento de Q6'

Problema 8-63 Sea Q2 el conjunto de los números racionales de la forma 'm/n, conm n E Z y n =1= Oy m y n primos relativos y 2 no es un factor de n. a) Muestre que (Q2' + .)es unsubanillo de (Q, +, -).b) Pruebe que (Q6' +. .)no es un subanillo de (Q, +. ').

Solución 1? Sean f, g E {f: /(0) = O}. Entonces if - gHO) = if + (- g»(O) = feO) + (- g)(O) =O + (- O) = O. También if' g)(O) = feO) . g(O) = O . O = O. Como f - g y f . g son elementos de {f: feO) =O}, según el Problema 8-57, este conjunto forma un subanillo.

2? Seanf, g E {f:/(0) :1 O}. Sea k E Z, k +- O. Entonces if - g)(O) = if + (- g»(O) = /(0) + (-g(O»= k. - k2• Como k. - k1 es cero cuando k. = k2, entonces el conjunto no es c1ausurativo para la restay, por tanto, no es un subanillo.

3? Sean f.g e tf : f(O) = l}. Entonces if-g)(O) =f(O) + (-g(O» = 1 - 1 = O. El conjunto no esclausurativo para la resta y, por consiguiente, no es un subanillo.

4? Seanf,gE {f:f(O) = f(I)}.Entonces(f - g)(O) = feO) + (-g(O» = f(l) + (-g(l)) = if - g)(l).Por tanto, la resta es clausurativa, El producto if'g)(O)=f(O)'g(O)=f(I)'g(I)= (f'g)(I) es clausura­tivo y, por consiguiente, el conjunto forma un subanillo,

5? Sean f, g E V: -1 5 f(x) 51}. Entonces (f - g)(x) = /(x) - g(x). Ahora suponga que laimagen por f de 1 es 1 y la imagen por g de x es -1. Entonces (f - g)(x) = 1 - (-1) = 2. Como 2 nopertenece al codominio de las funciones de este conjunto, la resta no es clausurativa. Por tanto, no formanun subanillo.

6? Seanf,gE{f:f(x+ I)=f(x)}. Entonces (f-g)(x + l)=/(x+ 1)+ (-g(x+ I»=f(x)-g(x)=(f - g)(x). Entonces la resta es clausurativa. También if' g)(x + J) = f(x + 1)' g(x + 1) = f(x) . g(x) =(f. g)(x), lo cual muestra que la multiplicación es clausurativa. Como f - g y f' g son elementos del con­junto dado, entonces es un subanillo.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS260

Pero m . 5 E {Ó, 5, fo} porque {O, 5, fO} = {m' 5 : m E Z}. Entonces, cuando se multiplica a 5 porun elemento de Z15' se obtiene un elemento del conjunto {Ó, 5, fo}. Algo análogo se puede hacer con Ó yio. Esto muestra que todos los subanillos son ideales,

(m veces).

-Solución Observe que cada uno de los subanillos está formado por los múltiplos enteros de a, siendoa un divisor de n en (Z., $, 0). Por tanto, cuando se multiplica cualquier elemento de este subanillo porun elemento arbitrario en Zn se obtiene un múltiplo de á que pertenece al subanillo. Por ejemplo, el subanillo({Ó, 5, iO}, $,0 ),del numeral 5? .

Si mE (Z15' 6:), O), entonces m 0 5 =;;-:s = ~=5$5E!:)"'$5= m' 5.

Determine cuáles subanillos de) Problema 8-61 son ideales.Problema 8-68

~olución • a) Es suficiente mostrar un ejemplo con un elemento de Q y uno de R cuyo producto noesté en Q. Por ejemplo, 1 . Jí = Jí. Entonces el subanillo (Q, +, .) no es un ideal del anillo de los nú­meros reales.

b) El anillo de los enteros no es clausurativo para la multiplicación de elementos de {a + bi : a, b e Z},porque, por ejemplo, 2 EZ e j E {a + bi}, pero 2 . i= 2; rí Z. Entonces no es un ideal.

e) Se debe mostrar que la diferencia de dos elementos de S = {3x: x E Z, +, .} es un elementode Sy que Ses clausurativo para' la multiplicación por elementos de Z. Así, si X, y E Z, entonces :Ix - 3)' =3(x - y). La diferencia es un elemento de Sporque la resta de enteros es clausurativa. También 3x . y = 3(xy)y el producto es un elemento de S, puesto que la multiplicación de enteros es c1ausurativa. Análogamente,y . 3x E S. Así hemos mostrado que (S, +, .) es un ideal de (Z, +, .),

~roblema 8-67 a) Muestre que el subanillo de los números racionales no es un idealdel anillo de los números reales.

b) Muestre que el subanillo de los enteros no es un ideal del anilIo de los enteros gausia-nos de la forma {a + bi : a, beZ e ¡2 = -l}.

e) Muestre que ({3x} : x e Z, +, .) es un ideal de (Z, +, -).

Solución Es suficiente mostrar un subanillo que no es un ideal. Por ejemplo, el subanillo (Z, +', .)no es un ideal del anillo (Q, +, '). Esto se prueba mostrando que en Z la multiplicación no es clausurati­va empleando elementos de Q, Es suficientemostrar un ejemplo con un elemento de Z y uno de Q cuyo pro­ducto no está en Z. Por ejemplo, 1 . 1/2= 1/2. Entonces (Z, +', .) no es un ideal del anillo de los númerosracionales.

Muestre que existen anillos para los cuales no todo subanillo es un ideal.".._~. ~....Problema 8'':'66

Solución Sea m E Z y nuE IIZ. El producto m . (nu) = (mn)u es un elemento de nZ, y el producto(nu) .m = m' (llu) = (mn)' u, que es un elemento de nZ.

Sean mx, !IX E nZ, entonces mx - nx = (m - II)X E nZ. Entonces (nZ, +, .) es un ideal.

Muestre que el conjunto (nZ, +,.), n > O es ull ideal del anillo (Z, +, ').:: Problem~.8-65...

Observe que la diferencia que existe entre un ideal y un subanillo es que en el caso de unideal la propiedad c1ausurativa de la multiplicación, entre elementos de 1 y de A, da elemen­tos de 1, mientras que en el caso de un subanillo la multiplicación es c1ausurativa únicamen­te entre elementos de L

261ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

--~~.SOlució" Sea Q! = {3k/n: n, k e Z, n =1= O y 3 no es un factor de n}.. 3(kn2-k211)

Para mostrar que la resta es clausurativa en Qt, observe que 3ktlnl - 3k2/n2 = 1 1 EQ!.n¡n2

Como los enteros son cJausurativos para la multiplicación y la resta, (k¡n2 - k2n¡), n¡n2e Z. Como 3 noes un factor de ni o de n2, 3 no es un factor del producto n1n2. Como ni =1= O y n2 =1= O, 111112 =1= O y enton-

3(k¡n2 - k2n¡) Q*ces E 3'

"ln2

Sea p/q un elemento de Qt, con p, qe Z, q =1= O y 3 no es un factor de q. Entonces 3k1 • f!. = 3ktP."1 q n¡qComo los enteros son c1ausurativos para la multiplicación, k tP Yni q e Z. Coma 3 no es un factor de nI ode q, 3 no es un factor de n1q Yn¡q =1= O. Entonces 3ktP/nl' q e Q!. Como los números racionales son con-

. d P 3k¡mutatívos para el pro ucto - ' - E Q!.q ni

Por consiguiente, (QJ, +, .) es un ideal de (Q3, +, ').

"'P-r:oblema --'-71 Sea Q3 = {m/n: m, n EZ y n =F Oy m y n primos relativos y 3 no es fac-tor de n}. Sea Qj = {3k/n : k, n E Z, n =F O,y 3 no es un factor de n}. Muestre que (Qj, +, .)es un ideal de (Q3' +, -).

Así, (A () B, +, .) es un ideal de (S, +, ').

definición de intersección(A, +, .) es un idealdefinición de intersección(B, +, .) es un idealdefinición de interseccióndadoA y B son clausurativos para la multiplicación por elementos deS porque son ideales

definición de interseccióndadoA y B cJausurativos para el producto por elementos de Sdefinición de intersección

r'xeA()BxEA()ByrESx'reA y x=r e Bx'rEA()B

Finalmente,

xEAyyeAx - YEAxeByyeBx - yeBx-yeA()BxEA(1ByreSr'xeA y r r x e B

_Soluc~ó" Para probar que (A (1B, +, .)es un ideal de (S, +, .) es necesario mostrar que A () Bes clausurativo para la resta y que A () B es clausurativo para la multiplicación por elementos de S. Seanx, ye A () B y r e S. Entonces .

[Probí~~a 8-~,~ Sean (A, +, .) y (B, +, .) ideales de un anillo (S, +. ').Pruebe que(A (lB, +,.) es un ideal de (S, +, -).

,~', ...... - '1!~!!!ució Como un ideal de un anillo es un subanillo, únicamente consideramos las partes 1, 4 Y 6.

e Sea g un elemento de F. Entonces (f' g)(O)= f(O) . g(O) = O . g(0) = Oy (g . /)(0) = grO) . feO) =g(O) . ,O = O. El subanillo es clausurativo para la multiplicación por cada elemento del anillo que lo con­tiene. Entonces, por definición, el subanillo es un ideal.

4~ Sea g e F tal que g(O) = g(2). Entonces JtO) . grO)= ¡tI).g(2) =1= (f. g)(l). Entonces el subanillono es clausurativo para la multiplicación por cada elemento del anillo que lo contiene y, por tanto, no esun ideal.

6? Sea g e F tal que g(x + 1) = g(-x). Entonces Jtx + 1)· g(x + 1) = Jtx)' g(-x) =1= (f' g)(x),Entonces el subanillo no es clausurativo para la multiplicación por cada elemento del anillo que lo contieney, por tanto, no es un ideal.

¿Cuáles subconjuntos del Problema 8-62 son ideales?

ESTRUCTURASALGEBRAICAS. ANilLOS. CUERPOS262

~. ''\...~'' : ...... ~ 4

~~r~bl~l'!l~,~-?~LSean (A, +, .) y (B, +, .)dos anillos y fun homomorfismo de A sobreB. Si x EA, muestre que f( -x) = - (f(x». Si K es el conjunto {x : x EA Y f(x) = 0B}con08 el elemento neutro para la suma en B, entonces (K, +, .) es un ideal de (A, +, ').

dadodefinición de elemento neutro! es un homomorfismof(a) = x y .f(OA) = y

x = !Ca)= ita + 0A)= !(a) EI1!(OA)=x$y

("C I.~ _~ •

~ •S~IU~~t!t;;-· Sea a E A, f(a) = x y !(O A) := y. Se va a mostrar que x El) y = x. Como (8, EI1, .) es ungrupo conmutativo y el elemento neutro para la suma es único, y = Oo. El siguiente cálculo muestra quex + y:= X.

~ ...."* t--~t·.;t!""'~tl""'"C"·~·.

¿!9_ble~ JI.:?!] Si (A, +, .)y (B, ffi, O)son anillos con OAy 00 como elementos neutrospara la suma y si f es un homomorfismo de A en B, entonces f(OA) = 08,

Por tanto, ! es un homomorfismo.

f(x' y) = .f(x) 0 f(y) = '4

Sce.IJ.lci6J!¡ 1 La función no es inyectiva porque, por ejemplo, j{ - 2) = !(7) = i. Vamos a mostrarque la función, así definida, conserva las operaciones. En efecto, sean x y y E Z, X = 3'1, + r y y = 3q2 + 1'2'

con O ~ r < 3 y O ~ /'2 < J, entonces x + Ji = 3(q, + (12) + t, + "2' Según el algoritmo de la división,el entero '1 + '2 se puede expresar como (1 + "2 =' 3'13 + (3 con O :s; /') < 3. Entonces x + )' = 3(ql +q¡ + q3) + '3' Por tanto, según la definición de la función [, f(x + y) = /:3' Para completar la demostra­ción también hay que mostrar que se conserva la operación de suma, es decir, /(x) EEI f(y) = /'3'

Según la definición de f, !(x) = r y !(y) = ;2' entonces f(x) EI1!(y) = " + ¡'2'

Según la definición de la suma de enteros módulo 3 y teniendo en cuenta que '1 + /'2'= 3q3 + '3' en­tonces, '1 EI1;2. = '3' Así, j(x + y) = "3= j(x) EI1!(y).

La función conserva la multiplicación. Sean x, y E Z, X = 3q, + '1 Y y = Jq2 + /'2 con o s /'1 < 3y O ~ '2 < 3, entonces x- y = (3q¡ + I:¡ )(3q2 + 1'2) = 3(3qLq2 + q"z + Q2'¡} + "'2' Según el algorit­mo de la división, el entero "'2 se puede escribir como '1/'2 = 3q4 + '4 con O S; r .. < 3. Entonces x : y =3(3q¡q2 + q¡fz + q2'¡ + q..) + r... Por tanto, según la definición de f, [ix . y) = '''' También hay quemostrar que itx) 0 f(y) = ;4' Según la definición de f, .f(x) = r1Y f(y) = 1'2' entonces f(x) . f(y) = '10 /'2'Según la multiplicación de los enteros módulo 3 y teniendo en cuenta que " . '2 = 3q.. + '4' se tiene que, JO' 2 = '4' Por consiguiente,

.~~~-,~--------.Ptpble~!-72._~, Sean (Z, +, .)y (Z3' ffi, O) dos anillos. Defina la .aplicación f: (Z, +, .)~ (Z3' ffi. O) de la siguiente manera: si x es un entero, ./tx) = i con x = 3q + r, O ~ r < 3.Si n E r, entonces f(n) = f. Muestre que es un homomorfismo.

Definición. Sean (A, +, .) y (B, ffi, O) dos anillos y f una función de A en B. Se dice que fes un homomorfismo de A en B si, y solamente si, para tI> 12 EA: 1~ f(t1 + 12) =f(tl) ffi f(12); 2~ f(tl . {2)= ¡(tI) O f«(2)'

Los problemas que van a continuación tienen por objeto estudiar las funciones que hacencorresponder a más de un elemento del dominio un elemento del codominio y que ademásconservan las operaciones de las dos estructuras.

HOMOMORFISMO

263ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

/«a + bi) . (e + di» = /(ae - bd) + (ad + be) i)= (ae - bd) - (ad + be)i

/(a + bi) . J(e + di) = (a - bi) . (e - di)= (ae - bd) - (ad + be);

La función es un homomorfismo porque conserva las operaciones. En efecto,SQluci6n

Problema 8-76 Sea I una función de (a + bi : a, b e Z, ¡2 = - 1) sobre si mismo de­finida por fta + bt¡ = o - bi. Muestre que I es un homomorfismo. ¿Cuál es el ideal que seaplica en O?

J(a}' /(a-I) = fea: a-I} = /(1..) = i,Análogamente, f(a-I) . /(a) = J(a-I . a) = /(1 ..) = lB'Como J(a)·f(a-I) = lA =J(o-I)'/(a), /(a-1) es el simétrico de fea).

SoluciÓn l. Sean a. b e A. Como la aplicación es sobre D, existen x, y E A tal que f(x) - a yfV) = 6. Como el homomorfismo conserva la multiplicación, f(x)' f(y) = a . b = f(x . y). También/(x . y) = f(y. x). Así, a- b = b . a.

2. Sean a, b e D. Como el homomorfismo es una aplicación sobreyectiva y el anillo A es un anillo conunidad 1... existen elementos lA' x E A tal que /(1 ..) = a y /(x) = b. Como el homomorfismo conserva lamultiplicación, /(1..)· /(x) = a· b = /(1 ... x). Pero, según la definición de unidad de un anillo, 1... x = x.Así, f(l ... x) = f(x) = b. Entonces a . b = /(1... x) = b, lo cual implica que a . b = b. En forma análogase muestra que b· a = b. Esto quiere decir que a es el elemento unidad de D y, por tanto, J(I ..} es launidad del anillo D.

3. Según la definición de resta, a - b = a + (-b). Así, fea - b) = /(a + (-b)) = fea) + f( -b),y como /( -b) = - f(b). entonces /(a) + /( -b) = fea) - /(b).

4. Como f es un homomorfismo, conserva la multiplicación; entonces fea . a - 1) = /(a) . /(a - 1).También /(a' a-I) = /(1..). Según la parte 2, /(1..) es el elemento neutro de la multiplicación de D, diga­mos 18' Así,

1. Si A es un anillo conmutativo, entonces B es un anillo conmutativo.2. Si A es un anillo con elemento neutro lA para la multiplicación, entonces B es

un anillo con elemento neutro I(lA) para la multiplicación.3. Si o EA tiene por simétrico para la multiplicación a 0-1 EA, entonces I(a) E B

tiene por simétrico para la multiplicación a fta" 1) E B.4. Si a, b E A, entonces f(a - b) = I(a) - I(b).

Sea I un homomorfismo del anillo (A, +, .) sobre el anillo (B, +, ').Problema 8-75Pruebe:

Entonces /( -x) = - /(x).Si (K, +, .) es un ideal del anillo A, entonces A debe ser clausurativo para la resta y la multiplicación

de elementos de K y A. El siguiente cálculo muestra que K es un ideal de (A, +', -).Sean k, k, E K Y x E A. Entonces1. /(k - k,) = /(k + (-k.J) = f(k) + J(-kl) = OB + OB = OB'2. /(kx) = /(k) 0 /(x) = OB0 /(x) = 0B'3. /(xk) = J(x)' /(k) = /(x)· 08 = 08,Como Os es la imagen de la diferencia de dos elementos de K y de los productos kx y xk, K es clausu­

rativo para estas operaciones. Entonces (K, +, .) es un ideal de (A, +, ').

OB = /(0...)=/(x+{-x))= /(x) + /( -x)

Sean O.. y OB los elementos neutros para la suma en A y B, respectivamente. EntoncesSolución

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS264

hipótesisopuesto de xa es único y es (- ya)definición de resta por hipótesisdist ributivasi 11' v = 0, entonces u = O o v = Ounicidad del elemento neutro

xa = yaxa + (-ya) = Oxa + (-y)o = O(x + (-y»a = O

x + (-y) = Ox=y

Soluci6n Para mostrar la primera parte, suponga que (A, +, .) verifica la propiedad de que si u, !) E AY u . v = O, entonces u = O o v = O. De esto se debe mostrar que si xa = ya con a =1= O, entonces x = y.En efecto:

Problema 8-79 Si (A, +,.) es un anillo conmutativo con identidad, entonces (A, +,.)no tiene divisores de cero si, y solamente si, (A, +, .) verifica la propiedad cancelativa parala multiplicación.

Solución Para probar el teorema es necesario establecer las condiciones para que el anillo Z. ve-rifique la propiedad de que si el producto de dos elementos es 0, entonces uno de los dos es O.

Primero, si n es un entero mayor que I tal que Zft es un dominio de integridad, entonces es necesariomostrar que n es un número primo. Suponga que Z; es un dominio de integridad y que existen enteros po­sitivos a y b, con l < a < 11 Y 1 < b < 11 tales que a . b = n, Como a E a y b E 6, la ecuación a . b = n yti O h = ñ son equivalentes. Por tanto, como ñ = 0, se tiene que a O 6 - ;1 = O. Entonces ti y 6 son divi­sores de cero y la hipótesis de que Zn es un dominio de integridad es falsa. Como la hipótesis de que n = a . bconduce a una contradicción, n es un número primo.

Segundo, es necesario mostrar que si n es un número primo, no existen divisores de cero en el anillo(Zn> $, 0). Suponga que existen enteros x y y E Z con I < x < n y 1 < y < 11. tales que x O y = n. Ade­más, como x y y son menores que 11, esto quiere decir que x . y = n. Si x . y = 11, entonces 11 tiene divisoresenteros mayores que 1 y menores que 11, contrario a la hipótesis de que 11 es un número primo. Así, si n esun número primo, la estructura (Z., Ea, O) no tiene divisores de cero y, por tanto, es un dominio de inte-gridad. .

Problema 8-78 Si n E Z, 11 > 1,entonces el anillo conmutativo como unidad (Zn, ffi, O)es un dominio de integridad si, y solamente si, n es un número primo.

Dominios de integridad

.~ ,-- ,,

Solución La función f no es un homomorfismo porque no conserva las operaciones.En efecto, sean afb, c/d E Q, con a y b primos relativos, e y d primos relativos.Entonces f(a/b + c/d) = f«(ld + eb)/bd) = (ad + tb) + bd y f(a/b) + f(e/d) = (n + b) + (e + d).

Es decir, no conserva la suma y, por tanto, no es un homomorfismo.

l -r-

,..Problema 8-n Sea f una función de (Q, +, .) en (Z, +, .) dada por f(a/b) = a + bpara cada alb E Q, a y b primos relativos. Vea si f es un homomorfismo o no .

f«a + bi) + (e + di» = f(a + e) + (b + d)i)= (a + e) - (b + d,i

fea + bi) + f(e + di) = (a - bi) + (e - di)= (a + e) - (b + d)i

Así, f({a + bi) + (e + di» = fea + bi) + f(e + di), es decir, conserva la suma.El elemento neutro esO + Oi.El único elemento que se aplica sobre este elemento esf(a + bi) = a - bi =

O + Oísi, y solamente si, a = O,b = O.ASÍ, ({O+ Oí}, +, .)es el ideal que se aplica sobre el elemento neutro.

Así, f«a + bi) (e + di» = j(a + bi) . f(c + di), es decir, conserva la multiplicación.También,

265ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

5. Este anillo es un dominio de integridad.6. Este anillo es un dominio de integridad.7. El sistema no es un anillo porque no es clausurativo para la multiplicación. Entonces no puede

ser un dominio de integridad.8. El anillo es un dominio de integridad.

(2 0) (2 0) (0 0) (2 0) (2 0) ,° .O . O 2 = ° O y O ° =F O, ° 2 T O

...........f....~ ~ .... f;"<Io 1.

•' .Sot~qióní~.;ore " . •. . 1. Este anillo es un dominio de integridad porque es un anillo conmutativo con unidad1 + Oi Y no tiene divisores de cero.

2. Este anillo es un dominio de integridad porque es un anillo conmutativo con unidad y no tiene di-visores de cero. .

3. Este sistema no es un anillo. Por tanto, no es un dominio de integridad.4. Este anillo no es un dominio de integridad. A pesar de ser un anillo conmutativo con unidad.

El sistema tiene divisores de cero. Por ejemplo:

lb'" .. 81~lema 8~ ... . . . . . .~~~10. -,.....:......, f•. 4oII.. Determine SI los siguientes subarullos son dominios de integridad:1. ({a + Oí: aEZ e ¡2 = -l}, +, ').2. (Q2' +, .) con Q2 = {m/n: m, nEZ, n =1= O

y m y n primos relativos y 2 no es un factor de n}. 3. (Q6' +, .) con Q6 = {m/n: 111, n E Z,n =1= O, m y n primos relativos y 6 no es un factor de n}. 4. El conjunto de las matrices cua­dradas de orden 2 x 2 con la a12 = a'21 = O 5. {{a/2" : a, 11 E Z}, +, ').6. ({a/2m. 6" : a, m,n E Z}, +, '). 7. ({a + b.y5 : a, b e Z}, +, '). 8. (a + b.j9 : a, bE Z, +, ').

r ,..;,..~ -.¡,

" ~b.l~J.6n. " l. El anillo (Q. +,.) es un dominio de integridad porque para cualesquiera a, bEQ,a . b = b . (1, 1 E Q ya' 1 = 1 . a = a; a : b = O implica que a = O o b = O.

2. El anitlo (R, +', .) es un dominio de integridad.3. El anillo ({6x : x e Z}, +, .) no es un dominio de integridad porque no tiene elemento unidad.

es decir, 6x' e = 6x implica que e = 1, pero I rt ({6x : XE Z}, +', ').4. El anillo «(P(S), +, .) no es un dominio de integridad porque no se verifica la condición de que si

u . v = 0, entonces u = O o v = O. Por ejemplo, si A = {O, l} y B = {2, 3}, entonces A . B = A n 8 = 4>,pero A =1= 4> y b =1= 4>.

5. El anillo (/, +', .) no es un dominio de integridad porque, por ejemplo, si se consideran las fun­ciones f(x) = rnax {O,x} y g(x) = max {O, -x}, dominio de x, x;;::: 0, entonces f(x) = x y g(x) = O.Entonces f(x) . g(x) = O y f(x) =F O y g(x) =F ° para todo x E Z. Por tanto, el sistema contiene divisores decero y no satisface el último axioma, es decir, que si 11 • l' = O. entonces u = ° o v = O. En forma análoga,si se considera x:-;; 0, entonces f(x) = ° y g(x) = -x. Entonces f(x)' g(x) = 0, pero de nuevo ni f ni gson la función cero.

(J' g)(x) = ¡(x) . g(x)y(J + g)(x) = ¡(x) -1- g(x)

5. (/, +, .), siendo I el conjunto de todas las funciones cuyo dominio y codominio es Z, ypara J, gEl

A . B = {x : x E A nB}A + B = {x : x E A U B y x ~ A nB};

r;:-;r]~r'··""t'" r .'>o'" '.~~it~in:a:;:íI:t. ~ Determine cuáles de los siguientes anillos son dominios de integridad:1. (Q, +. -).2. (R, +, -). 3. {{6x : XE Z}, +, '). 4. (<P(S),+, .) con <P(S) la fami­

lia de todos los subconjuntos de un conjunto X, y para cada A, BE <P(S)

hipótesishipótesisxa = ya implica x = y, y, x . y = O . y implica x = O

x . y = O, y =fo Ox·y=O·y

x=O

Ahora suponga que (A, +, '),que verifica la propiedad xa = ya, implica que x = y, x, Y E A Y a =1= O. Sedebe mostrar a partir de esto que x .y = O implica que x = O o y = O.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS266

a) Dé las tablas de la suma y la multiplicación en <P<:(/, bJ).b) Muestre que para cualquier conjunto S. {<P(S) . .J.. •• ) es un anillo booleano.

98. Muestre que los anillos 2Z y 3Z no son isomorfos.Indicación. Considere los generadores de los dos grupos y trate de establecer una correspondencia _entre ellos,

para A, BE <P(S)A + B = (A UB) - (A n B)A'B=AnB

93. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos on anillos?:

a) (tlZ. +, .); b) (Z+, +, .); e) (Infl. lIeZ}, + .. ); d) ({a + bJi. a. é s Z}, +. ').94. Sea (Z, +, .) el anillo de los números enteros. SobreZ se definen las siguientes leyes de composi·

ción internas: a *b =a + b - 1 y aCtb=a+b - a.b. Probar que (Z. *, 8) es un dominio de integri­dad.

95. Sea A7. el conjunto de los números racionales de la forma r:: eon m, n€ Z y n:#=O;m y It primos re-lativos y 2 no es factor de n. Muestre que (Al .+.. ) es un sub-anillo de (R,+, .)

96. Un anillo R se dice que es booleano si a2 = a. Va E R.a) Muestre que en un anillo booleano R. a = -a.b) Muestre que todo anillo booleano es conmutativo.

indicación. a) a + a = (a + (1)2 = a2 + (1 + a + al = a + a + a + a = a + a = O= a = -a.b) Para a. be R, a + b = (a + b'f = (a + b)(o + b) = (12 + ab + ba + b2 = a + ab + ha + b.Así, 0= ab + ba =- ab = =ba. Por a) =ba = bao por tanto. ab = bao

97. Para cualquier conjunto S, sea <P(S) la familia de todos los subconjuntos de S. Se definen en <P(S) lasoperaciones + y . de la siguiente manera:

Muestre que D x E no es un dominio de integridad.

91. Muestre que la fórmula X2 - \.2 = (x + y)(x - y) es válida si el anillo es conmutativo.

92. En un anillo (A, +.. ) no conmutativo se escribe x •. \' = r :y - y' x.Calcule x. (Y. e) + y * (::* x) + z * (x * 1').

(a, b¡ + (e, d) = (a + e, b + d)(a. b) . (c. d) = (ae. bd)

90. Sean D y E dominios de integridad. D x E se transforma en un anillo si se definen la suma y el pro­ducto como:

89. Sea (A. + .. ) un anillo con unidad. Considerando la expresión (1 + I)(a + b), muestre que la hipó-tesis de que la suma es conmutativa sobra. .

para la suma y la multiplicaciónA = :0 + bJi + cJi. (1, b, c. s Q]

Interprete el resultado anterior remplazando O por par y e por impar.

87. Sea A un anillo tal que X2 = X. X eA.

a) Muestre. escribiendo la propiedad precedente para x + y. que A es conmutativo.h) Demuestre que la relación x)' = x entre dos elementos x. y de A es una relación de orden.e) Como xy(x + .1') = O, x, y e A. Demuestre que A contiene solo el elemento O, o A no tiene di­visores de cero. o A no contiene más de dos elementos. o \"y.

88. Muestre cuáles axiomas no se verifican para que el siguiente conjunto sea anillo:

e' e = e

anillo para las leyes:

e'O=O'('=OO· O = O

Demuestre que los elementos O y e forman un

O+e=e+O=('0+0=0e+e=O

86.

85. Muestre que en un grupo G, abeliano y aditivo, se obtiene un anillo si definimos en él una segundaley: a : b = O. {I, be G (anillo de cuadrado nulo).

EJERCICIOS PROPUESTOS

267ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

l? En todo cuerpo K, para todo aeK, a. 0=0. a=O

Como todo cuerpo es un anillo, las propiedades demostradas para los anillos son váli­das para un cuerpo. En particular:

Propiedades fundamentales

La Ley X es distri bu tiva con respecto a la ley +.Esto nos muestra que es un cuerpo conmutativo.

Se comprueba que E es un grupo conmutativo para la + (elemento neutro a; los simétri­cos de a.b,c son, respectivamente a.c.b}. Además, E un grupo para la ley X (suprimiendola fila y la columna de a y observando que se obtiene un grupo con dos elementos b y C).

eL a a ab a b ce a e b

X a b c+ a b ea a b eb b e (l

e e a b

El conjunto K = ,:a+b-J2, (1, be Ql dotado de la + yel . , es un cuerpo conmutativo.

El conjunto E =~a, b, e,] dotado de las leyes + y x que se definen en las siguientes tablas:

El conjunto Z/pZ de las clases de enteros módulo p, con p primo, dotados de las leyes$yO, es un cuerpo conmutativo.

Un cuerpo es la tripla (K,+ ,.) que verifica las condiciones 10 y 2? Si además, la ley (.) esconmutativa, el cuerpo (K,+,.) se dice conrnu.tatiuo.

Ejemplos. Los conjuntos numéricos Q, R y C, dotados de las leyes + y., son cuerposconmutativos.

o sea que un cuerpo es un anillo con unidad en el cual todo elemento distinto de O, admi­te un simétrico para la segunda ley.

(K, +, .) es un anillo unitario,y (K*,.) es un grupo multiplicativo.

l? (K, +,.) es un anillo unitario.

2? Todo elemento de K*= K - ,{O} es invcrtible para la ley (.).Como K* es un conjunto U de los elementos invertiblcs, las condiciones l? y 2? son equi­valentes al hecho de que:

Definición. Un conjunto K dotado de dos leyes de composición internas la una escrita +(adición) y la otra escrita (.) (multiplicación), está dotado de una estructura de cuerpo si:

Estructura de cuerpo

CUERPOS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS268

Soluci6n ~ Por hipótesis, el sistema (A, +, .) satisface los primeros diez axiomas que definen un do-minio de integridad. Entonces, para mostrar que (A, +, .) es un cuerpo, es suficiente mostrar que el sistemaverifica la propiedad de existencia del inverso multiplicativo. En otras palabras, que para cada a =1= Oen eldominio de integridad existe a-I en el dominio tal que a- L • a = e.

un cuerpo.Si (A, +, .) es un dominio de integridad finito, en ronces (A, +-, .) es

Entonces hemos mostrado que si ab = OYb =1= O,esto implica que a = O.Lo cual es equivalente a mostrarque ob = O implica que a = O o b = O. Esto demuestra el problema.

ab = O(ab)b - 1 = Oh- 1

a(bb-I) = Oa(J) = O

a = O

Solución Para demostrar el problema es suficiente mostrar que el anillo conmutativo con unidadque verifica la propiedad del inverso multiplicativo no tiene divisores de cero.

Suponga que existen elementos a. b E A tales que ab = O.Suponga que b =1= O. Entonces

Si (A, +, .) es un anillo conmutativo con unidad que verifica la pro­piedad de existencia del inverso (multiplicativo), entonces (A, +', .) es un cuerpo.

Cuerpos

PROBLEMAS RESUELTOS

Nota: En todo cuerpo conmutativo (K,+, .), todo ideal 1 =f:. {O} es igual al conjunto K.

4? De manera general, las reglas de cálculo son las mismas que las del álgebra clásica, re­lativas a las operaciones: suma, resta, multiplicación y división.

En efecto, en el grupo (K,+), ax+b = O <;:> ax = - by como a no es nulo, es invertible: ax :;:::-b -ee- :~ = a" I (-b).

3? En todo cuerpo K, para todo aeK* y todo beK, existe un elemento xe K, único, talquea.x + b = O.

2? En todo cuerpo, para todo a y b. la igualdad a.b = O implica (a=O ó b=O).

En efecto, sea a.b = O. Se trata de establecer que por 10 menos una de las igualdades a=Oób = O, es verdadera.

Supongamos, que a=f:. O, entonces a es invcrtible y multiplicando a izquierda por a - I

se obtiene: a-l. (ab) = a -1.0. Como a-l. (ab) = (a-l. a). b=b (asociatividad de la ley.)y según l? (a.O) = O. De donde b= O.

Entonces V (a.b] e K (ab = O => (a= O ó b:;:::O»

269ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS CUERPOS

no verifica la pro-

¿Por qué los siguientes sistemas no forman cuerpo":1. ({0,2,4,6,8, fO},Ef),O). eZ¡2 2. (Z¡O' Ef),O). 3. (Q2, + .)con Q2 = [~1//11: m, 11 E Z,

.n =1= O, m y n primos relativos y 2 no es un factor de n}. 4. ({a + b;j5 : a, b E Q}, +, ').5. ({o + h.fi : o, hE Z3}, +, .) si la suma y multiplicación se definen de la siguiente manera:(o + 6.fi) + (é + d.Ji) = (o + e) + (6 + dh!2 y (o + h.Ji)· (i' + d.fi) = (á . c')+ (b+d).,fi.

..De la igualdad de dos números complejos se obtiene e = 0/(02 + b2) y d = -b/(a2 + 62). Entonces

a b a - bty = 2 b2 - 2 b2i = 2 b1 es el inverso de u. Vamos a mostrar que es uno de los cuatro núme-(1+ a+ a+ros dados. Como e y d son enteros, los cocientes ai(al + hl) Y -h/(a2 + h2) son enteros. Para que a/(a2 + bl)sea un número entero, 101 ;;:: 02 + b2• Es decir. a2 + b2 debe dividir a a. Como jal S 02 Y b2 ~ ° y si bl -+ 0,entonces al + b2 > lal, es decir. (12 + b1 no puede dividir a a. Lo cual es una contradicción. Por tanto,62 = ° implica b = O. Pero si b = 0, 0/a2 debe ser un entero. lo cual quiere decir que 1(/1 ;;:: a', Como ti =i= 0,si a es un entero distinto de l y - J, al no divide a a. Así. a = ± I cuando h = O. Entonces ti = a + hi es1 + Oi o -1 + Oi. En forma análoga se muestra que d = -blla2 + h2) debe ser entero. entonces a2 = °implica a = O. Como -b/bl debe ser entero. b = ± I cuando (/ = O. Así. au = a + bi es O + li 00 - li.Por consiguiente, hemos mostrado que uy = 1 tiene una solución cuando u = J + Oi, - I + Oi.O + l i,O - li.

ti - b! a - bi(1 - b-i = (/2 + b2

Ie + di =

(/ -r bi

se debe cumplir que (a + bi)(e + di) = loe + di =a + bi

Multiplicando el término de la derecha por (a - hi) (o - hi) se obtiene:

So!!_ci6n.: Sea a + bi = 11 Y e + di = y, con (l. h. c. el E Z. Para que y verifique la condición uy =I

-1, i, =i.Pruebe que 11)' = I tiene una solución en {a + bi : 0, bE Z: si u = 1,

Nota, Se mostró que (Zn' $, O) es un dominio de integridad si. y solamente si. 11 es primo. Por consiguien­le, el siguiente resultado, como aplicación del problema, es verdadero: (Z". $. O) es un cuerpo si, y sola­mente si, 11 es un número primo.

Esto muestra la existencia de infinidad de cuerpos finitos. puesto que el conjunto dc los números primoses infinito.

Vamos a mostrar que cada uno de los 11 productos es distinto. Es decir, los productos aja y ap con i :/:-j sondistintos: aía =1= aja. Porque si a.a = ull para algún i y j con i =1= j, entonces, por la propiedad cancelativade la multiplicación en un dominio de integridad, implicaría que a¡ = ajo Pero. como i =F i. esto es una con­tradicción. Por consiguiente, los 11 productos son distintos. Como (A, +.. ) es un dominio de integridad.tiene unidad multiplicativa. Por tanto. uno de los n productos a.a, O2(1, ••• , Gna es la unidad multiplican­va e. Entonces existe ak E A tal que a.p = e. Esto muestra que ak es el inverso de a, es decir, a;· = a. Comoa se escogió distinto de cero en el dominio de integridad, se ha mostrado que cada elemento distinto de cerotiene un inverso en el sistema.

Sean al' a2, a3' ... , a; elementos no nulos del dominio de integridad ya un elemento arbitrario, dis­tinto de cero, a E {al' 02' ... , a,,}. Considere los siguientes n productos:

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS270

, • ::srt ~

Pr,?~r~~ -S-88 Se llama orden aditivo de un elemento no nulo de un sistema al menornúmero de sumandos (incluyendo el primero) que se necesita para obtener la identidad. Estu-

Característica de un cuerpo

Solución Los cogrupos son: X EB O = {O, 6: = A; X EB i = {i. 7J = B: X EB i = {2, a} = C;x EB j = {3, 9} = D; X El:) 4 = {4. t'O} = E Y X El:) 5 = 15. t'l} = F.

Observe que X El:) () = X EB 6, X El:) i = X El:) " etc. Este sistema no es ni un dominio de integridadni un cuerpo porque tiene divisores de cero del elemento neutro para la suma, que es el cogrupo A. Por ejem­plo, e" D = A Y e y D no son iguales a A.

¡!I ........... - .... ..

Probl!_ma &-87 En (ZI2' ID, O) considere el subconjunto X = {O, 6}. Los cogrupos deX son X IDx = {e : e = ;"ID x y )',E X}. Para este conjunto defina dos operaciones de lasiguiente manera: (X ID x) • (X ID j') = X ID (x ID_i') Y (X IDx) o (X ID jI) = X ID (x O y).Muestre que los cogrupos para las dos operaciones así definidas no forman ni un dominiode integridad ni un cuerpo.

Solución a) Se puede mostrar que el conjunto X = {a¡b : a E Z, b = 2", 11 E Z, y 11 ~ O} es undominio de integridad si es un subdominio de los números racionales Q.

X es un subdominio de Q si X es un subconjunto de Q; (X, +, .)contiene las identidades de (Q, +.. ):X es clausurativo para la suma y multiplicación ya E X implica que -o E X. X es un subconjunto de Q, La sumaa e 0'2'"+c'2"2" + 2m = -r+n -para o, c. 11/, n € Zy m. n ~ Oeslá en X porque a . 2M, c : 2"ysu suma (a' 2m + c : 2")

son enteros y como 111 + 11 E Z y 111 + 11 ~ O. Esto muestra que el conjunto es clausurativo para la suma. Ela C ac . Z O .

Producto - . - = -+- esta en X porque ac € Z. m , 11 e . y m + n ~ ; entonces el conjunto es cJau-2" 2m 2m•surativo para la rnuhiplicación. Las identidades del Sistema son Oy l. Se obtiene Ocuando a - Oy I cuandoa = b. Finalmente. como 1I € Z. entonces -o e Z, es decir, -a{l:' € X si af2"e X. Como el conjunto esclausurativo para la suma y el producto, forma un subdominio. por tanto, es un dominio de integridad.

b) Todo elemento de la forma 2"'.11/ e Z tiene un inverso 1/2'"y hay infinidad de ellos. Todo elementode la forma 3"/2"', 11/, 11 E Z no tiene inverso porque el denominador debe ser una potencia de 2 y hay infini­dad de ellos.

Sea X = {a/b con a entero y b = 2", n EZ y n ~ O}.a) Muestre que el conjunto para la suma y multiplicación es un dominio de In­

tegridad.b) Que existe una infinidad de elementos del conjunto que tienen inverso y una in­

finidad que no tienen inverso.

2. No verifica la propiedad de no tener divisores de cero. Tampoco los elementos tienen inverso mul­tiplicativo.

3. La propiedad del inverso multiplicativo no se verifica; por ejemplo, 2/5 € Q2 y su inverso 5/2 iQ2'4. El conjunto no es clausurativo para la multiplicación. por ejemplo. (O + ys) . (O + ys) = fi =

fi~{a + b~(5 : a, b € Q}.5. No existe inverso multiplicativo; por ejemplo. () + ij2 no tiene inverso. Suponga que sí.

Considere (O + i,\/Í) . (i + >\ í) = i + ij2. siendo ;\ + yfi el inverso de () + i.j2. Al multiplicar

se obtiene (O O .~)+ (i O ,i' 2 = (O + f./2). Esto implica que O + j.j2 = i + ¡,Ji. Contradicción,porque o =!: l . Entonces la hipótesis de que () + i 2 tiene un inverso es falsa.

271ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ANILLOS. CUERPOS

Como fI es un entero positivo, n es primo O un número compuesto. (Demostración por elcontrarrecíproco.) Suponga que n es compuesto y, por consiguiente, existen enteros r y s tales que I < r < n,1 < s < n y n = rs. Vamos a ver que esta hipótesis lleva a una contradicción. Si {1 es un elemento de S, dis­tinto de cero, entonces O = n x a = (rs) x a. Entonces (rs) x a = r x (s x a) = O. Como a :/= O y ses un entero mayor que 1 y menor que n, s x a es un elemento no nulo de F. Si s x a = 0, no es verdadque n es el orden aditivo de a. Pero las proposiciones r x (s x a) = O y s x a =/: O implican que el ordenaditivo de s x a y, por consiguiente, la característica de Fes r o un entero menor que r. Como r < n, estocontradice la hipótesis de que 11. es compuesto. Entonces la hipótesis de que n es compuesto condujo a unacontradicción. Por tanto, n es un número primo.

P.r~bl;rriil -6:9.0........._ Definición. Si (F, +, .) es un cuerpo y si existe un entero 11 tal quen . a = ° para cada a E F, a =1= O, entonces el mínimo entero k se llama la característica delcuerpo. Si no existe tal entero k, se dice que la característica del cuerpo es 0, Si (F. +, .) esun cuerpo de característica n, entonces n es un número primo.

Por tanto, (11 x b) . a = O. Pero como {/ 1: O y (F, +', .) es un cuerpo, entonces 1/ x h = O.

11 X ia : b) = 11 x ib : (/)= (/1 X b)' z

También

11 X (a . ") = (11 X a) . b= O· b=0

SoluC¡6~ (.) representa la segunda operación del cuerpo y (x) la multiplicación de un elementode F por un entero positivo. Suponga que a =/: O, a E F Yque el orden aditivo de (1 es 11, es decir. 11 x a = O.Se debe mostrar que si b e F y b =/: 0, entonces n x b = O. En efecto,

Ji! Proble~a 8:891.... _ ~ '. ~ Si (F, +, .)es un cuerpo, entonces el orden aditivo de todos los elernen-tos distinto de cero es el mismo.

"\

Nota. Si no es posible obtener el elemento neutro para la suma al sumar un elemento un número finitode veces, decimos que el orden del elemento es O.

3. En este caso, todo elemento distinto de cero tiene un orden aditivo igual a 7: porque I $ I 67 1 $j $ j $ i$ i$ i = e; i $ i $ i $ i $ i $ i $ i = e; . . . ; etc.

2. Observe que en este caso i $ i $ i$ i $ i $ i = Ó; i $ i $ i = Ú; :3 $ :3 = Ó, 4 EB4 $ 4 = Ú; 5 $ 5 EB 5 $ 5 $ 5 $ 5 = Ú. Entonces el orden aditivo de i es 6; el orden aditivo de i es 3;el orden aditivo de :3 es 2: el orden aditivo de 4 es 3, y el orden aditivo de 5 es 6.

a E Z, entonces, si se suma a, cualquier número de veces se obtiene

die los órdenes aditivos de los elementos de los siguientes sistemas: 1. (Z, +, :). 2. (Z6' $, O)·3. (Z7, $, O).

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS272

Existen tres posibilidades para 1 + 1. La primera es I + I = (J. Entonces, como I + l + 1 = O.a + 1 = O.Según la Tabla 8-53. la única posibilidad para b + 1 es b. puesto que ninguna columna o tilapuede tener dos elementos iguales. Esto es una contradicción porque I no es el elemento neutro para la sumaen F. Análogamente, si I + 1 = b, entonces de 1 + 1 + 1 = Ose obtiene b - l = O. lo cual implica quea + l = o. (Vea la Tabla 8-54.)

De nuevo se encuentra la misma contradicción. que 1no es el elemento neutro para la suma. Finalmente,si I + 1 = O, entonces de I + I + l = Ose tiene que O+ l = O. contradicción. Entonces no es verdadque p = 3 y, por tanto, p = 2.

+ O l (/ /1

O O I a b

1 I ma a

b b []]

Tabla 8-54

+ O 1 a b

O O 1 a b

l I 0a ti @]

b b

Tabla 8-53

Solución Por el Problema 8-90 sabemos que la caracterisuca de F es un número primo. Sea p la ca-racterística de F y F = [O, 1,a, b}. Ahora p = 2 o p = 3 porque 2 y 3 son los únicos números primos me­nores que 4. A continuación empleamos el método de demostración por el contrarrecíproco para mostrarque p - 2. Entonces suponga que p = 3. Esto implica que (J + (/ ... a = O,b + b + b = Oy I + l + I = O.Empleando estos datos se obtiene que la tabla para la suma de F es la 8-53.

Problema 8-92 Sea F un cuerpo con 4 elementos. Explique por qué la característicade F debe ser un número primo.

Solución l. Todos los elementos distintos de cero son de orden 7.2. Los elementos l. 3. 5 y 7 son de orden 8. Los elementos 2 y 6 son de orden 4. El elemento 4 es

de orden 2.3. Los elementos l , 3. '1 y 9 son de orden 10. Los elementos i, 4, 6 y 8 son de orden 5. El elemen­

to 5 es de orden 2.4. Todos los elementos distintos de cero son de orden 13.5. Los elementos i, 5, '1 y n son de orden 12. Los elementos i y ro son de orden 6. Los elementos

3 y 9 son de orden 4. Los elementos 4 y 8 son de orden 3. El elemento 6 es de orden 2.6. El orden aditivo de cada elemento distinto de cero es O.7. Todo elemento es de orden Oporque no existe un entero positivo 11 tal que 11 • a = Opara cualquier

elemento distinto de cero del conjunto.8. Todo elemento distinto de cero es de orden O.

Determine el orden aditivo de los elementos distintos de cero de los si­guientes anillos: 1, (Z7' $,O). 2. (ZB' 6), O). 3. (Z¡o, $, 0).4. (ZI)' $,O). 5. (Z12' $,O).6. (Z, +, ').7. ({a + bfi: a, bEZ}. +, ').8. ({a..¡_ bfi: a, bEQ}. +.. ).

Problema 8-91

273ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

es un isomorfismode ¡p x e, I x e, 2 x e..... (p - 1) x el sobre lO. i. 1. 3, .... ¡;=JI.La aplicación /(n x e) = n es una biyección porque SI m y 11 son elementos del codominio de f m = n

ssi In - 11 = O; m-n = O ssi (m - 11) X e = O ssi (m x el - (11 X e) = O ssi In x e = n x e. Enton­ces m = n ssim x I! = 11 X e. Esto significa que les inyectiva. Como cada Il E Z es la imagen del dementon x e en cl dominio de [. esto muestra que es sobreyectiva.

Como 1(11 x e) + /(m x e) = ni + 11= f«1I + m) x e)= 1«11 x el + (111 + e) esto muestra queI es un isomorfismo.

2. Se deja al lector la demostración de esta parte; es la rm ma, excepto algunos pequeños cambios.

.........--...p-Ii

(p - 1) x eLa aplicación definida por p x e. 1 x e. 2 x C', 3 x (l.

~ t t !

:1/ x e: 1/ E Z: = :p x e. J x e. 2 x e..... (p - 1) x e}

l. Vamos a mostrar que el subgrupo aditivo generado por e tiene exactamente p elemen­tos. es decir, los elementos p x e, 1 x e, 2 x e..... (p - 1) X 1'. Si los elementos no on distintos. enton­ces existen dos elementos del conjunto, digamos m x e y 11 X ('. con l < ti! S p. I S; " < p y 1/1 > 11 talesque m x e = " x e. Pero la igualdad m x e = ti X (' implica que (m x (1) - (11 X e) = O. es decir.(m - 11) X e = O. Pero como O < nI - 11 < p. esto quiere decir que m - ti. O cualquier número positivomenor quem-n y no p, sería la característica de (F. +, ').Contrario al hecho de que p es la característicade (F, 1-,')' Por consiguiente, los p elementos son distintos.

No hay más de p elementos en el subgrupo. Suponga que k es un entero arbitrario. Vamos a ver quck x e está contenido entre losp elementos. Por el algoritmo de la división. k = qp + r con O S ,. < p. Enton­ces k x e = (qp + 1') X e = «qp) x e) + (1' X e] = (e¡ x (p x e» + (1' X e) = (q x O) + (1' x e) = O +r X e = r X e. (p x (' = O porque p es la característica del cuerpo.)

Como r < p, el elemento r x e = k x e está en la lista: p x e. I x e. 2 x e•.... (p - 1) x e. Porconsiguiente. no hay más de p elementos distinto en el conjunto :11 x e: 11E Z}. Entonces

Problema 8-94 1. Si (F, +', .) es un cuerpo de característica p, p un primo y con ecomo elemento neutro para la multiplicación, entonces el subgrupo aditivo ({n x e : n E Z}, +)es isomorfo al grupo de los enteros módulo p para la suma. 2. Si la caracteristica de Fes 0, en­tonces el subgrupo aditivo ({n x e : n E Z}, +) es isomorfo al grupo de los enteros para lasuma.

Solución 1. La característica de (Zs. Ea. O) e 5 porque 5· ti = () para cada á E Z.s.2. La característica del cuerpo es Oporque no existe un entero positivo n tal que ti . a = Opara cual-

quier elemento distinto de cero del conjunto.3. Según el Problema 8-92, la característica es O.4. La característica del cuerpo es O.5. La característica de (ZII' Ea, O) es II porque I1 . it = () para cada a EZ.6. La característica del cuerpo es 3.7. La característica del cuerpo es 7.

Halle la característica de los siguientes cuerpos: ). (Zs, $, O). 2. (Q,+, '). 3. ({a +bj2: a, bEQ}, +. ').4. (R, +, ').5. (Z •• , EB,0).6. ({ti+ tifi·: aE Z3}. +,.)con (ti + tiJ3) + (h + hfi) = (tiE9 h) + (tiEBb}j3 y (ti + tifi) . (h + hfi) = (ti O h) + (tiO 6).ji 7. ({ti)5 : tiE Z7}, +, .) con (ti)5) - (6)5) = (tiEBhifs y (ti, 5)' (6,/5)=(tiO 6»)5.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS274

Soloo16n Como (A, +, .) y (B, +, .) son subcuerpos de F, A e F y Be F. Entonces A Íl Be F.Sea a, b E A Íl B; entonces a, b E A Y a, be B. Como (A, +, .) es uñ subcuerpo de F, A es clausuraiivopara la resta, es decir, a - be A. Similarmente, a - b e B. Entonces a - b e A Íl B. Es decir. A Íl B esclausurativo para la resta.

Sea a, bEA ÍlB, b:/: O. Entonces a, b e A ya, b e B. Como (A, +v) Y (B, +,.) son subcuerpos,entonces a . b -1 e A ya' b - 1e B. Por tanto, a . b - I EA nB y, por consiguiente. A nB es clausurativopara la multiplicación. Entonces (AnB, +, .) es un subcuerpo.

Si F es un cuerpo y (A, +, .)Y (B, +, .)subcuerpos de F, pruebe que(A () B, +, .) es un subcuerpo de F.

Ahora supongamos que se verifican las dos condiciones. y basados en esto vamos a mo trar que se ve­rifican los axiomas que definen un cuerpo.

En el Problema 8-57 se mostró que la propiedad clausurativa de la resta implica las cinco propiedadesde anillo conmutativo para la suma. Los Axiomas 7, 8 y lOse verifican en (T. +, .)porque T es un subcon­junto de F.

Existencia de elemento neutro para la mulüpíicacián. La unidad multiplicativa e de F está en T. Si a E T, a 4: O,entonces a . a- 1 e T por la condición 2 de la hipótesis. Como a . a I = e. entonces e e T. Si he T, b =1= Osegún la condición 2, e' b-I E T. y como e' b-I = b-1, entonces b-I E T.

Existencia del inverso. La condición 2 de la hipótesis implica que la multiplicación es cJausurativa. Seana, be T. Si b :/:O, entonces b-I E T, ya' (b-I )-1 = a . b € T por la condición 2. Por otra parte, si b = O,entonces a . b = a . O= O. Como Oe T, entonces T es clausurativo para la multiplicación.

hipótesisexistencia del opuestoclausurativa de la suma.hipótesisexistencia del inversoclausurativa de la multiplicación.

1. a, bE T-beTa+(-b)=a-bET

2. a, b e T, b :/: Ob':' e Ta·b-leT

Solución Primero suponga que el sistema (T. + .. ) es un subcuerpo y muestre que las dos condi-ciones del teorema se verifican. En efecto.

.Problema 8-96 Si (F, +, .) es un cuerpo y T un subconjunto no vacío de F, entonces(T, +, .)es un subcuerpo de (F, +.. )si, y solamente si, se verifican las siguientes condiciones:

1. Para cada a, b e T, a - b e T. 2. Para cada 0, b e T. con b =F 0, ah- I E T.

Subcuerpos

.Spluci6n Por definición, (a + b)2 = (a + b) . (a + b) = 02 + 2ab + b", según las propiedades deun dominio de integridad. ab e D porque D es clausurativo para la multiplicación. Como la característicadel dominio es 2, para cualquier elemento ab E D. ab + ab = O o 20b = O. Entonces ((1 + b)2 = a2 +2ab + b2 = a2 + b2•

~.J~roblema_~-~~ Para un dominio de integridad (D, +, .) se define (a + b)2 =(a + b) . (a + b) y (a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) para cada a, b E D. Muestre quesi la característica del dominio es 2, (a + b)2 = a2 + b2 .

275ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

•• - ... *; ~; ..... ""_¡:- .. !!'t...~

1!;~~b!~~"J71q;r~Construya la tabla de multiplicación y adición para el Problema 8-92.Muestre que los elementos de F que no pertenecen al subcuerpo primo, verifican la relaciónx . x = a + 1 o x . x - x· -1 == O.

Soluélón'l. (Q, +', .) es el subcuerpo primo de (Q, +, '). Para ver esto, observe que el subcuerpo

primo de! cuerpo de los números racionales debe contener el número 1. Pero el orden aditivo de 1 es cero,entonces la característica del cuerpo de los números racionales es O. Como se demostrará en el Problema 8-102,el subcuerpo primo de (Q, +, .)es isomorfo a los números racionales y, por consiguiente, es el cuerpo de losnúmeros racionales, porque Q e Q. En otras palabras, (Q, +, .) es el cuerpo más pequeño que contienea I y es isomorfo al cuerpo de los números racionales.

2. El subcuerpo primo de (R, +, .) es (Q, +, -).Observe que el subcuerpo primo de los númerosreales debe contener el número 1. Como el orden aditivo de 1 es O, la característica del cuerpo de los núme­ros reales es cero. Como se demostrará, el subcuerpo primo del cuerpo de los números reales es isomorfoal cuerpo de [os números racionales, puesto que Qe R. En otras palabras, (Q, +, .) es el cuerpo más pe­queño que contiene a 1 y es isomorfo a los números racionales.

3. El subcuerpo primo de ({a + bi : a, be Q e ;2 = -1}, +, -)es (Q, +, -).4. El subcuerpo primo de ({a + aJ3: aEZ3}, $,O) debe contener el número i + oJ3. Como

(i + oJ3) + (i + oJ3) + (i + oJ3) = 0, la característica del cuerpo es 3. Entonces, como se mos­trará en el Problema 8-101, el subcuerpo primo es ({n x e : 1 S n S 3}, +, '), con e = i + oJ3 = i.Pero 11 x i para 1 S 11 S 3 es el conjunto {O, I, i}.

5. Por un razonamiento análogo al del caso anterior el subcuerpo primo es ({n x e: 1 S n S 7, +.. )con e = i + o.j5 = i. Pero n x 1 para 1 S n S 7 es el conjunto {O, i, 2, 3,4, 5,6}.

Problema 'S-99 Definición. Si (E, +, .) es un cuerpo y si (P, +, .) es un subcuerpo,que es la intersección de todos los subcuerpos de (F, +, '), entonces (P, +, .) se llama el sub­cuerpo primo de (F, +, -). Halle los subcuerpos primos de cada uno de los siguientes cuerpos:

1. (Q, +, ').2. (R, +, ').3. ({a + bi : a, beQ e ¡2 = -1}, +. ').4. ({a + áfi: a e

Z3}' +,')con (a + afi) + (6 + 6fi) = (aEa b) + (aEa 6)fi y (a + áfi)· (6 + bfi) =(aO 6) + (aO b)Ji 5. ({aj5: a e Z7}, EB, O) con (a)5) + (6j5) = (a Ea 6»)5 y(a)5) . (6)5) = (ti O 6»)5.

inverso.2. Este conjunto forma un subcuerpo.3. Este conjunto forma un subcuerpo.4. Este conjunto no forma un subcuerpo porque no verifica las propiedades cJausurativas para la

suma y la multiplicación.5. Este conjunto no forma un subcuerpo porque no es clausurativo para la multiplicación.6, 7, 8, 9, son subcuerpos.10. Este subconjunto no forma un subcuerpo porque la multiplicación no es c1ausurativa.

No es un subcuerpo, porque no es c1ausurativo para la resta; ni Jos elementos tienen

•• _ • • r ....

,S~Júc.i~;n·. 1.

1"·. .f Probl~!:"a ~8-!!8r-~-Suponga que {a + bi : a, b E R e ¡2 = - 1} es un cuerpo para la sumay la multiplicación. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de números complejos son sub­cuerpos de los números complejos?

1. {x : x EZ, X ~ O}. 2. {a + bft. : a,bEQ}. J. {a + bj5 : a, b e Z}. 4. {x : x EQ yxíZ}. 5. {x: x s Ry x é Q}. 6. {a +bi : a.b e Z, i2 = -l}. 7. {a + bi : a,beQ, ¡2 = -J} ..8. {a + bfi¡: a, beR,;2 = -l}. 9. {a + bfii: a, bEQ, ¡2 = -1}. 10. {a + b.y2i: a,b e R, ;2 = -1} .

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS276

2. n = a - kp, con am + bp =1. mn = I - bp,

Existencia del inverso. Como p x e = O,entonces m < p. Como p es primo y m < p, entonces m y p sonprimos relativos. Por una propiedad de los enteros, existen enteros a y b tales que am + bp = l. Si a es unelemento del conjunto {I, 2. 3, ... , p - l}, escoja a a corno el n pedido para que n x e sea el inverso dem x e. Si a no está en este conjunto es congruente módulo p a un elemento n del conjunto. Es decir, a == nmódulo p.

Si a == n módulo p, entonces a - 11 = kp, o n = a - kp. Así, escoja a n del conjunto {l, 2, ... ,p - l}para que verifique una de las condiciones siguientes:

Clausuratiua de la multiplicación. Sean m x e y n x e elementos arbitrarios de P tales que 1 S m S py I S 11 S p. Según el algoritmo de la división, el producto m . n se puede escribir como q . p + r conO~ r < p. El producto de dos elementos de P es (m x e)' (n x e) = (m' n) x (e' e) = (m' n) x e =(q' P + r) x e = «q' p) x e + (r x e) = (q x O)+ (r x e) = 0+ (r x e) = r x e con O=::;;r < p.

Entonces (m x e) . (n x e) = r x e. Como OS r < p, el elemento r x e E P, lo cual muestra quese verifica la propiedad clausurativa.

Ahora se va a mostrar que {n x e : I S n S p} es el subcuerpo primo P. Es decir, hay que mostrarque se verifican los'once axiomas que definen un cuerpo. Las propiedades 1 a 5 se verificaron en el Proble­ma 8-94, donde se mostró que es un subgrupo para la suma.

Solución e E P. Como todo subcuerpo es clausurativo para la resta y la multiplicación, debe tenertodos los múltiplos enteros de e. Entonces {n x e : 1 S 11 S p} e P.

Ya se mostró que para un cuerpo de característica p, los elementos de {n x e : I S n S p} = {p x e,1 x e, 2 x e, ... , (p - 1) x e} son distintos y todo múltiplo entero de e es un elemento de este conjunto.Este conjunto es el subgrupo aditivo generado por e.

..-Problem~.,8-101 Si (F, +, .)es un cuerpo de característica p, p número primo, enton­ces el subcuerpo primo P del cuerpo F es ({n x e : 1 S; n S; p}, +, '). El subcuerpo primoes isomorfo al cuerpo de los enteros módulos p.

Ahora. a + I = a no puede ser verdadera porque l no es el elemento neutro para la suma. Entoncesa + I = b. Agregando este dato a la tabla, los demás elementos encerrados en un cuadro son consecuenciade lo anterior. Para la tabla de multiplicación observe que a . a = a + loa· a - a - I = Oy según la tablade la suma, b = a + 1. Entonces a . a = a + t o a . a - a - I = O.Además, b· b = a = b + 1 y, portanto, b . b - b - I = O. Esto muestra que los elementos de F que no pertenecen al subcuerpo primo ve­rifican la relación dada .

O 1 a b

O O O O O

1 O I a b

a O a b l

b O b I a

Tabla 8-56

+ O 1 a b

O O 1 a b

1 I O b 0a a b O OJb b ~ OJ O

Tabla 8-55

;::So~Uc¡6n~.-_= _•..r; .::. Como la característica de F es 2, a + a = 0, b + b = O y 1 + J = O. Según la tabla,a + t = a o a + I = b.

277ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

102. Suponga que: a+bi, q,b eR, ¡2 =-l}es un cuerpo para la adición y multiplicación de reales.¿Cuáles de los siguientes conjuntos de números complejos son SUD cuerpos de los números com-plejos? _al: {x:xez..._v x~O};b) {a+bV2,a,b€Q}; e) {X:XEQyxI:Z} dlla+bi,a,béZei'l=-l:e): {a+bV3i, a.b, eQei2 =-l}

101. Determinar todos los subcuerpos del cuerpo de! problema 8-100.

100. Muestre que 1 y P - 1 son Jos únicos elementos del cuerpo Cp• que son sus propios inversos mul­tiplicativos.Indicación. (x2 - 1l = (x - 1)(x + 1l. Si (x2 - 1) = O= (x - l)(x + 1)= O Y como estamosen un dominio de integridad, no existen divisores de cero; por tanto. se debe tener quc x - I = Oo x + 1 = O. Así, x = 1 o x = - 1 = P - l.

Resp.: a) 9; b) 3; el 1: d) 3.99. Calcule las siguientes expresiones en Cll:

a) 1/3; b) 2/5; e) (7/2Y'; el) 1/2 + 1/3.

EJERCICIOS PROPUESTOS

ia al Iector vcrif n 11Se deja al lector ven car que la correspondencia .... - x (! es un isomorfismo entre el cuerpo de los nú-m m

meros racionales Q y el cuerpo P.

{E;xe:lI'nlezym=Fo}

Soluct6;'" El cuerpo más pequeño P debe contener a e y los múltiplos enteros de e. Entonces{... , -2 x e, -1 x e, O x e, 1 x e,2 x e, ... }e P. En el Problema 8-101 se mostró que el subgrupoaditivo generado por e es isomorfo a los enteros. Es necesario determinar el subcuerpo más pequeño quecontenga este conjunto. Para cada elemento ni x e € P Ydistinto de cero debe existir un inverso de dicho

elemento en P que se escribe ~ x e. Como P es clausurativo para la multiplicación. contiene elementosIn

de la forma n x e (~ x e) . Si se emplea la notación !!._ x I! para tales productos, entonces es fácil esta-m m

blecer que el sistema ({::1 x (! : 11,m E Z y 111 =F O}, +, -) es un cuerpo. Como P debe contener tales pro­

ductos y ser el subcucrpo más pequeño, entonces P es precisamente el conjunto

..Problema 8-102 Si (F, +, .) es un cuerpo cuya característica es 0, entonces el sub­

cuerpo primo P es isomorfo al cuerpo de los números racionales.

Para el segundo caso, (11 x e)' (m x e) = (11' m) x (' = «a - kp)' 111) X e = «(///1 - kpm) x (' =«(1 - bp) - kpm) x e = (1 x e) - (b x (p x el) - (km x (p x e» = e - (h x O) - (kili X O) = I!.

Se deja al lector mostrar que la correspondencia m x eH m, con I ::::;;/11 ::::;;p, es una biyección de Psobre Zp que conserva las operaciones.

(n x e) . (m x e) = (n . m) x e = (J - bp) x e = (1 x e) - (bp x el = e - (b x (p x e»)= e - (b x O) = e

En cualquier caso, n x e es el inverso de m x e. En efecto, si 11m = 1 - bp, entonces

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS278

Los polinomios con coeficientes reales forman un espacio vectorial sobre R.Ejemplo

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sí mismo.Ejemplo

Ejemplo Los vectores de la geometría elemental forman un espacio vectorial sobre elcuerpo de los números reales.

Los elementos de V se llaman vectores: los de F, escalares u operadores. La ley + se llamala adición vectorial y (.) la multiplicación de un vector por un escalar.

Distributiva.

Asociat ividad mixta.

Elemento neutro.

'Va E F· 'V(ü, v) E V2: a' (ü + ü) = a "ü + a . Ti'V(a, {J)E F2• 'tJü E V: (a + {J)ü = a.' ü + {J. ü'V(a, {3)E F2, 'tJü E V: a' ({J. ü) = (a' {J)' ü'tJü E V: e . U = Ü

Axioma a)Axioma b)Axioma e)Axioma d)

Definición. Se dice que el conjunto V tiene una estructura de espacio vectorial sobre el cuer­po F si:

1. (V. +) es un grupo conmutativo (el elemento neutro se escribe "O).2. La aplicación (a, u) -. a . u verifica los siguientes axiomas:

Sea (F, +, .) un cuerpo conmutativo con elemento unidad e y V el conjunto de los elemen­tos ü,r, ... , en los cuales se define una ley de composición interna simbolizada +, y unaley de composición externa, aplicación de F x Ven, V, simbolizada (').

ESPACIO VECTORIAL

1107. Considere las estructuras E = {x = (J + b . 2' (l. he Zl e Q

F = 1-" = {I + b/2". a. be Z. n e N) e Qcon las operaciones de + y C·) en Q. Compare con los resultados de los Ejercicios 105 y 106.

106. Por analogía con el ejercicio anterior, muestre que la extensión del cuerpo de los reales pori =P es el cuerpo de los números complejos. e = R(i). ¿Cuál es la diferencia fundamentalentre los Ejercicios 102 y 103?

105. Sea E = {x : a + b ./2. a, b e Q} e R. Demuestre que E es un cuerpo. Este cuerpo se llama exten­sión de Q por .ji. es decir, Q e E = Q(.ji)e R.

l? Probar que (K,+, .) es un cuerpo.2? Encontrar un isomorfismo entre este cuerpo y Z2 .

+ x yx x yy y x

104. SeaK = [x.y]. sobre K se definen las siguientesoperaciones+ y . dadas por las tablas:

103. Halle el subcuerpo primo de los siguientes cuerpos:a) (Q.+,.); b) (R,+, .); e) ({a+bi:a, beQ ei2=-1},+,.)

279ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS

1. V(u', ¡;')E V x V: f(ü + -¡;) = f(li) + ¡rf).2. Va E F, Vu E V: f((1. . i7) = rx . I(ü).

La condición 1 dice que 1es un homomorfismo del grupo (V, +) en (V' +).La condición 2 dice que f es compatible con la ley de composición externa.El núcleo de una aplicación lineal 1de Ven V' es la imagen recíproca f- I(O)del elemen­

to neutro de V'.

Definición. Una aplicación I de un espacio vectorial V sobre F, en un espacio vectorial V'sobre F, es un homomorfismo de espacios vectoriales o aplicación lineal si

Definición. Un subconjunto V' de V que tenga la estructura de espacio vectorial sobre elcuerpo F se llama subespacio vectorial de V.

Demostración. Sea a . Ü = O.Si .'Y.. = O, la conclusión se verifica.Si a. =1= 0, el inverso de 'Y.. existe (1.-1 y a-I(c< . 11) = a-l. O => (C(- Irx)i7 = Ü· => ü = O.

Teorema 3. En lodo espacio vectorial sobre un cuerpo F, o: . Ü = O' => a = O o Ü = O.

o: . ü = (o: + O) . tI" = (1. • Ü + O . 11 => O . Ü = -uDemostración. Aplicando el Axioma b) a los escalares O y z :

Teorema 2. En un espacio vectorial V, Vü E V, O . Ü = O.

Como (V, +) es un grupo, entonces todo elemento es regular para la ley +. Por tantox : '6" = O.

a. . ü = ':/.. (Tí" + O) = ':J. • d + a . O

Demostración. Aplicando el Axioma a) al vector O y al vector ü:

Teorema J. En todo espacio vectorial sobre un cuerpo F, V':/. E F, o: . O = O.

Propiedades fundamentales

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ANILLOS. CUERPOS280

281

Definición. El segmento o intervalo cerrado, a. b. es el conjunto de los elementos x de Etales que a < x y x < b. Se escribe [ a,b).

[a,b] = : x: xEE, a < x < b :

Sea E un conjunto ordenado por una relación escrita <. Sean a y b dos elementos de Etales que a < b.

CONJUNTOS ORDENADOSPartes notables

En el capítulo 6 se estudiaron las relaciones de orden parcial y total, así como los ele­mentos notables que pueden o no existir en un conjunto ordenado.En los capítulos 7 y 8 se caracterizaron los conjuntos dotados de una (o varias) leyes decomposición; definiendo las estructuras de grupo, anillo, cuerpo y espacio vectorial. Eneste capítulo vamos a recordar de nuevo, las definiciones de los elementos notables, quepueden existir o no, en un conjunto ordenado y después caracterizar las propiedades deun conjunto dotado de una relación de orden, definiendo las estructuras de orden.

Ilustraremos estos concep los estudiando la relación de orden ~ en el conjunto N delos naturales y compararemos los conjuntos Z, Q R ordenados por la relación ~.

Para terminar mostraremos como el concepto de biyección nos lleva al de númerocardinal y el concepto de inyección nos permite definir una relación eleorden entre nú­meros cardinales. Con el fin de tener una idea precisa de lo que es clnúnwro de elemen­tos de WL conjunto haremos una distinción entre los conjuntos finitos e infinitos.

Ic.lentificarémos el conjunto de los cardinales de los conjuntos finitos con el conjun­lo N de los enteros naturales.

Estructuras de ordenCardinal de un conjunto.

CAPITULO 8)

Ejemplo. En N* ordenado por la relación I (divide a ), el subconjunto A = 4,8,12} tie­ne por conjunto de mayorantes a:

2. Si A tiene un elemento mínimo, es único. Por consiguiente, si el extremo supe­rior (o inferior) de A, existe, es único.

3. Si A tiene un elemento máximo g. entonces g es el extremo superior de A.En efecto: g es un mayorante de A porque VxeA, x<g: además si m es un mayorante deA. entonces: g eA implica g<m. Por tanto g es el elemento mínimo del conjunto de losmayorantes.

(g<g' vs'<st= g' =g

Propiedades1. Si el subconjunto A tiene un elemento máximo g, este elemento es único.

En efecto, si g' es también elemento máximo de A:

El elemento s es el extremo superior de A si s es el elemento mínimo del conjunto M delos mayorantes de A.

El elemento i es el extremo inferior de A si i es el elemento máximo del conjunto M' delas minoran tes de A.

peA y V xeA, p < x.

El elemento p es el elemento mínimo de A si:

xeA, «<ggeA y

Si el conjunto M' de los minorantes de A no es vacío, se dice que el subconjunto A esmi­norado.El elemento g es el elemento máximo de A si:

m' e A y V xeA, m' < x.

Si el conjunto M de los mayorantcs de A no es vació, se dice que el subconjunto A es ma­yorado.El elemento m' es un minoran te de A si:

me E Y xeA, V x < m.

Definición. El elemento m es un mayorante de A si:

Elementos notables

Sea A un subconjunto del conjunto E ordenado por la relación <.

El intervalo abierto, a, b. es el conjunto de los elementos x de E tales que: a < x y b < x,con x =1= a y x =1= b. Se escribe ] a,b[.

] a,b [ = {x: a < x < b, x =1= a y x =1= b l-

EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURASDE ORDEN282

La siguiente figura representa el simplejo S4 de un conjunto con 4 elementos. Cada seg­mento ascendente une un subconjunto Ep. situado en el nivel p, a un subconjunto Ep+)' situadoen el nivel p + 1, que traduce la inclusión de Ep en Ep+ i -

Definición. Se Llama simplejo S; de un conjunto En, finito, con n elementos. al retículo(C9(En), e), es decir, la estructura definida por la inclusión en el conjunto <P(E,,).

Se mostró que el conjunto C9(E) es.un retículo para la relación de inclusión. Si el conjunto Ees finito. se da la siguiente definición:

Simplejos

x v y es el mínimo común múltiplo de x y yX A Y es el máximo común divisor de x y )'

Ejemplo 9-3. El conjunto N·. ordenado por la relación «divide a» es un retículo tal que

Ejemplo 9-2. En el conjunto de partes de un conjunto E considere la relación de inclusión e:sean A y B dos elementos de <P(E).

El subconjunto {A. B} de <P(E) tiene un extremo superior, que es A U B. porqueA e A UB y Be A U B, es decir, A U B es un mayorante de (A, BJ.

Si M es un mayorante de {A, B}, entonces (A e M y B e M) =- A UBe M.De la misma manera se muestra que {A, B} tiene un extremo inferior, que es A n B.

Así, todo subconjunto de dos elementos de C9(E) tiene un extremo superior y uno inferior.Por tanto, es un retículo.

Definición. Se llama red o retículo todo conjunto ordenado T tal que. para toda pareja deelementos de T,existe un extremo superior y un extremo inferior. El extremo superior de {x. y}se designa p<,?rx v J' y el inferior por x A y, que se leen «x sup y» y «x inf v».

Retículo

Ejemplo 9-1. N dotado de la relación ::; e una cadena.

Definición. Una cadena es una parte totalmente ordenada de un conjunto ordenado.

Cadenas

Estructuras Notables

Ejemplo. En el conjunto N* - {1 } , ordenado por la relación 1, (divide a ), todos los nú­meros primos son elementos minimales.

Definición. u es un elemento minimal de A si u € A Ysi no existe elemento x de A. di­ferente de u tal que x < u. En forma similar se define elemento maximal.

M = {48,96,144, ... , K. 48, ... } . y por conjunto de minorantes eM'« {1,2,4}. A notiene elemento máximo pero tiene extremo superior que es 48. El elemento mínimo deA es 4 porque: (4 I 4,4 I 8,4 I 12) Yademás es el extremo inferior de A.

283-EL CARDINAL DE UN CONJUNTO ESTRUCTURAS DE ORDEN

ysxoxsy

Teorema 2. a) En (N, s), cero es el elemento mínimo. b) En N no existe elemento máximoe) El orden definido por la relación s en N es un orden total.En otras palabras, la estructura(N s) es una cadena, es decir,

Demostración. En efecto, la relación es reflexiva porque para todo .xde N, x + O= .-t: =e- x S x.Es transitiva porque cualesquiera que sean los naturales x, _1'. 2, si x S y YY S ::,existen na­turales u y t' tales que x + ti = )' y)' + t' = z,

Sumando se encuentra que x + (u + v) = Z y, por tanto, x S z.Es antisimétrica porque si x S )' Y J' S x, existen naturales u y l) tales que x + u = y

y y + v = x. Al sumar se 'encuentra que u + r = O, lo cual implica en N que u = L' = O, esdecir, x = y,

Teorema 1, En el conjunto de Jos naturales N, la relación s:; es una relación de orden.

.X' < )' <:::> 3u E N : x + u = y

La relación recíproca se lee «y es mayor o igual que X», y se escribe )' ~ x. En caso deque no se cumpla la igualdad se dice que la desigualdad es estricta,

Entonces

x s:; )' -ee- 3u E N*: x + u = )'

Definición, Dados los naturales x y y, se dice que x es inferior o igual a)' si existe un natu­ral 11 tal que x + u = y.

Entonces

N ordenado por la relación <

Véase la Figura 9-1 en sentido ascendente:

las rectas punteadas [......... """."""."" ... ) indican que se agrega el elemento alas rectas indican que se agrega el elemento blas rectas --------- --- indican que se agrega el elemento elas rectas indican que se agrega el elemento d

Figura 9-1

{dI

lb, d}/////

Nivel 3 --___:_-~:::::_-----=.x-:--",,:,;,,;-__:_~--"_"'_"=""';';'" l;:.:..' h.;_.c..:.,_d.!_I _//

.... " ... .. ... / .. " .. (c,d}

".

284 EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN

b < aoa < bSe sabe que (N, s) es una cadena. Si a y b son dos enteros naturales distintos, entonces

Orden discreto

TIPOS DE ORDEN TOTAL

Nota. En N la desigualdad < es compatible con la ley +, pero no compatible con la ley (').porque x < y no implica que O . x < O . y. En N*, la relación < es compatible con la ley (').

Demostracián. La igualdad x + u = y=>1 x + u) + z = y + z y según la ley asociativa(x + z) + u = y + z : por tanto. .v + z S y + z.

Vz E N, x s y <=> x + z !S; y + z

Teorema, En . la relación s es compatible con la ley +, es decir,

Relaciones de orden y operaciones en N

es decir, las leyes de composición interna rnax y min son distributivas la una con respecto ala otra. Se demuestra por disyunción de los casos. Se dice que el retículo (N, s) es distributivo.

1max [a. min {o, h}] = o; min [a, max {a. blJ = omax [a, rnin {b, el] = max [mín {(l. b l" min {a, e}]min [a, max {b, e}] = mio [max {a, b}, max {a, e}]

y

En los dos casos, n E A =>11 + 1E A. Por tanto, A = N, es decir, los elementos cualesquie­ra de N son comparables. Esto muestra que N es una cadena para la relación !S; y, por con­siguiente, un retículo.

Cualquiera que sea la pareja {a, b] de elementos de N, existen un elemento máximo de{a, h} que se escribe max {a, b} y un mínimo de {a. b} que se escribe min {a, b}. Además.max {o, h} y min {o, b} son extremo superior e inferior de {o, bJ-.

No/a J. Si a !S; b, como a 5: a, min {o, bl = a y max :(1, h} = h.No/a 2. Si o. b, e E N

De donde (11 + 1) + (v - 1) = )' y 11 + 1 S)'.

Si y !S; 11 : 3u E N tal que y + u = n y r + u + I = 11 + 1: por consiguiente, y S 11 + 1 Y11 + 1 E A. Si no, n < )' (puesto que n = y entra en el caso anterior y 11 Y y son comparablespor hipótesis). Entonces existe r E N* tal que y + u = 11. Por tanto, existe l' - 1 Y 11 + r =(II + 1) + [r - 1) (por consiguiente, n + v - J tiene por siguiente a 11 + l' o (1' - 1) +(n + 1»).

Si nE A, entonces y 5: non < y.

A = {x: x E N y .r es comparable con r}

O E A (por tanto, V)' EN, O 5: .1').

Demosrración.c)Sea y un natural cualquiera. Sea A el conjunto de los naturales compara­bles con y

285EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN

Simétrica. A eq B ~ B eq A.

Basta considerar la biyección idéntica de A en A que a cada x de A le hace corres­ponder x.

Reflexiva. A eq A.

Propiedad. La relación de equipotencia es una relación de equivalencia.

Definición. Dos conjuntos A y B se dice que son equipotentes si existe una biyección f deA sobre B y se nota A eq B.

Números cardinales

Ejemplo 9-6. En la cadena (Q, .::;;)el orden no es continuo. pero en la cadena (R, .::;;)sí lo es.

Definición. En un conjunto totalmente ordenado el orden se dice que es continuo si ladaparte mayorada admite un extremo 'superior.

En R, conjunto de los reales, el conjunto IB de los reales estrictamente positivos es mino­rado, pero no tiene elemento mínimo. En el primer caso, A no tiene elemento mínimo. es decir.A no tiene extremo superior (supremum). En el segundo caso, B admite un extremo inferior(infimum). De donde la siguiente:

En N, lada parte mayorada tiene un máximo. Esta propiedad no es válida en Q: por ejem­plo, si A es la parte del conjunto de los racionales cuyo cuadrado es inferior a 2, es mayorada.pero no tiene elemento máximo.

Ejemplo 9-5. En las cadenas (Q, '::;;). (R. ~) el orden es divisible.

Definición. En un conjunto totalmente ordenado se dice que el orden es divisible si ningúnintervalo abierto (con extremos distintos) es vacío. .

En el conjunto Q de los racionales ordenados por la relación .::;;,entre dos racionales distintos,existe siempre un racional (en realidad infinitos). Esto muestra que el orden de la cadena (Q, .::;;)no es un orden discreto. En este tipo de orden es posible intercalar una infinidad de elemen­tos entre dos elementos distintos. Esta misma propiedad la tienen los reales para la relación s; ,

Orden denso

Ejemplo 9-4. En N, el intervalo Jn,11 + l[ es vacío.

Definición. En un conjunto totalmente ordenado, el orden es discreto si existen intervalosabiertos (con extremos distintos) vacíos, o lo que es equivalente, si todo intervalo abierto esun conjunto finito.

Suponga que a < b y considere el intervalo abierto ]a, bE. Si b = a + 1, el intervalo es vacío.Si b > a + 1, el intervalo ](1, b[ es un conjunto finito.

EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN286

Teorema de Zermelo. Cualesquiera que sean los números cardinales x y y. una de las rela­ciones x $ )' o y ~ x es verdadera.

La antisimetría resulta de los dos siguientes teoremas que se dan sin demostración.

Transitina. Porque la compuesta de dos inyecciones es una inyección.

Reflexica. Puesto que x es una inyección de X en X.

En efecto, la relación ~ es:

Propiedad 2. La relación ~ entre cardinales es una relación de orden total.

En efecto, si' f es una inyección de X en Y, sea Y' = j(X)( Y' e Y). entonces J es unabiyección de X sobre y'. Por tanto. X eq y'.

Propiedad /. La relación .r ~ .r equivale a X es equipolente a una parle de Y.

Definición. El número cardinal x es inferior o igual al cardinal y si existe una inyección Jde X en Y, y se escribe x ~ y.

Sean .x y J' dos números cardinales, x = card (Xl y y = card (Y).

Relaciones de orden entre números cardinales

Definición: Un objeto matemático m es un número cardinal si existe un conjunto E talque In = Card (EJ.se escribe: {Card (<!> J - O número cardinal cero

Card ({a~) = 1 número cardinal uno.O:F1, porque no existe una biyección de </> sobre {a } . Los números cardinales no for­man un conjunto (porque esto daría lugar al conjunto de todos los conjuntos); sin em­bargo se pueden considerar conjuntos de cardinales.

Card (x) = Card (y) <=> x Eq y

Como el conjunto de todos los conjuntos no existe, el concepto de clase de equivalenciano se puede aplicar en este caso.Para obviar esta dificultad se define un nuevo objeto matemático, escrito card (x), y sellama el cardinal del conjunto x, por la condición de igualdad:

Cardinal de un conjunto

En efecto. si f es una biyección de A sobre B y si 1: es una biyección de B sobre C.entonces g fes una biyección de A sobre C.

Reflexiva. (A eq B y B eq C) => A eq C.

En efecto, si f es una biyección de A sobre B, entonces f- I es una biyección de Bsobre A.

287EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN

Entonces card (A U B) = a + b, elemento de N. Es decir, la + es una ley de composicióninterna en N.

h(A UB) = [1, a] U [a + 1. a + b] = [1, a + b]

La aplicación ¡, de A UB en N tal que {h : x¡ - t. x¡ ~ Ah : Yi - a + I, Yi E B

está definida, porque A n B = cIJ.La restricción de h a A es la biyección F 1, Y h(A) = [1, aJ.La restricción de h a B es la biyección la og-l. Y h(B) = [a + 1, a + b].Por consiguiente,

la :u-o+u

Demostración. Si card (A) = a, card (B) = b, a, b E N: por definición existe una biyec­ción f de [1. a] sobre A y tal que f :¡-Xi. Yuna biyección g de [1. bJ sobre B tal queg : j - rj'

Sea lo la biyección de [1, b] sobre [a + 1. a + b] tal que

Teorema l. Si A YB son dos conjuntos finitos, disjuntos, de cardinales (1 y b respectivamente,entonces A UB es un conjunto finito y card (A UB) = a + b. Figura 9-2 a 9-4.

Demostración. La aplicación lo de N en N es inyectiva, su restricción a [1. 111] es inyectiva.Además, 1 S; x S; m implica que a + 1 S; a + x $ a + 111. Para todor E [a + l. a + m]

existe un entero natural ti tal que a + r = .1'. o j: S; a implica que r > O Y Y > a + m implica¡; S; m (si no, y > a + m).

La aplicación fa es, por tanto, una biyccción de [1, m] sobre [a + 1. a + 111]'

Lema. Sean a y m números naturales. Card ([a + 1, a + m]) = In. La aplicación lo tal quex - Io(a) = a + x es una biyección del segmento [1, m] sobre [a + 1, a + m].

Propiedadesde los conjuntos finitos

Definición 3. Un conjunto E es finito si existe un entero natura) n tal que exista una biyeccióndel conjunto E sobre el segmento [1, n] de . Se escribe card (E) = n.

Definición 2. Se dice que un conjunto F es numerable si existe una biyección de N . obre F.

Definición l. Un conjunto E es infinito si exi te una biyección de E sobre una parte A de Ediferente de E.

Por ejemplo. el conjunto N de los naturales es infinito porque existe la aplicación f talque f(x) = x + 1. que es una biyección de N sobre j\* = N - :0:. subconjunto estrictarnen­te contenido en N.

El cc-njunto de los enteros pares 2N es infinito porque g(x) = 2x es una biyección de Nsobre 2N.

El cardinal de un conjunto infinito se llama número transfinito. El cardinal de ~ se notaca rd (N) = ~o (se lee a lef subcero l.

Conjuntos infinitos y finitos

X$)'YY$X=>y=X

Teorema de Cantor-Bernstein, Si x y y son dos cardinales.

EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURASDE ORDEN288

entonces, card (A) = m . b.

Demostración. (El teorema significa que si cada uno de los b elementos de B es imagen, por1, de m elementos de A, entonces el conjunto A tiene mb elementos.)

'tJy E B, card (f- t (y» = m

Teorema 4. (principio del palomar.) Si I es una sobreyección de un conjunto finito A sobreun conjunto finito B, de cardinal b, tal que

Por el Teorema 1, card (A x B') = card (A x B) + card (A x {b'}).y card (A x BI) = a . b + a = a . (b + 1). Esto muestra que la propiedad es verda­

dera, cualesquiera que sean los elementos a y b de N.

Teorema 3. Si A y B son dos conjuntos finitos de cardinales a y b, respectivamente, enton­ces A x B es un conjunto finito y card (A x B) = a . b.

Demostración. Por inducción sobre b = card (B).

1. Es verdadera para b = O. En efecto, B = cJ> => A x B = cJ>. También es verdaderapara b = 1, porque si B = {b}. La aplicación I de A en A x B, definida por 1: x .....(x, b),es una biyección de A sobre A x B. Entonces card (A x B) = a . 1.

2. Si la propiedad es verdadera, para b = n, sea BI = BU {b/} tal que b' rt B. A x B' =A x (B U {b'}) = (A x B) U (A x {b'}). Según la igualdad de dos parejas, se tiene que(A x B) n (A x {b'}) = cJ>.

Como A =F E y CeA =F cJ> y card (CeA) =1= 0, no existe una biyección del conjunto finito Esobre una de sus partes, estrictas, A.

A y CEA son conjuntos finitos y, por el Teorema 1, card (A) + card (CeA) = card (E), en­tonces card (A) s card (E).

A U CeA = Ey

En efecto,

Figura 9-4Figura 9-3Figura 9-2

• (

1 ~g___...__... _ Yj

f. :

•• • ••••• (1. + {Ja+ I a+Jl

••

•

a+jN

A B hyj -

h

<:~ 54321O

BA

.xl

Aun

Demostración. Sabemos que si A es un subconjunto de E existe una inyección de A en E (lainyección canónica a x de A le corresponde x de E). Por consiguiente, card (A) s card (E).

Teorema 2. Para todo subconjunto A de un conjunto finito E, si A e E => caed (A) ~ caed (E)y card (A) < card (E) si A e E. -

289EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN

Teorema 6. Toda inyección de un conjunto finito sobre UI1 conjunto equipotente es una bi­yección.

card (A U B U e) = card (A) + card (B) + card (e) - card (A n B)- card (Bn e) - card (e nA) + card (A n B n e)

Consecuencia

card (A U B) = card (A) + card (B) - card (A n B)

Según (1) Y (2)

card (A U B) = card (A') + card (B') + card (A n Bl

Por otra parte, A U B = (A' U.B') U (A n B), Además. A' U B' y A n B son disjuntos.Por el Teorema I

(1 )(2)

card (A) = card (A ') + card (A n B)card (B) = card (8') + card (A n B)

Demostrocton. Sean A' y 8' los conjuntos A - (A n B) y B - (A n B), respectivamente.A' y A n B son disjuntos lo mismo que 8' y A n B, y A = A' U (A n B), 8 = B' U (A n B).Por el Teorema 1

¡Ansi 8 IlA

Figura 9-8

card (A U B) = card (A) + card (8) - card (A n Bl

Teo/,(1/110 5. Si A Y B son dos conjuntos finitos,

Como] es sobreyectiva, u es sobreyectiva. Entonces card (F x Bl = card F· card (B) = m' b.Por tanto, card (A) = m . b.

'tJy E B, 'tJz E F, u(y, z) = gy(z)

Sea F un conjunto tal que card (F) = m (Fig. 9-6). A cada elemento y de B asociemosla biyección g)' del conjunto F sobre el conjunto j~-J (y). Esto es posible puesto que los conjun­tos son equipotentes.

Sea u la aplicación del producto cartesiano B x F en A definida por

Figura 9-7Figura 9-6Figura 9-5

• •• • •B

FI: p 0le¡----¡:-vIII

.• lY.F '(y)

EL CARDINAL DE UN CONJUNTO ESTRUCTURAS DE ORDEN290

--"-.:;r.rS~~~~~ 1? Ano = conjunto de los estudiantes que estudian inglés y alemán.

3? Sicard(A)=600,card(G)=370,card(S)=750,card(An G)=lOO,card(A ns)=300, card (G n ) S = 250 y card Cu(AuGuS) = 30, responden las preguntas anterio­res.

Sea U los alumnos de la universidad y A,G,S subconjuntos de U queson los estudiantes de inglés, alemán y español.l? ¿Qué representan los subconjuntos de U: AnG; AnGnS -,Cu(AUGUS).2? Si AnG =1= ti> , AnGc S.Dar un esquema que indique representar los idiomas estu­

diados.

lofuaI6t¡ Sea N~ = {xeN, 1 <; x <; n} .La propiedad es verdadera para n=L: Card ([1,1] ) = Card 11}= 1Si la propiedad es verdadera para n, entonces: N:: =N,"t U: n+L] y Nri n r n+L] = r/> . De donde Card(Nri+1 J =Card (NriJ + 1 = n + 1. Por tanto la pro~iedad es verdadera para todo /lEN Resultado: Paratodo n de N *, Card ([O,n ]J = n + 1

Para todo neN", Card (1' 1,n l) = n.Problema 9-1

PROBLEMAS RESUELTOS

De / - h = IF resulta que h es inyectiva, y por el Teorema 6 que h es sobreyectiva. Enton­ces h es biyectiva y. por tanto, admite una inversa n:', De/oh = IF resulta que/= ,,-1;por tanto. / es biyectiva. Observe que los resultados anteriores son falsos en el caso de que losconjuntos no sean finitos.

El conjunto N es equipoiente al conjunto 2N por medio de la aplicación x -+ 2.;(. Esteconjunto infinito es equipotcnte con una de sus partes propias.

La aplicación x -+ x3 - x es una sobreyección de los reales sobre los reales, pero no esbiyectiva.

¡(x) = yyVy E F, h(y) = xEntonces

Demostracion. Sean E y F dos conjuntos finitos y equipolentes y / una sobreyección de Esobre F. Para todo y de F, sea X = ¡-1(y). X no es vacío porque / es sobreyectiva. Se admiteque a todo X se puede asociar, por una elección arbitraria. uno de sus elementos x. Sea x = h(y)el elemento elegido; h es una aplicación de F sobre E. Entonces / o h es una aplicación de Fen F, es la aplicación IF.

Teorema 7. Toda sobreyección de un conjunto finito sobre un conjunto equipotente es unabiyección.

Demostración. Sean E y F dos conjuntos, finitos y equipotentes, y / una inyección de E en F;/ una biyección de E sobre /(E) = F' e F.

Entonces, F' es equipotente con E. Como E es equipotente a F, F' es equipotente a F.Como F es finito, F' = F. Entonces / es una biyección de E sobre F.

291El CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN

u

t -. .... ..--..-..

I Solución Asociativa. Sea a = card E, b = card F, e = card G. Hay que mostrar que a' (b' c) =(a' b) . c. La asociatividad significa que E x (F x G) es equipotente a (E x F) x G: esto es inmediato.puesto que j : (x, (y, =)) -+ «x. y). r) es una biyección de E x (F x G) sobre,(E x F) x G.

Conmutatioa. Es consecuencia del hecho de que para toda pareja de conjuntos (E. F). E x Fes equipo­potente a F x E; en efecto, la aplicación f: (x,)') -+ (y, x) es una biyección de E x F sobre F x E.

1 es el elemento neutro. Sea a = card (E) y 1 = card «}>(</>)). Entonces a· I = card [E x (}>(</»). Es su­ficiente entonces mostrar que E x (}>(</» es equipotente a E. En efecto, la aplicación f: (x, </» -+ x es unabiyección de E x (}>(</» sobre E. La fórmula a . O= Oes consecuencia del resultado E x </J = 4> para todoconjunto E.

~Problema 9-4 Muestre que la multiplicación de cardinales es asocianva, conmutati-

va, y 1 es el elemento neutro. También que es distributiva y que a . O= O.

Solución Sean a = card E, b = card F, e = card G. El cardinal a + (h + e) es, por definición.o+card (FUG), que es igual a card (EU(FUG)). De la misma manera (o+b)+c=card «EUF)UG).Entonces la asocíatividad pedida es consecuencia de la asociatividad de la unión de conjuntos.

Conmutatira, Sea En F = 4>, a = card E y b = card F. Por definición. a + h = card (E U F) Yb + a = card (F U E). Como la unión de conjuntos es conmutativa, esto prueba el resultado.

El elemento neutro. Por definición. 0= card (4)). Si a = card (E), entonces (J + 0= card (E U </J) =eard (E) = o.

....Problema 9-3 Muestre que la suma de cardinales es asociativa, conmutativa y que Oes el elemento neutro.

Ancr\S = conjunto de los estudiantes que estudian las tres lenguas.Cu(AUGUS) = C An CCr\S = conjunto de los estudiantes que no estudian ninguna de las lenguas.2? La figura 9.9a indica los diferentes subconjuntos de U que determinan una partición de U. La figura9.9b indica el número de elementos de cada uno de los 7 subconjuntos de U y el número de alumnosque estudian cada lengua .

uCu(AUGUS)

s

EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN292

'. P,·robtema,· '9 ,lOe. P 1 laci d dI' . di d~ ara a re acion e or en ~ ,e conjunto N es arquime 'ano, es e-cir: (V a€N*) (vb€N) (3 n€N) tal que n.a > b;¡¡fif!':·:E:P ..7;!,~:g_,~~~,~~i~ ?~En efecto, considere el segmento [l,b].-si afÍ [l,b], el resultado es evidente: basta escoger 11=1 (porque a>b).-si a€ [l,b], considere el conjunto A= {z; 3 X€N, z=x.a} . Sea B=An[l, b]El conjunto B no es vació (porque aE [l,b] Yes mayorado por b, entonces posee un elemento máximodigamos x.a; por consiguiente (x+1) a Fj [l,b] y (x+l) a>b; basta escoger n= x+L, para que na>b se ve­rifique.

::::¡""""~ ¡l'~.S,9IU!~.!!~.En efecto, el conjunto de los minoran tes de una parte A. no vacía, no es vacía (contie­ne el cero) y rnayorada (por todo elemento de A). Entonces posee un elemento máximo p, que el mí­nimo de A.

~,e,r:&bi~te 8-:;9..7.:--u.' .:.,' _ ,m..., . ~: En N toda parte no vacía tiene un elemento m ínimo. O sea que enN, la relación ~ es una relación de buen orden.

n = 2p es parn = 2p + I es impar

sisi{

(b, p)f(a. 11) = (e, p)

IilS.oluc~';-; Sea z = card (N), x = 1, y = 2, es decir, x es el cardinal de un conjunto reducido a unelemento a, y y el cardinal de un conjunto Y con dos elementos by c. El problema se reduce a construir unabiyección f de X x N sobre y x N; en efecto,

implica x = y.que la siguiente relación es falsa entre cardinales: xz = y=

~Soltici6r;~'.q;~ _ "". Sea a = card E, b = card F, e = card G.

1. Es evidente, puesto que la aplicación idéntica Ir:: E -> E es inyecriva, entonces ti S; (l.

2. Existe por hipótesis una inyección f: E -+ F Y una inyección g : F -+ G, entonces g './ : E -+ Ges una inyección, entonces (l S; c.

3. Suponga que a S; b, entonces existe una inyección J : E -+ F. La aplicación g definida por g(x) ::­f(x) si x E E, g(x) = x si x E G, es una inyección de E U G en FU G, de donde ti + e S; b + e,

4. Con las mismas notaciones, la aplicación J¡ definida por hix, y) = (f(x), y) es una inyección deE x G en F x G, de donde ac S; be.

S. Es evidente.6. En efecto, J S; ti Y I S; b implican que J S; abo

~Q!~~,:., ......-"Probl'éma 9,.511..:, t ,: •• " 'o, • La relación a $ b entre cardinales tiene las siguientes propiedades:

1. Reflexiva. 'tia, a $ a.2. Transitiva. a $ b y b $ e => a $ c.3. Compatibilidad con la suma. a S b => a + e $ b + e para todo c.4. Compatibilidad con la multiplicación. a $ b => ac $ be, para todo e.5. Para todo a, O$ a. Además, a =1= O<=>1 $ (l.

6. Si a y b no son nulos, entonces ab no es nulo.

Distributiva. Sea b = card F y e = card G, FnG = r.P ya = card E. ·Por definición, a· (b + e) = card(Ex (FUG» y a'b+a'c=card(Ex F)U(Ex G)'Ex (FUG) es equipotente a (Ex F)U(F x G), puesto que los conjuntos son iguales.

293EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN

lx < x'(x, yl < (x', y') -ee- y.

y~y

12. Sea E = A x B el producto cartesiano de A = {O, 1,2,3.4,5.6, 7, 8}. y B = {O, 1. 2, 3, 4. 5. 6~.Cualesquiera que sean los elementos (x, y). (x'. y') de E,

11. Sea card (A) = 17, card (B) = 24. card (A U B) = 35. Calcule card (A n B), card (A - B).

10. Sea L una parte del conjunto de partes de E, (P(E); suponga que E E L y que para toda parte no vacíaM de L la intersección de los elementos de M es elemento de L. Muestre que L, ordenado por inclu-sión, es un retículo. '

9. En un conjunto E, si un subconjunto A tiene un extremo superior. ¿implica que tiene máximo?

'!la. '!lb. a v (a 1\ b) = a'!la. '!lb. a 1\ (a v bl = a

b) Establezca las leyes de absorción:

avh=a=b-<aal\h=a.=a-<hal\b=a<=>Gvb=h

al Establezca que

6. En N* ordenado por la relación «divide a» se consideran los subconjuntos A = {8, 4, 12} YB = 12. 3. 4, 5). Forme rara A y B los elementos siguientes. si existen:al El elemento máximo y el minimo.b) Un mayorante y el conjunto de los rninorantcs.e) El extremo superior y el inferior.

7. En el conjunto Q de los números racionales. ordenado por [a relación ~. considere el subconjuntoA = {in,11 E N}. Dererrmne los mismos elementos que los pedidos en el Ejercicio 6.

8. Sea T un retículo ordenado por -<o

5. Sea N= { 0,1,2,3, ... }Probar que card (NxN) = card (N).

4. Una encuesta de opinión muestra que el número de personas que escuchan los programas A,B yCson a.b y e respectivamente; x el número de personas que escuchan AyB, By C y los que escuchanC y A, son d, e y r respectivamente.Hallar el número de personas que escuchan A,B y C.

3. Una escuela de idiomas tiene 200 estudiantes; 120 estudian francés, 90 alemán y 70 ruso; 30 es­tudian ruso Y alemán; 50 ruso y francés; 40 alemán y francés; 20 estudian los tres idiomas. Hallarel número de estudiantes que estudian ruso pero no alemán y francés, y los que no estudian rusopero si alemán y francés.

2. Sea E un conjunto tal que card (E) = 950. Sean A, B, C. D cuatro subconjuntos de E y su unión es E.Suponga que card A = 400; card B = 620: card e = 220; caed (A n B¡ = 220; card (B n el = 130;card (Cn A) = 60;card (A n B n el = 30.Halle el card (Dl si card (D n (A U B U el) = 20.

Res.: 110

1. Si A. B Y e son conjuntos finitos, muestre que card (A UB Uel = card A + caed B + card e -caed (A n Bl - card (B n el - card (e n Al + card (A n B n C).

EJERCICIOS PROPUESTOS

EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN294

Resp.: Se halla que card (A U D U e) = 1.030.000, superior a los demás, teniendo en cuenta elpresupuesto de que se dispone.

card (A) = 700.000 card (A () B ().C) = 100.000 card (A () B) = 250.000card (B) = 500.000' card (A () B () D) = 110.000 card (A () e) = 250.000card (e) = 450.000 card (A () e ()D) = 20.000 card (A () D) = 190.000card (D) = 350.000 card (B () e () D) 50.000 card (B () e) = 250.000

card (B () D) = 100.000card (e () D) = 150.000

15. Sean A, B, e y D los conjuntos de lectores de cuatro revistas a, b, e y d. Un anuncio de una páginavale $25.000 en a; $15.t>OOen b; $10.000 en e o d. Escoja las revistas de manera que se tenga un má­ximo de lectores y que el presupuesto no pase de $50.000. publicando un anuncio de página, en cadauna de las revistas escogidas. Los cardinales de los conjuntos son:

2. Si y es el conjunto de los lectores que no leen ninguna revista. Y = E - (A U B U el;card (Y) = 100.

card (X) = card (A () B) + card (B () e) + card (C () A) - 3 card (A () B () e)

14. En una encuesta sobre la lectura de tres revistas a, b y e se han obtenido las siguientes informaciones:de 1000 personas, 600 leen la revista a; 500 leen la revista b; 500 leen la revista e; 200 leen lasrevistas b y e; 300 leen las revistas e ya; 300 leen las revistas a y b; 100 leen las revistas a. b y c. Delas 1000 personas, ¿cuántas leen dos revistas y solamente dos? ¿Cuántas no leen ninguna de las revistas '?

Resp.: l. Si X es el conjunto de lectores de las dos revistas y A el conjunto de los que leen la re­vista a, ...

13. Si card (A) = 17, card (B) = 24. card (A U B) = 35. Calcule card (A () B), card (A - B) ycard (B - A).

Defina (2, 3) A (O, 1) Y (2, 3) v (O,1) y muestre que (E, -<) es un retículo.

295EL CARDINAL DE UN CONJUNTO. ESTRUCTURAS DE ORDEN

296

Un diagrama secuencial está formado por puntos, llamados vértices, y flechas, llamadas ramas.De un vértice cualquiera pueden salir varias flechas y a él no puede llegar sino una sola. Unpunto único no es extremo de una flecha, es el punto de partida. Todos los extremos de las

Arboles e diaqrarnas secuenciales

Ejemplo 10-1. Si A = {l, 2} Y B = {2, 3, 4}, sea (a, b) E A x B, entonces el elemento a es1 o 2. Se empieza el árbol escogiendo un punto de partida y de él se dibujan dos ramas, quese llaman 1 y 2, como se muestra en la Figura 10-1. Para cada una de estas elecciones de a, elelemento b puede ser uno de los tres elementos 2, 3, 4 de B. Se continúa cada una de lasramas de la figura 10-1 con tres ramas, llámadas 2,3,4, lo cual da la Figura 10-2. Cada elemen­to de A x B corresponde a una trayectoria sobre el árbol que empieza en el punto de partiday continúa hacia la derecha, hasta llegar a un punto extremo. Por ejemplo, la trayectoria su­perior de la Figura 10-2 corresponde al elemento (1, 2) de A x B, la segunda a 0, 3), etc. Estomuestra que se puede construir el «árbol» de cualquier producto cartesiano de conjuntosfinitos.

La presentación de la matemática moderna hace más claras y generales los conceptos de lacombinatoria y a su vez hace que dejen de ser materia separada del resto de la matemática.

La estadística y las probabilidades desempeñan un papel fundamental en el desarrollocientifico actual. especialmente con los problemas de numeración, de los cuales se ocupa elanálisis combinatorio.

Los problemas de numeración son del siguiente tipo:l. ¿Dc cuántas maneras se puede formal: un consejo, formado por un presidente, un

secretario y un tesorero. escogido entre 12 personas igualmente competentes?2. ¿Cuántas «apuestas» se pueden hacer a una carrera de 15 caballos para estar seguro

de «jugar» los tres caballos ganadores teniendo en cuenta el orden?3. En una carrera de 15 caballos. ¿cuántas «llegadas» posibles existen?4. ¿Cuántas apuestas se pueden formar en una carrera de 15 caballos para estar segu­

ros de que se «juegan» los tres caballos ganadores sin tener en cuenta el orden?5. ¿ De cuántas maneras se puede formar una «mano» de 13 cartas en un juego de 52

cartas?Vamos a mostrar en e te capítulo. empleando el lenguaje conjuntista, que los dos prime­

ros problemas se reducen al concepto de inyección de un conjunto finito en otro ; corno casoparticular el problema 3, que es el concepto de biyección de un conjunto finito sobre sí mismo;los dos problemas restantes se reducen al concepto de partes de un conjunto finito.

En lo que sigue es útil el concepto de producto cartesiano de conjuntos finitos, y se puedeilustrar por medio de diagramas, llamados «árboles».

Análisis combinatorio

CAPITULO

(M, S, S), (M, S, B), (B, M, S), (B, S, M), (S, M. S), (S, S, M)

Ahora considere la posición intermedia. Si el señor Simón coloca a Mery en la posiciónde la izquierda, es decir, si recorre la rama superior del árbol de la Figura 10-3, entonces Billo Sue se pueden colocar en la mitad. Por tanto, se continúa a partir de M con dos ramas. lla­madas S y S, como lo muestra la Figura 10-4. Las dos ramas inferiores de la Figura 10-3 secontinúan de la misma manera. Finalmente, para la posición de la derecha, si Mery está a laizquierda' y Bill en el centro, como lo muestra la Figura 10-4, Sue estará en la posición de la de­recha. Entonces se continúa la trayectoria superior de la Figura 10-4 con una sola rama, comose muestra en la Figura 10-5. El resto se completa de manera análoga. La Figura 10-5 tiene seispuntos extremos. El número de trayectorias es igual al número de puntos extremos. Cadatrayectoria del árbol representa una posibilidad, es decir, una ordenación de los niños. O sea.existen seis posibilidades.

El árbol es un diagrama del conjunto de seis posibilidades:

M<; M<; ..sM.. 8

B<; s< S8

""M

s<: S<: ""SS

M

Figura 10-3 Figura 10-4 Figura 10-5

Para hallar la solución a este problema .e va a construir el árbol de e ra sucesión de even­lOS. El señor Simón puede ordenarlos como lo indica la Figura 10-3.

Ejemplo 10-2. El señor Simón desea tomar una fotografía a sus tres hijos: Mery, Bill y Sue.¿De cuántas maneras puede ordenarlos en una fila para poder tornarles la foto'?

ramas que parten del origen se llaman vértices de la primera generación. De la misma manera,un punto es vértice de la segunda generación si es extremo de una rama que sale de un vérticede la primera generación, etc. Todos los puntos de una misma generación se colocan sobreuna misma recta. Los vértices que no son origen de una ramificación son los vértices terminales.

Sobre un árbol. un trayecto o camino está formado por una sucesión de ramas; el origende la primera es la entrada, y el terminal de la última, su punto terminal.

Existen tantas trayectorias como puntos terminales existan. Sobre el árbol de la Figu­ra 10-2 hay seis puntos terminales, por tanto. seis trayectorias distintas.

A toda posibilidad corresponde un trayecto sobre el diagrama y uno solo.

Figura 10-2Figura 10-1

2

A~2I 3

4

8

297ANALlSIS COMBINATORIO

Definición. Se llama árbol de exponenciales o árbol de las aplicaciones todo diagrama se­cuencial en el cual: 1. De cada punto, distinto de Jos puntos terminales, patte el mismo nú­mero de ramificaciones. 2. Todos los puntos terminales son de la misma generación.

Sobre el árbol se pueden comprobar las siguientes propiedades:a) De cada punto, distinto de los puntos terminales. parte el mismo número de rami­

ficaciones: 2.b) El número de puntos de las diversas generaciones forma una progresión geométri­

ca de razón 2. En particular, hay 23 = 8 puntos terminales; por consiguiente, 8 aplicacionesde A en B.

Esto nos lleva a dar la siguiente definición:

{(a, O). (b, 1), (e, O)}

Sobre el árbol, la trayectoria correspondiente a la flecha en negro corresponde a la apli­cación de A en B, cuyo gráfo es

Figura 10-6

Origen

o o I

\/. \/A

Definir una aplicación de A en B es hacer una sucesión de elecciones y, por tanto, deter­minar sucesivamente para cada elemento de A cuál será Su imagen en B. La Figura 10-6mues­tra el árbol correspondiente. Los elementos de la primera. segunda y tercera generación co­rresponden a las elecciones hechas para las imágenes de a, b y c. Se considera la flecha de laizquierda o de la derecha, según que la imagen elegida sea O o l.

Ejemplo 10-3. Sean A = {a, b, e} y B = {O, 1} dos conjuntos finitos.

Arbol de los exponenciales

posibilidades.Por ejemplo, en el árbol de la Figura 10-5, la flecha doble corresponde a la siguiente po­

sibilidad: Bill está a la izquierda, Mery en la mitad y Sue a la derecha.Esto muestra que existe una biyección entre el conjunto de todas las posibilidades y el

conjunto de trayectos sobre el árbol, o, lo que es lo mismo, el conjunto de los puntos termi­nales. Como es fácil contar los vértices terminales, esto nos dice cuántas posibilidades se tienen.En el ejemplo hay seis posibilidades, puesto que hay seis puntos terminales.

nin - 1)(n - 2), ... , (3)(2)(1) = n!

Si el señor Simón tuviera cuatro niños, para efectuar la misma operación, entonces el árboltendría 4 ramas que parten de un punto común, y cada una de éstas continuaría con tres ramas,y cada una de éstas se dividiría en dos ramas y, finalmente, cada una de éstas continuaría conuna rama. Es decir, existirían 4· 3 . 2 . 1 = 24 posibilidades en total.

Si el mencionado señor tiene n niños, entonces existirían

ANA LISIS COMBINATORIO298

Figura 10-8Figura 10-7

p : E -+ {O, i}, llamada la función característica del subconjunto P

Demostración. Considere el conjunto E y uno de sus subconjuntos P. El subconjunto P de­fine una función

Teorema 2. Todo conjunto E de n elementos contiene 2" subconjuntos, es decir. caed <P(E)=~ard E.

Número de subconjuntos de un conjunto finito

Como todo vértice terminal corresponde a una aplicación de A en B, y recíprocamente,esto demuestra el teorema.

en la primera generación hay ti vérticesen la segunda generación hay n x n = n2 vérticesen la m-ésima generación hay n x 11 x n x ... x n = n'" vértices

m

Los puntos terminales son los de la m-ésima generación, y como el número de elementosde A es m, hay m elecciones sucesivas. Entonces

Demostración. En efecto, si card (A) = m y card (B) = n, el árbol de las aplicaciones de Aen B es tal que de todo punto, distinto de los puntos terminales, parten n ramas, puesto quepara todo elemento de A existen n posibilidades para elegir su imagen.

card (B) = n ~ card (5") = n"ycard (A) = m

Teorema J. Si 5" es el conjunto de las aplicaciones de un conjunto finito A en un conjuntofinito B, entonces

Número de aplicaciones de un conjunto finito Aen un conjunto finito B

Tal tipo de árbol se puede asociar a las aplicaciones de un conjunto finito A en un con­junto finito B.

Si card (A) = ni Y card (B) = ti, el árbol de las aplicaciones de A en B muestra que:a) De todos los puntos (excepto los puntos terminales) parten ti ramificaciones, puesto

que un elemento dado de A su imagen se puede escoger entre n posibilidades.b) Los puntos terminales son los de la m-ésima generación; como hay m elementos en A,

se pueden hacer m elecciones sucesivas.El árbol de las aplicaciones de A en B tiene n" puntos terminales. Como a toda aplica­

ción de A en B le corresponde un punto terminal, y recíprocamente, se tiene el siguiente teorema:

299ANALlSIS COMBINATORIO

Figura 10-9

Origen

I I14 Id e d b e b d e d a e a d b d a b a e b e a b a

A :JI! !1 ! 1 l. !! 1 !! 1 !!1 !1 1 1 ! ! 1 1 1:2:\/ \/ \/ \¡ \! V \¡ \' V \! \¡ \/I ¡ ~_j/- ---'~~,~}/----~i-/-----~-t/!l¡ (a J; BCd:. , .,-'

,"1.

1. De todos los puntos de la misma generación parte el mismo número de ramas.2. Si de un punto parten k ramas, de un vértice de la generación siguiente parlen (k - 1)

ramas.Tal árbol se puede considerar como el árbol de las biyecciones de un conjunto finito sobre

sí mismo, o sobre un conjunto que tiene el mismo número de elementos.

Definición. Se llama árbol de los factoriales todo diagrama secuencial que posee las siguien­tes propiedades:

Ejemplo 10-4. Se va a construir el árbol de las inyecciones de A en B si card (A) ~ card (B)y eventualmente el árbol de las biyecciones de A en B, si los dos conjuntos tienen el mismonúmero de elementos.

Supongamos que A = {l, 2, 3, 4}, A' = (1,2, 3} Y B = {a, b, e, d}.Para definir una inyección de A en B hay que hacer una sucesión de elecciones. Para la

imagen de I hay cuatro posibilidades; una vez que se elige una de esas imágenes, quedan tresposibilidades para la imagen de 2; el mismo elemento de B no puede ser imagen de I y de 2.Para la imagen de 3 quedan dos posibilidades, y para la de 4, una sola posibilidad. Esto dael árbol de la Figura 10-9, que es el árbol de las biyecciones de A sobre B.

Si se eliminan los vértices de la última generación y las ramas que a ellos llegan, se obtieneel árbol de las inyecciones de A' en B.

Arbol de los factoriales

Toda aplicación f :E _. {O, l} es característica del subconjunto F = /-1{t] de E.Ásí, toda aplicación de (J>(E)~ {O, 1V:: ; definida por P _. pes una biyección del con­

junto de los subconjuntos de E sobre el conjunto {O, l}E de las aplicaciones deE - {O, l}.Entonces el número de subconjuntos de un conjunto finito E con n elementos es igual

al número de funciones de E _. {O,1}, es decir, 2n por el Teorema 1.

P = f- 1 [ I} = {x E E : p(x) = 1}

Dada la función P se puede hallar P. En efecto,

'rJx E P : p(x) = 1'rJx E E - P : p(x) = °

La función p se define de la siguiente manera:

ANALlSIS COMBINATORIO300

O: es el número de inyecciones de {l, 2, ... , p} en E, ... , O: = (n - P + 1)0:-1

o~+ J = (/2 - p) . O~

O; es el número de inyecciones de {l} en E; entonces O; = nO; es el número de inyecciones de {l, 2} en E; entonces O; = (n - 1)· O;

O~ = n(" - 1)(n - 2), ... , (n - p + 1)

Demostración. Sea E un conjunto con n elementos, Ip e Ip+! los segmentos [1, pJ y [1, p + lJdel conjunto N, (p ~ n).

Sea f una inyección de Ip en E. Si f{lp) = E', entonces card (E') = p.Sea E"=E _E'; entonces card (En) = n-p. Para todo elemento u de En, defina la pro­

longación fu de f a Ip+!, definida por fu(p + 1) = u. La aplicación fu es una inyección delp+! en E.

Además, u =F v (enE") implica que fu =1= j,;, Por consiguiente,ftiene (n - p) prolongamientosdistintos. Si f y f' son inyecciones diferentes de t,en E, fu y J.: son prolongamientos distintos.

Sea g una inyección de Ip+ t en E. La restricción f de g a Ip es una inyección de 1p en E.Si g(p + 1) = v, g es la prolongación fu de .r a Ip+ i- •

En conclusión, toda inyección de Ip+ 1 en E se obtiene una vez, y solo una, como prolon­gación de una inyección de Ip en E; además, cada inyección de Ip en E genera (n - p) inyec­ciones distintas de Ip+ 1 en E.

Por tanto,

Este teorema también se puede enunciar de la siguiente manera: el número de combina­ciones de n elementos tomados de p en p (p ::;; n) es

Teorema 3. El número de inyecciones del segmento [1, pJ de N en el conjunto E con n ele­mentos (p ~ n) es O~= n(n - 1)(n - 2), ... , (n - p + 1).

ORDENA CION ESNúmero de inyecciones de un conjunto finito Aen un conjunto finito' BEstudie el problema 10-5Definición. Una ordenación (sin' repetición) de p elementos de un conjunto E con n elemen­tos es la imagen por una inyección f de Ip = {l, 2, ... ,p} en el conjunto E, (p ~ n).

De esto resulta que una ordenación de p elementos es la imagen, según una sucesión, dep elementos de E. En lenguaje corriente se dice: una ordenación de p elementos de E es unsubconjunto ordenado con p elementos de E.

Así, (a, b, e), (b, c, a), (a, b, d), son ordenaciones diferentes de n elementos tomadosde tres en tres.

El número de inyecciones de Ip = {l, 2, ... ,p} en un conjunto E de n elementos es,por tanto, el número de ordenaciones de los n elementos de E, tomados de p en p. Esto se re­presenta por el símbolo O~.

en la p-ésima generación hay n(n - 1), , (n - p + 1) vértices

En particular, en la última generación hay n(n - 1), , 2 . 1 vértices, o sea, por definí-.. ,cion, n.

Notación n! Considere un árbol de factoriales tal que de su origen parten n ramas. Enton­ces el número de vértices de cada generación se calcula de la siguiente manera:

en la primera generación hay n vérticesen la segunda generación hay n(n - 1) vérticesen la tercera generación hay n(n - l)(n - 2) vértices

301ANALlSIS COMBINATORIO

Demostración. Como existe una biyección h de 1 en In y como toda biyección f' de 1 sobre Ees la compuesta de h, y la biyección f de I; sobre E: l' = f o h, entonces f' es una biyecciónde 1 sobre E. Por lo anterior, su número es n! = n(n - 1), ... ! 3· 2 . 1.

Ejemplo 10-6. Si E = {a, b, e}, las permutaciones de E son:

(a, b, e), (a, e, b), (b, c, a), (b, a, e), (e, a, b), (c, b« a) y 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Teorema 5. El número de biyecciones de un conjunto finito 1 con n elementos sobre un con-junto equipotente E es n! .

Sea E un conjunto con n elementos. Sabemos que el número de biyecciones del segmento [1, nJsobre E es el mismo que el de inyecciones, es decir, O~ = n (n - 1), ... , 2 x 1.

El producto 1 x 2 x 3 x ... x n se escribe n! y se lee n factorial.

Números de permutaciones de un conjunto finito

si

Nota. A veces se llama permutación de un conjunto finito E con n elementos toda biyecciónf de E sobre sí mismo. Llamaremos a tal permutación f una sustitución y llamaremos per­mutación a la imagen de In por f:

Número de biyecciones de un conjunto finito sobreun conjunto equipotenteEstudie el problema 10-6

Definición. Una permutación de un conjunto finito E con n elementos es la imagen por unabiyección f del segmento t, = [1, n] sobre E.

Como los conjuntos In y E son finitos y equipotentes, una inyección f es una biyección,Por consiguiente, una permutación de un conjunto E con n elementos es la imagen por unainyección f del segmento [1, n] en E.

Al lenguaje corriente se traduce por: Una permutación de los ti elementos de un conjun­to E es un conjunto ordenado de esos n elementos.

PERMUTACIONES

Demostración. Es suficiente observar que existe una biyección h de 1 en Ip y que toda inyec­ción f' de I en E es la compuesta de h y una inyección f de Ip en E: f' = f o h.

O; = n . n-n = n(n - 1)

Teorema 4. El número de inyecciones de un conjunto 1 con p elementos en un conjunto Econ n elementos (p $ n) es O:.

2. Las ordenaciones dos a dos de los elementos de un conjunto E con n elementos sonlas parejas (a, b), de elementos de E x E, distintos de los elementos de la diagonal [parejasde la forma (a, a)]. Entonces

v . O~ = 3 x 2 = 6(a, b), (a, e), (b, a), (b, e), (e, a), (e, b)

Ejemplo 10-5. 1. Si E = {a, b, e}, las combinaciones de los tres elementos dos a dos son:

o: = n(n - 1), ... , (n - p + 1)

Multiplicando término a término las expresiones anteriores y simplificando se obtiene:

ÁNALlSIS COMBINATORIO302

Figura 10-10

a6Arbol 2. Completarlo.Arbol l

al

a,a~:~------b~:

c~:

Número de subconjuntos con p elementosde un conjunto E con n elementosEstudie el problema 10-7Definición. Una combinación (sin repetición) de p elementos de un conjunto E con n ele­mentos (p $; n) es un subconjunto de E que contiene p elementos. Se representa por e:.

Por ejemplo, {a, b, e} {b, e, a} son una misma combinación. Entonces dos combinacio­nes distintas difieren en, por lo menos, un elemento: {a, b, e} y {b, e, d} son dos combinacio­nes diferentes.

El conjunto E = {a, b, e} con tres elementos tiene tres subconjuntos con dos elementoscada uno: {a, b}, {a, e} y {b, e}. Esto se puede visualizar empleando un árbol. Suponga quese quieren colocar dos elementos de E en una caja vacía. Esto se puede hacer, primero eligien­do un elemento de E y colocándolo en la caja, y después eligiendo un segundo elemento de Ey colocándolo en la caja. El árbol 1 de la Figura 10-10describe este proceso. Cada trayectoriadel árbol describe no solamente qué elementos se colocan en la caja, sino también su ordena­ción en la caja, es decir, qué elemento se pone primero y cuál a continuación. En el árbol 1 la

COMBINACIONES

Por ejemplo, el triángulo ABe, considerado como conjunto de los tres vértices{A,B; e,}se puederepresentar por una cualquiera de las permutaciones del conjunto. Por el contrario, el triánguloorientado ABe se puede representar por una cualquiera de las tres permutaciones (A, B, e),(B, e, A), (e, A, B), cada una de ellas deducida de la anterior por una sustitución circular.

{para todo ie [1,n - l], fea,) = aHIy fea,,) = al

Definición. Una biyección f de un conjunto E con n elementos sobre sí mismo es una sus­titución circular si existe una permutación (al' a2, ••• , an) de E tal que

Se sabe que O: = n!; por tanto, es necesario definir a O!= 1.

O" = n!lO O!

Nota. El número O: = n(n - l), ... , (n - p + 1) se puede expresar en forma factorialsí p =1= n. En efecto, multiplicando y dividiendo por (n - p):

OP = n(n - 1). .... (n - p + 1)' (n - p). . .. , 1. = n!n (n - p). . . .. 1 (n - p)!

La expresión no es válida para n = p. Porque para p = n, la fórmula se convierte en

303ANALlSIS COMBINATORIO

( n ) n! n! (n)n _ p = (n _ p)! (n _ (n _ p» 1 = (n _ p)p! = p

Nota 2. Si en la fórmula anterior se remplaza p por n _ p, se obtiene

(3)(2)(1)(n _ p)(n _ p _ 1).(3 )(2)( 1)(n _ p)(n _ p _ 1).

n(n _ l)(n _ 2)..... (n _ p + 1)p!

n(n _ l)(n _ 2)..... (n _ p + 1)p!

p'. (:'_ p)! = (;)

Generalizando los resultados anteriores (empleando el árbol correspondiente) se encuen­tra que el número de subconjuntos con p elementos de un conjunto E con n elementos es

Nota l. En vez del símbolo e: también se utiliza el símbolo (;).

e: = 35entoncesC4. 4! = 6! ,6 (6-4)!

e:· 4!Por el Teorema 4 se sabe que el número de inyecciones de {1, 2, 3, 4} -+ E es igual a

6!/(6 _ 4)!, entonces

La imagen de toda inyección {l, 2, 3, 4} -+ E es un subconjunto de E que contiene 4 ob­jetos, como lo muestra la Figura 10-11. El número de biyecciones de {l, 2, 3, 4} -+ Pes 4!Como e: es el número de subconjuntos de E, que contienen 4 elementos, entonces el númerode inyecciones de {1, 2, 3, 4} -+ E es

Figura 10-11

primera y segunda trayectoria de arriba abajo representan el mismo subconjunto {a, b} = {b, a}.En resumen, el árbol 1 muestra los dos elementos que están en cada subconjunto y las 2! ='2 . 1maneras de ordenar los elementos en el subconjunto. Las seis trayectorias forman tres agru­paciones con dos ramas cada una, es decir, existen (3' 2)f2! = 3 subconjuntos de {a, b, e}con dos elementos. Antes de pasar al caso general, consideremos el árbol 2 de la Figura 10-10.

Sea E = {al' a2, ... ,Q6}' Halle los subconjuntos de cuatro elementos de E. .Para dibujar el árbol correspondiente, elija uno cualquiera de los seis elementos, después

otro de los cinco restantes, etc., hasta que haya seleccionado cuatro elementos de E. Por tanto,el árbol tiene 6 . 5 . 4 . 3 trayectorias. El árbol también representa el orden en que se eligenJos elementos. Como el número de ordenaciones diferentes de los cuatro elementos es 4', vemosque cada subconjunto de cuatro elementos de E está representado 4! veces en el árbol. Enton­ces el número de subconjuntos es 6· 5 . 4 . 3/4·.3 . 2 . 1 = 15.

Este problema también se puede enfocar de la siguiente manera: Todo subconjunto Pde E con cuatro elementos se obtiene tomando primero un elemento de E, después un segun­do elemento, etc.: es decir, definiendo una inyección i: {l, 2, 3, 4} -+ E.

ANALlSIS COMBINATORIO304

En efecto, la aplicación f de <P{E) en <Y(E) definida por f :A -4 E - A, es una biyeccióndel conjunto de las partes de p elementos sobre el conjunto de los subconjuntos de n - p ele­mentos.

5. Para todo p < n (n) = n ! = ( n ) .- 'p p! (n - p)! n - p

(~) + (~) + ... + (~) = 2n

Como el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2", entonces

4. En un conjunto de n elementos, el número de subconjuntos que contienen O. l.2, "', n - 1, 11 elementos, respectivamente, son:

1. Todo conjunto contiene un solo subconjunto de O elementos, (~) = 1.

2. Todo conjunto finito de n elementos no contiene subconjuntos de n + 1 elemen­

tos p > n, (;) = O.

3. Todo conjunto finito de n elementos contiene n subconjuntos de un solo elemen-

to (;)=n.

Propiedades de (~)

( pn) __ n_! _p!(n - p)!

entonces( n) n!'pl - ,P . - (n - p)!

Demostración. Sea E un conjunto finito con 11 elementos (n 2 l ] Y A un subconjunto de Econ p elementos (O ~ p ~ n).

Cada biyección f de [1, 2, ... , p] sobre A 'es una inyección de {1, 2, ... , p} en E y de­termina, por tanto, una ordenación de los p elementos de E.

Existen p! biyecciones de {l, 2, ... ,p} sobre A. Entonces A genera p! ordenaciones dep elementos.

Toda ordenación de p elementos de E así obtenida contiene p elementos y es una permu­tación de un subconjunto B con p elementos. Además, todas las ordenaciones obtenidas sondistintas, sea que provengan de dos subconjuntos A y B distintos, sea que provengan de unmismo subconjunto A, resultan dos biyecciones distintas de {1, 2, ... , p} sobre A.

El número de inyecciones de {l, 2, ... , p} -+ E es entonces igual al número de subcon­juntos con p elementos de E multiplicado por el número de inyecciones que tienen la mismaimagen, es decir, según el principio del palomar:

CP = n(n - 1) (n - p + 1) = n!n t.2.3 p p!(n-p)!

Teorema 6. El número de combinaciones de n elementos tomados de p en p (p ~ n) es

305ANALlSIS COMBINATORIO

Si se hace j = j' - 1, en la segunda suma se obtiene

Multiplicando ambos lados de la expresión anterior por a + b y empleando las propiedadesde las operaciones + y x en el anillo conmutativo. se obtiene

Suponga que la fórmula se verifica para 11 = k, por tanto,

Demostración. La fórmula se verifica para n = 1 porque

n(a + br = d' + C;,a"-1b + ... + C:a"-PbP + ... + b" = L C:a"-PbP

p"'o

Teorema 7. En todo anillo conmutativo. cualquiera que sea 11 E N,

A continuación se va a desarrollar (a + br, nE. si a y b pertenecen a un anillo conmutativo.

En un anillo conmutativo se definen las expresiones a + b, (a + b)' (a + b) = (a + b)2, etc.,y, en general. la + br.

En un anillo, utilizando la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma,se obtiene que (a + b? = a2 + ab + ba + h2• Si el anillo es conmutativo, (lb + bu = 2Gb.Entonces

BINOMIO DE NEWTON

(11-1)! (n-l) (n-I)!(p+n-p)_ __:__'--'--- + = -----'--...;.:_-----"-'-(p - 1)!(n - p)! p!(n - p - I}! p!(n - p)!

= n! = CPp!(n _ p)! n :

En efecto, C:~: + C:_ I6. Para todo p ~ n,C:~: + C:_I = C],

ANAlISIS COMBINATORIO306

Figura 10-12

u = {a, b. e}

Sabemos que un simplejo y su esquema es la representación gráfica de la relación de orden«inclusión» sobre el conjunto de partes de un conjunto finito y ordenado.

El simplejo de la Figura 10-12 representa el sirnplejo S3 del conjunto de partes deU = {a, b, e}.

Con relación a las permutaciones del conjunto U, el simplejo desempeña el mismo papelque el árbol de los factoriales.

En efecto, existe' una biyección entre el conjunto de las trayectorias sobre el simplejo,que parten de <p y siguen las flechas para terminar en U.

Por ejemplo, a la permutación (h, e, a) corresponde la trayectoria indicada por la flechagruesa sobre la figura: se pasa de un conjunto al siguiente, agregando elementos de U en el ordenindicado por la permutación.

Además, los elementos de la primera generación son los subconjuntos con un elemento;los elementos de la segunda generación, los subconjuntos con dos elementos, etc. En la p-ésima.generación hay e: vértices del simplejo.

Simplejo, permutaciones' y combinaciones

Hemos demostrado que si la proposición se verifica para n = k, entonces también secumple para n = k + l. Según el principio de inducción, se verifica para cualquier enteropositivo.

puesto que (~) = (k; 1) = 1, (Z) = (Z: ~) = 1.

Por tanto, la expresión anterior se puede escribir como

(k) ( k) k! k! k!(k - j + 1) k!jj + j - 1 = j!(k - j)! + (j - l)!(k - j + 1)! = j!(k - j + 1)! + j!(k - j + 1)!

k!(k -j + 1 +j) = (k + 1)! = (k +).1)'j!(k - j + l)! j!(k + 1 - j)!

Pero

307ANALlSIS COMBINATORIO

O: = p!. e:

Una trayectoria de tal tipo se puede asimilar a una ordenación de los p elementos. elegidosentre los n. Se obtiene la fórmula

p!. e:

D se elige de tal manera que el simplejo inicial y su transformado por traslación no se su­perpongan. De la misma manera se construye el simplejo Ss a partir de S4, etc.

Tome sobre S4 un elemento de la tercera generación, digamos {b~ e, d}. Las trayectoriasque terminan en ese punto corresponden a las diversas permutaciones del conjunto {b, e, d}y forman un simplejo S3. En forma más general, las trayectorias que terminan en un puntode la p-ésima generación corresponden a las permutaciones de un conjunto con p elementos.Su número es p! .

Como hay e: elementos sobre la p-ésima generación, el número total de trayectorias queparten de O y terminan en un punto de la p-ésima generación es

- Para las letras situadas antes de d: trayecto -l0bre el simplejo S3.- Para d: vector de traslación equipotente a OD.- Para las letras siguientes: trayecto sobre el transformado de S3 por traslación.

Toda trayectoria sobre el simplejo se obtiene construyendo, a partir de O como origen,- - -la suma geométrica de los vectores OA, OB, O'C; el orden es el de la permutación correspon-diente. Como la suma de vectores es conmutativa, en todos los casos se llega al mismo punto,imagen de U. Agregando a U un cuarto elemento d, y sea D un punto de la recta ABe distintode los otros tres. El punto D representa a {d}. Para construir entonces el simplejo S4 es su--ficíente desplazar a S3 según la traslación del vector OD y unir los puntos homólogos. Porejemplo, a la permutación (beda) le corresponde el trayecto siguiente, indicado por la flechagruesa sobre la Figura 10-l3.

Figura 10-13

Suponga construido el simplejo S3 relativo al conjunto U = {a, b, e}. A los cuatro elemen­tos ct>, {a}, {b}, {e} de <9(U) les corresponde sobre el simplejo los cuatro puntos O, A, B, e,los tres últimos alineados. (Vea Fig. 10-13.)

cf¡

Simplejo y ordenaciones

ANALlSIS COMBINATORIO308

01 = 6 x 4 = 24

1. Las ordenaciones de n elementos, tomados de p en p, corresponden a los caminosque partiendo del conjunto ifJ terminan en una parte situada en el nivelp. Así, en la Figura 10-14existen seis caminos que terminan en {a, b, e}; cada uno corresponde a una ordenación: los3 elementos a, b, e, se encuentran en el trayecto, en el orden que tienen en la ordenación. Comoen el nivel 3 se encuentran 4 partes,

Vamos a estudiar los problemas de numeración en el símplejo asociado a un conjunto En conn elementos. La Figura 10-14 representa el símpJejo asociado al conjunto con 4 elementosE = {a, b, e, d}.

G) (p: 1)

(;: :)

Tabla 10-1

( n + J) _ (n) + ( n )p+l - p p+1C: = ctz; + C:-1, o

da los coeficientes del binomio.

Si n = O

Si n = 1 1

Si n = 2 2 1

Si 11 = 3 1 3 3 1

Si n = 4 1 4 6 4 1

Si n = 5 1 5 10 10 5 1

Si n = 6 1 6 15 20 15 6

etcétera.

Simplejos

El triángulo aritmético de Pascal es una tabla (Tabla 10-1), formada por medio de la relación

Triángulo aritmético de Pascal

A partir de esta relación de recurrencía se puede deducir la construcción del triángulo de Pascal,cuyos términos son los valores de C%.

(p =1= O y p =1= n)Ct - CP + Cp-1n - n-1 n-1

Considere el simplejo S; construido a partir de Sn-l con la ayuda del procedimiento anterior.(Puede considerar la Figura 10-13.)

El número de elementos de la p-ésima generación es C%. Los puntos de esa p-ésima ge­neración provienen de dos fuentes distintas:

1. Los puntos de la p-ésima generación del simplejo inicial Sn-l' cuyo número es C%_¡.2. Los puntos de la (p - 1)-ésima generación del transformado de Sn-! por trasla­

ción, cuyo número es igual a C:::l.De esto resulta la fórmula de recurrencia fundamental

Relación de recurrencia entre los números C~

309ANALlSIS COMBINATORIO

28 . 27 . 26 . 25 . 24 . 23 4 . 3n = e~8. el = x -- = 2.260.440. J·2·3·4·5·6 1·2

- ...-~OluCI6iJ·, P b d 1 bi did ti . e 6¿.l!!': - ~ ara o tener lo as as com inaciones pe as es su ciente: rormar una «mano» de cartas

tomadas de las 28 restantes cuando se han sacado los 4 reyes y después agregar a cada «mano» dos reyestomados de los 4.

El número de combinaciones de la primera clase es e~8'A cada una le corresponden e; maneras deagregar dos reyes. Entonces el número de «manos» pedidas es:

Con un juego de 32 cartas, ¿cuántas «manos» de 8 cartas, que conten­gan dos reyes, se pueden formar?

125 - 60 = 65

Entonces el número de paJabras de tres letras, en las cuales dos por lo menos son idénticas, es:

Una palabra, en la cual las letras se pueden repetir, se puede considerar como una aplicación del conjun­to {I, 2, 3} en {a, b, e, d, e}. Por tanto, hay:

ot = 5 . 4 . 3 = 60

\ '~oluci6n Una palabra en la cual las tres letras son distintas, es una ordenación de las tres letras ele­

gidas de las cinco que se dan. Su número es:

Una palabra es una sucesión de letras. Con cinco letras, a, b, e, d, e,¿cuántas palabras distintas de tres letras se pueden formar, para las cuales: a) Las tres letrassean distintas. b) Dos letras, por lo menos, sean idénticas?

PROBLEMAS RESUELTOS

2. Las permutaciones corresponden a los caminos que unen el conjunto <p con el con­junto E. En la Figura 10-14 hay 24 caminos, que van de <p a E; P4.= 24.

3. Las combinaciones de n elementos tomados de p en p son los subconjuntos situadosen el nivel p. En la Figura 10-14, el es el número de subconjuntos situados en el nivel 3; sone¡ = 4.

Razonando por inducción sobre n, el número de elementos del conjunto E, la construc­ción del simplejo <P(E) permite hallar los resultados anteriores.

Figura 10-14

'"Nivel I ---r-&------=-r:-.7"'7t':;-------.-=..;::;...~//;;_------{d}

ANALlSIS COMBINATORIO310

Considere el grafo de la siguiente figura, en la cual las trayectoriassiguen el sentido de las flechas. Calcule el número de trayectorias que salen de un punto a otro,respetando determinadas condiciones:

1. Determine el número de trayectorias que hay de (O,O) a (n, p).2. ¿Bajo qué condición se puede ir del punto (i, j) al punto (n, p)? Si se satisface dicha

condición, ¿cuántas trayectorias hay entre los dos puntos?3. Entre las posibles trayectorias que unen el punto (O,O)con (7, 4), ¿cuántas pasan por

el punto (4, 3)?, ¿por el punto (2, 1)?, ¿por los dos puntos", ¿por lo menos por uno de los dospuntos? ¿Cuántas trayectorias no pasan por los dos puntos?

En total hay 5400 + 2100 + 252 = 7752 maneras diferentes de elegir las 5 personas. respetando la últi­ma condición.

para el primer casopara el segundo casopara el último caso

Cfo . Cfo = 120 x 45 = 5400C1o' Clo = 210 x 10 = 2100Cro = 252

En este caso nos interesan únicamente los conjuntos (/ y (U - a). Entonces, como en la pregunta anterior,se obtiene

3 personas leen a A4 personas leen a A

las 5 personas leen a A

3. La tercera condición se satisface en los siguientes casos:

C~ .q = 35 x 10 = 350

2. Si la segunda condición se satisface, 3 personas se eligen de (a - b) y las 2 restantes de (b - a).Para cada una de las combinaciones de las 3 personas que leen A hay Cl combinaciones de 2 personas queno leen a B. El número total es entonces

Crs = 15·14·13 ·12·11 = 3.0031·2·3·4·5

1. Si la primera condición se satisface, las 5 personas se eligen de a U b. El número de combinacio­nes es:

a n b, a - b, b - a, U - (aU b)

Si U representa el conjunto de las 20 personas, y a y b representan, respectivamente, los conjuntos de .personas que leen la revista A y las que leen la revista B, entonces los cuatro grupos anteriores son:

Las 20 personas se pueden repartir en cuatro grupos:

a) Las que leen la revista A y B 3 personas.b) Las que no leen la revista A 10 - 3 = 7 personas.e) Las que no leen la revista B. . . . . . . . .. 8 - 3 = 5 personas.d) Las que no leen ni A ni B 20 - 15 = 5 personas.

Soluci6n

De 20 personas, 10 leen una revista A, 8 leen una revista By 3 leen dosrevistas. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir las 5 personas de las 20 si: 1. Cadauna de las 5 personas lee por lo menos una revista. 2. Tres de ellas leen la revista A, las otras2 leen la revista B y cada una de ellas lee únicamente una revista. 3. Tres de ellas leen por lomenos la revista A?

311ANALlSI$ COMBINATORIO

Como hay ~ = 35 trayectorias que parten de (O, O) y terminan en (7,4), hay 35 - 26 = 9 trayecto­rias que no pasan ní por (2, 1) ni por (4, 3).

20 + 12 - 6 = 26

El número de trayectorias que pasan por lo meDOSpor uno de los dos puntos es

card (a U b) = card (a) + card (b) - card (on b)

Si o y b son dos conjuntos finitos, sabemos que

El número de trayectorias que pasan por los dos puntos es

C¡·q = 12

De la misma manera el número de trayectorias que pasan por (4,3) es

c4·c~= 20

3. El número de trayectorias que unen el origen y (7, 4) y que pasan por (2, 1) es igual al productode las trayectorias que van de (O, O) a (2, 1) por el número de trayectorias que van de (2, 1) a (7, 4)

p-j~n-iysi i < n,j S pe:: = c:::{

Si sobre cada punto del grafo se anota el número de trayectorias que parten de (O, O) y llegan al punto con­siderado, se obtiene el triángulo de Pascal.

2. Para ir de (i, j) a (n,p) es necesario que í < n y j S p. Haciendo n' = n - i Yp' = P - i,el número de trayectorias que van de (i, j) a (n, p) es igual al número de trayectorias que van de (O, O) a(n', p'); esa transformación equivale a trasladar el origen al punto (í, j). El número de trayectorias que unelos dos puntos es:

l. Para ir del punto (O, O) al punto (n, p) se tienen que recorrer n Hechas,entonces p debe tomar la di­rección de la derecha. El número de trayectorias posibles es e:.Observe lo siguiente: para ir de (O, O) a (n,p)es necesario pasar de antemano por (n - 1, p) o por (n - 1, P - 1). Sea T: el número de trayectorias quevan de (O, O) a (n, p), entonces se tiene la relación de recurrencia

Figura 10-16

ANALlSIS COMBINATORIO312

¿Cuántas delegaciones diferentes se pueden formar de 3 personas ele­gidas de un conjunto de 15?

a 1• ..... 0 a a l. ....0 IX' a

2 b 2. •• b 2 b 2 b 2X· 2 b 2 b

3 e 3· ... c e 3 e 3 e 3· ..... e 3 e

Figura 10-19 Figura 10-20

Solucl6n Sea 115 el conjunto de las 15posiciones y E = {a, b, e, ... "o} el conjunto de los 15caballos.Se trata oe asignar un número, y uno solo, a los 15elementos de E. Una «llegada» es, por tanto, el re­

sultado de una inyección de 115 en E, y como los dos conjuntos 11s y E son equipotenies, el resultado es unabiyección de 115 en E. Entonces existen 15 x 14 x 13 x , ... , x 2 x 1 posibilidades.

La Figura 10-19muestra una biyección de 13 en el conjunto E = {a, b, e} de tres elementos, y la Figu­ra 10-20 muestra las 3 x 2 x 1 = 6 biyecciones posibles.

los 15 caballos?En una carrera de 15 caballos, ¿cuántas son las posibles llegadas de

Una vez asignados los números 1 y 2 quedan 13 posibilidades de asignar el número 3. Entonces existen15 x 14 x t3 = 2730 «llegadas posibles». Existen 2730 inyecciones de 1) en E. La Figura 10-18muestrauna de las posibles 2730 inyecciones (trazado continuo) y para la cual /(1) = b. /(2) = n, /(3) = d.

.0 .a

1 • •• b 1 • .... b l·

.c .c.d

2. .d

2~

2.e

3. .n 3. : n 3___ fJ

.0 .0 --.....0

Figura 10-16 Figura 10-17 Figura 10-18

Se trata de asignar un número (y uno solo) a 3 elementos de E. El problema se reduce entonces a de­terminar el número de inyeccionesde 13 en E. Como existen 15maneras de asignar el número 1, una de talesposibilidades se eligió como lo muestra la Figura 10-16; quedan 14 posibilidades de asignar el número 2;15 x 14 es el número de posibilidades de asignar los números 1 y 2. La Figura 10-17muestra a los núme­ros 1 y 2 asignados.

Sea 13 = {I, 2, 3} el conjunto de las 3 posiciones, E = {a, b, ... , n, o} el conjunto deSoluci6nlos 15 caballos.

En una carrera de 15 caballos, ¿cuántas posibilidades existen de que3 caballos lleguen los primeros, eniendo en cuenta el orden?

313ANALlSIS COMBINATORIO

SoluciónLa Figura 10-22 muestra el árbol correspondiente. El árbol tiene 6 + 2 = 8 trayectorias,

cada una representa una posibilidad.

suceder?Una moneda o un dado, se lanzan, pero no ambos. ¿Qué puedeProblema '0-' O

Nota l. Observe que este árbol no es simétrico.

Nota 2. Cuando se resuelven problemas de contar, a veces se presenta dificultad cuando hay que sumar ycuando hay que multiplicar números. Para resolver este inconveniente, vea si la palabra que relaciona Josnúmeros es o (en sentido exclusivo), en este caso sume. y si la palabra que relaciona los números es y. rnul­tiplíquelos, Los siguientes problemas ilustran este procedimiento.

En dicha figura esta posibilidad se representa por un círculo en la primera etapa. Es un punto extremo.Si saltó la bola roja en la primera sacada, quedan bolas de los tres colores en el saco para la segunda elec­ción. Si se selecciona la amarilla en la primera elección, quedan bolas de dos colores únicamente: rojo y verde.El árbol se continúa de esta manera. Una trayectoria termina tan pronto se obtiene V. Como hay nueve puntosextremos con círculo, existen nueve posibilidades para la sucesión de colores de las bolas que se seleccionaron.

Figura 10-21

Solución La Figura Ib-21 muestra el árbol. Se tiene interés en el color. Así, desde el comienzo, setienen tres ramas, para los tres colores en la primera etapa. Si la bola verde se obtiene en la primera etapa,se termina el proceso.

Un saco contiene dos bolas rojas, una amarilla y una verde. Las bolas sevan sacando en sucesión sin remplazarlas hasta que se obtiene una verde y entonces no se sacanmás. ¿Cuántas posibilidades existen para la sucesión de bolas que se sacan?

Solución . Existen 29 elecciones para la primera letra, 29 para la segunda, etc. Entonces el númerototal de palabras de cinco letras es 29 . 29·29·29·29 = 20.511.149.

pueden construir.Determine el número de palabras de cinco letras diferentes que se

O~3 15·14·13- = --:-~ = 455PJ 1·2·3

El número de ordenaciones de 15 personas tomadas de 3 en 3 son O~3' Toda biyección deuna ordenación sobre sí misma da la misma delegación. Para cada ordenación existen 3! permutaciones.El número de delegaciones de 3 personas es

ANAlISIS COMBINATORIO314

Un club tiene 9 miembros y se desea seleccionar un comité de diversio­nes de' 3 personas. ¿Cuántas posibilidades existen de elegir este comité?

A U-A A

IU-A

{I, 2, 3} {4, 5} {l, 4, 5} {2, 3}{l, 2, 4} {3, S} {2, 3, 4} {1, 5}{l, 2, S} {3, 4} {2, 3, 5} {l, 4}{l, 3, 4} {2, 5} {2, 4, S} {I, 3}{l, 3, 5} {2, 4} p, 4, 5} {I, 2}

Tabla 10-~

Solución Si A es un subconjunto de Uj con 3 elementos, entonces U - A contiene 2 elementos.Por tanto, el número de subconjuntos con 3 elementos debe ser igual al número de subconjuntos con 2 ele-

mentos, es decir, (~) = (;) = 10. La Tabla lO-2muestra los subconjuntos.

Considere el conjunto U,= {J, 2, 3, 4, 5} con cinco elementos. Por

medio de una tabla verificar que (;) = (~) = 10.

{O. 1}1 •• bl = {{(a, O), (6, O)}, {(a, O), (6, 1)}. {(a, 1), (6. O)}. {(a, 1). (6. In},. que es unconjunto con cuatro elementos.

Solución La Figura 10-23es el árbol correspondiente y tiene 2 ·6= 12 trayectorias. Cada una re-presenta una posibilidad.

Una moneda y un dado se lanzan. ¿Qué puede suceder?

e c~¡S

2

3

s~j4

5

66

Figura 10-22 Figura 10-23

315ANALlSIS COMBINATORIO

7!- = 420 palabras3!2!

"Soh:l(~i6n" S d h JI l nú d - d I 7 1 3 d I 1 . I (~ ...:.... e trata e a ar e numero e permutaciones e as etras, e as cua es son igua es e)y dos iguales (n). Teniendo en cuenta el resultado general del problema anterior, existen

¿Cuántas palabras de 7 letras se pueden formar empleando las letrasde la palabra «Benzene»?

(D G) (D = 56 . 10 . 1 = 560

Solu.ción La madre puede seleccionar los 3 niños que van a la tienda en G) maneras y puede se-

leccionar los que lavan los platos en (;) maneras. No es necesario que s~leccione los que van a jugar, porque

son los niños que sobran. Como es una situación «y», se debe multiplicar

. -.'SoluCión '1 I El . , d b d - . d lI E di. . :, ,'# .. . comlte e e contener a una e estas senoras o mnguna e e as. sto nos Ice que

estamos en una situación «o» y, por tanto, debemos sumar los comités que contienen una de las señorasal número de comités que no contienen ninguna de las dos señoras.

Para formar el comité que contiene a una de las señoras. se puede hacer en U) maneras, y seleccio-

nar 2 personas de las 7 restantes, lo cual se puede hacer en (;) maneras. En este caso estamos en una si­

tuación «y» y, por tanto, debemos multiplicar; así que el número de comités es C)(;) = 42. Para for­

mar un comité que no contenga a Ana ni a Mary se deben elegir 3 personas de las 7 restantes, que se puede

hacer en (~) = 35 maneras.

Sumando se obtiene: 42 + 35 = 77.2. Ana y Mary no deben pertenecer al mismo comité. Un comité que contenga a Ana y Mary queda

determinado por el otro rniernbro y hay G) posibilidades de elegir este miembro. Por tanto, existen 7 co­

mités que no se permiten. Restando este número del número posible de comités se obtienen los comités quese aceptan, es decir, 84- 7 = 77.

:10'-'~6]En el problema anterior suponga que las señoras Ana y Mary no debenambas formar parte del comité de diversiones porque no se entienden. ¿Cuántas posibilida­des existen de formar el comité?

(9) 9! 9 - 8 -.7 - 6 - 5 -4 - 3 - 2 - 1 9 - 8 - 7- - ----843 - 3! (9 - 3)! - 3 - 2 - 1 - 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 - 3 . 2 . I -

• ~!-:"' -;:-~~r~ ,Soh¡fcI6n~. El bl I id d - l m d b - dif 3 I....._ • -.¡ •.:."...¡ pro ema o que PI e es etermrnar e Ilumero e su conjuntos I eren tes con e ementos

que se pueden formar de un conjunto con 9 elementos. Por uno de los teoremas anteriores, sabemos queeste número es

ANALlSIS COMBINATORIO316

a) 216; b) 72; e) 72; d) 144; e) 36.

Resuelva el problema anterior si se permiten las repeticiones.

5 . 4 . 1= 20 números

e) El único dígito de la derecha es 5, porque es el único múltiplo de 5; el de la mitad, de 4 maneras.y el de la izquierda. de 5. Entonces existen

5 . 4 . 4 = 80 números

d) El lugar de la derecha se puede llenar de 4 maneras, por 3, 5, 7 o 9, porque son los impares; el dela mitad, de 4 maneras, y el de la izquierda. de 5. Entonces existen

5·4·2 = 40 números

e) El dígito de la derecba puede ser 2 o 6, porque son los únicos pares; el de la mitad se puede llenarde 4 maneras y el de la izquierda de 4. Entonces e.xisten

2 . 5 . 4 = 40 números

b) El dígito de la izquierda se puede llenar de 2 maneras, por 2 y 3, porque cada número debe ser menorque 400; el de la mitad, de 5 maneras, yel último, de 4. Entonces existen

6· 5 ·4 = 120 números

existen

a) El número de 3 dígitos se puede representar por el diagrama: O O O.El dígito de la izquierda se puede llenar de 6 maneras; el de la mitad, de 5, y el último de 4. Entonces

Solución

Si las repeticiones no se permiten, a) ¿cuántos números se pueden for­mar con 3 dígitos con los seis dígitos 2,3,5,6, 7 Y9?; b) ¿cuántos de estos números son menoresque 400?; e) ¿cuántos son pares?; d) ¿cuántos son impares?; e) ¿cuántos son múltiplos de 5?

En los siguientesproblemas se da su solución convencional; traduzca la solución aJ lenguaje conjuntista.

52 . 51 . 50 = 132.600maneras posibles

b) Si las cartas no se remplazan el problema se reduce a calcular el número de inyeccionesde un con­junto con 3 elementos en otro con 52 elementos, o sea,

52 . 52 . 52 = 523 = 140.608 maneras posibles

¿De cuántas maneras se pueden elegir en sucesión 3 cartas de una -baraja de 52, a) con remplazo; b) sin remplazo?

317ANALlSIS COMBINATORIO

a) Las 4 bolas de cualquier color se pueden elegir de las 11 bolas en (~l)= 11 . 10·9 . 8/1 . 2 . 3 . 4 = 330 posibilidades.

Un saco contiene 6 bolas blancas y 5 negras. Halle el número deposibilidades para sacar 4 bolas del saco si: a) son de cualquier color; b) dos blancas y dosnegras; e) todas del mismo color.

Ningún entero puede contener más de cuatro digitos. Sean SI' S2' S3' S4 el número de ente­ros que contienen los dígitos 1, 2, 3 y 4. Se van a calcular individualmente: como hay cuatro dígitos, exis­ten cuatro enteros que contienen un 'solo dígito, es decir SI = 4. Como bay cuatro dígitos, existen 4 . 3 = 12enteros que contienen dos dígitos, es decir, $2 = 12. Hay 4·3 ·2 = 24 enteros que contienen tres dígitosy 4 ·3 ·2· l = 24 enteros que contienen un dígito, es decir, S3 = 24 YS4 = 24. Entonces existen Sj + S2 +S3 + S4 = 4 + 12+ 24 + 24 = 64 enteros.

Halle el número total de enteros pOSItIVOSque se pueden formarcon Jos dígitos 1, 2, 3 y 4, si no se repite ningún dígito en los números.

caja de la izquierda se puede llenar con una de las cuatro materias, la siguiente con las tres restantes, la siguiente con las dos restantes y la última con la que sobra. Así, existen 4 . 3 . 2 . 1= 4! maneras de ordenarlos libros según la materia. Los de matemáticas se pueden ordenar en 41maneras, los de historia en 3! ma­neras, los de química en 3! maneras, los de sociología en 2! maneras. Juntos en 4!4!3!3!2! = 41.472 orde­naciones.

Primero los libros se deben ordenar en cuatro unidades según la materia: O O O O. LaSolución

¿De cuántas maneras se pueden ordenar 4 libros de matemáticas,3 de historia, 3 de química y 2 de sociología, en un estante. de manera que los libros de la mis­ma materia estén juntos?

Solución a) Las r + s personas se pueden sentar en una fila en (r + s)! maneras.b) Existen dos maneras de distribuirlos según el sexo, los niños a la izquierda o las niñas a la izquier­

da. En cada caso los niños se pueden sentar en r! maneras y las niñas en s! maneras. Juntos. en 2 . r !s! ma­neras.

e) Existen r + 1 posibilidades de distribuirlos según el sexo, cada posibilidad corresponde al núme­ro O, 1, 2, ... , r, de niños que se sientan a la izquierda de las niñas. En cada caso los niños se pueden sen­tar en r! maneras y las niñas en s! maneras. Juntos en (r + 1)· r! . s! maneras.

s niñas.Resuelva el problema anterior en el caso de que se tengan r niños y

b) Existendos maneras de distribuirlos según el sexo: NNNMM o MMNNN. En cada caso, los niñossepueden sentar en 3·2· 1 = 6maneras y las niñas en 2 . 1 = 2maneras. Al juntarlos, hay 2·3 !2! = 2·6·2= 24 maneras.

e) Hay 4 maneras de distribuirlos según el sexo: MMNl\TN,NMMNN, NNMMN, NNNMM. A cadauna de estas posibilidades le corresponden los números O, 1,2 o 3, de niños que se sientan a la izquierda delas niñas. En cada caso, los niños se pueden sentar en 3! maneras y las niñas en 2! maneras. Juntos lo puedenhacer en 4 . 3!2! - 4 . 6 . 2 = 48 maneras.

5 . 4 . 3 . 2· 1 = 120 maneras

a) Las cinco personas se pueden sentar en una fila enSolución

ANALlSIS COMBINATORIO318

.n(n-1) n(n-3).2 - n = 2 diagonales

_ ..........El polígono regular de n lados tiene n vértices. Dos vértices cualesquiera determinan un

lado o una diagonal. Así, hay G) = n(n - 0/2 lados más diagonales. Pero como hay n lados, entonces

existen

,Solución a) ~s 8 preguntas se pueden seleccionar en esO) = 45 maneras.

b) Si contesta las 3 primeras preguntas puede elegir las otras 5 preguntas de las últimas 7, en

G) = 21 maneras.

e) Si contesta las. 5 primeras puede elegir las 3 restantes de las últimas 5 en (;) = 10 maneras. Si

contesta 4 de las 5 primeras preguntas, entonces éstas las puede elegir en (~) = 5 maneras, y las otras 4

de las 5 últimas en (1) = 5 maneras; por tanto, puede elegir las 8 preguntas en 5 . 5 = 25 maneras. Así

tiene un total de 35 posibilidades.

Un estudiante debe contestar 8 de 10 preguntas de un examen.a) ¿Cuántas posibilidades tiene? b) ¿Cuántas si debe contestar las 3 primeras? e) ¿Cuántas sidebe contestar por lo menos 4 de las 5 primeras?

b) Para determinar una recta que pase por A, se debe elegir otro punto, entonces existen ti rectas quepasan por A.

e) Corno 3 puntos determinan un triángulo, existen C32) = 220 triángulos.

d) Para determinar un triángulo con vértice en A, es necesario elegir otros 2 puntos, entonces existen(~I)= 55 triángulos con vértice en A.

a) Como 2 puntos. determinan una recta, existen C22) = 66 rectas.SOlución

Se dan 12 puntos en el plano A, B, ... , con la condición de que3 puntos no estén en línea recta. a) ¿Cuántas rectas determinan los puntos? b) ¿Cuántas deestas rectas pasan por el punto A? e) ¿Cuántos triángulos determinan los puntos? d) ¿Cuántosde los triángulos contienen el punto A como vértice?

b) Dos bolas blancas se pueden elegir en (~) maneras, y 2 negras de (;) maneras. Existen

(~)G) = ~ :; : ~:~ = 150maneras de elegir 2 bolas blancas y 2 negras.

e) Existen (~) = 15 maneras. de sacar 4 bolas blancas y (1) = 5 mane~as de sacar 4 bolas negras.

Es decir, 15 + 5 = 20 maneras de elegir 4 bolas del mismo color.

319ANALISIS COMBINATORIO

a) X = Al U A2 U ... U AII; b) A¡ nAj = 4>, i =1= j.

Por ejemplo, si X = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, la familia {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}} de sub­conjuntos de X es un reparto.

Recordemos la siguiente definición. Una partición de un conjunto X es una subdivisión de Xen subconjuntos, que son disjuntos, y cuya unión esX. En otras palabras: la familia {Al' A2, ••. ,

An} de subconjuntos de X es un reparto de X, ssi:

REPARTOS

Solución Existen 212 - 1 = 4096 - 1 = 4095 posibilidades de elegir una o más de las 12 personas.

Existen (\2) + (~2) = 12 + 66 = 78 posibilidades de elegir I o 2 de las 12 personas. Entonces hay

4096 - 78 = 4018 posibilidades de elegir 3 o más personas.

Problema 1O~30_ •• ~_ .' _ <_ ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 o más personas de un grupode 12 personas?

3· (~). 4! = 3· 21· 24 = 1512 palabras empiezan con a y contienen a b

(~).G) .4! = 6·21·24 = 3024 palabras que empiezan con b

d) La otra vocal se puede elegir de 3 maneras y las 3 consonantes dee) maneras. Las 4 letras se pueden

ordenar a continuación de a en 4! maneras. Es decir. se pueden formar

G) .(~). 51 = 5·21' 120= 15.120 palabras que contienen la b

e) Existen (~) posibilidades de elegir las 2 vocales y G) posibilidades de seleccionar las otras 2 con­

sonantes. Las 4 letras se pueden ordenar a continuación de b, en 4! maneras. Entonces se pueden formar

G)' (n .5! = 6·56·120 = 40.320 palabras

b) Las 2 vocales se pueden seleccionar en (~) maneras. Como b es una de las consonantes, las otras

2 se pueden seleccionar de las 7 restantes en (~) maneras. Cada paJabra se puede ordenar de 5! maneras.

Entonces se pueden formar

Solución a) Existen (~) posibilidades de seleccionar las 2 vocales de las 4 vocales y G) posi­

bilidades de seleccionar las 3 consonantes de las 8 consonantes. Además. cada palabra de 5 letras se puedeordenar en una fila en 5! maneras. Entonces se pueden formar

~ - ~~..,..-Problema 10-29 Considere 4 vocales incluyendo la a y 8 consonantes incluyendo la b.

a) ¿Cuántas palabras de 5 letras, que contengan 2 vocales diferentes y 3 consonantes distintas,se pueden formar oon las letras? b) ¿Cuántas de ellas contienen a b? e) ¿Cuántas de ellas em­piezan con b? d) ¿Cuántas de ellas empiezan con a y contienen a b?

ANALlSIS COMBINATORIO320

repartos ordenados y diferentes, de la forma (Al' A2, ..• , A,). Al contiene 111 elementos, A2

contiene 112 elementos, ... , A" n, elementos.

Teorema. Sea A un conjunto con n elementos. Sean ni' n2, ... , n, enteros positivos talesque nI + n2 + ... + n, = n. Entonces existen

(:) (n ~2 ni) (n - n,:3- n2) ... (n - ni - n2;: ... - 11,-1)

El resultado anterior se puede generalizar en el siguiente teorema:

( 7) (5) (2) = 7·6 ')5·4·3·2·1. = 2102 3 2 1·2·1·2·3·1·2

que determinan la misma partición de A.

Existen G) posibilidades de elegir las primeras 2 bolas; G) de elegir las 3 siguientes y

(~) de elegir Las2 últimas. .

Entonces el número de repartos ordenados, diferentes y posibles de A en subconjuntosAl' A2, AJ, son:

{{6, 7}, {3, 4, 5}, {l, 2}}y{{l, 2}, p, 4, 5}, {6, 7}}

del conjunto de las 7 bolas en subconjuntos: A I con 2 bolas, A2 con 3 y AJ con 2. A éstos losllamamos repartos ordenados, porque se hace distinción entre las familias

Suponga que una urna contiene 7 bolas, numeradas del! al 7. Se desea calcular el número deposibilidades de sacar primero 2 bolas de la urna, después 3 y finalmente 2. En otras palabras:se quiere calcular el número de repartos ordenados

REPARTOS ORDENADOS

Así, el reparto-intersección es {{l, 2}, {3,4}, {5}, {6, 7, 8}, t/J} o simplemente {{l, 2},{3, 4}, {5}, {6, 7, 8}}.

{5, 6, 7, 8}n {l, 2} = t/J{5, 6, 7, 8} () {8, 4, 5} = {5}{5, 6, 7, 8} n {6, 7, 8} = {6, 7, 8}

{l, 2, 3, 4} () {l, 2} = {l, 2}{l, 2, 3, 4} () {3, 4, 5} = {3, 4}{l, 2, 3, 4} () {6, 7, 8} = t/J

Ejemplo 10-7. Si X = {l, 2, 3,4, 5,6, 7, 8}, considere los repartos e = {{l, 2, 3, 4}, {5},{5, 6, 7, 8}} y {{l, 2}~p, 4, 5}, {6, 7, 8}} de X. El reparto-intersección es

Solución____ Sea x E X. Entonces x pertenece a algún Alo y a algún BJo. porque a y <B son repartos de X.Así x E Aio () Bjo y, por tanto, pertenece a un elemento del reparto C.Por otra parte, suponga que x e z¿ () BJoY XE Al, () D},. Entonces X EAjoY XE Al"de donde Aio = Aj, ..

puesto que a es un reparto de X. Análogamente, Bio = Dl,. Entonces Aio () DJo= Al, () D}, y, por tanto,reparto e es un reparto de X.

Si (l = {Al' A2, ..• , An} Y<B = {Bl, B2, .•• , Bm} son dos repartosdel conjunto X, entonces el reparto-intersección e = A, () Bj; A¡ E (l Y Bj E <B, es un repar­to de X.

321ANA LISIS COMBINATORIO

Existen 2!;~\3! = 25.200 repartos ordenados de X en 4 subconjuntos con 2, 2, 3 y 3

esludiantes, respectivamente. Cada reparto desordenado {Al' A2, BI, B2} de X determina 2! . 2! = 4 re­-partos ordenados de X. Así, existen 25.200/4= 6300 repartos desordenados.

B!~~~~-!.~'~.•.36!u.N ¿De cuántas maneras se puede dividir una clase X de 10 estudiantespara formar 4 equipos A 1> A2, B l' B2, si los dos primeros contienen 2 estudiantes y los dosúltimos 3?

Como cada partición, sin tener en cuenta el orden, determina 2! = 2 repartos ordenados, existen 20/2 = LOrepartos donde no se tiene en cuenta el orden.

) 6! d d d 3 bconi 2 dib Existen 2!2!2! = 90 repartos or ena os e su conjuntos con estu iantes cada uno. Como cada

reparto si:'!ordenar determina 3! = 6 repartos ordenados, hay 90/6 = 15 repartos sin orden.

a) Existen ~ = 20 repartos ordenados de 2 subconjuntos cada uno y con 3 elementos.3!3!

. ~Solucjó"..,¡:j......._ ~

-~,.., -- _ ..__

¿De cuántas maneras se pueden dividir 6 estudiantes: a) para formar2 equipos con 3 estudiantes cada uno; b) 3 equipos con 2 estudiantes cada uno?

12!4!4!4! = 34.650 repartos

Solución Se quiere hallar el número de particiones de los 12 estudiantes en subconjuntos de 4 es­tudiantes cada uno. Por el teorema anterior este número es:

---.--.-.._.....-r !~blém~ 1p.~~:En una clase hay l2 estudiantes. ¿De cuántas maneras pueden los12 estudiantes resolver 3 tests diferentes si 4 estudiantes toman cada test.

7!3!2!2! = 210 repartos

~ . ."501uo160 El número de particiones ordenadas de los 7 objetos en subconjuntos con 3, 2 y 2 ele­

mentos, respectivamente. según el teorema anterior son:

-:"J ~ ,...~~~

Proble.m~.1~..32~.¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 niños si almás joven se le dan 3 y a los restantes de a 2?

PROBLEMAS RESUELTOS

Nota. La demostración de este teorema corresponde al Ejercicio 13 y para ello tenga encuenta que

ANALlSIS COMBINATORIO322

Resp.: a) 22 = 4; b) 63 = 216; e) 2(23) = 16; d) 26 = 64.

8. Sea A = {l, 2, 3, 4, 5, 6}. a) ¿Cuántos subconjuntos de A no contienen números impares? b) ¿Cuán­tos subconjuntos de A contienen por lo menos un número impar? e) ¿Cuántos subconjuntos de Acontienen por lo menos un número par y uno impar?

Resp.: a) 23 = 18; b) 126; e) 26 - 23 - 23 + 1 = 49.

9. Sea A = {O,I}, B = {I, 2, 3} y e = {2, 3, 4, 5}. Halle el número de elementos de los siguientesconjuntos:

7. ¿De cuántas maneras distinguibles se pueden ordenar dos vasos blancos y dos negros en una fija?Dibuje un árbol. Resp.: 6.

12! = 69600Resp.: 3!3!3!3! 3 . .

6. Hay 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna cuatro veces ensucesión?

Resp.: 4, 8, 16, 2".

5. ¿Cuántas posibilidades existen al lanzar una moneda dos veces, tres, cuatro, ... , ti veces?

3. El nacimiento de 8.11 es en marzo o abril. ¿Cuántas posibilidades existen para su fecha de nacimiento?Resp.: 61.

4. Se lanza un dado. Si resulta un número par, el dado se lanza de nuevo, mientras que si resulta un nú­mero impar, se lanza una moneda. ¿Qué puede suceder?

Resp.: 5.

2. Un saco contiene dos bolas rojas, una amarilla y una verde. Las bolas se sacan en sucesión, sin rempla­zarlas. hasta que se obtenga una bola roja. ¿Cuántas posibilidades existen de formar sucesiones decolores con las bolas que se sacan? Dibuje un árbol.

1. Un saco contiene una bola roja, una amarilJa y una verde. Las bolas se sacan en sucesión, sin devol­verlas al saco. hasta que quede vacío. ¿Cuáles son las posibles sucesionesde colores que se obtienen?

Resp.: 3! = 6.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Solución a) Cada subconjunto A de X determina un reparto ordenado {A, CA} de X y, por tanto,existen 210 = 1024 repartos ordenados. Cada reparto desordenado {A. B} determina dos repartos orde­nados {A, B} Y {B, A}; por tanto, existen 1024/2= 5 J 2 repartos desordenados.

b) Suponga que cada equipo puedecontener por lo menosun estudiante, entonces no seacepta un equipocon 10estudiantes y el otro equipo con ninguno. Entonces existen 512 - 1 = 511 posibles equipos.

J- ._-

Problema 10!36 a) ¿De cuántas maneras se puede dividir en dos subconjuntos unconjunto X con .10 elementos? b) ¿Cuántos equipos se pueden formar con un conjunto de 10es-~~~? .

2. Existen (~O) maneras de elegir 4 estudiantes que formen los equipos A 1 YA 2 Y3 maneras en que

los 4 estudiantes se pueden dividir en dos equipos con 2 estudiantes cada uno. Por el problema anterior, exis­ten 10maneras de dividir los6 estudiantes restantes en 2 equipos con ~estudiantes cada uno. Entonces existen

(~O) .3. 10 = 210·3·10 = 6300 maneras de repartir los estudiantes

323ANALlSIS COMBINATORIO

25. En el producto (1 + xr(l + xf, ¿cuál es el coeficiente del término xn-2 expresado. empleando losnumeros e: (p = O, 1, ... , n)?

24. Establezca que: C! = e:::i + 2C:::4 + e!-2'

. { eJ = ey+123. Resuelva en N, el siguiente sistema para x y y 4e; = 5ér Jx x

22. Establezca que e:,· c:.=~= e: .e! con p :$; 11 :$; m.

n21. Establezca que: e!= (n/p)·e!::~.Calcule: r p·e!.

,=0

s' = e~+ e; + ... + e:ys = e~+ e~+ ... + e:

20. Calcule: (1 + Ir y (1 - Ir.Deduzca la expresión en función de n de:

Indicación. Desarrolle (1 + xr y aplique a x = 3, - 3.

•S·= r (-3)'e:

,,"0

19. Calcule: S == 1+ 3.e~+ 32 • e; + ... + 3' . e: + ... + 3~,y,

"18. Muestre por inducción sobre n que r P' p! = (n + 1)! - 1.,-,

16. Exprese en factoriales: x = /I(n1 - l)(n2 - 4)(n2 - 9).

15. Muestre que si un conjunto finito U tiene un número impar de elementos. entonces U tiene el mismonúmero de subconjuntos que contienen un número par de elementos que el de subconjuntos con unnúmero impar de elementos (cero se considera como un número par).

14. ¿De cuántas maneras distinguibles: a) se pueden ordenar seis bolas de color diferente en una fila;b) se pueden ordenar en una fila dos bolas blancas y dos negras, del mismo tamaño; c) se pueden or­denar en una fila tres bolas negras, dos blancas y una roja, del mismo tamaño?

Res".; a) 6! = 720, b) (V = 15, e) (~) (D = 60.

I/!

13. Muestre que el número de posibilidades de colocar n objetos diferentes en , cajas diferentes, colo­cando nI en la primera, n2 en la segunda, etc., con ". + "1 + ... + /1, = n. es

12. ¿ De cuántas maneras distinguibles se pueden colocar ocho elementos diferentes en tres cajas de ta-maños distintos? Generalice el resultado. Resp.: 38 = 6.561.

11. ¿Cuántas posibilidades existen de formar un comité de cuatro personas elegidas de un grupo de seishombres y seis mujeres, si el comité debe contener más hombres que mujeres?

Resp.: (!) + (n(~)= 135.

10. El siguiente conjunto {(3, O), (1, 1), (2, O). (5, O), (- 1, 1)} es la función característica del subconjun-to S de un conjunto A; halle S yA. Resp.: S = {J, -I}, A = p, J, 2, 5. -I}.

ANAlISIS COMBINATORIO324

Resp.: C1o·Cl.

31. Entre LOOy 1000, ¿cuántos números existen que tengan todas sus cifras diferentes?

32. En un alfabeto con TI letras, ¿cuántas palabras se pueden escribir que contengan 3 letras distintas?En un sistema de numeración base n, ¿cuántos números se pueden escribir y que contengan 3 cifrasdistintas'! (Los números del tipo 012 no se tienen en cuenta.)

33. ¿Cuántos conjuntos existen de dos números x, y entre 2 y 100 si x .¡ y y tales que (x + y) es un múl­tiplo de 4?

34. ¿Cuál es el número de sucesiones de p términos, estrictamente crecientes, que se pueden formar delconjunto E = {l, 2, 3, ... ,ti} con p ~ II?Resp.: A una sucesión creciente estrictamente, con p términos, le corresponde un subconjunto deE con p elementos. Entonces el número es C:.

35. Un agente vendedor parte de una población A y debe pasar por las ciudades B, e, D y E. Constru­ya un árbol de las posibles trayectorias. Construya el árbol de las trayectorias, sabiendo que el ven­dedor debe pasar por C antes de ir a D.

36. Un comerciante vende un artículo. En un viaje puede vender O, 1 O 2 unidades. AJ final del viaje tiene4 unidades del artículo en almacén.

l. Construya el árbol que muestra la evolución del stock pendiente para los tres viajes siguientes,sabiendo que el stock no se puede reaprovisionar durante ese periodo.

2. ¿Cuántas posibilidades diferentes existen en las cuales el stock quede agotado al final de lostres viajes?

37. Se lanza una moneda cinco veces seguidas y se anota si sale cara o cruz. Construya el árbol de las dis­tintas posibilidades. ¿En cuántos casos aparece «cara» por lo menos dos veces seguidas", ¿ por lo menostres veces seguidas?

38. Se tienen 13 monedas del mismo valor, y una de ellas, falsa, pesa menos que las demás. Muestre quecon tres pesadas a lo más es posible determinar cuál es la moneda falsa. Construya el diagrama se­cuencial correspondiente.

39. Un libro tiene 256 páginas y 12 capítulos. Muestre que al hacer ocho preguntas a las cuales se con­testa «si» o «no», es posible determinar el número de la primera página del capítulo 5.

40. En un taller, una pieza debe pasar por cinco máquinas A, B, C, D Y E.. 1. ¿Cuántas trayectorias posibles existen si no se tiene en cuenta el orden de pasada por cada

una de las máquinas?2. ¿Cuántas trayectorias posibles existen si la pieza debe pasar por A antes de pasar por B y D,

y por C antes de pasar por E? Construya el diagrama secuencial correspondiente.

41. Considere los números de cuatro cifras del sistema decimal; la primera cifra de la izquierda diferen­te de cero. ¿Cuántos de tales números existen en los cuales las cuatro cifras son diferentes? ¿Cuántosde tales números existen en los cuales dos de las cifras, por lo menos, son idénticas'?

28. En un plano se consideran seis puntos, tres de los cuales no están en linea recta. a) ¿Cuántas rectasdeterminan'! b) ¿Cuál es el número de puntos nuevos que se obtiene por intersección de las rectas?

Resp.: a) 15 rectas; b) 105 puntos de intersección dan 45 puntos nuevos.

29. ¿Cuántas combinaciones existen de 8 cartas extraídas de un juego de 32 cartas, que contengan: a) unrey; b) dos reyes? Resp.: a) 4CIs; b) C¡· Q8'

30. Sea E el conjunto {O, 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9} y F el conjunto {a, b, e, d, e, f,g: h}. ¿Cuántas combi­naciones diferentes que contengan 4 cifras y 3 letras se pueden formar?

Resp.: C;:.. n,27, ¿Cuál es el número de diagonales de un polígono de 11 lados?

26. Demuestre que: C!+wr= C::,+ C:,-IC: + ... + C:;'-QC! + ... + C:.

Indicación. Traduzca los dos miembros de la igualdad (1 + xr(1 + xr = (1 + xr+n.

Deduzca el valor de Sn,2 = C~C;+ ... + C: . C:"2 + ... + C;:-2C;:.n-h .-h

Además, calcule: S¿ h = 1: C:C: +o.p~O

Indicación. Traduzca los dos miembros de la igualdad (1 + xf(1 + xf = (1 + X)2 ",

325ANAlISIS COMBINATORIO

51. En las siguientes expresiones hallar el término que contiene a b '.

50. Empleando la fórmula del binomio, calcular:(1,01)6 (1,99)6(0,99)6 (9.99)6(0,98 )6

49. Calcular, con la ayuda de la fórmula del binomio, las expresiones(x-yy6 (a-b21s(1+2x)S (a + b)8(2-xf (2a+bt

(a - 3b)S

¿Se puede deducir la segunda fórmula a partir de la primera?

e~+ e,!+ e; + + e: = 2"eO - el + e: - (- 1re" = o" n n n

(2n)!46. Pruebe que: a} - = 2"[1 ·3 . 5, ... , (211- 1)J.

II!(4n)!n!

b) (2n + 1)(2/1 .+ 3)(2n + 5), ...• (411 - 3}(4n - 1) = 2"[(2n)!]2

47. Halle sobre el triángulo de Pascal una manera simple de calcular la suma de los términos de una colum­na. Halle y demuestre la fórmula correspondiente. Aplique esa fórmula para calcular la suma de losn primeros números naturales.

48. Calcule con la ayuda de la fórmula del binomio:

1. e!¡~= e!'" 1 + 2C! + e!- 1

2. e!· ctz; = C:· e! si k ~ p ~ 11

42. Demuestre las fórmulas siguientes: O: = 0:-1 + p' O:::.Construya un triángulo análogo al triángulo de Pascal, cuyos términos son los diferentes valores

de O: para n s 8.

43. En un comité de diez personas, repartidas en dos grupos de cinco, se va a hacer una elección de un,comité formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario. a) ¿Cuántos comités diferentesse pueden formar con las diez personas? b) ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar si el pre­sidente y el vicepresidente deben pertenecer a dos grupos diferentes?

44. Se eligen cinco cartas de un juego de 32. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer la elecciónsi entre las cinco cartas hay: a) exactamente tres reyes; b) por lo menos tres reyes; e) dos corazonesy dos picas; d) dos cartas de un color y tres de otro?

45. Halle el valor de la relación e; . ei,,/ej" si n tiende a infinito. Demuestre las siguientes fórmulas:

326 ANALlSIS COMBINATORIO

327

En otras palabras, (t, es un álgebra si es clausurativa para las operaciones de unión y com­plementación. Observe que hemos definido un álgebra en términos de propiedades de perte­nencia en una clase de conjuntos.

Por lo anterior, vemos que CP(U) es un álgebra de conjuntos. El lector puede verificar sindificultad que la clase {4>, U} es también un álgebra. Así nos aseguramos de que no estamoshablando de un conjunto vacío. A continuación se dan algunos teoremas con relación al ál­gebra (t.

Axioma 2. Si A E a, entonces, CA E a.

Axioma l. Si A, B E a, entonces A U BE a.

Hemos visto que determinados sistemas de las matemáticas están formados por conjuntosdotados de leyes de composición u operaciones (que son conjuntos) sobre esos conjuntos.En los capítulos anteriores sc estudiaron las operaciones de «unión» e «intersección». El símbo­lo n se definió como un medio de producir un nuevo conjunto a partir de un par de conjuntosdados. Si A YB son subconjuntos de un conjunto universal U, entonces A n B, por definición,es un subconjunto de U. Dicho de otra manera: como A y B son elementos de <peU), el con­junto A n B es también un elemento único de <P(U). Pero esto implica que n se puede con­siderar como una operación binaria sobre <P( U), es decir, una aplicación de <peU) x <P(U)en <P(U). Como de costumbre, n[(A, B)] se representa por A n B y (A, B) E <P(U) x <P(U).Esto muestra que n es una operación. Algo similar podemos decir de U. mientras que (-)se puede considerar como una aplicación de <P(U) en <P(U) aJgunas veces llamada operaciónunaria.

Las operaciones de unión, intersección y complementación tienen la propiedad de queCP(U) es cerrado para cada una de ellas. Esto es debido a la forma como se definieron dichostérminos. ¿Existen subconjuntos propios de <P( U) que sean cerrados para una o más de estasoperaciones? Si es así, podemos empezar a formar sistemas matemáticos, empleando las ope­raciones de conjuntos como operaciones. Tales sistemas son el objetivo de este capítulo. Vere­mos algunas aplicaciones al final del mismo.

El primer sistema que estudiaremos se reduce a expresar la clausuratividad sobre una clasede subconjuntos. Sea U un conjunto universal no vacío. Un subconjunto no vacío (t, de <P(U)se llama un álgebra de subconjuntos si se verifican los siguientes axiomas:

ALGEBRA DE CONJUNTOS

Aplicaciones de la teoría deconjuntos

CAPITULO 00

Si d es un álgebra y A¡ e d, i = 1,2, ... , n, pruebe por inducción quennAl Ed. Pruebe el mismo resultado empleando el Teorema 4 y la ley de De Morgan.

1= 1

'1~"""~"_"".~

!;..:~~I,!~~~n."ljJ Eal n al' Si A, B Eal n al' entonces A, B Eal y A, BEa2, entonces A U B Eal>A U B Eal y A Eal' CA Eal'

SidI ydz son dos álgebras de subconjuntos de un universo U,muestreque dI n dz =F 4>. Entonces demuestre que 111n dz es un álgebra.

\PROBLEMAS RESUELTOS

Demostración. Si n = 2, la conclusión es el enunciado del Axioma 1 y, por tanto, es verda­dera. Supongamos que la afirmación es verdadera para n = k y sea n = k. + 1, Y nos dan

le Ie+ 1 "A¡ e d, i = 1,2, ... , k + 1.Ahora U A¡E d por la hipótesis de inducción y U A¡ = (U A;)

i= 1 ;= 1 ;= 1le le

U A/c + l' Como U Al E d y Ale + 1 E d (U Al) U Ale + 1 e 11por el Axioma 1.Así, si el teorema{= 1 ¡=1

es verdadero para n = k es verdadero para n = k + 1. Por el axioma de inducción, es ver-dadero para todo n.

nTeorema 4. Sea d un álgebra. Si A¡ E 11para i = 1, 2, ... ,n, entonces UA; E d.

i-l

Si A, B, e son tres elementos de un álgebra, entonces, por el Axioma 2, nos aseguramosde que A U B también pertenece a d. Pero entonces, considerando a A U B como un elementode d y lo mismo e, el Axioma 2 garantiza que (A U B) U e es un elemento de d. Aplicandoel Axioma 1 repetidamente, por inducción matemática, demostramos que la unión de cualquiernúmero finito de elementos de d es un elemento de d. Enunciemos esto como el siguienteteorema.

Demostración. Si A, BE d, entonces CE Ed por el Axioma 2 y A n CB E 11 por el Teore­ma 1. Pero A -;-B = A n en, por tanto, A - BE d y, similarmente, B - A E d. TambiénA b. B_ = (A - B) U (B - A) Ed por el Axioma 1.

Teorema 3. Si A, BE d, entonces A - B Ed y A b.B Ed.

Demostración. Como d =F 4>, 3A tal que A Ed, entonces CA Ed por el Axioma 2 y, portanto, A n CA Ed por el Teorema 1. Pero A n CA = 4>, por tanto, 4> Ed y, por consiguiente,U = C4> Ed por el Axioma 2.

Teorema 2. 4> E d y U E d.

Demostración.. Suponga que A, B E d. Entonces CA, CB E d por el Axioma 2 y CA U CB E dpor el Axioma 1. Pero C(A n B) = CA U CB; por tanto, C(A n B) Ee, entonces A n B =C[C(A n B)] Ed por el Axioma 2.

Esto muestra, aunque no se postuló, que d también es cerrada para la operación n y esuna consecuencia necesaria de los dos axiomas.

Teorema l. Si A, B Ee, entonces A n B Ed.

328 APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJU.NTOS

Axioma 2. x U (y U z) = (x U y) U z y x n (y n z) = (x n y) n z, si x, y, z e B. Lasoperaciones son asociativas.

Axioma l. x U y = y U x y x n y = y n x, si x, y EB. Las operaciones son conmu­tativas.

Hasta el momentose desarrolló la teoría de conjuntos en una forma intuitiva. Es posible for­malizar una parte de la teoría de conjuntos si se aceptán algunas propiedades.

Si se observan detalladamente los teoremas que se estudiaron en los capítulos anteriores(Capítulo 2) vemos que algunos de ellos son consecuencia de otros. En otras palabras: si setoman algunos teoremas básicos como axiomas, los otros se pueden deducir a partir de esosaxiomas. En este sentido, la colección de conjuntos, con las operaciones apropiadas de con­juntos, hipótesis y teoremas derivados, constituyen un ejemplo específico de 10 que es un sis­tema matemático. Los conjuntos constituyen una interpretación del sistema. A continuaciónvamos a dar las propiedades fundamentales de los conjuntos que se requieren como axiomasdel sistema llamado álgebra de Boole.

Un álgebra de Boole es un sistema (B, U, ü ) en el cual B es un conjunto y U Y n las ope­raciones sobre B que satisfacen Jos siguientes axiomas:

ALGEBRA BOOLEANA

Es evidente que es un anillo; no es un álgebra porque U =f. </> por hipótesis; por tanto,Soluci6nU fÍ {</>}.

Muestre que {</>} es un anillo de subconjuntos de cualquier universo U.Problema 11-6¿Es {</>} un álgebra?

A - BE <R, B - A E <R y A 6. B = (A - B) U (B - A) e <R por los axiomas.-Solucl6n

muestre que A ~ BE ffi.Sea ffi un anillo de subconjuntos de un universo U. Si A, Be ffi,

Solucfc$n El Axioma l de un anillo es el mismo que el de un álgebra. Si A, B E a y a es un álgebra,entonces CB e a por el Axioma 2 y A - B = A nCB e<Rpor el Teorema l.

Sea U un universo. Un anillo de subconjuntos de U se define comouna clase no vacía, <R, de subconjuntos de U tales que si A, BE ffi, entonces: a) A U Be ffi yb) A - B e (l. Demuestre que toda álgebra es un anillo.

1:+1para n = k + 1, n Al Ea.

j= 1t+ I • ft.. n

En efecto, n Al = (n AI)nAul. Como CA¡ea, C(nA,) = U (CA,)ea=> n A, = cre n A¡)e(i.i=1 ;-1 ¡-1 i:;1 1=1 i=l

.lSupongamos que para n = k la proposición es verdadera, es decir, n A¡ e a. Vamos a mostrar que

329APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Demostración. Sea x EB (hipótesis). Entonces x' existe por el Axioma 5. Suponga que, con­trario a-la conclusión, existe y :/= x' que satisface el Axioma 5. Entonces la siguiente sucesiónde proposiciones, con sus razones, es aceptable:

Teorema 2. Si x E B, entonces x' es único.

Demostración. Suponga que O no es único; por tanto, existe Xo :/= O tal que x U Xo = x paratodo x EB. En particular, O U Xo = O. Pero Xo U O = Xo por el Axioma 4 y Xo U O = O U Xopor el Axioma l. Entonces O = O U Xo = Xo y, por tanto, Xo = O y Xo :/= O, 10 cual es unacontradicción. Por reducción al absurdo, O es único. La demostración de que 1 es único essimilar.

Teorema J. O Y 1 son únicos.

Es conveniente Dotar que U y n no se deben confundir con la unión e intersección de con­juntos. (por esa razón se emplearon símbolos más pequeños para indicar las dos operaciones.)Hasta el momento, 10 único que sabemos es que son operaciones sobre el conjunto B. De lamisma manera, no se debe confundir O y 1 con los símbolos que representan el uno y el cerode los enteros. Son simplemente elementos de B (por tanto, B :/= q,), que tiene propiedadesparecidas a las de los enteros para la suma y la multiplicación. También existen diferenciasen el Axioma 5.

La persona experimentada en matemáticas no tiene problemas al emplear símbolos comoéstos en otro contexto en el cual se cambie el significado. Una alternativa es inventar dos símbo­los especiales que no tengan este tipo de interpretación, pero esta ventaja se debe compararcon la ventaja de usar O, por ejemplo, porque el objeto B se comporta como un «cero» en arit­mética y, por tanto, el símbolo O sugiere posibles propiedades. El resultado de todo esto, de­bemos confesarlo, es un poco de ambigüedad, que precisamente es lo que hemos querido eliminaren los capítulos anteriores.

Observemos que si se hace B = 6>(U), el conjunto de partes de un conjunto universal Uno vado, e interpretarnos las operaciones U y n como la unión e intersección de los conjuntos,identificarnos O con q" 1 con U, y I con e; que es precisamente una interpretación de un álgebrade Boole. En realidad, tal sistema motivó la definición. Existen otras interpretaciones comose verá.

También es conveniente mencionar que los axiomas que se dieron no son los mínimosrequeridos para definir el álgebra de Boole. Se puede demostrar que las leyes asociativas sonteoremas deducidos de los axiomas restantes. En este caso, no es necesario darlos entre la listade axiomas. Sin embargo, la demostración, aunque no es muy dificil, contiene más detallesque las que se darán a continuación. Esto no crea ningún problema, simplemente es una re­dundancia.

Como es útil para los objetivos que nos proponemos, incluimos las leyes asociativas comoaxiomas de la teoría. Algunas de las propiedades que se demostrarán a continuación son pro­piedades familiares y conocidas del álgebra de Boole, que forman el conjunto de partes deun universo.

En lo que sigue se supone que se da un álgebra de Boole (B, U, ü ) arbitraria.

Axioma 5. Para cada x en B existe x' E B tal que x U x' = 1 y x n x' = O (x' se llamacomplemento de x).

Axiomá 4. Existen dos elementos diferentes, O y 1, en B tales que x U O = x y x n 1 = xpara todo x E B (O y 1 se llaman, respectivamente, cero y unidad de B, o ele­mentos identidad).

Axioma 3. x n (y U z) = (x n y) U (x n z) y x U (y n z) = (x U y) n (x U z), si x, y,Z E B. Las operaciones son distributivas la una con respecto a la otra.

APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS330

por el Axioma 5por. el Axioma 4por el Axioma 3por el Axioma 5por el Axioma 1por el Axioma 4

La demostración de que x n O= O es análoga.

1 = x U x'= x U (x' n 1)= (x U x') n (x U 1)= 1 n (x U 1)= (x U 1) n 1=xU1

Demostración. De nuevo la demostración está dada por una sucesión de proposiciones yrazones. Sea x E B, entonces:

Teorema 5. Si x E B, entonces x U 1 = 1 Y x n O = O.

Un resultado interesante, en futuros cálculos, se obtiene cuando se intercambian U y n enel Axioma 4.

por el Axioma 4por el Axioma 5por el Axioma 3por el Axioma 5por el Axioma 4

por el Axioma 4por el Axioma 5por el Axioma 3por el Axioma 5por el Axioma 3

x=xnl= x n (x U x')= (x n x) U (x n x')= (x n x) U O=xnx

También,

x=xUO= x U (x n x')= (x U x) n (x U x')= (x U x) n 1=xUx

Demostración. La demostración se reduce a la siguiente sucesión de proposiciones y razo­nes. Sea x EB, entonces:

Teorema 4. Si XE B, entonces x U x = x y x n x = x.

El siguiente teorema demuestra la idempotencia de las operaciones U y n.

Demostración. Sea x E B Yy = x'. Por el Axioma 5, x ·Ux' = 1y x n x' = O.Pero x U x' = .x' U x y x n x' = x' n x por el Axioma 1. Así, x' U x = 1 Y x' n x = O, es decir, y U x = 1y y n x = O. Pero de nuevo y U y' = 1 y y n y' = O por el Axioma 5; por tanto, y' = X porel teorema de unicidad 2 o (x')' = x, remplazando x' por y.

Teorema 3. Si x E B, entonces (x')' = x.

Haciendo los cambios necesarios, se obtiene que y = y U x' y x' U y = y U x' por el Axio­ma 1. Así, y = x' y y =f x', lo cual es una contradicción. La unicidad del complemento nospermite probar que (x'), = x (similar a CCA = A).

por el Axioma 4por el Axioma 5 aplicado a ypor el Axioma 3por el Axioma 1 aplicado a x' U xpor el Axioma 5 aplicado a x U x'por el Axioma 1por el Axioma 5

x' = x' U O= x' U (x n y)= (x' U x) n (x' U y)= (x U x') n (x' U y)= 1 n (x' U y)= (x' U y) n 1= x' U y

331APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Estos son los teoremas principales del álgebra de Boole. Otros resultados se mostraránen los Problemas.

El lector puede observar que algunos de los teoremas anteriores, en realidad, son dosteoremas en uno. Por ejemplo, el Teorema 5, la primera proposición es x U 1 = 1, la segundaproposición es x n O = O, que resulta de la primera si se remplaza U por n y 1 por O. Estaobservación es un ejemplo de lo que se conoce con el nombre deprincipio de dualidad. Se enun­cia diciendo que si p es un teorema que contiene U, n, 0, 1, entonces la proposición que re­sulta al cambiar U por n y O por 1, en todo, se llama teorema dual de p.

Esto muestra que x' n y' da el mismo resultado que (x Uy)', por tanto, (x Uy)' = x' n y'según el teorema de unicidad 2. Como x', y' E B, se tiene al remplazar x por x' y y por y', enlo que se acabó de demostrar, que (x' Uy')' = (x')' 0 (y')' o x n y = (x' Uy')'. Entonces,(x n y)' = (Ix' Uy')')' = x' Uy' por el Teorema 3.

(x Uy) U (x' n y') = [(x Uy) U x'] n [(x Uy) UY'l= [x' U (x U y)] n [x U (y U y')]= [(x' U x) U y] n [x U 1]= (1 U y) n 1=lnl=1

(x U y) n (x' n y') = [(x U y) n x'] n y'= [(x n x') U (y n x')] n y'= [O U (y n x')] n y'= (y n x') n y'= y' n (y n x') = (y' n y) n x' = O n x'=0

y

Demostración. Sean x, y E B. Entonces x Uy EB y (x Uy) U (x Uy)' = 1 Y (x Uy) n(x Uy)' = ° por el Axioma 5. Ahora,

Teorema 8. Si x, y E B, entonces (x Uy)' = x' n y' y '(x n y)' = x' Uy'.

Finalmente demostraremos las leyes de De Morgan, que son las versiones abstractas delas leyes de De Morgan para conjuntos.

Demostración. Aplicando el Teorema 5 primero con x = O se obtiene O U 1 = 1 y despuéscon x = 1se obtiene 1 n O = O. Como O U 1 = 1 U O, por el Axioma 1, tenemos que 1 U O = 1Y 1 n O = 1. Esto quiere decir que O = 1', según el Axioma 5 y el Teorema de unicidad 2.Como O = 1', O' = (1T = 1, por el Teorema 3.

Teorema 7. O' = 1 y I ' =.0.

La demostración de que x n (x U y) = x es análoga.

por el Axioma 4por el Teorema 5por el Axioma 3por el Axioma 4por el Axioma 1

x = x n 1= x n (y U 1)= (x n y) U (x ü J)= (x n y) U x= x U (x n y)

Demostración. Sean x, y E B, entonces:

Teorema 6. Si x, y E B, entonces x U (x n y) = x y x n (x Uy) = x.

Otro teorema que tiene muchas aplicaciones en las simplificaciones es el siguiente:

APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS332

repetida.b) (x U y U z)' = «x U y) u z)' = (x U y)' n z' = (x' n y/) n Z' = x' n y' n Z'.

e) Análogo a b).d) (x U y) n (x' u z) = «x U y) n x') U «x U y) n z)

= ((x n x') U (y n x'» U «x U (x' n y» n z) por el Problema 11-8.= (x' n y) U «x n z) U (x' n y n z)= «x' n y) U «x' n y) n z) U (x n z) (ley asociativa para U)= (x' n y) U (x n z) por el Teorema 6 aplicado a x' n y.

a) (x' n y) n (x n y') = (x' n x) n (y n y/) = 0, empleando la ley asociativa en formaSolucl6n

a) (x' n y) n (x n y/) = O.b) (x Uy Uz)' = x' n y' n z', si x Uy Uz se define como (x Uy) Uz. Generalice este

resultado a cualquier número finito de elementos de B.e) (x n y n z)' = x' Uy' U z', si x n y n z se define como (x n y) n z. Generalice este

resultado como en b).d) (x U y) n (x' U z) = (x n z) U (x' n y).

__ ~;o....;.. ...... Emplee los teoremas de esta sección para mostrar que las siguientesrelaciones son teoremas, con x, y, Z E B.

No. Si B = {O, 1, x} con x -+ O y x -+ 1, ¿qué es x'?Solución

elementos?

x U (x' n y) = (x U x') n (x u y) = 1 n (x u :Y) = x u y.\

Solución

Pruebe que si x, y E B, entonces x U (x' n y) = x Uy.

Análogamente, y = y n (x Uy) = O.Si x n y = 1, entonces x' U y' = O=> x' = O A y' = O=> x = 1 A Y = 1, empleando el principio de

dualidad.

Suponga que x U y = O. Entonces x = x n (x U y) por el Teorema 6= x n O por hipótesis= O por el Teorema 5.

Solución

Pruebe que si x, y son elementos de B, entonces x Uy = O=> x = Oyy = O, mientras que x n y = 1 => x = 1 Y Y = 1.

Dé los detalles de las demostraciones que faltan en los Teoremas 1,4,5.

Suponga que (B, U, n ) es un álgebra de Boole.

PROBLEMAS RESUELTOS

333APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

[x] [Q] [y] = [x U y][x] [QJ [y] = [x n y]

A propósito, el teorema anterior demuestra que x U y = y <=> x n y = x, uniendo lasd~ ~rt5. .

Una manera muy importante de deducir una nueva álgebra de Boole a partir de una dadaes hallando una relación de equivalencia en B.

No es suficiente la relación de equivalencia, es necesario saber cómo se relaciona dicharelación de equivalencia y las operaciones. Con este fin definimos una relación de congruenciaen un álgebra de Boole que se representa por ~, y para que sea una relación de equivalenciaen B tal que si x ~ y, entonces (x n z) ~ (y n z) y (x U z) ~ (y U z) para todo Z EB; ade­más x' ~ y'.

Una relación de congruencia es primero que toda una relación de equivalencia; entoncesel conjunto B se particiona en clases de equivalencia y, por tanto, un nuevo conjunto (una clase)se forma. Sea (B la clase formada por el conjunto de todas las clases de equivalencia. Se designapor [x] una clase de equivalencia arbitraria. x EB. Sabemos que dos clases de equivalenciason iguales si, y solamente si, [x] = [y] -ee- x ~ y. Ahora es necesario definir' una operación­en (B para definir un álgebra de BooIe cuyos elementos son las clases de equivalencia del con­junto original B. Para distinguir las nuevas operaciones de Jas originales, las encerraremosen un cuadrado.

Las definiciones son las siguientes: Si [x], [y] E (B se define:

Demostración. Suponga que x -< y. Entonces x n y' = O y. por tanto, y = y U O = y U(x n y') = (y U x) n (y U y') = (x U y) n J = x U y. Recíprocamente, si x U y = y, enton­ces, x' n y' = y' y x n y' = X n (x' n y') = (x n x') n y' = O n y' = O; por tanto, x -< y.Hemos mostrado así que x < y 6 x U)' = y. La otra demostración de que x -< y es análoga.

Teorema 3. Sean x, y E B. Entonces x < y <=> x U y = y y x < y -ee- x n y = x.

Demostración. Si x = y, entonces x' = y' y x n y' = X n x' = O, y y n x' = y n y' = O;por tanto, x -< y y y -< x. Suponga que x -< Ji Y y -< x, por tanto, x n y' = O y y n x' = O.Entonces x = x U O = x U (y n x') = (x U y) n (x U x') = (x U y) n I = x U y. Tambiény = y U O = y U (x n y') = (y U x) n (y U y') = (x U y) n 1 = x U y. Así, x = x U y = y.

Teorema 2. Sean x, y E B. Entonces x = y <:> X -< Y Y y -< x.

Demostración. Suponga que x -< y y y -< z. Por definición esto quiere decir que x n J' = Oy y n z' = O. Entonces x n z' = (x n z') n t = (x 0 z') n (y U y') = (x n z' n y) U (x n z'n y') = (x n O) U (O n z") = O U O = O. Pero de nuevo, por definición, esto quiere decirque x -< z.

El siguiente teorema permite generalizar el resultado de conjuntos que dice: A = B si,y solamente si, A ~ B y B ~ A.

Teorema l. Sean x, y, Z E B. Si x -< y y y -< r, entonces x < z.

De todas las propiedades de un álgebra de Boole que se abstrajeron de las propiedades de losconjuntos no se mencionó ninguna análoga a la inclusión. La' analogía existe y se puede darde varias maneras equivalentes. Sea (B, U, ü ) un álgebra de Boole y suponga que x, y EB.Diremos que x -< y (x inferior a y) si, y solamente si, x n y' = O. A continuación se va a. demostrar la ley transitiva para la relación de orden -<. Se supone que se trabaja sobre un ál­gebra de Boole (B, U, n).

ORDEN y CONGRUENCIA

APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS334

Sea (B, U, ü) un álgebra de Boole. Muestre que la igualdad es unarelación de congruencia y halle el álgebra inducida correspondiente.

a) x < y ~ x n y' = O -ee- y' n (x')' = Oc;> y' --<x'.b) Suponga que x --<y y x --<z. Entonces x n (y n e)' = x n (y' U z'] = (x n y') U (x () z') =

O·UO=o~x--<ynz.e) x n (y U z]' = x n (y' n e') = (x n y') n :' = O n z' = O.

si, x,y,zEB:a) x~y<:>y'-<X'.b) Si x -< y y x -< z, entonces x < y n .:.e) Si x~y, entonces x-<y U z para todo z.

Sea (B, U, n) un álgebra de Boole. Demuestre los siguientes teoremas

PROBLEMAS RESUELTOS

¿Cuál es el cero y la unidad para esta nueva álgebra de Boole? Obviamente, [O] y [1],respectivamente. Debemos mostrar que sirven para el Axioma 5. [O] y [1] existen porque de­penden de la definición de clases de equivalencia. Suponga que [x] E<B. Entonces [x] [Q) [O] =[x U O] = [xJ y [x] n [11 = [x n 1] = [x]. ¿Es posible que [O] y [1] no sean diferentes?Si ~ es B x B. entonces x ~ )' para todo x, y E B; por tanto, O ~ I Y [OJ = [1]' Sin em­bargo, B x B no es un caso interesante. Por tanto, restringimos ~ a una relación no vacíaen B distinta de B x B. Finalmente, debemo hallar el complemento de un elemento [x] quesatisfaga el Axioma 5. La clase de equivalencia [x'] sirve porque [x] [Q] [x'] = [x U X'J = [1]Y [x] lOJ [x'] = [x n x'] = [O]; por tanto. [x]' = [x']. que es el complemento de [x]. Hemosmostrado que se verifican todos los axiomas y, por consiguiente, (<B, [Q), [Q]) es un álgebrade Boole, que se dice inducida por ~. Congruencias diferentes dan lugar a álgebras inducidasdiferentes.

Se deja al lector la verificación de las leyes distributivas.

por definición de [Q]por definición de [Q]por el Axioma 2 de (B, U, n)por definición de [Q]por la misma razón

[x] [Q) ([yJ [QJ [zJ) = [xJ [QJ ([y[QJ .n= [x U (y U.:)]= [(x U y) U .:]= [x U y] [Q] [.:]= ([x][Q] [yJ)[Q] [=]

Ahora vamos a ver que el nuevo sistema así definido (ffi, [Q], lOJ) es un álgebra de Boole.Esto quiere decir que debemos verificar que se cumplen todas las hipótesis que definen un ál­gebra de Boole. Primeramente, que ffi no es vacío puesto que B no lo es. La forma en que sedefinieron las operaciones [QJ y lOJ DOS asegura que son operaciones sobretB. Así, [Q) : <B x <B -. <By lOJ: <B x<B -.<B.

Verificación de los axiomas: Suponga que [x], [y] E (B, por tanto, x, y E B. Se sabe quex U y = y U x, por tanto, x U y ~ y U x porque son el mismo elemento de B. Entonces[x] [Q) [yJ = [x U y] = [y U xJ = [y] [Q] [x]. También [x] lOJ [y] = [yJ lOJ [x]. Esto mues­tra que [Q] y [Q] son conmutativas. Que es consecuencia de la conmutatividad de las operacio­nes originales.

Sea [x], [y], [.:] E<B. Vamos a verificar una de las leyes asociativas, la otra se deja comoejercicio. La ley asociativa para [QJ es consecuencia de la siguiente sucesión de proposicionesy razones:

335APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Es fácil ver que en un álgebra binaria O -< O, O -< 1 Y 1 -< 1.Otro ejemplo interesante de álgebra de Boole está dado por el análisis de asignar valores

de verdad a las proposiciones, que se estudió en el Capitulo 1. Recuerde que se empezó con unconjunto no vacío So de proposiciones y a cada una de las cuales se le asignó un valor de verdad.Se definieron los conectivos lógicos -, A, V Ycombinando las proposiciones de So por mediode los conectivos se obtuvo un conjunto S, al cual llamamos proposiciones compuestas. Paracada elemento de S los valores de verdad se definieron por aplicaciones repetidas de las tablasfundamentales. Si A Y v se toman como operaciones sobre el conjunto S, entonces (S, 1\, v)es un álgebra de Boole identificando a S = B, U = v y n = A. Vamos a verificar esto.

El primer problema que se presenta al tratar de construir un álgebra de Boole a partirdel conjunto S es el hecho de que debemos darle un significado diferente a =, distinto del deidentidad. La razón es que si p y q son proposiciones e igualdad significa identidad (que tienenexactamente la misma forma), entonces p v q =1= q v p, es decir, no se verifica el primer axioma.Interpretamos la = como una equivalencia (recuerde que p A q.;:> q A p, si tienen el mismovalor de verdad). Teniendo en cuenta lo acordado anteriormente, la mayoria de los axiomasde un álgebra de Boole son consecuencia inmediata de la lista de tautologías que se da en losEjercicios del Capítulo 1.

Los primeros tres axiomas equivalen a las leyes llamadas «conmutativa», «asociativa»y «distributiva». Recuerde que p = q si, y solamente si, p.;:> q es una tautología.

Los Axiomas 4 y 5 exigen que identifiquemos los elementos O y 1 Y ', Como S =1= 4>, seapES. Entonces p v -p es una tautología y, por tanto, un elemento de S. Suponga que1 = P v-p. Si q =1= p, q v - q es también una tautología, por tanto, q v - q = p v - p = 1.En realidad, si r es cualquier tautología, r = 1, como se puede verificar al escribir la tabla deverdad.

Ahora sea 0= p A -p. Como p A -p es una contradicción, es siempre falsa y, porconsiguiente, cualquier contradicción q es igual a cero.

Las Tablas 11-3 y 11-4 muestran que O y 1 verifican las condiciones del Axioma 4, p E Ses arbitrario.

Tablas de las operaciones u. (1

Tabla '1-1 Tabla 11-2

U O n O, O O O O O

1 O

Hemos visto que el conjunto B de un álgebra de Boole debe contener por lo menos dos ele­mentos, O y 1. Puede suceder que B no contenga más elementos. En este caso, si los axiomas.se verifican, las definiciones de U y n quedan fijadas. Porque según los Axiomas 1 y 4 se tieneque O U O = O, O U 1 = 1 U O = 1. Por el Teorema 4, 1 U 1 = 1. Empleando el principiode dualidad y el mismo argumento, se tiene que O n O = O 1) 1 = 1 n O = O, y 1 n 1 = 1.

Si B = {O, 1} y definimos U y n como en lo anterior, el sistema (B, U, n ) es un álgebrade Boole, el álgebra más simple que se puede tener. A esta álgebra la llamamos álgebra booleanabinaria, y las operaciones se resumen en las Tablas 11-1 y 11-2.

ALGEBRAS DE BOOLE ESPECIALES

Por ejemplo. [x] fQI [y] = [x Uy] = {x Uy}.

(B = {[x]; [x] = {x}, xEB}

..:=--..p. ~~.

,;;¡:~..!~~~">.. Es obvio que la igualdad es una congruencia.

APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS336

El lector habrá observado que existe una similitud entre el álgebra de Boole y la aritméticaordinaria, expresada de varias maneras, como la similitud que se presenta entre las operacionesU y n, la suma y multiplicación de la aritmética. Existen también algunas diferencias. Porejemplo, x U x = x en un álgebra de Boole, mientras que la proposición x + x = x es ver­dadera solamente si x = O en la aritmética ordinaria.

Las diferentes leyes de la aritmética (no todas) con respecto a la suma y a la multiplica­ción se resumen diciendo que el sistema (E, +, .)es un anillo. Un anillo en el sentido que sedefinió anteriormente. Repetimos la definición y nos referiremos al sistema como un anilloalgebraico en contraste con el anillo de conjuntos que se definió en el Capitulo 8.

Un sistema (R, +, .) es un anillo algebraico si (R, +) es un grupo abeliano y (-) es unaoperación sobre R que verifica las propiedades: a) x . (y . z) = (x· y) . z y bj x . (y + z) =(x : y) + (x· z) para todo x, y, z E R. El anillo se dice que es conmutatioo si el producto lo es,y se llama anillo con unidad si 31 ER tal que x . 1 = x para 'rJxE R. El neutro aditivo del grupo

ANILLOS ALGEBRAICOS

Muestre que (8, U. n) es un álgebra de Boole. Tenga cuidado con el Oy el I del álgebra. Halle x' paracada x EB. ¿Cuál es la interpretación de la relación de orden en esta álgebra?

2. Sea B = {l, 2, 5, lO}el conjunto de los divisores de 10. U y n se definen en las Tablas 11-5 y 11-6.

Tabla 11-5 Tabla 11-6

U 2 5 10 n 2 5 10

1 1 1 1 1 1 2 5 102 2 I 2 2 2 2 10 105 1 5 5 5 5 10 5 10

10 2 5 10 10 10 10 10 10

1. Sea N el conjunto de los números naturales. Un subconjunto A ~ se llama semifinito si A o CA esfinito. Sea 8 el conjunto de todos subconjuntos semiñnitos de . Interpretando a U y n como la unióne intersección. muestre que (8, U, n) es un álgebra de Boole.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ahora nos queda por identificar el complemento. Si hacemos p' = - p entonces para cadap E S, 3p' E Scon p v p' = 1 y p j\ p' = O,según la discusión anterior. El sistema (S, v, 1\)

es un álgebra de Boole y llamamos a este sistema cálculo proposicional.En el álgebra de Boole del cálculo proposicional, ¿cuál es la relación de orden? Por de­

finición, p -< q significa que p 1\ p' = Oo empleando la ley de De Morgan, -p v q = 1, esdecir, según una definición anterior, p =:> q = 1. Esto es lo mismo que decir que p =:> q es unatautología. Por tanto, p -< q si, y solamente si, p implica tautológicamente a q.

P l P 1\ J (p 1\ l)-=> p

V V V VF V F V

p O p v O (p v O) -=>p

V F V VF F F V

Tabla 11-4Tabla 11-3

Tablas de verdad de p v O y P 1\ 1

337APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

4. Si x EB, muestre que x 6 1= x' y x 6 x' = 1.

5. Empleandola definiciónx - y = x n y' para todo x, y E B, muestreque x 6 y = (x U y) - (x n y).

3. Pruebe que n es distributiva con respecto a 6. Es decir, si x, y, Z EB, entonces x n ll'6 z) =(x n y) 6 (x n z).

EJERCICIOS PROPUE~TOS

x t: (y6=) = x6. «y n z ') U (y' n z )= [x n «y n =0) U (y' n =»)'] U [x' n «y n ZO) U (yO n =»]= [x n «y n =')' n (yO n =)')] U [(XO n y n ZO) U (XO n yO n z)]= [x n «yO U z) n (y U ='}J U [(x' n y n ZO) U (XO n y' n z)]= [x n «= n y) U (y' n ;0»] U [(x' n )' n ZO) U (x' n y' n z)]= [(x n y n =) U (x n y' n 1')] U [(x' n y n z') U (xO_n y' n z)]= [(x n y' n z') U (x' n y n z')] U [(x n y n r ) U (x' n yO n z)]= [«x n yO) U (XO n y)) n ='] U [«x n y) U (x' n y'» n z]= [(x 6. y) n ='J U [«x U y') n (x' U y» n =J= [(x 6. y) n ='J U [(x 6.)")' n =J= (x 6. y)6..:

Sedeja al lector la verificación de los pasos anteriores. El neutro (: . 'J z) n (y U z') = (z n y) U(y' n z') en el paso cinco y (x 6. y)' = (x U)") n (x' U y) en el paso nueve. se deben verificarseparadamente.

En cuanto al neutro del sistema (B, 6.), sea x E 8. Entonces x 6. O = (x n O') U (x' n O) =(x (l 1) U O = x n 1 = x; por tanto, O sirve como el elemento neutro con respecto a 6. ¿Cuáles la recíproca de x? Observe que x 6. x = (x n x') U (x' n x) = O U O = O, el neutro, portanto, es x" J = x. Como x es arbitrario, esto dice que cada elemento es su propia reciproca.¿Es única la recíproca? Sí, porque es consecuencia de los axiomas de grupo.

Con esto hemos mostrado que (B, 6.) es un grupo abeliano.Se deja como ejercicio al lector verificar que n es distributiva con respecto a 6. Una vez

hecho esto, podemos afirmar que el sistema (8, 6, n ) es un anillo. Como n es conmutativa,el anillo es conmutativo. También el elemento 1 es el neutro con respecto a n ; por tanto, elanillo es conmutativo y con unidad.

Sabemos que x n x = x para todo x E 8, por tanto, n es idempotente. Los anillos quetienen esta propiedad para la operación (-) se llaman idempotentes. Así, (B, 6, ü ) es un anilloconmutativo, con unidad e idempotente (algebraico). Esto establece una relación entre el ál­gebra de Boole y un anillo algebraico.

(R, +) se representa por O. Podemos entonces decir que el sistema (E, +, .) de la aritméticaes un anillo conmutativo con unidad con O y 1, el cero y la unidad de la aritmética.

Suponga que (B, U, ñ ) es un álgebra de Boole. Como n es distributiva con respecto a U yasociativa, el sistema formará un anillo si (B, U) es un grupo abeliano. Este no es el caso, porqueno todo elemento tiene una recíproca con respecto a U. En otras palabras, si x EB arbitrario,no es siempre posible hallar x" 1 E: B tal que x U x-I = O.

Ahora vamos a cambiar la operación U por 6., la diferencia simétrica de los conjuntos,como operación aditiva. Sabemos que 6. se define por la relación x 6. y = (x n J') U (x' n y)para todo x, y E B. Si se prefiere, se puede primero definir x - y = x n _v' y entonces escribirx 6.)' = (x - y) U (y - x) para- que tenga un mayor parecido con la definición que se diopara conjuntos. En cualquier caso, 6. : B x B - B porque B es cerrado para las operacionesU y n, por tanto, 6. es una operación sobre B.

A continuación vamos a ver que (8.6.) es un grupo abeliano. Vamos a verificar los axio­mas. Si x, y E 8, entonces x 6 y = (x n y') U (x' n y) = (y n x') U (y' n x) = y 6. x ; em­pleando repetidamente las leyes conmutativas para U y n. Así 6. es conmutativa. La ley aso­ciativa es consecuencia de los siguientes cálculos, x, y, z E 8:

APUCACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS338

x abierto, y abiertox abierto, y cerradox cerrado, y abiertox cerrado, y abierto

Estado de la redEstado de los interruptores

F(X, Y) = F(O, O) = OF(X, Y) = F(O, 1)= 1F(X, Y) = F(1, O) = 1F(X, Y) = F(1, 1) = 1

x = 0, y = OX = O, y = 1X = 1, Y = OX = 1, Y = 1

Interruptores

Tabla 11-7

Para tener una idea de la relación que existe entre una red de interruptores y el álgebrade Boole, consideremos dos interruptores conectados en paralelo. Los interruptores se indicancon las letras x y y en el diagrama. Cada interruptor tiene dos estados: abierto o cerrado. Laelectricidad fluye o no de un extremo del circuito al otro dependiendo del estado de los interrup­tores. Vamos a representar por Oun interruptor abierto y por 1 un interruptor cerrado. Comoel estado de un interruptor es variable, es decir, cerrado o abierto, representemos el estadodel interruptor x por X y' el de y por Y. Si x está cerrado, X = 1, Ysi x está abierto, X =O.Sonlos únicos valores que pueden tomar X y Y. Representemos por F el estado de una red en pa­ralelo. F = Osi la red está abierta y F = 1 si la red está cerrada. Como el estado de la red estádeterminado por el estado de los dos interruptores, F debe ser una función de dos variablesX y Y; por tanto, F = F(X, Y). Cuando x y y están ambos abiertos la red está abierta, y cuandoUDO de los dos está cerrado la red está cerrada, como lo indica la Tabla 11-7.

Figura 11-5Figura 11-4

~L--- _ _;-_.

Y

x

Dos interruptores están conectados en serie si, y solamente si, el circuito está cerradocuando los dos interruptores están cerrados, y abierto si uno de los interruptores está abierto.La Figura 11-3 muestra una conexión en serie. Dos interruptores están conectados en para­lelo si, y solamente si, el circuito está cerrado cuando uno o ambos interruptores están cerra­dos y abierto cuando los interruptores están abiertos. La Figura 11-4 muestra una conexiónen paralelo. Una combina, ón de interruptores que no está conectada ni en serie ni en paralelose llama un puente. La Figura 11-5 muestra una conexión en puente.

Figura 11-3Figura 11-2 .Figura 11-1

vxx

A continuación se da una explicación breve de la terminología de la conexión de redes y algu­nas de las maneras convencionales de dibujarlas. Un interruptor es un dispositivo que sirvepara cerrar o abrir un circuito eléctrico. Un circuito eléctrico puede contener varios disposi­tivos eléctricos como interruptores, resistencias, etc.; sin embargo, para la aplicación quevamos a considerar nos interesan únicamente los interruptores. Por esta razón, en lo que sigue,una red de interruptores la llamaremos simplemente una red, y todos los elementos de la redserán interruptores. En el esquema de un circuito, un interruptor se representa como lo indicala Figura 11-1; sea un interruptor como el representado en la Figura 11-2.

APLICACIONES AL ESTUDIO DE LAS REDES

339APLICACIONES DE LA lEORIA DE CONJUNTOS

En la Figura 11-6(b)se indican los resultados de la Tabh 11-7 aplicados a la función in­terruptora F(x, y) = x + y. La Figura (e) muestra que O + O = O, O + 1 = 1 + O = 1 Y1 + 1 = 1. La última expresión es la única diferente de la suma de números.

Ahora considere los elementos especiales <p euque siempre existen en el álgebra de Booley construya una tabla de la operación U sobre estos elementos como lo indica la Figura 11-6(d).Observe la similitud que existe entre las tablas (e) y (d) de dicha figura. La tabla (d) se puedeobtener de la tabla (e) remplazando + por U, O por cP y 1 por U.

Ahora vamos a considerar la red formada por dos interruptores conectados en serie, comolo indica la Figura 11-7(a). Sea F(x, y) = x· y la función interruptora de los dos interruptoresconectados en ser e I su tabla correspondiente (d). La red está cerrada cuando x y y están cerra­dos. Esto sugiere la tabla de multiplicación que se da en la Figura 11-7(e), en la cual O . O =O· 1 = 1 . O = O. 1 . 1 = 1; los números O y l se comportan como el uno y el cero de la mul­tiplicación de números. Si se construye la tabla de la operación n para los elementos cP e udelálgebra de Book , Figura 11-7(d), observamos que la tabla es semejante a la dada en (e). Denuevo es posible cambiar de una de las tablas a la otra, simplemente cambiando por n, O por <py 1 porU.

Otra semej mza entre una red y los elementos de el álgebra de Boole se obtiene si se re­presentan los irterruptores de estados opuestos por x y x', Así, si x está abierto, x' está cerra­do, y si x está cerrado, x' está abierto. Este comportamiento se representa en forma tabularen la Figura 1 -8(a) y se puede comparar con la tabla de la Figura 11-8(b) que da el resultadode la operaci. rl prima sobre <p y U en el álgebra de Boole.

Figura 11-6

(d)(e)(b)(a)

F(x. y) = x + y

xu q, Uq, q, UU U U

+ O I

O O II I J

x y F(x. )1)

O O OO 1 1I O II I I

••

En la práctica no se diferencia entre el interruptor x y el estado X del interruptor x, ambosse representan por la misma letra x. Esto no produce ninguna confusión, puesto que se puededeterminar el significado del signo x por su uso. En un dibujo esquemático de una red x re­presenta un interruptor, pero en la función interruptora de la red x representa el estado delinterruptor. Por consiguiente, emplearemos letras minúsculas para representar, bien sea losinterruptores o los estados.

Nota. Los símbolos O y 1no son el cero y uno de la aritmética y + no indica la suma ordinaria.

Entonces F(X, Y) = X + Yes la función interruptora de dos interruptores x y y conectadosen paralelo.

F(X, Y) = X + y

A la función F(X, Y) se le llama función interruptora de la red, y queda completamentedeterminada por el estado de la red, en términos de los estados de los interruptores involu­crados en la red. La notación F(X, Y) no indica que los interruptores estén en paralelo; paraindicar este estado se escribe:

APLICACIONES DE LA TEOAIA DE CONJUNTOS340

Establecida esta correspondencia, estamos en capacidad de transcribir los axiomas deel álgebra de Boole en proposiciones con relación a las redes. Antes de hacer esto se va a hacerénfasis en algunos puntos y a convenir otras notaciones.

1. Observe que una letra x desempeña un papel dual, porque representa un interruptorde una red y su estado; es decir, además de representar un interruptor representa una variabledel álgebra que puede tomar los vaJores O o l.

2. Cuando se escribe x + yz, esto significa x + (y. z); es decir, la misma convencióngobierna el orden de las operaciones + y. para redes, así como el orden que gobierna la sumay multiplicación de números.

3. A veces x representa no solamente el estado de un interruptor, sino el de toda la red.

4. Dos redes Si y S2 son equivalentes si ambas están cerradas o abiertas para el mismoestado de los interruptores de Si y S2. Se escribe SI '" S2.

Ahora vamos a mostrar que una red satisface los axiomas y teoremas de el álgebra deBoole.

El axioma x Uy = y U x se convierte en x + y = y + x, aplicando la correspondenciaque se estableció. Se puede interpretar como la proposición de que las dos redes en paralelo

a b--o-- y --o-- son equivalentes. Esto es verdad. Los axiomas restantesb a

se interpretaron de una manera análoga. (Vea Tabla 11-8.)

n 4> Ut t t

O

Algebra de Boole: x x' Ut t t

Red: x x' +

Ahora estamos preparados para establecer una correspondencia entre una red y el mo­delo matemático, el álgebra de Boole.

(b)

Figura 11-8

El lector puede comprobar que se verifican cada uno de los axiomas que definen el ál­gebra de Boole aplicados al conjunto {4>, u} con las operaciones U, n y " como se dan en lastablas de las Figuras 11-6(d), 11-7(d) y 11-8(b). Por consiguiente, es el álgebra de Boole for­mada por dos elementos. Lo mismo sucede con el conjunto {O, 1} para las operaciones +, .y "definidas en las tablas de las Figuras 11-6(c), 11-7(c) y 11-8(0).

(d)(e)

n t/J U

t/J t/J t/JU t/J U

o 1

O O O1 O 1

Figura 11-7

(b)

F(x. y) = x- y

(a)

x y n». y)O O OO 1 O1 O O1 1 1

x y

341APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

a

a

a---c:=}-

b

a

a

o

Red

·a

~

o

~b

aao

a---c:=}-

7. a + ab = a

6. a(a + b) = a

5. a + (a + b) = a + b

4. a' a = a

3. a + a = a

2. a· O = O

1. a+1=1

Teorema

Todos los teoremas del áJgebra de Boole se pueden aplicar a las funciones interruptorassin más justificación.

_0_o

a

a a

-0-0-b e

eu

a b

-c=J-.eo b

o'(l

a---c:=}-

o'

o

-cJO

o

o-===::rb e

•• ___.:o::..._.....s.s:......_e

o11

(l

---c:=}-

obo

b--o--•• --,-:a::..._....>--~b_. _

a---c:=}-

b

a a' = O

Axioma S a + o' = I

o+O=a

Axioma 4 a- I = o

a + b . e = (a + b)(a + e)

Axioma 3 a(b + el = ab + ac

aibc) = (ab)e

Axioma 2 o + (b + e) = (o + b) + e

a'b=b'a

Axioma 1 o + b = b + o

RedAlgebra de Boole o funcióninterruptora

Tabla 11-8

APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS342

a b e a

a b' e • e I •• •a' b' e b'

Figura 11-11

Como únicamente uno de los dos interruptores b o b' queda en el diagrama simplificado,se puede remplazar por b o b'.

Ejemplo 11-3. F(a, b, e) = abe + ab'c + a'b'c= c(ab + ab' + a'b')= e(a(b + b') + a'b')= e(a' 1 + a'b') = c(a + a'b')= c«a + a')(a + b')) = e(1 (a + b')) = e(a + b').

Figura 11-10

yx

x1--- .....-•

x y'

En este caso, y y y' pueden ser dos interruptores diferentes; por tanto, la red de los cuatrointerruptores se puede remplazar por uno solo.

Ejemplo /l-2. F(x, y) = xy' + xy= x(y' + y)= x : 1= x.

Figura 11-9

)'

1--- .....-•

x

Se empicaron en su simplificación únicamente los axiomas; también se puede usar el Teore­ma 7. En la red, dos interruptores se indican por la misma letra x. Esto no quiere decir quesean el mismo interruptor, únicamente que siempre están abiertos o cerrados.

Ejemplo 11-1. Fix , y) = x + xy= (x : 1) + xy= x(I + y)= x· 1= x.

Ahora vamos a aplicar el modelo matemático a la simplificación de redes. Dada una red,por medio de la correspondencia que se estableció, se puede obtener su fuoción interruptora,que a la vez se puede simplificar empleando el álgebra de Boole. Esta expresión simplificadase puede a su vez reinterpretar y así obtener su red correspondiente. Si resultan menos interrup­tores en la nueva red, entonces diremos que la red ha sido simplificada. En una industria queproduzca muchos productos con la misma red, al eliminar varios interruptores puede significaruna economía. En los ejemplos que siguen a continoación la red se puede simplificar sin re­currir al álgebra de Boole; pero el interés es simplificarla empleando el álgebra de Boole.

343APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Para un polinomio mínimo en n variables hay dos maneras de seleccionar la primera va­riable Xl o x~, dos maneras de seleccionar la segunda variable X2 o x;, ... , dos maneras deseleccionar la n-ésima variable XII o x~; entonces hay Z" polinomios mínimos en n variables.

X; • X2 • X3

xi . X; . x)Xl . X; . X3,

X~ . X2 . X)

Xl . X2 . X),

X~ . X~ . X3

Xl . X2 . X3'

Xl . X~ . X)

Los polinomios mínimos en tres variables Xl; X2 Y X3 son

Definición. Un polinomio booleano mínimo en n variables Xl' X2' •.. , x; es el «producto»de n letras en los cuales la i-ésima letra es x¡ o xi.

Por ejemplo, los polinomios mínimos en dos variables x I y X2 son:

A continuación se van a dar algunos teoremas y definiciones que son útiles en las redes.

a, a', O = a . a' y J = a + a'

Como estamos interesados en aplicaciones del álgebra de Boole a las redes, el álgebrade Boole formada por el conjunto {O,1}Y las operaciones + y . y I se emplearán en lo quesigue.

Sea2a = a + a,3a = a + a + ay,engeneral,ka = a + a + ... + a, kveces;a2 = a· a,a3 = a . a . a y, en general, tf = a· a, ... , a, k veces. Por el Teorema 4, ka = a y a" = a.Por tanto, ni múltiplos ni potencias aparecen en los polinomios de Boole. En una variablehay solamente cuatro polinomios booleanos, a saber:

Definición. Una función booleana o polinomio de Boole es una expresión derivada al apli­car un número finito de aplicaciones de las operaciones U, n y . a los elementos de un álgebrade Boole.

Cuando una red se expresa verbalmente y se desea convertirla en una red, esto se puedehacer empleando las funciones booleanas de varias variables.

~ x = w

~ ~yz

y w(a) (e)

Figura 11-12

Como la red del puente no está formada por conexiones en serie o en paralelo, no es po­sible escribir la función interruptora simplemente observando el puente. Lo que se debe haceres determinar cuándo el puente está cerrado o abierto. Hay cuatro trayectorias distintas através del puente, como se puede observar en la Figura 11-12(b). Si los interruptores de cualquiertrayectoria están cerrados, la red está cerrada; de otra manera, la red está abierta. Por tanto,la red está cerrada cuando xy, o yz, o xwz, o ywz, o ywy, estén cerradas, y abiertas de otra ma­nera. Entonces la función interruptora fes f(x, y, z, w) = xy + yz + xwz + ywy = xzw + xy +yz + yw = xzw + y(x + z + w), como se muestra en el diagrama (e) de dicha figura.

Ejemplo 1I-4. Determine la función interruptora del puente que se da en la Figura 11:-12.

344 APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Empleando este teorema podemos resolver los siguientes Problemas.

G(x, y, z) = G(l, 1, l)xyz + G(l, 1,O)xyz' + G(l, O, l)xy'z + G(O, 1, l)x'yz + G(l, O,O)xy'z'+ G(O, 1, O)x'yz' + G(O, O, l)x'y'z + G(O, O, O)x'y'z'.

F(x, y) = F(l, l)xy + F(l, O)xy' + F(O, l_)X'y + F(O, O)X'y'

Teorema *. Las funciones booleanas F(x, y) y G(x, y, z) tienen las siguientes formas canónicas:

Dos polinomios son iguales cuando al expresarlos en forma canónica resultan Idénticos.El teorema final tiene que ver con las formas canónicas y se deja al lector su demostra­

ción. Es conveniente recordar que una función f(x, y) está definida cuando los valores de lafunción se conocen para todos los posibles valores de las variables x y y. En el caso presente,las variables de la función, así como la función, solamente pueden tomar los valores Oy l. Portanto, f(x, y) queda completamente especificada cuando Jos valores de f(l. 1), f(l, O),J(O, 1)y feO, O) se conocen.

Definición. Un polinomio booleano se dice que está en forma canónica cuando se expresacomo «suma» de polinomios mínimos.

Abora cada término de la función booleana F está formado por todas las letras, con tilde osin tilde, cada una figurando una sola vez y conectadas por (:) y los términos relacionados por +.

F = (x· y' . z) + «x'· z)· 1) = (x· y' . z) + {(x' . z) . (y + y/))

= (x· y' . z) + (x' . y . z) + (x' . y' . z)

Por consiguiente, F se puede escribir como

Y = I . Y = (x + x') . Y = (x . Y) + (x' . Y)

Si un conjunto Y no contiene una letra, digamos x o x', esta letra se puede incluir en elconjunto remplazando Y por 1 . Y, por el Axioma 5, y remplazando 1 por x + x', como sigue:

F = «x" . y') . z) + (x' . (x + z» = (fx : y') . z) + (x": (x + :))= (íx : y') . z) + «x' . x)+{x' . z))

= (x . y' . z) + (x' . x) + (x' . z)

= (x· y' . z) + O + (x' . z) = (x· y' . z) + (x' . z)

Las primas se pueden quitar de esta expresión por el Teorema 8 y las dobles primas por el Teore­ma 3. El resultado es el siguiente:

F = F(x, y, z) = «x' + y)' . z) + (x'· (x + z)

No se da una demostración formal de este teorema, simplemente lo ilustramos por mediode un ejemplo. Sea F un polinomio booleano

Teorema. Existe una sola manera de escribir un polinomio booleano como Oo como la «suma»de polinomios mínimos.

345APLICACIONES DE LA TEORtA DE CONJUNTOS

La red se da en la Figura ll-14(a).

g(x. y• .:) = g(l, 1, l)xy= + g(I, 1, O)xyz' + gel, O. l)xy'.:- + g(O, 1, l)x'yz +g( l. O.O)x/z' + g(O. 1. O~\"y.:-·+ g(O,O, l)x'y'.:- + g(O, O, O)x)i':'g(x. y, z) = xyz + xy'z' + x'yr' + x'y'.:.

Las dos primeras líneas de la Tabla 11-9 indican que el circuito está abierto cuando x estáabierto y y y z ambos cerrados o abiertos. Las líneas 3 y 4 indican que el circuito está cerrado cuandox está abierto y y y .:- tienen estados opuestos. Continuando de esta manera. se puede completar la tabla.Empleando el Teorema • se obtiene

x y z g(x, y, z)

O O O OO I I OO I O IO O I 11 O I O) I O O1 O O I1 I ) 1

Tabla 11-9

Diseñe la siguiente red empleando tres interruptores x, y y z. La redestá cerrada cuando x está abierto, a menos que)' y z estén ambos abiertos o ambos cerrados, encuyo caso el circuito está abierto. También está cerrado cuando x está cerrado, a menos quey o z (pero no ambos) estén cerrados, en cuyo caso el circuito está abierto.

;JC y'/\ r->----"• • ~: '.../'x' y

(b) (e)

Figura 11-13

(a)

x y F(x, y)O O OO 1 11 O 11 I 1

Esta red se muestra en (b) y, en la práctica, esto se obtiene por dos interruptores como los de (e).

[(x, y) = [(1, l)xy _¡_ [(1. O)xy' + [(O, 1)x'y + [(O,O)x'y'[(x, y) = O' xy + 1 • xy' + I . x'y + O . x'y'[(x, y) = xy + x'y.

-Solución Suponga que los dos interruptores están abiertos y que la luz está apagada; por tanto,podemos llenar la primera fila de la Figura 11-13(0). Si uno de los interruptores está cerrado, la luz se en­ciende. Esto se indica en las filas dos y tres. Cuando los interruptores están en estados opuestos al original,la luz está apagada. Esto se indica en La última fila. Por tanto,

ferentes.Halle una red que pueda controlar una luz desde dos puntos di-

PROBLEMAS RESUELTOS

APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS346

x

.-cJ---'1

)C v(a)

x x

~

x x}'

lo t- -z w zwlb)

Figura 11-17

xra 11-]7.

-P,ói.Terira ~1::¡i-¡"_," _ Establezca la equivalencia de las redes que aparecen en la Figu-

Figura 11-16

(b)(a)x' JI

x :••~x__ ~y~'¡_ ~~

JI(e)

x ySolucl6n

interruptoras:(a) f(x, y) = x{x + y') + x'y, (b) fix, y, z, 10) = xy(z + w') + (x + z)(x + w).(e) f(x, y, z) = (x' + y)'(xz + y).

Dibuje la red que representan cada una de las siguientes funciones

(a) f(z, y, z) = xl)' + z). (h) /(x, y. =) = xy(x' + :) + y(y' + r '),(e) f(x,)' • z, w) = x(y(x' + w) + =(x + y'».

Solución

: «x y y

"-cJ-- x u'xl' y'

z )' zz' x

(a) (Ir) irl

Figura 11-15

fPri~i!~,~lf1~.dEscriba la función interruptora, f, para cada una de las redes queaparecen en la Figura 11-15.

Figura 11-14

Esta función se puede simplificar de la siguiente manera: gix, 'y, z) = x(yz + y'z') + x'()'z' + ),'.:)con un ahorro de dos interruptores, como lo indica (b) en dicha figura. Esta red se puede simplificar másempleando un puente, como lo muestra (e).

~x' y' ::

(e)(b)(a)

347APLiCACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

F(x, y, z) = xy + yz + xxz + yxy = xy + yz + xz + yz= xy + yz + xz,= x(y + z) + yz

Soluci6n La red en puente está cerrada si xy, o yz, o xxz, o yxy están cerradas. De otra manera estáabierta. Por tanto, la función interruptora es

Figura 11-18

y z

Muestre la equivalencia que existe entre el circuito en puente y elcircuito en serie que se dan en la Figura 11-18.

El lector puede comprobar que esta parte del teorema es verdadera para los demás remplazos de x y y.

f{l, 1) = f{l, 1)· l· 1 + f{l, 0)·}·1' + f{O, I}· J'·1 + f{O, 0)·1' ·1'= f{l, 1) + j(l, O). 1. 0+ feO, 1). O. 1 + f{O, O). O· O= f{l, 1) + f(l, O}· O+ f{o, 1). 0+ itO, O}· O= f{l, 1)

Entoncesf{x, y) = f{l, l)xy + f(l, O)xy' + f{O, l)x'y + f{O, O)x'y'

plo, considereEl teorema se demuestra remplazando valores específicosde x y y en la fórmula. Por ejem-Solucl6n

verifica para todos los valores de x y y.• mostrando que la ecuación para F(x, y) se

(h) Sea f{x, y, z, w) la función interruptora de la primera red, entonces f{x, y, z, w) = (x + y +z + w) . (x + y + z) . (x + z). Es la función interruptora de la red simplificada.

F(x, y, z) = (x + yz) + (x + x'y)= x + yz + x + x'y= (x + x) + yz + x'y= x + yz + x'y= (x + x'y) + yz= (x + x')(x + y) + yz= l(x + y) + yz= x + (y + yz)=x+y

(a) Sea F(x, y, z) la función interruptora de la primera red.8oIuct6n

APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS348

Soluel6n a) El agricultor pasa el ganso, vuelve y lleva la zorra y regresa con el ganso. Deja el gan-so, lleva el maíz, vuelve y lleva el ganso. Otra respuesta es: El agricultor lleva el ganso, vuelve y lleva elmaíz; regresa con el ganso. Deja el ganso, y regresa con la zorra; regresa y vuelve con el ganso.

b) Sean F, f,g y e: el agricultor, la zorra, el ganso y el maíz, respectivamente. Construya la Tabla JI-lOempleando la condición de que la red debe estar cerrada cuando la zorra y el ganso o el ganso y el maíz esténjuntos en ausencia del agricultor. Por ejemplo, la primera fila de la tabla representa F, f, g y e en el mismo

Todos los interruptores en la misma posición relativa representarán al agricultor, la zorra, elganso y el maíz en el mismo lado del río. Accionar los interruptores SI y S2 representa al agri­cultor remando el bote para pasar la zorra. La red prenderá una luz roja si se accionan correc­tamente los interruptores apropiados, de otra manera la luz permanece apagada, Para queel lector aprecie el poder del álgebra de Boole trate primero de determinar la red por su cuenta.

S3ganso

S2zorra

s}agricultor

Un agricultor lleva una zorra, un ganso y un saco de maíz. Parallegar al pueblo debe atravesar un río en un bote pequeño, que puede transportar únicamente alagricultor y uno de sus tres artículos que proyecta vender, es decir, la zorra, el ganso o el maíz.(En ausencia del agricultor, la zorra se puede comer el ganso, y el ganso el maiz.)

a) Determine cómo puede el agricultor cruzar el río sin perder el ganso o el maíz (dossoluciones).

b) Empleando interruptores del tipo -< r;>- diseñe una red eléctrica que simu-le eléctricamente el problema anterior, en el siguiente sentido: Los cuatro interruptores SI'S2' S) Y S4 se instalan y se corresponden de la siguiente manera:

f(x, y, z) = (x' + y)'(x + z)' + (yz)'= (x"y')(X'z') + (y' + z')= xx'y's' + (y' + z') = O • y'z' + y' + z'= y' + z' = (x + x')y'(: + z') + (x + x')(y + ),'):'= (x/ + x'y')(Z + e') + (x + X')(yZ' + y'z')= xy'z + x'y'z + xy'z' + x'y'z' + xyz' + xy'::' + x'j-z ' + x'yz'= xyz' + xy'z + xy'z' + xyz' + x'yz' + x'y'z t- x'y'z + x 'y':: ,::::xyz' + xy'z + xy'z' + x'yz' + x'y'z + x'y'z',

b)

a) fl.x, y, z) = «xy')' + z')(z + x')'= «x' + y") + z')(:' . x")= (x' + y + Z')(Z'X)= xX':'+ xyz' + XZ't'= O· z + xyz' + xz'= xyz' + xz'= xyz' + x(y + y')Z'= xyz' + xyz' + xy'z'= xyz' + xy'z',

,SoluCi6n..,

a) ft», y, z) = (Xy')' + Z')(Z + x')'.b) ¡(x, y, z) = (x' + y)'{X + z)' + (YZ)'.

Cambie las siguientes funciones booleanas a su forma canónica.

349APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

•do en el libro.

Dé ejemplos de álgebras de Boole diferentes a las que se han trata-

Figura 11-19

cgfF

rF I I.

• • • • • •• '--- .-- ---- -1- -r- -r- f---e• T T • T •

I I II l

.

e'g'

La Figura 11-19 es la red pedida,

;'(F. f,g, e) = rige + Ffg'c' .. F'fgc' + F'f'gc + Ff'g'c + F'f'g'c'= F'gctf + 1') + Ffg'c' + F'fgc' + F{'g'(e + e')= F'g(c + e'f) + Fg'(/' + c:r)

lado del no y h(F, [. g, el = Osignifica que la red está abierta porque la zorra no se come el ganso y el gansono se come el maíz en presencia del agricultor. La quinta fila representa al agricultor en un lado del no y 1,1zorra, ganso y maíz en el otro lado, y, por consiguiente, la red debe estar cerrada; así, ;'(F, f,g, e) = 1. Dela misma manera se puede completar el resto de la tabla. Observe que los ceros y los unos debajo de las co­lumnas que encabezan F, J, g y e representan únicamente las posiciones relativas del agricultor. zorra, gansoy maíz con respecto al río. no los elementos de un álgebra de Boole, La primera fila de la tabla se puede re-

presentar por el interruptor que es igual a cuatro veces el interruptor ---<f----¡,,;>-- en la misma posición

relativa.Empleando la forma ca~ónica de la función interruptora h(F, f,s. e) se obtiene

350 AP!..ICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Tabla 11-10

TIfl-g e h(F, r.g. e)I • 1 O

1 I O OI 1 O O1 O 1 OO I 1

I O O 1I O O ()

O O 1O U OO O 1I O O 1O O O I OO O I O OO l O O O1 O O O IO O O O O

--_.

A. Doneddu, Mathématiques Superieures el Speciales. Dunod. París, 1969.Alexander Abian, The Theory 01 Seis and Transfinite Arithmetic. W. B. Saunders Co., 1965.C. Bréard, Mathématiques Elémentaires. Editions de l'Ecole. París, 1963.C. Pinter, Set Theory. Addison Wesley, 1971.ChambadaJ, Ovaert, Cours de Mathémattques. Gauthier-Villars. París, 1966.Cluzel, Pougnet, Vissio, Mathématique Termina/e D. Delagrave. París, 1967.Donald R. Horner, Algebraic Elementary Functions & Relations. Holt Rinehart & Wiston, 1971.Gersoo B. Robinson, An Introduction 10 Mathematical Logic. Prentice-Hall, 1969. .Halmos P. R., Naiue Set Theory. Van Nostrand, 1960. .Lipschutz, Theory 01 Sets. McGraw-Hi.IL 1964. .Murray Eisenberg, Axiomatic Theory 01 Sets & Classes. Holt Rioebart & Wiston, 1971.N. Bourbaki, Theorie des Ensembles. Hermann & Cie., 1958.Roger Godement, Cours d'Algébre. Hermann & Cie. París, 1963.Zehna, Elements of Set Theory. Allyn & Bacon, 1962.American Mathematical Monthly,

. BIBLlOG RAFIA

Hemos investigado dos problemas de redes, que se pueden resolver por medio del álgebra deBoole. -El primero consiste en determinar una red equivalente con menos interruptores queuna dada. Esto se logra, primero, caracterizando la red por medio de una función algebraica,llamada función interruptora, se transforma la función por medio del álgebra de Boole y des­pués se reinterpreta la función resultante como una red. Si la red resultante tiene menos inte­rruptores que la original, decimos que ha sido simplificada. El otro problema es delimitar unared que posea determinadas propiedades. Esto se logra determinando el estado de cada in­terruptor y después, empleando la forma canónica, se halla la función interruptora y, por tanto,la red.

e. E. Shanon, en 1938, estudió por primera vez las aplicaciones del álgebra de Boole ala teoría de redes. Con la aparición del computador y el aumento en complejidad de las redestelefónicas, el álgebra de Boole se ha desarrollado en forma muy rápida en los últimos años.El álgebra de Boole también es muy útil en el estudio de la lógica proposicional y en la deter­minación de los subconjuntos de un conjunto .

RESUMEN

351APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

p-p v -q-p 1\ -q

P 1\ -q(p 1\ -q) V (q 1\ -p)

352

-pP 1\ qpvqp~qp~q

NegaciónProposición

Negaciones

Ley de] tercio excluido. p v-p.Ley de la contradicción. - (p 1\ - p).Ley del desprendimiento. p 1\ (p ~ q) ~ q. Modus ponens ..Ley del silogismo. (p ~ q) 1\ (q ~ r) => [p ~ r],Ley de la doble negación. -( -p) -ee- p.Ley de la contrarrecíproca. (p~q)~(-q~ -p).(p ~ q) 1\ -q ~ -p. Modus tolens.(p v q) 1\ - P ~ q.(p => r) 1\ (q => s) 1\ (p V 'q) ~ (r v s). Ley del dilema.(p 1\ q) ~ p. Contracción conjuntiva.[p ~ (q 1\ r)] ~ (p => q) 1\ (p => r).[(p v q) => r] -ee- [(p => r) 1\ (q => r)].(p ~ q) -ee- [(p => q) 1\ (q => p)].[(p 1\ q) ~ r] ~ [p => (q ~ r)]. Ley de exportación.p 1\ (q V r) ~ (p 1\ q) V (p 1\ r).} Leyes distributivas.p v (q 1\ r) -ee- (p v q) 1\ (p V r).- (p 1\ q) ~ (-p v -q).} Leyes de De Morgan.-(p v st= (-p 1\ -q).-(p => q) ~ (p 1\ -q).-(p -ee- q) -ee- [(p 1\ -q) V (-p 1\ q)] ~ (p ~ -q).p => (p v q).

,T-1.T-2.T-3.T-4.T-5.T-6.T-7.T-S.T-9.T-10.T-11.T-12.T-13.T-14.T-15.T-16.T-17.T-1S.T-19.T-20.T-21.

Tautologías

Proposiciones que seemplean con mayorfrecuencia

353

El elemento a pertenece al conjunto A.El elemento a no pertenece al conjunto A.Conjunto vacío.El conjunto A es idéntico al conjunto B.El conjunto A es diferente del conjunto B.Cardinal del conjunto A.El conjunto B está incluido en el conjunto A.B es un subconjunto de A.El conjunto B está incluido estrictamente en el conjunto A.El conjunto B no está incluido en el conjunto A.Reunión de dos conjuntos; se dice «A unión B».Intersección de dos conjuntos; se dice «A intersección B».Complementario de B con respecto a A; se escribe también A-B.Conjunto de partes de A.Producto cartesiano de los conjuntos A y B.La propiedad PI implica la propiedad P2.

La propiedad PI es equivalente a la propiedad P2.

x es equivalente a y con respecto a determinada propiedad.Para todo x. Cuantificador universal.Existe x. Cuantificador existencial.Existe un, y solo un, x. Cuantificador de unicidad.x está en la relación (R con y.x está en la relación (R con y.Para x E X Y y E Y, aplicación de X en Y.Para x E X, y E Y, aplicación recíproca de Y en X.Designa la composición de las funciones JI y f2; se escribe tambiénx -+ JI[f2 (x)].Conjunto de los x que verifican la propiedad P.Si, Y solo si.Imagen de A por la función J = {y : [y = f(x)] y (x E An.Diferencia. simétrica de los conjuntos A y B.x precede a y o x es inferior ay.Conjunto de los números naturales: O, 1, 2, 3,Conjunto de los enteros: -3, -2, -1, -O, 1, 2, 3,

{x/P{x)}SSI

J(A)Ab.Bx-<yNZ

BCAB([_AAUBlA nB

CAB(P(A)AxB

Pl==-P2

PI -ee- P2

x=y'r/x3x3x!

(R(x,y)x(Ry

x-4 yY~XJ1 Q J2

aEAa~A

1>A=BA:f.Bcard (A)BCA

lista de símbolos

I

de un con-Cardinal del conjunto de las combinaciones de p elementosjunto con n elementos; coeficiente binomial.Número de permutaciones de n elementos. P; = O~= n!Correspondencia recíproca de la correspondencia F.Extremo inferior del conjunto X en E.Extremo superior del conjunto X en E.Enteros módulo n.

Conjunto de los múltiphrs-de p: - 3p, - 2p, - p, 0, p, 2p, 3p,Conjunto de los números racionales:Conjunto de los números reales.Conjunto de los números complejos.Nota. Si a cada uno de estos conjuntos de números se les pone un aste­risco significa que a cada uno de esos conjuntos se le quita el elemento 0,. 'Con un signo + en la parte superior indican las partes positivas de cadauno de esos conjun tos.Intervalo abierto.Intervalo cerrado.Intervalo cerrado a la izquierda y abierto a· la derecha.Intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha.Intervalo abierto ilimitado a la derecha.Intervalo abierto ilimitado a la izquierda.Signos lógicos que significan <<110», (,y», «o inclusivo», «implica», «equr­vale», respectivamente.Pareja ordenada formada por los elementos x y y.X es equipotente a y.Conjunto de las aplicaciones de A en B.Elemento neutro.Por tanto.Se infiere que.Ley de composición.Conjunto cociente.Familia de elementos con Índices en l.Intersección de la familia (F¡)¡el'

Unión de la familia (F¡)¡e/'

Cardinal del conjunto de las ordenaciones de p elementos de un conjun­to con n elementos.

LISTA DE SIMBOLOS

Pn

r-1infEXSUpEX

z, O Z/nZ

T, +, *E/m

(x¡)¡eJnF¡utUF¡¡el

O~

(x, y)Eq (X, Y)

BA o g:(A, B)e .

-,I\,V,=>,~

Ja, b[[a, bJ[a, b[]a, bJJa, ~[J~, a[

pZQ

- Re

354

Grafo, antisimétrico, 157de una función, 115de una relación, 81reflexivo, 157representación, 119simétrico, 157

Factorial, 300Falacia, 21Falsedad, 13Familia de conjuntos, 150Función, 116

biyectiva, 123compuesta, 127conjunto de imágenes, 116constante, 117creciente y decreciente, 161dominio, 116inyectiva, 120prolongación, 127recíproca, 124representación, 119sobreyectiva, 121

Elemento, inverso, 185neutro, 183máximo, 162mínimo, 162mayorante, 163minorante, 163maximal, 162minimal, 162regular, 186simétrico, 185

Enumerable, 284Equivalencia, 13Equivalencia tautológica, 14Espacio vectorial, 279Euler, diagrama, 120Extremo inferior, 164Extremo superior, 164

Distributiva, ley, 186Disyunción lógica, 12Dualidad, principio, 332

355

Composición, de relaciones, 86de funciones, 127

Cond,icional, 12Congruencia, 89Conjunción, 10Conjunto, 51 •

cociente, 91equipotente, 281familia, 149, J 52filtrante, 165finito, 283infinito, 283operaciones, 63ordenado, 160-161partición, 90, 152preordenado, 157recubrimiento, 152solución, 63vacío, 58

Conjunto de llegada, 81Conjunto de partida, 81Conmutativa, ley, 14, 181Contrarrecíproco, 24Corte de un grafo, 75Cuantificador, 14-15

existencial, 15universal, 15

Cuerpo, 268característica, 269primo, 276

Decreciente, función, 161Demostración, 22

directa, 24indirecta, 24por contraejemplo, 26por disyunción de los casos, 26por recurrencia o inducción, 27por reducción al absurdo, 25

De Morgan, leyes, 48Diagonal, 74Diagrama en bandera, 57Diferencia de conjuntos, 61Diferencia simétrica, 62Disjuntos, conjuntos, 59

Cadenas, 284Cancelativa, ley, 207Característica, función, 148Cardinal, 282Cartesiano, diagrama, 76Circuitos, 17Clase de equivalencia, 89Combinación, 303Complementario, 55-56

Bicondicional, 13Binaria, relación, 81Binomio de Newton, 306

Absoluto, valor, 140Absurdo, reducción al, 25Algebra, 327 .

booleana, 329de circuitos, 339de conjuntos, 327

Análisis combinatorio, 296Anillos, 248

algebraicos, 337con unidad, 249de división, 249de integridad, 251homomorfismo, 253

Antinomia, 53Aplicación, 116

asociada, 129biyectiva, 123canónica, 117, 130compuesta, 128descomposición, 130equivalencia, 130idéntica, 117inyectiva, 120sobreyectiva, 121

Arbol, 296 --..de los exponenciales, 298de los factoriales, 300

Axiomas, de anillo, 248-249de cuerpo, 268de grupo, 205

Indice

Edición revisada Alvaro Pinzón EscamillaCopyríght© 1973,1975 por HARLA, S.A. de C. V., AntonioCaso 142, México 4, D. F. Te!. 566-4589. Miembro de la Cáma­ra Nacional de la Industria Editorial, registro No. 723. Reser­vados todos los derechos. Queda terminantemente prohibidoreproducir este libro, por cualquier medio, total o parcialmen­te, sin permiso expreso de los editores. Es propiedad.Se termino de imprimir el 28 de FebrerO de 1976.

IIop'". en Lluito 1"" PlEL'EXAc."e N•• 295 c..SU./h..L.._ •Miu..4. D.f.Td.541-31·95

«y». 10

Vacío, conjunto. 58Valor absoluto, 41Vector. 279Vcnn, diagrama. 120

Unión. 1.\ 59Universo. 15

Tabla" de verdad. 10Tautología. 13Tercio excluido. 13Transfinito. numero. 2X7Triángulo aritmético de Pascal.

309

Simplejo. 284Sobrcyccción canónica. )24Subanillos, 258Subconjunto, 54Subgrupo.212

Razonamientos válidos. 20Recíproca. proposición. 12Recurrencia. 194Redes. 339Relación, 73

antisimétrica. 89de equivalencia, 89de orden, 92, 159funcional. 115grafo. 81recíproca. 8Sreñexiva, 87sirnétnca. '8.7transitiva. 88

Reparto. 320Retículo, 284Russcll, paradoja, 53

Proyección, 73, 75de un grafo, 75

CONJUNTOS Y ESTRUCTURAS

Pareja ordenada. BParte estable. 177Parte permitida. 177Pascal. triángulo aritmético de.

309Permutación. 302Polinomio booleano. 344Premisas. 22Producto cartesiano. 74Proposición. 9

(o». 10Operación. 173Operación compatible con una

relación de equrvalcncra, 1XXOrden. 159

denso. 291discreto. 291lcxicográ fico. 167parcial. 92producto cartesiano. )67relación. 159total. 92. 160ordenaciones, 301

Negación lógica. 9Neutro. elemento, I!D«No». 9

úmeros natura les. 193multiplicación. 194orden, 285potencia, 197suma. 194

Máximo, 162Mayorante, 163Métodos de demostración. 22Mínimo, 162Minorante, 163Módulo. 89Monótona, 161

INDICE

Ley. asociativa. 179conmutativa, 181distributiva, 186externa, 177interna, 174. 177'yes,48

K-pie. 73

Ideal,260Igualdad de dos conjuntos. 52Imugen de un conjunto, 125Imagen de un elemento, 125Imagen directa, 125Imagen recíproca. 125lmplicación tautológica, 14Inclusión, 53Inducción. 1941ntersección, 58Intervalo. 166

abierto, 166cerrado, 166scrniabierto a izquierda, 166

Intervalos Ilimitado. 166lnvertiblc. 185Inyección: 120I~o; :ismo. 167. 191

Homomorfl;;mo. 191

Grupo. 205axiomas. 205centro. 247

Grupo, cíclico, 21.5conmutativo, 205elemento involutivo, 244homomorfismo. 218. 222isomorfismo,218permutaciones. 209producto. 251producto directo. 244relaciones. 245simétrico. 205tablas. 223-225

356