Formulario De Cónicas

Cristobal López Silla - Licenciado En Matemáticas

Cónicas

Una cónica o sección cónica es un lugar geométrico que se obtiene al intersec-tar un plano con un cono.

Si el plano no pasa por el vértice se obtienen las cónicas no degeneradas: circunferencia, elipse,parábola e hipérbola.

Si el plano corta el vértice se obtienen las cónicas degeneradas: un punto, una recta generatriz delcono, dos rectas que se cortan en el vértice del cono.

Figura 1: Diferentes Cortes de un plano con un cono(1) Parábola (2) Elipse (arriba) y Circunferencia (abajo) (3) Hipérbola

Fuente Wikipedia1

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Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijoy coplanario llamado Centro en una cantidad constante llamada Radio.

..diá

met

ro

.

Long. Arco

.radio.secante

.cu

erda

.tangente

Figura 2: Principales Elementos De La Circunferencia

Longitud Circunferencia: L = 2 · π · r

Longitud Arco Circunferencia: L =2 · π · r · α

360◦/α es el ángulo del arco.

Área Circunferencia: A = π · r2

Ecuaciones De La Circunferencia

Coordenadas Cartesianas: Sea C = (a,b) el Centro de la circunferencia y r su radio. Representa-mos la circunferencia de centro C y radio r en cartesianas como:

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Si el centro es el origen de coordenadas se representa por:

x2 + y2 = r2

Si además, el radio es r = 1, se le denomina Circunferencia Unidad o Circunferencia Goniomé-trica x2 + y2 = 1.

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Desarrollemos (x − a)2 + (y − b)2 = r2 para obtener la Forma General de la Circunferencia:

(x − a)2 + (y− b)2 = r2 ⇒ x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by+ b2 = r2 ⇒ x2 + y2 − 2ax − 2by+ b2 − r2 = 0

Definimos lo siguiente:A = −2a, B = −2b, C = b2 − r2

Lo sustituimos en la última expresión y obtenemos:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 → Forma General De La Circun f erencia

Ecuación Vectorial: De centro C = (a,b) y radio R, tal que θ ∈ [0, 2π[

−→r = (a + R · cos (θ) , b + R · sin (θ))

Ecuación Paramétrica: De centro C = (a,b) y radio r. Lo expresamos en forma de función:

f (t) = (a + r · cos(t), b + r · sin(t)) ∀ t ∈ [0,2π]

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Elipse

Lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de lasdistancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

..C.

b

.

-b

. a.-a .F1 . F2.c

.

a

.

b

.

P

.

x =a2

c.

D

. d

Figura 3: Principales Elementos De La ElipseÁrea: A = 2 · π · a · b

Elementos de una Elipse

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a 2 ejes perpendiculares entre sí, queson los semiejes:Semieje Mayor: En la figura es el que va de -a hasta a. Su valor es 2 · a

Semieje Menor: En la figura es el que va de -b hasta b. Su valor es 2 · b

Si la elipse es vertical, entonces se tiene:Semieje Mayor: Va de -b a b. Su valor es 2 · bSemieje Menor:Va de -a a a. Su valor es 2 · aMiden la mitad de los ejes mayor y menor, respectivamente.Focos: Son 2 puntos que están a la misma distancia del centro de la elipse.

d(F1, C) = d(F2, C) ⇒ Distancia Focal

Dado un punto cualquiera P de la elipse, se cumple:

d(P, F1) + d(P, F2) = 2 · a

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Si consideramos F1 = (−c,0), F2 = (c,0), siendo c = d(C,F1) = d(C,F2), la distancia de uno de losfocos al centro de la elipse. Se define:Distancia Focal: Es el valor 2 · cSe cumple la siguiente ecuación fundamental (Ver el triángulo de la figura 2):

a2 = b2 + c2

La fórmula cambia cuando la elipse es vertical a:

b2 = a2 + c2

No hace falta que la memorices, sólo hace falta que recuerdes el Teorema de Pitágoras.Excentricidad (ϵ): Indica la forma de la elipse, cuanto más cerca de cero más se parecerá a unacircunferencia. O lo que es lo mismo, si a = b ⇒ ϵ = 0 ⇒ Circun f erenciaϵ = c

a ; 0 ≤ ϵ ≤ 1

Como c =√

a2 − b2 ⇒ ϵ =√

a2−b2

a2 =√

1 − ( ba )

2

Directrices: ϵ =PFPD

Si definimos f = PF d = PD ⇒ ϵ =fa

ϵ =ad⇒ d =

aϵ⇒ d =

aca⇒ d =

a2

c

Luego la directriz para una elipse horizontal centrada en el origen es la recta vertical: x =a2

cSi el centro elipse es C(h, k) tenemos:

Directriz Elipse Horizontal: x = h +a2

c

Directriz Elipse Vertical: y = k +b2

c

Ecuaciones De La Elipse

Coordenadas Cartesianas: Consideremos el centro de la elipse por C = (x0,y0), con a,b sus semi-ejes. Se puede expresar la ecuación de la elipse en Cartesianas de forma explícita como:

(x − x0)2

a2 +(y − y0)

2

b2 = 1

Paramétricas: Si θ ∈ [0,2π[ Lo expresamos como función paramétrica:

f (θ) = (x0 + a · cos(θ), y0 + b · sin(θ))

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Parábola

Lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada,llamada Directriz, y a un punto exterior a ella llamado Foco.

..

vértice

.

eje

.lado recto.foco

.

directriz

Figura 4: Principales Elementos De La Parábola

Tomemos la siguiente nomenclatura:

V = (h,k) Vertice F = Foco p = d(F,V) → Distancia Focal R = Longitud Lado Recto

Lado Recto: Segmento de la parábola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.Foco Parábola Vertical: F = (h,k + p)Foco Parábola Horizontal: F = (h + p,k)Directriz Parábola Vertical: y = k − pDirectriz Parábola Horizontal: x = h − pPropiedad Del Lado Recto: R = 4 · p

La parábola es la única sección cónica que cumple que su excentricidad es 1,e = 1. Luego todas las parábolas son semejantes.

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Ecuaciones De La Parábola

Denotemos V = (xv, yv) el Vértice de una parábola cualquiera.

1. Vértice En El Origen Y Eje Vertical ⇒ y = a · x2

2. Vértice En El Origen Y Eje Horizontal ⇒ x = a · y2

3. Vértice No En El Origen y Eje Vertical ⇒ (y − yv) = a · (x − xv)2

4. Vértice No En El Origen y Eje Horizontal ⇒ (x − xv) = a · (y − yv)2

5. Forma Explícita y Eje Vertical ⇒ y = ax2 + bx + c

6. Forma Explícita y Eje Horizontal ⇒ x = ay2 + by + c

7. Forma Respecto Distancia Focal (p) ⇒ (x − xv)2 = 4p(y − yv)

Características De La Parábola

Consideremos la forma y = ax2 + bx + cSi a > 0 → Parábola hacia arriba, el vértice es un Mínimo.Si a < 0 → Parábola hacia abajo, el vértice es un Máximo.

Calcular Vértice: xv =−b2a

. Para calcular yv basta sustituir x por xv en y = ax2 + bx + c

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Hipérbola

Lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto dela diferencia a sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a ladistancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

...

..

y =x

.

y=−x

.

x = 1√2

.

x = −1√2

..

a

..

-a

..

C

..

F1

..

F2

.

−5

.

−4

.

−3

.

−2

.

−1

.

1

.

2

.

3

.

4

.

5

.

−5

.

−4

.

−3

.

−2

.

−1

.

1

.

2

.

3

.

4

.

5

.

Hipérbola x2 − y2 = 1

.

. ..x2 − y2 = 1

. ..y = x

. ..y = −x

.

SemiejesEs el segmento[−a, a] = [−1, 1]El otro semieje es ima-ginarioVértices(±a,0) = (±1,0)Focosc2 = a2 + b2 → c =

√2

F1(√

2,0) F2(−√

2,0)Excentricidade = c

a → e =√

2Asíntotasy = ± b

a x → y = ±xDirectricesx = ± a2

c → x = ± 1√2

Figura 5: Hipérbola Canónica x2 − y2 = 1

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Elementos De La Hipérbola

Si consideramos una hipérbola centrada en C = (h, k), tenemos lo siguiente:

Hipérbola Horizontal ⇒ (x − h)2

a2 − (y − k)2

b2 = 1

Hipérbola Vertical ⇒ (y − h)2

b2 − (x − k)2

a2 = 1

1. Semieje Hipérbola Vertical: Segmento [−b, b], el otro es imaginario.

2. Semieje Hipérbola Horizontal: Segmento [−a, a], el otro es imaginario.

3. Vértices Hipérbola Vertical: Puntos V(0, ± b)

4. Vértices Hipérbola Horizontal: Puntos V(±a, 0)

5. Distancia Focal Hipérbola: c2 = a2 + b2 → c =√

a2 + b2

6. Focos Hipérbola Horizontal: F(h ± c, k)

7. Focos Hipérbola Vertical: F(h, k ± c)

8. Excentricidad Hipérbola Horizontal: ϵ = ca

9. Excentricidad Hipérbola Vertical: ϵ = cb

10. Asíntotas Hipérbola Horizontal: y = k ± ba · x

11. Asíntotas Hipérbola Vertical: x = h ± ab · x

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12. Directrices Hipérbola Horizontal: x = h ± a2

c

13. Directrices Hipérbola Vertical: y = k ± b2

c

Ecuaciones De La Hipérbola

Denotemos el centro de una hipérbola por C = (h, k).

1. En Cartesianas Y Horizontal ⇒ (x − h)2

a2 − (y − k)2

b2 = 1

2. En Cartesianas Y Vertical ⇒ (y − h)2

b2 − (x − k)2

a2 = 1

3. Canónica Vertical ⇒ x2

a2 − y2

b2 = 1

4. Canónica Horizontal ⇒ y2

b2 − x2

a2 = 1

5. Paramétricas:

a) Tipo I: f (t) = (h ± a · cosh t, k + b · sinh t) ∀ t ∈ R

b) Tipo II: f (t) = (h + a · sec t, k + b · tan t) ∀ t

6. Compleja: | z − w1 | − | z − w2 |= 2 · l

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Bibliografía

[1] Wikipedia Cónicas.

[2] Wikipedia Circunferencia.

[3] Wikipedia Elipse.

[4] Wikipedia Parábola.

[5] Wikipedia Hipérbola.

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