1. Lugares geomtricos. Cnicas Actividad realizada por ADIL ZIANI (Matemticas I, 1 Bach CCNN-Tecnol)

2. Una superficie cnica se obtiene al girar unarecta g ( generatriz) alrededor de otra recta e(eje), a la que corta en un punto V (vrtice)Se denomina seccin cnica a la curvainterseccin de un cono con un plano queno pasa por su vrtice. Las superficiescnicas pueden ser de distinto tipodependiendo de la inclinacin del planoque corta a la superficie cnica, porejemplo: circunferencia, elipse, parbola ohiprbola. 3. 1. Elipse Elipse, una de las cnicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cnica de eje e y ngulo mediante un plano, que no pasa por el vrtice y que corta a e bajo un ngulo mayor que , pero menor de 90 ( < < 90).En la elipse se cumple que la suma delas distancias de cualquier puntoperteneciente a la elipse a unospuntos fijos (focos), es constante.d(P,F)+d(P,F)=kd1 + d2 = k. 4. Demostracin grfica de que d(P,F)+d(P,F)=k 5. Adems de los focos F y F, en una elipse destacan los siguientes elementos: Eje focal: recta que contiene a los focos A,A,B y B son los vrtices de la elipse El segmento AA es el eje mayor El segmento BB es el eje menor El punto O es el centro..d(F,F)=2c.d(A,A)=2a.d(B,B)=2bPropiedades de la elipse:Prop 1: Si cogemos el vrtice A como un punto perteneciente a la elipse, entones secumple que: d(A,F)+d(A,F)=k d(A,F)+d(A,F)= d(A,A)=2aEntonces obtenemos que k=2aProp 2: Tambin podemos hacer lo mismo con el vrtice B, entonces:d(B,F)+d(B,F)=k d(B,F)+d(B,F)=2aComo d(B,F)=d(B,F); obtenemos que: d(B,F)=a , d(B,F)=aAs obtenemos una propiedad fundamental de la elipse y es: a2 = b2 + c2 6. ECUACIN DE LA ELIPSE (Centro (0,0) : d ( P, F ) d ( P, F) k d ( P, F ) PFP ( x, y )F (c,0)d ( P, F) PF ( x c) 2 y2( x c) 2y2 2aF( c,0) k 2a ( prop 1) a2b 2 c 2 ( prop 2) desarrollando la ecuacin......b2 x2a2 y2 a 2b 2 dividiendo por a 2b 2 :x2y21a2b2 Ecuacin de la elipse 7. Desarrollo de la ecuacin 8. Excentricidad de la elipse:e = c/a ; si fijamos los vrtices A y A, es decir, fijamos la coordenada a, cuando laexcentricidad se acerca a 1, eso quiere decir, que su grfica es ms cerrada porque losfocos estn ms separados, y si el valor de la excentricidad se acerca al 0, eso quieredecir, que la grfica de la elipse ir tomando forma de una circunferencia dado que losfocos estn menos separados. 9. 2. HiprbolaSe trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene alcortar una superficie cnica de eje e y ngulo mediante un plano queno pasa por el vrtice y que corta a e con un ngulo menor que . La hiprbola se define como un lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.|d(P,F)-d(P,F)|=kElementos de la hiprbola:Vrtices: A y A A(a,0); A(-a,0)Covrtices: B y B B(0,b); B(0,-b) Eje transversal: recta que contiene los focosEje conjugado: recta que contiene a loscovrticesCentro: interseccin de los ejes transversal yconjugadoAsntotas: recta a las que la curva se acercacada vez ms en los extremos sin tenerinterseccin. 10. Propiedades de la hiprbola:Si cogemos el vrtice A como un punto perteneciente a la hiprbola, entonces secumple que: |d(A,F)-d(A,F)|=kd(A,F)-d(A,F)=k d(A,F)-d(A,F)=d(A,A)d(A,F)-d(A,F)=2a, Entonces llegamos a laconclusin de que k=2aOtra propiedad de la hiprbola es lasiguiente: si trazamos una circunferenciade centro a y radio c, obtenemos loscovrtices B y B, y obtenemos que: b2 = c2 a2 11. ECUACIN DE LA HIPRBOLA (Centro(0,0)):d ( P, F ) d ( P, F) kP ( x, y )d ( P, F ) PFF (c,0)F( c,0)d ( P, F) PF ( x c) 2y2 ( x c) 2 y2 2ak 2a ( prop 1)b2a 2 c 2 ( prop 2)desarrollando la ecuacin......b2 x2 a 2 y 2 a 2b 2dividiendo por a 2b 2 :x2y21a2b2Ecuacin de la hiprbola 12. Desarrollo de la ecuacin 13. Excentricidad de la hiprbola:e = c/a ; en la excentricidad de una hiprbola, c es siempre mayor que a y por tantoe > 1.Cuando el valor de e se acerca al 1 eso quiere decir que su grfica es muy cerrada ycuando el valor de e se aleja del 1, su grfica se hace ms abierta 14. 3. CircunferenciaCircunferencia, en geometra, curva plana cerrada en la que cada uno de suspuntos equidista de un punto fijo, llamado centro. d(P,C)=rdonde P, es un punto cualesquiera perteneciente a la circunferenciaC, es el centro de la circunferenciar, es el radio de la circunferencia. Elementos de la circunferencia 15. ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) : d ( P, C ) rP ( x, y )d ( P, C ) ( x a ) 2 ( y b) 2 rC ( a, b)desarrollando la ecuacin...... x 2 a 2 2ax y 2 b 2 2byr2 llamando: A 2a, B 2b, Ca 2 b2 r 2 x2 y 2 Ax By C 0 Ecuacin general de la circunferencia 16. Desarrollo de la ecuacin 17. 4. Parbola:Una de las cnicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar unasuperficie cnica de eje e y ngulo mediante un plano P que no pasa por el vrtice y quecorta a e bajo el mismo ngulo .La parbola es el lugar geomtrico de los puntosdel plano que equidistan de un punto fijollamado foco y de una recta fija llamada directriz. d(P,F)=d(P,s) Elementos de la parbola La directriz que es la recta s. El vrtice V. El foco F. Se llama eje de la parbola a la recta perpendicular al eje que pasa por el foco. La distancia entre el foco y la directriz es el parmetro p 18. ECUACIN DE LA PARBOLA (Vrtice (0,0)): d ( P, F ) d ( P, s)P ( x, y )d ( P, F ) PF ( x c) 2 y2 ppF 0,p ( x c) 2 y2 y 2d ( P, s ) y22desarrollando la ecuacin......x2 pypyx2 2 pyEcuacin de la parbola 19. Desarrollo de la ecuacin