congruencia de triangulos,modulo 2

Universidad Católica del Norte

PROFESOR: LUIS RAMIREZ CORTEZ Página 1

CONGRUENCIAS DE TRIANGULOS

Lectura Obligatoria 3

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Recordemos las ideas centrales que dice:”Si dos segmentos son congruentes, si

sus medidas son iguales y dos ángulos son congruentes, si sus medidas son iguales”.

Esto nos da los elementos necesarios y los conceptos fundamentales para extender el concepto de congruencia, a cualquier figura geométrica, ya que este

concepto es el mismo para todos los tipos de figuras.

Recordemos que las definiciones básicas que ya conocemos son:

1) CDABCDAB ( d(A,B) = d(C,D) )

2) PQRmBACmPQRBAC

Veamos ahora que sucede cuando las figuras consideradas son triángulos. ¿Son dos triángulos congruentes si sus medidas son iguales?,¿Será la igualdad de área

una condición suficiente para la congruencia de dos triángulos?



Consideremos los triángulos siguientes y el área que ellos tienen;

El área del ABC = (6*5)/2 = 15

y el área del DEF = (6*5)/2 = 15

Podemos observar que aunque tienen la misma área ellos no son congruentes. Si observamos los siguientes dos triángulos, veremos que son congruentes pues;

Tienen la misma forma y tamaño y si cortamos la figura de una de ellas, por

ejemplo el A'B'C' y lo superponemos sobre el ABC, ellos coinciden totalmente.

Pero estas ideas, sin embargo, no son precisas pues, ¿que significa decir que los dos triángulos tienen la misma toma y que sus figuras coinciden?

Veamos que pasa ahora al establecer una correspondencia uno a uno, entre los

puntos de un triángulo y los de otro triángulo. Esta correspondencia puede hacerse de varias maneras, como por ejemplo, en las figuras siguientes:

A B

C

D E

F

5 5

6 6

A B

C

A` B

`

C

`



Para que la congruencia se cumpla, debe ser posible establecer una correspondencia, de tal manera que la distancia entre los pares de puntos

correspondientes, sea la misma. En otras palabras, si P es un punto del ABC

que se corresponde con un punto Q, del A'B'C' y R es un punto del ABC, que

se corresponde con el punto S del A'B'C', entonces QSPR

Los triángulos no tienen por qué ser colocados de la misma manera, pues es

posible establecer una correspondencia entre los puntos de los triángulos, de modo que sus distancias correspondientes sean siempre las mismas.

Nos interesa principalmente la correspondencia entre los vértices de un triángulo

consigo mismo o entre dos o más triángulos.

A B

C

A` B`

C`

P P`

B` A B

C

A`

C`

P

R

Q

S



Sean los triángulos ABC y EFO, definimos una función biyectiva con respecto a

los vértices de los triángulos, que llamamos correspondencia. Esta función biyectiva es una correspondencia vértice a vértice y así tendremos:

A <—> E (Vértice A se corresponde con vértice E)

B <—> F (Vértice B se corresponde con vértice F) C <—> D (Vértice C se corresponde con vértice D)

También esto se anota en forma abreviada:

ABC <—> EFD; otras correspondencias son:

ABC <—> EDF ; ABC <—> DFE ;

ABC <—> FDE ; ABC <—> DEF ;

ABC <—> FED .

Podemos también observar que si tenemos la correspondencia,

ABC <—> DEF; entre los vértices de los dos triángulos, esto ocurre a la vez,

entre los lados de los triángulos y entre sus ángulos, así;

ABC <—> DEF; es por definición:

A <—> D ; B <—> E ; C <—> F

a) AB <—> DE b) A <—> D

BC <—> EF B <—> E

AC <—> DF C <—> F

Los lados que se corresponden, como los del grupo (a), por una determinada

correspondencia, se dicen lados correspondientes u homólogos.

Los ángulos que se corresponden, como los del grupo (b), por una determinada correspondencia, se dicen ángulos correspondientes u homólogos.



DEFINICION

"Dada una correspondencia entre los vértices de dos triángulos o de un triángulo consigo mismo, diremos que esta correspondencia es una "congruencia", si cada

par de lados correspondientes son congruentes y cada par de ángulos correspondientes son congruentes. Si dos triángulos o un triángulo consigo

mismo cumple esta definición, entonces se dice que los triángulos son congruentes.

Ejemplo: Sea la correspondencia ABC < --- > DEF entre los vértices de los triángulos ABC y DEF, entonces ella es una congruencia si y solo si, se

cumplen las seis condiciones siguientes:

1) DEAB

2) DFAC

3) EFBC

4) A D

5) B E

6) C F

Nota: Si ABC <—> DEF es una congruencia, entonces la denotaremos como:

ABC DEF (que se lee ABC es congruente con DEF).

La expresión ABC DEF dice no solamente que el ABC y DEF son

congruentes, sino también que ellos lo son bajo la correspondencia

ABC <—> DEF.

"Por ello, para probar la congruencia de dos triángulos, debemos demostrar que se cumplen las seis condiciones recién mencionadas".

A B

C

D E

F



POSTULADO L.A.L. (Lado- ángulo - lado).

Postulamos que la correspondencia entre los vértices de dos triángulos o de un

triangulo consigo mismo, es congruencia de triángulos, si dos pares de lados correspondientes son congruentes y el par de ángulos comprendidos por lados

correspondientes, son congruentes.

E1 postulado L.A.L. nos permite la posibilidad de demostrar que si solo tres de las

seis condiciones de la correspondencia se cumplen, entonces ésta es una congruencia y los triángulos que la cumplen son congruentes.

El axioma o postulado L-A-L. nos da tres casos de acuerdo a la posición de los

ángulos, dependiendo de los lados que se tomen. Así si tenemos un ABC,

entonces para cumplir L.A.L., si tomamos A, se deben tomar los lados AC y AB;

ya que A está incluido en los dos segmentos.

Si tomamos el C para cumplir L.A.L., se deben tomar los lados AC y BC; ya que

C esta incluido en el determinado por los dos segmentos.

Análogamente, para B se deben tomar los lados AB y BC; ya que B esta

incluido en los dos segmentos.

Observemos los siguientes triángulos, que ilustran este postulado.

Si en los triángulos ABC y DEF, se tiene que DEAB , DFAC y BAC

FDE entonces ABC DEF.



El postulado L.A.L. nos permite demostrar el siguiente teorema:

TEOREMA (Del isósceles).

"Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a

estos lados son congruentes".

Demostración:

Sea ABC en que ACAB ==> ABC es isósceles, luego debemos

demostrar que B C.

Consideremos la correspondencia:

ABC <—> ACB. Luego, por esta correspondencia se tiene:

ACAB (Hipótesis)

ABAC (Hipótesis y simetría)

y A = A ( Reflexividad de congruencia de ángulos).

Luego por L.A.L., la correspondencia ABC <—> ACB es una congruencia;

entonces ABC ACB.

Por definición de congruencia, se cumplen las tres relaciones restantes especial

B C. q.e.d.

TEOREMA (Del triángulo equilátero).

"Todo triángulo equilátero es equiángular, esto es, en un triángulos equilátero

todos los ángulos son congruentes".



Demostración: Sea ABC, un triángulo equilátero, entonces:

ACAB (por definición de equilátero)

B C (por teorema)

Similarmente:

ABBC , por lo tanto, C A.

Luego, B C y C A => B A

pues la congruencia de ángulos, es una relación de equivalencia, Por lo tanto. B

C y C A.

TEOREMA "Desde un punto fuera de una línea, se puede trazar una perpendicular a ella".

Hipótesis: Sea L línea dada y D L.

Tesis: Existe L' tal que L' L y D L'.

Demostración:

1) Como D L, entonces por teorema de incidencia, existe un único plano P, tal

que L P y D P.

2) Sean A, B dos puntos de L, luego existe el DAB, pues D, A y B no son

colineales.

3) Como L P, entonces L separa al plano en dos semiplanos. Por postulado

A

M L

C E

D

B



de separación del plano y por postulado de medida de ángulos, existe un E L y

E P L,D tal que m ( DAB) = m ( EAB),

4) Copiamos el trazo AD, en el rayo AE, determinando C tal que AD = AC.

5) ABDC = M pues D, C están en lados opuestos de la línea AB; que

separa al plano P en dos semiplanos.

6) Consideremos los triángulos AMD y AMC y la correspondencia

AMD —- AMC, en la cual se cumplen:

a) AMAM (propiedad refleja de de trazos).

b) ACAD (por paso 4).

c) DAM CAM (por paso 3).

Luego se cumple el postulado L.A.L. y la correspondencia es una congruencia de

triángulos.

En consecuencia, DMA CMA (elementos correspondientes en triángulos

congruentes).

7) Los ángulos DMA y CMA forman un par lineal.

8) Por paso 6) y 7) y definición de ángulo recto, se tiene que DMA es recto,

Entonces la línea DC es perpendicular a la línea L.

Por lo tanto, dado un punto fuera de una línea, existe una perpendicular a ella. q.e.d.

TEOREMA (A.L.A.) (Ángulo- lado- ángulo).

"Una correspondencia entre los vértices de dos triángulos o de un triángulo consigo mismo, es una congruencia de triángulos, si dos ángulos

correspondientes son congruentes y el par de lados comprendidos son

congruentes."



Hipótesis: Sean ABC, DEF y una correspondencia ABC <—> DEF, tal que:

A D ; C F ; DFAC .

Tesis: ABC DEF.

Demostración:

1) Por teorema de la construcción de segmentos, existe un punto B' en el rayo

DE, tal que AB = DB'.

2) Por postulado L.A.L. se tiene que ABC DB'F. Dos lados y el ángulo

comprendido son congruentes a las partes correspondientes; o sea, AC = DF; por

hipótesis. AB = DB` por paso 1) A D por hipótesis, luego

DFB' ACB.

3) Por teorema de construcción de ángulos y paso anterior, se sigue que FB =

FE, pues ACB DFE, por hipótesis.

4) Por paso 3) se tiene que, B' = E, pues las líneas DE y FE, se intersectan en un

solo punto.

5) Por lo tanto, por paso 3) se tiene ABC DEF.

EJEMPLO

Si en los triángulos ABC y DEF, se tiene que DEAB ,

CBA FED y BAC FDE entonces ABC DEF.

A B

C

D E B`

F



TEOREMA

En todo ABC, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes

Hipótesis: Dado ABC y A C

Tesis: BCAB

Demostración:

1) Sea la correspondencia; ABC <—> CBA en que se cumple,

i) A C (hipótesis)

ii) C A (hipótesis)

iii) ACAC (Reflexividad de de trazos)

2) Por i), ii) y iii) la correspondencia por A.L.A., es una congruencia. Luego, ABC CBA.

3) Por paso (2), se cumple BCAB .

TEOREMA L.L.L. (Lado- lado- lado).

Una correspondencia entre los vértices de dos triángulos o de un triángulo consigo mismo, es una congruencia de triangulo, si los tres pares de lados

correspondientes son congruentes.



Hipótesis: Sea ABC, DEF y una correspondencia: ABC <----> DEF tal que,

DEAB , EFBC , DFAC

Tesis: ABC DEF.

Demostración: La demostración de este teorema, presenta tres casos: a), b) y c).

1) Por teorema de construcción de ángulos, existe un rayo AQ, con Q en el lado

opuesto de AC de B; tal que CAQ EDF.

2) Por teorema de construcción de segmentos, existe un punto B' de AQ, tal que

DEAB `

3) Como DFAC por hipótesis, entonces por postulado L.A.L. se tiene que

AB'C DEF.

4) BB` intersecta a AC en el punto G, pues B y B' están en lados opuestos de

AC.

A

B

C G

B` Q

E

D F



La demostración se divide ahora en varios casos:

a) A - G - C.

b) A = G que es igual a la expresión G = C.

c) G - A - C que es igual a la expresión A -C -G.

Caso a) A - G - C (Ver figura anterior).

5) ABG AB'G, por teorema isósceles.

6) CBG CB'G, por teorema isósceles.

7) G está en el interior del ABC, ya que A-G-C.

8) G está en, el interior del AB'C, ya que A-G-C.

9) Por pasos: 5), 6) y 7), y el teorema de la suma de ángulos, se tiene que

ABC AB'C.

10) Por postulado L.A.L., se tiene que ABC AB'C.

11) Por lo tanto, por pasos 3) y 10) se tiene ABC DEF.

Caso b) A = G.

12) ABC AB'C, por teorema del isósceles.

13) Por postulado A.L.A., se tiene que ABC AB'C.

14) Por lo tanto, por pasos 13) y 3) ABC DEF.

Caso c) G - A - C.

C A

B

G

B`



15) Sea GBA GB'A, por teorema del isósceles,

16) A está en el interior del GBC, puesto que G- A- C.

17) A está en el interior del GB'C, por teorema del isósceles.

18) Por pasos 15), 16) y 17), junto con el teorema de la suma de ángulos se tiene:

m( GBA) + m ( ABC) = m ( GB'A) + m ( AB'C).

19) ABC AB'C por 15), cancelando en 18) y definición de de ángulos .

20) Por postulado L.A.L. se tiene que ABC AB'C.

EJEMPLOS

Si en los triángulos ABC y DEF, se tiene que DEAB , DFAC y DFBC

entonces ABC DEF.



TEOREMA "Cada ángulo tiene exactamente un bisector".

Este teorema debe probarse en dos partes. En la primera, probaremos que existe

a lo menos un bisector y en la segunda, que este bisector es Único.

Demostración:

a) "Existe a lo menos un bisector".

Hipótesis: Sea MON dado.

Tesis: Existe a lo menos un rayo OP que bisecta al MON.

Los pasos de la demostración son los siguientes:

1) Elijamos un punto A OM y uno B ON, tal que OA = OB

2) Existe AB, con un único punto medio P

3) OA = OB (por paso l). AP = PB (por paso 2), P punto medio)

OP = OP (reflexividad de congruencia).

4) Por teorema L.L.L. la correspondencia OAP <-- >OBP, es una congruencia.

5) Por definición de congruencia se tiene OAP < --- >OBP. Luego:

6) AOP BOP -- > OP bisecta al ángulo AOB; por lo tanto:

O

A

B

M

N

P



7) El bisector OP del AOB existe.

Demostración:

b) "El bisector es único".

Esta aseveración hace necesario demostrar que cada bisector del BAC, pasa a

través del punto medio D' del trazo BC

1) Supongamos que AE bisecta BAC.

2) Por paso 1), E int. BAC.

3) Por teorema, ̀DBCAE con B - D' - C, por paso 2).

4) Por lo tanto, se tiene AD`= AD`(reflexividad de la ),

AB = AC (por construcción), BAD' D'AC (AE bisector).

Por postulado L.A.L- la correspondencia; AD'B <---- > AD'C, es una congruencia,

Entonces,

5) AD'B AD'C; luego D`B =D`B y D` es punto medio de BC.

6) Puesto que BC tiene un solo punto medio, entonces BAC tiene un solo

bisector.

NOTA: DEBEMOS ACLARA ALGUNOS DETALLES DE NOTACION, cuando decimos

que un trazo es congruente con otro decimos que son de igual medida es decir:

Si CDAB ES LO MISMO QUE )()( CDmABm ó AB = CD

Y lo mismo ocurre cuando decimos que dos ángulos son congruentes, es decir

tienen igual medida.

Si m ( A) = m ( B) Ó ( A) ( B)

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