Geometría - 5to Sec.

Capítulo

3Congruencia de Triángulos

OBJETIVOS:

∆abc ≅ ∆Pqr ⇒ los triángulos son congruentes.

• Caso II (a-L-a.): Dos triángulos serán congruentes si tienen dos ángulos y el lado entre ellos respectivamente congruentes.

∆abc ≅∆Pqr⇒ los triángulos son congruentes.

• Caso III (L-L-L.): Dos triángulos serán congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

≅

aα

c

b

α

r

q

P

r

≅θ α

P

q

θ α

a c

b

≅

a Elalumnodebeconocerladefinicióndecongruencia.

aDiferenciarlaspalabras:igualycongruente.

a Reconocer los casos de la congruencia.

IntroduccIón

Muchas veces confundimos la palabra igual y congruente. cuando vemos dos gemelos, decimos que son iguales pero en realidad no existen objetos iguales, sino congruentes.

defInIcIón

Dos triángulos serán congruentes cuando tengan sus lados respectivamente congruentes y sus ángulos internos también congruentes.

Es suficiente tres condiciones para determinar la congruencia de triángulos.

casos de la congruencIa

• Caso I (L-a-L.): Dos triángulos serán congruentes si tienen un ángulo interior y los lados que lo forman respectivamente congruentes.

El símbolo de la congruencia es: ≅

observación

Geometría - 5to Sec.

De lo estudiado ∆abD ≅∆MNL: caso II (a-L-a.)⇒ b = 7 y a = 3a + b = 10

calcula e + b.

a Db

b

θ5 3

α

L

N

αM θ5

7 a

Resolución:

Ejemplo 2:

calcule el valor de “x”.

Vemos que los triángulos son congruentes, porque cumplen con el postulado (LaL).

Podemos decir entonces que a ángulos iguales (α) les corresponde lados opuestos iguales. así:

x + 3 = 10 ∴ x = 7

Resolución:

calcule el valor de “x”.

α

x+3

α

10

D40º

F

E

a2x-20º

c

b

Ejemplo 3:

ambos triángulos son congruentes, porque cumplen con el tercer caso (LLL). Decimos entonces: a lados iguales (ab y DE) les corresponde ángulos opuestos iguales.

2x - 20º = 40º ; ∴ x = 30º

Resolución:

Ejemplo 1:

Pitágoras

Nació hacia el año 578 a.c. en Samos (rival comercial de Mileto). Fue expulsado hacia Occidente por cuestiones políticas, abandonando su patria para escapar de la tiranía de Polícrates (538 a.c), refugiándose en la magna Grecia (sur de Italia), específicamente en crotona, donde fundó en 532-520 más o menos una especie de asociación de carácter filosófico – religioso. El símbolo de la Escuela de Pitágoras, por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). Estableció su hogar en crotona donde sus opiniones políticas dominaron en la ciudad. Fue desterrado por el partido adversario, exactamente por cylon, muriendo en Metaponto en 495 teniendo cerca de 83 años. crotona y Metaponto serían las dos ciudades que servirían de escenario de acción de Pitágoras. realizó viajes a Egipto, donde se familiarizó con los conocimientos esotéricos y donde estudió geometría y astronomía. algunas obras de Pitágoras fueron: la creación de la tabla de multiplicar, el teorema que lleva su nombre, etc.

Geometría - 5to Sec.

Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

1) De la figura, calcula "x".

xα

5

3

α2

2) En la figura halla ME si AC=8m y AM=MB.

a c

b

Eα

M

α

3) En la figura calcula "x" si: AC=2DB.b

a cDx 20º

βa

80º

b

cM

P

4) calcula β, si aP = bc y PM es mediatriz de ac.

5) calcular PH si bH = 36.

a H c

M

b

P

6) En la figura AB=5 y AC=13, halla "MN"si BN=NC.

α

b

ac

N

αM

1) De la figura, calcula x.

2) calcular "ac", si Pq=6

θ

x3

θ

3

7

3) Si: aD = bD y Dc =2ab, halla "x".b

a cD

x

4) En la figura, BM = MC, AC =16 y AB = 10. Halla Pc.

α4α

a P c

M

b

5) De la figura, calcula "x".

30º

4x

6) calcula Mq si bc = 18, ac = 10 y M es punto medio de ab.

a

αα

c

M q

b

b

M N

P q

a c

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PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En la figura calcula "PQ" si: AB=8 y AH=3.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

calcular: Pq. Si ab=9 ; aH=4

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

αα

b

Ha c

q P

En la figura ABCD es un cuadrado, halla "FG" si: aF=2 y cF=7.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14

calcular : Pq, si abcD es un cuadrado, aP=3 y cq=5.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

a

E

b c

D

F

a c

b

H

q P

αα

b

P

q

c

a D

Geometría - 5to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En la figura , bM=Mc, aD=50 y cD= 35. calcula "ab".

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 10

En la figura, calcular: AB si: BM=MC, AD=48µ y cD=25µ

a) 35µ b) 30µ c) 25µ d) 20µ e) 23µ

bc

Da M

En la figura AB = PB y BC = BQ, halla "x".

a) 30º b) 36º c) 45º d) 22,5º e) 18º

b

a c

q

P 4xx x

En la figura BF=BC y AF = EC. Halla "x".

a) 60º b) 50º c) 70º d) 80º e) 75º

b

F

a cE

130º50ºx

b

M

c

a D

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5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En la figura AB +AH = 15u y HD = 8u. Calcula "bH".

a) 5 u b) 6 u c) 7 u d) 8 u e) 9 u

αa c

b

H

DE

α

En la figura: AM=MB; MO=OC y MN//OA. Hallar MN si Oa =12.

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

Si PM es mediatriz de ac. calcular: ab. Si: Pc=16.

a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 16

a c

b

N

OM

En la figura, hallar "α" si: Ec=2ab

a) 15º b) 30º c) 18º30' d) 22º 30' e) 26º30'

a c

b

E

αα

α

2α

b

P

Ma D

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En un triángulo abc se traza la altura bH y la mediana cM. calcula el segmento que une los puntos medios de Hc y cM si ab=32u.

a) 6 u b) 8 u c) 10 u d) 12 u e) 16 u

En la figura AB = PC y AP =8. Calcula "AC".

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

calcular: ac. Si : ab = Pc y aP = 12

a) 6 b) 9 c) 12 d) 18 e) 24

a c

b

P8α

2α

3α

2α

En un triángulo abc, c=35º. La mediatriz de bc intersecta al lado ac en P. calcula la medida del ángulo b, siendo ab=Pc.

a) 60º b) 75º c) 80º d) 90º e) 120º

a

3w

2w2w

8w

c

b

P