CONGRUENCIA

CONCEPTO

Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. Por ejemplo, los tres triángulos siguientes son congruentes.

Es decir, uno cualquiera de estos triángulos puede colocarse sobre otro cualquiera de forma que coincida con él exactamente. Así, para llevar el sobre se debe colocar A sobre E, B sobre F y C sobre D.

DFEABC

CONCEPTO

Es común escribir de la siguiente forma los pares de vértices correspondientes. La congruencia del primer triángulo y el tercero se deben aparear los vértices de la siguiente forma.

A GB HC I

↔↔↔

A EB FC D

↔↔↔

Al apareamiento se le llama correspondencia biunívoca entre los vértices de dos triángulos. La correspondencia biunívoca se llama congruencia entre triángulos.

Otro ejemplo, ¿son congruentes las dos figuras siguientes?

CONCEPTO

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Definición: Dos ángulos son congruentes, si tienen la misma medida. Dos segmentos son congruentes, si tienen la misma longitud. Definición: Todo segmento es congruente, consigo mismo. Se escribe para indicar que y son congruentes y significa que . Para indicar que y son congruentes se escribe y significa que AB=CD.

A B∠ ≅ ∠ A∠ B∠

AB CD≅AB CD

m A m B∠ = ∠

Definición: Sea una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si los pares de lados correspondientes son congruentes, y los pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces a esta correspondencia se llama congruencia entre los dos triángulos.

ABC DEF↔

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

ABC DEF↔ABC DEF≅

AB DE o AB DEAC DF o AC DFBC EF o BC EF

A D o m A m DB E o m B m EC F o m C m F

≅ =≅ =≅ =

∠ ≅ ∠ ∠ = ∠∠ ≅ ∠ ∠ = ∠∠ ≅ ∠ ∠ = ∠

Al escribir queremos decir que la correspondencia es una congruencia. Esta expresión nos dice las seis cosas siguientes:

Para indicar congruencias entre segmentos y ángulos es común hacerlo de la forma que indica la siguiente figura.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

¿Qué nos dicen las marcas en los siguientes pares de triángulos?.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

POSTULADO LAL

La correspondencia LAL quiere decir que dos lados y el ángulo comprendido del primer triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo triángulo.

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

POSTULADO ALA

La correspondencia ALA quiere decir que dos ángulos y el lado comprendido del primer triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo triángulo.

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

POSTULADO LLL

La correspondencia LLL quiere decir que los tres lados del primer triángulo son congruentes con los lados correspondientes del segundo triángulo.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Definición: Si D está en el interior del y , entonces biseca al , y se llama la bisectriz del . Teorema: Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.

BAC∠BAC∠ BAC DAC∠ ≅ ∠

AD→

BAC∠ AD→

ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE LOS TRIÁNGULOS

ÁNGULOS DEL TRIÁNGULO

El ángulo exterior de cualquier triángulo es la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es un ángulo llano.

δ α β= +

𝛼 + 𝛽 + 𝛿 = 180𝑜

𝛿 = 𝛼 + 𝛽

TRIÁNGULOS

TRIÁNGULOS ISÓSCELES Y EQUILÁTEROS

Teorema: Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. En el triángulo . Si . Entonces ABC

AB AC≅ B C∠ ≅ ∠

Definición: Un triángulo con dos lados congruentes se llama isósceles. El otro lado es la base. Los dos ángulos asociados con la base son ángulos en la base. El ángulo opuesto a la base es el ángulo en el vértice.

TRIÁNGULOS

• Un triángulo con sus tres lados congruentes se llama equilátero.

• Un triángulo es equiángulo, si sus tres ángulos son congruentes.

• Todo triángulo equiángulo es equilátero.

DEFINICIONES

• Un triángulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes se llama escaleno.

TRIÁNGULOS

DEFINICIONES

• Un triángulo con tres ángulos agudos se denomina triángulo acutángulo.

• Un triángulo con un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo.

• Un triángulo con un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo.

• Un triángulo con un triángulo obtuso , mayor que recto, se denomina triángulo obtusángulo.

CUADRILÁTEROS

Sean A, B C y D cuatro puntos coplanarios. Si tres cualquiera de ellos no están alineados, y los segmentos