configuracion epistemica

Educ. Mat. Pesqui., So Paulo, v. 8, n. 1, pp. 67-98, 2006

La nocin de configuracin epistmica

como herramienta de anlisis de textos matemticos:

su uso en la formacin de profesores

vICEn FOnT* JUAn D. gODInO**

resumenEn este trabajo se argumenta primero que el anlisis de libros de texto ha de ser una de las competencias contemplada en la formacin de profesores. A continuacin, se ilustra el anlisis de textos matemticos que resulta de la utilizacin del constructo configuracin epistmica. Por ltimo, se pone de manifiesto la dialctica que se produce entre los dos tipos bsicos de configuraciones epistmicas: las formales (o intra matemticas) y las empricas (o extra matemticas).Palabras clave: libros de texto; formacin de profesores; configuracin epistmica.

ResumoNeste trabalho, argumenta-se, primeiro, que a anlise de livros de textos matemticos deve ser uma das competncias contempladas na formao de professores. Em continuidade, ilustra-se a anlise de textos matemticos que resulta da utilizao do construto configurao epistmica. Por ltimo ressalta-se a dialtica que se produz entre os tipos bsicos de configuraes epistmicas: as formais (ou intramatemticas) e as empricas (ou extramatemticas).Palavras-chave: livros didticos; formao de professores; configurao epistmica.

AbstractIn this work, we argue, first, that the analysis of mathematical textbooks should be one of the com-petences approached in teacher education. Then, we show an analysis of mathematical texts which results from the use of the epistemic configuration construct. Finally, we emphasise the dialectics that is produced between the basic kinds of epistemic configurations: the formal (or intra-mathematics) ones and the empirical (or extra-mathematic) ones.Key-words: textbooks; teacher education; epistemic configuration.

* Universitat de Barcelona.** Universidad de Granada.

Vicen Font e Juan D. Godino


Introduccin

Como afirman Hiebert, Morris y Glass (2003), un problema persis-tente en educacin matemtica es cmo disear programas de formacin que influyan sobre la naturaleza y calidad de la prctica de los profesores. La ausencia de efectos significativos de los programas de formacin de profesores en dicha prctica se puede explicar, en parte, por la falta de un conocimiento base ampliamente compartido sobre la enseanza y la formacin de profesores (p. 201). El saber didctico que progresivamente va produciendo la investigacin en educacin matemtica queda reflejado en diversas fuentes dispersas y heterogneas (revistas, monografas de in-vestigacin, etc.), pero de manera ms accesible a los profesores se refleja en los libros de texto escolares. Los manuales escolares constituyen la fuente inmediata donde se acumula la experiencia prctica de los profesores, y en cierta medida, los resultados de la investigacin. En consecuencia, el anlisis crtico de los textos escolares, la evaluacin de su pertinencia, idoneidad, adecuacin, etc. debe ser un componente importante en los programas de formacin de profesores de matemticas. La preparacin de programas de formacin puede ser ms efectiva centrndola en ayu-dar a los estudiantes a que adquieran las herramientas que necesitarn para aprender a ensear, en lugar de competencias acabadas sobre una enseanza efectiva (Hiebert, Morris y Glass, 2003, p. 202). Pensamos que entre estas herramientas deben figurar los criterios para analizar la propia prctica docente y las lecciones de los textos escolares como fuente prxima para el diseo de unidades didcticas.

En el currculum de algunos pases los tipos de objetos matemticos que se consideran son slo dos: conceptos y procedimientos. Se trata de una ontologa demasiado simplista para analizar los objetos matemticos que componen un texto matemtico, y en general la actividad matemtica sea profesional o escolar. En nuestra opinin, es necesario contemplar una ontologa ms amplia formada por los siguientes elementos: 1) lenguaje, 2) situaciones-problema 3) conceptos, 4) procedimientos, tcnicas,, 5) proposiciones, propiedades, teoremas, etc y 6) argumentaciones. Estos seis tipos de objetos se articulan formando configuraciones epistmicas (Figura 1) cuyo anlisis nos informa de la anatoma de un texto matemtico1.

1 Si adems de la estructura interesa analizar su funcionamiento con alumnos son necesarias otras herramientas que no se comentan en este trabajo.

La nocin de configuracin epistmica como herramienta de anlisis de textos matemticos

Educ. Mat. Pesqui., So Paulo, v. 8, n. 1, pp. 67-98, 2006 69

Fig. 1 Componentes y relaciones en una configuracin epistmica.

En este trabajo nos proponemos mostrar que estas nociones pueden ser tiles para describir las caractersticas de los textos matemticos de distintas pocas y orientacin epistemolgica. Centraremos nuestra aten-cin, en primer lugar, en un breve texto del enunciado y demostracin de un sencillo teorema de geometra plana caracterizacin de la mediatriz de un segmento (seccin 2)2. La finalidad es tratar de dar una respuesta a una cuestin planteada en el contexto de la formacin de profesores de matemticas: Cmo pueden hacer los profesores un anlisis lo ms completo posible de esta demostracin?

Para ello, consideramos necesario adoptar una perspectiva ms global que aporte un marco de referencia epistemolgico en el que situar el anlisis del texto. Con dicho fin describimos en la seccin 3 los tipos de objetos que se ponen en juego en los textos matemticos de carcter formal (configuraciones epistmicas axiomticas). En la seccin 4 y 5 estudiamos las adaptaciones de este tipo de configuraciones axiomticas

2 Esta tarea fue propuesta por una formadora de profesores en el marco de un proyecto europeo sobre formacin de profesores de matemticas. El problema corresponde a un libro de texto de enseanza media usado en Polonia actualmente.



en los textos de nivel universitario actuales, as como en textos usados en la poca de la llamada matemtica moderna en el nivel de educacin secundaria. Con esta perspectiva de referencia comenzamos en la seccin 6 el anlisis del texto sobre la mediatriz, presentando la configuracin epistmica puntual que se pone en juego en dicho texto, y unas primeras conclusiones sobre el tipo de anlisis ontosemitico aplicado. Terminamos el trabajo realizando en las secciones 7-9 un anlisis similar a textos de matemticas que se apoyan bsicamente en el planteamiento y resolucin de problemas de tipo emprico (contextualizados, realistas, ...), y con unas reflexiones generales sobre la necesidad de tener en cuenta la dialctica entre las configuraciones de tipo formal y las empricas en la formacin de profesores.

Un texto matemtico como contexto de reflexin

Comenzaremos con un texto matemtico que vamos a utilizar, como contexto de reflexin, para mostrar el tipo de aplicacin que hacemos al anlisis de textos del constructo configuracin epistmica propuesto por el enfoque ontosemitico de la cognicin matemtica (Godino 2002, Godino, Contreras y Font, en prensa). Se trata de un texto correspondiente a la enseanza media en Polonia, y de la pregunta que hace una formadora de profesores de matemticas de este pas a formadores de profesores de otros pases (Polonia, Hungra, Italia, Holanda, Portugal y Espaa) en el marco del diseo e implementacin de un proyecto europeo para la formacin permanente de profesores de matemticas:

Cuestin: Cmo podran hacer los profesores un anlisis lo ms completo posible de esta demostracin?

Teorema: La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos del plano que estn a la misma distancia de los puntos extremos del segmento.

Demostracin: Si AB es el segmento, m es su mediatriz y C perte-nece a m, los segmentos AC y BC son simtricos respecto de m, de donde resulta que |AC|=|BC|. Con esto probamos que si el punto pertenece a la mediatriz del segmento est a la misma distancia de ambos extremos del segmento.



Mostraremos que si el punto no pertenece a la mediatriz entonces no est a igual distancia de ambos extremos del segmento. Consideremos que el punto C est fuera de la recta m (ver dibujo).

Unimos el punto c con los puntos A y B usando segmentos. Con-sideremos que C est situado al mismo lado de la recta m que el B. En este caso el segmento AC corta a la recta m en el punto D. Puesto que |AD|=|BD|tenemos,

|AC|=|AD|+|DC|=|BD|+|DC|>|BC|De modo que |AC||BC|, lo que termina la demostracin.

Si bien hay muchas maneras de comenzar el anlisis, una sera preguntarse por el contexto de este teorema, entendiendo el contexto de una manera ecolgica, es decir como entorno del texto en cuestin. Se tratara de responder a preguntas del tipo En qu lugar se halla? Qu tiene a su alrededor? Dnde vive? Con qu otros objetos ma-temticos se relaciona?, En qu institucin se utiliza? etc.

Alguna de estas preguntas son fciles de responder. Por ejemplo, de entrada se nos dice que es un texto que se utiliza en una institucin de secundaria de Polonia. Con relacin a la institucin, hay que resaltar que, por ejemplo en Espaa, es un texto que en otras pocas podra haber sido utilizado en las instituciones de secundaria, pero que ahora sera impensable su utilizacin. Es decir, se trata de un texto que vive actualmente en las instituciones de secundaria de Polonia y que, por el contrario, vivi en las instituciones de secundaria de Espaa pero que actualmente se ha extinguido de dichas instituciones. Para reflexionar sobre este hecho es necesario poner de manifiesto la dialctica que se produce entre los dos tipos bsicos de configuraciones epistmicas: las formales y las empricas (contextualizadas, realistas,). Comenzaremos con las formales y, puesto que el texto que se utiliza como contexto de reflexin es de geometra, empezaremos con una mirada a unos de los libros clsicos sobre la axiomatizacin de la geometra, nos referimos a los Fundamentos de la Geometra de Hilbert (Hilbert, 1899, 1991).



Configuraciones epistmicas axiomticas

La respuesta dominante en las instituciones universitarias ante la crisis de fundamentos de finales del siglo XIX consisti en fundamentar toda la matemtica sobre los nmeros naturales y stos sobre la teora de conjuntos axiomatizada por Zermelo con axiomas ad hoc que impidan la aparicin de las contradicciones conocidas, pero conservando en lo posible la riqueza y agilidad de la teora intuitiva de conjuntos. Esta solucin, llamada normalmente formalismo contemporneo o conjuntismo es descendiente del formalismo hilbertiano, pero no es exactamente lo mismo. Este tipo de formalismo (Mostern 1980) considera que en la evolucin y desarrollo de las teoras matemticas hay que considerar, como mni-mo, tres estadios sucesivos, correspondientes a tres diferentes niveles de precisin y rigor en el concepto de prueba. En el primer estadio, llamado intuitivo, informal o ingenuo, se prueban los enunciados de la teora, pero no se dice ni de dnde parte la prueba ni cules son los procedimientos admisibles para probar. En el segundo estadio, llamado axiomtico, se determina el punto de partida de la prueba, eligiendo ciertos enunciados de la teora como axiomas y exigiendo que todos los dems sean probados a partir de ellos, aunque sigue sin explicitarse cules son los procedimien-tos, reglas o medios de prueba admisibles. En el tercer y ltimo estadio, llamado formalizado, el concepto de prueba est completamente precisado y explicitado, tanto en lo que respecta al punto de partida de la prueba como a los medios de prueba permitidos.

El tercer estadio es ms propio de los lgicos que de los matem-ticos, mientras que los dos primeros estadios son los propiamente mate-mticos. Por este motivo, comenzaremos comentando las configuraciones epistmicas axiomticas. En dichas configuraciones se usa el mtodo axiomtico, es decir se eligen ciertos enunciados de la teora como axiomas y se exige que todos los dems sean probados a partir de ellos. Se trata de una configuracin epistmica (figura 3) en la que se presupone un carcter convencional a las reglas matemticas y, por tanto, los conceptos que se definen y las proposiciones que se introducen no se intentan justificar por su acuerdo con una realidad extra matemtica.

3 El lector puede consultar el libro Fundamentos de la Geometra de David Hilbet (1991) para observar este tipo de de configuraciones.



La figura 3 se puede considerar como el modelo bsico de las con-figuraciones epistmicas axiomticas.

Fig. 3 Configuracin epistmica axiomtica.

En esta configuracin la situacin-problema que la motiva, aunque no aparece en el texto de manera explcita, se podra expresar del siguiente modo: Cmo reorganizar el conjunto de conocimientos de la geometra eucldea de manera deductiva a partir de un sistema mnimo de axiomas? Existe un trasfondo problemtico de carcter intra-matemtico relacionado con la construccin de unos fundamentos consistentes para el edificio matem-tico que permita evitar las paradojas y contradicciones.

Para abordarlo se usa el mtodo axiomtico as como procedi-mientos de carcter lgico deductivos.

Configuraciones epistmicas formalistas en los textos universitarios de matemticas

Las configuraciones epistmicas de los textos universitarios cor-respondientes a lo que se suele llamar conjuntismo, matemticas modernas o formalismo (aunque no en el tercer sentido de Mostern comentado anteriormente) se sitan a medio camino entre los dos primeros



niveles comentados por Mostern (1980). Se puede decir, que interpretan el modelo de las configuraciones epistmicas axiomticas de una manera bastante laxa.

Consideremos un captulo de un libro de texto universitario. En este caso vamos a cambiar de tpico para no restringirnos a la geometra y nos fijaremos, por ejemplo, en el captulo de continuidad de uno de los manuales clsicos de anlisis funcional (Rudin, 1971). Como este captulo est precedido de otros anteriores que se consideran conocidos, el bloque de conceptos se modifica de la siguiente manera: hay conceptos que ya se suponen conocidos y otros que se introducen en el captulo mediante definiciones. Otra modificacin a destacar es que, puesto que se trata de un manual, hay ejemplos cuyo objetivo es facilitar al lector la comprensin de las definiciones. Tambin se propone una amplia lista de problemas descontextualizados, al final del tema, cuyo objetivo es la aplicacin de los objetos matemticos introducidos en la unidad para realizar una demostracin deductiva. Es decir, el bloque de las situaciones aumenta su importancia en la estructura de la unidad, sobre todo los problemas descontextualizados en los que hay que hacer una demostracin utilizando los objetos matemticos introducidos previamente en la unidad. Tambin resulta significativo que, a pesar que es una unidad sobre funciones, no aparece ningn grfico.

Otra modificacin a destacar es que en el bloque de las proposicio-nes desaparecen los axiomas y los teoremas se van matizando en diferentes tipos. En la unidad que estamos comentando se distingue entre teoremas y corolarios, pero en otros libros se utilizan adems trminos como pro-posicin, propiedad, lema o regla, aunque hay que resaltar que los enunciados correspondientes a dichos trminos siempre se presentan como algo a demostrar. Por otra parte, si bien en algunos textos se hace observar cmo de determinados teoremas se derivan procedimientos y tcnicas (por ejemplo, la regla de LHopital), en este tipo de unidades los procedimientos son bsicamente tcnicas de demostracin de tipo deductivo que se tienen que aplicar en la resolucin de los problemas del final del captulo y que, en el mejor de los casos, se presentan aplicados en la demostracin de los teoremas.



Fig. 4 Configuracin epistmica formalista.

Configuraciones epistmicas formalistas en los textos de secundaria de matemticas

Desde el punto de vista educativo la herencia del formalismo ha sido las matemticas modernas, tanto en la enseanza universitaria como no universitaria. La idea que inspir la reforma de la enseanza no universitaria en Espaa para incorporar las matemticas modernas fue que la enseanza de las matemticas tena que estar de acuerdo con el espritu de la poca que crea que las matemticas servan para estructurar el pensamiento y que eran el lenguaje de la ciencia. Podemos encontrar mate-mticas en todas partes, se deca, pero no cualquier clase de matemticas, sino las matemticas de hoy en da: la teora de conjuntos, las estructuras matemticas, la probabilidad, la estadstica, el lgebra, etc.; y cuanto ms pronto los alumnos entren en contacto con estas matemticas, mejor.



Como ejemplo de este inters por introducir lo ms tempranamente posible las matemticas modernas, tenemos la introduccin de la teora de conjuntos en la etapa infantil. Este intento de poner la enseanza de las matemticas al nivel de las matemticas del siglo XX se consideraba especialmente necesario en los niveles primario y secundario, en los cuales se crea que se estaban enseando contenidos obsoletos por no estar de acuerdo con el espritu de las matemticas modernas.

En la elaboracin de los nuevos programas se procur conseguir una coherencia interna desde el punto de vista de los contenidos mate-mticos que se concret en: 1) el desarrollo consecuente del punto de vista conjuntista y vectorial, 2) el desarrollo sistemtico y coherente de la geometra a travs del concepto de transformacin y 3) el desarrollo de las estructuras algebraicas con aplicacin inmediata a diferentes partes de la aritmtica, del lgebra y de la geometra.

Los matemticos profesionales partidarios de esta reforma crean que las dificultades que se producan en el aprendizaje de las matemti-cas eran causadas, bsicamente, por las presentaciones defectuosas de la matemtica tradicional (definiciones poco precisas, conceptos no suficien-temente generales, demostraciones poco rigurosas, etc.) que inducan en el alumno una concepcin confusa de la matemtica por la ausencia de una estructura deductiva rigurosa. Dicho en trminos constructivistas actuales: consideraban que la matemtica tradicional haca una presentacin confusa de las matemticas y que, por lo tanto, no era potencialmente significativa para los alumnos.

Un ejemplo ilustrativo de esta manera de ensear las matemticas en el Bachillerato se puede observar en el libro de texto editado por la editorial Santillana (Anzola et al, 1976). Si nos fijamos en la unidad de funciones, para seguir con este tpico, observamos que en l se proponen actividades como la siguiente (figura 5), en la se puede observar como las funciones se entienden bsicamente como un caso particular de corres-pondencia entre conjuntos:



Fig. 5 Fragmento de un libro de texto de matemticas modernas.

La organizacin de la unidad de funciones propuesta en este libro del ao 1976 (titulada Operaciones con funciones) se puede representar mediante la siguiente configuracin epistmica (Figura 6):

Fig. 6 Configuracin epistmica formalista en secundaria.4

4 Ejemplo tomado de Ramos (2006)



El concepto de funcin se define como un caso particular de re-lacin: una relacin es una funcin s y slo si todo elemento de A se relaciona con un solo elemento del conjunto B. El concepto de funcin se presenta de una manera descontextualizada y las situaciones proble-mas, o bien son ejemplos que sirven para ilustrar la definicin o bien son problemas descontextualizados propuestos al final de la unidad con el objetivo de que los alumnos apliquen la definicin de funcin. Es decir, las situaciones problema slo tienen la funcin de concretar el concepto de funcin, en ningn caso sirven para que se construya dicho concepto a partir de ellas.

El lenguaje utilizado bsicamente es el conjuntista. Para los conjun-tos infinitos se recurre a las grficas cartesianas y, en algunos casos, tambin se recurre a expresiones simblicas. No se contemplan las conversiones entre diferentes formas de representacin y, en los pocos casos que esto sucede, siempre es la conversin de expresin simblica a grfica.

La metodologa implcita es la siguiente: el profesor define los conceptos, pone ejemplos y demuestra propiedades (de manera deductiva) mediante una clase magistral. Los alumnos han de aplicar dichos conceptos y propiedades a la resolucin de problemas descontextualizados.

Esta unidad se imparta a continuacin de otra unidad titulada Aplicaciones y era seguida de otras tres unidades tituladas Simetra, monotona y acotacin, lmites y continuidad de funciones reales. En la unidad previa se introducan, entre otros, los conceptos de correspon-dencia, relaciones binarias, relaciones de equivalencia y conjunto cociente y aplicaciones. En las tres unidades posteriores se introducan los conceptos de simetra, monotona, acotacin; los lmites finitos e infinitos definidos en trminos de epsilones y deltas; y la continuidad a partir del concepto de lmite. Por otra parte, se supona que en cursos anteriores los alumnos ya haban estudiado algunos modelos de funciones (proporcionalidad directa, afn y cuadrtica) y que iban a estudiar en otras dos unidades posteriores las funciones circulares y las funciones exponenciales y logartmicas.

Hay que destacar que lo que en el modelo del texto universitario eran proposiciones o teoremas a demostrar se han reconvertido, en la mayora de los casos, en propiedades o tcnicas. Algunas de las propie-dades se demuestran de manera deductiva y tambin los pocos teoremas que se presentan con dicho nombre, pero lo que aumenta mucho es la ejemplificacin de las tcnicas (procedimientos)



Configuracin epistmica del texto sobre la mediatriz

Volviendo a la pregunta formulada por la profesora de Polonia:

Cuestin: Cmo podran hacer los profesores un anlisis lo ms completo posible de esta demostracin?

y utilizando el anlisis epistmico precedente podemos hacer las siguientes observaciones:

1) Se trata de un texto matemtico que se debe enmarcar en el ltimo tipo de configuraciones epistmicas comentado anteriormente. Es decir, hay que enmarcarlo en una configuracin epistmica formalista de las matemticas de secundaria. Por tanto, de acuerdo con el tipo de configuracin epistmica en la que se enmarca, es un texto matemtico que nos presenta el producto acabado pero no el proceso que se ha seguido para obtener dicho producto, su razn de ser o motivacin.

2) La estructura de este texto tambin se puede representar por una configuracin epistmica. Es decir, una de las caractersticas de las CE es que son hologramticas puesto que se pueden aplicar a una unidad completa o bien a un texto ms puntual.

Podemos considerar el enunciado no como un teorema demostrado sino como una situacin problema de demostracin. Desde esta pers-pectiva lo que hay que hacer es conseguir demostrar el enunciado. El tipo de situacin-problema implcita se puede describir como, Qu argumento deductivo permite establecer que la proposicin P es verdadera? De qu conocimientos o proposiciones previamente establecidas debemos partir para establecer la verdad de P?

Para ello, hay que utilizar conceptos (la definicin de la mediatriz, puntos extremos de un segmento; distancia, igualdad de segmentos). Tambin se usan proposiciones del tipo si D es un punto del segmento AC, se cumple que |AC|=|AD|+|DC| o bien si dos segmentos son simtricos respecto de una recta, tienen la misma longitud, dichas proposiciones se suponen demostradas anteriormente. Se usan tambin argumentos deductivos como el siguiente:Si |AD|=|BD| entonces |AC|=|AD|+|DC|=|BD|+|DC|., etc. Por otra parte, puesto que el enunciado es la caracterizacin implcita de una definicin es necesario probar dos proposiciones:



Si una recta es mediatriz de un segmento entonces todos sus puntos equidistan de los extremos.

Si un punto no est en la mediatriz de un segmento entonces las distancias a los extremos del segmento no son iguales.

Por tanto, hay al menos una regla procedimental: Para probar que un enunciado caracteriza a un objeto que se ha definido previamente hay que probar el teorema directo y el contrario (Si C est en la mediatriz, entonces CA = CB ; Si C no est en la mediatriz, entonces CA CB.). Por ltimo, tambin hay que utilizar un determinado lenguaje simblico (por ejemplo |BD|) y grfico (la figura del teorema), etc. Por tanto, la estructura de este texto se puede representar por una configuracin epis-tmica como la siguiente (figura 7):

Fig. 7 Configuracin epistmica asociada al texto de la mediatriz.

3) Otra caracterstica que hay que resaltar es la conexin entre los diferentes elementos de esta CE. Consideremos, por ejemplo, uno de los elementos del bloque lenguaje, nos referimos a la figura 2 que aparece



en el texto de la mediatriz. Nos podemos preguntar cul es su funcin, o lo que en cierta manera es lo mismo, cmo se relaciona con los otros elementos de la CE.

La figura es esttica pero, a pesar de ello, facilita el razonamiento con elementos genricos. El punto C por una parte es un punto parti-cular, pero, por otra parte, lo que se dice de l se puede aplicar a cualquier otro punto del plano que no sea de la mediatriz (la cual debe permanecer como particular). Despus el segmento AB (y su mediatriz) se puede considerar como un segmento (y su mediatriz) cualquiera. Dicho de otra manera la principal funcin que cumple la figura 2 es a) introducir un caso particular sobre el cual razonar y b) facilitar que este caso particular sea considerado como un elemento genrico (una cadena de elementos genricos para ser ms exactos).

El razonamiento matemtico, para ir de lo general a lo general, hace intervenir una fase intermedia que consiste en la contemplacin de un objeto individual. Este hecho plantea un grave dilema: si el razona-miento se ha de aplicar a un objeto concreto (por ejemplo el punto C de la figura 2), es preciso que se tenga alguna garanta de que se razona sobre un objeto cualquiera para que quepa justificar la generalizacin en la que termina el razonamiento.

Ahora bien, con relacin al elemento genrico hay que considerar tres cuestiones conexas pero distintas, a saber:

Por qu se hace intervenir en la demostracin de una proposicin matemtica (el enunciado de una definicin, etc.), una fase intermedia que se refiere a un objeto particular?

Cmo es posible que un razonamiento en que intervenga se-mejante fase intermedia pueda, pese a ello, dar lugar a una conclusin universal?

El elemento particular normalmente forma parte de una cadena en la que los eslabones anteriores son elementos genricos. A su vez, el elemento particular al ser considerado como genrico se convertir en el eslabn previo de un nuevo caso particular y as sucesivamente.

Cuando en las prcticas matemticas utilizamos elementos gen-ricos estamos actuando sobre un objeto particular, pero nos situamos en un juego de lenguaje en el que se entiende que nos interesan sus carac-tersticas generales y que prescindimos de los aspectos particulares. Para conocer los detalles sobre las caractersticas de este juego del lenguaje, y de



las dificultades que tienen los alumnos para participar en l, es necesario el anlisis de dilogos entre profesores y alumnos relacionados con el uso de elementos genricos. La asimilacin (o no) de las reglas de este juego de lenguaje es fundamental para que los alumnos puedan convivir con la complejidad semitica asociada a las prcticas en las que interviene el elemento genrico. A partir del estudio de dichos dilogos, en Contreras, Font, Luque y Ordez (2005) se ponen en juegos otros constructos del enfoque ontosemitico de la cognicin matemtica, los cuales permiten que la complejidad semitica asociada al uso de elementos genricos se concrete en una trama de funciones semiticas (dualidad expresin-contenido) que relacionan objetos que pueden ser extensivos o intensivos (dualidad extensivo-intensivo).

5) Para comprender este texto matemtico es necesario la activacin de una configuracin epistmica como la descrita anteriormente, pero que de esta configuracin tambin pueden emerger nuevos objetos matemticos. En concreto, a partir de este texto se construye una nueva definicin de mediatriz y tambin se podra obtener un procedimiento de construccin de la mediatriz con regla y comps.

6) La modificacin de alguno de los elementos de la CE repercute sobre los dems. Por ejemplo, si la representacin de la figura se puede hacer con un programa dinmico como el Cabri se est facilitando mucho el razonamiento con elementos genricos. En concreto, se facilita no slo la demostracin del teorema (el producto) sino que, gracias a la abstraccin reflexiva (si se toma como referencia a Piaget) o hiposttica (si la referencia es Peirce), incluso se podra llegar a la formulacin de aquello que se tiene que demostrar. Es decir, se podra modificar la situacin problema para convertirla en una situacin ms rica ya que primero se podra proponer que se buscase aquello que se quiere demostrar y despus, si se considera conveniente, pedir la demostracin. Por ejemplo, podemos formular la siguiente pregunta a los alumnos:

Tarea: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por el punto medio. A partir de la siguiente construccin geomtrica realizada con el programa Cabri:

a) Halla una propiedad que cumplan todos los puntos de la mediatriz.

b) Demuestra esta propiedad.c) Da una nueva definicin de mediatriz.



d) Halla a partir de los apartados anteriores un procedimiento de construccin con regla y comps de la mediatriz.

Fig. 8 La mediatriz con el Cabri

La configuracin epistmica asociada es la siguiente:

En esta configuracin destaca el papel central que juega la situa-cin problema (de tipo intra matemtico) y tambin que est orientada a la emergencia de nuevos objetos matemticos (nueva definicin de la mediatriz y nuevo procedimiento de construccin). Si bien este tipo de configuracin epistmica puntual, orientada sobre todo a la emergencia de nuevos objetos, puede convivir con configuraciones epistmicas globales de tipo formalista, hay que resaltar que viven mejor en configuraciones epistmicas globales que no sean de tipo formalista, lo cual nos lleva a la siguiente pregunta: Cules son las configuraciones epistmicas globales alternativas a las formalistas? La respuesta es que la principal alternativa a las configuraciones epistmicas formalistas son las empricas (contex-tualizadas, realistas, inductivas, etc.), las cuales pasamos a comentar en el siguiente apartado.



Configuraciones epistmicas empricas en la enseanza secundaria

Sin entrar en un anlisis exhaustivo de las consecuencias del enfoque moderno de las matemticas en la enseanza no universitaria, podemos

Tabla 1 Configuracin epistmica emergente asociada a la mediatriz

LENGUAJEVerbalmediatriz, segmento, recta perpendicular, punto medio etc. Grfico- Figura geomtrica dinmica Simblico:A, B,

SITUACIONES CONCEPTOS Previos- Segmento, recta perpendicular, punto medio- Mediatriz (definida como recta perpendicular que pasa por el punto medio)Emergentes

- Problema descontextualizado de construccin geomtrica en el que se ha de hallar y justificar una propiedad de la mediatriz.

- Mediatriz (definida como recta formada por todos los puntos que estn a la misma distancia de los extremos del segmento)

ACCIONES PROPIEDADES - Hallar una condicin que cumplan todos los puntos de la recta -Simbolizar esta propiedad - justificar/demostrar esta propiedad Emergente- Procedimiento de construccin con regla y comps de la mediatriz

- El punto medio divide al segmento en dos segmentos de igual longitud - La recta perpendicular forma un ngulo de 90 con el segmento - . EmergenteLos puntos de la mediatriz se hallan a igual distancia de los extremos del segmento

ARGUMENTOS- Justificacin visual de la propiedad Los puntos de la mediatriz se hallan a igual distancia de los extremos del segmento. - Justificacin de la propiedad utilizando elementos genricos. - Demostracin deductiva (?)



decir que los aspectos ms perjudiciales de la aplicacin concreta de esta reforma fueron (Nez y Font 1995): a) Deductivismo exagerado: las matemticas se presentaban como unos conocimientos terminados y or-ganizados deductivamente. Esta presentacin poda poner de manifiesto al alumno la ordenacin lgica de la materia, pero, al presentar el pro-ducto terminado, impeda la accin, las conjeturas, la imaginacin, etc.; es decir, en la terminologa de la poca, impeda hacer matemticas. b) Definiciones formalizadas: se cay en el error de identificar el concepto que se quera ensear con su definicin formalizada. Esta identificacin llev: 1) a presentar a los alumnos un exceso de simbolismo, 2) a hacerlos manipular mecnicamente estos smbolos, sin saber lo que estaban ha-ciendo (formalismo prematuro) y 3) a olvidar que, para comprender un concepto matemtico, son necesarias situaciones de referencia que le den sentido, al mismo tiempo que permiten descubrir las relaciones con otros conceptos. c) Exceso de generalizacin y, por tanto, falta de procesos de abstraccin: los conceptos se presentaban de la manera ms general posi-ble, con lo cual se iba de lo ms general a lo ms particular y, por tanto, no se mostraban al alumno las situaciones concretas que permitan abstraer sus similitudes e ir de lo concreto a lo ms general. d) Las matemticas por las matemticas: se presentaban unas matemticas centradas sobre ellas mismas y muy alejadas de las otras ciencias. Los textos didcticos ofrecan pocas situaciones no matemticas que permitiesen a los alumnos conocer la aplicacin de las matemticas a la realidad, lo cual facilitaba preguntas del tipo esto para qu sirve.

El estrepitoso fracaso de la aplicacin concreta de las matemticas modernas modific la manera de ensearlas en las instituciones no uni-versitarias espaolas en diferentes direcciones. Una fue ensear teoras acabadas, sin demostrarlas deductivamente, focalizando el trabajo en el aula en el dominio de las tcnicas algortmicas que se derivaban de la teora. Los partidarios de este estilo docente asuman, en muchos casos implcitamente, el punto de vista conductista en psicologa. La otra, si bien consideraba fundamental el aprendizaje de las estructuras matemticas, inici tmidamente una lnea de trabajo, que llamaremos semntica entendiendo por semntica todo aquello que tiene que ver con la cons-truccin de significado que hace el alumno, que pretenda resolver una de las grandes dificultades del aprendizaje de las matemticas: su nivel de abstraccin y generalizacin. Esta forma de entender la enseanza-apren-



dizaje de las matemticas consideraba imprescindible presentar contextos variados que diesen sentido al concepto; oponindose a las versiones ms formalistas de la matemtica moderna, las cuales pretendan presentar-los de la manera ms general posible y separados de los contextos que les daban sentido, para as evitar las dificultades de comprensin que la presentacin contextualizada pudiese producir. Con el paso del tiempo esta segunda opcin se fue desarrollando y se convirti en la dominante en los currculos oficiales del estado espaol y, adems, est presente en muchos textos escolares actuales (aunque no se puede decir que sea el estilo dominante en todos ellos).

Si se compara el captulo de las funciones del ao 1976 comentado anteriormente con el captulo de otro libro de texto publicado en Espaa con 21 aos de diferencia se puede observar que los autores de este l-timo proponen tareas en las que se manifiesta un inters por presentar problemas contextualizados, por el uso de diferentes representaciones y por las conversiones entre ellas. Son tareas como la siguiente:

Tarea: Debemos cambiar los cristales de unas ventanas cuadradas. El precio del cristal es de 0,5 euros por cada decmetro cuadrado. Elabora una tabla de valores, dibuja una grfica y determina una frmula que permita calcular directamente el coste para cada longitud del lado de la ventana

La organizacin de la unidad de funciones propuesta en el libro del ao 1997 (Bujosa et al. 1997), titulada Funciones se puede representar mediante la siguiente configuracin epistmica:



Fig. 9 Configuracin epistmica emprica de las funciones en secundaria.5

La unidad sigue la estructura siguiente: a) problemas contextuali-zados introductorios, b) desarrollo de la unidad didctica con problemas contextualizados de aplicacin intercalados y c) problemas contextualiza-dos de consolidacin propuestos al final del tema. En realidad se trata de poner en el centro de la actividad matemtica escolar la modelizacin.

El concepto de funcin se generaliza a partir de diferentes situa-ciones en las que hay una relacin entre magnitudes. No se necesitan conceptos previos conjuntistas (por ejemplo, el de correspondencia). El concepto de funcin se presenta de una manera contextualizada ya que se presentan situaciones problemas al inicio de la unidad cuyo objetivo es facilitar al estudiante su construccin del concepto de funcin. En este caso, no se trata tanto de aplicar conocimientos matemticos aca-bados de estudiar, sino que el objetivo es presentar una situacin del mundo real que el alumno puede resolver con sus conocimientos previos

5 Ejemplo tomado de Ramos (2006)



(matemticos y no matemticos). Son problemas introductorios diseados para que queden dentro de la zona de desarrollo prximo (en trminos de Vygotsky). Su principal objetivo es facilitar la construccin, por parte de los alumnos, de los conceptos matemticos nuevos que se a van estudiar en la unidad didctica.

El lenguaje conjuntista ha desaparecido. En cambio, se introducen cuatro formas de representacin de las funciones (enunciado, tabla, grfica y frmula) y se proponen actividades cuyo objetivo es la traduccin dentro del mismo tipo de representacin y la conversin entre diferentes formas de representacin, lo que potencia y enriquece la comprensin.

La metodologa implcita es la siguiente: el profesor propone problemas que los alumnos han de intentar resolver (normalmente en grupo). En el proceso de puesta en comn de las soluciones, adems de resolver los problemas, se van construyendo los conceptos de la unidad. Estos conceptos se relacionan y organizan para ser primero aplicados a ejercicios y despus ser utilizados en la resolucin de problemas contex-tualizados ms complejos.

Puesto que se pretende que los conceptos, propiedades y procedi-mientos surjan a partir de generalizaciones y de procesos de abstraccin adecuados a la edad de los estudiantes, la argumentacin deductiva es casi inexistente. El tipo de argumentacin que se utiliza es de tipo inductivo. Tambin tiene un papel importante la argumentacin a partir de grficas para distinguir grficamente entre funcin continua y discontinua; recono-cer grficamente los conceptos de funcin creciente, decreciente, cncava y convexa; reconocer y distinguir grficamente los mximos y mnimos relativos, as como los puntos de inflexin de las funciones.

Otro aspecto a destacar es que esta unidad incorpora de manera explcita pocas propiedades. De hecho, slo resalta que la composicin de funciones no cumple la propiedad conmutativa. En cambio, en la unidad de 1976 se resaltan muchas propiedades de las operaciones con funciones puesto que se tiene como objetivo caracterizar al conjunto de las funciones reales como grupo abeliano (si se considera como operacin interna la suma); como anillo conmutativo con unidad (si se consideran la suma y el producto) o como espacio vectorial (si se considera la suma y el producto de una funcin por un nmero).

El cambio que se puede observar entre las dos unidades didcticas de funciones es el resultado de diferentes factores. Algunos son especficos



de la investigacin didctica sobre las funciones (por ejemplo, las investi-gaciones didcticas sobre las traducciones y conversiones entre las diferen-tes representaciones de las funciones) mientras que otros son generales, como es el caso de la reflexin de tipo constructivista sobre el proceso de enseanza-aprendizaje, o bien la importancia que se le da al contexto en los intentos para relacionar lo que los psiclogos han aprendido sobre el modo en que los humanos razonan, sienten, recuerdan, imaginan y deciden con lo que, por su parte, han aprendido los antroplogos sobre la manera en que el significado es construido, aprendido, activado y transformado. En palabras del antroplogo Geertz, este intento de relacin (...) supone el abandono de la idea de que el cerebro del Homo sapiens es capaz de funcionar autnomamente, que puede operar con efectividad, o que puede operar sin ms, como un sistema conducido endgenamente y que funciona con independencia del contexto (Geertz, 2002, p. 194).

Las configuraciones contextualizadas como la descrita anterior-mente dan un papel preponderante a las situaciones problemas contex-tualizadas y estn claramente enfocadas a la emergencia de nuevos objetos matemticos. Estas configuraciones empricas (contextualizadas, realistas, intuitivas, etc.,) presuponen una cierta concepcin emprica de las ma-temticas. Es decir, una concepcin que considera que las matemticas son (o se pueden ensear como) generalizaciones de la experiencia; una concepcin de las matemticas que supone que, al aprender matemticas, recurrimos a nuestro bagaje de experiencias sobre el comportamiento de los objetos materiales.

Por otra parte, tambin presuponen que saber matemticas incluye la competencia para aplicar las matemticas a situaciones extra matemticas de la vida real6 (criterio epistmico) lo cual lleva a la siguiente

6 El tema de la alfabetizacin matemtica ha sido motivo de debate en diferentes reu-niones cientficas (por ejemplo la CIEAEM del ao 2001) y de estudio por diferentes organismos internacionales, Entre los cuales destacan los realizados por la OCDE (2000 y 2001). Tambin son relevantes los trabajos del NCTM (1989). Algunos investigadores que se han interesado por el tema son, entre otros, Abrantes, 2001; Kilpatrick, 2001 y Noss, 2001. En la discusin que se ha producido en la comunidad de investigadores en educacin matemtica sobre lo que se debe entender por alfabetizacin matemtica de los ciudadanos, si bien las opiniones difieren en muchos aspectos, hay casi unanimidad en que sta ha de facilitar a los ciudadanos el desarrollo de un conjunto de conocimientos, habilidades, estrategias y actitudes que les permitan resolver las situaciones matem-ticas que plantea la vida cotidiana. Es decir, hay un acuerdo en aplicar el criterio de



pregunta: Cmo conseguir que los alumnos de la enseanza primaria y se-cundaria sean competentes en la aplicacin de las matemticas a contextos no matemticos?. Para contestar a esta pregunta hay que descomponerla, entre otras, en las siguientes subpreguntas: a) El uso de contextos en el proceso de enseanza-aprendizaje facilita o dificulta la comprensin de los alumnos? (criterio semitico), b) El uso de contextos matemticos sirve para motivar (frustrar) a los alumnos? (criterio emocional), c) Qu papel juegan los conocimientos previos de los contextos que tienen los alumnos? (criterio cognitivo), e) La enseanza con el enfoque contex-tualizado consume ms tiempo que la enseanza descontextualizada? (criterio mediacional).

Las configuraciones epistmicas contextualizadas dan pie, adems de las cuestiones anteriores, a otras cuestiones relevantes que han sido tambin objeto de numerosas investigaciones. Por ejemplo: qu caracte-rsticas han de cumplir los problemas contextualizados, Cmo se consigue la emergencia de los objetos matemticos a partir de los contextos?Con las configuraciones contextualizadas se consigue que los alumnos sean com-petentes en la resolucin de problemas contextualizados en otra materias o en mbitos no escolares? Es posible en las instituciones de secundaria implementar configuraciones epistmicas contextualizadas que permitan una actividad de modelizacin rica? Qu competencias necesitan los profesores para disear e implementar este tipo de configuraciones epis-tmicas? Cmo se relacionan este tipo de configuraciones epistmicas con las formales y qu dificultades tienen los alumnos en la transicin7 entre estos dos tipos de configuraciones epistmicas? etc.

idoneidad epistmica a los procesos de instruccin en la enseanza obligatoria ya que se considera que saber matemticas incluye la competencia para aplicar las matem-ticas a situaciones extra matemticas de la vida real. Un proceso de instruccin que no asegure est competencia no se considerara idneo. Este criterio tambin es el que toma en cuenta, en estos momentos, en los estudios internacionales de evaluacin del sistema educativo, por ejemplo el estudio Pisa 2003 (OCDE 2004).

7 Por ejemplo, investigadores como Artigue (1998) se han preocupado por poner de relieve que la ruptura que se observa entre las configuraciones epistmicas de secun-daria y las de la universidad es una de las causas importantes del fracaso acadmico de muchos estudiantes.



Contextos extra-matemticos. Revisin de la literatura y clasificaciones

Problemas contextualizados, problemas del mundo real, problemas relacionados con el trabajo, problemas situados son slo algunos de los diferentes nombres que se dan a las tareas escolares que simulan situaciones del mundo real.

revisin de la literatura

Los estudios cuyo objetivo ha sido comprender mejor cmo las personas solucionan los problemas en su lugar de trabajo (Lave, 1988) y los que se han interesado en comparar y contrastar el diferente uso que hacen las personas de las matemticas en la escuela y en el trabajo (Jurdak y Shahin, 1999 y 2001) han puesto de manifiesto que las mate-mticas informales e idiosincrsicas son las dominantes en la resolucin de problemas en la vida cotidiana y en el mundo laboral, mientras que las matemticas ms formales son las que predominan en la escuela. Algunos de estos estudios han puesto de manifiesto que las personas que fracasan en situaciones matemticas escolares, pueden ser extraordinariamente competentes en actividades de la vida diaria que implican el uso del mismo objeto matemtico. En situaciones de la vida real en las que las personas se sienten implicadas, se ha observado que stas utilizan matemticas propias que pueden ser muy diferentes a las que estudiaron en la escuela. En estas situaciones el problema y la solucin se generan simultnea-mente y la persona est implicada cognitiva, emocional y socialmente. Estas investigaciones han puesto de manifiesto que los conocimientos se construyen usndolos en contextos reales. En la vida diaria, los problemas son concretos y slo se pueden resolver si las personas los consideran como problemas a resolver. Tambin plantean un problema para la Didctica de las Matemticas: Cmo conseguir la transferencia del conocimiento usado o generado en un contexto a otro contexto diferente? y, ms en concreto, el problema de la transferencia del conocimiento aprendido en la escuela a las situaciones prcticas de la vida cotidiana y viceversa.

Con relacin a la introduccin de los problemas contextualizados en el currculum destaca el proyecto Realistic Mathematics Education desarrollado en el instituto Freudenthal (De Lange, 1996; Reewijk, 1997). Este proyecto considera que saber matemticas es hacer matemticas, lo cual comporta, entre otros aspectos, la resolucin de problemas de la



vida cotidiana. Uno de sus principios bsicos afirma que para conseguir una actividad matemtica significativa hay que partir de la experiencia real de los estudiantes. Otros principios, importantes, son que hay que dar al estudiante la oportunidad de reinventar los conceptos matemticos y que el proceso de enseanza-aprendizaje debe ser muy interactivo. Segn De Lange (1996), bsicamente se dan cuatro razones para integrar los problemas contextualizados en el currculum: (a) facilitan el aprendizaje de las matemticas, (b) desarrollan las competencias de los ciudadanos, c) desarrollan las competencias y actitudes generales asociadas a la resolucin de problemas y (d) permiten ver a los estudiantes la utilidad de las ma-temticas para resolver tanto situaciones de otras reas como situaciones de la vida cotidiana.

En muchas investigaciones se usan los trminos modelo, mode-lizacin o matematizacin en lugar de contexto y contextualizacin, con lo que surge la problemtica de saber cul es la lnea divisoria entre estos conceptos. Diversos autores coinciden en entender la modelizacin en trminos de una terna (S, M, R), siendo S una situacin problema real, M una coleccin de entidades matemticas y R una relacin mediante la cual objetos y relaciones de S se conectan con objetos y relaciones de M. Por otra parte, hay bastante acuerdo en que gran parte de la actividad matemtica puede ser descrita como procesos de modelizacin. Este pro-ceso seguira las cinco fases siguientes: 1) Observacin de la realidad. 2) Descripcin simplificada de la realidad. 3) Construccin de un modelo. 4) Trabajo matemtico con el modelo. 5) Interpretacin de resultados en la realidad.

Cuando se utiliza el trmino contextualizacin, no necesariamen-te va ligado a complejidad mientras que cuando se utiliza el trmino modelizacin se suele tener en mente un proceso complejo que implica primero partir de la situacin concreta para, gracias a un proceso des-contextualizador, obtener un objeto matemtico y despus, gracias a un proceso de contextualizacin, aplicar este objeto a diferentes situaciones reales. Por tanto, parece razonable utilizar el trmino descontextualiza-cin para referirse al proceso que va de la realidad al objeto matemtico, contextualizacin para indicar el proceso que va del objeto matemtico a la realidad, matemticas contextualizadas para cuando se pretende que el alumno realice alguno o ambos de estos procesos y modelizacin cuando se presenta a los alumnos una situacin suficientemente rica que



tenga por objetivo la realizacin de los 5 pasos descritos anteriormente [por ejemplo, Gmez y Fortuny (2002)].

Clasificacin de los problemas contextualizados

Los problemas contextualizados que normalmente se proponen a los alumnos son de contexto evocado, es decir presentan una descripcin escrita de una situacin real. Con relacin a este tipo de problemas, con-viene hacer una primera clasificacin en funcin de la complejidad de los procesos necesarios para su resolucin. En un extremo tendramos proble-mas contextualizados que se han diseado para activar procesos complejos de modelizacin, mientras que en el otro extremo tendramos problemas relativamente sencillos cuyo objetivo es la aplicacin de los conceptos matemticos previamente estudiados. Entre estos dos extremos hay una lnea continua en la que podemos situar a la mayora de los problemas contextualizados propuestos en el mbito escolar. Adems, un mismo problema puede estar ms o menos cerca de uno de dichos extremos en funcin del momento en que sea propuesto a los alumnos.

Otra clasificacin est relacionada con el momento en que se pro-pone a los alumnos los problemas contextualizados. Se pueden proponer a continuacin de un proceso de instruccin en el que se han enseado los objetos matemticos necesarios para la resolucin del problema. En este caso, el objetivo es que sirvan, por una parte, como problemas de conso-lidacin de los conocimientos matemticos adquiridos y, por otra parte, para que los alumnos vean las aplicaciones de las matemticas al mundo real. A este tipo de problemas (Font, 2006; Ramos 2006) les llamaremos problemas contextualizados evocados de aplicacin si son relativamente sencillos o problemas contextualizados evocados de consolidacin cuando su resolucin re-sulte ms compleja. En ambos casos, se trata fundamentalmente de aplicar los conocimientos adquiridos previamente en el proceso de instruccin.

Tambin se pueden proponer los problemas contextualizados al inicio de un tema con el objetivo de que sirvan para la construccin de los objetos matemticos que se van a estudiar en esta unidad didctica. En este caso, no se trata tanto de aplicar conocimientos matemticos acabados de estudiar, sino que el objetivo es presentar una situacin del mundo real que el alumno puede resolver con sus conocimientos previos (matemticos y no matemticos). Llamaremos a esta nueva categora problemas de contexto evocado introductorios puesto que se proponen al inicio



de un tema matemtico y se han diseado para que queden dentro de la zona de desarrollo prximo (en trminos de Vygotsky). Su principal objetivo es facilitar la construccin, por parte de los alumnos, de los con-ceptos matemticos nuevos que se van estudiar en la unidad didctica. A su vez, estos problemas pueden ser ms o menos complejos en funcin de los procesos de modelizacin que se pretendan generar.

Situaciones ricas y globalizacin

En muchos casos, los procesos de descontextualizacin (mode-lizacin) se realizan a partir de situaciones de enseanza-aprendizaje ricas (Font 2005) las cuales, implican tambin una globalizacin de los contenidos. Segn el grado de globalizacin se pueden distinguir las siguientes categoras:

1) Primer nivel: Intradisciplinariedad. Se establece una relacin interactiva entre los contenidos que forman los diferentes bloques del currculum de matemticas.

2) Segundo nivel: Transdisciplinariedad. Una de las reas asume el tratamiento simultneo de contenidos propios y ajenos en el espacio lectivo que le corresponda.

3) Tercer nivel: Transversalidad. El centro de inters son los deno-minados temas transversales (Educacin para la Igualdad entre Sexos, Educacin para la Paz, etc.)

4) Cuarto nivel: Interdisciplinariedad. Exige la colaboracin entre diferentes reas, un horario acordado dentro de la jornada lectiva y una programacin conjunta hacia un idntico inters.

Las configuraciones epistmicas tambin pueden ser herramientas tiles para profundizar en lo que se tiene que entender por situacin rica o por globalizacin. Dada una situacin problema es posible que se pueda resolver por diferentes mtodos. Es decir, que pueda formar parte de dos configuraciones epistmicas diferentes que, a su vez, formen parte de bloques matemticos muy diferentes (por ejemplo geometra y lgebra). Este hecho convierte a la situacin problema en una situacin potencialmente rica ya que puede permitir la integracin y la conexin entre contenidos matemticos correspondientes a dos bloques diferentes del currculum.



Fig. 10 Configuraciones epistmicas que comparten la misma situacin problema.

Una diferencia importante entre las unidades didcticas que pre-senten configuraciones epistmicas empricas como las descritas en el apartado 7 y las propuestas de globalizacin es que, en el primer caso, el problema, aunque potencialmente puede ser muy rico, se utiliza para generar la configuracin epistmica que se corresponde con los contenidos de la unidad didctica. En cambio, en una perspectiva globalizadora el objetivo ser generar varias configuraciones epistmicas diferentes del mismo problema, de cara a su integracin y conexin.

Conclusiones

En este trabajo se ha puesto de manifiesto que el constructo con-figuracin epistmica resulta til para el anlisis de textos matemticos de distintas pocas y orientacin epistemolgica, una de las competencias que debe contemplar la formacin de profesores. Tambin se ha puesto de manifiesto que los currculum de algunos pases que consideran slo dos tipos de objetos matemticos: conceptos y procedimientos proponen una ontologa demasiado simplista para analizar los textos matemticos, y en general la actividad matemtica sea profesional o escolar.

El anlisis realizado ha puesto de manifiesto que las configura-ciones epistmicas resultan tiles tanto para el anlisis global de una unidad didctica como para el anlisis de un texto puntual. Tambin ha puesto de manifiesto dos tipos de configuraciones epistmicas globales:



las formales (o intra matemticas) y las empricas (o extra matemticas). Ambas responden a concepciones filosficas muy diferentes sobre la naturaleza de las matemticas. Las formales se basan en una concepcin convencionalista de las matemticas y suelen vivir en las instituciones universitarias, mientras que las empricas (contextualizadas, realistas,) parten del supuesto de que las reglas matemticas se pudieran justificar por su acuerdo con situaciones extra matemticas y suelen vivir en las instituciones de secundaria.

La dialctica que se produce entre estos dos tipos de configuracio-nes epistmicas es un tema muy sugerente para la investigacin didctica y puede ser el origen de una agenda de investigacin con resultados relevantes. No entraremos aqu en la discusin de si todas las reglas en matemticas son convencionales, en el sentido de que no se pueden justificar por su acuerdo con la experiencia; nos limitaremos a sealar que, incluso en el supuesto de que la mayora de las reglas matemticas se pudieran justificar por su acuerdo con situaciones extra matemticas, hay ciertas reglas que indiscutiblemente son convencionales y que, por tanto, difcilmente se pueden justificar en base a su acuerdo con situaciones extra matemticas.

Otra conclusin importante es que las configuraciones epistmicas han resultado muy tiles para explicar los dos usos bsicos del trmino contexto, el ecolgico y el relacionado con la dualidad extensivo/intensivo. El segundo consiste en considerar el contexto como un ejemplo particular de un objeto matemtico, mientras que el primero es un uso ecolgico que consiste en enmarcarlo en el entorno

Referencias

ABRANTES, P. (2001). Mathematical competence for all: options, implications and obstacles. Educational Studies in Mathematics, v. 47, n. 2, pp. 125-143.

ANZOLA, M.; CARUNCHO, J y GUTIRREZ, M. (1976). Matemticas 2 de Bachillerato. Madrid, Santillana.

ARTIGUE, M. (1998). Lvolution des problmatiques en didactique de lAnalyse. Recherches en Didactique des Mathmatiques, v. 18, n.2, pp. 231-262.



BUJOSA, J.M. et alii (1997). Matemtiques Aplicades a les ciencies socials 1. Barcelona, Castellnou.

CONTRERAS A.; FONT, V.; LUQUE, L. y ORDEZ, L. (2005). Algunas aplicaciones de la teora de las funciones semiticas a la didctica del anlisis. Recherches en Didactique des Mathmatiques, v. 25, n. 2, pp. 151-186.

FONT, V. (2005). Reflexin en la clase de Didctica de las Matemticas sobre una situacin rica. In: BADILLO, E.; COUSO, D.; PERAFRN, G. y ADRIZ-BRAVO, A. (eds.). Unidades didcticas en Ciencias y Matemticas. Bogot, Magisterio.

_____ (en prensa). La relacin entre las matemticas y la realidad. Una mirada desde la educacin matemtica. Cuadernos de pedagogia.

GEERTZ C. (2002). Reflexiones antropolgicas sobre temas filosficos. Barcelona, Paids Studio.

GODINO, J. D. (2002). Un enfoque ontolgico y semitico de la cognicin matemtica. Recherches en Didactique des Mathmatiques, v. 22, n. 2/3, pp. 237284.

GODINO, J. D.; CONTRERAS, A. y FONT, V. (en prensa). Anlisis de procesos de instruccin basado en el enfoque ontolgico-semitico de la cognicin matemtica. Recherches en Didactique des Mathmatiques (aceptado).

GMEZ, J. y FORTUNY, J. M. (2002). Contribucin al estudio de los procesos de modelizacin en la enseanza de las matemticas en escuelas universitarias. Uno, n. 31, pp. 7-23.

HIEBERT, J.; MORRIS, A. K. y GLASS, B. (2003). Learning to learn to teach: An experiment model for teaching and teacher preparation in mathematics. Journal of Mathematics Teacher Education, n. 66, pp. 201-222.

HILBERT, D. (1991). Fundamentos de la Geometra. Madrid, CSIC.JURDAK, M. y SHAHIN I. (1999). An ethnographic study of the

computational strategies of a group of young street vendors in Beirut. Educational Studies in Mathematics Education, v. 40, n. 2, pp. 155-172.

_____ (2001). Problem solving activity in the workplace and the school: the case of constructing solids. Educational Studies in Mathematics Education, v. 47, n. 3, pp. 297-315.



KILPATRICK, J. (2001). Understanding mathematical literacy: the contribution of research. Educational Studies in Mathematics Education, v. 47, n. 1, pp. 101-116.

LANGE, J. de (1996). Using and applying mathematics in education. In: BISHOP et alii. International handbook of mathematics education. Dordrecht, Kluwer A. P.

LAVE, J. (1988). Cognition in practice. New York, Cambridge University.MOSTERN, J. (1980). Teora axiomtica de conjuntos. Barcelona, Ariel.NOSS, R. (2001). For a learnable mathematics in the digital cultures.

Educational Studies in Mathematics Education, v. 48, n. 1, pp. 21-46.NEZ, J. M. y FONT, V. (1995). Aspectos ideolgicos en la

contextualizacin de las Matemticas. Una aproximacin histrica. Revista de Educacin, n. 306, pp. 293-314.

OCDE (2004). Learning for Tomorrows World First Results from PISA 2003. Pars, OCDE.

RAMOS, A. B. (2006). Objetos personales, matemticos y didcticos, del profesorado y cambios institucionales. El caso de la contextualizacin de las funciones en una Facultad de Ciencias Econmicas y Sociales. Tesis doctoral. Universitat de Barcelona.

REEUWIJK, M. van (1997). Las matemticas en la vida cotidiana y la vida cotidiana en las matemticas. Uno, n. 12, pp. 9-16.

RUDIN, W. (1971). Principios de Anlisis Matemtico. Madrid, Ediciones del Castillo.

Recebido em jul./2006; aprovado em ago./2006.

configuracion epistemica

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