concreto c

8/18/2019 Concreto C

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Universidade Estadual de MaringáCentro de Tecnologia

Departamento de Engenharia Civil

Equacionamento da Flexão Simples

no Estado Limite Último

João Dirceu N. Carvalho

Maringá, DEC/UEM, 2009


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Estruturas em Concreto I – Prof. João Dirceu N. Carvalho 3

Equacionamento da Flexão Simples no Estado Limite Último

Sumário

1 Cálculo no Estado Limite Último............................................................................................5

1.1 Introdução.........................................................................................................................51.2 Hipóteses de Cálculo - item 17.2.2.................................................................................51.3 Distribuições possíveis de deformação na seção..............................................................7

2 Flexão Normal Simples em Seções Retangulares ...................................................................7

2.1 Equacionamento do Problema para armadura simples (R sc = 0)....................................102.1.1 Equações de Equilíbrio............................................................................................102.1.2 Equações de compatibilidade ..................................................................................11

2.2 Cálculo de dimensionamento..........................................................................................132.2.1 Domínio 2................................................................................................................142.2.2 Domínio 3................................................................................................................152.2.3 Domínio 4................................................................................................................16

2.3 Exemplo geral.................................................................................................................17

3 Durabilidade das estruturas de concreto................................................................................23

3.1 Agressividade do ambiente.............................................................................................23

4 Detalhamento da armadura na seção .....................................................................................28

4.1 A altura e a altura útil .....................................................................................................30


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5 Armadura dupla..................................................................................................................... 36

5.1.1 Equações de Equilíbrio ........................................................................................... 37

5.1.2 Equações de compatibilidade.................................................................................. 375.1.3 Exemplo.................................................................................................................. 38

6 Cálculo mediante Tabelas..................................................................................................... 41

6.1 Seção Retangular Com Armadura Simples.................................................................... 416.2 Seção retangular com armadura dupla........................................................................... 466.3 Vão efetivos e larguras mínimas de vigas...................................................................... 52


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1 Cálculo no Estado Limite Último

SOLICITAÇÕES NORMAIS – Flexão normal simples em seções retangulares e “T”

1.1 Introdução

Solicitações Normais são aquelas que originam tensões normais sobre as seções retas e sãoconstituídas por um Momento Fletor e um Esforço Normal referidos ao centro de gravidadeda seção de concreto.

As seções de peças de concreto armado submetidas a solicitações normais podem alcançar o

estado limite último por ruptura da zona comprimida do concreto, ou por excesso dedeformação plástica de armadura.

1.2 Hipóteses de Cálculo - item 17.2.2

As hipóteses que seguem são válidas para o cálculo no estado limite último nos casos deflexão simples ou composta, normal ou oblíqua, e de compressão ou tração uniforme.

• As seções transversais planas antes do carregamento permanecem planas até a ruptura(distribuição linear das deformações na seção).

• A deformação em cada barra é a mesma do concreto adjacente (perfeita aderência entreo aço e o concreto não fissurado).

• Despreza-se a resistência do concreto a tração.

• O encurtamento de ruptura do concreto nas seções não inteiramente comprimidas é de3,5‰ (domínios 3 - 4 - 4a).

Nas seções inteiramente comprimidas, o encurtamento da borda maiscomprimida na ocasião de ruptura varia de 3,5‰ a 2‰ mantendo-seinalterada e igual a 2‰ a deformação a uma distância igual a 3/7 da alturatotal da seção, contada a partir da borda mais comprimida (dom. 5)

• alongamento máximo permitido ao longo de armadura de tração é de 10‰ (domínios 1e 2) a fim de prevenir deformação excessiva.


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• A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagramaretangular parabólico (parábola de 2º grau). Permite-se a substituição deste diagrama pelo retângulo de altura y = 0,8x (Figura 1) com a tensão 0,85 f cd quando a largura daseção medida paralelamente à linha neutra não diminuir a partir desta para a borda maiscomprimida ou, 0,80 f cd em caso contrário (Figura 2).

Figura 1. Diagramas de tensões Retangular/Parabólico e Parabólico

c cd c cd0,85 f 0,80 f σ σ = =

Figura 2. Critério para adoção dos valores deσ c para o bloco de tensões

g) A tensão na armadura é a correspondente à deformação determinada de acordo com as

hipóteses anteriores e obtida nos diagramas tensão/deformação.

Figura 3. Diagrama tensões/deformações dos os aços para concreto armado

3,5‰ εyd εyd 10‰εs

σsf yd

σs = f(εs = 3,5‰ )

L.N.L.N.

oux y

3,5‰

σc = 0,85 f cd ouσc = 0,80 f cd

σc

h

(a) (b) (c)

2‰x

y = 0,8 xσc


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1.3 Distribuições possíveis de deformação na seção

Figura 4. Diagrama de Domínios de deformações

• Retas “a” e “b” Tração uniforme (reta a) e compressão uniforme (reta b)

• Domínio 1 Tração não uniforme sem tensões de compressão (tração excêntrica ouflexo-tração)

• Domínio 2 Flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (|εc|≤ 3,5‰) e com o máximo alongamento permitido na armadura.

• Domínio 3 Flexão simples ou composta com simultaneidade de escoamento do açotracionado, com tensão de ruptura do concreto. (seção normalmente armada).

• Domínio 4 Flexão simples ou composta sendo que o concreto atinge a tensão deruptura entes que o aço entre em escoamento (εsd < εyd) (seção super armada)

• Domínio 4A Flexão composta com armaduras comprimidas.

• Domínio 5 Compressão não uniforme, sem tração

2 Flexão Normal Simples em Seções Retangulares

A flexão normal simples só pode acorrer nos domínios 2, 3 e 4, ou seja, a linha neutracortando a seção, e conseqüentemente, tração em uma borda e compressão na outra.

h d

1

Alongamento 0 Encurtamento

0

23

4

4a

R e t a a

5

R e t a

b

C

3/7 h

10‰

d'

εyd

10‰ 3,5‰

10‰

2‰


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Na Figura 5(a), uma viga biapoiada AB, de vão L é submetida a uma carga uniformementedistribuída p. Cortando-se a viga em uma seção C, distante x do apoio A, o equilíbrio do

seguimento AC é dado porΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣMi = 0, mas, como neste caso não atuamforças horizontais (R HA = 0), no segmento de viga AC atuam apenas a parcela da cargauniformemente distribuída p no trecho x, a reação vertical no apoio A e os esforços internossolicitantes V e Mf, atuantes na seção C.

Admitindo-se a consideração individualizada dos efeitos do esforço cortante e da flexão parao dimensionamento à flexão simples, as Figuras 5(b) e 5(c) mostram as forças atuantes emcada caso. Portanto, para o equacionamento do concreto à flexão será considerado somente omomento fletor como esforço solicitante interno (Figura 5(b)) e, para o equacionamento docisalhamento, apenas o esforço cortante (Figura 5(c)).

Figura 5. Solicitações internas em uma seção genérica da viga

Os esforços internos resistentes e as deformações na seção são apresentados na Figura 6. Em(a) mostra-se uma elevação longitudinal terminando na seção C, em (b) a seção transversal,em (c) o diagrama de deformações e em (d) o diagrama de tensões.

Figura 6. Deformações e esforços internos resistentes na seção

(a) (b) Flexão (c) Cisalhamento

A C BL

p

A CR A x

pMf A C

R A x

pV

RscA’s

As

A’s

As

bw

d’

dh

Rcc

Rst

d’x

yRsc

Rcc

Rst

εc ε’s

εs

σcd d’

dh

L. N. L. N.

C

b)

(a) (b) (c) (d)


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2.1 Equacionamento do Problema para armadura simples (R sc = 0)

2.1.1 Equações de Equilíbrio

Conforme o diagrama esforços apresentado na Figura 6 (d), a ausência de forças normaisexternas permite escrever:

0 0 y cc st F R RΣ = − = Equação 1

02 2 f f cc st y y

Mf M R d R d γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Equação 2

Onde:

. .cc w c R b y σ = Resultante das tensões de compressão no concreto

.st s s R A σ = Resultante das tensões de tração na armadura

Mf Momento Fletor característico que atua na seção em estudo.

Tem-se então:

. . . . 0,85 .ck

w c s s w s sc

f b y A b y Aσ σ σ γ

⎛ ⎞= ∴ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Equação 3

. . . 0,852 2

ck f f w c f f w

c

f y y M b y d M b y d γ σ γ

γ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ∴ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Equação 4

2 f f s s y

M A d γ σ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Equação 5

Observações:

a) As equações (4), e (5) não são independentes entre si, pois trata-se de uma combinaçãodas anteriores. Veja que substituindo (3) em (4) obtém-se a equação (5).

b) O coeficiente 0,85 que aparece minorando a tensão f cd tem como causa:

• Levar em conta o efeito de diminuição de resistência do concreto quandosolicitado por cargas de longa duração - efeito Rush

• levar em conta a diminuição de resistência do concreto em conseqüência daevaporação mais rápida de água que aflora à parte superior do elementoestrutural.


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2.1.2 Equações de compatibilidade

Do diagrama de deformações apresentado na Figura 6 (c), tem-se:

c s

x d xε ε =

− Equação 6

Estas equações podem ser “arrumadas” para facilitar sua utilização nos cálculos. Ao invés dese trabalhar com valores para a profundidade da linha neutra pode-se coloca-la em função da

altura útil introduzindo a variávelβx = x/d. Observa-se que muitos autores trabalham com o bloco de tensões fazendoβy = y/d. É muito comum também a substituição deβ por k, usandok x, k y etc.

A equação (3) torna-se:

0,68. . . . .w cd x s sb d f A β σ = Equação 7


( ). .0,8. .0,85. 0,4. f f w cd M b x f d xγ = − ( ). 0,68. . . . 0,4. . f f w cd x x M b d f d d γ β β = −

( )2. 0,68. . . . 1 0,4. f f w cd x x M b d f γ β β = − Equação 8


( ) ( ). . 0,4. . . . 1 0,4. f f s s x s s x M A d d A d γ σ β σ β = − = − ‘ Equação 9

E a equação (6) pode ser rearranjada, para a determinação de x,εc e deεs.

c s cc s s c

c s

x d x x d

x d x d x xε ε ε

ε ε ε ε ε ε

−= = = =− + −

Equação 10

Essas equações de compatibilidade de deformações podem ser colocadas em função deβx.

1

. 1 . 1c s c x x

x c s s c x x c s x xd d

ε ε ε β β β ε ε ε ε

β β ε ε β β

−= = = =− + −

Equação 11


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As equações (7) a (11) permitem resolver problemas de dimensionamento e verificação deseções nas quais a armadura As é disposta de tal maneira que a resultante de tensão nasmesmas possam ser aplicadas no centro de gravidade correspondente.

Conforme o item 17.2.4.1 da NBR 6118 (2003) os esforços nas armaduras podem serconsiderados concentrados em seu centro de gravidade (de massa), se a distância deste centroao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, formenor que 10% de h. A Figura 7.a) exemplifica a concentração de esforços na armadura;nesse exemplo as 5 barras poderiam ser substituídas por uma barra fictícia de seção igual a5,35 cm2 com centro distando 1,56 cm da linha da base da armadura, porém, para isso, a vigadeveria ter uma altura superior a 15,6 cm.

Para as vigas usuais de edifícios (diâmetros de barras e alturas das vigas) praticamente não hárestrições quanto ao uso das armaduras em duas camadas restringindo, porém, a disposição daarmadura em três ou mais camadas, ao impor a necessidade de maiores alturas. Como se podeobservar, as vigas de maior largura possibilitam maior número de barras na primeira camadareduzindo, desse modo, o valor de “a” que é o centro de massa da armadura em relação

Figura 7. Concentração das barras da armadura em sua resultante.

a

h

L.N.

d

3 φ 12,5 + 2φ 10,0 mm

a = 1,56 cmse a < 0,1 h pode-se concentrar As

ponto da seção da armadura mais afastado dalinha neutra, medida normalmente a ela

centro de massa da armadura

a)

a1,25

2,01,251,252,0

3 φ 12,5 + 2φ 12,5 mmAs= 6,25 cm2 a = 1,925 cmh ≥ 10 a = 19,25 cm

a1,25

1,02,0 a1,25

1,252,0

2 φ 12,5 + 2φ 12,5 mmAs= 5,0 cm2 a = 2,25 cmh ≥ 10 a = 22,5 cm

3 φ 12,5 + 2x(2φ 12,5 mm)As= 7,5 cm2 a = 3,71 cmh ≥ 10 a = 37,1 cm b)


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2.2 Cálculo de dimensionamento

As variáveis envolvidas no dimensionamento (equações (7), (8) e (10)) são: bw, d, f cd, βx, As,

σs, γf , Mf, x, d,εc e εs. Como se vê, são muitas variáveis para poucas equações, mas, algumassão adotadas e outras são dados do problema, veja:

bw adotado em função da espessura da parede (15, 20, 25 etc.)

d normalmente sua determinação é o objetivo do dimensionamento (incógnita).

f cd Adotado pelo calculista.

x eβx posição da linha neutra (incógnita).

As normalmente sua determinação é o objetivo do dimensionamento (incógnita).

σs depende do aço e do domínio.

γf coeficientes de majoração e de segurança são adotados (valores normalizados)

Mf dado do problema, o dimensiona-se para resistir a uma solicitação.

εc, εs dependem do concreto e do domínio e do aço e do domínio, respectivamente.

Em seções retangulares de concreto armado nos problemas de dimensionamento, asincógnitas geralmente são: d, As e/ou A's. Os casos mais freqüentes são:

• Dados: f ck , f yk ., γc, γs, γf , bw e Mf Pede-se: a altura útil da seção (d) e a seção transversal da armadura (As)

• Dados: f ck , f yk ., γc, γs, γf , bw, d e Mf Pede-se: As (armadura simples) ou As e A's (armadura dupla)

Além dos problemas de dimensionamento há os de verificação. Nesses, é dada uma seção esua armadura (bw, h, As) e pede-se o momento fletor. Esses problemas de verificação sãomuito comuns em recálculos de estruturas para novas solicitações, ou reformas (ouadaptações) em edifícios, ou seja, a estrutura já existe e pretende-se determinar sua

capacidade de carga.


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Unidades: Antes de usarmos estas equações vamos dar uma rápida olhada nas unidades.

Vamos trabalhar com unidades de comprimento e seção (bw, d, As) e de força (σc, σs ,Mf). Asunidades de comprimento são determinantes, pois também estão nas tensões e nos momentose, em função dos valores usuais em concreto armado adota-se o cm, e para a força o kN. Destaforma trabalha-se com: cm, cm2, kN/cm2, kN.cm (obs.: 1MPa = 0,1 kN/cm2).

Vamos analisar cada um dos casos nos domínios (2, 3 e 4) separadamente e delinear suas principais características. As variáveis x e y (profundidades da linha neutra e bloco de

tensões, respectivamente) representadas nas equações através deβx, são diretamente ligadas

ao domínio em que a seção irá trabalhar.

2.2.1 Domínio 2

Figura 8. Domínios de deformações: domínio 2.

10‰ 0 3,5‰s cε ε = ≤ ≤

23230 0s yd x x f x xσ β β = ≤ ≤ ≤ ≤

O valor de x23 é determinado por semelhança de triângulos.

232323 23 23 23

3,5 10 0,259. 0,259c s x x d x d x x d xε ε

β = ⇒ = ⇒ = =− −

h d


0

2

10‰ εyd

3,5‰0xx23


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2.2.2 Domínio 3


10‰ yd sε ε ≤ ≤ 3,5‰cε =

s yd f σ = 23 34 x x x≤ ≤

O valor de x34 é determinado por semelhança de triângulos. Enquanto no domínio 2 todos os

aços temεs = cte. = 10‰ e, portanto o mesmo valor para x23;o valor de x34 depende deεyd,que é diferente para cada aço e, dessa forma, o valor de x34 depende do aço utilizado. ATabela 1 apresenta um resumo desses valores.

34 3434 34

. .c s c c yd c yd

cs

x d x d f x d x E

ε ε ε ε ε ε

ε = = =

− + +

34 34 34. c x x yd

cs

x d f E

ε β β

ε

= =+

Tabela 1. Valores de εyd, 23 e 34.

f yk (kN/cm2) f yd (kN/cm2) εyd (‰) βx23 βx34

CA 25 25 21,74 1,0352 0,2593 0,7717

CA 50 50 43,48 2,0704 0,2593 0,6283CA 60 60 52,17 2,4845 0,2593 0,5848

h d


0

3

10‰ εyd

3,5‰

x23

x34


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2.2.3 Domínio 4


0 s yd ε ε ≤ ≤ 3,5‰cε =

.s s s E σ ε = 34 x x d ≤ ≤

Os valores de x34 para os diferentes aços foram determinados anteriormente na análise dodomínio 3. O problema do dimensionamento no domínio 4 são as tensões e deformações no

aço: enquanto nos domínio 2 e 3 os aços trabalham comσs = f yd, no domínio 4 se trabalhacom f yd ≥ σs ≥ 0, ou seja, o material mais nobre (e mais caro) do concreto armado, o aço, passa a ser utilizado em maiores quantidades trabalhando com tensões menores. Na figura 11apresenta-se a caracterização dos domínios em um diagrama tensão/deformação de aço.

Figura 11. Diagramas tensão/deformação dos aços - Domínios de deformações.

Não se dimensiona uma seção no domínio 4. Como será visto adiante, quando houver a

ocorrência de βx > βx34, adotar-se-á como solução a alteração das dimensões da seção ou autilização da armadura dupla.

h d


0

2 34

10‰ εyd

3,5‰

d

x34

0 εyd 10‰

Domínio 4Domínio 3

Domínio 2σs

εs

f yd


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2.3 Exemplo geral

Normalmente são dados: Concreto C25 e Aço CA-50 (adotado pelo calculista)

b = 15 cm (em função das paredes)

Mf = 100 kN.m (esforço em uma viga)

Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular.

Equação 7 0,68. . . . .w cd x s sb d f A β σ =

Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4. f f w cd x x M b d f γ β β = −

Equação 10 c s c c s s cc s

x d x x d

x d x d x xε ε ε

ε ε ε ε ε ε

−= = = =− + −

Incógnitas: na equação 7, tem-se: d,βx, As e σs.

na equação 8, tem-se: d eβx.

e na equação 10, tem-se εc ouεs. (observe que o domínio 2forneceεs (εs = cte. = 10‰) e os domínio 3 e 4εc (εc = cte = 3,5‰).

Veja que em princípio têm-se 5 incógnitas (d,βx, As, e σs, εc ou εs) para as três equações, mastem uma quarta equação para ser usada: a que relaciona a tensão do aço à sua deformação.

Nos domínios 2 e 3, tem-seεs no patamar de escoamento (Figura 11) e, portanto

s yd cte f σ = = e, no domínio 4 tem-se .s s s E σ ε = , conforme a Lei de Hooke.

Mas, ainda se tem uma incógnita a mais que o número de equações. Essa incógnita,

normalmente oβx, é adotada pelo calculista. Adotar oβx significa impor o comportamento daviga, ou seja, ao domínio. Os domínios 2, 3 e 4 tem características diferentes e possibilitamalternativas muito amplas para a seção da viga e, dessa forma cabe ao calculista optar por um

dos domínios e, em que região desse domínio pretende que a seção trabalhe. Isto é feitoadotando-seβx.


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Neste primeiro exemplo, para entendermos bem os domínios e vermos a amplitude das

respostas possíveis para esse problema, vamos variarβx de “quase” zero até quase “d”, evamos plotar os resultados de “d” e “As” determinados.

Figura 12. Altura útil e armadura em função de x, nos domínios 2, 3 e 4.

Como se pode ver, o problema não tem “uma” solução, mas “inúmeras soluções. Algumassoluções são muito boas, outras boas e, muitas ruins ou péssimas.

Vamos ver como foram feitos os cálculos através dos exemplos abaixo.

A) Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular.

dados: Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m e considerandoβx = βx23..

232323 23 23 23

3,5 10 0,259. 0,259c s x x d x d x x d xε ε

β = ⇒ = ⇒ = =− −

Domínios 2 e 3: yk s yd s

f f σ

γ = = σs = 43,48 kN/cm2.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Valores de x

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

d (cm)

As (cm2) V a l o r e s

d a a l

t u r a

ú t i l ( c m ) e

d a a r m a d u r a

( c m

2 )

β 2 3 =

0 , 2

5 9

β 3 4 =

0 , 6

2 8

A ç o

C A 5 0


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( ) ( )

. 1,4.10000 57,50,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,259. 1 0,4.0,259

f f

w cd x x

M d cm

b f

γ

β β = = =

− −


20,68. . . . 0,68.15.57,5.1,786.0,2596,2443,48

w cd xs

s

b d f A cm

β σ

= = =

B) Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular.

dados: Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m e considerandoβx = βx34.

Domínios 2 e 3: yk s yd s

f f σ

γ = = σs = 43,48 kN/cm2.

3434 340,0035. . 0,628. 0,62843,480,0035 21000

c x

c s

x d d x d ε

β ε ε

= = ⇒ = =+ +


( ) ( ). 1,4.10000 40,43

0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,628. 1 0,4.0,628 f f

w cd x x

M d cm

b f

γ

β β = = =

− −


20,68. . . . 0,68.15.40,43.1,786.0,25910,6443,48w cd xs

sb d f A cm β σ = = =

C) Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular.

dados: Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m e considerandoβx = 0,72.

No exemplo A foi dadoβx = βx23, que indica o domínio e nesse exemplo foi dadoβx = 0,72.Observe que:


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232323 23 23 23

3,5 10 0,259. 0,259c s x x d x d x x d xε ε

β = ⇒ = ⇒ = =− −

343434 34 23 34

/3,50,628. 0,628

yd yd sc x

f E x d x d x x d x

ε ε β = ⇒ = ⇒ = =− −

Comoβx = 0,72, a seção está trabalhando no domínio 4, e a solução seria alterar as dimensõesda seção ou usar armadura dupla, mas, apenas como exemplo e para mostrar o uso dasequações vamos resolve-lo.


( ) ( ). 1,4.10000 38,72

0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,72. 1 0,4.0,72 f f

w cd x x

M d cm

b f

γ

β β = = =

− −

Observe que ao contrário do exemplo anterior não podemos determinar a armadura através da

equação 7, pois no domínio 4 o valor deσs é variável e, precisamos determiná-lo primeiro.

Equação 10 1 1 0,720,0035 0,0013610,72

xs c

x

β ε ε

β − −= = =

Lei de Hook 2. 21000.0,001361 28,583 /s s s E kN cmσ ε = = =

e agora sim, podemos determinar a armadura pela equação 7

20,68. . . . 0,68.15.38,72.1,786.0,25917,7728,583

w cd x

ss

b d f

A cm

β

σ = = =

Vamos analisar o comportamento da altura útil “d” e da seção de aço “As” obtidos nessesexemplos e os mostrados na Figura 12.

Veja que as características de cada domínio ficam agora bastante claras:

• O domínio 2 começa com alturas extremamente grandes e seções de aço muito pequenas, por exemplo: para valores de 0


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0,1 obteve-se d = 89,5 cm e As = 3,75 cm2 (exemplo A) e paraβx = βx23 = 0,259 obteve-se d = 57,5 e As = 6,24 cm2 (exemplo B), ou seja, nessa região “utilizável” a altura útilfoi reduzida em 32 cm (35,8%) e a armadura foi aumentada em 2,49 cm2 (66,4%).

Ou seja, a característica do domínio 2 são seções de grande altura e pouco aço - trata-sede uma SEÇÃO SUB-ARMADA. Essa grande seção de concreto é mal aproveitada e areduzida seção de aço trabalha no limite. Nesse domínio a ruptura ocorre porescoamento do aço e, dessa forma, antes do colapso há a ocorrência de fissuras, trincasetc. As seções no domínio 2 entram em colapso através de deformações excessivas daarmadura.

•

O domínio 3 começa com os resultados do exemplo A e termina com os do exemplo B,ou seja, a altura útil é reduzida de 57,5 para 40,43 cm e a armadura é aumentada de 6,24 para 10,64 cm2. Veja que a altura útil foi reduzida em 17,07 cm (29,7%) e a armadurafoi aumentada em 4,4 cm2 (70,5%).

Veja que as reduções de altura foram da ordem de 30% e o aumento da seção de aço daordem de 70%. A primeira vista pode parecer antieconômico, pois coloca-se muito maisaço para reduzir um pouco a altura, mas, não se pode esquecer que alturas grandes, alem

de problemas relativos ao pé direito (esquadrias de portas e janelas) implicam em maisformas laterais e, o custo das formas é caro, daí a busca pelas menores alturas.

Ou seja, no domínio 3 obtém-se seções mais coerentes para o concreto e para o aço. Asseções neste domínio são denominadas SEÇÕES NORMALMENTE ARMADAS. Oconcreto e o aço desenvolvem ao máximo suas capacidades resistentes, constituindo-se portanto o melhor dimensionamento, tanto do ponto de vista econômico como dofuncional.

• O domínio 4 começa com os resultados do exemplo B (d = 40,43 e As = 10,64 cm2) eno exemplo C (paraβx = 0,72) obteve-se d = 38,72 cm e As = 17,77 cm2, ou seja, aaltura útil é reduzida em 1,71 cm (4,23%) e a armadura é aumentada 7,13 cm2 (67%).

Veja que no exemplo C foi adotadoβx = 0,72, ou seja, início do domínio 4, ainda muito próximo do término do domínio 3 (βx34 = 0,628). À medida queβx tende para 1, tem-seuma pequena redução da altura útil e a seção de aço tende para o infinito, por exemplo:

paraβx = 0,95 obtém-se d = 36,12 cm, As = 161,57 cm2

e o aço trabalhando com menosde 10% de sua capacidade. Este exemplo comβx = 0,95 serve para mostrar que a


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redução de altura é de apenas 2,60 cm (6,71%) e o aumento da armadura ...., vamosdeixar para lá, afinal, o valor encontrado é tão absurdo que não há condições de colocaresta armadura na seção de concreto.

O domínio 4 caracteriza-se pelas seções de concreto com as menores alturas e pelasmaiores seções de ferro. Observa-se um mau aproveitamento do ferro, que se acentua àmedida que se aprofunda na região linear. O aço, que nos domínios 2 e 3 trabalha com

uma tensão de serviçoσs = f yd, no domínio 4 tem sua tensão variável (σs = Es.εs)tendendo para 0 no final da região linear. Trata-se de uma SEÇÃO SUPER ARMADA,onde o aço trabalha com tensões reduzidas, enquanto o concreto atinge suas tensõeslimites. As seções no domínio 4 entram em colapso através do esmagamento doconcreto, o que é muito ruim, pois é uma ruptura sem “avisos” (fissuras, trincas etc.).

Mas para entendermos de vez o domínio 4 veja as expressões abaixo.


A altura obtida no domínio 4, assim como nos demais domínios, varia em função de

( )( )1

1 0,4. x x β β −

−

Equação 7 0,68. . . .0,68. . . . . w cd xw cd x s s ss

b d f b d f A A

β β σ

σ = =

Observe que no numerador o produto d.βx (com redução da altura útil e aumento deβx)tem um comportamento similar ao dos demais domínios e, variandoβx de 0,628 para0,72 provoca um aumento na armadura da ordem de 9,8%. Mas é no denominador que o

aumento da armadura destoa dos outros domínios. No domínio 4 a tensão do aço variade f yd ate zero, ou seja, voltando aos exemplos B e C,βx = 0,72 a tensão do aço cai para28,58 kN/cm2, uma redução para 65,73% de f yd, o que implica em majorar o numeradorem 1,52 e, dessa forma, As(C) = 1,52x1,098 As(B).

As (exemplo B) = 10,64 cm2

As (exemplo C) = 17,77 cm2

1,52x1,098 = 1,67 ∴ As (exemplo C) = 1,67 x 10,64 = 17,77 cm2

.


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3 Durabilidade das estruturas de concreto

Antes de prosseguirmos no equacionamento do concreto armado precisamos ver melhor essaquestão da durabilidade do concreto armado. Esse conceito de durabilidade foi incluído na NBR 6118 (2003), pois até então a norma de concreto teve como característica o estado limiteúltimo, ou seja, uma série de regulamentações para que os elementos de concreto armado nãoentrassem em colapso, não chegassem à ruptura e, a partir de 2003 a adotou-se na norma a premissa de que a estrutura de concreto além de não atingir o estado limite último, sejadurável, ou seja, ao longo de sua vida útil conserve suas características de segurança,

estabilidade e aptidão à utilização para a qual foi projetada.Observa-se que o conceito de vida útil implica na utilização adequada e em manutenções periódicas que devem ser prescritos pelo projetista e pelo construtor (manual de utilização –conforme item 25.4 da NBR 6116 (2003)).

Para este assunto vamos adotar uma simbologia específica, sendo:

cmin - Cobrimento mínimocnom - Cobrimento nominal (cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução)

UR - Umidade relativa do ar

∆c - Tolerância de execução para o cobrimento

3.1 Agressividade do ambiente

A exposição da estrutura à ação do meio ambiente a sujeita à agressividade ambiental atravésde ações físicas e químicas, por exemplo, regiões industriais, regiões próximas ao litoral, etc.A Tabela 1 apresenta a classificação da agressividade ambiental, mas para efeito dessa notasde aula, pode-se considerar.

Edif. urbanos: Classe I (ou II) Industrias (comuns): Classe II ou III

Orla marítima: Classe IV (Prod. químicos): Classe III ou IV


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Tabela 2. Classes de agressividade ambiental.

Classe deagressividadeambiental

Agressividade Classificação geral do tipode ambiente para efeito de projeto

Risco dedeterioração daestrutura

RuralI Fraca Submersa Insignificante

II Moderada Urbana1, 2 PequenoMarinhaIII Forte Industrial Grande

Industrial1,3 IV Muito forteRespingos de maré

Elevado

Fonte: NBR 6118. (2003) - Tabela 6.1.

No desenvolvimento do projeto devem ser adotados alguns critérios visando a durabilidade daestrutura, os principais são:

A. Drenagem

Em relação à drenagem das águas devem-se tomar os cuidados necessários para evitar oacúmulo de águas de chuva ou de águas de limpeza e lavagem, sobre as superfícies dasestruturas de concreto, assim como a proteção das juntas de movimento ou de dilatação,os topos de platibandas, paredes, beirais etc.

Deve-se também evitar em projetos formas arquitetônicas e estruturais que possamreduzir a durabilidade da estrutura e prever acessos para inspeção nas partes da estruturaque necessitem manutenção tais como: aparelhos de apoio, caixões, insertos,impermeabilizações e outros.

1 Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) paraambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentosresidenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura)2 Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima

seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.3 Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias decelulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas


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B. Qualidade do concreto de cobrimento

A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e daespessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. A relação água/cimento temgrande influência na a resistência à compressão e na durabilidade do concreto. A Tabela 2fornece os valores máximos da relação água/cimento para as diferentes classes deagressividade.

Tabela 3. Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto

Classe de agressividade (tabela 6.1)Concreto Armado

I II III IVRelação água/cimento em massa ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45Classe de concreto (NBR 8953) ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40

Fonte: NBR 6118. (2003) - Tabela 7.1.

C. Cobrimento (proteção) da armadura.

A proteção da armadura visa principalmente evitar o processo de corrosão dos aços, queocorre com a simples umidade do ar, comprometendo a vida útil da estrutura. Esta proteção seaplica a qualquer barra da armadura, inclusive as de distribuição, de montagem e estribos e,normalmente é feita através de uma camada de concreto com uma espessura mínima emfunção da classe de agressividade ambiental. A Tabela 3 fornece os cobrimentos nominais, para estruturas em concreto armado, em função da agressividade ambiental.

cobrimento nominal = cobrimento mínimo + tolerância de execução

cnom = cmin + ∆ c

Tabela 4. Cobrimentos nominais ( c = 10mm) referentes à classe de agressividade ambiental

Classe de agressividade ambiental (tabela 6.1)I II III IV

Componente ouelemento de

concreto armado Cobrimento nominal mmLaje 20 25 35 45

Viga/Pilar 25 30 40 50

Fonte: NBR 6118. (2003) - Tabela 7.2.


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Nas obras correntes o valor de∆c (tolerância de execução) deve ser maior ou igual a 10 mm permitindo-se a redução para 5 mm quando for explicito nos desenhos de projeto aobrigatoriedade de controles de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das

medidas durante a execução (exigências de controle rigoroso)

O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser:

a) cnom ≥ φ barra;

b) cnom ≥ φfeixe = φn =ϕ√n

c) cnom ≥ 0,5φ bainha. d) dmáx ≤ 1,2 cnom

Nas lajes e vigas revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipocarpete e madeira, ou com revestimentos de elevado desempenho como pisos cerâmicos, pisosasfálticos e outros tantos, as exigências da Tabela 3 para cobrimentos da face superior de lajese vigas podem ser substituídas pelos cobrimentos nominais dados em a), b), c) e d), respeitadoum valor mínimo≥ 15 mm.

Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto,condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química eintensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal≥ 45 mm.

Em condições de exposição adversas devem ser tomadas medidas especiais de proteção econservação do tipo: aplicação de revestimentos hidrofugantes e pinturas impermeabilizantes

sobre as superfícies do concreto, revestimentos de argamassas, de cerâmicas ou outros sobre asuperfície do concreto, galvanização da armadura, proteção catódica da armadura e outros.

Finalmente, observa-se que o controle de fissuras no concreto (corrosão da armadura) é feitoatravés da qualidade e da espessura do concreto de cobrimento da armadura.


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O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo durante a concretagem evibração do concreto, as barras permaneçam em suas posições, conservando o cobrimento deconcreto especificado em projeto, é feito através do uso de distanciadores, que podem ser

feitos na obra ou industrializados

Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, consistem de uma pequena placa de pasta de concreto, com a espessura que se pretende dar ao cobrimento de concreto,com traço superior ao do elemento a ser concretado, com um pedaço de arame recozido,trançado, chumbado na mesma, conforme mostra a figura abaixo.

Figura 13. Distanciadores de armadura executados na obra

Os distanciadores industrializados, normalmente são de plástico, de alta resistência,apresentando forma e dimensões variadas. Como exemplo, na figura a seguir são apresentadosalguns dos distanciadores. No Brasil existem vários fabricantes

destes distanciadores, podendo ser citados a COPLAS®,JERUELPLAST® e a HOMERPLAST®, etc.

Figura 14. Distanciadores de armadura industrializados


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4 Detalhamento da armadura na seção

Já vimos que a NBR 7480 (1996) especifica as barras e fios de aço destinados a armaduras de

concreto armado. Em conformidade com essa norma a Tabela 5 apresenta os diâmetros, suasmassas e seções das barras.

Tabela 5. Tabela de ferros

φ massa Área em função do número de barrasmm kg/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5,0 0,16 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00- 3 6 8 11 13 16 18 21 23

6,3 0,25 0,32 0,64 0,95 1,26 1,58 1,89 2,21 2,52 2,84 3,15- 3 6 9 11 14 16 19 22 24

8,0 0,40 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00- 4 6 9 12 15 18 20 23 26

10,0 0,63 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00

- 4 7 10 13 16 19 22 25 2812,5 1,00 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50

- 5 8 11 14 18 21 24 27 31

16,0 1,60 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00- 5 9 12 16 20 23 27 30 34

20,0 2,50 3,15 3,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50- 6 10 14 18 22 26 30 34 38

22,2 3,05 3,88 7,76 11,64 15,52 19,40 23,28 27,16 31,04 34,92 38,80- 7 11 16 20 24 29 33 38 42

25,0 4,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00- 8 13 18 23 28 33 38 43 48

32,0 6,30 8,00 16,00 24,00 32,00 40,00 48,00 56,00 64,00 72,00 80,00- 10 16 22 29 35 42 48 54 61

40,0 10,00 12,50 25,0 37,50 50,00 62,5 75,00 87,50 100,0 112,5 125,0- 12 20 28 36 44 52 60 68 76


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Determinada uma armadura As para uma seção, deve-se transformar essa armadura em umnúmero de barras com seção maior ou igual à seção de aço calculada e distribuí-las na seção.Essas barras podem ser isoladas, normalmente usadas, ou agrupadas em duas três ou quatro

barras formando um feixe.

Quando agrupadas em feixes elas são consideradas como uma barra isolada com diâmetroigual ao do circulo de área equivalente, sendo dado então, o mesmo tratamento dado às barras.

Por exemplo, consideremos um feixe formado por três barras de 12,5 mm.

feixe formado por 3φ 12,5 mmAs (1φ12 mm) = 1,25 cm2.

Área do feixe = 3,75 cm2.

Como2

. 2.

.3,75 2,185

4equival

equivcm cmπ φ

φ = ⇒ =

A Tabela 6 apresenta as áreas e diâmetros equivalentes dos feixes permitidos por norma.

Tabela 6. Barras agrupadas em feixes

Feixe As

cm2

φ equivalentemm2 φ 10

2 φ 12,5 2,5 17,82 φ 16 4 22,62 φ 20 6,3 28,32 φ 22,2 7,76 31,42 φ 25 10 35,7

2 φ 12,5 + 1φ 10 3,30 20,52 φ 16 + 1φ 12,5 5,25 25,92 φ 20 + 1φ 16 8,3 32,52 φ 22,2 + 1φ 20 10,91 37,32 φ 25 + 1φ 22,2 13,88 42,0

3 φ 103 φ 12,5 3,75 21,93 φ 16 6 27,63 φ 20 9,45 34,73 φ 22,2 11,64 38,53 φ 25 15 43,7

4 φ 104 φ 12,5 5 25,24 φ 16 8 31,94 φ 20 12,6 40,14 φ 22,2 15,52 44,54 φ 25 20 50,5

φ 21,85 mm3φ 12,5 mm


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Resolvido o problema dos feixes, vamos agora dispor as barras na seção, mas, primeirodetalhar melhor esse conceito de altura e altura útil.

4.1 A altura e a altura útilÉ importante que se diferencie o conceito de “altura” e “altura útil”. A altura é a espessuratotal da laje, da viga ou de um elemento estrutural qualquer, enquanto a altura útil e adistância do centro de gravidade da armadura até a borda comprida do elemento.

A figura abaixo exemplifica para o caso das lajes e das vigas a diferença entre estas duas“alturas”, ou seja:

cgh d y= + Equação 12

onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a borda tracionada.

Figura 15. Centro de massa (ou de gravidade) da armadura em lajes e vigas.

Obs. centro de gravidade, de massa ou centróide da seção pois todas as barras têm o mesmo

peso específico.

Para melhor entendimento desta variável “ycg”, a figura abaixo detalha a seção da viga acima.cg t y cg cφ = + +

Figura 16. Detalhamento do ycg da armadura em vigas.

d h

ycg

Lajes

d h

ycg

Vigas

cg centro de massa das barrasφt diâmetro do estribo

c cobrimento da armadura


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O centro de massa das barras é determinado conforme os conceitos ministrados em “Mecânicados Sólidos”. O diâmetro do estribo será visto mais adiante no tópico “Cisalhamento”, sendonormalmente usados, para as vigas, ferros de 5,0 ou 6,3 mm.

Vamos exemplificar o cálculo do centro de massa da armadura.

Para a seção da figura anterior, suponhamos que a primeira camada seja composta por 2φ 12,5 mm (nas extremidades) e 1φ 10,0 mm (no centro); e a segunda camada por 2φ 10,0 mm.

A distância entre as bordas das armaduras da primeira e da segunda camada, denomina-seespaçamento vertical “ev” (na horizontal o mesmo espaçamento é denominado espaçamentohorizontal “eh”), e como será visto adiante, para este exemplo ev = 2,0 cm.

Como eixo de referência, para o cálculo do centro de massa, será adotado a borda inferior da primeira camada.

Conforme mostrado na figura abaixo, as barras alinhadas na horizontal formam uma seçãoúnica Asi, sendo a distância do seu centro de massa ao eixo de referência yi, desta forma:

Asi barras seção yi As1 2 φ 12,5

mm2,5 cm2 0,625 cm

As2 1 φ 10,0mm

0,8 cm2 0,5 cm

As3 2 φ 10,0mm

1,6 cm2 3,75 cm

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3. . . .sTOTAL s s s A cg A y A y A y= + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3. . . 2,5.0, 625 0,8.0,5 1, 6.3, 752,5 0,8 1,6

s s s

sTOTAL

A y A y A ycg

A

+ + + += =+ +

7,9625 1,625 cm4,9

= =

Obs. O “cg” depende apenas da armadura, enquanto o “ycg” depende também do cobrimento“c” e do diâmetro do estribo “φt”, que são variáveis.

cg

eixo de referência

As3

y3

y1 y2

As TOTAL

As1As2


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Conforme a NBR 6118 (2003) – itens 18.2.1 e 18.3.2.2, o arranjo das armaduras alem deatender à sua função estrutural deve possibilitar condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Dessa forma os

espaços devem prever a introdução de vibradores, impedir a segregação dos agregados e aocorrência de vazios no interior do elemento estrutural. A Figura 17 mostra o detalhamento deuma seção em relação aos espaçamentos das barras.

O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano daseção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

a) na direção horizontal (eh):20 mm;diâmetro da barra, do feixe ou da luva;1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado.

he⎧⎪≥ ⎨⎪⎩

b) na direção vertical (ev):20 mm;diâmetro da barra, do feixe ou da luva;0,5 vezes o diâmetro máximo do agregado.

ve

⎧⎪≥ ⎨⎪⎩

Figura 17 .Detalhamento transversal – espaçamentos entre barras.

A seguir apresenta-se outra tabela de ferros (Tabela 7) onde se mostra as combinações usuais,usadas em edifícios, de barras de diâmetros iguais ou diferentes, e dispostas em uma ou duascamadas. Para cada combinação de barras apresenta-se a largura necessária b0 (face externa aface externa das barras), o valor de As para a camada inferior e para a armadura total (as duascamadas), e o centro de massa da armadura (cg) também para a camada inferior e para aarmadura total (as duas camadas).

cφt

φLev

eh

b0 bw


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Tabela 7. Tabela de Ferros – Combinações usuais de armaduras em edifícios

Camada inferior Camada superior - duas barras no diâmetro indicadoValores de As e cg (correspondentes às duas camadas)φ b0 As 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 22,2 25,0

2φ6,3 3,26 0,630,321,261,63

3φ6,3 5,89 0,950,321,581,37

2φ8,0 3,60 1,000,401,631,45

2,001,80

2φ8,0 +1φ6,3 6,23 1,320,381,951,26

2,321,59

3φ8,0 6,40 1,50

0,40

2,13

1,20

2,50

1,524φ8,0 9,20 2,000,40

2,631,05

3,001,33

2φ10,0 4,00 1,600,502,601,62

3,202,00

2φ10,0 +1φ8,0 6,80 2,100,483,101,42

3,701,79

2φ10,0 +1φ12,5,0 7,25 2,850,553,851,29

4,451,61

2φ10,0 +2φ8,0 9,60 2,600,463,601,28

4,201,62

3φ10,0 7,00 2,400,503,401,35

4,001,70

4φ10,0 10,00 3,200,504,201,19

4,801,50

2φ12,5 4,50 2,500,634,101,85

5,002,25

2φ12,5 +1φ10,0 7,50 3,300,594,901,62

5,802,01

2φ12,5 +1φ16 8,10 4,500,706,101,50

7,001,83

2φ12,5 +2φ10,0 7,50 3,300,594,901,62

5,802,01

3φ12,5 7,75 3,750,635,351,56

6,251,93

4φ12,5 11,00 5,000,63 6,601,39 7,501,71

2φ16,0 5,20 4,000,806,502,12

8,002,60

2φ16,0 +1φ12,5 8,45 5,250,767,751,88

9,252,33

2φ16,0 +1φ20 9,20 7,150,899,651,75

11,152,15

2φ16,0 + 2φ12,5 11,70 6,500,739,001,70

10,502,13

3φ16,0 8,80 6,000,808,501,81

10,002,24

4φ16,0 12,408,000,80

10,501,62

12,002,00

Seção de ferros em cm2 - centro de massa da armadura em cm


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Tabela 7, Continuação.

Camada inferior Camada superior - duas barras no diâmetro indicadoValores de As e cg (correspondentes às duas camadas)φ b0 As 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 22,2 25,0

2φ20,0 6,00 6,301,0010,302,48

12,603,00

2φ20,0 +1φ16,0 9,60 8,300,9512,302,20

14,602,70

2φ20,0 +1φ22,2 10,66 10,181,0414,182,10

16,482,55

2φ20,0 +2φ16,0 13,20 10,300,9214,302,01

16,602,47

3φ20,0 10,00 9,451,0013,452,13

15,752,60

4φ20,0 14,00 12,601,0016,601,92

18,902,33

2φ22,2 6,44 7,761,11 14,063,05 15,523,33

2φ22,2 +1φ20,0 10,44 10,911,0817,212,68

18,672,94

2φ22,2 +1φ25 11,94 12,761,1619,062,57

20,522,82

2φ22,2 +2φ20,0 15,10 14,061,0620,362,42

21,822,66

3φ22,2 11,10 11,641,1117,942,63

19,402,89

4φ22,2 15,54 15,521,1121,822,36

23,282,59

2φ25,0 7,5010,001,25

17,763,37

20,003,75

2φ25,0 +1φ22,2 12,22 13,881,2121,642,97

23,883,32

2φ25,0 +2φ22,2 16,94 17,761,1925,522,69

27,763,01

3φ25,0 12,50 15,001,2522,762,91

25,003,25

4φ25,0 17,50 20,001,2527,762,61

30,002,92

Seção de ferros em cm2 - centro de massa da armadura em cm

Camada inferior (trabalha-se apenas com uma camada).Camada superior (trabalha-se com as duas camadas).

Número superior (As) - seção de aço Número inferior (cg) - centro de massa da armadura.

cg t y cg c φ = + + e cgh d y= + 0 L hb eφ = Σ + Σ e 0 2 2w t b b c φ = + +

sendo c = cobrimento,φt = diâmetro do estribo eφL = diâmetro da armadura longitudinal (tração).

ycg cg b0

d

bw


35/52


Um último exemplo para vermos como a seção trabalha. Agora vamos fixar a seção e variar acarga aplicada na viga para analisarmos sua seção maissolicitada (meio do vão). Veja a viga biapoiada ao lado, com

vão de 4,0 m e submetida a uma carga distribuída p. Vamosadotar para ela f ck = 20 MPa, CA 50, bw = 15 cm e d = 41 cm.

Agora vamos ver o comportamento deβx (profundidade da linha neutra) e da armadura, paradiferentes valores de p, variando de valores pequenos até muito altos (para essa seção).

p(kN/m)

Mf(kN.m)

Mf d (kN.cm)

βx As(cm2)

εs σs (kN/cm2)

2,5 5 700 0,029 0,40 10‰ 43,4785,0 10 1400 0,059 0,80 10‰ 43,4787,5 15 2100 0,089 1,22 10‰ 43,47810,0 20 2800 0,120 1,65 10‰ 43,47812,5 25 3500 0,152 2,09 10‰ 43,47815,0 30 4200 0,185 2,54 10‰ 43,47817,5 35 4900 0,219 3,01 10‰ 43,47820,0 40 5600 0,255 3,50 10‰ 43,47822,5 45 6300 0,291 4,00 2,07 a 10‰ 43,47825,0 50 7000 0,329 4,52 2,07 a 10‰ 43,47827,5 55 7700 0,369 5,07 2,07 a 10‰ 43,47830,0 60 8400 0,410 5,64 2,07 a 10‰ 43,478

32,5 65 9100 0,454 6,24 2,07 a 10‰ 43,47835,0 70 9800 0,500 6,87 2,07 a 10‰ 43,47837,5 75 10500 0,549 7,55 2,07 a 10‰ 43,478 As* 40,0 80 11200 0,602 8,28 2,07 a 10‰ 43,478 (cm2)42,5 85 11900 0,660 10,42 0,00180 37,842 9,0745,0 90 12600 0,724 15,45 0,00133 27,996 9,9547,5 95 13300 0,797 25,47 0,00089 18,701 10,9550,0 100 14000 0,884 55,04 0,00046 9,601 12,1551,0 102 14280 0,926 94,05 0,00028 5,881 12,72

As* - armadura calculada com σ s = f yd apenas para mostrar o aumento de As devido ao

aumento de β x e o aumento devido à redução da tensão do aço.

Observe que a seção 15x45 (concreto armado) tem um peso próprio de≈ 1,688 kN/m e vejaque a medida que a solicitação aumenta a seção necessita de uma R cc maior (y maior) e, portanto, mais aço (R st = R cc).

1c x x s c

c s x

ε β β ε ε

ε ε β −= =

+ ( )2. 2100 kN/cms s s s E E σ ε = =

2

.2,35294 2,352941,25 1,25 . 1 1,25 1,25 . 1 .. .

d

xc cd w cd

Mf

k f b d f β = − − = − −

ℓ = 4,0 m


36/52


5 Armadura dupla

A armadura dupla, como o próprio nome diz, é o uso de duas armaduras: uma de tração eoutra de compressão. Como já foi visto, precisa-se distinguir a situação real e o modeloadotado para equacioná-la. Na situação real tem-se a ocorrência apenas da armadura dupla,visto que, ao equacionarmos a armadura simples adotamos um modelo em que não seconsiderou os porta-estribos na região comprimida de concreto e, eles necessariamente estãolá, apenas foram considerados como armadura construtiva.

Já vimos que o equacionamento do concreto armado para armadura simples e, ascaracterísticas desse dimensionamento nos domínios 2, 3 e 4. Vimos que com a seção

trabalhando no domínio 4, tem-se uma seção super-armada onde o aço, em excesso, é malaproveitado ao trabalhar com tensões inferiores a f yd. Vimos também que nesse domínio aruptura se dá por esmagamento do concreto, ou seja, uma ruptura sem “avisos”, porém vimostambém que no domínio 4 obtinha-se as menores alturas para a seção, o que em muitos casos,é muito importante e, justamente por esse motivo, quando se precisa das reduções de alturadadas pelo dimensionamento no domínio 4, usa-se a armadura dupla.

O equacionamento da armadura dupla é análogo ao da armadura simples, inclusive, as

deformações e tensões apresentadas na Figura 18 são as mesmas apresentadas na Figura 6. Adiferença em relação a armadura simples é que agora vamos considerar a armadura decompressão (A‘s).


RscA’s

As

A’s

As

bw

d’

dh

Rcc

Rst

d’x

yRsc

Rcc

Rst

εc ε’s

εs

σcd

d’

dh

L. N. L. N.

C

C

(a) (b) (c) (d)


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5.1.1 Equações de Equilíbrio

Conforme o diagrama esforços apresentado na Figura 6 (d):

0 0 y cc sc st F R R RΣ = + − = Equação 13

( )0 ' . '2 2 f f cc sc st sc y y

Mf M R d R d d R d R d γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ = = − + − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Equação 14

Onde:

. .cc w c R b y σ = Resultante das tensões de compressão no concreto

.st s s R A σ = Resultante das tensões de tração na armadura

' '.sc s s R A σ = Resultante das tensões de compressão na armadura

Mf Momento Fletor característico que atua na seção em estudo.

Tem-se então:

' ' ' '. . . . 0,68. . . . . .w c s s s s w cd x s s s sb y A A b d f A Aσ σ σ β σ σ + = ∴ + = Equação 15

( )' ' '. . .2 f f w c s s y

M b y d A d d γ σ σ ⎛ ⎞= − + − ∴⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 ' ' '. 0,68. . . . . 1 0,4. . f f w cd x x s s M b d f A d d γ β β σ = − + − Equação 16

' ' '.

2 2 f f s s s s

y y M A d A d γ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − ∴⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )' ' '. . 1 0,4. . 0,4. f f s s x s s x M A A d γ σ β σ β = − + − Equação 17

5.1.2 Equações de compatibilidade

Do diagrama de deformações apresentado na Figura 18 (c), tem-se:

'

'c s s

x d x x d ε ε ε = =

− − Equação 18


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5.1.3 Exemplo

A) Nos exemplos feitos para armadura simples, o último, o exemplo “C” foi calculado no

domínio 4. Vamos refazê-lo com armadura dupla.Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular.

dados: Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m e considerandoβx = 0,72.

343434 34 23 34

/3,5 0,628. 0,628 yd yd sc x f E

x d x d x x d x

ε ε β = ⇒ = ⇒ = =− −

34 1 x x β β ≤ < → domínio 4


( ) ( ). 1,4.10000 38,72

0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,72. 1 0,4.0,72 f f

w cd x x

M d cm

b f

γ

β β = = =

− −

Veja as figuras abaixo. À esquerda é o que teremos se continuarmos a solução como armadura

simples e, à direita é a solução que teremos com armadura dupla. Vamos explicá-las melhor eassim entendermos o conceito de armadura dupla.

Figura 19. Domínio 4 com armadura simples e domínio 3 com armadura dupla.

Fixadas as dimensões de uma seção (bw, d), quando solicitada por um momento fletor Mf

tem-se: ( ). . 2 f f cc M R d yγ = − e consequentemente: st cc R R=

À medida que se aumenta a solicitação da seção (aumenta-se Mf), precisa-se de umaresultante de concreto comprimido (R cc = Acc.σc) maior e, como a tensãoσc é constante, este

hd

x34 = 0,628 d

hd

x34 = 0,628 d

A’s d'

x = 0,72 d

(a) (b)


39/52


aumento só é conseguido através da área de concreto comprimido, ou seja, do aumento da profundidade da linha neutra “x” (pois bw é constante). É dessa forma que, com o aumento dasolicitação, a altura da linha neutra vai aumentando, passando pelo domínio 2, entrando e

passando pelo domínio 3 e, finalmente entrando no domínio 4.

A figura 19 mostra o significado da armadura dupla. Para a altura útil calculada (d = 38,72cm) necessita-se de uma resultante de concreto comprimido com uma altura (x) igual a 27,878cm e para essa seção o limite entre os domínios 3 e 4 (x34) está a 24,316, ou seja, adentrou-se3,562 cm no domínio 4.

Observe que isto significa uma área de 53,43 cm2 de concreto comprimido (bw = 15 cm)

trabalhando com uma tensão de compressão pequena, poisσc = 0,85 f cd = 0,85x2,5/1,4, ouseja, 1,518 kN/cm2, ou seja, essa área que adentrou o domínio 4 produz uma resultante de81,10 kN.

Mas, veja que o aço trabalha com uma tensão de 43,48 kN, ou seja, 1,86 cm2 de aço,colocados na região comprimida da seção produzem essa resultante de compressão.

Observe que considerações feitas acima são apenas para dar uma noção do que esta ocorrendoe são inexatas, pois, colocado o aço comprimido, a linha neutra retrocede para x34, o bloco de

tensões terá uma altura menor e, consequentemente o braço do momento (d-y/2) será maior e, portanto, a resultante de compressão adicional será menor, ou seja, a área de aço comprimidoserá bem menor que os 1,86 cm2.

Finalmente, uma ultima consideração: não será necessário adicionar toda essa armadura decompressão, pois parte dela já está na seção, apenas não foi considerada no cálculo (os porta-estribos), portanto, será adicionada apenas a diferença entre elas e, a armadura de tração teráuma redução significativa, pois no domínio 3 a tensão no aço é f yd.

Bem, entendido o que é armadura dupla, vamos fazer as contas:

Solução: d = 38,72, x = 0,72 d > x34 (domínio 4) (Armadura simples? NÃO)

d = 38,72, x = x34 = 0,628 d, (domínio 3) (Armadura dupla? SIM)

Temos uma nova incógnita: d’, e ela é sempre adotada pelo calculista, pois seu valor pouco sealtera. Vamos adotar d’ = 3,0 cm (2 de cobrimento + 0,5 de estribo + 0,5 do cg da armadura).


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O primeiro passo a ser dado nesse problema é a verificação da tensão do aço comprimido. Sua

deformação esta limitada pela deformação da borda comprimida (εc = 3,5‰) e, seε’s formenor queε’yd a tensão no aço será diferente de f yd.

Equação 18' '

''

21,3163,5. 3,06‰24,316

c ss c

x d x x x d ε ε

ε ε −= ⇒ = = =

−

` ε’s > εyd ok!! σs = f yd

Equação 16 ( ) ( )2 ' ' '

. 0,68. . . . . 1 0,4. . f f w cd x x s s M b d f A d d γ β β σ = − + −

( )21,4.10000 0,68.15.38,72 .1,786.0,628. 1 0,4.0,628= − +

( )' .43,48 38,72 3s A+ −

A's = 0,746 cm2.

Equação 15 ' '0,68. . . . . .w cd x s s s sb d f A A β σ σ + =

0,68.15.38,72.1,786.0,628 0,726.43,48 .43,48s A+ =

As = 10,93 cm2.

Observe que esta seção calculada com armadura simples no domínio 4 teria uma armadura detração de 17,77 cm2, mais os porta estribos. Com armadura dupla a armadura de tração é

reduzida para 10,93 cm2 e a de compressão igual a 0,746 cm2 (2φ 8,0 mm = 1,0 cm2)


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6 Cálculo mediante Tabelas

O uso das tabelas para o dimensionamento das seções de concreto armado visa dar rapidez ao

cálculo e, o conhecimento da elaboração dessas tabelas também pode ser interessante para aelaboração de pequenos programas e planilhas.

6.1 Seção Retangular Com Armadura Simples

Vamos rever os conceitos e as equações para armadura simples:



Equação 10 11

c s c x x x c s s c

c s x x x d xε ε ε β β

β ε ε ε ε ε ε β β

−= = = =− + −

No domínio 2: εs = cte. = 10,0 ‰ e 0≤ εc ≤ 3,5‰

Comoεs = cte. = 10,0 ‰ todos os aços trabalham comσs = f yd.

No domínio 3: εyd ≤ εs ≤ 10,0 ‰ e εc = cte. = 3,5‰

εs é variável, sendo que:εs,23 = 10,0 ‰ eεs,34 = εyd, ou seja, todos osaços trabalham comσs = f yd, porém, ao contrário do domínio 2 ondeεc variava eεs era constante, no domínio 3,εs é variável e, como cada açotem um valor diferente paraεyd, cada aço terá um valor deβ34 diferente.

Vamos agora analisar as equações:

Veja a equação 8: ( )20,68. . . . 1 0,4.d w cd x x Mf b d f β β = −

( )

2.

0,68. . 1 0,4.w c

cd ck x x

b d k

Mf f

γ

β β = =

− Equação 19


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Em um membro colocamos as características geométricas da viga e o momento solicitante eno outro os coeficientes de segurança (majoração das solicitações e minoração do concreto) eos valores referentes à resistência característica do concreto e à posição da linha neutra. E

ambos os membros iguais a K C, o coeficiente a ser tabelado.

Veja agora a equação 7: 0,68. . . . .w cd x s sb d f A β σ =

Complicou não? A intenção era novamente dar ao aço o mesmo tratamento que foi dado aoconcreto, através da criação de um coeficiente K S, mas a equação 7 está meio complicada. Asolução seria usar a equação 9 (somatória de momentos em relação R cc), que, como foi visto

anteriormente, é redundante, podendo ser obtida pela substituição da equação (7) na (8).

(equação 9) ( ) ( ). . . . 1 0,4. f f s s x M A d γ σ β = −

Agora vamos criar o coeficiente K S

( ) ( ). 1

. 1 0,4. . 1 0,4.s s

s f s x yk x

A d K

M f γ

σ β β = = =

− −, ou seja: f s s

M A K

d = Equação 20

Agora é só gerar uma tabela, onde para diferentes valores deβx tabelamos Kc em função daclasse do concreto e Ks em função do tipo do aço.

Observações:

• esta tabela é para os domínios 2 e 3. As seções comβx > βx34 serão dimensionadas paraarmadura dupla.

• Alguns autores usam o bloco de tensões (y), outros a profundidade da linha neutra (x),alguns autores usam a letraβ, outros a letra k. etc. etc.

• O valor deβx pode ser obtido a partir de k c.

2.2,35294 2,352941,25 1,25 1 1,25 1,25 1

.. .

d x

c cd w cd

Mf

k f b d f β = − − = − − Equação 21


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Tabela 8. Valores de k c e k s

2

3. .

100.w d

c d f k d

b d Mf k As k Mf Mf

Mf d γ = = =

bw e d em cm, As em cm2, Mf d em kN.cm

Valores de kc f(βx, f ck ) Valores de ks f(βx, f yk )

βx C20 C25 C30 C40 C50 CA 25 CA 50 CA 60

0,02 51,89 41,51 34,59 25,94 20,75 4,64 2,32 1,930,03 34,73 27,78 23,15 17,37 13,89 4,66 2,33 1,940,04 26,15 20,92 17,44 13,08 10,46 4,67 2,34 1,950,05 21,01 16,81 14,01 10,50 8,40 4,69 2,35 1,960,06 17,58 14,06 11,72 8,79 7,03 4,71 2,36 1,960,07 15,13 12,10 10,09 7,56 6,05 4,73 2,37 1,970,08 13,29 10,63 8,86 6,65 5,32 4,75 2,38 1,980,09 11,87 9,49 7,91 5,93 4,75 4,77 2,39 1,990,10 10,72 8,58 7,15 5,36 4,29 4,79 2,40 2,000,11 9,79 7,83 6,53 4,89 3,92 4,81 2,41 2,000,12 9,01 7,21 6,01 4,51 3,60 4,83 2,42 2,010,13 8,35 6,68 5,57 4,18 3,34 4,85 2,43 2,020,14 7,79 6,23 5,19 3,89 3,12 4,87 2,44 2,030,15 7,30 5,84 4,87 3,65 2,92 4,89 2,45 2,040,16 6,87 5,50 4,58 3,44 2,75 4,91 2,46 2,050,17 6,50 5,20 4,33 3,25 2,60 4,94 2,47 2,06

0,18 6,16 4,93 4,11 3,08 2,47 4,96 2,48 2,070,19 5,86 4,69 3,91 2,93 2,35 4,98 2,49 2,070,20 5,59 4,48 3,73 2,80 2,24 5,00 2,50 2,080,21 5,35 4,28 3,57 2,68 2,14 5,02 2,51 2,090,22 5,13 4,10 3,42 2,57 2,05 5,04 2,52 2,100,23 4,93 3,94 3,29 2,46 1,97 5,07 2,53 2,110,24 4,74 3,80 3,16 2,37 1,90 5,09 2,54 2,120,25 4,58 3,66 3,05 2,29 1,83 5,11 2,56 2,130,259 4,43 3,55 2,96 2,22 1,77 5,13 2,57 2,14

D O M

Í N I O 2

0,26 4,42 3,54 2,95 2,21 1,77 5,13 2,57 2,140,27 4,27 3,42 2,85 2,14 1,71 5,16 2,58 2,15

0,28 4,14 3,31 2,76 2,07 1,66 5,18 2,59 2,160,29 4,02 3,21 2,68 2,01 1,61 5,20 2,60 2,170,30 3,90 3,12 2,60 1,95 1,56 5,23 2,61 2,180,31 3,79 3,03 2,53 1,90 1,52 5,25 2,63 2,190,32 3,69 2,95 2,46 1,84 1,48 5,28 2,64 2,200,33 3,59 2,88 2,40 1,80 1,44 5,30 2,65 2,210,34 3,50 2,80 2,34 1,75 1,40 5,32 2,66 2,220,35 3,42 2,74 2,28 1,71 1,37 5,35 2,67 2,230,36 3,34 2,67 2,23 1,67 1,34 5,37 2,69 2,240,37 3,27 2,61 2,18 1,63 1,31 5,40 2,70 2,250,38 3,19 2,56 2,13 1,60 1,28 5,42 2,71 2,260,39 3,13 2,50 2,08 1,56 1,25 5,45 2,73 2,270,40 3,06 2,45 2,04 1,53 1,23 5,48 2,74 2,28

D O M

Í N I O 3


44/52


Tabela 8. Valores de kc e ks – Continuação

0,41 3,00 2,40 2,00 1,50 1,20 5,50 2,75 2,290,42 2,95 2,36 1,96 1,47 1,18 5,53 2,76 2,30

0,43 2,89 2,31 1,93 1,45 1,16 5,56 2,78 2,310,44 2,84 2,27 1,89 1,42 1,14 5,58 2,79 2,330,45 2,79 2,23 1,86 1,39 1,12 5,61 2,80 2,340,46 2,74 2,19 1,83 1,37 1,10 5,64 2,82 2,350,47 2,70 2,16 1,80 1,35 1,08 5,67 2,83 2,360,48 2,65 2,12 1,77 1,33 1,06 5,69 2,85 2,370,49 2,61 2,09 1,74 1,31 1,05 5,72 2,86 2,380,50 2,57 2,06 1,72 1,29 1,03 5,75 2,88 2,400,51 2,54 2,03 1,69 1,27 1,01 5,78 2,89 2,410,52 2,50 2,00 1,67 1,25 1,00 5,81 2,90 2,420,53 2,46 1,97 1,64 1,23 0,99 5,84 2,92 2,430,54 2,43 1,95 1,62 1,22 0,97 5,87 2,93 2,440,55 2,40 1,92 1,60 1,20 0,96 5,90 2,95 2,460,56 2,37 1,90 1,58 1,18 0,95 5,93 2,96 2,470,57 2,34 1,87 1,56 1,17 0,94 5,96 2,98 2,480,58 2,31 1,85 1,54 1,16 0,92 5,99 2,99 2,500,585 2,30 1,84 1,53 1,15 0,92 6,01 3,00 2,500,59 2,28 1,83 1,52 1,14 0,91 6,02 3,010,60 2,26 1,81 1,50 1,13 0,90 6,05 3,030,61 2,23 1,79 1,49 1,12 0,89 6,08 3,040,62 2,21 1,77 1,47 1,10 0,88 6,12 3,060,628 2,19 1,75 1,46 1,09 0,88 6,14 3,070,63 2,18 1,75 1,46 1,09 0,87 6,150,64 2,16 1,73 1,44 1,08 0,86 6,180,65 2,14 1,71 1,43 1,07 0,86 6,220,66 2,12 1,70 1,41 1,06 0,85 6,250,67 2,10 1,68 1,40 1,05 0,84 6,280,68 2,08 1,66 1,39 1,04 0,83 6,320,69 2,06 1,65 1,37 1,03 0,82 6,350,70 2,04 1,63 1,36 1,02 0,82 6,390,71 2,02 1,62 1,35 1,01 0,81 6,420,72 2,01 1,61 1,34 1,00 0,80 6,460,73 1,99 1,59 1,33 1,00 0,80 6,500,74 1,98 1,58 1,32 0,99 0,79 6,530,75 1,96 1,57 1,31 0,98 0,78 6,570,76 1,95 1,56 1,30 0,97 0,78 6,610,77 1,93 1,55 1,29 0,97 0,77 6,650,772 1,93 1,54 1,29 0,96 0,77 6,66

D O M

Í N I O 3


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Exemplos:

Vamos resolver com as tabela de k c e k s, os exemplos feitos através das equações.

A) Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular.

dados: Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m e considerandoβx = βx23..

C25 e CA 5023

0,259 3,54 2,57 x c sk e k β = ⇒ = =

2. . 3,54.1,4.1000057,4815w c d c d w

b d k Mf k d cm Mf b= ⇒ = = =

23

1,4.10000. 2,57. 6,26100. 100.57,48

d Mf As k As cmd

= = =

B) O outro exemplo feito pelas equações, para não ficar igual ao anterior, vamos modificá-loum poço. Dados: Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm e d= 40,43 cm. Qual o máximo

momento fletor que esta seção suporta com armadura simples (Momento Limite) e qual será aarmadura?

Armadura simples e máximo momento fletor→ βx = βx34.

C25 e Aço CA-50 βx = βx34.= 0,628 → k c = 1,75 e k s = 3,07.

2 2 2 10007,6 .. . 15.40,43 14010,73 14010,73100,08 .1,75 1,4

w wc d

d c

kN cmb d b d k Mf Mf

kN m Mf k

⎧= ⇒ = = = = = ⎨⎩

2

314010,73. 3,07. 10,64

100. 100.40,43d Mf As k As cmd

= = =

MOMENTO LIMITE: máximo momento que uma seção “normalmente armada”suporta ou, máximo momento que uma seção suporta no domínio 3.

MOMENTO LIMITE ↔ βx,34, k c,34 k s,34.


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6.2 Seção retangular com armadura dupla

O máximo Momento Fletor que uma seção retangular com dimensões pré-fixadas pode

suportar, com armadura simples, no domínio 3 é:2.w

LimcLim

b d M

k = Equação 22

Quando o Momento Solicitante (Mf d) for maior que o Momento Limite (Mlim) será adotado o procedimento descrito a seguir:


A situação “0” é a situação real, uma seção com armadura dupla (A’s de compressão e As detração) e será decomposta em duas outras situações:

• Na situação “1” as partes resistentes serão a armadura tracionada (As1 é uma parcela deAs) e o concreto comprimido (o mesmo da situação real).

• Na situação “2” as partes resistentes serão constituídas apenas por armaduras, uma vezque o concreto comprimido já foi considerado na situação “1”. A’s é a armadura decompressão existente na seção real e As2 é a armadura tracionada (As2 é a parcelacomplementar de As, tal que As=As1+As2).

Mf 0 Mf 1 Mf 2 0 21

A’s

As

bw

d’ε’s

εs

A’s

As2

d’

dh

y

As1

x

εc

εs

Rcc

Rst1

σcd

x

Rst2

Rsc

L.N. L.N.

bw


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Seção 1. 1 34 Limite Mf Mf Mf = =

β = βlimite = β34 → k c = f(f ck ) = k c Lim 2

1 ,.w

d d Lim

cLim

b d Mf Mf

k

= =

β = βlimite = β34 → k s = f(f yk ) = k s Lim 11 .100.d

s s Mf

A k d

=

Seção 2. 2 0 1 Mf Mf Mf = −

Para contrapor ao Momento Fletor Mf 2, há o binário formado pelas resultantes de compressão(As2 f yd) e tração(A’s σ’s).

( ) ( )' ' ' '2 2. . . f s s s yd Mf A d d A f d d γ σ = − = −

Comoβ = βlimite = β34 as deformações nas armaduras As1 e As2 serão iguais aεyd e, portanto,as tensões serão iguais a f yd.

( )2 2 2 2

2 ' '1 1. . .

100. 1d d s d

s yd yd

Mf Mf k Mf A

f d d d d d f d

= = =− −

( )'

' 2 2 2

' ' ''

1 1. . .100. 1

d d s d s

s s

Mf Mf k Mf A

d d d d d d σ σ = = =

− −

Ou seja:

1 21 2 2. .100. 100.

d d s s s s s

Mf Mf A A A k k

d d = + = + Equação 23

2' '.100.

f s s

M A k d = Equação 24


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Determinação deσ /s para o coeficiente k’s

'' '

'' . 0,0035.

xs cs c

x

d x d d

x x x d

β ε ε ε ε

β

−−= ⇒ = =−

comε’s determina-seσ’s ' '

' ' '0 .s yd s yd

s yd s s s

f

E

ε ε σ

ε ε σ ε

⎧ > =⎪⎨

≤ ≤ =⎪⎩

Observe que d’ é adotado pelo calculista. ' 'nom t d c cgφ = + +

cnom = cobrimento nominal (normalmente em vigas de edifícios é igual a 2,0 ou 2,5 cm)φt = diâmetro do estribo (normalmente em vigas de edifícios é igual a 0,5 ou 0,63 cm)cg' = C.G. da armadura de compressão (normalmente varia entre 0,4 e 1 cm)

ou seja, normalmente d’ varia entre 3 e 4 (ou 4,5) cm, adotando-se 3,0, 3,5, 4,0 ou 4,5 cm.

Quanto ao valor deσ’s, normalmente teremosσs = σ’s = f yd. Veja os valores abaixo:

Aço CA f yk f yd εyd βx34 (kN/cm2) (kN/cm2) (‰)

25 25 21,739 1,035 0,771750 50 43,478 2,070‰ 0,628360 60 52,174 2,484‰ 0,5848

Se uma viga tem h = 35 cm, d = 31,5 cm e d’=3,5 cm obteríamos paraε’s os valores: 2,996,2,881 e 2,835, respectivamente para os aços CA 25, CA 50 e CA 60.

Assim, nas equações 23 e 24:( )

'2 '

1

. 1s s

yd

k k k d f d

= = =−

O coeficiente k pode ser tabelado em função de d’/d e do aço (f yd). Na Tabela 9 essescoeficientes são apresentados para o Aço CA 50.

d

εs

d' εc ε/s

x

x = x34


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Tabela 9. Valores de k’s e k s2 (domínios 2 e 3) – Aço CA 50

K = k s2 = k’s

,2' .100d

s s Mf k A A d = =

d’/d 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12K 2,37 2,40 2,42 2,45 2,47 2,50 2,53 2,56 2,58 2,61

Vamos refazer o exemplo com armadura dupla usando as tabelas.

Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular. Dados:

Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m e considerandoβx = 0,72.

343434 34 23 34

/3,5 0,628. 0,628 yd yd sc x f E

x d x d x x d x

ε ε β = ⇒ = ⇒ = =

− −

34 1 x x β β ≤ < → domínio 4


( ) ( ). 1,4.10000 38,72

0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,72. 1 0,4.0,72 f f

w cd x x

M d cm

b f

γ

β β = = =

− −

Armadura dupla.

βx34 = 0,628 e vamos adotar d’ = 3,0 cm (2 de cobrimento, 0,5 de estribo e 0,5 do cg de A’s).

2 2

1 34 ,. 15.38,72 12850,61

1,75w

d d LimcLim

b d Mf Mf Mf

k = = = = =

1 214000d d d Mf Mf Mf = = + 2 1149,39d Mf =


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k s = 3,07 e d´/d = 3/38,72≈ 0,077 → k = k s2 = k’s = 2,5

11 12850,61. 3,07. 10,19100. 100.38,72

d s s

Mf A k d

= = =

' 22

2,5 1149,39. . 0,742100 100 38,72

d s s

Mf k A A

d = = = =

21 1 10,19 0,742 10,93 cms s s A A A= + = + = e

' 2

0,742 cms A =

Observe que sem as tabelas foram obtidos: A's = 0,746 cm2 e As = 10,93 cm2.

Mas ...., o problema ainda não acabou. É preciso verificar e detalhar a seção.

Detalhamento da seção:

Armadura de tração: As = 10,93 cm2. Veja que temos 10 cm de largura para dispor essaarmadura, pois bw =15 e, em cada lateral temos o cobrimento e o estribo (2,0 + 0,5), portanto

temos que obter uma seção de aço maior ou igual à calculada e com b0 ≥ 10 cm.

Na tabela de armaduras encontramos 2φ20,0 +1φ16,0 (na primeira camada) + 2φ16,0 (nasegunda camada) totalizando uma área de 12,30 cm2, com b0 = 9,60 cm e cg = 2,21 cm.

Observe que estamos usando uma seção 12,5 % maior, sendo que o usual seria até 10%, masnesse caso não temos muitas alternativas.

Armadura de compressão: A’s = 0,74 cm2. Na tabela de armaduras encontramos 2φ8,0totalizando uma área de 1,0 cm2, com cg = 0,4 cm. Observe que estamos usando uma seção34,7 % maior, mas nesse caso também não temos muitas alternativas. Essa armadura écolocada na borda superior, onde o concreto é lançado e por onde entrará o vibrador. O usualé deixar uma distância entre as barras maior ou igual a 5,0 cm, que nesse exemplo não seria possível com uma terceira barra.


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Altura: adota-se sempre múltiplo de 5. Assim uniformizam-se um pouco as alturas e melhorao uso das formas. Como se determinou d = 38,72 cm (a primeira opção seria h = 40 cm, que éimpossível) adota-se h = 45 cm.

ycg = cg + cnom + φt = 2,21 + 2,0 + 0,5 = 4,71 cm

d = h – ycg = 45,0 – 4,71 = 40,29 cm > 38,72 OK !!!!!

b0 = 9,6 < 10 cm OK !!!!!

d’ = cg + cnom + φt = 0,4 + 2,0 + 0,5 = 2,9 cm

d’ < 3,0 cm OK !!!!!

Mas …. O exercício ainda não acabou.

A seção foi alterada. Adotado h = 45, qual o Momento fletor que esta seção (com essaarmadura) suporta???????????? Refaça o exercício.

4 , 7

1 c m

2φ20 mm 3φ16 mm

ev = 2,0 cm

eh = 2,2 cm b0 = 10,0 cm

bw = b0 + 2c + 2φt = 15,0 cm

cg = 2,21 cmφt = 0,5 cmc = 2,0 cm

15 cm

4 5 c m

2φ8,0 mm

2φ20 +3φ16 mm


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6.3 Vão efetivos e larguras mínimas de vigas

As estruturas de elementos lineares são abordadas pela NBR 6118 (2003) em seu item 14.6.

Para os elementos lineares (vigas, pilares, tirantes, arcos, pórticos, grelhas, treliças) admite-seas seguintes hipóteses:

a) manutenção da seção plana após a deformação;

b) representação dos elementos por seus eixos longitudinais;

c) comprimento limitado pelos centros de apoios ou pelo cruzamento com o eixo de outroelemento estrutural.

O vão efetivo de uma viga pode ser calculado por :

11

0 1 2

22

0,5.0,3.

0,5.0,3.

ef

t a

h

a a

t a h

⎧ ⎧≤ ⎨⎪⎩⎪

⎪= + + ⎨⎪

⎧

⎪ ≤ ⎨⎪ ⎩⎩

Figura 21 Vão efetivo

Em seu item 13.2 a NBR 6118 (2003) fixa as dimensões limites para os elementos estruturais.Essas dimensões mínimas visam condições adequadas de desempenho e execução(concretagem) do elemento estrutural. Dessa forma, as vigas devem ter larguras maiores ouiguais a 12 cm podendo, em casos excepcionais, serem reduzidos para 10 cm, quando nãohouver prejuízo do alojamento das armaduras (espaçamentos e coberturas estabelecidos pornorma) e do lançamento e vibração do concreto.

ℓ0

t1 t2

h

a) Apoio de vãoextremo

concreto c

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