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Conceptos Fundamentales del Análisis deAlgoritmos II

Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO

CINVESTAV-Tamaulipas

17 de enero de 2018

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de 2018 1 / 20

1 Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos IIOrden de crecimiento asintóticoComparación de ordenes de crecimiento con límitesOrdenes de crecimiento de funciones importantesClases básicas de eficiencia asintóticaTarea 3


Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Orden de crecimiento asintótico




Orden de crecimiento asintótico

Una forma de comparar funciones que ignora factores constantesy tamaños de entradas pequeños

O(g(n)): clase de funciones f(n) que crecen no más rápido queg(n)n ∈ O(n2), 100n+ 5 ∈ O(n2), 1

2n(n− 1) ∈ O(n2).

Θ(g(n)): clase de funciones f(n) que crecen a la misma tasa queg(n)an2 + bn+ c ∈ Θ(n2), n2 + sinn ∈ Θ(n2), n2 log n ∈ Θ(n2).

Ω(g(n)): clase de funciones f(n) que crecen al menos tan rápidocomo g(n)n3 ∈ Ω(n2), 1

2n(n− 1) ∈ Ω(n2), 100n+ 5 /∈ Ω(n2).



Orden de crecimiento asintótico, Gran-O

t(n) ≤ cg(n), para toda n ≥ n0Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de 2018 5 / 20


Orden de crecimiento asintótico, Gran-Omega

t(n) ≥ cg(n), para toda n ≥ n0Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de 2018 6 / 20


Orden de crecimiento asintótico, Gran-Theta

c2g(n) ≤ t(n) ≤ c1g(n), para toda n ≥ n0Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de 2018 7 / 20


Orden de crecimiento asintótico, ejercicio 1

Utilice la notación más apropiada entre O,Θ y Ω para indicar laclase de eficiencia temporal del algoritmo de búsqueda secuencial

Respuestas:

Cworst(n) = n, Cworst(n) ∈ Θ(n)

Cbest(n) = 1, Cbest(n) ∈ Θ(1)

Cavg(n) =p(n+1)

2 + n(1− p) = (1− p2 )n + p

2 , Cavg(n) ∈ Θ(n)




De las siguientes afirmaciones cuáles son verdaderas y cuáles sonfalsas:

1 n(n+ 1)/2 ∈ O(n3)

V

2 n(n+ 1)/2 ∈ O(n2)

V

3 n(n+ 1)/2 ∈ Θ(n3)

F

4 n(n+ 1)/2 ∈ Ω(n3)

F

5 n(n+ 1)/2 ∈ Ω(n)

V




De las siguientes afirmaciones cuáles son verdaderas y cuáles sonfalsas:

1 n(n+ 1)/2 ∈ O(n3) V

2 n(n+ 1)/2 ∈ O(n2) V

3 n(n+ 1)/2 ∈ Θ(n3) F

4 n(n+ 1)/2 ∈ Ω(n3) F

5 n(n+ 1)/2 ∈ Ω(n) V



Orden de crecimiento asintótico, propiedades

f(n) ∈ O(f(n))

f(n) ∈ O(g(n)) si y sólo si g(n) ∈ Ω(f(n))

Si f(n) ∈ O(g(n)) y g(n) ∈ O(h(n)), entonces f(n) ∈ O(h(n))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) y f2(n) ∈ O(g2(n)), entoncesf1(n) + f2(n) ∈ O(maxg1(n), g2(n))


Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Comparación de ordenes de crecimiento con límites




Comparación de ordenes de crecimiento con límites

lımn→∞

T (n)

g(n)=

0 orden de crecimiento de T (n)< orden de crecimiento de g(n)

c > 0 orden de crecimiento de T (n) = orden de crecimiento de g(n)

∞ orden de crecimiento de T (n)> orden de crecimiento de g(n)

Ejemplo:

Comparar 12n(n− 1) y n2

lımn→∞

12n(n− 1)

n2=

1

2lım

n→∞

n2 − nn2

=1

2lım

n→∞

(1− 1

n

)=

1

2

Como el límite es igual a una constante positiva, entonces las funciones tienenigual orden de crecimiento, i.e., 1

2n(n− 1) ∈ Θ(n2)




Regla de l’Hôpital

Si lımn→∞

f(n) = lımn→∞

g(n) =∞ y las derivadas f ′, g′ existen, entonces:

lımn→∞

f(n)

g(n)= lım

n→∞

f ′(n)

g′(n)

Ejemplo:Comparar log2 n y

√n

lımn→∞

log2 n√n

= lımn→∞

(log2 n)′

(√n)′

= lımn→∞

(log2 e)1n

12√n

= 2 log2 e lımn→∞

1√n

= 0

Como el límite es igual a cero, entonces la función log2 n tienen unorden de crecimiento más pequeño que el de

√n, i.e., log2 n ∈ o(

√n)

o(g(n)): clase de funciones f(n) que crecen estrictamente menos rápido que g(n)




Fórmula de StirlingPara valores grandes de n:

n! ≈√

2πn(ne

)nEjemplo:

Comparar n! y 2n

lımn→∞

n!

2n= lım

n→∞

√2πn

(ne

)n2n

= lımn→∞

√2πn

nn

2nen= lım

n→∞

√2πn

( n2e

)n=∞

Por lo tanto, aunque 2n crece muy rápido, n! crece incluso más rápido, i.e.,n! ∈ Ω(2n)


Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Ordenes de crecimiento de funciones importantes



Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Ordenes de crecimiento de funciones importantes

Ordenes de crecimiento de funciones importantes

Todas las funciones logarítmicas loga n pertenecen a la mismaclase Θ(log n) sin importar la base del logaritmo a > 1

Todos los polinomios del mismo grado k pertenecen a la mismaclase aknk + ak−1n

k−1 + · · ·+ a0 ∈ Θ(nk)

Las funciones exponenciales an tienen diferentes ordenes decrecimiento para diferentes valores de a

orden log n < orden nα(α > 0) < orden an < orden n! < orden nn


Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Clases básicas de eficiencia asintótica



Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Clases básicas de eficiencia asintótica

Clases básicas de eficiencia asintótica

Clase Nombre

1 constante

log n logarítmico

n lineal

n log n n-log-n o linearítmico

n2 cuadrático

n3 cúbico

2n exponencial

n! factorial


Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Tarea 3



Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Tarea 3

Tarea 3

Pruebe, usando límites, que las siguientes funciones estánlistadas ascendentemente con respecto a sus ordenes decrecimiento correspondientes:

log n, n, n log n, n2, n3, 2n, n!

Fecha de entrega: 24 de enero antes de las 8 AM


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