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CONCEPTOS BASICOS DEVIBRACIONES Y ONDAS

Gladys Patricia Abdel Rahim Garzon

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CONCEPTOS BASICOS DEVIBRACIONES Y ONDAS


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Abdel Rahim Garzon, Gladys PatriciaConceptos basicos de vibraciones y ondas / Gladys Patricia Abdel Rahim

Garzon.– Bogota : Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas, 2014.

290 paginas : ilustraciones, fotos ; 24 cm.ISBN: 978-958-8832-73-9

1. Fısica 2. Mecanica analıtica 3. Vibraciones 4. Ondas - Movimiento5. Electromagnetismo I. Tıt.

531.32 cd 21 ed.A1449723

CEP-Banco de la Republica-Biblioteca Luis Angel Arango

c© Universidad Distrital Francisco Jose de Caldasc© Facultad Tecnologicac© Gladys Patricia Abdel Rahim Garzon

ISBN: 978-958-8832-73-9

Primera edicion: Bogota D.C., noviembre de 2014

Direccion Seccion de Publicaciones

Ruben Eliecer Carvajalino C.

Coordinacion editorial

Miguel Fernando Nino Roa

Correccion de estilo

Paula Liliana Santos

Diagramacion en LATEX

Daniel Contreras Nino

Montaje de cubierta

Martha Liliana Leal

Editorial UD

Carrera 24 No. 34-37.

Telefono: 3239300 ext. 6202

Correo electronico: [email protected]

Todos los derechos reservados.

Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo por escrito de la Seccion de

Publicaciones de la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Impreso y hecho en Colombia

Printed and made in Colombia

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Contenido

Introduccion V

Ondas mecanicas 1

Movimiento Armonico Simple (M.A.S) . . . . . . . . . . . . 1

Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ecuaciones de movimiento masa-resorte . . . . . . . . . 12

Energıa mecanica del sistema masa-resorte . . . . . . . 13

Sistema masa-cuerda o pendulo simple . . . . . . . . . . . . 15

Ecuaciones de movimiento del pendulo simple . . . . . 17

Energıa del pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Laboratorio: la ley de la elasticidad o ley de Hooke . . 37

Resortes en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Resortes en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Resortes en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Laboratorio: resortes en serie y paralelo . . . . . . . . . 42

Laboratorio: pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 44

Pendulo fısico, real o compuesto . . . . . . . . . . . . . 46

Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Oscilador subcrıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Oscilador crıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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Oscilador supercrıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Laboratorio: movimiento armonico amortiguado . . . . 56

Movimiento ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Perturbacion en un medio . . . . . . . . . . . . . . . . 66Pulsos de ondas longitudinales y transversales . . . . . 68Reflexion y transmision de ondas . . . . . . . . . . . . 69Velocidad de propagacion de la onda en cuerdas . . . . 72

Ondas senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Funcion de una onda senoidal . . . . . . . . . . . . . . 76Superposicion e interferencia de ondas . . . . . . . . . 78Interferencias constructivas y destructivas . . . . . . . 78Laboratorio ondas: cubeta de agua . . . . . . . . . . . 96

Superposicion y ondas estacionarias 99Nodos y antinodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Antinodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Laboratorio: ondas estacionarias 1 . . . . . . . . . . . . 119Laboratorio: ondas estacionarias 2 . . . . . . . . . . . . 125

Sonido 129Caracterısticas fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Fenomenos fısicos del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Cinematica del efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . 140Laboratorio: efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . 147

Ondas de Luz 149La propagacion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Propiedades de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Reflexion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Leyes de la reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Laboratorio: reflexion de la luz . . . . . . . . . . . . . . 157Laboratorio: espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . 159Espejos curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

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Imagenes que se forman por un espejo concavo . . . . . 160Imagenen que se forma por un espejo convexo . . . . . 161La ecuacion del espejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Laboratorio: espejos esfericos . . . . . . . . . . . . . . 172

Refraccion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Indice de refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175El Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Guıas de luz (fibra optica) . . . . . . . . . . . . . . . . 177Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Laboratorio: lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Laboratorio: ındice de refraccion . . . . . . . . . . . . . 186

Lentes delgados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Laboratorio: reflexion y refraccion . . . . . . . . . . . . 188Laboratorio: ley de Snell y reflexion interna total . . . 190Lente biconvexa o convergente delgado . . . . . . . . . 192Lente biconcava o divergente delgados . . . . . . . . . . 193El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Laboratorio: camara oscura . . . . . . . . . . . . . . . 207

Ondas electromagneticas 215Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Ondas electromagneticas de Heinrich Hertz . . . . . . . . . . 217Ondas electromagneticas planas simples . . . . . . . . . . . 220Energıa transportada por ondas electromagneticas . . . . . . 224Momento y presion de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . 227Radiacion de una lamina de corriente infinita . . . . . . . . 227

¿Wi-Fi para freır el cerebro? . . . . . . . . . . . . . . . 237Laboratorio: longitud de onda . . . . . . . . . . . . . . 242Laboratorio: ondas de radio . . . . . . . . . . . . . . . 245Laboratorio: Ondas producidas por el celular . . . . . . 246Laboratorio: Experimento de Michelson y Morley . . . 247Laboratorio: efecto fotoelectrico . . . . . . . . . . . . . 249Laboratorio: efecto de gases . . . . . . . . . . . . . . . 257Labortorio: Microondas - difraccion de Bragg . . . . . . 261

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Introduccion

Este libro ha sido elaborado con el fin de brindar a los estudiantesuna herramienta pedagogica accesible que contribuya al mejoramientode la ensenanza y el aprendizaje de la fısica.

Ensenar fısica ha mostrado que, en muchos casos, existe una grandificultad en la comprension de los conceptos basicos, de ahı que sehaga necesario el uso de herramientas pedagogicas que contribuyan yfaciliten dicho proceso de ensenanza-aprendizaje.

Entre las diversas herramientas que debe poseer toda institucionque imparte esta area del conocimiento estan los laboratorios, espaciosdonde el alumno aplica sus conocimientos: observa, manipula objetos,mide, elabora tablas y graficas, analiza, compara variables sirviendosedel calculo, de la fısica teorica y obteniendo sus propias conclusiones.Esto permite la comprension de los conceptos fısicos a traves de lapractica.

Este texto presenta diversos conceptos, ejercicios resueltos, talleresy laboratorios de la fısica de ondas, que contribuyen como herramientapedagogica y aportan al desarrollo del proceso ensenanza-aprendizajede la fısica.

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Ondas mecanicas

Movimiento Armonico Simple (M.A.S)

La importancia de estudiar ondas mecanicas y electromagneticas sedebe a su relacion con la fısica moderna. Las ondas de la fısica modernasiguen las mismas reglas que las ondas mecanicas y electromagneticas.

En la vida cotidiana todos los seres vivos tenemos experiencias conlas ondas, por ejemplo: si colocamos un corcho en un estanque con aguay tiramos una piedra, se forman una serie de ondas que se propaganconcentricamente desde el punto donde cayo la piedra, el corcho selimita a subir y bajar sin desplazarse del lugar que ocupa. Estasondas constituyen uno de tantos ejemplos que presentan caracterısticasanalogas a las ondas.

El mundo esta lleno de ondas: ondas sonoras; mecanicas tales comolas ondas que se propagan en una cuerda de guitarra; ondas sısmicasque pueden transformarse en terremotos; ondas de choque, que seproducen cuando, por ejemplo, un avion supera la velocidad del sonido,y otras mas particulares que no son tan facilmente captadas con lossentidos o no es tan sencillo interpretar su origen, como las ondaselectromagneticas. De estas ultimas podemos tomar como ejemplos lasondas emitidas por la luz, la television, el radar, la radiotelefonıa o lacomunicacion vıa satelite.

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El concepto de onda es abstracto. Las ondas que viajan en unmedio material las llamamos ondas mecanicas, un ejemplo son lasondas de agua que requieren la presencia de agua como medio paraexistir. Igualmente, si fijamos uno de los extremos de una cuerda a unapared y movemos el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, vemosque a lo largo de la cuerda se mueve una onda. Sin la presencia de lacuerda no existirıa onda. Las ondas sonoras viajan a traves del aire yson el resultado de las variaciones de presion en el aire punto a punto.

En todos los casos, lo que se deduce es que una onda correspondea la perturbacion de un medio o de un cuerpo, en consecuencia, unaonda puede considerarse como el movimiento de una perturbacion.El movimiento de la perturbacion (el estado del medio o la onda ensi misma) no debe confundirse con el movimiento oscilatorio de laspartıculas que conforman el medio; luego, las ondas mecanicas requierenpara su existencia de una fuente de perturbacion (la piedra que se tiraal mar) y un medio que puede ser perturbado (agua, aire).

Con relacion a las ondas electromagneticas, muchos fısicos duranteanos se han planteado la pregunta de que si la luz se comporta como unaonda deberıa propagarse en algun medio, que despues llamaron eter. Sehablaba de eter como el medio de transferencia de estas ondas, al buscarsus propiedades Albert Abraham Michelson (Premio Nobel de Fısica,1907) y Edward Morley hallaron la primera prueba contra la teorıadel eter, hoy en dıa, se sabe que las ondas llamadas electromagneticasno necesitan de ningun medio para propagarse, es decir, se puedenpropagar en el vacıo.

El estudio de las ondas se facilita mucho debido a que todo se basaen su representacion grafica, que es la forma de la funcion senoidal oseno. Si bien no todas las ondas siguen estas funciones, el teorema deFourier demostro que cualquier onda puede ser descompuesta como unasuma unica de ondas, componentes senoidales. Este teorema facilitael estudio profundo de la mecanica ondulatoria y permite representargraficamente lo que es una onda, dado que la funcion seno o senoidales la que se forma en una cuerda cuando movemos sus extremos haciaarriba y hacia abajo muy rapidamente.

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Conceptos basicos de vibraciones y ondas

Conceptos basicos

Figura 1

Amplitud, A

La amplitud de un movimiento oscilatorio, ondulatorio o senaleselectromagneticas es una medida de la variacion maxima del despla-zamiento u otra magnitud fısica que varıa periodicamente o cuasiperiodicamente en el tiempo. Es la distancia maxima entre el puntomas alejado de una onda y el punto en equilibrio o medio. La amplitudes notada como A.

Elongacion, x

Corresponde a la posicion que tiene en cada momento la partıculavibrante respecto de la posicion de equilibrio. Se suele representarmediante la letra x o y. Unidades del Sistema Internacional de medidas(SI) en metros.

El periodo, T

Tiempo (t) empleado en una oscilacion completa (n), siempre espositivo, T = t

n. La unidad en el SI es el segundo.

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La frecuencia, f

Numero de oscilaciones en la unidad de tiempo ( f = nt), siempre es

positiva. La unidad de frecuencia en el SI es el hertz: 1 hertz = 1 Hz os−1. Esta unidad se llama ası en honor del fısico aleman Heinrich Hertz(1857-1894), pionero en la investigacion de las ondas electromagneticas.

La frecuencia angular o velocidad angular, w

Representa la razon de cambio entre una cantidad angular y eltiempo, no esta necesariamente relacionada con un movimiento derotacion. Se mide en radianes sobre segundo:

w =∆θ

∆t

(rad

s

)A partir de las definiciones de periodo T y frecuencia f , la velocidad

angular se define como:

w = 2πf =2π

T

Velocidad de propagacion de la onda, v

La velocidad de propagacion de la perturbacion dependera de laproximidad de las partıculas del medio y de sus fuerzas de cohesion.Ası, la velocidad de propagacion sera mucho mayor en los solidos queen los lıquidos, y sobre todo, en los gases. Por ejemplo, a la presionnormal de 1 atm y 200 C, en un ambiente seco, la velocidad del sonidoes de 5600 m

sen el acero, 1460 m

sen el agua y 340 m

sen el aire.

v = λf(m

s

)Numero de onda circular o numero de onda angular, k

Es representado con la letra k que da el sentido de avance de laperturbacion, y se considera de modulo 1

λ. Es pues, el numero de

repeticiones por unidad de longitud. Donde, k es igual a 2πλ

o la razonentre la frecuencia angular y la velocidad de propagacion

(k = w

v

).

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En fısica moderna el numero de onda es proporcional a la frecuenciao la energıa del foton, por ese motivo, el numero de onda es usado enunidades de energıa en espectroscopia. En el SI el numero de onda estadado en m−1. El numero de onda angular es expresado en radianes pormetro (rad/m).

Longitud de onda, λ

La letra griega λ (lambda) se utiliza para representar la longitudde onda en ecuaciones. λ se define como la distancia entre 2 puntosconsecutivos que poseen la misma fase: 2 maximos, 2 mınimos, 2 crucespor cero. Por ejemplo, la distancia recorrida por la luz azul (que viajaa una velocidad de c = 299,792,458 m

s) durante el tiempo transcurrido

entre 2 maximos consecutivos de su campo electrico o magnetico.Otro ejemplo podrıa ser la longitud de onda de las ondas de sonido,en el intervalo que los seres humanos pueden escuchar, oscila entremenos de 2 cm y aproximadamente 17 metros. Las ondas de radiacionelectromagnetica que forman la luz visible tienen longitudes de ondaentre 400 nanometros (luz violeta) y 700 nanometros (luz roja).

En el SI la unidad de medida de la longitud de onda es el metro,como la de cualquier otra longitud. Segun los ordenes de magnitud delas longitudes de onda con que se este trabajando, se suele recurrira submultiplos como el milımetro (mm), el micrometro (µm) y elnanometro (nm).

Leyes de Newton

Primera ley:

Conocida tambien como Ley de inercıa, nos dice que si sobre uncuerpo no actua ningun otro, este permanecera indefinidamente mo-viendose en lınea recta con velocidad constante (incluido el estado dereposo, que equivale a velocidad cero).

Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende decual sea el observador que describa el movimiento. La primera ley deNewton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referenciaconocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos

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sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre elque no actua ninguna fuerza neta. O que este en reposo o se muevecon velocidad constante.

En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial,puesto que siempre hay algun tipo de fuerzas actuando sobre loscuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referenciaen e l que el problema que estemos estudiando se pueda tratar comosi estuviesemos en un sistema inercial. En muchos casos, suponer aun observador fijo en la Tierra es una buena aproximacion de sistemainercial.

Segunda ley:

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el conceptode fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo esproporcional a la aceleracion que adquiere dicho cuerpo. La constantede proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemosexpresar la relacion de la siguiente manera:

−→F = m−→a

La unidad de fuerza en el SI es el Newton y se representa por N.Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de unkilogramo de masa para que adquiera una aceleracion de 1 m

s2 , o sea:

1N = 1kg× 1m

s2

La expresion de la segunda ley de Newton que hemos dado es validapara cuerpos cuya masa es constante, si la masa varia, como en un

cohete que va quemando combustible, no es valida la relacion−→F = m−→a .

Vamos a generalizar la segunda ley de Newton para que incluya el casode sistemas en los que pueda variar la masa.

−→p = m−→v

Si la cantidad de movimiento que se representa por la letra −→p , se definecomo el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

−→F = m

d−→vdt

=d−→pdt

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Si la masa es contante:

−→F = m

d−→vdt

= m−→a

Si la masa no es constante, tenemos:

−→F = m

d−→vdt

+dm

dt−→v

Otra consecuencia de expresar la segunda ley de Newton usando lacantidad de movimiento es lo que se conoce como principio de conser-vacion de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actua sobreun cuerpo es cero, la segunda ley de Newton nos dice que:

0 =d−→pdt

Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto altiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe serconstante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto esel principio de conservacion de la cantidad de movimiento: si la fuerzatotal que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimientodel cuerpo permanece constante en el tiempo.

Tercera ley:

La tercera ley, tambien conocida como principio de accion y reaccion,nos dice que si un cuerpo A ejerce una accion sobre otro cuerpo B,este realiza sobre A otra accion igual y de sentido contrario. Hay quedestacar que, aunque los pares de accion y reaccion tengan el mismovalor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que actuansobre cuerpos distintos.

Energıa cinetica

En fısica, la energıa cinetica de un cuerpo es aquella energıa queposee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesariopara acelerar un cuerpo de una masa determinada, desde el reposohasta la velocidad indicada. Una vez conseguida esta energıa durante la

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aceleracion, el cuerpo mantiene su energıa cinetica salvo que cambie suvelocidad. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiereun trabajo negativo de la misma magnitud que su energıa cinetica.Suele notarse como K y se define como:

K ≡ 1

2mv2

y sus unidades pueden darse como:

1. 1Joule =1J= 1N×1m= 1kg×1m2

s2 ,

2. 1Ergio= 1Dina×1cm= 1g×1 cm2

s2

3. 1eV= 1, 602× 10−19J.

Energıa potencial

En un sistema fısico, la energıa potencial es la energıa que mide lacapacidad que tiene dicho sistema para realizar un trabajo en funcion,exclusivamente, de su posicion o configuracion. Puede pensarse comola energıa almacenada en el sistema, o como una medida del trabajoque un sistema puede entregar. Se nota con la letra U y se mide en lasmismas unidades de la energia cinetica.

La energıa potencial puede presentarse como energıa potencial gra-vitatoria, energıa potencial electrostatica, y energıa potencial elastica.

Mas rigurosamente, la energıa potencial es una magnitud escalarasociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campotensorial de tensiones). Cuando la energıa potencial esta asociada aun campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dospuntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquierrecorrido entre B y A.

1. La energia potencial gravitacional se define como:

Ug ≡ mgh

Donde U es la energıa potencial, m la masa, g la aceleracion de lagravedad, y h la altura.

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2. El Potencial armonico (caso unidimensional), dada una partıculaen un campo de fuerzas que responda a la ley de Hooke, comoel caso de un muelle, se puede calcular estimando el trabajonecesario para mover la partıcula una distancia x:

W ≡ −∫ −→

F · d−→x

si es un muelle ideal cumplirıa la ley de Hooke

F = −kx

El trabajo desarrollado (y por tanto la energıa potencial) quetendrıamos serıa:

W ≡ −∫ −→

F · d−→x = −∫−kxdx =

kx2

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Las unidades estan en julios. La k serıa la constante elastica delmuelle o del campo de fuerzas.

Ley de la conservacion

Si un sistema no interacciona con su entorno de ninguna manera,determinadas propiedades mecanicas del sistema no pueden cambiar.Algunas veces nos referimos a ellas como constantes del movimiento.Estas cantidades se dice que son conservadas y las leyes de conservacionresultantes se pueden considerar como los principios mas fundamentalesde la mecanica. En mecanica, ejemplos de cantidades conservativas sonla energıa, el momento y el momento angular. Las leyes de conservacionson exactas para un sistema aislado.

Conservacion del momento

El momento de un sistema aislado es una constante. La suma devectores de momentos −→p = m−→v de todos los objetos de un sistema,no pueden ser cambiados por interacciones dentro del propio sistema.Esto supone una fuerte restriccion a los tipos de movimientos quepueden ocurrir en un sistema aislado. Si a una parte del sistema se le

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da un determinado momento en una direccion determinada, entoncesalguna otra parte del sistema obtendra simultaneamente, exactamenteel mismo momento en direccion opuesta. Hasta donde podemos decirla conservacion del momento es una simetrıa absoluta de la naturaleza.O sea, no conocemos nada en la naturaleza que lo viole.

Ley de la conservacion de energıa

La ley de la conservacion de la energıa afirma que la cantidad totalde energıa en cualquier sistema aislado (sin interaccion con ningun otrosistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energıapuede transformarse en otra forma de energıa. En resumen, la ley dela conservacion de la energıa afirma que la energıa no puede crearse nidestruirse, solo se puede cambiar de una forma a otra. Implica que laenergıa mecanica (EM) que se define como:

EM = K + Ue + Ug

Y la ley de la conservacion de la energıa mecanica definida como laigualdad entre las energıas inicial y final ( Ei = Ef ), implica que:

Ki + Uei + Ugi = Kf + Uef + Ugf

siendo Eci energıa cinetica inicial, Uei energıa potencial elastica inicialy Ugi energıa potencial gravitacional inicial.

Sistema masa-resorte

En la naturaleza existen muchos movimientos que se repiten aintervalos iguales de tiempo, estos son llamados movimientos periodicos.En fısica se ha idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, en el quese considera que sobre sistemas que describen este tipo de movimientono existe la accion de las fuerzas disipativas o de rozamiento, es decir, laenergıa mecanica del sistema se conserva y el movimiento se mantieneinvariable.

Un M.A.S. es un movimiento vibratorio bajo la accion de una fuerzarecuperadora (que se orienta hacia la posicion de equilibrio). Algunosejemplos sencillos son: el sistema masa-resorte y el sistema cuerda-masao pendulo simple.

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El M.A.S. es un tipo de oscilacion que ocurre debido a una fuer-za restauradora, en este caso corresponde a la fuerza que ejerce elresorte sobre el bloque. Esta fuerza es linealmente proporcional aldesplazamiento y siempre esta dirigida hacia el equilibrio, es opuestaal desplazamiento (Figura 2). Esto significa que cuando la masa sedesplaza hacia la izquierda de x, entonces F se dirige hacia la derecha.La fuerza elastica es la fuerza neta que actua sobre el cuerpo, que esigual a:

Fneta = −kx (1)

Por la segunda ley de Newton, tenemos que:

Fneta = md2x

dt2(2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos que −kx = md2xdt2

. Quese puede escribir como una ecuacion diferencial de segundo orden:

d2x

dt2+k

mx = 0 (3)

La ecuacion que soluciona la ecuacion (3) es:

x(t) = Asen(wt+ ϕ) (4)

Para comprobarlo aplicamos la (4) a la (3)

d2x

dt2+k

mx = 0

−Aw2sen(wt+ ϕ) +k

mAsen(wt+ ϕ) = 0

Donde se deduce que:

w2 =k

m(5)

Para que se de la igualdad. Como la frecuencia angular se define comow2 = 4π2

T 2 obtenemos el periodo y frecuencia del sistema masa-resorteası:

T = 2π

√m

k(6)

f =1

2π

√k

m(7)

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Donde el periodo de oscilacion y la frecuencia dependen de la constanteelastica del resorte y de la masa.

Ecuaciones de movimiento masa-resorte

Figura 2

Retomando la ecuacion (4) usando las derivadas obtenemos lasecuaciones de velocidad y aceleracion instantanea. Luego, las ecuacio-nes generales del M.A.S que corresponden a la posicion, velocidad yaceleracion como funciones del tiempo, son:

x (t) = Asen (wt+ ϕ)

v(t) = Aw cos (wt+ ϕ) (8)

a(t) = −Aw2sen (wt+ ϕ) (9)

La Figura 2 muestra las direcciones que tendrıa la velocidad yaceleracion en cada instante de tiempo. Observe que en esta mismafigura los puntos x = ±A, la aceleracion es maxima (amax = ±Aw2)y la velocidad es cero; mientras que en x = 0 la aceleracion es cero yla velocidad es maxima (vmax = ±Aw).

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Energıa mecanica del sistema masa-resorte

Las fuerzas involucradas en un movimiento armonico simple soncentrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definirun campo escalar llamado energıa potencial elastica (Ue) asociado a lafuerza elastica (−kx). Para hallar la expresion de la energıa potencialelastica, basta con integrar la expresion de la fuerza elastica (estoes extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo,donde la energıa potencial elastica es igual al trabajo que hace lafuerza elastica para cambiar la posicion de un objeto de masa m, asıobtenemos que:

Ue =

x∫0

(kx)dx =kx2

2(10)

La energıa cinetica viene dada por la siguiente expresion:

K =mv2

2(11)

Si la energıa mecanica o total del sistema es la suma de la energıapotencial elastica y la energıa cinetica (las superficies en contacto nopresentan friccion) entoces Etot = kA2

2. Para demostrarlo realizamos el

siguiente procedimiento:

Etot = Ue +K

Etot =k [Acos (wt)]2

2+m [−Awsen (wt)]2

2

Etot =k [A2cos2 (wt)]

2+m [A2w2sen2 (wt)]

2

Etot =kA2

2

[cos2 (wt) + sen2 (wt)

]Etot =

kA2

2(12)

donde se observa que la energıa mecanica del sistema masa-resorte esuna constante.

13

ii

ii

ii

ii


La grafica mostrada en la Figura 3 muestran la energıa potencial yla energıa cinetica en funcion tiempo[20]. La Figura 4 muestra la energıapotencial en funcion de la posicion en x = ±A y la correspondienteenergıa es la total.

Figura 3

Figura 4

14

ii

ii

ii

ii


Sistema masa-cuerda o pendulo simple

El pendulo simple es otro sistema mecanico que se mueve en unmovimiento oscilatorio. Se compone de una masa puntualm, suspendidapor una cuerda ligera de longitud L, donde el extremo superior de lacuerda esta fijo, como muestra la Figura 5.

Figura 5

El movimiento ocurre en un plano vertical y siempre que el anguloθ sea pequeno, no mayor a 150 (esto con el fin de que el pendulo nodescriba una trayectoria conica), el movimiento sera oscilador armonicosimple.

Las fuerzas que actuan sobre la masa m son:

1. La fuerza de tension T (fuerza que ejerce la cuerda sobre la masa)y

2. La fuerza gravitacional mg (fuerza que ejerce la tierra sobre lamasa).

Observe que la componente tangencial de la fuerza gravitacional(∑Fx = ±mgsenθ) actua hacia la posicion de equilibrio y siempre

esta dirigida en direccion opuesta al desplazamiento (S), esta serıa la

15

ii

ii

ii

ii


fuerza neta que actua sobre la masa cuando se separa de la posicionde equilibrio:

Fneta = −mgsenθ (1)

Por la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza neta es igual a lamasa por la aceleracion:

Fneta = mamax = md2S

dt2(2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2), donde S es el desplazamiento (arcodescrito por sistema cuerda-masa), donde S = Lθ, ası:

−mgsenθ = md2θ

dt2L

−gsenθ =d2θ

dt2L

que se puede escribir como:

d2θ

dt2+g

Lsenθ = 0

Para angulos pequenos tenemos que senθ ≈ θ, luego retomando laecuacion anterior, tenemos:

d2θ

dt2+g

Lθ = 0 (3)

La ecuacion que soluciona esta ecuacion diferencial de segundo ordenserıa igual a:

θ(t) = Asen (wt+ ϕ) (4)

donde se deduce que:

w2 =g

L(5)

y w2 = 4π2

T 2 , ası, el periodo y la frecuencia del pendulo son respectiva-mente:

T =2π

w= 2π

√L

g(6)

f =1

2π

√g

L(7)

De esta manera, se muestra que el periodo y la frecuencia no dependendel sistema cuerda-masa, lo que fue descubierto por Galileo.

16

ii

ii

ii

ii


Ecuaciones de movimiento del pendulo simple

Retomando la ecuacion, usamos las derivadas para hallar la ve-locidad y la aceleracion angular instantanea para el pendulo simple,respectivamente:

θ(t) = Asen (wt+ ϕ)

v(t) = Aw cos (wt+ ϕ) (8)

a(t) = −Aw2sen (wt+ ϕ) (9)

La velocidad y aceleracion maxima del sistema serıan:

vmax

= ±Aw y amax

= ±Aw2

Energıa del pendulo simple

Como el desplazamiento del pendulo simple se define como S = Lθ, entonces la velocidad instantanea es:

v(t) =dS

dt=d (θL)

dt= L

dθ

dt= Lw

por lo tanto, la energıa cinetica asociada al pendulo es:

K =1

2mv2 =

1

2m (Lw)2 (10)

Debido a que el peso es la unica fuerza asociada al movimiento delpendulo, existe una funcion de energıa potencial asociada (Ug), queresulta de:

F =dUgdy

mg =dUgdy

dUg = mgdyUg∫

0

dUg = mg

y∫0

dy

Ug = mgy

17

ii

ii

ii

ii


pero, como y = L (1− cos θ):

Ug = mgL (1− cos θ) (11)

Para angulos pequenos se tiene que cosθ = 1− θ2

2, entonces:

Ug = mgL

(1− 1 +

θ2

2

)=

1

2mgLθ2

La energıa mecanica o total es:

Etot = Ug + Ec =1

2mgLθ2 +

1

2m (Lw)2

Aceptamos que w2 = gL

,

θ(t) = A cos (wt)

w(t) =dθ

dt= −wAsen (wt)

w(t) = −√g

LAsen (wt)

por lo que:

Etot =1

2mgL [A cos (wt)]2 +

1

2mL2

[√g

LAsen (wt)

]2

Etot =1

2mgLA2 cos2 (wt) +

1

2mL2

( gL

)A2sen2 (wt)

Luego:

Etot =1

2mgLA2

[cos2 (wt+ ϕ) + sen2 (wt)

]Etot =

1

2mgLA2 (12)

Esto corresponde a la energıa potencial gravitatoria en el momento dedesplazamiento angular maximo.

Ejemplos: M.A.S.

1. Una masa unida a un resorte horizontal vibra en un M.A.S. Lacondicion inicial es que en ti = 0 el bloque esta en xi = A. Hallelas ecuaciones de movimiento.

18

ii

ii

ii

ii


Respuesta

De acuerdo a las condiciones iniciales las ecuaciones de posicion,velocidad y aceleracion como funciones del tiempo son respectivamente:

x(t) = A coswt

v(t) = −Awsenwta(t) = −Aw2 coswt

advierta que el valor maximo o mınimo de la velocidad y aceleracionson:

vmax

= ±Awa

max= ±Aw2

2. Hallar las ecuaciones de movimiento de una masa unida a unresorte, ubicada sobre una superficie horizontal sin friccion, dondela masa se suelta desde el reposo en x(0) = 0.

Respuesta

De acuerdo a las condiciones iniciales x(0) = 0, la velocidad delsistema es maxima y la aceleracion es cero en ese punto. Luego lasecuaciones de posicion, velocidad y aceleracion como funciones deltiempo son respectivamente:

x(t) = A cos (wt− π/2)

v(t) = −Awsen (wt− π/2)

a(t) = −Aw2 cos (wt− π/2)

Otras ecuaciones que satisfacen esta condicion inicial son respectiva-mente:

x(t) = Asen (wt)

v(t) = Awcos (wt)

a(t) = −Aw2sen (wt)

19

ii

ii

ii

ii


3. Una masa de 1 kg esta unida a un resorte de 39, 44 Nm

que oscilasobre una pista horizontal sin friccion. En ti = 0 la masa sesuelta desde el reposo en x(0) = 3 m. Calcule las ecuaciones demovimiento que cumplan con estas condiciones y grafique cadauna de ellas.

Respuesta

De acuerdo con las condiciones iniciales las ecuaciones de movi-miento son respectivamente:

x(t) = (3m) cos (2πt)

v(t) = −(

6πm

s

)sen

[(2π

rad

s

)t

]a(t) = −

(12π2 m

s2

)cos

[(2π

rad

s

)t

]Para graficar x(t) = (3 m) cos

[(2π rad

s

)t], realizamos los siguien-

tes pasos:

Calculamos los tiempos para los cuales x(t) = 3 m.

x(t) = (3 m) cos

[(2π

rad

s

)t

]3 m = (3 m) cos

[(2π rad

s

)t]

1 = cos(2π rad

s

)t

cos−1 (1) = 2π rads

0 =

(2π

rad

s

)t

t = 0 s

Este valor corresponde al primer tiempo en el que x(t) = 3 m.Incrementando π rad en la ecuacion: 0 = 2πt, obtenemos los otros

valores de los tiempos

1π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 0, 5 s

2π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 1, 0 s

20

ii

ii

ii

ii


Ahora, calculamos los tiempos para x(t) = 0 m.

x(t) = (3 m) cos

[(2π

rad

s

)t

]0 = (3 m) cos

[(2π rad

s

)t]

0 = cos[(

2π rads

)t]

cos−10 =(2π rad

s

)t

π

2rad =

(2π

rad

s

)t

t = 0, 25 s

Este valor de tiempo corresponde al primer valor para el cualx(t) = 0m.

Incrementando π rad en la ecuacion: π2

rad = 2π radst, obtenemos

los otros valores para la cual x(t) = 0 m.

3

2π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 0, 75 s

5

2π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 1, 25 s

Finalmente, construimos la tabla 1 y su correspondiente Figura 6.

Tabla 1

t(s) 0 0, 25 0, 50 0, 75 1, 00 1, 25 1, 50 1, 75 2, 00

x(m) 3 0 −3 0 3 0 −3 0 3

Para graficar la velocidad en funcion del tiempo, primero deter-minamos los tiempos para la cual v(t) = 0m

s

v(t) = −(

18, 84m

s

)sen

[(2π

rad

s

)t

]

21

ii

ii

ii

ii


0,0 0,5 1,0 1,5 2,04

3

2

1

0

1

2

3

4Po

sició

n (m

)

Tiempo (s)

Posición en función del tiempo

Figura 6

0 = −(18, 84 m

s

)sen

[(2π rad

s

)t]

0 = sen[(

2π rads

)t]

sen−10 =[(

2π rads

)t]

0 =

(2π

rad

s

)t

t = 0 s

Este corresponde al primer tiempo para el que v(t) = 0 ms.

Ahora, incrementamos π rad, en la ecuacion: 0 = 2πt y obtenemoslos otros valores del tiempo para los que v(t) = 0 m

s.

1π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 0, 50 s

2π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 1, 0 s

Ahora, calculamos los tiempos para los que v = −18, 84 ms.

v(t) = −(

18, 84m

s

)sen

[(2π

rad

s

)t

]22

ii

ii

ii

ii


−18, 84ms

= −(18, 84 m

s

)sen

[(2π rad

s

)t]

1 = sen[(

2π rads

)t]

sen−11 =(2π rad

s

)t

π

2rad =

(2π

rad

s

)t

t = 0, 25 s

Este corresponde al primer tiempo en el cual v = −18, 84 ms.

Incrementamos π rad, en la ecuacion: π2

rad=(2π rad

s

)t obtenemos

los otros valores del tiempo para los que v = −18, 84 ms.

3

2π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 0, 75 s

5

2π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 1, 25 s

Finalmente obtenemos la tabla 2 junto con la grafica de la Figura 7.

Tabla 2

t(s) 0 0, 25 0, 5 0, 75 1 1, 25 1, 5 1, 75 2

v(ms

) 0 −18, 84 0 18, 84 0 −18, 84 0 18, 84 0

Para graficar la aceleracion en funcion del tiempo. Calculemoslos tiempos para la cual la aceleracion es a = −118,32 m

s2 .

a(t) = −(

118, 32m

s2

)cos

[(2π

rad

s

)t

]−118,32 m

s2 = −(118, 32 m

s2

)cos[(

2π rads

)t]

1 = cos[(

2π rads

)t]

cos−11 =(2π rad

s

)t

0 =

(2π

rad

s

)t

t = 0 s

23

ii

ii

ii

ii


0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

20

15

10

5

0

5

10

15

20Ve

locid

ad (m

/s)

Tiempo (s)

Velocidad en función del tiempo

Figura 7

Este corresponde al primer tiempo en el cual la aceleracion es a =−118,32 m

s2

Incrementamos π rad, en la ecuacion: 0 =(2π rad

s

)t obtenemos los

otros valores del tiempo para la cual a = −118, 32 ms2 .

1π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 0, 5 s

2π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 1, 0 s

Ahora calculemos los tiempos para la cual a = 0 ms2

a(t) = −(

118, 32m

s2

)cos

[(2π

rad

s

)t

]0 = −

(118, 32 m

s2

)cos[(

2π rads

)t]

cos−10 =(2π rad

s

)t

π

2rad =

(2π

rad

s

)t

t =1

4s

24

ii

ii

ii

ii


Este corresponde al primer tiempo en el cual a = 0 cms2 .

Incrementamos π rad, en la ecuacion: π2

rad =(2π rad

s

)t obtenemos

los otros valores del tiempo para la cual a = 0 ms2 .

3

2π rad =

(2π

rad

s

)t =⇒ t = 0, 75 s

Finalmente obtenemos la Tabla 3 y con su correspondiente Figura 8.

Tabla 3

t(s) 0 0, 25 0, 5 0, 75 1 1, 25

a(

ms2

)−118, 32 0 118, 32 0 −118, 32 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0150

100

50

0

50

100

150

Acel

erac

ión

(m/s

2 )

Tiempo (s)

Aceleración en función del tiempo

Figura 8

4. Una partıcula parte de su posicion de equilibrio en ti = 0. Si laamplitud de su movimiento es de 2 cm y la frecuencia angular esde 2π rad

s. Determine:

a) Las ecuaciones de movimiento con ϕ = 0.

b) Las graficas de: x vs. t, v vs. t y a vs. t.

c) La magnitud de la velocidad y aceleracion maxima.

25

ii

ii

ii

ii


Respuesta

a) Las ecuaciones de movimiento son:

x(t) = (2 cm) sen

[(2π

rad

s

)t

]v(t) =

(4π

cm

s

)cos

[(2π

rad

s

)t

]a(t) = −

(8π2 cm

s2

)sen

[(2π

rad

s

)t

]b) Observamos en la Figura 9 que al comparar x vs. t, v vs. t y

a vs. t, vemos que los tiempos son los mismos para las tres variables,mientras que la amplitud cambia.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,080

60

40

20

0

20

40

60

80a vs t

v vs t

posic

ión,

vel

ocid

ad y

ace

lera

ción

Tiempo (s)

x vs t

Figura 9

c) Los valores de la velocidad y la aceleracion maxima son respecti-vamente: v = ±6π cm

sy a = ±18π2 cm

s2 .

5. Convertir 4 radianes a grados.

26

ii

ii

ii

ii


Respuesta

Si 1800 = πrad, se calcula cuantos grados son 4 rad usando la reglade tres simple, luego:

x = 1800×4 rad3,14 rad

= 229, 30, ası: 4 rad = 229, 30

6. El desplazamiento de un objeto esta definido por la funcion:

x(t) = (8 cm) sen

[(2

rad

s

)t+

π

8rad

]Donde x esta en centımetros y t en segundos, calcule:

a) La velocidad y la aceleracion en t = π2

s.

b) La velocidad maxima y el tiempo anterior mayor que ceroen el cual la partıcula tiene esta velocidad.

c) La aceleracion maxima y el tiempo anterior mayor que ceroen el cual la partıcula tiene esta aceleracion.

Respuesta

a) La velocidad en t = π2

s es:

v(t) =(

16cm

s

)cos

(9π

8rad

)v(t) = −14, 78

cm

s

La aceleracion en t = π2

s, es:

a(t) = −(

64cm

s2

)sen

(9π

8rad

)a(t) = 24, 49

cm

s2

b) La velocidad maxima:

vmax

= ±16cm

s

27

ii

ii

ii

ii


Y el tiempo en el cual la partıcula tiene esta velocidad es det = 0, 43 s.

c) La aceleracion maxima:

amax

= ±64cm

s2

y el tiempo en el cual la partıcula tiene esta aceleracion es det = 0, 43 s.

7. Una masa se une al extremo de una cuerda para formar un pen-dulo simple. El periodo de su movimiento armonico se mide paradesplazamientos angulares pequenos y tres longitudes, midiendoel tiempo del movimiento en cada caso con un cronometro, du-rante 50 oscilaciones. Para, la longitud de 1 m, 0, 75 m y 0, 5 mse miden tiempos totales de 99, 8 s, 86, 6 s y 71, 1 s.

a) Determine el periodo del movimiento para cada longitud.

b) Determine el valor medio de g obtenido a partir de lastres mediciones independientes y comparelo con el valoraceptado.

Respuesta

a) Datos: n = 50 oscilaciones

L (m) t (s) T (s) T 2 (s2)

1 99, 8 1, 996 3, 98

0, 75 86, 6 1, 772 3, 14

0, 5 71, 1 1, 422 2, 02

b) Si la gravedad se define como:

g =4π2L

T 2

28

ii

ii

ii

ii


tenemos que:

L (m) T 2 (s2) g(

ms2

)1 3, 98 9, 97

0, 75 3, 14 9, 42

0, 5 2, 02 9, 78

El valor promedio de la gravedad es de 9, 7 ms2 ; al compararlo con el

valor aceptado, la diferencia es de 0, 1 %.

8. Una masa de 1 kg unida a un resorte de constante de fuerza iguala 25 N

m, oscila sobre una pista horizontal sin friccion. En ti = 0 el

sistema masa-resorte se halla a 3 cm de la posicion de equilibrio.Encuentre:

a) El periodo de su movimiento.

b) Los valores maximos de la velocidad y aceleracion.

c) Las ecuaciones de movimiento del sistema.

Respuesta

a) Si la frecuencia angular w = 5 rads

, donde T = 2πw

= 1, 25 s.b) La velocidad y la aceleracion maxima son respectivamente:

vmax

= ±15cm

sy a

max= ±75

cm

s2.

c) De acuerdo a las condiciones iniciales (ti = 0) el sistema esta enx(0) = 3 cm; luego, las ecuaciones de movimiento que cumplen estascondiciones iniciales son respectivamente:

x(t) = (3cm) cos

[(5

rad

s

)t

]v(t) = −

(15

cm

s

)sen

[(5

rad

s

)t

]a(t) = −

(75

cm

s2

)cos

[(5

rad

s

)t

]

29

ii

ii

ii

ii


9. Una masa de 0, 5 kg unida a un resorte de constante elastica de 8Nm

, de constante elastica, vibra con un M.A.S. a una amplitud de10 cm. Si comenzamos a contar las oscilaciones cuando el bloquese encuentra a 10 cm de la posicion de equilibrio. Calcule:

a) La frecuencia angular, el periodo de su movimiento, el valormaximo de la velocidad y de la aceleracion.

b) Las ecuaciones de movimiento del sistema.

c) Grafique x vs. t, v vs. t y a vs. t.

d) La velocidad y la aceleracion cuando la masa esta a 6 cmde la posicion de equilibrio.

e) El tiempo que tarda la masa en moverse de x = 0 a x = 8cm.

Respuesta

a) La frecuencia angular, el periodo, la velocidad y la aceleracionmaxima son respectivamente: w2 = k

m= 8

0,5= 16 1

s2

w = 4rad

s, T =

π

2s,

vmax

= ±40cm

s, a

max= ±160

cm

s2.

b) Como las oscilaciones se empiezan a contar en el momento en que elbloque se encuentra en x = 10 cm, las ecuaciones de movimiento sonrespectivamente:

x(t) = (10 cm) cos

[(π

45

rad

s

)t

]v(t) = −

(40

cm

s

)sen

[(π

45

rad

s

)t

]a(t) = −

(160

cm

s2

)cos

[(π

45

rad

s

)t

]

30

ii

ii

ii

ii


c) Las graficas de: x vs t, v vs t y a vs t corresponde a la Figura 10:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18016014012010080604020

020406080

100120140160

a vs t

v vs t

posic

ión,

vel

ocid

ad y

ace

lera

ción

Tiempo (s)

x vs t

Figura 10

d) Si la frecuencia angular es w = 4gradoss

, retomando la ecuacionde posicion en funcion del tiempo, del punto anterior, nos queda:

6 cm = (10 cm) cos

[(π

45

rad

s

)t

]0, 6 = cos

[(π

45

rad

s

)t

]cos−1 0, 6 =

[(π

45

rad

s

)t

]0, 29π =

(π

45

rad

s

)t

t = 13, 2 s

31

ii

ii

ii

ii


e) Cuando t = 13, 2 s =⇒ x = 6 cm de la posicion de equilibrio, ası:

v(t) = −(

40cm

s

)sen

[(π

45

rad

s

)t

]v(t) = −31, 86

cm

s

a(t) = −(

160cm

s2

)cos

[(π

45

rad

s

)t

]a(t) = −96, 74

cm

s2

f) Para calcular el tiempo en el cual el bloque se encuentra a 8 cmde la posicion de equilibrio se realiza el siguiente procedimiento. Deacuerdo con:

x(t) = (10 cm) cos

[(π

45

rad

s

)t

]tenemos que:

8 cm = (10 cm) cos

[(π

45

rad

s

)t

]0, 8 = cos

[(π

45

rad

s

)t

]cos−1 (0, 8) =

[(π

45

rad

s

)t

]36, 860 =

(π

45

rad

s

)t

t = 9, 22 s

Del mismo modo, para x = 0 el tiempo es: t = 22, 5 s.

10. Una masa de 50 g conectada a un resorte de 35 Nm

de constan-te fuerza oscila sobre una superficie horizontal sin friccion conamplitud de 4 cm. Encuentre:

a) La energıa total del sistema cuando la masa se halla entreel punto de equilibrio y el punto x(0) = 4 cm.

b) La velocidad de la masa cuando el desplazamiento es 1 cm.Suponga que la masa se suelta en x(0) = 4 cm.

c) La energıa cinetica y potencial del punto b.

32

ii

ii

ii

ii


Respuesta

a) La energıa total del sistema en x(0) = 4 cm:

E =kA2

2=

35 Nm

(4× 10−2m)2

2E = 0, 028 J

b) Para hallar la velocidad de la masa cuando el desplazamiento esde 1 cm, primero determinamos el tiempo en esa posicion:

x = A cos(wt)

1 cm = (4 cm) cos

√35kg×m

s2

m

0, 05 kg

0, 25 = cos

√35kg×m

s2

m

0, 05 kgt

0, 25 = cos(26, 5

rad

st)

t = 2, 84 s

por lo tanto, la velocidad en ese punto es:

v = − (0, 04 m)

2

√35

kg×ms2

m

0, 05 kg

sen

2

√35

kg× ms2

m

0, 05 kg

2, 84 s

v = −1, 06 m sen (75,14 rad) = 0, 27

m

s

c) La energıa cinetica:

K ≡ mv2

2=

0,05kg×(0,27 m

s

)2

2K = 1,84 × 10−3 J

Y la energıa potencial:

Ue ≡35 N

m(1× 10−2 m)2

2Ue = 175× 10−3 J

33

ii

ii

ii

ii


11. Un pendulo simple tiene un periodo de 2, 5 s sobre la Tierra.Cuando este oscila sobre la superficie de otro planeta, el periodoes de 0, 75 s, ¿cual es la aceleracion de la gravedad en este planeta?

Respuesta

El periodo del pendulo en cualquiera de los planetas es:

T = 2π

√L

g

donde:

T1

T2

=g2

g1

g2 = g2T1

T2

= 9, 8

(32

)2(34

)2 = 39, 2m

s2

12. Se necesita determinar las ecuaciones de movimiento de pendulosimple, la condicion es que en ti = 0 la posicion sea en θ = A.

Respuesta

De acuerdo a las condiciones inicales tenemos que en θ = A lavelocidad y la aceleracion maximas son respectivamente: v(0) = 0 ya(0) = ±Aw2. Las ecuaciones de movimento son:

θ (t) = A cos (wt)

v (t) = −Awsen (wt)

a (t) = −Aw2 cos (wt)

Taller: M.A.S.

1. Una masa unida a un resorte esta sobre una superficie horizontalsin friccion y oscila con una frecuencia de 2π Hz, la masa se sueltaen ti = 0 a una distancia de 4 cm de la posicion de equilibrio.Determine las ecuaciones de movimiento.

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ii

ii

ii

ii


2. Se cuelga una masa de 500 gramos de un resorte cuya constanteelastica es k = 2300 N

m. Si se desplaza 5 cm debajo de su posicion de

equilibrio y se deja en libertad para que pueda oscilar libremente.Determine:

(a) Amplitud, periodo del movimiento, frecuencia y frecuencia an-gular.

(b) Las ecuaciones de movimiento (x vs t, v vs t y a vs t ).

(c) Grafique y vs t para ϕ = 0 y ϕ = π4.

3. Un bloque de 1 kg se cuelga de un resorte de constante elasticak = 2500 N

m. Si desplazamos dicho bloque 10 cm hacia abajo y luego

se suelta. ¿Con que velocidad pasa por la posicion de equilibrio? y¿Cual es el periodo de las oscilaciones que realiza? Encuentre lasecuaciones de movimiento.

4. La posicion en funcion del tiempo de un movil que describe unM.A.S viene dada por la expresion:

x(t) = (2 m) cos

[(2π

rad

s

)t+ ϕ

]Determine:

(a) Amplitud, frecuencia angular y periodo del movimiento.

(b) Encuentre las ecuaciones de movimiento.

(c) Grafique x vs t para ϕ = 0 y ϕ = π4.

5. Grafique la posicion x de un objeto que experimenta M.A.S. comouna funcion del tiempo, si:

(a) La amplitud es de 2 m, la frecuencia angular de 5 rads

y la faseinicial de ϕ = 0.

(b) Sobre la misma grafica dibuje la funcion para: ϕ = π4, π

2y π rad.

Explique lo que se observa cuando se pintan estas graficas enun solo plano cartesiano.

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conceptos basicos de vibraciones y ondaseditorial.udistrital.edu.co/contenido/c-81.pdf · mec anica...

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