1

2

Objetivos:

1. Definir el concepto de función.2. Representar una función en sus formas

alternas.3. Determinar el dominio y el campo de

valores de una función dada su gráfica, conjunto de pares ordenados,(tabla de valores) o la ecuación.

4. Determinar si una ecuación representa una función.

5. Identificar la variable independiente y la variable dependiente.

3

Una relación es una regla de correspondencia que a cada elemento de un conjunto A le asigna elementos en un conjunto B.

Definiciones:

Definición Alterna

Una relación es un conjunto de pares ordenados.

1 1,3

Ejem

,

plos:

2,3 , 4, 2R

2 1, 3 , 2,3 , 4, 2 , 2,3R

4

El conjunto formado por los primeroselementos de los pares ordenados de unarelación se llama el dominio.

El conjunto formado por los segundoselementos de los pares ordenados de unarelación se llama el alcance , campo de valores o recorrido.

5

1

Dominio 2,1,4 RD

1

Alcance = 2,3 RA

11. 1,3 , 2,3 , 4, 2R

Ejemplos:

Encuentra el dominio y el alcance de las relaciones.

6

22. 1, 3 , 2,3 , 4, 2 , 2,3R

2

Dominio 1, 2, 4,2 RD

2

Alcance 3,3, 2 RA

7

33. 10,3 , 2,30 , 4, 12R

3

Dominio = 10, 2, 4 RD

3

Alcance = 12,3,30 RA

8

Definiciones: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos de números reales. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que a cada elemento del conjunto X le asigna un único elemento en el conjunto Y.

Para cada elemento x en conjunto X, el elemento correspondiente y en el conjunto Y se llama la imagen de x. El conjunto todas las imágenes de los elementos del dominio se llama el alcance , recorrido o campo de valores de la función.

El conjunto X se llama el dominio de la función.

Funciones:

9

Dominio Alcance

X Y

f

x2

x1

x3

y1

y2

A

y3

y4

Ilustración:

10

Las funciones se pueden expresar en varias formas, entre ellas:

1. Diagramas

2. Conjunto de pares ordenados

o tablas de valores

3. Gráficas

4. Ecuaciones o fórmulas matemáticas

Aclaración: Toda función es una relación pero no toda relación es una función .

11Las funciones en forma de diagramasLos diagramas son una de las formas de representar funciones y relaciones. Consiste de un dibujo que representa los componentes de la función o relación, estos son; conjunto inicial o dominio, conjunto final y la corespondencia entre los elementos.

A Bf

a

w

1x8

4

8

k

es una función.f

12

Suponga que f es una función de A a B; las siguientes notaciones se usan para representar funciones.

Notaciones: BAf : ó BAf

La notación de funciónLa notación representa la imagen de en el alcance de f .Esta forma de escribir una función se conoce como la notación de función.

)(xfy x

Aclaración: f(x) se conoce como la imagen de x bajo la función f. Las imagenes son los valores de las y.

13

Diagrama de la notación de función.

X Yf

xfy

xfxy

14

1. Determine si el diagrama representa una función.

A Bf

rb3

4

7k

f es una función.

Ejemplos:

Las funciones como diagramas

15

A Bf

aw

1x8

4

8

k

af wf

4

8 8f

1xf

k

8

Dominio 1, , 8, a w x valoresde Campo k 8, ,4

Usando el diagrama encuentra, los valores indicados, el dominio y el alcance de la función.

2.

16

3. Determine si el diagrama representa una función.

A Bf

r

b3

4

7k

5

El diagrama no representa una función. ¿por qué?

17

4. Determine si el diagrama representa una función.

A Bf

rb3

4

7k

El diagrama no representa una función.¿por qué?

18

Ejemplo 1: Suponga que f (x) es una función de A a B cuyas imágenes son;

7f r 7f b 3 4f

Encuentra el dominio y el alcance o campo de valores de f.

Dominio , , 3r b

Alcance 4, 7

, ,

Las funciones en forma de conjuntos de pares ordenados y tablas de valores

19Ejemplo 2:Determine si el conjunto de pares ordenados representa una función. De ser así determine el dominio y el campo de valores.

0 1 1 2 2 0 3 2) , , , , , , ,a

Sí, representa una función

? ¿ quépor

Dominio 3 ,2 ,1 ,0

valoresde Campo 2 ,1 ,0 ,2

20

1 2 3 2) , , , , , , ,b a c c b

función una representa No

1 1 3) , , , , ,c b c d

Sí, representa una función

Dominio , , b c d

valoresde Campo 3 ,1

21

Determine si cada tabla de valores representa una función. En caso afirmativo, indique el dominio y el campo de valores.

x -2 -1 0 1 2

y -8 -1 0 1 8

función una representa Sí

Dominio 2, 1, 0,1,2

valoresde Campo 8, 1,0,1,8

Ejempolo 3:

22

x 10 7 4 7

y 3 6 9 12

función una representa No

? ¿ quépor

El 7, que es un elemento del dominio, se repite en dos pares ordenados diferentes.

Ejempolo 4: Determine si la tabla de valores representa una función.

23

Teorema: Prueba de la Línea Vertical Un conjunto de puntos en el plano xy es la gráfica de una función si y solo si cualquier línea recta vertical interseca la gráfica a lo más en un punto.

Aclaración: Para ser una función la recta vertical no puede tocar más de un punto de la gráfica. Dos puntos en una misma línea vertical tienen los mismos valores de la absisa.

Las funciones en forma gráfica

24Ejemplo 1: Determina si las siguientes gráficas representan funciones.

:f R REs una función.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

25

Es una función.

Ejemplo 2:

:f R R

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

26

No es una función.

Ejemplo 3:

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4 :f R R

Todas la líneas rectas son funciones exceptolas rectas verticales.

27

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y:f X Y

No es una función.

Ejemplo 4:

Ninguna elipse es una función.

¿ Hay alguna de las figuras cónicasque sea una función?

28

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

:f R R

5. Determine si la gráfica representa una función.

La gráfica representa una función.

29

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a y como función de x?

1) 2y x

qué?¿por No.¿Es una función de ?y x

Hay valores de x que tienen dos valores de y.Por ejemplo, si x = 2 entonces y = 2 ó y = -2.

Ejemplos:

Las funciones como ecuacionesUna de las formas más comunes y útiles es la representación de las funciones como ecuaciones. Veremos aquí algunas técnicas para diferenciar entrefunciones y relaciones escritas como ecuaciones.

30

2) 5 4x y

45 xy¿Es una función de ?y x

qué?¿por Sí.

Aclaración: Haga un análisis usando las propiedades de los números reales o usando la gráfica de la ecuación.

31

En el ejemplo anterior podemos identificar los siguientes conceptos:

45 xy

nteindependie variable

edependient variable

Representa los valores del dominio.

Representa los valores del alcance.