CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

BORJAS LÓPEZ ALEXIS- #9310421-B109

QUE SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .

QUE ES ORDEN

Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

AQUE SE LE LLAMA GRADO

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

CLASIFICACION DEL TIPO DE GRADO Y ORDEN

Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

CLASIFICACION DEL TIPO DE GRADO Y ORDEN

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden.

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

CLASIFICACION DEL TIPO DE GRADO Y ORDEN

Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular .

SOLUCION PARTICULAR

SOLUCION GENERAL

Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial

INTERPRETACION GEOMETRICA

Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión

algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de

la variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la

pendiente de la recta tangente a la curva solución.

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

En ingeniería se presenta amenudeo el problema geométrico de encontrar una familia de curvas (trayectorias ortogonal es) que intersequen ortogonal mente a cada punto a una familia dada de curvas. Por ejemplo es posible que se den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación de las líneas equipotenciales.

EXISTENCIA Y UNIDAD

Sea dada una ecuación diferencial donde la función está definida en un recinto D del plano XOY que contiene el punto Si la función satisface a las condiciones:

es una función continua de dos variables x e y, en el recinto D;

admite derivada parcial continua con respecto de x e y en el recinto D, entonces, existe una, y sólo una, solución de la ecuación dada que satisface a la condición .

La condición se llama condición inicial. El problema de la búsqueda de la

solución de la ecuación que satisface la condición inicial , lleva el nombre de Cauchy.

Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que pasa por el punto dado del plano XOY

CAMPO DIRECCIONAL

La terna (x, y, y´) determina la dirección de una recta que pasa por el punto (x , y) el conjunto de estos dos segmentos de esta recta es la representación geométrica del campo direccional.

Se puede resolver una ecuación diferencial trazando el campo direccional, en donde, para cada curva de la familia solución la tangente en cada uno de sus puntos tiene la misma dirección qué el campo en ese punto.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferenciales/edo-geo/edo-cap1-geo/node3.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferenciales/edo-geo/edo-cap1-geo/node5.html

http://yaqui.mxl.uabc.mx/~larredondo/Documentacion/SandovalCaceres.pdf

http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/Aplicaciones.pdf http://books.google.com.mx/books?

id=fKAZmeIP0bAC&pg=PA36&lpg=PA36&dq=campo+direccional&source=bl&ots=IHEJ43cbb1&sig=6ZDC5EyFLPHG8G4TRoRY5ntWZa4&hl=es&ei=svt2S-TRG8qf8AbUz4z0CQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CA0Q6AEwAg#v=onepage&q=campo%20direccional&f=false

FUENTES DE REFERENCIA