Conceptos BsicosINTRODUCCIONLas tcnicas de flujo de redes estn orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes de transporte, redes de comunicacin, sistema de vuelos de los aeropuertos, rutas de navegacin de los cruceros, estaciones de bombeo que transportan fluidos a travs de tuberas, rutas entre ciudades, redes de conductos y todas aquellas situaciones que puedan representarse mediante una red donde los nodos representan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, las lneas areas, los cables, las tuberas y el flujo lo representan los camiones, mensajes y fluidos que pasan por la red. Con el objetivo de encontrar la ruta mas corta si es una red de caminos o enviar el mximo fluido si es una red de tuberas.Cuando se trata de encontrar el camino ms corto entre un origen y un destino, la tcnica, algoritmo o el modelo adecuado es el de la ruta ms corta; aunque existen otros modelos de redes como el rbol de expansin mnima, flujo mximo y flujo de costo mnimo cada uno abarca un problema en particular. En este trabajo se mencionan los modelos de redes existentes y los problemas que abarca cada uno de ellos, adems se describen los algoritmos que aplican estos modelos para encontrar la solucin optima al problema. Utilizando la terminologa utilizada para representarlos como una red.MODELOS DE REDESLos problemas de optimizacin de redes se pueden representar en trminos generales a travs de uno de estos cuatro modelos: Modelo de minimizacin de redes (Problema del rbol de mnima expansin). Modelo de la ruta ms corta. Modelo del flujo mximo. Modelo del flujo del costo mnimo.Modelo de minimizacin de redesEl modelo de minimizacin de redes o problema del rbol de mnima expansin tiene que ver con la determinacin de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solucin del problema.Para crear el rbol de expansin mnima tiene las siguientes caractersticas:Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)Se desea disear la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.Una red con n nodos requiere slo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un rbol de expansin. Por tanto el problema es hallar el rbol de expansin con la longitud total mnima de sus ligaduras.Algoritmo para construir el rbol de expansin mnima:Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto ms cercano.Se identifica el nodo no conectado ms cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos estn conectados.Empates: los empates para el nodo ms cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado ms cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solucin optima. No obstante, estos empates son seal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas mltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las dems formas de romper los empates hasta el final.Modelo de Flujo MximoSe trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a travs de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad mxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la mxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.Caractersticas:Todo flujo a travs de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.Los nodos restantes son nodos de trasbordo.Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin indicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo est dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos sealan hacia fuera. En el destino, todos sealan hacia el nodo.El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.El problema de flujo mximo se puede formular como un problema de programacin lineal, se puede resolver con el mtodo smplex y usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho ms eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada.Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo mximo:Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrn del flujo ptimo).Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mnimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la direccin opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.

Conceptos bsicos y terminologias

Red:Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de lneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vrtices). Las lneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas).Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre lo nodos A Y B.En un problema de programacin lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre si a travs de caminos, conductos, tuberas que permiten fluir productos para la comercializacin o la distribucin.Arcos Dirigidos:Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una direccin (como en una calle de un sentido). La direccin se indica agregando una cabeza de flecha al final de la lnea que representa el arco.Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y despus el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra Manera es AB.Arcos No Dirigidos:Si el flujo a travs de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubera que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido.Tambin se les llama ligadura. Aunque se permita que el flujo a travs de un arco no dirigido ocurra en cualquier direccin, se supone que ese flujo ser en una direccin, en la seleccionada, y no se tendr flujos simultneos en direcciones opuestas.Trayectoria:Una trayectoria entre dos nodos es una sucesin de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos O y T en la figura 1 es la sucesin de arcos OB-BD-DT (OBDT), y viceversa.Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distincin entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.Trayectoria Dirigida:Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesin de arcos cuya direccin (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a travs de esta trayectoria es factible.Trayectoria No Dirigida:Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendr algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde l (es decir, hacia el nodo i).Ciclo:Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En la red no dirigida que se muestra en la figura 5 existen muchos ciclos, OA-AB-BC-CO.Red Conexa:Una red conexa es una red en la que cada par de nodos est conectado. Se dice que dos nodos estn conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura 1 representa una red conexa.rbol de Expansin:es una red conexa para los n nodos, que contiene ciclos no dirigidos. Todo rbol de expansin tiene justo n-1 arcos, ya que este es el nmero mnimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el mximo numero posible para que no haya ciclos no dirigidos.La figura 6 representa una red conexa, la figura 7 muestra los cinco nodos de la red conexa de la figura 6, ahora la figura 8 muestra el proceso para hacer crecer un rbol colocando una rama a la vez, hasta obtener un rbol de expansin. En cada etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco, por lo que la figura 8 muestra solo una de las muchas formas de construir un rbol de expansin.Capacidad de Arco:Es la cantidad mxima de flujo (quizs infinito) que puede circular en un arco dirigido.Nodo Fuente:(onodo de origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede al flujo que entra a l.Nodo Demanda:(o nodo destino) es el caso contrario al nodo fuente, donde el flujo que llega excede al que sale de l.Nodo de Trasbordo:(o nodo intermedio) satisface la conservacin del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.REDES DIRIGIDAS Y NO DIRIGIDASRed Dirigida:Es una red que tiene solo arcos dirigidos.En una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, segn si la trayectoria en cuestin es dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida tambin es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.) Por ejemplo en la figura 9 DE-ED es un ciclo dirigido. Por contrario, AB-BC-CA no es un ciclo dirigido puesto que la direccin del arco AC es opuesta a la de los arcos AB y BC. Por otro lado, AB-BC-AC no es un ciclo dirigido porque ABCA es una trayectoria no dirigida.Red No Dirigida: Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos. La figura 10 representa una red no dirigida.VISTA GENERAL DE ALGUNAS APLICACIONES PRCTICAS DE LA OPTIMIZACIN DE REDES Diseo de redes de telecomunicacin (redes de fibra ptica, de computadores, telefnicas, de televisin por cable, etc.) Diseo de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vas ferroviarias, carreteras, etc.) Diseo de una red de lneas de transmisin de energa elctrica de alto voltaje. Diseo de una red de cableado en equipo elctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable. Diseo de una red de tuberas para conectar varias localidades. Diseo de una red de tuberas de gas natural mar adentro que conecta fuentes del golfo de Mxico con un punto de entrega en tierra con el objetivo de minimizar el costo de construccin. Determinacin de la ruta ms corta que une dos ciudades en una red de caminos existentes. Determinar la capacidad anual de mxima en toneladas de una red de conductos de pasta aguada de carbn que enlaza las minas carboneras de Wyoming con las plantas generadoras de electricidad Houston. (Los conductos de pasta aguada de carbn transportan ste bombeando agua a travs de tubos adecuadamente diseados que operan entre las minas de carbn y el destino deseado.) Determinacin del programa de costo mnimo de los campos petrolferos a refineras y finalmente a los campos de distribucin. Se pueden enviar petrleo crudo y productos derivados de la gasolina en buques tanque, oleoductos y/o camiones. Adems de la disponibilidad de la oferta mxima en los campos petrolferos y los requisitos de demanda mnima en los centros de distribucin, deben tomarse en cuenta restricciones sobre la capacidad de las refineras y los modos de transporte.Ejemplos de terminosNodosA, B, C, D , E

ArcosA>B, A>C, A>D, B>C, C>E, D>E, E>D

Arco DirigidoAB, AC, AD, BC, CE, DE, ED

TrayectoriaEntre A y D:A>DA>C>E>DA>B>C>E>D

Trayectoria DirigidaEntre A y EA>B>C>E

Trayectoria No DirigidaEntre B y DB>C>>A>D

CicloDE-ED (ciclo dirigido)AB-BC-CA (ciclo no dirigido)

Red ConexaSi es red conexa

Capacidad de Arco3, 2, 5, 3, 4, 2, 1

Nodo FuenteA

Nodo DemandaC, D

Nodo trasbordoB

OTRAS DEFINICIONESRed Residual:Una red residual muestra las capacidades restantes (llamadas capacidades residuales) para asignar flujos adicionales.Trayectoria de Aumento:Una trayectoria de aumento es una trayectoria dirigida del nodo fuente al nodo destino en la red residual, tal que todos los arcos en ese trayectoria tienen capacidad residual estrictamente positiva. El mnimo de estas capacidades residuales se llama capacidad residual de la trayectoria de aumento porque representa la cantidad de flujo que es factible agregar en toda la trayectoria. Por lo tanto, cada trayectoria de aumento proporciona una oportunidad de aumento ms el flujo a travs de la red original.PROBLEMA DEL FLUJO DE COSTO MNIMOEl problema de flujo de costo mnimo tiene una posicin medular entre los problemas de optimizacin de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solucin es muy eficiente. Igual que el problema del flujo mximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta ms corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a travs de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignacin, puede manejar varios orgenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mnimo.A continuacin se describe el problema del flujo de costo mnimo: La red es una red dirigida conexa. Al menos uno de los nodos es nodo fuente. Al menos uno de los nodos es nodo demanda. El resto de los nodos son nodos de trasbordo.Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin indicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo est dada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.)La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.El costo del flujo a travs del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a travs de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envo.)Problema de transporteDEFINICIN DEL MODELO DE TRANSPORTELa programacin lineal es una herramienta de modelos cuantitativos para manejar diferentes tipos de problemas y ayudar a la toma de decisiones.En este captulo se considera el modelo de transporte por medio del cual un administrador debe determinar la mejor forma de como hacer llegar los productos de sus diversos almacenes a sus consumidores, con el fin de satisfacer de las clientes y a un costo mnimo.El modelo de transporte es un problema de optimizacin de redes donde debe determinarse como hacer llegar los productos desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda, minimizando los costos de envio.El modelo busca determinar un plan de transporte de una mercanca de varias fuentes a varios destinos. Entre los datos del modelo se cuenta:1.- Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.2.- El costo de transporte unitario de la mercanca de cada fuente a cada destino.El modelo se utiliza para realizar actividades como: control de inventarios, programacin del empleo, asignacin de personal, flujo de efectivo, programacin de niveles de reservas en prensas entre otras.Problema de la ruta ms cortaModelo de la ruta ms cortaConsidere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta ms corta (la trayectoria con la mnima distancia total) del origen al destino.Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta ms corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (ms cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.Algoritmo de la ruta ms corta:Objetivo de la n-sima iteracin: encontrar el n-simo nodo ms cercano al origen. (Este paso se repetir para n=1,2, hasta que el n-simo nodo ms cercano sea el nodo destino.)Datos para la n-sima iteracin: n-1 nodos ms cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta ms corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.)Candidatos para el n-simo nodo ms cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexin directa por una ligadura con uno o ms nodos no resueltos proporciona un candidato, y ste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura ms corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)Clculo del n-simo nodo ms cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta ms corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total ms pequea es el n-simo nodo ms cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta ms corta es la que genera esta distancia.Programacin de proyectos (PERT-CPM)Dos son los orgenes del mtodo del camino crtico: el mtodo PERT (Program Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de Amrica, en 1957, para controlar los tiempos de ejecucin de las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial.El mtodo CPM (Crtical Path Method), el segundo origen del mtodo actual, fue desarrollado tambin en 1957 en los Estados Unidos de Amrica, por un centro de investigacin de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimizacin de los costos de operacin mediante la planeacin adecuada de las actividades componentes del proyecto.Ambos mtodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el mtodo del camino crtico actual, utilizandoel control de los tiempos de ejecucin y los costos de operacin, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor t iempo y al menor costo posible.UsosEl campo de accin de este mtodo es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeo. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes caractersticas: Que el proyecto sea nico, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mnimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crtico. Que se desee el costo de operacin ms bajo posible dentro de un tiempo disponible.Dentro del mbito aplicacin, el mtodo se ha estado usando para la planeacin y control de diversas actividades, tales como construccin de presas, apertura de caminos, pavimentacin, construccin de casas y edificios, reparacin de barcos, investigacin de mercados, movimientos de colonizacin, estudios econmicos regionales, auditorias, planeacin de carreras universitarias, distribucin de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fbrica, planeacin de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de poblacin, etc.Planeacin y control de proyectos con PERT-CPMLa buna administracin de proyectos a gran escala requiere planeacin, programacin y coordinacin cuidadosa de muchas actividades interrelacionadas. Al principiar la dcada de 1950 se desarrollaron procedimientos formales basados en uso de redes y de las tcnicas de redes para ayudar en estas tareas. Entre los procedimientos mas sobresalientes se encuentran el PERT (tcnica de evaluacin y revisin de programas) y el CPM (mtodo de la ruta critica).Aunque originalmente los sistemas tipo PERT se aplicaron para evaluar la programacin de un proyecto de investigacin y desarrollo, tambin se usan para controlar el avance de otros tipos de proyecto especiales. Como ejemplos se pueden citar programas de construccin, la programacin de computadoras, la preparacin de propuestas y presupuestos, la planeacin de l mantenimiento y la instalacin de sistemas de computo, este tipo de tcnica se ha venido aplicando aun a la produccin de pelculas, a las compaas polticas y a operaciones quirrgicas complejas.El objetivo de los sistemas tipo PERT consiste en ayudar en la planeacin y el control, por lo que no implica mucha optimizacin directa. Algunas veces el objetivo primario es determinar la probabilidad de cumplir con fechas de entrega especificas. Tambin identifica aquellas actividades que son ms probables que se conviertan en cuellos de botella y seala, por e4nde, en que puntos debe hacerse el mayor esfuerzo para no tener retrasos. Un tercer objetivo es evaluar el efecto de los cambios del programa. Por ejemplo, se puede valorar el efecto de un posible cambio en la asignacin de recursos de las actividades menos criticas a aquellas que se identificaron con cuellos de botella. Otra aplicacin importante es la evaluacin del efecto de desviarse de lo programado.Todos los sistemas tipo PERT emplean una red de proyecto para visualizar grficamente la interrelacin entre sus elementos. Esta representacin del plan de un proyecto muestra todas las relaciones de procedencia, respecto al orden en que se deben realizar las actividades. En la Fig. 1 s muestran estas caractersticas para la red de proyecto inicial para la construccin de una casa. Esta red indica que la excavacin debe hacerse antes de poner los cimientos y despus los cimientos deben completarse antes de colocar las paredes. Una vez que se levantan las paredes se pueden realizar tres actividades en paralelo. Al seguirla red hacia delante se ve el orden de las tareas subsecuentes.En la terminologa de PERT, cada arco de la red representa una actividad, es decir, una de las tareas que requiere el proyecto, cada nodo representa un evento que por lo general se define con el momento eque se terminan todas las actividades que llegan a ese nodo, Las puntas de flecha indican la secuencia en la que3 debe ocurrir cada uno de esos eventos. Lo que es mas, un evento debe preceder a la iniciacin de las actividades que llegan a ese nodo. Las puntas de flecha indican la secuencia en la que debe ocurrir cada uno de esos eventos. Lo que es mas, un evento debe preceder a la iniciacin de las actividades que salen de ese nodo. (En la realidad, con frecuencia se pueden traslapar etapas sucesivas de un proyecto, por lo que la red puede representar una aproximacin idealizada del plan de un proyecto.)El nodo hacia el que todas las actividades se dirigen es el evento que corresponde a la terminacin desde su concepcin, o bien, si el proyecto ya comenz, el plan para su terminacin. En l ultimo caso, cada nodo de la red sin arcos que llegan representa el evento de continuar una actividad en marcha o el evento de iniciar una nueva actividad que puede comenzar en cualquier momento.Cada arco juega un doble papel, el de representar una actividad y el de ayudar a representar las relaciones de procedencia entre las distintas actividades. En ocasiones, se necesita un arco para definir las relaciones de procedencia aun cuando no haya una actividad real que representar. En este caso, se introduce una actividad ficticia que requiere un tiempo cero, en donde el arco que representa esta actividad ficticia se muestra como una flecha punteada que indica esa relacin de procedencia. Por ejemplo, considrese el arco 58 que representa una actividad ficticia en la Fig. 1; el nico objeto de este arco es indicar que la colocacin de la tubera debe estar terminada antes de poder comenzar los exteriores.Una regla comn para construir este tipo de redes es que dos nodos no pueden estar conectados directamente por mas de un arco. Las actividades ficticias tambin se pueden usar para evitar violar esta regla cuando se tienen dos o ms actividades concurrentes; en la Fig. 1 se ilustra esto con el arco 1112. El nico propsito de este arco es indicar que debe terminarse la colocacin de pisos antes de instalar los acabados interiores sin tener dos arcos del nodo 9 al nodo 12.Una vez desarrollada la red la red de un proyecto, el siguiente paso es estimar el tiempo que se requiere para cada actividad. Estas estimaciones para el ejemplo de la construccin de una casa de la figura 1. se muestran en la figura 2 con los nmeros mas oscuros (en unidades de das de trabajo) que aparecen junto a los arcos. Estos tiempos se usan para calcular dos cantidades bsicas para cada evento, a saber, su tiempo ms prximo y su tiempo ms lejano.El tiempo ms prximo para un evento es el tiempo (estimado) en el que ocurrir el evento si las actividades que lo proceden comienzan lo mas pronto posible.Los tiempos ms prximos se obtienen al efectuar una pasada hacia delante a travs de la red, comenzando con los eventos iniciales y trabajando hacia delante en el tiempo, hasta los eventos finales, para cada evento se hace un calculo del tiempo en el que ocurrir cada uno, si cada evento procedente inmediato ocurre en su tiempo ms prximo y cada actividad que interviene consume exactamente su tiempo estimado. La iniciacin del proyecto se debe etiquetar con el tiempo 0. este proceso se muestra en la tabla 1. para el ejemplo considerado en las figuras 1 y 2. los tiempos ms prximos que se obtuvieron estn registrados en la figura 2, con el primero de los dos nmeros que se dan para cada nodo.El tiempo ms lejano para un evento es l ultimo momento (estimado) en el que puede ocurrir sin retrasar la terminacin del proyecto mas all de su tiempo ms prximo.Un proyecto define una combinacin de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden antes que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades estn interrelacionadas en una secuencia lgica en el sentido que algunas de ellas no pueden comenzar hasta que otras hallan terminado. Una actividad en un proyecto, generalmente se ve como un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminacin.La mejor herramienta conocida de plantacin era el diagrama de barras de Gantt el cual especifica los tiempos de inicio y terminacin de cada actividad en una escala de tiempo horizontal.Su desventaja es que la interdependencia entre las diferentes actividades (la cual controla principalmente el progreso del proyecto) no puede determinarse a partir del diagrama de barras. Las complejidades crecientes de los proyectos centrales han exigido tcnicas de planeacin ms sistemticas y mas efectivas con el objeto de optimizar la eficiencia en la ejecucin del proyecto.Aqu la eficiencia implica efectuar la mayor reduccin en el tiempo requerido para terminar el proyecto, mientras se toma en cuenta la factibilidad econmica de la utilizacin de los recursos disponibles.La administracin de proyectos ha evolucionado como un nuevo campo con el desarrollo de dos tcnicas analticas para la planeacin, programacin y control de proyectos. Tales son el mtodo de ruta crtica (CPM) y la tcnica de evaluacin y revisin de proyectos (Pert). Las dos tcnicas fueron desarrolladas por dos grupos diferentes casi simultneamente (l956)-l958). El cpm (critical path method) fue desarrollado primero por E.I du Pont de Nemours & Company como una aplicacin a los proyectos de construccin y posteriormente se extendio a un estado mas avanzado por Mauchly Associates. El PERT (Project Evaluation and preview technique), por otra parte, fue desarrollado para la marina de USA por una organizacin consultora, con el fin de programar las actividades de investigacin y desarrollo para el programa de misiles Polanis.Los mtodos Pert y CPM estn bsicamente orientados en el tiempo, en el sentido que ambos llevan a la determinacin de un programa de tiempo. Quiz la diferencia ms importante es que originalmente las estimaciones en el tiempo para las actividades se pusieron determinantes en CPM y probables en PERT. Ahora PERT y CPM comprenden realmente una tcnica y las diferencias, si existe alguna, son nicamente histricas. La programacin de proyectos por PERT-CPM consiste en 3 fases bsicas:La fase de planeacin se inicia descomponiendo el proyecto en actividades distintas. Las estimaciones de tiempo para estas actividades se determinan luego, y se construye un diagrama de red (o flechas), donde cada uno de sus arcos (flechas) representa una actividad. El diagrama de flechas completo da una representacin grfica de las independencias entre las actividades del proyecto. La construccin del diagrama de flechas como una fase de planeacin, tiene la ventaja de estudiar los diferentes trabajos en detalle, sugiriendo quiz mejoras antes de que el proyecto realmente se ejecute.La fase de programacin ser construir un diagrama de tiempo que muestre los tiempos de iniciacin y terminacin para cada actividad, as como en su relacin con otras actividades del proyecto. Adems, el programa debe sealar las actividades crticas (en funcin del tiempo) que requieren atencin especial si el proyecto se debe terminar oportunamente. Para las actividades no criticas, el proyecto debe mostrar los tiempos de holgura que pueden utilizarse cuando tales actividades se demoran o cuando deben ser usados los recursos de manera eficiente.La fase final en la administracin de proyectos es el control. Esto incluye el uso del diagrama de flechas y la grafica de tiempo para hacer reportes peridicos del progreso. La red puede, por consiguiente, actualizarse y analizarse y si es necesario determinar un nuevo programa para la parte restante delproyecto.Todoslos sistemas tipo PERT emplean una red de proyecto para visualizar grficamente. Las interrelaciones entre sus elementos. Esta representacin del plan de un proyecto muestra todas las relaciones de procedencia, respecto al orden en que se deben realizar las actividades.Cada arco de la red (flechas) representa una actividad. Cada nodo representa un evento que por lo general se define como el momento en que se terminan todas las actividades que llega a ese nodo.Ejemplo: Red de proyecto inicial para hacer una casa. Por cada actividad se tiene un tiempo. Se calculan los tiempos ms prximos y ms lejanos. Se calculan las holguras Se calcula la ruta crtica. Se hace un anlisis para determinar los costos del proyecto a desarrollar