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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

PROGRAMA JÓVENES TALENTO

ACADEMIA SABATINA 2015

16 de mayo de 2015

CLASE I, MES 2

Nombre: …………………………………………………………………………………..

POTENCIAS.

Concepto de potencia. Base y exponente.

Ejemplo 1: María tiene 5 cajones, en cada cajón tiene 5 cajas, en cada caja tiene 5 bolsas y finalmente en cada bolsa tiene 5 camisas. ¿Cuántas camisas tiene? Solución: Para averiguarlo debemos multiplicar que lo puedes escribir en forma de potencia:

. Por lo tanto María tiene 625 camisas.

Una potencia es una forma de escribir de manea abreviada una multiplicación de factores iguales, así si y .

( )( ) ( )⏟

El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente. Al resultado se le llama potencia. Ejemplo 2: Si un cuadrado tiene 2 cuadraditos por lado ¿Cuántos cuadraditos contiene ese cuadrado? Solución: El número de cuadraditos que caben es . El área de este cuadrado es de 4 unidades. Y si tiene 3 cuadraditos por lado ¿Cuántos cuadraditos contiene ese cuadrado? El número de cuadraditos que caben es . El área de este cuadrado es de 9 unidades. Ejemplo 3: ¿De cuántos cubitos está compuesto el cubo grande si hay 3 a lo largo, 3 a lo ancho y 3 a lo alto?

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Solución: El número de cubitos es . El volumen de este cubo es 27 unidades. Por esta relación con el área y el volumen de las figuras geométricas, las potencias de exponente 2 y de exponente 3 reciben nombres especiales: Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados y las de exponente 3 se llaman cubos. Ejercicios:

1. Calcular las siguientes potencias e identificar cuáles de las potencias son cuadrados o cubos.

a) b) c) d) e) f) g)

Cómo se leen las potencias. Hay dos formas de leer las potencias: a) Así se puede leer 9 elevado a 2 y también se lee 9 al cuadrado. b) se puede leer 32 elevado a 3 y también se lee 32 al cubo. c) se puede leer 3 elevado a 4 y también se lee 3 a la cuarta. d) se puede leer 2 elevado a 5 y también se lee 2 a la quinta.

Potencias de uno y cero.

1. Cualquier número real distinto de cero, al elevarlo al exponente cero es 1.

Si y a

Ejemplo

, , , .

2. Uno elevado a cualquier exponente es 1, sea

Ejemplo , , .

3. Cero elevado a cualquier exponente distinto de cero es igual a 0,

Ejemplo

, , .

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Operaciones con potencias y propiedades.

a) Producto de potencias de igual base.

Encontremos el resultado de .

( ) ( )

Generalicemos este resultado, sea y

( ⏟ )

( ⏟ )

⏟

b) Cociente de potencias de igual base.

Encontremos el resultado de

.

Generalicemos este resultado, sean y con y

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c) Elevar una potencia a una potencia.

Calculemos la siguiente potencia ( ) . Por definición se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )

Generalicemos este resultado, sea y .

( ) ⏟

⏞

Ejercicios:

1. Aplicar las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones :

( )

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( )

( )

Potencias de -1.

Encontrar:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Nota: ya antes habíamos notado, que -1 elevado a un exponente par da 1, y – elevado a un exponente

impar da -1.

Habiendo recordado esto podemos utilizar el resultado anterior para encontrar potencias de números

negativos

Ejemplo:

Encontrar las siguientes potencias.

( )

( ) (( )( ))

( ) ( )

Así en general un número negativo elevado a una potencia par es positivo y un número negativo elevado a

una potencia impar es negativo.

Potencias con exponentes negativos. Hasta ahora hemos visto las potencias cuando los exponentes son naturales, sin embargo todas las anteriores propiedades se siguen cumpliendo aun cuando los exponentes son enteros, para entender esto antes es necesario que definamos lo siguiente:

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Por ejemplo:

( )

,

Ahora que ya conocemos esta definición la generalizaremos. Sea con y .

( )( )

( ) (

)

Veamos los siguientes ejemplos:

( )

( )

Todas las propiedades que hemos visto de las potencias se siguen cumpliendo para los exponentes negativos, asi por ejemplo:

( )

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Simplificación de fracciones utilizando las propiedades de las potencias.

Supongamos que nos piden simplificar la fracción

Una forma de simplificar la fracción es descomponer en factores primos el numerador y el denominador de

la fracción, así tenemos que:

Por lo tanto:

Aplicando las propiedades de las potencias tenemos que:

Por lo tanto:

Simplificar la fracción

.

Primero descomponemos el numerador y el denominador en sus factores primos.

Ahora sustituimos.

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Finalmente simplificamos.

Por lo tanto

Ejercicios:

1. Aplicar las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones :

( )

(( ) )

( )

( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

( )

( )

( ) ( )

( )

9

(

)(

)

(

)

2. Cuenta la leyenda que un súbdito enseñó a jugar al ajedrez al príncipe persa Sisso, hijo de Dahir, y le gustó tanto el juego que prometió regalarle lo que pidiera. El súbdito dijo, quiero un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, así hasta llegar a la casilla 64. A Sisso no le pareció una demanda excesiva, y sin embargo ¡no había trigo suficiente en el reino para pagar eso!

a) ¿Cómo se debe representar el cálculo? b) ¿Cuántos granos de trigo le dan por la casilla primera? ¿Y por la casilla segunda? ¿Y por la tercera? ¿Y por la suma de las tres primeras casillas? c) ¿Cuántos granos de trigo corresponden a la casilla 10? d) ¿Y a la 64? Utiliza la calculadora para intentar calcular ese número, ¿qué ocurre?

3. Luis y Miriam tienen canicas. Luis tiene 8 elevado al cuadrado. Miriam tiene 2 elevado a la sexta potencia. ¿Quién tiene más canicas?

4. Una finca tiene forma cuadrada y mide 36 m de lado. Si el metro cuadrado se paga a $500, ¿cuánto vale la finca?

5. Carlos quiere saber la edad de su maestra, sin embargo su maestra sabiendo que Carlos es muy malo con las matemáticas, le dice que su edad se obtiene si al cuadrado de 5 se le suma el cubo de dos y se le resta el cuadrado de tres. ¿Cuántos años tiene la maestra de Carlos?

6. Phineas y Ferb juegan tres partidas. Phineas tenía 8 cromos y Ferb 80. En la primera partida ganó

Phineas y elevó su número de cromos al cuadrado, en la segunda perdió el cubo de 3, y en la tercera perdió el cuadrado de 4. ¿Cuántos cromos les quedan a Phineas y a Ferb? ¿Quién ha ganado?

7. En un restaurante se puede elegir entre cuatro primeros platos, cuatro segundos y cuatro postres. ¿Cuántos menús distintos pueden hacerse?