comportamiento de la transferencia de calor en paredes
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COMPORTAMIENTO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN PAREDES
DAVID LENIS YÁÑEZ
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ, D.C.
2004
2
COMPORTAMIENTO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN PAREDES
DAVID LENIS YÁÑEZ
Proyecto para optar al título de Ingeniero Industrial
Asesor: Juan Felipe Torres G.
Ingeniero Industrial, Msc.
Coasesor: Roberto Zarama U.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ, D.C.
2004
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TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................................................4
2. MARCO TEÓRICO ..............................................................................................................................................6
2.1 TRANSFERENCIA DE CALOR ...................................................................................................................6
2.1.1 LEY DE FOURIER ..........................................................................................................................6 2.1.2 ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR .................................................................................7 2.1.3 CELDA CALORIMÉTRICA .......................................................................................................10
2.2 PROCESOS DE DIFUSIÓN ....................................................................................................................... 12 2.2.1 MOVIMIENTO BROWNIANO .......................................................................................................12
2.2.1.1 Propiedad de Markov y Ecuación de Chapman-Kolmogorov ............................14 2.2.1.2 Movimiento Browniano En Varias Dimensiones.....................................................15
2.3 TEORÍA AUTÓMATA CELULAR ........................................................................................................... 18
3. ANÁLISIS Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA............................................................................ 21
4. RESULTADOS .............................................................................................................................................. 23
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................................................................... 29
6. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................ 31
7. ANEXOS .......................................................................................................................................................... 33
4
1. INTRODUCCIÓN
Cuando un edificio va a ser construido, una de las principales tareas de los
ingenieros es hacer estudios para analizar los diferentes materiales que
pueden llegar a utilizarse en la fabricación de las paredes, pisos, columnas, y
en general todas aquellas superficies que pueden ser expuestas a cambios
drásticos de temperatura.
Estos estudios pueden hacerse experimentalmente en un laboratorio con los
mismos materiales que se utilizarán en la realidad, pero podría ser un poco
costoso cuando se tienen muchas opciones y cuando las condiciones de
frontera a las que están expuestas estas superficies, pueden llegar a ser
variables y un poco difíciles de reproducir en un laboratorio.
Es por eso que puede plantearse un modelo matemático que permita
representar y pronosticar el comportamiento de la temperatura y la
transferencia de calor en una pared de cualquier tipo y además pueda predecir
cosas como la temperatura en un punto interior de la pared o la transferencia
de calor en cada instante, cosas que en la realidad pueden ser difíciles de
observar o medir experimentalmente.
La ecuación diferencial que rige la transferencia de calor por conducción en
una pared es una ecuación de difusión que representa un movimiento
browniano, por lo cual podría realizarse un modelo matemático que permitiera
conocer la temperatura aproximada en cada punto de la pared (si esta se
discretiza), a medida que se excita uno de los lados de una pared con una
señal de calor, y con estas temperaturas hallar la transferencia de calor total en
cada instante.
Si se asume que al empezar a transmitir calor en una pared, este se transmite
en todas las direcciones, el calor por unidad de volumen se expresa de la
siguiente manera:
5
∂∂
+∂∂
+∂∂
= 2
2
2
2
2
2
zu
yu
xu
kQ donde k, es la conductividad del material y los otros
términos son las segundas derivadas parciales de la temperatura con respecto
al desplazamiento en cada uno de los tres ejes cartesianos.
Para solucionar esta ecuación, para cada punto en particular al interior de la
pared, se podría hacer diferencias finitas o plantear un modelo “autómata
celular1”, y ya que esta ecuación describe un movimiento browniano, el sistema
podría modelarse como una cadena de “Markov” de tiempo continuo o
discreto2.
A lo largo de este semestre se desarrolló, en el Departamento de Ingeniería
Mecánica, un proyecto de grado que consistió en la construcción de una celda
calorimétrica (Hot Box) para analizar la transferencia de calor de una pared de
construcción en estado transitivo. Se pretende hacer una comparación entre los
datos experimentales y los datos teóricos hallados por el modelo matemático
que se realizará para saber si existen diferencias significativas entre lo
experimental y lo teórico, o si de lo contrario, la utilización de un software es de
gran ayuda para predecir comportamientos de la vida real permitiendo un
ahorro tanto en tiempo como en dinero.
1 Ver el objeto como una red y la solución de cada punto depende de los puntos vecinos. 2 Tocaría discretizar tanto el espacio como el tiempo, aunque se perdería la esencia de un movimiento
browniano.
6
2. MARCO TEÓRICO 2.1 TRANSFERENCIA DE CALOR
La conducción, o transferencia de calor por
difusión, se refiere al transporte de energía en un
medio, o a través de un cuerpo, debido a un
gradiente de temperatura, y el mecanismo físico
es el de la actividad aleatoria atómica o molecular.
2.1.1 LEY DE FOURIER
La ley de Fourier es una ley fenomenológica, es decir, que se ha desarrollado a
partir de los fenómenos observados más que derivarse de los principios físicos
básicos. Por ejemplo, si se considera una varilla cilíndrica de material conocido,
y esta varilla es aislada en la superficie lateral, y sus extremos se mantienen a
diferentes temperaturas T1, T2 donde T1 > T2. La diferencia de temperaturas
entre ambos extremos ocasiona una transferencia de calor por conducción del
extremo con mayor temperatura al otro extremo, hasta que ambos extremos se
estabilicen a la misma temperatura. Se puede medir la rapidez de transferencia
de calor qx, y se busca determinar, como esta rapidez depende de las
siguientes variables:
• T∆ , diferencia de temperaturas entre los extremos
• X∆ , longitud de la varilla
• A, área de la sección transversal
Si se mantienen constantes T∆ y X∆ , y se varía A, se puede ver que al
aumentar el área de la sección transversal, también aumentaría qx. De la misma
manera si se mantienen T∆ y A constantes, se observa que qx varía
inversamente con X∆ . Finalmente si se mantienen X∆ y A constantes, qx varía
proporcionalmente a T∆ . Es decir que el efecto colectivo es el siguiente:
XTA
q x ∆∆α , si se cambia el material, por ejemplo de un metal a un plástico,
veríamos que la proporcionalidad anterior seguiría siendo válida, pero para
7
valor iguales de T∆ , X∆ y A, el valor de qx sería menor para el plástico que
para el metal ya que las átomos que componen el metal se encuentran mucho
más aglomerados y organizados haciendo que la rapidez de la transferencia de
calor sea mayor. Este experimento sugiere que la proporcionalidad anterior se
convierta en una igualdad si se introduce un coeficiente que sea una medida
del comportamiento del material:
xT
kAq x ∆∆=
donde k es la conductividad térmica (W/m*K), una propiedad importante del
material. Al evaluar esta expresión cuando 0→∆x , se obtiene para la rapidez
de transferencia de calor: dxdT
kAq x −= o para el flujo de calor dxdT
kq x −=´´ . El
signo negativo es necesario para indicar que el calor se transfiere en la
dirección opuesta a la del gradiente de temperatura. La anterior ecuación es la
llamada Ley de Fourier.
2.1.2 ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR
Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el
campo de temperaturas de un objeto que posee unas condiciones de frontera
impuestas. Es decir, que se desea conocer como varía la temperatura con la
posición dentro de un cuerpo o medio. Una vez se conozca esta distribución de
temperaturas, se puede calcular el flujo de calor por conducción, en cualquier
punto en el medio o en la superficie, utilizando la primera Ley de Fourier. La
distribución de temperaturas además ser utilizada para determinar otras
cantidades importantes, es útil para optimizar el espesor de un material aislante
o para determinar la compatibilidad de recubrimientos o adhesivos especiales
que se usen junto con el material.
8
Para obtener la ecuación de calor se puede pensar en un volumen de control
infinitesimalmente pequeño3. Las velocidades de transferencia de calor por
conducción perpendiculares a cada una de las superficies de control en las
coordenadas x, y y z se indican con los términos qx, qy, qz, respectivamente.
Las velocidades de transferencia de calor por conducción en las superficies
opuestas se expresan como una expansión en series de Taylor donde puedo
omitir los términos de orden superior ya que el residuo, que se refiere a estos
términos, tiende a cero a medida que el orden es mayor. Además las
condiciones de frontera e iniciales no cambian ya que para órdenes superiores
a la segunda derivada son iguales a cero.
dxx
qqq x
xdxx ∂∂
+=+
dyy
qqq y
ydyy ∂∂
+=+
dzz
qqq z
zdzz ∂∂
+=+
Expresado en palabras, las anteriores ecuaciones afirman que el componente i
de la rapidez de transferencia de calor en i+di es igual al valor de este
componente mas la cantidad por la que cambia con respecto a x veces dx.
Para determinar el total de transferencia de calor que ocurre en este volumen
de control se debe también tener en cuenta si dentro de este volumen de
control se genera calor y el cambio en la energía al interior del volumen de
control, todo esto para cumplir con la primera ley de la termodinámica4.
La generación de energía se halla de la siguiente forma:
dxdydzqE g
..
= , donde .
q es la rapidez a la que se genera energía por unidad de
volumen.
3 Un cubo diferencial es un cubo de dimensiones dx, dy y dz, donde cada una de estas dimensiones tiende a cero. 4 La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma.
9
La energía almacenada dentro del volumen de control se halla de la siguiente
forma:
dxdydztT
CE palm∂∂= ρ
.
donde tT
Cp ∂∂ρ es la rapidez de cambio temporal de la
energía sensible5 por unidad de volumen.
Al expresar la ecuación de conservación de energía se tiene lo siguiente:
almsalegenentra EEEE....
=−+ , y sustituyendo por todos lo términos definidos
anteriormente:
dxdydztT
Cqqqdxdydzqqqq pdzzdyydxxzyx ∂∂=−−−+++ +++ ρ
.
dxdydztT
Cdxdydzqdzzq
dyy
qdx
xq
pzyx
∂∂=+
∂∂−
∂∂
−∂
∂− ρ.
, como ya se había
mencionado la rapidez de conducción se evalúa a partir de la Ley de Fourier
tT
kdydzq x ∂∂−= ,
tT
kdxdzq y ∂∂−= ,
tT
kdxdyq z ∂∂−= .
Por todo lo anterior la ecuación de difusión de calor se puede expresar como:
tT
CqzT
kzy
Tk
yxT
kx p ∂
∂=+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂ ρ
.
, esta ecuación podría
simplificarse si decimos que la conductividad térmica es constante en todas las
direcciones y que además no hay generación de calor al interior del volumen de
control:
tT
zT
yT
xT
∂∂
=
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
α1
2
2
2
2
2
2
donde pC
kρ
α = es la difusividad térmica6.
5 Asumiendo que el material no experimenta un cambio de fase. 6 La difusividad térmica mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su capacidad para almacenar energía térmica. Los materiales que poseen á grande responderán rápidamente a cambios en su medio térmico, mientras que los materiales de á pequeña responden más lentamente y tardan más en alcanzar una nueva condición de equilibrio.
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2.1.3 CELDA CALORIMÉTRICA
Una celda calorimétrica (Hot Box), es una máquina que es utilizada para medir
las propiedades térmicas de cualquier elemento que pueda estar en presencia
de transferencia de calor por conducción, por ejemplo una pared, una ventana,
un piso o un techo.
La celda calorimétrica es una “caja” que está dividida en 2 partes, una de ellas
es llamada “caja caliente” y la otra es llamada “caja fría”, se llaman de esta
manera porque una cumple la función de un horno y la otra la función de una
nevera. En la siguiente figura se pueden observar ambas cajas, la caja
“caliente” es la de la
izquierda, y la caja de la
derecha es la caja “fría”.
Estas cajas están
“completamente” aisladas,
es decir que la
transferencia de calor
hacia y desde el interior es
despreciable, así que solo
existe transferencia de
calor entre las cajas, más precisamente solamente debe haber calor que fluya
de la caja caliente a la caja fría.
La caja caliente posee un par de
calentadores, lo que hace que la
temperatura al interior de esta
sea bastante alta, esta
temperatura se controla con
termostatos que son manejados
manualmente por el operario,
esta caja también consta de unos
ventiladores al interior para que
11
el flujo de calor y la temperaturas de este sean lo mas uniformes posibles.
La caja fría, tiene un par de ductos de carga y descarga, estos ductos conectan
la caja con un sistema de refrigeración7 para que el interior de la caja se
mantenga a una temperatura baja. De nuevo esta temperatura es controlada
por un termostato. En el medio de ambas cámaras, se coloca el llamado
“prototipo”, es decir el elemento a ser analizado, ya sea una pared u otra
superficie.
Si las temperaturas al interior de cada cámara son fijadas en un valor conocido
y si además se sabe cuanto calor está generando el calentador al interior de la
cámara caliente8, se puede hallar la conductividad térmica del material del
prototipo de la siguiente manera:
Cabe recordar que xT
kAq x ∆∆= , si se despeja k, obtenemos:
Tx
Aq
k x
∆∆= .
Donde qx es la rapidez de transferencia de Calor en Watios, A es el área
normal a la transferencia de calor, x∆ es el espesor del prototipo, y T∆ es la
diferencias de temperatura entre las superficies del prototipo.
De la misma manera que se puede hallar la conductividad térmica de cualquier
material, se puede analizar el prototipo para encontrar otras propiedades como
la difusividad térmica, la capacidad calorífica entre otras. También se puede
hacer un análisis transitivo del prototipo, en este tipo de análisis se deben
conocer las propiedades del material y lo que interesa es hallar la cantidad de
transferencia de calor a través del prototipo para cada momento de tiempo.
Como las temperaturas de las superficies van cambiando con el tiempo, la
transferencia de calor va ir cambiando hasta estabilizarse en un valor. Este
análisis se lleva a cabo con el propósito de conocer el comportamiento de la
transferencia de calor en un material especifico que está sujeto a cambios de
7 Un sistema de refrigeración que opera de la misma manera al sistema de una nevera convencional. 8 Este calor hay que corregirlo por el calor que puede estar perdiéndose hacia el exterior ya que construir algo perfectamente adiabático es casi imposible.
12
temperaturas, es así como se diseñan los equipos de ventilación y aire
acondicionado en lugares que tienen grandes cambios de temperaturas a
través del año, por ejemplo los países que poseen estaciones, donde en un
verano las temperaturas exteriores pueden llegar a ser del orden de los 40ºC
mientras que en invierno estas pueden bajar hasta los -30ºC e incluso
inferiores.
2.2 PROCESOS DE DIFUSIÓN
Procesos estocásticos los hay de muchos tipos, puede haber procesos que
están definidos en tiempo discreto o en tiempo continuo, también pueden estar
definidos en espacio discretos o continuos. Muchos fenómenos de la
naturaleza pertenecen al tipo de proceso en el cual el tiempo y el espacio son
continuos, por ejemplo el registro de datos metereológicos, sistemas de
comunicación con ruido, el movimiento de partículas, entre otros. Todos estos
son llamados procesos de difusión, entre estos, el proceso más conocido es el
de “Wiener”, el cual es un proceso “Gaussiano” en el que una partícula se
mueve con incrementos estacionarios independientes.
2.2.1 MOVIMIENTO BROWNIANO
En el año de 1827 un botánico Inglés llamado R. Brown estudió el movimiento
de partículas bastante pequeñas suspendidas en el agua, si una persona se
acerca a un recipiente que contenga agua, esta puede parecer no estar en
movimiento, pero esto es solo una ilusión.
Si alguien pudiera acercarse tan cerca de este recipiente como para distinguir
individualmente cada molécula, se podría percibir que cada una de estas
partículas está experimentando un movimiento que no tiene un orden aparente,
este movimiento, al que R. Brown le dejó su nombre, es el llamado movimiento
Browniano.
La primera teoría sobre el movimiento Browniano fue desarrollada por Albert
Einstein en 1905, quien obtuvo el premio Nobel por este trabajo. Einstein
13
desarrolló la representación física del modelo la cual sirvió de punto de partida
para otras personas que desarrollaron la parte matemática del modelo. Más
adelante, un matemático Americano, llamado Norbert Wiener, modeló
matemáticamente este tipo de fenómeno, y es el llamado proceso de “Wiener”.
El movimiento Browniano es un proceso estocástico que modela un movimiento
continuo y aleatorio. Se hace la suposición de que tX representa la posición de
una partícula en el tiempo t. En este caso t tomaría valores reales positivos y
tX podría tomar valores reales en una línea, un plano o en el espacio
dependiendo de cuantas dimensiones se estén trabajando.
Si se supone que 00 =X , la siguiente suposición es que el movimiento es
completamente aleatorio. Ahora se consideran los tiempos “s” y “t” donde s<t.
No se desea decir que las posiciones tX y sX son independientes, pero el
movimiento después de “s”, tX - sX , si es independiente de sX . Esta
suposición se necesita para un finito número de d tiempos: para cada
nn tststs ≤≤≤≤≤≤ ...2211 , las variables aleatorias 11 st XX − ,
22 st XX − , ...,
nn st XX − son independientes.
También se puede decir que la distribución de los movimientos aleatorios no
debe cambiar con el tiempo. Con esto se puede asumir que la distribución de
st XX − depende solo de “t - s”. También se puede asumir, por ahora, que el
proceso no tiene desplazamiento, es decir que el valor esperado de tX es cero
( ( ) 0=tXE ).
Si se supone que tX satisface las anteriores suposiciones, cual sería la
distribución de tX ?. Para resolver este problema se puede observar el caso en
el que t=1. Para cualquier n se puede escribir:
[ ] [ ] [ ]nnnnnnn XXXXXXX /)1(//1/20/11 ... −−++−+−= , en otras palabras, 1X puede
ser escrita como la suma de n variables aleatorias, independiente e
14
idénticamente distribuidas. Si n, es lo suficientemente grande, cada una de las
variables aleatorias seria bastante pequeña es decir que cada una tiende a
cero, esto es una consecuencia de asumir que tX es una función continua que
depende de t.
Por el teorema que dice que la distribución Normal puede ser escrita como la
suma de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, y el
máximo de estas variables tiende a cero, podemos concluir que tX sigue una
distribución Normal.
Ahora definimos un Movimiento Browniano:
Un movimiento Browniano o Proceso de Wiener con varianza 2σ es un proceso
estocástico tX que toma valores reales y satisface las siguientes condiciones:
• 00 =X
• Para cualquier nn tststs ≤≤≤≤≤≤ ...2211 , las variables aleatorias
11 st XX − , ..., nn st XX − son independientes.
• Para cualquier s < t, la variable aleatoria st XX − tiene una distribución
Normal con media 0, y varianza (t-s) 2σ .
• tX es una función continua de t.
Se puede hablar de movimiento Browniano estándar, este es un tipo de
movimiento Browniano en el cual la varianza es 1.
2.2.1.1 Propiedad de Markov y Ecuación de Chapman-Kolmogorov
Sea tX un movimiento Browniano estándar, se puede llamar ΓΓ t a la
información contenida en sX , donde s < t, en otras palabras ΓΓ t es la
información que se puede obtener al observar el movimiento Browniano hasta
justo antes del tiempo t. Esta información contiene el movimiento completo de
una partícula hasta exactamente antes del tiempo t.
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Suponga que s < t, y considere el valor esperado condicional ( )stXE Γ/ . Note
que:
( ) ( ) ( )sstssst XXEXEXE Γ−+Γ=Γ ///
Con Γs se puede calcular sX , entonces el primer término de la ecuación es sX .
Como st XX − es independiente de Γs, el segundo término es igual a
( ) 0=− st XXE . Por lo anterior:
( ) ( )stsst XXEXXE // ==Γ
Esta ecuación muestra la propiedad de Markov del Movimiento Browniano, la
cual dice que para predecir el valor de tX dada toda la información hasta el
tiempo s, solo se necesita el valor del Movimiento Browniano en el tiempo s, es
decir que no se necesita información anterior.
Si la función de densidad de tX para un movimiento Browniano que comienza
en x se denota como ),( yxp t , y como 0XX t − es una variable aleatoria
Normal con media 0 y varianza t, txyt e
tyxp 2/)( 2
2
1),( −−=
π, ∞<<∞− y
Esta función de densidad satisface la ecuación de Chapman-Kolmogorov9.
∫∞
∞−+ = dzyzpzxpyxp tsts ),(),(),( 10
2.2.1.2 Movimiento Browniano En Varias Dimensiones
9 Esta propiedad dice stst XXY −= + es un movimiento Browniano independiente de sX , en otras
palabras tst XZ += en un movimiento Browniano comenzando, aleatoriamente, en el punto sX . 10 La Ecuación de Chapman-Kolmogorov define la probabilidad de que se pase de una posición x a una posición y en s+t unidades de tiempo, pasando por la posición z.
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Si se supone que dtt XX ,...,1 son un conjunto de movimientos Brownianos
unidimensionales estándar. Se puede decir que ( )21 ,..., ttt XXX = , es un vector
de procesos estocásticos d-dimensional.
En otras palabras un movimiento Browniano d-dimensional es un proceso en el
cual cada componente experimenta un movimiento Browniano independiente
de otra. Por todo lo que se ha dicho, tX se puede definir de la siguiente
manera:
00 =X
Para cualquier nn tststs ≤≤≤≤≤≤ ...2211 , los vectores 11 st XX − , ...,
nn st XX − son independientes.
Para cualquier s < t, la variable aleatoria st XX − tiene una distribución Normal
conjunta con media 0, y matriz de varianza y covarianza (t-s) 2σ I.
( )
=
= −−− rx
drxrx
d er
er
er
xxf d 2/
2/2/2/
1
2221
2
1
2
1...
2
1),...,(
πππ
donde r = t – s.
tX es una función continua de t.
Como en el caso de un movimiento Browniano unidimensional, d
t Ryxyxp ∈,),,( , denota la función de densidad de tX asumiendo que xX =0
txy
dt et
yxp 2/
2/
2
)2(1
),( −−=π
, al igual que en el caso unidimensional, esta función
de densidad de probabilidad también satisface la ecuación de Chapman-
Kolmogorov.
∫=+dR
dtsts dzdzyzpzxpyxp ...),(),(),( 1
El movimiento Browniano está relacionado con la teoría de difusión. Suponga
que un gran número de partículas están distribuidas en el espacio dR siguiendo
17
una función de densidad ( )yf . Si ( )ytf , denota la función de densidad de las
partículas en el tiempo t, y si se asume que las partículas realizan un
movimiento Browniano, cada una independientemente de la otra, se puede
escribir la función de densidad de las partículas en el tiempo t. Si una partícula
comienza su movimiento en la posición x, la función de densidad de
probabilidad es:
∫=dR dt dxdxyxpxfytf ...),()(),( 1 , si suponemos que el movimiento Browniano es
simétrico es decir que que ),(),( xypyxp tt = , entonces la ecuación queda:
∫=dR dt dxdxxypxfytf ...),()(),( 1
y si se observa esta ecuación, es el valor esperado de )( tXf asumiendo que
yX o = , así que se puede escribir como )).((),( ty XfEytf = 11
Ahora se busca una ecuación diferencial que satisfaga ),( xtf .
Se considera tf
∂∂
, y para que sea sencillo se define que t = 0 y d = 1. Si f es
una función “bonita”, se podría hacer una aproximación de Taylor alrededor de
x de manera sencilla:
))(())(´´(21
))(´()()( 22 xyOxyxfxyxfxfyf −+−+−+= 12
Con esto se podría escribir
[ ] [ ][ ]+−→=−→=∂∂
= xXExft
tXfXfEt
ttf
tx
tx
t )´(1
)0lim())())((1
)0lim( 00
[ ][ ] ( )[ ][ ]))(()´´(21
)´(1
)0lim( 22 xXOxXExfxXExft
t ttx
tx −+−+−→
Ya se sabe que [ ] 0=− xXE tx y [ ] tXVarxXE tt
x ==− )()( 2 , y como 2)( xX t − es
de orden t, el termino t-1 O(.) tiende a 0. Por lo tanto se tiene que
11 La notación yE significa valor esperado de tX asumiendo que yX =0 12 Este último término denota el término del error, este error tiende a cero, a medida que y tiende a x.
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)´´(21
0 xftf
t =∂∂
= à 2
2
21
xf
tf
∂∂=
∂∂
De la misma manera se puede obtener esta ecuación para d dimensiones:
ftf ∆=
∂∂
21
.
Si se observa esta ecuación, y se compara con la ecuación de calor antes
descrita, se puede ver que la ecuación de calor tiene esta forma, por lo cual se
podría decir, que la temperatura, en la ecuación de difusión de calor, sigue un
movimiento Browniano en varias dimensiones.
2.3 TEORÍA AUTÓMATA CELULAR Un modelo autómata celular es un modelo dinámico que tiene muchos grados
de libertad, todos ellos son discretos ya que se mueven en un espacio discreto
(cada uno de cuyos elementos se denomina célula), en un tiempo discreto y
con un número de estados discretos. Tiene un número definido de entradas y
unas pocas reglas que definen su estado durante el siguiente período discreto
de tiempo, en función de estas entradas. Las reglas se actualizan
sincrónicamente. Los autómatas celulares no necesariamente sufren evolución
hacia el equilibrio, pero a veces capturan las características esenciales de la
termodinámica y de la hidrodinámica. Se puede esperar de ellos una conducta
rica, con una dinámica reproducible y trazable si se parte de las mismas
condiciones iniciales. Cualquier pequeño cambio en ellas puede llevar a una
evolución muy diferente. Es imposible predecir qué resulta del cambio, incluso
si el sistema se detendrá o seguirá indefinidamente. Hay que probar y ver antes
de contestar. En ciertas ocasiones algunos de estos sistemas se auto
organizan, lo cual es típico de los sistemas complejos.
Los autómatas celulares tienen la capacidad de representar comportamientos
complejos a partir de una dinámica sencilla. Debido a esto, desde su origen se
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les ha utilizado como elementos de la computación para la modelación de
fenómenos biológicos y físicos. Además, los autómatas celulares son
estudiados como objetos matemáticos debido al interés intrínseco relativo a los
aspectos formales de su comportamiento.
Cada autómata consta de un número determinado de células, donde cada una
de estas está representada por una cuadrícula bi-dimensional. El valor del
estado en que se encuentra cada célula del arreglo localizada en una posición
(i,j) (donde i es la columna y j la fila) en un tiempo t estará determinado por los
valores de los estados en que se encuentran las células localizadas en las
posiciones (i-1,j), (i+1,j), (i,j+1) e (i,j-1) y el valor del estado en que se encuentra
la célula central localizada en la posición (i,j) en el tiempo (t-1); cada célula del
arreglo en algún momento será una célula central, la cual junto con las células
ubicadas arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha (ortogonalmente) de la
misma forman lo que se conoce como vecindad “Von Neumann” (Ver figura 1).
Las interacciones locales de las vecindades en un tiempo t determinan el
estado global del arreglo (el cual es actualizado sincrónicamente) en el tiempo
t+1.
Figura 1: Vecindad Von Neumann.
La anterior figura es llamada la vencindad de Von-Neumann, se pueden ver
claramente cada una de las celdas del autómata y el por qué es válido pensar
que una celda en el tiempo t+1 depende de las celdas a su alrededor y de ella
misma en el tiempo t.
20
Como se dijo, un autómata celular puede reproducir comportamientos físicos,
en este caso se modelará la conducción de calor en estado transitivo en una
pared.
21
3. ANÁLISIS Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Para discretizar el problema, al nivel de espacio y al nivel de tiempo y poder programarlo en un Software, hay que ayudarse de la ecuación diferencial de difusión de calor y se aproxima utilizando la definición de la derivada. Para el modelo se hace el supuesto que el calor dentro de la pared solo fluirá en las direcciones x y y, en z no hay transferencia de calor, esto para simplificar el problema, ya que gráficamente es muy difícil observar las tres dimensiones. Este supuesto no es tan fuerte, ya que muchos “softwares” que pronostican este tipo de cosas, son unidimensionales. La siguiente es la ecuación transiente de energía, es la misma descrita anteriormente en el marco teórico pero esta es solo en dos dimensiones luego del supuesto que se hizo.
tT
yT
xT
∂∂
=
∂∂
+
∂∂
α1
2
2
2
2
Para aproximar la segunda derivada con respecto a “x” y a “y”, se utiliza la aproximación de las “diferencias centrales”.
( )2
,,1,1
,2
2 2
x
TTT
xT p
nmp
nmp
nm
nm ∆
++≈
∂∂ −+
( )2
,1,1,
,2
2 2
y
TTT
yT p
nmp
nmp
nm
nm ∆
++≈
∂∂ −+
Los subíndices m y n, son utilizados para denotar la distancia en “x” y “y” desde el origen, y el superíndice p, hace relación al tiempo. Para aproximar la derivada con respecto al tiempo hacemos lo siguiente:
t
TT
tT p
nmp
nm
nm ∆−
≈∂∂ +
,1
,
,
Es decir que la ecuación de calor, para dos dimensiones, queda aproximada de la siguiente manera:
( ) ( )2
,1,1,
2
,,1,1,1
, 221
y
TTT
x
TTT
t
TT pnm
pnm
pnm
pnm
pnm
pnm
pnm
pnm
∆
+++
∆
++=
∆− −+−+
+
α
Si se asume que yx ∆=∆ , entonces:
pnm
pnm
pnm
pnm
pnm
pnm TFTTTTFT ,01,1,,1,10
1, )41()( −++++= −+−++ , donde
( )20x
tF
∆∆= α
22
Para que el modelo sea completamente estable existe una condición:
( )( ) 4
1041
200 ≤∆
∆=→≥−x
tFF
α, si esta condición no se cumple, el modelo se
desestabilizará y nunca convergerá a una respuesta.
Como se puede ver, para poder modelar la anterior situación, hay que
discretizar tanto el espacio como el tiempo. La pared hay que verla como un
autómata celular donde cada celda tendrá una temperatura diferente, y la
temperatura de esta celda i en el tiempo t+1, dependerá de las temperaturas de
las celdas que la rodean en el tiempo t.
Para llevar a cabo la modelación, se programó el anterior procedimiento en un
software llamado “Mathemática”, este es un software que a diferencia de
muchos otros no es numérico sino simbólico.
Este Software permite visualizar gráficamente el cambio de temperatura en
cada celda del autómata a medida que el tiempo va pasando.
Para Obtener resultados se debe primero conocer los siguientes datos de
entrada para el modelo:
• Las dimensiones de la pared a analizar
• Las propiedades de la pared. Conductividad térmica, Calor
específico y Densidad.
• Condiciones de frontera, es decir las temperaturas de los
alrededores.
Con los anteriores datos y siguiendo el procedimiento antes descrito se puede
llegar a conocer la temperatura de cada punto del autómata y la transferencia
de calor para cada tiempo antes de que el sistema se estabilice por completo.
El código, en “Mathemática”, de la implementación se encuentra anexado al
final.
23
4. RESULTADOS Para comprobar si el modelo tiene validez, y si es eficiente para utilizarlo al
analizar cualquier tipo de prototipo, se compararon los resultados obtenidos
con resultados experimentales hallados con una celda calorimétrica que fue
construida en el laboratorio de Ingeniería Mecánica de la Universidad de los
Andes.
En el laboratorio se construyó una celda calorimétrica que tiene dimensiones
para analizar cualquier prototipo de 0.6X1.0 metros, la caja caliente de la celda
calorimétrica puede ser observada en la siguiente figura.
En la parte superior de la caja se alcanzan a observar los termostatos que
controlan la temperatura interior de la caja, y al interior se ve uno de los
calentadores y uno de los ventiladores que hacen que el flujo sea uniforme.
24
El prototipo que se utilizó en el laboratorio, fue una pared de yeso con las
mismas dimensiones de alto y ancho de la caja, y un espesor de 20 cm. La
temperatura de la caja fría se fijó en un valor de -10°C y la temperatura de la
caja caliente se fijó en 40°C. Inicialmente todo el prototipo estaba a una
temperatura ambiente de 22°C la misma temperatura del laboratorio. El
prototipo utilizado tiene las siguientes propiedades:
• Conductividad térmica (K) = 0.17 W/ m °K
• Densidad (ñ)= 800 kg/m3
• Calor Especifico (Cp) = 1085 J/ kg °K
Esto da como resultado una Difusividad térmica (á) de 1.95853X10-7 m2/s.
El prototipo se colocó en medio de las dos cajas, y una vez las temperaturas
frías y calientes estaban estables, se apagaron tanto los calentadores como el
sistema de refrigeración para así empezar a tomar datos de temperaturas, en
estado transitivo, en ambas caras del prototipo cada 10 segundos hasta que el
sistema se volviera a estabilizar a una temperatura ambiente, es decir por
espacio de mas o menos 2 horas. Estas temperaturas fueron guardadas a un
computador y fueron medidas con ayuda de unas termocuplas13.
Para cada espacio de tiempo se tomaron las temperaturas promedio de cada
una de las caras del prototipo, y luego aplicando la siguiente ecuación se halló
la transferencia de calor en para cada tiempo: xT
kAq x ∆∆= .
Luego de tener la transferencia promedio para cada tiempo se procedió a
graficarla en una grafica de Calor contra tiempo. Los resultados fueron los
siguientes:
13 Una termocupla es simplemente dos alambres de distinto material unidos en un extremo . Al aplicar temperatura en la unión de los metales se genera un voltaje muy pequeño, del orden de los milivoltios el cual aumenta proporcionalmente con la temperatura.
25
Transferencia de Calor en estado transitivo
0
5
10
15
20
25
30
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Tiempo (s)
Cal
or (
W)
Si observamos esta
grafica nos podemos
dar cuenta que a
medida que pasa el
tiempo inicial la
transferencia de calor
va disminuyendo,
empieza a disminuir de
una forma bastante
rápida y luego esa disminución empieza a decrecer hasta que la transferencia
de calor se estabiliza en un valor rela tivamente cercano a cero.
Todo esto es bastante normal ya que a medida que pasa el tiempo, la
diferencias de temperaturas ÄT va decreciendo, haciendo que el valor de la
transferencia de calor también lo haga. Por otro lado, apenas el sistema se
desconecta de las fuentes de calor y frío, las temperaturas empiezan a cambiar
drásticamente y a medida que pasa el tiempo los cambios de temperatura no
son tan fuertes, además a medida que el sistema empieza a estabilizarse, las
temperaturas de las dos caras del prototipo tienden a ser iguales haciendo que
la transferencia de calor sea casi nula.
Luego de tener los datos experimentales se procedió a correr el modelo. Los
datos de entrada para el modelo fueron los siguientes:
• Conductividad térmica (K) = 0.17 W/ m °K
• Densidad (ñ)= 800 kg/m3
• Calor Especifico (Cp) = 1085 J/ kg °K
• Altura (h)= 1.0 m
• Ancho(d)=0.6 m.
• Espesor: 0.2 m.
• Temperatura Fría (tf)= -10ºC
• Temperatura Caliente (tc)= 40ºC
26
• Las temperaturas superior e inferior, se asumieron como la temperatura
ambiente ya que en estos sitios la celda calorimétrica esta aislada en
estos sitios del prototipo.
• Cada celda del autómata celular tendrá dimensiones de 0.005 m. X
0.005 m.
• El Ät (Cada espacio de tiempo) fue de 10 segundos al igual que los
datos tomados experimentalmente.
• Se corrió la simulación por dos horas, el mismo tiempo que hubo para
toma de datos experimentales.
Luego de introducir todos estos
datos de entrada se procedió a
correr el modelo. Primero que
todo se puede ver el autómata en
su posición inicial donde la
temperatura de todo el prototipo
es la temperatura ambiente y uno
de sus lados está en contacto con
la temperatura fría (lado negro en
la figura), y el otro lado está en
contacto con la temperatura
caliente (lado blanco).
Los ejes de esta figura representan el número de celda del autómata, es decir
que de altura existen 200 celdas y en espesor hay 40 celdas.
A medida que el tiempo va pasando, el autómata va cambiando ya que las
temperaturas empiezan a cambiar, el modelo me muestra una figura para cada
tiempo, la siguiente es una figura casi a la hora de simulación:
0 10 20 30 40
0
50
100
150
200
27
Si se observa esta figura, se puede
ver que las temperaturas al interior
de la pared ya no son todas igual a la
temperatura ambiente y que por un
lado a empezado a ganar calor
obteniéndolo del lado caliente y por
el otro ha empezado a perder calor
cediéndolo al lado frío.
Este es el autómata en su estado
final, donde la temperatura de ambos
lados es prácticamente la misma,
existe una diferencia de un solo
grado, la diferencia grande en los
colores es porque el Software le
coloca el color blanco a la
temperatura mas alta y el color negro
a la temperatura más baja sin
importar que las diferencias sean
mínimas.
Luego de haber podido observar la simulación de este autómata se procede a
obtener una grafica de la transferencia de calor contra el tiempo y a compararla
con aquella hallada experimentalmente.
0 10 20 30 40
0
50
100
150
200
0 10 20 30 40
0
50
100
150
200
28
Si se observa la grafica de la
izquierda, y la comparamos con la
grafica hallada experimentalmente,
se podría decir que se parecen y que
este modelo es una buena
aproximación a la realidad, la
diferencia entre estas dos graficas es
que la grafica hallada con el modelo resulta en una función perfecta ya que es
hallada con un modelo completamente teórico que no tiene en cuenta ninguna
fuga ni entrada de calor, y cuando se hallaron los datos experimentales pudo
haber ocurrido cualquiera de estas cosas.
Como complemento, en la implementación, se tiene en cuenta no solo un tipo
de pared sino 5 tipos distintos de materiales, y los cambios de temperaturas
durante el periodo de dos horas pueden ser distintos dependiendo de lo que se
quiera evaluar.
100 200 300 400 500 600 700
1.5
2
2.5
3
3.5
4
29
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Los datos experimentales y teóricos fueron muy parecidos, el error del 3.13%
en promedio muestra que los valores están muy cercanos, la diferencia radica
solo en la grafica hallada experimentalmente muestra la realidad mucho más
cercana, mientras la grafica hallada teóricamente simplifica el sistema a un
sistema 100% eficiente donde no hay perdidas ni entradas de calor, esto
supondría una Celda calorimétrica completamente adiabática, lo cual es casi
imposible.
Los modelos de computador que son utilizados para predecir el
comportamiento térmico de una pared, como el modelo creado en este
proyecto, son bastante buenos para una primera aproximación, además existe
un ahorro económico bastante grande, ya que si no se tiene muy en claro el
material a utilizar, y las pruebas se hacen para realizar esta escogencia, sería
bastante costoso hacer pruebas experimentales con cada uno de los materiales
posibles, en cambio utilizando este modelo, se podrían por lo menos reducir las
posibilidades analizando solo aquellos materiales con los que obtenga unos
resultados deseables al utilizar el modelo.
Este modelo funciona como una buena aproximación cuando el prototipo es
una pared simple, es decir que el material de esta es uno solo 14. Para
prototipos compuestos, paredes que no son de un solo material, sino
compuestas por capas de distintos materiales15, también se puede utili zar el
modelo para aproximar la transferencia de calor, ya que existen formulas para
hallar las propiedades esperadas de este tipo de paredes.
El problema es cuando la pared no tiene una densidad uniforme, en este caso
el modelo podría no ser de gran uso ya que este modelo asume que la
densidad del prototipo es la misma para cualquier punto de la pared. En
14 No existen “sanduches” de materiales (Un material en medio de otros dos o cosas similares). 15 Paredes normalmente utilizadas para aislamiento térmico, incluso se puede utilizar una capa de aire para que a conducción sea menor.
30
muchos casos hay paredes que se fabrican con una densidad no uniforme, en
este caso seria mucho mejor hacer pruebas experimentales y con prototipos
que pudieran alcanzar las dimensiones reales para que los resultados sean lo
más cercano a los resultados reales.
31
6. BIBLIOGRAFÍA
1. BELTRÁN PULIDO, Rafael G., y CARRANZA SÁNCHEZ, Yamid A.
“Transferencia de Calor de Estado Inestable en Forros para Frenos”.
2. BURCH, D. M., ZARR, R.R., and LICITRA, B.A. “A comparison of two
test Methods for Determining Transfer Function Coefficients for a Wall
Using a Calibrated Hot Box”.
3. CARSLAW, H.S., y JAEGER, J. C. “Conduction of Heat in Solids”.
Oxford University Press. 1959.
4. GERALD, Curtis., WHEATLEY, Patrick. “Análisis Numérico con
Aplicaciones”. Prentice may, Sexta Edición.
5. GRIMMET, Geoffrey; STIRZAKER, David. “Probability and Random
Processes”. Oxford University Press. Third Edition. 2001.
6. INCROPERA, Frank, P., y DE WITT, David, P. “Fundamentos de
Transferencia de Calor”. Prentice Hall, Cuarta Edición.
7. KARLIN, Samuel; TAYLOR, Howard. “A first Course in Stochastic
Processes”. Academic Press. Second Edition. 1975.
8. KARLIN, Samuel; TAYLOR, Howard. “A Second Course in Stochastic
Processes”. Academic Press. 1975.
9. KRZYSZTOF, Burdzy; CHEN, Zhen-Qing; and SYLVESTER, John. “The
Heat Equation and Reflected Brownian Motion in Time-Dependent
Domain”.
10. LAWLER, Gregory. “Introduction to Stochastic Processes”. Chapman &
Hall Probability Series. 1995
32
11. LENIS YÁÑEZ, David. “Análisis de Transferencia de Calor Transiente en
Paredes” Bogotá D.C., 2004. Proyecto de Grado (Ingeniero Mecánico).
Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de
Ingeniería Mecánica.
12. LIDA, Y., y SHIGETA, H. “Measurement of Thermophysical Properties of
Solids by Arbitrary Heating”. Bulletin of the ASME, Vol 24, No. 197,
November 1981.
13. WOLFRAM, Sthephen. “A New Kind of Science”. Wolfram Media, Inc.
2002.
33
7. ANEXOS
(Lo escrito entre paréntesis no hace parte del código) ECUACION DE DIFUSION Entre las dimensiones del volumen a analizar h=altura, l=grueso de la pared, d=ancho. h=1.0; l=0.2; d=0.6; (Los anteriores datos los entra el usuario con las dimensiones de la pared a analizar) Entre los deltas de distancia y tiempo, tambien el tiempo máximo de corrida. deltax=0.005; deltat=10; tmax=7200; (El deltax es la dimensión de una celda del autómata, deltat es, en segundos, cada cuanto tiempo se va a hacer una medición, y el tmax representa el tiempo total por el cual se va a hacer mediciones) Entre que tipo de material quiere analizar: 1. Yeso 2. Ladrillo 3. Vidrio 4. Madera 5. Acero material= 4; (Aquí el usuario entra el tipo de material a analizar) If[material�1, K=0.17;Ro=800;Cp=1085, If[material�2, K=0.72;Ro=1920;Cp=835, If[material�3, K=0.058;Ro=145;Cp=1000, If[material�4, K=0.16;Ro=720;Cp=1255, K=80.2; Ro=7870;Cp=447]] ]]; (En estos condicionales se le asigna el valor a las variables de conductividad térmica, densidad y calor específico, dependiendo del material que el usuario quiera analizar). alfa=K/(Ro*Cp) f0=(alfa*deltat)/(deltax^2)
34
(Luego de tener las propiedades del material a analizar, se halla el valor de la difusividad térmica y el valor del f0, valores que utilizaran en la implementación). El anterior número (f0) debe ser menor a 0.25 para asegurar estabilidad en el modelo. Entre la ciudad que quiere modelar 1. Ciudad con cambios drásticos 2. Ciudad con cambios suaves 3. Ciudad casi constante 4. Ciudad Constante ciudad=1; (En esta línea el usuario entra el tipo de ciudad que quiere modelar, del tipo de ciudad depende el valor de la temperatura ambiente a través del tiempo). Entre las condiciones de frontera, temperaturas de los alrededores, las temperaturas pueden ir en °C o °K. tamb=22; tf=-10; tc=40; tarr=22; tabaj=22; (Las anteriores temeparturas las tiene que entrar el usuario, son las temperaturas de los alrededores del sistema) PROGRAMA T1=Table[tamb,{h/deltax},{l/deltax}]; T2=Table[tamb,{h/deltax},{l/deltax}]; (Con las anteriores líneas lleno las tablas T1 y T2, matrices de temperaturas, con la temperatura ambiente). Do[T1[[i,1]]=tc,{i,1,h/deltax}]; Do[T1[[i,l/deltax]]=tf,{i,1,h/deltax}]; Do[T1[[1,j]]=tarr,{j,1,l/deltax}]; Do[T1[[h/deltax,j]]=tabaj,{j,1,l/deltax}]; (Lleno la matriz T1 con las condiciones de frontera, es decir las temperaturas en los extremos de la matriz). T2=T1; (A la matriz T2 le asigno los valores de la matriz T1, esta matriz T2 hace las veces de una varibale intermedia). Q={}; (Se crea el vector Q, que en este momento no tiene una dimensión definida).
35
ListDensityPlot[T2,ColorFunction→→GrayLevel,Mesh→→False] (Muestro el autómata en su fase incial, con una función de colores grises, el valor máximo lo muestra blanco y el mínimo lo muestra negro). For[k=1,k<tmax/deltat, k++, (este es un ciclo donde se van a hacer ciertas operaciones cada intervalo deltat de tiempo, hasta un tiempo maximo de corrida) If[ciudad�1 && 0�k&&k�900, tamb=-10, If[ciudad�1 && 900�k&&k�1800, tamb=5, If[ciudad�1 && 1800�k&&k�2700, tamb=18, If[ciudad�1 && 2700�k&&k�3600, tamb=25, If[ciudad�1 && 3600�k&&k�4500, tamb=16, If[ciudad�1 && 4500�k&&k�5400, tamb=8, If[ciudad�1 && 5400�k&&k�6300, tamb=2, If[ciudad�1 && 6300�k&&k�7200, tamb=-4, If[ciudad�1 && 0�k&&k�900, tamb=5, If[ciudad�1 && 900�k&&k�1800, tamb=8, If[ciudad�1 && 1800�k&&k�2700, tamb=13, If[ciudad�1 && 2700�k&&k�3600, tamb=19, If[ciudad�1 && 3600�k&&k�4500, tamb=21, If[ciudad�1 && 5400�k&&k�6300, tamb=10, If[ciudad�1 && 6300�k&&k�7200, tamb=6, If[ciudad�1 && 0�k&&k�900, tamb=18, If[ciudad�1 && 900�k&&k�1800, tamb=20, If[ciudad�1 && 1800�k&&k�2700,tamb=22, If[ciudad�1 && 2700�k&&k�3600, tamb=21, If[ciudad�1 && 3600�k&&k�4500, tamb=19, If[ciudad�1 && 4500�k&&k�5400, tamb=16, If[ciudad�1 && 5400�k&&k�6300, tamb=18, If[ciudad�1 && 6300�k&&k�7200, tamb=20,tamb= 22 ]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]; (En estos condicionales se le asigna el valor de la temperatura ambiente a la respectiva variante, de acuerdo al tipo de ciudad que el usuario quiera analizar) dato=((K*h*d*(T1[[(h/deltax)/2,1]]-T1[[(h/deltax)/2,l/deltax]]))/l); (Cada intervalo deltat, hallo el valor de la variable dato, esta variable se halla con la anterior fórmula y es la transferencia de calor en cada instante de tiempo). ListDensityPlot[T2,ColorFunction→→GrayLevel,Mesh→→False]; (Para cada instante de tiempo se muestra el autómata gráficamente con la escala de colores de los grises). Q=Append[Q,dato]; (Despues de hallar el valor de la variable dato, en cada iteración, adjunto esta a una nueva casilla del vector Q). Do[ If[j�1&&i�1&&i�h/deltax,
36
T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i-1,j]]+T1[[i,j+1]]+tamb), If[j�l/deltax&&i�1&&i�h/deltax, T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i-1,j]]+T1[[i,j-1]]+tamb), If[i�1&&j�1&&j�l/deltax, T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i,j-1]]+T1[[i,j+1]]+tamb), If[i�h/deltax&&j�1&&j�l/deltax, T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i-1,j]]+T1[[i,j+1]]+T1[[i,j-1]]+tamb), If[j�1&&i�1, T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i,j+1]]+2*tamb), If[j�1&&i�h/deltax, T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i-1,j]]+T1[[i,j+1]]+2*tamb), If[i�1&&j�l/deltax, T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i,j-1]]+2*tamb), If[i�h/deltax&&j�l/deltax, T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i-1,j]]+T1[[i,j-1]]+2*tamb),T2[[i,j]]=(T1[[i,j]]*(1-4*f0))+f0*(T1[[i+1,j]]+T1[[i-1,j]]+T1[[i,j+1]]+T1[[i,j-1]])]]]]]]]], (El codigo anterior me muestra varios condicionales para las reglas sobre las uales fluye la temperatura a través del tiempo, la razon por la cual hay mas de un solo condicional es que para los puntos extremos y las esquinas las condiciones son diferentes que para un punto al interior del autómata). {i,1,h/deltax},{j,1,l/deltax}]; (Con esto se dice desde y hasta donde están definidos los valores de i y de j para las anteriores iteraciones) T1=T2]; (Cada intervalo de tiempo actualizo la matriz T1 aginándole el valor de la matriz T2, para que en la siguiente iteración, las temperaturas de T2 dependan de las temperaturas de T1). T2//MatrixForm (Con esto puedo mostrar la temperatura en cada punto de la pared, es decir que me muestra una matriz con la temperatura en cada célula del autómata). ListPlot[Q,PlotJoined→True] (Con esto, Mathematica me muestra una grafica de los valores del vector Q contra el tiempo, el cual es un vector que posee en cada una de sus posiciones, el valor de la transferencia de calor, es decir la transferencia de calor en cada instante que se tome una medición).