componentes simetricas

Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Componentes simétricas

Página 1 de 39 – Versión del 29/03/04

&RPSRQHQWHV�6LPpWULFDV�� ,QWURGXFFLyQEste método fue desarrollado en 1918 por D. L. Fortescue en “ Método de lascoordenadas simétricas”, y se aplica a la resolución de redes polifásicas, para solucionesanalíticas o analizadores de redes. Sirve para cualquier sistema polifásico desequilibrado:en el cual n fasores relacionados entre sí pueden descomponerse en n sistemas devectores equilibrados (componentes simétricos).

En un sistema trifásico que esta normalmente balanceado, las condicionesdesbalanceadas de una falla ocasionan, por lo general, que haya corrientes y tensionesdesbalanceados en cada una de las tres fases. Si las corrientes y tensiones estánrelacionados por impedancias constantes, se dice que el sistema es lineal y se puedeaplicar el principio de superposición . La respuesta en tensión del sistema lineal a lascorrientes desbalanceadas se puede determinar al considerar la respuesta separada delos elementos individuales a las componentes simétricas de las corrientes. Los elementosde interés del sistema son las máquinas, transformadores, líneas de transmisión y cargasconectadas tanto en estrella como en triángulo.

Básicamente el método consiste en determinar las componentes simétricas de lascorrientes en la falla, y luego encontrar las corrientes y tensiones en diversos puntos delsistema. Es sencillo y permite predecir con gran exactitud el comportamiento del sistema.Su aplicación más importante es el cálculo de fallas desbalanceadas en sistemastrifásicos simétricos, en condiciones de régimen permanente, aunque con una sola fallasimultánea por vez. En caso de haber varias fallas la solución puede ser muy difícil oimposible. En tales casos son preferibles los métodos generales, con variables de fase,aplicando los métodos de mallas o nodos.

Esta transformación puede interpretarse como una aplicación particular de las ecuacionesde redes en formulación impedancia (o admitancia).

Se trata de una transformación de variables, de la misma forma que en el método demallas se trabaja con un juego de variable nuevas i’ (corrientes de malla) para facilitar laresolución de las variables primitivas i (corrientes de las ramas). Si llamamos C a lamatriz de transformación, queda:

L&L ¼=’Normalmente los “circuitos de secuencia” son simples, se podrán expresar en formulaciónimpedancia (a veces admitancia) y a lo sumo habrá que aplicar el teorema de Thevenin oel de Norton.

�� 'HILQLFLRQHVDe acuerdo con el teorema de Fortescue, tres fasores desbalanceados de un sistematrifásico se pueden descomponer en tres sistemas balanceados de fasores. Los conjuntosbalanceados de componente son:



1)Componentes de secuencia positiva que consisten en tres fasores de igual magnituddesfasados uno de otro por una fase de 120º y que tienen la misma secuencia de faseque las fases originales.2)Componentes de secuencia negativa que consiste en tres fasores iguales en magnitud,desplazados en fase uno de otro en 120º y que tienen una secuencia de fase contraria alas fases originales.3)Componentes de secuencia cero (homopolares) que consisten en tres fasores igualesen magnitud y con un desplazamiento de fase cero uno de otro.

Se acostumbra designar a las tres fases de un sistema con A, B, C de modo que lasecuencia directa sea ABC.Trabajando con fasores, la transformación de Fortescue clásica es:

Figura N° 1

( )( )( ) ""

).(sec31

).(sec31

).(sec31

.

2

2

0

$IDVHODDUHVSHFWR

QHJDWLYD,QYHUVD8D8D88SRVLWLYD'LUHFWD8D8D88FHUR+RPRSRODU8888

6LPpWULFDV&RPS��

��

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ÔÔÔã

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á

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++¼=Ã

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ÔÓÔÒÑ

++=++=++=++=

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-+-+-+-+

-+-+

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$$$$

8888D8D888888D8D88

8888888

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&&&&&&&

020

020

00

Diagrama fasorial detensiones a neutro enun sistema trifásico

Operador a= 1 ej 120º

UA

a2

a

1

UA

a2

aUC

UB



matricialmente:

[ ] [ ] [ ]8V8 && 1’ -=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î-+

&%$

888

DDDD

888

&

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&

&

&

2

2

0

11

111

31

ó [ ] [ ] [ ]��8V8 && 10 � = [1]

esta expresión es la transformación de Fortescue inversa.

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î�

888

DDDD

888

��

&

&

&

&

&

& 0

2

2

11

111

ó [ ] [ ] [ ]��¼= 08V8 �� &&ó [ ] [ ] [ ]’8V8 = [2]

La última es la transformación de Fortescue directa. Se comprueba que s-1 es inversa des, en el desarrollo.

Lo hecho corresponde a la descomposición de un sistema asimétrico en tres sistemassimétricos, de los cuales sólo es necesario definir las componentes de una sola fase (fasede referencia, fase A), para luego hallar las otras componentes.

Como :

0=Ê �� 8

en un sistema trifásico, siempre se cumple Ulinea 0 =0, cualquiera que sea el desequilibrio.

Las corrientes de una determinada secuencia solamente dan lugar a caídas de tensión dela misma secuencia en circuitos conectados ya sea en estrella o triángulo conimpedancias simétricas en cada fase. Este resultado (el más importante) permite dibujartres circuitos de secuencia monofásicos, que considerados de manera simultánea,contienen la misma información que el circuito original.

Las tensiones en los circuitos de secuencia positiva y negativa se pueden considerarcomo medidos respecto a la tierra o al neutro.

Puede verse un ejemplo de un sistema completo en la Figura N° 3.

variables nuevas

variables primitivas



Figura N° 2:�Terna de corrientes asimétricas (Ia, Ib, Ic) descompuesta en componentes simétricas(tres fasores se transforman en nueve)

Si se utiliza la transformación clásica de Fortescue, como las variables nuevas sólocorresponden a una fase, la potencia resultará un tercio de la real. Existen otrastransformaciones alternativas que permiten obtener la potencia real a partir de lasvariables nuevas en forma directa. Se desarrolla este tema más adelante.

�� 9DORUHV�EDVHLas líneas de transmisión de potencia se operan a niveles en los que el kV es la unidadmás conveniente para expresar sus tensiones. Debido a que se transmite una grancantidad de potencia, los términos comunes son los kilowatts o megawatts y loskilovoltamperes o megavoltamperes. Sin embargo, esas cantidades al igual que losamperes y los ohms, se expresan frecuentemente en por ciento o en por unidad de unvalor base o de referencia especificado para cada una. Por ejemplo, si se selecciona unabase de tensión de 120 KV, las tensiones de 108, 120 y 126 kV equivaldrán a 0.90, 1.00,1.05 en por unidad o a 90, 100 y 105% respectivamente.

Ia

Ic

Ib

I+a

I+c

I+b

I-a

I-b

I-c

I0a

I0b

I0c

I+aI-a I0a



El valor en por unidad de cualquier cantidad se define como la relación de la cantidad asu base y se expresa como un decimal. La relación en por ciento es 100 veces el valor enpor unidad.

La tensión, la corriente, los kilovoltamperes y la impedancia están relacionados de talmanera que la selección de los valores base para cualquiera dos de ellos determina labase de las dos restantes. Si se especifican los valores de la corriente y de la tensión, sepueden determinar las bases de impedancias y de kilovoltamperes. La impedancia basees aquella que tiene una caída de tensión igual a la del tensión base, cuando la corrienteque fluye a través de ella es igual a la del valor base de corriente.

Si se trata de máquinas eléctricas, normalmente se definen SB y UB, iguales a los [MVA] y[kV] nominales de la máquina. Resultan así los otros valores base:

8

6, ¼=3

HWF68

88

,8= !

!!!

!!! ,

3/ 2=¼=

Son valores de referencia para magnitudes de igual naturaleza. Por ejemplo, unaimpedancia Z puede expresarse como:

[ ] [ ] [ ] ]1/[..]1/[ RXS=\==FRQ==R= "" ==W===

Todas las máquinas tienen valores “por unidad” parecidos. Con las cantidades “porunidad” se puede operar como si fueran magnitudes físicas.

�� ,QIOXHQFLD�GH�OD�LPSHGDQFLD�GH�QHXWURSi se introduce una impedancia = # entre el neutro y la tierra de una carga trifásicaconectada en estrella entonces la suma de las corrientes de línea es igual a la corriente Inen la trayectoria de retorno a través del neutro. Esto es,

In = IA + IB + IC

si se expresan las corrientes de línea desbalanceadas en términos de sus componentessimétricas, se obtiene:

In = (IA0 + IA+ + IA-) + (IB0 + IB+ + IB-) + (IC0 + IC+ + IC-)= (IA0 + IB0 + IC0) + (IA+ + IB+ + IC+) + (IA- + IB- + IC-)= 3IA0 + 0 + 0

Como las corrientes de secuencia positiva y negativa suman cero por separado en elpunto neutro n, no puede haber ninguna corriente de secuencia positiva o negativa en lasconexiones desde el neutro a la tierra, independientemente del valor de Zn . Además la



combinación de todas las corrientes de secuencia cero en n da 3IA0, lo que resulta en unacaída de tensión de 3IA0Zn entre el neutro y la tierra.

Si no hay conexión entre el neutro y la tierra no puede haber flujo de corriente desecuencia cero porque entonces Zn = �, lo que se indica a través del circuito abiertoentre el neutro y el nodo de referencia en el circuito de secuencia homopolar.

�� ,PSHGDQFLDV�GH�6HFXHQFLD�GH�GLVWLQWRV�HOHPHQWRVLa impedancia, transformada por la aplicación simultánea de la transformación deFortescue a U e I resulta:

Ã¼= ,=8 Ã¼¼=¼ ’’ ,V=8V ’’ 1 ,V=V8 ¼¼¼= $

O sea que,

V=V= ¼¼= % 1’ [3]

siendo Z las impedancias reales (propias y mutuas). A continuación se analizan lasimpedancias transformadas de los elementos del circuito.Las impedancias que van a “ver” las componentes simétricas en general son diferentesde las reales.

5.1. Impedancias-Generador sincrónico

Figura N° 3

Al generador sincrónico siempre se lo considerará en estrella.

Cuando ocurre una falla, en las terminales del generador fluye las corrientes IA, IB e IC enlas líneas . Si la falla involucra la tierra, la corriente que fluye en el neutro del generadorse designa como In y las corrientes de línea se pueden dividir en sus componentessimétricas independientemente de lo desbalanceadas que estén.

Para cada fase si no hubiera acoplamientos: U=E –ZI, y para las tres fases A, B, C, si seconsidera que hay acoplamiento, y no hay impedancia de neutro:



ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î-

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î-

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î&'(

)**))*

&'(

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&�&& '&�(' &'+'' ((,&( '(+(

&'(

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888

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Todos los componentes de las matrices son fasores (tensiones y corrientes) o complejos(Impedancias).

El anterior desarrollo matricial es posible pues el generador es simétrico, siendoZAA=ZBB=ZCC=Z: impedancias propias.

Las impedancias mutuas son cíclicamente iguales: ZAB=ZBC=ZCA=ZM, ZBA=ZCB=ZAC=Zm,siendo Zm distinto de ZM debido a la presencia del rotor, pues está girando.

Cambiando variables resulta:

=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼-

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î-.---

-.

,,,

V=========

V(((

V888

V888

/00//0

123

123

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&

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&&&

&&&

&

&

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&

&

&

&

&

& 0

111

0

desarrollando:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î-ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

++++

++-ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

45

45

45

45

45

,,,

==

=

(((

,,,

=D=D==D=D=

===

(((

66

6

7878

78

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&

&

&

&

&

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&&&

&&&

&

&

& 0000

2

2

0

[4]

Z’ queda diagonal por la condición cíclica anterior. En las nuevas variables sus valoresestán desacoplados, o sea que: U0=E0-Z0 I0, etc; es decir, se obtienen tres ecuacionesindependientes que equivalen a tres circuitos monofásicos separados. Se trata de los“circuitos de secuencia” donde Z0, Z+, Z- son las “impedancias de secuencia”.

Si la máquina trabaja en cortocircuito, como solo genera f.e.m de secuencia positiva:E0=E-=0, E+=EA. Además U=0 \ U0=U+=U-=0 y de las ecuaciones anteriores [4] sóloqueda la segunda: 0=E+-Z+ I+, por lo tanto I+ = (E+/Z+)=(EA/Z+)=IA .

Las otras dos dan I0=I-=0 \ IB=a2 I+ , Ic=a I+ por lo que se tienen tres corrientes perfectasy simétricas, sólo interviene Z+, así, al hacer el equivalente circuital de la máquina no setienen en cuenta los acoplamientos entre las fases. Tampoco cuando la carga esequilibrada.

Si hay impedancia de neutro, debe restarse su caída por fase: U=E-Z.I-ZN.IN (U es medidarespecto de tierra), como IN=IA+IB+IC queda:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Îßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

+++++++++

-ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

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ÞÏÏÏÐ

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ÞÏÏÏÐ

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ÞÏÏÏÐ

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Î-ßßßà

ÞÏÏÏÐ

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ÞÏÏÏÐ

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<<=<><><<=<=<><

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888

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&

&

&

&

...



Y multiplicando ambos lados por [s]-1 y [s] como antes y desarrollando:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î +-

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î?@

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,,,

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(((

888 A

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&

&&

&

&

&

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&

& 0000 3

Por lo tanto se incrementa la impedancia homopolar en 3ZN (sigue siendo simétrico apesar de la “asimetría”).

Se ve que ZN sólo interviene con secuencia “0”. Para la fase de referencia:

( )BBBBCCCC ==,(,=,=(,=,=(88 33 000000000000 +¼-=¼-¼-=¼-¼-==La ZN suele colocarse para limitar I0 durante fallas.

Las respectivas impedancias de secuencia se pueden hallar en un ensayo aplicando a lamáquina la E de secuencia apropiada, manteniendo el rotor girando sin excitación, esdecir pasivado para que la propia máquina no genere E.

W

Figura N° 4

El pasivado del rotor significa un corto entre sus bornes, en el caso de rotor bobinado.Las puestas a tierra sólo son necesarias cuando se mide la secuencia cero. La velocidaddel rotor será constante.

- Con secuencia positiva las u e i inducidas en el rotor son nulas. El campo giratoriomarcha sincrónicamente con el rotor. La Z+ queda definida por la R y X “estáticas” (sinmovimiento relativo) que son elevadas, en especial la X. Es la ZS de teoría de máquinaseléctricas.- Con secuencia negativa aparecen importantes corrientes en el rotor (en arrollamientosrotóricos, barras amortiguadoras, etc, de 2f pero sincrónicas con el campo giratorioestatórico) que impiden en gran medida la entrada del flujo en el mismo, por lo tanto bajala inductancia. Como esta situación es similar al subtransitorio del generador, su valor essimilar a X’’d.



-Con secuencia nula no hay flujo neto penetrando en el rotor pues las tres corrientes“entran”, la reactancia es aproximadamente la de dispersión (es menor que X-).

5.2. Impedancias - Transformador

La tensión de salida del transformador es igual a la de entrada impuesta por el generador,menos la caída interna: UT=UG-ZI (matricial), pero como no hay partes en movimiento, losacoplamientos entre arrollamientos son recíprocamente iguales: ZM=Zm (pues ZAB=ZBA,etc).

Transformando como en el caso de [4], y despreciando el brazo de excitación:

( ) ( ) ]6[32 0

2

2

00

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

++++

++-

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

ÎDE

DE

DE

,,,

DD==DD==

===

888

888

FF

GF

HHH

III

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ÞÏÏÏÐ

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ÞÏÏÏÐ

Î +-

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ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

ÎJK

JK

JK

JK

,,,

==

==

888

888 L

MMM

NNN

&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&

&

& 0000 3

Salvo que la impedancia de neutro ZN y la impedancia mutua Zm sean iguales a cero,resulta:

0=== &&& �= OP

Si al transformador con la salida en cortocircuito, se le aplica U+G siendo U0

G=U-G=0:

03

0

0

000

0

00

==\ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î +-

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î QQR

QRR ,,

,,,

==

==8

ST &&

&

&

&

&

&

&&

&

de aquí que:

UUU -= ,=8 V &&&0

Siendo ZN=0, si se aplica U-G:

WWW ¼-= ,=8 X &&&00000 00 ,=88DSOLFDQGR\,=8 YYY &&&&&&& ¼-=\¼-= ZZZ

Si el transformador no tiene neutro accesible, por ejemplo conexión en triángulo, I0=0pues: IN=IA+IB+IC = 3I0=0. Por lo tanto Z0=U0

G/I0=infinito.

Es decir, para cualquier transformador:



[7]

Siempre en circuitos lineales, simétricos y estáticos, vale Z+=Z-.

La determinación de las impedancias de secuencia se facilita “ensayando” eltransformador con una fuente de la secuencia correspondiente y salida en cortocircuito.

Las secuencias positiva y negativa no ofrecen dificultades. La secuencia homopolardepende de la forma de conexión y conexión a tierra de los neutros, pues el generador sesupone conectado a tierra, lo mismo que los bornes de salida del transformador; así:

Figura N° 5

Z+=Z-=ZCo

Co



Figura N° 6

En general las reglas serían:

Si la conexión de arrollamientos no provee un camino a tierra para las corrienteshomopolares, el circuito de secuencia debe contener una interrupción para elarrollamiento en cuestión.

Si las corrientes homopolares están confinadas a circular en un arrollamiento, provéaseun cortocircuito a tierra en el circuito de secuencia indicando que las corrientes noemergen por los terminales.

Si la ausencia de un camino a tierra significa que el transformador es un circuito abiertopara las corrientes homopolares, el circuito de secuencia debe tener la impedanciamagnetizante en la rama en cuestión.

Si las corrientes homopolares inyectadas en un juego de terminales circulan libremente,sólo debe agregarse la impedancia de dispersión en esa rama.

El procedimiento usual se reduce a calcular las U e I sin considerar el desfasaje originadopor los distintos “grupos” de transformadores. En ciertos casos es necesario tener encuenta dicho desfasaje (por ejemplo en aplicación de relés).

5.3. Impedancias - Cargas

Normalmente serán equilibradas, con o sin acoplamientos mutuos, irán en convenciónconsumidora y siempre en estrella.



Pueden contener fuentes, como por ejemplo en el caso de motores sincrónicos, donde:

U=E+ZI (matricial)Ã[U]=[E]+[Z][I]

Figura N° 7

E es la f.c.e.m del motor síncrono.

Desarrollando con iguales procedimientos:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î+

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î[\

[\

[\

[\

,,,

==

=

(((

888

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

& 0000

[8]

con ZN=0; si ZN es distinta de cero, resulta Z0+3ZN.

Para hallar, por ejemplo, el circuito de secuencia homopolar de una carga en estrella conneutro, de ZN distinto de cero y E0

fcem=0 (en general no hay fuerza contra-electromotrizde secuencia homopolar).

Figura N° 8

5.4. Impedancias - Líneas

Los sistemas que son esencialmente balanceados y simétricos son los de mayor interés.Estos se harán desbalanceados solo cuando ocurra una falla asimétrica.



La simetría total en los sistemas de transmisión es en la práctica más ideal que real. Perocomo el efecto de la asimetría es muy pequeño, con frecuencia se supone un balance ,especialmente si las líneas se trasponen a lo largo de sus trayectorias.

Se llama línea traspuesta o simétrica a la que tiene impedancias propias y mutuas iguales(al menos en promedio) en todas las fases. Esto es lo habitual, si no existen fallas.

Dada la Figura N° 9, si se cortocircuita la línea y se alimenta con una secuencia positiva:I0=0, I-=0, I+=IA=E+/Z+ :

Figura N° 9

E+=(R+Lp).IA -Mp(IB+IC)=R+(L-M)pIA; ya que IB + IC=-IA y si p=jw, (corriente alterna):

Z+=R+jw(L-M) [9]

Si se aplica secuencia negativa, se obtiene:

Z-=Z+ [10]

si se aplica secuencia homopolar (Figura N° 10):

I0=IA=E0/Z0; E0=(R+Lp)I0+Mp(I0+I0).

por lo tanto:Z0=R+jw(L+2M).

La Z0 es más grande que Z+ ó Z-, aún sin considerar una eventual ZN (que en caso deexistir se agrega como 3ZN a Z0).

Dato práctico: con ZN=0,Z0=2 a 3,5 Z+.



Figura N° 10

Nota: El caso del transformador con brazo de excitación, con neutro aislado o enconexión triángulo, puede asimilarse a este caso. Si R§��SRU�FRPRGLGDG��HQ�HO�HQVD\Rde secuencia homopolar, el único lugar por donde pueden circular las I0 es por los brazosde excitación (Figura N° 11):

( ) ( )( ) ( )ÓÒÑ

=+=@-== ]^

grande2chico

0

00

_a`+bcc

=0/M==0/M==

w

w

Figura N° 11

Métodos para hallar M, despejándola:

ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë -=-= /M=

M=/0 daegfhh

ww 2100

Inversamente, si se conocen Z0, Z+ ,Z-, de [6]:

( ) ÓÒÑ

=-+=++ÃÓÒ

Ñ-=++==

+= iiji

ji kkkk

========

==DD=======

322

0

00

2

0

3,

32 00 ll -==+= ==0M====R m w



Estos valores de impedancias de secuencia, también pueden obtenerse a partir de losvalores de fase, Figura N° 12:

A

B

C

Zmutua

DU

Zmutua

Zsimétrica

Zsimétrica

Zsimétrica

Figura N° 12

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

ÎDDD

nop

qrrrqrrrq

nop

,,,

=========

888

con:

ÓÒÑ

=+=

0M=/M5=V

s w

w

por lo tanto:

´´

0

1

0

,=,,,

V=========

V888

tuuutuuut

¼=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

DDD

vwv

vw

desarrollando con iguales valores anteriores:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

xy

==

==

0

´ [12]

o sea, que: Z0=ZS+2ZM, Z+=Z-=ZS-ZM. Este desacoplamiento es la razón primaria parausar las componentes simétricas en vez de las cantidades de fase. Las Z+, Z-, Z0 son lasimpedancias de “servicio” o de “fase”.

Si la línea es no traspuesta, en general se podrá expresar por:



ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

z�zzg{z�|{}z{+{{�||,z|�{|+|

=========

= [13]

con:

Zii=Rii+jXii= impedancias serie propiasZji=Zij=Rij+jXij= impedancias mutuas (Rij se debe a la presencia de tierra).

5.5. Líneas con asimetrías o fallas

Una línea con asimetría puede tener una matriz como la [13] si sus elementos no guardanigualdad o simetría. Un caso típico es el que no presenta acoplamientos y es ZA � ZB �ZC:

,=,,,

==

=

888

~��

~�

�

~��

.=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

ÎDDD

[14]

y, como antes DU´ = Za’ I’ con Za’=s-1 Z s (Za se usa para diferenciar que se trata de laasimetría); desarrollando:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î= yx

xyyx

0

0

0

ZaZaZaZaZaZaZaZaZa

´Za [15]

Za’ es la matriz de impedancias equivalentes o transformadas, QR�de secuencia.(Al término Z° se le suma 3Zn si hay neutro)

Za0 = 1/3 (ZA + ZB + ZC)

Siendo: Za+ = 1/3(ZA +a ZB +a2 ZC) [16]

Za- = 1/3 (ZA +a2 ZB +a ZC)

Aparecen numerosos acoplamientos en las componentes transformadas, por lo tanto sedeberán usar procedimientos especiales.Sólo si ZA = ZB = ZC se cumplirá Za

0 = ZA; Za+ = Za

- = 0; en cuyo caso las componentes desecuencia son Z0 = Z- = Z+ = ZA (pasa a ser como una línea simétrica o transpuesta).

No es sensato estudiar las líneas no simétricas con componentes simétricas. En cambiodebe trabajarse en el dominio de fase o usar transformaciones especiales (“modales”).Lo mismo rige para las admitancias derivación.



�� 6LVWHPDV�FRQ�DVLPHWUtD�R�IDOODPara simplificar el estudio se descompone en 2 partes simétricas, una en convención“fuente” y otra en “consumidora” (aunque ambas pueden contener fuentes), con todos losacoplamientos inductivos (de modo de constituir “circuitos de secuencia”), unidas por unaparte asimétrica sin acoplamiento (falla):

S1 S2

A1 ZA IA

B1

C1

O1 ZN O2

IN

A2

UC1 UC2

ZB

ZC

B2

C2

Asimétrica: ZA�ZB�ZC

Figura N° 13

ZN puede asignarse a S1 ó S2.

Para la asimetría: ZA�ZB�ZC:

]17[

21

21

21

��

,=888,=888,=888

=-=D=-=D=-=D

6.1. Circuitos equivalentes

Como para las partes simétricas (S1 y S2), los circuitos de secuencia están desacopladosse pueden determinar cada uno separadamente y luego aplicarlos sobre la parteasimétrica. Para la secuencia “+” (fase de referencia A), después de la convenienteaplicación del teorema de Thévenin a cada parte:

=U2+

neutro ficticio

+

E1+

Z1+U1+

+

-

+I+U+

1

+ +

+

-

=E2+

Z2+

+-

E+

Z+

-

U+

I+-2

I+

(simbología)

+

Figura N° 14



Habrá otros 2 circuitos para las componentes “-“ y “0”, en general sin fuentes pues losgeneradores sólo generan secuencia “+”. Además en la secuencia “0” se colocará enserie 3 ZN. A su vez, estos 3 circuitos de secuencia podrán resultar interconectadossegún sea la falla, lo que permitirá resolver el problema, tal como se verá más adelante.

6.2. Métodos

Una vez establecidos los circuitos de secuencia de la parte simétrica (Figura N° 13) setiene:

[ ] [ ] [ ] [ ]́.´´3

´

0000

,=(8R,,,

==

==

(((

888

��

-=Dßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î¼

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î +-

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

-=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

DDD

��

��

��

[18]

Siendo [Z´s ] la impedancia de la parte simétrica.

Estas DU’ resultan aplicadas a la parte asimétrica, por lo que:

[ ] [ ] [ ]ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Îßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

DDD

=D��

��

��

,,,

888

VHDR,=8 �0

0

0

00

´ .ZaZaZaZaZaZaZaZaZa

:´.´ [19]

[Za´] es asimétrica.

(Como en el caso de líneas no traspuestas, no acopladas)

Igualando [18] y [19]:

E’- Zs’ I’ = Za’ I’ ó E’ = (Zs’ + Za’ ). I’ por lo tanto:

[ ] [ ] [ ] )(´.´1´´ FRPSOHMRFiOFXOR(==, �� +=

DU’ sale de [18] ó [19]. Luego: I = s I’ [20]

DU = s DU’ (ó con DUA = ZA IA, etc.)

Si se desean hallar las tensiones simples habrá que hallar U1+, U2

+, etc, de S1 y S2(Figura N° 14) y luego aplicar la transformación directa.

6.3. Casos Particulares

Existen 3 casos muy importantes que permiten resolver mediante la interconexión de loscircuitos equivalentes de secuencia:

a) Una fase con impedancia Z y las otras dos con impedancia cero



figura 14

ZA

B

CFigura N° 15

Ã++=D=D=D

\ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

++++++

=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ÔÔÔÓ

ÔÔÔÒ

Ñ

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

DDD

\===

\ÓÒÑ

===

��

��

��

��

�

�

)(3

3.

111111111

3

313131

0

00

0

0

000

´

´

0́

,,,=888

,,,,,,,,,=

,,,=

888

==

==

==

====

�

�

�

��

U0+-

Z/3I+

I0

I-

o también U0+-Z Z ZI0 I+ I-

Se llama conexión

Figura N° 16

b) Una fase con impedancia cero y las otras dos con impedancia Z

figura 16

A

B

C

Z

Z

Figura N° 17

ÔÔÔÓ

ÔÔÔÒ

Ñ

-==-===++=

\ÔÓÔÒÑ

===

�

�

��

========

====

�

�

�

��

31

...................

31

...................

32

)0(31

0

´

´

0́

Para fase A: DUA = DU0 + DU+ + DU- = 0 (pues ZA = 0). Además:



ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î+

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

DDD

=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î\++=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

---

=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

+---+---

=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î--

----

=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Îßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

DDD

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

,,,

888

=,,,

,,,,TXH<D

,,,,,,=

,,,,,,,,,=

,,,=

,,,

=========

888

311

333

32

22

3211121112

3

00

0

0

0

0

000

0́´´

´0́´

´´0́0

o sea (ver Figura N° 18)

I+ I- I0

Z Z Z+ - 0IA/3U+

conexión Figura N° 18

c) Superposición de los casos anteriores

Hay otras asimetrías particulares que pueden resolverse por superposición de estas,como ser el de una fase con impedancia Z y dos fases con impedancia Z’.

A

B

C C

A

B

C

A

B

C

B

A

Figura N° 19

Una forma es suponer tres impedancias simétricas Z’ y una asimetría consistente en unaimpedancia Z-Z’ en serie en la fase con impedancia Z (caso a) anterior).



Otra forma es suponer tres impedancias simétricas Z y una asimetría consistente en unaimpedancia Z’-Z en serie en cada una de las dos fases con impedancia Z’ (caso b)anterior).

6.4. Clásico (general)

Se exploran las posibilidades que ofrecen las transformaciones directas e inversa de laparte asimétrica, juntamente con las relaciones tensión-corriente que impone ésta. De ahídebe surgir la solución y la forma en que se deben conectar los circuitos de secuencia.

$SOLFDFLRQHV��QR�FRUUHVSRQGH�D�HVWH�FXUVR�a) Generador sincrónico , sin neutro, cortocircuito entre 2 fases (Figura N° 20):

Responde a la conexión (Figura N° 21):

ZN=:

S1 S2ZA=:

DUA

Figura N° 20

E+

Z+

I+

Z-:I-

:

3ZN=:

:Z0

D D D

Figura N° 21

En la Figura N° 20, por la rama Z- circulará una corriente I- y por la rama Z0 circulará unacorriente I0. También, al ser el Sistema 2 un cortocircuito, si se toma UA=cte. entonces:U+=U-=U0.



0)I (pues 3

3)(000,

0,

A

220

0

0

=-=+-=

-=-+=++==-+++=

=+=-=

��

��

��

��

¡

¡¢

,==(M,

,M,DDD,,D,,,,,,,,

,==(,,

ÓÒÑ

==

££¤¤

XS=D=&&XS=D=9DORUHV.)(arg30,015,0

)(..)(arg21 típicos

00

y considerando que tengan el mismo ángulo de fase (p.ej. reactancia pura)Z++Z-=1,15 a 2,3 p.u. Luego:

pu 5,012

11

1:

pu 75,050,13,23

15,13:

. 00

ÔÔÓ

ÔÔÒÑ

====DD,7ULIiVLFR

DD,%LIiVLFR&& ¥

¥

Ã puede ser más desfavorable un cortocircuito bifásico que uno trifásico.

Además: DUA = DU0+DU- +DU+ = 3DUº = 3 Z- (-I-)= 3Z- I+ = UAB con lo cual resulta:

¦§ ¦¦§ ¦,

M8=M,=,=8

333)(3 =Ã-== ¨¨©¨

(Método para hallar Z-)

Nota: Debe medirse PAB para hallar el coseno del ángulo entre UAB y IB como PAB / UAB IB(P=IUcosj).

b) Generador sincrónico, estrella, con neutro, cortocircuito bifásico con neutro.

Por lo anterior con ZN = 0

E +

Z + Z - Z 0

figura 20

I+ I- I0

Figura N° 22



0

0

0

0 ; ===,,

=====

(, +=++

= ª«ª

ªª«

««

pues:

000 )( =,,=,=, ¬¬¬ --==análogamente:

0:; 00

0 =++=+-= ®¯®

®¯ ,,,,YHULILFDVH===,, °

WDPELpQ�

:0, 00

02

020 @+-++=++= ®®¯

®®¯®¯ =VL\==

=D,,D===,D,,D,, ±

²²²²²

³²²

³² ==+-=+-++

--@ =(H,H,D,=D,,D=

=,,´´µ

21021022 3

30

00

de la misma manera:

¶¶¶ == =

(H,H,··¸150

150 33

c) Generador sincrónico, estrella, cortocircuito monofásico con neutro:

ZN

UB UA Z+

E+

Z- 3ZN

Z0

I+ I- I0

figura 21

UC

Figura N° 23

2,273,0.3

0..73,03

0

00

==++=

=@+++===

¹º

¹ºº¹º

,,,,

=VLXS====(,,,

»

¼¼

da mayor que antes, pero influye mucho ZN (por eso se coloca).

Además:

UA = U0 + U- + U+ =0 (condición de cortocircuito), y si ZN es importante :



UB= U0 +a U- + a² U+ será superior a la tensión de fase (será U0grande), puede apareceruna sobretensión importante (conviene ZN=0, opuesto a lo anterior!)

6.5. Asimetrías longitudinales y transversales

Longitudinales: p.ej. asimetrías en conductores de líneasTransversales: p.ej. puesta a tierra, cortocircuitos

Las asimetrías longitudinales según procedimiento ya visto. Las fallas transversalesdeben transformarse para adaptar el circuito resultante al de la Figura N° 13.

Ej: asimetría de una fase a tierra:

ZN

U

V

W

Rf=0

Carga

ZN

Rf

ZG+0-A

B

C

R

S1

S221

R

R

R

U

Figura N° 24

Rf

R

U=E+ ZG+ ZG-

R

Rf

3ZN ZG-

R½

Rf

¾U+

1

2

1

¾U-

2 2

¾U0

1

Figura N° 25

Ej: dos asimetrías simultáneas

ZN

R

R

R

Rf

Figura N° 26

No puede aplicarse componentes simétricas. Son 2 fallas simultáneas (cortocircuito enS1 y asimetría a tierra en S2). No hay forma de armar S1 y S2 con asimetría del tipovisto. Debe resolverse con los métodos generales de electrotecnia.



�� 3RWHQFLDDado un sistema, con [ I ] = [ IABC ] ; [ U ] = [ UABC ], se verifica, desarrollando, que lapotencia total es:

S = [ I*]t [U] con [I*]t traspuesta de las conjugadas [23]

Pero [I] =[ s ][I´] y también [ I*] = [s*][ I´*] pues F(Zi*) =F*(Zi),

aunque al transponer cambian el orden: [I*]t = [I*´]t [s*]t \3S´ [U ]́ * ]́[I 3 [U ]́ [s][s*]t * ]́[I [U] [s*] * ]́[I S t

unidad) (matriz 3.[1]

ttt ====321 [24]

siendo S =́[I* ]́t [U ]́ la potencia calculada para las componentes simétricas. [25]

Ocurre que éstas se aplican 3 veces para reconstruir el sistema original; o dicho de otromodo la potencia de las componentes simétricas es 3 veces menor debido a que sólointervienen las componentes de 1 fase.

Puede modificarse la transformación para que la potencia se mantenga LQYDULDQWH�

Si I=C. I \́ I*t = I*´t .C*t \ [26]

S= I*t .U = I*´t .C*t .U y S =́ I*´t .U ,́ entonces:

Para que S= S ́debe ser U =́ C*t .U (en lugar de U’= C-1.U) [27]

Valores que suelen asignarse a C:

Variante 1:

C = s \ s*t = 3 s-1 (por desarrollo). Así, por ejemplo resulta: 28]

ÓÒÑ

++=�++=�

clásico) caso del (triple U U U Uclásico) caso al (igual )I I (I 1/3 I

CBA

CBA

Variante 2:

C = s/»3 \ C*.t = »3 s-1 (por desarrollo) 29]

Resulta:

ÓÒÑ

++=�++=�

clásico) caso del3( ) U U (U31/ Uclásico) casodel 3( )I I (I 31/ I

CBA

CBA

Las impedancias resultan: U = Z I = Z. C. I ;́ U =́ Z .́I ́Ã C*t. U = Z .́I ́Ã



Z. C = (C*t)-1 . Z ́ ÃZ =́ C*t Z C [30]

Variante 1: Z =́ 3 s-1 Z s (triple de la Z ́clásica)

Variante 2: Z =́ »3 s-1 Z s/»3 (igual a la Z ́clásica), por lo que se prefiere esta variante.

�� 0DWULFHV�$GPLWDQFLDEl método general( apartado “sistemas con falla”) fracasa si (Zs +́ Za )́ no se puedeinvertir, por ejemplo, si uno de sus elementos fuera � (el determinante resulta D = �), o sitodos los elementos resultan iguales (\D = 0, [Zs +́ Za ]́-1 = 0/0). En tal caso se puedetrabajar con matrices admitancias, que se corresponden con el método de los nodos. Sedefine:

[ ] [ ] [ ]31

1

13

1

´´

00

1

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßßßß

à

Þ

ÏÏÏÏÏÏ

Ð

Î+

==¿

À

¿

À¿

<<

<

==

===<

Á

De [18] se halla:

I =́ Zs´-¹ (E -́ DU )́ = J -́ Y D́U ́ [32]

Lo que equivale a aplicar Norton a cada circuito de secuencia, por ejemplo en la FiguraN° 27

Y+ DU+

I+I+

E+

DU+J+

Figura N° 27

De [19] : I =́ Za’-¹ DU ́= Ya ́DU´ [33]

Igualando [32] y [33]: I -́ Y D́U ́= Ya D́U´

DU ́= (Y +́Ya )́-¹.I ́ [34]

Luego se calcula DU, etc.



La dificultad reside en la determinación de Ya ,́ que en general tiene una expresióncomplicada, salvo casos especiales.

Cuando sea factible modelar una falla como de fase abierta sin neutro (\YA = 0 , YN= 0)la Y +́Ya ́toma una expresión simple y reduce a 2 el sistema de ecuaciones a resolver. Ej.:

ABC

Rf=1ohm0.5

ohm

S2

ZN=:

ConocidoS1

Figura N° 28

Supóngase:

[ ]

[ ]

[ ]ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î-

-=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

===ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

Â

ÃÂÂÃÃÂ

ÂÃÃÃ

ÂÂ

Â

110110

0001

´

:)(

´´´´´´´´´

´

0,64131,0370,8

,6,7

6,75,1

´

1

0

0

0

´

8080

0

80

80

90

5I<

TXHGD\FRPSOLFDGROLWHUDOGHVDUUROORHOKDFHVH=========

<

N$HHH

=(-

HH

H<

Ä

Ä

ÅÅÅ

Æ ÇÆ Ç

ÅÅ

Å

Al aplicar [34] y como I° = 0 (no hay neutro) resulta DU° = 0, por lo que resta hallar:

HWF88H88

HH È

ÈÈ

,,0

64.

6,71116,71 80

80

80 ÉÊÉ

ÉÊ

ÉÉ

DDÃßàÞÏÐ

Î=ßàÞÏÐ

ÎDDßà

ÞÏÐÎ

+--+

Obsérvese que también la falla se podría haber modelado como la Figura N° 29, que noofrece dificultad para la solución:

c/u 0.5 ohm

S2

ZN=:

S1ZA=:

Figura 25Figura N° 29



Cuando Z’ + Za ́se puede invertir no hay ventaja en el empleo de las matrices admitancia,salvo dichos casos particulares.

�� 0HGLFLRQHV�GH�FRUULHQWHV�\�WHQVLRQHV�GH�VHFXHQFLDSi bien los modernos instrumentos microprocesador pueden hacer los cálculos internospara dar directamente las componentes simétricas de las corrientes y tensiones quemiden, se dan a continuación métodos con uso de elementos auxiliares.

9.1. Corrientes

9.1.1. Corriente de secuencia Directa e Inversa

Caso Trifilar sin Neutro

S

Figura N° 30

Ë& 60.

ÌH5= =Se demuestra (ver punto 9.1.2) que:

.,, ÍÎ

=1&

y .,, ÏÐ

=2&

Ej. : Si 500/5 A entonces K=100 (=500/5)

9.1.2. Demostración

El circuito se puede analizar por superposición, prescindiendo de la constante K:

Figura N° 31



ÓÒÑ

+===

ÑÒÓÑÒÔ Ó

,,,5,=,8 .. \ ÓÒ

Ñ=+-=

5,5=,5,,=,

ÕÖÖÕÖ

.).().(.

Figura N° 32

[ ]303030

60

60

60

1 ..3

1

.3

.

.

. ×Ø×Ù××ØÙ

××ØÙ H,H,H

H,,H55H5,5,, +=+=+

+= Ú

y, por la Figura N° 33:

Figura N° 33

[ ] ÛÜ

-=ßßàÞ

ÏÏÐÎ --+=-+-= ,,DD,,,D,D,, ÝÞ

ßÝÞÝÞ

à22

1 31

)1()1(31

321

Se observa que el amperímetro A1 mide –I+

Análogamente para el amperímetro A2:

á-= ,, 2



9.1.3. Caso Trifilar con Neutro

Figura N° 34Ë& 60.

ÌH5= =150

1 .3 âã H,., ä=&

y150

2 .3 åå= æç H,.,&

La fase sale de cálculos y esta relacionada con los fasores IA1 e IA2, cuya ubicación esdesconocida.

9.1.4. Corriente de secuencia Homopolar: 3 posibles métodos

Figura N° 35

9.2. Tensiones

9.2.1. Tensiones de secuencia Directa e Inversa



è

Figura N° 36

é& 60.

êH5= =

5.8,.

3 ë=&

Invirtiendo la posición de R y Z:

=.8,.

3=&

9.2.2. Tensión de secuencia Homopolar

Figura N° 37 a y b



��(MHPSORV

10.1. Ejemplo 1

Dado:

300100 30,100,25ììì H8H8H8 === íîí ,

hallar el sistema real y sus relaciones de potencia si:

1602010 78)(,5,10ïðñòïðïñ H,,,H,H, +-=== óó

Entonces:

[ ] [ ][ ] :´ VHDR8V8 =

=][8&ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

+++++

=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Îô

ôôô

ôõ

301200120

30120012010

300100

2

2

30.1100.130.1100.125

3010025

11

111

ööööööööö

ööö

÷øù

HHHHHHHHH

HHH

888

DDDD

888

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î+---+

= ú116

124

05,4

1,587,91

151

26,5238,2594,7536,51

66,106.150

ûû

û

HHH

MMM

U +

U -

U 0

Figura N° 38

Figura N° 39



[ ] [ ] [ ])()5042285(

)315326()32457()1571502(1,587,91

1518,7510

116

124

05,4

16012010*

FDSDFLWLYR9$M

MMMHHH

HHH8,6 üü

üüüüý

-=

=-+-+-=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î== þþþ

falta hallar las componentes simétricas de las corrientes:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î@

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ÿ�

ÿÿÿ

,,,

HH

HHH

HHH

DDDD,

�

�

�

�

�

�

�

�0

11

18

11

18

76

160

120

10

2

2

95,23,70

85,89,21

076,0

31

8,7510

11

111

31

´

Potencia desarrollada por las componentes simétricas:

[ ] [ ] [ ]6MM

MMHHHHH

HH8,6 ��

�

�

�

��

&

&&

31

)5042283(31

)168761(

)5867()6,2253,694(5,8873003010025

95,23,70´´ 4118

30

0

10

1118*

=-=-=

=++-=++=ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î== �

�

�

Si se usa para la transformación inversa la expresión:

[ ] [ ] [ ],6, �*´=

[ ] 66HH,

�

�&&& =

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

�´,

85,89,21

0

´11

18

10.2. Ejemplo 2

Un generador sincrónico de 3x13,12 kV, 50 Hz, 1MVa, 0,9MW, alimenta una cargaóhmica simétrica de 800 kW mediante una línea sin pérdidas. Las impedancias desecuencia del generador valen:

,.10,0..4,0..1 9009080 XSH=XSH=XSH= �� ===

y la impedancia del neutro es ZN=50+j0ohm.



ZN

W

Rf=0

VR

R

U R

Figura N° 40

Aplicando el método de componentes simétricas, se pide:

1)Cuando una de las líneas hace contacto directo con tierra( ver Figura N° 40), establecerlos circuitos de secuencia y la vinculación entre ellos para dicha falla.2)Para la misma falla, hallar la corriente a través de la misma.3)Indicar cómo se modifican los circuitos de secuencia y el conexionado, si Rf es distintode cero, dibujando los mismos.

Solución:

$9,N9N989$6

888

,

8=

��

�

�

�

�

�

�

7,432,174

762062,7

32,13

2,17410.1

1320036

22

=W=\==W====

se reducen todas las cantidades a p.u.:

..0287,02,174

50

..25,12,1748,217

8,2178000001320022

XSM=

XS5:385

+=W===ÃW===

Transformación del sistema: N98 3/2,13=



ZN

ZG+0-A

B

C

R

S1

S221

R

U=E+ ZG+ ZG-

R

3ZN ZG0

R��

U+

1

2

1

�U-

2 2

�U0

1

Figura N° 41

(conexión Triángulo con � derivado de cada circuito de secuencia)

Reducción de los circuitos de secuencia( Thevenin) en p.u :

7,3400

3,45080

722,0..........)25,1()985,0174,0(

25,11.

513,0508,0722,0........)25,1()985,0174,0(

25,1.1

��

��

��

��

HMHH

5=588

MHMHH

5=5==

��

�

��

==++=+=

+===++=+=

363,0116,0381,0........)25,1()4,0(

25,14,0 3,72090

MHMHH

5=5== �

��

�� +===+=+= �

��

6,600 867,01,0861,01,0287,0.3.3�

�� HMM=== =+=+=+=Queda:

Z T H

+-

Z T H Z T H+ - 0+U T H

D U+- +

-DU- + - D U0+

I+=I0=I-

Figura N° 42



680 406,0.............

�

��

�� H===8, !

!"

"" ==++=\

Corrientes en la falla:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î ++=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î ###$

#

$

00

218,1

00

406,03

00

11

111 686800

2

2

%%

&

'

( HH,,,

,,,

DDDD

,,,

Si Rf es distinta de cero, el sistema puede transformarse así:

ZN

Z+0-A

B

C

R

S1

S221

R

U=E+ Z+ Z-

R

3ZN Z0

R)*

U+

1

2

1

*U-

2 2

*U0

1Rf Rf Rf

Figura N° 43

Figura N° 44

10.3. Ejemplo 3

Para el problema anterior, con Rf=0, calcular las tensiones y las corrientes en elgenerador y la carga.

Solución:



Con referencia a la Figura N° 44 y trabajando en p.u.:

ÔÓÔÒÑ

+-==-=-=D--==-=-=D-=-=-=D

+

++++

++,,,,

313.0170,0356,0876,0406,0012,0155,0155,0381,0406,0

298,0324,0722,0.406,0722,0

6,1186,668000

3,1843,7268

3,45687,34

MHHH=,8MHHH=,8MHHH=,88

---.0/

---.0/

---.0/.0/

Entre puntos 1 y 2 de la parte asimétrica (Figura N° 43), resulta:

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î@

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î+-+-+-

==ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

DDD

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

ÎDDD

#

$

5,90

174

0

2

2

882,0506,0

0

882,0007,0053,0503,0003,0001,0

....11

111

%

%

&

'

(

HH

MMM

888

DDDD

888

Corrientes por el generador:

R

U+ Z+

1U+

2g+

2g-

R

Z-

1U-

Z0

2g0

R

1U0

Figura N° 45

2,5680

0

739,01

)298,0324,0(1 33

3

4 HHMH

=88, 56

666 =--=D-=

7,26590

3,184

388,0.................4,0

155,0 77

7

8 HHH

=8, ==-=D-= 9

99

6,29890

6,118

0

00 411,0

)0287,0.3(10,0356,0

3

::

:

;< HMH

H==

8, =++-=+

D-=



ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î==

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î=

ßßßà

ÞÏÏÏÐ

Î\ =

=

=

>

68

4,128

670

2

2

558,0309,0478,1

..................11

111

?

?

?

@

@

@

@BA

@DC

@FE

HHH

,,,

DDDD

,,,

5,118232,1...........)(G

HBIHDJHFKL H,,,, ==++-=\que puede compararse con la corriente de falla IA, verificándose que, aproximadamente,son iguales y opuestas.

��%LEOLRJUDItD-“Symetrical components”, Wagner y Evans-“Power system control and stability”, PM Anderson, AA Fouad, Ames, Iowa, 1977-“Análisis de sistemas eléctricos de potencia”, W.D. Stevenson.- “Electrical Energy Systems Theory”. Olle I. Elgerd



�� ,QGLFH

�� ,1752'8&&,Ï1��

�� '(),1,&,21(6��

�� 9$/25(6�%$6( ��

�� ,1)/8(1&,$�'(�/$�,03('$1&,$�'(�1(8752��

�� ,03('$1&,$6�'(�6(&8(1&,$�'(�',67,1726�(/(0(1726 ��5.1. IMPEDANCIAS-GENERADOR SINCRÓNICO...............................................................................................................65.2. IMPEDANCIAS - TRANSFORMADOR ........................................................................................................................95.3. IMPEDANCIAS - CARGAS......................................................................................................................................115.4. IMPEDANCIAS - LÍNEAS .......................................................................................................................................125.5. LÍNEAS CON ASIMETRÍAS O FALLAS .....................................................................................................................16

�� 6,67(0$6�&21�$6,0(75Ë$�2�)$//$��6.1. CIRCUITOS EQUIVALENTES ..................................................................................................................................176.2. MÉTODOS ............................................................................................................................................................186.3. CASOS PARTICULARES.........................................................................................................................................186.4. CLÁSICO (GENERAL)............................................................................................................................................216.5. ASIMETRÍAS LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES..............................................................................................24

�� 327(1&,$��

�� 0$75,&(6�$'0,7$1&,$��

�� 0(',&,21(6�'(�&255,(17(6�<�7(16,21(6�'(�6(&8(1&,$��9.1. CORRIENTES ........................................................................................................................................................28

�� &RUULHQWH�GH�VHFXHQFLD�'LUHFWD�H�,QYHUVD �� 'HPRVWUDFLyQ �� &DVR�7ULILODU�FRQ�1HXWUR �� &RUULHQWH�GH�VHFXHQFLD�+RPRSRODU��SRVLEOHV�PpWRGRV ��

9.2. TENSIONES ..........................................................................................................................................................30�� 7HQVLRQHV�GH�VHFXHQFLD�'LUHFWD�H�,QYHUVD�� 7HQVLyQ�GH�VHFXHQFLD�+RPRSRODU ��

�� (-(03/26��10.1. EJEMPLO 1 ......................................................................................................................................................3210.2. EJEMPLO 2 ......................................................................................................................................................3310.3. EJEMPLO 3 ......................................................................................................................................................36

�� %,%/,2*5$)Ë$ ��

�� ,1',&(��

componentes simetricas

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