complex numbers

Actividad 2. Números Complejos.

G. Edgar Mata Ortiz

Números naturales, enteros,

racionales, irracionales, reales y

complejos.

Los Números Complejos

http://licmata-math.blogspot.mx/ 2

Los números han acompañado al ser humano desde su aparición sobre la tierra. En un primer momento

solamente para contar. Posteriormente fue necesario efectuar operaciones aritméticas y, al preguntarse cómo

y porqué se podían efectuar dichas operaciones, se produce conocimiento matemático.

En el presente material se hará un rápido recorrido por los diferentes tipos de números que ha empleado el ser

humano hasta llegar a los números complejos.

Contenido Introducción............................................................................................................................................................................................................................. 3

Importancia del cero. ......................................................................................................................................................................................................... 3

Sistemas de numeración no posicionales. ............................................................................................................................................................................... 3

Otros sistemas de numeración no posicionales. ................................................................................................................................................................ 4

Sistemas de numeración posicional. ........................................................................................................................................................................................ 4

Los números naturales. ...................................................................................................................................................................................................... 4

Propiedades de los números naturales. ........................................................................................................................................................................ 4

La resta en los números naturales. ............................................................................................................................................................................... 4

Los números enteros. ......................................................................................................................................................................................................... 4

Propiedades de los números enteros. ........................................................................................................................................................................... 4

La división en los números naturales y números enteros. ............................................................................................................................................ 4

Los números racionales. ..................................................................................................................................................................................................... 5

Propiedades de los números racionales. ....................................................................................................................................................................... 5

La raíz cuadrada de un número racional. ...................................................................................................................................................................... 5

Los números reales. ............................................................................................................................................................................................................ 5

Propiedades de los números reales. ............................................................................................................................................................................. 5

La raíz cuadrada de un número real. ............................................................................................................................................................................. 5

Los números complejos. ..................................................................................................................................................................................................... 6

Los números imaginarios. ............................................................................................................................................................................................. 6

Propiedades de los números imaginarios. .................................................................................................................................................................... 6

Concepto de números complejos. ................................................................................................................................................................................. 6

Operaciones con números complejos. ............................................................................................................................................................................... 7

Multiplicaciones y potencias del número i. ................................................................................................................................................................... 7

Suma y resta de números complejos. ........................................................................................................................................................................... 8

Multiplicación de números complejos. ......................................................................................................................................................................... 8

División de números complejos. ................................................................................................................................................................................... 9

Aplicaciones de los números complejos. ..................................................................................................................................................................... 10



Introducción. La numeración que actualmente empleamos recibe el nombre de

numeración indo-arábiga debido a su origen.

Con base en la información que se muestra a la izquierda acerca del

origen de este sistema de numeración escribe un ensayo de 600 palabras

acerca del tema.

Importancia del cero. Para que pudieran existir los sistemas de numeración posicional, el uso

del cero fue fundamental, explica por qué:

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Sistemas de numeración no posicionales. No todos los sistemas de numeración empleados por el ser humano han

sido posicionales, un ejemplo conocido es la numeración romana.

Entre muchas otras desventajas, este sistema de numeración dificulta la

realización de operaciones aritméticas, sin embargo, es posible resolver

sumas y restas. Anota, en el siguiente espacio, tres ejemplos de suma y

tres de resta con números romanos.

El origen de

los números.

Existen varias explicaciones

y teorías acerca del origen

del sistema de numeración

que empleamos

actualmente.

Es generalmente aceptado

que la numeración indo-

arábiga fue desarrollada en

la India y difundida por los

árabes en occidente.

Simultáneamente, otras

culturas elaboraron sus

propios sistemas de

numeración y los emplearon

durante siglos; finalmente,

las indudables ventajas del

sistema de numeración

posicional base 10 hicieron

que, poco a poco, se

convirtiera en el único

sistema de numeración

empleado por los seres

humanos.

Las computadoras emplean un sistema de numeración posicional, pero de base dos, es decir, solamente existen dos dígitos (0, 1) y, de acuerdo a la posición que ocupan, toman diferentes valores: 1, 2, 4, 8, 16, etc.



Otros sistemas de numeración no posicionales. Realiza una investigación y explica otros dos sistemas de numeración no posicional. Elabora un reporte de 400

palabras en el que expliques los símbolos empleados en esos sistemas de numeración, su origen histórico y, en

caso de que sea posible, algunas operaciones aritméticas.

Sistemas de numeración posicional. Los sistemas de numeración posicional presentan grandes ventajas sobre los no posicionales,

especialmente la facilidad para efectuar operaciones aritméticas.

Un ejemplo ampliamente conocido es el de la numeración maya, que utiliza el cero y es

posicional.

Los números naturales. Se les llama así al conjunto: N = {1, 2, 3,…}

El cero es un caso aparte. En muchos libros se le considera un número natural y en otros no, por ello, para evitar confusiones, si estamos considerando que el cero forme parte de un conjunto de números se emplea la expresión: “Enteros no negativos”, y si no deseamos incluir al cero: “Enteros positivos”.

Propiedades de los números naturales. Los números naturales presentan diversas propiedades que hacen referencia a las operaciones aritméticas que se realizan con ellos. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200 palabras acerca de dichas propiedades.

La resta en los números naturales. Cuando efectuamos cualquier suma de números naturales el resultado es otro número natural, sin embargo, al efectuar una sustracción de dos números naturales, no siempre se obtiene como resultado otro número natural: 3 – 5 = – 2. Es obvio que el – 2 no es un número natural.

Cuando esto sucede, se amplía el conjunto de los números naturales para que incluya al cero y a los números negativos. Se obtiene así un nuevo conjunto de números:

Los números enteros. Se les llama así al conjunto: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Este conjunto de números incluye los naturales, el cero, y los enteros negativos.

Propiedades de los números enteros. Los números enteros presentan diversas propiedades que hacen referencia a las operaciones aritméticas que se realizan con ellos. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200 palabras acerca de la diferencia entre las propiedades de los números enteros y los naturales.

La división en los números naturales y números enteros. Cuando efectuamos cualquier suma o multiplicación de números naturales o enteros el resultado es otro número natural o entero, sin embargo, al efectuar una división de dos números naturales o enteros, no

siempre se obtiene como resultado otro número natural o entero: 𝟑 ÷ 𝟓 = 𝟎. 𝟔

Es evidente que 0.6 no es un número natural ni entero. Nuevamente se amplía el conjunto de los números enteros para que incluya resultados fraccionarios. A este conjunto de números se le llama:



Los números racionales. Los números racionales incluyen a los enteros y a cualquier número

que pueda expresarse como una fracción. A diferencia de los

números naturales y enteros, no existe el consecutivo de un número

racional ya que entre un racional y otro, existen infinidad de

números racionales.

En este conjunto de números se incluyen racionales positivos y

negativos

Propiedades de los números racionales. Los números racionales, al ser una ampliación de los números enteros, presentan algunas propiedades

similares a aquellos y otras diferentes. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200 palabras acerca de

la diferencia entre las propiedades de los números enteros y los racionales.

La raíz cuadrada de un número racional. Tal como ha ocurrido con otros conjuntos de números, al efectuar alguna operación aritmética, el resultado no

pertenece al conjunto de números en estudio, por lo que se hace necesario ampliar ese conjunto y formar así,

un nuevo conjunto. En este caso, la operación aritmética es la raíz cuadrada.

Al obtener a raíz cuadrada de diversos números racionales el resultado es otro número racional, sin embargo,

existen números racionales cuya raíz es un número irracional, por ejemplo: √2 ó √3

En esta ocasión no resulta tan evidente como en los ejemplos anteriores, por ello realiza una consulta acerca

de los números irracionales y elabora un reporte de 200 palabras acerca de las propiedades de dichos

números. Se obtiene así el conjunto de:

Los números reales. Este conjunto de números contiene a los racionales y a los irracionales.

Pueden expresarse como números enteros, decimales o fracciones

comunes.

La representación más común de los números reales es la recta

numérica.

Propiedades de los números reales. Los números reales también tienen sus propiedades. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200

palabras acerca de la diferencia entre las propiedades de los números reales y los racionales.

La raíz cuadrada de un número real. Al extraer raíz cuadrada de un número real, a veces se obtiene un número real, pero no siempre.

Específicamente la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real: √−𝟏 =?

Para poder resolver situaciones como esta, se amplía nuevamente el conjunto de los números reales.



Los números complejos. En forma similar a la forma en que se han resuelto las situaciones anteriores vamos a agregar elementos al

conjunto de los números reales para obtener los números complejos. Los nuevos elementos del conjunto son:

Los números imaginarios. Por lo que hemos aprendido hasta ahora, no es posible obtener la raíz cuadrada de un número negativo,

debido a que no existe ningún número real que, elevado al cuadrado, produzca un resultado negativo, es decir,

cualquier número real; positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, da como resultado un número positivo.

Para poder extraer la raíz cuadrada a un número negativo necesitamos un número que, al elevarlo al cuadrado,

produzca un resultado negativo, entonces se define el número i como la raíz cuadrada de meno uno.

𝑖 = √−1

Ahora sí, existe un número, llamado i, que al elevarse al cuadrado da como resultado un número negativo: -1.

𝑖 = √−1 → 𝑖2 = (√−1)2

→ 𝒊𝟐 = −𝟏

Este procedimiento de ampliar conjuntos de números parece un tanto artificial, tal vez lo es, pero tiene la

ventaja de que hemos “inventado” un número (i) que tiene propiedades sumamente útiles; especialmente la

obtención de la raíz cuadrada de números negativos. Por ejemplo:

√−4 = √(4)(−1) = √4√−1 = 2𝑖

Es posible que, para muchas personas, la idea de obtener la raíz cuadrada de un número negativo suene

absurda, sin sentido, y sin ninguna aplicación útil. No debemos olvidar que, durante mucho tiempo se opinó lo

mismo de los números negativos e irracionales, e incluso del cero. Son un concepto matemático que ha

probado ser útil en diversas ramas de la ciencia y la tecnología, especialmente en electricidad y magnetismo.

Naturalmente la incorporación de este número, ocasiona que algunas propiedades de los números reales no se

puedan aplicar y, en cambio, aparezcan otras propiedades que los números reales no tenían.

Propiedades de los números imaginarios. Al igual que otros conjuntos de números, los imaginarios tienen sus propiedades. Realiza una investigación y

elabora un reporte de 200 palabras acerca de las propiedades de los números imaginarios.

Concepto de números complejos.

A partir de la existencia del número i, podemos construir los números

complejos que constan de dos partes; un número real y un número imaginario.

Generalmente se representan escribiendo primero la parte real y luego la

imaginaria: a + bi.

Dado que cualquiera de los dos elementos del número complejo puede ser cero, todos los números reales se

consideran complejos con parte imaginaria igual a cero, y los imaginarios se consideran complejos con parte

real igual a cero: 5 = 5 + 0i, 2i = 0 + 2i.



Operaciones con números complejos. Las operaciones aritméticas con números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales se estudian

durante toda la educación básica. Debido a la incorporación del número i, las operaciones con números

complejos presentan algunas diferencias que es necesario estudiar.

Multiplicaciones y potencias del número i. Al elevar a una potencia el número i, debemos tener en cuenta que las propiedades que se aplican a los

números reales no funcionan con los números complejos. Un error ocasionado por la aplicación de

propiedades de los números reales a números imaginarios es:

𝑖 = √−1 → 𝑖2 = (√−1)2

→ 𝑖2 = √(−1)2

𝑖2 = √(−1)2 → 𝑖2 = √1 → 𝒊𝟐 = 𝟏

La forma correcta de elevar el número i a una potencia o multiplicarlo es la siguiente:

𝒊 = √−𝟏

𝑖2 = (√−1)2

→ 𝒊𝟐 = −𝟏

𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 → 𝒊𝟑 = (−𝟏) ∙ 𝒊 → 𝒊𝟑 = −𝒊

𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 → 𝒊𝟒 = (−𝟏) ∙ (−𝟏) → 𝒊𝟒 = 𝟏

𝑖5 = 𝑖4 ∙ 𝑖 → 𝒊𝟓 = (𝟏) ∙ 𝒊 → 𝒊𝟓 = 𝒊

𝑖6 = 𝑖4 ∙ 𝑖2 → 𝒊𝟔 = (𝟏) ∙ (−𝟏) → 𝒊𝟔 = −𝟏

𝑖7 = 𝑖4 ∙ 𝑖3 → 𝒊𝟕 = (𝟏) ∙ (−𝒊) → 𝒊𝟕 = −𝒊

𝑖8 = 𝑖4 ∙ 𝑖4 → 𝒊𝟖 = (𝟏) ∙ (𝟏) → 𝒊𝟖 = 𝟏

Es evidente que existe una regla empírica que nos permite simplificar los cálculos, anótala en seguida:

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Suma y resta de números complejos. Las sumas, restas y cualquier combinación de ellas, pueden resolverse aplicando las reglas algebraicas de

reducción de términos semejantes: se suman y restan por separado las partes real e imaginaria. Ejemplos:

1. (2 + 3𝑖) + (5 − 4𝑖) = 2 + 3𝑖 + 5 − 4𝑖 = (2 + 5) + (3 − 4)𝑖 = 7 − 1𝑖 = 𝟕 − 𝒊

2. (6 − 9𝑖) − (7 − 4𝑖) = 6 − 9𝑖 − 7 + 4𝑖 = (6 − 7) + (−9 + 4)𝑖 = −𝟏 − 𝟓𝒊

Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones:

1. (6 + 5𝑖) + (3 − 9𝑖) =

2. (−8 + 2𝑖) − (−5 − 4𝑖) =

3. (−1 + 8𝑖) − (−7 − 3𝑖) =

4. (−2 − 4𝑖) + (−6 + 7𝑖) =

5. (−5 − 6𝑖) + (3 + 9𝑖) − (−7 + 2𝑖) =

Multiplicación de números complejos. Para efectuar multiplicaciones se trata como cualquier multiplicación algebraica, con la consideración de que al

elevar el número i, a alguna potencia, debemos tomar en cuenta que se puede simplificar. Ejemplos:

El resultado se simplifica utilizando la equivalencia de i2.

10 + 7𝑖 − 12𝑖2 = 10 + 7𝑖 − 12(−1) = 10 + 7𝑖 + 12 = 𝟐𝟐 + 𝟕𝒊

Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones.

1. (3 + 4𝑖)(2 − 7𝑖) =

2. (−5 + 2𝑖)(−6 − 2𝑖) =

3. (−1 + 9𝑖)(−4 − 3𝑖) =

4. (−7 − 𝑖)(−8 + 2𝑖) =

5. (−3 − 2𝑖)(5 + 3𝑖)(−6 + 7𝑖) =



En ocasiones es necesario, antes de efectuar operaciones, obtener el número complejo debido a la presencia

de raíces cuadradas de números negativos.

Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones.

1. (5 + √−9)(3 − √−4) =

2. (−1 + √−16)(−4 − √−36) =

3. (−1 + √−121)(−1 − √−121) =

4. (−2 − √−1)(−2 + √−1) =

5. (−4 − √−49)(−4 + √−49)(−3 + √−25) =

Observa los ejercicios 3 y 4. Se trata de números complejos conjugados, es decir, solamente difieren en el

signo. Explica lo que sucede al multiplicar números complejos conjugados:

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División de números complejos. La multiplicación de números complejos conjugados es importante porque se emplea en la división de números

complejos.

Para dividir dos números complejos se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor como se

muestra en el siguiente ejemplo (Completa las operaciones faltantes):

Dividir 2 + 2𝑖 entre 2 − 2𝑖:

2+2𝑖

2−2𝑖=

(2+2𝑖)×(2+2𝑖)

(2−2𝑖)×(2+2𝑖)=

=

Ejercicio: Efectúa las siguientes operaciones.

1. (4 + 3𝑖) ÷ (2 − 3𝑖) =

2. (−1 + 2𝑖) ÷ (−1 − 2𝑖) =

3. (−1 + 9𝑖) ÷ (1 − 3𝑖) =

4. (−4 − 𝑖) ÷ (−8 + 2𝑖) =

5. [(−3 − 2𝑖) × (5 + 3𝑖)] ÷ (−6 + 7𝑖) =

6. [(−3 − 2𝑖) ÷ (5 + 3𝑖)] × (−6 + 7𝑖) =

7. [(−1 − 2𝑖) × (1 + 3𝑖)] ÷ [(−3 + 2𝑖)(2 − 3𝑖)]

8. [(2 − 𝑖) × (1 − 2𝑖)] ÷ [(−2 + 2𝑖)(2 − 𝑖)]



Aplicaciones de los números complejos. Los números complejos aparecieron desde muy temprano en la historia de la matemática, pero fueron

ignorados debido a que no tenían sentido ni se podían representar. Una de las primeras referencias de que se

tiene noticia es la de Herón de Alejandría.

Es hasta el siglo XVI cuando los matemáticos italianos investigaron y emplearon estos números en la resolución

de ecuaciones de segundo y tercer grado: 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0

Son particularmente reconocidos los trabajos de Cardano, Tartaglia, Descartes y sobre todo Euler quien

introdujo el símbolo i llamándolos números imaginarios.

Las principales aplicaciones de los números complejos se encuentran en la electricidad y magnetismo, sin

embargo, un área relativamente nueva y muy interesante es la de los fractales.

Realiza una investigación y elabora un reporte de 600 palabras acerca de los fractales.

Ejemplos de fractales:

Fractal de Mandelbrot. Triángulo de Sierpinski. El atractor de Lorentz.

Lecturas complementarias recomendadas.

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