Nmero complejo

Ilustracin del plano complejo. Los nmeros reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.Losnmeros complejosson una extensin de losnmeros realesy forman el mnimocuerpo algebraicamente cerradoque los contiene. El conjunto de los nmeros complejos se designa como, siendoel conjunto de los reales se cumple que(estcontenidoen). Los nmeros complejos incluyen todas lasracesde lospolinomios, a diferencia de los reales. Todonmero complejopuede representarse como la suma de unnmero realy unnmero imaginario(que es un mltiplo real de launidad imaginaria, que se indica con la letrai), o enforma polar.Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra, anlisis, as como de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Adems los nmeros complejos se utilizan por doquier en matemticas, en muchos campos de lafsica(notoriamente en lamecnica cuntica) y eningeniera, especialmente en laelectrnicay lastelecomunicaciones, por su utilidad para representar lasondas electromagnticasy lacorriente elctrica.En matemticas, estos nmeros constituyen uncuerpoy, en general, se consideran como puntos del plano: elplano complejo. Este cuerpo contiene a los nmeros reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los nmeros complejos es elteorema fundamental del lgebra pero que se demuestra an en un curso de variable compleja , que afirma que cualquierecuacin algebraicade gradontiene exactamente n soluciones complejas. Los anlogos delclculo diferencialeintegralcon nmeros complejos reciben el nombre devariable complejao anlisis complejo.1ndice[ocultar] 1Origen 2Definicin 2.1Cuerpo de los nmeros complejos 2.2Unidad imaginaria 3Valor absoluto o mdulo, argumento y conjugado 3.1Valor absoluto o mdulo de un nmero complejo 3.2Argumento o fase 3.3Conjugado de un nmero complejo 4Representaciones 4.1Representacin binmica 4.2Representacin polar 4.3Operaciones en forma polar 5Plano de los nmeros complejos o Diagrama de Argand 6Geometra y operaciones con complejos 7Esbozo histrico 8Aplicaciones 8.1En matemticas 8.1.1Soluciones de ecuaciones polinmicas 8.1.2Variable compleja o anlisis complejo 8.1.3Ecuaciones diferenciales 8.1.4Fractales 8.2En fsica 9Generalizaciones 10Vase tambin 11Referencias 11.1Bibliografa 11.2Enlaces externosOrigen[editar]El primero en usar los nmeros complejos fue el matemtico italianoGirolamo Cardano(15011576) quien los us en la frmula para resolver lasecuaciones cbicas. El trmino nmero complejo fue introducido por el gran matemtico alemnCarl Friedrich Gauss(17771855) cuyo trabajo fue de importancia bsica enlgebra,teora de los nmeros,ecuaciones diferenciales,geometra diferencial,geometra no eucldea,anlisis complejo,anlisis numricoymecnica terica, tambin abri el camino para el uso general y sistemtico de los nmeros complejos.Definicin[editar]Definiremos cada complejozcomo unpar ordenadode nmeros reales (a,b) (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones: Suma

Producto por escalar

Multiplicacin

Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes: Resta

Divisin

Al primer componente (que llamaremosa) se le llamaparte realy al segundo (que llamaremosb),parte imaginaria. Se denominanmero imaginario puroa aquel que est compuesto slo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que.Cuerpo de los nmeros complejos[editar]Los nmeros complejos forman uncuerpo, el cuerpo complejo, denotado porC(o ms apropiadamente por el carcterunicode ). Si identificamos el nmero realacon el complejo (a, 0), el cuerpo de los nmeros realesRaparece como un subcuerpo deC. Ms an,Cforma unespacio vectorialde dimensin 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, losnmeros reales, por lo queCno puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpoordenado.Unidad imaginaria[editar]Tomando en cuenta que, se define un nmero especial en matemticas de gran importancia, el nmeroio unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

Valor absoluto o mdulo, argumento y conjugado[editar]Valor absoluto o mdulo de un nmero complejo[editar]

Lafrmula de Eulerilustrada en elplano complejo.Elvalor absoluto,mduloomagnitudde un nmero complejozviene dado por la siguiente expresin:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del nmero complejozcomo algn punto en el plano; podemos ver, por elteorema de Pitgoras, que el valor absoluto de un nmero complejo coincide con ladistancia eucldeadesde el origen del plano a dicho punto.Si el complejo est escrito en forma exponencialz=r ei, entonces |z| =r. Se puede expresar en forma trigonomtrica comoz=r (cos + isen), donde cos + isen =eies la conocidafrmula de Euler.Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejozyw.Por definicin, la funcin distancia queda como sigued(z,w) = |z-w| y nos provee de unespacio mtricocon los complejos gracias al que se puede hablar delmitesycontinuidad. La suma, la resta, la multiplicacin y la divisin de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que sta es la mtrica usada en los nmeros complejos.Argumento o fase[editar]Artculo principal:Argumento (anlisis complejo)Elargumentoprincipalofasede un nmero complejo genrico(siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguiente expresin:

donde atan2(y,x) es lafuncin arcotangentedefinida para los cuatro cuadrantes:

O tambin:Siendo:

lafuncin signo.Conjugado de un nmero complejo[editar]Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.Elconjugadode un complejoz(denotado como) es un nuevo nmero complejo, definido as:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.Con este nmero se cumplen las propiedades: