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COMPETENCIAS Y OBJETIVOS• UNIDAD II :INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
• Competencia:
• -El estudiante debe utilizar correctamente los conceptos de experimento
aleatorio ,espacio muestral, eventos, para su aplicación en el Algebra de
Eventos ;la Teoría Combinatoria en las técnicas del conteo
• Objetivos.
• -Aplicar adecuadamente los conceptos de experimentos aleatorios , la
Teoría Combinatoria y el Algebra de eventos en la descripción y
determinación de los espacios muestrales.
• Descripción general de la unidad:
• -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes conceptos
:Experimento aleatorio, espacio muestral,eventos, Algebra de eventos ; La
teoría combinatoria como la Combinación y Permutación de un conjunto de
elementos ,el muestreo con y sin reposición.
• Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para
Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.41 al 47
• Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial”
2ª ed.Perú 1996 Pags,121 al 133
• Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e
Inferencia Estadística((2ª ed) Perú .Pags1al 51
• Referencia electrónica:
http://www.jfinternational.com/mf/probabilidades-definición.html
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CONTENIDO MÍNIMO DE TEORÍA DE LAS
PROBABILIDADES:
1.-Introducción a la probabilidad
2.-Definición ,axiomas y teoremas de probabilidad
3.-Variable aleatoria
4.-Características de una variable aleatoria
5.-Variable Aleatoria bidimensional
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Unidad II INTRODUCCIÓN A LA T. DE LAS PROBABILIDADES
- Introducción.- La T.de las Probabilidades es el fundamento de
la Estadística Matemática ó Inferencial.
Para desarrollar ésta teoría es necesario recordar algunos
conceptos básicos:
-Experimento.- Es todo acto por el cual se prueba una ó más
veces algo de la teoría de las ramas de las ciencia
Clases de experimentos.:a)Determinístico ,b)No determinístico
a)Determinístico.-cuando los resultados del experimento
pueden determinarse con exactitud.
b)No determinístico.- cuando los resultados del experimento no
pueden predecirse con exactitud
-Experimento Aleatorio.- es todo experimento no
determinístico que debe cumplir 2 requisitos:
1.cada experimento puede realizarse indefinidamente
2.-cada experimento tiene varios posibles resultados.
Espacio muestral.- =S es el conjunto de todos los posibles
resultados del experimento aleatorio.
-Elemento ó suceso .-a,b,c,....w,es todo elemento del espacio
muestral
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Tipos de experimentos por su composición.-
a)Simples εi ; i=1,2,3,.., cuando se compone de un solo experimento
Ej: Sea el ε1 :”lanzar una moneda” =S={ c , s }
b)Compuesto ε .- cuando se compone de 2 ó más experimentos simples
simultaneamente,tenemos.
1.b.)Unidos por ó excluyente.- ε = ε1 ó ε2 Significa que el experimento
principal ocurre cuando uno de los simples ocurre,pero no ambos
Ej: Sea el ε =“Lanzar una moneda ó un dado”,Describa el
Sol.- ε = ε1 ó ε2 ={ c , s }U {1,2,3,,4,5,6 } ={ c , s, ,1,2,3,4,5,6 }
2.b.)Unidos por la “y” incluyente.- ε = ε1 y ε2 significa que el experimento
principal ocurre cuando ambos simples ocurren simultaneamente ó uno tras
otro
Ej.Sea el ε=“Lanzar una moneda y un dado”,Describa el
Sol: ε = ε1 y ε2 ={ c , s }x {1,2,3,,4,5,6 }
= ={1c,2c,3c,4c,5c,6c,1,s,2s,3s,4,s,5,s,6s }
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-Eventos A,B,C,.....E....-es todo subconjunto del espacio muestral E C S.
Clases de eventos.-
-Unitario.- aquel evento que tiene un solo evento E={w}
-Imposible.- aquel evento que no tiene elementos E =
-Eventos compuestos.-cuando se componen de 2 ó más eventos,cuya
descripción necesita de algunas técnicas como tablas árbol lógico, teoría
combinatoria
Ej.Sea el ε=“Lanzar un dado 2 veces”,se definen los siguientes eventos:
A:”La suma sea 1” ,B:”la suma sea 12”,C:” La suma sea 7” ;descríbalos-
={(11)(12)(13)(14)(15)(16)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(31)(32)(33)(34)(35)(36)
.(41)(42)(43)(44)(45)(46)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(61)(62)(63)(64)(65)(66) }
A= ; B ={6,6 }; C={16, 25 ,34,43,52,61}
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-Algebra de Eventos .-dado que el “ S” se asemeja al conjunto
Universo y un evento a un subconjunto,se puede aplicar la teoría
de conjuntos a los eventos,donde se presentan algunos eventos
especiales:
1) A U B = ocurre por lo menos uno de ellos
2) A B= ocurren todos
3) AUB= AB =ninguno ocurre
4) AB U AB = exactamente uno ocurre
Ej.sean A,B,C ;3 eventos definidos en el”S”.Expresar c/u de los
siguientes eventos en términos de conjuntos
a)Ocurren exactamente 2 de los eventos:
ABCUABC UABC
b)No ocurre ninguno de ellos : A B C
c)Ocurren todos: ABC
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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.-
Sean 2 eventos A;B definidos en “S” ,tal que A B= ;
generalizando :sean n eventos Ai mutuamente
excluyentes ,tal que
Ai Aj= ; i j i,j:1,2,3,....n
EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS.-
Sean 2 eventos A,B definidos en el “S”,tal que AUB=
generalizando sean n eventos Ai colectivamente
exhaustivos tal que
A1UA2U...UAn= ; UAi =
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• TECNICAS DEL CONTEO.-
Cuando el espacio muestral o los eventos tienen una gran
cantidad de elementos ,entonces ya no es necesario
describir sino determinar cuantos son los elementos,para
ello se debe recurrir a la teoria combinatoria,la misma que
se basa en dos proncipios fundamentales:
1) De la multiplicacion.-Si un experimento aleatorio ε1 ocurre
de n1 maneras y si para cada una de estas,un experimento ε2
ocurre de n2 maneras entonces los dos experimentos juntos
ocurren de n1 * n2 maneras.
Ej. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del:
ε :” lanzar una moneda y un dado”
Sol.- ε = ε1 ^ ε2
n = n1 * n2 ; n= 2x6 = 12 elementos
2) De la Adicion.-Si un experimento aleatorio ε1 ocurre de n1
maneras y un segundo experimento ε2 ocurre de n2 maneras
entonces el experimento ε que consiste en realizarlos ε1 o
ε2 (forma excluyente) ,ocurre de n1 + n2 maneras
Ej.¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del:
ε :” lanzar una moneda o un dado”
Sol.- ε = ε1 o ε2
n = n1 + n2 ; n= 2 +6 = 8 elementos
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TEORÍA COMBINATORIA
Que se basa en los principios:el de la multiplicación y el de la adición
-Permutación.-es un arreglo de todo o parte de un conjunto,donde interesa el
orden
Definición.- nPr = n! / (n-r)! Cuando r < n ; nPr = n! ,si r = n
-Combinación.-es un arreglo de todo o parte de un conjunto donde no interesa el
orden.
Definición.- nCr = n! / r! (n-r)!
Ej,Un estudiante debe responder 8 de 10 preguntas,de cuántas maneras
a)Puede escoger ,b) si tiene q´contestar 4 de las 5 primeras.
Sol.-a) 10 C 8 = 10! / 8 ! 2! = 45 maneras
b) 5 C 4* 5 C 4 = 25 maneras
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• Permutaciones especiales.-
• A) Permutaciones circulares.- se aplican cuando el arreglo es
poligonal
Definicion.- PCn = (n-i)!
Ej. De cuantas formas diferentes pudieronen sentarse en la ultima
cena?
Sol.- n= 13 comensales ; PC13 = (13-1)! =12! = 47900160 formas
B)Permutaciones condicionales.- se aplica cuando se desea ordenar
n objetos de manera que k (k<n) de ellos no esten juntos.
Definicion.- PKn = n! – k!(n-k+1)!
Ej.-De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar todos los
elementos del conjunto={1,2,3,4,5,6,7,8,9} de manera que los
elementos 1 y 9 no aparezcan juntos.
Sol.- n=9 k=2 ; PK9 = 9! -2!(9-2+1)! = 282240
c) Permutaciones con reiteracion.- apliacmos cuando el conjunto
total de elemntos tiene elemntos que se repiten
Definicion.- Pn1 n2….nk = n!/n1! n2! n3!....nk!
Ej.De cuantas maneras pueden disponerse 12 objetos iguales en todo
excepto el color de los cuales 3 son negras,4 blancas y 5 rojas
Sol.- n=12; n1=3 ; n2= 4; n3= 5 ;
P3,4,5 = 12!/(3!4!5!) = 27720
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• Aplicaciones de la combinatoria en el muestreo.-
El muestreo se puede realizar de dos formas:
a) Muestreo con reemplazo.-se tiene este tipo de muestreo
cuando un objeto se extrae y luego se lo repone antes de
extraer el siguiente objeto.
Entonces si se extrae “r” extracciones de una muestra de
“n” elementos entonces el numero de formas sera nxnx n
xn ……….xn
B) Muestreo sin reemplazo.-se tiene este tipo de muestreo
cuando un objeto se extrae y luego no se lo repone antes
de extraer el siguiente objeto.Por lo tanto el numero de
maneras de extraer “n” elementos de una muestra con “r”
extracciones sera
n(n-1)(n-2)(n-3)……….(n-r+1) = n!/(n-r)!.
Ej. Considerando las placas de automoviles que tiene tres
letras seguidas de tres digitos.si pueden emplearse todas
las combinaciones posibles¿Cuántas placas diferentes
pueden formarse?
Sol.-
26³ . 10³= 17576(10)³