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COMPARACIÓN DE MODELOS DE FRICCIÓN QUE CONSIDERAN
COMPORTAMIENTO STICK-SLIP
Francesco Colella
Euro Casanova
Departamento de Mecánica, Universidad Simón Bolívar.
Edificio de Mecánica y Estudios Urbanos, 3er piso, oficina 311. Valle de Sartenejas, Edo.
Miranda, Venezuela.
Abstract. Dry friction force is present in practically all mechanical systems and is especially
important in mechanical transmissions, clutches, brake systems, mechanical seals, joints, piping
systems, etc. Furthermore, friction is a very important mechanism of energy dissipation and one
of the main causes of wear affecting industrial machinery. Consequently, the friction force plays
a fundamental role in the dynamics of many mechanical systems.
From a macro point of view, the simplest and most used friction model is the Coulomb model, in
which two phases or conditions are identified: the stick phase and the slip phase.
From the numerical perspective, implementing the Coulomb friction model is not a simple
matter, mainly due to the difficulty of detecting when the relative velocity vanishes on the
numerical fixed-step integration algorithms, in addition to the discontinuities and nonlinearities
intrinsic to the model.
This work reviews and evaluates the performance of the most used methods to simulate the stick-
slip regime, through their application to problems of 1 and N degrees of freedom produced by
finite element models, specially formulated to this end. From the results comparison, the
strengths and weaknesses of each method are identified in order to provide guidance to decide
on which method to use, depending on the particular application at hand.
Keywords: Friction, Coulomb, stick-slip, regularization.
Resumen. La fuerza de roce seco está presente en prácticamente todos los sistemas mecánicos y
es especialmente importante en transmisiones mecánicas, embragues, sistemas de freno, juntas
mecánicas, sistemas de tuberías, etc. Por otro lado, la fricción es un mecanismo muy importante
de disipación de energía y una de las principales causas de desgaste de los componentes de
maquinaria industrial. Lo anterior hace que la fuerza de fricción juegue un rol fundamental en
la dinámica de muchos sistemas mecánicos.
Desde el punto de vista macro, el modelo de fricción más sencillo y más empleado es el llamado
modelo de Coulomb, en el cual se identifican dos fases o condiciones: la fase de reposo o stick y
la fase de deslizamiento o slip.
Desde la perspectiva numérica, incorporar el modelo de fricción de Coulomb no resulta
sencillo, debido principalmente a la dificultad de detectar cuándo la velocidad relativa se anula
en los algoritmos de integración numérica a paso fijo, aunado a las discontinuidades y no
linealidades que presenta dicho modelo.
El presente trabajo, revisa y evalúa el desempeño de los métodos más usados para simular el
régimen stick-slip, mediante su aplicación a problemas de 1 GDL y a problemas de N GDL en
modelos hechos con elementos finitos, especialmente formulados para ello. A partir de las
comparaciones realizadas, se identifican las fortalezas y debilidades de cada método con el fin
de proveer una guía que oriente la decisión sobre cuál método utilizar, en función de la
aplicación.
Palabras clave: Fricción, Roce, Coulomb, stick-slip, regularización.
1. INTRODUCCIÓN
Las fuerzas de roce están presente en todos los sistemas mecánicos (e.g. transmisiones,
sistemas de tuberías, sistemas de freno, entre otros). Además, el roce es un mecanismo
importante de disipación y está presente en el día a día de nuestras vidas.
Mientras un cuerpo permanece en reposo (i.e. régimen de parada o stick), la fuerza de roce
actúa contrarrestando las otras fuerzas presentes en el sistema. Cuando las fuerzas que actúan
sobre el sistema (excluyendo la fuerza de roce) superan el valor máximo que puede tener la
fuerza de roce, inicia el movimiento del cuerpo (i.e. régimen de deslizamiento o slip).
La principal dificultad que presentan los métodos numéricos para simular la fuerza de roce
se basa en la detección de los cambios de régimen entre stick y slip. Estos cambios de fase
ocurren cuando la velocidad relativa entre los cuerpos en contactos se anula, siendo ésta una
condición difícil de detectar por algoritmos numéricos convencionales.
Para resolver este punto, algunos autores han propuesto utilizar una “ventana de velocidad”
alrededor del cero absoluto, por lo que si la velocidad del sistema se encuentra al interior de esa
ventana se supone que su valor es nulo y el sistema está en fase de stick (e.g. Karnopp [1], Tariku
y Rogers [2]). Por otro lado, cuando el sistema entra y sale muchas veces en la fase stick, se
puede observar un comportamiento no uniforme en la velocidad y fuerza de roce denominado
chatter, producto de los cambios bruscos en la aceleración. Para evitar lo último, otros autores
(e.g. Quinn [3]) han propuesto formulaciones de “regularización” de la fuerza de roce que
eliminan las discontinuidades presentes en el modelo de Coulomb [4-6], incluyendo o no el uso
del concepto de ventana de velocidad. El uso de una ventana de velocidad permite que el sistema
experimente comportamiento de stick-slip, sin embargo, la determinación del tamaño de la
ventana varía en función al problema estudiado y no existe un criterio claro para su selección
(e.g. Engleder et al., 2002 [7]).
Además de los ya nombrados, existen varios métodos para simular el roce (Awrejcewicz y
Olejnik [8]), unos están basados en pocos parámetros y su implementación es relativamente
sencilla (e.g. Coulomb [4-6]), otros son más complejos llegando a considerar el comportamiento
elastoplástico de los materiales involucrados para la estimación del roce (e.g. el modelo de
LuGre [9]). De lo anterior, resulta de gran importancia evaluar el desempeño de los métodos,
comparándolos entre sí para crear un criterio de selección para cada caso en particular, esto para
lograr la mejor relación precisión – costos computacionales en la obtención de los resultados.
Es así como este trabajo presenta una comparación entre los métodos más empleados para
simular el roce, ante diferentes problemas tipo benchmark que están reportados en la literatura,
especialmente formulados para ello y que se enfocan en el comportamiento stick-slip. Vale la
pena mencionar que en el 2015, Pennestrì [10] realizó un estudio comparativo similar en
problemas sencillos de algunos pocos grados de libertad (GDL). Sin embargo, en dicho estudio
no se consideró el método de Kikuuwe et al. [11], y tampoco se analizaron problemas de más de
5 GDL, siendo ambos aspectos tratados en el presente trabajo.
2. MÉTODOS PARA SIMULAR NUMÉRICAMENTE LA FRICCIÓN
2.1. Modelo de Coulomb
En 1781, Coulomb [4-6] experimentalmente estableció que la fuerza de rozamiento máxima
que puede existir entre dos cuerpos en contacto es directamente proporcional al valor de la fuerza
normal de contacto entre ellos. La constante de proporcionalidad es el coeficiente de roce μ, y su
valor depende de los dos materiales que estén en contacto. El modelo verifica las Eqs. (1) y (2),
donde es la fuerza de roce, el coeficiente de roce estático, el coeficiente de roce
dinámico, la normal y la velocidad relativa del sistema.
| | { | |
| | (1)
A continuación se describen brevemente los métodos de simulación numérica de la fuerza de
roce de Coulomb más comúnmente usados en la literatura especializada:
2.2. Método de Karnopp
Este método usa la relación dinámica de fricción de Coulomb para la fase de deslizamiento,
y para estimar la fuerza de fricción durante la fase de parada se plantea un balance de fuerzas
donde deben estar en equilibrio las fuerzas externas con las de roce [1]. Karnopp define una
“ventana de velocidad” que tiende al cero absoluto ( para detectar el instante en el cual el
cuerpo se encuentra en régimen de parada. La precisión de los resultados dependerá de la
ventana de velocidad utilizada y una de las desventajas es que no existen criterios precisos para
su correcta selección en cada problema (Engleder et al. [7]).
El método se encuentra formulado de la siguiente manera:
{ | | (
(2)
Donde es la “velocidad de ventana”, sgn es la función signo y es la fuerza que resulta
de un balance de fuerzas como el siguiente:
( (3)
Donde es la fuerza externa, la masa del sistema, la amortiguación y su rigidez.
Posteriormente se debe verificar que:
| | (4)
Si no se cumple esta condición, el cuerpo desliza, entonces la fuerza de roce debe ser
calculada con la Eq. (2a).
2.3. Regularización
Este método propone una modificación al modelo de Coulomb mediante una representación
continua de la fuerza de roce, la misma no requiere de la identificación de las transiciones entre
los regímenes de deslizamiento y parada [3]. Al igual que en Karnopp se debe fijar un parámetro
de comparación , el cual es determinante en las siguientes ecuaciones:
{ ( ( | | ) | ( | | |
( ( | | ) | ( | | | (5)
Finalmente la fuerza de roce es calculada de la siguiente manera:
{ | |
( | |
| |
( | |
(6)
2.4. Método de Kikuuwe et al.
Este método utiliza un algoritmo predictivo para estimar el valor que deberían tener las
fuerzas del sistema en la próxima iteración de forma que la velocidad relativa del cuerpo sea
nulo. Posteriormente, se compara el valor de esa fuerza estimada con la fuerza de roce estático
[11]. Este método, no depende de variables a fijar arbitrariamente, lo que lo hace bastante
robusto.
A partir de la ecuación de movimiento del sistema para el instante k se despeja la aceleración
y se integra dicha expresión para obtener la velocidad que tendrá el sistema en un instante
posterior k+1:
( ( (7)
donde T es el paso del tiempo. La velocidad para el instante k+1 será 0 si y sólo si:
( (8)
Por lo que la fuerza de roce queda definida de la siguiente manera:
{ ( | ( | | |
( ( | | | ( | | | (9)
3. ESTUDIOS DE PROBLEMAS DE 1 GDL
Los problemas de 1 GDL se caracterizan por facilitar la identificación de los efectos
particulares de cada uno de los términos que componen el sistema (i.e. inercia, disipación,
rigidez y excitación), además de ser relativamente sencillos de resolver, y de que para muchos
casos, las soluciones se pueden obtener a través de la resolución de ecuaciones analíticas. La
importancia de su estudio radica en la utilidad para realizar validaciones de los códigos
programados, antes de ser sometidos a problemas más complejos. En todos los casos que se
muestran a continuación se usó como método de integración el método de Newmark [12] en la
versión resulta incondicionalmente estable para problemas lineales.
3.1. Respuesta a condiciones iniciales
Para este problema, Quinn [3] usó el modelo más simple que existe para el estudio de
vibraciones: un sistema masa-resorte. El resorte de rigidez K se encuentra fijo a tierra en un
extremo y en el otro extremo está unido a un cuerpo de masa M. La magnitud máxima de la
fuerza de roce es es especificada e inicialmente el cuerpo es desplazado, a partir de la
condición indeformada del resorte, una distancia desde la cual se suelta, con velocidad inicial
nula. El estudio de este problema es importante ya que permite probar la convergencia de los
métodos numéricos de la fuerza de roce cuando los cuerpos entran en régimen de stick.
En la Fig. 2 se muestra la solución del problema descrito para K = 1 N/m, M = 1 kg, =
1 N y = 2.75 m. En dicha figura se puede apreciar como divergen, en distinta medida, los
métodos de Coulomb, Karnopp y Regularización. Esto se debe a la naturaleza propia de los
mismos, los cuales producen una respuesta que oscila erráticamente porque el sistema nunca
satisface la condición de velocidad nula. Una variación de los parámetros de calibración puede
permitir ajustar los métodos de Karnopp y Regularización hasta obtener resultados aceptables
para este problema, sin embargo, no existen criterios claros para determinar los parámetros de
calibración para cada problema particular. Los parámetros de calibración utilizados para obtener
los resultados mostrados son: , , para Karnopp y Regularización
respectivamente.
Por el contrario, el método de Kikuuwe, que como se mencionó anteriormente no requiere
determinación del valor óptimo de los parámetros, produce la solución esperada, es decir, el
sistema comienza su movimiento pero llega un momento en el que el roce ha disipado toda la
energía inicial y el sistema queda en reposo a partir de allí (stick). Esta solución numérica puede
ser hallada de forma analítica mediante un balance de energías, obteniendo la misma solución
que produce el método de Kikkuwe.
(a) (b)
Figura 2. Respuesta a condiciones iniciales 1 GDL
(a) Intervalo de tiempo t = (0 , 250)s, (b) Intervalo de tiempo t = (220 , 250)s
3.2. Boxes: El problema de las cajas
El problema de las cajas es un Benchmark para las fuerzas de roce debido a las transiciones
stick-slip que se presentan periódicamente. Dicho problema consiste en una caja que se desplaza
a velocidad constante y está vinculada a otra de masa M a través de un resorte de rigidez K,
estando esta última inicialmente en reposo. Al acercarse una caja a la otra, la fuerza del resorte
aumenta hasta que la caja de masa M comienza a desplazarse, luego, cuando están lo
suficientemente distanciadas, la caja de masa M se detiene y se repite el ciclo. Estas transiciones
stick-slip ocurren varias veces durante la duración de la simulación. En la Fig. 3 se puede
observar una imagen del sistema descrito. Los datos que se usaron en este problema son: M = 1
kg, g = 9,8 m/s², K = 30 N/m, y .
Figura 3. Problema de las cajas
En la Fig. 4 se muestra la amplitud y la velocidad de la caja de masa M en función del
tiempo, obtenidas mediante los métodos estudiados. Regularización, presenta para este problema
el fenómeno de pre-deslizamiento, es decir, el movimiento inicia antes de lo esperado. Por otro
lado, el método de Karnopp, logra reproducir con buena precisión la primera transición stick-slip,
pero luego no logra ingresar más en fase de stick. El método de Kikuuwe, reproduce con
excelente precisión todas las transiciones stick-slip presentes durante la simulación.
Los parámetros de calibración de Karnopp y Regularización utilizados para obtener los
resultados mostrados en la Fig. 4 son: , , respectivamente.
Las oscilaciones erráticas de la velocidad cuando el cuerpo aún se encuentra en reposo,
producidas por los métodos de Coulomb, Regularización y Karnopp se pueden observar en la
Figura 3.2 (b). Las amplitudes de la velocidad calculadas con Kikuuwe, debido a las transiciones
stick-slip, aumentan en un 200% con respecto a las calculadas con los demás métodos, esto se
debe a los saltos de la fuerza de roce entre sus valores estático y dinámico, lo que produce
grandes aceleraciones del sistema. Mientras que por el contrario, los otros métodos producen
resultados que se asemejan a los obtenidos con el método de Coulomb, lo que implica que no se
detecta la fase de stick.
(a) (b)
Figura 4. Respuesta al problema de las cajas
(a) Amplitud vs. tiempo. (b) Velocidad vs. tiempo
3.3. Test de Rabinowicz
El problema de Rabinowicz [10, 13] consiste en un sistema de 1 GDL que se encuentra
especialmente diseñado para el estudio del comportamiento de sistemas mecánicos que poseen
roce con transiciones entre los regímenes de deslizamiento y parada. En la Fig. 5 se esquematiza
el problema, el cual consiste en un resorte de rigidez K, que conecta a un cuerpo de masa M a
una pared fija a tierra. Este cuerpo es trasladado por una estructura que se mueve con respecto a
tierra a velocidad constante v. Cuando la fuerza generada por el resorte sea mayor que la fuerza
de roce estático, el cuerpo comenzará a deslizar. Posteriormente el cuerpo entrará en transiciones
entre stick-slip durante la duración de la simulación.
Los parámetros de diseño del problema seleccionados por Pennestrì et al. [10], son los
siguientes: M = 20 kg, K = 10 N/m y v = 0.5 m/s. Los coeficientes de fricción estático y
dinámico de Coulomb son y , los cuales producen las siguientes fuerzas de
roce = 117.72N y = 98.1N respectivamente.
Figura 5. Test de Rabinowicz ([10, 13])
Despreciar el efecto del stick para la fuerza de roce se puede traducir, para algunos sistemas
mecánicos, en la subestimación de las amplitudes de vibración. Tal es el caso de este problema,
donde se pueden observar los desplazamientos en función del tiempo para los métodos evaluados
en este trabajo. Note que el aumento en las amplitudes de oscilación en régimen permanente
entre las predicciones Kikuuwe y Coulmb es de más de 100%.
Una ilustración del comportamiento altamente no lineal de la fuerza de roce se puede
observar en la Fig. 7. Durante la fase de stick el valor de la fuerza de roce debe aumentar
progresivamente para contrarrestar la fuerza del resorte hasta alcanzar su valor máximo i.e. =
117.72N. Mientras que en la fase de deslizamiento, la fuerza de roce debería tomar el valor
correspondiente a = 98.1N. Es importante destacar la falta de periodicidad (en un problema
periódico) que presenta la fuerza de roce calculada con los métodos de Coulomb, Karnopp y
Regularización, así como la ausencia de stick claramente definido por lo que se observa que la
fuerza de roce se estabiliza en el valor = 98.1 N.
(a) (b)
Figura 6. Test de Rabinowicz
(a) Desplazamiento vs. tiempo. (b) Velocidad vs. tiempo
(a) (b)
(c) (d)
Figura 7. Test de Rabinowicz, fuerza vs. tiempo
(a) Coulomb (b) Karnopp (c) Regularización (d) Kikuuwe
4. PROBLEMAS DE N GDL
Los modelos de múltiples GDL son usados para encontrar soluciones más precisas a los
problemas de la vida real y por eso, es de gran importancia probar los métodos que simulan la
fuerza de roce en ellos. En la literatura se encuentran múltiples trabajos donde se evalúan
métodos de simulación de roce en problemas de múltiples GDL, sin embargo en general se trata
de modelos de 2, 3 o hasta 5 GDL (e.g. Podou [14], Fadaee y Yu [15], Yu y Wen [16]). A
continuación se evalúan los métodos estudiados cuando se aplican a la resolución de un
problema de una tubería recta simulada mediante un modelo de elementos finitos (EF) de
múltiples GDL.
4.1. Sistema de tuberías recto
El modelo EF de la tubería mostrada en la Fig. 8, posee 102 GDL y 16 EF uniformemente
distribuidos. La tubería se encuentra empotrada en sus extremos y posee 3 soportes
equiespaciados que restringen los movimientos verticales, de los cuales el B y el C poseen
coeficientes de roce y . En el soporte A se supone que no existe fricción. Para
el modelo se utilizaron EF tipo viga Bernoulli de 6 GDL por nodo.
Figura 8. Sistema de tubería recto
Las hipótesis usadas para el modelo fueron las siguientes:
a) El contacto de la tubería con el soporte siempre está garantizado
b) Las fuerzas normales de las tuberías con los soportes se consideraron constantes.
c) Se considera que la fuerza de roce actúa en el plano donde ocurre el movimiento de la tubería.
En la Tabla 1 se pueden observar los parámetros físicos del sistema. La amortiguación fue
introducida en el sistema considerando un coeficiente de amortiguación de 3% para todos los
modos normales. En el modelo se despreciaron los efectos del peso del fluido, presión interna y
efectos de la temperatura.
Tabla 1. Parámetros físicos del sistema de tuberías recto
Parámetro Valor
Diámetro Nominal 42 in
Schedule 20
Módulo de Young 207 GPa
Coeficiente de Poisson 0.29
Densidad 7860 kg/m³
Gravedad 9.81 m/s²
Respuesta a condiciones iniciales. Este análisis se realizó sobre el sistema de tuberías con
la finalidad de contrastar con los resultados obtenidos para los modelos de 1 GDL. En este
problema se sometió al sistema de tuberías a una deflexión inicial de = 0.1 m en el plano XZ
en el centro geométrico de la misma, de manera tal que la tubería alcanza la condición de stick
antes de oscilar. En la Fig. 9 se muestra la respuesta del punto medio de la tubería en función del
tiempo. Para este modelo discreto, se mantiene la tendencia de los resultados obtenidos para el
problema de 1 GDL sometido a condiciones iniciales. Los métodos de Coulomb, Karnopp y
Regularización presentan dificultades para determinar la posición de stick y las respuestas
predichas por éstos continúan variando durante un largo tiempo hasta hasta alcanzar el valor de
amplitud nula. Al calcular la respuesta con Kikuuwe basta un tiempo t = 0.4 s para que el sistema
alcance la condición de stick, la cual es distinta de cero. Los otros métodos no se estabilizan ya
que presentan “traqueteo” en la velocidad.
4. CONCLUSIONES
En este trabajo de se evaluaron diversos métodos para simular la fuerza de roce en
condiciones de stick-slip, con la finalidad de evaluar el desempeño de cada uno de ellos con
miras a crear un criterio general acerca de la aplicabilidad de estos métodos para resolver
problemas en específico.
A partir de la evaluación realizada se puede concluir que los métodos de Coulomb, Karnopp
y Regularización divergen ante una excitación de condiciones iniciales o respuesta forzada
inicial donde el fenómeno de stick-slip sea importante, pues no son capaces de estabilizarse en
un valor de posición de stick que sea distinto de cero y tienden a continuar desplazándose hasta
alcanzar dicha posición. Por el contrario, el método de Kikuuwe logra detectar el stick en
posiciones diferentes de cero y mantenerla permanentemente, tal como ocurre en la realidad.
Adicionalmente, se observó que las transiciones entre las fases de stick-slip producen
cambios bruscos en las aceleraciones del sistema, lo que a su vez produce un aumento de las
amplitudes y velocidades del mismo.
Por otro lado, cuando las condiciones del sistema son propicias para que el cuerpo no
ingrese en fase de stick, (i.e. altos valores de excitación que garanticen la condición de slip puro),
la respuesta calculada será la misma a través de cualquiera de los métodos, por lo que se puede
usar el modelo simple de Coulomb para reducir considerablemente los gastos computacionales.
(a) (b)
Figura 9. Respuesta ante condiciones iniciales de una tubería recta (Nodo B).
(a) Intervalo de tiempo t = (0 , 200)s, (b) Intervalo de tiempo t = (0 , 12)s
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