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Comparación de los métodos utilizados para laComparación de los métodos utilizados para la diseminación de los patrones de masa de alta exactitud y validación de la incertidumbre estimada ymediante simulación numérica
Lautaro Ramírez VarasLuis Omar Becerra SantiagogLuis Manuel Peña Pérez
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Objetivo del proyecto
Diseminar las masas con trazabilidad al k 21k-21.Determinar el mejor estimado de los diferentes métodosdiferentes métodos.Corroborar el cálculo de la generalización de la GUM para el caso multivariable conla GUM para el caso multivariable con Monte Carlo.Comparar los distintos métodos deComparar los distintos métodos de subdivisión entre ellos.
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Diseminación de la unidad de masa
La unidad de masa es el kilogramoEste debe ser subdividido y multiplicado.multiplicado.Debe conocerse los valores de
ió d lcorrección de las pesas.Debe conocerse su incertidumbre asociada y su correlación
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Diseminación del kilogramo
En la calibración de pesas E1,, de valor nominal igual o menor que 500 mg senominal igual o menor que 500 mg , se recomienda los esquemas de subdivisión según la OIML R-111, para alcanzar las incertidumbres apropiadasalcanzar las incertidumbres apropiadas.
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¿Cómo se disemina?
− y1
101111011111
−−
−
yyy
gg
4
3
2
5001000
101110011110101111
En la fila 3 se
=
−−−
−−
yyy
ggg
6
5
*200200500
*001100111100111100
En la fila 3 se compara la pesa de 500
−−
yyy
gg
9
8
7
*100100
111000110100001100pesa de 500
con la de 200 200* 100
−
Rmy10
000001110000200* y 100
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Métodos de Subdivisión del kilogramo
Mínimos Cuadrados OrdinariosMínimos Cuadrados Ponderados-Multiplicadores de LagrangeMultiplicadores de LagrangeGauss Markov( Mínimos Cuadrados ponderados)Diseño OrtogonalDiseño Ortogonal
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¿ Qué se hizo ?¿ Qué se hizo ?
Modelo de mediciónS l lt d bt id lSe compararon los resultados obtenidos por los diferentes métodos para un único conjunto de datos
P t d l ét d t i id ó lPara todos los métodos anteriores se consideró el siguiente modelo demedición
ajusteqra VVmy ερ∆ −−−= )( ajusteqra VVmy ερ )(
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MetodologíaLa comparación de métodos de subdivisión se realizó bajo las mismas condiciones con el fin de evaluar únicamente el resultado del ajuste con los diferentes métodosresultado del ajuste con los diferentes métodos.
Datos Condiciones ambientalesCondiciones ambientales
Se consideraron tres ciclos de comparación ABBA para cada fila que corregidos por efecto boyante y sensibilidad de lafila, que corregidos por efecto boyante y sensibilidad de la balanza, permiten obtener un vector de diferencias, Y
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Mínimos Cuadrados OrdinariosMínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)1er Método
Función a minimizar )ˆ()ˆ(2 yyyyS T −−=Función a minimizar Vector de proyección ortogonalV t d ti d d ( ) TT 1ˆ
( ) TT XXXP 1−=
)()( yyyyS
Vector de estimados de masaMatriz de varianza covarianza
( ) YXXX TTMCO
1ˆ −=β
( ) ( ) 21ˆcov σβ−
= XX T( ) ( )
eeT=2σ
nm −
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MCO
Esquema de solución
−−−
yyy
g 3
2
1
1000011110101111011111
=
−−−−
−
yyy
gggg
6
5
4
*2002005001000
*111100111100101110
−−−
yyy
ggg
9
8
7
*100100
110000111000110100001100
−
Rmy 10
000001110000
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Método Ortogonal2do Método2do Método
Se resuelven mediante los Mínimos Cuadrados OrdinariosLa matriz de diseño X tiene columnas mutuamente
t l t íortogonales entre sí.
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Método Ortogonal
Se arregla matriz de diseño X para obtener valores no correlacionados en la matriz varianza covarianza (columnascorrelacionados en la matriz varianza-covarianza (columnas mutuamente ortogonales)
Para lograr la matriz de diseño X del modelo ortogonalPara lograr la matriz de diseño X del modelo ortogonal, algunas de las comparaciones, (renglones de X y sus correspondientes elementos del vector Y), son repetidos o eliminados
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Método Ortogonal
El patrón está en el vector de observaciones
++
−−
4
3
2
1
yy
yy
10111011111011101111
r
r
mm
=
−−−−−−
7
6
5
4
yyyy
100*200
200500
*11110111101111010111
gggg
−−
−−
10
9
8
yyy
*100100
11100110101101011110
gg
−−
12
11
yy
1110011100
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Mí i C d d P d d l ióMínimos Cuadrados Ponderados, soluciónMultiplicadores de Lagrange (MCP-ML)3er Método
Función a minimizar
Para quitar la singularidad)ˆ()ˆ( 22 yyWyy T −−= −χ
Para quitar la singularidad )ˆ,(2)ˆ()ˆ( 22 yfyyWyy TT βλχ +−−= −
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MCP-ML
Estimados de masa( ) 1ˆ
Con ( ) YXXX TT
MCP ′′′′′′′′=−1
β̂
XWX 21
′′
Vector de proyección Ortogonal
XWX 2=′′
YWY 21
=′′Vector de proyección Ortogonal
( ) TT XXXP ′′′′′′=−1
Matriz de varianza covarianza( ) ( ) ( ) TTTTMCP XXXWXXX """"ˆcov
1"1
1"
−−
−=β
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MCP-LM
El valor del patrón se ingresa en las ecuaciones normales y no en la matriz de diseño
−−−
2
1
1000011110101111011111
yyy
g
=
−−−
5
4
3
2005001000
*111100101110011110
yyy
ggg
=
−−
−−
7
6
*100100
*200
110100001100111100
yyy
ggg
−−
10
9
8100
110000111000110100
yyyg
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Gauss Markov (GM)4to Método4to Método
Para el método de Gauss Markov (GM), se asume una función de varias variables aleatorias, a diferencia de los demás métodosaleatorias, a diferencia de los demás métodos donde se asume que Y es únicamente función de las variabilidad de las indicaciones de la balanza
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GM
Estimados ( ) YWXXWX TT 111 −−−
∧
=βMatriz de varianza-covarianza
( )β
( ) 11)cov( −−= XWX Tβ ( )
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Generalización de la GUM para el caso Matricialcaso Matricial
Matriz completaT
uu JJW φ=
El Jacobiano del vector de observacionesobservaciones,
[ ]ajusteVLu JJJJJ ρ∆=
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GM
Para este modelo de medición [ ]ajustea VLY ερ∆=
Y Φ será la matriz compuesta de matices de varianzap
ajusteLVLLL a
φφφφφφφφ ∆∆ρ∆∆ ,,,
=ajusteVVVVL
ajusteVL
a
aaaa
φφφφφφφφφφφφ
φρ∆
ρρρρ∆
,,,
,,,
ajusteajusteVajusteajusteL a
φφφφ ρ∆ ,,,
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GM
−
yy1
101111011111
IDEM MCO
−−
−
yyy
gg
4
3
2
5001000
101110011110101111
=
−−−
−−
yyy
ggg
7
6
5
*200200500
*001100111100111100
−−
yyy
gg
9
8
7
*100100
111000110100001100
−
Rmy10
000001110000
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Comparación
Se comparó cada método con l i l ió é ila simulación numérica mediante Monte Carlo.Cada método se comparó con los demáslos demás
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Simulación Numérica por Monte Carlo (SNMC)Carlo (SNMC)
Combina distribuciones de probabilidad de las variables de entrada de acuerdo al modelo de medición y arroja valores para la variable de salidamedición y arroja valores para la variable de salida Igual que en el caso de la aplicación del método
GUM, la Simulación Numérica por el Método de Monte Carlo descrita en el suplemento 1 de la GUM no considera el caso multivariable de salida
Para la estimación de la incertidumbre de losPara la estimación de la incertidumbre de los estimados de salida (estimados de masa de las pesas) se hace la generalización para el cálculo matricialA nivel multivariable no se había desarrollado laA nivel multivariable no se había desarrollado la
simulación, salvo en pesas de igual valor nominal(CENAM).
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SNMC
( )nXXXfY ,...,, 211 = Y1X2X ( )
( )nXXXfY ,...,, 211 = Y1X2X ( )2X
X
( )nXXXfY ,...,, 212 = 2Y
( )XXXfY = Y
2X
X
( )nXXXfY ,...,, 212 = 2Y
( )XXXfY = YnX ( )nn XXXfY ,...,, 21= nYnX ( )nn XXXfY ,...,, 21= nY
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SNMC
V i bl d t dVariables de entradaDiferencias en masa Variables salida
V t d lDensidades del aireV lú d l
Vector de las pesas a
libVolúmenes de las pesas Valor del patrón
calibrar
p
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Resultados k=1
500 g
-0,1050
-0,0950
-0,0850
(mg)
-0,1250
-0,1150
0,1050
orre
cció
n (
-0,1550
-0,1450
-0,1350Co
C AL C AL C AL C AL
SN
MC
MA
TRIC
IA
SN
MC
MA
TRIC
IA
SN
MC
MA
TRIC
IA
SN
MC
MA
TRIC
IA
Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.
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Resultados k=1
200 g
0,020
0,030
0,040m
g)
-0,010
0,000
0,010
Cor
recc
ión
(
-0,030
-0,020
0,0 0C
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.
SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC
g g g
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Resultados k=1
200 g*
0,005
0,015
0,025m
g)
-0,025
-0,015
-0,005
Cor
recc
ión
(
-0,045
-0,035
,C
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.
SN
MAT
RIC SN
MAT
RIC SN
MAT
RIC SN
MAT
RIC
g g g
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Resultados k=1
100 g
-0 045
-0,035
-0,025m
g)
-0,065
-0,055
0,045
Cor
recc
ión
(
-0,085
-0,075
C
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.
SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC
g g g
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Resultados k=1
100 g*
-0 130
-0,120
-0,110m
g)
-0,150
-0,140
0,130
Cor
recc
ión
(
-0,170
-0,160
C
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
NM
C
CIA
L
Ortogonal M.C.P. Lagrange Gauss - Markov M.C.O.
SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC SN
MA
TRIC
g g g
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Conclusiones
Los estimados o correcciones de las SNMC no varían significativamente de aquellos provenientes de los g q pmétodos matriciales.En algunos caso la incertidumbre estimada de las SNMC
difiere significativamente de la incertidumbre estimada di t l li ió d l GUMmediante la generalización de la GUM.
La pesa de 100 g es comúnmente utilizada como referencia para la década subsecuente, por tal motivo es de suma importancia tener estimados confiables y con lade suma importancia tener estimados confiables y con la incertidumbre apropiada.La SNMC permite calcular la correlación entre los
estimados de masa para el modelo Ortogonal .estimados de masa para el modelo Ortogonal .
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Conclusiones
Los estimados de las correcciones, del vector β son iguales con respecto a suvector β son iguales con respecto a su simulación, y en general entre métodos, no existen diferencias significativas.gDonde no se cumple el principio de
igualdad de varianza, los resultados de l ét d d t d álos métodos que ponderan tenderán a diferenciarse de los métodos que no ponderanponderan.
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Conclusiones
Los coeficientes de correlación resultantes de la simulación numérica para el método ortogonal son lossimulación numérica para el método ortogonal, son los más bajos.Los resultados de GM tenderán a parecerse a losLos resultados de GM tenderán a parecerse a los
resultados de MCP-ML conforme las varianza de las contribuciones tipo B sean menores en relación a la varianza de la contribución tipo Avarianza de la contribución tipo A.Como resultado de este trabajo se recomienda
emplear el modelo matemático de GM y aplicar laemplear el modelo matemático de GM y aplicar la simulación numérica por el método de Monte Carlo