CONTROL II DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA.INTRODUCCIN.En este captulo presentaremos los procedimientos para el diseo y compensacin de sistemas de control lineales e invariantes con el tiempo, de una entrada y una salida utilizando el mtodo de la respuesta en frecuencia. Mtodo de la respuesta en frecuencia para el diseo de un sistema de control En el mtodo de la respuesta en frecuencia, se especifica el comportamiento de la respuesta transitoria de forma indirecta, estos es; en trminos de las especificaciones que ofrecen una estimacin razonable del amortiguamiento del sistema (margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia), de los que dan una estimacin de la velocidad de respuesta transitoria (la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda) y de las que proporcionan la precisin en estado estacionario (las constantes de error esttico). Despus de disear en lazo abierto mediante el mtodo de la respuesta en frecuencia, debe verificarse las caractersticas de la respuesta transitoria y repetir el anlisis si no se satisface los requisitos en dominio del tiempo. Hay dos enfoques de diseo, uno es el del diagrama polar y el otro es el del diagrama de Bode; este ltimo es el ms conveniente. Un enfoque comn del diagrama de Bode es que primero se ajusta la ganancia en lazo abierto para cumplir con el requisito en estado estacionario. Luego, se representan las curvas de magnitud y fase en lazo abierto sin compensar. Si no se satisface las especificaciones de margen de fase y margen de ganancia, se determina un compensador adecuado que modifica la funcin de transferencia en lazo abierto. Finalmente, si se deben cumplir otros requisitos, se intenta satisfacerlos a menos que entre ellos existan contradicciones. Informacin que se obtiene de la respuesta en frecuencia en lazo abierto. - La regin de bajas frecuencias (por debajo de la frecuencia de cruce de ganancia) indica el comportamiento en estado estacionario del sistema en lazo cerrado. - La regin de frecuencias medias (cercana al punto -1 + j0) muestra la estabilidad relativa. - La regin de altas frecuencias (muy por encima de la frecuencia de cruce de ganancia) informa sobre la complejidad del sistema. Requisitos sobre la respuesta en frecuencia. En muchos casos prcticos, la compensacin es en esencia, un compromiso entre precisin en estado estacionario y estabilidad relativa. Para un valor alto de la constante de error de velocidad y estabilidad relativa satisfactoria, es necesario volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto. La ganancia en la regin de bajas frecuencias debe ser suficientemente grande, cerca de la frecuencia de cruce de ganancia, la pendiente de la curva de magnitud logartmica en el diagrama de Bode debe ser de 20 dB/dcada que debe extenderse sobre un rango amplio de frecuencias, asegurando un margen de fase adecuado. Para la regin de altas frecuencias, la ganancia debe atenuarse lo ms rpido posible a fin de reducir los efectos del ruido.

Figura N 1.- (a) Ejemplos de curvas de respuesta en frecuencia en lazo abierto deseables y no deseables; (b) Ejemplos de curvas de respuesta en frecuencia en lazo cerrado deseables y no deseables.

Figura N 2.- Modificacin de la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto. En la figura N 2, la curva de respuesta en frecuencia modificada sigue al de G1(j) en la regin de altas frecuencias y a G2(j) en la regin de bajas frecuencias. El lugar geomtrico modificado G c(j)G(j) debe tener mrgenes de fase y de ganancias razonables o bien ser tangentes a un crculo M adecuado, tal como se muestra. Caractersticas bsicas de la compensacin de adelanto.- Mejora la respuesta transitoria y un pequeo cambio en la precisin en estado estacionario. - Acenta los efectos del ruido de alta frecuencia. - Aumenta en uno el orden del sistema (siempre que no haya cancelacin de un polo por el cero del compensador) Caractersticas bsicas de la compensacin de retardo.- Mejora apreciable en la precisin en estado estacionario. - Aumenta el tiempo de respuesta transitoria. - Suprime los efectos de las seales de ruido a alta frecuencia. - Aumenta en uno el orden del sistema (siempre que no haya cancelacin de un polo por el cero del compensador). Caractersticas de la compensacin de retardo-adelanto.- Aumenta en dos el orden del sistema (siempre que no haya cancelacin de un polo por el cero del compensador). - Combina las caractersticas de la compensacin de adelanto con las de retardo. - El sistema es ms complejo dificultando el control de la respuesta transitoria.

COMPENSACIN DE ADELANTOCARACTERSTICAS DE LOS COMPENSADORES DE ADELANTO.La funcin de transferencia de un compensador de adelanto se expresa como:

Gc ( s )

Kc

Ts 1 Ts 1

s Kc s

1 T 1 T

(0

1)

Donde se denomina factor de atenuacin del compensador. El valor mnimo de est limitado por la construccin fsica del compensador de adelanto, su valor mnimo se toma normalmente alrededor de 0.05 (significa que la fase mnima que puede producir el compensador es de 65). La figura N 3, muestra el diagrama polar de:

Gc ( j )Con Kc = 1.

Kc

j T j T

1 1

(0

1)

Figura N 3.- Diagrama polar de un compensador de adelanto (jT + 1)/(j T + 1), donde 0 1 y

>1

s s

1 T1 T1

1 T1 s T1 s

1 1

; > 1 ; produce el efecto de la red en adelanto.

s s

1 T2 1 T2

T2 s 1 ; > 1 ; produce el efecto de la red en atraso. T2 s 1

Para el diseo, con frecuencia se elige = .

Figura N 18.- Diagrama polar de un compensador de retardo-adelanto con Kc = 1 y = . En el diagrama polar de la figura se observa que para 0 < < 1 el compensador acta como compensador de retardo. Si 1< < acta como compensador de adelanto. La frecuencia 1 es aquella en la cual el ngulo de fase es cero y viene dado por:1

1 T1 T2

Figura N 19.- Diagrama de Bode del compensador con Kc = 1, = y T2 = 10T1. Del diagrama de Bode se observa que la curva de magnitud tiene un valor de 0 dB en las regiones de bajas y altas frecuencias. PROCEDIMIENTO DE DISEO Combina las tcnicas de diseo de compensacin en adelanto y compensacin en atraso. Suponiendo que el compensador tiene la forma siguiente:

Gc

Kc

(T1 s 1) (T2 s 1) T ( 1 s 1) ( T2 s 1)

(s Kc (s

1 ) (s T1 T1 ) (s

1 ) T2 ; 1 ) T2

1

La porcin que incluye T1 altera la curva de respuesta en frecuencia, agregando cierto adelanto de fase, e incrementando el MF a la frecuencia de cruce de ganancia. La porcin de atraso de fase que incluye T2; produce atenuacin cerca o por arriba de la frecuencia de cruce de ganancia en el rango de bajas frecuencias para mejorar el comportamiento en estado estacionario. El ejemplo ilustra los detalles de los procedimientos de diseo. EJEMPLO: Considere el sistema con retroalimentacin unitaria.

G( s)

s (s

K 1) ( s

2)

;

Se desea un Kv = 10 seg-1, MF = 50 y MG 10 db. Suponga que se usa un

compensador de retardo-adelanto. Solucin.En lazo abierto la F.T. es GC (s) G(s) 1. suponiendo KC = 1;

s

Lim G c ( s )0

1

A partir del requisito sobre el error esttico de velocidad, se tiene:

Kv

s

Lim s G c ( s ) G ( s )0

K 2

10

K

20

Figura N 20.- Diagrama de Bode del sistema no compensado (G), compensado (G cG) y del compensador (Gc). Se observa que el margen de fase del sistema no compensado pero ajustado en ganancia es -32, lo que indica que el sistema es inestable. 2. Se selecciona una nueva frecuencia de cruce de ganancia. De la curva de fase se determina que G(j) = 180 a = 1.5 rad/seg. Conviene que la nueva frecuencia de cruce de ganancia sea 1.5 rad/seg de modo que el adelanto de fase de ngulo de fase requerido sea alrededor de 50 que es bastante posible utilizando slo una red de atraso adelanto. 3. se determina la frecuencia de cruce = 1/T 2 una dcada por debajo de la nueva frecuencia de cruce, entonces . = 0.15 rad/seg: 4. Determinamos a partir de :

Sen

m

1 1

0.766

7.548

Elegimos = 10 entonces, MF = 54.9. 5. la frecuencia de cruce: 1/ T2 = 0.015 rad/seg. La funcin de transferencia de la porcin de atraso de fase del compensador es:

s s

0.15 0.015

10

6.67 s 66.7 s

1 1

6. la porcin de adelanto de fase se determina as: si la frecuencia de cruce de ganancia es = 1.5 rad/seg entonces: G(1.5) = 13 dB. A partir de este requisito, se traza una lnea recta con pendiente de 20 dB/ dcada que pasa por el punto (1.5 rad/seg, 13 dB). La interseccin de esta lnea con las lneas de 0 dB y 20 dB determinan las frecuencias de cruce, que son: = 0,7 rad/seg. y = 7 rad/seg. La F.T de la porcin en adelanto es:

s 0.7 s 7Como KC = 1

1 1.43 s 1 10 0.143 s 1

(

s s

0.15 s 0.7 )( ) 0.015 s 7

6.67 s 66.7 s

1 1

1.43 s 1 0.143 s 1

La F.T de lazo abierto del sistema compensado es:

Gc ( s) G( s)

10 1.43 s 1 6.67 s 1 s 0.143 s 1 66 .7 s 1 s 1 0.5 s

1

Se observa que el Sistema compensado tiene MF = 50 y MG = 16 dB y K v = 10 seg -1, cumpliendo los requisitos de diseo. 7. Se examina las caractersticas de la respuesta transitoria, para ello la funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema compensado es:

C ( s) R( s )

4.769s

5

95.381s 2 81s 47.7287s 4 110.3026s 3

10 163.724s 2

82s

10

Los polos y ceros en lazo cerrado son: Ceros en s = -0.1499, s = -0.6993. Polos en s = -0.8973 j1.4439, s = -0.1785, s = -0.5425, s = -7.4923

El polo en s = -0.1785 y el cero en s = -0.1499 se localizan uno muy cerca del otro, produciendo una cola larga de pequea amplitud en la respuesta escaln (ver la figura N 21). Tambin, el polo en s = -0.5425 y el cero en s = -0.6993 se localizan relativamente cerca uno del otro, aadiendo as amplitud a la larga cola.

Figura N 21.- Respuesta escaln unitario del sistema compensado.

Figura N 22.- Respuesta rampa unitaria del sistema compensado. EJEMPLO: Considere el sistema mostrado. Disear un compensador en adelanto tal que el sistema en lazo cerrado tenga un MF de 50 y MG de al menos 10dB. Se desea que BW (ancho de banda) sea de 1 a 2 rad/seg. Solucin.-

Figura N 23.- Sistema de Control.

Gc ( j ) G( j )

Kc

1

T j 1 T j

1 1 j2

0.2 0.2 j 1

El BW es cercano a la frecuencia de cruce ganancia se elige m = 1 rad/seg, entonces G(j ) = 191,31; entonces la red de adelanto debe proveer 50 + 11,31 = 61.31 a = 1 rad/seg. se determina de:

Sen

m

1 1

0.87723

15 .2906

Pero m se produce en la media geomtrica de ambas frecuencias de cruce:

m

1 T T

T

T

T

15 .2906 1

T

3.91 .

Por tanto: Gc ( j ) G( j )

0.0654 K c

3.91 j 0.2557 j 1 j

1 0.22

0.2 j

1

Figura N 24.- Diagramas de Bode del sistema de la figura N 23. Del diagrama de Bode se observa que la curva de magnitud debe elevar: 2.306 db. Entonces: 20 log 0.06541Kc = 2.306 ; Kc = 19.94 BW = 1.98 rad/seg; Mr = 2.13 db y r = 0.54 rad/seg. EJEMPLO.Considerando el sistema mostrado en la figura. Disear un compensador serie de manera que la constante de error de velocidad: Kv = 20 seg.-1; el margen de Fase MF = 50 y margen de ganancia MG 10 dB.

Figura N 25.- Sistema de Control. Solucin.Probando con un compensador de adelanto. Se define

Gc ( s )

Kc

Ts 1 Ts 1

s Kc s

1 T 1 T

Sea Gc(s)G(s), la funcin de transferencia en lazo abierto del sistema compensado. Definimos:

G1 ( s )Donde K = Kc .

KG ( s )

10 K s ( s 1)

Ajustando K para que cumpla la especificacin de funcionamiento en estado estacionario:

KvO bien: K = 2.

Lim s Gc ( s ) G ( s )s 0

Lim ss 0

Ts 1 G1 ( s ) Ts 1

Lim ss 0

10 K s ( s 1)

10 K

20

Dibujando el diagrama de Bode del sistema con K = 2 (ajustando pero sin compensar) de:

G1 ( j )

20 j (j

1)

Cuadro N 3.- Programa MATLAB

Figura N 26.- Diagrama de Bode de G1(j). Del diagrama se observa que MF = 14 y MG = . El bajo margen de fase, indica que el sistema es muy oscilatorio por tanto, necesitamos mejorarlo hasta llegar a los 50 requeridos para el cual requerimos de 36, al que aadimos 5 para compensar el desplazamiento de la curva debido al retardo de fase; luego, el adelanto de fase mximo requerido es m = 41. Calculamos el factor de atenuacin desde:

Sen

m

1 1= 0.21

Resultando = 0.2077. Para = 0.21 corresponde m = 40.76, por tanto escogemos Calculamos las frecuencias de quiebre del compensador de adelanto a partir de:

1 j T 1 j TPero G1 ( j )

11 ( T)

j j

1 1 1 1 0.21 1 0.4583 6.7778 dB.

1

6.7778 dB corresponde a = 6.5 rad/seg. Seleccionamos esta frecuencia como la nueva

frecuencia de cruce de ganancia.

Cuadro N 4.- Programa MATLAB del diagrama de Bode de G1(j) para entre 1 y 10 rad/seg.

Figura N 26.- Diagrama de Bode de G1(j) para entre 1 y 10 rad/seg. Por definicin:

1c

(

T)

De donde:

1 TY

c

6.5 0.21

2.9787

1 TKc lo determinamos de:

c

6.5 0.21

14 .1842

KcLa funcin de transferencia del compensador es:

K

2 0.21

9.52380.3357 s 1 0.07050 s 1

Gc ( s )

9.5238

s 2.9787 s 14 .1842

2

Cuadro N 5.- Programa MATLAB del diagrama de Bode del Compensador de adelanto.

Figura N 27.- Diagrama de Bode de Gc(s). La funcin de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es:

Gc ( s )G ( s )

9.5238

s 2.9787 10 s 14 .1842 s ( s 1)

s

3

95 .238 s 283 .6854 15 .1842 s 2 14 .1842 s

Cuadro N 6.- Programa MATLAB del diagrama de Bode del sistema compensado.

Figura N 28.- Diagrama de Bode del sistema compensado.

Se observa que el Margen de fase es aproximadamente 50 y que el margen de ganancia es infinito, tambin la constante de error esttico de velocidad es 20 seg-1, cumplindose los requisitos de diseo. Las funciones de transferencia del sistema no compensado y del compensado son:

C (s) R( s)Y

s

2

10 s 10

C ( s) R( s)

s

3

95 .238 s 283 .6854 15 .1842 s 2 109 .4222 s 283 .6854

El cero y los polos del sistema compensado en lazo cerrado son se ubican en: Ceros en s = -2.9787 Polos en s s = -4.7303. 5.2270 j5.7141 ,

Cuadro N 7.- Programa MATLAB para la respuesta escaln unitario

Figura N 29.- Respuesta escaln unitario de los sistemas compensado y no compensado.

Cuadro N 8.- Programa MATLAB de la respuesta rampa unitaria

Figura N 30.- Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado.

PROBLEMAS PROPUESTOS.1. Considere el sistema de la figura P-1. disee un compensador tal que la constante de error esttico de velocidad K v sea de 50 seg-1 y el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia no sea menor que 8 dB. Grafique con MATLAB las curvas de respuesta escaln y rampa unitaria de los sistemas compensados y no compensados.

Figura P-1.- Sistema de control. 2. Considere el sistema de la figura P-2. disee un compensador tal que la constante de error esttico de velocidad sea de 4 seg-1, el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia sea de 10 dB o ms. Grafique con MATLAB las curvas de respuesta escaln unitario y rampa unitaria del sistema compensado.

Figura P-2.- Sistema de Control. 3. Considere el sistema de la figura P-3. Se desea disear un compensador tal que la constante de error esttico de velocidad sea de 4 seg-1, el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia de 8 dB o ms. Grafique con MATLAB las curvas escaln unitario y rampa unitaria del sistema compensado.

Figura P-3.- Sistema de control. 4. Considere el sistema de la figura P-4. Disee un compensador de retardo-adelanto tal que la constante de error esttico de velocidad Kv sea de 20 seg-1, el margen de fase sea de 60 y el margen de ganancia no sea menor que 8 dB. Grafique con MATLAB las curvas de respuesta del sistema compensado.

Figura P-4.- Sistema de control. 5. Remitindonos al sistema en lazo cerrado de la figura P-5, disee un compensador de adelanto G c(s) tal que el margen de fase se 45, el margen de ganancia no sea menor que 8 dB y la constante de error de velocidad K v sea de 4.0 seg-1. Grafique con MATLAB las curvas de respuesta escaln unitario y rampa unitaria del sistema compensado.

Figura P-5.- Sistema en lazo cerrado. 6. Sea un compensador de retardo-adelanto Gc(s) definido por:

s Gc ( s)Demuestre que, en la frecuencia 1, donde:

Kc s

1 T1 T1 s

s

1 T2 1 T2

1El ngulo de fase de Gc(j) es cero. 7.

1 T1 T2

Sea el sistema de control que se muestra en la figura P-7. Determine el valor de la ganancia K tal que el margen de fase sea 60. Cul es el margen de ganancia con este valor de la ganancia K?

Figura P-7.- Sistema de Control 8. Sea el sistema con realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazo abierto es:

G ( s)

s( s

K 1)( s

4)

Disee un compensador Gc(s) de retardo-adelanto tal que la constante de error esttico de velocidad sea de 10 seg -1, el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia sea al menos 10 dB. 9. Sea el sistema que se muestra en la figura P-9. Disee un compensador tal que la constante de error esttico de velocidad sea de 4 seg-1, el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia sea de al menos 10 dB. Obtenga las curvas de respuesta a un escaln unitario y una rampa unitaria del sistema compensado con MATLAB.

Figura P-9.- Sistema de Control 10. El proceso controlado de un sistema de control con realimentacin unitaria es:

GP ( s )

K s ( s 5) 2

Disee un controlador de atraso de fase en el dominio de la frecuencia para que las especificaciones de desempeo siguientes se satisfagan: Constante de error rampa Kv = 10, Margen de fase 70. 11. En este ejercicio se requiere analizar la estrategia de control propuesta (Red de adelanto) para actuar sobre el vehculo de la figura. Considerando que la estructura del vehculo se comporta como un rgido, un diagrama en bloques que representa el funcionamiento de todo el sistema seria:

Figura P-11(a).- Vehculo espacial.

Figura P-11(b).- Sistema de Control Teniendo: a) b) M = 500 Kg T = 0.01 seg Calcular los mrgenes de ganancia y de fase que posee el sistema a lazo abierto con Gc(s)=1. Agregar una accin de control Gc(s) que lleve al sistema a tener : Margen de ganancia: 20 db Margen de fase 15

12. Dado el proceso: G ( s )

4 , disear un compensador de adelanto de fase de modo que la s ( s 1) (0.5 s 1)

constante de error esttico de velocidad sea Kv = 5 seg-1, el margen de fase sea al menos de 40 y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB. 13. Considere un sistema con retroalimentacin unitaria negativa con:

G (s)

s(s (s (s

K 2)( s

3)

Donde K se iguala a 20 para lograr una Kv = 3.33 especificada. Deseamos agregar un compensador de retardo-adelanto:

Gc ( s )

0.15 )( s 0.7) 0.015 )( s 7)

Demustrese que el margen de ganancia del sistema compensado es 24 dB y que el margen de fase es de 75.