combinatoria
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ANALISIS COMBINATORIO
Parte I
MSc Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCREEstadística I
2016
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 1 / 16
Novena sección
Análisis combinatorio1
De�nición (Principio fundamental del conteo:)
Supóngase que se realizan dos experimentos. Si el primer experimento
tiene m posibles resultados y si para cada uno de los resultados del primer
experimento hay n posibles resultados del segundo experimento, entonces,
el número de posibles resultados de los dos experimentos realizados en el
orden indicado es m× n.
Ejemplo
En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores
consejeros, cada uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo.Si un
profesor y uno de sus alumnos van a ser escogidos para representar al
departamento en un evento académico, ¾de cuántas maneras puede hacerse
la selección?
1Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 2 / 16
Novena sección
Análisis combinatorio1
De�nición (Principio fundamental del conteo:)
Supóngase que se realizan dos experimentos. Si el primer experimento
tiene m posibles resultados y si para cada uno de los resultados del primer
experimento hay n posibles resultados del segundo experimento, entonces,
el número de posibles resultados de los dos experimentos realizados en el
orden indicado es m× n.
Ejemplo
En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores
consejeros, cada uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo.Si un
profesor y uno de sus alumnos van a ser escogidos para representar al
departamento en un evento académico, ¾de cuántas maneras puede hacerse
la selección?
1Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 2 / 16
Novena sección
Análisis combinatorio1
De�nición (Principio fundamental del conteo:)
Supóngase que se realizan dos experimentos. Si el primer experimento
tiene m posibles resultados y si para cada uno de los resultados del primer
experimento hay n posibles resultados del segundo experimento, entonces,
el número de posibles resultados de los dos experimentos realizados en el
orden indicado es m× n.
Ejemplo
En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores
consejeros, cada uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo.Si un
profesor y uno de sus alumnos van a ser escogidos para representar al
departamento en un evento académico, ¾de cuántas maneras puede hacerse
la selección?
1Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010
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Novena sección
De�nición (Generalización del principio de conteo)
Si r experimentos son realizados de tal forma que el primero tiene n1
posibles resultados, y si para cada uno de esos n1 posibles resultados hay
n2 posibles resultados del segundo experimento, y si para cada uno de los
posibles resultados de los dos primeros experimentos hay n3 posibles
resultados del tercer experimento y así sucesivamente, entonces el número
total de resultados de los r experimentos realizados en la forma indicada es
n1 · n2 · . . . · nr
Ejemplo
Lanzamiento de una moneda corriente 4 veces consecutivas.
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Novena sección
Ejemplo
Supóngase que hay n bolas distinguibles y r urnas distintas, entonces, el
número de maneras en que se pueden distribuir las bolas en las urnas es
igual a rn, ya que la primera bola puede ser colocada en cualquiera de las rurnas, la segunda en cualquiera de las r urnas y así sucesivamente, por lo
tanto hay
r · r · r · . . . · r = rn
formas de colocar las bolas en las urnas.
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Novena sección
De�nición (Permutaciones)
Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que
forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y cson abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres
letras.
supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la
primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la
segunda, a cualquiera de los (n− 1) elementos restantes, para la tercera a
cualquiera de los (n− 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo
tanto, el número total P (n, n) de permutaciones de los n elementos es:
P (n, n) = n(n− 1)(n− 2) · · · 1
El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota
por n! y se llama n factorial. Se de�ne 0! := 1. Luego
P (n, n) = n! o nPn = n!
En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n!MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
Novena sección
De�nición (Permutaciones)
Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que
forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y cson abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres
letras.
supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la
primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la
segunda, a cualquiera de los (n− 1) elementos restantes, para la tercera a
cualquiera de los (n− 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo
tanto, el número total P (n, n) de permutaciones de los n elementos es:
P (n, n) = n(n− 1)(n− 2) · · · 1
El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota
por n! y se llama n factorial. Se de�ne 0! := 1. Luego
P (n, n) = n! o nPn = n!
En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n!MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
Novena sección
De�nición (Permutaciones)
Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que
forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y cson abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres
letras.
supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la
primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la
segunda, a cualquiera de los (n− 1) elementos restantes, para la tercera a
cualquiera de los (n− 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo
tanto, el número total P (n, n) de permutaciones de los n elementos es:
P (n, n) = n(n− 1)(n− 2) · · · 1
El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota
por n! y se llama n factorial. Se de�ne 0! := 1. Luego
P (n, n) = n! o nPn = n!
En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n!MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
Novena sección
De�nición (Permutaciones)
Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que
forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y cson abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres
letras.
supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la
primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la
segunda, a cualquiera de los (n− 1) elementos restantes, para la tercera a
cualquiera de los (n− 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo
tanto, el número total P (n, n) de permutaciones de los n elementos es:
P (n, n) = n(n− 1)(n− 2) · · · 1
El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota
por n! y se llama n factorial. Se de�ne 0! := 1. Luego
P (n, n) = n! o nPn = n!
En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n!MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
Novena sección
De�nición (Permutaciones)
Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que
forman un conjunto. Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y cson abc, acb, bac, bca, cab, cba. Es decir, hay 6 permutaciones de las tres
letras.
supóngase que se tiene un conjunto con n elementos, entonces para la
primera posición se puede escoger a cualquiera de los n elementos, para la
segunda, a cualquiera de los (n− 1) elementos restantes, para la tercera a
cualquiera de los (n− 2) elementos restantes y así sucesivamente. Por lo
tanto, el número total P (n, n) de permutaciones de los n elementos es:
P (n, n) = n(n− 1)(n− 2) · · · 1
El producto de un entero positivo n por todos los que le preceden se denota
por n! y se llama n factorial. Se de�ne 0! := 1. Luego
P (n, n) = n! o nPn = n!
En conclusión: La cantidad de permutaciones de n objetos es n!MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 5 / 16
Novena sección
Ejemplo
¾Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR?
De�nición
Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un
orden particular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles
permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez
son:ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Es decir, hay 12
permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez.
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Novena sección
Ejemplo
¾Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR?
De�nición
Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un
orden particular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles
permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez
son:ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Es decir, hay 12
permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez.
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Novena sección
Ejemplo
¾Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR?
De�nición
Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un
orden particular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles
permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez
son:ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Es decir, hay 12
permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez.
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Novena sección
Ejemplo
¾Cuántas permutaciones posibles hay entre las letras de la palabra AMOR?
De�nición
Una permutación de n objetos tomados r ≤ n a la vez, es un arreglo en un
orden particular de r de los n objetos. Así por ejemplo, las posibles
permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez
son:ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. Es decir, hay 12
permutaciones de las letras a, b, c y d tomadas dos a la vez.
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Novena sección
El número total P (n, r) de permutaciones de n objetos tomados r a la vez,puede hallarse siguiendo el siguiente razonamiento:para la primera posiciónse puede elegir a cualquiera de los n objetos, para la segunda a cualquierade los (n− 1) restantes, y así sucesivamente hasta llegar que para lar-ésima posición se puede elegir a cualquiera de los (n− r + 1) objetosrestantes.Esto es:
P (n, r) = n(n− 1) . . . (n− r + 1)
=n!
(n− r)!∴
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 7 / 16
Novena sección
El número total P (n, r) de permutaciones de n objetos tomados r a la vez,puede hallarse siguiendo el siguiente razonamiento:para la primera posiciónse puede elegir a cualquiera de los n objetos, para la segunda a cualquierade los (n− 1) restantes, y así sucesivamente hasta llegar que para lar-ésima posición se puede elegir a cualquiera de los (n− r + 1) objetosrestantes.Esto es:
P (n, r) = n(n− 1) . . . (n− r + 1)
=n!
(n− r)!∴
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Novena sección
El número total P (n, r) de permutaciones de n objetos tomados r a la vez,puede hallarse siguiendo el siguiente razonamiento:para la primera posiciónse puede elegir a cualquiera de los n objetos, para la segunda a cualquierade los (n− 1) restantes, y así sucesivamente hasta llegar que para lar-ésima posición se puede elegir a cualquiera de los (n− r + 1) objetosrestantes.Esto es:
P (n, r) = n(n− 1) . . . (n− r + 1)
=n!
(n− r)!∴
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Novena sección
Ejemplo
Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una �la. Si
los niños y las niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces
habría7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea que los niños y las
niñas queden alternados entonces habría:
Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces
habría:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 8 / 16
Novena sección
Ejemplo
Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una �la. Si
los niños y las niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces
habría7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea que los niños y las
niñas queden alternados entonces habría:
Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces
habría:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 8 / 16
Novena sección
Ejemplo
Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una �la. Si
los niños y las niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces
habría7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea que los niños y las
niñas queden alternados entonces habría:
Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces
habría:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 8 / 16
Novena sección
Ejemplo
Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una �la. Si
los niños y las niñas pueden sentarse en cualquier orden entonces
habría7! = 5040 formas de acomodarlos. Si se desea que los niños y las
niñas queden alternados entonces habría:
Si se desea que tanto los niños como las niñas queden juntos entonces
habría:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 8 / 16
Novena sección
Ejemplo
Se desea calcular el número de maneras de acomodar a 3 mexicanos, 4
venezolanos, 3 argentinos y 5 colombianos alrededor de una mesa redonda
si las personas de la misma nacionalidad insisten en sentarse juntas. En
este caso se tienen cuatro grupos de personas: los mexicanos, los
venezolanos, los argentinos y los colombianos.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 9 / 16
Novena sección
Ejemplo
Sea N el número de permutaciones diferentes de las nueve letras de la
palabra "elefantes". Si todas las letras fueran distintas se tendría que el
número total de permutaciones es 9!, como las tres "e" pueden permutarse
entre ellas de 3! formas, entonces 3!N = 9!. Esto es
N =9!
3!
De�nición (permutaciones con elementos repetidos)
En general se tiene que: el número total N de formas en que pueden
permutarse n objetos de los cuales n1, n2, · · · , nr son iguales entre si, es:
N =n!
n1!n2! · · ·nr!
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 10 / 16
Novena sección
Ejemplo
Sea N el número de permutaciones diferentes de las nueve letras de la
palabra "elefantes". Si todas las letras fueran distintas se tendría que el
número total de permutaciones es 9!, como las tres "e" pueden permutarse
entre ellas de 3! formas, entonces 3!N = 9!. Esto es
N =9!
3!
De�nición (permutaciones con elementos repetidos)
En general se tiene que: el número total N de formas en que pueden
permutarse n objetos de los cuales n1, n2, · · · , nr son iguales entre si, es:
N =n!
n1!n2! · · ·nr!
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 10 / 16
Novena sección
Ejemplo
Sea N el número de permutaciones diferentes de las nueve letras de la
palabra "elefantes". Si todas las letras fueran distintas se tendría que el
número total de permutaciones es 9!, como las tres "e" pueden permutarse
entre ellas de 3! formas, entonces 3!N = 9!. Esto es
N =9!
3!
De�nición (permutaciones con elementos repetidos)
En general se tiene que: el número total N de formas en que pueden
permutarse n objetos de los cuales n1, n2, · · · , nr son iguales entre si, es:
N =n!
n1!n2! · · ·nr!
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Novena sección
Ejemplo
¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
"biologia"?
Ejemplo (Combinaciones)
Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de
dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una
combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto
con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden
2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d},esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
Novena sección
Ejemplo
¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
"biologia"?
Ejemplo (Combinaciones)
Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de
dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una
combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto
con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden
2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d},esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d.
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Novena sección
Ejemplo
¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
"biologia"?
Ejemplo (Combinaciones)
Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de
dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una
combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto
con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden
2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d},esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
Novena sección
Ejemplo
¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
"biologia"?
Ejemplo (Combinaciones)
Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de
dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una
combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto
con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden
2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d},esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d.
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Novena sección
Ejemplo
¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
"biologia"?
Ejemplo (Combinaciones)
Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de
dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una
combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto
con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden
2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d},esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
Novena sección
Ejemplo
¾Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
"biologia"?
Ejemplo (Combinaciones)
Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r ≤ n de
dichos objetos se llama una combinación de orden r. En otras palabras, una
combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto
con r elementos del conjunto. Así por ejemplo, las combinaciones de orden
2 de las letras a,b,c y d son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d},esto es, hay 6 combinaciones de orden 2 de las letras a,b,c y d.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 11 / 16
Novena sección
De�nición (Combinaciones)
Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de nobjetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P (n, r)formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse
entre si de r! formas, entonces:
r!
(n
r
)=n Pr
(n
r
)=
n!
(n− r)!r!
El número nCr se llama " n combinado r". Por convención se de�ne:(n
r
):= 0 r < 0 o r > n
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 12 / 16
Novena sección
De�nición (Combinaciones)
Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de nobjetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P (n, r)formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse
entre si de r! formas, entonces:
r!
(n
r
)=n Pr
(n
r
)=
n!
(n− r)!r!
El número nCr se llama " n combinado r". Por convención se de�ne:(n
r
):= 0 r < 0 o r > n
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Novena sección
De�nición (Combinaciones)
Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de nobjetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P (n, r)formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse
entre si de r! formas, entonces:
r!
(n
r
)=n Pr
(n
r
)=
n!
(n− r)!r!
El número nCr se llama " n combinado r". Por convención se de�ne:(n
r
):= 0 r < 0 o r > n
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Novena sección
De�nición (Combinaciones)
Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de nobjetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P (n, r)formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse
entre si de r! formas, entonces:
r!
(n
r
)=n Pr
(n
r
)=
n!
(n− r)!r!
El número nCr se llama " n combinado r". Por convención se de�ne:(n
r
):= 0 r < 0 o r > n
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 12 / 16
Novena sección
De�nición (Combinaciones)
Para determinar el número de combinaciones C(n, r) de orden r de nobjetos, se observa que si se tuviese en cuenta el orden habría P (n, r)formas de escoger los r objetos, como los r objetos pueden permutarse
entre si de r! formas, entonces:
r!
(n
r
)=n Pr
(n
r
)=
n!
(n− r)!r!
El número nCr se llama " n combinado r". Por convención se de�ne:(n
r
):= 0 r < 0 o r > n
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Novena sección
Ejemplo
De un grupo de 10 mujeres y 12 hombres se deben escoger cinco parejas,
conformadas por hombre y mujer, para un baile. Se desea determinar el
número de selecciones posibles.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 13 / 16
Novena sección
Ejemplo
De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité
conformado por 3 personas,
¾cuántas selecciones son posibles?
¾cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer?
¾cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden
pertenecer ambos al grupo?
¾cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer
parte del comité si ambos pertenecen a éste?.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 14 / 16
Novena sección
Ejemplo
De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité
conformado por 3 personas,
¾cuántas selecciones son posibles?
¾cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer?
¾cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden
pertenecer ambos al grupo?
¾cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer
parte del comité si ambos pertenecen a éste?.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 14 / 16
Novena sección
Ejemplo
De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité
conformado por 3 personas,
¾cuántas selecciones son posibles?
¾cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer?
¾cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden
pertenecer ambos al grupo?
¾cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer
parte del comité si ambos pertenecen a éste?.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 14 / 16
Novena sección
Ejemplo
De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se desea escoger un comité
conformado por 3 personas,
¾cuántas selecciones son posibles?
¾cuántas si en el comité debe haber por lo menos una mujer?
¾cuántas si hay dos hombres que no se llevan bien y no pueden
pertenecer ambos al grupo?
¾cuántas si hay una pareja, hombre-mujer, que sólo aceptan hacer
parte del comité si ambos pertenecen a éste?.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IANALISIS COMBINATORIO 2016 14 / 16
Novena sección
Ejemplo
Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos
de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo
r1 + r2 + . . .+ rm = n
Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay(nr1
)formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del
primer grupo, hay(n−r1r2
)formas de seleccionar el segundo grupo y asi
sucesivamente. Por lo tanto hay:(n
r1
)(n− r1r2
)· · ·
(n− r1 − r2 − · · · − rm−1
rm
)=
n!
r1!× r2!× · · · × rm!
formas de seleccionar los grupos.
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Novena sección
Ejemplo
Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos
de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo
r1 + r2 + . . .+ rm = n
Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay(nr1
)formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del
primer grupo, hay(n−r1r2
)formas de seleccionar el segundo grupo y asi
sucesivamente. Por lo tanto hay:(n
r1
)(n− r1r2
)· · ·
(n− r1 − r2 − · · · − rm−1
rm
)=
n!
r1!× r2!× · · · × rm!
formas de seleccionar los grupos.
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Novena sección
Ejemplo
Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos
de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo
r1 + r2 + . . .+ rm = n
Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay(nr1
)formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del
primer grupo, hay(n−r1r2
)formas de seleccionar el segundo grupo y asi
sucesivamente. Por lo tanto hay:(n
r1
)(n− r1r2
)· · ·
(n− r1 − r2 − · · · − rm−1
rm
)=
n!
r1!× r2!× · · · × rm!
formas de seleccionar los grupos.
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Novena sección
Ejemplo
Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos
de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo
r1 + r2 + . . .+ rm = n
Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay(nr1
)formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del
primer grupo, hay(n−r1r2
)formas de seleccionar el segundo grupo y asi
sucesivamente. Por lo tanto hay:(n
r1
)(n− r1r2
)· · ·
(n− r1 − r2 − · · · − rm−1
rm
)=
n!
r1!× r2!× · · · × rm!
formas de seleccionar los grupos.
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Novena sección
Ejemplo
Un conjunto con n elementos va a ser particionado en m grupos distintos
de tamaños r1, r2, . . . , rm respectivamente siendo
r1 + r2 + . . .+ rm = n
Se desea calcular el número de reparticiones posibles. Se observa que hay(nr1
)formas posibles de seleccionar el primer grupo, para cada selección del
primer grupo, hay(n−r1r2
)formas de seleccionar el segundo grupo y asi
sucesivamente. Por lo tanto hay:(n
r1
)(n− r1r2
)· · ·
(n− r1 − r2 − · · · − rm−1
rm
)=
n!
r1!× r2!× · · · × rm!
formas de seleccionar los grupos.
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Novena sección
Éste número se llama coe�ciente multinomial y se denota por:(n
r1, r2, . . . , rm
)N
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