-1 -

C O L U M N A S L I Q U I D A S

E N I N G R A V I D E Z

F O R M E F I A L 1982

Lamf-ETSIA, Laboratorio de Aerodinámica

E.T.S.I.Aeronáuticos, Ciudad Universitaria,

MADRID-3

EXPEDIENTE CONIE: 643/82

Madrid, Diciembre 1982

Ref: Lamf 8212

- 1 1 -

EXPEDIENTE n£ 643/82

COLUMNAS LIQUIDAS EN CONDICIONES DE INGRAVIDEZ - 1982

Convenio de Investigación entre la Comisión Nacional

de Investigación del Espacio (CONIE) y la Universidad Politéc­

nica de Madrid (UPM), desarrollado por el Laboratorio de Aero­

dinámica (LAMF) de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros

Aeronáuticos (ETSIA) durante el año 1982.

Responsable del trabajo... I. Da-Riva de la Cavada

Colaboradores I. Martínez Herranz

J. Meseguer Ruiz

A. Sanz Andrés

D. Rivas Rivas

-111-

MEMORIA

A un año vista del primer vuelo del Spacelab el panorama

actual del Experimento l-ES-331, tras más de siete años de desarr£

lio, está en gran medida dominado por la presión de los últimos pre_

parativos técnicos.

La integración de este experimento con los otros seis que

comparten el uso del Módulo de Física de Fluidos (FPM) en esta pri­

mera misión, y la de todos ellos con el resto de los equipos del Ban­

co de Proceso de Materiales en el que será ubicado el FPM, supone un

considerable esfuerzo de coordinación: acoplamiento de equipos, dis­

tribución de recursos comunes, criterios de prioridad, desarrollo

del logical para la adquisición de datos y control de secuencia y,

sobre todo, formación de los operadores de vuelo, todo lo cual pro­

porciona una carga de trabajo adicional al esfuerzo teórico-experi-

mental que se va realizando en paralelo.

Un claro ejemplo de lo antedicho nos lo muestra la confec­

ción del guión (también llamado "Procedimientos") que deberá seguir

el astronauta para la ejecución de los ensayos. La primera versión,

una especie de declaración de intenciones, acompañaba la Propuesta

de Investigación remitida a la Aqencia Espacial Europea en 1976.

Los primeros Procedimientos propiamente dichos se prepararon en

1978, una vez desarrollado el FPM; posteriormente se han venido re­

visando anualmente hasta Febrero de este año, en que se desplazaron

a Madrid un astronauta y un experto en confección de procedimientos

para uniformizar criterios y "ultimar detalles".

Apenas dos meses después, en la reunión de experimentado­

res y operadores de vuelo celebrada en Londres, se vio la necesidad

de rehacer otra vez los Procedimientos para tener en cuenta los rea

-1 V-

justes ocasionados por una nueva redistribución de recursos que, en

nuestro caso, fue muy favorable al aumentarnos la cantidad disponi­

ble de película fotográfica.

En Julio tuvo lugar en Colonia otra semana de entrenamiento

con el FPM, durante la cual se descubrieron nuevos condicionantes

que motivaron una nueva revisión de los Procedimientos. Esta nueva

versión, como ya se apuntaba en el Informe Parcial de Septiembre,

volvió a ser modificada a la luz de las valiosas enseñanzas obteni­

das durante las dos semanas de simulación de vuelo en Octubre, es­

ta vez con todos los equipos integrados, usándose por primera vez

los enlaces de radio y TV para la interacción de los investigadores

con los astronautas durante la realización de los experimentos. Tam­

bién se vio en este ensayo general la importancia de la transmisión

de datos a Tierra en tiempo real, y del gran esfuerzo que va a supo­

ner la interpretación de estos datos "en directo", por lo que se

piensa trabajar más en este sentido.

En otro orden de cosas, con respecto a los estudios teóri-

co-experi mentales que sirven de soporte a este experimento, se debe

destacar la gran acogida y el interés que tienen estos trabajos, de

lo cual dan testimonio las publicaciones que en este año han sido

admitidas en diversas revistas de carácter internacional, con un ar­

ticulo de tipo teórico-numérico, otro experimental y un tercero so­

bre simulación en ordenador:

- "On the Breaking of Slender, Axisymmetric Liquid Bridges",

por J. Meseguer, admitido en J. Fluid Meen.

- "Mínimum Volume for a Liquid Bridge between Equal Discs",

por A. Sanz e I. Martínez, admitido en J. Colloid

Interface Se i.

- V -

- "Computer Simulation of the Utilization of the Fluid

Physics Module for Spacelab 1", por I. Martínez,

en ESA Journal .

Por otra parte, hay que resaltar la colaboración presta

por este Laboratorio en la preparación del pabellón español para

exposición UNISPACE 82, organizada por las Naciones Unidas y cele

brada el pasado mes de Agosto en Viena, donde presentamos varios

posters y una nueva producción en vídeo sobre este proyecto de in

vestigación.

Con motivo de nuestra participación en este proyecto in

ternacional, la Agencia Espacial Europea, en colaboración con est

Universidad, va a organizar el 4- Symposium Europeo de Ciencia de

los Materiales en Microgravedad, en Madrid, del 5 al 8 de Abril

próximo, donde tenemos previsto presentar varios artículos sobre

diferentes aspectos de este proyecto.

-vi-

I N D I C E

VOLUMEN 1

Página

1. ANÁLISIS ENERGÉTICO DE LA HIDRODINÁMICA DE LA ZONA

FLOTANTE 1

1.1. INTRODUCCIÓN 2

1.2. TERMODINÁMICA DE LAS INTERFASES 2

1.2.1. Modelo de Gibbs de las interfases 2

1.2.2. Equilibrio de una interfase , 6

1.3. ZONA CILINDRICA ANCLADA 10

1.4. EVOLUCIÓN ENERGÉTICA EN LA ROTURA DE UNA ZONA

CILINDRICA 14

2. INFLUENCIA DEL BAÑO DE PLATEAU EN LA DINÁMICA DE

PUENTES LÍQUIDOS ANCLADOS A DISCOS IGUALES 22

2.1. INTRODUCCIÓN ." 23

2.1.1. Problemas afines 24

2.2 ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO ESTRICTAMENTE

AXILSIMETRICO DE LA ZONA FLOTANTE EN BAÑO DE PLA­

TEAU 26

2.3. ANÁLISIS LINEAL DEL PROBLEMA TRIDIMENSIONAL NO

VISCOSO 31

2,3.1. Influencia del baño 49 •

3. PUENTES LÍQUIDOS ENTRE APOYOS NO CONVENCIONALES ' 58

3.1. INTRODUCCIÓN 59

3.2. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO 63

3.2.1. Equilibrio 6 3

3.2.2. Estabilidad 66

-VI 1 -

3.3. ZONAS ANCLADAS A DISCOS DESIGUALES 6 8

3.3.1. Límite de estabilidad 75

3.3.2. Efecto de una pequeña diferencia de diá­metros en la bifurcación 82

3.3.3. Desprendimiento y desbordamiento 8 5

3.3.4. Tratamiento por ordenador 90

VOLUMEN 2

ANÁLISIS NO LINEAL DE LA DINÁMICA DE ROTURA DE UNA

ZONA FLOTANTE 102

4.1. INTRODUCCIÓN 10 3

4.2. MODELO UNIDIMENSIONAL 104

4.3. ESTUDIO DE LA BIFURCACIÓN PARA ZONAS CILINDRICAS. 10 6

4.3.1. Dinámica de la rotura 109

4.3.2. Solución estacionaria 111

4.3.3. Solución de semej anza 111

4.3.4. Resultados 114

4.4. ESTUDIO DE LA BIFURCACIÓN PARA ZONAS CILINDRICAS

EN ROTACIÓN 117

4.4.1. Modelo unidimensional para zonas en rota­ción 117

4.4.2. Análisis de la rotura 12 0

4.4.3. Solución estacionaria 121

4.4.4. Solución de semejanza 121

4.4.5. Resultados 123

4.5. CONCLUSIONES 123

SIMULACIÓN EN ORDENADOR DEL MODULO DE FÍSICA DE FLUI­

DOS UTILIZADO EN LA REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO 1-ES-

331 EN EL SPACELAB 126

5.1. INTRODUCCIÓN 127

5.2. UTILIZACIÓN DEL FPM 128

5.3. SIMULACIÓN DEL OPERADOR 129

- v i i i -

5.4. SIMULACIÓN DEL FPM 135

5.5. SIMULACIÓN DE LA RECEPCIÓN DE DATOS EN TIERRA 140

APÉNDICE: FLOATING ZONE STABILITY IN ZERO GRAVITY (Status

Report)

-1-

1. ANÁLISIS ENERGÉTICO DE LA HIDRODINÁMICA DE LA ZONA FLOTANTE

-2-

1. ANÁLISIS ENERGÉTICO DE LA HIDRODINÁMICA DE LA ZONA FLOTANTE

1.1. INTRODUCCIÓN

El objetivo que persigue este trabajo es múltiple. Por

una parte se desearía proporcionar un tratamiento unificado más

básico que la simple ecua.ción de Lapalce para la capilaridad uti

lizada hasta ahora en los análisis estáticos y de rotura. Por

otra parte, se quiere estudiar la evolución energética durante

la rotura, a partir de los datos numéricos disponibles. Por úl­

timo, se piensa que esta generalización en el planteamiento del

estudio de las zonas flotantes podría ayudar a interpretar diver

sos fenómenos todavía no tenidos en cuenta en su totalidad: geo­

metrías complejas de la zona, efecto del baño exterior en la si­

mulación Plateau, efectos térmicos, eléctricos, etc.

1-2- TERMODINÁMICA DE LAS INTERFASES

El equilibrio mecánico de un sistema con inferíase

viene determinado per la ecuación de la hidrostática en las ma­

sas fluidas, la ecuación de Laplace en las internases y la ecua

ción de Young en las líneas triples. Normalmente, en nuestro c_a

so sólo trabajábamos con la ecuación de Laplace porque la hi­

drostática en ingravidez se reducía a tomar presiones constan­

tes en cada fase, y el ángulo de contacto no era condicionante

mientras la inferíase permanecía anclada a bordes vivos.

1.2.1. Modelo de Qibbs de las Interfasejs

Los sistemas físicos, bajo ciertas condiciones termo

dinámicas pueden resultar más estables si presentan varias fases

que si formasen una única fase homogénea, en contra de lo que

-3-

una rápida consideración sobre entropía máxima podría indicar.

Normalmente, en condiciones de gravedad terrestre,

las fases densa, y más ligera aparecen separadas por una infería­

se netamente horizontal, en una configuración muy estable en la

cual las pequeñas fuerzas interfaciales están enmascaradas por

las fuerzas másicas dominantes.

A nivel molecular las propiedades termodinámicas no

sufren saltos a través de la interfase, sino una variación gra­

dual dictada por la distribución de densidad de partículas*, la

cual disminuye suavemente desde un alto valor en la fase conderi

sada a un valor inferior en la fase gaseosa, suponiendo, para ma

yor claridad, que se trata simplemente de una interfase entre

dos fases de una sustancia pura. Esta anisotrcpía en la densidad

de partículas da lugar a una distribución no simétrica de las

fuerzas intermoleculares, que son la causa de todos los fenómenos

interf aciales observables macroscópicamente. Esta disimetría ti_e

ne un valor máximo er¡ una cierta capa molecular, pero disminuye

rápidamente al considerar las capas adyacentes, debido al corto

alcance de las fuerzas intermoleculares, por lo que el espesor

, _9 practico de la inferíase es del orden de 10 m (no se consideran

sistemas como microgotas, cuya fase volúmica es del misno orden

que la interfacial).

La mecánica estadística puede ayudar a calcular las

distribuciones de densidad, energía, etc., pero desde el punto de

* Con el fin de que sigan teniendo sentido los conceptos macroscó picos usuales como la densidad, se consideran grandes dimensio­nes transversales en la interfase.

-4-

vista macroscópico no ec necesario tanto detalle y es preferible

no tener en cuenta el espesor de la interfase, sino asignar to­

das las propiedades termodinámicas a un sistema termodinámico bi

dimensional; esta idea fue presentada por primera vez en 1878

por J.W. Gibbs. Según esta teoría, se define una interfase geo­

métrica (una superficie) elegida de manera tal que el número de

partículas de la sustancia principal * a cada lado de la interfa­

se sea igual al que correspondería a las fases volúmicas suponien

do el campo de densidades extrapolado por cada lado hasta dicha

superficie elegida.

Una vez definida la interfase geométrica, el resto de

las propiedades termodinámicas del sistema completo habrán queda,

do desequilibradas, es decir, extrapolando su valor en las fases

volúmicas hasta la superficie geométrica no se contabiliza el to

tal de su valor, quedando un exceso que se le asigna al nuevo

sistema termodinámico bidimensional, tal y como se indica en la

Fig, le) para el caso de la energía interna.

Si no se trata de una sustancia pura, el resto de los

componentes darán también funciones de exceso; en particular, los

solutos normales suelen dar un exceso (tienden a acumularse) en

la interfase, mientras que en las disoluciones electrolíticas

dan defecto de soluto en la interfase.

Con este modelo se explica la existencia de la tensión

superficial, a, como el exceso de la componente normal del ten­

sor de esfuerzos, de manera análoga a la energía interna (Fig.

* Si se trata de una sustancia pura no hay problema; si se trata de una disolución se elije el disolvente como componente a equi librar para definir la superficie de Gibbs.

-5-

• • • • • • •••• ••• 4 •••••••••

a)

Fig. 1. a) Distribución molecular en una interfase real, b) Distribución de densidades, c) Distribución de energía interna. La interfase geomé­trica se elige en z de forma tal que /(o -o )dz = 0, con

° real modalo lo que habrá que asignar a dicha superficie propiedades termodinámi cas de exceso, como u = f(u n-u , , )dz.

J real modelo

l.c); de hecho ambas propiedades están directamente relacionadas

como se verá posteriormente. Sin embargo, el cálculo teórico de

tensiones superficiales por este método, con la ayuda de la me­

cánica estadística, no está desarrollado, y el cálculo de o es

eminentemente experimental.

Al ser positivo el exceso de energía en la interfase,

es fácil comprender que los sistemas reales tiendan a minimizar -

el área de dicha interfase, respetando claro está las condicio­

nes de contorno impuestas. Como consecuencia de ello, será nece

sario comunicar un trabajo a la interfase dW = adA, para incre­

mentar en dA su área (isotérmicamente), el cual pasará a aumen­

tar la energía interna de la interfase.

La tensión superficial de una sustancia pura depende ex

-6-

clusivamente de la temperatura (de modo análogo a la entalpia

de cambio de estado) ya que la presión y temperatura están li­

gadas en un sistema bifásico. De hecho el comportamiento de o

con la temperatura es muy parecido al de la entalpia de vapori­

zación, disminuyendo hasta anularse en el punto crítico, aunque

no se dispone de una teoría que relacione a con otras propieda­

des termodinámicas.

1.2.2. Equilibrio de una interfase

La ecuación energética fundamental para el sistema ter

modinámico de la interfase será:

dU = TdS + adA (1)

o en forma integral U = TS + aA. Resulta pues que a coincide con

el potencial de Helmholtz (F = U - TS) o energía libre por uni­

dad de superficie, y está relacionado con la energía interna de

la manera siguiente: de dF = - SdT + adA se tiene que

o _ 3F

pero por la relación de Gibbs-Duhem (0 = SdT + Ada),

S - - A ^ S - A d T

así que de U = TS + aA se deduce la relación buscada:

(2) A

-7-

De paso, puede observarse que al ser siempre positivas

S y A, la ecuación de Gibbs-Duhem muestra que da/dT < 0, un he­

cho sobradamente conocido. Por condiciones de estabilidad se d_e

duce también que d a/dT < 0.

Para que el sistema conjunto interfase + medios volúm_i

eos adyacentes, considerado aislado, esté en equilibrio la entro

pía total ha de ser máxima

Srn = S^ + Sy + Sy - máximo (5)

sujeto a las condiciones de aislamiento

VT = V1 + V2 = cte. (6)

UT = U1 + Uj + U2 = cte. (7)

donde los subíndices T, 1, I y 2 se refieren al sistema total,

fase 1, interfase y fase 2.

La solución es sencilla; desarrollando,

i Pl 1 a 1 ?2 dST = T±- dU1 + Tp dV1 + — dU-,- - — dA-,- + dU2 + d V 2 = 0

(8) dVT = dV1 + dV2 = 0 (9)

dUT = dU1 + dU-j- + dU2 = Q (10)

y, sustituyendo, se obtiene

{-±- - } dU 1 + í^- - T-)dU2 - - dAj + (^ - )dV 1 = 0 (11)

de donde, puesto que las variaciones de IL , U? y V^ son indepert

dientes (no así la de Ay, que depende de la de V-,), se deduce fjL

nalmente

-8-

T = T = T 1 XI L2

Pl = P9 + a

dA]

(12)

(13)

La geometría analítica enseña que dA-p/dV. es precisameri

te la curvatura local de la superficie, obteniéndose la conoci­

da ecucación de Laplace:

Pl - P2 = a IR R J R R, (14)

1 2

donde R. y R_ son los radios de curvatura principales. El hecho

de ser dAy/dV^ = 1/R. + 1/R„ se puede ver fácilmente en el caso

bidimensional con ayuda de la Fig. 2.

\d(A*6A) , _B

Fig. 2. Esquema bidimensional para el cálculo de la relación entre el volu­men barrido 6V. (= - <5V2) y el incremento de superficie óA de­bido a una pequeña deformación en una interfase curva.

En efecto, dA = Rd0, d(A + ÓA) = (R + 5?)d8, luego

-9-

SA = A f- (15)

y como ó.V = A 6£;dA, se concluye que SA/óV = 1/R. Un resultado si

milar se obtiene considerando la tensión superficial desde un pun

to de vista puramente mecánico, tratando la inferíase como una

membrana elástica.

En resumen, el estado de equilibrio estable a T y V

constantes será aque'l en que la energía libre del sistema preseri

te un mínimo. En el caso usual en que coexistan varias interfa-

ses en el sistema (normalmente no se tratará de una sustancia pu

ra) se trata de encontrar el valor mínimo de

F = l A

a.dA. i i

(16)

siendo o- la tensión superficial de la inferíase i de área A. i ^ i

Por ejemplo, para la configuración representada en la Fig. 3,

habrá que buscar el mínimo de

F = a-. A-, + a-. A-, + a A lg lg ls ls gs gs

(17)

siendo a., y A., la tensión interfacial y el área de la interfa-

se i-i . Con ayuda de las relaciones A-, J J ls gs

o-, cos0 + a, - a lg ls gs

nimo del área efectiva, A

+ A__ = cte. y de

0, el problema se reduce a encontrar el m_í

ef:

A .p = A. -A-, cos( ef lg ls (18)

Pasemos ahora a considerar algunos casos particulares

-10-

Fig. 3. Esquema de áreas de interfases que contribuyen a la energía libre del sistema en un caso genérico.

1.3. ZONA CILINDRICA ANCLADA

Se consideran las tres posibles configuraciones de

equilibrio representadas en la Fig. 4, donde en c) se trata más

bien de una familia de posibles configuraciones, correspondien­

tes a un cierto valor de los parámetros impuestos; diámetro de

- • 2 los discos, D, separación, L y volumen de líquido, V = TTD L/4

El criterio de estabilidad vendrá dado simplemente por

el área de la superficie libre.

En los casos a) y b) el único parámetro que define la

configuración es A = L/D, pero en c) se necesita otro, que pue­

de ser el ángulo 0 en el borde de la gota mayor, el volumen par­

cial de la gota mayor, etc.

Llamando

- 1 1 -

a) b)

c)

Fig. 4. Posibles formas de equilibrio de un volumen líquido V=TTD L/4 ancla do entre dos discos iguales de diámetro D, separados una distancia L. En c) no se tienen en cuenta configuraciones con "satélite de Plateau".

u _A_

D2 (

_U_ ) (19)

al área adimensional (directamente proporcional a la energía li

bre. o energía potencial, que en adelande llamaremos U ) , se tiene

a) Formas cilindricas

u = TTA (20)

b) P u e n t e a s i m é t r i c o

u = 3Tr(l + c o s a ) E ( q ) B ( a )

o 2 ( l + cosct) E (a ) - c o s a B ( a )

(21)

siendo B(a) = cosaF(a) + E(a) y F(a) y E(a) las integrales elíp_

ticas completas de primera y segunda especie, y estando ligados

-12-

a y A por la relación

A = 2B(ct) 3B(a) 2

(1+coscü E(a) - cosaB(a) (22)

c) Casquetes esféricos

u =

A = 12

(1+1: ) + (l+t,¿)

t(t2+3) + t'(t,2+3)

(23)

(24)

siendo t = tg -~ , t' = tg -~ y 9 y 8 ' los ángulos de contacto

en el borde. El volumen parcial de un casquete, V , viene dado

por

t(t +3) P t(t2+3) + t»(t,2+3)

(25)

En la Fig. 5 se presenta el diagrama u-A (energía esbejL

tez) donde se ha representado en ordenadas variaciones respecto

a la energía (área) del cilindro.

En el gráfico se aprecia claramente la barrera de ener

gía que hay que saltar para romper una columna líquida cilíndri

ca (u . - u . n ) , la cual disminuye rápidamente para zonas lar asim cil ' J —

gas, anulándose para A = TT como era bien sabido. El problema

que se propone ahora es encontrar el punto correspondiente a

la rotura de la zona; es decir, cuando una zona cilindrica se

rompe, ¿cuál es el volumen parcial de las gotas formadas?

Haynes (1970) sugiere la idea de que la configuración

final podría ser la de dos casquetes esféricos complementarios

(mismo radio), pero éste resulta ser un límite inferior, como

él ya apunta en el citado trabajo, pues correspondería a un yo

u -TtA

A=L/D I

Fig. 5. Diagrama energía-esbeltez para las configuraciones de equilibrio de un volumen V=TTA/I+ entre dos discos.iguales de diámetro D separados una distancia L(A=L/D). Para mejorar la presentación se ha tomado U-TTA en ordenadas, es decir, se han representado diferen cias respecto a la energía del cilindro. —

-14-

lumen parcial de la gota grande del 99 % cuando los valores

observados son bastante inferiores.

El análisis numérico unidimensional, no lineal, de la

rotura de zonas cilindricas (Meseguer, 1981) muestra una ligera

dependencia del volumen parcial con respecto a la deformación

inicial (del orden del 3 %) con un valor medio del 85 % (volu­

men de la gota mayor respecto al total) para A = TT , aumentan­

do casi linealmente al disminuir A (para A = 2.9 se obtiene un

volumen parcial del 8 7 % ) .

Los ensayos en tanque Plateau, sin embargo, todavía dan

valores más pequeños del volumen parcial, habiéndose obtenido

valores del 80 % (± 2 %) para A = 2.75, lo que añade todavía

más incertidumbre al problema.

En principio, para longitudes de la columna cercanas al

límite A = TT se podrían obtener incluso gotas iguales en cada

uno de los discos, pero el análisis de la bifurcación o el es­

tudio detallado de la dinámica de la rotura enseñan que esto no

es así. En la rotura, el cuello de la zona se va desplazando

axialmente y el líquido fluye a través del cuello de la gota p_e

quena a la grande (antes de romperse, se entiende).

Por otra parte, parece lógico pensar que si la viscosi

dad es grande, el valor del volumen parcial de rotura sea bas­

tante distinto.

Como se ve, el estudio de la dinámica de la rotura de

una columna líquida está lejos todavía de ser entendido.

1.4, EVOLUCIÓN ENERGÉTICA EN LA ROTURA DE UNA ZONA CILINDRICA

Consideremos el diagrama V/D -L/D de estabilidad de las

-15-

zonas flotantes en reposo (Fig. 6), en el cual se han represen

tado los tres tipos de procesos seguidos en los ensayos de ro-

Fig. 6. Esquema de las evoluciones normales en los ensayos de rotura de zonas en reposo: 11' rotura cilindrica, 22' rotura por estirado a volumen fijo, 33' rotura por succión a separación fija.

tura de zonas largas. Dicha figura no indica ningún tipo de com

portamiento dinámico: la evolución sería cuasiestática dentro

del área estable, pero no se dice nada sobre frecuencias propias

de la zona cuando se excita con una perturbación inicial, o s_o

bre tiempos de rotura. Para ello es necesario añadir una coor­

denada más, la amplitud, e , de la deformación*", que se puede

3 c o n s i d e r a r como e l t e r c e r e j e de un d iag rama e-V/D - L / D . En e_s

t e d i ag rama t r i d i m e n s i o n a l podr íamos d i b u j a r l a s s u p e r f i c i e s

de p e r í o d o de o s c i l a c i ó n y de t i empo de r o t u r a c o n s t a n t e s . E l

c o r t e de d i c h a s s u p e r f i c i e s con l o s p l a n o s p e r p e n d i c u l a r e s a l

d i b u j o ( F i g . 6) po r 1 1 ' , 22 ' y 3 3 ' s e r e p r e s e n t a esquemát icamen

t e en l a F i g . 7.

" En r e a l i d a d había de s e r l a amplitud de l a primera autofunción (modo pro­p io) , pero supuesto que l a deformación i n i c i a l es pequeña, no es p r e c i s o que l a exc i t ac ión sea dicha autofunción, pues l a r e s pues t a se rá a d i t i v a ,

-16-

a) -2--cte(-f)

ROTURA

b) v=cte c) A=cte

Fig. 7. Cortes de las superficies de tiempo de rotura (período de oscilación) constante, T, para los tres procesos representados en la Fig. 6, en función de la amplitud de la perturbación.

Actualmente solo se dispone de datos numéricos para el

caso a) de la Fig. 7 y se está trabajando en los casos b) y e ) ,

pero ya se pueden sacar algunas conclusiones generales respecto

a la evolución energética.

1. Al haber supuesto líquido no viscoso en el modelo nu

mérico, el movimiento será no disipativo, y la suma de energías

cinéticas de las partículas más la energía potencial interfacial

permanecerá constante durante el movimiento.

siendo

T + U = cte.

T - £ 2 v.vdV

V U dA

(26)

(27) A

En realidad, como ya se sabe, el problema del equilibrio

y la estabilidad consiste, según el principio de Hamilton, en e_s

tudiar las variaciones posibles de la lagrangiana del sistema

L : T - U; en el equilibrio, 3 |_ = 0, y si ha de ser estable,

-17-

9 L > 0. Se sabe además que, al ser el movimiento del líquido po

tencial, se verifica (teorema de Green)

v.vdV = A * fü- dA 3n (28)

siendo c¡> el potencial de velocidades, con lo cual queda todo el

problema reducido a la interfase.

Pues bien, la evolución de estas energías, cinética y

potencial, en una secuencia típica de rotura de una zona cilin­

drica, tal como la representada en la Fig. 8, nos muestra que

la energía cinética es despreciable hasta tiempos del orden del

90 % del tiempo de rotura, lo cual indica por ejemplo que la in

fluencia del baño exterior en la simulación de Plateau debe ser

pequeña.

2. La variación de energía potencial se hace muy pronun

ciada en el instante de rotura, debiendo estar limitada en la rea

lidad por la viscosidad del líquido. A partir del instante de ro

tura no se sabe más que el nuevo equilibrio termodinámico se al­

canzará para U = U (Fig. 8) el cual se deduce calculando los vo

lúmenes parciales de rotura y calculando la energía asociada a

dos gotas en reposo con la misma distribución de volumen, que

obviamente será la configuración final (se desprecia la influen­

cia, tanto en volumen como en energía, del pequeño satélite que

se forma en la rotura).

Desgraciadamente, el banco de datos de las grabaciones

en vídeo de las evoluciones de rotura en tanque de Plateau, no

parece tener resolución suficiente como para poder calcular la

parte derecha de la Fig. 8 aun suponiendo que se dispusiera del

VpD3/< i

i — »

co

Fig. 8. Evolución energética en la rotura de una zona cilindrica de esbeltez A=3.13 con una deformación inicial e=0.i. Los resultados numéricos disponibles solo valen hasta el instante de rotura, aunque también pro­porciona el valor final, U .

-19-

equipo de análisis automático de imágenes necesario para tan ar

dua tarea.

3. Si se representa simplemente la energía (área) ini­

cial de la zona perturbada en función de la amplitud de la de­

formación, para zonas cilindricas de distinta longitud, tal como

se muestra en la Fig. 9, se vuelve a obtener el limite de esta­

bilidad, suministrando además una ayuda visual intuitiva con la

interpretación siguiente. La zona flotante se comporta como lo

haría una perla que pudiera deslizar enhebrada en la curva de

esbeltez correspondiente. Así, por ejemplo, abandonada sin vel_o

cidad inicial dicha perla en la curva L/D = 2.9, en una posición

e = 0.15, la perla regresaría hacia e = 0 y oscilaría (tómese

el eje e = 0 de simetría) y sin embargo, abandonada en e = 0.2

se movería hacia e crecientes (la zona se rompería). Todo esto

ya se sabía, pero lo realmente sorprendente es que aquí no ha

hecho falta ningún desarrollo matemático, simplemente el cálcu­

lo de áreas de formas de revolución de generatriz r(z) dada por

r ( z ) = j \ j l + 4 e ( l - e ) s e n 2 T r | 0 < z < 1 ( 2 9 )

la cual se ha elegido superponiendo un período de sinusoide de

amplitud e al área de la sección del cilindro para conservar el

volumen, habiendo adimensionalizado con el diámetro.

La energía (área) u(A,e) vendrá dada por

u(A,e) = 2TÍ A

r V 1+r'2 di (30)

cuyo desarrollo en potencias de e es

2 2 4 2 u(A,e)=TrA + TTA(^T -l)e

2-2TTA(^- - D e 3 - ^ - ( 3 \ - 1 0 \ +19)e4+ ... (31) A¿ A. H A A¿

-20-

Este desarrollo es solo válido cerca de A = TT. Tomando

6= C TT - A ) / TÍ , la forma de equilibrio no cilindrica (obtenida de

9 2 d u/de ) verifica la conocida relación

Vó7i=\[ TT-L/D 3lT

(32)

0.20 0.25

Fig. 9. Energía superficial (área) de un cilindro defor­mado, sinusoidalmente en secciones (para conser­var el volumen cilindrico) en función de la de­formación en el cuello para diferentes esbelte­ces, L/D.

-21-

REFERENCIAS

1. Sychev, V.V., "Complex Thermodynamic Systems", Mir Publ.,

1981, pp. 140-164.

2. Martínez I., "Hidrostática de la zona flotante", Tesis Doc­

toral, Univ. Politécnica de Madrid, 1978.

3. Haynes, J.M., "Stability of a ^luid Cylinder", J. Colloid

Interf. Sci., _3_2 , 1970, pp. 652-654.

4. Meseguer, J., "Estructura interna de la zona flotante", Te­

sis Doctoral, Univ. Politécnica de Madrid, 1981.

5. Sanz, A. £ Martínez, I., "Mínimum Volume for a Liquid Bridge

between Equal Discs", J. Colloid Interf. Sci. (admitido).

/

-22-

2. INFLUENCIA DEL BAÑO DE PLATEAU EN LA DINÁMICA DE PUENTES

LÍQUIDOS ANCLADOS A DISCOS IGUALES

-23-

2- INFLUENCIA DEL BAÑO DE PLATEAU EN LA DINÁMICA DE PUENTES LÍQUIDOS ANCLADOS

A DISCOS IGUALES

2.1. INTRODUCCIÓN

La finalidad de este trabajo es el estudio del compor

tamiento de un puente líquido confinado entre dos discos coaxia

les y paralelos entre sí, en microgravedad simulada en baño neu

tro.

La experimentación espacial con la zona flotante, tan

necesaria desde cualquier punto de vista, plantea una serie de

problemas: elevado coste, rígida planificación con largos tiem

pos de espera, etc., que aconsejan la búsqueda de vías comple­

mentarias como puede ser el desarrollo al máximo de todas las

posibilidades de experimentación en tierra, en condiciones de

ingravidez simulada. Aun sabiendo que esta vía no puede susti­

tuir a la experimentación en el espacio, el interés de este

nuevo enfoque es doble: por una parte, plantear nuevos proble­

mas de mecánica de fluidos con entrefases cuya solución tiene,

por sí solo, un innegable interés. Por otra parte, el de disp£>

ner de técnicas experimentales de fácil acceso con las que cora

probar las predicciones teóricas, en la idea de que los resul­

tados obtenidos con gravedad simulada puedan servir para aco­

tar la validez de los resultados teóricos en microgravedad real.

En la técnica del baño neutro (baño de Plateau) se

sumerge la zona en otro fluido exterior de densidad similar,

para compensar la presión hidrostática en la entrefase; esta

técnica permite observar fácilmente el comportamiento de la z£

na frente a las diversas perturbaciones impuestas, aunque la

presencia del baño plantee problemas adicionales, que hay que

-24-

resolver: los modelos teóricos empleados para el estudio de la

zona flotante en ingravidez no son válidos y es preciso modifi

carlos para tener en cuenta la presencia del fluido exterior,

cuyo movimiento está acoplado con el interior a través de la

entrefase. En este contexto, el objetivo del trabajo es el es­

tudio de uno de los principales aspectos de la dinámica de las

zonas flotantes: la rotura de la zona en microgravedad simula­

da.

En el desarrollo del estudio se considerará que el

líquido interior, de la zona, y el del baño tienen diferente

densidad. Para estudiar la influencia de la densidad del medio

exterior en una forma general se añadirá al modelo la hipótesis

de ausencia de fuerzas gravitatorias, con el fin de eliminar

el efecto de la presión hidrostática sobre la forma de la entre

fase. No obstante, obvio es advertirlo, el caso de mayor impor­

tancia para los ensayos en tierra es aquel en que ambos líqui­

dos tienen aproximadamente la misma densidad, para equilibrar

la presión hidrostática a ambos lados de la entrefase. El caso

en que exista una cierta gravedad residual, simulable emplean­

do líquidos de densidades parecidas, queda para futuros traba­

jos.

2.1.1. Problemas afines

Como resultado del interés despertado por la utiliza

ción de la técnica de la zona flotante, existe una abundante IJL

teratura sobre el tema que abarca muy diversos aspectos , pudieri

do encontrarse un amplio resumen de la misma en [l]. En esos

trabajos se considera la densidad del medio exterior mucho me-

-25-

nor que la del líquido de la zona, hipótesis adecuada en la ex

perimentacion espacial y en la experimentación con zonas mili­

métricas, pero no aplicable a los casos en que la zona está in

mersa en un baño isodenso, aunque pueden considerarse de gran

utilidad los modelos desarrollados.

Los demás trabajos consultados en los que se tiene en

cuenta el efecto del medio exterior se refieren a configuraci_o

nes diferentes a la estudiada como son los chorros y las colum

ñas líquidas de longitud infinita.

En los relativos a la estabilidad de chorros, [2] y

[•3], solo se tienen en cuenta debidos al medio exterior los tér

minos convectivos, despreciándose los inerciales, mientras que

en el estudio de la estabilidad de la zona ocurre precisamente

lo contrario. Más parecidas a la configuración del problema en

estudio que los chorros son las columnas de longitud infinita

rodeadas por otro medio no limitado, cuya estabilidad es estu­

diada en [4-], o el caso en que el medio exterior está a su vez

limitado por una pared solida, [5].

Los resultados ofrecidos en ambos trabajos son muy d_i

ferentes a los que se obtendrían en el caso de la zona flotante

debido a la presencia de los discos, ya que éstos imponen al

movimiento del fluido unas condiciones de contorno que no se

cumplen en ninguno de los dos casos anteriores.

El interés del desarrollo de modelos teóricos que ten

gan en cuenta la presencia del baño se pone de relieve en [6] ,

en que se estudia la influencia de la relación entre las visco

sidades del líquido de la zona y del baño en el comienzo del mo

vimiento de puesta en rotación del conjunto.

- 2 6 -

2 .2 . ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO ESTRICTAMENTE AXILSIMETRICO DE LA

ZONA FLOTANTE EN BAÑO DE PLATEAU

S e a , t a l como se e s q u e m a t i z a en l a F i g . 1 , una zona

l í q u i d a a x i l s i m é t r i c a comprendida e n t r e dos d i s c o s de i g u a l d i á

m e t r o , c o a x i a l e s y p a r a l e l o s e n t r e s í , sumerg ida en o t r o l í q u i

dos ( e l baño) i n m i s c i b l e con e l de l a zona y l i m i t a d o a su vez

por dos c o r o n a s c i r c u l a r e s p l a n a s , p r o l o n g a c i ó n de l o s d i s c o s ,

y po r una s u p e r f i c i e c i l i n d r i c a de s e c c i ó n c i r c u l a r y c o a x i a l

con l a zona .

\ • • • - | • - • • • • • • • • • - -

Á' ^

4,

L F _

i aR

L/2

L/2

Fig. 1. Geometría y sistema de coordenadas para una zong flotante xilsinté trica en baño de Plateau.

-27-

El problema a tratar concierne a la evolución de una

configuración tal como la descrita bajo perturbaciones estric­

tamente axilsimetricas. Para realizar el estudio se suponen uní

formes y constante la densidad, p -* , y la viscosidad, v-1 , de ca

da uno de los líquidos, así como la tensión interfacial, o. As í

mismo, para eliminar los efectos de la presión hidrostática s_o

bre la forma de la entrefase se añade la hipótesis de ausencia

de fuerzas gravitatorias.

En estas circunstancias, las ecuaciones que definen

el movimiento son:

I) Continuidad:

Y-\P = 0 (1)

donde el superíndice indica el medio: '"i" para la zona y "o" pa

ra el baño.

II) Cantidad de movimiento:

$j + V^.YV^ = - VPj/pj + v^V2\P (2)

Junto con las condiciones de contorno e iniciales a pro

piadas que, de acuerdo con la nomenclatura introducida en la

Fig. 1, son:

III) Velocidad nula en las superficies límites:

P(r, ±17 2, t) = 0 (3)

?°(aR, z, t) = 0 (4)

-28-

IV) Velocidad radial nula y velocidad axial con pen­

diente nula en el eje de la zona:

tr(o, z, t)

wJ;(o, z, t) = o

(5)

(6)

V) En la entrefase las condiciones son dos, por una

parte, la que expresa el equilibrio según la normal entre la

presión capilar, la sobrepresion local y los esfuerzos visco­

sos normales:

n. (T - T ) . n = crV • n (7)

donde T es el tensor de esfuerzos y n la normal exterior; y,

por otra parte, que la componente tangencial de los esfuerzos

viscosos debe ser igual en ambos fluidos:

, XÍ xOs -> -> , T i TO, -> n

(T - T ) . n - n . ( T - T ) . n = 0 (8)

VI) Falta por añadir que la entrefase, de ecuación

F(r, z, t) = 0, debe ser en todo momento una superficie fluida:

Ft + VJ.VF = 0 (9)

y también, como condiciones adicionales para la forma de la en

trefase, la de anclaje de ésta al borde de los discos, F(R, ±L/2

t) = 0, y la condición, redundante, de conservación del volumen

de la zona:

ÍL/2

-L/2

2 2 F dz = TTR L (10)

-29-

donde F, en esta formula, representa explícitamente el radio de

la superficie de la zona, r = F(z,t).

VII) Las condiciones iniciales deben prefijar el va­

lor de las distintas variables en el instante inicial: la forma

de la zona, F = F , y el campo de velocidades V = V-1 .

Si, en las expresiones anteriores, se adimensionalizan

las longitudes con el radio de los discos, R, las velocidades

con /a/(pÍR), el tiempo con /piR3/a, la presión reducida,

(P - P )/p , con a/(p R), y definiendo el parámetro adimensio-

nal E-1 = v /p1/(aR), se obtienen las siguientes expresiones

desarrolladas:

I) Continuidad:

tP + u V r + W^ = 0 (11) r z

II) Cantidad de movimiento:

yj + yJuJ + WJuJ = _ p^p1/pj + E^(U j) (12) t r z r

wj + uJwJ + WJWJ = _ pipa/pi + E ^ W + r"2]Wj (13)

t r z z

• A J 32 + 3

2 + 1 3 1

siendo <,= — + — 2 r Ir 2 ' 9r 9zz r dX r

Respecto a las condiciones de contorno e iniciales

resulta:

III) En las superficies solidas:

lP(r, ±A ,t) = W^(r,±A,t) = 0 (14)

U°(a,z,t) = W°(a,z,t) = 0 (15)

-30-

con A = L/(2R).

IV) En el eje de la zona:

U (0,z,t) = 0 (16)

Wj(0,z,t) = 0 (17)

V) En la entrefase, r = F(z,t), equilibrio según la

normal:

P1 - P° = f2(E1M1-E°M°) +F 1- F (1+F2) 2](1+F 2) - 1 (18)

donde:

I] = U3 + F2W:] _ ... r z z z r z

MJ = UJ + F"WJ - F (W: + U:)

e igualdad de las componentes tangenciales

E1N1 - E°N° = 0 (19)

siendo

N: = 2F (U ,J-Wj) + (l-F2)(W:Í+Uj) z r r z r z

VI) Condición de contorno cinemática:

F^ - UJ + W^F = 0 (20)

A este grupo de condiciones se debe añadir la de an

claje de la entrefase al borde de los discos, F(±A,t) = 1, y

la de conservación de volumen:

A

-A

F2dz = 2 TTA (21)

VID Condiciones iniciales: F=F ;U:=U:] yW D=W :. o' o J o

-31-

2.3. ANÁLISIS LINEAL DEL PROBLEMA TRIDIMENSIONAL NO VISCOSO

El estudio lineal permite encontrar los modos propios

de oscilación y el inicio del movimiento de rotura de la zona,

suponiendo que las deformaciones de la entrefase son pequeñas.

Si la amplitud del movimiento es pequeña comparada

con una longitud característica, X, que sería la longitud de la

zona en el caso de rotura o la longitud de onda en el caso de

oscilación, pueden despreciarse los términos convectivos fren-

2

te a los inerciales. Asimismo, si X °,/v»l, donde Q, es la fre­

cuencia de oscilación o el factor de amplificación, se pueden

despreciar los términos viscosos frente a los inerciales, lo

que permite simplificar las ecuaciones y las condiciones de cori

torno.

Para resolver el problema, primero se linealizarán

las ecuaciones, lo que lo reducirá a un problema de frontera

libre en la presión. Este tipo de problemas no tienen una solu

ción estándar por lo que para abordarlo se han considerado dos

etapas: primero construir una solución lo más general posible

que satisfaga las condiciones de contorno en las superficies lí

mites y en el eje de la zona, y una vez hecho esto, tratar de

determinar las constantes arbitrarias que aparezcan en ella pa.

ra que se satisfagan las condiciones en la entrefase.

Sea e un parámetro pequeño que mide, por ejemplo, la

máxima deformación de la superficie libre respecto a la forma

cilindrica. Si se suponen pequeñas deformaciones, se desprecian

2 términos de orden e y se considera la dependencia con el tiem

po proporcional a e , las variables del problema se pueden e_s

cribir como:

- 3 2 -

T T j - fit j

UJ = ee u J

wJ = ee wJ

D Í _ y, , Q,t Í P - 1 + ee p ( 2 2 ) n o üt o P = e e p F = 1 + e e f i t f

Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones (11)

a (21) , se obtiene:

I) Continuidad:

UD + u 3 / r + w: _ o (23) r z

II) Cantidad de movimiento:

ñu3 = - pjpX/p^ (24)

^ = - p^pX/pj (25)

III) Condición de contorno en las superficies lími­

tes (velocidad normal nula):

wj(r,±A) = 0 (26)

u°(a,z) = 0 (27)

IV) Velocidad radial nula y velocidad axial con pen­

diente nula en el eje de la zona:

ux(0,z) = 0 (28)

w 1(0,z)=0 (29) r '

V) En la entrefase, r = 1:

-33-

f (z) + f(z) = -P1(l,z) + p°(l,z) (30)

y desaparece la condición de la componente tangencial, al ser

E j = 0.

VI) Condición de contorno cinemática:

fif (z) - u](l,z) = 0 (31)

junto con la de conservación de volumen:

•A

f(z)dz = 0

-A

y la de anclaje al borde de los discos:

(32)

f(±A) = 0 (33)

Empleando (24) y (25) es posible plantear el problema

para la presión, sustituyendo las velocidades en función de és­

ta en la ecuación de continuidad:

pJ + —p J + pJ rrr r^r -zz

0 (34)

con las condiciones de contorno:

p^(r,±A)

pj(0,z)

Pr(a,z)

= 0

0

0

(35)

(36)

(37)

La solución más general del problema (34) que cumple

(35) y (36) puede expresarse por medio de las series:

co

p 1 = p + Y ÍTA I (1 r)cosl (z + A) ^ ^o L. n o n n n=l

(38)

-34-

P° = Po + l í! 2[BK(lr)+CI(lr)]cosl(z+A) (39) n=l n o n n o n n

n y Cn son constantes a determi. donde 1 =mr/(2A), p1, p°, A . n *o ^o' n -

nar, e IQ(x) y K Q ( X ) son las funciones de Bessel modificadas,

de primera y segunda especie, de orden cero. Pero además, para

el cumplimiento de la condición (37), debe ocurrir que:

n

Kl(lna)

n Il(lna) (40)

donde I.(x) y K.(x) son las funciones de Bessel modificadas de

orden unidad, de primera y segunda especie, por lo que al sus-

o tituir C en la expresión de p , (39), se obtiene:

p° + l Í22B ° n=l n

K^l a) K (1 r) + I (Ir) T

i7^ v

o n o n I1 (1 a) cosí (z+A) (41) n

Las soluciones para la presión (38) y (41) cumplen

las condiciones en las superficies límites y en el eje de la zjp_

na, y quedan por determinar las constantes p y p y los coefi

cientes A y B , para lo cual se acoplan ambas soluciones a n y n' r ^

través de las condiciones en la entrefase. De la condición cine

mática (31) se deduce:

Í22f(z) = P¿(l,z) Pr<l »z)/'p (42)

donde p=p°/p1, es la relación entre las densidades del líquido

del baño y de la zona.

De la primera igualdad de (42) se deduce que f(z) de­

be ser de la forma:

-35-

f(z) = " I A n 1nI l ( 1 n ) c o s l n ( z + A ) ( 4 3 )

y, de la segunda igualdad, una relación entre los coeficientes

A y B n J n

ln - ~ V W Kl(1na) Il(1n) W >

-1

(44)

Por otra parte, debe cumplirse el equilibrio de pre­

siones dado por (30), que ahora se escribirá, con ayuda de (38),

(41) y (44)

oo

f + f = - p - V fi A I ( 1 )S c o s í (z+A) ( 4 5 ) zz ^o L

A n o n n n n = l

A A 1 O d o n d e p = p - p y

^o *o o J

S = 1 + n W K l ( 1 n a )

I o ( 1 n ) + I 1 ( V )

K l ( l n ) K l ( l n a )

W I l ( 1 n a )

- 1

( 4 6 )

La ecuación (45) tiene como solución:

co Q2A S I (1 ) f = -p +Acosz + Bsenz - £ ^ cosl„(z + A) (47)

n=l 1 - 1 ' n n

Resumiendo, el problema ha quedado reducido a encon­

trar los coeficientes A y las constantes p , A y B, lo que pue

de hacerse con ayuda de las condiciones en la entrefase, (32) y

(33) y las n relaciones que se obtienen al identificar (43) y

(47) .

De las condiciones de la entrefase se obtiene:

p + AcosA + BsenA o " ^nW^ ) o cosn-rr

n=l 1 - l2

n

= 0 (48)

-36-

Po + AcosA SsenA -<» a 2 A i (i )s y n o n n

n=l 1 - 1 2 n

= 0 (49)

PQA + AsenA = 0 (50)

Combinando estas ecuaciones se puede eliminar p y

obtener ecuaciones desacopladas para A y B según sea n par o

impar:

2 SsenA + £ Í2 A 9 m + 1 i m = l

2m+l 2m+l (51)

AcosAd - ÍSA) - j [ ¡ A2mi2m= 0 m = l

(52)

donde

i = I (1 )S (1 - l2) 1

m o m m m (53)

Para identificar las expresiones (43) y (47) hay que

utilizar los desarrollos de cosz y senz en serie de cosí (z+A)

cosA 2 ,-1 senz = 2 P l (1-12m+l) C O s l 2 m + l ( z + A ) (54)

m = l

cosz senA A

OO si

1 + 2 V (l-l2 )~ cosl0 (z+A) L. ¿m 2m m = l

(55)

Realizando dicha identificación se obtiene

A OD cosA rn2 . -i 1 J2m+l 2m+l 2m+l "" A

sen A r- 2 A2m = 2 A A

-l 2m JV2m-

(56)

(57)

donde:

-37-

jm = Io ( 1m ) Sm (58)

Estas ecuaciones proporcionan los coeficientes A n

en función de una única constante, A ó B, según sea n par o

impar. Los valores de A n sustituidos en (51) y (52) permiten

obtener las ecuaciones características que han de verificarse

para que exista solución distinta de la trivial:

co

m = l

A~lS¡¡: - Ü ] i„ [Q2U - k0 ]_ 1 = 0 (61) 2tgA L

A 2mL J2m 2mJ b m = l

El tipo de movimiento libre de una zona de esbeltez A

está definido por los valores de Q, que verifiquen (60) ó (61)

para este valor de A. Como en las ecuaciones características to

dos los valores numéricos que aparecen son reales, también lo

^ 2 2 2 ^ 2 sera ü y dependiendo de que sea Q, >0,Í2 = 0 o Q, < 0 s e Ira

tara de un movimiento divergente de amplificación y - 9,, de

una situación de cambio de estabilidad, o de un movimiento osc_i

latorio de pulsación OJ = iQ; y dependiendo de que corresponda

a n par o impar, la deformación de la zona será simétrica o ari

tisimétrica respecto del plano medio.

En la Fig. 2 se muestra la variación de CÚ en función

de A en el caso en que no existe baño exterior (p=0) y en la

Fig. 3 dicha variación para distintos valores de la relación de

densidades, p, y de la posición del límite del baño, a.

-38-

8

O)

\ 2

\ V

\ \ 5

\3 ^S.

\ V1

\ \ 1 0 \

\ 9 \

\ 8 \

\ 7 \ \

Fig. 2. Variación con la esbeltez, A, de la pulsación, tu, del movimiento de oscilación de una zona sin baño, p=0, para los 10 primeros modos. Los números de las curvas indican las semiondas que tiene la defor­mada; los pares indican deformación antisimétrica respecto al plano medio y simétrica los impares. Resultados obtenidos a partir del ana_ lisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico.

-39-

g. 3. Variación con la esbeltez, A, de la pulsación, u), del movimiento de oscilación de una zona rodeada de un baño, para diversos valores de la relación de densidades, p, y del límite lateral del baño, a. Lí­nea continua, baño infinito (a=«>); línea a trazos, a=1.5 (p = l). Las curvas que parten de A=ir corresponden al primer modo de oscila­ción (deformación con 2 semiondas) y las restantes al tercero (de­formación con H semiondas). Resultados obtenidos a partir del aná­lisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico.

-40-

Los valores de A para los que se produce el cambio

de estabilidad se obtienen al sustituir ft = 0 en (60) y (61):

tgA = 0 (62)

tgA = A (63)

En las Figs. 4 y 5 se muestra la variación de y y u

en función de A en las proximidades del primer cambio de esta­

bilidad, para diversos valores de los parámetros p y a.

La deformación de la zona se obtiene sustituyendo los

valores de A de (56) ó (57) en (43), obteniéndose respectiva­

mente :

f ( z ) = - 2 B ^ ^ Y 1 - . . I . ( 1 . ,. ) [ í 2 2 j v ] ~ c o s l 0 ^ ( z + A) ( 6 4 ) A L

A zm+1 1 2m+l J 2m+1 2m+l J 2m+l m = l

co .

f(z) = -2A ^ l l2mI1(l2m)[n2J2m - k 2 m ] ~ cosl2m(z+A) (65)

m = l

donde Q es uno de los diversos valores que se obtienen como s_o

lución de la ecuación característica para el valor de A de la

zona, correspondiendo a cada valor un modo diferente de defor­

mación.. Las constantes A y B pueden deducirse de la amplitud

máxima de la oscilación de la zona o de la deformación inicial

en el comienzo de la rotura. Análogamente se obtendrían las ex

presiones para el campo de presiones o de velocidades. En la

Fig. 6 se muestra el comportamiento con z de la deformación,

f(z), para el primer modo de oscilación. La evolución con el

tiempo viene dada por el factor exponencial e , que puede ser

oscilatorio o divergente.

En las Figs. 7 a 11 se ha representado el comportamien.

-41-

2.5 2.7 Z9 A 3.1

Fig. 4. Variación con la esbeltez, A, de dos parámetros que definen la evo­lución de una zona en un baño infinito: amplificación, y, y pulsa­ción, oí, para diversos valores de la relación de densidades, p. Re­sultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimen_ sional axilsimétrico.

-42-

Fig. 5. Variación con la esbeltez, A, de dos parámetros que definen la evo­lución de una zona: amplificación, y, y pulsación, tu, para diversos valores de la posición del limite del baño, a. Linea continua, zona de baño isodenso (p=l); línea de trazos, zona sin baño (p=0). Resul_ tados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensio_ nal axilsimétrico.

- 4 3 -

f(z)

0

- /

AS

\

^ J^"

>^

0

^*^ yy

z A

Fig. 6. Comportamiento de la deformación, respecto del c i l ind ro , de la en-trefase de zonas de esbeltez A=2.9 ( l ínea continua) y A=l ( l ínea a trazos) rodeadas de baño, en el primer modo de deformación. Re­sultados obtenidos a pa r t i r del aná l i s i s l inea l del modelo t r i d i ­mensional axi ls imétr ico.

t o de l a v e l o c i d a d en d i v e r s a s s e c c i o n e s de l a zona y d e l b a ñ o ,

p a r a dos z o n a s , una l a r g a y o t r a c o r t a . En l a s F i g s . 7 y 10 se

o b s e r v a que en e l p r i m e r c a s o l a s v a r i a c i o n e s r a d i a l e s que expe

r í m e n l a l a v e l o c i d a d a x i a l son p e q u e ñ a s , comparadas con e l l a

misma, e x c e p t o en l a s p r o x i m i d a d e s de l o s d i s c o s c e r c a de l a

l í n e a de a n c l a j e de l a e n t r e f a s e , t a n t o en e l i n t e r i o r como en

e l e x t e r i o r de l a z o n a , en que w cambia de s i g n o . En l a zona

c o r t a , F i g s . 9 y 1 0 , l a s v a r i a c i o n e s r a d i a l e s de l a v e l o c i d a d

a x i a l son d e l o rden de e l l a misma y l a r e g i ó n en que w cambia

de s i g n o es r e l a t i v a m e n t e mayor , y más a c e n t u a d o que en e l c a so

a n t e r i o r .

E l movimien to en ambos c a s o s e s t á c a r a c t e r i z a d o por

- 4 4 -

(///////////////////////

T~T~T~T

n M

j t t T

o "

I_L_L^L

i, a a

w I ¡> <>

mj

Fig. 7. Perfiles transversales de velocidad axial, w, en diversas secciones de una zona de esbeltez A=2.9, rodeada de un baño cuya frontera es­tá en a=2, para el primer modo de oscilación. Debido a la simetría respecto al plano medio, se ha representado únicamente la mitad su­perior de la zona. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico.

•"3 P-03

3 ÍD P M

Cb

m H

3 o Cb

m H f>

r t 4 P . Cb P-3 n> 3 w p -o 3 CU P-

tu X p . H 0 P . 3 1T)V r+ ^ P-o o •

00 p

T) m •-( p . o ^ CL fD

P 1

ti)

N O 3

m • w fD 00 3 H r t (11 Cb O w

o t r r+ (0 3 p . Cb O w

m

TJ (D 4 r t p . 1

o-(D H

11) 3 PA H p . M P-W

M P -1

O (1)

^ ÍD W

13 fD (3 r t O

(1) H

T í P J

(1) 3 o

3 (i) Cb p . o

v*

w n>

3 * (1)

^ fD 13 4 fD 00 ÍD 3 rt (D Cb O

¡31 3 p -O

(" 3 (D 3 r t fD

M [D

3 p -ri-CU f-b

T í * ¡ P-3 fD

>-( 3 o Cb o

Cb fD

O w o p . M (11 O P-nv 3

• O O 3 o

M PJ

< m P 1

o o p . t i (D O-

t-i (D Cb P . (D P-1

fD 00

CU 3 r t p . 0 p . 3 Í1A r t <~t P. 1

t r fD i -" r t fD N

>-II fO

• co w

>-( o Cb fD (1) Cb (1)

Cb fD

P 3

t r m 31 t )

o p

' • <

tu

H i *-i O 3 r t (D *í CU

fD 00 r t CUV

fD 3

CU II N i

u

TJ

(!) >3 (D

fD

T) fD *¡ H i P.-t ^ (D W

P-1

O 3

W P . r t (3 Cb P> 3 (i) H ft> ro

Cb fD

• <

fD P3

O O P . Cb cu Cb

H CU Cb H -(11 P 1

v <3

^ fD 3

d 3 ÍD

N O 3 tu

Cb (D

fD W 1

I -p=> en i

-46-

Fig. 9. Perfiles transversales de velocidad axial, a) y perfiles longitud^ nales de velocidad radial, b), en una zona de esbeltez A=l, rodea­da de un baño cuya frontera está en a=2, para el primer modo de os cilación. Como las velocidades axial y radial son simétrica y an­tisimétrica, respectivamente, respecto al plano medio, se ha repre sentado únicamente la mitad superior de la zona. Resultados obteni dos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsi-métrico.

-47-

W

a)

O

•—"""i

*"" —m

w

b)

_ r - 1

0

: = 2 = ^ = = = = ^ v

Fig. 10. Comportamiento de la velocidad axial, w, con la coordenada z para distintos valores de r, en el interior (línea continua) y en el ex_ terior (línea a trazos) de dos zonas de esbelteces A=2.9, a), y A=l, b), respectivamente, rodeadas de un baño cuya frontera está en a=2, para el primer modo de oscilación. Dada la simetría respec_ to al plano medio (z=0), solo se ha representado la mitad superior de la zona. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico.

-48-

11. Comportamiento de la velocidad radial, u, con el radio, r, en dive£ sas secciones transversales, tanto en el interior, ríl, como en el exterior, r>l, de dos zonas de esbelteces A=2.9, a), y A=l, b), res_ pectivamente, rodeadas de un baño cuya frontera está en a=2, para el primer modo de oscilación. Las curvas 1, 2, 3 y 4- corresponden a z/A = 0.5, 0.8, 0.9 y 1 respectivamente. Como u es antisimétrica respecto al plano medio, se ha representado únicamente para los va­lores positivos de z. Resultados obtenidos a partir del análisis l_i_ neal del modelo tridimensional axilsimétrico.

-49-

tener w en el interior sentido opuesto que en el exterior, a

la vez que lo conserva dentro de cada región, excepto en la

zona próxima a la línea de anclaje de la entrefase señalada

en líneas anteriores. En el caso de la zona esbelta, los per­

files longitudinales de velocidad radial, Fig. 8, son semejari

tes a la deformación de la entrefase, salvo en las proximida­

des del contorno, donde la velocidad tiene un valor no nulo

aunque pequeño comparada con el máximo, excepto el perfil co­

rrespondiente a la entrefase en que dicho valor debe ser nulo,

como es lógico. En cambio, en la zona corta, este fenómeno no

se produce y los perfiles se diferencian apreciablemente de la

forma de la entrefase, incluso la velocidad en el contorno lie

ga a ser de intensidad similar a la máxima, excepto los perfi­

les muy próximos a la entrefase. Este fenómeno se pone de maní

fiesto en la Fig. 11 en la que se presentan diversos perfiles

transversales en uno y otro caso, y donde puede observarse que

en el segundo la velocidad radial en el contorno es comparable

con la máxima en la mayor parte del campo de variación en las

diversas secciones longitudinales excepto en las proximidades

de la entrefase.

2.3.1. Influencia del baño

En los resultados que se han ofrecido hasta ahora se

ha tratado, siempre que ha sido posible, de poner de relieve la

influencia del medio exterior. Así, en las Figs. 2 a 5, referen

tes a la parte del problema dependiente del tiempo, es decir,

a la variación con A de las frecuencias propias o amplificacio­

nes, puede apreciarse la disminución de las mismas al aumentar

-50-

la densidad del baño o al disminuir su tamaño, mientras que en

las Figs. 6 a 11 en que se representa únicamente la variación

espacial de la deformación y de la velocidad coinciden los re­

sultados obtenidos, independientemente del valor de la densidad.

La variación de a da lugar a una moficiación del campo de velo­

cidades en el baño, debido al cambio de su geometría, pero no

afecta al campo de velocidades interior, Fig. 12.

^0=1.5

. ^ 2

^ 2.5

3 i» 5

0 1 2 3 A r 5

Fig.12. Variación en función de r del módulo de la velocidad axial, |w| en la sección central, z=0, en el interior y el exterior de una zona de esbeltez A=2.9, para diversas posiciones del límite del baño, a. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico. Primer modo de oscilación.

Para destacar la influencia de los factores que def_i

nen el baño, la relación de densidades, p, y las dimensiones

-51-

del mismo, dadas por la posición del límite, a, se ha presenta

do en las Figs. 13 y 14 la variación de la pulsación, co , de

una zona en función de p y a , estando fijada la esbeltez, A.

La variación con a es bastante brusca: permanece prácticamente

constante para a > 3, pasando de dicho valor a cero para a = 1.

Esta característica se explica si se considera que los términos

de la formulación en que aparece a, por ejemplo en (46), caen

exponencialmente a cero al crecer ésta, desapareciendo así la

dependencia con a. Este fenómeno es menos acusado conforme

aumenta A-

El punto de vista energético ofrece una simple expli

cación de la influencia del baño. El movimiento libre de la z_o

na consiste en un intercambio o trasvase de energía entre la

entrefase y el fluido: parte de la energía potencial de la en­

trefase se transforma en energía cinética del fluido, en el

caso de rotura, y en el caso de oscilación el proceso se repi­

te alternativamente en uno y otro sentido a lo largo de cada ci

cío. Cuando la zona está aislada, la energía de la entrefase se

comunica al fluido de ésta íntegramente, mientras que cuando e_s

tá rodeada de otro fluido, deben repartirse esa energía entre

ambos, por lo que las velocidades que se generan serán menores.

Así, pues, cuanto mayor sea la densidad del baño, más lento se­

rá el movimiento, para una deformación dada de la entrefase. La

influencia de la dimensión del baño, dada por a, consistente en

que los movimientos son más lentos cuanto menor es a, se explj.

ca si se tiene en cuenta que cuando a es grande la mayor parte

del baño se mueve a velocidades muy pequeñas, Fig. 12, es de­

cir con poca energía cinética, mientras que cuando a es peque-

-52-

0.2

O)

9¿

4——————

_3——-—~"

0.2

U)

0

- — ^ 2

~—~—¿5

0 10

Fig. 13. Variación de la pulsación, u> , con la posición del límite del baño, a, y con la relación de densidades, p , del movimiento de oscila­ción de una zona de esbeltez A=2.9 en baño de Plateau. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico. Primer modo de oscilación.

53-

U>

/ ^

¿3 r

m — — —

^ - — —

m — — —

p=1

r~ 4

10

O)

^ = 0 = 1 0

10

Fig. 14. Variación de la pulsación, w , con la posición del límite del baño, a, y con la relación de densidades, p , del movimiento de oscila­ción de una zona de esbeltez A=1, e n baño de Plateau. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico. Primer modo de oscilación.

-54-

ño, para la misma deformación, el baño debe moverse a velocida

des comparativamente mayores, aumentando su energía cinética,

por lo que el factor temporal, tt , deberá ser más pequeño. Tam

bien se observa que a partir de un cierto valor de a, los per

files de velocidad en el baño empiezan a ser muy parecidos, s_o

bre todo en la región próxima a la entrefase, que es la parte

del fluido que contribuye en mayor medida en el cálculo de la

energía cinética, por lo que la dependencia del factor tempo­

ral con a tiende a desaparecer.

Por último, pueden compararse los resultados obteni­

dos con el modelo tridimensional axilsimétrico con los proceden

tes de otras formulaciones: modelo unidimensional de Lee para

la zona sin baño, [l] y modelo tridimensional para columnas l_í

quidas infinitas de Bauer, [5]. El modelo unidimensional está

desarrollado únicamente para la zona sin baño, por lo que habrá

que compararla con el resultado tridimensional cuando p = 0, y

a tal efecto se muestra en las Figs. 15 y 16 la variación en

función de A de la pulsación, to, del movimiento de oscilación

de la zona calculado por ambos modelos. El modelo de columna l_í

quida infinita permite tener en cuenta el efecto del baño, ob

teniéndose para la pulsación, LO, la expresión:

? ? 1 ^ ( l o )

o,2 = i 2 ( i 2 - i ) I o a 2 ) s 2 ( 6 6 )

donde 1„ es el número de onda de la perturbación, 1^ = TT/A, y

la influencia del baño aparece a través de S„, definida en (46),

mostrándose su variación en la Fig. 16. En el caso p = 0, la ex

presión (66) coincide con la obtenida por el modelo de Rayleigh.

Como se deduce a la vista de estos resultados) el ajus

- 5 5 -

U)

o

\ 1 \ \ \ \ \ l \ \

V V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v \

i\ 2 X

\ * \ \ \ ' \ \ \ v>

\ A ' \ N \ \ X \

* \ N \ \ \ \ \

\ \ \ N \ \ \ \ \ \ ^ X N X

\ \ \ \ \ \

\ N ^ \ \ \

X ^ X s \

Xs X^ %- x . x -X > ^»

o

Fig. 15. Variación con la esbel tez , A, de la pulsación, ui, del movimiento de oscilación de una zona rodeada de baño, de densidad p y l ímite a, obtenida a pa r t i r del aná l i s i s l inea l del modelo tr idimensio­nal axilsimetrico ( l ínea continua) y del modelo unidimensional de Lee (l ínea a t r azos ) . Los números indican las semiondas que t iene la deformación de la zona.

t e e n t r e l o s modelos u n i d i m e n s i o n a l y t r i d i m e n s i o n a l p a r a l a z_o

na es n o t a b l e d e n t r o d e l r a n g o de v a l i d e z d e l p r i m e r o , es d e c i r ,

s i empre que A » 1 . En cambio , l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s d e l mo­

d e l o de columnas i n f i n i t a s de Bauer son n o t a b l e m e n t e d i s t i n t o s ,

d e b i d o a l a p r e s e n c i a de l o s d i s c o s : m i e n t r a s que en l a zona l a

v e l o c i d a d a x i a l en l o s d i s c o s debe s e r n u l a , e s t a r e s t r i c c i ó n

no e x i s t e en e l c a so de l a s columnas i n f i n i t a s en l a s que l a v_e

l o c i d a d máxima a p a r e c e p r e c i s a m e n t e en l a s e c c i ó n en l a que d e ­

b e r í a n s i t u a r s e l o s d i s c o s a l e s t a b l e c e r l a comparac ión e n t r e

l o s m o d e l o s .

-56-

0.6

0.4

O)

0.2

\

s^ >

^ X

V Bl s

\ B 2 \

VB3

s s

N

*0"

s

N

^

PJ «>

2.5 2.7 2.9 3.1

Fig. 16. Variación con la esbeltez, A, de la pulsación, a), del movimiento de oscilación de una zona rodeada de baño, de densidad p y limi­te a, obtenida a partir de diversos modelos linealizados.

Ll) Modelo unidimensional de Lee, sin baño, p=0 . Bl) Modelo tridimensional de columnas infinitas de Bauer sin

baño, p=0. B2) Modelo de Bauer, p = 0.5, a=2. B3) Modelo de Báuer, p=2, a=2 . TI) Modelo tridimensional para la zona sin baño, p=0. T2) Modelo tridimensional para la zona, p=0.5, a=2. T3) Modelo tridimensional para la zona, p=2, a=2.

-57-

REFERENCIAS

1. Meseguer, J., "Estructura interna de la zona flotante", Te­

sis Doctoral, Univ. Politécnica de Madrid, 1981.

2. Levich, V.I., "Physicochemical Hydrodynamics", Prentice Hall

Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1962.

3. Phinney, R.E., "Stability of a Laminar Viscous Jet - The

Influence of an Ambient Gas", Phys. Fluids, Vol. 16, No. 2,

Feb. 1973, pp. 193-196.

4. Tomotika, S., "On the Instability of a Cylindrical Thread

of a Viscous Liquid surroundend by Another Viscous Fluid",

Proc. R. Soc. Lond., A. 146, 1935, pp. 322-337.

5. Bauer, H.F., "Natural Damped Frequencies of an Infinitely

Long Column of Immiscible Viscous Liquids. Part I: Two-Di-

mensional and Axisymmetric Systems", Forschungsbericht:

LRT-WE-9-FB-2C1982), Hochschule der Bundeswehr, München,

1982.

6. Da Riva, I., "Stability of Liquid Bridges", IAF-80-C-108,

XXXI IAF Congress, Tokio, Sep. 1980.

-58-

3. PUENTES LÍQUIDOS ENTRE APOYOS NO CONVENCIONALES

-59-

3. PUENTES LÍQUIDOS ENTRE APOYOS NO CONVENCIONALES

3.1. INTRODUCCIÓN

Pequeños puentes líquidos suelen aparecer en multitud

de aplicaciones físico-químicas de gran interés industrial. Uno

de los aspectos más básicos, que todavía no se comprende bien,

es el de la histéresis capilar [1].

La más conocida utilización de estos puentes líquidos

es en el proceso de materiales por la técnica de "zona flotan­

te" , en la que se funde localmente una varilla del material a

purificar y se consigue una recristalización más perfecta, sin

contaminación térmica ni material del crisol (la tensión super

ficial mantiene el fundido). En la Fig. 1 se muestra una se­

cuencia de las configuraciones que va adoptando la zona líqui

da durante el crecimiento de un monocristal de silicio [2].

El problema real es muy complicado: transferencias

de calor y masa, frentes de fusión y solidificación, corrien­

tes convectivas, dilatación, condiciones de mojado, etc. Aun

limitándonos al estudio hidromecánico, dejando aparte todos

los problemas térmicos, el camino no es sencillo si se quieren

simular realísticamente las condiciones de contacto de la zo­

na fundida con los soportes sólidos. En cualquier caso, de la

Fig. 1 se desprende que es necesario estudiar el comportamien­

to de puentes líquidos entre apoyos no convencionales, enten­

diendo por apoyos convencionales dos discos iguales, planos,

circulares, paralelos y coaxiales.

Teniendo en cuenta lo anterior, y habiendo considera,

do también otras aplicaciones en las que intervienen medios

porosos parcialmente mojados, se han elegido las configuraci_o

^

Etapas en el crecimiento de un monocristal de silicio con la técnica de zona flotante con fusión por radiación: 1, policristal bruto; 2, zona fundida; 3, monocristal obtenido; 4-, semilla monocristalina. a) materiales de partida, b) fusión de las puntas, c) estableci­miento del puente, d) estirado para eliminar dislocaciones, e) ensanche del cuello, f) ere cimiento del monocristal de diámetro completo.

-61-

nes elementales presentadas en la Fig. 2 como las de mayor inte

res. El caso a), correspondiente a apoyos convencionales, se ha

incluido solo por consistencia y para comparación con casos si.

milares. El caso b), que incluye al anterior, es importante en

las primeras etapas del crecimiento cristalino (Fig. Id) y en

otros estudios experimentales, como el propuesto por Padday [3]

para el estudio de la presión de disrupción debida a las fuer­

zas moleculares entre dos interfases próximas, que será reali­

zado durante el primer vuelo del Spacelab en el Módulo de Físi­

ca de Fluidos.

En el caso c) se empiezan a presentar las configuraci_o

nes con borde libre, cuyo estudio se realiza con la hipótesis

de ángulo de contacto constante, lo cual en la realidad no es

así de simple, pese a que en el equilibrio termodinámico dicho

ángulo está perfectamente definido por la ecuación de Young,

o r-o -,+a-pn cos0 = 0, donde s, 1 y f se refieren a sólido, líquido sf si fl ^

y fluido (gas o líquido inmiscible) y a - , es la tensión superfjL

cial entre las fases i,j. Efectivamente, en la realidad se ha

observado un comportamiento complejo de la línea triple sólido-

líquido-fluido, con ángulo de contacto mal definido, lentamente

variable con el tiempo, con histeresis, muy sensible a pequeñas

alteraciones en el estado superficial del sólido, contaminación,

etc. Se trata, pues, de un problema delicado no muy bien enten­

dido, y lo que aquí se pretende es desarrollar la teoría simple

de deslizamiento con ángulo constante, para obtener resultados

de fácil verificación que, una vez experimentados, pudieran per

mitir en un análisis posterior más profundo dilucidar entre di­

versas ideas sobre la base de resultados concretos.

Fig. 2. Esquemas de las diferentes geometrías axilsimétricas a conside rar: aj bordes anclados a discos iguales, b) bordes anclados a discos de distinto diámetro, c) bordes deslizantes sobre apoyos planos paralelos, d) bordes deslizantes sobre apoyos parabóli­cos, y e) un borde anclado y otro deslizante.

-63-

El caso d), Fig. 2, que incluye al caso c), más sen­

cillo, es de gran interés en el estudio de medios porosos parcia_l

mente mojados [4], aunque aquí se ha elegido un puente líquido

entre paraboloides de revolución iguales y no entre esferas, co­

mo sería más lógico, por la enorme complicación que introduciría

el analizar las configuraciones con esferas cerca del límite de

"engolfamiento" cuando el líquido tiende a rodear completamente

la esfera.

El último caso considerado es el e) de la Fig. 2, el

cual corresponde a una mezcla de condiciones de contorno que pu_e

de producirse en configuraciones como la b) para pequeños volúm_e

nes y discos muy diferentes. También el caso c) sería aplicable

al desprendimiento del borde en configuraciones del tipo a), pe­

ro la experiencia que se tiene del manejo de zonas flotantes en

tanque de Plateau enseña que el desprendimiento no tiene lugar

en ambos discos a la vez ni, lo que es muchísimo peor, en toda

la periferia del disco al mismo tiempo, por lo que el problema

real resulta excesivamente complicado.

3.2. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO

El método que se sigue para el estudio de las formas de

equilibrio y su estabilidad es el mismo en cualquier caso, y se

reduce a los dos pasos siguientes.

3.2.1. Equilibrio

Al no haber gravedad, ni rotación, ni otras fuerzas que

las de tensión superficial, la forma de la inferíase ha de ser

un tramo de las curvas de Plateau (que son las secciones meridia

-64-

nas de las superficies de revolución de curvatura media constan­

te) y que, convenientemente escaladas, tienen una expresión al­

gebraica relativamente sencilla, en función de dos parámetros,

uno que define la curva dentro de la familia (relacionada con

la curvatura), a, y el otro que es el parámetro de barrido den­

tro de la curva, (¡>.

Tomando como origen de z un máximo de la curva (son pe­

riódicas) y como unidad el valor del radio en el máximo, la des­

cripción de la curva, r,z, el ángulo de la pendiente, 6, el vo­

lumen, V, y el área u (energía libre) hasta una sección genérica,

tienen las expresiones siguientes:

r(a,4>) = A(a,cf>) = V i - sen asen cf> (1)

z(a,<j)) = B(a,cf>) = cosaF(a,tj)) + E(a,<J>) (2)

n, ,-. . dr A+cosa/A , 0,. 0(a,d>) = are tg -r- = are sen —.— (3)

' & dz 1+cosa V( a , (j)) = -x A V(l-A 2) (A2-cos2a) - cosaB +

+ (l+cosa)2El (4)

u(a,(j)) = 2Tr(l+cosa)E (5)

siendo F y E las integrales elípticas de primera y segunda espe­

cie, A definida por (1) y B definida por (2). La única figura de

Plateau no incluida en la formulación anterior es la catenoide,

pero su análisis separado es relativamente sencillo.

El problema es, pues, encontrar tramos de curva r(z)

que, convenientemente escalados, se ajusten a las particulares

-65-

condiciones en los límites de que se trate, pero ello lleva a

un complicado sistema de ecuaciones no lineales que no es mane­

jable ni siquiera por ordenador, ya que como se verá en la esta

bilidad, los puntos más interesantes son puntos singulares del

sistema.

Para salvar este escollo lo que se hace es proceder in

directamente. Tomemos como ejemplo el caso de los "pedestales"

(Fig. 2b), definido por los parámetros impuestos, w, L/D y V/D .

Se empieza fijando una relación de diámetros w. Después, se es­

tablece la relación entre las condiciones en los límites, y así

si a,^ corresponde al borde derecho de la zona, el borde izquier

do a,$2 se obtiene de la relación

\j 1 - s e n a s e n <$>, w = — = = = á . (6)

\ / l - s e n 2 a s e n 2 ( j )

B a s t a e n t o n c e s e l e g i r un a e i r b a r r i e n d o c o n tj). y c a l ­

c u l a n d o <|>2, L / D , V/D 3 y U/aD2

z ( a , <j)9 ) - z (a , c j ) 1 ) L/D = ^ -—. — ( 7 )

o V(a,(j)„) - V(a,<¡)1 ) V/Dd = \ — ( 8 )

8 r d ( a , c ¡ ) 2 )

9 u ( a , c f > 9 ) - u ( a , 4 > 1 ) U M T = ± ±- ( 9 )

4-r ( a ,(f>2 )

3

y representar el punto obtenido en el diagrama V/D -L/D por ejem­

plo. Si se asegura un barrido completo se habrán obtenido todas

las posibles configuraciones de equilibrio. Si entonces se quie-

-66-

re entrar con valores nuevos de w, D, L y V, bastaría buscar en

el diagrama de esa w (6 en el de la w más próxima disponible) el

punto L/D, V/D y ver si había soluciones en las proximidades,

encontrando los valores de a y f, correspondientes. Ahora, si se

necesitase una solución más precisa, sí se podría analizar el en.

torno del punto ct,<K hallado y ajustar mejor, comparando los va-

3 lores L/D, V/D deducidos de (7) y (8) con los valores de a y <j)

encontrados con los datos de partida. El problema es que existen

muchas soluciones.

3.2.2. Estabilidad

La mecánica de Newton enseña claramente cómo estudiar

la estabilidad de un sistema en equilibrio: se somete a perturba­

ciones (compatibles con las ligaduras) y se ve si recupera o aban,

dona el entorno. Las perturbaciones pueden ser estáticas (despla­

zamientos), dinámicas (velocidades) o mixtas, pero el análisis

de la estabilidad siempre está basado en la respuesta dinámica

del sistema.

La mecánica analítica utiliza otro procedimiento para

el análisis de la estabilidad: puesto que la energía cinética es

siempre positiva, un sistema está en equilibrio estable si su

energía potencial es mínima. Bastará pues estudiar la energía p_o

tencial, que es debida a la posición y no al campo de velocida­

des. Si el número de grados de libertad del sistema no es muy

grande, se podrá obtener el mapa energético y con él toda la in­

formación necesaria para determinar la evolución del sistema. Si

el número de grados de libertad es infinito, como ocurre en la

mecánica de los medios continuos, el problema es mucho más com-

-67-

plejo, por la indeterminación de las ligaduras (existen infini­

tos modos posibles de cambiar la forma de una zona flotante con­

servando el anclaje en los discos, la separación entre ellos y

el volumen del líquido).

La solución adoptada aquí es la siguiente. Se determi­

nan única y exclusivamente posiciones de equilibrio, pero asegu­

rándose de calcular todas las accesibles en el entorno considera 3

do. Por ejemplo, para una zona con L/D=3, V/D = 3TT/M- del tipo a)

(Fig. 2), en las proximidades de la configuración cilindrica

r(z)=l/2 existen otras dos posiciones de equilibrio próximas que,

aunque necesitarían de (1) y (2) para una expresión exacta, pode­

mos aproximar por

r ( z ) = | V l ± 0 - 5 s e n 2 T T | 0 < z < 3 (10)

Sin embargo, no es preciso considerar soluciones distan

tes (en términos topológicos) como la de gotas esféricas, pese a

que existe una solución que tiene exactamente la misma energía

(además de la misma separación y el mismo volumen).

Una vez conocidas todas las configuraciones de equili­

brio en un entorno, el valor relativo de sus energías nos indica

cuál es la solución estable (en el ejemplo anterior, la del ci­

lindro es menor luego esa es la estable). Pero la potencia de es­

te método abreviado reside en que no es necesario hacer esta com­

paración energética más que en los entornos decisivos, allí donde

se bifurcan las ramas correspondientes a cada configuración. Así,

siguiendo con el ejemplo anterior, para dilucidar entre las posi­

bles configuraciones, hasta estudiar el entorno del punto de bifur

-68-

cación L/D = TT, V/D =TT /4, que enseña que las zonas cilindricas

de esbeltez L/D<TT son estables y están rodeadas por "barreras

de potencial" cuyas cimas corresponden a equilibrios inesta­

bles .

El conocimiento físico del problema es una valiosa

ayuda en cualquier caso. Sabiendo que los límites a considerar

son: desprendimientos del borde para ángulos menores que el de

contacto, mínimo local del volumen y bifurcación a zonas de más

de un período (de las curvas de Plateau), el problema se centra

en determinar el límite inferior5'5, y en particular los puntos

que separan cada una de las regiones anteriores (por ejemplo, pa­

ra puentes entre discos iguales, el volumen mínimo viene limita­

do por desprendimientos del borde para L/D<0.4 (si el ángulo de

contacto es nulo), por mínimo local para 0.4<L/D<2.1 (no existen

formas de equilibrio) y por bifurcación inestable para L/D>2.1

(las formas de equilibrio son inestables).

3.3. ZONAS ANCLADAS A DISCOS DESIGUALES

Se van a realizar aquí con todo detalle los pasos apun­

tados en el apartado anterior, incluyendo como caso particular la

configuración a) de la Fig. 2, ya estudiada anteriormente y que

va a servir de comprobación.

La Fig. 3 presenta varios ejemplos de puentes líquidos

Existe un límite superior, también debido a desprendimiento (desbordamien­to), a máximo local del volumen, o a formas de más de un período (de las curvas de Plateau), aunque el límite inferior tiene más interés práctico.

a) b)

TIPO 1

TIPO -1

TIPO 2 i

TIPO 3

i

i

Fig. 3. Ejemplos de formas de equilibrio entre discos desiguales cuyos diámetros están en la relación 2/3. a) formas onduloides, b) formas nodoides.

-70-

entre discos desiguales. Las configuraciones convexas no tienen

gran interés, pues salvo que el volumen sea excesivo, van a ser

estables. Tampoco las configuraciones nodoides son excesivamen­

te interesantes puesto que solo pueden ocurrir entre discos muy

próximos; su utilidad principal aquí reside en que son las que

determinan el limite inferior por desprendimiento del borde.

Nuestro interés se centra en el estudio de la estabilidad de

las zonas largas del tipo 2 y 3 (Fig. 3a).

Como se indicó en el planteamiento general, el camino

>• 3

seguido es el siguiente. Los tres parámetros, w, L/D y V/D

(Fig. 2b) determinan la configuración física. Empezamos fijando

la relación de diámetros de los discos, w. Ahora, en lugar de 3

buscar la forma r(z) para los L/D y V/D dados, se procede a ge_

nerar un mapa L/D,V/D en función de dos parámetros auxiliares,

a y cj). Posteriormente se entrará en dicho mapa con los valores o

L/D y V/D deseados y se encontrarán los a y <p apropiados con

los que se obtendrá la forma r(z) explícitamente.

Dado w, no todas las curvas de Plateau (definidas por

el parámetro a) pueden dar cabida a una tal configuración, como

se muestra en la Fig. 4. Este límite es |cosa| < w, así que si

reducimos el análisis a las formas nodoides, habrá que barrer el

intervalo -TT/2 £ a £ -are eos w.

Una vez elegido a, aparece un valor límite inferior

de <J> para que existan soluciones

sena . b • = are sen (a • = -are eos w) (11) Kmm sena m m

como puede apreciarse en la Fig. 4 para a=-1.25. El tener bien

0.85

l«l<l«lmi

1.05

1.25

4. Fijada una relación de diámetros (w=0.5 en la figura), sólo existen formas de equilibrio pa­ra onduloides con |a|>arccos w (1.05 en este caso), existiendo toda una gama de soluciones

en este ultimo caso al variar el parámetro cb desde $* m m Lmax

-72-

determinados todos los límites de variación de las variables in­

dependientes es fundamental para el cálculo. La secuencia seguida

aquí, barrer <f> a a constante, es la más intuitiva ya que, como

se ve en la Fig. 4, se trata de ir colocando soluciones sobre

una misma curva de Plateau. Sin embargo, desde el punto de vis­

ta forma, igual se podría haber barrido a a c¡) constante, ya que

en realidad, la elección de un w lo que delimita es una región

de validez en el plano a,cf>. Esta región de validez es de gran

importancia en los procedimientos de cálculo de evoluciones a

>• 3 L/D 6 a V/D constantes basadas en subrutinas de seguimiento de

curvas de nivel, por lo que la curva límite f(a,<{>) = 0 para cada

w debe ser conocida y ha sido representada en la Fig. 5.

Como se ha dicho antes, la forma de equilibrio de-

3 pende de tres parámetros, w, L/D y V/D . Pues bien, ya se han ele_

gido tres parámetros independientes, w, a y cf>, que permiten un

tratamiento más cómodo de las curvas; bastará ahora calcular L/D

3 -» y V/D en función de a y (j>. Para ello, el primer paso es calcular

la posición del otro disco, definida por $„ (ver Fig. 4). La re­

lación entre w, a, <j)1 y <J>~ se dio en (6), y la expresión explíci_

ta es : 2 2 1-sen asen <j>.

1 _ L 2

<j>„ = are sen —- (12) sena

La Fig. 6 presenta gráficamente esta relación para un

caso w, dado.

Con w, a y c elegidos y 4>„ calculado, la separación

entre discos, L, adimensionalizada con el diámetro mayor, D, vie_

ne dada por (7) con ayuda de (1) y (2). Dada la importancia que

0.99

Fig.5. Dada una relación de diámetros w, existe un límite para las forn Dada una relación de diámetros w, existe un límite para las formas onduloides, no habiendo soluciones en la región convexa que delimita la curva f(a,4>)=0 para cada w. Si se toma w= 0.5, estos límites pueden verse representados en la Fig. 4.

I

a=Tt/2

U 5

1.35

1.25

1.15

a=am=i.05

I

I

Fig. 6. Relación entre los valores principales de <j> en el disco pequeño, $ y en el mayor, <J> para diversas onduloides, a, en el caso w=0.5 (ver Fig. 4).

-75-

tiene el plano L/D,a para el estudio posterior de la estabilidad

se ha esquematizado en la Fig. 7 su "esqueleto" (lugar geométri­

co de las configuraciones que presentan un máximo o un mínimo

en uno de los discos) para varios valores de w. En la Fig. 8

se presentan con detalle las diferentes regiones que aparecen

en el caso w=0.99 que se va a analizar a continuación por cuan­

to permitirá una fácil comparación con el caso de discos igua­

les, w=l, más conocido.

En la Fig. 9 se han representado en el diagrama volumen-

esbeltez las diferentes regiones donde aparecen los diversos ti­

pos de puentes líquidos, limitados por las configuraciones con

máximo o mínimo en uno de los discos-, mostrándose en la Fig. 10

el detalle de máximo interés: la región de onduloides casi cilírt

dricas, donde puede apreciarse claramente el hecho fundamental

de la existencia de una envolvente para las formas de los tipos

2 y 3, lo que va a determinar el límite de estabilidad, como se

verá a continuación.

3.3.1. Límite de Estabilidad

El camino seguido es el siguiente. Primero se dibujan

3

en el diagrama L/D, V/D todas las formas de equilibrio de inte­

rés, es decir, aquellas que puedan estar suficientemente próxi­

mas (topológicamente) como se ha hecho en la Fig. 10 para colum­

nas líquidas con relación de diámetro de los discos w=0.99. Esta

* Máximo o mínimo absoluto de las curvas onduloides, es decir, con ángulo de contacto ir/2 en algún disco, no quiere decir el valor extremo en el tramo de onduloide que realmente corresponde a la zona.

D

i - a 1.5

_L_ D

O 0.5

^

w=2/3

1 -a 1.5

D

0.5 1

w=1/3

1.5

i

CTi

Fig, 7. Situación de las zonas onduloides con un máximo o un mínimo en uno de los discos, para varios valores de la relación de diámetros, w.

Fig. 8. Límites de las regiones de existencia en el plano a, L/D de los distintos tipos de configuraciones con w=0.99. La leyenda de tipos coincide con la de la Fig. 9.

FÍP. 9. Límites de las regiones de existencia en el plano L/D, V/I)J de los diversos tipos de confi­guraciones para relación de diámetros w=0.99. La separación corresponde a zonas con ángulo de contacto a/2 en uno de los discos. La curva a trazos corresponde al límite de estabili­dad.

I

I

Fie. 10. Detalle del diagrama de la Fig. 9 incluyendo las familias de formas a ot=cte. Sólo se han dibujado los tipos T=-l,2,3,-2 y -3 (ver Fig. 9), y las curvas para T=-2 se han iniciado solamente, para apreciar mejor la en­volvente de los tipos 2 y 3 (curva a trazos) que es el límite de estabilidad.

-80-

tarea requiere un cierto cuidado, dibujando ante todo las curvas

que separan los diferentes tipos de configuración (Fig. 9) para

asegurar que se toman en cuenta todas las posibles formas de equi_

librio en torno a una de partida que, por consideraciones físicas

se sepa que es realmente estable (a eso se refiere lo "de inte­

rés" ) .

Segundo, se dibujan en el diagrama energía-volumen las

posibles evoluciones a esbeltez constante (aunque sería igual re­

presentar en un diagrama energía-esbeltez las evoluciones a volu­

men constante) como se ha hecho en la Fig. 11 para L/D=1.5 (y w=

0.99). Conviene en este punto comprobar la validez de la Fig. 11

(exactitud y cantidad de datos) con las Figs. 8 y 10, comparando

valores límite y regiones incluidas. Como se puede apreciar en

la Fig. 11, se requiere una gran precisión en el cálculo de la

energía (área de la superficie libre del líquido), con errores

-3 . . relativos inferiores a 10 , para separar bien las diferentes cur_

vas que aparecen.

Elegida una configuración estable (conocida experimen-

3 talmente, por ejemplo) como la correspondiente a V/D =1.18 del

tipo 2 (6-1, que prácticamente coinciden), si se va extrayendo

volumen a esbeltez constante,moviéndose hacia la izquierda por la

curva inferior de la Fig. 11, se observa que aparece un punto lí_

mite para V/D =0.56, que marca el límite de estabilidad; si se

continúa la extracción se generará un movimiento hacia otra con­

figuración lejana (no incluida en la figura), que corresponderá

a dos casquetes esféricos, uno en cada disco, es decir, a la ro­

tura del puente líquido, ya que cualquier otro tipo de configura­

ción en puente tiene más energía y no es, por tanto, accesible. En

iL_2-L rD2 D 3

2.5

w=a99 UD=1.5

-3 f-1

V

2 / "—

_

/A

T=2 -1

0.5 1 V/D3 1.5

i

oo

'i^. 11. Energía, L1, en función del volumen V de un puente liquido entre discos de relación de diáme­tros w=0.99 v esbeltez L/D=1.5, siendo D el diámetro mavor. Los diferentes tipos T de forman pueden verse en la Fi". 9.

-82-

este razonamiento se supone que sólo pueden ser estables las for­

mas axilsimétricas, pues, aparte de ser intuitivo, el análisis

con deformaciones no axilsimétricas de ciertos casos sencillos

(zonas cilindricas entre discos iguales) así lo demuestra.

Tercero, una vez determinado un punto de la curva de

los límites de estabilidad, el resto de la curva se deduce por

continuidad de comportamiento, salvo que varíe la topología, como

ocurre para L/D=2.1 para discos casi iguales (ver Fig. 10). En

este caso, se repite la operación anterior con otro punto cual­

quiera de la nueva región, lo que se ha hecho en la Fig. 12 pa­

ra L/D=2.5. Como puede apreciarse en dicha figura, el comporta-

miento es similar, presentándose un punto límite para V/D =1.4,

no existiendo puentes estables con menor volumen (para esa rela­

ción de diámetros, se entiende).

Comparando las Figs. 11 y 12 se pueden sacar importan­

tes conclusiones. En primer lugar, que las zonas largas son mucho

más sensibles, a igualdad de "distancia" del limite de estabilidad,

que las zonas cortas, es decir, la barrera de potencial que hay

que superar es menor en este último caso. En segundo lugar, que las

zonas cortas rompen con ángulos de contacto en los discos menores

de TT/2 (al ser la forma límite del tipo 2) mientras que las zonas

largas lo hacen con un ángulo de contacto en el disco grande mayor

de TT/2 (y menor de TT/2 en el disco pequeño), al ser del tipo 3 la

forma de rotura (ver Fig. 10).

3.3.2. Efecto de una Pequeña Diferencia de Diámetros en la Bifurcación

En la Fig. 13 se presenta un esquema de la estructura de

la bifurcación en el caso V = TTD L que se compara fácilmente con la

3.9

crD2 D 3

3.8

3.7

w=0.99 L/D=2.5

T=-3 / ^ 2 3

S<^^ J%~~~—

1.2 1.3 1.4 V/D 1.5 1.6 co

12. Energía, U, en función del volumen w=0.99 v esbeltez L/D=2.5, siendo I verse en la rip. 9.

/ de un puente liquido entre discos de relación de diámetros el diámetro navor. Los diferentes tipos T de formas pueden

- 8 4 -

9 2

w=1 w=0.99

- f /iC~LIQ L/D

U aD2

i t L/D L/D

U aD2

e-J L/D

Q-f

Fig. 13. Comparación entre las evoluciones con V=nD L para discos iguales (w=l) y discos casi iguales (w=0.99) donde puede apreciarse el efecto de la im­perfección en la estructura de la bifurcación. 6 es el ángulo de contac­to con el disco mayor (o en uno de los iguales para w=l). La evolución V=TTD2L ha sido elegida para comparar con la conocida evolución cilindrica.

-85-

conocida evolución cilindrica entre discos iguales [5]. El efecto

de la imperfección que supone la diferencia de diámetros hace que

el cuello de rotura se forme siempre (supuestas perturbaciones in

finitesimales) cerca del disco pequeño, y no quede indeterminado

como en el caso w=l. En cierto sentido, este efecto es parecido al

de una pequeña gravedad axial en el caso de discos iguales, con

una estructura de bifurcación similar a la de la Fig. 13, donde

ahora el cuello de rotura se formará cerca del disco "superior"

[6].

El efecto sobre la bifurcación en las evoluciones a es­

beltez constante es similar, presentándose en la Fig. 14 un esque

ma de la diferencia con el caso w=l de discos iguales, donde para

L/D=2.13 aparecía una cúspide simétrica inestable antes del punto

límite de mínimo volumen.

3.3.3. Desprendimiento y Desbordamiento

Aunque se podrían considerar anillos delgados en lugar

de discos planos y evitar así el desprendimiento por ángulo de

contacto mínimo, se va a tratar aquí, como se hizo para discos

iguales [5], el límite por desprendimiento con ángulo de contac­

to nulo.

Los experimentos en tanque de Plateau [7] muestran que

el desprendimiento no conduce a un límite bien definido ni aun

cuando se considera un ángulo de contacto distinto de cero (pero

constante), lo cual, unido al hecho de que el desprendimiento s<5

lo puede tener lugar para zonas cortas, resta interés a estas pre

dicciones.

- 8 6 -

W=1 w=0.99

U

L/D=1.5

U

U U

L/D = 2.5

Fig. 14. Efecto de una pequeña d i f e r e n c i a de diámetros en l a b i f u r c a ­ción a e s b e l t e z cons tante en e l diagrama energía-volumen.. Pa_ r a w=l, e l primer caso p resen ta un punto l í m i t e y e l segundo una cúspide s i m é t r i c a i n e s t a b l e (como la de l a Fig . 15) . Pa­r a w=0.99 ambos casos dan un punto l í m i t e .

La f o r m u l a c i ó n es l a s i g u i e n t e . La forma s e r á un t ramo

de nodo ide (-ir < CX<TT/2) con e l bo rde d e l d i s c o mayor en e l pun ­

t o de t a n g e n t e v e r t i c a l de d i c h a c u r v a , es d e c i r ,

a r e t g 1 (13)

V cosa

habiendo de considerar dos tipos de configuración, T=l para zonas

sin mínimo entre discos, y T=2 para zonas con mínimo. La Fig. 15

presenta los resultados para diversas relaciones de diámetro.

En cuanto al comportamiento para volúmenes grandes, aun

00

I

Fig. 15. Representación, en el diagrama volumen-esbeltez, de los límites por desprendimiento con ángulo de contacto nulo, para diversas relaciones de diámetros de los discos.

-88-

que existen también puntos límites en los que el volumen alcanza

un máximo relativo, aquí se considerará un límite práctico de án

guio de contacto TT en el disco pequeño, suponiendo que a partir

de ahí se desborda la zona, mojando la superficie lateral del dis

co pequeño. La formulación es prácticamente la misma, situándose

el punto de tangencia vertical de la curva nodoide correspondien

te en el borde del disco pequeño, es decir,

<$>, - are tg —• -TT < a ^ TT/2 (14) \- cosa

habiendo de ser consideradas en este caso configuraciones de los

tipos T=l (para zonas sin máximo) y T=-l (para zonas con máximo).

En la Fig. 16 se resumen los diagramas de estabilidad

para varios valores de la relación de diámetros.

Para la interpretación correcta del efecto de la rela­

ción de tamaños sobre los límites de estabilidad hay que tomar en

consideración la influencia de la variable usada para la adimen-

sionalización. Si, en lugar de haber usado el diámetro mayor, se

hubiera usado una media mejor ponderada, se podría conseguir que

al disminuir w las curvas en la Fig. 16 no se contrajesen hacia

el origen. Sin embargo, la elección no es sencilla, pues las

3

abeisas dependen de D y las ordenadas de D . Ni siquiera utili­

zando el punto de a = a . = - are eos w (donde 4> = TT/2 y c|)„ = 0)

como unidad de escala se obtienen diagramas "centrados" para todo

w, por lo que se ha preferido presentarlos tal cual.

D-

Fig. 16.

1.2 L/D U Límites de estabilidad volumen-separación de puentes líquidos entre discos desiguales para diversas relaciones de diámetros, w. Las líneas finas corresponden a zonas con ángulo de contacto TT/2 en un disco (hay dos por cada w, y se ha señalado con una cruz su punto de corte).

i

00

I

-90-

3.3.4. Tratamiento por Ordenador

La presentación interactiva de gráficos en pantalla po­

sibilita la interpretación rápida de una enorme cantidad de datos.

Un buen ejemplo puede ser el que se ha tratado aquí, donde se tra

ta de resolver un sistema algebraico, no lineal, de ecuaciones;

el problema reside en que existe una multiplicidad de soluciones

y el interés se centra en los puntos singulares.

Cuando la complejidad de las ecuaciones dificulta (o im­

posibilita) el tratamiento analítico del problema, y el número de

parámetros es grande (más de dos), el cálculo numérico tradicional

produce una cantidad desbordante de valores y se hace preciso el

recurso a métodos gráficos de análisis e interpretación, por su­

puesto soportado en ordenador.

Para este fin se ha desarrollado un programa de manejo de

las ecuaciones anteriormente expuestas, dividido en subprogramas

que tratan aspectos específicos, y en procedimientos y funciones

de uso común, conforme se explica a continuación. Accesibles a to_

dos los segmentos del programa son las variables W, relación de

diámetros, y T, tipo de configuración (véanse las Figs. 3 y 9).

Finalmente, y a efectos de documentación, se ha incluí-

do un listado del programa en lenguaje HP-BASIC, tal como se ha

utilizado en un ordenador de mesa HP-9845B.

FNB(X)

/ 2 Función que determina si se verifica señasen^ - y 1-w > 0

y devuelve el valor límite de a ó 4>,, según sea X > 0 ó

X < 0, respectivamente (Fig. 6).

-91-

FNP(A,P1)

Función que calcula 4>2 a partir de w, a y <£. con (12). Co­

mo la solución es múltiple, se devuelve el valor en el pri

mer cuadrante, 0 < <¡> < -JT/2.

FNL(A,P1,P2)

Función especial para el cálculo rápido de la esbeltez de

una zona definida por w, a, <£. y <f>„ (y T para determinar el

valor real de <j>2). La subrutina Appl también calcula L,

pero al ser más compleja es más lenta. Utiliza la subrutina

Apzr.

Appl(A,Pl,P2,L,V,U)

Procedimiento de cálculo de la esbeltez, volumen y energía

de una zona definida por w, a, <j>1 y fyy (y T). Utiliza la

subrutina Apzt.

Apzr(A,P,Z,R)

Procedimiento abreviado de cálculo de los puntos de las

curvas de Plateau con (1) y (2).

Apzt(A,P,Z,R,T,V,U,Z9 0,V9 0,U9 0)

Procedimiento completo de cálculo de los puntos de las cur­

vas de Plateau, ángulo de la tangente, volumen y energía

desde <¡> = 0 hasta <¡>, y valores para $ = TT/2.

Elli(P,A,F,E,F90,E90)

Subrutina de cálculos de las integrales elípticas de primera

y segunda especie, incompletas y completas (se usa el meto-

do de Landen).

-92-

Limt(Q,N ) P

Procedimiento de cálculo y presentación gráfica de los lí

mites de las configuraciones de los diferentes tipos, don­

de ( = 71/2 6 <J>2 = 0. N^ es el número de puntos calculados, y

Q es el código siguiente:

Q=0 presenta una curva w=cte. de las de la Fig. 5

Q=l genera la Fig. 6 para un w dado

|Q|=2 dibuja los límites de los tipos de puntos tal

como se muestran en las Figs. 7 y 8; Q = 2 corres_

ponde a $2 = 0 (las sucesivas curvas se obtienen

con T = l ,2 ,-3 ,4 ,-5 , . . . ) , Q = -2 corresponde a <J>,.=TT/2

(las sucesivas curvas se obtienen con T=l,3,4,5,

6,...)

Q=3 mueve el cursor en la Fig. 8 a a=cte. barriendo

c}> , y pueden observarse los máximos y mínimos de

esbeltez.

Vlap(Q,ND)

Procedimiento de presentación gráfica en el diagrama volu­

men-esbeltez de los límites de los diferentes tipos <p^~

TT/2 y (¡>„ = 0 y de las series de a = cte. (Figs. 9 y 10). Q es

el código siguiente:

Q=l dibuja las curvas a=cte. (Fig. 10) con las que

se visualiza la envolvente que marca el límite

de estabilidad (curva a trazos de la Fig. 10)

|Q|=2 dibuja los límites de los diferentes tipos (co­

mo en Limt).

U(L)

Presenta el diagrama de energías para una esbeltez L/D fi­

ja a partir de valores previamente calculados, resolvien­

do la ecuación (7), y almacenados en ficheros aparte. El

procedimiento es el siguiente: elegido L/D, se dibujan

-93-

los límites de la Fig. 7, se van tomando valores interme­

dios de a para los tipos existentes (Fig. 8) y calculan­

do L/D = f (w,a ,<p^) barriendo hasta encontrar el §, que da el

L/D deseado con la aproximación requerida (cerca de los

puntos límite se necesitan al menos 5 cifras significati­

vas ) .

Deta(Q,ND)

Para Q=l se presenta en el diagrama volumen-esbeltez los

estados con ángulo de contacto nulo en el disco mayor (ele

gido como límite inferior por desprendimiento del anclaje

en el borde) en las dos configuraciones de interés, T=l

y T=2 (Fig. 15). Para Q=2 se presentan los estados con

ángulo de contacto TT en el disco pequeño (elegido como lí­

mite superior por desprendimiento o desbordamiento) en las

dos configuraciones de interés, T=-l y T=l (como en la Fig.

16) .

Zone(A,Pl,P2,Ní,S) P

Dibuja la forma externa de la zona definida por a, c¡>. y $„,

donde <JJ1 y (f>„ son los valores reales (no los principales).

El parámetro S es para controlar si la forma va a ser dibu­

jada sola o superpuesta a la curva de Plateau correspondiera

te para ver mejor la situación de los límites. Esta subru-

tina es muy valiosa para comprobar de vez en cuando el fun­

cionamiento correcto de los otros subprogramas donde sólo

aparecen "puntos" en diversos diagramas, poco familiares

en las primeras etapas del desarrollo, pues basta pulsar

una tecla para que aparezca la forma externa correspondien-

-94-

te al punto actual.

Expl(A,Pl,P2,N )

Presenta la forma definida por a, i y (ji superpuesta a la

curva de Plateau correspondiente, y acompañada de explica­

ciones sobre los valores de a . y <p . . Está pensado para

ayuda de referesco y familiarización con el programa.

G(X1,X2,Y1,Y2,U ,U ,S) ' ' x' y'

Subrutina gráfica de definición de escalas y rayado de fori

do. S=l es para escala isotropica.

Show(A,Pl,P2)

Subrutina gráfica para presentación de la forma externa

(Zone) durante la confección de los diferentes diagramas,

con objeto de verificar el cálculo. Al pulsar una tecla apro_

piada, se interrumpe el cálculo en el diagrama correspon­

diente, se guarda en memoria toda la información (imagen in

cluida), se da paso a la subrutina Zone que dibuja la forma

externa de la zona, se espera la orden de continuar y, una

vez verificada, se borra esa imagen y se vuelve a traer la

del diagrama que se está confeccionando, prosiguiendo el

cálculo donde se interrumpió.

I d ! " { - ij h_E ir_ ! U n e q u a l d i s •: s . ( 1 5 ' i 2 - 3 2 .' . 2 6 P I . U T T E R l s "GRñPHICS" 3ü COM i l , T , IMTEGER SC 16380:* ¡ D i ar i . f t e r r a l ,o >U T y p t ot" sha.pt' 4ü GRñPHICS 5ü Dñ l r i . 7 , - 1 ! DiaiucT.tr- r a i - i o i T y p t oí' shape ¿8 REFtD W, F 7 0 G S T ü R E S C * > 8 O ! t HLL Expl t-l , 1 . 3, FHP'-:-l , 1 . 3) , lu ' Expl :ii-at. i or,. Change t ype T i. 3fé

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-101-

REFERENCIAS

1. Haynes, J.M., "Stability of a Fluid Cylinder", J. Colloid Interf.

Sci., :32_, 1970, pp. 652-654.

2. Eyer, A., Kolbesen, B.O. £ Nitsche, R., "Floating Zone Growth

of Silicon Single Crystals in a Double-Ellipsoid Mirror Furnace",

J. Crystal Growth, 57, 1982, pp. 145-154.

3. Padday, J.F., "Capillary Forces and Stability in Zero-Gravity

Environments", ESA SP-114, 1976.

4. Haynes, J.M., "Capillary Inestabilities in lg and Og", ESA SP-

114, 1976.

5. Martínez, I., "Hidrostática de la zona flotante", Tesis Doctoral

Univ. Polit. Madrid, 1978.

6. Michael, D.H., "Meniscus Stability", Ann. Rev. Fluid Mech., 13_,

1981, pp. 189-215.

7. Sanz, A. & Martínez, I., "Mínimum Volume for a Liquid Bridge

between Equal Discs", J. Colloid Interf. Sci. Admitido.