column as

Capítulo 8

Introducción al estudio decof umnas

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8.1 GENERALIDADESEn este capítulo se presenta un análisis introductorio sobre columnas de concreto reforzadocon especial énfasis en las columnas cortas, robustas, sometidas a momentos tlexionantespequeños' Se suele decir que tales columnas están "cargadas

axialmente". En el capítulo 9se estudiar¿ín las columnas cortas con momentos flexionantes grandes, mientras iue lascolumnas largas o esbeltas se tratarán en el capítulo 10.

Las columnas de concreto pueden clasificarse en las tres siguientes categorías:

Pedestales de concreto. Si la alfura de un miembro vertical a compresión es menor quetres veces su dimensión lateral más pequeña, puede consid"r*r" "o-o un pedestal.El ACI (2'I y 10.17) establece que un pedestal puede diseñarse con concreto simpleo sin refuerzo, con un esfuerzo permisible de compresión igual a 0.g5 o f;, do;de@S = o'zo' Si el esfuerzo de compresión resulta mayor qu" ... valor, se deberá au-mentar el ¿írea de Ia sección transversal del pedestal, o bien diseñarse como una co-lumna de concreto reforzado tal y como se describe en la sección 8.9 de este capítulo.

Columnas cortas de concreto reforzado. Si falla una columna de concreto refbrzadodebido a la falla inicial del material, se clasifica como columna corta. La carga quepuede soportar está regida por las dimensiones de su sección transversal y por laresistencia de los materiales de que está hecha. Una columna corta es un miembrorobusto con poca flexibilidad.

Columnas largas de concreto reforzado. Conforme crecen las relaciones de esbeltez,las deformaciones por flexión también crecerán, así como los resultantes momentossecundarios. Si esos momentos son de tal magnitud que reducen apreciablemente lacapacidad a carga axial de la corumna, ésta se denomina rarga o esberta.

Cuando una columna se encuentra sometida a momentos primarios (los causados porlas cargas aplicadas, rotaciones de los nudos, etc.), el eje clel miembro se deflexiona lateral-mente, dando por resultado momentos adicionales iguale s ala cargade la columna multi-

297

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DISENO DE CONCRETO REFORZADO

Momento secundario = PA.

) "

Figura 8.1 Momento secundario o momento PA.

plicada por la deflexión lateral. Estos momentos se llaman momentos secundarios o momen-

tos PA,y se ilustran en la figura 8.1.Una columna que tiene grandes momentos secundarios se llama columna esbelta y es

necesario determinar su sección transversal en función de los momentos primarios y secun-

darios. El ACI permite diseñar las columnas como columnas cortas si el efecto secundario o

efecto PA no reduce su resistencia en más de 57o. Las relaciones de esbeltez efectivas se

describen y evalúan en el capítulo 10 y se usan para clasificar las columnas como cortas o

como esbeltas. Cuando las relaciones dsnglyores que ciertos valores (dependiendo de que

las columnas estén o no riostradas lateralmen'te), las columnas se clasifican como esbeltas.En 1970 un comité del ACI estimó que aproximadamente 4O7o de todas las columnas

no riostradas y cerca de 9070 de las riostradas contra desplazamientos laterales, tienen susresistencias reducidas en 57o o menos debido al efecto PA y deben por tanto clasificarse

como columnas cortas.l Sin embargo, esos porcentajes se reducen año con año debido al

creciente uso de columnas más esbeltas diseñadas con el método de resistencia, usandomateriales más resistentes y con una mejor noción del comportamiento por pandeo de las

columnas.

8.2TIPOS DE COLUMNASUna columna de concreto simple no puede soportar mucha carga, pero su capacidad aumen-

ta si se le agregan barras longitudinales. Pueden lograrse considerables incrementos en la

resistencia de la columna proporcionando restricción lateral a las barras longitudinales. Bajo

I American Concrete Institute, 1972, Notes on ACI 318-71 BuíIding Code with Design Applicarlons, (Skokie,

Illinois) pág. l0-2.

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dd-

8.2 TIPOS DE COLUMNAS 2S

Recubrimiento

Núcleo

Columna zunchada o con esPiral

Concreto

Tubo de acero estructural

tigura 8.2 Tipos de columnas.

;argas de compresión, las columnas no sólo tienden a acortarse longitudinalmente' sino

:¡mbién a expandirse lateralmente debido al efecto de Poisson. La capacidad de tales miem-

bros puede aumentaf considerablemente si se les proporciona restricción lateral' en forma

Je espirales o estribos cerrados ligeramente separados en torno al refuerzo longitudinal'

El refuerzo en las columnas de concreto puede ser con estribos o zunchado (con espira-

r;s t, dependiendo del método usado para apuntalar lateralmente o mantener en posición las

larras longitudinales. Si la columna tiene una serie de estribos cerrados, como se muestra en

i,r tigura s.z(u), r" denomina columna con estribos. Tales estribos son muy efectivos para

...érrr.ntu, la resistencia de la columna. Impiden que las barras longitudinales se desplacen

Jurante la construcción y resisten su tendencia a pandearse al estar sometidas a cargas de

;ompresión; el pandeo de las barras causa que el recubrimiento exterior de concreto se

¡uieire o desconche. Las columnas con estribos son comúnmente cuadradas o rectangula-

.... p".o pueden construirse también con secciones octagonales, redondas, en L y muchas

,rtras más.

ClrluÍina con estribos(a)

ffitIHJ

Columna compuesta(cl

(b)

.. -\a - : - \ t

, t t h ta t ¡ t l t I

\\,2,/\ t

Columna compuesta(d)

II

l

3OO DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

Las columnas cuadradas o rectangulares son las más comúnmente usadas debido a lasimplicidad de su cimbra. Sin embargo, cuando se usan en espacios abiertos, las columna-¡circulares son muy atractivas. La cimbra para las columnas circulares suele hacerse con tubosde cartón o de plástico que se desprenden y desechan unavez que el concreto ha fraguado.

Si una espiral continua hecha con barras o alambrón grueso se enrolla alrededor de la-<barras longitudinales, como se muestra en la figura 8.2(b), la columna se denomina c olumn¿tzunchada o con espiraL Las espirales son más efectivas que los estribos para incrementar laresistencia de una columna. Las espirales de paso estrecho cumplen muy bien su función demantener en posición las barras longitudinales y de confinar el concreto interior, con lo quese aumenta considerablemente la resistencia a la compresión axial. Conforme el concretodentro de la espiral tiende a expandirse lateralmente bajo la carga de compresión, en Iaespiral empieza a desarrollarse un esfuerzo de tensión de aro; la columna no fallará hastaque la espiral ceda o se rompa, permitiendo el resquebrajamiento del concreto interior. l¿scolumnas zunchadas suelen ser redondas pero también pueden fabricarse con seccronesrectangulares, octagonales y de otras formas. En estas columnas, la disposición de las barra-¡longitudinales sigue siendo circular. Las espirales, si bien aumentan la resistencia de iascolumnas, debido al aumento en la elasticidad incrementan apreciablemente los costos; porello se usan sólo en columnas fuertemente cargadas y en zonas sísmicas, debido a la granresistencia que tienen frente a cargas dinámicas. Las espirales incrementan en forma áu.efectiva la ductilidad y la tenacidad de las columnas, pero resultan varias veces más ca¡a-<que las columnas con estribos.

Las columnas compuestctr, ilustradas en las figuras g.2(c) y g.2(d) son columnas deconcreto reforzadas longitudinalmente por medio de perhles de acero, que pueden o noestar rodeados por barras de acero estructural o que pueden consistir en perfiles tubulares dedicho acero, rellenos con concreto.

Cimbras de columnas. (Cortesía de Economy Forms Corporation.)

8.4 FALLAS DE COLUMNAS CON ESTRIBOS Y CON ESPIRALES 301

8.3 CAPACIDAD DE COLUMNAS POR CARGA AXIALEn la práctica no existen las columnas cargadas en forma axial perfecta, pero un examen detales miembros es un excelente punto de partida para explicar la teoría del diseño de colum-nas reales con cargas excéntricas. Varias ideas fundamentales pueden explicarse con base enlas columnas cargadas axialmente, y las resistencias obtenidis señalan límites teóricos su-periores que pueden ser verificados por medio de pruebas.

Desde hace ya varias décadas se sabe que los esfuerzos en el concreto y en las barras derefuerzo de una columna que soporta una carga a largo plazo no pueden calcularse conexactitud. Podría pensarse que tales esfuerzos se pueden determinar multiplicando las de-formaciones unitarias por los módulos de elasticidad apropiados. Sin embargo, esto no estactible porque el módulo de elasticidad del concreto varía con la carga, debido al flujoplástico y a la contracción. Puede verse entonces que las partes de la carga tomada por elconcreto y por el acero varían con la magnitud y duración de las cargas. por ejemplo, "o*tomayor es el porcentaje de carga muerta y mayor es el tiempo qu,e está aplicada, ránto mayores el flujo plástico en el concreto y mayor es el porcentajede cLga bmada por el refuerzo.

Aunque los esfuerzos en columnas no pueden predecirse en el intervalo elástico conningún grado de precisión, varias décadas de pruebas han mostrado que la resistencia última,k las columnas sí puede estimarse bastante bien. Además, se ha hecho evidente que lasproporciones de las cargas vivas y muertas, la duración de la carga y otros aspectos, tienenpoca influencia en la resistencia última. Ni siquiera importa si es ei concreto o el acero elque primero alcanza tal resistencia. Si uno de los dos materiales se acerca a su resistencia¡-iltima, sus grandes deformaciones ocasionan que los esfuerzos en el otro se incrementennás rápidamente.

Por estas razones sólo consideraremos aquí la resistencia última de las columnas. En latalla, la resistencia última teórica o resistencia nominal de una columna corta cargadaadalmente puede determinarse con bastante precisión mediante la siguiente expresióri, enxa que At es el iárea total del concreto y Ar, es el áreatotal del acero de iefuerzo loneitudinal.mcluyendo las varillas o barras y perfiles estructurales:

P, = 0.85 fl(As _ A,) + fyA,t

E4 FALLAS DE COLUMNAS GON ESTRIBOSY CON ESPIRALESSi una columna corta con estribos se c¿rga hasta que falle, parte del recubrimiento de con-Jeto se desprenderá y a menos que los estribos estén poco separados entre sí, las barrasion-eitudinales se pandearán inmediatamente al desaparecer su soporte (el recubrimiento de';r-ucreto). Tales fallas pueden ocurrir en forma repentina, y han ocurrido con frecuencia enritnlcturas sometidas a cargas sísmicas.

Cuando las columnas zunchadas se cargan hasta fallar, la situación es muy difbrente. Elrecubrimiento de concreto se desconchará pero el núcleo permanecerá firme y si el zunchadocs de paso pequeño' el núcleo será capaz de resistir una apreciable cantidad adicional de'cr-sa, más allá de la carga que origina el desconchamiento. El zunchado con paso reducidoJÉnnto con las barras longitudinales forman una jaula que confina en forma muy efectiva al

3{¡'I DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

Columnas redondas zunchadas' (Cortesía de Economy Forms

Corporation.)

concreto. En consecuencia, el desconchado del recubrimiento de una columna zunchada da

aviso de que ocurrirá una falla si la carga se sigue incrementando'

Laprácficaestadounidense no toma en cuenta ningún exceso de capacidad que pueda

darse después del desconchamiento, ya que considera que una vez que éste ocurre, la co-

lumna perderá su utilidad, po, lo menos áesde el punto de vista de los ocupantes del edifi-

cio. por esta r az6n, elzunchado se diseña con un poco más de resistencia que el recubrimiento

que se supone que va a resquebrajarse. El desconchamiento da aviso de una falla inminente

y posteriormente la columná tor.ruiá un poco más de carga antes de fallar- Diseñar el zunchado

con un poco más de resistencia que el recubrimiento no incrementa mucho la resistencia útil

de la columna, pero conduce a una falla dúctil o gradual'

La resistencia del recubrimiento está dada por la siguiente expresión, donde A.' es el

iárea del núcleO cuyo diámetro se considera igual a la distancia entre los bordes exteriores de

la espiral:

8.4 FALLAS DE COLUMNAS CON ESTRIBOS Y CON ESPIRALES 3IXI

Resistencia del recubrimiento = 0.85 f;6R - A")

Puede demostrarse, al considerar la tensión de aro que se produce en las espirales debi-

do a la presión lateral del núcleo, y por pruebas, que el acero del zunchado es por lo menos

,Jos veces tan efectivo para inc¡e¡_nentar.l-a-caBacidad última de la columna como el acero

iongjgdiml-.3'3 Por lo tanto, la resistencia de la espiral puede calcularse en forma aproxi-

mada con la siguiente expresión, en donde p, es el porcentaje de acero espiral:

Resistencia de la espiral = 2PrArfy

Igualando esas expresiones y despejando el porcentaje requerido de acero de espiral,

'rbtenemos

0.85 f;(As- A,) =2P,A,fy

p, = s.425(Ae - 4)f' = 0.425( lL - t)+A,f, \+ ) f,

Para que la espiral sea un poco más resistente que el concreto desconchado, el código

10.9.3) especifica que el porcentaje rnínimo de espiral debe ser:

i

(ACI Ecuación 10-6)

IJnavez que se ha determinado el porcentaje requerido de acero de espiral, la misma

p:ede seleccionarse con la expresión que sigue, en donde p, está dada en términos del

volumen de acero en una vuelta:

volumen de espiral en una vuelta

o,=o.on(f -t)#

P s =

=

volumen de núcleo de concreto p¿Ira un paso s

%spiral

%r"t"o

asnt(Dc - db) =

4a,(D, - do)

(nÚl\s sfi

En esta expresión, D. es el diámetro del núcleo, de fuera a fuera de la espiral, a, es el

áea EansverSal de la barra espiral y d6 es el diámetro de dicha barra. Vea la figura 8.3. El

;¡r-,

", y Paulay, T., 1975., Reinforced Concrete Structures (Nueva York: John Wiley & Sons), págs. 25, 179'

¡ Considere, A., 1902, <Compressive Resistance of Concrete Steel and Hooped Concrete, Part,I>, Engineering

f,¿rond, diciembre 20, págs. 581-583; (Part II>, diciembre 27, págs.605-606.

304 DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

Figura 8.3

fl\UJ

Columnas con capiteles en forma de martillo para el puente Gandy, en Tampa, Florida. (Corte-

sía de Economy Forms Corporation.)

8.5 REQUISITOS DEL CÓDIGO PARA COLUMNAS COLADAS EN OBRA 3G5

t lpffectista puede suponer un diámetro para la espiral y despejar el paso requerido. Si los

resultados no parecen razonables, puede tratar con otro diámetro. El paso usado debe estar

entré los límites indicados en la próxima sección de este capítulo. De hecho, la tabla 4.15

(vea el apéndice), que se basa en esta expresión, permite al proyectista seleccionar directa-

mente las espirales.

8.5 REOUISITOS DELCóDGO PARACOLUi'NASCOLADAS EN OBRA

El código ACI especifica relativamente pocas limitaciones en las dimensiones, el refuerzo,

la restricción lateral y otros aspectos de las columnas de concreto. Algunas de las limitacio-

nes más impofantes se dan en los párrafos siguientes: v t; "

' V¿o

1. El porcentaje de refuerzo longitudinal ryjQbil9r-rrcnorque llp_de!-áreat¡ansyerlll

total de una columna (código ACI, 10.9.1). Se cree que si la cantidad de acero es

menor que llo habrá una gran probabilidad de que ocurra una falla no dúctil repen-

tina, como en el caso de una columna de concreto simple. El valor mínimo de lo/o de

acero disminuye también el flujo plástico y la contracción y proporciona a la colum-

na alguna resistencia a la flexión. En realidad, el código (10.8.4) permite el uso de

menos.de IVo de acero Si la columna se ha hecho con un tamaño mayor que el

necesario para soportar las cargas, por razones arquitectónicas o de otra índole. En

otras palabras, una columna puede diseñarse con IVa de acero longitudinal para

soportar la cargafactonzada, y luego puede añadirse más concreto sin incrementar

el refuerzo ni la capacidad calculada de carga. Sin embargo, bajo ninguna circuns-

tancia puede el fuea de acero ser menor que 0.005 veces el fuea del concreto real-

mente suministrado.2.E|porcenta jemi ix imodeacero@de| i í reatransversal tota l

de la columna (ACI, 10.9.1). EstéÍdóimiíximo se estipula para prevenir el hacina-

miento de las barras. En la práctica es algo difícil ajustar más de 5Vo o 6Va de acero en

las formas y lograr que penetre el concreto alrededor de las varillas. Cuando el

porcentaje de acero es alto, se incrementa la posibilidad de que se formen cavidades

alveolares en el concreto. Si esto llega a pasar, habrá una reducción sustancial en la

capacidad de carga de la columna. Usualmente, el porcentaje de refuerzo no debe

exceder 4Va cualrtdo las barras van a empalmarse por traslape. Debe recordarse que si

el porcentaje de acero es muy alto, las barras pueden disponerse en racimos.

3. El número mínimo de barras longitudinales permisibles en miembros a compresrÓn

(ACI, 10.9.2) es como sigue: 4 para barras con estribos rectangulares o circulares, 3

para barras dentro de estribos triangulares y 6 parabarras rodeadas por espirales. En

el caso de que hubiera menos de 8 barras en un arreglo circular, la orientación de las

barras puede alterar la resistencia de momentos en columnas con cargas excéntricas.

En este caso debe considerarse para el diseño, de acuerdo con el comentario ACI

(R10.9.2) .

4. El código no proporciona directamente un área transversal mínima de columna, pero

para proporcionar el recubrimiento necesario fuera de estribos o espirales y para

aportar la separación entre barras longitudinales de un lado a otro de la columna, es

3(b DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

obvio que son necesarios anchos mínimos o dirimetros de 8 a 10 pulgadas. Para usarel menor espacio del rentable posible, conviene emplear las columnas más pequeñaspermitidas. De hecho, en ocasiones las columnas delgadas se colocan o <<esconden>>

en los muros.5. Cuando se usan columnas con estribos, éstos no deberiin ser menores al #3, siempre

que las barras longitudinales sean del #10 o menores. El tamaño mínimo es el #4para barras longitudinales mayores que el #10 y para barras en racimos. El alambrecomrgado o la malla de alambre soldado, con un área equivalente, también puedenusarse (4CI7.10.5.1) .

La separación centro a centro de los estribos no deberá ser mayor que 16 veces eldiámetro de las barras longitudinales, que 48 veces el diámetro de los estribos, nique la menor dimensión lateral de la columna. Los estribos deben colocarse de ma-nera que cada esquina y bana longitudinal alternada tengan soporte lateral propor-cionado por la esquina de un estribo con un ángulo incluido no mayor que 135'.

ó" máx

> 6 " > 6 "

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6" máx

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> 6 " > 6 "

Figura 8.4 Disposiciones típicas de estribos.

8.6 PRECAUCIONES DE SEGURIDAD PARA COLUMNAS 307

Ninguna barra debe localizarse a una distancia mayor de 6 pulg libres* a cada ladode una barra soportada lateralmente de esta manera. Estos requisitos se dan en lasección 7'10'5 del códigoACI. La figura 8.4 muestra las disposiciones de estribos envarias secciones transversales de aoiu_nur.Algunos de los arreglos con estribos interiores, tal como el último mostrado en lafigura, son algo caros. si ras barras longitudinares se colocan en círculo, puedenponerse estribos redondos alrededor de ellas y ras barras no tienen que ligarse orestringirse individualmente por cuarquier otro medio (7.10.5.3). El ACI tambiénestablece (7'10'3) que los.requisitos para los estribos laterales pueden pasarse poralto si las pruebas y el anrílisis estructüal muestran que las "otu-rru, son lo suficien-temente resistentes sin ellos, y que tal construcción es factible.Existe poca evidencia acerca deicomportamiento de las barras empalmadas y de lasbarras en racimos. Por esta rcz6n,7a sección R7.10.5 de los comentarios estableceque es aconsejable proporcionar estribos er1_cada e4trgmo de laq banas trasrapadas,y da recomendaciones relativas a li colocación de lós estribos en los lugares deempalmes a tope y de barras dobladas.Los estribos no deben colocarse a más de medio espaciamiento arriba de la partesuperior de una zapafa o losa, y a más de medio espaciamiento debajo de la barra derefuerzo inferior en una losa o en un panel de plataftrma (vea la figura 15.1). Cuandose conectan vigas a una columna desde 4 direcciones, el último estribo en la colum-na puede estar debajo del refuerzo inferior de cualquiera o" iu, uigu, conectadas.6' El código (7 '10'4) establece que la separación libre entre las vueltas de las espiralesno debe ser menor que 1 pulg o -uyoi que 3 pulg.t si se requieren empalmes en lasespirales, estos deberiín efectuarse por soldad-uru-, o po, *riup", de las barras espi_rales con rongitudes no menores de 4g dirámetros ni ¿" iz p"lg.+ Se usan barrasespaciadoras especiales para mantener las espirales en su lugar y con el paso deseadohasta que el concreto fragul' Estos espaciaáores consist"rr""ntu,,u, verticales conpequeños ganchos' Las espirales son soportadas por tor "rpu"ruoo*;;;;"l"*

ibarras longitudinales. La sección R7.10.4 de los comentarios ecl proporciona losnúmeros mínimos de espaciadores requeridos para columnas de diferentes tamaños.

ü.6 PRECAUCIONES DE SEGURIDAD PARA COLUMNAS- > valores de / especificados en la sección 9.3.2 delcódigo para usarse en columnas sonr;::r&'t€ menores que los estipulados para la flexión y "t "Jrt-t" (0g0 y 0.g5, respectiva_--'nte). Se especifica un valor de 0.70 para ras columnas "on "rt ibo, y de 0.75 para las- .umnas zunchadas, debido a la mayor tenacidad de éstas.

La falla de una corumna es generalmente un asunto más delicado que la falla de una:r' porque una columna soporta mayor parte de una estructuru que una viga. En otras

308 DISENO DE CONCRETO REFORZADO

palabras, si una columna de un edificio falla, una mayor parte del edificio se demrmbará que

si falla una viga. Esto es particularmente cierto en las columnas de los pisos inferiores de un

edificio de varios niveles. Por esto es conveniente considerar valores @ pequeños en las

columnas.Hay otras razones para usar dichos valores @ pequeños. Por ejemplo, es más difícil colar

el concreto en una columna que en una viga. El lector puede imaginar la dificultad de hacerpasar el concreto entre las estrechas paredes de la cimbra y a lo largo del refuerzo longitudinal

y transversal de una columna. En consecuencia, es probable que la calidad resultante del

concreto en las columnas no sea tan buena como la del concreto en vigas y losas.La resistenci a a la falla de una viga depende normalmente del esfuerzo de fluencia del

acero de tensión, que es una propiedad controlada con mucha precisión en los talleres de

laminado. Por offa parte, la resistencia alafallade una columna está íntimamente relaciona-

da con la resistencia última del concreto, valor que es muy variable. Los factores de longitud

también afectan drásticamente la resistencia de las columnas, por lo que se hace necesario el

uso de factores @ pequeños.Es imposible que una columna quede cargada exactamente en forma axial. Aun si las

cargas pudiesen en un momento dado centrarse perfectamente, no permanecerían en esaposición. Además, las columnas pueden estar inicialmente desalineadas o tener otros defec-

tos en su construcción, con el resultado de que se generen flexiones laterales. El viento y

otras cargas laterales ocasionan que las columnas se flexionen y las columnas en los edifi-cios con marcos ígidos están sometidas a momentos, aun cuando la estructura soporte sólo

cargas de gravedad.

S.7 FóRMULAS DE DFEÑOEn las páginas siguientes la letra e se usa para representar la excentricidad de la carga. El

lector podría no entender este término, puesto que quizá yaha analizado una estructura y ha

calculado una carga axial Puy un momento Mupero no una excentricidad e específica para

una columna. El término ¿ representa la distancia a la que la carga axial Pu tendía que estar

situada desde el centro de la columna para producir Mr. Así,

o bien

Pue = Mu

Muc -

P,

No obstante los hechos mencionados en el párrafo anterior, hay muchos casos en que

no hay momentos calculados en las columnas de una estructura. Durante muchos años el

código especificó que tales columnas debían ser diseñadas para ciertos momentos mínimos,

aun cuando no existieran momentos no calculados. Esto se hizo requiriendo que losproyectistas supusieran ciertas excentricidades mínimas para las cargas en sus columnas.

Esos valores mínimos fueron de 1 pulg o 0.05á, rigiendo el valor mayor, para columnas

zunchadas y de 1 pulg o 0.10fr para columnas con estribos (el término á se refiere al diáme-

tro exterior de columnas redondas o al ancho total de columnas cuadradas o rectangulares).

8.7 FORMULAS DE DISENO 309

Se usó para el diseño un momento igual a Ia carga axial multiplicada por la excentricidad

mínima.En el código actual no se especifican las excentricidades mínimas pero el mismo fin se

alcanza requiriendo que las capacidades teóricas por carga axial se multipliquen por un

iactor a, que es igual a 0.85 en las columnas zunchadas y a 0.80 en las colunmas con

estribos. Así, como se muestra en la sección 10.3.5 del código, la capacidad de carga axial de

las columnas no debe ser mayor que los valores siguientes:Para columnas zunchadas (ó = 0.75):

QPn(máx) = 0.85@[0.85 fr(An - A,,) + frAri (ACl Ecuación 10-1 )

Para columnas con estribos (d = 0.70):

QP,,(máx) = 0.80d[0.85 fl6 e - A,,) + fy A,t] (ACl Ecuación 1 o-2)

Debe Ercdar claro que las expresiones anteriores pueden usarse sólo cuando el mo-

nento es bastante pequeño o cuando no hay un momento calculado.I-as ecuaciones presentadas aquí son aplicables sólo en situaciones en que el momento

es suficientemente pequeño, de manera que ¿ sea menor que 0. l0lr en las columnas con

estribos o menor que 0.05/r en las columnas zunchadas. Las columnas cortas pueden dise-

ñarse completamente con esas expresiones siempre que los valores e queden bajo los límites

descritos. Si los valores ¿ son mayores que los valores límite y/o las columnas se clasifican

como largas, será necesario usar los procedimientos que se describirán en los siguientes dos

capítulos.

Royal Towers, Baltimore, Maryland. (Cortesía de Simpson Timber Company).

3IO DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

8.8 COIIIEITTARIOS'SOBRE EL D|sEfrO ECONÓM|oO DE OOLUI'NAS

Las barras de refuerzo son bastante caras, por lo que el porcentaje de refuerzo longitudinal

usado en 1as columnas de concreto reforzado resulta un factor principal en el costo total de

éstas. Esto significa que bajo condiciones normales, debe usarse un porcentaje pequeño de

acero (tal vez entre 1.57o y 3Vo).Esto puede lograrse usando columnas de mayor tamaño y/o

concretos de resistencia superior. Además, si el porcentaje de las barras se mantiene aproxima-

damente en dicho intervalo, se tendrá suficiente espacio para colocarlas dentro de la columna'

Los concretos de resistencia superior pueden usarse más económicamente en las co-

lumnas que en las vigas. Bajo cargas ordinarias, sólo 3O7o a 4O7o de la sección transversal de

una viga está en compresión, mientras que el restante 6OVo aTOVo está en tensión y supues-

tamente agrietado. Esto significa que si se usa un concreto de alta resistencia para una viga,

6O7o aTOVo delconcreto se desperdicia. Sin embargo, para una columna usual, la situación

es muy diferente porque un porcentaje mucho mayor de su sección transversal está en com-

presión. Por ello, es muy económico usar concretos de alta resistencia en columnas' Aunqug

ulg.rno, proyectistas han usado concretos con resistencias últimas de hasta 19 000 lb/pulg2

(como en Union Square 2, en Seattle) en el diseño de columnas el uso de concretos de 5 000

a 6 000 lb/pulg2 es lo normal cuando se especifican resistencias superiores en las columnas'

Las barras de refuerzo de grado 60 son generalmente las más económicas para colum-

nas en la mayoría de las estructuras. Sin embargo, las barras de grado 75 pueden resultar

más económicas en estructuras altas, particularmente cuando se usan en combinación con

concretos de resistencias superiores.En general, las columnas con estribos son más económicas que las columnas zunchadas,

particularmente si van a usarse secciones transversales cuadradas o rectangulares' Por su-

puesto, las columnas zunchadas, los concretos de alta resistencia y los altos porcentajes de

acero ahorran espacio de piso.

Debe usarse el menor número posible de diferentes tamaños de columnas en un edifi-

cio. A este respecto, es muy poco económico variar el tamaño de una columna de piso a piso

para satisfacer las diferentes cargas que debe soportar. Esto significa que el proyectista

puede seleccionar un tamaño de columna para el piso superior de un edificio de múltiples

niveles (usando el menor porcentaje de acero posible) y continuar usando ese mismo fama-

ño hacia abajo en tantos pisos como sea posible, incrementando el porcentaje de acero piso

a piso según sea requerido. Además, es conveniente usar el mismo tamaño de columna tanto

como sea posible en cada nivel. Esta consistencia en los tamaños conducirá a ahorros consi-

derables en los costos de mano de obra.La práctica usual en las columnas de los edificios de concreto reforzado de niveles

múltiples es usar barras verticales de un piso de altura unidas entre sí en jaulas prearmadas.

Este es el procedimiento preferido cuando se usan barras #11* o menores, donde todas las

barras pueden empalmarse en una sección justo arriba de la línea de piso. Para las columnas

donde se requieren empalmes escalonados (como cuando se tienen barras de mayor diáme-

tro), el número de empalmes puede reducirse usando jaulas de refuerzo prearmadas de dos

pisos de altura.

8.9 DISEÑO DE COLUMNAS CARGADAS AXIALMENTE 311

A menos que las dimensiones mínimas de las columnas o los diámetros de las barraslongitudinales controlen la separación enffe los estribos, la selección de los tamaños mayo-res que sean prácticos para usarse en estribos incrementará su separación y reducirá sunúmero. Esto puede ahorrar algo de dinero. También puede ahorrarse evitando estribos inte-riores como los mostrados en las dos últimas filas de la figura 8.4. Sin estribos interiores, elconcreto puede colarse más fácilmente y se pueden usar revenimientos más bajos (con me-nos costos de concreto).

En edificios de poca altura. las losas de piso suelen ser algo delgadas, por lo que lasdeflexiones pueden resultar problemáticas. En consecuencia, deben usarse claros cortos ypor ende separaciones pequeñas entre las columnas. Conforme los edificios son más altos,las losas de piso son más gruesas, lo que ayuda a proporcionar estabilidad lateral. Para talesedificios, las deflexiones en las losas no presentariín ningún problema y las columnas pue-den colocarse con separaciones mayores entre ellas.

Aunque las columnas en los edificios altos pueden colocarse a intervalos bastante gran-des, no dejan de ocupar valioso espacio de piso. Por esta razón, muchos proyectistas tratande colocar tantas columnas como sea posible en la periferia del edificio, con la idea de queno ocupen el valioso espacio interior. Además, la omisión de columnas interiores proporcio-

i na más flexibilidad a los usuarios en la colocación de muros divisorios y también hace

I noriUt" la utilización de grandes espacios abiefos.

1 -I A9 DFENO DE COLUiINAS CARGADAS A)$ALMENTE¡I Como una breve introducción al diseño de columnas, se presenta en esta sección y en la

I siguiente el diseño de tres columnas cortas cargadas axialmente. Los efectos de momento y

I Longitud no se toman en cuenta para nada. Los ejemplos 8.1 y 8.3 presentan el diseño de

t s'olumnas cuadradas con estribos cargadas axialmente; el ejemplo 8.2 ilustra el diseño de

t una columna redonda zunchada, cargada en forma similar. La tabla A.16 del apéndice da

t rzrias propiedades de las columnas circulares que son particularmente útiles para el diseño

t de tales columnas.I-

I T' E'EMPLO 8.1

I OUnu. una columna cuadrada con estribos para soportar una carga muerta D de 130 klb y! ua carga viva axial L de 180 klb. Suponga inicialmente 2Vo de acero longitudinal, así como

| í = 4 000 lb/pulg2 y .fy = 60 000 lb/putg2.I "I

I

I P"= (1.4)(130) + (1.7X180) = 488 klb

I tdección de las dimensiones de la columnaIr

I pu=Oo.B0Ío.B5f;@s-A,,)+fnA,,l (AClEcuación 10-2)

I 488 = (0.70)(0.80)t(0.8s)@)(As*0.ozA) + (60X0.02As)i

I As = 192.3 pulgz Use 14 x t4 (Ar = t96 pulg2)

I

-

-


Selección de las barras longitudinales.

Sustituyendo en la ecuación de la columna con An conocida y despejando A"r, obtenemos

488 = (0.70X0.80)l(0.85X4)(196 - A,,) + 60 AúlArt= 3.62 pulg2

Diseño de los estribos (suponiendo barras #3)

Separación: (a) 48 x t= lS"

( b ) 1 6 x * = 1 4 " < -(c) Dim. mín. = 14" <- Use estribos #3 a l4',

Use 6 #7 (3.61 pulg2)

En la figura 8.5 se muestra un croquis de la sección transversal de la columna.

Revisién de los rrcquisitos del Código

En la lista dada a continuación vienen las limitaciones del código ACI para columnas. Enfuturos ejemplos no se rnostrarán todas esas revisiones esenciales que, sin embargo, debenefectuarse.

(7.6.I) Separación libre entre barras longitudinales =

Z- t=3.625pulg> l pulg y d6de tp" lg

(10.s.4, 10.9.1) Porcenraje de acero 0.01 <p #h=

0.0i84 < 0.08

(I0.9.2) Número de barras = 6 > No. mín de 4

2{

r__T I

9" 14"

j lI z!'

6 barras de #7

,rt::+Figura 8.5

S,9 DISEÑO DE COLUMNAS CARGADAS AXIALMENTE 313

(7.10.5.1) Tamaño mínimo de estribo = #3 para barras #7

(7 .10.5.2) Separación entre estribos

(7. 10.5.3) Disposición de estribos

O EJEMPLO 8.2Diseñar una columna redonda zunchada para soportar una carga muerta axial D de 180 klb

y una carga viva axial L de 300 klb. Suponga inicialmente tn2%o de acero longitudinal, f =

4 000lb/pulgz Y fr= 60 000lblPulgz.

SOLUc|óNPu= Q.4)(180) + (1.7X300) ='762klb

Selección de las dimensiones de columna y del tamaño de barras

P" = Q0.85[0.85 fc(As- 4,,) +frAr,] (AClEcuación 10-2)

762 = (0.7s)(0.8s)t(0.ss) g)(Ae_�0.02As) + (60)(0.02Ar)1

As = 263;7 p:ulg2 Usar columna de 18" de diiámetro (255 pulgz)

762 = (0.75)(0.85)t(0.85X4)(255 -4,¡) + 60As' l

A"¡ = 5.80 pulg2 Usar 6 barras #9 (6.00 pulg2)

Revisb los requerimientos del código, como en el ejemplo 8.1. En la figura 8.6 se mues-

tra un croquis de la sección transversal de la columna.Diseño del zunchado

=0.0132

6 barras de #9

_ort-oKOK

o, - @!f = r77 pursz

Mínimo p, = ,o.or'[f -t)# = Q.4s\(wLE-')(#)

ODc = 15"

Figura 8.6

31¡t DISENO DE CONCRETO REFOBZADO

Suponga espiral de #3.

0.0t r32 =

4a,(D, - dt)

SDi

(4X0.1 lXis - 0.37s)( . iXl5):

s = 1 . 1 7 "

{Revisada con ia tabla A.tr5 del apéndice)

Digamos 2"

¡

:' ffi=lt"t:.r""t u Nr DADE' sl

Diseñar una colum'a cona cuadrada con estribos con carga axial para pu= 2g00 kN sif í= 2g MPa y l = 350 MPa. Suponga in ic ia lmente p = 0.02.

soLucóNSelección de las dimensiones de columna

P, = p0.80[0 .85 f;Á n - Ast) +.t). Ast | (ACl Ecuación 10-2)

I 800 x 103 = (0.70X0.80) l (0.85)(18)(Ax - 0.0ZAe) + ( .1-s0X0"C2A¡. ) ¡

A, ! = 164 88ó mml

Usar 400 mm x -100 lnrn (4.* = 160 000 m¡n2)

Seleccién de barras longitudinales

2 800 x l0r = (0.70)10.801110.85) t28)( ló0 000-A, f ) + 350A., iA'¡ = 3 65'l mm2

usar ó #29 (3 g79 mm2.l

Diseño de estribos (suponiendo har¡:as #!S)

a l l 6 x 28 .7 = 459 . f mrn

h l48 x 9 .5 = 456 mm

c) lv'[ínima climensión de la colurnna = 400 r' lrrn .* usar esr¡:ibos #10 @ 40u nrm

Revisar |osrequis i tosdelcócI igo.comoene|e jenrp|o ' f f iurr croquis de la sección transversal de tra columna. tr

8.12 EJEMPLO CON COMPUTADORA 315

8.11 D|SEÑO DE COLUÍIINAS DE CONCRETO REFOR:ZADO USANDOEL MÉTODO ALTERNATIVO DE DFEÑO

Si las columnas van a diseñarse empleando ya sea el método alternativo o el método de

esfuerzos de trabajo, deberá usarse el procedimiento de resistencia.Lacapacidad de flexión

y de carga axial combinadas de una columna dada se debe tomar igual al 407a de la capaci

dad calculada con el procedimiento de resistencia (apéndice A6.1 del ACI). La esbeltez debe

considerarse con el mismo método usado en el diseño por resistencia, con el término P,

reemplazado por 2.5 veces la carga axial de diseño. Además, las ecuaciones 10-10 y 10-19

(que serán descritas en el capítulo 10) se han revisado ligeramente tal y como se especifica

en el apéndice ACI sección A6.2.

8.12 EJEMPLO CON COi'PUTADORA

Usando CONCAD determinar el valor de la carga axial Pu que la columna seleccionada en

el ejemplo 8.1 puede soportar. Supóngase d' = 2.5 pulg

soLucóNSi el usuario introduce los datos requeridos en la pantalla y luego selecciona Show Column

Interaction Diagram, el valor de Pu setá el valor superior en la curva mostrada, como se lee

en la columna izquierda. En este caso, la lectura es de aproximadamente 488 klb. El uso

detallado de esta curva se describe en el capítulo 9. r

Capítufo g

Diseño de cofumnas cortassometidas a carga axiaf

y flexión

9.1 CARGA A)üALY FLEXTóNTodas las columnas se ven sometidas a cierta flexión y fuerzaaxial y es necesario diseñarlaspara que resistan ambas soricitaciones. Las llamadas iórmulas ;" ..;;;"

axiar,,,presentadasen el capíturo g, toman en cuenta algún momento porque incluyen er efecto de pequeñasexcentricidades con los factores 0.80t 0.85. Esos valores son aproximadamente equivaren-

:r"r"H:ill* excenrricidades de 0.10ft para columnas con estribos y de 0.05á para corumnas

Las columnas se flexionariín bajo la acción de los momentos y éstos tienden a producircompresión en un lado de las columnas y tensión en er otro. s"g.irr-r"un Ias magnitudesrelativas de los momentos y las "-gu, u*íuto, existen uarias manlras en que las seccionespuedan fallar..Lafigura 9.1 muestra una colurmparres de ra rigura, ra carsa se coroca.uou ""llJJ;:H"J-::ffiTi1íir:J.lXl#fl1?momentos cadavez mayores) hasta que finalmente en la parte (f) la columna se ve sometidaa un momento flexionante de tal magnitud que el efecto ie r" "lg" *i"r se vuelve despre_ciable' cada uno de ros seis casos Losftaáo, ," anarizabreveriente en los piárrafos quesiguen' donde las letras (a) a la (f) corresponden a las mismas letras en la figura. Se suponeque la falla de la columna ocurre cuando la deformación unitaria a compresión en cualquierpunto alcanza el varor 0.003, o cuando el esfuerzo de tensión en el acero llegue af,.

(a) carga axial grande.con momenlo despreciable. para esta situación, la falla ocurrepor aplastamiento del concreto habiendo alcanzadotodas las barras en la columnasu esfuerzo de fluencia en compresión.(b) carga axial Srande y,momento- pequeño, tal que toda la sección transversal estáen compresión cuando una columna está sometida a un momento flexionante pe_queño (esto es, cuando la excentricidad es pequeña), la coluÁa enrera estará en

319

32O DISENO DE CONCRETO REFORZADO

Pn

'Hl--T-ll l t

Pn

rn(f¡ Momento flexionante grande. La falla ocurre como en una viga

Figura 9.1 Columna sometida a carga con excentricidades cada vez mayores.

compresión, pero la compresión será más grande en un lado que en el otro. Elesfuerzo de compresión máximo en la columna será de 0.85 f; y la falla ocurrirá poraplastamiento del concreto, con todas las barras trabajando a compresión.

(a) Una carga axial grande que provoca falla del concreto por aplastamiento contodas las barras alcanzando su fluencia en compresión.

(b) Carga axial grande y un momento pequeño pero toda la sección transversal acompresión. La falla ocune por aplastamiento del concreto y todas las banastrabajan a compresión.

(c) Carga axial grande con momentos mayores que en (b). Las ba¡ras en el ladoopuesto a la carga estiín a tensión sin llegar al esfuezo de fluencia. La fallaocurre por aplastamiento del concreto.

(d) Condición de carga balanceada; las barras a tensión alcanzan su esfuerzo defluencia al mismo tiempo que el concreto en el lado a compresión quefalla a 0.85{ por aplastamiento.

(e) Un momento grande, con carga axial relativamente menor; la falla se iniciapor fluencia de las barras a tensión.

t M _¡ \ "

l--1-l t

t t l

9.1 CARGA AXIAL Y FLEXION 321

:llrl:i'r:il¡rrll:f .i,,.t:t:&iiiill:r'tialiltl.l:*l];:i:i:t,t'&:ii tiai¡:::li

i.¡6,: !6tt4'- . . ! . . .g: i : r : : , : .

Autopista Pennsylvania Southern, Philadelphia, Pennsylvania. (Cor-

tesía de Economy Forms Corporation.)

(c)

(d)

Excentricidad mayor que en el caso (b), por lo que empieza a desarrollarse tensíónen un lado de la columna. Si la excentricidad se incrementa un poco respecto alcaso anterioq empezará a desarrollarse tensión en un lado de la columna y el aceroen ese lado estará en tensión, pero con un valor menor al correspondiente al esfuer-zo de fluencia. En el lado opuesto el acero estará en compresión. La falla ocurre poraplastamiento del concreto en el lado de compresión.Condición de carga balanceada. Al crecer la excentricidad se llega a una condi-ción en que las barras de refuerzo en el lado de tensión alcanzan sus esfuerzos defluencia al mismo tiempo que el concreto en el lado opuesto alcanza su compresiónmáxima de 0.851. Esta situación se llama condición de carga balanceada.Momento grande con cargct axial pequeña. Si la excentricidad crece aún más, lafalla se inicia por la fluencia de las barras en el lado de tensión de la columna, antesque el aplastamiento del concreto.Momento grande con carga axial no apreciable. Para esta condición, la falla ocu-rre como en una viga.

(e)

(f)

3'¿I DISENO DE CONCRETO REFORZADO

9.2 EL CENTROIDE PLASTrcOLa excentricidad de la carga de una columna es la distancia de la carga al centroide plástico

de aquélla. El centroide plástico representa la posición delafuerza resultante producida por

el acero y el concreto; Es el punto en la sección transversal de la columna a'través del cualla carga resultante debe pasar para producir una deformación unitaria uniforme en el mo-mento de la falla. Para localizar el centroide plástico se supone que todo el concreto está

trabajando a un esfuerzo de compresión deg$¿J!$gjl reqo-?l+gq-SS!0presión. En

secciones simétricas, el centroide plástico coincide con el centroide de la sección transver-sal de la columna, mientras que en secciones no simétricas, el centroide plástico puedelocalizarse tomando momentos.

El ejemplo 9.1 ilustra los cálculos implicados en la localización del centroide plástico

de una sección transversal no simétrica. La carga última P, se determina calculando lasfuerzas totales de compresión en el concreto y el acero, y sumándolas. Luego se supone quePn actia hacia abajo en el centroide plástico a una distancia 7 desde un lado de la columnay se toman momentos en ese lado de las fuerzas de compresión hacia arriba que actúan ensus centroides y de la Pn que actria hacia abajo.

Í EJEITIPLO 9.1Determinar el centroide plástico de la columna T ilustrada en la figura 9.2, fí = 4 000 lblpulgz

Y fy = 6O 000 lb/Pulg2.

SOLUC|óN

El centroide plástico cae sobre el eje.r, como se muestra en la figura 9.2, debido a la simetría.La columna se divide en dos rectiingulos, el izquierdo de 16" x 6" y el derecho de 8" x 8". Sesupone que C1 es la compresión total en el rectángulo izquierdo de concreto, que C2 es la

2 #9 (2.ffi ptúgz) 4 " Ii l

l l-x 8" 16"

l l- + l4 " Ii i

Figura 9.2

9.3 DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN 323

compresión total en el rectángulo derecho y que C, es la compresión total en las barras de

refuerzo.

Cl = (16X6X0.85)(4) = 326.4 Hb

C2 = (8X8X0.85X4) = 217 .6 klb

Al calcular C", se considera el concreto en que las barras están localizadas; esto es,

C; = (4.00X60 - 0.85 x 4) = /26.4 g6

Compresión total = Pn= 326.4 + 217.6 + 226.4 = 770.41Jb

Momentos respecto al borde izquierdo de la columna:

- (326.4)(3) - (2r1.6)(10) - (226.4)(7) + (770.4)(x) =0

x = 6.15" I

9.3 DESARROLLODELOSDIAGRAMASDEINTERACCIóN i,I,Si una carga axial de compresión se aplica a un miembro corto de concreto, éste'quedará

sometido a una deformación unitaria uniforme de acortamiento, como se muestra en la figu-

ra 9.3(a). Si se aplica un momento sin ninguna carga axial al mismo miembro, éste tendrá

una flexión respecto al eje neutro del rniembro, tal que la deformación unitaria será propor-

cional a la distancia al eje neutro. Esta variación lineal de la deformación se muestra en la

frgura 9.3(b). Si se aplican al mismo tiempo un momento y una carga axial, el diagrama

resultante de deformación unitaria será una combinación de dos diagramas lineales que

también será lineal, como se ilustra en la figura 9.3(c). Como resultirdo 4q "q!9_ carácterlineal, podemos suponer ciertos valor-es numéricos para la deformación unitaria en úna

parte de una columná y determinar lái deformaciones unitarias en otras partes por medio de

la interpolación l ineal.

Condiciónde carga

M

nl.\--l

\

(b) Momento(a) Carga axial

Deformaciones |

- I

(c) Carga axialy momento

Figura 9.3 Deformaciones en la columna.


Al cambiar Ia carga axial aplicada a una columna, el momento que la columna puederesistir también cambiará. En esta sección el autor muestra cómo puede desarrollarse unacurva de interacción para los valores nominales de la carga axial y del momento en unacolumna dada.

Suponiendo que el concreto en el borde de compresión de la columnafalla auna defor-mación unitaria de 0.003, se puede suponer una deformación unitaria en el borde alejado dela columna y calcular por estática los valores de Pry Mr.Luego, manteniendo la deforma-ción unitaria de compresión de 0.003 en el borde extremo, podemos suponer una serie dediferentes deformaciones unitarias en el otro borde y calcular Pny M, para cada valordiferente.l Finalmente se obtendrá un número de valores suficiente paratfazar una curva deinteracción como la mostrada en la figura 9.8. El ejemplo 9.2 ilustra el cálculo de Pny Mn enuna columna para un conjunto de deformaciones. unitarias supuestas:

- - . . g r f o a a , ( d + t " { 1 4 f } 6 " q á 6 . ' ¿ ' - ( a ' r ' € ' e i ' t Q ¿ r l

Ú EJEMPLO 9.2

, Se supone que la columna en la fig'ut'a 9.4 tiene una deformación unitaria en su borde a\compresión igual a -O.00300 y una deformación unitaria a tensión en su borde de + 0.00200.

Determinar los valores de Pny Mrque generan esta distribución de la deformación;fr,=60 klb/pulg2 y fí = 4 ¡1b6ulg2.

SOLUC|óNDetermine los valores de c y de las deformaciones unitarias en el acero €; y €" por proporcio-nes con referencia al diagrama de deformaciones mostrado en la fisura 9.5:

3

,+"-J l*-'r"--l lrf"-24"

--*l Figura 9.4

l

i

. = lrr=*91T9=^r=)tro, = t4.40puts -9rr'-- J,,)'-o'."\0.00300+0.00200 )'

TI

14"III

a

a

a

o

a

a

6 barras #9

I Leet, K., 1991, Reinforced Concrete Design,2a. ed. (Nueva York: McG¡aw-Hill), págs. 316-3lj

9.3 DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCION 3'I5

+0.00200

-0.00300

2.5" . ) <"

Figura 9.5

En los siguientes cálculos, C. es la compresión total en el concreto, Cj es la compresión

total en el acero compresivo y f, es la tensión total en el acero tensional. Cada uno de estos

valores se calcula a continuación. El lector debe observar que C.i se reduce en 0.851 fparatomar en cuenta los agujeros en el concreto.

a = (0^!f)(t+^+o) =nr2.24,pttrg

!; = ll'lZli i:r/f,?,ftX¿ ó,:'- "?lI -,,rs = (o.ootr4t)rr¿ y|¡,Jt 0) = + 128.76 klb

Por estática, Pny M, se determinan con ayuda de la frgura 9.6, donde se muestran los

valores de C", Ci y T. lt, l ,^ f . r P" €slcl¡ 'o Pa v A'4a

Ts = 128.76 kJb = 169.8 klb

6 . t 2 "

2.50"

C,= 582.62k1b C,

5.88"

Figura 9.6


Estadio de los indios pieles rojas de Washington. (Cortesía de EFCO.)

E V = 0 :

-P" + 169.8 + 582.62 - 128.7 6 = 0

P"= 623.7 klb

EIII = 0, respecto al acero de tensión:

(623.7)(9.s0) * M,- (s82.62)(r5.38) - (169.8X19.00) = 0Mn= 6261.3 pulg-klb = 521.8 pie-klb

De esta manera se puede determinar una serie de valores de Fny M, correspondientes auna deformación unitaria de -0.003 en el borde de compresión y a deformaciones unitariasvariables en el borde alejado de la columna. Los valores resultantes están marcados sobreuna curva, como se muesffa en la figura 9.8. , , :

Veamos algunas observaciones sobre los puntbs extremos en esta curva. Un extremo dela misma corresponde al caso en que Pnalcanza su valor m¿íximo y Mnes nulo. En este caso,Pn se determina como en el capítulo 8 para la columna cargada axialmente del ejemplo 9.2:

P" =0.85 fí(Ar- A,) + A,f,= (0.8sX4.0)(14 x24 - 6.00) + (6.00X60)= I 482 klb

I

9.3 DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN gN

Figura 9.7

En el otro extremo de la curva, Mnse determina en el caso_en que Pnes igual a cero. Este

es el procedimiento usado para un miembro doblemente reforzado, que se vio en el capítulo

4.Para la columna del ejemplo 9.2, Mn es igual a291 pie-klb.

Una columna normalmente falla por tensión o por compresión. Entre los dos extremos

se encuentra la llamada condición de carga balanceada, donde se tiene una falla por tensión

y compresión simultánea. En el capítulo 3 el término "sección balanceada", se usó para una

sección cuya deformación unitaria a compresión del concreto alcanza el valor 0.003, al

mismo tiempo que el acero de tensión alcanza su deformación unitaria de fluencia$ /Et.En

una viga, esta situación ocurre teóricamente cuando el porcentaje de acero es iglual a p6.

Para columlas, la definición de carga balanceada es la misma que para vigas, esto es,

una columna que tiene una deformación unitaria de 0.003 en su lado de compresión, al

mismo tiempo que su acero de tensión en el otro lado tiene una deformación unitaria de/r/

Er. Aunque no es difícil evitar una condición balanceada en vigas limitando el porcentaje

máximo de acero a0.75p6, no es así en columnas. En columnasno.es posible prerrgnir-fal.1.11

repentinas a compresión q fallas balance-adas. En toda columna existe una situación de carga

balanceada en la que una carga últimá Pl,, colocada con excentricidad e6 producirá un mo-

mento M6, donde las deformaciones unitarias se alcanzarán simultáneamente.

En la condición balanceada tenemos una deformación unitaria de -0.003 en el borde a

compresión de la columna y una deformación unitaria def/29 x 103 = 60129 x 103 = 0.00207

en el acero de tensión. Esta información se muestra en la figura 9.7. Se emplea el mismo

procedimiento que en el ejemplo 9.2 para obtener Pn= 5O4.4kJb y Mn= 559.'1 pie-klb.

La curva para Pny Mrde una columna dada puede extenderse al intervalo en que P, es

una carga de tensión. Se puede proceder exactamente de la misma manera que en el caso en

que P, es de compresión. Fuede suponerse un conjunto de deformaciones unitarias, escribir

Ias ecuaciones usuales de la estática y despejar Pry M* Se consideraron varias parejas de

deformaciones unitarias para la columna en la figura 9.4 y luego se determina¡on los valores

k Pny Mn.Los resultados se trazaron en la parte inferior de la figura 9.8 y se unieron con

ia línea discontinua que en la figura se denomina cargas de tensión.

Como la tensión axial y la flexión no son usuales en columnas de concreto reforzado, la

parte de carga de tensión de las curvas no se muestra en las figuras subsecuentes de este

.:apítulo. Nótese que el valor máximo a tensión de Pn ocurre cuando el momento es igual a

--ero. Para esta situación, todo el acero de la columna ha cedido y todo el concreto se ha

rgrietado. Entonces, Prserá igual al área total A" de acero multiplicada por el esfuerzo de

t'luencia plástica. Para la columna en la figura 9.4,

0.00300


P " = l 4 8 2 k l b , M n = O

Zona de falla a compresión

Pn = 623.7 klb, Mn = 521.8 pie-na Lo Ü<

I¿ {. rA1

t /

Pa ^ f ' c 'c' L - l a ^ ' c e

Pu, = 504.4 klb, M6, = 559.7 pie-klb

Tnna de falla a tensión

Cargas de /tensión> /

P,=0,tu[n=297 pie-kJb nc aMl r s ^ 1 ¡ . ¡ 11 o

Tensión

axial

Pn=360kJb, Mn=0

Figura 9.8 Curva de interacción para la columna de la figura 9.4. Note que se trata de valoresnominales.

Pn= Arfy = (6.0X60) = 360 klb

En algunas ocasiones, los miembros sometidos a tensión axial y flexión tienen disposi-ciones asimétricas del refuerzo. Cuando éste sea el caso, rec¡rerde que la excent{i4{ad debemedirse desde el centroide plástico de la sección.

Los valores determinados en esta sección se muestran en la figura 9.8.Es claro que en este capítulo los valores P, se obtuvieron sólo para columnas rectangu-

lares con estribos. Se podría usar la misma teoría para las columnas redondas pero los cálcu-los matemáticos serían algo más complicados debido al arreglo circular de las barras, ya quelos cálculos de las distancias seían muy tediosos. Se han desarrollado varios métodos aproxi-mados que simplifican considerablemente las operaciones. Tal vez el más conocido sea elpropuesto por Whitney, en el que se usan columnas rectangulares equivalentes para reem-plazar a las circulares.2 Este método da resultados que concuerdan muy bien con los resul-tados de las pruebas.

En el método de Whitney, el iírea de la columna equivalente se hace igual al ¿área de lacolumna circular real y la profundidad de la primera en la dirección de la flexión es 0.80veces el diámetro exterior de la segunda. Se supone que la mitad del acero está colocado enun lado de la columna equivalente y la otra mitad en ei otro. La distancia entre esas dos iáreasde acero se considera igual a 213 del diámetro (D") de un círculo que pase por el cenffo de lasbarras en la columna real. Estos valores se muestran en la figura 9.9. Una vez establecida lacolumna equivalente, los cálculos de Pn y Mn se efectian como en el caso de las columnasrectansulares.

2 Whitney, Charles S., 1942, <<Plastic Theory of Reinforced Concrete Design>, Transactions ASCE, 101,págs-25t-326.

9.4 USO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCION 329

Columnas redondas. (Cortesía de Economy Forms Corporation.)

o o a a

o a a a

!-*-lColumna circular real Columna rectangular

equivalente

Figura 9.9 Reemplazo de una columna circular por una rectangular equivalente.

-Te

\ l

il\_l

9.4 USO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACC¡óN

Hemos visto que por estática pueden determinarse fácilmentlíos'ualores de Pry Mnparauna columna con cierto conjunto de deformaciones unitarias. Sin embargo, el elaborar unacurva de interacción con una calculadora de mano para una columna solamente es bastantetedioso. lmagine el trabajo implicado en una situación de diseño en la que es necesario.-onsiderar diversos tamaños, resistencias del concreto y porcentajes de acero. En conse-cuencia, los proyectistas recunen casi siempre a programas de computadora, a diagramas de

1t:

o-

3d

P0E

O

I

3|M DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

Resistencia a flexión del miembro

--.> Momento M,

Figura 9.10 Diagrama de interacción de columna.

interacción generados por computadora o a tablas, para sus cálculos de columnas. Lo queresta de este capítulo est¡í dedicado principalmente al estudio de los diagramas de interaccióngenerados por computadora, como el mostrado en la figura 9.10. Hernos visto que tal diagramtse traza para una columna donde la carga cambia de ser axial pura a ser de flexión pura-pasando por varias combinaciones de cargas axiales y de momentos hasta una sifuación deflexión pura.

Los diagramas de interacción son obviamente útiles para el estudio de las resistenciasde las columnas con proporciones variables de carga axial y de momento. Cualquier combi-nación de c3rggs que quede dentro de la curva es satisfactoria. mientras que uña- c-oñGcioii quá-cafgi-fuera represé"tlunatiüf-

Si una columna se carga hasta la falla con sólo una carga axial, la falla ocurrirá en elpunto A del diagrama. Al movernos sobre la curva desde el punto A, la capacidad por cargaaxial decrece conforme la proporción de momento flexionante aumenta. En el fondo de lacurva, el punto C representa la resistencia por flexión del miembro sometido sólo a momen-to, sin presencia de carga axial. Entre los puntos extremos Ay C,la columna falla debido auna combinación de carga axial y de flexión. El punto B se llama punto balanceado y repre-senta el caso de carga balanceada, donde en teoría ocurren simulL'íneamente una falla porcompresión y la fluencia del acero en tensión.

Región de falla a compresión

Región de falla a tensión

Zona de tensión

9.4 USO DE LOS DIAGRAMAS DE TNTERACCION 3i¡1

Enormes columnas de concreto con refuerzo. (Cortesía de Bethlehem Steel Corporation,)

Véase el punto D sobre la curva. Las líneas intem:mpidas horizontal y vertical a partir

de este punto indican una combinación particular de carga axial y de momento que causará

la falla de la columna. Una línea rad_ial.trazada del punto O a cualquier punto sobre la curva

dg i¡¡¡eracclQn (como el D en estg gaqo) representa una excentricidad constante de carga,

esto es, una relación constante. de momento a carga axial.

Podría sorprender la forma de la parte inferior de la curva, de B a C, donde la flexión

predomina y donde la columna se comporta de manera muy parecida a una viga subrreforzada.

De A a B sobre la curva, la capacidad por momento de una sección aumenta conforme

disminuye la carga axial, pero ocurre justo lo contrario de B a C. Sin embargo, analizando la

situación con detenimiento, se verá que después de todo, el resultado es bastante lógico. La

parte de la curva de B a C representa el intervalo de fallas a tensión. C_q4lquier carga axial de

compresión en ese intervalo tiende a reducir los esfuerzos en las barras de tensión, con el

resultado tle que puede resistirse un momento mayor.En la figura 9.11 se tiene una curva de interacción para la columna de 14" x 24" con 6

#9, que se vio en la sección 9.3. Si se hubiesen usado 8 #9 en la misma columna, se genera-

ría otra curva, como se ve en la figura; con 10 #9 se obtendría aun otra curva. La forma de

los nuevos diagramas sería la misma que para la curva con 6119, pero los valores de Pry Mn

serían mayores.

3¡I2 DISENO DE CONCRETO REFORZADO

Mn = pne

Figura 9.11 Interacción de curvas para una columna rectangular con diferentes combinaciones deesfuerzo.

9.5 MODIFICACIONES DE CóDrcO A LOS DIAGRAMAS DEINTERACCIóN OE COLUMNAS

Antes de que los diagramas de interacción puedan usarse para aniílisis y diseños prácticos.tienen que pasar por tres modificaciones de acuerdo con el código ACI. Estas modificacio.nes se describen a continuación:

(a) Los diagramas descritos hasta ahora se han preparado para cargas últimas de co-lumnas o valores Pn. Sin embargo, el código (9.3.2lespecifica reductores de resis-tencia o factorg#lQ&Para columnas con estrib,oq I q,l5 para columnas zunchadas rque deben multiplicarse por los valores P, para'obtener valores de diseño. Así, lascurvas de interacción para el diseño de columnas deben reflejar el efecto de losfactores Q,como se muestra enlafigtra9.l2.

(b) La segunda modificación se refiere también a los factores /. El código especificavalores de 0.70 y 0.75 para columnas con estribos y zunchadas, respectivamente"Si una columna tiene un momento muy grande y una carg4 g-Iial mpy-p_eqilg&.g

:rod6 iu:se ubica en la parte inferior de ta curua enrre-lós pu{qf gJ_Slyge¡

f,gura 9.10), el uso de esos péiiueños valores dq / es pocó iaróitaU_19*_p" * añ,"pi;para un miembro en flexión pura (punto c enlamisma curva) la / requerida es de0.90, pero si el mismo miembro tiene una muy pequeña carga axial añadida, @ sereduce inmediatamente a 0.70 o a0.15. Por esro, el código (9.3.2.2) eslablgSg4¡rpi{a ¡uiembros,con/ymeuo,J,g:e:gl gy-" 60_-0gq!uatk1.,c-anre_tu9zÑüg4rey2on (h - l.: Q)lh no menor gué.Q"]_ (ygl -1*,Jrgqra".9,1jL*-yg1q{l!9jql pu.d.

9.5 MODIFICACIONES DE CÓDIGO A LOS DIAGRAMAS DE INTERACCION DE COLUMNAS SIIII

Figura 9.12

Figura 9.13

0.75 a 9.2+{anfory:Ífj 9j:*-yf9ep'!pf4so QP6@t que sea menor) a cero.El efecto de esra moorncacron es proáuóii úna áesviacióri en la parte inferior deuna curva de interacción de diseño, como se ve en la figura9.I4. Si se tiene unacarga axial de tensión, Q será siempre igual a 0.9.

(c) Como se vio en el capítulo 8, las cargas permisibles máximas de las columnas seespecificaron sin importar cuán pequeños fuesen sus valores e. En consecuencia, laparte superior de cada curva de interacción de diseño se muestra como una líneahorizontal que representa el valor apropiado de

Pu= QPnmríx ptra columnas con estribos = 0.80d[0.85 f;@p - Arr) + fnAr)(ACt Ecuación l0-2)

Pu= üPnmáx ptra columnas zunchadas = 0.85d[0.85 fí@n - l") +.fn Arl" (ACI Ecuación l0-l¡

Debe recordarse que estas fórmulas se desarrollaron para dar resultados aproximada-mente equivalentes a los de las cargas aplicadas con excentricidades de 0.10fr en las colum-

ruN con estribos y de 0.05ñ en las columnas zunchadas.Cada una de las tres modificaciones descritas aquí están indicadas en la curva de diseño

en la figura 9.14:la letra en paréntesis corresponde a la letra atilizada para describir las

modificaciones en los párrafos anteriores.

Curva teórica o nominal

o

a

a

o

a

a

a"

3tI4 DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

0M,Figura 9.14 Forma de la curva de interacción para diseño de columnas.

9.6 ANÁL|s|s DE COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTEUSANDO LOS DIAGRAMAS DE INTERACCóN

Si los diagramas de interacción se elaboraran como se describió en las secciones anteriores.sería necesario tener un diagrama para cada sección transversal diferente de una columna-para cada conjunto de grados del concreto y del acero, y para cada colocación diferente delas barras de refuerzo. El resultado sería un número astronómico de diagramas. Sin emba¡-go, el número puede reducirse considerablemente si los diagramas se trazan con ordenadasde QP"/A, (en vez de P) y.9o_q- ab"scisas d,e Ql"9lA"!1-(ep ve_7. {9 M-o).Enfonces, cada diagra-ma de interacción puede usarse para secciones transversales con dimensiones ampliamentevariables. El ACI ha preparado curvas de interacción de este tipo para las diferentes seccio-nes transversales y para la colocación de barras mostradas en la figura 9.15 y para diferentesgrados de acero y concreto.3

Dos de los diagramas del ACI se reproducen en las figuras 9.16 y 9.17:- en el apéndice A(gráficas 2-21) se presentan otros para las situaciones dadas en las partes (a), (b) y (d) de lafigura 9.15.

El ejemplo 9.3 muestra el uso de las curvas de interacción para determinar el valor dePnenla columna del problema 9.2.!g-,-3{gg�_ glg gg$lq4ede, pgg{9.g4gg.l?{s._4valor de elh a$í como el de p. Como se muestra en las figura.s_9-.16.+-9,17-es-¡ecesa¡is

I calcular el valor de y (gamma), éI óüál es igual á ta dist'anéia del qe_n-trq_de-le!lado de la columna al centro de las barras en el otro lado de la misma, dividida entre ft, qr

,- es la altura de la sección de la columna (ambos valores se toman en la dirección de laflexión). Usualmente, el valor de"y obtenido cae entre un par de curvas y se tiene queefecfuar una interpolación numérica entre ambas.

Las curvas del ACI contienen una pequeña tabla que da los valores de p, y h"/h. Esos'Valores, que se usan con otras tablas del ACI para verificar los factores de longitud en co

lumnas, no se usan en este libro.

QP,,

Corte con base en las fórmulasde QP"máxima (c)

Quiebre o desvío con base en

,,' los valores @ modificados (b)

3 Design Handbook,1990, vol. 2, Columns, Publicación SP-17"(90) del ACI, Detroit, 222 págs.

9.6 ANÁLISIS DE COLUMNAS CARGADAS €XCÉNTRICAMENTE USANDO LOS . . , SfTt'

(a) Columna con

estribos, convarillas en las

cuatro cafas

(b) Columna conestribos, conbarras en doscaras front¿les

(c) Columna con

estribos, con

barras en dos

caras laterales

soLuc6N(a) e,=19"2

(e) Columnazunchadacuadrada

= 0.75

¡ u t/ i.'tt !

(d) Columnazunchadaredonda

Figura 9.15

AdvertenclaAsegúrese de que la columna en el lado derecho superior de la curva de interacción usada

concuerda con la columna que se está considerando. En otras palabras, ¿se tienen barras

en dos caras de la columna o sobre las cuatro caras? Si se selecciona la curva equivocada,

la respuesta puede ser incorrecta.

Ú EJEMPLO 9.3Usando las curvas de interacción del apéndice A, determinar el valor de Pnen la columna

cortaconestribosmostradaenlafigurag.lSpara: (a) €x=18" y (b) er=8"; fí=4 000 lb/pulg2

y fy = 60 000 lb/Pulg2.

e 1 8- = -h 2 4

P =ff i=o'017e

Y =# =o '7e2

(()t !

J ¿ ) J 4 / 1 ( / b

).'l

3ge DISEÑO DE CONCRETO REFOBZADO

7 .0

5 .0

4.O

, klb/pulg2

3.0

2.0

1 .0

0 0.20 0.40

óP- e' " - - ( r . ) J6A t h

0.60 0.80 1.00 1.20 i .40 1.60

óP" e óM"T x . - - . k t b / p u l g rAs h Aeh

(\'. l

QP,A"

1.80 2.m

Figura 9.16 Diagrama de interacción del ACI para columna con barras a lo largo de dos carasfrontales.

Por lo tanto, tenemos que interpolar entre los valores obtenidos en las gráficas 16 y 17

del apéndice A.

0.75 0.792 0.90

QPn eÁ s T 0.550 0.558 0.580

Se puede leer ff en el lado izquierdo de estas griificas, er vez U" %'i en la parte de

abajo. Aunque este nb es un asunto de importancia, el autor lee los valore"s de abajo porqueconsidera que puede leer los números con un poco más de precisión.

DIAGRAMA DE INTERACC

fi = + t<wtptrg2 (27.6 MPa) E4-60: s

(413.7 MPa)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.081 .00 1 .09 1 .23 t . 36 r . 48 r . 59 1 . ' 10 1 .79

9.6 ANÁLISIS DE COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE USANDO LOS . 337

7 .0

5 .0

4.0^pv ' f r , " ' ' ¡-. KrD/OUrS¿' ^ g

3.0

0 0.20 0.40 1.80 2.00

Figura 9.17 Diagrama de interacción del ACI para columna con barras a lo largo de las cuafo caras'

(14)(24)(24)(0.ss8)= 357 klbP n = (0.70x18)

lb) er = $"¡

q-a = 0.333. AL+

0.60 0.80 1.00 1.20 L40 l �ó0

óP- e óM"' - " x .k lb/pulguAs h Ash

P = ffi =o'or.e

, = 9 = 0 . 7 9 2' 2 4

e

h

i

DTAGRAMA oE NrenlcctÓN

f[ = +ultpurg2 (27.6 MPa) E4-60.90

ó = 60 klb/pulg2(413.7 MPa)

3¡}8 DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

a a a3 #9 (3.00 pulg2)

3 #9 (3.00 pulg2)

a a o

l l

b

Figura 9.18

(14)(24)(24)(0.s00)P n -

(0.70x8)=120klb I

El ejemplo 9.4 muestra la aplicación de las curvas de interacción de columnas a unacolumna zunchada redonda.

D EJEMPLO 9.4Usando las curvas de interacción para columnas del apéndice, determine el valor de P,para la columna corta zunchada mostrada en la figura 9.19; f; = 4 000 lblpulg2 y f, =

60 000 Ib/pulgz.

x8 f l

(4.81 pulg2)

^ l "a I" ,

0.15 0.192 0.90

QPn eA - h 0.490 0.500 0.525

Oo ¡ o

a. - . ¡

o oa

7h

' h

t5"

2A"

Figura 9.19

Capítulo 10

Columnas esbeltas

10.1 TNTRODUCCóNCuando una columna se flexiona o deflexiona lateralmente en una cantidad A, su cargaaxial genera un momento adicional igual a PA. Este momento se sobrepone a cualquiermomento que exista ya en la columna. Si este momento PA es de tal magnitud que reduceconsiderablemente la capacidad por carga axial de la columna, ésta se denomina columnaesbelta.

La sección 10.10.1 del código establece que el diseño deseable de un miembro a com-presión debe basarse en un análisis teórico de la estructura que tome en cuenta los efectos delas cargas axiales, los momentos, las deflexiones, la duración de las cargas, las dimensionesvariables de los miembros, las condiciones en los extremos, etcétera. Si no se usa tal proce-dimiento teórico, el cédigo proporciona un método aproximado para determinar los efectosde esbeltez. Este método, que se basa en los factores antes mencionados para reabzar urtanálisis <<exacto>>, supone un amplificador de momento 6 que debe multiplicarse por elmayor momento en el extremo de la columna, y ese valor debe usarse en el diseño. Si ocurreflexión en ambos ejes, 6 debe calcularse por separado para cada dirección y los valoresobtenidos deben multiplicarse por los valores de los momentos respectivos.

1 0.2 MARCOS CONY SIN DESPLAZAMIENTO LATERALPara este análisis es necesario distinguir entre los marcos sin desplazamiento lateral y losmarcos con desplazamiento lateral. En el código ACI estos marcos son identificados de esaforma, es decir, marcos con impedímento para desplazarse y marcos sin impedimento.

Las columnas de marcos sin desplazamiento lateral deben diseñarse de acuerdo con lasección 10.12 del código, mientras que las columnas de marcos con desplazamiento lateraldeben diseñarse de acuerdo con la sección 10.13. En consecuencia, primero es necesariodecidir si tenemos un marco con o sin desplazamiento lateral.

Debemos entender que rara vez encontraremos un m&rco que esté completamenÍeriostrado contra desplazamientos laterales o uno que esté totalmente desprovisto de riostrascontra el desplazamiento lateral. Por lo tanto, hay que decidír cómo manejar el asunto.

El asunto posiblemente pueda resolverse examinando la rigidez laferal de los elemen-tos de apuntalamiento en el piso en consideración. Se puede observar que una columna en

IL

363


particular se encuentra en un piso donde hay tantarigidez lateral, causada por los miembrosde apuntalamiento, los muros de cortante, las armaduras y demás, que cualquier deflexiónlateral que ocuffa será demasiado pequeña para afectar en forma apreciable la resistencia dela columna. Al examinar una estructura particular es necesario darse cuenta de que puedehaber algunos pisos sin desplazamiento lateral y otros pisos con desplazamiento lateral.

Si no podemos decidir mediante una inspección si se trata de un marco sin desplaza-miento lateral o de uno con tal desplazamiento, el código proporciona dos maneras de ha-cerlo. Primero, en la sección 10.11.4.1 se dice que el piso de un marco se considera sindesplazamiento lateral si el incremento en los momentos de extremo en las columnas debidoa los efectos de segundo orden, equivale a 5Vo o menos de los momentos de extremo deprimer orden.

El seguno método que el código da para determinar si un marco dado se debe conside-rar riostrado o no riostrado, está en la sección 10.11.4.2. Si el valor del así llamadg.ídj{g4<e.stabilidad Q, que se indica a continuación es ( 0.05, la consideración del ACI establecJ

-de.-éImFco puede clasificarse como un marco sin desplazamiento lateral.

g = L P , L owt,

(AClEcuación 10-7)

donde

LPu - carga vertical total factorizada de todas las columnas en el piso consideradoAo = deflexión lateral de primer orden determinada elásticamente, debido a V, en la

parte superior del piso respecto de la parte inferior de ese mismo pisoVu = fierza cortante horizontal total factorizada del piso consideradolc = altura de un miembro a compresión en un marco, medida de centro a centro de

los nudos del marco

A pesar de estas sugerencias del ACI, el ingeniero encargado del diseño tendrá quetomar decisiones sobre lo que es un apuntalamiento adecuado y el que no lo es, basándoseen la presencia de muros estructurales y de otros elementos de apuntalamiento. En un edifi-cio de concreto reforzado de tamaño promedio, las excentricidades de cargay los valores deesbeltez son pequeños y se considera que los m¿ucos estiín riostrados. Sin embargo, en loscasos dudosos es preferible optar por la seguridad y considerar que los marcos no estánriostrados.

10.3 EFECTOS DE ESBELTEZLa delgadez de las columnas se basa en su configuración y en su riostramiento lateral.Conforme crece su esbeltez, los esfuerzos de flexión también crecen, por lo que puedepresentarse el pandeo. Las columnas de concreto reforzado generalmente tienen pequeñasrelaciones de esbeltez. Por ello, se pueden usualmente diseñar como columnas cortas sinreducciones de resistencia por efectos de esbeltez.

En los siguientes párrafos se analizan diversos aspectos implicados en el cálculo de lasrelaciones de esbeltez. Éstos incluyen: longitudes no soportadas de columnas, factores delongitud efectiva, radios de giro y los requisitos del código ACI.

10.3 EFECTOS DE ESBELTEZ 365

Biblioteca de la Clemson University, Carolina del Sur. (Cortesía de Clemson UniversityCommunications Center.)

Longitudes no soportadas

La longitud luusada para calcular la relación de esbeltez de una columna es su longitud nosoportada lateralmente. Esta longitud se considera igual a la distancia libre entre las losas,las vigas o los otros miembros que proporcionan soporte lateral a la columna. Si la misma

tiene capiteles o cartelas, la distancia libre se mide desde el fondo de las capiteles o de lascartelas.

¡ ,7rr , ' o^ l , ¡u /o " r t l t O J; ' ¡ t i ' / ' / j \a ' "

Factorcs de longitud efectiva

Para calcular la relación de esbeltez de una columna, es necesariolestimar su longitud efec-tiva. Esta es la distancia entre los puntos de momento nulo en lafcolumna. En este análisisinicial se supone que no es posible ni el desplazamiento lateral ni la traslación de los nudos.

Desplazamiento lateral o traslación de nudo significa que un extremo o ambos extremos de

una columna pueden moverse lateralmente el uno respecto del otro.

a Si existiese una columna con extremos perfectamente articulados, su longitud efectiva(seúa su longitud no soportada, como se muestra en la figura l0.l(a). Elfactor k de longitud

efectiva es el número por el que debe multiplicarse la longitud no soportada de la columnapara obtener su longitud efectiva. Para una columna con extremos perfectamente articula-dos, ft = 1.0.

Las columnas con distintas condiciones de extremo tienen longitudes efectivas entera-mente diferentes. Por ejemplo, en una columna con extremos perfectamente empotrados,sus puntos de inflexión (o puntos con momento nulo) se presentan en los cuartos de sualtura, y su longitud efectiva es !u12, como se muestra en la figura 10.1(b). Por tanto, k=O.5.

Obviamente, cuanto menor sea la longitud efectiva de una columna, menor será el peli-gro de pandeo y mayor su capacidad de carga. En la figura 10.1(c) se muestra una columnacon un extremo empotrado y el otro articulado. El factor ft para esta columna es teóricamen-te isual a 0.70.


k[u= QuPuntos de

inflexión

--r

I= o.soÍu

_lnx, ,

III

_lt = 1 . 0

(a)

/< = 0.50

(b)

k = 0.7O

(c)

Figura 10.1 Longitudes efectivas de columnas en marcos riostrados (desplazamiento lateral impe-

dido).

El concepto de longitud efectiva es meramente un método matemático para reemplazar

una columna, sea cual sea su condición en los extremos y sujección lateral, por otra columna

equivalente, articulada y riostrada. Podría hacerse un complejo análisis de pandeo en un

marco para determinar el esfuerzo crítico en una columna dada. El factor k se determina al

delimitar una columna con extremos articulados con una longitud equivalente que propor-

cione el mismo esfuerzo crítico. El procedimiento del factor k es un método para lograr

soluciones sencillas en problemas complicados de pandeo en nlarcos.

Las columnas de concreto reforzado sirven como partes de rnarcos y éstos a veces están

riosffados y a veces no. Un marco riostrado es uno en el que el desplazamiento lateral o la

traslación de nudos está impedido por medio de riostras, los muros de cortante o el soporte

lateral de las estructuras adyacentes. Un marco no riostrado carece de cualquiera de esoe

tipos de riostramiento y debe depender de la rigidez de sus propios miembros para resistir elor¡n rincrro¡ln lnc r¡alorcc k nnnca nueden ser mavores oue 1,0.-ogropandeo lateral. En un marco riostrado los valores k nunca pueden-s€l n0ayQletg!.e r'u. pero

en marcos no riostrados los val,ores ft siempre son mayores que 1.0 debido al desplazamien-

to lateral..hhhhhhh�-En la figura 10.2(a) se da un ejemplo de una columna no riostrada^rla base de esta

columna se supone empotrada, mienfas que su extremo superior se supone completamente

libre para girar y trasladarse . La ctrva elástica de tal columna tomará la forma de la cuna

elástica de una columna con extremos articulados y de longitud doble. Su longitud efectira

será entonces igual a 2!u, como se muestra en la figura. En la figura 10.2(b) se muesüa el

caso de otra columna no riostr&da'

El cóügo (10.12.1) establece que el factor de longitud efectiva debe tomarse igual a l-0

en los miembros a compresión de marcos riostrados, a menos que un análisis teórico justifi-

que que puede usarse un valor menor. Si el miembro no está en un marco riostrado- el

código establece que el valor de k deberá ser mayor que 1.0 y que se determinará conside-

rando los efectos del agrietamiento y del refuerzo en la rigidez de la columna. El comité

ACI-ASCE 441 sugiere que no es práctico suponer valores para k menores que 1.2 en tales

tt

tI

I 368 DISENO DE CONCRETO REFORZADO

ú¿

50.0r 0.0s.0

tl) B

50.010.0

5.0

3.0

2-O

3.0

2.0

1.00.90.80.70.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

1.00.90.80.70.60.5

0.4

0.3

4.2

0.5

(a) Marcos riosfados

Figura 10.3 Factores de longitud efectiva. ú = razón de2(EIl/,) delosmiembros a compresi6na2(EIl!) de los miem-bros a flexión en un plano en un extremo de un miembro acompresión. ft = factor de longitud efectiva.

sión y a flexión. Si tenemos una columna muy ligera y flexible y trabes muy rígidas, larotación y el movimiento lateral de los extremos de la columna se aminorarán considerable-mente. Los exffemos de la columna tendriín una condición cercana a la de empotramientopor lo que los valores t/'y los valores k resultantes serán pequeños. En el caso opuesto, esdecir, en columnas muy rígidas con trabes flexibles, obviamente los extremos de las colum-nas casi girarán libremente, acerciíndose a la condición de una articulación. En consecuen-cia, tendremos grandes valores de lt y k.

Para calcular los valores t/r es necesario usar valores realistas para los momentos deinercia. Las ffabes suelen estar bastante agrietadas en sus lados de tensión en tanto que lascolumnas probablemente tienen sólo unas cuantas grietas. Si los valores lpara las trabes sesubestiman un poco, los factores ft serán un poco mayores, quedando así del lado de laseguridad.

10.5 DETERMINACIÓN DE FACTORES K MEDIANTE ECUACIONES 309

vR

100.0s0.030.020.0

10.0

8.07.06.05.0

1.0(b) Marcos no riostrados

Figura 10.3 Continuación.

Lm"-,*: :^:T.lr:ilf:jr!mar agrolmadamente las rigideces de vigas y colum_

ff 'Y"1"i::::,ll1Tyl *,t o::af o nara,"il"io,", J" "-b"ü ffiffi ;" ffiiltui:'#::ji,11i::T:nt:s

de inercia totales para las columnas, v 5ovo de los Lomenros de inercitotales para las vigas.

9¡

20.0r0.0

5.0

4.0

3.0

[email protected]

4.0

3.0

r0-09.08.07.06.05-0

4.0

3.0

2.0

1.0

En la consideración ACI (R.10.11.r) se estabrece que para determinar valores r/,quehan de usarse en la evaluación de los factáres k, la rigidez d"i;, "ig;;e puede calcurar conbase en 0'351, para tomar en cuenta el agrietamiento y el ,"fu"iro, -i"ntras que 0.701*puede usarse para miembros a compresión.-Ertu recomendación se sigue en los ejemplos deeste capítulo.

10.5 DETERMINACÉN DE FACTORES f, IIEDIANTE ECUACIONESEnvez de usar nomogramas para determinar los valores fr, la consideración ACI (Rt0.12.1)proporciona un método alternativo que implica usar ecuaciones relativamente simples. Es-

I 370 DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO

tas ecuaciones, que fueron tomadas del British Standard Code of Practice'3 son particular-

mente útiles con programas de computadora.para miembros a compresión riostrados, un límite superior para el factor de longitud

efectiva puede tomarse como el menor valor determinado de las dos ecuaciones que siguen,

en dondery',¡ y VlB son los valores antes descritos para los nomogr¿Imas de Jackson y Moreland

I vn¡n es el menor de los dos:

k=O. l +0 .05 ( rp ¡+ r / ' s ) < 1 .0

k = 0.85 + 0.05r/n,in < 1.0

El valor de k para los miembros a compresión no riostrados que estiín restringidos en

ambos extremos, puede determinarse con el valor apropiado dado por las siguientes dos

ecuaciones, en donde r/- es el promedio de 4't 6y t/tg:

s ivrn <2

, 2O -tlt **= zoSiV'm > 2

k = 0 . 9

Columnas de concreto reforzado. (Cortesía de

RSM Advertising, representando a Molded Fiber

Glass Products ComPanY.)

3 Code t¡f practice for the Structural Use oJ Concrete (CP1 10: part l), British Standards Institution, Londres

1912, 154 páginas.

l * v ̂

l * V *

10.6 ANÁLISIS DE PRIMER ORDEN USANDO PROPIEDADES ESPECIALES DE .. . 37I

El valor del factor de longitud efectiva para los miembros a compresión no riostrados

que están articulados en un extremo, puede determinarse con la siguiente expresión, ert

donde r/ es el valor en el extremo restringido:

k=2 .0+0 .3 t1 . t

El código ACI en su sección 10.12.1 establece que k debe tomarse igual a 1.0 para los

miembros a compresión en m¿rcos apuntalados contra desplazamientos laterales, a menos

que un análisis teórico muestre que puede usarse un valor más pequeño. En el último párra'

fo de ta sección R10.12 de la consideración del ACI, se dice que el uso de los nomogramas

o de las ecuaciones recién presentadas, es satisfactorio para justificar valores de k menotes

que 1.0 en mercos riostrados.$.

10.6 ANÁL|s|s DE PRIMERORDEN USANDO PROPIEDADESESPECIALES DE LOS MIEiIBROS

Después de esta sección, el resto del capítulo está dedicado a un procedimiento de diseño

aproximado en el que el efecto de la esbeltez se toma en cuenta, calculando los amplificadores

de momento que son multiplicados por los momentos de las columnas. Un amplificador

para una columna es una función de su carga axial factorizada Pu y de su carga de pandeo

crí¡r¡ca Pr.(U Anrcs de poder calcular los amplificadores para una estructura dada, es necesario efec-

rua.r un análisis de primer orden de la estructura. Las propiedades de la sección del miembro

usadas para tal análisis deben tomar en cuenta la influencia de las cargas axiales, la presen-

cia de lugares agrietados en los miembros y el efecto de la duración de las cargas. En vez de

efectuar tal análisis, la sección 10.11.1 del código ACI permite el uso de las siguientes

propiedades para los miembros de la esffuctura. Esas propiedades pueden usarse para mar-

cos con o sin desplazamiento lateral.

(a) Móduto de elasticidad, determinado con la siguiente expresión dada en la sección

i

8.5.1 del código

- 1 \ ^ ^ -E, = l,1t!) 33 ",! ¡l para valores deconcreto de peso normal.

@) Momentos de inercia, donde 1, = momento de inercia de la sección total de concre-

to respecto del eje centroidal, despreciando el refuerzo

0.3518

0 .1018

o.t0I8

0 .3518

0.2518

1.0,48

, . / t . t f ; t

' ' L I L = / : Sw c

( a . o , t J ) V . " . . ) , i " J

wc entÍe 90 y 155 lb/pie3 o 57 000n/f en el

Vigas

Columnas

Muros no agrietados

Muros agrietados

Placas planas y losas planas

@) Área


10.7 COLUMNAS ESBELTAS EN MARCOS SIN DESPLAiZAMIENTOLATERAL O RIOSTRADOS

Existe una gran diferencia en el compofamiento de las columnas de marcos sin desplaza-miento lateral o riostrados y en el de aquellas de marcos con desplazamiento lateral o noriostrados. En efecto, cada columna en un marco riostrado actúa por sí misma. En otraspalabras, su resistencia individual puede determinarse y compararse con sus cargas y mo-mentos factorizados calculados. En un marco no riostrado o con zamiento lateral. unacolumnaprobablementenosepqf la,-eU.f-qfr''n_a-fnd_i_yrdUal-siryo@lás otras columnas en el mismo niuót. Bn consecuencia es necesario en un marco así. consi-derar la resistencia por pandeo <le tódas lal-coiüiiuiii+-e+ €úlvá.,ffi

9.3i4*4, "Para un miembro a compresión en un marco sin desplazamiento lateral, la relación de

esbeltez efectiva kAulr se usa para determinar si el miembro es corto o esbelto. En estecálculo, Au es la longitud no soportada del miembro. El factor /c de longitud efectiva puedetomarse igual a 1.0, a menos que el análisis proporcione un valor menor. El radio de giro r esigual a 0.25 veces el üámetro de una columna redonda y 0.289 veces la dimensión de una

7-columna rectangular en la dirección en que la estabilidad está siendo considerada. La seA.ción 10.1 1.2 del código ACI permite usar el "qlo{ aprorymgÉg3" 0.30 e" vez de 0.289 y esto rilo haremos aquí. Para otras secciones, el valor de r tendrá que cáFüffiEp-ffiGñdo de laspropiedades de las secciones totales.

Para los marcos sin desplazamiento lateral, los efectos de esbeltez pueden ignorarse sise satisface la siguiiñte éipféiión

k l u s z + - n ( M ), \ M z )

n" "l;u"' lXrur",Ecuación 1o-8)

En esta expresión, M1 es el menor momento de extremo factorizado en un miembro acompresión. Se usa e-l signci'más si el miembro está flexionado en-forma dc iffiuturu iirlpt(en foiüa-de C) y se uia ei signo menos si el miembro está flexionado en.cruJ-31!l-r4 doble (enforma de S).Mzes el mayor momento de extremo factorizado en un miembro a compresióny siempre tiene el signo más. En esta ecuación el término (34 - l2#). de acuerdo con el10.12.2 del código ACI, no debe ser mayor que 40.

Si kA"lr de una columna es mayor que la relación aplicable, se tendrá una colum¡eesbelta. En una columna así, el efecto de esbeltez debe ser considerado. Esto se hace usandométodos aproximados o por medio de un análisis teórico de segundo orden que tome ercuenta el efecto de las deflexiones. Si kAulr > 100, deberá efectuarse el análisis teórico &segundo ordeq (código- .10,I l-.,1),.

Un análisis de següldd óiéifi'éS'aquel que toma en cuenta el efecto de las deflexiones ¡hace uso de un módulo tangente reducido. Las ecuaciones necesarias para diseñar una c+lumna en este intervalo son extremadamente complicadas y en la púctica se recune a gnáFcas de diseño o a programas de computadora. Afortunadamente, la mayoía de las column¡cde concreto reforzado tienen relaciones de esbeltez menores que 100.

10.7 COLUMNAS ESBELTAS EN MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL O ... C13

Gómoevltar las columnas esbeltasEl diseño de las columnas esbeltas es considerablemente más complicado que el diseño deIas columnas cortas. Por esto, es apropiado considerar el uso de ciertas dimensiones míni-mas, de manera que las columnas no resulten esbeltas. De esta manera, tales columnaspueden evitarse casi por completo en los edificios de tamaño medio.

Si se supone k = l.O,la esbeltez puede usualmente despreciarse en columnas de marcosriostrados cuando Aulh se mantiene igual a 10 o menos en la planta bajay a 14 o menos en lospisos arriba de la planta baja. Para determinar esos valores, se supone que hay poca resisten-cia al momento en la conexión de la zapata a la columna y que las columnas de la planta bajaestiín flexionadas en forma de curvatura simple. Si la conexión zapata-columna se diseñacon una resistencia apreciable al momento, el valor miíximo indicado de Aulh de 10 debeaumentarse aproximadamente a 14 o al mismo valor usado en los pisos superiores.

Si se tiene un marco no riostrado y se supone k = 1.2, probablemente será necesarioiomar Aulh igual a 6 o un valor menor. Así, para una altura libre de piso de 10 pie, es necesa-rio usar una ft mínima de aproximadamente 10 pie/6 = 1.67 pie = 20 pulg en la dirección dela flexión para evitar columnas esbeltas.4

El ejemplo 10.1 ilustra la obtención del factor ft y la determinación de la relación deesbeltez para una columna en un marco no riostrado. Al calcular los valores I/L, el autor wó0.70 veces los momentos de inercia totales para las columnas, 0.35 veces los momentos deinercia total para las trabes, y las longitudes completas entre los centros de los sopofes entodos los miembros.

C EJEMPLO 10.1(a) Con ayuda de los nomogramas en la figura 10.3, calcular el factor de longitud

efectiva para la columna AB del marco no riostrado mostrado en la figura 10.4.Considere sólo flexión en el plano del marco.

(b) Calcular la relación de esbeltez de la columna AB. ¿Se trata de una columna cortao esbelta?

lfl ,,1

soLucóN i,u . ,i ,,'(a) Factor de longitud real para la colurina AB

o ' + * L,.rú.0.7 x 8 000

4t¿.=

. " r . J l j - i i " - - " " . - t t ' t

t ? ' " r 2 x 1 o u ; ú i

0.35x5 832 0 .35x5 83212x20 12x24

0 . 7 x 8 0 0 0 _ 0 . 7 x 8 0 0 012xl0 1 2 x 1 2 = 2 . 3 1

' Neville, G. B., ed., 1984, Simplified Design Reinforced Concrete Buildings of Moderate Síze and HeightrSkokie, IL. : Port land Cement Associat ion), págs. 5-10 ala 5-12.

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