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Colegio Nacional Bartolomé Mitre

Profesora: Hasure Ana Valeria

Curso: 2º año Turno: Noche

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PROGRAMA

COLEGIO NACIONAL BARTOLOME MITRE

CURSO: 2º año

TURNO: Noche

AÑO: 2016

PROFESORA: Hasure Ana Valeria

Unidad nº 1: Números Enteros

Lectura, escritura, comparación, orden y representación en la recta numérica. Operaciones:

adición, sustracción, producto, cociente, potenciación y radicación. Propiedades.

Operaciones combinadas. Ecuaciones. Situaciones problemáticas.

Unidad n° 2: Triángulos

Triángulos. Construcción y análisis. Congruencia. Triángulo rectángulo. Teorema de

Pitágoras. Aplicaciones.

Firma _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

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Unidad n° I: El conjunto de los números enteros

Los enteros y la recta numérica. Orden y representación.

Si tenemos $150 en una cuenta bancaria podemos retirar $175 solo si el banco nos

presta la diferencia. En este caso, el saldo será de $ −25.

Si la temperatura es de 14 ºC y desciende 17 ºC, ahora será de 3ºC bajo cero o de

−3 ºC.

En estas situaciones aparecen números enteros negativos −25; −3, llevan un signo (– )

(menos) delante del número, para distinguirlos de los números naturales, que son los

enteros positivos.

El conjunto de los números enteros (se lo simboliza con la letra Z) esta formado por lo

enteros negativos, el cero y los enteros positivos.

En la recta numérica los números negativos se ubican a la izquierda del 0 y los positivos, a

derecha.

En la recta numérica un número es mayor que cualquier otro que se encuentre a su

izquierda y menor que cualquier otro que se encuentre a su derecha.

−4 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 − 2. 𝑆𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 − 4 < −2

5 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 − 99. 𝑆𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 5 > −99

Se denomina módulo o valor absoluto de un número entero a la distancia que existe entre

el número y el cero.

𝐸𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 − 3 𝑒𝑠 3. 𝑆𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 |−3| = 3

𝐸𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 8 𝑒𝑠 8. 𝑆𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 |8| = 8

Dos números son opuestos cuanto tienen distintos signos e igual módulo.

5 𝑦 − 5 𝑠𝑜𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠.

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SUMAS Y RESTAS DE NUMEROS ENTEROS

Problema: En mi cuenta bancaria tengo un saldo negativo: debo $15; si deposito $65, ¿cuánto

tengo ahora? −15 + 65 = 50

Para sumar o restar números enteros pueden seguir estos pasos:

Se eliminan paréntesis.

- Si el signo que lo precede es +, el signo del número encerrado entre los

paréntesis no cambia.

6 + (+4) = 6 + 4 −7 + (−2) = −7 − 2

- Si el signo que lo precede es (−), el signo del número encerrado entre los paréntesis cambia.

6 − (+4) = 6 − 4

−7 − (−2) = −7 + 2

Se suma o resta teniendo en cuenta las siguientes reglas.

Si los números tienen el mismo signo, se suman sus módulos y al resultado le corresponde ese mismo signo.

Ejemplo: 6 + 4 = 10

−7 − 2 = −9

Si los números tienen distinto signos, se restan sus módulos y al resultado le corresponde el signo del número con mayor módulo.

Ejemplo: 6 − 4 = 2

−7 + 2 = −5

SUMA ALGEBRAICA

Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas.

Para resolver una suma algebraica, a la suma de los términos positivos se le resta la suma

de los módulos de los términos negativos.

5

Ejemplo 3 + 5 − 8 − 2 + 10 − 7 =

= (3 + 5 + 10) − (8 + 2 + 7) = = 18 − 17 = 1

MULTIPLICACION Y DIVISION CON NUMEROS ENTEROS

Para multiplicar (o dividir) números enteros se deben tener en cuenta las siguientes reglas de los signos.

Regla de los signos:

Ejemplos

a) 9 ∙ 8 = 72 d) 7 ∙ (−12) = −84 g) (−14) ÷ (−7) = 2

b) (−3) ∙ 4 = −12 e) 36 ÷ 12 = 3 h) 34 ÷ (−2) = −17

c) (−10) ∙ (−6) = 60 f) (−27) ÷ 3 = −9 i) 55 ÷ 5 = 11

Si se multiplican o dividen más de dos números, se debe aplicar las reglas anteriores

resolviendo las operaciones de izquierda a derecha.

Ejemplos: (+5) ∙ (−2) ∙ (−7) = (−10) ∙ (−7) = 70

(−7) ∙ (−4) ∶ (−2) = (+28) ∶ (−2) = −14

OPERACIONES COMBINADAS

El siguiente cálculo se puede resolver de dos formas distintas.

Procedimiento 1

5 − (−10 + 20 − 9) + (−6 − 2) =

5 + 10 − 20 + 9 − 6 − 2 =

(+) ∙ (+) = (+)

(−) ∙ (−) = (+)

(+) ∙ (−) = (−)

(−) ∙ (+) = (−)

Se suprimen los paréntesis

6

(5 + 10 + 9) − (20 + 6 + 2) =

24 − 28 = −4

Procedimiento 2

5 − (−10 + 20 − 9) + (−6 − 2) =

5 − (+1) + (−8) =

5 − 1 − 8 = −4 Se suprimen los paréntesis

Para resolver un cálculo combinando las cuatro operaciones se deben seguir estos

pasos:

−15 ∶ 3 ∙ 2 + −2 ∙ (−8) =

−5 ∙ 2 + 5 + 16 =

−10 + 5 + 16 = 11

Para resolver cálculos combinados donde hay paréntesis y corchetes deben seguir estos

pasos:

[(−8 − 5 ∙ 2) ∙ (−1 − 1)] ∶ (−6) + 2 =

[(−18) ∙ (−2)] ∶ (−6) + 2 =

36 ∶ (−6) + 2 =

−6 + 2 = −4

POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS

La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

𝒂𝒏 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 … 𝒂

El signo de la potencia depende del signo de la base y del exponente.

Si el exponente es par, la potencia siempre es positiva.

Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo de la base.

Se resuelve la suma algebraica

Se resuelven las operaciones que encierran los paréntesis

Se separa en términos

Se resuelven las multiplicaciones y divisiones

Se resuelven las sumas y restas

Se separa en términos

Se resuelven las operaciones que encierran los paréntesis

Se resuelven todas las operaciones

Se resuelven las operaciones que encierran los corchetes

base

exponente

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PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

PROPIEDADES EJEMPLOS

Producto de potencias de igual base, se suman los

exponentes.

22 ∙ 23 = 22+3 = 25 = 32

Cociente de potencias de igual base, se restan los

exponentes.

25 ∶ 23 = 25−3 = 22 = 4

Potencia de otra potencia, se multiplican los exponentes. (23)2 = 23∙2 = 26 = 64

La potenciación es distributiva con respecto a la

multiplicación y división.

(2 ∙ 5)2 = 22 ∙ 52 = 4 ∙ 25 = 100

(4 ∶ 2)2 = 42 ∶ 22 = 16 ∶ 4 = 4

RADICACION DE NUMEROS ENTEROS

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

√−83

= −2

Ejemplos

√−273

= −3, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−3)3 = −27 "𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 − 27 𝑒𝑠 − 3"

√4 = 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 22 = 4 "𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 4 𝑒𝑠 2"

Si el radicando es positivo, la raíz es positiva.

Ejemplo √164

= 2

Si el radicando es negativo y el índice es impar, la raíz es negativa.

Ejemplo √−83

= −2

Si el radicando es negativo y el índice es par, la raíz no tiene solución en el

conjunto de los números enteros, ya que ningún número entero elevado a un

exponente par da por resultado un número negativo.

Ejemplo √−4 𝑜 √−164

Índice

Radicando

Radical

Raíz

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PROPIEDADES

EJEMPLOS

La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división.

√9 ∙ 16 = √9 ∙ √16

√64 ÷ 16 = √64 ÷ √16

Para multiplicar o dividir raíces de igual índice, se escribe una raíz con el mismo índice y con el radicando igual a la multiplicación o división de los radicandos dados, según corresponda.

√8 ∙ √2 = √8 ∙ 2

√2433

÷ √93

= √243 ÷ 93

Simplificación de índices

√34 = √34∶22∶2= 32 = 9

Raíz de raíz

√√16 = √162∙2

= √164

= 2

ECUACIONES

Se denomina ecuación a toda igualdad donde aparece un valor desconocido llamado incógnita.

𝒙 + 𝟔 = 𝟏𝟎

Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen verdadera la igualdad.

Verificar una ecuación consiste en reemplazar el o los valores encontrados en ella para comprobar si la igualdad se cumple. El valor o los valores encontrados forman el conjunto solución.

Para 𝒙 + 𝟔 = 𝟏𝟎, 4 es el conjunto solución porque es el único valor que hace verdadera la igualdad.

𝑥 = 4 verificación 4 + 6 = 10

Ejemplo:

a. 2𝑥 − 7 = −1 verificación 2 ∙ 3 − 7 = −1 b. 𝑥2 − 2 ∙ 4 = −7 2𝑥 = −1 + 7 6 − 7 = −1 𝑥2 − 8 = −7 2𝑥 = 6 −1 = −1 𝑥2 = −7 + 8 𝑥 = 6 ∶ 2 𝑥2 = 1

𝑥 = √1

1º miembro

2º miembro

𝑥 = 3

𝑥 = ±1

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UNIDAD Nº 2: TRIANGULOS

Elementos y propiedades.

Un triangulo es un polígono de tres lados.

Los triángulos se clasifican según sus lados y según sus ángulos.

En todo triangulo se cumplen las siguientes propiedades:

La medida de cada lado es menor que la suma de las medida de los otros dos.

La suma de los ángulos interiores es igual a 180°.

La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.

Todo ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior correspondiente.

Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

TRIANGULO RECTANGULO

Un triangulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto.

En los triángulos rectángulos, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, que es el mayor de los tres lados.

Los triángulos rectángulos pueden ser escalenos o isósceles, nunca equiláteros.

Hipotenusa

Cateto

Cateto

c

a b

10

La suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo es igual a 90°, es decir, son complementarios.

Propiedad pitagórica

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los dos cuadrados de las medidas de los catetos. Esta relación se denomina relación pitagórica.

Comprobación

𝑨𝟐 = 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐

b

c

a

C

A B

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TRABAJOS

PRACTICOS

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Trabajo Práctico nº 1: Números Enteros Orden, representación y comparación

Apellido y Nombre:

Curso: Fecha:

1. Escriban el número entero que corresponde.

a. El buzo se encuentra a 250 metros de profundidad.

b. Un avión se encuentra a 320 metros de altura.

c. El tercer subsuelo de un edificio.

d. El año 400 antes de Cristo.

e. Ana tiene $1200.

f. Claudia debe $150.

g. El momento de despegue de una nave espacial.

h. La temperatura es de 10 ºC bajo cero.

2. Completen con <o >, según corresponda

a. −15 … … 7 e. 10 … … − 18 i. 102 … … |−102|

b. −4 … … − 9 f. −3 … … 2 j. −45 … … − 55

c. 0 … … − 20 g. −95 … … 62 k. −135 … … 7

d. −31 … … − 32 h. 30 … … 0 l. 51 … … |+99|

3. Completen el cuadro.

Número Opuesto Anterior Siguiente Módulo

−12

−15

−21

30

−47

4. Ordena en forma decreciente los siguientes números enteros. Luego, represéntalos en la

recta numérica

5;−8;3; 0; -9; −7; −6; −14; 15; −5; −2; −1; 1; −4

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Trabajo Práctico nº 2: Números Enteros

Adición y sustracción

Apellido y Nombre: Curso: Fecha:

1. Responda y explique la respuesta.

a. ¿Es cierto que la diferencia entre un número positivo y uno negativo da un número

positivo?

b. Si la suma entre dos números enteros es 0, ¿Cómo son esos números?

c. ¿Está bien resuelta la siguiente suma algebraica? 4 − 8 + 10 − 2 = (4 + 10)— 8 − 2 = 24

2. Complete el siguiente cuadro y responda.

En un juego se agregan o quitan puntos según las cartas que van saliendo. Esta tabla registra los puntajes de los distintos jugadores.

Complétala considerando que el nuevo puntaje resulta de agregarle 9 a cada uno de ellos.

Puntajes −20 −15 −10 −5 −2 −1 0 1 2 10 15

Nuevos puntajes 9 14 29

En un juego Nicolás fue obteniendo los siguientes puntos: −2, 7, −4, 10, 0, −2, −4, −3, −6, −7, 2, 4, 7, −10, 6

Para saber cuál fue su puntaje final, debe sumar todo lo obtenido. ¿Con cuántos puntos terminó?

3. Plantear y resolver.

a. El encargado de un edificio realiza el reparto de la correspondencia. Parte en ascensor desde el quinto piso y baja 3 pisos, luego sube 6, baja 8 y sube 2. ¿En qué piso se encuentra?

b. Un comerciante está haciendo la caja al final del dio. Compró mercadería por $2150, ganó $2900 por lo que vendió y pagó $850 de impuestos. Si al empezar el día había $900 en la caja, ¿cuánto dinero tiene?

c. El submarino está a −100 metros. El capitán ordena sucesivamente: - Elevarse 10 metros. - Descender 30 metros. - Elevarse 50 metros.

¿Cuál es la posición cuando acaba de cumplir todas las órdenes?

4. Supriman el paréntesis y resuelvan.

a. −5 + (−8) = e. 3 − (+10) = i. −(−15) + (+3) =

b. 26 − (+45) = f. 2 + (+14) = j. (−4) + 8 =

c. −2 − (+4) = g. 19 + (−9) = k. (−9) + (−8) =

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Trabajo Práctico nº 3: Números enteros

Multiplicación y división

Apellido y Nombre:

Curso: Fecha:

1) Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones

a. −3 ∙ (−5) = d. −18 ∶ (−6) = g. −45 ∶ (−5) =

b. −8 ∙ 2 = e. −15 ∙ 0 = h. −2 ∙ (−10) =

c. 5 ∶ (−1) = f. −32 ∙ 2 = i. 40 ∶ (−8) =

2) Une con flechas cada cálculo con su resultado, cuando sea posible.

a. −16 ∶ (−8) ∙ 8 =

b. −2 ∙ (−4) ∶ (−1) =

c. −2 ∙ 4 ∶ (−1) =

d. −5 ∙ (−6) ∶ (−3) =

e. −5 ∙ 6 ∶ (−3) =

f. −6 ∙ 2 ∶ 12 =

g. 25 ∶ (−1) ∶ (−25) =

3) Escribe V (verdadero) o F (falso).

a. El producto entre dos números enteros negativos es negativo.

b. El producto entre dos enteros positivos es positivo.

c. El producto entre tres enteros negativos es positivo.

d. El cociente entre un entero negativo y su opuesto es siempre −1.

4) Complete la tabla.

𝒂 𝒃 𝒄 𝒂 ∙ 𝒃 𝒃 ∙ 𝒄 𝒂 ∙ 𝒃 ∶ 𝒄 𝒂 ∶ 𝒃 ∙ 𝒄

−12 −6 2

−35 5 −1

−18 −2 −3

−28 −14 −7

10

−1 −8

16 −10

8 1

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Trabajo Práctico nº 4: Números Enteros

Potenciación. Propiedades

Apellido y Nombre:

Curso: Fecha:

1) Escribe el desarrollo de cada potencia y resuelve.

a. (−7)2 = e. (−10)0 =

b. (−2)5 = f. (−9)2 =

c. (−1)4 = g. (−1)3 =

d. (−4)1 = h. (8)2 =

2) Resuelve aplicado propiedades.

a. (−3)2 ∙ (−3)3 ∶ (−3)4 =

b. [(−2)2]2 =

c. (4 ∙ 5)2 =

d. (4 ∶ 2)3 =

e. [(−2) ∙ (−3) ∙ (−4)]2 =

f. [(−6)8 ∶ (−6)6]2 =

3) Escribe = 𝑜 ≠, teniendo en cuenta las propiedades. En caso de ser distinto exprésalo

correctamente.

a. (3 ∙ 2)2 32 ∙ 22

b. (−2)2 ∙ (−2)2 (−2)8

c. (−5)6 ∶ (−5)3 (−5)2

d. [(−3)2]0 1

e. [(−7)3]1 (−7)4

f. (−4 + 6)3 (−4)3 + 63

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Trabajo Práctico nº 5: Números Enteros

Radicación. Propiedades

Apellido y Nombre:

Curso: Fecha:

1) Calcule las siguientes raíces, cuando sea posible.

a. √16 =

b. √−273

=

c. √164

=

d. √−15

=

e. √−2163

=

f. √−36 =

g. √814

=

h. √100 =

2) Resuelve aplicando propiedades.

a. √√256 =

b. √144 ∙ 25 =

c. √−27 ∙ 83

=

d. √(−64) ∶ (−1)3=

e. √√7293

=

f. √−1000 ∶ 1253

=

3) Escribe el cálculo correspondiente y resuelve.

a. La raíz cuadrada del triple de doce.

b. La raíz cúbica del producto entre dos y menos cuatro.

c. La suma entre la raíz cuadrada de nueve y la raíz cúbica de menos veintisiete.

d. La diferencia entre la raíz cuadrada de cien y el doble de cuatro.

e. La suma entre el doble de doce y la raíz cuadrada de ochenta y uno.

f. El cociente entre la raíz cuadrada de ciento veintiuno y once.

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Trabajo Práctico nº 6: Números Enteros

Operaciones combinadas

Apellido y Nombre:

Curso: Fecha:

1) Une con flechas cada cálculo con su resultado.

a. −2 + 5 ∙ (−3) =

b. 4 ∙ (−10) − 6 =

c. (−3) ∙ (−2) + 4 =

d. (−5) ∙ 3 − 18 =

e. 40 ∶ (−5)— 3 =

f. −15 − 27 ∶ (−3) =

2) Resuelve.

a. (−2)3 + √−13

− (−4)3 − √144 =

b. √−643

∙ (−3 − 2) − (52 − 1) =

c. √(−2)3 ∙ (−3)6 ∶ (−1)93=

d. √−30 − 25

+ (−6 + 1 + 3)2 − 0 ∶ 7 =

e. (−8)0 + (−4)2 ∙ 3 − √−83

+ √16 =

3) Plantee el cálculo y resuelva.

a. La diferencia entre el doble de la raíz cuadrada de 144 y la raíz cubica de −1000.

b. El cociente entre la raíz cuadrada de 100 y la raíz cubica de (−5)3.

c. El producto entre el cubo −6 y el cuadrado de −6.

d. La suma entre la raíz cuarta del doble de 8 y el cubo del módulo de −15.

e. La tercera parte del producto entre −8 y 6.

4) Complete la tabla.

𝐚 𝐛 𝐜 𝟑 ∙ 𝐜 + 𝐚 𝐛𝟐 ∶ (−𝟐)

−2 4 −1

6 −8 64

4 −10 −8

−5 2 27

−6

10 −5

−33

−46

−17

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Trabajo Práctico nº 7: Números Enteros

Ecuaciones

Apellido y Nombre:

Curso: Fecha:

1) Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica.

a. 2𝑥 + 12 = −15

b. 20 = 3𝑥 − 5 ∙ (−4)

c. 𝑥 + 3𝑥 + 5 = −3 ∙ 5

d. 7 + 5𝑥 = −4 ∙ 2

e. −7𝑥 + 8 − 3 = −9

f. 13𝑥 + 3𝑥 − 5 = 27

2) Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando propiedad distributiva.

a. 9 ∙ (𝑥 + 5) = 45

b. −60 + 4 = 7 ∙ (𝑥 − 4)

c. (2𝑎 − 3) ∙ 4 = 12

d. (15𝑏 + 10) ∶ 5 = 8

e. (12𝑥 − 20) ∶ 4 = 7

3) Resuelve.

a. 𝑥2 + 4 = 20

b. √𝑥 − 15 = 0

c. √2𝑥 − 24

= 2

d. √5𝑥 − 25

= 3 ∙ 70

e. 𝑥3 − 3 = −30

4) Plantee la ecuación y resuelva.

a. El cuádruple de la suma entre un número y cinco es igual a cincuenta y dos.

b. La suma de un número y el doble de su anterior es igual a veintiocho.

c. El doble de un número más el triple de nueve es igual cuarenta y uno.

d. La diferencia entre el cuadrado de un número y cuatro es igual a doce.

e. La mitad de un número aumentado en el doble de siete es igual veintiuno.

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Trabajo Práctico nº 8: Triángulos

Elementos y propiedades

Apellido y Nombre:

Curso: Fecha:

1) Calcule las medidas de los lados y de los ángulos que faltan.

a. El triangulo 𝑎�̂�𝑐 es isósceles y rectángulo.

�̂� = 45°

b. El triangulo 𝑑�̂�𝑓 es obtusángulo e isósceles.

2) Calcule la medida de los ángulos teniendo en cuenta las propiedades.

a. Datos:

�̂� = 7𝑥 + 3°

�̂� = 95° − 2𝑥 𝑐̂ = 4𝑥 + 37°

b. Datos:

�̂� = 8𝑥 − 39°

�̂� = 7𝑥 − 41° 휀̂ = 26° + 3𝑥

c. Datos:

�̂� = 77°

�̂� = 4𝑥 − 8°

𝑓 = 6𝑥 − 35°

𝑎

𝑏 𝑐

8,5 𝑐𝑚

6 𝑐𝑚

11 𝑐𝑚

7 𝑐𝑚

𝑓

𝑒 𝑑

𝑐

𝑎

𝑏

𝑓

𝑑

𝑒

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Trabajo Práctico nº 9: Triangulo rectángulo

Teorema de Pitágoras

Apellido y Nombre:

Curso: Fecha:

1) Calcule el valor de los lados que faltan en cada triangulo.

a. Datos:

𝑎𝑐̅̅ ̅ = 8 𝑐𝑚

𝑎𝑏̅̅ ̅ = 6 𝑐𝑚

𝑏𝑐̅̅ ̅ =

b. Datos:

𝑑𝑓̅̅̅̅ = 13 𝑚

𝑒𝑓̅̅ ̅ = 12 𝑚

𝑑𝑒̅̅ ̅ =

c. Datos:

𝑎𝑐̅̅ ̅ = 10 𝑐𝑚

𝑎𝑏̅̅ ̅ = 6 𝑐𝑚

𝑏𝑐̅̅ ̅ =

2) Calcule los ángulos �̂� 𝑦 �̂� en los triangulos rectángulos.

a.

�̂� =

�̂� =

b.

�̂� =

�̂� =

c

a b

124°

72° �̂�

f

e

d

c

b

a

d

e f

a

c

b

�̂�

21

22