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COLEGIO DE POSTGRADUADOS
INSTITUCIÓN DE ENSEÑANZA E INVESTIGACIÓN EN CIENCIAS AGRÍCOLAS
CAMPUS MONTECILLO SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA ESTADÍSTICA
COMPARACIÓN DE ALGUNOS DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA ESTIMAR SUPERFICIES DE RESPUESTA MEDIANTE UN MODELO DE SEGUNDO ORDEN, UTILIZANDO 5 CRITERIOS DE FEDOROV
JESÚS FLORES CATARINO
T E S I S
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS
MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO 2005
La presente tesis titulada: COMPARACIÓN DE ALGUNOS DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA ESTIMAR SUPERFICIES DE RESPUESTA MEDIANTE UN MODELO DE SEGUNDO ORDEN, UTILIZANDO 5 CRITERIOS DE FEDOROV, realizada
por el alumno JESÚS FLORES CATARINO, bajo la dirección del consejo particular
indicado, ha sido aprobado por el mismo y aceptada como requisito parcial para obtener el
grado de:
MAESTRO EN CIENCIAS SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
ESTADÍSTICA
CONSEJO PARTICULAR
CONSEJERO
Dr. Humberto Vaquera Huerta
ASESOR
Dra. Martha E. Ramírez Guzmán.
ASESOR
Dr. Gerardo H. Terrazas González
MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO 2005
AGRADECIMIENTOS
A Dios, por guiarme cada día de mi vida.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por el apoyo económico
otorgado durante mis estudios de Maestría.
Al Colegio de Postgraduados, en particular al Programa de Estadística, por darme la
oportunidad de continuar con mi formación académica.
A mi Consejo Particular:
Dr. Humberto Vaquera Huerta, por su paciencia, valiosa dirección y apoyo brindado en
todo momento para el logro de este trabajo y en mi formación académica.
Dra. Martha E. Ramírez Guzmán y Dr. Gerardo Terrazas González, por brindarme parte de
su valioso tiempo durante la elaboración del presente trabajo, con acertadas sugerencias
y comentarios.
A cada uno de los profesores de quienes he recibido parte de su conocimiento durante las
distintas fases de mi preparación.
A todo el personal administrativo del ISEI por su amabilidad y apoyo que siempre me han
brindado.
A todos mis compañeros y amigos.
DEDICATORIAS
A toda mi familia. Por ser para mi una fuente inagotable de amor y apoyo durante mi
formación académica y en las diferentes fases de mi vida.
Con gratitud y especial cariño
A la memoria del Dr. Ángel Martínez Garza, que con su enorme profesionalismo y gran
calidez humana dimos inicio el presente trabajo y por azares del destino no vio finalizado
el mismo. Al él, muchas gracias.
CONTENIDO.
I. INTRODUCCIÓN. ... ....................................................................................... 1 II. OBJETIVOS. .................................................................................................. 3 III. REVISIÓN DE LITERATURA.
3.1 Definición de algunos conceptos ............................................................... 5
3.2 Criterios para generar diseños A-Óptimos y D-Óptimos. ........................... 7
3.3 Constantes de dispersión para la comparación de diseños con diferente
número de puntos experimentales pero con igual número de variables. ... 9
3.4 Modelos más utilizados para aproximar superficies de respuesta. ........... 10
3.5 Diseños experimentales más comunes para superficies de respuesta de
segundo orden. ........................................................................................ 12
3.6 Algunos criterios de comparación de diseños experimentales óptimos. ... 20
3.7 Algunos resultados de investigaciones anteriores con orientación similar.. 26
IV. METODOLOGÍA .............................................................................................. 30 V. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS ................................................. 34 VI. CONCLUSIONES ........................................................................................... 43 VII. RECOMENDACIONES .................................................................... .............. 45 VIII. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 46
IX. APÉNDICE.
A. Resultados de los criterios 1 y 5 para diseños con dos factores. ............... 48
B. Resultados de los criterios 1 y 5 considerando sólo las diagonales de las
matrices de dispersión para diseños con dos factores. .............................. 56
C. Resultados de los criterios 1 y 5 para diseños con tres factores. ............... 63
D. Resultados de los criterios 1 y 5 considerando sólo las diagonales de las
matrices de dispersión para diseños con tres factores. ............................. 71
E. Matrices diseño para dos y tres factores codificados. ................................ 79
F. Programas que generan los resultados de los criterios de Fedorov para
comparar diseños experimentales. ............................................................. 90
RESUMEN
La eficiencia de un diseño experimental en el ajuste de un modelo de superficie de
respuesta depende básicamente de la bondad de ajuste del modelo y de los costos de
experimentación. En este trabajo se utilizaron los criterios de la traza y determinante de la
matriz 1)( −XX t , el valor máximo de la diagonal de 1)( −XX t y la diferencia de las matrices
11 )()( −− − jt
jit
i XXXX para los diseños i y j; propuestos por Fedorov (1972) para comparar
algunos diseños experimentales cuando se estima una superficie de respuesta mediante
un modelo cuadrático de segundo orden, con dos y tres factores. Con dos factores, los
diseños D-óptimo y A-óptimo con 19 tratamientos, Cuadrado Doble, Cuadrado Doble
Ortogonal α= 2.20, Cuadrado Doble Ortogonal α= 1.848, Diseño Compuesto Central α=
1.0, A-óptimo con N=13, Hexágono, Diseño Compuesto Central Rotatorio α= 1.4142, D-
óptimo con N=13, Cuadrado Doble Ortogonal α= 1.633 y Diseño Compuesto Central
Pequeño α= 1.0 resultaron mejores que el diseño factorial 32. Con tres factores, los
diseños A-óptimo y D-óptimo con 29 tratamientos, Cubo Doble Ortogonal α=2.82 y Cubo
Doble resultaron ser mejores que el diseño factorial 33 al ajustar el modelo.
Palabras clave: superficie de respuesta, diseño experimental, modelo de segundo orden.
ABSTRACT
The efficiency of an experimental design to fit a model in surface response depends
basically on the kindness of fit of the pattern and of the experimentation costs. In this paper
the criteria of trace and determinant of matrix ( ) 1−XX t , the maximum value of the diagonal
of ( ) 1−XX t and the difference of the matrix ( ) ( )j
tji
ti XXXX −
−1 for the designs i and j,
proposed by Fedorov (1972), were used to compare some experimental designs when is
approximate a surface response by a quadratic model of second order, with two and three
factors. With two factors, the D-optimum and A-optimum designs with 19 treatments,
Double Square, Double Square Ortogonal α=2.20, Double Square Ortogonal α= 1.848,
Composite Central Design α= 1.0, A-optimum with 13 treatments, Hexagon, Rotational
Composite Central Design α= 1.4142, D-optimum with 13 treatments, Double Square
Ortogonal α= 1.633 and Small Composite Central Design α 1.0 were better than the
factorial design 32. With three factors, the A-optimum design with 29 treatments, D-optimum
with 29 treatment, Double Cube Ortogonal α=2.82 and Double Cube, turned out to be
better than the factorial design 33 when fit the model.
Key words: response surface, experimental design, second order model.
1
I. INTRODUCCIÓN.
La metodología de superficies de respuesta (MSR) es una colección de técnicas
matemáticas y estadísticas utilizadas para desarrollar, mejorar y optimizar procesos.
(Myers, 1995).
La base de la metodología de superficies de respuesta (MSR) se deriva del modelo
lineal general; se supone que existe una variable respuesta, que depende de variables
independientes cuantitativas a través de una función matemática, que usualmente es muy
complicada o desconocida. La función frecuentemente se aproxima, en la región de
interés, por un polinomio de orden bajo habitualmente menor o igual a tres.
Las aplicaciones más amplias de la MSR se presenta en el mundo industrial,
particularmente en situaciones donde diversas variables de entrada influyen
potencialmente sobre algunas medidas de rendimiento o características de calidad de un
producto o proceso. Esta medida de rendimiento o característica de calidad es conocida
como la respuesta. Las variables de entrada son conocidas comúnmente como variables o
factores independientes, y son frecuentemente controladas por el investigador.
La MSR ha sido utilizado también con mucho éxito en la experimentación agrícola,
principalmente en la fertilización de suelos y en estudios de densidades de plantas de
algunos cultivos, optimización en el uso de agua, etc.
Junto con las herramientas de la metodología de superficies de respuesta (MSR) se
han desarrollado también diversos diseños experimentales con un mínimo de unidades
experimentales en los que se pueden utilizar varios factores y niveles al mismo tiempo.
Estos diseños son conocidos como diseños experimentales óptimos y tienen la propiedad
de ser más económicos para el investigador, además de estar estructurados de tal manera
que se puede llegar a la respuesta óptima del proceso, en algunos casos con mayor
eficiencia que los arreglos factoriales.
La mayoría de los diseños experimentales óptimos se han desarrollado en la
industria y en la investigación agrícola, y en ellas se ha incorporado la información o
conocimiento correspondiente al comportamiento de los procesos industriales y agrícolas,
respectivamente. Por esta razón resulta lógico suponer que la eficiencia de los diseños
desarrollados en la industria será distinto a la eficiencia de los diseños desarrollados en la
2
agricultura. Escobar (1967) objeta el uso de los diseños experimentales óptimos
generados en la industria, para realizar investigaciones agrícolas; argumentando el hecho
de que en la industria se trabaja con errores experimentales pequeños y que se puede
experimentar de manera secuencial en breves periodos de tiempo, en tanto que en la
agricultura esto no es posible.
Se han propuesto también diversos criterios que permiten comparar los distintos
diseños experimentales con el fin elegir alguno, de acuerdo a sus propiedades en el ajuste
de algún modelo aproximativo. En algunas investigaciones se han comparado los diseños
experimentales más utilizados en la industria y en la agricultura, utilizando criterios como:
la eficiencia en la estimación de los coeficientes de regresión propuesto por Myers (1971),
traza y determinante de la matriz ( ) 1−XX t propuesto por Fedorov ,(1972), error cuadrático
medio ponderado propuesto por Box & Draper (1959), entre otras. En estas
comparaciones, se consideran regularmente modelos polinómicos cuadráticos o
pseudocuadráticos de segundo orden, para estimar una superficie de respuesta.
Este trabajo tiene como fin el comparar algunos diseños experimentales generados
en la industria y en la agricultura, tomando como criterios de optimalidad los primeros
cinco criterios propuestos por Fedorov (1972) y utilizando un modelo cuadrático de
segundo orden.
3
II. OBJETIVOS.
- El objetivo principal de este trabajo es el comparar mediante 5 criterios de Fedorov,
algunos de los diseños experimentales para superficies de respuesta más utilizados
en la industria y en la agricultura, así como los generados mediante el
procedimiento OPTEX del paquete estadístico SAS ( Diseños A-óptimo y D-óptimo)
cuando se ajusta un modelo cuadrático de segundo orden.
4
III. REVISIÓN DE LITERATURA.
A continuación se presentan algunas definiciones importantes que se emplean en el
contexto de este trabajo, así como antecedentes de investigaciones similares realizadas
con anterioridad; pero antes, se especifica el modelo aproximativo que se utilizará, para
comparar algunos de los diseños experimentales más utilizados en superficies de
respuesta.
El modelo que se utiliza es un modelo de segundo orden de la forma:
εββββ +∑<∑+∑
=+∑
=+=
k
l
klxjxjl
k
jjxjj
k
jjxjy
j 12
10 (3.1)
Donde:
jβ : Es el parámetro que mide la variación que se presenta en la respuesta “y”
,al variar el nivel del factor j, manteniendo fijo el resto de los niveles de los otros
factores.
jjβ : No tiene una interpretación práctica, sin embargo es un parámetro que sirve
para estimar la curvatura de la superficie de respuesta.
jlβ : Es el parámetro que mide la variación que se presenta en la respuesta “y”
,al presentarse la interacción de los factores j y l, manteniendo fijo el resto de los
niveles de los otros factores.
jx : es el valor codificado correspondiente al factor j.
iε : es el término de error que se presenta al aproximar la superficie de respuesta
mediante nuestro modelo.
La expresión (3.1) la podemos representar en forma matricial de la siguiente forma:
5
εβ += XY (3.2)
Donde:
X: es la matriz diseño que contiene a cada una de las columnas de los términos
independientes del modelo, esto es: [ ] ,...,,...,,,...,,1 2122
11 klkk xxxxxxxxX = .
β : Vector de parámetros del modelo.
ε : Vector de errores.
Adicionalmente, el modelo debe cumplir los siguientes supuestos: E(εi)=0 , E(εi2)=
σ2 y E(εiεj)=0 para i ≠ j.
3.1 Definición de algunos conceptos.
Diseño ortogonal:
Meyers & Montgomery (1995) mencionan que un diseño ortogonal de primer
orden es un diseño en la cual la matriz )( XX t es una matriz diagonal. Donde X es la
matriz diseño.
La definición anterior implica que las columnas de la matriz X son mutuamente
ortogonales. En otras palabras, si escribimos [ ] ,..., x, x, 1 21 kxX = donde jx es la j-
ésima columna de X, entonces 0=jti xx para toda i≠j, y por su puesto, 01 =j
t x para
j=1,2,....k; donde k es el número de factores.
Los mismos autores mencionan que en un estudio de superficies de respuesta, la
varianza de los estimadores de los parámetros que conforman el modelo, son minimizados
si el diseño es ortogonal y los niveles de los factores son ±1.
Momentos del diseño:
Muchas propiedades de los diseños experimentales son cuantificados mediante la
elección de valores de los momentos del diseño.
6
Este concepto es muy parecido al concepto de momentos de distribución en la
teoría probabilística. (Meyers & Montgomery (1995) ).
Dado la matriz diseño:
=
knn
k
xx
xxx
D
...... x . . . . . . . . .
...... x x.... x
2n1
22212
k12111
Se dice que los momentos de diseño relevantes son:
[ ] ∑=
=N
uiux
Ni
1
1 , [ ] ∑
==
N
uiux
Nii
1
21 , [ ] ∑
==
N
ujuiu xx
Nij
1
1 , [ ] ∑
==
N
uiux
Niii
1
31 , etc.
Los momentos caracterizan la forma en la cual los puntos diseño son distribuidos en
un espacio diseño k-dimensional. En un sentido, los momentos del diseño ayudan en la
caracterización de la geometría del diseño, lo cual es muy importante. Los momentos del
diseño vienen de la matriz ( )XXN t1− , la cual se conoce como matriz de momentos del
diseño.
Las propiedades importantes de la varianza de un diseño experimental son
determinadas por la naturaleza de la matriz de momentos. Esto debería ser evidente ya
que la matriz ( ) 1−XX t es muy importante en la caracterización de las propiedades de la
varianza.
Propiedad de Rotabilidad:
Wu (2000) menciona que Box y Hunter (1957) definen un diseño rotable como un
diseño en el que la varianza del valor predicho, 2(x)/yVar σN , tiene el mismo valor para
cualesquiera dos ubicaciones que están en la misma distancia del centro del diseño. En
otras palabras, 2(x)/yVar σN es constante sobre el círculo de acción.
7
El propósito de la idea de Box y Hunter sobre diseños rotables fue imponer una
estabilidad en 2(x)/yVar σN .
Región de operatividad y Espacio de exploración:
La región de operatividad , en la teoría de superficies de respuesta, es la región
sobre la cual los experimentos pueden ser conducidos si se desea; en tanto que el espacio
de exploración es una región mayormente limitada que se encuentra dentro de la región
de operatividad y en la cual la respuesta óptima se halla cercanamente.
Tipos de errores en la estimación de superficies de respuesta:
Box y Draper (1987) mencionan que al utilizarse modelos aproximativos para
estimar una superficie de respuesta en una región de interés dada, se tienen dos tipos de
errores que deben tomarse en cuenta; por un lado se encuentra el sesgo o error
sistemático, que es la diferencia entre el valor esperado de la respuesta, )()( yyE η= y la
función aproximada )(ξf , y por el otro el error aleatorio ε.
Los mismos autores muestran que cuando se utiliza un diseño simétrico de tres
niveles y se calcula el error cuadrático medio de la estimación xy) estandarizada por el
número de puntos experimentales N y la varianza del error 2σ ; los componentes del error
cuadrático medio varían de manera opuesta cuando se amplía el espacio de exploración,
es decir, el componente de varianza disminuye y el sesgo se incrementa.
3.2 . Criterios para generar diseños A-óptimos ó D-óptimos.
Los diseños D-óptimos son diseños que maximizan el determinante de la matriz de
información ( )XX t , y se obtienen mediante el criterio de optimalidad D definido por Myers
(1995). En la sección 3.6 del presente trabajo se hace una mayor referencia sobre dicho
criterio.
8
Por otro lado, los diseños A-óptimos son diseños que minimizan la traza de la matriz
de varianzas y covarianzas ( ) 1−XX t , donde X es la matriz diseño de la superficie de
respuesta ajustada. Se obtienen a partir del criterio de optimalidad A definida por Myers
(1995). La definición de este criterio de optimalidad se encuentra en la sección 3.6 del
presente trabajo.
Warren (1997) describe brevemente los métodos para generar diseños A-óptimos
y D-óptimos mediante el procedimiento OPTEX del paquete estadístico SAS.
Estos métodos son:
Algoritmo Secuencial: Propuesto por Dykstra’s (1971), este algoritmo agrega puntos
sucesivamente de manera que el criterio escogido es maximizado en cada paso; este
algoritmo no requiere de un diseño inicial ; en el procedimiento OPTEX, se propone el
diseño obtenido con este algoritmo como diseño inicial de otros algoritmos, para obtener
diseños óptimos.
Algoritmo de cambio: Fue propuesto por Mitchell & Miller (1970), este algoritmo
trata de mejorar un diseño inicial, agregando un punto candidato y eliminando uno de los
puntos del diseño, parando cuando el diseño ya no mejora bajo el criterio seleccionado.
Algoritmo DETMAX: Conocido como el algoritmo de Mitchell (1974), este algoritmo
es una generalización del algoritmo de cambio; en lugar de agregar o eliminar un punto en
cada búsqueda, agrega o quita k puntos experimentales. Cada búsqueda es aleatoria. Una
de las características importantes de este algoritmo es que permite mantener un conjunto
de puntos experimentales en el diseño, esta opción es útil cuando al inicio se tiene
establecido un conjunto de puntos experimentales, y se desea determinar un conjunto de
puntos adicionales, que combinados con los ya definidos, generan un diseño óptimo bajo
el criterio seleccionado.
Algoritmo de Fedorov: Es un método que difiere de los anteriores debido a que este
procedimiento está basado en cambios simultáneos, esto es, agrega y quita un punto al
9
mismo tiempo. Fue propuesto por Fedorov (1972). Debido a que cada paso involucra la
búsqueda de todos los posibles pares de puntos candidatos y de puntos del diseño inicial,
es más lento que los procedimientos anteriores.
Algoritmo de M-Fedorov: Este procedimiento es una modificación del algoritmo de
Fedorov, propuesta por Cook y Nachtsheim (1980); el método desarrolla un número de
cambios igual al número de puntos del diseño inicial para el mismo número de
comparaciones; cambia cada punto en el diseño inicial con los puntos candidatos que
maximizan el criterio seleccionado. Este algoritmo es más rápido que el de Fedorov.
3.3 Constantes de dispersión para la comparación de diseños con diferente número de
puntos experimentales e igual número de variables.
Diversos autores de trabajos anteriores [Viesca (1986), Escobar (1967), Castillo
(1993), entre otros] con orientación similar a éste, destacan la necesidad de tratar a los
diseños en algún sentido, de tal forma que se pueda realizar una comparación entre ellos,
si tienen un mismo número de factores y diferente número de puntos experimentales.
Escobar (1967) menciona que debido a que las variables, y los niveles a utilizar, varían de
experimento a experimento, es conveniente que las matrices diseño estén dadas en forma
estándar y cita inclusive algunos tipos de codificación, destacándose la utilizada por Box
en la década de los 50´s y retomada por Myers (1971) en la que éste último autor
recomienda que los diseños deben ser estandarizados de tal forma que la dispersión de
los puntos experimentales sea la misma para los diseños que se comparan, para esto
deben cumplirse las siguientes dos condiciones:
1) 01
=∑=
N
iijX ; j= 1, 2, ..., k. (3.3)
2) NXN
iij =∑
=1
2 ; j= 1, 2, ..., k. (3.4)
10
Para que estas condiciones se cumplan, en los diseños experimentales que se
examinan, los términos xij de la matriz diseño deben multiplicarse por 2/1
1
2/
∑=
N
iijxN , en
tanto que los términos cuadráticos puros y mixtos , los 2ijx y ilij xx , deben multiplicarse
por
∑=
N
iijxN
1
2/ .
En éstas formulas, N es el número de puntos experimentales en el diseño; j, l =1 , 2, ... k
En este trabajo se hará uso de esta codificación ya que los criterios que se utilizarán
(criterios de Fedorov) para la comparación de los diseños, se basan en la matriz de
dispersiones de los parámetros, la cual está determinada en gran medida por ( ) 1−XX t
donde X es la matriz diseño.
3.4 Modelos más utilizados para aproximar Superficies de Respuesta.
En general, se supone que la respuesta “y” ( que puede ser alguna característica de
un producto, sistema o proceso) depende de un conjunto de variables independientes
k21 ., . . ,, ξξξ , que al ser codificadas a las variables k2 ,1 x., . . ,xx , explican a la respuesta
mediante la función:
( ) ε+= kxxfy ... , x, 21 (3.5)
En la expresión (3.5) la verdadera forma de la función f es desconocida, y
usualmente es aproximada mediante un polinomio de bajo orden, en alguna región
relativamente pequeña en el espacio de las variables independientes, ε es un término de
error que representa otra fuente de variabilidad no considerada en f .
11
Los modelo de segundo orden de la forma:
εββββ +∑<∑+∑
=+∑
=+=
k
l
klxjxjl
k
jjxjj
k
jjxjy
j 12
10 (3.6)
son ampliamente utilizados para describir datos experimentales en la cual un sistema de
curvatura se presenta de manera inmediata. Esto no significa que todos los sistemas que
contienen curvatura son bien acomodados por este modelo. En ocasiones, se hace
necesario el uso de un modelo no lineal; en otros casos, se pueden requerir el uso de
términos cúbicos para lograr un buen ajuste y en algunos otros, la curvatura puede ser
fácilmente tratado mediante una transformación logarítmica.
En la agricultura, debido a la variabilidad de la respuesta que se manifiesta en los
proceso biológicos, han sido utilizados varios tipos de funciones para describir en forma
cuantitativa, la relación funcional existente entre uno o más factores de la producción y los
rendimientos. Se han utilizado, la función exponencial, la función Cobb-Douglas, y las
funciones polinomiales de segundo orden, con exponentes de segundo grado y con
exponentes fraccionarios (raíz cuadrada).
Johnson (1953) citado por Berardo (1972) utilizó los modelos: exponecial, Cobb-
Douglas y polinomial de segundo grado para ajustar los rendimientos de maíz bajo
diferentes niveles de nitrógeno y encontró que el modelo de segundo grado tenía un mejor
ajuste.
Berardo (1972) menciona también que algunos otros autores como Doll et al.
(1958), Valdés (1957), Brown et al. (1956) encontraron que tanto la función raíz cuadrada
como la cuadrática eran igualmente adecuados para el ajuste de los resultados
experimentales obtenidos en experimentos con fertilizantes, en diferentes cultivos.
La bibliografía indica que las funciones mas utilizadas en la industria y en la
agricultura para aproximar superficies de respuesta con algún sistema de curvatura, son
las polinomiales, y entre estas el polinomio de segundo grado, debido a su fácil manejo.
Myers (1995) hace referencia a lo anterior y menciona que en ocasiones será necesario un
modelo no lineal para aproximar una superficies de respuesta con sistema de curvatura.
12
3.5 Diseños experimentales más comunes para superficies de respuesta de segundo
orden.
A continuación se presentan la descripción de algunos diseños experimentales para
superficies de respuesta que se compararán en este trabajo:
3.5.1 Diseños más utilizados en la industria.
Diseños compuestos centrales.
La clase de diseños compuestos centrales (DCCs) son los diseños más populares en la
clase de diseños de segundo orden. Fueron introducidas por Box & Wilson (1951). Éstos
diseños involucran el uso de un factorial de 2 niveles o fracción (Resolución V) combinado
con los siguientes 2k puntos estrellas o axiales:
0 0 - 0 0
. .... . .
. .... . . 0 .... 0 0 .... - 0 0 . ... 0 0 ... . 0
x... . x k21
αα
αα
αα−x
El diseño involucra F puntos factoriales, 2 k puntos axiales y nc corridas centrales. La
secuencia natural del diseño no es muy complicado. Los puntos factoriales representan un
diseño de varianza óptima para un modelo de primer orden o un modelo de primer orden
más un tipo de interacción de 2 factores. Las corridas centrales proveen información sobre
la existencia de una curvatura en el sistema. Si la curvatura se encuentra en el sistema, la
13
adición de puntos axiales permite la estimación eficiente de los términos cuadráticos
puros.
Un punto importante en el uso de los diseños compuestos centrales residen en la
selección de α, la distancia axial y nc , el número de corridas centrales. La elección de
estos dos parámetros puede ser muy importante. La elección de α depende en gran
medida de la región de operabilidad y de interés. La elección de nc frecuentemente tiene
un impacto sobre la distribución de 2(x)/yVar σN en la región de interés.
Los valores de las distancias axiales generalmente varían de 1.0 a k , con el primero
todos los puntos axiales toman lugar sobre la cara de un cubo o hipercubo, con el último,
todos los puntos tomarán lugar en una esfera común y con 4 F=α , se obtiene un diseño
con la propiedad rotacional. Respecto al número de corridas centrales, Wu (2000)
menciona que si α= k se deben considerar de 3 a 5 corridas centrales para estabilizar la
varianza predicha. En tanto que para α=1.0, 2 o 3 corridas centrales serán suficientes
para estabilizar la varianza predicha. La figura 1 muestra un ejemplo de este tipo de
diseño.
Diseño Compuesto Central alpha=1.0
-1
0
1
-1 0 1
Figura 1: Dispersión de los puntos experimentales del Diseño Compuesto Central α=1.0 con tres corridas
centrales, en el intervalo de exploración (-1, 1).
Diseño Box- Behnken.
De acuerdo a Meyers (1995), Box & Behnken (1960) desarrollaron una familia
eficiente de diseños de 3 niveles para ajustar superficies de respuesta de segundo orden.
La metodología para la construcción del diseño es interesante y bastante creativa. Se basa
14
en la construcción de un diseño de bloques incompleto balanceado. Por ejemplo, un
diseño de bloques incompleto balanceado con tres tratamientos y 3 bloques es dado por
TRATAMIENTOS
1 2 3
X X
X X
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 3 X X
El par conjunto de tratamientos 1 y 2 simbólicamente implican, en el contexto de
superficies de respuesta, que las variables diseño x1 y x2 son apareados conjuntamente en
un factorial 22 (escalando ± 1) mientras x3 permanece fija en el centro ( x3= 0). La misma
adaptación para los bloques 2 y 3 , con un factorial 22 son representados por cada par de
tratamientos mientras que el tercer factor permanece constante en 0. El último renglón de
la matriz diseño implica un vector de corridas centrales.
La naturaleza esférica de los DBB, combinado con el hecho de que los diseños son
rotables o cercanamente rotables, sugiere que deberían usarse bastantes puntos
centrales. El uso de 3-5 puntos centrales son recomendables para los DBB.
Diseño Compuesto Central pequeño.
El diseño compuesto central pequeño está formado de una fracción resolutiva especial
(ver Myers & Montgomery , 1995) conocido frecuentemente como resolución III. Esta
resolución, reduce el número total de corridas de un DCC , por ello el nombre de diseño
compuesto central pequeño. Consta de una porción factorial que es la fracción generada
haciendo ABC= -I, para el caso de un diseño con tres factores, de puntos axiales, como en
los DCCs, y un punto central.
Para el diseño con dos factores, la porción factorial es dada por AB= I por lo que el
diseño consta de 7 puntos experimentales, proporcionando así un grado de libertad para la
falta de ajuste.
15
Diseño Koshal.
Otra clase de diseños que requieren de un número pequeño de corridas es la familia de
los diseños Koshal. Koshal (1933) introdujo este tipo de diseños en un esfuerzo por
resolver un conjunto de ecuaciones probabilísticas. Este tipo de diseños resultan ser
diseños saturados en la modelación de algunas superficies de respuesta de orden 1, 2,
...., etc.
Diseños Híbrido.
Roquemore (1976) desarrolló un conjunto de diseños de segundo orden saturados o
cercanamente saturados, conocidos como diseños híbridos. Estos diseños son muy
eficientes y fueron creados con la idea imaginativa de que involucran el uso un diseño
compuesto central para k-1 variables y los niveles de la k-ésima variable son dados de tal
manera que se crea cierta simetría en el diseño. El resultado es un diseño que resulta
económico y/o rotable o cercanamente rotable para k= 3, 4, 6 y7. Roquemore desarrolló
tres matrices diseño para k= 3, los cuales serán comparados en este trabajo.
Diseños equiradiales.
Existen algunos diseños de dos factores especiales e interesantes que son una
alternativa a los diseños compuestos centrales. Éstos diseños son los de la clase
equiradial que inicia con el pentágono que tiene 5 puntos igualmente espaciados sobre un
círculo; este tipo de diseños requiere de corridas centrales ya que son diseños que se
encuentran en una esfera común además de ser rotables. La matriz diseño para los
diseños equiradiales se obtienen a partir de:
[ ] [ ] x
1121
/2sen ,/2cosx
nunu πθρπθρ ++ , u= 0,1,2,....,n1-1 (3.7)
donde ρ es el radio del diseño, n1 es el número de puntos sobre la esfera (pentágono,
hexágono, etc.). Además de los n1 puntos generados a partir de (3.7), se adicionan nc
corridas centrales al diseño. La elección de ρ determina la naturaleza de la escala. (Myers
1995)
16
3.5.2 Diseños desarrollados en la agricultura.
Diseños Plan Puebla.
De acuerdo a Turrent (1980) las matrices diseño Plan Puebla se desarrollaron como
una respuesta a la problemática que se presentaba en el procesamiento e interpretación
de los resultados experimentales durante los años 1967 - 1970, debido a que los métodos
de análisis existentes resultaban ineficientes y tediosos.
Hay tres variaciones de la matriz Plan Puebla, las cuales difieren entres si por la
manera de seleccionar los niveles de que constan, una vez que se ha definido el espacio
de exploración.
Plan Puebla I.
Consta de k factores a 4 niveles (-1, -0.333, 0.333, 1) y tantas como 2k+2k
combinaciones de tratamientos generadas de la forma siguiente:
• Un factorial 2k con niveles –0.333 y 0.333, de cada factor.
• 2k prolongaciones del tipo:
(-1, -1/3, -1/3,..., -1/3), (1, 1/3, 1/3,..., 1/3)
(-1/3, -1, -1/3,..., -1/3), (1/3, 1, 1/3,..., 1/3)
.
.
.
(-1/3, -1/3, ....,-1/3, -1) , (1/3, 1/3, ..., 1/3, 1)
Plan puebla II y III.
El Plan Puebla II toma en cuanta los niveles –0.9, -0.3, 0, 0.3, 0.9; en tanto que el Plan
Puebla III establece los niveles –0.9, -0.4, 0, 0.4, 0.9 para cada factor. Los diseños se
construyen en base a 2k+2k+1 combinaciones de tratamientos configuradas de la
siguiente manera:
• Un factorial 2k con niveles –a, +a de cada factor.
17
• El punto central (0,0,...,0)
• 2k prolongaciones:
(-0.9, -a, -a, ...., -a), (0.9, a, a, ..., a)
(-a, -0.9, -a, ..., -a), (a, 0.9, a, ..., a)
.
.
.
(-a, -a, ..., a, -0.9), (a, a,..., a, 0.9)
Donde: a= 0.3 para el Plan Puebla II
a= 0.4 para el Plan Puebla III.
Los niveles 2° y 3° de la matriz Plan Puebla I y 2° y 4° de las matrices Plan Puebla
II y III se usan para integrar el factorial completo k2 , en tanto que los niveles 1° y 4° de la
matriz Plan Puebla I y 1° y 5° de las matrices Plan Puebla II y III se usan para formar
prolongaciones de algunas de las aristas del factorial k2 . El tercer nivel de las matrices
Plan Puebla II y III se usan para definir solamente el tratamiento central del espacio de
exploración. La figura 2 muestra un ejemplo de una matriz Plan Puebla I con 2 factores.
Diseño Plan Puebla I
-1
0
1
-1 0 1
Figura 2: Dispersión de los puntos experimentales del diseño Plan Puebla I en el intervalo de
exploración (-1, 1)
18
Diseños factoriales 3k.
Los diseños de este tipo son diseños ortogonales que están constituidos para el ensayo de
p factores, cada uno a los niveles –1, 0 y 1.
Diseño San Cristóbal.
Sugerido por Rojas (1962), consta de los siguientes tratamientos:
• Las combinaciones de tratamientos que surgen de un factorial 2kcon niveles de los
factores 0 y 2.
• El punto central (1, 1, ..., 1).
• Los puntos axiales (3, 1, 1,...,1), (1,3,.....1), ...,(1,1,....,3).
San Cristóbal Ortogonalizado.
Tiene la ventaja, sobre el anterior, de ser ortogonal por grupos de dos grados de
libertad, una repetición básica de este diseño consta de los siguientes tratamientos
para un número p de factores:
• Un número a de repeticiones del factorial 2k, cada factor con niveles –1 y 1. Los
valores que puede tomar a son: ½, ¼,...., o un entero 1,2,3,...
• Un número c (c= 1,2,3,...) de cada uno de los siguientes p tratamientos: (-α,
0,...,0), (0, -α, 0,...,0),..., (0,0,..., -α,).
• Una repetición de cada uno de los p tratamientos: (cα, 0,...,0), (0, cα, 0,...,0),...,
(0,0,..., cα,).
• Un número m ( m=0,1,2,...) de repeticiones del punto central (0,0,...,0).
Este diseño tiene las características de que el número de tratamientos diferentes
que cubre es de 2k+2k+1 y el número de unidades experimentales por repetición de diseño
básico es n0= a 2k+ k(c+1)+m. Si se ajusta un modelo de segundo orden, para tener
ortogonalidad en el diseño, excepto dentro de pares iiy ββ))
i , se debe cumplir que:
19
)1(22 02
+
−=
ccaan kk
α )1(20 ++≥ ckan k y 10 ≤<α .
Hipercubos Múltiples.
Se llaman así debido a que constan de varios hipercubos concéntricos. Son
extensiones de los diseños compuestos centrales. Cuando se analizan 2 factores, son
conocidos como cuadrados múltiples y cuando se analizan 3 factores, son llamados cubos
múltiples. De manera general, estos diseños se generan para p factores de la siguiente
manera:
• Las combinaciones de tratamientos de uno o más factoriales concéntricos 2p, con
niveles de cada factor ±1, ±2, ±3, ....
• Los puntos axiales ( ± α, 0,......0), (0, ± α, 0, ..., 0),..., (0,0,..., ±α).
• El punto central ( 0, 0,...,0) repetido tantas veces como sea conveniente. El
cuadrado doble, por ejemplo, se forma de los siguientes tratamientos: (-2,-2), (0, -2),
(2,-2), (-1,-1), (1,-1), (-2, 0), (0,0), (2,0), (-1,1), (1,1), (-2, 2), (0,2), (2,2). Si el
cuadrado doble se extiende a 3 factores, se integra el cubo doble.
Hipercubos Múltiples Ortogonales.
A partir de los hipercubos múltiples se pueden generar los hipercubos múltiples
ortogonales modificando algunos niveles de los factores. Por ejemplo, con 38=α , se
tiene el cuadrado doble ortogonal con las siguientes combinaciones de tratamientos: (-2, -
2), (2, -2), (-2,2), (2, 2), (-α,-α), (α,-α), (-α, α), ( α, α), (0,0), (-2,0), (2,0), (0,-2) , (0,2). Con
α= 2.2059 se genera otro Cuadrado Doble Ortogonal. Con tres factores y un α=2.8221,
se obtiene el Cubo Doble Ortogonal.
Las matrices diseño de cada uno de los diseños experimentales, tanto para dos
como para tres factores en el intervalo (-1,1) la podemos observar en el apéndice E del
trabajo.
20
3.6 Algunos criterios de comparación de diseños experimentales óptimos.
Ante el surgimiento de diversos diseños óptimos en los 60´s tanto en la agricultura,
como en la industria, se tuvo también la necesidad de contar con ciertos criterios o
parámetros que permitieran hacer una comparación de dichos diseños para elegir alguno
de ellos.
Se han propuesto varios criterios de comparación. Box & Draper (1959)
propusieron el criterio error cuadrático medio ponderado (J), este criterio se caracteriza por
tomar en cuanta la varianza de la respuesta, el sesgo producido por una mala elección del
modelo, la zona de exploración, el tamaño del diseño y la varianza del error experimental.
La expresión a determinar del diseño es:
xdxxYENJR
22
)()( ησ
−Ω
= ∫) con ∫=Ω−
R
xd1
Donde:
N= número de puntos experimentales en el diseño .
R= Región de exploración.
2σ = Varianza del error experimental.
)(xY)
= Respuesta estimada en el punto x .
)(xη = respuesta verdadera en el punto x .
( )k21 x..., , x,xx = .
Dicho criterio permite evaluar un diseño con base al promedio del error cuadrático
medio sobre una región R de interés. Esto da una medida para comparar diseños entre sí.
Sin embargo, notemos que la magnitud del sesgo, dependerá del modelo verdadero )(xη ,
el cual regularmente es siempre desconocido. Box & Draper (1959) asumen como modelo
verdadero, a un polinomio de orden mayor, al modelo ajustado. Esto es; si “p” es el orden
del polinomio para el modelo verdadero y “q” el orden del polinomio para el modelo
ajustado, entonces p>q, y en base a esto se calcula el sesgo.
21
Berardo (1972) utiliza el criterio del sesgo S definido como: ∑=
−=N
iii xYxS
1)()(
)η
para comparar 40 diseños experimentales que generó a partir del factorial 132.
En la expresión anterior:
)( ixη = respuesta verdadera en el punto experimental i-ésimo.
)( ixY)
= respuesta estimada en el punto experimental i-ésimo.
N = Número de puntos experimentales.
Hernández (1972) basó la comparación de algunos diseños en el criterio del sesgo
definido como: ∑=
−=441
1)()(
iii xYxAS
)η en dicha definición ; )( ixη y )( ixY
) corresponden a
las respuestas verdadera y estimada, respectivamente en uno de 441 puntos sobre una
cuadrícula generada sobre la región de exploración. A es el área basal de la cuadrícula.
Castillo (1993) basó la comparación de diversos diseños basándose en la varianza
de la respuesta estimada en una región rectangular normalizada por 2σ la cual se define
como:
∫Ω
=R
xdyV )var(2)
σ
donde : ∫=Ω−
R
xd1 y =x vector de variables.
Como características de este criterio se tiene que considera tanto a las varianzas
como a las covarianzas que pudieran existir entre los coeficientes a demás de que dicho
criterio es independiente de la codificación cuando ésta solo implica un cambio de escala.
Myers (1971) propone el criterio de eficiencia. Este criterio se basa en la precisión
con la que se estima algún coeficiente en particular del modelo ajustado, así como el
número de puntos experimentales implicados en el diseño. A manera de ilustración, si se
22
quisieran comparar los diseños ξ1 y ξ2 en cuanto a la estimación de algún coeficiente en
particular del modelo tendríamos:
2
1
2
1 diseño el para )var(
diseño el para )var(NN
bb
Eficienciai
iξξ
= , donde N1 y N2 son los números de
puntos experimentales para los diseños 1 y 2, respectivamente; bi es la estimación de
algún parámetro en particular del modelo ajustado. i= 1, 2,...., k.
Este mismo autor propone posteriormente ( Myers 1995 ) algunas nociones prácticas de la
optimalidad de los diseños que dirigirán naturalmente los criterios para la comparación y
evaluación de los diseños. Dos de estos criterios son optimalidad D y optimalidad A.
La optimalidad D se basa en la noción de que el diseño experimental debería ser
seleccionado para alcanzar ciertas propiedades en la matriz de momentos N
XtXM = .
La matriz inversa de M (la matriz de dispersión escalada), contiene varianzas y
covarianzas de los coeficientes de regresión , escalados por 2σN . Como un resultado, el
control de la matriz de momentos por el diseño implica control de las varianzas y
covarianzas.
De esto resulta que una importante medida de el matriz de momentos es el determinante;
esto es: pN
XtXM = donde p es el número de parámetros en el modelo. Bajo el supuesto de
que los errores del modelo se distribuyen normalmente independientes con varianza
constante, el determinante de XtX es inversamente proporcional al cuadrado del volumen
de la región confidencial de los coeficientes de regresión. El volumen de la región
confidencial es relevante porque refleja que tan bien es estimado el conjunto de
coeficientes. Un valor pequeño de XtX y de aquí un valor grande de ( ) XtXXtX 11=
−
implica una pobre estimación de los parámetros en el modelo.
23
Un diseño D- Óptimo es aquel dondepN
XtXM = es maximizado; esto es, ( )ξ
ξMMax donde
la maximización implica que el máximo se toma sobre todos los diseños. Como un
resultado, resulta natural definir la eficiencia D de un diseño ∗ξ como:
( ) ( )p
MMaxMeffD1
∗= ξξ
ξ
Aquí, el p1 considera el poder para los p parámetros estimados a ser avaluados cuando
uno calcula el determinante de la matriz de varianzas y covarianzas. La definición de D-
eficiencia permite la comparación de diseños que tienen diferentes tamaños de muestra.
El concepto de optimalidad A trata con las varianzas individuales de los coeficientes
de regresión. La optimalidad A se define como: ( ) 1)( −ξξ
MtrMin donde tr representa la
traza, esto es, la suma de las varianzas de los coeficientes.
Fedorov (1972) propone también algunos criterios de optimalidad de los diseños y
establece que es natural considerar el experimento ξ1 como preferible al experimento ξ2
(ξ1 > ξ2) si los valores de los estimadores ( )1ˆ ξθ están más cercanos al valor verdadero
0θ , que el valor de los estimadores ( )2ˆ ξθ . Así mismo, plantea la elección del mejor
estimador lineal θ)
entre los restantes estimadores θ~ basado en una comparación de las
matrices de dispersión de los parámetros estimados ( ) ( ) ~Dy θθ)
D o algunas
combinaciones de sus elementos.
Así, los primeros 5 criterios de comparación de experimentos, propuestos por Fedorov
(1972) son:
1) Un diseños experimental ξ1 es mejor que un diseño experimento ξ2 si la diferencia
( ) ( )12 ξξ DD − es una matriz positiva definida.
24
Para aplicar este criterio, recordemos que una condición necesaria y suficiente para
que una matriz sea positiva definida, es que todos sus valores característicos sean
positivos.
Por otro lado, los valores característicos de una matriz A de dimensiones k x k, se
obtienen a partir de la expresión: 0=− IA λ conocida como ecuación característica. En
dicha expresión, I es la matriz identidad de dimensiones k x k y [ ]k21 , . . . , , λλλλ = .
Así, la diferencia entre las matrices de varianzas y covarianzas, ( ) ( )12 ξξ DD − , de los
diseños ξ1 y ξ2, debe tener todos sus valores característicos positivos para que la matriz
diseño ξ1 sea preferible a la matriz diseño ξ2. Notemos que este criterio considera la
diferencia de las matrices de manera global, es decir, considera tanto las diferencias de las
varianzas, así como de las covarianzas, y tomando en cuenta que las covarianzas pueden
resultar negativas o de gran tamaño, esto puede influir en la magnitud y signo de los
valores característicos. Por esta razón, y debido también a que en la evaluación de un
modelo sólo se consideran las varianzas de los estimadores, puede resultar razonable
aplicar dicho criterio usando solamente a las varianzas de los estimadores.
2) Un diseños experimental ξ1 es mejor que un diseño experimento ξ2 si
( ) ( ) 21 ξξ DD < .
Este criterio, es conocido como el criterio de el determinante y también toma en cuenta
a las covarianzas de los estimadores, por lo tanto, debe considerarse lo comentado en el
criterio anterior ya que al realizar una descomposición espectral de la matriz de varianzas
y covarianzas se puede ver que: ( ) ∏=
=k
1i1 iD λξ donde: λi para i= 1,2, ..., k, son los
valores característicos de la matriz de varianzas y covarianzas, conocidos también como
componentes de varianza en el análisis de componentes principales.
3) Un diseños experimental ξ1 es mejor que un diseño experimento ξ2 si
( ) ( )21 D D ξξ TrTr < .
25
El criterio numero 3), conocido como el criterio de la traza parece ser un criterio
bastante razonable pues considera únicamente a las varianzas de los estimadores de los
parámetros del modelo empleado, este criterio puede también considerarse como el
criterio de la varianza total.
4) Un diseños experimental ξ1 es mejor que un diseño experimento ξ2 si
( ) ( )21 maxmax ξξ ααα
ααα
DD < .
Este criterio establece que si al estimar los parámetros del modelo, usando la matriz
de datos del diseño ξ1, la máxima varianza de los estimadores, es menor, que el valor
máximo de las varianzas de los estimadores generados con la matriz de datos del
diseño ξ2 ; entonces el diseño ξ1 es mejor que el diseño ξ2. Debe esperarse que las
conclusiones a las que se lleguen con este criterio sean muy parecidos a los que se
lleguen con el criterio anterior (criterio de la traza) debido a que las componentes de
varianza que se comparan con el criterio en cuestión (criterio 4), influyen de manera
directa en la magnitud de la traza.
5) Un diseños experimental ξ1 es mejor que un diseño experimento ξ2 si
( ) ( )21 , , ξϕξϕ DD − es definida positiva, donde θϕ L= y ( ) ( ) tLDLD , ξεϕ = .
El criterio de comparación (5) es una generalización del criterio (1) y es utilizado
cuando solo una parte de la colección de parámetros son de particular interés para el
experimentador.
El mismo autor comenta que el orden de preferencia de los diseños dependerá del
número de criterios que tengan a favor, es decir, si de los 5 criterios, por lo menos 3
indican la preferencia del diseño ξ1 sobre el diseño ξ2, se considerará este hecho como
verdadero.
En este trabajo se emplearán estos 5 criterios para realizar una comparación de
algunos diseños óptimos generados en la industria y en la agricultura.
26
3.7 Resultados de algunas investigaciones con orientación similar al presente trabajo.
Existe en la literatura estadística algunos trabajos en los que se han realizado
comparaciones de diversos diseños óptimos. En dichas comparaciones, se han considerado
diferentes criterios y diferentes modelos.
Escobar (1967), considera un modelo pseudocuadrático (modelo de segundo orden
con exponentes fraccionarios) y emplea el criterio del error cuadrático medio ponderado
para comparar siete diseños frecuentemente utilizados en la industria y en la agricultura (
Compuesto de Box, Compuesto rotacional, factorial 5x5, diamante doble, cuadrado doble,
cuadrado triple y factorial 3x3). Entre las conclusiones reportadas por Escobar, destaca el
hecho de que se encuentra una relación inversa entre los componentes del error cuadrado
medio, es decir, los diseños que minimizan la parte de la varianza del criterio, tienen un
sesgo grande. Encuentra que los diseños Compuesto de Box y Compuesto Rotacional
minimizan el componente de sesgo, en tanto que el Cuadrado y Diamante doble son
eficientes en el componente de varianza. Indica también que de acuerdo a Cady y Laird
(1966), bajo este criterio, es razonable elegir el diseño que minimice el sesgo ya que se
puede controlar el problema de la varianza mediante repeticiones.
Berardo(1972) utiliza el criterio del sesgo definido como ∑=
−=N
iii xYxS
1)()(
)η para
comparar 41 matrices generadas a partir de un diseño factorial 132. Para llevar a cabo su
investigación, Berardo consideró distintos modelos con exponentes en los factores que
variaba de 0.5 a 2. Entres sus conclusiones destaca que la selección del modelo influyó mas
sobre la magnitud y distribución del sesgo que la matriz experimental.
Hernández et al (1978) utilizan el criterio del sesgo ∑=
−=441
1)()(
iii xYxAS
)η para
comparar 11 matrices (Compuesto central de Box, CC de Box modificado por Myers , CC de
Box modificado por Berardo et al, Plan Puebla II y III, Cuadrado doble, CD modificado por
Escobar, Box- Berardo et al. –Aumentada (1, 2 y 3), Diseño San Cristóbal). Su comparación
la basó en 7 ecuaciones simulativas y 4 ecuaciones aproximativas de cada ecuación
simulativa. Cada uno de los dos lados del espacio bivariado de exploración, la dividió en 20
27
secciones igualmente espaciadas, que generaron una cuadrícula de 441 intersecciones de
todo el espacio de exploración. Para cada una de estas intersecciones se obtuvo la
diferencia entre el rendimiento exacto: según la ecuación simulativa en cuestión, y el
rendimiento estimado por una ecuación aproximativa dada. Estas diferencias se multiplicaron
por el área correspondiente a un elemento de la cuadrícula. La suma de estas 441
cantidades estimaba el sesgo de la i-ésima matriz y el j-ésimo modelo aproximativo, para la
k-esima ecuación simulativa.
Entre las conclusiones generales que se reportan se tiene que las matrices Box-
Myers, Box- Berardo et al., Cuadrado Doble con 1 y 2 prolongaciones mostraron un
comportamiento similar en cuanto a la magnitud del sesgo. Estas matrices superaron
ampliamente al diseño Compuesto Central de Box. También, las matrices con 13
tratamientos: CD modificado por Escobar et al., Box-Berardo et al. Aumentada 2 y 3
mostraron un comportamiento similar superando ampliamente al Cuadrado Doble.
Mencionan que no hubo ganancia notable en cuanto al sesgo al pasar de las matrices de 9
tratamientos a las de 13 tratamientos en este estudio. De entre las matrices estudiadas, el
diseño San Cristóbal se asoció con el mayor sesgo.
Por último mencionan que la ecuación simulativa y el espacio de medición del sesgo
influyeron sobre el comportamiento de la matriz experimental y el modelo aproximativo
respecto al sesgo.
Viesca (1986) utiliza los criterios de eficiencia, traza y determinante de la matriz
( ) 1´ −XX propuestos por Fedorov (1972) para comparar diseños factoriales, San Cristóbal,
San Cristóbal ortogonal, Hipercubos múltiples, Hipercubos múltiples ortogonales y Plan
Puebla I, II y III; cuando se ajusta un modelo de segundo órden con 2, 3 y 4 factores.
Reporta en términos generales que los diseños de mayor eficiencia son el diseño San
Cristóbal Ortogonal, los Hipercubos múltiples ortogonales y no ortogonales y los factoriales.
Los diseños menos eficientes son en orden decreciente, los plan Puebla III, II y I; y el diseño
San Cristóbal lo ubica con eficiencia media.
28
Menciona también que el criterio del determinante difiere mucho de los resultados
obtenidos con los otros dos criterios, por lo que no se recomienda como criterio de selección
de un diseño.
Díaz (1991) considera también el modelo utilizado por Escobar (1967) para comparar
las eficiencias de las matrices Plan Puebla, diseños San Cristóbal, San Cristóbal ortogonal,
Factoriales 3p, Hipercubos múltiples e hipercubos ortogonales para 2 y 3 factores; utilizando
como criterios, la eficiencia de Myers (1971), traza y determinante de la matriz ( ) 1´ −XX
propuestos por Fedorov (1972).
Los resultados obtenidos con el primer criterio revelan que de manera general, las
matrices diseño Plan Puebla I y II resultan ser los de menor eficiencia, en tanto que los
diseños Cuadrado doble y Cuadrado doble ortogonal α=2.20 reportan las eficiencias más
altas, quedando con eficiencias intermedias los diseños San Cristóbal, San Cristóbal
ortogonal, factorial y Plan Puebla III.
Con el criterio de la traza se encuentra que las matrices diseño Plan Puebla son las
de menor eficiencia, los diseños San Cristóbal, San Cristóbal ortogonal y factorial, de
eficiencia media y los cubos dobles de eficiencia más alta.
Con respecto al criterio del determinante, Díaz (1991) comenta que los resultados
obtenidos a partir de este criterio, muestran marcadas diferencias con lo obtenido en los
otros dos criterios. Menciona que con dicho criterio, la matriz diseño Plan Puebla I es el de
menor eficiencia; las matrices Plan Puebla II y III, y diseño San Cristóbal, de eficiencia
media, en tanto que las matrices diseño más eficientes están integradas por los diseños
cuadrado doble, San Cristóbal ortogonal y factorial.
Castillo (1993) considera el mismo modelo que Escobar (1967) y Díaz (1991) para
comparar los diseños: factorial con 3 niveles, Compuestos centrales, Hipercubos múltiples
(cuadrado doble y cuadrado doble ortogonal 2.20), Plan puebla I, II, y III y los diseños San
Cristóbal y San Cristóbal ortogonal, considerando ahora como criterio, la varianza de la
respuesta estimada. Las conclusiones a las que llega son que el diseño cuadrado doble es el
diseño más eficiente con respecto al arreglo factorial correspondiente, en tanto que los
29
diseños Plan Puebla en sus diferentes versiones resultan ser los de menor eficiencia;
quedando en eficiencia media el resto de los diseños.
Briones & Martínez (2002), utilizan los criterios de la varianza integrada de la
respuesta estimada en diferentes regiones, el determinante y la traza de la matriz ( ) 1´ −XX ,
para comparar Diseños Compuestos Centrales, Hipercubos Múltiples, San Cristóbal , Plan
Puebla, Factoriales, A- óptimos y D-óptimos considerando un modelo pseudocuadrático de
segundo orden con 2 y 3 factores.
Los resultados que reportan con el primer criterio, indican que para el caso de dos
factores, los diseños: San Cristóbal ortogonal con α=0.66, A-óptimo con 13 tratamientos,
Cuadrado Doble y Cuadrado doble repetido son los de mayor eficiencia, en tanto que los
diseños de la familia Plan Puebla y Diseño Compuesto Central de Berardo tienen la menor
eficiencia. El resto de los diseños comparados se clasifican como diseños de eficiencia
media. Para este caso, la eficiencia de cada diseño se mide con respecto al diseño factorial
32. Los criterios de eficiencia del determinante y traza de la matriz ( ) 1´ −XX difieren en
algunos resultados con el criterio de la eficiencia relativa promedio; se tiene por ejemplo, que
los diseños que con el criterio de la eficiencia promedio de la varianza integrada tienen una
eficiencia mayor que el factorial 32, también la tienen con el criterio del determinante; pero
con este último criterio, otros cuatro diseños tienen una eficiencia mayor que el factorial 32.
Con respecto a los criterios de la traza y de la varianza integrada, se tiene que mientras que
con el primer criterio, los diseños: Compuesto Central de Thompson con 13 tratamientos,
Cuadrado Doble ortogonal α=0.66, D- Óptimo con 13 y 16 tratamientos son de mayor
eficiencia que el diseño factorial 32, no lo son con el criterio de la traza.
Mencionan también que el criterio del determinante, muestra mayores discrepancias
con los otros dos criterios, los cuales son más similares.
Para el caso de tres factores, se menciona que los métodos muestran varias
discrepancias entre ellos. Se tiene que el de mayor eficiencia es el diseño A-óptimo con 31
tratamientos bajo el primer criterio y se reportan a los diseños Plan Puebla como los de
menor eficiencia.
30
IV. METODOLOGÍA.
Para llevar a cabo la comparación de los diseños propuestos en este trabajo, se
consideró como modelo aproximativo, al modelo cuadrático de segundo orden. Se supone
que existe una relación funcional desconocida ( )k21 ., . . , , ξξξη f= , entre una variable
respuesta η , y k variables insumo k21 ., . . , , ξξξ , la cual se puede aproximar en alguna
región de interés por una superficie de respuesta de segundo orden, en términos de k
variables codificadas x1, x2, ..., xk ; presentándose así la siguiente función lineal:
i
k
l
k
ljjl
k
jjjjj
k
jjji xxxxy εββββ ++++= ∑ ∑∑∑
<== j 1
2
10 (4.1)
En la expresión (4.1), las β ´s son los parámetros por estimar, xj es el valor
codificado correspondiente al factor j, “yi “ es la respuesta generada por la combinación
de los factores y εi es el término de error.
Además se supone que: E(εi)=0 , E(εi2)= σ2 y E(εiεj)=0 para i ≠ j.
Las variables originales k21 ., . . , , ξξξ de las matrices experimentales se codifican de
tal manera que estuvieran dentro del intervalo de exploración (–1, 1).
Para retornar de las variables originales a las variables codificadas y viceversa, se
pueden utilizar las siguientes expresiones:
( )
−−
−=us
us xxcx
ξξξ (4.2)
c x +
−−
=us
usxxξξ
ξ (4.3)
31
La expresión (4.2) nos permite pasar de las unidades originales a las unidades
codificadas, y la expresión (4.3) nos permite pasar de los valores codificados a los
valores originales. Para ambas expresiones sξ es el nivel superior del factor en las
unidades reales de medición, uξ es el nivel inferior del factor en unidades reales de
medición, xs es el nivel superior del factor en las unidades de codificación, xu es el nivel
inferior del factor en unidades de codificación, x denota el nivel de un factor en unidades
de codificación, ξ es el nivel correspondiente del mismo factor en las unidades reales de
medición y c es el nivel del factor en las unidades reales de medición, que corresponde
al nivel cero de las unidades de codificación.
Además de la codificación de las matrices dentro del intervalo (-1, 1), éstas se
estandarizaron de tal manera que se cumplieran las condiciones 1) y 2) de Box, para la
comparación de dos diseños con igual número de variables o factores pero diferente
número de puntos experimentales; esto es, para que se cumplieran las ecuaciones (3.3)
y (3.4).
Por ejemplo, para la matriz correspondiente al diseño Plan Puebla 2 con dos
factores, se tiene que la matrices codificada en el intervalo (-1 , 1) y estandarizada son:
=
0.9 0.3 10.3 0.9 1
09- 0.3- 10.3- 0.9- 10 0 1
0.3 0.3 10.3 0.3- 10.3- 0.3 10.3- 3 0.- 1
X
=
1.837117 0.612372 0412415.20.612372 1.837117 0412415.21.837112- 0.612372- 0412415.20.612372- 1.837117- 0412415.2
0 0 0412415.20.612372 0.612372 0412415.20.612372 0.612372- 0412415.20.612372 - 0.612372 0412415.20.612372- 0.612372- 0412415.2
EX
Matriz Plan Puebla II con dos factores Matriz Plan Puebla II estandarizada
codificada en el intervalo (-1, 1) con dos factores
32
Para ambas matrices, la primera columna representa al coeficiente ordenada al origen,
0β , en nuestro modelo.
Además, recordando que la matriz de dispersión generada por alguna matriz diseño y
un modelo aproximativo, está dada por ( ) 21)( σξ −= XXD t , donde: X representa a la matriz
diseño y σ2 es la varianza de la variable respuesta la cual es desconocida y constante, es
posible basar nuestra comparación en la matriz ( ) 1−XX t .
Los cálculos necesarios para llevar a cabo la comparación de los diferentes diseños se
realizaron mediante el modulo IML del paquete SAS en su versión 8.12.
Con el mismo paquete, se generaron los diseños A- Óptimo y D- Óptimo mediante el
módulo OPTEX, con la finalidad de contrastar este tipo de diseños con los diferentes diseños
óptimos que se comparan en este trabajo. En la creación de dichos diseños se empleó el
algoritmo propuesto por Fedorov anteriormente descrito y un diseño inicial parcial, es
importante mencionar que la eficiencia de los diseños no variaba al cambiar el método de
creación o el estado del diseño inicial.
En lo que respecta a los diseños compuestos centrales que se comparan en este
trabajo, estás fueron tomadas, al igual que los diseños Box- Behnken y diseños compuestos
centrales pequeños, con 3 corridas centrales en cada una sus diferentes modalidades
Para aplicar los criterios de comparación 1 y 5 de Fedorov, únicamente se
consideraron las matrices diagonales de dispersión de los diseños, debido a que al momento
de aplicar dichos criterios considerando la matriz de dispersión completa, se llegaban a
resultados totalmente contradictorios a los obtenidos con los otros 3 criterios. El motivo de
estas contradicciones se debía básicamente a la diferencia entre las magnitudes de las
covarianzas de los parámetros; y dado que las covarianzas de los estimadores no influyen en
el ajuste del modelo, pero sí en los resultados de los criterios, se optó por no considerar a
dichas covarianzas.
33
Además, para aplicar el criterio 5, se consideraron únicamente las varianzas de los
estimadores, que corresponde a los factores en términos lineales, generándose así un
modelo de primer orden sin interacciones de la siguiente forma: εβββ +++= 22110 xxy para el
caso de dos factores y εββββ ++++= 3322110 xxxy para el caso de tres factores.
Resumiendo de manera esquemática tenemos:
Definición del modelo aproximativo
Codificación de las matrices experimentales en el intervalo (-1, 1)
Estandarización de las matrices experimentales para cumplir las condiciones de Box
Elaboración de programas en el paquete
estadístico SAS
Análisis y discusión de resultados
Para generar diseños A-óptimos y D-óptimos
Para obtener las estadísticas de comparación
34
V. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS.
5.1 Diseños con dos factores.
Los resultados que se obtienen al aplicar los criterios de la traza, determinante y
varianza máxima, se presentan en el cuadro 5.1.
En lo que respecta al criterio de la traza de 1)( −XX t , los resultados indican que de los
diseños comparados en el presente trabajo, los diseños : D-óptimo y A-óptimo con 19
tratamientos, cuadrado doble, cuadrado doble ortogonal α= 2.20 y cuadrado doble ortogonal
α= 1.848, son los de menor traza (menor varianza total) y por ende los mejores diseños. Los
diseños de la familia Plan Puebla resultan ser los de mayor magnitud en la varianza total y
por lo tanto los diseños menos adecuados en el ajuste del modelo de segundo orden en
cuestión. Dentro de esta familia de diseños, el diseño plan Puebla I sería el menos
recomendado ya que su varianza total es poco mas del doble que la varianza total del diseño
Plan puebla III.
Debe notarse que los diseños con menor varianza total, son también los diseños con
un número mayor de puntos experimentales ( 19 puntos experimentales para A y D-óptimos;
y 13 para los cuadrados doble) por lo que la recomendación de su uso como mejores
diseños, está sujeto a los costos de experimentación. Briones (1998), al ajustar un modelo de
segundo orden con exponentes fraccionarios y al utilizar el mismo criterio, encuentra
resultados similares a los expuestos en este trabajo, sólo que este autor utiliza la definición
de eficiencia respecto al diseño factorial 32.
Otro punto a destacar es el hecho de que los cuadrados dobles resultan ser, bajo este
criterio, mejores que los diseños A-óptimo y D-óptimo, cuando el número de puntos
experimentales es el mismo (N=13) . Además, el diseño compuesto central α=1.0 es
preferible también a dichos diseños (A-óptimo y D-óptimo con N=13) incluyendo al diseño
compuesto central rotatorio α=1.4142.
35
Cuadro 5.1: Resultados de los criterios de la traza, determinante y valor máximo de la
diagonal de ( ) 1−XX t para los diferentes diseños con dos factores.
Diseño N Traza Determinante Valor Max de la diagonal de 1)( −XX t
Factorial 9 1.148 5.01 x 10-6 0.2222
San Cristóbal 7 1.482 15.4 x 10-6 0.2815
San Cristóbal Ortogonalizado α=1.0 9 1.148 5.01 x 10-6 0.2222
Plan Puebla I 8 3.61 19.3 x10-6 2.2567
Plan Puebla II 9 2.537 3.50 x10-6 1.6161
Plan Puebla III 9 1.665 5.06 x10-6 0.6745
Cuadrado Doble 13 0.611 0.237 x10-6 0.121
Cuadrado Doble Ortogonal α=1.633 13 1.022 1.152 x10-6 0.222
Cuadrado Doble Ortogonal α=1.848 13 0.632 0.256 x10-6 0. 121
Cuadrado Doble Ortogonal α=2.20 13 0.621 0.244 x10-6 0.110
Diseño Compuesto Central α=1.0 11 0.634 0.390 x10-6 0.117
Diseño Compuesto central Rotable α=1.4142
11 0.743 0.579 x10-6 0.132
Hexágono nc=3 9 0.666 0.557 x10-6 0.148
Diseño compuesto central pequeño α=1.0
9 1.135 2.349 x10-6 0.362
Diseño compuesto central pequeño α=1.4142
9 0.990 2.116 x10-6 0.333
A-óptimo 13 0.665 0.279 x10-6 0.118
A- óptimo 19 0.511 0.0419 x10-6 0.09019
D- óptimo 13 0.919 0.882 x10-6 0.181
D- óptimo 19 0.509 0.0377 x10-6 0.097
De los diseños generados mediante el módulo Óptex de SAS, el diseño D-óptimo
resulta mejor que el diseño A-óptimo cuando el número de puntos experimentales, N, es de
19. Cuando N=13 el diseño A-óptimo seria mas recomendado que el diseño D-óptimo.
Con el criterio del determinante de 1)( −XX t , nuevamente se tienen como diseños más
convenientes a los diseños D-óptimo y A-óptimo con 19 tratamientos, cuadrado doble,
cuadrado doble ortogonal α= 2.20 y cuadrado doble ortogonal α= 1.848. Los diseños Plan
36
Puebla se mantienen como los menos recomendables sobre el resto de los diseños
comparados. Sin embargo, con este criterio se encuentran algunas discrepancias en cuanto
al orden de preferencias del resto de los diseños ya que según este criterio, el diseño Plan
Puebla II será más adecuado que los diseños San Cristóbal, San Cristóbal Ortogonal α= 1.0
e incluso que diseño el diseño factorial 32 (Ver cuadro 5.1). Estas diferencias se deben
principalmente a que este criterio nos da una medida de la varianza global, es decir, se
consideran también las covarianzas de los estimadores, las cuales influyen de manera
directa en el valor del determinante de ( ) 1−XX t pero no en el ajuste del modelo. Autores como
Viesca (1986), y Briones (1998) mencionan que el criterio del determinante puede ser no
muy adecuado al diferir de manera notoria de los otros criterios.
Para el criterio de la varianza máxima, los resultados difieren de los otros dos criterios
en cuanto a los diseños A y D-óptimos con 19 puntos experimentales. Según este criterio, los
mejores diseños en orden decreciente son: A-óptimo y D-óptimo con N=19, Cuadrado doble
ortogonal α=2.20, Compuesto central α=1.0, A-óptimo con 13 tratamientos, y el Cuadrado
doble junto con el Cuadrado doble ortogonal α=1.848.
Los diseños menos apropiados siguen siendo los diseños Plan puebla, resultando el
menos adecuado, el diseño Plan Puebla I.
Además, con este criterio se confirma la mayor conveniencia del diseño compuesto
central α=1.0 sobre el diseño Compuesto Central Rotable α=1.4142. Ambos diseños son
más adecuados que el diseño factorial y los diseños san Cristóbal.
Se puede decir, a partir de los resultados de estos tres criterios, que algunos diseños
utilizados en la industria resultan mejores que algunos diseños desarrollados en la agricultura,
sin embargo, tal y como lo menciona Escobar (1967), debe tomarse en cuenta, en su elección
como mejor diseño, el hecho de que éstos fueron creados para aplicarse en un área donde se
trabaja con un pequeño error experimental y se realiza una experimentación secuencial en
breves periodos de tiempo, características no congruentes con la agricultura.
Los criterios 1) y 5) contradicen de manera drástica los resultados que se obtiene con
los otros tres criterios, con ellos, encontramos una serie de incongruencias (ver cuadros A.1
y A.2 de apéndice ), se tiene por ejemplo, que los diseños Plan Puebla II y III son más
37
adecuados que el diseño D-óptimo con N=19 puntos experimentales. Este comportamiento se
debe a que en ambos criterios se está considerando la diferencia de las matrices de
varianzas y covarianzas en un enfoque global, lo cual altera ligera o completamente el orden
de preferencia de los diseños. El criterio de la determinante también realiza la comparación
de las varianzas de manera global, y los resultados obtenidos, mediante este criterio, han
diferido de los resultados obtenidos con otros criterios tal y como lo citan Briones (1998) y
Viesca (1986).
Así para aplicar los criterios 1) y 5), se consideran únicamente las varianzas de los
parámetros estimados (diagonal de las matrices de varianzas y covarianzas), y esto nos
genera resultados mas aceptables y concordantes a los tres criterios anteriores. Notemos que
al realizar la diferencia D(ξ2) – D( ξ1) de las matrices de varianzas y covarianzas de los
diseños ξ1 y ξ2 considerando únicamente las diagonales, y exigir que la matriz resultante sea
definida positiva, para que el diseño ξ1 sea preferido al diseño ξ2, lo que se está pidiendo en
realidad, es que la varianza de cada parámetro estimado mediante el diseño ξ2 sea mayor a
la varianza de cada parámetro estimado mediante el diseño ξ1. Con esto, puede decirse que
el criterio es un tanto exigente por lo cual consideramos al diseño ξ1 mejor al diseño ξ2 si la
mayoría de las varianzas de los parámetros estimados mediante ξ2 son mayores a los
obtenidos mediante ξ1.
Debe notarse también, que si se calcula la traza de la diferencia de las diagonales y
ésta resulta positiva, esto será indicio de que ξ1 puede ser más adecuado que ξ2, pues esto
indica que: de manera global, hay una mayor magnitud en las varianzas de los estimadores
obtenidos mediante ξ2.
Así, relajando los criterios 1 y 5 mediante los comentarios anteriores, se tiene que de
acuerdo al primer criterio (Ver cuadro B.1 de apéndice), los diseños D- óptimo y A-óptimo con
N=19 tratamientos son igualmente adecuados y les siguen en orden decreciente los diseños:
Cuadrado Doble, Cuadrado Doble Ortogonal α=2.20 y Cuadrado Doble Ortogonal α=1.848
aunque no hay una diferencia contundente en cuanto a éste último con el Diseño Compuesto
Central α=1.0.
Los diseños de la familia Plan Puebla junto con el diseño San Cristóbal son los menos
convenientes aunque el orden de conveniencia no es muy claro.
38
De los diseños industriales, el Diseño Compuesto Central α=1.0 resulta nuevamente
más adecuado al Diseño Compuesto Central Rotatorio α=1.4142. El diseño industrial menos
apropiado es, al igual que para los tres criterios anteriores, el Diseño Compuesto Central
pequeño o reducido α=1.0.
Por otra parte, los resultados obtenidos mediante el criterio 5 modificado (Ver cuadro
B.2 de apéndice) indican que el diseño D-óptimo con N= 19 puntos experimentales es mas
conveniente que el diseño A-óptimo con el mismo número de puntos experimentales; le
siguen, en orden decreciente, los diseños: Cuadrado Doble, Cuadrado Doble Ortogonal
α=1.848, y Cuadrado Doble Ortogonal α=2.20. Los resultados no indican una clara diferencia
para los diseños A-óptimo con N=13, D-óptimo N= 13, Cuadrado Doble Ortogonal α=1.633 y
Diseño Compuesto Central α=1.0. Sin embargo, la elección de uno u otro diseño dependerá
de algunos otros elementos como el número de puntos experimentales y los costos de
experimentación.
Los diseños menos adecuados son, en orden decreciente, los diseños Factorial, San
Cristóbal Ortogonal α=1.0, Plan Puebla II, III, I y diseño San Cristóbal.
Debe notarse que con este criterio cambia el orden de distinción de los diseños de la
familia Plan Puebla, y se confirma que el diseño Compuesto Central α=1.0 es mas apropiado
que el diseño Compuesto Central rotatorio.
Aunque los resultados obtenidos mediante cada uno de los 5 criterios de comparación
tratados en este trabajo no coinciden del todo, podemos decir que los mejores diseños en
orden decreciente son: D-óptimo con N=19, A-óptimo con N=19, Cuadrado Doble, Cuadrado
Doble Ortogonal α= 2.20, Cuadrado Doble Ortogonal α= 1.848, Diseño Compuesto Central
α= 1.0, A-óptimo con N=13, Hexágono, Diseño Compuesto Central Rotatorio α= 1.4142, D-
óptimo con N=13, Cuadrado Doble Ortogonal α= 1.633, Diseño Compuesto Central Pequeño
α= 1.0, Factorial 32, San Cristóbal Ortogonal α= 1.0, San Cristóbal, Plan Puebla III, II y I.
39
5.2 Diseños con tres factores.
Los resultados para los primeros tres criterios ( Traza, Determinante y Varianza
máxima) las encontramos en el cuadro 5.2.
Con el criterio de la traza, se tiene que los mejores diseños son, en orden decreciente ,
diseño A-óptimo con N=29, Cubo doble ortogonal α=2.82, D-óptimo con N=29 puntos
experimentales, Cubo doble ortogonal α=1.54, Cubo doble y Factorial 33. Los diseños con
mayor traza y por ende los menos convenientes corresponde a los diseños industriales
saturados, Híbrido D10 y diseño Koshal. Al igual que para el caso de 2 factores, de los diseños
utilizados en la industria y comparados en este trabajo, el diseño compuesto central α=1.0
resulta mejor que el resto de los diseños generados en esta área, seguido por los diseños
Box- Behnken con nc=3 y compuesto central rotatorio α=1.681.
Un punto importante a considerar en los resultados obtenidos con este criterio, es el
hecho de que el diseño Cubo doble ortogonal α=2.82, uno de los diseños con mejores
propiedades de ajuste, excede los límites de la región de exploración propuesta en este
trabajo (-1, 1). Nuevamente, el mejor diseño es también el de mayor número de puntos
experimentales (N=29).
Dentro de los diseños más utilizados en la agricultura, los diseños de familia Plan
Puebla son los menos convenientes.
Mediante el criterio del determinante, los mejores diseños en orden descendiente son:
A-óptimo con N=29, D-óptimo con N=29, Cubo doble Ortogonal α=2.82, Factorial 33 y Cubo
doble.
Tal y como ocurrió en el análisis con dos factores, el orden de conveniencia de los
diseños cambia mediante el criterio del determinante. Sin embargo, se mantienen como
peores diseños los industriales Híbrido D10 y diseño Koshal junto con los diseños Plan
Puebla, aunque el orden de éstos últimos cambia también. Los resultados encontrados en
este trabajo para el caso de tres factores difieren ligeramente a los obtenidos por Viesca
(1986) a pesar de emplear el mismo modelo y coincidir en algunos criterios, debido a que
dicho autor utiliza un artificio para volver ortogonales o semiortogonales a los diseños
comparados.
40
Cuadro 5.2: Resultados de los criterios de la traza, determinante y valor máximo de la
diagonal de ( ) 1−XX t para los diferentes diseños, para el caso de tres factores.
Diseño N Traza Determinante Valor Max de la
diagonal de 1)( −XX t
Factorial 27 0.617 2.59 x 10-14 0.0740
San Cristóbal 12 1.461 7033 x 10-14 0.1457
San Cristóbal Ortogonalizado α=0.82 18 0.705 26.78 x 10-14 0. 0625
Plan Puebla I 14 2.805 17210 x10-14 0.2151
Plan Puebla II 15 2.196 2990x10--14 0.1470
Plan Puebla III 15 1.655 4631 x10-14 0.1669
Cubo Doble 23 0.601 3.54 x10-14 0.1011
Cubo Doble Ortogonal α=2.82 23 0.512 1.808 x10-14 0.0466
Cubo Doble Ortogonal α=1.54 23 0.578 4.302 x10-14 0.0726
Diseño Compuesto Central α=1.0 17 0.801 70.66 x10-14 0.1291
Diseño Compuesto Central α=1.732 17 0.872 78.03 x10-14 0.0588
Diseño Compuesto Central Rotatorio α=1.681 17 0.857 74.83 x10-14 0.0588
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0 13 1.509 2797 x10-14 0.2307
Diseño Koshal 10 2.875 124350 x10-14 0.1944
Diseño Híbrido D10 10 2.937 997920 x10-14 0.2701
Diseño Box- Behnken 15 0.822 170.3 x10-14 0.0770
D- óptimo 29 0.5654 1.13 x10-14 0.0665
D- óptimo 23 0.7194 13.06 x10-14 0.08587
A- óptimo 23 0.6950 9.15 x10-14 0.07018
A- óptimo 29 0.4929 0.528 x10-14 0.05897
Con el criterio de la varianza máxima, se observa una alteración notable en el orden de
eficacia de los diseños, este criterio da como mejores diseños al diseño Cubo doble ortogonal
α=2.82, compuesto central α=1.0, compuesto central Rotatorio y A-óptimo. Mantiene al
41
diseño Híbrido D10 como el peor diseño y difiere de los otros dos criterios en el orden de
preferencia del resto de los diseños.
Debe notarse también que estos tres criterios mantienen en la lista de mejores diseños
a la familia de cubos dobles.
La marcada inconsistencia del orden de eficacia de los diseños con este criterio
respecto a los otros dos y algunos otros como el de la varianza promedio de la respuesta
estimada empleada por Briones (1998) pone en tela de juicio su conveniencia y validez como
criterio para comparar diseños con dos y tres factores.
Los criterios 1 y 5 contradicen nuevamente a los tres criterios anteriores ( ver cuadros
C1 y C2 de apéndice) por lo que se aplican las modificaciones hechas en el caso de dos
factores; los resultados obtenidos mediante el criterio 1 modificado (ver cuadro D1) indican
que los diseños más adecuados son: A-óptimo y D-óptimo con N=29, cada una, seguidos por
los diseños factorial, cubo doble, cubo doble ortogonal α=2.82 y cubo doble ortogonal α=1.54.
De los diseños ampliamente utilizados en la industria, el diseño compuesto central α=1.0,
resulta mejor al resto de los demás, en tanto, los diseños Koshal e Híbrido D10 se mantienen
como los menos adecuados.
Los diseños generados mediante el procedimiento OPTEX de SAS, D-Optimo y A-
óptimo con N=23, son mejores que los diseños utilizados en la en la industria y sobre algunos
utilizados en la agricultura como el diseño San Cristóbal y los diseños de la familia Plan
Puebla.
Estos resultados coinciden de manera general con las conclusiones encontrados por
distintos autores como Viesca (1986), Castillo (1993) y Briones (1998).
Para el caso del criterio 5, en el que sólo se compararon las varianzas de los
estimadores de β0 ,β1, β2, y β3, del modelo general, se tienen que los diseños mas
apropiados (Ver cuadro D2) son: A-óptimo con N=29 y cubo doble. Se presenta una
preferencia indefinida entre los diseños cuadrado doble ortogonal α=1.54, D-óptimo con
N=29, factorial 33 y cuadrado doble ortogonal α=2.82.
42
Se confirma que el diseño compuesto central α=1.0 es mejor que el resto de los
diseños utilizados en la industria y se confirma también que el diseño Plan Puebla II es
mejor que los diseños Plan Puebla III y I. De todos los diseños comparados, los diseños
menos favorecidos son el diseño Koshal y el Híbrido D10, los cuales tienen la desventaja
también de ser saturados.
Nuevamente, aunque no existe evidencia clara sobre la prioridad de algunos diseños
con respecto a otros, aplicando la regla de más criterios a favor, el orden de preferencias de
los diseños comparados en este trabajo para tres factores es: A-óptimo con N=29, D-óptimo
con N=29, Cubo Doble Ortogonal α=2.82, Cubo Doble, Factorial 33, Cubo Doble Ortogonal
α=1.54, A-óptimo con N=23, D-óptimo con N=23, San Cristóbal Ortogonal α=0.82, Diseño
Compuesto Central α=1.0, Diseño Compuesto Central Rotatorio α=1.681, Diseño Compuesto
Central α=1.732, Box-Behnken, San Cristóbal, Diseño Compuesto Central Pequeño α=1.0,
Plan Puebla II, Plan Puebla III, Plan Puebla I, Diseño Koshal y Diseño Híbrido D10.
43
VI. CONCLUSIONES.
Las conclusiones a las que se llegan, de acuerdo a los resultados obtenidos en el presente
trabajo son:
• En términos generales, los diseños más adecuados para el caso de dos factores son
los diseños generados mediante el procedimiento OPTEX de SAS, D-óptimo y A-
óptimo con N=19 puntos experimentales, seguidos por los diseños de la familia de
hipercubos múltiples e hipercubos múltiples ortogonales.
• Los diseños de la familia Plan puebla resultan, bajo los 5 criterios, los menos
adecuados para ajustar un modelo de segundo orden y entre ellos el menos
conveniente es el diseño Plan Puebla I.
• Los diseños San Cristóbal propuestos por Rojas(1972) pueden clasificarse como
diseños de eficacia media, por encima de los diseños de la familia Plan Puebla.
• De los diseños comparados en este trabajo con una mayor aplicación en la industria, el
diseño Compuesto Central α=1.0 resulta el más adecuado en comparación del resto
de los diseños de la misma índole.
• En general, los diseños de la familia hepercubos múltiples (cuadrado doble, cuadrado
doble ortogonal α=2.20 y cuadrado doble α=1.848) son preferidos sobre los diseños A-
óptimo y D-óptimo generados mediante el procedimiento OPTEX de SAS, cuando
tienen el mismo número de puntos experimentales ( N=13).
• Para el caso de los diseños con tres factores, se tiene un comportamiento similar al
observado en los diseños con dos factores, sólo cambia de manera ligera el orden de
los diseños en cuanto a su conveniencia; ahora los diseños A-óptimos son preferidos a
los diseños D-óptimos, se mantiene como mejor diseño industrial al diseño Compuesto
Central α=1.0, y el Plan Puebla II es ahora más adecuado que los diseños Plan Puebla
III y I.
44
• El criterio de la varianza máxima (criterio 4) no se recomienda como criterio de
selección de un diseño debido a que difiere notablemente de los criterios de la traza y
el determinante de la matriz de varianzas y covarianzas.
• Los criterios 1) y 5) tampoco se recomiendan como criterios de selección de diseños
pues contradicen en su gran mayoría, los resultados obtenidos mediante el criterio de
la traza y la determinante.
• Los criterios 1) y 5) con las modificaciones realizadas en el presente trabajo, pueden
ser una opción en la elección de un diseño, pues compara de manera directa las
varianzas de los estimadores de los parámetros, generados mediante cada diseño.
45
VII. RECOMENDACIONES.
• La elección de uno u otro diseño experimental para aproximar una superficie de
respuesta mediante un modelo cuadrático de segundo orden, puede basarse en los
resultados obtenidos en este trabajo, pero también deben considerarse los costos de
experimentación y la disponibilidad de tiempo y unidades experimentales, ya que entre
los diseños comparados en este trabajo, los diseños que resultan ser los más
convenientes, son también los de mayor número de puntos experimentales.
• Aunque los resultados indican que, para el caso de tres factores, el diseño cubo doble
ortogonal α=2.82, resulta mejor al diseño factorial a pesar de que este último tiene
mayor número de puntos experimentales, debe tomarse en cuenta que en el caso del
primer diseño se están excediendo los límites del espacio de exploración (-1,1) en seis
puntos experimentales, por lo que su elección queda sujeta a la disponibilidad de
recursos.
• Para investigaciones posteriores, se recomendaría considerar un modelo
Pseudocuadrático como los utilizados por Briones (1998) y Castillo (1993), a fin de
observar el comportamiento de los criterios 1, 4 y 5 con respecto a los utilizados por
estos autores, y así determinar con mayores fundamentos sobre la validez y eficacia
de los mismos.
46
VIII. BIBLIOGRAFÍA.
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Viesca G. F. C. 1986. Eficiencia Relativa de los diseños de tratamientos empleados para
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Wu Chien- Fu Jeff. 2000. Experiments: planning, análysis, and parameter design
optimization. John Wiley. USA.
48
IX. APÉNDICE.
A. RESULTADOS DE LOS CRITERIOS 1 Y 5 PARA DISEÑOS CON DOS FACTORES.
A.1. Cuadro correspondiente a los resultados obtenidos mediante el primer criterio para diseños con
dos factores.
Signo de los valores característicos de la diferencia ( ) ( )12 ξξ DD −
Diseño Preferido Diseño ξ1 Diseño ξ2
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6
A- Optimo N=19 + + + - - - A-óptimo Cudrado Doble + + + + + - Cudrado Doble C.D. O α=2.20 + + + + + + D-óptimo N=19 C.D. O α=1.848 + + + + + - C.D. O α=1.848 Compuesto central α=1.0
+ + + + + - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + + + + + D-óptimo N=19 Hexágono nc=3 + + + + - - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + + - DCC Rotable α=1.4142
D-Optimo N=13 + + + + + + D-óptimo N=19 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + + - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + + + + + D-óptimo N=19 DCC pequeño α=1.0 + + + + + - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + + D-óptimo N=19 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + D-óptimo N=19 San Cristóbal + + + + + + D-óptimo N=19 PP III + + + + + - PP III PP II + + + + + - PP II
D-óptimo N=19
PP I + + + + + + D-óptimo N=19
Cudrado Doble + + + + + - Cudrado Doble C.D. O α=2.20 + + + + + + A-Optimo N=19 C.D. O α=1.848 + + + + + - C.D. O α=1.848 Compuesto central α=1.0
+ + + + + - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + + + + + A-Optimo N=19 Hexágono nc=3 + + + + + - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + + + A-Optimo N=19
D-Optimo N=13 + + + + + + A-Optimo N=19 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + + + A-Optimo N=19
C.D.O α=1.633 + + + + + + A-Optimo N=19 DCC pequeño α=1.0 + + + + + - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + + A-Optimo N=19 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + A-Optimo N=19 San Cristóbal + + + + + + A-Optimo N=19 PP III + + + + + - PP III PP II + + + + + - PP II
A-Optimo N=19
PP I + + + + + + A-Optimo N=19
C.D. O α=2.20 + + + + + - C.D. O α=2.20 C.D. O α=1.848 + + nulo nulo - - C.D. O α=1.848
49
Compuesto central α=1.0
+ + + + + - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + + - - - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + + + - - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + + - DCC Rotable α=1.4142
D-Optimo N=13 + + + + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + + + nulo nulo C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + + Cuadrado Doble S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + Cuadrado Doble San Cristóbal + + + + + - San Cristóbal PP III + + + - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Cudrado Doble
PP I + + + + - - PP I
C.D. O α=1.848 + + + - - - C.D. O α=1.848 Compuesto central α=1.0
+ + + + - - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + + - - - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + + + - - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + - - DCC Rotable α=1.4142
D-Optimo N=13 + + + + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + + + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + + C.D.O. α=2.20 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + C.D.O. α=2.20 San Cristóbal + + + + + - San Cristóbal PP III + + - - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Cuadrado Doble Ortogonal α=2.20
PP I + + + + - - PP I
Compuesto central α=1.0
+ + + + - - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + + - - - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + + + - - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + - - DCC Rotable α=1.4142
D-Optimo N=13 + + + + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + + + nulo nulo C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + + - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + + C.D.O. α=1.848 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + C.D.O. α=1.848 San Cristóbal + + + + + - San Cristóbal PP III + + - - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Cudrado Doble Ortogonal α=1.848
PP I + + + + - - PP I
A- Optimo N=13 + + + - - - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + + + - - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + + - DCC Rotable α=1.4142
D-Optimo N=13 + + + + - - D-Optimo N=13
50
DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + + - - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + + Compuesto central
α=1.0 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + Compuesto central
α=1.0 San Cristóbal + + + + + - San Cristóbal PP III + + + - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Compuesto central α=1.0
PP I + + + - - - PP I
Hexágono nc=3 + + + + - - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + - - DCC Rotable α=1.4142
D-Optimo N=13 + + + + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + + + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + + - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + + + + A-Optimo N=13 PP III + + + - - - PP III PP II + + + - - - PP II
A-Optimo N=13
PP I + + + + - - PP I
DCC Rotable α=1.4142
+ - - - - - DCC Rotable α=1.4142
D-Optimo N=13 + + - - - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + + - - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + - - - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + + + - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + - - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + + + - - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + + - - San Cristóbal PP III + + + - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Hexágono nc=3
PP I + + + - - - PP I
D-Optimo N=13 + + + - - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + - - - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + - - - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + + - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + + - - San Cristóbal PP III + + + - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Diseño Compuesto Central Rotable α=1.4142
PP I + + + - - - PP I
DCC pequeño α=1.4142
+ + + - - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + + + + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + + - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + + - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + + - - San Cristóbal
D-Optimo N=13
PP III + + - - - - PP III
51
PP II + + - - - - PP II PP I + + + - - - PP I
C.D.O α=1.633 + + - - - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + + - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + - - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + + + - - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + - - - San Cristóbal PP III + + + - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.4142
PP I + + + + + - PP I
DCC pequeño α=1.0 + + - - - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + + - - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + + + - - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + + - - San Cristóbal PP III + + - - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Cuadrado Doble Ortogonal α=1.633
PP I + + + - - - PP I
Factorial + + + + - - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + + + - - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + + - - San Cristóbal PP III + + + - - - PP III PP II + + + + - - PP II
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0
PP I + + + + - - PP I
San Cristóbal + + + - - - San Cristóbal PP III + + - - - - PP III PP II + + - - - - PP II
Factorial Y S. C. O. α=1.0 PP I + + - - - - PP I
PP III + + - - - - PP III PP II + + - - - - PP II
San Cristóbal PP I + + - - - - PP I
PP II + + - - - - PP II
PP III PP I + + + - - - PP I
PP II PP 1 + + + + + + PP II
52
A.2. Cuadro correspondiente a los resultados obtenidos mediante el criterio 5 para diseños con dos factores.
Signo de los valores característicos de la
diferencia ( ) ( )12 ξξ DD − Diseño Preferido Diseño ξ1 Diseño ξ2
λ1 λ2 λ3
A- Optimo N=19 + - - A- Optimo N=19
Cudrado Doble + + - Cudrado Doble C.D. O α=2.20 + + - C.D. O α=2.20 C.D. O α=1.848 + + - C.D. O α=1.848 Compuesto central α=1.0
+ + - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142 + + + D-óptimo N=19 D-Optimo N=13 + + + D-óptimo N=19 DCC pequeño α=1.4142
+ + + D-óptimo N=19
C.D.O α=1.633 + + + D-óptimo N=19 DCC pequeño α=1.0 + + - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + D-óptimo N=19 S. Cristóbal O α=1.0 + + + D-óptimo N=19 San Cristóbal + + + D-óptimo N=19 PP III + + - PP III PP II + + - PP II
D-óptimo N=19
PP I + + + D-óptimo N=19
Cudrado Doble + + - Cudrado Doble C.D. O α=2.20 + + - C.D. O α=2.20 C.D. O α=1.848 + + - C.D. O α=1.848 Compuesto central α=1.0
+ + - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + + A-Optimo N=19 Hexágono nc=3 + + - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142 + + + A-Optimo N=19 D-Optimo N=13 + + + A-Optimo N=19 DCC pequeño α=1.4142
+ + + A-Optimo N=19
C.D.O α=1.633 + + + A-Optimo N=19 DCC pequeño α=1.0 + + - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + A-Optimo N=19 S. Cristóbal O α=1.0 + + + A-Optimo N=19 San Cristóbal + + + A-Optimo N=19 PP III + + - PP III PP II + + - PP II
A-Optimo N=19
PP I + + - PP I
C.D. O α=2.20 + + + Cudrado Doble C.D. O α=1.848 + nulo nulo C.D. O α=1.848 Compuesto central α=1.0
+ + - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142 + + + Cudrado Doble D-Optimo N=13 + + + Cudrado Doble DCC pequeño α=1.4142
+ + + Cudrado Doble
Cudrado
C.D.O α=1.633 + nulo nulo C.D.O α=1.633
53
DCC pequeño α=1.0 + + - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + Cudrado Doble S. Cristóbal O α=1.0 + + + Cudrado Doble San Cristóbal + + + Cudrado Doble PP III + - - PP III PP II + - - PP II
Doble
PP I + + + Cudrado Doble
C.D. O α=1.848 - - - C.D. O α=1.848 Compuesto central α=1.0
+ + - Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142 + + + C.D.O. α=2.20 D-Optimo N=13 + + - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + + C.D.O. α=2.20
C.D.O α=1.633 + - - C.D.O. α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + C.D.O. α=2.20 S. Cristóbal O α=1.0 + + + C.D.O. α=2.20 San Cristóbal + + + C.D.O. α=2.20 PP III + - - PP III PP II + - - PP II
Cuadrado Doble Ortogonal α=2.20
PP I + + + C.D.O. α=2.20
Compuesto central α=1.0 + + - Compuesto central α=1.0 A- Optimo N=13 + + - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142 + + + C.D. O α=1.848 D-Optimo N=13 + + + C.D. O α=1.848 DCC pequeño α=1.4142
+ + + C.D. O α=1.848
C.D.O α=1.633 + nulo nulo C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + C.D. O α=1.848 S. Cristóbal O α=1.0 + + + C.D. O α=1.848 San Cristóbal + + + C.D. O α=1.848 PP III + - - PP III PP II + - - PP II
Cudrado Doble Ortogonal α=1.848
PP I + + + C.D. O α=1.848
A- Optimo N=13 + - - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142 + + + Compuesto central α=1.0 D-Optimo N=13 + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142 + + - DCC pequeño α=1.4142 C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + Compuesto central α=1.0 S. Cristóbal O α=1.0 + + + Compuesto central α=1.0 San Cristóbal + + + Compuesto central α=1.0 PP III + - - PP III PP II + - - PP II
Compuesto central α=1.0
PP I + + - PP I
Hexágono nc=3 + + - Hexágono nc=3 DCC Rotable α=1.4142 + + - DCC Rotable α=1.4142 D-Optimo N=13 + + - D-Optimo N=13
DCC pequeño
α=1.4142 + + + A-Optimo N=13
54
C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + A-Optimo N=13 S. Cristóbal O α=1.0 + + + A-Optimo N=13 San Cristóbal + + + A-Optimo N=13 PP III + + - PP III PP II + + - PP II
A-Optimo N=13
PP I + + - PP I
DCC Rotable α=1.4142 + - - DCC Rotable α=1.4142 D-Optimo N=13 + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - DCC pequeño α=1.0 Factorial + Nulo - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + nulo - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + Hexágono nc=3 PP III + + - PP III PP II + - - PP II
Hexágono nc=3
PP I + + - PP I
D-Optimo N=13 + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ - - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + DCC Rotable α=1.4142 S. Cristóbal O α=1.0 + + + DCC Rotable α=1.4142 San Cristóbal + + + DCC Rotable α=1.4142 PP III + - - PP III PP II + - - PP II
Diseño Compuesto Central Rotable α=1.4142
PP I + - - PP I
DCC pequeño α=1.4142
+ + - DCC pequeño α=1.4142
C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + D-Optimo N=13 PP III + - - PP III PP II + - - PP II
D-Optimo N=13
PP I + + - PP I
C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + - San Cristóbal PP III + - - PP III PP II + - - PP II
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.4142
PP I + + - PP I
DCC pequeño α=1.0 + - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + C.D.O. α=1.633 S. Cristóbal O α=1.0 + + + C.D.O. α=1.633 San Cristóbal + + - San Cristóbal PP III + - - PP III PP II + - - PP II
Cuadrado Doble Ortogonal α=1.633
PP I + + - PP I
55
Factorial + + - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + + - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + - San Cristóbal PP III + - - PP III PP II + nulo - PP II
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0 PP I + + + DCC pequeño α=1.0
San Cristóbal + + - San Cristóbal PP III + - - PP III PP II + - - PP II
Factorial Y S. C. O. α=1.0 PP I + - - PP I
PP III + - - PP III PP II + - - PP II
San Cristobal
PP I + - - PP I
PP II + - - PP II PP III PP I + + - PP I PP II PP 1 + + + PP II
56
B. RESULTADOS DE LOS CRITERIOS 1 Y 5 CONSIDERANDO SÓLO LAS DIAGONALES DE LAS MATRICES DE DISPERSIÓN PARA DISEÑOS CON DOS FACTORES.
B .1. Cuadro correspondiente a los resultados obtenidos mediante el primer criterio cuando se consideran sólo las diagonales de las matrices de dispersión para diseños con dos factores.
Diseño ξ1 Signo de los valores característicos de la
diferencia ( ) ( )12 ξξ DD − Diseño ξ2
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6
Signo de Traza
Diseño Preferido tomando como
regla que la mayoría de los
valores característicos sea
positivos. A- Optimo N=19 + + + - - - + D-óptimo N=19 Cudrado Doble + + + + + - + D-óptimo N=19 C.D. O α=2.20 + + + + + + + D-óptimo N=19 C.D. O α=1.848 + + + + + - + D-óptimo N=19 Compuesto central α=1.0
+ + + + + - + D-óptimo N=19
A- Optimo N=13 + + + + + + + D-óptimo N=19 Hexágono nc=3 + + + + - - + D-óptimo N=19 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + + - + D-óptimo N=19
D-Optimo N=13 + + + + + + + D-óptimo N=19 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + + - + D-óptimo N=19
C.D.O α=1.633 + + + + + + + D-óptimo N=19 DCC pequeño α=1.0 + + + + + - + D-óptimo N=19 Factorial + + + + + + + D-óptimo N=19 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + + D-óptimo N=19 San Cristóbal + + + + + + + D-óptimo N=19 PP III + + + + + - + D-óptimo N=19 PP II + + + + + - + D-óptimo N=19
D-óptimo N=19
PP I + + + + + + + D-óptimo N=19
Cudrado Doble + + + + + - + A-Optimo N=19 C.D. O α=2.20 + + + + + + + A-Optimo N=19 C.D. O α=1.848 + + + + + - + A-Optimo N=19 Compuesto central α=1.0
+ + + + + - + A-Optimo N=19
A- Optimo N=13 + + + + + + + A-Optimo N=19 Hexágono nc=3 + + + + + - + A-Optimo N=19 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + + + + A-Optimo N=19
D-Optimo N=13 + + + + + + + A-Optimo N=19 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + + + + A-Optimo N=19
C.D.O α=1.633 + + + + + + + A-Optimo N=19 DCC pequeño α=1.0 + + + + + - + A-Optimo N=19 Factorial + + + + + + + A-Optimo N=19 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + + A-Optimo N=19 San Cristóbal + + + + + + + A-Optimo N=19 PP III + + + + + - + A-Optimo N=19 PP II + + + + + - + A-Optimo N=19
A-Optimo N=19
PP I + + + + + + + A-Optimo N=19
C.D. O α=2.20 + + + + - - + Cuadrado Doble C.D. O α=1.848 + + + + nulo nulo + Cuadrado Doble
Compuesto central
α=1.0 + + + - - - + Cuadrado Doble
57
A- Optimo N=13 + + + + - - + Cuadrado Doble Hexágono nc=3 + + + - - - + Cuadrado Doble DCC Rotable α=1.4142
+ + + + - - + Cuadrado Doble
D-Optimo N=13 + + + + + + + Cuadrado Doble DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - + Cuadrado Doble
C.D.O α=1.633 + + + + indefinido indefinido + Cuadrado Doble DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + Cuadrado Doble Factorial + + + + + + + Cuadrado Doble S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + + Cuadrado Doble San Cristóbal + + + + + + + Cuadrado Doble PP III + + + + + - + Cuadrado Doble PP II + + + + + - + Cuadrado Doble
Cuadrado Doble
PP I + + + + + + + Cuadrado Doble
C.D. O α=1.848 + + + - - - + C.D.O. α=2.20 Compuesto central α=1.0
+ + + + - - + C.D.O. α=2.20
A- Optimo N=13 + + + + + - + C.D.O. α=2.20 Hexágono nc=3 + + + - - - + C.D.O. α=2.20 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + - - + C.D.O. α=2.20
D-Optimo N=13 + + + + + + + C.D.O. α=2.20 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - + C.D.O. α=2.20
C.D.O α=1.633 + + + + - - + C.D.O. α=2.20 DCC pequeño α=1.0 + + + + + - + C.D.O. α=2.20 Factorial + + + + + + + C.D.O. α=2.20 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + + C.D.O. α=2.20 San Cristóbal + + + + + + + C.D.O. α=2.20 PP III + + + + + - + C.D.O. α=2.20 PP II + + + + + - + C.D.O. α=2.20
Cuadrado Doble Ortogonal α=2.20
PP I + + + + + + + C.D.O. α=2.20
Compuesto central α=1.0
+ + - - - - + Compuesto central α=1.0
A- Optimo N=13 + + + - - - + C.D.O α=1.848 Hexágono nc=3 + + + - - - + C.D.O α=1.848 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + - - + C.D.O α=1.848
D-Optimo N=13 + + + + + + + C.D.O α=1.848 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - + C.D.O α=1.848
C.D.O α=1.633 + + + + nulo nulo + C.D.O α=1.848 DCC pequeño α=1.0 + + + + + - + C.D.O α=1.848 Factorial + + + + + + + C.D.O α=1.848 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + + C.D.O α=1.848 San Cristóbal + + + + + + + C.D.O α=1.848 PP III + + + + + - + C.D.O α=1.848 PP II + + + + + - + C.D.O α=1.848
Cudrado Doble Ortogonal α=1.848
PP I + + + + + + + C.D.O α=1.848
A- Optimo N=13 + + + + - - + D.C.C. α=1.0 Hexágono nc=3 + + + - - - + D.C.C. α=1.0 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + - - + D.C.C. α=1.0
D-Optimo N=13 + + + + - - + D.C.C. α=1.0 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - + D.C.C. α=1.0
C.D.O α=1.633 + + + + - - + D.C.C. α=1.0 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + D.C.C. α=1.0 Factorial + + + + + + + D.C.C. α=1.0
Diseño Compuesto central α=1.0
S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + + D.C.C. α=1.0
58
San Cristóbal + + + + + + + D.C.C. α=1.0 PP III + + + + + - + D.C.C. α=1.0 PP II + + + + + - + D.C.C. α=1.0 PP I + + + + + + + D.C.C. α=1.0
Hexágono nc=3 + + + - - - + A-Optimo N=13 DCC Rotable α=1.4142
+ + + + - - + A-Optimo N=13
D-Optimo N=13 + + + + + - + A-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142
+ + + + - - + A-Optimo N=13
C.D.O α=1.633 + + + + - - + A-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.0 + + + + + - + A-Optimo N=13 Factorial + + + + + + + A-Optimo N=13 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + + A-Optimo N=13 San Cristóbal + + + + + + + A-Optimo N=13 PP III + + + + + - + A-Optimo N=13 PP II + + + + + - + A-Optimo N=13
A-Optimo N=13
PP I + + + + + + + A-Optimo N=13
DCC Rotable α=1.4142
+ + + - - - + Indefinido
D-Optimo N=13 + + + - - - + Indefinido DCC pequeño α=1.4142
+ + + + + - + Hexágono nc=3
C.D.O α=1.633 + + + - - - + Indefinido DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + Hexágono nc=3 Factorial + + + + - - + Hexágono nc=3 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + - - + Hexágono nc=3 San Cristóbal + + + + + + + Hexágono nc=3 PP III + + + + + + + Hexágono nc=3 PP II + + + + + - + Hexágono nc=3
Hexágono nc=3
PP I + + + + + + + Hexágono nc=3
D-Optimo N=13 + + + - - - + Indefinido DCC pequeño α=1.4142
+ + + - - - + Indefinido
C.D.O α=1.633 + + + - - - + Indefinido DCC pequeño α=1.0
+ + + + + - + D.C.C. R α=1.4142
Factorial + + + + + - + D.C.C. R α=1.4142S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + - + D.C.C. R α=1.4142San Cristóbal + + + + + + + D.C.C. R α=1.4142PP III + + + + + - + D.C.C. R α=1.4142PP II + + + + + - + D.C.C. R α=1.4142
Diseño Compuesto Central Rotable α=1.4142
PP I + + + + + - + D.C.C. R α=1.4142
DCC pequeño α=1.4142
+ + + - - - + D-Optimo N=13
C.D.O α=1.633 + + + - - - + Indefinido DCC pequeño α=1.0 + + + - - - + Indefinido Factorial + + + + + + + D-Optimo N=13 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + + + + D-Optimo N=13 San Cristóbal + + + + + + + D-Optimo N=13 PP III + + + + + - + D-Optimo N=13 PP II + + + + + - + D-Optimo N=13
D-Optimo N=13
PP I + + + + + - + D-Optimo N=13
C.D.O α=1.633 + + + - - - + Indefinido DCC pequeño α=1.0 + + + + + - + D.C.C Peq.
α=1.4142 Factorial + + + - - - + Indefinido
Diseño Compuesto
S. Cristóbal O α=1.0 + + + - - - + Indefinido
59
San Cristóbal + + + + + - + D.C.C peq. α=1.4142
PP III + + + + + - + D.C.C peq. α=1.4142
PP II + + + + + - + D.C.C peq. α=1.4142
Central pequeño α=1.4142
PP I + + + + + - + D.C.C peq. α=1.4142
DCC pequeño α=1.0 + + + - - - + Indefinido Factorial + + + + - - + C.D.O. α=1.633 S. Cristóbal O α=1.0 + + + + - - + C.D.O. α=1.633 San Cristóbal + + + - - - + C.D.O. α=1.633 PP III + + + + + - + C.D.O. α=1.633 PP II + + + + + - + C.D.O. α=1.633
Cuadrado Doble Ortogonal α=1.633
PP I + + + + + - + C.D.O. α=1.633
Factorial + + + - - - + indefinido S. Cristóbal O α=1.0 + + + - - - + Indefinido San Cristóbal + + + + + - + D.C. C. Peq. α=1.0PP III + + + + + - + D.C. C. Peq. α=1.0PP II + + + + + - + D.C. C. Peq. α=1.0
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0 PP I + + + + + + + D.C. C. Peq. α=1.0
San Cristóbal + + + + + - + Fac y S. C. O. α=1.0
PP III + + + + + - + Fac y S. C. O. α=1.0PP II + + + + + - + Fac y S. C. O. α=1.0
Factorial Y S. C. O. α=1.0 PP I + + + + + + + Fac y S. C. O. α=1.0
PP III + + + - - - + Indefinido PP II + + + - - - + Indefinido
San Cristóbal
PP I + + + - - - + Indefinido
PP II + + + - - - + Indefinido PP III PP I + + + + + + + PP III
PP II PP I + + + + + + + PP II
60
B.2 Cuadro correspondiente a los resultados obtenidos mediante el criterio 5 cuando se consideran sólo las diagonales de las matrices de dispersión para diseños con dos factores.
Signo de los valores característicos de la diferencia ( ) ( )12 ξξ DD −
Diseño Preferido tomando como regla que la mayoría de los valores
característicos sea positivos.
Diseño ξ1 Diseño ξ2
λ1 λ2 λ3
A- Optimo N=19 + + - D-óptimo N=19
Cudrado Doble + + - D-óptimo N=19 C.D. O α=2.20 + + + D-óptimo N=19 C.D. O α=1.848 + + - D-óptimo N=19 Compuesto central α=1.0 + + - D-óptimo N=19 A- Optimo N=13 + + + D-óptimo N=19 Hexágono nc=3 + + - D-óptimo N=19 DCC Rotable α=1.4142 + + + D-óptimo N=19 D-Optimo N=13 + + + D-óptimo N=19 DCC pequeño α=1.4142 + + + D-óptimo N=19 C.D.O α=1.633 + + + D-óptimo N=19 DCC pequeño α=1.0 + + - D-óptimo N=19 Factorial + + + D-óptimo N=19 S. Cristóbal O α=1.0 + + + D-óptimo N=19 San Cristóbal + + + D-óptimo N=19 PP III + + - D-óptimo N=19 PP II + + - D-óptimo N=19
D-óptimo N=19
PP I + + + D-óptimo N=19
Cudrado Doble + + - A-Optimo N=19 C.D. O α=2.20 + + + A-Optimo N=19 C.D. O α=1.848 + + - A-Optimo N=19 Compuesto central α=1.0 + + - A-Optimo N=19 A- Optimo N=13 + + + A-Optimo N=19 Hexágono nc=3 + + - A-Optimo N=19 DCC Rotable α=1.4142 + + + A-Optimo N=19 D-Optimo N=13 + + + A-Optimo N=19 DCC pequeño α=1.4142 + + + A-Optimo N=19 C.D.O α=1.633 + + + A-Optimo N=19 DCC pequeño α=1.0 + + - A-Optimo N=19 Factorial + + + A-Optimo N=19 S. Cristóbal O α=1.0 + + + A-Optimo N=19 San Cristóbal + + + A-Optimo N=19 PP III + + - A-Optimo N=19 PP II + + - A-Optimo N=19
A-Optimo N=19
PP I + + + A-Optimo N=19
C.D. O α=2.20 + + + Cudrado Doble C.D. O α=1.848 + nulo nulo Cudrado Doble Compuesto central α=1.0 + + - Cudrado Doble A- Optimo N=13 + + + Cudrado Doble Hexágono nc=3 + + - Cudrado Doble DCC Rotable α=1.4142 + + + Cudrado Doble D-Optimo N=13 + + + Cudrado Doble DCC pequeño α=1.4142 + + + Cudrado Doble C.D.O α=1.633 + nulo nulo Cudrado Doble DCC pequeño α=1.0 + + + Cudrado Doble Factorial + + + Cudrado Doble S. Cristóbal O α=1.0 + + + Cudrado Doble San Cristóbal + + + Cudrado Doble
Cudrado Doble
PP III + + - Cudrado Doble
61
PP II + + - Cudrado Doble PP I + + + Cudrado Doble
C.D. O α=1.848 - - - C.D. O α=1.848 Compuesto central α=1.0 + + - C.D.O. α=2.20 A- Optimo N=13 + + + C.D.O. α=2.20 Hexágono nc=3 + + - C.D.O. α=2.20 DCC Rotable α=1.4142 + + + C.D.O. α=2.20 D-Optimo N=13 + + + C.D.O. α=2.20 DCC pequeño α=1.4142 + + + C.D.O. α=2.20 C.D.O α=1.633 + - - C.D.O. α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - C.D.O. α=2.20 Factorial + + + C.D.O. α=2.20 S. Cristóbal O α=1.0 + + + C.D.O. α=2.20 San Cristóbal + + + C.D.O. α=2.20 PP III + + - C.D.O. α=2.20 PP II + + - C.D.O. α=2.20
Cuadrado Doble Ortogonal α=2.20
PP I + + + C.D.O. α=2.20
Compuesto central α=1.0 + + - C.D.O α=1.848 A- Optimo N=13 + + + C.D.O α=1.848 Hexágono nc=3 + + - C.D.O α=1.848 DCC Rotable α=1.4142 + + + C.D.O α=1.848 D-Optimo N=13 + + + C.D.O α=1.848 DCC pequeño α=1.4142 + + + C.D.O α=1.848 C.D.O α=1.633 + nulo nulo C.D.O α=1.848 DCC pequeño α=1.0 + + - C.D.O α=1.848 Factorial + + + C.D.O α=1.848 S. Cristóbal O α=1.0 + + + C.D.O α=1.848 San Cristóbal + + + C.D.O α=1.848 PP III + + - C.D.O α=1.848 PP II + + - C.D.O α=1.848
Cudrado Doble Ortogonal α=1.848
PP I + + + C.D.O α=1.848
A- Optimo N=13 + - - A- Optimo N=13 Hexágono nc=3 + + - C.C α=1.0 DCC Rotable α=1.4142 + + + C.C α=1.0 D-Optimo N=13 + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142 + + + C.C α=1.0 C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - C.C α=1.0 Factorial + + + C.C α=1.0 S. Cristóbal O α=1.0 + + + C.C α=1.0 San Cristóbal + + + C.C α=1.0 PP III + + - C.C α=1.0 PP II + + - C.C α=1.0
Compuesto central α=1.0
PP I + + + C.C α=1.0
Hexágono nc=3 + + - A-Optimo N=13 DCC Rotable α=1.4142 + + + A-Optimo N=13 D-Optimo N=13 + + - A-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142 + + + A-Optimo N=13 C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - A-Optimo N=13 Factorial + + + A-Optimo N=13 S. Cristóbal O α=1.0 + + + A-Optimo N=13 San Cristóbal + + + A-Optimo N=13 PP III + + - A-Optimo N=13 PP II + + - A-Optimo N=13
A-Optimo N=13
PP I + + + A-Optimo N=13
DCC Rotable α=1.4142 + - - DCC Rotable α=1.4142 D-Optimo N=13 + - - D-OPTIMO
62
DCC pequeño α=1.4142 + + + Hexágono nc=3 C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + + Hexágono nc=3 Factorial + nulo - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + nulo - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + Hexágono nc=3 PP III + + + Hexágono nc=3 PP II + + - Hexágono nc=3
Hexágono nc=3
PP I + + + Hexágono nc=3
D-Optimo N=13 + - - D-Optimo N=13 DCC pequeño α=1.4142 + + - DCC Rotable α=1.4142 C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - DCC Rotable α=1.4142 Factorial + + + DCC Rotable α=1.4142 S. Cristóbal O α=1.0 + + + DCC Rotable α=1.4142 San Cristóbal + + + DCC Rotable α=1.4142 PP III + + - DCC Rotable α=1.4142 PP II + + - PP II
Diseño Compuesto Central Rotable α=1.4142
PP I + + - DCC Rotable α=1.4142
DCC pequeño α=1.4142 + + - D-Optimo N=13 C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + + - D-Optimo N=13 Factorial + + + D-Optimo N=13 S. Cristóbal O α=1.0 + + + D-Optimo N=13 San Cristóbal + + + D-Optimo N=13 PP III + + - PP III** PP II + + - PP II**
D-Optimo N=13
PP I + + - D-Optimo N=13
C.D.O α=1.633 + - - C.D.O α=1.633 DCC pequeño α=1.0 + - - DCC pequeño α=1.41 Factorial + - - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + - - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + DCC pequeño α=1.41 PP III + + - PP III PP II + + - PP II
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.4142
PP I + + - DCC pequeño α=1.41
DCC pequeño α=1.0 + - - DCC pequeño α=1.0 Factorial + + + C.D.O. α=1.633 S. Cristóbal O α=1.0 + + + C.D.O. α=1.633 San Cristóbal + + - C.D.O. α=1.633 PP III + + - PP III PP II + + - PP II
Cuadrado Doble Ortogonal α=1.633
PP I + + - C.D.O. α=1.633
Factorial + - - Factorial S. Cristóbal O α=1.0 + - - S. Cristóbal O α=1.0 San Cristóbal + + + DCC pequeño α=1.0 PP III + + - DCC pequeño α=1.0 PP II + + - PP II
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0 PP I + + + DCC pequeño α=1.0
San Cristóbal + + - Factorial
Y S. C. O. α=1.0
PP III + + - PP III PP II + + - PP II
Factorial Y S. C. O. α=1.0
PP I + + - PP I PP III - - - PP III
63
PP II - - - PP II PP I - - - PP I
PP II - - - PP II
PP III PP I + + + PP III PP II PP 1 + + + PP II
C. RESULTADOS DE LOS CRITERIOS 1 Y 5 PARA DISEÑOS CON TRES FACTORES.
C.1 . Cuadro correspondiente a los resultados obtenidos mediante el primer criterio
cuando los diseños son de tres factores.
Signo de los valores característicos de la diferencia ( ) ( )12 ξξ DD −
Diseño Preferido Diseño ξ1 Diseño ξ2
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ7 λ8 λ9 λ10
C.D. O α=2.82 + + + + + + + - - - C.D. O α=2.82 D- Optimo N=29 + + + + + + - - - - D- Optimo N=29 C.D. O α=1.54 + + + + + + + + + - C.D. O α=1.54 Cubo Doble + + + + + + - - - - Cubo Doble Factorial + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 A- Optimo N=23 + + + + + + + + - - A- Optimo N=23 S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + + + + + + + - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + + + + + + - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + + - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC α=1.732 + + + + + + + + - - DCC α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + + - - - - PP III PP II + + + + + + - - - - PP II PP I + + + + + + - - - - PP I Koshal + + + + + + + + - - Koshal
A-óptimo N=29
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
D- Optimo N=29 + + + - - - - - - - D- Optimo N=29 C.D. O α=1.54 + + + + + + nulo nulo - - C.D. O α=1.54 Cubo Doble + + - - - - - - - - Cubo Doble Factorial + + + - - - - - - - Factorial A- Optimo N=23 + + + + + + + - - - A- Optimo N=23 S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + + + + - - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + + + - - - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + + - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + + + - - DCC central
α=1.732
Cubo Doble Ortogonal α=2.82
San Cristóbal + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82
64
DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - DCC pequeño α=1.0
PP III + + + + + + + - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + + - - Koshal Híbrido D10 + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82
C.D. O α=1.54 + + + + + + + + - - C.D. O α=1.54 Cubo Doble + + + + + + - - - - Cubo Doble Factorial + + + + + + + + - - Factorial A- Optimo N=23 + + + + + + + + - - A- Optimo N=23 S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + + + + + - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + + + + + + - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + + + - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + + - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + + + - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + + D- Optimo N=29 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + + + - - - PP III PP II + + + + + + - - - - PP II PP I + + + + + + - - - - PP I Koshal + + + + + + + - - - Koshal
D- Optimo N=29
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
Cubo Doble + + + - - - - - - - Cubo Doble Factorial + + + - - - - - - - Factorial A- Optimo N=23 + + + + + + + - - - A- Optimo N=23 S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + + - - - - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + + + - - - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + + - - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + + - - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + - - San Cristóbal DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + - - - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + + - - Koshal
Cubo Doble Ortogonal α=1.54
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
Factorial + + + + + - - - - - Factorial A- Optimo N=23 + + + + + + - - - - A- Optimo N=23 S.C. O α=0.82 + + + + + + + + - - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + + + + - - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + + + + + + + Cubo Doble Box- Behnken + + + + + + + + - - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + + - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + + + - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + - - San Cristóbal DCC pequeño α=1.0 + + + + + - - - - - DCC pequeño
α=1.0
Cubo Doble
PP III + + + + + + - - - - PP III
65
PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + + - - - - PP I Koshal + + + + + + + + - - Koshal Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
A- Optimo N=23 + + + + + + + - - - A- Optimo N=23 S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + + + + - - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + + + + + + - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + + - - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + + - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + + + - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + - - San Cristóbal DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + - - - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + - - - Koshal
Factorial 33
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + + + + - - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + + + - - - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + - - - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + + - - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + + A- Optimo N=23 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + - - - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + - - - Koshal
A- Optimo N=23
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
D-óptimo N=23 + + + - - - - - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + - - - - - - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + - - - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + + - - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + - San Cristóbal DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + - - - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + - - - Koshal
San Cristóbal Ortogonal α=0.82
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
DCC α=1.0 + + + + + + + - - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + - - - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + + - - - DCC central
α=1.732
San Cristóbal + + + + + + + - - - San Cristóbal
66
DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - DCC pequeño α=1.0
PP III + + + + + - - - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + - - - Koshal
D-óptimo N=23
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
Box- Behnken + + + + + + + + - - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + + - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + + + - - - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + - - - San Cristóbal DCC pequeño α=1.0 + + + + - - - - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + - - - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + - - - Koshal
Diseño Compuesto Central α=1.0
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
DCC Rotatorio α=1681 + + + + - - - - - - DCC Rotatorio
α=1681 DCC central α=1.732 + + + + - - - - - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + - - - San Cristóbal DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + - - - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + - - - Koshal
Box- Behnken nc=3
Híbrido D10 + + + + + + + + + - Híbrido D10
DCC central α=1.732 + + + + - - - - - - DCC central
α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + - San Cristóbal DCC pequeño α=1.0 + + + + + - - - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + + + - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + + + - Koshal
Diseño Compuesto Central Rotatorio α=1681
Híbrido D10 + + + + + + + + + + DCC Rotatorio α=1681
San Cristóbal + + + + + + + + - - San Cristóbal DCC pequeño α=1.0 + + + + + - - - - - DCC pequeño
α=1.0 PP III + + + + + + + - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + + + + + + + - Koshal
Diseño Compusto Central α=1.732
Híbrido D10 + + + + + + + + + + DC Central α=1.732
DCC pequeño α=1.0 + + + + + - - - - - DCC pequeño α=1.0
PP III + + + + + - - - - - PP III PP II + + + + + - - - - - PP II PP I + + + + + - - - - - PP I Koshal + + + - - - - - - - Koshal
San Cristobal
Híbrido D10 + + + + + + + - - - Híbrido D10
67
PP III + + + - - - - - - - PP III PP II + + + - - - - - - - PP II PP I + + + - - - - - - - PP I Koshal + + + + - - - - - - Koshal
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0 Híbrido D10 + + + + + + - - - - Híbrido D10
PP II + + + + - - - - - - PP II PP I + + + + + + + - - - PP I Koshal + + + + + - - - - - Koshal
PP III
Híbrido D10 + + + + + + - - - - Híbrido D10
PP I + + + + + + + + + + PP II Koshal + + + + + + + - - - Koshal
PP II
Híbrido D10 + + + + + + - - - - Híbrido D10
Koshal + + + + + + + - - - Koshal PP I Híbrido D10 + + + + + + - - - - Híbrido D10
Koshal Híbrido D10 + + + + + + + - - - Híbrido D10
C.2 . Cuadro correspondiente a los resultados obtenidos mediante el criterio 5 cuando los diseños son de tres factores.
Signo de los valores característicos de la diferencia ( ) ( )12 ξξ DD −
Diseño ξ1 Diseño ξ2
λ1 λ2 λ3 λ4
Diseño preferido
C.D. O α=2.82 + + + - C.D. O α=2.82 D- Optimo N=29 + + - - D- Optimo N=29 C.D. O α=1.54 + + + - C.D. O α=1.54 Cubo Doble + + + - Cubo Doble Factorial + + + + A-óptimo N=29 A- Optimo N=23 + + + + A-óptimo N=29 S.C. O α=0.82 + + + + A-óptimo N=29 D-óptimo N=23 + + + + A-óptimo N=29 DCC α=1.0 + + + - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + A-óptimo N=29 DCC Rotatorio α=1681 + + + + A-óptimo N=29 DCC α=1.732 + + + + A-óptimo N=29 San Cristóbal + + + + A-óptimo N=29 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + + - PP III PP II + + + - PP II PP I + + + + A-óptimo N=29 Koshal + + + + A-óptimo N=29
A-óptimo N=29
Híbrido D10 + + + + A-óptimo N=29
D- Optimo N=29 + - - - D- Optimo N=29 C.D. O α=1.54 nulo nulo nulo - C.D. O α=1.54 Cubo Doble - - - - Cubo Doble Factorial + - - - Factorial A- Optimo N=23 + + + + C.D.O. α=2.82 S.C. O α=0.82 + + + + C.D.O. α=2.82 D-óptimo N=23 + + + - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + - DCC α=1.0
Box- Behnken + + + + C.D.O. α=2.82
68
DCC Rotatorio α=1681 + + + + C.D.O. α=2.82 DCC central α=1.732 + + + + C.D.O. α=2.82 San Cristóbal + + + + C.D.O. α=2.82 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + + - PP III PP II + + - - PP II PP I + + + - PP I Koshal + + + + C.D.O. α=2.82
Cubo Doble Ortogonal α=2.82
Híbrido D10 + + + + C.D.O. α=2.82
C.D. O α=1.54 + + + - C.D. O α=1.54 Cubo Doble + + + - Cubo Doble Factorial + + + - Factorial A- Optimo N=23 + + + + D- Optimo N=29 S.C. O α=0.82 + + + - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + + D- Optimo N=29 DCC α=1.0 + + + - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + D- Optimo N=29 DCC Rotatorio α=1681 + + + + D- Optimo N=29 DCC central α=1.732 + + + + D- Optimo N=29 San Cristóbal + + + + D- Optimo N=29 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + + - PP III PP II + + + - PP II PP I + + + - PP I Koshal + + + + D- Optimo N=29
D- Optimo N=29
Híbrido D10 + + + + D- Optimo N=29
Cubo Doble - - - - Cubo Doble Factorial + - - - Factorial A- Optimo N=23 + + + + C.D.O. α=1.54 S.C. O α=0.82 + + + + C.D.O. α=1.54 D-óptimo N=23 + + + - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + C.D.O. α=1.54 Box- Behnken + + + + C.D.O. α=1.54 DCC Rotatorio α=1681 + + + + C.D.O. α=1.54 DCC central α=1.732 + + + + C.D.O. α=1.54 San Cristóbal + + + + C.D.O. α=1.54 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + + - PP III PP II + + - - PP II PP I + + + - PP I Koshal + + + + C.D.O. α=1.54
Cubo Doble Ortogonal α=1.54
Híbrido D10 + + + + C.D.O. α=1.54
Factorial + - - - Factorial A- Optimo N=23 + + + + Cubo Doble S.C. O α=0.82 + + + + Cubo Doble D-óptimo N=23 + + + - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + + Cubo Doble Box- Behnken + + + + Cubo Doble DCC Rotatorio α=1681 + + + + Cubo Doble DCC central α=1.732 + + + + Cubo Doble San Cristóbal + + + + Cubo Doble DCC pequeño α=1.0 + + + + Cubo Doble PP III + + + - PP III PP II + + - - PP II PP I + + + - PP I Koshal + + + + Cubo Doble
Cubo Doble
Híbrido D10 + + + + Cubo Doble
A- Optimo N=23 + + + + Factorial
69
S.C. O α=0.82 + + + - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + + - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + Factorial DCC Rotatorio α=1681 + + + + Factorial DCC central α=1.732 + + + + Factorial San Cristóbal + + + + Factorial DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + - - PP III PP II + + - - PP II PP I + + - - PP I Koshal + + + + Factorial Híbrido D10 + + + + Factorial
S.C. O α=0.82 + + + - S.C. O α=0.82 D-óptimo N=23 + + - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + A- Optimo N=23 DCC central α=1.732 + + + + A- Optimo N=23 San Cristóbal + + + + A- Optimo N=23 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + - - PP III PP II + + - - PP II PP I + + - - PP I Koshal + + + + A- Optimo N=23
A- Optimo N=23
Híbrido D10 + + + + A- Optimo N=23
D-óptimo N=23 + - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + - - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + - - - DCC Rotatorio α=1681 DCC central α=1.732 + - - - DCC central α=1.732 San Cristóbal + + + + S.C.O. α=0.82 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + - - PP III PP II + + - - PP II PP I + + + - PP I Koshal + + + + S.C.O. α=0.82
San Cristóbal Ortogonal α=0.82
Híbrido D10 + + + + S.C.O. α=0.82
DCC α=1.0 + + + - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + - Box- Behnken DCC Rotatorio α=1681 + + + + D-óptimo N=23 DCC central α=1.732 + + + + D-óptimo N=23 San Cristóbal + + + + D-óptimo N=23 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + - - PP III PP II + + - - PP II PP I + + - - PP I Koshal + + + + D-óptimo N=23
D-óptimo N=23
Híbrido D10 + + + + D-óptimo N=23
Box- Behnken + + + + D.C.Central α=1.0 DCC Rotatorio α=1681 + + + - DCC Rotatorio α=1681 DCC central α=1.732 + nulo - - DCC central α=1.732 San Cristóbal + + + + D.C.Central α=1.0 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + + - PP III PP II + + - - PP II PP I + + + - PP I
Diseño Compuesto Central α=1.0 Koshal + + + + D.C.Central α=1.0
70
Híbrido D10 + + + + D.C.Central α=1.0
DCC Rotatorio α=1681 + - - - DCC Rotatorio α=1681 DCC central α=1.732 + - - - DCC central α=1.732 San Cristóbal + + + + Box- Behnken DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + - - PP III PP II + + - - PP II PP I + + - - PP I Koshal + + + + Box- Behnken
Box- Behnken
Híbrido D10 + + + + Box- Behnken
DCC central α=1.732 + - - - DCC central α=1.732 San Cristóbal + + + + DCC Rotatorio α=1681 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + - - PP III PP II + + - - PP II PP I + + - - PP I Koshal + + + + DCC Rotatorio α=1681
DCC Rotatorio α=1681
Híbrido D10 + + + + DCC Rotatorio α=1681
San Cristóbal + + + + DCC central α=1.732 DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + - - PP III PP II + + - - PP II PP I + + - - PP I Koshal + + + + DCC central α=1.732
DCC central α=1.732
Híbrido D10 + + + + DCC central α=1.732
DCC pequeño α=1.0 + + + - DCC pequeño α=1.0 PP III + + - - PP III PP II + + - - PP II PP I + + - - PP I Koshal + + + - Koshal
San Cristóbal
Híbrido D10 + + + + San Cristóbal
PP III + - - - PP III PP II - - - - PP II PP I + - - - PP I Koshal + - - - Koshal
DCC pequeño α=1.0
Híbrido D10 + - - - Híbrido D10
PP II + - - - PP II PP I + + + + PP III Koshal + + + + PP III
PP III
Híbrido D10 + + + - Híbrido D10
PP I + + + + PP II Koshal + + + + PP II
PP II
Híbrido D10 + + + - Híbrido D10
Koshal + + + + PP I PP I Híbrido D10 + + + - Híbrido D10
Koshal Híbrido D10 + + - - Híbrido D10
71
D. RESULTADOS DE LOS CRITERIOS 1 Y 5 CONSIDERANDO SÓLO LAS DIAGONALES DE LAS MATRICES DE DISPERSIÓN PARA DISEÑOS CON TRES FACTORES.
D.1. Cuadro correspondiente a los resultados obtenidos mediante el primer criterio cuando se
consideran sólo las diagonales de las matrices de dispersión para diseños con tres factores.
Signo de los valores característicos de la diferencia ( ) ( )12 ξξ DD −
Diseño ξ1
Diseño ξ2
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ7 λ8 λ9 λ10
Signo de la traza
Diseño Preferido tomando como
regla que la mayoría de los
valores característicos sea
positivos. C.D. O α=2.82 + + + + + + - - - - + A-óptimo N=29 D- Optimo N=29 + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 C.D. O α=1.54 + + + + + + + + + - + A-óptimo N=29 Cubo Doble + + + + + + - - - - + A-óptimo N=29 Factorial + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 A- Optimo N=23 + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 S.C. O α=0.82 + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 D-óptimo N=23 + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 DCC α=1.0 + + + + + + + + + - + A-óptimo N=29 Box- Behnken + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - + A-óptimo N=29 DCC α=1.732 + + + + + + + - - - + A-óptimo N=29 San Cristóbal + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + A-óptimo N=29 PP III + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 PP II + + + + + + + + + - + A-óptimo N=29 PP I + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29 Koshal + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29
A-óptimo N=29
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + A-óptimo N=29
D- Optimo N=29 + + + + - - - - - - + D- Optimo N=29 C.D. O α=1.54 + + + + + + indef indef indef - + C.D.O. α=2.82 Cubo Doble + + + - - - - - - - + Cubo Doble Factorial + + + + - - - - - - + Factorial A- Optimo N=23 + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 S.C. O α=0.82 + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 D-óptimo N=23 + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 DCC α=1.0 + + + + + + - - - - + C.D.O. α=2.82 Box- Behnken + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 DCC α=1.732 + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 San Cristóbal + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + C.D.O. α=2.82 PP III + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 PP II + + + + + + + + + - + C.D.O. α=2.82 PP I + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82 Koshal + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82
Cubo Doble Ortogonal α=2.82
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + C.D.O. α=2.82
C.D. O α=1.54 + + + + + + + + + - + D- Optimo N=29 Cubo Doble + + + + + + - - - - + D- Optimo N=29 Factorial + + + + + + + + + + + D- Optimo N=29 A- Optimo N=23 + + + + + + + + + + + D- Optimo N=29 S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - + D- Optimo N=29 D-óptimo N=23 + + + + + + + + + + + D- Optimo N=29
DCC α=1.0 + + + + + + + + + - + D- Optimo N=29
72
Box- Behnken + + + + + + + + + + + D- Optimo N=29 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - + D- Optimo N=29 DCC α=1.732 + + + + + + + - - - + D- Optimo N=29 San Cristóbal + + + + + + + + + + + D- Optimo N=29 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + D- Optimo N=29 PP III + + + + + + + + + - + D- Optimo N=29 PP II + + + + + + + + + - + D- Optimo N=29 PP I + + + + + + + + + - + D- Optimo N=29 Koshal + + + + + + + + + + + D- Optimo N=29
D- Optimo N=29
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + D- Optimo N=29
Cubo Doble + + + - - - - - - - + Cubo Doble Factorial + + + + - - - - - - + Factorial A- Optimo N=23 + + + + + + + - - - + C.D.O. α=1.54 S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - + C.D.O. α=1.54 D-óptimo N=23 + + + + + + + + + + + C.D.O. α=1.54 DCC α=1.0 + + + + + + + - - - + C.D.O. α=1.54 Box- Behnken + + + + + + + + + + + C.D.O. α=1.54 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - + C.D.O. α=1.54 DCC α=1.732 + + + + + + + - - - + C.D.O. α=1.54 San Cristóbal + + + + + + + + + + + C.D.O. α=1.54 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + C.D.O. α=1.54 PP III + + + + + + + + + + + C.D.O. α=1.54 PP II + + + + + + + + + - + C.D.O. α=1.54 PP I + + + + + + + + + + + C.D.O. α=1.54 Koshal + + + + + + + + + + + C.D.O. α=1.54
Cubo Doble Ortogonal α=1.54
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + C.D.O. α=1.54
Factorial + + + + - - - - - - + Factorial A- Optimo N=23 + + + + + + + - - - + Cubo Doble S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - + Cubo Doble D-óptimo N=23 + + + + + + + - - - + Cubo Doble DCC α=1.0 + + + + + + + + + + + Cubo Doble Box- Behnken + + + + + + + - - - + Cubo Doble DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - + Cubo Doble DCC α=1.732 + + + + + + + - - - + Cubo Doble San Cristóbal + + + + + + + + + + + Cubo Doble DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + - - - + Cubo Doble PP III + + + + + + + + + + + Cubo Doble PP II + + + + + + + + + - + Cubo Doble PP I + + + + + + + + + + + Cubo Doble Koshal + + + + + + + + + + + Cubo Doble
Cubo Doble
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + Cubo Doble
A- Optimo N=23 + + + + + + + - - - + Factorial S.C. O α=0.82 + + + + + + - - - - + Factorial D-óptimo N=23 + + + + + + + + + + + Factorial DCC α=1.0 + + + + + + + + + - + Factorial Box- Behnken + + + + + + + + + + + Factorial DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - + Factorial DCC α=1.732 + + + + + + + - - - + Factorial San Cristóbal + + + + + + + + + + + Factorial DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + Factorial PP III + + + + + + + + + - + Factorial PP II + + + + + + + + + - + Factorial PP I + + + + + + + + + - + Factorial Koshal + + + + + + + + + + + Factorial
Factorial 33
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + Factorial
S.C. O α=0.82 + + + + + + + - - - + A- Optimo N=23 D-óptimo N=23 + + + - - - - - - - + D-óptimo N=23
DCC α=1.0 + + + + + + - - - - + A- Optimo N=23
73
Box- Behnken + + + + + + + + + - + A- Optimo N=23 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - + A- Optimo N=23 DCC α=1.732 + + + + + + + - - - + A- Optimo N=23 San Cristóbal + + + + + + + + + + + A- Optimo N=23 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + A- Optimo N=23 PP III + + + + + + + + + - + A- Optimo N=23 PP II + + + + + + + + + - + A- Optimo N=23 PP I + + + + + + + + + - + A- Optimo N=23 Koshal + + + + + + + + + + + A- Optimo N=23
A- Optimo N=23 Híbrido D10 + + + + + + + + + + + A- Optimo N=23
D-óptimo N=23 + + + + - - - - - - + D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + - - - - - - - + DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + + + + + + + S.C.O. α=0.82 DCC Rotatorio α=1.681
+ + + + - - - - - - + DCC Rotatorio α=1.681
DCC α=1.732 + + + + - - - - - - + DCC α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + + + S.C.O. α=0.82 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + S.C.O. α=0.82 PP III + + + + + + + + + - + S.C.O. α=0.82 PP II + + + + + + + + + - + S.C.O. α=0.82 PP I + + + + + + + + + - + S.C.O. α=0.82 Koshal + + + + + + + + + + + S.C.O. α=0.82
San Cristóbal Ortogonal α=0.82
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + S.C.O. α=0.82
DCC α=1.0 + + + + + + - - - - + D-óptimo N=23 Box- Behnken + + + + + + - - - - + D-óptimo N=23 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - + D-óptimo N=23 DCC α=1.732 + + + + + + + - - - + D-óptimo N=23 San Cristóbal + + + + + + + + + + + D-óptimo N=23 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - + D-óptimo N=23 PP III + + + + + + + + + - + D-óptimo N=23 PP II + + + + + + + + + - + D-óptimo N=23 PP I + + + + + + + + + - + D-óptimo N=23 Koshal + + + + + + + + + + + D-óptimo N=23
D-óptimo N=23
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + D-óptimo N=23
Box- Behnken + + + + + + + - - - + D.C.C α=1.0 DCC Rotatorio α=1681 + + + + + + + - - - + D.C.C α=1.0 DCC α=1.732 + + + + - - - - - - + DCC α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + + + D.C.C α=1.0 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - + D.C.C α=1.0 PP III + + + + + + + + + + + D.C.C α=1.0 PP II + + + + + + + + + - + D.C.C α=1.0 PP I + + + + + + + + + + + D.C.C α=1.0 Koshal + + + + + + + + + + + D.C.C α=1.0
Diseño Compuesto Central α=1.0
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + D.C.C α=1.0
DCC Rotatorio α=1681 + + + + - - - - - - + DCC Rotatorio α=1681
DCC α=1.732 + + + + - - - - - - + DCC α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + + + Box- Behnken DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + Box- Behnken PP III + + + + + + + + + - + Box- Behnken PP II + + + + + + + + + - + Box- Behnken PP I + + + + + + + + + - + Box- Behnken Koshal + + + + + + + + + + + Box- Behnken
Box- Behnken
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + Box- Behnken
DCC α=1.732 + + + + - - - - - - + DCC α=1.732 San Cristóbal + + + + + + + + + + + DCC ROT α=1.681 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + DCC ROT α=1.681
Diseño Compuesto
PP III + + + + + + + + + - + DCC ROT α=1.681
74
PP II + + + + + + + + + - + DCC ROT α=1.681 PP I + + + + + + + + + - + DCC ROT α=1.681 Koshal + + + + + + + + + + + DCC ROT α=1.681
Central Rotatorio α=1.681
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + DCC ROT α=1.681
San Cristóbal + + + + + + + + + + + DCC α=1.732 DCC pequeño α=1.0 + + + + + + + + + - + DCC α=1.732 PP III + + + + + + + + + - + DCC α=1.732 PP II + + + + + + + + + - + DCC α=1.732 PP I + + + + + + + + + - + DCC α=1.732 Koshal + + + + + + + + + + + DCC α=1.732
Diseño Compuesto Central α=1.732
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + DCC α=1.732
DCC pequeño α=1.0 + + + + + + - - - - + San Cristóbal PP III + + + + + + + + + - + San Cristóbal PP II + + + + + + - - - - + San Cristóbal PP I + + + + + + + + + - + San Cristóbal Koshal + + + + + + + + + - + San Cristóbal
San Cristóbal
Híbrido D10 + + + + + + + + + + + San Cristóbal
PP III + + + + + + + - - - + D.C.C. PEQ. α=1.0 PP II + + + + + + - - - - + D.C.C. PEQ. α=1.0 PP I + + + + + + + - - - + D.C.C. PEQ. α=1.0 Koshal + + + + + + + - - - + D.C.C. PEQ. α=1.0
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0 Híbrido D10 + + + + + + + + - - + D.C.C. PEQ. α=1.0
PP II + + + - - - - - - - + PP II PP I + + + + + + + + + + + PP III Koshal + + + + + + + + + + + PP III
PP III
Híbrido D10 + + + + + + + + - - + PP III
PP I + + + + + + + + + + + PP II Koshal + + + + + + + + + + + PP II
PP II
Híbrido D10 + + + + + + + - - - + PP II
Koshal + + + + - - - - - - + INDEFINIDO PP I Híbrido D10 + + + + + - - - - - + INDEFINIDO
Koshal Híbrido D10 + + + - - - - - - - + Koshal
D.2. Cuadro correspondiente a los resultados obtenidos mediante el criterio 5 cuando se consideran sólo las diagonales de las matrices de dispersión para diseños con dos factores.
. Signo de los valores característicos
de la diferencia ( ) ( )12 ξξ DD − Diseño ξ1 Diseño ξ2
λ1 λ2 λ3 λ4
Signo de la traza
Diseño Preferido tomando como
regla que la mayoría de los
valores característicos sea positivos.
C.D. O α=2.82 + + + - + A-óptimo N=29 D- Optimo N=29 + + + + + A-óptimo N=29 C.D. O α=1.54 + + + - + A-óptimo N=29 Cubo Doble + + + - + A-óptimo N=29 Factorial + + + + + A-óptimo N=29 A- Optimo N=23 + + + + + A-óptimo N=29 S.C. O α=0.82 + + + + + A-óptimo N=29 D-óptimo N=23 + + + + + A-óptimo N=29
DCC α=1.0 + + + - + A-óptimo N=29
75
Box- Behnken + + + + + A-óptimo N=29 DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + A-óptimo N=29
DCC α=1.732 + + + + + A-óptimo N=29 San Cristóbal + + + + + A-óptimo N=29 DCC pequeño α=1.0 + + + - + A-óptimo N=29 PP III + + + + + A-óptimo N=29 PP II + + + - + A-óptimo N=29 PP I + + + + + A-óptimo N=29 Koshal + + + + + A-óptimo N=29
A-óptimo N=29
Híbrido D10 + + + + + A-óptimo N=29
D- Optimo N=29 + - - - + D- Optimo N=29 C.D. O α=1.54 nulo nulo nulo - - C.D. O α=1.54 Cubo Doble - - - - - Cubo Doble Factorial + - - - + Factorial A- Optimo N=23 + + + + + C.D.O α=2.82 S.C. O α=0.82 + + + + + C.D.O α=2.82 D-óptimo N=23 + + + + + C.D.O α=2.82 DCC α=1.0 + + + - + C.D.O α=2.82 Box- Behnken + + + + + C.D.O α=2.82 DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + C.D.O α=2.82 DCC α=1.732 + + + + + C.D.O α=2.82 San Cristóbal + + + + + C.D.O α=2.82 DCC pequeño α=1.0 + + + - + C.D.O α=2.82 PP III + + + + + C.D.O α=2.82 PP II + + + - + C.D.O α=2.82 PP I + + + + + C.D.O α=2.82 Koshal + + + + + C.D.O α=2.82
Cubo Doble Ortogonal α=2.82
Híbrido D10 + + + + + C.D.O α=2.82
C.D. O α=1.54 + + + - - C.D. O α=1.54 Cubo Doble + + + - - Cubo Doble Factorial + + + + + D- Optimo N=29 A- Optimo N=23 + + + + + D- Optimo N=29S.C. O α=0.82 + + + + + D- Optimo N=29D-óptimo N=23 + + + + + D- Optimo N=29DCC α=1.0 + + + - + D- Optimo N=29Box- Behnken + + + + + D- Optimo N=29DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + D- Optimo N=29
DCC α=1.732 + + + + + D- Optimo N=29San Cristóbal + + + + + D- Optimo N=29DCC pequeño α=1.0 + + + - + D- Optimo N=29PP III + + + - + D- Optimo N=29PP II + + + - + D- Optimo N=29PP I + + + - + D- Optimo N=29Koshal + + + + + D- Optimo N=29
D- Optimo N=29
Híbrido D10 + + + + + D- Optimo N=29
Cubo Doble - - - - - Cubo Doble Factorial + - - - + Factorial A- Optimo N=23 + + + + + C.D.O. α=1.54 S.C. O α=0.82 + + + + + C.D.O. α=1.54 D-óptimo N=23 + + + + + C.D.O. α=1.54 DCC α=1.0 + + + + + C.D.O. α=1.54 Box- Behnken + + + + + C.D.O. α=1.54 DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + C.D.O. α=1.54 DCC α=1.732 + + + + + C.D.O. α=1.54 San Cristóbal + + + + + C.D.O. α=1.54
Cubo Doble Ortogonal α=1.54
DCC pequeño α=1.0 + + + - + C.D.O. α=1.54
76
PP III + + + + + C.D.O. α=1.54 PP II + + + - + C.D.O. α=1.54 PP I + + + + + C.D.O. α=1.54 Koshal + + + + + C.D.O. α=1.54 Híbrido D10 + + + + + C.D.O. α=1.54
Factorial + - - - + Factorial A- Optimo N=23 + + + + + Cubo Doble S.C. O α=0.82 + + + + + Cubo Doble D-óptimo N=23 + + + + + Cubo Doble DCC α=1.0 + + + + + Cubo Doble Box- Behnken + + + + + Cubo Doble DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + Cubo Doble
DCC α=1.732 + + + + + Cubo Doble San Cristóbal + + + + + Cubo Doble DCC pequeño α=1.0 + + + + + Cubo Doble PP III + + + + + Cubo Doble PP II + + + - + Cubo Doble PP I + + + + + Cubo Doble Koshal + + + + + Cubo Doble
Cubo Doble
Híbrido D10 + + + + + Cubo Doble
A- Optimo N=23 + + + + + Factorial 33 S.C. O α=0.82 + + + - + Factorial 33 D-óptimo N=23 + + + + + Factorial 33 DCC α=1.0 + + + - + Factorial 33 Box- Behnken + + + + + Factorial 33 DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + Factorial 33
DCC α=1.732 + + + + + Factorial 33 San Cristóbal + + + + + Factorial 33 DCC pequeño α=1.0 + + + - + Factorial 33 PP III + + + - + Factorial 33 PP II + + + - + Factorial 33 PP I + + + - + Factorial 33 Koshal + + + + + Factorial 33
Factorial 33
Híbrido D10 + + + + + Factorial 33
S.C. O α=0.82 + + + - + A- Optimo N=23 D-óptimo N=23 - - - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 + + + - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + - + A- Optimo N=23 DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + A- Optimo N=23
DCC α=1.732 + + + + + A- Optimo N=23 San Cristóbal + + + + + A- Optimo N=23 DCC pequeño α=1.0 + + + - + A- Optimo N=23 PP III + + + - + A- Optimo N=23 PP II + + + - + A- Optimo N=23 PP I + + + - + A- Optimo N=23 Koshal + + + + + A- Optimo N=23
A- Optimo N=23
Híbrido D10 + + + + + A- Optimo N=23
D-óptimo N=23 + - - - - D-óptimo N=23 DCC α=1.0 - - - - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + + + S.C.O α=0.82 DCC Rotatorio α=1681
+ - - - + DCC Rotatorio α=1681
DCC α=1.732 + - - - + DCC α=1.732 San Cristóbal + + + + + S.C.O α=0.82 DCC pequeño α=1.0 + + + - + S.C.O α=0.82
San Cristóbal Ortogonal α=0.82 PP III + + + - + S.C.O α=0.82
77
PP II + + + - - S.C.O α=0.82 PP I + + + - + S.C.O α=0.82 Koshal + + + + + S.C.O α=0.82 Híbrido D10 + + + + + S.C.O α=0.82
DCC α=1.0 + + + - - DCC α=1.0 Box- Behnken + + + - + D-óptimo N=23 DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + D-óptimo N=23
DCC α=1.732 + + + + + D-óptimo N=23 San Cristóbal + + + + + D-óptimo N=23 DCC pequeño α=1.0 + + + - + D-óptimo N=23 PP III + + + - + D-óptimo N=23 PP II + + + - + D-óptimo N=23 PP I + + + - + D-óptimo N=23 Koshal + + + + + D-óptimo N=23
D-óptimo N=23
Híbrido D10 + + + + + D-óptimo N=23
Box- Behnken + + + + + D.C.C. α=1.0 DCC Rotatorio α=1681
+ + + + + D.C.C. α=1.0
DCC α=1.732 + - - - + DCC α=1.732 San Cristóbal + + + + + D.C.C. α=1.0 DCC pequeño α=1.0 + + + - + D.C.C. α=1.0 PP III + + + + + D.C.C. α=1.0 PP II + + + - + D.C.C. α=1.0 PP I + + + + + D.C.C. α=1.0 Koshal + + + + + D.C.C. α=1.0
Diseño Compuesto Central α=1.0
Híbrido D10 + + + + + D.C.C. α=1.0
DCC Rotatorio α=1681
+ - - - + DCC Rotatorio α=1681
DCC α=1.732 + - - - + DCC α=1.732 San Cristóbal + + + + + Box- Behnken DCC pequeño α=1.0 + + + - + Box- Behnken PP III + + + - + Box- Behnken PP II + + + - - PP II PP I + + + - + Box- Behnken Koshal + + + + + Box- Behnken
Box- Behnken
Híbrido D10 + + + + + Box- Behnken
DCC α=1.732 + - - - + DCC α=1.732San Cristóbal + + + + + DCC Rotatatorio
α=1.681 DCC pequeño α=1.0 + + + - + DCC Rotatatorio
α=1.681 PP III + + + - - PP III PP II + + + - - PP II PP I + + + - - PP I Koshal + + + + + DCC Rotatatorio
α=1.681
Diseño Compuesto Central Rotatorio α=1.681
Híbrido D10 + + + + + DCC Rotatatorio α=1.681
San Cristóbal + + + + + D.C.C α=1.732 DCC pequeño α=1.0 + + + - + D.C.C α=1.732 PP III + + + - - PP III PP II + + + - - PP II PP I + + + - - PP I Koshal + + + + + D.C.C α=1.732
Diseño Compuesto Central α=1.732 Híbrido D10 + + + + + D.C.C α=1.732
DCC pequeño α=1.0 + + + - + San Cristóbal PP III + + + - - PP III
78
PP II - - - - - PP II PP I + - - - - PP I Koshal + + + - + San Cristóbal
San Cristóbal
Híbrido D10 + + + + + San Cristóbal
PP III + - - - - PP III PP II - - - - - PP II PP I + - - - - PP I Koshal + - - - - Koshal
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0 Híbrido D10 + + - - + DCC pequeño
α=1.0 PP II - - - - - PP II PP I + + + + + PP III Koshal + + + + + PP III
PP III
Híbrido D10 + + + + + PP III PP I + + + + + PP II Koshal + + + + + PP II
PP II
Híbrido D10 + + + + + PP II
Koshal + + + + + PP I PP I Híbrido D10 + + + + + PP I
Koshal Híbrido D10 + + - - + Koshal
79
E. MATRICES DISEÑO PARA DOS Y TRES FACTORES DE LOS DISEÑOS EXPERIMENTALES COMPARADOS EN ESTE TRABAJO.
E1. Matrices diseño con dos factores.
=
1- 1- 1- 1- 0 1- 0 1- 1 1- 1 1- 1- 0 1- 0 1- 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1- 1 1- 1 0 1 0 1 1 1 1 1
X
Diseño D-óptimo N=19
=
1- 1- 1- 1- 0 1- 0 1- 0 1- 1 1- 1 1- 1- 0 1- 0 1- 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1- 1 1- 1 0 1 0 1
1 1
X
Diseño A-óptimo N=19
80
=
1.0 0.0 1.0- 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0- 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5- 0.5- 0.5 0.5- 0.5-
1.0 1.0 1.0 1.0- 1.0- 1.0 1.0- 1.0-
X
Diseño Cuadrado Doble.
=
1.1 0.0 1.1- 0.0
0.0 1.1 0.0 1.1- 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5- 0.5- 0.5 0.5- 0.5-
1.0 1.0 1.0 1.0- 1.0- 1.0 1.0- 1.0-
X
Cuadrado Doble Ortogonal α=2.20
=
1.000 0.000 1.000- 0.000
0.000 1.000 0.000 1.000- 0.000 0.000 0.500 0.500 0.500 0.500- 0.500- 0.500 0.500- 0.500-
0.924 0.924 0.924 0.924- 0.924- 0.924 0.924- 0.924-
X
Diseño Cuadrado Doble α= 1.848
=
0 0 0 0 0 0 1 0 1- 0
0 1 0 1-
1 1 1- 1 1 1- 1- 1-
X
Diseño Compuesto Central α= 1.0.
81
=
1- 1-1- 1-0 1-0 1-1 1-1- 0 1- 0 0 0 0 0 1 0 1- 1 0 1 1 1
X
Diseño A-Óptima N=13.
=
0.000 0.0 0.000 0.0 0.000 0.0 0.866- 0.5 0.866- 0.5-
0.000 1.0- 0.866 0.5-
0.866 0.5 0.000 1.0
X
Diseño Hexágono nc=3.
=
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.4142 0.0000 1.4142- 0.0000 0.0000 1.4142 0.0000 1.4142-
1.0000 1.0000 1.0000- 1.0000 1.0000 1.0000-
1.0000- 1.0000-
X
Diseño Compuesto Central rotatorio α=1.4142.
=
1- 11- 10 10 11 11- 01- 00 01 01- 11- 10 11 1
X
Diseño D-óptimo N=13.
82
=
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.4142 0.0000 1.4142- 0.0000 0.0000 1.4142 0.0000 1.4142-
1.0000 1.0000 1.0000- 1.0000-
X
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.4142.
=
1.0000 0.0000 1.0000- 0.0000
0.0000 1.0000 0.0000 1.0000-0.0000 0.0000 0.8165 0.8165 0.8165 0.8165-0.8165- 0.8165 0.8165- 0.8165-
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000-1.0000- 1.0000 1.0000- 1.0000-
X
Diseño Cuadrado Doble α=1.633.
=
0 0 0 0 0 0 1 0 1- 0
0 1 0 1-
1 1 1- 1-
X
Diseño Compuesto Central pequeño α=1.0.
=
1 1 0 1 1- 1 1 0 0 0 1- 0 1 1- 0 1- 1- 1-
X
Diseño Factorial 32
=
0 0 1 0 0 1 1- 0 0 1-
1 1 1- 1 1 1-
1- 1-
X
Diseño San Cristóbal Ortogonal α=1.0.
=
1.00000 0.33333-0.33333- 1.00000 0.33333- 0.33333-
0.33333 0.33333 1.00000- 0.33333 0.33333 1.00000-1.00000- 1.00000-
X
Diseño San Cristóbal.
83
=
0.9 0.4 0.4 0.9 0.9- 0.4- 0.4- 0.9-
0.0 0.0 0.4 0.4 0.4- 0.4 0.4 0.4- 0.4- 0.4-
X
=
0.9 0.3 0.3 0.9 0.9- 0.3- 0.3- 0.9-
0.0 0.0 0.3 0.3 0.3 0.3- 0.3- 0.3 0.3- 0.3-
X
=
1.000 0.333 1.000- 0.333-
0.333 1.000 0.333- 1.000-
0.333 0.333 0.333 0.333- 0.333- 0.333 0.333- 0.333-
X
Diseño Plan Puebla III Diseño Plan Puebla II Diseño Plan Puebla I
84
E2. Matrices diseño con tres factores.
=
1- 1- 1- 0 1- 1- 1 1- 1- 1- 0 1- 0 0 1- 1 0 1- 1- 1 1- 0 1 1- 1 1 1- 1- 1- 0 0 1- 0 0 1- 0 1 1- 0 1- 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1- 1 0 0 1 0 1 1 0 1- 1- 1 0 1- 1 1 1- 1 1- 0 1 0 0 1 1 0 1 1- 1 1 0 1 1 1 1 1
X
Matriz A-Optimo N=29
=
1.411 0.000 0.000 1.411- 0.000 0.000
0.000 1.411 0.000 0.000 1.411- 0.000 0.000 0.000 1.411 0.000 0.000 1.411- 0.000 0.000 0.000 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500- 0.500 0.500- 0.500
0.500 0.500- 0.500- 0.500- 0.500 0.500 0.500- 0.500 0.500- 0.500- 0.500- 0.500 0.500- 0.500- 0.500-
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000- 1.000 1.000- 1.000 1.000 1.000- 1.000- 1.000- 1.000 1.000 1.000- 1.000 1.000- 1.000- 1.000- 1.000 1.000- 1.000- 1.000-
X
Matriz Cubo Doble Ortogonal α=2.82
=
1- 1- 1- 0 1- 1- 1 1- 1- 1- 0 1- 0 0 1- 0 0 1- 1 0 1- 1- 1 1- 0 1 1- 1 1 1- 1- 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 1 1- 0 1- 0 0 0 0 0 1 0 0 1- 1 0 0 1 0 1 1 0 1- 1- 1 0 1- 1 1 1- 1 1- 0 1 0 0 1 1 0 1 1- 1 1 0 1 1 1 1 1
X
Diseño D-óptimo N=29
85
=
1.0000 0.0000 0.0000 1.0000- 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000- 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000- 0.0000 0.0000 0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000- 0.5000 0.5000- 0.5000 0.5000 0.5000- 0.5000-
0.5000- 0.5000 0.5000 0.5000- 0.5000 0.5000- 0.5000- 0.5000- 0.5000 0.5000- 0.5000- 0.5000-
0.7721 0.7721 0.7721 0.7721 0.7721 0.7721-
0.7721 0.7721- 0.7721 0.7721 0.7721- 0.7721- 0.7721- 0.7721 0.7721 0.7721- 0.7721 0.7721- 0.7721- 0.7721- 0.7721 0.7721- 0.7721- 0.7721-
X
Diseño Cubo Doble ortogonal α=1.5443
=
1.0 0.0 0.0 1.0- 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 1.0- 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 1.0-0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5-0.5 0.5- 0.5 0.5 0.5- 0.5- 0.5- 0.5 0.5 0.5- 0.5 0.5-0.5- 0.5- 0.5 0.5- 0.5- 0.5-
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0-1.0 1.0- 1.0 1.0 1.0- 1.0-1.0- 1.0 1.0 1.0- 1.0 1.0-1.0- 1.0- 1.0 1.0- 1.0- 1.0-
X
Diseño Cubo Doble.
=
1 1 1 0 1 1 1- 1 1 1 0 1 0 0 1 1- 0 1 1 1- 1 0 1- 1 1- 1- 1
1 1 0 0 1 0 1- 1 0 1 0 0 0 0 0 1- 0 0 1 1- 0 0 1- 0 1- 1- 0
1 1 1- 0 1 1- 1- 1 1- 1 0 1- 0 0 1- 1- 0 1- 1 1- 1- 0 1- 1- 1- 1- 1-
X
Deseño Factorial 33
86
=
1- 1- 1- 0 1- 1- 1 1- 1- 1- 0 1- 0 0 1- 1 0 1- 1- 1 1- 0 1 1- 1- 1- 0 0 1- 0 1 1- 0 1- 0 0 0 0 0 1 0 0 1- 1 0 0 1 0 1 1 0 1- 1- 1 0 1- 1 1- 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1
X
A-óptimo N=23
=
0.00 0.00 0.00 1.64 0.00 0.00 0.00 1.64 0.00 0.00 0.00 1.64 0.82- 0.00 0.00 0.82- 0.00 0.00 0.00 0.82- 0.00 0.00 0.82- 0.00 0.00 0.00 0.82- 0.00 0.00 0.82-
1.00 1.00 1.00 1.00- 1.00 1.00 1.00 1.00- 1.00 1.00- 1.00- 1.00 1.00 1.00 1.00- 1.00- 1.00 1.00- 1.00 1.00- 1.00- 1.00- 1.00- 1.00-
X
Diseño San Cristóbal Ortogonal α=0.82
=
1- 1- 1-1 1- 1-1- 0 1-0 0 1-1 0 1-1- 1 1-0 1 1-1 1 1-1- 1- 0 0 1- 0 1 1- 0 1- 0 0 0 0 0 1 0 0 1- 1 0 0 1 0 1- 1- 1 0 1- 1 1 1- 1 1- 0 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1
X
Diseño D-óptimo N=23
=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1- 0 0
0 1 0 0 1- 0
0 0 1 0 0 1-
1 1 1 1 1 1- 1 1- 1 1- 1 1 1 1- 1- 1- 1 1- 1- 1- 1
1- 1- 1-
X
Diseño Compuesto Central α=1.0
87
=
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1- 1 0 1 1- 0 1- 1- 0
1 0 1 1- 0 1 1 0 1- 1- 0 1-
0 1 1 0 1- 1 0 1 1-
0 1- 1-
X
Diseño Box- Behnken.
=
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.682 0.000 0.000 1.682- 0.000 0.000
0.000 1.682 0.000 0.000 1.682- 0.000
0.000 0.000 1.682 0.000 0.000 1.682-
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000- 1.000 1.000- 1.000 1.000- 1.000 1.000 1.000 1.000- 1.000- 1.000- 1.000 1.000- 1.000- 1.000- 1.000 1.000- 1.000- 1.000-
X
Diseño Compuesto Central Rotatorio α=1.681
=
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.732 0.000 0.000 1.732- 0.000 0.000
0.000 1.732 0.000 0.000 1.732- 0.000
0.000 0.000 1.732 0.000 0.000 1.732-
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000- 1.000 1.000- 1.000 1.000- 1.000 1.000 1.000 1.000- 1.000- 1.000- 1.000 1.000- 1.000- 1.000- 1.000
1.000- 1.000- 1.000-
X
Diseño Compuesto Central α=1.732
=
1.00000 0.33333- 0.33333- 0.33333- 1.00000 0.33333- 0.33333- 0.33333- 1.00000 0.33333- 0.33333- 0.33333-
0.33333 0.33333 0.33333 1.00000- 0.33333 0.33333 0.33333 1.00000- 0.33333 1.00000- 1.00000- 0.33333 0.33333 0.33333 1.00000- 1.00000- 0.33333 1.00000- 0.33333 1.00000- 1.00000-
1.00000- 1.00000- 1.00000-
X
Diseño San Cristóbal.
88
=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1- 0 0
0 1 0 0 1- 0
0 0 1 0 0 1-
1 1 1- 1 1- 1 1- 1 1 1- 1- 1-
X
Diseño Compuesto Central
pequeño α=1.0
=
0.9 0.4 0.4 0.4 0.9 0.4 0.4 0.4 0.9
0.9- 0.4- 0.4- 0.4- 0.9- 0.4- 0.4- 0.4- 0.9-
0.0 0.0 0.0 0.4 0.4 0.4 0.4- 0.4 0.4 0.4 0.4- 0.4 0.4- 0.4- 0.4 0.4 0.4 0.4- 0.4- 0.4 0.4- 0.4 0.4- 0.4- 0.4- 0.4- 0.4-
X
Diseño Plan Puebla III
=
0.9 0.3 0.3 0.3 0.9 0.3 0.3 0.3 0.9
0.9- 0.3- 0.3- 0.3- 0.9- 0.3- 0.3- 0.3- 0.9-
0.0 0.0 0.0 0.3 0.3 0.3 0.3- 0.3 0.3 0.3 0.3- 0.3 0.3- 0.3- 0.3 0.3 0.3 0.3- 0.3- 0.3 0.3- 0.3 0.3- 0.3- 0.3- 0.3- 0.3-
X
Diseño Plan Puebla II
=
1.000 0.333 0.333 1.000- 0.333- 0.333-
0.333 1.000 0.333 0.333- 1.000- 0.333-
0.333 0.333 1.000 0.333- 0.333- 1.000-
0.333 0.333 0.333 0.333- 0.333 0.333 0.333 0.333- 0.333 0.333- 0.333- 0.333 0.333 0.333 0.333- 0.333- 0.333 0.333- 0.333 0.333- 0.333- 0.333- 0.333- 0.333-
X
Diseño Plan Puebla I
89
=
1 1 0 1 0 1 0 1 1
1- 0 0 0 1- 0 0 0 1- 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
X
=
0.9273- 1.736- 0.000 0.9273- 1.736 0.000 0.9273- 0.000 1.736-
0.9273- 0.000 1.736 0.6386 1.000 1.000 0.6386 1.000 1.000- 0.6386 1.000- 1.000 0.6386 1.000- 1.000- 0.1360- 0.000 0.000
1.2906 0.000 0.000
X
Diseño Koshal. Diseño Híbrido D10
90
F. PROGRAMAS SAS, QUE GENERAN LAS ESTADÍSTICAS DE COMPARACIÓN DE LOS CRITERIOS.
F1. Programa que genera los resultados para los criterios 2, 3 y 4, para dos factores. PROC IML; PRINT "PROGRAMA 2, DOS FACTORES"; USE AOPT2; READ ALL INTO X; N=NROW(X); P=NCOL(X); X1=X[ ,1]; X2=X[ ,2]; X3=X[ ,3]; S=SUM(X2); SC=SSQ(X2); MED=S/N; VAR=(SC-((S**2)/N))*(1/N); VARINV=1/VAR; DESV=SQRT(VARINV); X11=X1#DESV; X2EST=(X2-MED)*DESV; X3EST=(X3-MED)*DESV; X22=X2EST##2; X33=X3EST##2; X23=(X2#X3)*VARINV; XFIN=X11||X2EST||X3EST||X22||X33||X23; PRINT XFIN; XX1=T(XFIN)*XFIN; XINV=INV(T(XFIN)*XFIN); PRINT XINV; VC=EIGVAL(XINV); PRINT VC; D=DET(XINV); T=TRACE(XINV); PRINT D T; DIA=DIAG(XINV); DIA1=DIA[2 3 4 5 6,2 3 4 5 6]; MAX=MAX(DIA1); PRINT MAX; STORE XINV; SUMA=SUM(X22); PRINT SUMA; RUN; QUIT;
91
F2. Programa que genera los resultados para los criterios 2, 3 y 4, para tres factores. PROC IML; PRINT "PROGRAMA 2, TRES FACTORES"; USE KOSHAL; READ ALL INTO X; N=NROW(X); P=NCOL(X); X1=X[ ,1]; X2=X[ ,2]; X3=X[ ,3]; X4=X[ ,4]; S=SUM(X2); SC=SSQ(X2); MED=S/N; VAR=(SC-((S**2)/N))*(1/N); VARINV=1/VAR; DESV=SQRT(VARINV); X11=X1#DESV; X2EST=(X2-MED)*DESV; X3EST=(X3-MED)*DESV; X4EST=(X4-MED)*DESV; X22=X2EST##2; X33=X3EST##2; X44=X4EST##2; X23=X2EST#X3EST; X24=X2EST#X4EST; X34=X3EST#X4EST; XFIN=X11||X2EST||X3EST||X4EST||X22||X33||X44||X23||X24||X34; PRINT XFIN; XX1=T(XFIN)*XFIN; XINV=INV(T(XFIN)*XFIN); PRINT XINV; D=DET(XINV); T=TRACE(XINV); PRINT D T; DIA=DIAG(XINV); DIA1=DIA[2 3 4 5 6,2 3 4 5 6]; MAX=MAX(DIA1); PRINT MAX; STORE XINV; SUMA=SUM(X22); PRINT SUMA; RUN; QUIT;
92
F3. Programa que genera los resultados para los criterios 1, y 5 para dos factores. PROC IML; " CRITERIOS 1 Y 5 DOS FACTORES" L=1 0 0 0 0 0, 0 1 0 0 0 0, 0 0 1 0 0 0; LOAD XINV; LOAD XXINV; DIF=DIAG(XXINV)-DIAG(XINV); PRINT DIF; VAL=EIGVAL(DIF); PRINT VAL; TR=TRACE(DIF); PRINT TR; CL=L*DIAG(XINV)*T(L); /*PRINT CL;*/ CL1=L*DIAG(XXINV)*T(L); DIF1=CL1-CL; PRINT DIF1; VAL1=EIGVAL(DIF1); TRAZA=TRACE(DIF1); PRINT TRAZA; PRINT VAL1; F4. Programa que genera los resultados para los criterios 1, y 5 para tres factores. PROC IML; "PROGRAMA PARA CRITERIOS 1 Y 5, TRES FACTORES" L=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0; LOAD XINV; LOAD XXINV; DIF=DIAG(XXINV)-DIAG(XINV); PRINT DIF; VAL=EIGVAL(DIF); PRINT VAL; TT=TRACE(DIF); PRINT TT; CL=L*XINV*T(L); /*PRINT CL;*/ CL1=L*XXINV*T(L); DIF1=CL1-CL; VAL1=EIGVAL(DIF1); PRINT VAL1; RUN;
93
F5. Programa que nos permite generar diseños A-óptimos y D-óptimos con dos factores. data ejemplo; input x1 x2; cards; Datos del arreglo factorial ; proc print; PROC OPTEX DATA=ejemplo CODING=static; CLASS x1 x2 ; MODEL x1 x2 x1*x1 x2*x2 x1*x2; /*INITDESIGN=data set; METHOD=sequential;*/ /*BLOCKS COVAR=ejemplo VAR=(x1 x2 x3) INIT=RANDOM;*/ examine number=1 design; GENERATE ITER=100 CRITERION=D METHOD=FEDOROV KEEP=2 INITDESIGN=PARTIAL; /*ID x1 x2 x3;*/ run; F6. Programa que nos permite generar diseños A-óptimos y D-óptimos con tres factores. data ejemplo; input x1 x2 x3; cards; Datos del arreglo factorial. ; proc print; PROC OPTEX DATA=ejemplo CODING=NONE; CLASS x1 x2 x3 ; MODEL x1 x2 x3 x1*x1 x2*x2 x3*x3 x1*x2 x1*x3 x2*x3; /*INITDESIGN=data set; METHOD=sequential;*/ /*BLOCKS COVAR=ejemplo VAR=(x1 x2 x3) INIT=RANDOM;*/ examine number=1 design; GENERATE ITER=100 CRITERION=A METHOD=FEDOROV KEEP=2 INITDESIGN=PARTIAL; /*ID x1 x2 x3;*/ run;