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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS

DEL ESTADO DE SONORA

Módulo de aprendizaje

MATEMÁTICAS I

Hermosillo, Sonora; agosto de 2009

Registro ISBN:

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA

Bachillerato General (Centros de Servicios de Educación Media Superior a Distancia)

Dirección Académica

Subdirección de Desarrollo Académico

Departamento de Desarrollo Curricular

Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe,

Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249

Matemáticas I


Copyright ©, 2009 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora

Todos los derechos reservados

Primera edición 2009. Impreso en México

DIRECTORIO

MDO. Roberto Lagarda Lagarda

Director General

Mtro. Martín Antonio Yépiz Robles

Director Académico

C.P. Dora Luz López

Directora de Administración y Finanzas

Mtro. Juan Antonio Tristán Muñiz

Director de Planeación

Lic. Carlos Quinto Mendívil Montiel

Director de Vinculación

C.P. Rafael Pablos Tavares

Titular del Órgano de Control y Desarrollo Administrativo

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Matemáticas I

Datos del alumno

Nombre ________________________________________________________

Plantel _______________________Grupo ______________Turno _________

Domicilio _______________________________________________________

___________________________________ Teléfono ___________________

Celular _____________________ e-mail _____________________________

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UBICACIÓN CURRICULAR

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA

Bachillerato General (Centros de Servicios de Educación Media Superior a Distancia)

Dirección Académica

Subdirección de Desarrollo Académico

Departamento de Desarrollo Curricular

Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe,

Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249

Matemáticas I


Primer semestre

Elaboradores

Marisela Armenta Castro

Georgina Favela Uvamea

Valente Fuentes Figueroa

Agustín Grijalva Monteverde

Silvia Elena Ibarra Olmos

Gilberto Perea Mendoza

Corrección de estilo

Héctor A. de la Rosa Quintero

Supervisión académica

María Asunción Santana Rojas

Eneida Esmeralda Montaño Martínez

Norma Lilia Gracia Ojeda

Jesús Enrique Córdova Bustamante

Edición y diseño

Rogelio Villa García

Elisa Sofía Valdez Alcorn

Coordinación técnica

Laura Isabel Quiroz Colossio

Coordinación general

Martín Antonio Yépiz Robles

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BACHILLERATO GENERAL UBICACIÓN CURRICULAR

COMPONENTE:

de Formación Básica

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

Matemáticas I

HORAS SEMANALES: 5 CRÉDITOS: 10

ASIGNATURA

ANTECEDENTE:

Ninguna

ASIGNATURA

CONSECUENTE:

Matemáticas II

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ESTRUCTURA GENERAL DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS I

Matemáticas I

BLOQUE I Resuelve problemas aritméticos y

algebraicos

BLOQUE II

Utiliza magnitudes y números reales

BLOQUE III Realiza sumas y sucesiones de

números

BLOQUE IV Realiza transformaciones

algebraicas I

BLOQUE V

Realiza operaciones algebraicas II

BLOQUE VI Realiza ecuaciones lineales I

BLOQUE VII

Resuelve Ecuaciones Lineales II

BLOQUE VIII

Resuelve Ecuaciones Cuadráticas I

BLOQUE IX

Resuelve ecuaciones cuadráticas II

10

ÍNDICE

Presentación……………………….……………………………………………………………..........

12

Recomendaciones para el alumno ……………………………………………………………......... 13

Competencias………………………………………………………………………………………….. 15

Bloque I. Resuelve problemas aritméticos y algebraicos 17

1.1. Realiza operaciones aritméticas, siguiendo una jerarquía en el orden de ejecución……… 18

1.2. Establece significados y propiedades de las diferentes representaciones de los números reales y las variables genéricas……………………………………………………………………… 18

Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………….. 19

Bloque II. Utiliza magnitudes y números reales 33

2.1. Realiza operaciones con números reales utilizando las propiedades fundamentales…….. 34

2.2. Utiliza tasas, razones y variaciones……………………………………………………………. 34

Evaluación diagnóstica ……………………………………………………………………………….. 35

Bloque III. Realiza sumas y sucesiones de números 69

3.1. Identifica e interpreta sucesiones y series aritméticas……………………………………….. 70

3.2. Identifica e interpreta sucesiones y series aritméticas……………………………………….. 70

Evaluación diagnóstica………………………………………………………………………………. 71

Bloque IV. Realiza transformaciones algebraicas I 87

4.1. Identifica las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variable………………………………………………………………………………………………… 88

4.2. Comprende las técnicas de factorización basadas en productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados……………………………………………………………. 88


11

Bloque V. Realiza transformaciones algebraicas II 113

5.1. Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos, como producto de factores lineales………………………………………………………………………………………………….

114

5.2. Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios……………………………………………………………………………… 114


Bloque VI. Realiza ecuaciones lineales I 131

6.1. Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales ……………………………... 132

6.2. Transita de ecuaciones a funciones lineales y viceversa al modelar y solucionar diversas situaciones…………………………………………………………………………………………….. 132

6.3. Reconoce diversas técnicas para graficar la función lineal………………………………….. 132


Bloque VII. Resuelve ecuaciones lineales 159

7.1. Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2)……….. 160

7.2. Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 3x3……………………………. 160


Bloque VIII. Resuelve ecuaciones cuadráticas I 181

8.1. Identifica ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable……………………... 182

8.2. Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas completas…………………….. 182


Bloque IX. Resuelve ecuaciones cuadráticas II 195

9.1 Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas…………………………….... 196

9.2 Resuelve ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y gráficos………………………. 196

9.3 Aprecia la utilidad de la fórmula cuadrática y su discriminante, para resolver ecuaciones cuadráticas completas con todo tipo de coeficientes y conocer la naturaleza de las raíces…………………………………………………………………………………………………… 196


12

Autoevaluaciones………………………………………………………………………………………… 211

Instrumentos de evaluación…………………………………………..…………………………....... 215

Glosario………………………………………………...………………………………………………. 217

Referencias……………………………………………………………………………………………. 221

13

PRESENTACIÓN

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Matemáticas I, que cursarás durante este tu primer semestre.

La asignatura de Matemáticas I, tiene como propósito desarrollar la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes, mediante procesos de razonamiento, argumentación y estructuración de ideas que conlleven al despliegue de distintos conocimientos, habilidades, actitudes y valores en la resolución de problemas matemáticos.

Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de nueve bloques.

En el contenido de estos bloques, se relaciona la teoría con la práctica, a través de ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para los alumnos que cursan esta asignatura.

Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases necesarias, para tu éxito académico.

14

RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO

El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los contenidos que se abordarán en la asignatura de Matemáticas I.

Los contenidos de Matemáticas I, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios, evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras, colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu profesor.

Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás:

Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser enriquecido consultando otras fuentes de información.

Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas conocimientos previos de lo que se estudiará.

Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje, propuestos.

Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes significativos.

Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura.

Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de aprendizaje, mismas que tienen un significado particular:

15

Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje, y así mismo despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te deseamos el mayor de los éxitos.

Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de cada unidad para saber su grado de conocimiento.

Ejercicio que se elaborará en equipo.

Ejercicio que se elaborará de manera individual.

Ejemplo del tema tratado en clase.

Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase.

Tarea de investigación.

Material recortable que se utilizará para resolver algunas de las tareas a elaborar en casa.

Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana.

Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad.

Aprendizajes a lograr al inicio de cada subtema.

16

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Al término del curso el estudiante construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números positivos y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales, para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Además de identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

17

COMPETENCIAS

Genéricas

Describen, fundamentalmente conocimientos, habilidades, actitudes y valores indispensables en la formación de los alumnos.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

3. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

4. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

6. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

7. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

8. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Disciplinares

Son conocimientos, habilidades y actitudes asociados con las disciplinas en las que tradicionalmente se ha organizado el saber y que todo bachiller debe adquirir.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

18

Bloque I

Resuelve problemas

aritméticos y

algebraicos

19

1.1. REALIZA OPERACIONES ARITMÉTICAS, SIGUIENDO UNA JERARQUÍA EN EL ORDEN DE

EJECUCIÓN

1.1.1. Identifica formas distintas de representación de los números positivos

1.1.2. Identifica formas distintas de representar los números decimales:(enteros, fracciones y porcentajes)

1.1.3. Escribe números decimales en forma de enteros, fracciones y porcentajes

1.1.4. Jerarquiza operaciones numéricas al ejecutarlas

1.1.5. Emplea expresiones numéricas para representar relaciones

1.1.6. Utiliza la calculadora como herramienta de exploración de resultados

1.2. ESTABLECE SIGNIFICADOS Y PROPIEDADES DE LAS DIFERENTES REPRESENTACIONES DE LOS

NÚMEROS REALES Y LAS VARIABLES ALGEBRAICAS

1.2.1. Identifica y reconoce los números reales y las variables algebraicas

1.2.2. Describe expresiones verbales mediante formas algebraicas y viceversa

1.2.3. Emplea expresiones algebraicas, usando literales, para representar relaciones entre magnitudes

1.2.4. Construye hipótesis, diseña y aplica modelos aritméticos sencillos

1.2.5. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica

1.2.6. Utiliza los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos relacionados

con los números reales las variables algebraicas

1.2.7. Utiliza la calculadora como herramienta de exploración de resultados

Temario

20

1.- Identifica el conjunto de números, en el cuál todos sus elementos pertenecen al conjunto de los números racionales. A = {2, 3, 5, √7} B= (2/3, 5, 1/6, 0.3) C= (√4, 5/6, 2/5, √5) D= (3, 5, π, e) 2.- ¿Cuál de las siguientes series de fracciones están ordenadas de de menor a mayor? a) 7/8, 5/4, 4/3, 11/6 b) 4/3, 11/6, 7/8, 5/4 c) 4/3, 11/6, 5/4, 7/4 d) 4/3, 5/4, 7/8, 11/6 3.- La siguiente tabla muestra el rendimiento de un automóvil en Km/lt de gasolina. Señala cuál de las opciones completa lo faltante:

Gasolina (litros) 15 20 25 30 35 40

Kilómetros 180 240

a) 300, 360, 400, 460 b) 300, 360, 420, 480 c) 320, 380, 440, 500 d) 360, 420, 480, 540

4.- Encuentra el valor de x: 9/x = 2/3 a) 27/2 b) 2/27 c) 6 d) 18/3 5.- ¿Cuánto es el 15 % de 60? a) 9 b) 69 c) 15 d) 30 6.- Un auto recorre 150Km con 12 litros de gasolina. ¿Cuántos litros se necesitan para recorrer 600 Km? a) 48 litros b) 3 litros c) 7500 litros d) 36 litros 7.- Efectúa las siguientes operaciones (3/4) + (1/2) +( 8/4)= a) 3(1/4) b) 24/32 c) 12/16 d12/10) 8.- Encontrar una ecuación equivalente a 15/35 a) 25/45 b) 7/3 c) 3/7 d) 10/30 9.- Realiza las siguientes operaciones tomando en cuenta la jerarquía de operaciones 8/2+4(3+2)= a) 24 b) 8/14 c) 13 d) 8/11 10. Identifica el conjunto de los números racionales positivos a) ( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3)

b) (√3, π, -π, -1, 2, -3) c) (π, √3, ¾, e, √5 )

d) (1/2, 3/7, 2, 4, 5/7)

Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, subrayando la opción correcta.

Evaluación diagnóstica

21

Los números reales

La noción de número es muy antigua, los pueblos primitivos usaban piedras para contar sus rebaños... En la actualidad de qué nos valemos para contar?

Los números que usamos para contar son los llamados números naturales, y designaremos al conjunto de estos números como N.

En este conjunto N, podemos sumar y multiplicar sin salirnos de él, (en este caso se dice que la suma y la multiplicación son cerradas), la resta no siempre es posible ya que si queremos resolver a-b donde b es mayor que a, necesitamos otros números... De aquí surgen los números negativos, que junto a los naturales forman el conjunto de los números enteros, que designaremos Z. En este conjunto, la suma, la resta y la multiplicación son cerradas.

¿Siempre es posible efectuar la división en Z?

Ejemplo: 4/3 =? Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 de por resultado 4. ¿Qué número entero cumple con ésta condición? Para poder resolver ésta situación vamos a introducir otro conjunto numérico: los números racionales. Los designaremos por la letra Q.

Un número racional es el cociente de dos números enteros m y n siendo n ≠ 0 (recordamos que la división por cero no está definida). En este conjunto, la suma, la resta, la multiplicación y la división son cerradas.

Veamos algunos ejemplos:

7/5 es racional porque 7 y 5 son enteros

0 es racional porque se puede expresar como 0/1 y ambos son enteros

0,5555....... es la expresión decimal del número racional 5/9

Todo número racional puede representarse como una expresión decimal periódica o limitada.

Por ejemplo:

37/33= 1.121212........= 1.12 periódica pura

32/90= 0.355555........= 0.35 periódica mixta

9/20= 0.45 decimal finita

Realiza operaciones aritméticas, siguiendo una jerarquía en el

orden de ejecución.

Establece significados y propiedades de las diferentes

representaciones de los números reales y las variables

algebraicas.

Aprendizajes a lograr

22

A continuación estableceremos cuando dos números racionales son iguales:

Sean m/n y p/q dos números racionales, m/n=p/q si y solo si m.q = n.p

¿Pueden representar todos los números que conocen mediante una expresión decimal limitada o periódica? Pidan a su calculadora el número π. El resultado que obtuvieron es sólo una aproximación. Hasta el año 1983 dos japoneses habían calculado 16.777.216 cifras decimales del número π.

Todo número cuya expresión decimal no es finita o periódica constituye un número irracional.

Otros ejemplos de números irracionales son:

Al conjunto de los números irracionales los designaremos con la letra Q’. La unión

de los conjuntos Q’ y Q constituye el conjunto de los reales ℜ.

Entonces, la relación de dependencia de estos conjuntos es: N⊂Z⊂Q; Q∪Q’= ℜ

Estas relaciones nos muestran la importancia de conocer las operaciones y sus

propiedades en ℜ pues con ello conocemos las operaciones y propiedades en N, Z y Q.

Números decimales

Las fracciones comunes que tienen como denominador 10 o una potencia de 10 se llaman fracciones decimales, es decir, las fracciones decimales resultan de dividir la unidad entre 10, 100, 1000, etc., partes iguales.

Las unidades decimales son: 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, etc., y se leen: un decimo, un centésimo, un milésimo, un diezmilésimo, etc., respectivamente.

23

Conversión de fracciones comunes en fracciones decimales

Toda fracción común expresa un cociente de dos enteros; para convertir una fracción común en fracción decimal basta con efectuar la división indicada, con lo cual obtenemos un cociente exacto o aproximado a sus términos.

El cociente es exacto, por eso se dice que

su expansión decimal es finita, se dice que

su período es cero.

En estos ejemplos el cociente no es exacto por lo que se dice que su expansión decimal es periódica. 0.333 = 0.3= 0.3 periódica pura 0.8333= 0.83= 0.83 periódica mixta A la cifra o cifras que se repiten se les

llama período.

En las fracciones decimales periódicas usualmente se indica el período, el cual se denota con un arco o una raya arriba de éste.

Investiga la conversión de fracciones decimales en fracciones comunes. Se va a evaluar la tarea mediante una lista de cotejo que se

encuentra en la página 215.

Tarea de investigación no. 1

EJEMPLO

24

Ejercicio no. 2

Expresa como cociente de dos enteros cada uno de los siguientes

números decimales. Se va a evaluar tu desempeño mediante una

lista de cotejo que se encuentra en la página 216.

Grupo

Ejercicio no. 1

Expresa como decimal cada uno de los siguientes números

racionales. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de

cotejo que se encuentra en la página 216.

Grupo

25

No. decimal Porcentaje Porcentaje No. decimal

0.3562

13.56%

1.36

56%

0.968

7%

0.8647

2.68%

2.65 46.25%

Jerarquía de las operaciones numéricas

Las reglas para el orden de la realización de las operaciones nos indican qué es lo que debemos hacer primero para realizar un cálculo matemático; estas reglas se representan en mediante el siguiente esquema:

[6 * (7 + 3*5) + 18÷3 - 4] * 3= [6 * (7 + 15) + 6 -4] * 3 = [6 * (22) + 6 -4] * 3 = [132 + 6 -4] * 3 = [134] * 3 = 402

EJEMPLO

Ejercicio no. 3

Expresen como porcentajes los números decimales y viceversa en

los siguientes ejercicios. Se va a evaluar tu desempeño mediante

una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.

Grupo

26

Operación Resultado

a) 7 + 3 * 5 – 2 =

b) (7 + 3) * 5 – 2 =

c) 7 + 3 * (5 – 2) =

d) (7 + 3) * (5 – 2)=

e) [2 * (7 + 3)] +10 =

f) [(7 - 5) + 18 ÷ 3 - 4] =

g) [1–(7)2+5*4+20÷4+(2)3]=

h) [6 ÷ (15 ÷ 5) + 4] =

i) [(7+30÷3*5)+60÷5]*2=

j) [(7*5)+18-3÷3-4]=

Ejercicio no. 4

Calcula las siguientes operaciones tomando en cuenta la jerarquía

de operaciones. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista

de cotejo que se encuentra en la página 216.

Grupo

27

Frutas y verduras el Sonorense

José María estuvo ayudando a su tía a atender un negocio de frutas y verduras que tiene en el Mercado Municipal, pues tenía cita médica en la Clínica del IMSS para tratar los problemas de salud que ya tiene permanentemente. En el puesto de su tía, además de las frutas y verduras, se venden también otros productos como leche, pan y queso.

Sin embargo, por las horas tempranas en las que José María estuvo atendiendo, los compradores fueron principalmente clientes que a su vez poseen abarrotes y se surten temprano en la mañana, previo a abrir sus respectivos negocios. José María aprovechó unas notas de venta incompletas que estaban en el escritorio de su tía, para organizar la información de lo que vendía y poder darle a ella una descripción completa sobre lo que había sucedido mientras estaba con el médico. Pero en las prisas por atender a todos y hacer las operaciones correspondientes, su información quedó incompleta.

¿Puedes ayudar a José María completando los datos faltantes en la siguiente nota?

FRUTAS Y VERDURAS “EL SONORENSE” Nota de Venta

CANTIDAD ARTÍCULO PRECIO UNITARIO TOTAL

85 kg Tomate $7.55 $641.75

53 kg Cebolla $6.99

22 kg Coliflor $324.50

112 kg Papa $1506.40

Chile Verde $11.35 $181.60

Queso $32.50 $650.00

TOTAL:

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno ___________________

Fecha _________________________________________________

Instrumento de Evaluación de producto Página 215

Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida

cotidiana.

28

La venta de lotes

Don Armando, el papá de mi amigo Juan Pedro, podrá jubilarse de su trabajo dentro de tres años y siempre nos platica que esa posibilidad le ocasiona sentimientos contradictorios por diversas razones. Una de ellas es que piensa con alegría en la oportunidad que tendrá de descansar y de hacer actividades de su agrado que ahora no puede realizar por atender a sus obligaciones laborales.

Pero, por otra parte, nos dice que pensar en ya no ver a sus compañeros de trabajo con la frecuencia que ahora lo hace, le causa tristeza. Además, dice, que si no encuentra la manera de obtener recursos económicos, la pensión no será suficiente para atender sus necesidades y mantener una vida digna. Este último aspecto, el de los recursos económicos, lo está enfrentando al invertir sus ahorros en una actividad de compra-venta de bienes raíces. Por ejemplo, hace seis meses compró un terreno de

a las afueras de la Ciudad de Navojoa, pero en una zona de crecimiento urbano.

El precio del terreno fue de $440,000.00.

Don Armando dividió el lote en 5 terrenos de y los vendió por separado a un costo

de $135.00 por metro cuadrado. ¿Cuánto dinero ganó en esta transacción?

Números reales y variables algebraicas

La diferencia fundamental del álgebra con respecto a la aritmética es que esta ultima utiliza para efectuar sus operaciones números concretos, las letras del alfabeto para representar cantidades (números) conocidas o desconocidas; o sea; los símbolos que utiliza el algebra para representar cantidades son los números concretos y las letras del alfabeto.

Para el cálculo del área de un triángulo se utiliza la fórmula:

en la que A representa el área, b la base y h la altura. A, b y h varía según el triángulo de que se trate y por eso se les llaman variables. El 2 no cambia, cantidades como esta cuyo valor no cambia, ya sea que se representen por números o por letras, se llaman constantes.

29

1. Expresión algebraica.

2. Término algebraico.

3. Elementos de un término.

4. Coeficiente.

5. Grado de un término.

Investigar los siguientes conceptos y escribe sobre la línea la

definición de cada uno de ellos. Utiliza las referencias

bibliográficas para la investigación. Se va a evaluar la tarea

mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 215.


30

EJEMPLO

x – y La mitad de la diferencia de dos números 2 cualesquiera

(x + y)3 El cubo de la suma de dos números cualesquiera

X2 + y2 La suma de los cuadrados de dos números

cualesquiera

Expresiones verbales mediante formas algebraicas y viceversa

Expresa en lenguaje algebraico las siguientes expresiones comunes.

1. “El doble de un número”, se representa por 2x.

2. “Un número aumentado en dos unidades”, se representa por x+2.

3. “El cuadrado de un número cualquiera”, se representa por x2.

Lenguaje común Lenguaje algebraico

El antecesor de un número

El sucesor de un número

Un número natural par

Lenguaje común Lenguaje algebraico

La suma de dos números

La diferencia de dos números

El producto de la suma de dos números por su diferencia

El cociente de dos números

Un número aumentado en 3 unidades

Un número disminuido en 5 unidades

El doble de un número

EJEMPLO

Ejercicio no. 5

Representen en lenguaje algebraico, las siguientes expresiones

comunes. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de


Grupo

31

Expresión algebraica Enunciado verbal

3(x + y)

3x + y

2(x + y)2

(a + b)2 + (a – b)2

1 + 1 a b

2x2y

a + b 10

3a2

4x – 6

Ejercicio no. 6

Traducir a enunciado verbal las siguientes expresiones

algebraicas. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de


Grupo

32

Resuelve los siguientes problemas:

1. Si al doble de cierto número se suma seis, el resultado es cuatro unidades menos que el triple del número. ¿Cuál es el número?

2. Encontrar el número cuya sexta parte más su novena parte es 15.

3. La suma de tres números naturales consecutivos es 198. ¿Cuáles son dichos números?

4. La suma de tres números pares consecutivos es 84. ¿Cuáles son dichos números?

5. En un triángulo isósceles, el ángulo distinto mide 30° más que los basales. ¿Cuál es la medida de cada ángulo basal?

6. Tres alumnos tienen 270 puntos. ¿Cuántos puntos tiene cada uno, si se sabe que

el segundo tiene tantos como el primero, menos 25 y el tercero tiene tantos como los otros dos juntos?

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ________________________ Turno: __________________

Fecha: _________________________________________________

Instrumento de Evaluación: de producto Página: 212


cotidiana.

33

Evaluación de expresiones algebraicas

El proceso de calcular el valor numérico de una expresión algebraica, cuando a cada

número literal de ella se le asigna un valor específico, se llama evaluación.

Para efectuar la evaluación de una expresión algebraica se sustituye el valor específico

de cada número literal en dicha expresión utilizando el paréntesis, y a continuación se

efectúan las operaciones correspondientes.

Evalúa la expresión 5x – 3yz, si x=4, y=-2 y z=3.

=5(4) – 3(-2)(3)

=202 + (6)(3)

=20 + 18

=38

Expresión algebraica Reemplazar: a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0 Resultado

dbca 325 2

dbca 325 2

fa36

53322 dcba

)(2)(3 dcba

253

abc

2)( cb

EJEMPLO

Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas que se presentan en la siguiente tabla. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.

Individual Ejercicio no. 7

34

Bloque II Utiliza magnitudes y

números reales

35

Temario

2.1. REALIZA OPERACIONES CON NÚMEROS REALES, UTILIZANDO LAS PROPIEDADES

FUNDAMENTALES

2.1.1. Identifica los elementos de los subconjuntos de los números reales

2.1.2. Ubica en la recta numérica: los números reales, simétricos, valor absoluto y la relación de orden

2.1.3. Identifica las formas distintas de representación y operaciones de los números reales

2.1.4. Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas

2.1.5. Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas en la resolución de

problemas tipo

2.1.6. Construye hipótesis y diseña o aplica modelos aritméticos y algebraicos de los números reales

2.2. UTILIZA TASAS, RAZONES Y VARIACIONES

2.2.1. Identifica las formas distintas de comparación y relación de los números reales tales como:

razones, tasas, proporciones y variaciones

2.2.2. Comprende el significado de razón, tasa y proporción

2.2.3. Interpreta la propiedad fundamental de las proporciones

2.2.4. Aplicar las propiedades fundamentales de las proporciones

2.2.5. Reconoce variaciones directas e inversas, así como modelos

2.2.6. Utiliza modelos de variación proporcional directa o inversa

36

1.- El resultado de la operación (6-2) + (1+3) – 3 corresponde a:

a) 9 b) 3 c) 8 d) 5 e) 11

2.- El resultado de la operación 2(3)2 - 4 corresponde a:

a)2 b) 14 c)8 d) 16 e) 10

3.- Al realizar las operaciones resulta:

a) 2 b)3 c) 1 d) 1 e) 0

4.- Al realizar las operaciones 6 -2-4-3 resulta:

a) -3 b)3 c) -15 d) -2 e) 15

5.- De acuerdo al número de elementos o términos que contiene, la expresión 2a+b recibe

el nombre de:

a) Polinomio b) Monomio c) Trinomio d) Binomio e) Fórmula

6.- El valor que corresponde a la operación 2(3)2 +2(2)-4 es:

a) 4 b) 12 c) 18 d) 10 e)8

7.- La simplificación de la expresión 3x-2x

a) 6x b) 5x2 c) x d) –x e) -5x2

8.- El producto de (2ab)(4ab2) equivale a :

a) 6ab2 b)8ab2 c) 8a2b2 d)8a2b3 e)6a2b3

9.- El cociente equivale a:

a) 4x6 b) 4x14 c) 12x14 d) 4x e)4x40

A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción

múltiple relacionadas con operaciones básicas. Esfuérzate por

contestarlas subrayando la respuesta correcta.


37

Los números reales

1. Números reales.

2. Ubicación en la recta numérica.

3. Números simétricos.

4. Valor absoluto.

Investiga los subconjuntos de los números reales, su

ubicación en la recta numérica, los simétricos y el valor

absoluto. Se va a evaluar la tarea mediante una lista de



Realiza operaciones con números reales, utilizando las

propiedades fundamentales.

Utiliza tasas, razones y variaciones.


38

Además de la representación simbólica que conocemos de los números

reales, , también lo podemos representar gráficamente en la recta numérica, de tal forma que a cada número le corresponde un punto en la misma y a cada punto en la recta numérica le corresponde un número Real.

1. Dados los siguientes números, contesta las siguientes preguntas:

¿Cuáles son números naturales? ________________________________________

___________________________________________________________________

¿Cuáles son números enteros? _________________________________________

___________________________________________________________________

¿Cuáles son números racionales? _______________________________________

___________________________________________________________________

¿Cuáles son números irracionales? ______________________________________

___________________________________________________________________

Ejercicio no. 1

“No 5” Realicen los ejercicios que se presentan a continuación. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.

Grupo

39

2. En la siguiente recta real, pinta con color: negro, la semirrecta positiva; rojo, la semirrecta negativa; y azul, el origen.

3. Localiza en la recta real los puntos asociados a los números siguientes:

4. Localiza en la recta real los simétricos de los siguientes números.

-5, 8, 9, -10, -3, 5, 4, -7, -1/2, 4/3,16/3, -25/4

5. Localiza en la recta real los valores absolutos de los siguientes números.

-5, 8, 9, -10, -3, 5, 4, -7, -4/3, -19/4,15/2, 20/8

Representaciones de los números

Carlos está ayudando a su hermana a hacer la tarea que le dejó su profesora de secundaria, para en entender las diferentes formas de representar a los números como fracciones y como cifras decimales. A continuación te mostramos algunos de los ejercicios en los que Juanita, la hermana de Carlos, tiene dificultades. ¿Puedes tú ayudarla respondiendo a las siguientes cuestiones?

a) Encuentra un número que esté situado entre 8.3 y 8.2

b) Encuentra un número ubicado entre -13.5 y -13.6

c) Busca un número que se encuentre entre y

40

Propiedades fundamentales de los números reales

Expresión de la tabla Propiedad de los números reales

6+9 = 9+6

9+0 = 9

25+ (-25)= 0

6+ (5+3) = (6+5)+3

12(6) = (6) (12)

1(4) = 4

7(6x5) = (7x6)5

8(1/8) = 1

Investiga cuáles son las propiedades fundamentales de las

operaciones de los números reales y anótalas en la siguiente

tabla. Se va a evaluar la tarea mediante una lista de cotejo que se



Ejercicio no. 2

Para cada expresión de la tabla, escribe la propiedad de los

números reales por la cual la proporción indicada es verdadera.

Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se


Grupo

41

a) ¿Qué tipos de números aparecieron en las actividades anteriores? Escríbelos y

clasifícalos, mediante los criterios que consideres convenientes en la siguiente tabla.

Tipos de números Característica común Clasificación

b) ¿Conoces algunos otros números que no hayan aparecido en los problemas previos?

Si tu respuesta es afirmativa, escribe algunos de ellos a continuación, describiéndolos

mediante la característica que consideres conveniente.

c) ¿Qué operaciones se pueden hacer con estos conjuntos de números?

Realiza lo que se te indica en cada uno de los siguientes ejercicios. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.


42

a) Si a y b son números reales, con , ¿es posible encontrar otro número entre ellos?

Esto es, un número que podemos llamar c que cumpla con .

b) ¿Cuántos números puedes encontrar que sean mayores que a y menores que b?

c) Si dos números reales a y b cumplen que , y están expresados en forma decimal,

¿cómo procedes para encontrar un número que sea mayor que a y menor que b?

d) Si dos números reales a y b cumplen que , y están expresados como el cociente

de dos números enteros (son dos números racionales) y tienen el mismo denominador, ¿cómo procedes para encontrar un número que sea mayor que a y menor que b?

e) Si dos números reales a y b cumplen que , y están expresados como el cociente

de dos números enteros (son dos números racionales) y tienen denominadores diferentes, ¿cómo procedes para encontrar un número que sea mayor que a y menor que b?

Realiza lo que se te indica en cada uno de los siguientes ejercicios tomando en cuenta las propiedades de los números reales. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.


43

Operación Resultado

85 + (45) + (-35) – (-10) – 90

25 + (-17)-5-(-6)-(40)=

9-(2) + (-5)-(-7)=

1(-9)=

(-11)(-7)=

-4(-1)(-6)=

3(-6) (-2)=

36 ÷ (-6)

-18 ÷ (-9)=

16 ÷ 0 =

-(-6)-(6)=

8(3-5)-9(-2)=

7(-1-6) - 4(5)=

(48 ÷ 6) – 10=

2x 3 ÷ 6=

12 x 21÷7 - 8 x 16 ÷ 4 =

Realiza un ensayo sobre las leyes de los signos, entrégalo en la

siguiente clase. Se va a evaluar la tarea mediante una lista de



Ejercicio no. 5

Efectúa las operaciones que se te indican en la tabla. Se va a

evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se


Individual

44

1. Escribe los siguientes números mixtos como fracciones impropias. a) 4 3/5= b) 8 ¾= c) 6 3/5= d) 5 2/7= e) 1 ½=

2. Escribe las siguientes fracciones impropias como un número mixto.

a) 21/2= b) 48/5= c) 23/3= d) 29/6= e) 5 7/4=

3. Escribe dos fracciones equivalentes de cada una de las que se indican.

a) 2/3= b) 2. 4/5 c) 5/2= d) 5/4= e) 7/6=

4. Efectúa las siguientes operaciones con números racionales.

Ejercicio no. 6

Realiza los ejercicios que se indican en cada caso. Se va a



Individual

45

Altitud con respecto al nivel del mar (equipos 1 y 2)

Gabriel estuvo viendo ayer un programa de Televisión en el Canal 22 del Gobierno Mexicano, destinado a transmitir programas culturales. En dicho programa se hablaba y se mostraban imágenes de puntos extremos en algunas características de la tierra. Por ejemplo las más bajas y las más altas temperaturas en la faz de la tierra, las dimensiones de los seres vivos más pequeños

y los más grandes, los puentes más cortos y los más extendidos, por citar algunos. Uno que le llamó la atención a Gabriel es el de la comparación entre el punto más lejano de la tierra sobre el nivel del mar, el Monte Everest, situado a 8,848 metros sobre el nivel del mar, y el punto más bajo sobre el nivel del mar alcanzado en un batiscafo, en una fosa de 11,000 metros de profundidad.

Interesado por esta situación, en la cual la diferencia entre el punto más bajo al que el hombre ha llegado –con un batiscafo- y el punto más alto alcanzado por los alpinistas, que es de 19,848 metros, Gabriel dibujó una recta numérica vertical en una hoja y en ella puso al nivel del mar como 0, para ubicarlo como punto de referencia y, usando una escala apropiada, situó los dos puntos referidos y otros más que consultó en INTERNET.

Así, investigó que el llamado Mar Muerto es en realidad de una gran salinidad, que está a 416.5 metros bajo el nivel del mar, constituyendo el punto más bajo en la superficie terrestre. Otro dato que obtuvo le indicó que quienes practican el buceo tienen recomendado hacerlo a una máxima profundidad de 40 metros, aunque con las condiciones actuales hay quienes bajan hasta 90 metros bajo la superficie.

En contraste, algunos de los puntos de interés, situados sobre el nivel del mar que Gabriel encontró, son el Pico de Orizaba –el más alto de México- un volcán situado en los límites de los estados de Puebla y Veracruz, a una altitud de 5,747 metros sobre el nivel del mar y el Popocatépetl, el más conocido de los volcanes de nuestro país, ubicado en el Estado de Puebla a un altitud de 5,452 metros sobre el nivel del mar.

a) ¿Con qué valor numérico representarías el punto más alto del Monte Everest y dónde lo ubicarías sobre el eje?

Ejercicio no. 7

Para este ejercicio, se divide el grupo en equipos. Los equipos uno y dos deben realizar la actividad “Altitud con respecto al nivel del mar” y los demás equipos deben trabajar con la actividad “Una nueva tarea de Juanita”. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.

E

Grupo

46

b) Ubica sobre la recta numérica cada uno de los puntos de interés para Gabriel y alguno más que tú consideres de interés para ti.

Una nueva tarea de Juanita (el resto del grupo)

Juanita siguió teniendo dificultades con sus tareas de matemáticas y nuevamente solicitó ayuda de Carlos, pero él debía salir de la ciudad para participar en un torneo de béisbol en la Ciudad de Hermosillo y recomendó a Juanita que pidiera ayuda a estudiantes del CECYTES de su población, en Masiaca, Navojoa. Para ayudar a Juanita se le debe explicar cómo resolver algunas situaciones, que te pedimos ahora a ti

que resuelvas y expliques por qué procedes a hacerlo como lo haces.

a) En un terreno de se pueden sembrar sólo partes debido a problemas

de salinidad. Pero la falta de agua ha ocasionado que sólo se puedan sembrar

del área sin problemas de salinidad. ¿Qué cantidad es realmente posible de cultivarse?

b) ¿Qué número es mayor: o ?

c) Mario ha estado yendo diariamente a comprar tortillas para la comida en su casa,

pero no siempre ha comprado lo mismo. El primer día compró , el segundo

día compró , el tercer día compró y el cuarto día compró . ¿Cuánto

compró en total? Si un kilogramo de tortillas cuesta 12 pesos, ¿cuánto gastó en total?

d) Antonio quiere pintar con cal el perímetro de un campo de juegos de su escuela,

que tiene una superficie de . ¿Cuántos metros lineales de cal deberá

pintar? Si por cada metro lineal ocupa de cal y de cal cuesta $7.00,

¿cuánto dinero se necesita?

47

1. En el banco de sangre de un hospital se registran las entradas y salidas de litros de sangre durante la última semana.

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Entraron 4 litros

Salieron 7 litros

Salieron 2 litros

Entraron 3 litros

Entraron 6 litros

Salieron 10 litros

Entró 1 litro

¿Cuál fue la variación que se registró durante dicha semana de la reserva de sangre? 2. Halla la media aritmética (promedio) de los siguientes puntajes: 89, 58, 75, 90 y 69.

Operaciones:

Resultado:

3. Si Juan compró 40 cerraduras por $2400.00, ¿cuál debe ser el precio de cada chapa

para obtener una ganancia de $960.00?

Operaciones:

Resultado:

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ________________________ Turno: __________________

Fecha: _________________________________________________



cotidiana.

48

4. Si cada pluma cuesta $8.50, ¿cuánto cuesta una caja que contiene 16 docenas?

Operaciones:

Resultado:

5. Un submarino sumergido a 280 m bajo el nivel del mar disparó un cohete que subió 700

m. ¿A qué altura sobre el nivel del mar llegó el cohete?

Operaciones:

Resultado:

6. Se dispone de 60 litros de agua purificada. ¿Cuántas botellas se pueden llenar si la

capacidad de cada una de ellas es de 3/5 de litro?

Operaciones:

Resultado:

7. Una persona ha gastado 7/9 de su sueldo mensual. Si le quedan $4000.00, ¿cuánto

gana por mes?

Operaciones:

Resultado:

49

8. Un albañil pinta una pared con una rapidez de m2 por hora y otro a razón de

m2 por hora. ¿Cuántos metros cuadrados de superficie pintan entre los dos, en dos horas?

Operaciones:

Resultado:

9. Si un tronco de madera de m de longitud se corta en 5 partes iguales, ¿cuál es la longitud de cada uno de los trozos?

Operaciones:

Resultado:

10. Si un kilogramo de frijol cuesta $23.00, ¿cuánto cuestan kg del mismo?

Operaciones:

Resultado:

50

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

Razones

Si hay un hospital con 380 camas y tiene 95

enfermeras, la razón sería:

Razón de camas por enfermera = 380/ 95 = 4,

representa que cada enfermera atiende 4 camas

La manera correcta de expresar el resultado del

cálculo de una razón es señalar el número de elementos del numerador que existen por

cada elemento del denominador.-

Una razón es una relación multiplicativa entre dos números naturales diferentes de 0.

Elementos en una razón:

Pendiente tasa

Se llama proporción al conjunto de dos razones iguales. Si las razones iguales son y

, la proporción se denota ó y se lee ”a es a b como c es a d”

Ap

lic

ac

ion

es

Investiga las siguientes definiciones y anota tres aplicaciones de

cada una de ellas en las tablas que se presentan a continuación.

Se va a evaluar la tarea mediante una lista de cotejo que se



51

Ap

lic

ac

ion

es

Ap

lic

ac

ion

es

Ap

lic

ac

ion

es

52

1. ¿Qué entiendes por razón de dos magnitudes? Exprésalo brevemente.

2. ¿De qué maneras se puede expresar una razón?

3. Si conoces la razón de dos magnitudes y conoces también el dato de una de las

magnitudes en una situación determinada, ¿cómo puedes conocer el valor de la otra magnitud involucrada?

4. Escribe tres ejemplos de razones que hayas identificado en tu vida cotidiana al leer un periódico, escuchar la radio, ver la televisión o cualquier otra circunstancia.

5. Cuando se igualan dos razones, decimos que se establece una proporción.

Ejercicio no. 8

Realiza los ejercicios que se te indican en cada caso. Recuerda

que es muy importante que contestes apoyándote en la

bibliografía de referencia. Se va a evaluar tu desempeño mediante


Individual

53

Las razones de Mario Mario estuvo estudiando su libro de matemáticas para adelantar dos lecciones, porque la última semana del mes tendría que salir de viaje a la Ciudad de Los Mochis, Sinaloa, porque su abuelita había enfermado y él iría a auxiliar a su tía en su cuidado. El problema es que de entrada no entendía lo que se decía en su libro. La causa es que algunas veces, cuando trabajaba con una división, sus profesores empleaban la palabra cociente o razón y, en esta ocasión, la tarea que le habían encomendado consistía en

determinar algunos valores que le solicitaban, a partir de información en la que se empleaba el término razón, sin que él viera ahí una división, al menos directamente. Por ejemplo, en el primero de los ejercicios que le solicitaron, se decía que en una escuela escolar la relación de la cantidad de hombres con respecto a la cantidad de mujeres estaba en la razón de 5 a 15 y le solicitaban determinar lo siguiente: a) ¿En qué razón está un solo hombre con relación a la cantidad de mujeres? b) Si en un grupo escolar hay 10 hombres ¿Cuántas mujeres hay? c) Si en total en la escuela hay 1200 alumnos, ¿cuántos son hombres y cuántas son

mujeres? d) Completa la siguiente tabla en la cual se establecen las cantidades de hombres y de

mujeres para diferentes valores:

HOMBRES MUJERES TOTAL

45

53

72

681

436

164

250

Después de hacer estos ejercicios, Mario entendió de mejor manera lo que debía entender por razón y pudo hacer los siguientes ejercicios de su libro, como seguramente podrás hacerlo tú.

Ejercicio no. 9

Lee cuidadosamente el siguiente relato y contesta lo que se te

pide en cada inciso. Se va a evaluar tu desempeño mediante una


Individual

54

e) En la tortillería del barrio se venden tortillas tanto al menudeo como al mayoreo (venta a taquerías de su colonia), de tal manera que las ventas al menudeo, en kilogramos,

están en razón de con respecto a las ventas al mayoreo. Si al mayoreo se venden 150 kg más, ¿qué cantidades se venden al menudeo y cuántas al mayoreo?

f) Juan y Manuel han ahorrado dinero en su “cochinito” para comprarse un juego que

hace mucho desean tener y reunir además para el regalo del diez de mayo para su mamá. La cantidad que Juan ha aportado está en razón de 4 a 7 con relación a la respectiva cantidad de Manuel. Si han logrado reunir $2013.00, ¿cuánto ha aportado cada uno?

g) José y Enrique se asociaron para poner un negocio de producción y venta de quesos,

los cuales reparten en los abarrotes del Poblado Miguel Alemán de la Costa de Hermosillo. Dadas las diferentes posibilidades económicas de ambos, el capital de

José está en razón de con relación al aportado por Enrique. Al final de los primeros seis meses de trabajo hacen un reparto acorde al capital inicial invertido y eso arrojó un ingreso de $42,000.00 para José. ¿A cuánto asciende el monto recibido por Enrique?

Las razones como modelos matemáticos

En una escuela la razón de alumnos con respecto a

las alumnas es de 4:3. Si en la escuela hay 1400

estudiantes, ¿cuántos alumnos hay en la escuela?

De acuerdo con lo anterior, al simplificar la fracción original se canceló un factor común al

numerador y denominador de la fracción original. Si a dicho factor común lo

representamos con la literal x, entonces:

EJEMPLO

55

Es decir, la cantidad de hombres en términos de x es igual a 4x, y la cantidad de mujeres

es igual a 3x; por consiguiente:

Por lo tanto, la cantidad de hombres es:

Un terreno de 420 m2 de superficie se divide en dos lotes, de tal manera que uno es ¾ del otro. ¿Cuánto mide cada lote? Si x representa el factor común del numerador y el denominador de la fracción original, entonces:

Es decir, una de las superficies en términos de x es igual a 3x, y la otra superficie del terreno es igual a 4x; por consiguiente:

Por lo tanto, los lotes miden:

EJEMPLO

56

1. José contestó correctamente 35 de 50 preguntas de un examen. ¿Cuál es la razón de

respuestas correctas al número total de preguntas?

Operaciones:

Resultado:

2. Unos biólogos consideran que hay 6000 peces en un lago; algunos de estos son carpas

y otros lobinas. Los biólogos rastrean el lago y pescan 21 carpas y 24 lobinas.

a) ¿Cuál es la razón de carpas a lobinas pescadas?

b) ¿Cuántos peces hay de cada tipo?

Operaciones:

Resultados:

a) b)

3. Dos grupos A y B, tienen en total 105 alumnos, ¿Cuántos alumnos tiene cada grupo si

la razón de A y B es 7/8?

Operaciones:

Resultado:

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________

Instrumento de Evaluación de producto Página:215


cotidiana.

57

4. Los ángulos interiores de un triángulo están a la razón de 5:4:3. ¿Cuál es la medida del

ángulo mayor?

Operaciones:

Resultado:

5. Un estudiante contestó correctamente 12 de 18 preguntas de un examen y 14 de 20 en

otro. ¿En qué examen obtuvo mejor calificación?

Operaciones:

Resultado:

Propiedades de las proporciones

Las situaciones siguientes pertenecen al fabuloso mundo

de las proporciones:

Este auto el

mismo, uno es de verdad y el otro

es su foto.

De cada 10,000 habitantes de un país 2,000 tienen

un título universitario

La factura de

electricidad vino altísima, porque aumentó nuestro

consumo.

Para subir 2.40m.

necesito 18

escalones,

¿Cuántos

escalones necesito

para subir 4.50m?

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

58

Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.

Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo: Las proporciones expresan igualdades.

Proporciones utilizando por ciento

% = porción de un número 100 total del número

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

Investiga la propiedad fundamental de las proporciones, realiza un

ensayo con la investigación y entrégala al maestro en la siguiente

clase. Se va a evaluar la tarea mediante una lista de cotejo que se



2 = 6

5 15

2 = 6 =

5 15

(2)(15) = (6)(5) =

=

30 = 30

2 = 8_ = x 16

(2)(16) = (8)(x) = 32 = 8x = 32 = 8x = 8 8

4 = x El valor de cierta proporción es 4, es decir:

2 = 8_ 4 16

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

¿Cuál es el 12% de 658? 12 = X 100 658 (12) (658) = (100) (X) 7896 = 100X 7896 = 100X 100 100 78.96 = X

59

5 : 2 = x : 4

x : 6 = 6 : 9

1 : x = x : 4

2 / 9 = x / 18

x / 4 : 6 / 8

¿Cuál es el 15% de 60?

¿40 es el 30% de?

¿25 es qué porciento de 90?

¿Cuál es el 25% de 200?

¿70 es el 50% de?

Ejercicio no. 10

“Operar diferentes representaciones de números reales y reales

positivos ”

Identificar las diferentes representaciones de los números reales

Aprendizajes a Lograr.

“No 5”

Calcula el valor de x en las siguientes proporciones y resuelve los

ejercicios de porcentajes. Se va a evaluar tu desempeño mediante


Grupo

60

1. Juan piensa hacer un pastel para una fiesta. Para ello, utiliza 1 taza de agua por 3

tazas de mezcla. El paquete contiene 14.5 tazas. ¿Cuántas tazas de agua debería

usar?

2. Si una docena de empanadillas cuesta $ 6.00 en la compañía Kikuet, cuánto costará

500 empanadillas?

3. Durante 60 minutos de escuchar la radio,12.5 minutos son anuncios. Si escuchas la

radio por 6 horas y 15 minutos, ¿cuántos minutos escuchaste de anuncios?

4. Una inversión de $5500 produjo un rendimiento de $385 en un año, otra inversión

produjo $560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de

la segunda inversión?

5. Dos números están a razón 3/7. Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál es el otro?

6. Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un

árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros?

7. Al aplicar la vacuna contra la tosferina, la posibilidad de que los niños tengan fiebre

como reacción está en razón 1 a 100,000. Si se detectaron 26 niños con fiebre.

¿Cuántos fueron vacunados?

8. Una inversión de $3500 produce un rendimiento de $420 en un año, ¿qué rendimiento

producirá una inversión de $4500 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo?

9. Dos obreros trabajan en una fábrica empacando calcetines, pero mientras uno

empaca 3 cajas, el otro empaca 7 cajas. Si el más hábil ha empacado 91 cajas,

¿cuántas habrá empacado el otro?

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________



cotidiana.

61

Juan Carlos y el INEGI

Con motivo del próximo censo en el país, Juan Carlos acudió

a las oficinas del INEGI a solicitar empleo de acuerdo a la

convocatoria que leyó en el periódico de su localidad. En el

anuncio de la prensa se pedían requisitos que él cumplía

satisfactoriamente, tener 18 años cumplidos y haber cursado

la preparatoria. Los aspirantes seleccionados serían

sometidos a un proceso de entrenamiento posterior, debiendo además entrevistarse con

un supervisor.

En tanto esperaba, Juan Carlos leyó algunos de los datos que veía en carteles

publicitarios, en algunos de los cuales la información era genérica y él se interesó por

deducir algunos datos que no se contemplaban ahí explícitamente.

La verdad es que Juan Carlos estaba sorprendido por la diversidad de información que el

INEGI manejaba, pues el creía que sólo se concentraba en datos de población y vivienda,

pero en los carteles se hacía alusión a aspectos de muy diferente índole.

Algunos de los datos que Juan Carlos revisó en los carteles y de los que extrajo

información adicional son los que se enuncian a continuación. Te pedimos ahora que

hagas lo mismo, respondiendo a los cuestionamientos que en cada caso se formulan.

a) En México, la razón de kilómetros cuadrados de superficie era de con relación al

número de habitantes del país. Buscando mayor información al respecto, Juan Carlos

sólo obtuvo, en otro cartel, el dato de la superficie total del país: . Con

esos datos pudo obtener el número total de habitantes ¿podrías tú hacer lo mismo?

Operaciones:

Resultado:

b) Se estima que en la Ciudad de Hermosillo el número de automóviles que circulan está

en razón de 1 a 3 con respecto al número de habitantes. En esta ocasión el dato que

Juan Carlos pudo obtener es el que establece que la población de la Ciudad de

Hermosillo es de habitantes. ¿Cuántos automóviles existen en la ciudad?

Ejercicio no. 11


positivos ”



“No 5” Analiza y resuelve la actividad “Juan Carlos y el INEGI” en equipos y después, analizarla de manera grupal. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.

Grupo

62

Operaciones:

Resultado:

c) En el litoral del Océano Pacífico las pangas que emplean los pecadores para su

actividad económica (pesca de camarón, mojarra, sardina y demás productos

pesqueros), cuya capacidad es a lo más de una tonelada, está en razón de 1 a 6 con el

número total de embarcaciones. A Juan Carlos este dato le interesó en particular, pues

un tío suyo que vive en “El Paredón Colorado” tiene precisamente una panga de ese

tamaño. En el mismo cartel aparecía que el número de pangas de la dimensión

señalada era de 8,450. ¿Cuántas embarcaciones hay en total en el litoral del Océano

Pacífico?

Operaciones:

Resultado:

d) De acuerdo a los datos del conteo de población y vivienda del año 2005, el número de

habitantes de México es de 103.3 millones y en el mundo somos un total de 6,465 de

habitantes. ¿Cómo expresarías la razón el número de habitantes de México con

relación al dato de la población total del mundo?

Operaciones:

Resultado:

63

e) La población de nuestro Estado, Sonora, en el conteo de población y vivienda del año

2005 está en razón de con respecto a la población total del país. ¿Cuál es la

población de Sonora?

Operaciones:

Resultado:

Variaciones directa e inversamente proporcionales

Mediante una tabla de valores, veremos ejemplos de

variaciones proporcionales directas e inversas.

Si un lápiz cuesta 14 pesos, podemos construir la siguiente tabla:

No. de lápices 1 2 3 4 5

No. de pesos 14 28 42 56 70

Si varios vehículos recorren una distancia de 120 km y cada vehículo viaja a una

velocidad constante. Veamos una tabla de situaciones posibles:

Velocidad (km/h) 30 40 80 100

Tiempo (h) 4 3 1 ½ 1 1/5

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

Investiga al menos tres ejemplos o aplicaciones de las variaciones proporcionales directas e inversas y llena la siguiente tabla. Se va a evaluar la tarea mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 215.


64

Variación proporcional

Directamente Inversamente

Si por el consumo de 40 m3 se pagan 20.80

unidades de dinero, ¿cuánto se pagará por

un consumo de 37 m3?

Para hacer una obra en 42 días, se

emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se

necesitarán para hacer la misma obra en 7

días?

1.- La aceleración (a) con que se desplaza un cuerpo es directamente proporcional a la

fuerza aplicada (F). Si un cuerpo se mueve con una aceleración de 3 m/s2 cuando se le

aplica una fuerza de 240 N, calcula:

a) La aceleración con que se movería si se le aplicará una fuerza de 280 N.

b) La fuerza que se requiere aplicar sobre dicho cuerpo para que se mueva con una

aceleración de 2 m/s2.

Ejercicio no. 12

Lee cuidadosamente el siguiente relato y contesta lo que se te

pide en cada caso. Se va a evaluar tu desempeño mediante una


Individual

65

Operaciones:

Resultados:

a) b)

2.- La fuerza de atracción gravitacional (f) entre un objeto t la Tierra es directamente

proporcional a la masa (m) del objeto. Si la fuerza de atracción entre la masa dela Tierra y

un cuerpo de 50 kg es de 490 N, determina:

a) La fuerza de atracción gravitacional cuando la masa es de 28 kg.

b) La masa de un objeto si la fuerza de atracción entre éste y la Tierra es de 588 N.

Operaciones:

Resultados:

a) b)

3.- A temperatura constante, el volumen que ocupa un gas es inversamente proporcional

a su presión. Si un gas ocupa un volumen de 56 pulg3 cuando la presión es de 18 lb/pulg2.

a) ¿Cuál será el volumen si la presión es de 16 lb / pulg2?

b) ¿Cuál será su presión si su volumen es de 50.4 pulg3?

Operaciones:

Resultados:

a) b)

4.-La iluminación (i) de una fuente luminosa es inversamente proporcional al cuadrado de

la distancia a partir de la fuente. Si a una distancia de 6 m la iluminación que produce una

fuente de luz es de 75 bujías:

a) ¿Cuál es la iluminación que produce dicha fuente a una distancia de 12 m?

b) ¿A qué distancia de la fuente se produce una iluminación de 12 bujías?

Operaciones:

Resultados:

a) b)

66

Juan Carlos y el Instituto Mexicano del Seguro Social

Juan Carlos se sintió muy contento en la entrevista que le

hicieron en el INEGI pues respondió satisfactoriamente a

todos los cuestionamientos que le formularon y, aunque la

decisión sobre su solicitud de empleo se resolvería en 10 días

más, le hicieron abrigar grandes esperanzas de ser

contratado. Además, salió con tiempo suficiente para llegar al

IMSS, en donde tenía ya una cita pactada para atenderse una dolencia en la espalda que

le dificultaba permanecer acostado para dormir, a menos que se tomase un analgésico.

Esta vez, mientras esperaba su turno para consulta, reparó en algo que siempre le había

pasado desapercibido: en el IMSS también había muchos datos presentados similarmente

a aquéllos que vio en el INEGI, pero con carteles alusivos a problemas de salud.

Nuevamente, para no aburrirse, estuvo analizando los datos mostrados. ¿Alguna vez has

puesto atención a los diversos carteles informativos, cuando acudes a una clínica de

algún instituto de salud pública? Si nunca lo has hecho, compartiremos contigo los

cuestionamientos que Juan Carlos se hizo, partiendo de la información que leía en los

carteles. La intención, por supuesto, es que los respondas.

a) En un cartel se señalaba que en México se estaba atendiendo un brote de tosferina

surgido después de la última campaña de vacunación, habiéndose detectado que 19

niños padecían la enfermedad. Se decía también que la situación era normal y no

debía provocar alarma, pues de acuerdo a estudios realizados en años anteriores,

era posible afirmar que, en promedio, la razón del número de niños que adquirían la

enfermedad, con respecto al número total de niños vacunados era de 1 a 100,000.

¿Cuántas vacunas se habían aplicado?

Operaciones:

Resultado:

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________



cotidiana.

67

b) En otro cartel se hablaba de la rubéola, a la cual caracterizaban como una

enfermedad que en la mayoría de los casos era inofensiva, pero se tornaba

particularmente peligrosa para los bebés en gestación en caso de que la madre la

padeciera, pues podía provocar malformaciones congénitas. De acuerdo a la

información ahí señalada, se decía que de cada 25 madres que padecían rubéola

durante su embarazo, un niño tendría alguna anomalía congénita. Se hacía,

consecuentemente, un llamado a la prevención, pues el último año 42,500 niños

habían nacido de madres que padecían rubéola. ¿Cuántos niños tendrían algún mal

congénito?

Operaciones:

Resultado:

c) En un cartel especial se hablaba de la necesidad de incrementar los cuidados en las

madres embarazadas, pues de acuerdo a los datos que se estaban recolectando en

el país, la Secretaría de Salud Pública especificaba que en el municipio de Cajeme se

habían presentado 4 casos de muerte materna, que están en razón de 1 a 310

respecto al número total de muertes maternas totales del país. Ambos datos

correspondían al periodo comprendido, desde el inicio de año 2002, hasta el fin de

2007. Ahí mismo se especificaba que por muerte materna se entiende el fallecimiento

de una mujer durante el embarazo o hasta 42 días posteriores al término del

embarazo, por causas provocadas por el embarazo mismo, sin contar muertes

accidentales o incidentales. ¿Cuál es el número total de muertes maternas en el

país? Si en Hermosillo se reportaron 3 muertes maternas en el mismo periodo, ¿cuál

es la razón con respecto al número total?

Operaciones:

Resultado:

68

La clase de biología

Alfonso está llevando un segundo curso de biología,

disciplina que siempre le ha atraído, pero esta vez no

sólo se incrementado su gusto por ella, sino que

también ha encontrado una relación insospechada para

él con sus cursos de matemáticas. Si bien es cierto que

anteriormente en todos sus cursos aparecía la

necesidad de hacer operaciones matemáticas, ello era más bien esporádico. Pero en el

caso del profesor Tomás, su curso de biología siempre estaba plagado de sorpresas

agradables: en ocasiones leía un poema como “Oda la cebolla”, para hablar de su

naturaleza de raíz, de la cual extraemos la primer estrofa:

Cebolla luminosa redoma,

pétalo a pétalo se formó tu hermosura,

escamas de cristal te acrecentaron

y en el secreto de la tierra oscura

se redondeó tu vientre de rocío.

…

Y en otras se cuantificaban los elementos involucrados. De estos últimos tomamos

algunos ejemplos para compartirlos contigo e invitarte a resolverlos.

a) El Profesor Tomás quería que calculáramos la altura de un viejo yucateco y para eso

medimos su sombra a las 11 de la mañana y vimos que ésta era de de longitud.

Posteriormente, por sugerencia del profesor, colocamos verticalmente un lápiz de y

vimos que proyectaba una sombra de . Con estos datos hicimos un cálculo de la

altura del yucateco. ¿Cuánto mide?

Operaciones:

Resultado:

b.-En un medio acuoso tres bacterias se reproducen por mitosis y, después de tres horas

se convierten en 122888 bacterias. Si en el medio acuoso hubiera suficientes nutrientes

¿cuántas bacterias habría si la población inicial hubiera sido de 20 bacterias?

Operaciones:

Resultado:

69

El pozo de Rodrigo

Rodrigo encargó la construcción de un pozo a un ingeniero civil,

para obtener agua de riego en su huerto de árboles frutales,

localizado en Ortiz, cerca de la Ciudad de Empalme. Dadas las

características del terreno de su propiedad, el pozo debería

construirse a una profundidad no determinada anteriormente,

concluyéndole hasta que la cantidad de agua que pudiera

extraerse satisficiera las necesidades de riego.

El costo de construcción del pozo se fijó en $230.00 para el

primer metro y a esta cantidad se irían agregando $11.00 por cada metro adicional. Sólo

se toman en cuenta los metros en cantidades enteras, esto es, no se contemplan pagos

fraccionarios y, se redondea al número más cercano, considerando que en el punto medio

se redondea al entero inferior (1.5 m y 2.5 m se cobran como 1 m y 2 m respectivamente).

Al final, le cobraron $660.00 por el último metro y Rodrigo desea saber si el cobro

realizado fue conforme a lo acordado.

Para ayudar a Rodrigo a resolver sus dudas sobre el cobro podemos hacer varias

acciones y una que se le ocurrió a Manuel fue elaborar una tabla con los costos de cada

metro de construcción, la cual te pedimos completes:

Número de metro 1 2 3 4 5 6 7 8

Costo 230 241 252

a) Como en la tabla no se ha obtenido el valor de $660.00 o uno cercano y quizá de esta

manera el procedimiento sea muy lento, ¿cómo podemos establecer una manera de

calcular el precio de construcción de una profundidad determinada sin necesidad de

conocer el valor anterior?

b) ¿Cómo podemos determinar la profundidad que corresponde al valor de $660.00 que le

están cobrando a Rodrigo?

c) Una cuestión adicional consiste en determinar el costo total de la construcción del pozo.

¿Cómo podemos hacer ese cálculo?

d) El primer árbol del huerto de Rodrigo está a 8 metros del pozo recientemente

construido y la distancia entre cada árbol es de 6 metros. Si Rodrigo tiene en total 50

árboles ¿cuántos metros de manguera requiere para que pase por cada árbol iniciando

desde el pozo?

70

Bloque III Realiza sumas y

sucesiones de

números

71

Temario

3.1. IDENTIFICA E INTERPRETA SUCESIONES Y SERIES ARITMÉTICAS

3.1.1. Reconoce la forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones aritméticas particulares

3.1.2. Identifica las fórmulas correspondientes para hallar el modelo del n-ésimo término que

caracteriza a una sucesión, aritmética particular

3.1.3. Escribe términos de sucesiones aritméticas

3.1.4. Obtiene términos de sucesiones aritméticas utilizando la diferencia, o aplicando las fórmulas.

3.1.5. Reconoce términos de sucesiones aritméticas

3.1.6. Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones, aritméticas y

geométricas, particulares

3.1.7. Identifica gráficamente el tipo de relación variacional en la fórmula del n-ésimo término de

sucesiones aritmética particulares

3.1.8. Ordena información de acuerdo con relaciones en series y sucesiones aritméticas

3.1.9. Aplica las fórmulas correspondientes para hallar el valor de una serie aritmética finita, o infinita

convergente

3.1.10. Determina regularidades y patrones de las sucesiones y series aritméticas o geométricas

3.1.11. Diseña y aplica modelos sencillos de series y sucesiones

3.1.12. Organiza ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética con relación a series y

sucesiones

3.2. IDENTIFICA E INTERPRETA SUCESIONES Y SERIES GEOMÉTRICAS

3.2.1.- Reconoce la forma algebraica del término n-ecimo de sucesiones geométricas particulares

3.2.2.- Identifica las formulas correspondientes para hallar el modelo del n-ecimo termino que

caracteriza a una sucesión, geométrica particular

3.2.3.- Escribe términos de sucesiones geométricas

3.2.4.- Obtiene términos de sucesiones geométricas utilizando la razón común, o aplicando las

fórmulas

3.2.5.- Reconoce términos de sucesiones geométricas

3.2.6.- Construye graficas para establecer el comportamiento de sucesiones geométricas particulares

3.2.7.- Identifica gráficamente el tipo de relación variación al en la formula del n-ecimo termino de

sucesiones geométricas particulares

3.2.8.- Ordena información de acuerdo con relaciones en series y sucesiones geométricas

3.2.9.- Aplica las formulas correspondientes para hallar el valor de una serie geométrica finita, o infinita

convergente

3.2.10.- Determina regularidades y patrones de las sucesiones y series aritméticas o geométricas.

3.2.11.- Diseña y aplica modelos sencillos de series y sucesiones

3.2.12.- Organiza ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética con relación a series y

sucesiones

72

1.- Nombre que recibe una expresión algebraica que consta de un solo término. a) Binomio b) Monomio c) Trinomio d) Polinomio e) Exponente 2.- El grado absoluto del término - 4x2y3 corresponde a: a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) – 4 3.- El número de términos de la expresión 4x2 - 3x + 1 corresponde a a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 2 4.- Es el primer elemento que contiene un término algebraico. a) Exponente b) Variable c) Literales d) Signo e) Constante 5.- Son aquellas partes que están separadas por los símbolos de sumas o restas en una expresión algebraica. a) Exponentes b) Términos c) Literales d) Variables e) Constantes


múltiple relacionadas con operaciones básicas. Esfuérzate por

contestarlas subrayando la respuesta correcta.


73

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

Una sucesión cuyos términos sucesivos después del primero se forman sumando un número fijo al precedente se denomina progresión aritmética. El número fijo se llama diferencia común de la sucesión y se denota por la letra “d”.

3, 7, 11, 15,…, d = 4

8, 5, 2, -1, -4,…, d = -3

El n-ésimo término de una progresión aritmética está dado por la expresión:

Otros ejemplos:

Hallar el vigésimo término de

la sucesión: 4, 9, 14,…,

an = a1 + (n – 1)d

a1=4

d=9-4= 5, 14-9=5; luego

a20=a1 + (n – 1) d

a20=4 + (20-1) (5)

a20=4 + (19) (5)

a20=4 + 95

a20= 99

Hallar el décimo término de la

progresión aritmética: -6, -9, -

12,…,

an = a1 + (n – 1)d

a1= - 6

d=-9-(-6)= -3, -12-(-9)=-3; luego

a10=a1 + (n – 1) d

a10= -6 + (10-1) (-3)

a10= -6 + (9) (-3)

a10= -6 + (-27)

a10= -33

an = a1 + (n – 1)d

Identifica e interpreta sucesiones y series aritméticas.

Identifica e interpreta sucesiones y series geométricas.


74

1. Hallar el doceavo término de la progresión aritmética: 4, 12, 20,…,

2. Hallar el término 18 de la progresión aritmética: 9, 7, 5,…,


1. Dada la progresión aritmética -20, -16, -12,…, encuentra el término 15.


3. Dada la progresión aritmética 24, 21, 18,…, encuentra el término 18.

4. Encuentra el término 14 de la progresión aritmética -1, -1/3, 1/3,…,

Ejercicio no. 1


positivos ”



“No 5”

En compañía de tu equipo, realiza los siguientes ejercicios. Se va

a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se


Grupo

Ejercicio no. 2

Encuentra el término n-ésimo de las siguientes progresiones

aritméticas. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de


Individual

75

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5

Media aritmética

Si a1 y an son los términos extremos de una progresión aritmética, entonces los

intermedios se denominan medias aritméticas. Si queremos insertar un cierto número de

medias aritméticas entre a1 y an, podemos utilizar la fórmula de an para encontrar el valor

de la diferencia común “d”. A continuación se escriben las medias aritméticas para la

adición repetida de d.

Las medias aritméticas entre 20 y 55 son: {25, 30, 35,

40, 45, 50}.

De acuerdo a los valores de la progresión aritmética,

nos da la siguiente gráfica

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

20 25 30 35 40 45 50 55

Inserta seis medias aritméticas entre 20 y 55

n=8 a1=20 an=55

an = a1 + (n – 1) d

55=20+(8-1) d

55=20+7d

De acuerdo con la propiedad aritmética de la igualdad, si a=b, entonces b=a; luego

20+7d =55, de donde:

7d + 20 + (-20)= 55+(-20) =55

7d=55-20

7d=35

Al dividir entre 7 en ambos lados de la igualdad resulta:

7d / 7 = 35 / 7; luego

d=5

con d=5; tenemos 7

76

1. Inserta 4 medias aritméticas entre -4 y 16

2. Inserta 7 medias aritméticas entre 7 y 47


4. Inserta 5 medias aritméticas entre -1 y 1



7. Inserta 4 medias aritméticas entre -10 y -5

Ejercicio no. 3

En compañía de tu equipo realiza los siguientes ejercicios de las

medias aritméticas. Se va a evaluar tu desempeño mediante una


Grupo

77

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

Suma de una progresión aritmética finita

La suma (S) de los n términos de una progresión aritmética finita está dada por la

expresión:

Hallar la suma de los primeros 10 términos de la

sucesión: 6, 14, 22,…, n=10 a1=6 an=10

Hallemos primero a10.

d= 14 – 6 = 8

a10= 6 + (10 – 1) (8)

a10= 6 + (9) (8)

a10= 6 + 72

a10= 78

1. Dada la progresión aritmética -20, -16, -12,…, encuentra la suma de los primeros 15

términos.

2. Hallar la suma de los primeros 16 términos de la progresión aritmética: 11, 9, 7,…,

3. Dada la progresión aritmética 24, 21, 18,…, encuentra la suma de los primeros 18

términos.

Sn=n/2(a1 + an)

Sn= 10 / 2 (6+78)

Sn= 5 (84)

Sn= 420

Ejercicio no. 4

En compañía de tu equipo realizar los siguientes ejercicios de

sumas de una progresión aritmética finita. Se va a evaluar tu

desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la

página 216.

Grupo

Sn=n/2(a1 + an)

78

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

1. Encuentra la suma de los primeros 14 términos de la progresión aritmética -1, -1/3,

1/3,…,

2. Dada la progresión aritmética 100, 95, 90,…, hallar la suma de los primeros 12

términos.



Progresión geométrica

Una sucesión en la que cada término después del primero se obtiene multiplicando el

término precedente por un número fijo se llama progresión geométrica. El número fijo se

llama razón común y generalmente se denota por la literal “r”.

3, 9, 27, 81,… r = 3

20, 10, 5, 2.5,… r = 0.5

1, -2, 4, -8,… r = -2

En general, si a1 es el primer término, r la razón común y n el número de términos, la

progresión geométrica es:

a1, a1r, a1r2, a1r

3,…, a1rn-1; donde

a1rn-1 es la expresión del n-ésimo término (an)

Ejercicio no. 5

En los ejercicios siguientes, determina las sumas de las

progresiones aritméticas finitas. Se va a evaluar tu desempeño


Individual

79

Otros ejemplos:

1. Hallar el octavo término de la progresión geométrica: 4, 12, 36,…,

2. Hallar el décimo término de la progresión geométrica: 16, 8, 4,…,

3. Hallar el sexto término de la progresión geométrica: 64, 96, 144,…,

Hallar el octavo término de la

sucesión: 3, 15, 45,…,

a1=3

r= 15/3 = 5

n = 8

a8 = a1rn-1

a8 =3(5)(8-1)

a8 =3(5)(7)

a8 =3(78,125)

a8 = 234,375

Hallar el décimo término de la

progresión geométrica: 300, 240,

192,…,

a1=300

r= 240 / 300 = 0.8

n = 10

a10 = a1rn-1

a10 =300(0.8) (10-1)

a8 =300(0.8) (9)

a10 =300(0.1342)

a10 = 40.26

Ejercicio no. 6

En compañía de tu equipo realiza los siguientes ejercicios. Se va a



Grupo

80

1. Hallar el décimo término de la progresión geométrica: 2, 6, 18,…,

2. Hallar el noveno término de la progresión geométrica: 4, -8, 16, -32,…,

3. Hallar el sexto término de la progresión geométrica: 49, 7, 1,…,

4. Hallar el octavo término de la progresión geométrica: 4, 12, 36,…,

Ejercicio no. 7

En los ejercicios siguientes, determina las sumas de las

progresiones aritméticas finitas. Se va a evaluar tu desempeño


Individual

81

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

Media geométrica

Si a1 y an son los términos extremos de una progresión geométrica, entonces los

intermedios se denominan medias geométricas. Si queremos insertar un cierto número de

medias aritméticas entre a1 y an, podemos utilizar la fórmula de a1rn-1

para encontrar el

valor de la razón común “r”. Entonces a continuación se escriben las medias geométricas.

Las medias geométricas entre 4 y 324 son: {12, 36, 108}.

1. Inserta 5 medias geométricas entre 6 y 384

a1 a2 a3 a4 a5

4 12 36 108 324

Inserta tres medias geométricas entre 4 y 324

n=5 a1=4 an=324

a1rn-1 = an

4r(5-1) = 324

4r(4) = 324

4r(4) / 4 = 324 / 4

r4 = 81

r4 = 34; Por lo tanto r = 3

Ejercicio no. 8

En compañía de tu equipo realizar los siguientes ejercicios de las

medias geométricas. Se va a evaluar tu desempeño mediante una


Grupo

82





Ejercicio no. 9

En los ejercicios siguientes, inserta las medias aritméticas

indicadas. Se evaluará tu desempeño mediante una lista de cotejo

que se encuentra en la página 216.

Individual

83

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

Suma de los n términos de una progresión geométrica

La suma (Sn) de los n términos de una progresión geométrica está dada por la expresión:

Hallar la suma de los primeros 6 términos de la

progresión geométrica: 4, 8, 16,…,

1. Un auditorio tiene 30 filas de asientos, 15 asientos en la primera fila, 17 en la segunda,

19 en la tercera, y así sucesivamente. Determina:

a) ¿Cuántos asientos hay en la fila 30?

b) ¿Cuántos asientos hay en total?

2. Un objeto que cae libremente recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies en el

siguiente, 80 pies en el tercero, y así sucesivamente. Determina:

a) La distancia que cae el objeto durante el sexto segundo.

b) La distancia total que cae durante los primeros seis segundos.

3. El patio de una casa tiene forma de trapezoide. El patio tiene 20 hileras de ladrillo. Si

en la primera hilera tiene 14 ladrillos y la veinteava tiene 33 ladrillos, determina el

número de ladrillos que hay en el patio.

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________



cotidiana.

Sn= a1(1-rn)

1 - r

n=6 a1=4 r=8/4=2

Sn= a1(1-rn) / 1 - r

Sn= 4(1-26) / 1 - 2

Sn= 4(1-64) / -1

Sn= 4(-63) / -1

Sn= -252 / -1

Sn= 252

84

Progresión geométrica

1. Una compañía compro una máquina en $230,000. Si el valor de la máquina se

deprecia un 20% por año, ¿cuál es el valor de la máquina después de 6 años de uso?

2. En cierto cultivo el número de bacterias se duplica cada día. Si hay 1000 bacterias al

final del primer día, ¿cuántas habrá después de 6 días?

3. 1000 g de una sustancia radiactiva está desintegrándose de tal manera que al final de

cada mes sólo hay 2/3 de lo que había al inicio del mismo mes. ¿Qué cantidad quedará

al final de 8 meses?

4. En una ciudad de 400,000 habitantes su población crece a razón de 1.4% por año.

¿Cuál será la población estimada dentro de 10 años?

85

El viaje a Guadalajara, Jalisco

En un viaje reciente de Nogales a Guadalajara, Jalisco, que

Jesús Manuel y María hicieron en autobús con sus papás,

cansados y aburridos del camino, a pesar de tan bellos

paisajes por los que atravesaban, decidieron ponerse a jugar.

Pero no deseando repetir los mismos juegos de siempre, se

plantearon problemas con arreglos numéricos de los que

Jesús Manuel estaba estudiando en su preparatoria. El juego

consistía en dar un conjunto de números que siguieran un determinado patrón y entonces

solicitar que se encontrara el valor de uno de los números.

Por ejemplo Jesús Manuel inició mencionando los números y pidió a María que dijera el

valor del término número 50 en esta lista, en caso de continuar formándola siguiendo el

mismo patrón. María tenía un plazo de tres minutos para dar la respuesta correcta y

explicarla. Si lo hacía correctamente ella debía plantear ahora una lista de números y dar

oportunidad a que Jesús Manuel respondiera correctamente. En caso contrario, si en tres

minutos no podían dar una respuesta correcta, no había alternancia del papel que a cada

uno le correspondía desempeñar.

Yo no quise participar en el juego, pero la verdad es que me resultaba muy atrayente y no

sólo pude hacer algunos cálculos correctos más rápido que ellos, sino que me grabé

algunas de las listas que estuvieron señalando. Todo ello sin que lo supieran porque

mientras jugaban yo permanecí en silencio. Algunas de las listas que mencionaron y de

las que tengo memoria, son las siguientes:

1. Solicitaron el término número 58





6. Solicitaron el término número15


Ejercicio no. 12

En compañía de tu equipo analiza la siguiente actividad

apoyándote en los ejercicios anteriores resueltos en clase y

coméntalos con sus compañeros. Se va a evaluar tu desempeño


Grupo

86

a) Determina las respuestas del juego de Jesús Manuel y María.

b) Ahora ¿podrás proponer tú listas de números para jugar con tus compañeros? Piensa y

escribe, sin que vean tus compañeros, en tres listas con las cuales jugar por parejas en el

salón de clases.

El ajedrez

El ajedrez es uno de los juegos o pasatiempos más populares

del mundo. Si bien es cierto que no se practica por tantos seres

humanos, como es el caso del futbol, el beisbol, el basquetbol y

otros deportes, el ajedrez se practica en casi todos los países de

la tierra.

Existen diversas versiones sobre el origen del ajedrez, pero

quizá la más aceptada es aquella que lo ubica en el año 500 de

nuestra era, como una transformación de un juego de mesa de la India que Alejandro

Magno conoció en el año 326 a. n. e., en el que se representaban los ejércitos de la India

por medio de soldados de infantería, de caballería, los que usaban elefantes y los que

eran movidos en carros.

Lo cierto es que la falta de datos precisos han hecho florecer muchas versiones sobre su

origen y una que se recoge en varios libros es aquella relativa a un rey de Persia que se

maravilló con el juego, inventado por uno de sus visires, a pesar de que el objetivo del

juego consistía en dar muerte al rey. En agradecimiento, el rey manifestó su deseo de

premiar al visir otorgándole lo que éste deseara.

El visir solicitó que, tomando en cuenta que el tablero del juego está conformado por 64

casillas, le otorgaran un grano de trigo por la primera, dos granos por la segunda, 4

granos por la tercera y así sucesivamente, doblando la cantidad anterior en cada casilla.

El rey hizo saber que el deseo del visir era poco para lo que él estaba dispuesto a

ofrecerle y lo instó a modificar su petición, a lo cual el visir no accedió.

Pronto, al proceder a otorgar al visir su recompensa, se dieron cuenta de que los granos

de trigo de toda Persia no alcanzarían para satisfacer la petición. ¿Por qué?

Para tener una idea un poco más detallada, en la siguiente tabla hemos puesto algunas

cantidades de las que se especifican y hemos dejado algunas casillas en blanco para que

las completes.

No. de casilla del tablero 1 2 3 4 15 20 50 64

Cantidad de granos de trigo 1 2 4 8

87

a) En general, ¿cómo haces el cálculo del número de granos de trigo para una casilla

determinada, sin conocer el valor anterior?

Cuando tenemos cantidades tan grandes como las que se manejan en esta situación, es

difícil imaginarnos que tan grandes son en realidad, pues no contamos con elementos de

comparación. Con el propósito de hacernos una idea de las razones por las cuales se

afirma que el trigo de toda Persia no era suficiente para satisfacer la petición del visir,

hicimos un cálculo que nos sirviera de referencia y queremos compartir ahora contigo.

Supusimos que, si en un caben 30 granos de trigo, en un furgón de ferrocarril con de

capacidad cabrían entonces 300, 000, 000 (trescientos millones) de granos. Haciendo el

cálculo de la cantidad de furgones que pudieran llenarse y, suponiendo ahora que el

ferrocarril se mueve de tal forma que por un punto determinado pasa un furgón cada

segundo, pasarían 19.44 siglos para que el ferrocarril hubiera terminado de pasar. Esta

comparación es útil para entender la magnitud de la petición del visir.

b) ¿Qué sucedería si la petición hubiera sido que en cada casilla el número de granos de

trigo se triplicara o se cuadruplicara?

88

Bloque IV Realiza

transformaciones

algebraicas I

89

Temario

4.1. IDENTIFICA LAS OPERACIONES DE SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE

POLINOMIOS EN UNA VARIABLE

4.1.1 Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios en una variable

4.1.2 Comprende las técnicas de extracción de factor común simple y por agrupación

4.1.3 Identifica el producto de binomios, aplicando patrones de productos

4.1.4 Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de

binomio

4.2. COMPRENDE LAS TÉCNICAS DE FACTORIZACIÓN BASADAS EN PRODUCTOS

NOTABLES DE DIFERENCIA DE CUADRADOS Y DE TRINOMIOS CUADRADOS

PERFECTOS

4.2.1 Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados, y de trinomios cuadrados perfectos

4.2.2 Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización

4.2.3 Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar

90

1.- Explica qué es un producto notable

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

2.- ¿Qué es un factor?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

3.- Explica lo que es una igualdad.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

4.- Explica lo que es una ecuación.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5.- Escribe dos ecuaciones de primer grado.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

6.- ¿Qué significa resolver una ecuación?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

7.- Resuelve la siguiente ecuación: 64 x

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8.- Si t

dv , entonces d es igual a:

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________


múltiple relacionadas con operaciones básicas.


91

Aunque el bloque está relacionado con Polinomios de una variable, empezamos esta

introducción hablando del lenguaje algebraico, porque un lugar importante en el desarrollo

de las competencias necesarias para el manejo de dicho lenguaje lo tienen los polinomios

y las diferentes operaciones y transformaciones que con ellos podemos hacer. En las

páginas que siguen, te proponemos un conjunto de actividades que esperamos te ayuden

a desarrollar tales competencias.

Polinomios

Expresión algebraica. Cuando dos o más términos (monomios) se relacionan por los

signos más (+) o menos (-), se forma una expresión algebraica que recibe el nombre de

polinomio. Al polinomio de dos términos se le llama binomio y al de tres, trinomio. Los

monomios pueden considerarse como polinomios de un solo término.

El grado de un término o monomio lo determina la suma de los exponentes de las literales

que intervienen en él.

Términos semejante son aquellos que tienen los mismos factores literales, cada uno con

la misma base y exponente. Ejemplo 5m y 7m, 8ab y 5ab.

Reducción de términos semejantes.

Dos o más términos semejantes se pueden simplificar, reuniéndolos en uno solo. Para

ello basta con sumar sus coeficientes numéricos y colocar el resultado como coeficiente

literal común. Ejemplo 3a + a = 4, 6m – 5m +m= 2m

MONOMIO

Identifica las operaciones de suma, resta y multiplicación de

polinomios en una variable.

Comprende las técnicas de factorización basadas en productos

notables de diferencias de cuadrados y de trinomios cuadrados

perfectos.

.


92

a) ¿Cuánto mide el perímetro de la siguiente figura? b) ¿Cuánto mide el perímetro de estas dos circunferencias juntas, suponiendo que el radio de la primera mide r y el de la segunda 2r?

c) Con respecto a las circunferencias del inciso b), si al perímetro de la circunferencia de mayor tamaño le quitamos el de la de menor tamaño, ¿qué obtenemos?

Investiga al menos en dos páginas de Internet las propiedades de la

igualdad y las operaciones con polinomios de una variable. Entrega

un reporte por escrito de tu investigación en la siguiente clase y

especifica las direcciones de Internet consultadas.


n

2.5n

6n

En base a la investigación realizada anteriormente, resuelve los

siguientes problemas. Se va a evaluar tu desempeño mediante



93

d) ¿Cuál es la medida del perímetro del trapecio mostrado?

e) ¿Cuánto suman los perímetros de todas las figuras que se muestran, de acuerdo con la medida de los lados que se proporcionan?

f) Si al perímetro del rectángulo le restas el del cuadrado, ¿qué obtienes? g) Si tuviésemos cinco hexágonos como los del inciso anterior, ¿cuánto mediría la suma de sus correspondientes perímetros? h) Si al perímetro del hexágono le restas el del triángulo, ¿qué obtienes?

t n

2m m

m

t

t+1.5

t+2

94

a) ¿Qué tipo de expresiones algebraicas aparecieron en tus cálculos?

b) ¿Qué características comunes tienen?

c) ¿Por qué se podían sumar y/o restar?

d) Intenta sintetizar tus observaciones mediante el establecimiento de una conjetura para la suma y resta de este tipo de expresiones algebraicas.

e) ¿Para qué tipo de expresiones algebraicas crees que tenga validez tu conjetura?

f) Verifica si tu conjetura funciona en los casos que siguen, en donde se trata de encontrar los términos que ocuparían el lugar del espacio en blanco:

_______16______)2145.1()8______3( zwzywy

wzywzy 10_____________________)145.1()82(

)465.0()92()2( bababa

bzzztbt 316752

mmnmn 6________)104(____)5( g) Construye otros casos como los anteriores, encontrando en cada caso los resultados

de las operaciones. Intercámbialos con tus compañeros y comparen sus resultados.

Ejercicio no. 2

Tomando en cuenta los cálculos que has realizado anteriormente,

contesta las siguientes preguntas. Se va a evaluar tu desempeño


E

Grupo

95

Reglas básicas para manejar los exponentes:

Regla: Ejemplo:

Resumiendo las leyes de los exponentes

En el ejercicio anterior, estudiamos varios casos posibles para las llamadas “leyes o reglas de los exponentes”. A continuación te pedimos que concentres, mediante una tabla, dichos casos, con sus correspondientes reglas.

Descripción verbal Representa algebraicamente lo

expresado verbalmente en la primera columna

Representa verbalmente cómo se calcula

Representa algebraicamente cómo se

calcula

El producto de potencias que tienen la misma base

nab

96

La potencia de una potencia

n

n

b

a

Si tenemos potencias de la misma base, (que sean diferentes de cero), el resultado de su división tendrá la misma base, y el exponente será el resultado de restar los exponentes; es decir, al exponente del numerador, le restaremos el exponente del denominador.

a) Asumiendo que la medida de los tres cuadrados que se muestran son congruentes, y que su lado mide n unidades, ¿Cuánto vale la suma de las tres áreas?

Realiza lo que se te indica en cada uno de los siguientes

ejercicios. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de



97

b) En el caso que te mostramos ahora, te pedimos que calcules la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo. Los datos son: el lado del cuadrado mide n; el rectángulo mide n unidades de ancho y de largo mide el doble de lo que mide el ancho.

c) ¿Qué encontramos si al área del rectángulo le restamos el área del cuadrado? d) Calcula el área de la siguiente figura, atendiendo a las medidas de los lados que se proporcionan:

d) Ahora calcula el área de la región que queda comprendida entre los dos círculos, suponiendo que el radio del círculo más pequeño es r; el radio del círculo más grande es una unidad mayor que éste.

f) Con los mismos datos del inciso c), ¿cuál es el área de la siguiente figura?

3n

8n

n

98

g) ¿Cuánto mide la suma de las áreas de los dos círculos que siguen?

h) Si ahora el área solicitada fuese la suma de las áreas de las figuras, ¿qué contestarías, si el lado del cuadrado mide n unidades y en el caso del triángulo, su base mide n y su altura mide h unidades?

a) ¿Qué tipo de expresiones algebraicas aparecieron en tus cálculos?

b) ¿Qué características comunes tienen?

c) ¿Por qué se podían sumar y/o restar?

Individual

Repasando los cálculos realizados anteriormente, contesta cada

una de las siguientes preguntas. Se va a evaluar tu desempeño


Ejercicio no. 4

99

EJEMPLO

Ideiiidiidkj

d) Intenta sintetizar tus observaciones mediante el establecimiento de una conjetura para la suma y resta de expresiones algebraicas como las que encontraste:

e) Intenta conjuntar lo que estableciste como conjetura para la actividad previa a ésta (cuando calculabas perímetros), y lo que encontraste ahora. Escribe tus conclusiones en el espacio que sigue:

Factorización de expresiones con un término común y por agrupación

¿Qué entiendes por término común? Imagina que en tres monederos hemos guardado diferentes cantidades: tenemos 35 monedas de $1, 23 monedas de $5 y 12 de $10, en el primer monedero; 18 de $1, 44 de $5 y 26 de $10 en el segundo monedero;

mientras que en el tercero tenemos 7 de $1, 37 de $5 y 28 de $10.Para contar las monedas, es conveniente agrupar las monedas que sean del mismo tipo, es decir, que sean comunes. Si a las monedas de $1 las representamos con “a”, las de $5 las señalamos con “b” y las de $10 las expresamos con “c”, tenemos:

# de monedero $1 = a $5 = b $10 = c

Primero 35 de $1= 35a 23 de $5 = 23b 12 de $10 = 10c

Segundo 18 de $1= 18a 44 de $5 = 44b 26 de $10 = 26c

Tercero 7 de $1 = 7a 37 de $5 = 37b 28 de $10 = 28c

La cantidad total de monedas se expresaría: 35a + 23b + 12c + 18a + 44b + 26c + 7a + 37b + 28c Juntando las del mismo tipo tenemos: 35a + 18a + 7a + 23b + 44b + 37b + 12c + 26c + 28c =

a(35 + 18 + 7) + b(23 + 44 + 37) + c(12 + 26 +28) = 60a +104b + 66c

100

Este procedimiento es lo que normalmente hacemos ante situaciones donde se trata de

agrupar términos que tienen algo en común.

Revisemos un ejemplo geométrico: tenemos tres rectángulos, uno mide “a” de ancho y “x”

de largo, el segundo mide “a” de ancho y “y” de largo y el tercero mide “a” de ancho y “z”

de largo:

6x + 18x = 12a – 16a =

16n + 12n =

-19x +76x -95x =

-a -5a -3a =

9x2 – 15x4 =

m3 + 5m2 – 6m =

x5 – 5x4 + 8x3 =

x2 – x =

4a3 + 6a2 =

a a a

x y z

Determina el factor común de las siguientes expresiones. Se evaluará tu desempeño mediante una lista de cotejo que se



101

Por agrupación

Sea el polinomio ac+ad+bc+bd, se observa que los dos primeros términos tienen como

factor común a a y los dos últimos términos tiene como factor común a b.

Agrupando los términos que tienen factor común se obtiene:

( ac+ ad)+ ( bc+bd )

Factorizando cada grupo nos queda:

a(c+d) + b( c+d)

por lo tanto nos damos cuenta que tanto la a como la b multiplican al mismo binomio (c+d)

entonces lo podemos expresar como:

( a + b ) ( c + d ), o sea:

ac + ad + bc + bd = ( a + b ) ( c + d )

a) 3mx+4my+3nx+4ny=

b) a x + a y - b x – b y=

c) 18x3 + 12x2 – 15x -10=

d) a2 b2 + ab + abc + c=

e) x3 + x2 y + x + y=

f) 6xy + 9x +4y +6=

g) 15x3 -12x2 +35x – 28=

Realiza la factorización por agrupamiento de términos en los

siguientes polinomios. Se va a evaluar tu desempeño mediante



102

Los productos notables y su factorización

En las actividades que siguen, estudiaremos algunos productos de expresiones algebraicas que tienen características interesantes. Seguiremos un recurso que hemos utilizado anteriormente, es decir, emplearemos como referencia el cálculo de áreas, para encontrar un camino para el cálculo algebraico de dichos productos, reciben el nombre de “productos notables”. Caso 1. El binomio al cuadrado a) Consideremos la figura que se muestra:

Calcula el área del cuadrado, primero utilizando la fórmula ya conocida para el área de un cuadrado, y después como la suma de las áreas.

Medida del lado del cuadrado integrador: Área de dicho cuadrado de acuerdo con la fórmula para el área de un cuadrado arbitrario:

¿Cuántos términos tiene esta expresión?

¿A qué potencia está elevada?

Área del cuadrado como suma de áreas: ¿Cuántos términos tiene esta última expresión?

b) Escribe de manera retórica, la expresión algebraica que resume la regla que acabas de encontrar para el cálculo de este producto. c) ¿Qué sucede en el caso en el que b sea un número negativo? ¿Pierde generalidad tu regla? Explica tu respuesta.

a

b

a b

103

d) Escribe cinco expresiones algebraicas similares y calcúlalas con la relación que encontraste. Si todavía fuese necesario, construye el cuadrado correspondiente para que te ayude a visualizar. e) Intercambia tus propuestas con las de algún compañero y luego comparen sus resultados. Si hay diferencias, coméntenlas hasta que lleguen a un resultado único. f) Existen personas que tienen mucha habilidad para el cálculo numérico mental, por ejemplo para el cálculo de los cuadrados de números. Cuando se les pregunta por las herramientas que usan, algunos indican que una de esas herramientas es precisamente la regla que tú encontraste. Encuentra una forma en cómo podrías aplicarla para calcular lo que se propone a continuación:

2

2

2

2

)999(

)1001(

)1995(

)204(

g) Construye tus propios ejercicios similares a los del inciso f), resuélvelos, e intercámbialos con tus compañeros. Comparen sus respuestas. Caso 2. El producto de binomios que tienen un término común

a) Fijémonos ahora en el rectángulo mostrado. Nuevamente te pedimos que calcules el área.

104

c

a

a b Al hacerlo, primero utiliza la fórmula ya conocida para el área de un rectángulo, y después emplea la suma de las áreas. Cuando lo hayas hecho, contesta lo siguiente:

Medida de los lados del rectángulo:

Área del rectángulo de acuerdo con la fórmula acostumbrada:

¿Qué características tiene esta última expresión?

Área del rectángulo como suma de áreas:

¿Cuántos términos tiene esta última expresión? b) Escribe de manera retórica, la expresión algebraica que resume la regla que acabas de encontrar para el cálculo de este producto. c) Escribe cinco expresiones algebraicas similares y calcúlalas con la relación que encontraste. Si todavía fuese necesario, construye la figura correspondiente para que te ayude a visualizar. d) Intercambia tus propuestas con las de algún compañero y luego comparen sus resultados. Si hay diferencias, coméntenlas hasta que lleguen a un resultado único.

105

Caso 3. El producto de dos binomios conjugados

b

a-b

a

b

a) Si nos interesa conocer el área del rectángulo que tiene por lados (a+b) y (a-b), ¿cómo podemos calcularla, a partir de la figura mostrada? Sugerencia: ¿De qué color están pintadas los cuadros que representan el área del rectángulo de lados (a+b) y (a-b)? Relaciónalas con el área del cuadrado cuyo lado mide a. b) ¿Qué características tiene la expresión (a+b) (a-b)? c) Escribe de manera retórica, la expresión algebraica que resume la regla que acabas de encontrar para el cálculo de este producto. d) Escribe cinco expresiones algebraicas similares y calcúlalas con la relación que encontraste. Si todavía fuese necesario, construye el cuadrado correspondiente para que te ayude a visualizar. e) Intercambia tus propuestas con las de algún compañero y luego comparen sus resultados. Si hay diferencias, coméntenlas hasta que lleguen a un resultado único.

106

Caso 4. Binomio al cubo Hasta el momento has desarrollado competencias para la multiplicación de expresiones algebraicas, así como para la identificación y cálculo de productos de algunas expresiones que tienen características especiales, tal y como sucedió con los tres casos previos. Lo que vamos a plantearte ahora, te permitirá retomar varias de las reglas y razonamientos previamente estudiados, con la intención de usarlos para el último de los productos notables que serán tratados en este cuaderno de trabajo.

a) Calcula 3)( ba

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_________)(__________)__________(_________))((

)(

______)__)(______(_________)(

2

2

3

bababa

ba

ba

b) ¿Cuántos términos aparecieron en el producto solicitado? c) ¿Cuáles son esos términos? Escríbelos en renglones separados d) ¿Qué relación tienen esos términos con a y con b? e) A partir de lo que escribiste en el inciso d), ¿podrías enunciar alguna regla para el cálculo de un binomio al cubo? f) Expresa la regla anterior mediante el uso del lenguaje algebraico. Usa la tabla que sigue:

3)( ba

g) ¿En qué se modifica tu regla si en lugar de tener 3)( ba tuvieses ?)( 3ba

107

h) Usa la regla que encontraste para el cálculo de los siguientes binomios al cubo:

332

3

3

3

3

3

3

)32(

)1.0(

)7

3

5

2(

)45(

)3(

)22(

)(

ba

zw

wt

yx

nm

yx

yx

i) Construye tres binomios al cubo y desarróllalos. Intercambia tus propuestas con algún compañero y comparen sus resultados.

Vamos a tomar dos números a y b, sin que ambos sean cero, para formar el binomio

. Considerando las reglas de los exponentes y los resultados que obtuvimos de

elevar un binomio al cuadrado y un binomio al cubo, determina lo que se solicita:

a)

b)

c)

d)

Investiga el teorema de Binomio de Newton y el triángulo de Pascal,

con la información recopilada realiza un ensayo para entregarlo en la

siguiente clase. No olvides incluir la bibliografía consultada en tu

reporte.


108

e) Compara ahora los coeficientes de a y b en cada uno de los incisos anteriores, con los números que aparecen en cada renglón del Triángulo de Pascal. ¿qué observas?

f) Observa ahora la forma en la cual se comportan los exponentes de a y b en cada caso. ¿Puedes obtener el producto ?

g) ¿Y ?

Áreas y factorización

A partir de lo estudiado en las actividades anteriores, te percatarás de la igualdad entre las expresiones correspondientes al cálculo del área de la figura y su descomposición, donde se supone que:

Área del cuadrado: 2111 uuu

=

2362424 uuu 216u +

28u + 28u +

24u Si prescindimos del término que nos indica las unidades y utilizamos la notación exponencial, puede expresarse como:

48216242424622 esto es: 222

2)24(2424 Esta última expresión se identifica como el cuadrado de un binomio y al resultado como un trinomio cuadrado perfecto.

109

a) Ahora, considera la siguiente descomposición y establece la relación algebraica que resulta de la descomposición que se hace enseguida

= x

____________2222

xxx b) Enseguida, se plantea el problema inverso, a partir de la descomposición y los datos correspondientes, dibuja el cuadrado asociado a esa descomposición:

x 3

2_________________________________ c) Procede similarmente al caso anterior, para:

X

2_________________________________

110

22 _____________________4

1 xx

a) 22 _____________________4914 xx

b) 22 _____________________10020 xx

c)

22 13 169 _______ ________ ____ ____x x

d) 22 _____________________

4

255 xx

e)

f) Expresa por escrito el procedimiento que utilizaste para encontrar el cuadrado al que corresponde cada trinomio cuadrado perfecto, estudiado en esta actividad.

g) Expresa simbólicamente el procedimiento antes descrito. h) ¿Puede aplicarse este procedimiento en los siguientes casos?

1. 22 _____________________4914 xx

2. 22 _____________________12122 xx

3. 22 _____________________22530 xx

Para cada trinomio, completa lo que se te indica. Se va a evaluar

tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la

página 216.


111

4. 22 _____________________

4

93 xx

5. 22 _____________________

4

1 xx

i) Para concluir la actividad, plantea cinco trinomios cuadrados perfectos y su factorización. Comparte con tus compañeros e identifiquen todos los problemas diferentes que se les hayan ocurrido.

Más sobre áreas y factorización

a) Como recordarás, en la actividad de productos notables y factorización estudiamos el

producto de binomios conjugados, ahí se prueba geométricamente que

22 bababa , que se obtuvo a partir de observar la descomposición de un cuadrado y relacionar el área de los cuadrados involucrados, esto es:

b

a-b

a

b

Realiza lo que se te indica en cada ejercicio.


112

Pues ahora retomaremos el problema inverso, es decir, si tienes la diferencia de

cuadrados, ¿cuáles son los binomios conjugados a los que corresponde? En cada caso,

justifica geométricamente.

1. ______________12 x

2. ______________92 x

3. ______________

4

12 x

4. ______________

9

42 x

5. ______________04.02 x

b) A partir de lo que hiciste, ¿Cuál sería el procedimiento a seguir para factorizar una

diferencia de cuadrados?

c) Utilízalo para factorizar las siguientes expresiones:

a. ______________492 x

b. ______________94 2 x

c. ______________16100 2 x

d. ______________49.01.0 2 x

e. ______________

81

64

9

2

x

d) Para concluir la actividad, plantea cinco diferencias de cuadrados y su factorización.

Comparte con tus compañeros e identifiquen todos los problemas diferentes que

hayan planteado.

e) En la siguiente factorización, argumenta la igualdad dada en cada “paso”.

342 xx 1442 xx ________________________________________

1)2(144 22 xxx ________________________________________

¿Hay alguna relación entre los términos de la expresión original y los de su factorización?

¿Cuál?

113

f) Utiliza lo anterior para completar la factorización:

49656 22 xxxx

4___)(___496 22 xx

)_________)(________(4)______( 2 )______)(______()_________)(________(

g) ¿Hay alguna relación entre los términos de la expresión original y los de su

factorización? ¿Cuál?

114

Bloque V Realiza

transformaciones

algebraicas II

115

Escribe sobre la raya la respuesta correcta en cada

cuestionamiento.


Temario

5.1 . RECONOCE TRINOMIOS QUE NO SON CUADRADOS PERFECTOS, COMO PRODUCTO DE

FACTORES LINEALES

5.1.1 Expresa trinomios de la forma x²+ bx +c como producto de factores lineales

5.1.2 Expresa trinomios de la forma ax²+ bx +c, con a =0, 1, como producto de factores lineales

5.1.3 Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores

5.1.4 Obtiene factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos

5.1.5 Utiliza las tecnologías para procesar e interpretar información

5.1.6 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones en lenguaje común, simbólico o gráfico

5.2 . RECONOCE EXPRESIONES RACIONALES EN FORMA SIMPLIFICADA A PARTIR DE

FACTORES COMUNES Y LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS

5.2.1 Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser

simplificadas

5.2.2 Ejecuta divisiones entre polinomios

5.2.3 Escribe expresiones racionales en forma simplificada utilizando factores comunes y la división de

polinomios

5.2.4 Utiliza las tecnologías para procesar e interpretar información

5.2.5 Construye hipótesis y diseña o aplica modelos

116

1.- Explica qué es un producto notable

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

2.- ¿Qué es un factor?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

3.- Explica lo que es una igualdad.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

4.- Explica lo que es una ecuación.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5.- Escribe dos ecuaciones de primer grado.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

6.- ¿Qué significa resolver una ecuación?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

7.- Resuelve la siguiente ecuación: 64 x

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8.- Si t

dv , entonces d es igual a:

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Escribe la respuesta correcta en cada caso:


117

EJEMPLO

La factorización

La factorización, es el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de

dos o más factores. La factorización deshace lo que la multiplicación hace, convirtiendo

una expresión que podría ser complicada, en el producto de dos o más expresiones

(factores) que son típicamente más sencillas.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que

multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

En relación a la ecuación x²+ bx + c. El coeficiente de x2

es 1, el segundo termino tiene la

raíz cuadrada de x con coeficiente b, que es un valor numérico positivo o negativo,

mientas que el tercer numero es independiente.

x2

+ 7x + 12

Abro dos paréntesis y escribo el término común como el

primer termino de cada paréntesis

(x ) (x )

En el primer paréntesis escribo el signo del segundo

término y en el segundo aplico la ley de los signos entre el segundo y tercer término,.

(x + ) (x + )

Descompongo el tercer termino en sus factores primos. 12= 22

3

Busco dos números que sumados algebraicamente nos de el segundo término del

trinomio y multiplicados de el tercer término. Y la cantidad mayor es el segundo término

del primer binomio; y la cantidad menor es el segundo término del segundo binomio.

(x + 4 ) (x +3 )

A) Al factorizar el trinomio 342 xx obtenemos por otro método:

342 xx 1442 xx Lo que tenemos en el primer miembro es exactamente

igual a lo que tenemos en el segundo miembro de la igualdad.

1)2(144 22 xxx Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y lo que nos

queda en el segundo miembro es una diferencia de cuadrados.

Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos, como

producto de factores lineales.

Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir

de factores comunes y la división de polinomios.


118

)12)(12(1)2( 2 xxx Se factoriza la diferencia de cuadrados.

)1)(3()12)(12( xxxx Se agrupan los términos semejantes en cada factor.

a) Utiliza lo del ejemplo anterior para completar la factorización:

49656 22 xxxx

4___)(___496 22 xx

)_________)(________(4)______( 2

)______)(______()_________)(________(

¿Hay alguna relación entre los términos de la expresión original y los de su

factorización?_______ ¿Cuál?_______________________________________________

________________________________________________________________________

b) Ahora, factoriza las expresiones siguientes:

1582 xx 2 10 22x x

782 xx 4

322 xx

Forma equipos de cinco integrantes con tus compañeros y

resuelvan las siguientes ecuaciones. Se va a evaluar tu desempeño


Grupo Ejercicio no. 1

Investiga las características de los trinomios cuadráticos de la

forma x2 + bx + c . Realiza un ensayo con la información

recopilada y entrégalo en la siguiente clase. No te olvides de incluir

las referencias bibliográficas consultadas. Se va a evaluar la tarea


.


119

1. 1072 xx 6. 232 zz

2. 652 xx 7. 672 aa

3. 1032 xx 8. 342 yy

4. 202 xx 9. 21102 xx

5. 342 aa 10. 11122 mm

6. 1452 mm 16. 3072 ff

7. 2092 yy 17. 1662 nn

8. tt 62 18. aa 2120 2

9. 892 pp 19. 302 hh

10. 2452 ww 20. X2 + x + 20=

Factorización de polinomios

Factorizar el polinomio 2x2 + 5x -12=0 que es de la

forma ax²+ bx +c identificando los coeficientes:

a=2, b =5, c= -12

Se multiplica a=2 por c=-12, entonces 2 por -12 = -24

Se buscan dos números que multiplicados nos den -24 y que sumados nos den b que es

5.

EJEMPLO

Factoriza los siguientes trinomios que no son cuadrados perfectos.

Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se



120

Los números buscados son: ( -3 y 8)

Multiplicándolos (-3) ( 8) = -24

Sumados -3 + 8 = 5

Entonces el polinomio se puede escribir así:

2x2 + 5x – 12 = 2x2 + 8x – 3x -12

2x2 + 5x – 12 = (2x2 + 8x) + (-3x - 12)

2x2 + 5x – 12 = 2x ( x + 4 ) -3 ( x + 4 )

Tomando a 2x + 4 como factor común, se obtiene:

2x2 + 5x – 12 = ( 2x – 3) ( x + 4)

Completa la factorización de 1082 2 xx , utilizando el procedimiento estudiado en la

actividad anterior

5421082 22 xxxx

9______2542 22 xxx

_________)________)((29______2 2 x

______2_________)________)((2 xx

1462 2 xx =

1252 2 xx =

1572 2 aa =

Forma equipos de cinco integrantes con tus compañeros y

factoricen los siguientes trinomios. Se va a evaluar tu desempeño



121

15132 2 zz =

15132 2 zz =

1. Factorizar los siguientes trinomios

a) 88192 aa =______________________________________________________

b) 22 xx =_________________________________________________________

2. Utilizando el método de factorización, factoriza los siguientes polinomios:

2073 2 xx

374 2 ww

2115 2 xx

25103 2 xx

9167 2 xx

4x2 +5x-6

1252 2 xx 1572 2 aa

15132 2 zz

15132 2 zz

Tarea no. 1

Realiza los siguientes ejercicios según se te indica en cada caso.



122

1.- La expresión 652 xx representa el área de un terreno rectangular, obtener el largo

y el ancho de dicho terreno.

2.- La expresión 122 mm representa el área de una parcela cuadrada, calcular la

medida de sus lados.

Factorización por término común

El procedimiento para la factorización de polinomios cuando sus términos tienen un factor

común consiste en representar los términos del polinomio como producto de dos factores,

uno de ellos es el factor común y el otro es aquella expresión cuyos términos son los que

multiplicados por el factor común dan como resultado el polinomio a factorizar.

Factorizar el polinomio: xx 36 2

Primero hay que buscar el factor común entre los

coeficientes 6 y 3 el cual es 3, después se busca el

factor común entre x2 y x el cual es x.

El factor común es 3x

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________



cotidiana.

EJEMPLO

123

Enseguida éste factor común se multiplica por lo que resulta de dividir cada término del

polinomio entre el factor común: 123 xx

bb 52 2

ababba 9123 22 =

yzxzxy 826 =

yx 22

xxx 333 23 2618 xx

aa 22 xx 93 2

xyx xx 123 2

23 1612 aa

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio,

con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Forma equipos de tres integrantes con tus compañeros y factoricen

las siguientes ecuaciones. Se va a evaluar tu desempeño mediante



Ejercicio no. 5

Factoriza las siguientes ejercicios. Se va a evaluar tu desempeño


Individual

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://es.wikipedia.org/wiki/Binomio

http://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio

124

1. 12x2 -8x = 2. –15x3 + 6x2=

3. 4xy2 + 6x2 y – 16x3 y3= 4. 12xy –6y + 18yz =

5. 12xy – 24xz + 6wx = 6. 9 a2– 4b2 =

7. 16x2 – 49 = 8. 100x2 – 25y2 =

9. 121x2 – 16y4 = 10. 4x4 – 9x2 =

11. x2 + 6x + 9 = 12. x2 –10x + 25=

13. x2 – 12x + 36 = 14. x2 + 18x + 81 =

15. x2 – 2x + 1 = 16. x2 + 11x + 18 =

17. x2 – 9x + 18 = 18. 12x2 – 7x + 1 =

19. 2x2 + 7x + 3 = 20. 3x2 – x – 2 =

2xyxyxz

32 155 mm

284 2 xx nmnmm 234 9156

22 69 xyyx 5x2 + 35

3x2 + 12 8x2 + 32

Tarea no. 2

Factoriza los siguientes polinomios.



Tarea no. 3

Factoriza las expresiones siguientes, utilizando diferentes

procedimientos. Entrégalo en hoja blanca en la siguiente clase.

125

Simplificar expresiones

Para simplificar expresiones racionales o expresiones algebraicas debemos dominar la

factorización, las propiedades de la igualdad, las operaciones fundamentales de las

fracciones, el concepto de fracciones equivalentes y la ley de los exponentes los cuales

ya aprendiste en los temas anteriores.

Consulta en el libro de Matemáticas I. ALGEBRA de Ortiz Campos

las siguientes definiciones y anótalas en el espacio

correspondiente. Se evaluará la tarea mediante una lista de cotejo

que se encuentra en la página 215.

.


126

Veamos ahora los procedimientos vistos en la factorización para simplificar fracciones

algebraicas.

Simplificar la fracción (x2 – 7x + 12 )/ ( x2 – 16)

Observa que en esta fracción su numerador y su denominador son factorizables.

Primero factorizamos sus términos y cancelamos los factores comunes.

(x2 – 7x + 12 ) factorizando ( x – 4) ( x – 3 )

x2 – 16 factorizando ( x + 4) ( x – 4 ) el factor común de

la expresión es x – 4

(x2 – 7x + 12 ) = ( x – 4) ( x – 3 ) = x - 3

x2 – 16 ( x + 4) ( x – 4 ) x + 4

(x2 – 7x + 12 ) = x - 3

x2 – 16 x + 4

Ecuaciones con denominadores algebraicos

164

9

32

13

x

x

x

x se factoriza el 2º denominador

1)32(2

9

32

13

x

x

x

xmultiplicamos 2(2x-3) ambos lados

2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3) obtenemos 6x - 2 - x - 9 = 4x – 6,despejamos x = 5

cba

ba53

72

60

12

222

32

22 yxyx

yx

16

202

2

a

aa

EJEMPLO

Simplifica las siguientes expresiones racionales. Recuerda, primero debes de factorizar y luego simplificar. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.


127

yyx

yxy

x

x2

2 3

93

1

127

862

2

xx

xx

145

43

209

214

32

1072

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

32

7

3

5

xx

14

1

3

1

2

xxx

4

3

12

5

8

5

1

xx

x

12

612

1

4

12

52

xx

x

xx

21

8

1

3

2

4

xxxx

1510

16

9

7

64

83

32

5

x

x

x

x

x

21

3

3

1

x

x

x

x

21

26

7

43

32

1252 2

xx

x

xx

División de Expresiones Algebraicas

La división de las expresiones algebraicas, puede simplificarse en tres casos:

a) división entre monomios

b) un polinomio entre un monomio

c) polinomio entre polinomio

Para los dos primeros casos, solo es necesario recordar la ley del cociente de dos

potencias de la misma base y aplicar las reglas de división de los números reales.

En este caso:

128

a) Resolver el cociente entre un monomio y un monomio

Procedimiento de solución:

= 4x9 - 3 Dividir coeficientes numéricos y restar exponentes. = 4x6

b) Resolver el cociente entre un polinomio y un monomio

El denominador 2x2, divide a cada término del numerador

= Dividir coeficientes numéricos y restar exponentes.

= 2x5-2 x4-2 3x2-2 = 2x3 – x2 + 3

Con lo que hemos aprendido sobre las divisiones de un monomio entre otro, vamos a

abordar el problema de dividir un polinomio entre un monomio.

a) La división siguiente: )()243( 34 mmmm

¿En qué “divisiones parciales” se puede descomponer? Escribe tu propuesta y realiza los

cocientes que hayas indicado.

b) Haz lo mismo para el caso siguiente: )5()25204030( 22345 ttttt

¿En qué subproductos se puede descomponer? Escribe tu propuesta y haz los productos

que hayas indicado.

c) Intenta ahora los siguientes cocientes, sistematizando el proceso de descomposición

que planteaste en los dos incisos anteriores.

Con ayuda de tu profesor reúnete en equipo y desarrollen cada una de las siguientes actividades y después comparen respuestas ante el grupo. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.


129

)2

1()243( 446 mmmm

)8()816( 3322 xyyxyx

)4()210( 23333 babaabba

)9()812718( 333222 abccbacbaabc

)()32( 2245 btbtbt

División entre polinomios

1. a2 + 2a - 3 entre a + 3 2. 3a2 + 14a + 8 entre x + 4 3. 6x2 + 5x – 6 entre 3x – 2 4. 6m2 + 11mn + 10y2 entre 3m + 2n 5. 4 a2 – 2a – 12 entre a – 2

Utilizando las propiedades de los números reales y las propiedades de los exponentes resuelve las siguientes ecuaciones de división de polinomios con diferente número de términos. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 216.


130

a) El cilindro que sigue tiene por volumen 3r ; si su altura mide r, ¿cuánto mide su radio?

¿Cuál fue tu razonamiento para encontrar lo que se pidió?

b) En este prisma rectangular, su volumen mide ttt 23 2 unidades; si la altura mide t,

¿cuánto mide el área de la base? ¿Cómo hiciste para encontrarla?

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________



cotidiana.

t

131

c) Si en este rectángulo el área mide nn 55 2 unidades de área, y la altura mide n

unidades de longitud, ¿cuánto mide la base? ¿Cómo encontraste la respuesta?

d) En el rectángulo que resulta de sumar las áreas del cuadrado lila y del rectángulo

blanco, el área mide xx 112 unidades; si en el cuadrado sombreado el lado mide x

unidades, ¿Cuánto mide el lado faltante del rectángulo original? ¿Cuál fue el

procedimiento que empleaste para llegar a tu resultado?

x

132

Bloque VI Realiza ecuaciones

lineales I

133

Temario

6.1. ANALIZA Y MODELA SITUACIONES EMPLEANDO ECUACIONES LINEALES

6.1.1. Describe técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable

6.1.2. Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable

6.1.3. Formula y soluciona problemas, con técnicas algebraicas, en situaciones que se representan

mediante ecuaciones lineales

6.2. TRANSITA DE ECUACIONES A FUNCIONES LINEALES, Y VICEVERSA, AL MODELAR Y

SOLUCIONAR DIVERSAS SITUACIONES

6.2.1. Identifica la relación entre funciones y ecuaciones lineales

6.2.2. Reconoce la ecuación en dos variables y = mx + b como la forma de la función lineal, y las

ecuaciones en una variable a= mx + b, como casos particulares de la anterior

6.2.3. Identifica los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función

lineal

6.3. RECONOCE DIVERSAS TÉCNICAS PARA GRAFICAR LA FUNCIÓN LINEAL

6.3.1. Utiliza los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función

lineal

6.3.2. Aplica diversas técnicas para graficar la función lineal

6.3.3. Explica cómo será la gráfica de la función lineal, a partir de los parámetros m y b

134

1. ¿Qué es una ecuación lineal? ________________________________________

2. ¿Qué significa resolver una ecuación? ________________________________

3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones? _________________________________

__________________________________________________________________

4. Menciona algún método para resolver un sistema de ecuaciones lineales:

__________________________________________________________________

5. ¿Qué es una ecuación de cuadrática? ________________________________

__________________________________________________________________

6. Escribe la fórmula general: _________________________________________

Escribe la respuesta correcta en cada uno de los espacios en

blanco:


135

Una de las aplicaciones importantes de álgebra es la descripción matemática de

situaciones concretas utilizando expresiones algebraicas como modelos. Esa aplicación

puede ser de muchos tipos; en esta sección estudiaremos modelos que nos están

mostrando una relación lineal presente,. Tales modelos se abordarán a partir de una serie

de situaciones problemáticas que esperamos resulten atractivas e interesantes para ti.

1. Es una expresión cuyo miembro izquierdo es exactamente igual al miembro derecho

______________________________________________________________________

2. Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro cambiándole

de signo.________________________________________________________________

3. Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación.

______________________________________________________________________

Investiga lo que se indica a continuación sobre ecuaciones:

- Definición

- Propiedades de las ecuaciones

- Elementos que la forman

- Ecuaciones equivalentes

Realiza un reporte con los temas investigados e incluye las

referencias consultadas. Entrégalo en la siguiente clase.


Responde las siguientes preguntas basándote en la investigación

realizada anteriormente.


Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales.

Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al

modelar y solucionar diversas situaciones.

Reconoce diversas técnicas para graficar la función lineal.


136

4. Identifica el número de términos en la igualdad 5x – x = 3x – 35.

______________________________________________________________________

5. Escribe las propiedades de la igualdad. ____________________________________

______________________________________________________________________

La herencia del minero

Una anécdota que se cuenta por los pueblos de Sonora,

trata de la herencia que un viejo minero, al sentirse ya

muy enfermo, quiso repartir entre sus cuatro hijos,

varones todos.

Dicen que los reunió a junto a su lecho de enfermo, y así

les habló: -“Hijos míos, ya pronto tendré que rendir mi

tributo a la madre Tierra. No pasarán muchos días para

que abandone este mundo.

Pero quiero marchar con la certeza de que los asuntos terrenales han quedo arreglados a

mi entera satisfacción, pues no quiero dejar pendientes a mis familiares. Así es que, en

vista de que su madre ya murió, y yo no tengo más por quién preocuparme que no sea

por ustedes, mañana les repartiré la única herencia que les voy a dejar. En el cuarto de al

lado, en la cómoda que era de su abuela, tengo un costal de pepitas de oro que nunca

vendí, guardándolas siempre con la idea de entregárselas antes de mi muerte. Vengan

por favor mañana, a esta misma hora, para hacer la repartición justa y equitativa.”

Los hijos, atribulados, se despiden del padre, prometiendo que al otro día regresarían. Sin

embargo, el hijo mayor se retira del lugar pensado que no es justo que a todos se les

entregue lo mismo, él es el hijo mayor y le tocó acompañar a su padre muchos años,

mientras sus hermanos menores quedaban en casa. Así es que pasada la medianoche

regresa a la casa del padre, entra sigilosamente, cuenta las pepitas, y se lleva la cuarta

parte de ellas.

El segundo de los hijos razona de manera semejante, preguntándose por qué les debe de

tocar lo mismo, si él siempre se ocupó de ayudar a su madre a cuidar a los hermanos

menores mientras el mayor andaba con el padre en las minas. Así es que decide regresar

Para trabajar con este ejercicio, forma equipos de cinco integrantes.

El asesor les asignará una de las actividades siguientes.


Actividad 2.1

137

a la casa del papá, busca la bolsa de pepitas, las cuenta y se lleva la cuarta parte sin que

nadie se de cuenta de su acción.

No es de extrañar que el tercero de los hijos tampoco piense que sea justo recibir la

misma cantidad que los hermanos, puesto que a él le tocaba ir siempre por todos los

mandados y de cuando en cuando cuidar al hermano menor. Convencido de su

argumento, regresa a casa de su padre entrada la madrugada, encuentra la bolsa de

pepitas, las cuenta y se lleva a su casa la cuarta parte de las pepitas de oro que encontró.

Finalmente, el hermano menor, llega a la conclusión de que él, precisamente por el hecho

de ser el menor, debe de quedar mejor protegido que sus hermanos mayores, que ya

tienen sus entradas de dinero seguras. Vuelve entonces a casa de su padre, y sin que

nadie lo vea, toma la bolsa de pepitas, las cuenta, y se lleva la cuarta parte a su casa.

Al otro día, a la hora estipulada, llegan los cuatro hijos al cuarto del padre, quien

trabajosamente se dirige al cuarto vecino, trae la bolsa de pepitas, la abre, cuenta las

pepitas y hace cuatro montoncitos de 81 pepitas de reluciente oro, entregando la parte

correspondiente a cada uno de sus hijos, los cuales las reciben con lágrimas en los ojos.

a) ¿Cuántas pepitas había originalmente en la bolsa del viejo minero?

b) ¿Cuántas pepitas les tocaron en realidad a cada uno de los hijos?

Primer hijo Segundo hijo Tercer hijo Cuarto hijo

337 273 225 189

c) Si tratamos de organizar nuestros razonamientos en la siguiente tabla:

Cantidad

original de

pepitas

X

El primero hijo

Toma x4

1 pepitas

Restamos xx4

1 y nos queda:

x4

3 pepitas

138

Segundo hijo

Toma

x

4

3

4

1 pepitas

Deja x16

9 pepitas

Tercer hijo

Toma

x

16

9

4

1 pepitas

Deja x64

27 pepitas

Cuarto hijo

Toma

x

64

27

4

1 pepitas

Deja x256

81 pepitas

El padre Reparte esta cantidad de

pepitas

Toma x256

81 pepitas

Entrega ___81_________ pepitas

a cada uno de los hijos

d) Y utilizando los razonamientos anteriores para rehacer el problema, suponiendo que el

número de hijos es 5, y que cada uno va actuando de la misma manera que lo hicieron los

hijos del caso anterior, tendríamos los datos que siguen:

Cantidad

original de

pepitas

X

El primer hijo

Toma ______________ pepita

Deja _______________ pepitas

Segundo hijo

Toma ______________ pepita

Deja _______________ pepitas

Tercer hijo

Toma ______________ pepitas

Deja _______________ pepitas

Cuarto hijo

Toma ______________ pepitas

Deja _______________ pepitas

139

Quinto hijo

Toma ______________ pepita

Deja _______________ pepita

El padre Reparte esta cantidad de

pepitas

Toma ______________ pepita

Entrega ______________ pepitas

a cada uno de los hijos

e) ¿Qué puedes comentar respecto a lo que acabas de hacer?

Elaborando chorizo

Don Andrés es famoso en la comunidad de “Masiaca” por el

delicioso chorizo que prepara. Su compadre José Carlos le

pide le pase la receta, y don Andrés, campechanamente le

contesta: “Es muy sencillo compadre, por cada cantidad de

chorizo que quiera hacer, revuelva 4 tantos de carne de res, 3

tantos de carne de puerco y medio tanto de menjurje, que

formará con vinagre, chile colorado molido y licuado, además

de especias. Deje reposar la mezcla por 2 días, para que la

carne se impregne bien con el menjurje, en un recipiente bien

tapado con una manta, y listo, a chuparse los dedos. Ah, no se

le olvide meterlo al refrigerador, por aquello de los calores.”

No muy convencido de que ha entendido, Don José Carlos llega a su casa dispuesto a

preparar su chorizo. Por si acaso las cosas no le salen bien, decide preparar solamente

tres kilos.

a) ¿Cuántos gramos de cada ingrediente deberá mezclar si quiere seguir la receta de Don

Andrés?

Actividad 2.2

140

b) ¿Cómo, usando nuestros conocimientos algebraicos, podemos re escribir las

instrucciones de don Andrés, sin importar la cantidad específica de chorizo que se quiera

elaborar?

Rosalía inversionista

La maestra Rosalía decidió jubilarse después de 40 años

de trabajar incansablemente en la docencia. La institución

donde trabaja, le entregó como finiquito $750 000.00 que

ella, en previsión de lo que pudiera suceder, decidió

entregar a un corredor de bolsa, para que de acuerdo a

su experiencia, los invirtiera en aquellos instrumentos

bursátiles que le redituaran mayores ganancias.

Después de los primeros seis meses, el corredor entrega a Rosalía un cheque por $60

750.00, rendimiento que proporcionaron las dos inversiones contratadas, una al 7.3% y la

otra al 8.5%.

a) ¿Cuál fue la cantidad invertida al 7.3% y cuál la invertida al 8.5%?

b) ¿Cuál sería la respuesta al mismo problema si acaso el monto entregado por el

inversionista a la profesora hubiese sido de $54 750.00?

c) ¿Y en el caso en que el cheque entregado hubiese sido por $135 000.00?

Actividad 2.3

141

a) 5p – 8 = 3(p – 2) + p.

b) x + ½ (4x – 7) = 2x + 4.

c) 6x = 2x – 3

d) 4x + 1 = 2

e) 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14

f) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100

Determina el valor de la incógnita en cada ecuación.


142

Resuelve los siguientes problemas, contestando a lo que se indica.

1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

2) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?

3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

4) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

5) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número.

6) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?

7) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.

8) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho.

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ________________________ Turno: __________________

Fecha: _________________________________________________



cotidiana.

143

Los tamales sinaloenses

Nuestro país es conocido por la gran variedad y riqueza de su

gastronomía. Cada región de esta nación tiene uno o varios

platillos que enorgullecen a sus habitantes, y que son preparados

en las fiestas familiares y populares, o simplemente, para

disfrutarlos en las comidas diarias.

Un ejemplo de uno de esos platillos es el tamal, conocido a lo largo y ancho de la

República Mexicana, pero que toma formas particulares dependiendo de la zona

geográfica. En Sonora, por ejemplo, son típicos los tamales pequeños, de carne con chile

colorado; o los de elote salados, con una tira de queso deshebrado y otra de chile verde

tatemado y desvenado. En Oaxaca se preparan tamales envueltos en hoja de plátano,

donde la masa se rellena de una deliciosa carne preparada con el típico mole oaxaqueño.

Así podríamos mencionar diferentes variedades, pero vamos a centrarnos ahora en un

tipo de tamal, el que se acostumbra principalmente en el sur del Sinaloa: pueden ser de

carne de puerco, res, pollo o camarón, acompañados de una gran cantidad de verduras

en rajas: papa, cebolla, chile verde, zanahoria, tomate, calabacita. Esta revoltura de carne

y verdura se vacía en una hoja de maíz grande, perfectamente limpia, que se ha

embarrado de una determinada cantidad de masa. Todo esto se cubre con otra hoja

igualmente cubierta de masa, y esto, que es el cuerpo del tamal, se amarra por ambas

orillas para evitar que su contenido se derrame.

Como en todo tamal, el secreto del sinaloense está en la masa, la cual se prepara de

manera especial. Esto, que a continuación describimos, es la receta que encontramos en

la cocina de Lorena, oriunda de aquellas tierras.




Actividad 4.1

144

a) Anímate a usar la receta de Doña Herminia y averigua, si quisieras un kilo y medio de

masa ya preparada, qué cantidades necesitas de cada uno de los ingredientes

estipulados.

b) Para una cantidad m, de kilogramos de masa ya lista, ¿cuántos kilogramos de cada

ingrediente requieres

Masa para tamales

(Receta de la abuela Herminia)

Mezclar una porción y media de masa de maíz, recién

salidita del molino, con media porción de manteca de

puerco derretida; agregar media porción del caldo en el

que se cocinó la carne.

En una palangana ancha amasar con las manos bien

limpias, hasta que todos los ingredientes estén bien

integrados y la masa no se quede pegada en las manos.

Déjese reposar media hora y empezar a preparar los

tamales.

145

El índice de masa corporal

El Índice de Masa Corporal (IMC) es un indicador, usado por médicos

y expertos en nutrición, para conocer el estado nutricional de una

persona y el nivel de riesgo asociado a la obesidad. Su uso inició

aproximadamente a mediados de 1980, cuando se empezó a notar

que un buen porcentaje de la población mundial, especialmente en

países desarrollados, presentaba con frecuencia exceso de peso y

una serie de padecimientos asociados a él.

El IMC se calcula dividiendo la masa en kilogramos (peso) de una persona entre el

cuadrado de su altura. Dependiendo de qué tan abajo o qué tan arriba se encuentra el

IMC de un cierto valor establecido como norma, serán las medidas que el médico

aconsejará para mantenernos en un estado saludable.

En el caso de nuestro país, se considera que una persona está desnutrida cuando el IMC

es menor o igual a 18; Tiene sobrepeso si el IMC está entre 25 y 27 y es obesa si el IMC

es mayor de 27.

La Tabla siguiente muestra las variaciones que va teniendo el IMC de una persona que

mide 1.60 metros, conforme su peso va aumentando.

PESO (en kilogramos) ÍNDICE DE MASA CORPORAL

(Kg./m2

)

50.00000 19.50000

52.00000 20.28000

54.00000 21.06000

60.00000 23.40000

74.00000 28.860

a) ¿Cuánto debe pesar esa persona para alcanzar el IMC que lo declararía con

sobrepeso?

Actividad 4.2

146

b) ¿Cuánto debe pesar esa persona para que su médico lo identifique como obeso?

c) ¿Cuándo debe pesar esa persona para ser considerada como desnutrida?

d) En el plano que sigue, se muestran dos gráficas: la primera de ellas es la gráfica del

IMC de una persona que mide 1.7 m, en dependencia de su peso; la segunda te

indica el valor constante IMC= 27, que es el valor a partir del cual un individuo es

declarado obeso. Identifica cada una de ellas.

PESO

IMC

¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las gráficas? ¿Qué

significa ese dato, de acuerdo al contexto que has estado estudiando en esta

actividad?

147

e) Dibuja en el plano anterior, con diferente color, la región del plano en la que la

persona anterior sería declarada con sobrepeso, la región en la cual se ubicaría como

desnutrida, y en cuál región estaría declarada con peso adecuado.

f) ¿Cuál sería el peso saludable en esa persona?

El tianguis

En nuestro país usamos con mucha familiaridad la

palabra tianguis para designar a los mercados que

temporalmente se ubican en los barrios de las

poblaciones. En ellos es posible adquirir distintas

mercancías: frutas, verduras, carnes, ropa nueva y

usada, zapatos, etc.

El origen del tianguis data desde los pueblos

prehispánicos, y de eso encontramos evidencia en

obras escritas por personas como Bernal Díaz del

Castillo y Hernán Cortés. En sus obras podemos conocer descripciones sobre el

funcionamiento de los tianguis indígenas, de cómo se congregaban en ellos gente de

diferentes poblaciones, del uso del cacao como moneda, así como de la riqueza y

variedad de mercancías que en ellos se ofertaban.

Esta tradición ha llegado hasta nuestros días. Seguramente en tu población has tenido la

oportunidad de estar alguna vez en un tianguis, y de disfrutar ese estilo mexicano tan

especial de comprar y vender. Actualmente, el concepto ha evolucionado y es común

escuchar expresiones como “el tianguis de la cultura”, “el tianguis escolar”, “el tianguis

turístico”, etc.

En la Ciudad Navojoa se instala todos los fines de semana un tianguis donde es posible

encontrar una gran variedad de artículos. El domingo pasado, Daniela y su hijo Andrés,

habitantes de esa ciudad, acudieron a buscar unas lámparas; después de dar vueltas y

vueltas, encontró justamente las 3 lámparas que necesitaba en el puesto de Don Gerardo.

Actividad 4.3

148

Posterior al consabido regateo, acordaron el precio, comprando no solamente las tres

lámparas, sino también tres mesitas laterales, que aunque necesitaban reparación, se

ajustaban a las necesidades de la compradora.

Emocionada con su adquisición, Daniela paga y se retira del lugar. Al llegar a su casa,

revisa su monedero y encuentra solamente 60 pesos, de los 1500 que llevaba cuando

salió rumbo al tianguis. Se rasca la cabeza y se pregunta: “-Bueno, bueno, ¿pues cuánto

me costaron las lámparas y las mesas?”-

Andrés, que estaba frente a ella, le dice: -“No sé mamá, nada más me acuerdo que las

lámparas costaban $160.00 cada una”, a lo que Daniela responde, -“¡Pero ¿cómo?, se

equivocó don Gerardo; me dijo que si le compraba las tres mesas me las dejaría en

$300.00 cada una!!!

a) ¿Por qué se indignó Daniela? ¿Qué razonamiento usó que la lleva a concluir que don

Gerardo se había equivocado?

b) Una vez que Daniela fue al tianguis a reclamar su dinero a Don Gerardo, éste le

responde: -“Cálmese Daniela, yo le ofrecí dos opciones: si usted me compraba las tres

lámparas con las tres mesas, le podía dar el 6.25% de descuento en el precio de las

mesas ó el 20% en el precio de las lámparas; y usted prefirió que le descontara en las

lámparas, el cuál quedó en $160.00 cada una. Saque sus cuentas y verá que salió

ganando”- ¿Tiene razón Don Gerardo? Argumenta tu respuesta, encontrando el precio

original de cada lámpara y cada mesa y el total que pagaría, dependiendo de las

opciones que ofrece Don Gerardo.

c) Daniela se retira un poco perpleja, sin estar realmente convencida de lo que le dice

Don Gerardo. Al dar vuelta en la esquina, voltea y ve el siguiente anuncio en el puesto

de Don José Luis, quien también se dedica a la venta de muebles nuevos y usados.

149

d) Sin querer saber más del asunto, se da la media vuelta rumbo a su casa. ¿Qué opción

le convenía más, la que tomó con Don Nabor, o la que ofrecía Don José Luis? Explica

el porqué de tu respuesta.

Gran venta de remate: mesas y lámparas buenas, bonitas y baratas

Todas las mesas con 10% de descuento

Todas las lámparas con 8% de descuento

Si las compra en paquete, le hago un 5 % de descuento adicional.

Mesas: $330.00 cada una

Lámparas: $210.00 cada una

150

Expresión Variables

a despejar Procedimiento

4P a a

2

bhA

b, h

180o ,,

34

3V r

r

3V a a

o 9F 32

5

OC

Co

2A r r

ppP 15.0 p

5( 32)

9

o oC F Fo

2 2 2c a b C, a , b

V abh a, b, h

P a b c d e a, b, e

En equipos de tres integrantes y utilizando los conocimientos

adquiridos sobre ecuaciones, despeja las variables que se indican

en cada caso en las fórmulas de la siguiente tabla.


151

Relación entre funciones y ecuaciones lineales

Investiga las siguientes definiciones y anótalas en el espacio

correspondiente.

.


153

Las tarifas de energía eléctrica

En la página electrónica de la Comisión Federal de

Electricidad,

http://www.cfe.gob.mx/es/InformacionAlCliente/conocetutar

ifa/, podemos encontrar la información respecto a las

diferentes tarifas que esta compañía aplica para calcular lo

que cada usuario de este servicio debe pagar.

De acuerdo con estos datos, las tarifas domésticas se

clasifican en 1, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E y 1F, las cuales

dependen de las temperaturas promedio de las diferentes

regiones de nuestro país.

Se transcribe a continuación la información

correspondiente a la tarifa IF, en la temporada fuera de

verano. La tarifa IF es la que se aplica en el Estado de Sonora.

Temporada fuera de verano

Cargos por energía consumida, para consumos hasta 250 (doscientos cincuenta)

kilowatts-hora.

Consumo básico

$ 0.661

Por cada uno de los primeros 75

(setenta y cinco) kilowatts-hora.

Consumo

intermedio $ 0.780

Por cada uno de los siguientes 125

(ciento veinticinco) kilowatt-hora.

Consumo

excedente $ 2.305

Por cada kilowatt-hora adicional a los

anteriores.

Cargos por energía consumida, para consumos mayores a 250 (doscientos

cincuenta) kilowatts-hora.




Actividad 6.1

http://www.cfe.gob.mx/es/InformacionAlCliente/conocetutarifa/

http://www.cfe.gob.mx/es/InformacionAlCliente/conocetutarifa/

154

Consumo básico

$ 0.661

Por cada uno de los primeros 75

(setenta y cinco) kilowatts-hora.

Consumo

intermedio $ 1.085

Por cada uno de los siguientes 125

(ciento veinticinco) kilowatt-hora.

Consumo

excedente $ 2.305

Por cada kilowatt-hora adicional a los

anteriores.

Mínimo mensual: El equivalente a 25 (veinticinco) kilowatts-hora.

a) En el recibo de un habitante de la Ciudad de Hermosillo, Sonora, el consumo

desglosado, para el periodo comprendido del 10 de Diciembre de 2008 al 9 de Enero

de 2009, es:

FACTURACIÓN

Concepto Kwh. Precio (en pesos) Total

Básico 75

Intermedio 113

Suma

Llena los espacios que aparecen en blanco en la tabla anterior.

b) Además de los cargos anteriores, debe pagarse el Impuesto al Valor Agregado, que

es, como ya vimos en la actividad previa, el 15% del monto del consumo. ¿Cuánto

pagó este habitante por concepto de IVA?

c) Existe un cargo extra fijo de $ 38.00, que se denomina con las siglas DAP, y que se

paga por el servicio de alumbrado público. Considerando también este pago, ¿cuál es

el importe total que pagó este usuario?

155

d) Supongamos que eres empleado de la CFE y se te encarga encontrar una expresión

para calcular el importe del consumo de una habitante cualquiera de la Ciudad de

Hermosillo, ¿qué expresión propondrías?

e) Si una persona tiene asignada, dentro de su planeación de gastos mensual, el 10% de

su salario, que es de $7500.00, para el pago de este servicio, ¿cuál es el máximo de

kilowatts que debe consumir? Haz un análisis lo más completo posible, es decir,

cuántos kilowatts de consumo básico, cuántos de intermedio y cuántos de excedente

puede gastar sin peligro de excederse en la cantidad que tiene estipulada?

Producción Camaronícola

Ordinariamente, en los meses de julio o agosto, se

levanta la veda camaronera en el Mar de Cortés y en

las costas mexicanas del Océano Pacífico. Hay dos

clases de captura de camarón: la que se realiza en alta

mar y la que se realiza en los esteros. Cuando los

pescadores llegan en sus barcos, después de haber

pasado varias semanas en altamar, entregan su

captura a empresas congeladoras, que se encargan de descabezarlos, limpiarlos,

empacarlos para su venta y congelarlos, esperando precios convenientes para colocarlos

en los mercados nacional y extranjero. Un mercado muy buscado por estas compañías es

el japonés, que es un gran consumidor de mariscos, entre ellos el camarón.

La Sociedad Cooperativa de Producción Pesquera “La Sonorense”, se dedica a la captura

de ese crustáceo en la población de Yavaros, Sonora. En la temporada 2008-2009,

capturó 200 toneladas de camarón azul, uno de los más gustados en el mercado japonés.

Ha entregado su producción a la empresa Océano Azul, encargada de su congelación y

comercialización, cuyos funcionarios les han dicho que acaban de conseguir un contrato

Actividad 6.2

156

de venta con otra empresa japonesa, en donde el precio de venta por tonelada será de

8000 dólares, de los cuales ellos cobrarán el 8%, por concepto de almacenaje y gastos de

comercialización.

Los socios de la Cooperativa aceptan el trato, pues su contador les indica que con este

precio, sus ganancias por tonelada serán aproximadamente del 40% de lo que les costó

producirla.

a) ¿Cuánto les costó a los pescadores la producción de la tonelada de camarón?

b) ¿Cuándo dinero deberá pagarles Océano Azul por su producción total?

c) ¿Cuál será el monto de su utilidad total?

Los aguadores

Aarón se dedica a la venta de agua a los habitantes de

las granjas que no cuentan con servicio de agua

potable en la población de La Tinajera, cercana a

Ciudad Obregón, Sonora. Para ello utiliza un camión

cisterna que todos los días llena antes de empezar su

recorrido. El pasado jueves tuvo que salir del pueblo

por un problema familiar, así es que le pidió a su amigo

Juan Carlos que se hiciera cargo del camión,

encomienda que éste aceptó por ayudar a su amigo,

aunque no tiene la menor idea de cómo funciona el reparto. Aarón solamente le dice que

en el tablero del carro hay un indicador que le irá mostrando el nivel de agua de su

cisterna, dándole además la lista de clientes que debe visitar.

Actividad 6.3

157

La primera entrega de Juan Carlos la realiza en la granja de Jorge, quien le pide le llene

las dos pilas que tiene en el patio, y que al otro día pagará su importe. Juan Carlos

acepta, cumple su cometido y continúa su recorrido, no sin antes echar un ojo al indicador

del tablero, que le muestra que se encuentra a ¾ de su capacidad.

a) ¿Con cuánta agua se quedó Jorge?

b) Continúa su recorrido, llegando ahora a la casa de Víctor, quien se queda con la mitad

de agua que traía la cisterna, prometiendo también pagar su adeudo al día siguiente.

¿Con cuánta agua se quedó Víctor?

c) ¿Qué le marca el indicador a Aarón, después de salir de la granja de Víctor?

d) Finalmente, termina la jornada llegando a la granja de Rosario, quien se queda con

toda el agua que quedaba en la cisterna, pagando a Juan Carlos $9000.00. Con esta

información, el joven hace algunas cuentas y exclama, “Ah, ya sé cuánto cuesta toda el

agua de la cisterna”. ¿Cómo razonó para saber este dato?

e) ¿Cuál es el adeudo de Víctor y cuál el de Juan Carlos?

f) De acuerdo con la información anterior, ¿Es posible saber cuál es el precio del litro de

agua?

158

Técnicas para graficar la función lineal

En virtud de que la gráfica de f(x) = ax + b con a≠0 es una recta, veamos aspectos

importantes de ésta figura geométrica.

La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación Ѳ, es

decir; m=tan Ѳ, cualquiera que sea el ángulo. En donde la pendiente se relaciona con el

parámetro a y la constante b con la ordenada al origen.(intersección con el eje y)

Graficar la siguiente función lineal sin necesidad de

tabular identificando los parámetros a y b. f(x) = 3x + 1

Investiga lo siguiente y elabora un reporte incluyendo las

referencias consultadas:

- Pendiente de una recta

- El significado del coeficiente de x

- El significado del término b

- Formas de grafica una función lineal


EJEMPLO.

159

Analizando la gráfica la línea recta intersecta al eje de las ordenadas( eje Y) en el punto

(0,1) que viene siendo el parámetro b y el parámetro a que es la pendiente de la función

que viene siendo el desplazamiento vertical sobre el desplazamiento horizontal, es decir;

se desplaza de un punto de la recta una unidad a la derecha y tres unidades en forma

vertical coincidiendo con otro punto de la recta.

a) f(x) = -3x + 1

b) f(x) = - 3x -1

c) f(x) = 3x

d) f(x) = 2

e) f(x) = ½ x + 2

f) f(x) = ¼ x + 3

g) f(x) = - 1/2 x - 2

h) f(x) = x

i) f(x) = 5x - 2

j) f(x) = - 5x - 2

En equipos de cinco integrantes grafica las siguientes funciones

lineales identificando los parámetros de la función lineal de la forma:

f(x) = ax + b


160

Bloque VII Resuelve ecuaciones

lineales II

161

ecuaciones.

Temario

7.1. Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2) mediante:

- Métodos numéricos y analíticos

- Métodos de reducción algebraica (suma y resta, sustitución e igualación)

- Método numérico por determinantes

7.1.1.- Resuelve sistemas de ecuaciones 2 x 2 empleando métodos de reducción algebraica y numérica

7.1.2.- Expresa y soluciona situaciones diversas utilizando sistemas 2 x 2

7.1.3.- Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 2 x 2

7.1.4.- Identifica gráficamente si un sistema 2 2 posee una, ninguna o infinitas soluciones

7.1.5.- Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2) mediante las

graficas de funciones lineales

7.1.6.- Construye ideas y argumentos relativos a la solución y aplicación de sistemas de

7.2. Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 3 x 3.

7.2.1.- Expresa ideas y conceptos de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas empleando representaciones

en lenguaje común, simbólico o gráfico.

7.2.2.- Comprende los métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3).

-Método numérico por determinantes

-Método algebraico de sustitución

7.2.3.- Utiliza el método de sustitución para resolver un sistema 3 x 3

7.2.4.- Aplica el método numérico por determinantes para resolver sistemas 3 x 3

7.2.5.- Representa y soluciona situaciones diversas utilizando sistemas 3 x 3

7.2.6.- Ejecuta instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus

pasos contribuye al alcance de la solución de una ecuación de 3 x 3

TEMARIO

7.1. RECONOCE LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS

INCÓGNITAS (2 X 2)

7.1.1. Resuelve sistemas de ecuaciones 2 x 2 empleando métodos de reducción algebraica y

numérica

7.1.2. Expresa y soluciona situaciones diversas utilizando sistemas 2 x 2

7.1.3. Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 2 x 2

7.1.4. Identifica gráficamente si un sistema 2 x 2 posee una, ninguna o infinitas soluciones

7.1.5. Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2) mediante

las graficas de funciones lineales

7.1.6. Construye ideas y argumentos relativos a la solución y aplicación de sistemas de ecuaciones

162

1.- Es una solución una solución de la ecuación 2x2 +5x = 0

a) 1

b) -1

c) 2

d) 0

e) -1

2.- ¿Cuál es el factor común de la ecuación -6x2 + 9x = 0

a) 0

b) 3/2

c) -3

d) -3x

e) 3x

3.- Las raíces de la ecuación 2x2 + 8x = 0 corresponden a la pareja de valores:

a) x1 = - 4 , x2 =0

b) x1 = 4 , x2 =0

c) x1 = - 6 , x2 =0

d) x1 = -1 , x2 =1

e) x1 = 6 , x2 =0

4.- Qué modificaciones se le debe de hacer a la ecuación x2+4x +3 = 0 para completar un trinomio cuadrado perfecto?

a) Sumar 1 en el primer miembro

b) Sumar 1 en el segundo miembro

c) Multiplicar por -1 en ambos miembros

d) Multiplicar por 2 ambos lados

e) Sumar 1 en ambos miembros

Resuelve los siguientes ejercicios.


163

Ecuaciones de dos incógnitas

¿Qué es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (sistema 2x2) es aquel que puede

Escribirse de la siguiente forma:

Su conjunto solución está formado por la (o las) pareja de números (x, y) que satisfacen

simultáneamente las dos ecuaciones, por eso a veces les decimos ecuaciones

simultáneas.

Para encontrar el conjunto solución de un sistema 2 x 2 existen varios métodos. En este

tema estudiaremos: el gráfico, sustitución, igualación, suma o resta y determinantes.

La diferencia entre una ecuación y una función.

Dos ejemplos de representación matemática de las ecuaciones y funciones.

Dos ejemplos de representación matemática de una función lineal.

¿Que es una ecuación y una función lineal?

¿Que es lo que diferencia a las ecuaciones y funciones lineales de las cuadráticas o

cúbicas?

a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

Investiga las siguientes definiciones y elabora un reporte

incluyendo las referencias consultadas. Entrégalo en la siguiente

clase.

.


Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2).

Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas de 3x3.


164

Método gráfico

Consiste en graficar en un mismo sistema de coordenadas los conjuntos solución de las

dos ecuaciones y determinar el punto (si lo hay) donde se intersectan las rectas. (Se

recomienda utilizar papel milimétrico).

Ejemplo: resolver el sistema que nos permita conocer el valor de t y de h:

5t – h = -10

6t + h = 98

Anteriormente aprendimos a graficar este tipo de ecuaciones, ¿Recuerdas?: Primero

generamos una tabla de valores para h dados los valores de t. en cada una de las

ecuaciones. Nota: La variable h puede ser sustituida por y y la variable t por la x.

Observa la gráfica el punto donde se intersecan las rectas que representan cada una de

las ecuaciones y relaciona los valores de las variables con los valores de la tabla donde

también coinciden.

Los valores para t = 8 y h = 50 que muestra la gráfica, son los valores para los cuales los

recipientes presentan la misma cantidad de agua porque si los recipientes son iguales,

entonces la misma altura representa el mismo volumen de agua.

Resolución por igualación

Tenemos que resolver el sistema:

165

Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se

conoce su ecuación.

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un

sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los

segundos también lo son, por lo tanto:

Luego:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la

segunda):

Operamos para hallar el valor de y:

y=2

Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):

166

Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos

ecuaciones.

Resolución por sustitución

Consiste en el despeje de una de las variables en cualquiera de las dos ecuaciones y una

vez despejada se sustituye en la otra ecuación, para que nos que en función de una sola

variable y así poder calcular la única variable. Después se sustituye la variable calculada

en la ecuación despejada para calcular la otra incógnita,


Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en

la primera ecuación):

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos

arbitrariamente la primera):

167

Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No

verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.

Resolución por reducción


El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que

una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.

También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para

que al sumarla a la primera se obtenga cero?

La respuesta es -2. Veamos:

Con lo que obtenemos:

Y la sumamos la primera obteniéndose:

-7y = -14

y = -14 / -7

y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

168

Y finalmente hallar el valor de x:

Ejercicio: Resuelve por este método:

Resolución por determinante

Sabemos que un determinante se representa como:

dc

ba

Este se calcula de la siguiente manera: det=a·d – b·c

Sea el sistema:

a1x + b1y = c1

a2x + b2 y = c2

El valor de x está dado por:

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x e

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

Resolvamos el sistema::

414

56

620

54110

52

34

518

322

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x

169

214

28

14

4472

14

182

224

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}

Resuelve, por determinantes:

1) 2 5

3 2 7

x y

y x

2) 2 3 23

5 6 17

x y

x y

3) 3 7 9

5 2 23

y x

x y

En compañía de tu equipo resuelve los siguientes sistemas de 2 x 2

utilizando los métodos anteriores. Se va a evaluar tu desempeño



170

4)

12 5

13 7

x y

x y

5)

24

3 5

3 49

2 3

x y

x y

6) 2 1

3 4 7

y x

y x

7) 2 3 2

6 5 78

y x

y x

8) 7 5 18

3 6 30

y x

x y

171

1.- En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si se

cuentan las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

2.- La suma de dos números es 50 y su diferencia es 14. ¿Cuáles son estos números?

3.- Los jóvenes de Carbó en las temporadas de la pitaya, recolectan este fruto con el fin

de comercializarlo en la ciudad de Hermosillo y así ellos cubren sus gastos para la

escuela. En el caso de Pedro y Jorge que se asociaron en esta temporada y al venderlas

obtuvieron $175.00 pesos en un día. En total fueron 26 monedas de $5.00 y $10.00

pesos. ¿Cuántas monedas de $5.00 y $10.00 pesos tienen?

Sistemas 2 2 con una, ninguna o infinitas soluciones

Hay tres tipos de sistemas 2 x 2 de acuerdo a su conjunto solución y son: El consistente,

Inconsistente y dependiente:

En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma:

Resolver el sistema implica encontrar los valores de “x” e “y” tales que hagan verdadera

las ecuaciones.

Resuelve los siguientes ejercicios planteando la expresión

analítica y aplicando el método de resolución de 2x2 que creas

conveniente. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de



172

En un sistema se presentan siempre uno de los tres casos siguientes:

a) Que exista una solución (consistente). Cuando el sistema

b) Que no exista solución (inconsistente). Cuando en el sistema , pero c

y d no son múltiplos.

c) Tiene una infinidad de soluciones (dependiente). Cuando en el sistema a, b y c

son múltiplos a d, e y g respectivamente.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, implica encontrar los

valores que hacen verdadera las ecuaciones, gráficamente representan las coordenadas

del punto de intersección de las gráficas de las ecuaciones, es decir el punto de

intersección de las rectas generadas.

En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de la forma:

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + kz = m

a) Si consideramos el sistema:

Se tiene que (2)(-1) - (3)(3) ≠ 0, entonces el

sistema tiene una única solución.

2x + 3y =

3x – y = -1

EJEMPLO

b) Si consideramos el sistema:

Se tiene que el (2)(12) – (4)(6) = 0 (son múltiplos del 3) pero el 1 y el 5 no lo

son, entonces el sistema no tiene solución.

2x + 4y = 1

6x+12y=5

6x + 12y = 5

c) Si consideramos el sistema:

Se tiene que la primera ecuación es el triple de la segunda, entonces el 1,3

y 4 son múltiplos del 2, 6 y 12 respectivamente, entonces el sistema no

tiene solución.

x + 3y = 4

2x+6y =2

2

2x + 6y =

12

173

La solución corresponde a los valores de x, y y z que hacen verdadera las tres

ecuaciones, que corresponderían a las coordenadas de un punto en el espacio, es decir la

intersección de tres planos (tercera dimensión).

a) x + 2y = 7, 2x – y = -1

b) x + y = 3, x + y = 5

c) y = x + 2, 3y = 3x + 6

d) 3x + 2y = - 9, x + y = - 4

e) 4x – 6y = 10, 2x – 3y = 5

1) Busca un compañero o compañera de pareja, lo que harán es construir una

ecuación con una solución, múltiples soluciones y sin ninguna solución. Encontrar

el conjunto solución de cada una apoyándose de su respectiva grafica.

Por ejemplo: si uno propone la ecuación 9L + 5P = 60 y tu compañero propone por

ejemplo la ecuación 5L + 3P = 45, estas dos ecuaciones se pueden acomodar de

la siguiente manera:

9L + 5P = 60

5L + 3P = 45

Encuentra el conjunto solución e identifica a que tipo de sistema

pertenece cada uno de los siguientes sistemas 2x2, apoyándote

de su grafica. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de



Ejercicio no. 4

Organizados como lo indique tu asesor, lleva acabo la siguiente

actividad. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de


Grupo

174

a) 2x + y = 5, x + 3y = -6

b) X + 2y = 7, 2x – y = -1

c) 3x – y = 0, x – 4y = -3

d) 3x + 6y = -15, x – 2y = 4

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas y señala a cuál de

ellos pertenece la siguiente gráfica. Se va a evaluar tu desempeño



175

_____________________ ___________________ ____________________

Sistemas de ecuaciones lineales de 3x3

La resolución de los sistemas de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas ocupó

durante los siglos XVI y XVII a una brillante escuela de algebristas, principalmente

italianos. Sus ingeniosos métodos algebraicos aún siguen proponiéndose como

alternativa a la teoría de matrices que fue desarrollada y refinada en los siglos posteriores.

Uno de los procedimientos conceptualmente más sencillos para resolver sistemas

cuadrados (con igual número de incógnitas y ecuaciones) de más de dos ecuaciones se

basa en la llamada forma escalonada. Esta técnica consiste en transformar

sucesivamente, según cualquiera de los métodos algebraicos comunes (sustitución,

igualación o reducción), el sistema de ecuaciones en otro equivalente que tenga forma

escalona.

Identifica de las siguientes graficas cual tiene una solución,

ninguna solución y muchas soluciones escribiendo sobre la raya

su tipo (consistente, inconsistente ó dependiente). Se va a evaluar

tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la

página 213.


176

Método de Gauss

En la resolución de sistemas cuadrados con tres incógnitas se utiliza un procedimiento escalonado, conocido por método de Gauss, que consiste en una generalización del método de reducción. Este método, aplicable también a otras resoluciones, debe su nombre a su descubridor, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Según el método de Gauss, el sistema original se va transformando en otros, hasta obtener un sistema equivalente final con:

Una primera ecuación con tres incógnitas x, y, z. Una segunda ecuación con dos incógnitas y, z. Una tercera ecuación con una incógnita z.

Se resuelve la tercera ecuación para obtener z, se sustituye en la segunda y se obtiene y, y se reemplazan y, z en la primera para resolver completamente el sistema.

En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de la forma:

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + kz = m

Donde a,b,c y d son números reales, con a,b y c, no todos nulos, en una ecuación lineal

con tres variables ( x, y, z ).

De la misma manera que se puede resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con

dos incógnitas ( x, y), se puede resolver un sistema de tres ecuaciones lineales.

la solución corresponde a los valores de x, y y z que hacen verdadera las tres

ecuaciones, que corresponderían a las coordenadas de un punto en el espacio, es decir la

intersección de tres planos (tercera dimensión)

Procedimiento para resolver un Sistema de ecuaciones 3x3

6x – 4y – 5z = 12 ecuación (1) 4x – 2y – 3z = 8 ecuación (2)

5x + 3y – 4z = 4 ecuación (3)

Consideremos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos la “y” multiplicando por (-2) la

ecuación (2)

6x – 4y – 5z = 12 ecuación (1) -8x +4y + 6z = -16 ecuación (2)

EJEMPLO.

177

Realizando la suma algebraica:

-2x + z = -4 y a ésta le llamamos ecuación (4)

Se toma entonces la ecuación (3) que no se utilizó en el paso anterior y con cualquier otra

de las ecuaciones se elimina la misma incógnita por el mismo método de combinación

lineal.

4x - 2y - 3z = 8 ecuación (2)

5x + 3y – 4z = 4 ecuación (3)

Se procede a eliminar la misma variable (y) en las dos ecuaciones multiplicando la

ecuación (2) por el coeficiente de y de la ecuación (3) siempre y cuando quede el signo

contrario de la ecuación (2) y a la ecuación (3) por el coeficiente de y de la ecuación (2)

12x - 6 y - 9 z = 24

10x + 6 y - 8z = 8

Sumando términos semejantes

22x - 17z = 32 Ecuación (5)

Como resultado de seguir los pasos anteriores quedará un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas, la cual puede resolverse por el método elegido y así hallar el valor de

las dos incógnitas.

-2x + z = -4 Ecuación (4)

22x - 17z = 32 Ecuación (5)

Para eliminar la variable x se multiplica la ecuación (4) por 11 y la ecuación (5) por 1 . El

caso es que tenemos que igualar en valor absoluto los coeficientes de dicha variable pero

con diferente signo

-22 x + 11 z = -44

22 x – 17 z = 32

Reduciendo términos semejantes

6 z = 12

Despejando la z

z = 2

Sustituimos z = 2 en la ecuación (4)

-2x + z = -4

-2 x + 2 = -4

-2x = -4-2

-2x = -6

x = 3

178

Para encontrar la variable que nos hace falta la sustituimos en cualquiera de las

ecuaciones originales.

6x- 4y-5z = 12

6(3) – 4y – 5(2) = 12

18 – 4y -10 = 12

-4y = 12- 18 + 10

-4y = 4

y = - 1

Por último se sustituyen los valores obtenidos y deben de cumplir para las tres

ecuaciones.

4(3) – 2(-1) – 3(2) = 8

12 + 2 – 6 = 8

14 – 8 = 8

8 = 8

Individual

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, por el método

reducción. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de


Ejercicio no. 1

x – y = 2

2x - z = 1

2y + 2z = 6

179

5x – 2y + z = 24

2x + 5y – 2z = -14

x – 4y + 3z = 26

+ 3y + z = 1

- 2y – z = -14

+ y - z = 1

Tarea no. 1

Resuelve los sistemas de ecuaciones por el método más

adecuado.

3x + y = 5

x - 2z = 6

+ 2y – z = 0

180

2y – 5z = 4

3x – 2y + z = 4

2x – y = 3

x + y + z = 4

x – 2y – z = 1

2x – y - 2z = -1

2x + 4y + 6y = 14

-x + y + 4.5z = - 0.5

-6x – 8y + 12z = -20

En equipos de cinco integrantes resuelve por el método de

determinantes los siguientes sistemas de ecuaciones.


181

2x + 5y +2z = 5

3x – 2y – 3z = -1

2x + 3y + 3z = 10

Una compañía produce tres tipos de sillones: el infantil, normal y el de lujo. El proceso de

producción de cada pieza consta de tres etapas: corte, construcción y acabado. El tiempo

que se requiere para cada etapa se muestra en la siguiente tabla:

Etapas Infantil Normal De lujo

Corte 5 hrs 7 hrs 8 hrs

Construccion 4 hrs 5 hrs 7 hrs

Acabado 2 hrs 3 hrs 4 hrs

Si semanalmente la empresa dispone de un máximo de 216 horas para el corte, 163 para

la construcción y 92 para el acabado, ¿cuántos sillones de cada tipo puede producir la

compañía si opera a su máxima capacidad?

En equipos de cinco integrantes resolver por cualquier método el

siguiente problema.


182

Bloque VIII Resuelve ecuaciones

cuadráticas I

183

Temario

8.1.- Identifica ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable

81.1.- Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas

8.1.2.-Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

-Extracción de factor común

-Despeje de la variable cuadrática

8.1.3.-Aplica técnicas algebraicas de despeje o extracción de un factor común

8.1.4.-Resuelve ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable

8.2.- Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas completas

8.2.1.- Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas

8.2.3.- Describe el procedimiento de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable

8.2.4.- Utiliza la técnica de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable

8.2.5.- Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas

8.2.6.- Representa y soluciona situaciones con ecuaciones cuadráticas

TEMARIO

9.1. IDENTIFICA ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

9.1.1. Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas

9.1.2. Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

9.1.3. Aplica técnicas algebraicas de despeje o extracción de un factor común

9.1.4. Resuelve ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable

9.2. UBICA E INTERPRETA SITUACIONES CON ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS

9.2.1. Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas

9.2.2. Describe el procedimiento de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver

ecuaciones completas de segundo grado en una variable

9.2.3. Utiliza la técnica de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver

ecuaciones completas de segundo grado en una variable

9.2.4. Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas

9.2.5. Representa y soluciona situaciones con ecuaciones cuadráticas

184

1.- Una de la raíces de la ecuación (x +3)2 = 16 corresponde a:

a) -7

b) 3

c) 7

d) -3

e) 2

2.- Determinar las soluciones de la ecuación x2 +7x +12 = 0

a) x1 = 4 , x2 = - 2

b) x1 = - 4 , x2 = - 3

c) x1 = 4 , x2 = 3

d) x1 = - 4 , x2 = 3

e) x1 = 4 , x2 =-3

3.- La ecuación x2 -2x – 8 = 0 está compuesta por los factores binomiales (x-4)(x+2). ¿Qué parejas de valores corresponde a las soluciones de la ecuación?

a) x1 = - 4 , x2 = 2

b) x1 = 1 , x2 = - 2

c) x1 = 4 , x2 = - 2

d) x1 = 3 , x2 = - 1

e) x1 = -4 , x2 = - 2

4.- Si el discriminante b2 -4ac =0 entonces significa que la ecuación:

a) Tiene una solución

b) No tiene solución

c) Tiene dos soluciones

d) Tiene soluciones enteras

e) Tiene más de dos soluciones

Subraya la respuesta correcta en cada caso:


185

Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 +c = 0 con a ≠0

X2 -64 = 0

Primero se despeja la x2 y a continuación se extrae la

raíz cuadrada en ambos miembros

X2 = 64

√ X2 = √64

X= 8

De donde resulta: x=8 ó x= -8

Entonces el conjunto solución es : S = { -8, 8 }

Este tipo de ecuaciones algunas veces se puede resolver por factorización. En este caso

dicha expresión se factoriza y se iguala a cero cada factor y después se despeja x

X2 -64 = ( x-8) ( x+8)

x-8 = 0 de donde x= 8

x + 8 = 0 de donde x = -8

Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 +bx = 0; con a ≠0.

6x2 +30x = 0; ahora obtenemos un factor común 6x

6x ( x+5) = 0 Igualando cada factor a cero

6x=0; x+5 =0

Despejando x

X =0; x= -5

Conjunto solución {0 , -5}

Investiga la definición y forma de ecuación de los siguientes

conceptos. Realiza un reporte para entregarlo en la siguiente

clase. Asegúrate de incluir las referencias consultadas.

Expresión general de una ecuación cuadrática.

Ecuación cuadrática pura.

Ecuación cuadrática mixta

Número de raíces de una ecuación cuadrática

.


EJEMPLO

Identifica ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable.

Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas completas.


186

a) x2 + 6x = 0

b) 2x2 – 14x = 0

c) x2 – x = 0

d) 5x2 + 15x = 0

e) 4x2 + 20x =0

f) 2x2 – 128 = 0

g) x2 – 81 =0

h) 2x2 – 98 = 0

i) 3x2 – 42 = 0

Individual

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas. Se

va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se


Ejercicio no. 1

187

Continuamos con el estudio de ecuaciones, pero ahora nos concentraremos en el estudio de las ecuaciones de segundo grado.

Las actividades que integran esta bloque, desde luego, buscan favorecer el desarrollo de las habilidades del pensamiento algebraico al que hemos hecho alusión a lo largo de este cuaderno de trabajo, en esta ocasión al intentar que vivas de nuevo otras experiencias para propiciar el surgimiento de herramientas apropiadas para la resolución de las mismas.

En estas actividades te darás cuenta de los variados contextos, desde luego, incluyendo el matemático, en los que una relación cuadrática surge, estudiar los ingresos recabados por la venta de un determinado producto, analizar el comportamiento de las utilidades, calcular las dimensiones de una caja con ciertas características, analizar la producción de un cultivo, etc., son situaciones concretas de modelos ampliamente utilizados en las áreas de Economía, de Ingenierías o en Física, particularmente, en el estudio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado., por mencionar algunas.

Esperamos, nuevamente, que las actividades te resulten atractivas e interesantes.

Investiga los siguientes métodos que se utilizan para resolver

ecuaciones completas y anótalos en el espacio correspondiente.

.


188

El diseño de un texto Para el diseño de un libro de texto, se requieren hojas de tamaño 25 cm por 18 cm. El área impresa debe tener un margen igual de ancho en los cuatro lados.

a) Considerando que ""a representa el ancho del margen en cada lado, ¿Cuál sería una

expresión algebraica para el largo de la región impresa? ¿Y para el ancho de la región impresa?

b) Utiliza la información anterior para completar la siguiente tabla:

Ancho del margen

0.5 cm 1.0 cm 1.5 cm 2.0 cm 2.5 cm 3.0 cm

Largo

Ancho

Área de la región

impresa

c) Si el ancho del margen es de 1cm, ¿cuáles son las medidas del área impresa?

d) Si se requiere que el área de la región impresa sea de 2294cm , ¿cuál debe ser el

ancho del margen?

Ejercicio no. 2

Reunidos en equipos de cuatro integrantes, resuelve los siguientes problemas.

Grupo

189

e) Si se requiere que el área de la región impresa sea de 2424cm , ¿cuál sería la medida

de sus longitudes?

f) Y para un área de la región impresa de 2370cm , ¿cuál sería la medida de sus

longitudes?

La construcción de una bodega

Don Rodrigo va a construir una bodega en un solar

de una casa derrumbada, donde queda en pie una

pared que se desea aprovechar en esta nueva

construcción. El costo de mano de obra es de

$1,750.00 por cada metro cuadrado de

construcción. Con base en esta información,

responde a lo siguiente:

a) ¿Cuál sería el costo total por la construcción de una bodega de 5 metros de largo por

4 metros de ancho?

Individual

Resuelve correctamente los problemas que se presentan en los siguientes ejercicios. Una vez resueltos, coméntalos con tu asesor y el resto del grupo.

Ejercicio no. 3

190

b) Si se quiere invertir un total de $70,000.00 en mano de obra, ¿qué dimensiones puede

tener la bodega?

Largo

Ancho

c) Para cada una de las posibles dimensiones del inciso anterior, calcula el área de la

bodega

Largo

Ancho

Área de la bodega

d) ¿Con el presupuesto anterior, se puede construir una bodega de 75 metros cuadrados

de área?

e) ¿Cuáles serían las dimensiones de esa bodega que cubra una superficie de 100

metros cuadrados?

Factorización de ecuaciones cuadráticas

Vamos a resolver la siguiente ecuación cuadrática por el

método de factorización.

X2 – 7x + 12 = 0

Se factoriza de acuerdo a la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0

( x – 4 ) ( x – 3 ) = 0

X – 4 = 0 ó x – 3 = 0

X = 4 ó x = 3; es decir, S = { 3 , 4}

EJEMPLO

191

a) x2 – 5x + 6 = 0

b) x2 – 3x – 10 = 0

c) x2 + x – 20 = 0

d) x2 + 3x - 4 = 0

e) x2 – 8x + 16 = 0

f) x2 – 3x – 18 = 0

g) x2 – 2x – 24 = 0

h) x2 – 7x – 18 = 0

Tarea no. 1

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de

factorización. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de


192

EJEMPLO

Completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos

Explicaremos este método con el apoyo del siguiente ejemplo.

Resuelve la ecuación 3x2 - 24x + 45 = 0 por el método

de completar al cuadrado.

Paso no. 1 Se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático.

x2 – 8x + 15 = 0

Paso no. 2 Se pasa el término independiente al otro miembro cambiándolo de signo.

x2 – 8x = - 15

Paso no. 3 Se completa el trinomio cuadrado perfecto y lo que se agrega al primer

miembro se le agrega al segundo.

X2 – 8x + 16 = - 15 + 16

Resultando un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro que se

puede reducir a un binomio al cuadrado.

( x – 4 )2 = 1

Paso no. 4 Si el número que aparece en el miembro derecho es positivo, extrae raíz

cuadrada en ambos miembros y se resuelve la ecuación.

√( x – 4 )2 = √1

La potencia se elimina con el radical

x – 4 = 1 ó x – 4 = -1

x= 1+4 ó x = -1+ 4

x= 5 ó x= 3

193

a) 3x2 + 2x – 8 = 0

b) X2 + 6x -16 = 0

c) X2 – 8x -20 = 0

d) 2x2 – 11x + 15 = 0

Ecuaciones cuadráticas completas

Individual

Resuelve correctamente los siguientes trinomios cuadrados

perfectos utilizando el método de completar.

Ejercicio no. 4

Investiga cual es la ecuación de la fórmula general, concepto de

discriminante de una ecuación cuadrática y la importancia que su

valor proporciona el número y la naturaleza de las raíces de dicha

ecuación. Elabora un reporte y asegúrate de incluir las referencias

consultadas. Entrégalo en la siguiente clase.

.


194

a) x2 – 5x – 36 = 0

b) –x2 + 5x – 7 = 0

c) x2 – 3x = 8

d) 3x2 – 2x + 5 = 0

e) 6x2 – 17x + 10= 0

f) 5x2 – 11x – 12= 0

g) 2x2 – 7x -5 = 0

h) 3x2 – 5x + 1 = 0

i) 5x2 + 1 = - 5x

j) 8x2 + 4x = 1.5

Ejercicio no. 5

Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas determina:

El valor del discriminante, la naturaleza de las raíces de la ecuación.

El conjunto solución, si sus elementos son números reales. Se va a evaluar tu desempeño mediante una lista de cotejo que se encuentra en la página 213.

Grupo

195

Resuelve los siguientes problemas donde el modelo matemático es una ecuación cuadrática.

1.- Encuentra 2 enteros positivos consecutivos cuyo producto es 56

2.- José es mayor que Luis. Sí el producto de los números que expresan sus edades en años es 525, ¿cuál es la edad de cada uno de ellos?

3.- Jaime es tres años más joven que Juan. Si el producto de los números que expresan sus edades es 88, ¿qué edad tiene cada uno de ellos?

4.- La altura (h) en pies que alcanza un proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba después de t segundos de vuelo se calcula con la ecuación h= - 16t2 + 96t. Encuentra:

a) La altura a los 2 segundos

b) ¿A los cuántos segundos está a una altura de 80 pies?

c) El tiempo que tarda en regresar al suelo

5.- La suma de los cuadrados de tres enteros positivos consecutivos es 119. Determina cuáles son dichos números.

6.- Si la longitud de cada lado de un cuadrado aumenta 3 cm, el área del cuadrado que resulta es cuatro veces mayor que el área del original. Hallar el perímetro del cuadrado original

Nombre ________________________________________________ Grupo ________________________ Turno __________________ Fecha: _________________________________________________ Instrumento de Evaluación de producto Página 212


cotidiana.

196

Bloque IX Resuelve

ecuaciones

cuadráticas II

197

Temario

9.1.- Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas

9.1.1. Reconoce la ecuación en dos variables y = ax2+ bx + c, como la forma de la función cuadrática, y las

ecuaciones en una variable = ax2 + bx + c, como casos particulares de la anterior

9.1.2.-Transita de ecuaciones a funciones cuadráticas, y viceversa, al representar y solucionar diversas situaciones

9.1.3.- Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas

9.1.4.- Valora la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y solucionar

situaciones

9.1.5.- Aprecia las representaciones graficas de funciones cuadráticas como instrumento de análisis visual de su

Comportamiento

9.2.- Resuelve ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y gráficos

9.2.1.-Describe la función cuadrática en la forma estándar y = a(x – h)2 + k para trazar su gráfica

9.2.2.- Comprende el efecto del parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones-x

de ésta con las raíces de ax2+ bx + c = 0

9.2.3.- Ejecuta instrucciones y procedimientos propios de las ecuaciones cuadráticas de manera reflexiva,

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

9.3.- Aprecia la utilidad de la formula cuadrática y su discriminante para resolver ecuaciones cuadráticas completas con todo tipo de coeficientes, y conocer la naturaleza de las raíces

9.3.1.- Describe el proceso para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática mediante la fórmula general

9.3.2.- Interpreta la formula cuadrática

9.3.3.- Interpreta naturaleza real o compleja de las raíces, a partir del discriminante cuadrático

TEMARIO

10.1. IDENTIFICA LA RELACIÓN ENTRE FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRÁTICAS

10.1.1. Reconoce la ecuación en dos variables y = ax2 + bx + c, como la forma de la función

cuadrática, y las ecuaciones en una variable d = ax2+ bx + c, como casos particulares de la

anterior

10.1.2. Transita de ecuaciones a funciones cuadráticas, y viceversa, al representar y solucionar

diversas situaciones

10.1.3. Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas

10.1.4. Valora la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y

solucionar situaciones

10.1.5. Aprecia las representaciones gráficas de funciones cuadráticas como instrumento de análisis

visual de su comportamiento

10.2. RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR MÉTODOS NUMÉRICOS Y GRÁFICOS

10.2.1. Describe la función cuadrática en la forma estándar y = a (x – h)2 + k para trazar su gráfica

10.2.2. Comprende el efecto del parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las

intersecciones-x de ésta con las raíces de ax2 + bx + c = 0

10.2.3. Ejecuta instrucciones y procedimientos propios de las ecuaciones cuadráticas de manera

reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo

10.3. APRECIA LA UTILIDAD DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA Y SU DISCRIMINANTE, PARA

RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS CON TODO TIPO DE

COEFICIENTES Y CONOCER LA NATURALEZA DE LAS RAÍCES

10.3.1. Describe el proceso para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática mediante la fórmula

general

10.3.2. Interpreta la fórmula cuadrática

10.3.3. Interpreta la naturaleza real o compleja de las raíces, a partir del discriminante cuadrático

198

1. ¿Qué es una ecuación lineal? ________________________________________

2. ¿Qué significa resolver una ecuación? ________________________________

3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones? _________________________________

__________________________________________________________________

4. Menciona algún método para resolver un sistema de ecuaciones lineales:

__________________________________________________________________

5. ¿Qué es una ecuación de cuadrática? ________________________________

__________________________________________________________________

6. Escribe la fórmula general: _________________________________________

Escribe la respuesta correcta en cada uno de los espacios en

blanco:


199

Relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas

Una función cuadrática es de la forma y = ax² + bx + c, donde a, b, c son números reales cualesquiera y “x” e “y” dos variables que se representan en el plano cartesiano.

Las gráficas de todas las funciones cuadráticas tienen forma de parábola, (una curva con dos ramas). Ejemplo y= f(x) = 3x2.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que se plantea con el objetivo de calcular los valores de las variables que intervienen.

Si en la función cuadrática:

f(x)= ax² + bx +c se reemplaza y f(x)= 0, se obtiene una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx +c = 0; con a ≠ 0; c є R

Ejemplo . f(x)= x² - 30x + 250 función cuadrática

x² - 30x + 250 = 0 es una ecuación cuadrática

Una función polinómica de segundo grado tiene la siguiente expresión: y= ax2 + bx +c., donde a ≠ 0. Y su dominio son todos los números reales.

La función cuadrática más sencilla es y= x2, y su gráfica se presenta a continuación.

x F(x)=X2

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas.

Resuelve ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y

gráficos.

Aprecia la utilidad de la fórmula cuadrática y su discriminante,

para resolver ecuaciones cuadráticas completas con todo tipo de

coeficientes y conocer la naturaleza de las raíces.


200

El gráfico obtenido se denomina parábola, al igual que el gráfico de cualquier función

cuadrática. Observemos que el valor menor que toma y es 0, cuando x=0 y que y no

puede tomar valores negativos. El punto (0,0) se le denomina vértice de la parábola.

Distintas formas de representar una función cuadrática

La expresión f(x)= ax2 + bx +c, recibe el nombre de forma polinómica de la función.

Pero existen otras dos maneras de expresar una función cuadrática y que nos

proporcionan distintos datos respecto al gráfico.

Expresión polinómica f(x)= ax2 + bx +c

Expresión canónica f(x) = a(x-h)2 + k

Expresión factorizada f(x) = a ( x-r1) (x- r2 )

Venta de revistas

A partir del registro de la venta de una revista, el editor observa que

cuando el precio es de $20.00 cada una, se venden 10,000

ejemplares, mientras que, por cada peso de incremento en el precio,

las ventas bajan en 400 ejemplares.

a) Con base en la información anterior, completa la tabla siguiente:

Investiga la información de las diferentes expresiones algebraicas

sobre los parámetros de cada expresión en:

http://www.scribd.com/doc/2024192/Funciones

Con la información recopilada realiza un ensayo y entrégalo a tu

asesor en la siguiente clase.

.


Ejercicio no. 1

Reunidos en equipos de cinco integrantes, resuelve las siguientes actividades. Al finalizar, compara tus resultados con los del resto de los equipos.

Grupo

201

Precio de la revista Número de

ejemplares vendidos

$20.00 10,000

$21.00

9000

$29.00

$35.00

b) ¿Cómo puede calcularse la cantidad de ejemplares vendidos cuando el precio es “p”?

Explica verbalmente.

c) Expresa algebraicamente la explicación dada en el inciso anterior.

d) El ingreso total por la venta de las revistas se puede determinar multiplicando el precio

de la revista por la cantidad de ejemplares vendidos, por ejemplo, cuando el precio de

la revista es de $20.00, el ingreso es de $200,000, ya que a ese precio se venden

10,000 ejemplares. ¿Cuál es el precio que genera ingresos por $ 188,100?

e) Si costo de producción de cada revista es de $13.00. ¿Qué precio deberá fijar el editor

a cada ejemplar con el propósito de que la utilidad sea de $102,000?

f) ¿Es posible obtener una utilidad mayor? ¿Por qué?

202

Problemas y soluciones en la antigüedad

Desde tiempos antiguos se utilizan las ecuaciones como

herramienta para dar respuesta a situaciones concretas. En

los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han

descifrado tales problemas y la forma en como ellos los

resolvían. Algunas de las antiguas tablillas contienen

problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las

soluciones no utilizan nociones de geometría. Un antiguo

pergamino de los babilonios contiene la solución de la

ecuación 8702 xx .

"Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x, y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a

870, para obtener 4

481,3. Ahora, tómese la raíz cuadrada de

4

481,3 para obtener

2

59.

Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado

obtenido, 30, es una solución de la ecuación".

a) Usando la notación moderna, escribe la ecuación y el método que describe el

pergamino

b) Plantea y resuelve al menos tres ecuaciones similares y utiliza el método para

resolverlas

c) ¿Cómo usarías el método para resolver la ecuación cxx 2?

203

El problema analizado anteriormente, muestra el carácter retórico del álgebra antigua, es

decir no empleaba la notación simbólica a la que ahora estamos acostumbrados. El

siguiente era un problema típico: “Un cuadrado y 10 raíces son iguales a 39 unidades”,

por cuadrado se refiere al área de un cuadrado y raíz significa el lado del cuadrado. El

problema puede también enunciarse como: ¿Cuál es el cuadrado que combinado con diez

de sus raíces dará una suma total de 39? La manera de resolverlo era tomar la mitad de

las raíces ya mencionadas, por lo tanto, 5, que multiplicado consigo mismo da 25, una

cantidad que se agrega a 39, lo cual da 64. Se toma entonces la raíz cuadrada de 64, que

da 8, luego se resta de esto la mitad de de las raíces, 5, lo que deja 3. El número 3 es así

la raíz del cuadrado y 9 el área de ese cuadrado, como podrás ver si regresamos a la

cuestión inicial, el cuadrado, 9, y 10 de sus raíces 10(3) son iguales a 39 unidades.

d) Usa la notación moderna para escribir la ecuación y el método de resolución descrito.

e) Plantea y resuelve al menos tres ecuaciones similares y utiliza el método para

resolverlas

f) ¿Cómo usarías el método para resolver la ecuación cbxx 2?

204

Ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y gráficos

Efecto del parámetro a en la gráfica

(x-3)2 3(x-3)2 6(x-3)2

y = 3(x-3)(x-3)

(x-3)2 +1 (x-3)2 -1 (x-3)2 -2

x

y

x

y

205

(x+3)2 (x+1)2 (x)2

x

y

x

y

x

y

Ejercicio no. 2

Con tu equipo, analiza las gráficas anteriores y deduce la variación de los diferentes parámetros de la ecuación cuadrática. Anota tus deducciones en el siguiente espacio y coméntalo con tu asesor.

reducción.

.

Grupo

206

Grá

fic

a

x

y

x

y

x

y

Ec

ua

ció

n

cu

ad

ráti

ca

Individual

Deduce la ecuación cuadrática de las siguientes gráficas y

anótalas en el espacio correspondiente.

Ejercicio no. 3

207

Grá

fic

a

x

y

x

y

x

y

Ecu

ació

n

(x+1)2 -1 4 (x+1)2 -1 (x- 2)2 +3

Grá

fic

a

x

y

x

y

Ecu

ació

n

(x- 2)2 +1 (x-1)2

Individual

Grafica las siguientes ecuaciones sin necesidad de tabular.

Ejercicio no. 4

208

Conversión de la forma general ax2 +bx+c a la forma a(x-h)2+k

Se siguen los pasos para completar trinomios cuadrados perfectos. Por ejemplo

X2-2x+3=0

X2-2x=-3

X2-2x+___= -3+__

X2-2x+1= -3+1

(x-1)2 = -2

(x-1)2 -2 = 0

Individual

A continuación se presentan cuatro gráficas distintas, Encierra con

un círculo la grafica que corresponde a la ecuación X2 - 3X - 10=0.

Ejercicio no. 5

209

Fórmula cuadrática y su discriminante

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita del

tipo ax2+bx + c = 0, es:

El procedimiento para llegar a esta fórmula se denomina “completar el trinomio

Cuadrado perfecto”, es decir, un trinomio de la forma a2+2ab+b2 que se transforma en

un binomio al cuadrado: (a+b)2.

La expresión b2 – 4ac, es llamada discriminante. Es fundamental que observes que el

valor “a” se refiere al coeficiente del término cuadrático, “b” es el coeficiente del término

lineal y “c” es el término independiente.

A continuación se muestran tres funciones cuadráticas, sus representaciones gráficas y

el número de soluciones que tienen:

Función Grafica Soluciones

y = x2 – 2x - 3

Dos soluciones ya que

la grafica corta dos veces al

eje X.

y = X2 + 4x + 4

una solución ya que la

función toca una sola vez al

eje X.

210

y = X2 +-2x + 4

Ninguna solución debido a

que la figura no corta al eje

X.

Plantearemos el modelo matemático para el siguiente

ejercicio:

El largo de un terreno rectangular es el doble de su

ancho mas 10 m, siendo el área del terreno 208m2.

Paso No. 1.

- Dibujar el terreno

- ¿Qué sabemos del terreno?

- ¿Cómo se obtiene el área de un rectángulo?

- ¿Cómo se representan las cantidades desconocidas?

- ¿Cómo representaran el ancho y el largo?

- ¿Cómo resulta la expresión que indique el área?

Paso No. 2. Plasmar los datos que se te dan.

- Ancho: X

- Largo: 2X + 10

- Área: X (2x + 10), Es decir: 208= 2x2 + 10x

EJEMPLO

211

a) 2x2 + 10x-208 =0

b) 73+3x2-35=0

c) 3x -2x2+5=0

d) -5-2x2+3x =0

e) 2x2+3x+5=0

f) x(x+3)-2)=0

Resuelve las siguientes ecuaciones y encuentra las raíces.


212

1. Un granjero tiene suficiente alfalfa para alimentar 20 vacunos por 30 días. ¿Cuánto le durará el alimento si compra 5 vacas más?

a) 12 días b) 18 días c) 20 días d) 24 días 2. Un contratista estima que con 6 obreros puede ejecutar una obra en 15 días, ¿En

cuántos días ejecutarían 8 obreros la misma obra? a) 10 días

b) 114

1días

c) 12 días d) 15

2

1días

3. El peso total de tres personas es 120 kg y están en la razón 4:3:1. ¿cuál es el peso de

cada persona? a) 60, 45, 15 b) 40, 50, 30 c) 48, 42, 30 d) 12, 18, 86 4. Qué porcentaje de rebaja se hace en una deuda de $45.000 que se reduce a

$36.000? a) 10% b) 12% c) 20% d) 30% 5. Una persona ha leído el 60% de las 240 páginas de un libro. ¿Cuántas ha leído? a) 100 págs b) 122 págs c) 136 págs d) 144 págs. 6. De los 300 alumnos de un colegio, el 40% son mujeres. ¿Cuántos varones tiene el

colegio? a) 180 b) 120 c) 140 d) 180 7. Un atleta recorre 40 Km en 2 horas. Entonces ¿a qué distancia se encuentra cuando

ha recorrido media hora de camino? a) 10 Km b) 15 Km c) 20 Km d) 25 Km 8. ¿Al colocar las siguientes fracciones 4/3, 11/6, 7/8 Y 5/4 de menor a mayor, el orden

correcto estará dado por? a) 7/8, 5/4, 4/3 y 11/6

b) 4/3, 11/6, 7/8 y 4/5

c) 4/3, 11/6, 4/5 y 7/8

d) 4/3, 5/4, 7/8 y 11/6

9. Identifica una fracción equivalente a la fracción 3/2 a) 4/6 b) 7/2 c) 90/60 d) 1/3

Nombre____________________________________________________

Grupo ________________________ Turno ______________________

Fecha _____________________________________________________

Autoevaluación

213

10. Un colegio tiene cupo para 900 alumnos. Si ya se inscribieron 476 mujeres y 250

hombres, ¿cuál es el cupo disponible? a) 180 b) 164 c) 174 d) 191 11. Un cine tiene 48 filas con 35 asientos cada una, ¿cuántas personas caben en la sala? a) 1,700 b) 1,760 c) 1,650 d) 1,680 12. Calcula el área del círculo cuyo radio mide 12 cm. a) 506.4 cm2 b) 482.6 cm2 c) 414.8 cm2 d) 452.4 cm2 13. Una caja que contiene 800 tornillos pesa 20 Kg. ¿cuánto pesa cada tornillo? a) 0.025 kg b) 0.25 kg c) 0.035 kg d) 0.35 kg 14. Si el n-ésimo término general de una sucesión es an = 2n2 -8. Halla el séptimo

término. a) 90 b) 85 c) 92 d) 96 15. Halla los primeros cuatro términos de la sucesión an = 10 – 4n a) 6, 2, -2, -6, -10

b) -10, -6, -2, 2, 6

c) 6, 2, -22, -26,-30

d) 10, 6, 2, -2,-6

16. Al factorizar el trinomio 1272 xx obtenemos:

a ) 43 xx

b) 43 xx

c) 43 xx

d) 43 xx

e) 43 xx

17. Al factorizar el trinomio 376 2 xx se obtiene:

a) 1332 xx

b) 1332 xx

c) 1332 xx

d) 1332 xx

e) 1313 xx

214

18. El desarrollo de 21 mm equivale a:

a) 22 mm

b) 22 mm

c) 22 mm

d) 32 mm

e) 32 mm

19. Mateo trabaja en el almacén de una tienda, cada mes se reciben 48 costales, estos son de frijol y de arroz, si sabemos que de arroz son el triple de costales en comparación con los de frijol ¿cuántos costales de frijol se reciben? a) 15 costales de frijol b) 12 costales de frijol c) 14 costales de frijol d) 16 costales de frijol e) 24 costales de frijol 20. En la cocina "La comida de Mamá" se preparan comidas corridas para llevar, uno de sus clientes, en sábado les solicita una tercera parte más de comidas porque su familia lo visita ese día, por lo que se le envían 12 órdenes ¿cuántas comidas pide entre semana? a) 7 comidas b) 5 comidas c) 9 comidas d) 8 comidas e) 11 comidas

21. Al desarrollar el binomio 31x obtenemos:

a) 133 23 xxx

b) 133 23 xxx

c) 169 23 xxx

d) 133 23 xxx

e) 133 23 xxx

215

22. 22 22 aa es igual a:

a) 42 a

b) 22 a

c) 24 a

d) 44 a

e) 42 a

23. El desarrollo de 21 mm equivale a:

a) 22 mm

b) 22 mm

c) 22 mm

d) 32 mm

e) 32 mm

24. Despejar h de la fórmula de presión hidrostática ghP :

a) hPh

b)g

Ph

c)P

gh

d)g

Ph

e)

Pgh

25. Al despejar r de la fórmula de fuerza eléctrica 2

21

r

qKqF obtenemos:

a) F

qKqr 21

b) F

qKqr 21

c) 21qKq

Fr

d) KF

qqr 21

e) 21qq

KFr

216

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Evaluación de Productos (Tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana)

No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones

Sí No Ponderación Calif.

1 Resolvió el total de los ejercicios

0.10

2 Resolvió correctamente los ejercicios

0.28

3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios.

0.10

4 Realizó correctamente las operaciones.

0.50

Calificación de esta evaluación 0.98

Tabla de ponderación

1 = sí cumplió 0 = no cumplió

Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

Evaluación de Productos (investigaciones):


Sí No Ponderación

Calif.

1 Entregó en tiempo y forma

0.1

2 La información fue clara y acorde al tema

0.1

3 Presentación del trabajo 0.1



1 = sí cumplió 0 = No cumplió


217

Evaluación del Desempeño (Ejercicios)

En equipo


Sí No Ponderación

Calif.

1 Se integró al equipo. 0.25

2 Mostró interés por el tema.

0.25

3 Mostró conocer los conceptos que utilizó

0.5

4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios

0.5

5 Aplicó correctamente el procedimiento

0.5

Calificación de esta evaluación 2

Individual


Sí No Ponderación

Calif.

1 Mostró interés por el tema.

0.20

2 Mostró conocer los conceptos que utilizó

0.20

3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios

0.40

4 Aplicó correctamente el procedimiento

0.40



1 = sí cumplió 0 = No cumplió


218

GLOSARIO

Amplificación de Fracciones. Amplificar una función consiste en encontrar una fracción

equivalente pero con sus términos (numerador y denominador) mayores.

Área. Definimos el área como la medida de la superficie de una figura plana.

Base. Un número utilizado varias veces como factor.

Binomio. Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos.

Coeficiente (numérico). El número que aparece como factor en una expresión.

Conjunto solución. El conjunto de números que hacen verdadera una proposición

Constante. Un símbolo cuyo valor no cambia en un problema determinado.

Coordenadas. La abscisa “x” y la ordenada “y” de un punto (x, y) en un sistema de

coordenadas cartesianas o rectangulares.

Cuadrado. La palabra usada para representar el resultado de elevar un número o un

polinomio a la segunda potencia.

Cuadrado perfecto. Un entero que es el cuadrado de otro entero o un polinomio que es

el cuadrado de otro polinomio.

Cubo. La palabra que designa el resultado de elevar un número o un polinomio a la

tercera potencia.

Denominador. Es la parte de la fracción que nos indica las partes iguales en los que se

divide la unidad.

Diferencia. Es el resultado de quitar al minuendo del sustraendo

Dígito. Cualquiera de los diez números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 y 9.

Discriminante. El valor de la expresión b2 − 4ac en donde a, b y c son los coeficientes de

una ecuación de segundo grado.

Ecuación. Una proposición que establece que dos expresiones, de las cuales por lo

menos una contiene una incógnita, son iguales.

Ecuación cuadrática completa. Se da siempre que los coeficientes de la incógnita y el

término independiente sean diferentes de cero.

Ecuación cuadrática incompleta. Es cuando el coeficiente del término lineal y del

independiente son cero o al menos uno de ellos es igual a cero.

219

Ecuaciones consistentes. Un sistema de n ecuaciones de primer grado con n incógnitas

que tiene solución única.

Ecuación cuadrática (segundo grado). Una ecuación que puede escribirse en la forma

ax2 + bx + c = 0, en donde a, b y c son números reales y a a ≠ 0.

Ecuación de primer grado con una incógnita. Una ecuación que puede escribirse en la

forma ax + b = 0, la incógnita aparece a la primera potencia.

Ecuaciones dependientes. Un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2

incógnitas que tiene un número infinito de soluciones. Están relacionadas de tal forma que

una puede obtenerse de la otra mediante la multiplicación de cada término por una

constante adecuada.

Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución.

Ecuaciones inconsistentes. Un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2

incógnitas que no tienen solución común (solución nula).

Exponente. El número escrito arriba y a la derecha de otro número (base) que indica el

número de veces que la base se toma como factor en un producto.

Expresión. Un número, o letra, o una combinación de ambos obtenida mediante

operaciones algebraicas.

Expresión aritmética. Es la combinación de números y operaciones básicas

Factor. Un divisor exacto de una expresión.

Factor común. Un número o expresión algebraica que es factor de dos o más términos.

Factores primos. Son números primos que dividen a un número compuesto.

Factorizar. Descomponer una expresión en sus factores.

Fórmula general. La expresión algebraica que sirve para resolver ecuaciones de

segundo grado con una incógnita fórmula que se utiliza para encontrar las raíces o

soluciones de una ecuación de segundo grado.

Fracciones. Nos permiten representar partes iguales de una unidad.

Fracción compleja. Una fracción que contiene fracciones en su numerador, en su

denominador o en ambos.

Fracción impropia. Cuando en una fracción el numerador es mayor que el denominador.

Fracción mixta. Fracción que se escribe como parte entera más una fracción. Se

compone de parte entera y parte fracción (fracción propia).

220

Fracción propia. Es cuando en una fracción el numerador es menor que el denominador.

Fracciones equivalentes. Fracciones que representan el mismo valor, aunque tanto el

numerador como el denominador sean diferentes.

Función. Es la relación entre dos conjuntos de pares ordenados, con la propiedad de que

a cada elemento del primer conjunto llamado dominio le corresponde uno y sólo un

elemento del segundo conjunto llamado rango o imagen .

Gráfica (de una ecuación). Lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas

satisfacen la ecuación.

Minuendo. Es la cantidad mayor en la operación de sustracción.

Monomio. Expresión que contiene un término.

Numerador. Es la parte de la fracción que nos indica la cantidad que se toma de la

unidad.

Número entero. Todo elemento del conjunto {…–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,...}.

Número racional: Son números de la forma b a donde a y b son enteros y b es diferente

de cero, además tienen expansión decimal finita o periódica infinita.

Número irracional. Es aquél que no puede expresarse como el cociente de dos enteros.

Número natural. Todo elemento del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6,....}

Números reales. El conjunto de números que comprende a todos los números racionales

y a todos los números irracionales.

Origen. Punto de referencia O (0,0) en un sistema de coordenadas.

Polinomio. Expresión que contiene más de un término.

Proporción. La proposición que expresa la igualdad de dos razones.

Raíz de una ecuación. Un valor de la incógnita que satisface la ecuación.

Razón. Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad

entre otra.

Recíproco. Un número es el recíproco de otro si el producto de ambos es 1.

Sucesión. Es un conjunto infinito de números reales (los números que forman la sucesión

se llaman términos). Todas las sucesiones tienen un primer término y cada término tiene

un siguiente.

221

Sucesión geométrica. Está constituida por una secuencia de elementos en la que cada

uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o

factor de la progresión.

Sucesión aritmética. Es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos

es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an +

b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado.

Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.

Término. Una expresión que consta de un número, letra o de una combinación de ambos

empleando sólo las operaciones de multiplicación y división.

Trinomio cuadrado perfecto. Es el resultado de elevar un binomio al cuadrado.

Variable. Un símbolo que representa a cualquiera de los elementos de un conjunto de

números, cuyo valor puede cambiar.

222

REFERENCIAS

Ortiz Campos F. José. Décima octava reimpresión (2005) Matemáticas I Álgebra. Grupo Publicaciones Cultural. S. A de C. V.

Cuellar J. Antonio (2004) Primera edición por: Mc GRAW HILL Matemáticas I para Bachillerato.

http://alumno.ucol.mx/grios/algebra/lenguajealgebraico.htm

http://ponce.inter.edu/cremc/polinomio1.htm

http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html

http://psu.escolares.net/matematicas/numeros-decimales/

http://alumno.ucol.mx/grios/algebra/lenguajealgebraico.htm

http://ponce.inter.edu/cremc/polinomio1.htm

http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html

http://psu.escolares.net/matematicas/numeros-decimales/

colegio de estudios cientÍficos y ... - … · además de identifica las características...

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