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GUÍA PARA EL PRIMER EXAMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I.

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

"Toda cosa grande, majestuosa y bella en este mundo, nace y se forja en el interior del hombre". Gibrán Jalil Gibrán. Unidad 1: PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE. Propósitos: Explorar diversos problemas que involucran procesos infinitos a través de la manipulación tabular, gráfica y simbólica para propiciar un acercamiento al concepto de límite. 1. Un cuadrado de lado 1 se divide en tres rectángulos iguales y se sombrea uno de ellos (paso uno).

Uno de los rectángulos no sombreados se divide en otros tres rectángulos iguales y se sombrea uno de ellos (paso 2). Este proceso se continúa indefinidamente. ¿El área así obtenida a qué valor tenderá?

2. Un cuadrado de lado 1 se divide a la mitad y se pinta de negro una de las dos partes, posteriormente,

la mitad no pintada se divide a la mitad y una mitad se pinta de negro. Si se repite este proceso indefinidamente:

a) Calcula el área de la zona sombreada en el primer paso del proceso, 𝑎!. b) Calcula el área total sombreada para varios de los siguientes pasos del proceso: 𝑎!, 𝑎!, 𝑎!,⋯ c) Encuentra el término general de la sucesión 𝑎! . d) Traza una gráfica en un plano cartesiano. e) ¿Cuál será el área total pintada de negro? Escribe el resultado como un límite. 3. Tu maestro de matemáticas se hizo el propósito de ahorrar. Para lo cual pensó en un sistema

mediante el cual se le hiciera cada vez más fácil hacerlo. El sistema es el siguiente: la primera quincena guardar mil pesos, en la segunda la mitad (quinientos pesos), en la tercera la tercera parte de mil, etcétera.

a) ¿Suponiendo que él o sus descendientes siguieran ahorrando tendrán mucho dinero después de 500 semanas?

b) .¿Si el proceso fuera infinito el monto que se puede ahorrar estará acotado? c) Completa la tabla procurando escribir en cada paso los resultados indicando las operaciones sin

efectuarlas y también efectuándolas. d) Encuentra en el paso 𝑛 la expresión general que represente el proceso. e) Traza una gráfica del número de paso contra el ahorro total obtenido. f) ¿Cuando 𝑛 se va haciendo más y más grande el resultado del ahorro total va aproximando a algún

valor? g) ¿Cuándo 𝑛 → ∞, el resultado del ahorro total a qué valor tiende? Justifica tu respuesta.

Semana 𝑛

Cantidad ahorrada en esa semana: 𝑎!

Cantidad total ahorrada: 𝑆!

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10


500

𝑛

𝑛 → ∞,

4. Un cubo de un centímetro de arista se dividirá en cubos más pequeños. Si 𝑛 es el número de partes

iguales en los que se dividirá cada arista, 𝑐! el número mínimo de cortes cuando se divide el cubo en 𝑛 partes iguales, 𝑎! el número total de cubos resultante y 𝑣! el volumen de cada cubo, completa la tabla siguiente:

𝑛 𝑐! 𝑎! 𝑣!

2 3 8 !! cm3

3

4

10

100

1000

𝑛

a) ¿Con base en la tabla, cuál es el volumen de uno de los cubos cuando se ha divido la arista en 100

partes iguales? b) ¿Si este proceso continua, para qué valor de n el volumen de uno de los cubos puede ser menor que

0.000000000023? c) Encuentra qué pasa con: 𝑐!, 𝑎! y 𝑣! cuando 𝑛 tiende a infinito. Expresa lo anterior con la notación

adecuada. 5. El punto C1 divide al segmento AB = 1 en dos partes iguales; el punto C2 divide al segmento AC1 en

dos partes también iguales: el punto C3 divide, a su vez, al segmento C2C1 en dos partes iguales; el punto C4 hace lo propio con el segmento C2C3 y así sucesivamente. ¿A que tiende la longitud ACn cuando n tiende a infinito?

A continuación te mostramos gráficamente cómo se comporta la sucesión ACn Primer paso Segundo paso Tercer paso

1 cm

Corte

.

A = 0 B = 1 C1

A = 0 B = 1 C1 C2

A = 0 B = 1 C1 C2

C3


a) Completa la tabla siguiente:

Paso n Longitud de ACn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .

𝑛 b) ¿Cuándo 𝑛 tiende a infinito, a qué valor tiende la sucesión 𝐴𝐶!? 6. Las dimensiones del rectángulo ABCD son de 1 por 2. El rectángulo siguiente, PQRS , tiene

dimensiones ½ x 1. De igual modo, cada rectángulo interior tiene la mitad de las dimensiones que el rectángulo precedente. Si esta sucesión de rectángulos continúa hasta el infinito, ¿cuál es la suma de las áreas de todos los rectángulos?

7. Calcula la suma infinita siguiente 2 3 4

6 6 6 6 ...10 10 10 10

+ + + +

Unidad 2: LA DERIVADA ESTUDIO DE LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO. Aprendizaje: Explicar el significado de la pendiente de una función lineal. Elabora una tabla, dibuja la gráfica y construye una expresión algebraica asociada al estudio de problemas. Identifica que una función lineal tiene variación constante. Funciones lineales. En los siguientes problemas realiza las actividades siguientes. a) Completa los valores de la tabla (variable independiente vs variable dependiente). Si la variable

independiente se incrementa ¿Qué sucede con el incremento de la variable dependiente? b) Obtén una fórmula entre las variables involucradas (de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏). c) Con la fórmula obtenida calcula valores de la variable independiente, diferentes a los valores de la

tabla. d) Dibuja la gráfica que corresponde a la función que obtuviste. e) Calcula la razón de cambio (o rapidez de cambio) entre las variables involucradas, (expresa las

unidades) entre diferentes pares de valores de la variable independiente. PROBLEMAS 1. Un automóvil viaja por una carretera recta. El automóvil viaja con una velocidad constante y recorre

480 Kilometros, en 6 horas. Inicia su recorrido a 120 Kilometros de un lugar de partida (de una Colonia muy importante “Iztacalco”) .


𝑡 ( Tiempo) 𝑑 ( Distancia) 0 1 2 3 4 5 6

2. A los residentes de Pueblo Quieto, se les cobra una cuota anual, más un cargo por cada metro

cúbico de agua consumida. A una familia que usó 580 metros cúbicos de agua se les cobró $1,200.00 y otra que empleó 780 metros cúbicos se le cobró $1,500.00. Deduce el costo por del consumo de agua en función de los metros cúbicos y con base en ella, realiza lo que se te pidió.

𝑐 (Consumo en 𝑚!) 𝑃 ( Pago)

0 10 20 30 40 50 60

3. La temperatura en º𝐹 en función de la temperatura º𝐶 esta representada por una función lineal. Se

sabe que 212 º𝐹 y 100º𝐶 representa la temperatura a la que hierve el agua. De igual manera, 32º𝐹 y 0º𝐶 representan el punto de congelación del agua. Completa la tabla siguiente.

º𝐹 º𝐶 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

4. ¿En cuál de las tablas siguientes, la relación es lineal?¿por qué?

𝑥 -3 0 3 6

𝑓(𝑥) 10 16 22 28

a) b) 𝑥 -2 -1 0 1 2 𝑓(𝑥) 4 1 0 -1 4

c) 𝑥 0 1 2 3

𝑓(𝑥) 25 30 35 40

d) 𝑥 0 2 4 6 8 𝑓(𝑥) 1 5 17 37 65


5. Cuando un sólido se somete a esfuerzos pequeños (fuerza de tensión o de comprensión), la deformación unitaria que resulta (cambio fraccionario de longitud) es proporcional a la tensión. La elasticidad del matrial se representa por la constante 𝐸, llamada módulo de elasticidad, siendo

𝐸 =𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜

𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎

En la gráfica siguiente se muestra la curva esfuerzo – deformación unitaria para el hueso. Estima el módulo de elasticidad del hueso.

Problemas de optimización. En los problemas siguientes, encuentra un modelo algebraico o bien un registro numérico, en el cual puedas dar un valor aproximado en donde se encuentra el máximo o el mínimo, en los casos que el modelo algebraico sea un polinomio de segundo grado, debes de dar el máximo o el mínimo de manera exacta y explicar por qué lo es. 1. Encuentra dos números positivos cuya suma sea 50 y cuyo producto sea lo más grande posible. 2. ¿Qué un número positivo más su recíproco de la suma mínima? 3. Hallar el número que excede a su cuadrado en la máxima cantidad. 4. La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del

tercero suman 120. Halla los números que maximizan el producto de los tres números. 5. Se tienen 1200 𝑐𝑚! de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta,

encuentra el volumen máximo posible de la caja. 6. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32 000 𝑐𝑚!.

Encuentra las simensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. 7. Un granjero tiene 750 metros de cerca, desea encerrar un área rectangular y dividirla en cuatro

corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo ¿Cuál es el área total máxima posible de los cuatro corrales?

8. Una empresa fabricante de alimentos para perros encuentra que sus utilidades están dadas como

función de 𝑥, el precio por kilo de alimento para perros, por

𝑃 𝑥 = −𝑥! + 130𝑥 − 225 a) Traza una gráfica de dicha función. b) ¿Qué precio debe cobrarse para obtener la máxima utilidad?¿Cuál es la utilidad a ese precio? c) ¿Para qué precios es positiva la función 𝑃?

Deformación unitaria


9. Encuentra el mayor valor posible de 2𝑥 + 𝑦 si 𝑥 e 𝑦 son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa tiene 5 unidades de longitud.

10. ¿Cuál es el área del mayor rectángulo que tiene dos vértices en el eje x y dos vértices sobre la

parábola 𝑦 = 16 − 3𝑥!? 11. Un vaso cilíndrico de sección transversal circular ha de contener 200 cm2 de material. ¿Qué

dimensiones debe de tener para que contenga la mayor cantidad posible de líquido? Razones de Cambio Polinomios de segundo y tercer grado.. 1. Si 𝑓 es una función y 𝑃 𝑎, 𝑓 𝑎 un punto en ella, qué representan las expresiones siguientes?

2. Un globo de 10 cm de radio se está inflando por lo que su radio va aumentado. Determina la razón de

cambio promedio del volumen del globo (suponiendo que es una esfera, con volumen 𝑉 = !!𝜋𝑟!)

con respecto a su radio 𝑟. a) Cuando aumenta de 10 a 12 cm. b) Su razón de cambio instantáneo a los 12 cm.

3) La gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) se muestra abajo. ¿Cuál es el mayor de los siguientes pares?

4) Indica en una copia de la figura anterior, cómo se puede representar lo siguiente:

a) 𝑓(4) b) 𝑓 4 − 𝑓(2) c) ! ! !!(!)

!!! d)La razón de cambio instantánea en 𝑥 = 3

5) Cada una de las funciones de la tabla siguiente es creciente, pero cada una aumenta de forma

diferente ¿cuál de las gráficas se ajusta mejor a cada función?

lim!→!

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)𝑥 − 𝑎

⬚𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎 y

1

2

3

4

𝑥

𝑦

1 2 3 4 5

5

a) Rapidez promedio de cambio: entre 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3 o entre 𝑥 = 3 y 𝑥 = 4.

b) 𝑓(2) o 𝑓(5). c) La pendiente de la recta tangente en 𝑥 = 1

o 𝑥 = 4.

a) b) c)

𝑡 𝑔(𝑡) ℎ(𝑡) 𝑘(𝑡) 1 23 10 2.2 2 24 20 2.5 3 26 29 2.8 4 29 37 3.1 5 31 44 3.4 6 38 50 3.7


6) En 𝑡 minutos una reacción química ha producido las cantidades de sustancia 𝐴(𝑡) que se muestran en la tabla siguiente:

𝑡 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 10 15 20 25 30 35 40 𝐴 𝑡 𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 26.5 36.5 44.8 52.1 57.1 61.3 64.4

(Datos tomados de Some Mathematical Models in Biology)

a) Determina la razón media de la reacción en el intervalo de 𝑡 = 20 a 𝑡 = 30. b) Grafica los datos de la tabla en un plano, dibuja una curva que pase por ellos y estima la razón de

cambio instantánea de la reacción en 𝑡 = 25.

7) Deduce la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 dada por 𝑓 𝑥 = 2𝑥! − 2𝑥! + 1, en el punto en donde 𝑥 = 2.

8) Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de !!

!+ 𝑡 + 1 gramos después de 𝑡

horas. a) ¿Cuánto creció durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01? b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01? c) ¿Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando t = 2?

9) Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 40 m/s, su altura en metros después de 𝑡 segundos se

expresa como 𝑠 𝑡 = 40𝑡 − 4.9𝑡!.

a) Encuentra la velocidad promedio para el periodo que se inicia en 𝑡 = 2 y dura i) 0.5 s. ii) 0.1 s, iii) 0.05 s, iv) 0.01 s

b) Encuentra la velocidad instantánea cuando 𝑡 = 2.

10) Usa una gráfica para determinar las ecuaciones de todas las rectas que pasen por el origen y sean tangentes a la parábola

𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 + 4 Traza las rectas en la gráfica.

11) Se lanza una pelota que sigue la trayectoria descrita por 𝑦 = 𝑥 − 0.02𝑥!.

a) Representa la gráfica de la trayectoria b) Encuentra la distancia total que recorre la pelota c) ¿Para qué valor de x alcanza la pelota su altura máxima? d) Encuentra la ecuación que expresa la razón de cambio instantáneo de la altura de la pelota

respecto al cambio horizontal. Evalua la función en x = 0, 10, 25, 30. e) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo de la altura cuando la pelota alcanza su altura máxima?

12) Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Cuando sale de la mano se

encuentra a 1 metro sobre el suelo: a) Encuentra la altura 𝑦, de la pelota, en el momento 𝑡. b) ¿Cuál es la altura a la que llega la pelota?

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