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Colegio de Bachilleres

del Estado de Quintana Roo

Guía Didáctica

Matemáticas IV

Agosto 2006

Colegio de Bachilleres del Estado de Quintana Roo Matemáticas IV

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INDICE ........................................................................................................................................................ No. de pág.

� Introducción al curso ................................................................................................................ 3 � Intenciones educativas ............................................................................................................. 5 � Objetivo temático del curso ...................................................................................................... 6 � Contenidos temáticos ............................................................................................................... 7 � Mapa conceptual ...................................................................................................................... 9 � Estrategia global ...................................................................................................................... 10 � Lo que se espera del alumno y el docente ................................................................................ 11 � Políticas para la realización del curso ....................................................................................... 12 � Sistema de Evaluación ............................................................................................................. 13 � UNIDAD I ................................................................................................................................. 14

Sesión Estrategias de enseñanza y aprendizaje - Fase de apertura - Fase de desarrollo - Fase de cierre

� UNIDAD II ................................................................................................................................ 37


� UNIDAD III ............................................................................................................................... 97


� UNIDAD IV ............................................................................................................................... 111


Bibliografía ............................................................................................................................... 140 Dosificación programática ........................................................................................................ 141 Docentes participantes ............................................................................................................. 143 Directorio ................................................................................................................................. 144

� Anexo 1


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INTRODUCCION AL CURSO El bachillerato general tiene entre sus propósitos cubrir las necesidades académicas de los jóvenes en el marco del contexto actual, al proporcionarles una formación básica que les ayude a consolidar una cultura general que les permita comprender e incidir en su entorno de manera propositiva y fundamentada; se les ofrece una formación propedéutica que fortalezca sus conocimientos, habilidades y actitudes preparándolos para su ingreso a la educación superior, considerando las aspiraciones personales y vocacionales de los alumnos: y finalmente una formación para el trabajo que los prepare para insertarse en una cultura laboral a través del desarrollo de capacidades prácticas y actitudes positivas que promuevan su participación social, el autoempleo o si fuera el caso el empleo formal. Con la finalidad de brindar la formación básica anteriormente mencionada, a continuación se presenta el programa de estudios de la asignatura de Matemáticas IV, la cual pertenece al campo de conocimiento fisico-matemático. Entre los propósitos formativos de este campo se encuentran el desarrollo de conocimientos. habilidades y actitudes que le permitan interpretar de manera reflexiva y crítica el quehacer científico, su importancia actual y futura y tomar conciencia del impacto social, económico y ambiental del desarrollo tecnológico, al que contribuye el estudio de esta asignatura mediante el desarrollo de conceptos, métodos y procesos lógicos que permiten al alumno analizar la relación funcional entre dos variables, indispensable para la explicación de fenómenos y la resolución de problemas en distintos campos del conocimiento. El estudio de la materia de Matemáticas brinda al alumno de bachillerato la oportunidad de desarrollar diversas formas de pensamiento y tipos de razonamiento, y a utilizar distintos lenguajes y formas de representación simbólica, útiles para su desarrollo y madurez intelectual , así como para la comprensión e interpretación de su realidad, tanto personal como social. Al cursar la asignatura de Matemáticas I, el alumno aprende a transitar de las operaciones numéricas de la Aritmética al lenguaje general del Álgebra: en Matemáticas II, incorpora el estudio de los conocimientos geométricos; y en Matemáticas III, conjuga los anteriores aspectos mediante el estudio de la Geometría Analítica, es decir, aprende a transitar de las formas algebraicas a las representaciones geométricas, y viceversa. La asignatura Matemáticas IV permitirá al alumno desarrollar un pensamiento flexible al constatar que la Matemática también admite el titubeo, el error y la aproximación, además de la formalidad, el rigor y la exactitud, al estudiar los conceptos de variación y aproximación ligados a la idea de función; posibilitará así mismo el desarrollo de distintas formas de comunicación oral y escrita, expresando sus ideas mediante diversas representaciones gráficas o interpretando y describiendo procesos; utilizará el pensamiento critico al elaborar gráficas e identificar las diferentes formas de variación funcional al modelar situaciones; valorará la utilidad del trabajo colaborativo en equipos y en el grupo, lo mismo que la importancia del respeto a las opiniones de los demás al participar en actividades grupales, y desarrollará una actitud de aprecio hacia el trabajo científico, particularmente de la Matemática, al aplicar los conocimientos para la modelación y resolución de problemas de diversos ámbitos. El estudio de las funciones, en el cuarto semestre del Plan de estudios del bachillerato general, posibilita no sólo que el alumno concluya el componente de formación básica consolidando y ampliando sus conocimientos algebraicos sobre variables y ecuaciones iniciado en Matemáticas I; los del comportamiento de las funciones trigonométricas abordados en Matemáticas II (ubicándolas como un tipo particular de funciones trascendentes) y los de representación gráfica de ecuaciones adquiridos mediante el estudio de la Geometría Analítica en Matemáticas III, sino también, permitirá que aplique específicamente dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de Física II que se imparte en el mismo semestre y, más allá. constituirá una base importante en los semestres subsecuentes, para el estudio del Cálculo Diferencial e Integral, Matemáticas Financieras y Probabilidad y Estadística, en el componente de formación propedéutica. Los contenidos sobre funciones que serán abordados en el curso de Matemáticas IV comprenden los temas de: relaciones y funciones, funciones polinomiales, funciones racionales y funciones exponencial y logarítmica. La idea general de interdependencia funcional entre dos variables, así como sus distintas formas de representación, vinculará y estructurará el estudio de tales contenidos. Partiendo de la idea general de función, sus características algebraicas y geométricas, operaciones y tipos básicos especiales de funciones (indispensables para la representación de la variación entre dos magnitudes) se pasará al estudio de las funciones algebraicas polinomiales y racionales, (incluyendo propiedades algebraicas de polinomios, tales como factores, residuos, raíces de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas) y se concluirá con el estudio del comportamiento de dos tipos especiales de funciones trascendentes, las funciones exponencial y logarítmica, destacando el carácter inverso de ambas, revisando propiedades básicas de logaritmos y


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resolviendo ecuaciones exponenciales y logarítmicas (lo que complementará el estudio de las funciones trascendentes iniciado ya en Matemáticas II con las funciones trigonométricas). En cada unidad el alumno aprenderá a relacionar magnitudes para modelar diversas situaciones de su entorno, a partir de la idea de variabilidad y relación funcional de dos variables, que le resultará de utilidad para interpretar aspectos numéricos y lógicos de sus vivencias personales y de su realidad social. En todas las unidades el alumno desarrollará habilidades de comunicación al transitar por distintas formas de representación de las funciones, incluyendo representaciones tanto matemáticas (algebraicas: ecuaciones: numéricas: tablas; geométricas: gráficas), como no matemáticas (descripciones en lenguaje ordinario, orales o escritas), mediante la participación en debates, análisis, exposiciones, etc.; igualmente, tendrá oportunidad de desarrollar actitudes de colaboración y respeto al participar en diversas actividades, como elaboración de tareas y exposiciones en equipo y grupales; de desarrollar una actitud crítica al realizar investigaciones y participar en el análisis de situaciones prácticas que requieran modelación, solución e interpretación de resultados tomadas de su contexto inmediato escolar o social. El enfoque disciplinario que se adoptará para su enseñanza será tanto instrumental (carácter de herramienta interdisciplinaria), como científico (conocimiento básico), con la finalidad de que el alumno pueda apreciar con claridad la doble vertiente propia de esta disciplina. Respecto al enfoque metodológico propuesto para su enseñanza, cabe resaltar que corresponde al planteado por la reforma curricular del bachillerato general, es decir, a una educación centrada en el aprendizaje de manera que el presente programa está encaminado a desarrollar un aprendizaje dentro de un marco teórico constructivista, que plantea principios orientados al logro de aprendizajes significativos por parte del alumno, entendiéndose éste como un proceso individual y subjetivo que debe estar contextualizado para recuperar su sentido objetivo, y debe promoverse de manera socializada para el intercambio y validación de significados como resultado de un trabajo colaborativo. Este tipo de aprendizaje tiene un componente afectivo donde coexisten factores que influyen en el mismo, como el autoconocimiento, el establecimiento de metas y la motivación, de ahí que deba partir de los conocimientos previos del aprendiz y su nivel de desarrollo, tomando en cuenta las etapas cognitiva, emocional y social, para establecer vínculos significativos entre las estructuras cognoscitivas y socio-afectivas del alumno así como las del contenido por aprender. Por lo anterior. se requiere que en el proceso de enseñanza aprendizaje el docente cumpla sus funciones como un mediador entre la cultura y el individuo, creando andamiajes entre los conocimientos previos y los objetivos académicos establecidos. En cuanto al alumno, se propone que no sea un simple receptor de información, sino que interactúe con los contenidos programáticos y logre desarrollar aprendizajes significativos que lo vinculen a su diario acontecer. Respecto a las líneas de orientación curricular cabe mencionar que, de acuerdo con las propuestas de la reforma curricular, la formación del alumno no puede limitarse únicamente a la adquisición de conocimientos de manera memorística o "enciclopédica"; por esa razón se han establecido siete Líneas de Orientación Curricular, con la finalidad de desarrollar capacidades básicas que fortalezcan las estructuras del pensamiento y acción, esenciales para la formación del alumno, lográndose a través de la selección de actividades didácticas que se manejarán en diversos momentos acordes a la asignatura. Líneas de orientación curricular 1) Desarrollo de habilidades de pensamiento: Su propósito es que el alumno adquiera la capacidad ele construir de manera creativa el conocimiento. El desarrollo de estas habilidades es prioritario en la estructuración y operación de los contenidos educativos, porque el aprendizaje es producto de la conducta activa del alumno. Para el cálculo integral, las habilidades de pensamiento que se desarrollan en los procesos de adquisición y procesamiento de la información, básicamente son el observar, comparar, relacionar: así como los razonamientos de tipo analítico, abstracto o analógico en la construcción de conceptos o el planteamiento y resolución de problemas. Frecuentemente se aplican en situaciones de aprendizaje durante el planteamiento y resolución de problemas de aplicación referidas a las reglas de integración. 2) Metodología: Los contenidos de la asignatura, que siguen una lógica secuenciada, permiten también al alumno darse cuenta de cómo utiliza sus procesos mentales y, a su vez, adquirir un conocimiento de métodos o caminos diversos para lograr un razonamiento lógico más eficaz. En la medida en que se practican nuevos métodos de resolución y se incentivan las preguntas, es posible desarrollar en los alumnos una actitud responsable y crítica en su proceso de aprendizaje; así, siempre está presente el lugar activo del alumno y la invitación constante a cuestionar, a arriesgarse a cometer errores, a ensayar nuevos caminos y a construir un


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método propio. Y esto sólo es posible si el docente desplaza su lugar tradicional y se dispone a escuchar desde una actitud no dogmática, cuestionable y abierta a revisión. La metodología propuesta, privilegia la comprensión de los conceptos mediante un acercamiento diferente a las matemáticas. Esto es, ir a las bases para detectar los obstáculos que se han presentado en los alumnos, tanto en los contenidos como en su actitud frente a esta área del saber, tan marcada por mitos, resistencias y experiencias adversas. Un objetivo básico es la exploración de diferentes caminos para acceder a la comprensión de las matemáticas, partiendo de los métodos o técnicas que los alumnos conocen y hasta cierto punto manejan. Es por eso que la materia prima del curso son los saberes previos del alumno, los contenidos y métodos que conoce y aplica. Un aspecto esencial de la metodología es la socialización de los preconceptos, desde la aritmética, pasando por el álgebra y la geometría hasta llegar al cálculo diferencial o al cálculo integral. Ese recorrido permite hacer el diagnóstico de los contenidos que son prerrequisito para aprender lo nuevo y evaluar lo que se ha aprendido. 3) Valores: Al señalar la educación en valores como uno de los principios rectores del sistema educativo, se ha respondido a una demanda social hoy generalizada donde la educación formal constituye una escuela para la ciudadanía y fomento de actitudes éticamente valiosas. Nuestra sociedad pide a la escuela que no se limite a transmitir conocimientos; le pide que forme personas capaces de vivir y convivir en sociedad, personas que sepan a qué atenerse y cómo conducirse. Se debe propiciar una nueva educación, que responda a otra concepción del ser humano, una educación que restaure los valores éticos esenciales, donde prime la adquisición de hábitos de convivencia, de solidaridad, de justicia y de respeto para nuestros semejantes. Es el cambio en las actitudes el que nos llevará irreversiblemente a una sociedad más humana y solidaria, por lo que los contenidos de Matemáticas IV, propician el desarrollo de valores como la solidaridad, siempre que se promueva el trabajo en equipo, en actividades dentro del aula y en la resolución de problemas que implican el intercambio y la discusión de ideas. Propicia el desarrollo de una actitud seria y responsable en la reflexión acerca de la aplicación del conocimiento en la resolución de problemas que mejoren la calidad de vida social e individual. 4) Educación ambiental: El estudio de las funciones puede proporcionar información a los alumnos para adquirir conciencia de los problemas del ambiente, creando en ella predisposición, motivación, sentido de responsabilidad y compromiso para trabajar individual y colectivamente en la búsqueda de soluciones, con el propósito de dar a cada persona la oportunidad para adquirir los conocimientos, valores, actitudes, compromisos y habilidades necesarios para proteger y mejorar el ambiente y con ello alcanzar los objetivos de desarrollo sostenible. 5) Democracia y derechos humanos: La educación democrática, rechaza los métodos autoritarios de enseñanza y considera a la educación como una herramienta que permite al ciudadano integrarse en su cultura. La educación en Derechos Humanos es un ámbito propicio para encarnar y recrear valores, porque sitúa a la dignidad humana como valor fundante de una ética y una moral, y desde la vigencia en los derechos humanos se articulan los valores de la libertad, la justicia, la igualdad, la democracia, el pluralismo y el respeto. Las aplicaciones de manera ética del análisis de la interdependencia entre dos variables para estudiar y representar distintas situaciones o fenómenos sociales, económicos, científicos y de diversa índole, en la vicia profesional y cotidiana, contribuyen a la formación de un sujeto moral con derechos, responsabilidades y valores; un sujeto que hace valer sus propios derechos y los derechos de los otros cuando participa en el trabajo colaborativo en la solución de problemas; un ser crítico, capaz de hacer propuestas que coadyuven a erradicar las injusticias imperantes, de hacer vigente los derechos humanos. 6) Calidad: La calidad educativa se entiende como el proceso continuo de perfeccionamiento individual y colectivo, en virtud de su contribución a la formación de individuos y de una sociedad mejor. En ese sentido, los elementos determinantes para el aprendizaje de los temas de precálculo, relativos a funciones, en el Bachillerato General, se sustentan en una filosofía de la calidad educativa que se deberá reflejar en el desempeño de los egresados en los ámbitos profesional y humano. Por ello se pretende impregnar los contenidos educativos con un enfoque de calidad, a través del desarrollo de acciones que inculquen en el individuo su adopción como una tendencia permanente para actuar, trabajar y trasladar su experiencia al mejoramiento de sus condiciones de vida.


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7) Habilidades de comunicación: Entendida ésta como la ejercitación continúa de la competencia comunicativa del alumno, para que se exprese con claridad y precisión en forma oral, escrita e iconográfica. De esta manera, recupera los conocimientos adquiridos en las anteriores asignaturas de matemáticas, al utilizar el lenguaje y comunicación propios de está área del conocimiento y los transfiera a las demás asignaturas del plan de estudios, a través de actividades de aprendizaje que propicien la consolidación de esta capacidad.

Unidad I. Relaciones y funciones. Unidad II. Funciones polinomiales. Unidad III. Funciones racionales. Unidad IV. Funciones exponencial y logarítmica. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA El alumno: Resolverá problemas que conlleven el concepto matemático de función, a partir de su clasificación y operaciones que conduzcan a un análisis particularizado de cada una y al manejo de las nociones de variación e interrelación de dos magnitudes, mediante el desarrollo de técnicas y métodos algebraicos y geométricos: generando un ambiente escolar de tolerancia y respeto que favorezca el desarrollo de habilidades de exploración, modelación y obtención de resultados, utilizando el pensamiento critico y reflexivo.


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CONTENIDO TEMÁTICO UNIDAD I. RELACIONES Y FUNCIONES. 1.1 Relaciones y funciones -Noción de relación y noción de función. -Diversas formas de representación de una función. -Dominio, codominio y rango. -Aplicaciones prácticas 1.2. Clasificación y transformación de funciones. 1.2.1 Tipos de funciones - Algebraicas y trascendentes - Continuas y discontinuas - Crecientes y decrecientes - Uno-uno, sobre y biyectivas - Aplicaciones prácticas 1.2.2. Funciones inversas - Noción de función inversa - Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia - Dominio y rango 1.2.3. Funciones especiales - Función constante, idéntica y valor absoluto - Funciones escalonadas - Funciones compuestas - Dominio y rango 1.2.4. Transformación de gráficas de funciones - Traslaciones horizontales y verticales - Reflexión respecto a los ejes y la recta a 45° UNIDAD II. 2.1. La función polinomial 2.1.1. Concepto de función polinomial - Notación y características - Grado de una función polinomial. Coeficiente principal - Dominio y rango 2.1.2 La función constante como caso particular de la función polinomial - Dominio y rango - Gráfica 2.1.5. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro - Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grados 3 y 4. - Ceros y raíces reales. División sintética Factores y residuos. Ceros racionales - Ceros y raíces complejas. Número de ceros de una función polinomial. . Factores lineales y multiplicidad. Ceros, factores y soluciones. - Resolución de ecuaciones polinomiales factorizables. UNIDAD III FUNCIONES RACIONALES 3.1. La función racional


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3.1.1. Concepto de función racional

- Notación y caracterización - Dominio y rango; intervalos.

3.1.2. Gráficas de funciones racionales

- Comportamiento local y en infinito - Asintotas horizontales, verticales y oblicuas.

3.1.3. Variación inversa - La variación inversa corno caso particular de la función racional. - Definición y constante de variación. UNIDAD IV. FUNCIONES EXPONENCIALES 4.1. Función exponencial 4.1.1. Concepto de función exponencial.

- Notación - Dominio y rango -Crecimiento y decaimiento exponencial

4.1.2. Variación exponencial

- Valores de x y razones constantes de la función - Obtención de la expresión algebraica correspondiente - Tasa y factor de crecimiento

4.1.3. El número e

- Caracterización e importancia - Función exponencial natural

4.2 Función logarítmica 4.2.1. Concepto de función logarítmica

- Logaritmo de un número - La función logarítmica corno inversa de la función exponencial - Gráfica de la función logarítmica - Dominio y rango

4.2.2. Logaritmos comunes y naturales

- Definición y propiedades básicas - Operaciones con logaritmos - Cambio de base

4.3.3. Ecuaciones exponenciales y logaritmicas - Métodos básicos de resolución algebraica


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Funciones algebraicas Funciones trascendentes

Funciones polinomiales Funciones de grado 0 a 4

Funciones racionales

Bases 10 y e Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

FUNCIONES

Clasificación y operaciones

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ESTRATEGIA GLOBAL Las características principales del enfoque que fundamenta la elaboración de los programas de estudio orientado hacia una educación centrada en el aprendizaje, que retoma el marco constructivista. Cuando reflexionamos acerca de lo que sucede en el aula, debemos siempre tomar en cuenta las relaciones de carácter interactivo que se establecen entre el alumno, el docente y el objeto de conocimiento dentro de su contexto institucional y cultural. César ColI (1993- 2001) propone un marco teórico constructivista conformado por las diferentes teorías psicológicas del aprendizaje, entre ellas podemos mencionar las más representativas: la teoría psicogenética de Piaget, la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, las teorías del procesamiento humano de información (de Anderson y otros) y la teoría sociocultural de Vigotsky. De todas estas teorías se desprenden una serie de principios que nos permiten reflexionar sobre la práctica educativa y poder tomar soluciones para mejorarla. Glatthorn (1997) Y Solé y ColI (1993) establecen los siguientes principios constructivistas acerca de la enseñanza centrada en el aprendizaje: El aprendizaje:

1. Es un proceso activo de elaboración de significados. 2. Permite cambios conceptuales, los cuales implican a su vez el desarrollo de una comprensión más

profunda o verdadera de los conceptos. 3. Es siempre subjetivo y personal, el aprendiz necesita elaborar sus propias representaciones a través de

símbolos, metáforas, imágenes, gráficas y modelos generados por él mismo. 4. Debe estar contextualizado, los alumnos deben aprender a resolver problemas y llevar a cabo tareas

que estén relacionados con el mundo real, en lugar de hacer "ejercicios" fuera de contexto. 5. Es social, la interacción con otras personas permite desarrollar un mejor aprendizaje, siempre y cuando

se realice de manera cooperativa. 6. Tiene un componente afectivo. Los factores de tipo afectivo que influyen en el aprendizaje son: el

autoconocimiento y la opinión de uno mismo sobre las habilidades propias; la claridad y la solidez de las metas del aprendizaje; las expectativas personales, la disposición mental en general y la motivación para aprender.

7. Todo aprendizaje debe partir de lo que los alumnos ya saben, es decir, de los conocimientos previos que ellos ya poseen.

8. El nivel de desarrollo del alumno también influye en el aprendizaje, existen una serie de etapas a través de las cuales se va creciendo desde el punto de vista cognitivo, emocional y social, las cuales determinan lo que se puede aprender en cada una de ellas.

9. El material de aprendizaje debe ser potencialmente significativo tanto lógica como psicológicamente. 10. La función del docente es de guía, orientador y mediador entre el alumno y la cultura; el alumno

aprende gracias a la ayuda del docente y del trabajo en grupo. Este curso, valiéndose de la técnica didáctica de Aprendizaje Colaborativo, busca el desarrollo de escenarios donde el autoaprendizaje, la enseñanza interactiva y el trabajo en equipo sean clave para lograr aprovechamientos significativos en el estudiantado. Entre los alumnos debe quedar claro que el aprendizaje colaborativo es sinónimo de trabajo en grupo: los participantes en equipos de trabajo cooperativo requieren ser conscientes, reflexivos y críticos respecto al proceso grupal en sí mismo. Los miembros del grupo necesitan reflexionar y discutir entre si el hecho de si se están alcanzando las metas trazadas y manteniendo relaciones interpersonales y de trabajo efectivas y apropiadas. La reflexión grupal puede ocurrir en diferentes momentos a lo largo del trabajo, no sólo cuando se ha completado la tarea. Para mayor conocimiento de esta técnica didáctica que se desarrollará en el curso, consultar el libro "estrategias docentes para un aprendizaje significativo "una interpretación constructivista; Frida Díaz Barriga Arceo y Gerardo Hernández Rojas; segunda edición; Editorial McGRAW-HILL. En este enfoque de la educación centrada en el aprendizaje, el alumno es el principal protagonista y responsable de lo que aprende, sin embargo el docente es el principal responsable de que esto suceda en el aula, seleccionando las modalidades didácticas más idóneas, así como, diseñando y aplicando las estrategias de enseñanza y de aprendizaje pertinentes para que el alumno construya su propio conocimiento. El docente


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será modelo para el alumno y de manera progresiva, irá cediendo el control y la responsabilidad, orientando, asesorando, retroalimentando y proporcionando la ayuda ajustada a las necesidades de cada alumno durante todo el proceso de aprendizaje. LO QUE SE ESPERA DEL ALUMNO Y EL PROFESOR Rol del docente El docente debe ir disminuyendo su función de dispensador de conocimientos, de única fuente de conocimiento para ir aumentando sus funciones de diagnosticador de los alumnos, de guía en el proceso de aprendizaje del alumno y de colaborador (trabajo en equipo) con otros docentees. El docente debe: • Fungir como experto en la materia que se imparte. • Planear diseñar y administrar el proceso de aprendizaje, apoyándose con herramientas didácticas y

medios tecnológicos. • Asistir puntualmente a cada clase, según el horario de la signatura correspondiente. • Especificar con claridad los propósitos del curso o lección. • Dar a conocer a sus alumnos en la primera semana de clase de cada ejercicio lectivo, el programa y

bibliografía de la asignatura correspondiente. • Identificar las necesidades de los alumnos a fin de poder guiarles en la elección del material y de la

situación de aprendizaje apropiada (estudio independiente, pequeño grupo, par de alumno, etc). • Identificar y organizar las diferentes situaciones que estimulen el autoaprendizaje de los alumnos según

sus características. • Fomentar la creatividad en el desarrollo de los aprendizajes. · • Impulsar los procesos de desarrollo individual y grupal que fomenten el interés de los alumnos por

realizarse como seres humanos autónomos. • Estructurar el ambiente de aprendizaje para que el alumno pueda aplicar técnicas de explotación y de

descubrimiento: variedad de materiales, organización clara de los materiales, autorregistro de las tareas realizadas, exposición de los productos elaborados, etc.

• Seleccionar, adaptar y elaborar materiales, suficientes y de variados tipos, adecuados a las diferentes características de los alumnos.

• Lograr los créditos correspondientes a su asignatura, mediante la asignación de tareas y trabajos a los alumnos, proporcionándole orientación y bibliografía para su realización.

• Conocer las características psicológicas que particularizan a los alumnos, así como de las condiciones biosocioeconómicas y culturales en que se desarrollan.

• Promover en los alumnos una actitud de interés por su proceso de pensamiento y por la construcción de su conocimiento.

• Controlar y registrar la asistencia y puntualidad de los alumnos. • Elaborar procedimientos de evaluación y de registro de la evaluación, que:

a) permitan la participación de los alumnos b) diagnostiquen la situación en que se encuentran los alumnos para poder corregir deficiencias y lagunas c) ayuden a alcanzar no sólo objetivos académicos sino objetivos de procedimientos y de actitudes.

• Informar al alumno los resultados de las evaluaciones en un periodo no mayor de tres días posteriores a la fecha de la presentación del examen o trabajo.

• Entregar los resultados de las evaluaciones bimestrales, con puntualidad conforme al calendario señalado por el COBAQROO.

• Conocer los fundamentos normativos, filosóficos y metodológicos que sustentan el bachillerato general y que orientan la práctica educativa en la Institución.

• Tener conocimiento de las teorías y evolución del campo disciplinario, objeto de su función académica. • Actualizar permanentemente su conocimiento sobre el acontecer nacional e internacional relevante para el

desarrollo del alumno, para sí mismo, para la institución, y significativa para la explicación de los cambios que puedan afectarles.

• Trabajar conjuntamente con otros docentees, intercambiando experiencias, la preparación y la especialización.

Rol del alumno Las actividades que un alumno puede realizar son múltiples, la mayor parte de las cuales giran alrededor de los siguientes bloques: • Consultar, buscar y localizar información en libros o en otros materiales para el logro de los objetivos de

aprendizaje, que le permita: ♦ Complementar lo cubierto en el aula.

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♦ Disponer de elementos para participar en debates organizados en clase. ♦ Desarrollar proyectos de investigación relacionados a la materia.

• Aplicar métodos de estudio, habituándose al trabajo autónomo e independiente: organización de la tarea, selección y utilización de diversas fuentes de conocimiento, control de su trabajo, uso de las claves de los catálogos, actividades de análisis, de síntesis, de relación, de crítica, etc.

• Manejar los equipos necesarios para consultar fuentes diversas de información videos, casetes, computadora, proyectores de diapositivas, películas.

• Utilizar diferentes lenguajes y medios de comunicación en la expresión de sus trabajos, proyectos e investigaciones: impreso, sonoro, visual, audiovisual, informático, gestual, dinámico, plástico, etc.

• Desarrollar los procesos lógicos que le permitan analizar y explicar diversos fenómenos naturales y sociales del medio circundante, desde distintas dimensiones y perspectivas teóricas.

• Aplicar en su vida cotidiana los conocimientos de diferentes disciplinas y ciencias en la resolución de problemas, con base en principios, leyes y conceptos.

• Interpretar de manera reflexiva y crítica el quehacer científico su importancia actual y futura; y tomar conciencia del impacto social, económico y ambiental del desarrollo tecnológico.

• Asumir una actitud propositiva ante los problemas que lo afectan, atendiendo los más significativos de su entorno.

• Construir una personalidad ética que considere al hombre como especie, como individuo y como parte de una sociedad, mediante el desarrollo y fortalecimiento de los valores.

• Desarrollar los elementos que le permitan consolidar su personalidad y enfrentar los riesgos propios de su edad.

• Emplear las nuevas tecnologías de información y comunicación, aprovechando sus potencialidades para desarrollar conocimientos que promuevan su participación activa y constructiva en la sociedad.

• Adquirir conocimientos sobre principios específicos de las diversas disciplinas que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores.

• Obtener los elementos que le permitan valorar y realizar de manera competente tanto el trabajo productivo como los servicios que redundan en beneficio de la sociedad.

• Contar con los elementos que posibiliten la creación o el aprecio por las manifestaciones artísticas para valorarlas como expresiones culturales.

• Desarrollar habilidades y destrezas motrices que le permitan mantener el cuerpo sano.

POLÍTICAS PARA LA REALIZACIÓN DEL CURSO REGLAS DEL CURSO DE MATEMÁTICAS IV

1. Asistencia y puntualidad 2. Entrega en tiempo y forma los ejercicios 3. Libreta para apuntes de cuadros 4. Traer el material a utilizar de acuerdo a cada sesión 5. Celulares apagados 6. Ganas de aprender 7. No calculadora 8. Aseo de su persona y del aula Sistema de evaluación La evaluación de este curso deberá considerar los aspectos de conocimientos, habilidades y actitudes y Sll resultado final será una calificación semestral conformada por el promedio de las calificaciones aprobatorias de las cuatro partes en que se dividen los contenidos de los programas de estudio. A su vez estas calificaciones bimestrales son el producto de una ponderación que ajuicio de la Academia en cuestión puede constituirse de la siguiente forma: Examen Bimestral de 30% a 50% Apreciación del Profesor de 50% a 70% En el área de apreciación del docente se pueden incluir, entre otros elementos, tareas, exámenes rápidos (quizzes), avances de proyecto final, trabajo en el aula de forma individual, binas, tríos o equipos más numerosos, reportes de prácticas.

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Para generar las calificaciones que se produzcan por cada evidencia de aprendizaje se deberá tomar en cuenta la calidad en su contenido, responsabilidad y cumplimiento en su entrega, así como honestidad académica en su realización. Por ejemplo:

Calificación de una parte Examen parcial 50.0% Tareas extraclase 10.0% Exámenes rápidos 15.0% Participación en clase 15.0% Avances del proyecto final 8.0% Autoevaluación 1.0% Coevaluación 1.0% Total 100 %


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UNIDAD I TITULO: Relaciones y Funciones OBJETIVO DE LA UNIDAD I: El alumno: Resolverá problemas sobre relaciones y funciones, teóricos o prácticos, mediante el manejo de la relación funcional entre dos variables, la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión y razonamiento abstracto, lógico, analógico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual se desenvuelve.

Objetivos Temáticos El alumno: 1.1. Resolverá problemas que impliquen la noción de función en forma teórica o práctica, mediante el análisis descriptivo de la relación entre dos variables a través de tablas, parejas, diagramas, gráficas o ecuaciones, que permitan acotar y obtener los valores de dichas relaciones en el dominio o rango de las condiciones impuestas. 1.2. Resolverá problemas teóricos o prácticos utilizando las distintas clases defunciones y sus propiedades, así como las operaciones algebraicas y geométricas que permiten combinarlas. Sesiones de la 1 a la 17


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones SESIÓN: 1 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno conocerá los lineamientos de la asignatura, los criterios de evaluación, los contenidos del programa de estudio así como la bibliografía básica y complementaria. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: Presentación de la asignatura. Subtema: Contenido del programa.

Recursos y Documentos: Juego de geometría, calculadora, hojas milimétricas, tabla matemática, colora, tijera, pegamento, entre otras, libreta de apuntes.

Tarea para hoy: Estudiar la elaboración de gráficas de las funciones lineales y cuadráticas para el examen diagnóstico.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en las actividades de la sesión. Evidencias de producto: Apuntes de los lineamientos y políticas del curso. Evidencias de conocimiento: Conocer los contenidos y políticas del curso.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: Presentación de la asignatura. Subtema: Contenido del programa.

Recursos y Documentos: Fotocopias del contenido del programa. Presentación de la bibliografía, calculadora, juego de geometría.

Tarea para hoy: Presentar el programa de estudio. Explicar lineamientos, sistema y criterio de evaluación.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Revisión de los lineamientos. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Conocer los contenido de la asignatura, los criterios de evaluación y la presentación de la bibliografía y/o página web. FASE DE APERTURA TIEMPO: 15 Min. Instrucciones: El docente se presentará ante el grupo dando a conocer el objetivo y los contenidos de la asignatura de Matemáticas IV. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: El docente entregará las fotocopias de los contenidos y de los lineamientos, en donde posteriormente realizará un análisis del material proporcionado. Este material de apoyo deberá estar pegado en las primeras hojas de su libreta de apuntes. Mencionará la bibliografía a utilizar. Así mismo se le proporcionará la lista de material a utilizar en el semestre: juego de geometría, calculadora, hojas milimétricas, tabla matemática, colores, tijera, pegamento, entre otras. También se hará mención del criterio de evaluación durante el curso incluyendo el examen semestral que es de dos días que tiene un valor de 10 puntos porcentuales. El alumno conocerá los contenidos del programa y la guía didáctica de Matemáticas IV, los cuales están en la pág. http://www.cobaqroo.edu.mx (liga DGB/Programas de la Reforma Curricular), las políticas, lineamientos y los recursos a utilizar. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Para la siguiente sesión se mencionará la aplicación del examen diagnóstico de la materia de Matemáticas IV.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. SESIÓN: 2 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá el examen diagnóstico con el propósito de determinar los conocimientos previos de la asignatura. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: Aplicación del Examen diagnóstico. Subtema: Ninguno.

Recursos y Documentos: Lápiz, borrador y examen diagnóstico.

Tarea para hoy: La resolución del examen diagnóstico. Investigar para la próxima sesión ejemplos y aplicaciones acerca del tema 1.1 Relaciones y funciones.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Examen diagnóstico. Evidencias de conocimiento: Resultado de examen diagnóstico.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: Aplicación del Examen diagnóstico. Subtema: Ninguno.

Recursos y Documentos: Programa de estudio, Fotocopias del examen diagnóstico.

Tarea para hoy: Dar las instrucciones necesarias para el desarrollo de la aplicación del examen diagnóstico.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Los resultados del examen diagnóstico. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Examen diagnóstico. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El maestro proporcionará los exámenes a cada uno de los alumnos. Organizará y explicará las instrucciones de la misma. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El alumno resolverá el examen elaborado por el docente. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente recepcionará los exámenes en el tiempo establecido. Posteriormente comentará que el examen será analizado por la academia de maestros del área con la finalidad de establecer criterios y estrategias para la enseñanza de la asignatura.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE TÍTULO DE LA UNIDAD: Relaciones y funciones. SESIÓN: 3 Objetivo de la sesión: Mostrar al alumno situaciones donde dos variables se relacionen en diferentes situaciones. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.1 Relaciones y funciones. Subtema:

Recursos y Documentos: Fotografías de su entorno donde se observe las relaciones entre dos o más variables.

Tarea para hoy: Participará con ejemplos de su propio entorno en donde se especifique funciones. Identificará la manera en que una situación varía de acuerdo a la variación de otra. Socializará sus aportaciones con las de sus compañeros. Comprobará casos de relaciones que no son funciones. Identificará en su casa o en su comunidad cinco casos de aplicación de funciones de distinta índole.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa en el aula. Evidencias de producto: Escribir al menos dos ejemplos de diferentes situaciones. Evidencias de conocimiento: Conocer la relación de función.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.1 Relaciones y funciones. Subtema:

Recursos y Documentos: Guía didáctica, programa de estudio, dosificación programática, Dibujos o fotografías de las situaciones que presentará.

Tarea para hoy: Explicar y proporcionar ejemplos de

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: El docente evaluará la participación de cada alumno según su desenvolvimiento durante la clase. Evidencias de producto: El docente evaluará la relación escrita por el alumno. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Nociones de relación y función. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Explicará a los alumnos que se darán ejemplos en donde dos situaciones estén relacionadas y que ellos escribirán y compartirán otros casos similares. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Dará ejemplos de que cuando una situación depende de otra, es común expresarla a través de la palabra función. Por ejemplo: Una buena cosecha está en función de las lluvias; el costo de un boleto de autobús, está en función del kilometraje que se recorrerá: el tiempo que se tarda en llegar el autobús está en función de la velocidad que desarrolle durante el recorrido; etc. Solicitará que cada alumno escriba al menos dos situaciones relacionadas y que la comparta con el grupo. FASE DE CIERRE TIEMPO: 15 Min. Instrucciones: Concluirá diciendo que no todas las situaciones relacionadas son cuantificables, sin embargo en la mayoría de ellas se pueden establecer variables cuantitativas, es cogiendo alguna presentada por un alumno realizando una tabla con su respectiva gráfica. Recordará la actividad extraclase.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. SESIÓN: 4 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno se familiarizará de las distintas maneras de representar una función. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.1 Relaciones y funciones. Subtema: Diversas formas de representación de una función.

Recursos y Documentos: Elementos geométricos para el trazo de tablas y gráficas.

Tarea para hoy: Expresar los ejercicios comentados de la sesión anterior a las distintas formas que se pueden presentar de las funciones: diagramas, tabla ecuación, pares ordenados y gráficas. Manejará la analogía de la transformación en una función: entrada-máquina-salida. Familiarizarse con f(x) con forma de representar a la variable dependiente, “y”, codominio, etc. Dominio de la definición formal de una función. Comprobación de una función analizando los elementos del dominio. Realizar un ejercicio de función expresado en todas las formas posibles o estudiadas. Conceptualizar la definición formal de función.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en el aula. Evidencias de producto: Elaboración de los ejercicios de función. Evidencias de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.1 Relaciones y funciones. Subtema: Diversas formas de representación de una función.

Recursos y Documentos: Libretas de cuadros, escuadras y colores.

Tareas para hoy: La selección de los ejercicios de función.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Se evaluará la habilidad del alumno en el aprendizaje de las distintas maneras de expresar una función, las diferencias y similitudes entre ellas. Se evaluará el dominio de la definición formal de función. Evidencias de producto: Se evaluará la elaboración de cada una de las formas de expresar una función. Evidencias de conocimiento:


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Diferentes formas de representar una función. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Comentar con los alumnos las distintas maneras en las que se puede expresar una función que describa la relación entre dos variables: tablas, parejas, diagramas, gráficas o ecuaciones. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: De las participaciones de la sesión anterior y de la tarea extraclase, hacer una selección de los ejercicios más representativos para el alumno y expresarlos en todas las formas posibles conocidas:

a) Método de flecha o diagrama. Se traza una flecha del dominio al codominio. b) En forma de tabla. Se especifica la primera columna como espacio del dominio, la segunda para el

codominio y la tercera como par ordenado. c) En forma de ecuación. Se evalúa la función con el valor de “x”. d) Como conjunto de pares ordenados. Se escribe el conjunto de puntos separados por una coma. e) En forma gráfica. Se marcan los correspondientes puntos del conjunto en el plano cartesiano.

Se hace énfasis en los elementos del conjunto dominio y su (s) imágenes en el otro conjunto que puede ser llamado: codominio, contradominio, argumento o rango. Introducción de la notación funcional f(x) como imagen del dominio y sinónimo de la variable “y”. Introducción de la regla de transformación aplicando los términos entrada-salida, mediante la analogía entre máquina y función; y el manejo de la definición “es la regla de correspondencia que asigna a cada elemento del primer conjunto llamado dominio exactamente un elemento o imagen del segundo conjunto llamado contradominio”. También puede definirse la función observando en el dominio dos condiciones: Que todos los elementos del dominio tengan imagen, y que todos los elementos del dominio tengan una sola imagen. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Hacer lluvia de ideas acerca de las características de cada una de las maneras distintas de expresar una función. Confirmar en cada caso la aplicación de la definición de función en cualquiera de los dos casos mencionados.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. SESIÓN: 5 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá situaciones prácticas donde maneje con propiedad las características que identifican a una relación con una función a la vez que haya reflexionado que toda función es una relación pero no toda relación es necesariamente una función. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.1. Relaciones y funciones. Subtema:

Recursos y Documentos: Se contará con un grupo de ejercicios selectos de funciones.

Tarea para hoy: Resolver los ejercicios selectos de función, utilizando todas las formas distintas de expresión. Manejar adecuadamente los criterios de entrada, máquina-función y salida. Efectuar clara y precisa las formas de diagrama y gráfica de las funciones. Comprobar en cada caso la veracidad de la función desde el análisis del dominio. Realizar un escrito de una cuartilla resumiendo el tema de relaciones y funciones.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa. Evidencias de producto: Desarrollo de ejercicios de funciones. Evidencias de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.1. Relaciones y funciones. Subtema:

Recursos y Documentos:

Tarea para hoy: Se contará con un grupo de ejercicios selectos de funciones.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: El docente evaluará la participación de cada alumno según su desenvolvimiento durante la clase. Evidencias de producto: El docente evaluara el desarrollo y solución de los ejercicios selectos de funciones. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Aplicaciones prácticas. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Presentar a los alumnos ejercicios selectos de funciones. Las características de ellos y las formas en que deberán ser resueltos. Recomendar que en el desarrollo del ejercicio las tablas y las gráficas presenten precisión y limpieza en el producto. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Entregar a cada alumno fotocopia de un grupo selecto de ejercicios de funciones que deberá resolver eligiendo cada una de las formas estudiadas en la sesión anterior. Hacer el seguimiento del desarrollo del ejercicio y aclarar las dudas que surjan. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Recepcionar los ejercicios resueltos.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones SESIÓN: 6 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno aprenderá la clasificación y transformación de funciones. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.1 Tipos de funciones.


Tarea para hoy: Reconocer que las funciones pueden clasificarse de distintas maneras de acuerdo a las características propias de la función. Comprender las características y diferencias entre las funciones algebraicas y trascendentes. Investigar por cualquier medio (electrónico y bibliográfico) gráficas continuas y discontinuas. De ser posible algunas propiedades de la continuidad de una función.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa. Evidencias de producto: Resolución de ejercicios sobre funciones algebraicas, trascendentes continuas y discontinuas. Evidencias de conocimiento: Clasificación y transformación de funciones.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.1 Tipos de funciones.


Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: El docente evaluará la participación individual y colaborativo de los integrantes del grupo. Evidencias de producto: El docente calificará ejercicios donde se manejen las destrezas y conocimientos sobre funciones algebraicas, trascendentes, continuas y discontinua. Evidencias de conocimiento:


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Algebraicas y trascendentes, Continuas y discontinuas. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Explicará que las funciones se clasifican de acuerdo a características y propiedades específicas de cada una de ellas. Hacer un esquema en el pizarrón que señale la clasificación que se propone en el programa:

a) Algebraicas y trascendentes. b) Continuas y discontinuas. c) Crecientes y decrecientes. d) Uno-uno, sobre y biyectivas.

FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Explicará la primera clasificación: Señalar las características de las funciones algebraicas, con sus distintas acepciones: operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división, extracción de raíz) a partir de polinomios, concluyendo que todas las funciones racionales son funciones algebraicas. Proporcionar varios casos. Ejemplos: f(x) = x4 + 2x2 – 3 , y = 2(x – 3)2 + 1. Señalar las características de las funciones trascendentes como complemento de las algebraicas, llamadas también no algebraicas. Ejemplos: h(x) = 10e0.2x , f(x) = 100 e-0.1x

Explicar la segunda clasificación: Señalar las características de las funciones continuas a partir de su ecuación, su dominio y su gráfica. Concretizar en que todas las funciones polinomiales, racionales, raíz, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas se consideran continuas, siempre y cuando estén definidas, o sea sean continuas en su dominio. Ejemplos: g(x) = x – 2, f(x) = 2x2 – x + 1. Señalar los casos de funciones discontinuas, cuando los valores de x de una sola función provocan un cero en el denominador. Manejar como ejemplos casos de salto en la gráfica (significa que la gráfica consta de dos o más ramas separadas), interrupción o agujero de la gráfica (es un punto que está excluido de la gráfica) y puntos aislados de la gráfica. Ejemplos: FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Realizar una investigación bibliográfica que permita hallar más ejercicios de las funciones algebraicas, trascendentes y discontinuas.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones SESIÓN: 7 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Reflexionará sobre la estructura física de la gráfica de las funciones crecientes y decrecientes y a la vez las características que diferencian a las funciones inyectivas, con las sobreyectiva y ambas reconocerlas en la funcione biyectiva. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.1 Tipos de funciones.


Tarea para hoy: Aprenderá a identificar las funciones crecientes de las decrecientes. Identificará las características de las funciones uno-uno, sobre y biyectivas. Revisar en el libro: “Matemáticas 4” de Miguel Ángel García Licona, en la pág. 67 una gráfica que ejemplifica que manera prácticas la interpretación del concepto de función creciente y decreciente.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento: Identificación de las funciones (uno,, sobre y biyectiva)



Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: El docente evaluará la comprensión mediante preguntas de las funciones del tema. Evidencias de producto: El docente evaluará la identificación de las diferentes funciones. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Funciones crecientes y decrecientes. Funciones: uno-uno (inyectiva), sobreinyectiva y biyectiva. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Continuar con el desarrollo de la clasificación de las funciones. En esta sesión se reflexionará sobre dos apartados. El primero cuando se visualiza el crecimiento y el decrecimiento de una función graficada en el plano cartesiano. En el segundo momentos se explicará las características de las funciones. Inyectiva, sobre y biyectiva.


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FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Presentar a los alumnos el desarrollo de una gráfica en la que se observe crecimientos y decrecimientos, donde tomados dos puntos cualesquiera puede demostrarse en un intervalo o en intervalos distintos la variabilidad de la ordenada, tomando de referencia dos puntos distintos de la abscisa. Se recomiendan dos pares de puntos unos que favorezcan la visión del crecimiento y otro del decrecimiento. En el caso de la otra clasificación, explicar cada concepto, de preferencia con gráficas sagitales. Para el caso de la función uno-uno, aplicar la prueba de la recta horizontal (debe intersectar a lo más a un punto). Para resaltar que todos los elementos del contradominio le corresponda por lo menos un elemento del dominio. Y la biyectiva, comprobar que se verifiquen ambas funciones anteriores. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Hallar ejemplos en otras fuentes de gráficas que permitan visualizar y reforzar el concepto de la función cuando se encuentra en su etapa de crecimiento y de decrecimiento. Dejar de tarea que se investigue definiciones de ambas funciones, se recomienda consultar por lo menos dos bibliografías o por el internet.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. SESIÓN: 8 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Determinará coherentemente ejercicios donde se involucren las siguientes funciones: crecientes, decrecientes, inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.1 Tipos de funciones.


Tarea para hoy: Identificar las características específicas de cada función sea creciente y decreciente; o inyectiva, sobre y biyectiva. Manejará con propiedad las líneas verticales imaginarias para corroborar si es o no función y las líneas imaginarias horizontales para identificar a la función uno-uno. Investigar por el internet ejercicios referentes a los temas, hacer una selección de los más representativos de cada tema, resolverlos y presentarlo como tarea.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa. Evidencias de producto: Resolución de los ejercicios de las diferentes funciones. Evidencias de conocimiento: Identificar las características específicas de cada función.



Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: El docente valorará el entusiasmo y la precisión en la identificación las gráficas de las diferentes funciones estudiadas. Evidencias de producto: El docente calificará los ejercicios y tareas extraclase y valorará el grado de precisión y de asimilación de los alumnos. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Ejercicios de aplicación de la clasificación de funciones, demostrando el manejo principalmente de las funciones creciente y decreciente; y de las funciones uno-uno, sobre y biyectiva. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Realizarán en equipos, de una serie de ejercicios sobre los temas anteriores, algunos representativos de cada clasificación de funciones. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones:

1. Sea f(x) = 3x2 – 2x – 20, determinar el crecimiento y decrecimiento de la función. 2. Sea f(x) = 9x2 – 4x – 6, determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente. 3. Demostrar si la función f(x) = x2 es uno a uno. 4. Si f(x) = 4x – 3, demostrar que f es uno a uno.

5. Sea y , , definida como f(x) = x2. 6. Da las condiciones para que la función constante sea: a. Una función inyectiva y no sobreyectiva. b. Una función sobreyectiva y no inyectiva. c. Una función que no sea ni inyectiva ni sobreyectiva. d. Una función biyectiva. e. Par que el dominio sea función.

FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Completar los ejercicios que por obvias razones de tiempo no hayan sido posible resolver.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. SESIÓN: 9 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Identificará las características de toda función inversa e identificará su gráfica. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.2 Funciones inversas.


Tarea para hoy: Verificar que una función y su inversa pueden observarse en el plano cartesiano teniendo como eje de simetría a la gráfica de la función identidad. Comprobar que la función compuesta de la función y su inversa tienen el mismo resultado. Extraclase: Determinar la función compuesta de las siguientes funciones: 1. f(x) = x – 2 y g(x) = x + 2

2. f(x) = 2

3−x y g(x)= )3(

2

1−x

3. f(x) = x3 y g(x) = 3 x

4. g(x) = x

1 y h(x)=

x

1

5. f(x)= 4x – 8 y g(x)= 24

+x

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento: Identificar de una función inversa y sus respectivas gráficas.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.2 Funciones inversas.

Recursos y Documentos: Calculadora, graficadora o programa de software que realice esa función.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Se evaluará la participación de los alumnos en el dominio e interpretación sobre toda gráfica de las funciones inversas. Evidencias de producto: Se localizará mediante distintas expresiones de función, si tiene o no de función inversa. Evidencias de conocimiento:


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Noción de función inversa. Obtención de parejas ordenadas y reglas de correspondencia. Dominio y rango. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Explicar que una función inversa es una relación que se obtiene intercambiando el orden de las parejas (x,y) por (y,x). Relación dada: (2,1), (4,2), (6,3), (8,4) Relación inversa : (1,2), (2,4), (3,6), (4,8) FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Reafirmar y confirmar las características de las funciones inversas: El dominio y el rango de las relaciones inversas están intercambiadas: Si en vez de parejas ordenadas se tiene una ecuación, la inversa se obtiene intercambiando x – y. Relación dada: y = 3x + 2 Relación dada: x = 3y + 2 * Las gráficas de relaciones inversas son reflejo una de la otra, respecto a la recta x = y. * Una función tiene función inversa sólo si es biunívoca, es decir, uno-uno y sobreyectiva. Si las funciones f y g son inversas, entonces f(g(x)) = x = g(f(x)). Obtener las funciones inversas de los siguientes ejercicios y determinar si es o no función. a) X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.7 0.9 y 1 2 3 4 7 9

b) y=x

x 14 −

c) X Y FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Resaltar la definición siguiente de función, verificándolo con alguno de los ejercicios anteriores. “Si f es una función uno a uno con dominio en x y rango en y, y g es una función con dominio en y y rango en x, entonces g es la función inversa de f si y sólo si (f o g) (x) = x, para toda x en el dominio g y (g o f) (x) = x, para toda x en el dominio de f”. La inversa g también se puede denotar como f-1.

-1 3 7 -3

2 3


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. Sesión: 10 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Comprobará que oda función con su inversa si se aplica la compuesta se obtiene el mismo resultado. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.2 Funciones inversas.


Tarea para hoy: Reconocer que las funciones pueden clasificarse de distintas maneras de acuerdo a las características propias de la función. Comprender las características y diferencias entre las funciones algebraicas y trascendentes. Determinar la función inversa de g de la función dada:

a) y = f(x) = (x – 5)3

b) y = f(x)= 3

2x – 1

c) y = f(x) = (x – 1)5 d) y = f(x) = x3/5

Criterios de aprendizaje. Evidencias de desempeño: Participación activa en la clase. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.2 Funciones inversas.


Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Se evaluará la participación de los alumnos en el dominio e interpretación sobre todo gráfica de las funciones inversas. Evidencias de producto: Se localizará mediante distintas expresiones de función, si tiene o no de función inversa. Evidencias de conocimiento:


R02/0208 29 GD-DOC-26

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Noción de función inversa: Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia. Dominio y rango. FASE DE APERTURA Tiempo: 5 Min. Instrucciones: Revisar los ejercicios de extraclase. Recuperar las características de la función inversa. FASE DE DESARROLLO Tiempo: 40 Min. Instrucciones: Cálculo de funciones inversas 1. Sea la función f= { }32/),( −= xyyx , encontremos la función inversa.

Solución: Su función inversa será f-1= { }3;2/),( −= yxyx

Despejamos y en la expresión x = 2y – 3. x + y = 2y (x+3)/2 = y

Ya tenemos 2

3)(1

+=− x

xf

La expresión de la función f estaba dada por uno polinomio de primer grado.

2. Determinamos f-1 de la función 3

1)(

−=

xxf

Solución:

3

1

−=

xy

3

1

−=

yx

xy – 3x = 1 xy = 3x + 1

x

y1

3+=

x

xf1

3)(1 =−

Dominio de f = (todos los números ≠ 3 ) = rango de f-1. Rango de f= (todos los números ≠ 0) = dominio de f1. FASE DE CIERRE Tiempo: 5 Min. Instrucciones: Comprobar que los ejercicios anteriores al aplicarse a función compuesta entre ellas se obtienen el mismo resultado.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. Sesión: 11 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Conocerá la clasificación y transformación de las funciones especiales. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.3 Funciones especiales.


Tarea para hoy: Identificar las características de las funciones especiales. Practicar la función compuesta mediante el uso de dos o más funciones. Identificar las características de la función escalonada. Identifica el tipo de función y realiza las gráficas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 3

b) /x/ = x si ≥ 0 - x si < 0

c) S(x)= x si 0 ≤ x ≥ 4 4 si x > 4

Criterios de aprendizaje. Evidencias de desempeño: Participación activa Evidencia de producto: Resolución de ejercicios de funciones. Evidencias de conocimiento: Identificar la clasificación de las funciones especiales.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.3 Funciones especiales.


Actividades de la sesión:

Criterios de aprendizaje. Evidencias de desempeño: El docente evaluará la asimilación de las funciones especiales y sus características específicas de cada una. Evidencias de producto: El docente evaluará los ejercicios de aplicación. Evidencias de conocimiento:


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Función constante, idéntica y valor absoluto. Funciones escalonadas. Funciones compuestas. Dominio y rango. FASE DE APERTURA: Tiempo: 5 Min. Instrucciones: Explicar que existen cuatro tipos de funciones que pueden calificarse de especiales: Función constante, Función idéntica, Función valor absoluto, Función escalonada. FASE DE DESARROLLO Tiempo: 40 Min. Instrucciones: Explicar las características de cada una de las funciones descritas anteriormente. Mencionar que las dos primeras son particularmente especiales porque intervienen en la construcción de la mayoría de las funciones. Por ello es útil identificarla con precisión. Comentar que las funciones valor absoluto y escalonada son las representantes típicas de funciones compuestas que se definen mediante el uso de dos o más ecuaciones. Graficar y definir las siguientes funciones: a) Funciones constantes. Para cualquier valor que se dé a x, la función le asigna el valor y = 3. b) Función valor absoluto. Para x = 0 o para valores positivos de x se usa la regla /x/ = x. Ejemplo: /0/ = 0,

/5/ = 5, /8/ = 8. Cuando x es negativo se usa la regla /x/ = - x, ya que asocia a cada número con su simétrico, ejemplo: /-5/ = - (- 5) = 5.

c) Función compuesta. Si x está entre 0 y 4 se usa la regla s(x) = x. Ejemplo: S(4) = 4, S(1) = 1, S(0) = 0, S(0.5) = 0.5. Si x es mayor que 4 se usa la regla S(x) = 4. Ejemplo: S(4.1) = 4, S(5) = 4, S(7) = 4, S(85) = 4. Es referente a la composición de las funciones: x = y y x = 4.

FASE DE CIERRE Tiempo: 5 Min. Instrucciones: Realizar una investigación bibliográfica que permita hallar más ejercicios de las funciones especiales.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones SESIÓN: 12 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Identificará las diferencias que existen entre las transformaciones isométricas profundizando en las traslaciones y reflexiones. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.4 Transformación de gráfica de funciones.

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, calculadora.

Tarea para hoy: Que el alumno sea capaz de realizar las traslaciones de acuerdo a la estructura de la función, identificando y manejando el valor del término a. Resolverá las siguientes traslaciones: - Usa la gráfica de f(x) = x2 para trazar la gráfica de

cada función: a) F(x) = x2 – 5 b) G(x) = (x – 4 )2

- A partir de la gráfica de f(x) = x4 a) g(x) = (x – 3 )4 b) h(x) = (x + 1 )4

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la sesión. Evidencias de producto: Resumen de funciones que se trasladan hacia arriba o hacia abajo. Evidencias de conocimiento: Diferenciar entre transformación isométrica.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.4 Transformación de gráfica de funciones.


Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: El docente evaluará el dominio y habilidad de los alumnos en la transformación de gráficas de funciones. Evidencias de producto: El docente evaluará la precisión de las transformaciones de las gráficas. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Traslaciones horizontales y verticales. Reflexión respecto a los ejes y la recta a 45º. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min.

Instrucciones: Iniciar con los conceptos geométricos denominados transformaciones isométricas: traslación, rotación y reflexión. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min.

Instrucciones: Explicar que el desarrollo de las transformaciones isométricas obedece ciertas reglas matemáticas que se pueden resumir en el siguiente resumen:

Traslaciones de la gráfica f(x) cuando a > 0.

Verticales f(x) + a f(x) – a

a unidades hacia abajo a unidades hacia abajo

Horizontales

f(x + a ) f(x – a)

a unidades hacia la izquierda a unidades hacia la derecha

Realizar ejemplos de funciones que sean trasladados hacia arriba o hacia abajo. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min.

Instrucciones: Hacer un pequeño resumen de las características de las transformaciones isométricas, resaltando lo analizado con las funciones que se movieron hacia arriba y hacia abajo.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. SESIÓN: 13 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Identificará las diferencias que existe entre las transformaciones isométricas profundizando en las traslaciones y reflexiones. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.4 Transformación de gráficas de funciones.


Tarea para hoy: Relacionar la función identidad como la recta que mide 45º. Establecerse en equipos de trabajo. Familiarizarse con los tres tipos de transformaciones geométricas llamadas isométricas. Realizar transformaciones con las gráficas de funciones sencillas, moviéndolas hacia arriba y hacia abajo. Tomando como referencia la gráfica de la función f(x) = x4 realiza las siguientes gráficas: a) g(x) = (x – 3 )4 + 3 b) h(x) = (x + 1 )4 – 2

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento: Identificación de las diferencias que se dan en transformaciones isométricas.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.4 Transformación de gráficas de funciones.


Tarea para hoy:


TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Traslaciones horizontales y verticales, Reflexión respecto a los ejes y la recta a 45º. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Continuar con los conceptos geométricos denominados transformaciones isométricas: traslación, rotación y reflexión. Demostrar que la función identidad tiene una pendiente de 45º. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Revisar las actividades extraclase de la sesión anterior. Establecer equipos de trabajo. Reflexionar sobre las características y dificultades de cada ejercicio. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Llegar a acuerdos y conclusiones sobre lo aprendido en los equipos de trabajo.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones SESIÓN: 14 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Comprenderá las características de las reflexiones de las funciones. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.4 Transformación de gráfica de funciones.


Tarea para hoy: Realizará algunas reflexiones de gráficas de funciones sencillas. Resolverá las siguientes reflexiones: Tomando como referencia la gráfica de la función f(x) = x3, realizar los siguientes movimientos y determinar la función resultante:

1. Mover 6 unidades hacia la izquierda. 2. Reflexión respecto al eje x. 3. Reflexión respecto al eje y. 4. Reflexión respecto a la recta x = y.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa en la sesión. Evidencias de producto: Resumen de las características de la reflexiones que se mueven hacia la derecha e izquierda y hacia arriba y hacia arriba o abajo Evidencias de conocimiento: Conocer las características de las reflexiones de las funciones.



Tarea para hoy:


TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Traslaciones horizontales y verticales. Reflexión respecto a los ejes y la recta de 45º. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Comprender que las reflexiones son también transformaciones de la gráfica de una función. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Demostrar que una reflexión respecto al eje x se obtiene al cambiar f(x) por - f(x) y una reflexión respecto al eje y se logra al emplear a f(- x). Mencionar igualmente que al intercambiar x y y se refleja la gráfica respecto a la recta. Teniendo como referente un mismo plano cartesiano, grafica las siguientes funciones: a) f(x) = 3x2 + 2 b) h(x) = 3(x – 6 )2 c) v(x) = /x/ – 4 d) t(x) = / x + 2/ – 3 FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Hacer un pequeño resumen de las características de las reflexiones resaltando lo analizado con las funciones que se mueven hacia la derecha e izquierda y hacia arriba o abajo.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: I Relaciones y funciones. SESIÓN: 15 y 16. OBJETIVO DE LA SESIÓN: Resolverá problemas selectos de funciones que involucren transformaciones y reflexiones. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 1.2 Clasificación y transformación de funciones. Subtema: 1.2.4 Transformación de gráfica de funciones.


Tarea para hoy: Experimentará una estrategia de análisis en la solución de problemas selectos sobre las transformaciones y reflexiones de las funciones. Integrará equipos de trabajo: leerá, gratificará y aplicará los conocimientos que de respuesta al planteamiento de cada ejercicio. Expondrán sus resultados al grupo. Cotejarán y en su casi corregirán las limitaciones de sus planteamientos y gráficas. Describe las transformaciones aplicadas en cada caso a f(x) = x2. a) p(x)= - x2 + 1 b) q(x)= - (x2 + 1) c) t(x)= -(x + 1)2 Dibuja la reflexión de cada función respecto a la recta x = y. a) y = 2x b) y = x2 c) y = x

2

d) y = sen x

≥≤−22

ππx

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:


Documentos y Recursos: Hojas milimétricas, calculadora graficadora, gráficas de funciones trigonométricas.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: El docente evaluará la participación individual y por equipo de los integrantes del equipo. Evidencias de producto: El docente evaluará la precisión en la solución de los problemas selectos. Evidencias de conocimiento:


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Traslaciones horizontales y verticales. Reflexión respecto a los ejes y la recta a 45º. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Analizar las condiciones señaladas en problemas selectos que sobre las funciones se analizarán, aplicando todos los conocimientos estudiados en esta unidad. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Resolver conjuntamente con los alumnos los siguientes problemas selectos: Depreciación comercial. La gráfica de f(x) = 12 – 0.147x , muestra la baja en el precio f(x), en miles de pesos, de un comedor en exhibición durante los últimos 13 meses (x = 0 corresponde al precio de inicio de este periodo). Haz otro modelo donde x = 0 indique el precio con que salió a la venta el comedor hace 15 meses. Riego con manguera. La gráfica de la ecuación x2 = - 24 (y – 1.5) describe la trayectoria del agua que sale de una manguera puesta al ras del piso (abscisa). El chorro alcanza la altura máxima de 1.5 m sobre el nivel del piso con un alcance horizontal de 12 metros.

a) Desplaza 3 m a la derecha la boca de la manguera y halla la ecuación para esta nueva trayectoria. b) Si en la intersección y de ésta estuviese la boca de la manguera, ¿cuál sería el máximo alcance

horizontal del agua? FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Revisar y corroborar el avance de los alumnos en cuanto a la solución de cada uno de los ejercicios. Nota: La sesión 17 es de examen sumativo.


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UNIDAD II TITULO: Funciones polinomiales OBJETIVO DE LA UNIDAD II: El alumno: Resolverá problemas de funciones polinomiales, teórico o prácticos, utilizando sus propiedades algebraicas y geométricas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre el análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Objetivos Temáticos El alumno: 2.1. Resolverá teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante una función polinomial de grado no mayo a cuatro, utilizando sus propiedades geométricas y algebraicas, como las funciones constante, lineal, cuadrática y polinomiales de grado tres y cuatro, aplicando correctamente los conceptos, exponentes, notaciones y características. Sesiones de la 18 a la 54


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 18 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Introducirá el concepto de función polinomial. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. Función polinomial Subtema: 2.1.1 Concepto de función polinomial

Documentos y Recursos:

Tarea para hoy: Estar a tiempo para recibir la clase, acomodarme de tal manera que pueda escuchar y observar bien al docente, participar durante la clase respondiendo a las preguntas, tomando todos los apuntes pertinentes de la sesión. Escribir una situación que se pueda interpretar mediante una función y analizar las cuestiones planteadas en la sesión.

Criterios de evaluación. Evidencias de desempeño: Participación durante la sesión. Evidencias de producto: Apuntes de la representación gráfica de un problema teórico o práctico. Evidencias de conocimientos: Explicar el concepto de función polinomial.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 2.1. Función polinomial Subtema: 2.1.1 Concepto de función polinomial

Recursos y Documentos: Gráficas preelaboradas en papel bond que muestren problemas prácticos modelados mediante una función polinomial.

Tarea para hoy: Criterios de evaluación: Evidencias de desempeño: Participación del alumno durante la clase Evidencias de producto: Revisar en sus apuntes la representación gráfica de un problema teórico o práctico creado por él, modelado mediante una función polinomial


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Introducción al concepto de función polinomial. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Dar una breve explicación de la actividad que se hará como docente y del trabajo que se espera realice el alumno. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Puede iniciar planteando la siguiente situación: Un alumno, en su tiempo libre, trabaja con una editorial vendiendo libros, recibiendo un sueldo fijo diario de $ 50.00 más $20.00 por cada libro que venda. Puede hacer las siguientes preguntas: ¿Qué aspectos son constantes en el problema y cuál se considera variable? (esperar respuesta de los alumnos). ¿Cómo puedo representar esta variabilidad? Escribir la sugerencia de los alumnos los cuales sin duda dirán una letra que puede ser “x” o puede ser “L” de libros vendidos. ¿Cómo se podría establecer mediante una función algebraica sólo la comisión que recibe este vendedor por libros vendidos? ¿Cómo se podría establecer mediante una función algebraica el salario diario que recibe este vendedor vendiendo cualquier cantidad de libros? Si la editorial decide retirar la comisión por libro vendido a cambio de un aumento de $ 10.00 a su sueldo, ¿Cuál sería la función algebraica que represente el salario en cualquier día? El docente explicará que todas estas funciones establecidas están clasificadas dentro de un grupo llamadas “polinomiales” las cuales a su vez se subclasifican de acuerdo al grado que adquiere la variable en la función planteada. También se pueden representar gráficamente generando gráficas con características especiales por cada grupo en que se subdividen, pero que se abordarán en la siguiente sesión. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Agradecerá a todos los alumnos por su atención y especialmente a aquellos que realizaron alguna aportación durante la clase o contestaron las preguntas. Pedirá a los alumnos que para la siguiente sesión cada uno deberá traer escrito una situación teórica o práctica que sea susceptible de modelarse mediante una función.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 19 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrar la representación gráfica de una función polinomial REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.1 Concepto de función polinomial dominio y rango

Recursos y Documentos: Colores, regla

Tarea para hoy::Participación en clases, elaboración de las graficas xy 2= y 502 += xy

correspondientes a la situación del alumno vendedor de libros. Realizar la grafica de la función resultante de la situación propuesta ante el maestro.

Criterios de evaluación. Evidencias de desempeño: Participación activa. Evidencias de producto: Evidencias de conocimientos: Conocerá y realizará la representación gráfica de una función.

REDACCIÒN PARA EL PROFESOR: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.1 Concepto de función polinomial dominio y rango

Recursos y documentos: Un plano cartesiano previamente elaborado, colores para reasaltar las características de la gráfica.

Tarea para hoy: Criterios de evaluación: Evidencia de desempeño: Participación en clase Evidencia de producto: Revisión de la tarea extra clase del día anterior

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Representación gráfica de una función polinomial. FASE DE APERTURA TIEMPO: 15 Min. Instrucciones: Revisará la tarea extra clase y dará una breve explicación del desarrollo de la sesión. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Abordando la situación del vendedor de libros, colocará las tres funciones escritas, siendo “x” la cantidad de libros vendidos: xy 20= (siendo “y” la comisión, suponiendo que el alumno no recibe sueldo fijo);

5020 += xy (siendo “y” el salario representado por el sueldo fijo de $50.00 diarios más la comisión por libros

vendidos) y 50=y (siendo “y” el sueldo sin recibir comisiones por libros vendidos)

En esta sesión se realizarán las gráficas de las primeras dos funciones y se analizarán características, tales como el grado, dominio y rango. Puede plantear las siguientes preguntas: ¿Desde qué valores se les puede asignar a la variable “x” y hasta cuántos? ¿Puede dárseles valores a “x” que no sean enteros? ¿Puede dársele valores a “x” que sean negativos? (valores negativos podría significar que el alumno por descuido perdió los libros sin venderlos). En este momento el maestro puede introducir el concepto de dominio, rango y el grado de la función. Es muy importante que al realizar la gráfica se respete la proporcionalidad en la partición de los ejes ya que la unidad en el eje “x” será diferente que en el eje “y”. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Pedirá a los alumnos como actividad extra clase, la elaboración de la gráfica de la situación presentada por ellos


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE

UNIDAD: II FUNCIONES POLINOMIALES SESIÓN: 20

OBJETIVO DE LA SESIÓN: Presentará la notación general de las funciones polinomiales y dar ejemplos abstractos de ellas. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema:2.1. Las funciones polinomiales Subtema: 2.1.1. Concepto de función polinomial.

Recursos y Documentos: Regla

Tarea para hoy: Tomar las notas correspondientes a la clase. Responder el cuadro propuesto con apoyo del maestro. Copiar el cuadro propuesto para la tarea extraclase.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL DOCENTE Tema:2.1. Las funciones polinomiales Subtema: 2.1.1. Concepto de función polinomial.

Recursos y Documentos: Ninguno

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Elaboración de funciones polinomiales de un grado específico. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Notación y grado de una función polinomial. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Un breve recordatorio de la clasificación de las funciones algebraicas realizada en la unidad 1, enfocándose en las polinomiales. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: El docente recordará que las funciones polinomiales son un subconjunto de las funciones algebraicas debido a que comparten ciertas características que las distinguen de las demás y de su aplicación en los modelos de planteamiento de situaciones prácticas de la física, química y de la vida cotidiana.

Mostrará el formato general de una ecuación polinomial nn

nnn axaxaxaxay +++++= −−−

12

21

10 ...

donde 0a es el coeficiente principal, nx deduce el grado de la función por su exponente, 0≠n , y que na

representa el término independiente. En el formato general, los superíndices indican el exponente de la variable en cada término y el subíndice distingue y dan conteo a los términos. Usualmente las funciones polinomiales se ordenan en forma decreciente con respecto a las potencias de la

variable. Ejemplo: .1653 24 −+−= xxxy

La falta de un término en el orden de las potencias de la variable, indica que el término tiene coeficiente cero.


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Ejemplo: .16503 234 −+−+= xxxxy

También puede proponer actividades como la siguiente:

FUNCIÓN COEFICIENTE PRINCIPAL GRADO

y=3x-2 3 1

y=x-5x3+4x2 -5 3

y=-2 -2 0

y=x 1 1

FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente preparará con tiempo un cuadro como el anterior para que el alumno identifique el grado y el coeficiente principal en cada función.


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UNIDAD: II FUNCIONES POLINOMIALES SESIÓN: 21 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrar que el dominio de una función polinomial son todos los reales y que el contradominio o rango depende del grado de la función. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. Las funciones polinomiales Subtema: 2.1.1. Concepto de función polinomial

Recursos y Documentos: Colores:

Tarea para hoy: Entregar resuelto el recuadro de la actividad extra clase y graficar con apoyo del docente dos funciones, una de grado impar y otra de grado par para determinar su dominio y rango, identificando características distintivas. Realizar la gráfica de una función lineal y determinar su dominio y contradominio.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 2.1. Las funciones polinomiales Subtema: 2.1.1. Concepto de función polinomial

Recursos y Documentos: Plano cartesiano preelaborado o proyectado con videoproyector:

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase Evidencias de producto: Elaboración de la gráfica de una función, determinando su dominio y contradominio. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Dominio y contradominio de las funciones polinomiales. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Se calificará la solución al cuadro de actividades de la sesión anterior y se dará una breve explicación del desarrollo de la sesión. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Teniendo previamente elaborado dos planos cartesianos en papel bond, el docente tabulará y graficará dos funciones polinomiales, una de grado impar y otra de grado par, las cuales pueden ser una lineal y otra cuadrática para mostrar que el dominio de una función polinomial siempre va desde ∞− hasta ∞ y que el rango depende del grado de la función. Mostrará la nomenclatura para expresar estos intervalos y pedirá a los alumnos que grafiquen una función previamente asignada y que determinen su dominio y contradominio o rango. Explicar que el término ∞− ó ∞ no es un número en sí, sino que representa lo ilimitado. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Se explicará brevemente que a partir de la siguiente sesión se estudiarán las funciones polinomiales por grado, desde el grado n=0 hasta el grado n=4.


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UNIDAD: II FUNCIONES POLINOMIALES SESIÓN: 22 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrará la función constante como un caso particular de la función lineal REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1 La función polinomial Subtema: 2.1.2 La función polinomial como caso particular de la función lineal.

Recursos y Documentos: Colores, regla:

Tarea para hoy: Graficar con apoyo del docente, las funciones que se determinan en el planteamiento del alumno vendedor de libros, el cual recibe un salario diario de 50.00 y una comisión de 20.00 por libro vendido. Comprender la particularidad de la función constante de entre las lineales.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación activa. Evidencias de producto: Apuntes del planteamiento y solución del problema. Evidencias de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 2.1 La función polinomial Subtema: 2.1.2 La función polinomial como caso particular de la función lineal.

Recursos y Documentos: Plano cartesiano preelaborado:


Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases Evidencias de producto: Planteamiento y solución de un problema que lleve a una función constante Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: La función constante FASE DE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Enseñar funciones requiere de una clase atenta por lo que el docente creará un ambiente propicio, llamando la atención a la importancia de éstas en el planteamiento y solución de problemas. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente recordará el problema del alumno que vende libros en su tiempo libre, el cual recibe un salario diario de 50.00. Planteará dos funciones: Una que represente el salario de un día sin recibir ninguna comisión por libro vendido f(x)=0x+50 esto es f(x)=50 y otra donde recibe 20.00 adicionales por libro vendido, f(x)=20x+50, donde “x” representa la cantidad de libros vendidos. Mostrará las gráficas correspondientes con sus características distintivas como por ejemplo que la primera es una recta horizontal paralela al eje x y que la segunda es una gráfica creciente en 20.00 por cada libro vendido, este parámetro es llamado la “pendiente” de la recta y nos indica con qué rapidez cambian las imágenes de la función lineal respecto al cambio de la variable independiente. Ver gráficas 1 y 2.


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f(x) = 50 f(x) = 20x + 50 Fig. 1 Fig. 2 Explicar que en la función f(x)=50 el dominio es el conjunto de todos los números naturales (por su aplicación en este caso) y el rango el conjunto unitario { }50 , mientras que en la función f(x)=20x+50, el dominio es el

conjunto de los números naturales y el rango es el conjunto de números naturales mayores e iguales a 50, aumentados de 20 en 20, esto es { },...110,90,70,50

FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Enfatizará que la función constante es un caso particular de la función lineal, donde el parámetro llamado “pendiente” es cero. Mostrará que la estructura general de una función constante es f(x)=k o y=k donde k puede ser cualquier número entre los reales. En la siguiente sesión se realizará una actividad mediante el llenado de una tabla por lo que no se dejará actividad extraclase.

0 1 2 3 4 5 6

130

70

80

90

100

110

120

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4

130

70

80

90

100

110

120

10

20

30

40

50

60


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UNIDAD: II FUNCIONES POLINOMIALES SESIÓN: 23

OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrar las características de la función constante, su ecuación ordinaria, grafica, dominio y contradominio.

REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. Las funciones polinomiales. Subtema: 2.1.2. Concepto de función polinomial.

Recursos y Documentos: Colores, regla

Tarea para hoy: Llenar la tabla de actividades concernientes a la función constante. Repasar para el examen parcial

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Entregar el llenado de la tabla de actividades concernientes. Evidencias de conocimiento: Conocer las características de la función constante, su ecuación ordinaria, gráfica, dominio y contradominio.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 2.1. Las funciones polinomiales. Subtema: 2.1.2. Concepto de función polinomial.

Recursos y Documentos: Plano preelaborado, colores

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases. Evidencias de producto: Llenado de una tabla de actividades concernientes a la función constante Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: La función constante, su ecuación y características FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Dará las instrucciones de cómo se va a desarrollar la actividad y mostrará un ejemplo del llenado de la tabla de actividades. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: Dará a los alumnos una fotocopia de una tabla para su llenado en clases, permitiendo que los alumnos se agrupen en equipos no más de tres. A continuación se da un ejemplo de cómo puede diseñarse la tabla y cómo debe llenarse un renglón. Podrán agregarse otras columnas como por ejemplo

FORMA ORDINARIA By+C=0

y=k GRÁFICA

2y - 5 = 0


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y = -4

2y – 1 = 0 y= 1/2

y – 1 = 0

FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente concluirá recalcando que la función constante es una recta horizontal que dista “k” unidades del eje x, su dominio es el conjunto de los reales y su rango o contradominio es el conjunto unitario

{ }k . La función f(x)=0 representa al eje x.

Recordar el examen parcial para la próxima sesión


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 24 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Evaluación parcial

REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. Las funciones polinomiales Subtema:

Recursos y Documentos: Regla, colores

Tarea para hoy: Sustentar el examen en tiempo y forma, con honestidad.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 2.1. Las funciones polinomiales Subtema:

Recursos y Documentos: Fotocopias de los exámenes

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: El alumno sustentará una evaluación sumativa escrita Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Evaluación parcial FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Acomodar al grupo apropiadamente para el examen y establecer las reglas para su realización. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Entregar con buen tiempo la prueba y vigilar el cumplimiento de las reglas para su realización. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Felicitar a los alumnos por su desempeño y animarlos a continuar con entusiasmo su aprendizaje.


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 25 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrará las características de la función lineal y los elementos que intervienen en su nomenclatura, como es la pendiente “m” y su intersección con el eje “y” REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.3. La función lineal como caso particular de la función polinomial


Tarea para hoy: Recordar la gráfica de la función que generó el planteamiento del alumno vendedor de libros y graficar la función del nuevo planteamiento del gasto de 50.00 en cada juego de la feria, teniendo 250.00 en el bolsillo. Comprender el dominio de una función cuando es aplicable a un planteamiento real y cuando se analiza de manera abstracta.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Apuntes del planteamiento del problema. Evidencias de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.3. La función lineal como caso particular de la función polinomial

Recursos y Documentos: Plano coordenado

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: La función lineal y sus características. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Entregar los resultados de la prueba anterior, felicitar a los alumnos más destacados y animar a los menos afortunados para seguir adelante. Dar una breve introducción de lo que será la clase sobre las funciones lineales. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: El docente recordará la función f(x)=20x+50 que representaba el salario del alumno vendedor de libros (mostrar la gráfica), donde el parámetro “20” es el factor de crecimiento por cada unidad, este parámetro es llamado “pendiente” de la recta, que para este caso resulta positivo, por lo que la gráfica es creciente. El docente planteará otro problema: Si este alumno cuenta con 250.00, invita a su novia a la feria, pero cada juego cuesta 25.00, ¿Cuál sería la función que representa lo que le va quedando a este muchacho por cada juego donde ambos participan? El docente debe esperar que los alumnos planteen sus respuestas y posteriormente él señalará la correcta: f(x)=260-50x.


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El docente realizará la gráfica y junto con los alumnos sacarán algunas conclusiones observando la gráfica. NOTA: Observamos que por cada juego en que participan, el dinero disminuye en 50.00, es decir, la gráfica es decreciente. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Mostrar que el dominio de una función lineal es restringido cuando es aplicable a un problema real, sin embargo tratar la función sin restricciones de aplicación, tanto su dominio como su rango es todo el conjunto de los reales.

20

40

60

80

100

120

140

180

160

2 3 1 4 5 6 0

fx)=250-50x

200

220

240


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 26 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrará que toda función lineal puede expresarse en la forma y= mx + b donde “m” es la razón de cambio y “b” es el valor de “y” cuando x= 0. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial. Subtema: 2.1.3. La función lineal.

Recursos y Documentos: Regla, colores.

Tarea para hoy: En base a las gráficas de la sesión anterior, comprender que la pendiente representa en la gráfica, la razón de cambio en el eje ”y” por cada unidad en “x”. Realizar la gráfica de la función 23 +−= xy y

determinar su pendiente y su intersección con el eje “y”.

Realizar la gráfica de la función 13

2−= xy y

determinar su pendiente y sus intersección con el eje “y”.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 2.1. La función polinomial. Subtema: 2.1.3. La función lineal.

Recursos y Documentos: Gráficas preelaboradas de los dos problemas planteados en la sesión anterior.


TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: La pendiente y la razón de cambio FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Dará una breve explicación de la dinámica de la clase exponiendo los puntos importantes que se abordarán FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente mostrará las dos gráficas de la sesión anterior determinando ambas pendientes. Una es positiva, otra es negativa, lo cual coincide con un crecimiento y un decrecimiento respectivamente en las gráficas. Explicará que la pendiente expresa una razón de cambio constante. Por otro lado el valor de x=0 en la función nos determina el punto donde la grafica intercepta al eje “y” , a este valor le asignamos el parámetro “b” tomando forma la función lineal y=mx+b. El docente aplicará un ejercicio de una función con pendiente exacta y otra con pendiente fraccionaria, para que el alumno grafique y determine la razón de cambio y el valor de “b” que hay en ambas funciones. Las funciones

pueden ser 23 +−= xy y 13

2−= xy . Una será para calificar en clases, la otra será actividad extra clase.

FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Concluirá diciendo que la función lineal tiene una estrecha relación con los problemas de proporción directa, los cuales se analizarán en la siguiente sesión.


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 27 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrará que la variación directa se relaciona con los modelos lineales REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función lineal Subtema: 2.1.3. La función lineal como caso particular de la función polinomial


Tarea para hoy: Si se requieren 9 limones para preparar 3 litros de limonada, establecer el modelo de la función que representa el volumen V(x) de limonada en función de la cantidad “x” de limones disponibles. Realizar la tabla de proporciones y graficar. Extraclase: Redactar una situación que pueda representarse mediante un modelo de función lineal con variación directamente proporcional


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 2.1. La función lineal Subtema: 2.1.3. La función lineal como caso particular de la función polinomial

Recursos y Documentos: Plano cartesiano preelaborado, colores


TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Variación directa y los modelos lineales FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Recibir la tarea del día anterior y explicar el objetivo de la sesión. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: El maestro explicará que uno de los objetivos de la matemática es poder representar situaciones o fenómenos reales a través de modelos matemáticos, como lo son las funciones. Y uno de los modelos más importantes es aquel que representa variaciones directamente proporcionales; es decir, aquellas situaciones donde dos variables están relacionadas de tal manera que, al aumentar o disminuir la primera variable, la segunda también aumenta o disminuye en la misma proporción. Este tipo de modelo está representado por la función lineal que pasa por el origen, en la forma f(x)=mx en donde “m” se le llama constante de proporcionalidad. Ejemplo: Si se requieren 9 limones para preparar 3 litros de limonada, ¿qué modelo expresa el volumen V(x) de limonada en función de la cantidad “x” de limones disponibles?

El maestro establecerá la proporción hasta llegar a la función V(x)= x3

1, realizará una tabla de proporción con

algunos valores de “x”. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Mostrará que el valor 1/3 llamada la constante de proporcionalidad es la misma pendiente de la recta que genera la función al graficar todos los puntos de la tabla


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 28 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrará como verificar si los datos de una tabla corresponden a un modelo lineal con variación directa proporcional y=mx o simplemente lineal y=mx + b REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función lineal. Subtema: 2.1.3. La función lineal como caso particular de la función polinomial.

Recursos y Documentos: Ninguna:

Tarea para hoy: Mediante las características mostrada por el maestro, determinar las diferencias entre las tablas de modelos lineales. y=mx y=mx+b y=c. Estudiar para la evaluación parcial.




Tarea para hoy: Elaborar en cartulina previamente a la clase, las siguientes tablas a) y=5x-4 b) y=9 c) y=3x

x 1 2 5 6 y 1 6 21 26

x 1 3 5 7 y 9 9 9 9

x 1 2 3 4

y 3 6 9 12

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Tabla de pares ordenados y su relación con los modelos lineales FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Recibir la actividad extraclase y mostrar las tablas previamente elaboradas mencionando que serán el motivo de estudio durante la sesión. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: Mencionará que aunque las tres tablas expresan graficas lineales, sólo una de ellas tiene correspondencia con la variación directa proporcional. (ver bibliografía para más información).

1. Si todos los cocientes x

y de la tabla son constantes el modelo es lineal y describe una variación

directa. La primera cumple con este aspecto. 2. Si no cumple con el punto 1) pero los cocientes de los incrementos de “y” y de “x” de cualquier par de puntos, son constantes o dan ceros, entonces la tabla corresponde a un modelo lineal sin variación directa o a la función constante. Características que se cumplen en las tablas B) y C). FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En la vida cotidiana utilizamos las tablas de modelos lineales con proporción directa. Como por ejemplo al comprar la tortilla, la relación que entre el peso y el precio es un modelo lineal con relación directamente proporcional.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: II Evaluación parcial. SESIÓN: 29 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Determinará el nivel de aprendizaje a través de la evaluación parcial sumativa REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función lineal Subtema: 2.1.3. La función lineal como caso particular de la función polinomial

Recursos y Documentos: Regla, colores:




Recursos y Documentos: Fotocopias de la evaluación.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Evaluación escrita sumativa. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Evaluación parcial FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min.

Instrucciones: Acomodar al grupo apropiadamente para el examen y establecer las reglas para su realización. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Entregar con buen tiempo la prueba y vigilar el cumplimiento de las reglas para su realización. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Felicitar a los alumnos por su desempeño y animarlos a continuar con entusiasmo su aprendizaje.


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 30

OBJETIVO DE LA SESIÓN: Mostrará las características de una tabla relacionada a una función cuadrática. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.4. La función cuadrática

Recursos y Documentos Libreta de apuntes,c

Tarea para hoy El alumno realizará la investigación del tema de función cuadrática.


REDACCIÓN PARA EL DOCENTE Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.4. La función cuadrática

Recursos y Documentos Tablas preelaboradas, cartulinas, marcadores, etc.

Tarea para hoy El docente le pedirá que realicen la investigación del tema de función cuadrática.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Características de una tabla relacionada con la función cuadrática. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Entregar las evaluaciones del día anterior y dar una breve introducción del nuevo tema. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Mostrará al menos tres tablas previamente elaboradas en cartulina, y explicara la regla que se sigue para determinar si se tratan de tablas relacionadas con una función cuadrática. . 1a diferencia 4 4 4 3 5 7 8 16 24 32 2a diferencia 2 2 8 8 8 REGLA: Para iguales incrementos de “x”, las segundas diferencias de “y” son iguales. Obviamente la primera tabla no cumple ya que las primeras diferencias son las iguales lo cual indica que se trata de una función lineal. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. El docente realizará la retroalimentación de la elaboración de tablas presentas. Así como dejará de tarea investigar la definición de función cuadrática para la próxima sesión.

x 1 3 5 7 y 1 5 9 13

x 1 2 3 4 y 2 5 10 17

x 2 4 6 8 10 y 1 9 25 49 81


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 31 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Explicará y aplicará la definición de Función cuadrática a través de la exposición oral de docente. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.4. La función cuadrática

Recursos y Documentos Libreta de apunte, hojas milimétricas, juego de geometría, colores, etc.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la sesión de clase. Evidencias de producto: Apuntes de la exposición oral del docente. Evidencias de conocimiento: Explicación y graficación del tema de Función cuadrática.


Recursos y Documentos Tablas preelaboradas, cartulinas o papel bond, colores. Marcadores, etc. García M. y Rodríguez M. Matemáticas 4. Bachillerato. Editorial ST. México. 2006

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases Evidencias de producto: Elaboración de las graficas de Función cuadrática.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Definición y elementos de la grafica de la Función cuadrática. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente realizará la revisión de la investigación dejada en la sesión anterior. Posteriormente aplicará la técnica de lluvia de ideas para armar la definición de Función Cuadrática. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. El docente al concluir con la técnica de lluvia de ideas, dará la exposición de la definición y graficación del tema de Función cuadrática, Mencionará que la Función cuadrática es una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, presentando las graficas en cartulina o papel bond; como se muestra a continuación:


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Dará a conocer los ejes de simetría, vértices, así como el punto máximo y mínimo.

FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. El docente realizará la retroalimentación del tema de Función cuadrática. Y continuará en la próxima sesión con la elaboración de graficas de Función.


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 32 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Aprenderá el desarrollo de la elaboración y graficación de Función cuadrática. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.4. La función cuadrática


Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la sesión de clase. Evidencias de producto: Apuntes de la exposicíon oral del docente. Evidencias de conocimiento: Explicación y graficación del tema de Función cuadrática.


Recursos y Documentos Tablas preelaboradas, cartulinas o papel bomd, colres. Marcadores, etc. García M. y Rodríguez M. Matemáticas 4. Bachillerato. Editorial ST. México. 2006

Tarea para hoy:


TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Grafica de la Función cuadrática. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente realizará una retroalimentación de la sesión anterior del tema de Función cuadrática. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. El docente dará la explicación de la elaboración de la tabla y la grafica de la función cuadrática. Ejemplo 1: Sea f(x)= x2 +1, construimos la tabla de valores y graficamos. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x)= x2 +1 17 10 5 2 1 2 5 10 17


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Ejemplo 2: Sea f(x)= -x2 -1, construimos la tabla de valores y graficamos. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x)= -x2 -1 -17 -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 -17

Mencionar que en este ejemplo se multiplicó por -1 y el resultado fue una parábola que giró 1800 con respecto a la función anterior. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Dejará dos ejercicios del tema de Función cuadrática.


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OBJETIVO DE LA SESIÓN: Conocerá la compleción de cuadros para la elaboración de graficas de funciones cuadráticas a través de la exposición oral del docente. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.4. La función cuadrática


Tarea para hoy:




Tarea para hoy:


TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Compleción de cuadros. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente realizará una retroalimentación de la sesión anterior del tema de Función cuadrática. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. El docente mencionará que para construir graficas se puede utilizar la compleción de cuadrados, partiendo de la función cuadrática dada f(x)= ax2 + bx + c y completando el cuadrado perfecto. Por lo que se representa de la siguiente forma.

y = A(x-B)2 + C

Mueve la parábola B unidades a la derecha

La parábola abre hacia arriba

Mueve la parábola C unidades hacia arriba


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O bien:

y = -A(x + B)2 - C

El siguiente diagrama resume el trabajo con gráficas de ecuaciones cuadráticas.

y = x2 + C

y = x2 y = Ax

2

y = (x - B)

2

Las ecuaciones de la forma y = x2 + C y y= Ax2 son simétricas respecto del eje y; por lo tanto, se combinan para trazar la gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y = A (x-B)2 +C, como se vio con anterioridad.

FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. El docente realizará la retroalimentación de la compleción de cuadrados. Así como dejara el siguiente ejercicio. Se desea graficar f(x)= 2x2 – 4x + 1.

Mueve la parábola B unidades a la izquierda

La parábola se ensancha y abre hacia abajo

Mueve la parábola C unidades hacia abajo

C mueve la parábola hacia arriba o hacia abajo

B mueve la parábola a la derecha o a la izquierda

A afecta el ancho hacia donde abre la parábola

Parábola básica


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 34 y 35

OBJETIVO DE LA SESIÓN: Desarrollará ejercicios de la compleción de cuadros para la elaboración de graficas de funciones cuadráticas a través de la exposición oral del docente. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.4. La función cuadrática


Tarea para hoy:



Recursos y Documentos Tablas preelaboradas, cartulinas o papel bomd, colres. Marcadores, etc. García M. y Rodríguez M. Matemáticas 4. Bachillerato. Editorial ST. México. 2006

Tarea para hoy:


TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Desarrollo de ejercicios de la compleción de cuadros. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente realizará una retroalimentación de la sesión anterior del tema de Función cuadrática. Así como revisará si intentaron desarrollar el ejercicio de la función cuadrática. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 80 Min. El docente resolverá el ejercicio de tarea extraclase para aclarar las dudas encontradas durante su desarrollo. Este ejercicio se resolverá por el método de completando los cuadrados perfectos. Por lo que explicará la tabla de punto y la grafica, quedando de la siguiente manera:


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Posteriormente mencionará que los resultados que se obtuvieron usando el método de compleción de cuadrado son: el eje de simetría de la parábola, el vértice de la parábola, el valor máximo o mínimo de f(x) y la grafica de y = f(x). Ejemplo 2 Trazar la grafica de f(x) = 2(x-3)2 + 1 Solución La función ya está en la forma de cuadrado perfecto, así que se analiza.

y = 2(x-3)2 + 1

Se dará la explicación correspondiente al esquema presentado anteriormente y la grafica respectiva quedando de la siguiente manera.

Ejemplo 3 Trazar la gráfica de f(x) = - ½ (x+1)2 – 2 Solución: La función ya está en la forma de cuadrado perfecto, así que se analiza. Se dará la explicación correspondiente a la función.

Mueve la parábola 3 unidades a la derecha

La parábola es angosta y abre hacia arriba

Mueve la parábola una unidad hacia arriba


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y = 2

1− (x + 1)

2 - 2

De acuerdo a la función se obtiene la siguiente grafica:

FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. El docente retroalimentará el tema de compleción de cuadrados. Dejará como tarea extraclase ejercicios con relación al método de compleción de cuadrados, así como también la investigación de las propiedades de la función cuadrática.

Mueve la parábola 1 unidad a la izquierda

La parábola se ensancha y abre hacia

abajo

Mueve la parábola 2 unidades hacia abajo


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OBJETIVO DE LA SESIÓN: Identificará y analizará las propiedades de la función cuadrática a través de la exposición oral del docente. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.4. La función cuadrática


Tarea para hoy:




Tarea para hoy:


TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Identificación de las propiedades de la función cuadrática. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Revisará la trea extraclase de la sesión anterior. El docente dará una introducción de cuales son las propiedades de la función cuadrática. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min.

El docente explicará, en que consisten las propiedades de la función cuadrática que es lo siguiente: La función cuadrática general se puede escribir así:

a

bac

a

bxaxf

44)

2()(

22 −++= De esta ecuación se obtienen las siguientes propiedades para

cbxaxxf ++= 2)( , con a ≠ 0.

1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. 2. Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba, y si a<0, hacia abajo. 3. El valor de máximo o mínimo de f (x) es:

⟨

⟩⇒

−

0

0

2 asimáximo

asimínimo

a

bf

El vértice de la parábola es:

.2

,2

−−a

bf

a

b


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4. El eje de simetría de la parábola es .2a

bx −=

5. Las intersecciones con el eje x (si existen) se determinan resolviendo f (x) = 0. La intersección con el eje

y es f (0) = c.

6. Si a > 0, el rango es ya

bf

∞

− ,2

si a<0, entonces el rango es

−∞−a

bf

2,

Posteriormente dará la explicación de la función calculando el eje de simetría, el vértice, el valor máximo o mínimo de f(x), el rango y construcción de grafica. Ejemplo 1

32)( 2 −−= xxxf con parámetros 41 ≤≤− x

Solución:

Sea 32)( 2 −−= xxxf , donde 2,1 −== ba y 3−=c

• El eje de simetría:

•

−−=−=

12

2.

2a

bx , es decir, x = 1

• El vértice:

Se calcula )1(2

fa

bf =

−

( ) 3)1(21)1( 2 −−=f

4)1( −=f

Se localiza en el punto ( )4,12

,2

=

−−a

bf

a

b, el cual corresponde al vértice.

• El valor máximo o mínimo de f(x): Como a = 1, entonces a > 0, por lo tanto el vértice (1,-4) es el valor mínimo.

• El rango:

Como a =1 > 0, entonces su rango es [ [.,4 ∞−

• Se construye la gráfica: Se calcula las respectivas f(x) y se grafica.


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FASE DE CIERRE TIEMPO: 30 Min

El docente dará una retroalimentación de las propiedades. Proporcionará la tarea extraclase con loas siguientes funciones.

a) Sea 2212)( xxxf −= con parámetros .60 ≤≤ x y 3−=c

b) 124)( 2 +−−= xxxf

c) 86)( 2 ++= xxxf

Mencionará a los alumnos que para la próxima sesión presentarán una evaluación parcial.


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 37 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Determinará el nivel de aprendizaje a través de la evaluación parcial sumativa. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.4. La función cuadrática

Recursos y Documentos: Regla, colores, hojas milimétricas.


Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento: Desarrollo de los ejercicios propuestos del tema de Función cuadrática.


Recursos y Documentos: Fotocopias de la evaluación.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Evaluación escrita sumativa. Evidencias de conocimiento: Resultados de los ejercicios de los alumnos de Función cuadrática.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Evaluación parcial FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min.

Instrucciones: Acomodar al grupo apropiadamente para el examen y establecer las reglas para su realización. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Entregar con buen tiempo la prueba y vigilar el cumplimiento de las reglas para su realización. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Felicitar a los alumnos por su desempeño y animarlos a continuar con entusiasmo su aprendizaje.


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 38 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Analizará la gráfica de las funciones polinomiales de grado 3 y 4, sus características y comportamiento. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

Recursos y Documentos: Regla, colores, hojas cuadriculadas

Tarea para hoy: Identificar las extensiones de las graficas de funciones polinomiales de acuerdo a su grado y el signo de su coeficiente principal. Llenar el cuadro sinóptico sugerido por el maestro

Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Evidencia de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

Recursos y Documentos Cuadrícula preelaborada, colores Ruiz Basto, Joaquín. Matemáticas IV. Publicaciones Culturales p. 52.

Tarea para hoy

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases. Evidencias de producto: Cuadro sinóptico debidamente llenado

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Comportamiento de la grafica de una función polinomial de grado 3 y 4. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Hará una breve introducción en la cual mencione que en las funciones polinomiales de grado tercero y cuarto, el comportamiento de las gráficas es similar al de las de primer y segundo grado. Los grados

1 y 3 su contradominio es hacia ambos infinitos ( ±∞ ), y en los grados 2 y 4, la grafica se extiende hacia un mismo infinito, positivo o negativo. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Mencionará que el coeficiente principal de una función polinomial es el número que contiene el término de grado máximo; así para todos los grados, si el coeficiente principal es positivo o negativo, la gráfica en su lado derecho subirá o bajará respectivamente. RECOMENDACIÓN: Llevar preelaboradas ejemplos de graficas de grados 1, 2, 3 y 4 para observar estos aspectos.

SUGERENCIA: ,1x2y −= ,3x2xy 2 −+−= ,23 x4xy −= ,3xx4y −= .9x10xy 24 +−=

FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Concluir que en la siguiente sesión se abordará la graficación de funciones de tercer y cuarto grado. Se sugiere preparar una tarea extraclase mediante un cuadro sinóptico que en la primera columnas estén una serie de funciones desde primero hasta cuarto o quinto grado (aunque estas últimas no serán motivo de estudio), en la segunda columna habrá un encabezado para el grado, en la tercera habrá un encabezado que diga “En su lado izquierdo se extiende hacia” y una cuarta columna que tenga un encabezado que diga “En su lado derecho se extiende hacia”.


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 39 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Identificará el número de raíces reales, mínimo y máximo, que puede tener una función polinomial de acuerdo a su grado REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

Recursos y Documentos: Hojas cuadriculadas, colores, regla Salazar Vásquez, Pedro. Matemáticas IV. Editorial Nueva Imagen. P. 94

Tarea para hoy: Elaborar los bosquejos de las diferentes posiciones de las gráficas de una función polinomial de tercer y cuarto grado, identificando el número de raíces mínimo y máximo que puede tener una función polinomial de acuerdo a su grado. Elaborar los bosquejos de las diferentes posiciones de la gráficas de una función polinomial de quinto grado

Evidencias de desempeño: Participación en clases. Evidencias de producto:


Recursos y Documentos Cuadrícula preelaborada, colores Salazar Vásquez, Pedro. Matemáticas IV. Editorial Nueva Imagen. P. 94

Tarea para hoy

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases. Evidencias de producto: Llenar el cuadro sinóptico sugerido por el maestro.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Raíces reales de una función polinomial FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min

Instrucciones: Entregará la evaluación parcial y hará una breve introducción del tema, tomando como ejemplo una función lineal y otra cuadrática.

FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Recordará la definición de raíz real de una función y mediante graficas preelaboradas mostrará el número de raíces mínimo y máximo que puede tener una función polinomial de acuerdo a su grado. Tome en cuenta lo siguiente:

1. Las funciones de grado impar tienen al menos una raíz real, es decir, tocan al eje “x” al menos una vez, y hasta un número de veces igual a su grado. Así, una función de tercer grado, tocará al eje “x” al menos una vez y hasta tres veces. NOTA: Si una función de tercer grado tiene dos raíces reales, entonces ésta es tangente al eje “x” en una de sus ráices. Observe la figura 2.1.5a

Las funciones de grado par pueden no tocar al eje “x” es decir, no tener ninguna raíz real, o tocarla en un número par de veces hasta un máximo de acuerdo a su grado. Así, una función de grado 6 puede no tocar al eje “x”, tocarlo dos, cuatro o hasta un


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1. máximo de seis veces.

NOTA: Las funciones de grado par no tocan un número impar de veces al eje “x”. Puede realizar el bosquejo de las diferentes posiciones de la gráfica de una función de cuarto grado como ejemplo.

Fig. 2.1.5a Diferentes posiciones de una función cúbica FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Encargar como tarea extra clase el bosquejo de las diferentes posiciones de una función de grado 5.


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UNIDAD: II Funciones polinomiales SESIÓN: 40 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno comprenderá el teorema del residuo para su uso en la tabulación de una función polinomial. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.


Tarea para hoy: Comprobar que el valor de un polinomio cuando se sustituye “x” por un valor “r” es igual al residuo que queda al dividir el polinomio por el binomio (x-r) Tabular una función polinomial utilizando los residuos de las divisiones.

Evidencias de desempeño: Participación en clases. Evidencias de producto:


Recursos y Documentos Ninguno

Tarea para hoy

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases Evidencias de producto: Tabular una función polinomial mediante los residuos de la división sintética

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: El teorema del residuo y su uso en la tabulación de funciones

FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min.

Instrucciones: Explicar brevemente los puntos que se van a desarrollar durante la clase

FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Puede iniciar haciendo la pregunta ¿Cuál será el valor de “y” en la función

7x2x4x3)x(f 23 −−−= cuando x=2? Sin duda alguna la mayoría sustituirá este valor en la función y

hallará el valor numérico del polinomio el cual es -3. Explicar que este valor se puede obtener mediante el residuo que queda al dividir el polinomio entre el binomio x-2. A continuación se te ofrece una explicación y la demostración de este teorema. Aunque esta última sólo es para beneficio personal del docente.

Si dividimos el polinomio 7x2x4x3)x(f 23 −−−= entre 2x − usando la división algebraica,

2x2x37x2x4x32x

2

23++−−−−

23 x6x3 +−

x2x2 2 −

x4x2 2 +−

TEOREMA DEL RESIDUO


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3

4x2

7x2

−

+−

−

obtenemos el cociente 2x2x3)x(Q 2 ++= y el residuo 3R −=

Si del divisor 2x − tomamos el número cambiado de signo, es decir, el 2; sustituyéndolo en el polinomio )x(f , obtenemos

3

74)4(4)9(3

7)2(2)2(4)2(3)2(f 23

−=

−−−=

−−−=

resultado que coincide con el residuo de la división. El hecho de que )2(f y el residuo R hayan sido ambos iguales a –3, puede pensarse por supuesto que

se debe simplemente a una coincidencia en este caso particular. Sin embargo esto ocurre en todos los casos, los cuales se generalizan en el siguiente teorema.

DEMOSTRACION: Escribamos el polinomio f(x) en la forma general

(1) n1n2n

21n

1n

0 axa...xaxaxa)x(f +++++= −−−

si sustituimos a “x” por el valor de “r”

(2) n1n2n

21n

1n

0 ara...rarara)r(f +++++= −−−

restando miembro a miembro (2) de (1) y factorizando agrupadamente los coeficientes, tenemos

(3) )rx(a...)rx(a)rx(a)r(f)x(f 1n1n1n

1nn

0 −++−+−=− −−−

Puede observarse en el segundo miembro de (3) que cada término contiene un factor compuesto por una diferencia de potencias iguales. Y toda diferencia de potencias iguales es divisible exactamente por la diferencia de sus bases. En base a esto podemos dividir entre x-r ambos miembros de (3) y el resultado en el segundo miembro lo representamos por Q(x) sabiendo que la división es exacta.

(4) )x(Q)rx(

)r(f)x(f=

−−

de donde

(5) )r(f)rx)(x(Q)x(f +−=

El residuo que queda al dividir un polinomio entero racional entre un binomio de la forma x-r, es igual al valor numérico del polinomio cuando se sustituye la variable “x“ por el valor “r”


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dividiendo (5) por (x-r) en ambos miembros, queda

(6) rx

)r(f)x(Q

rx

)x(f

−+=

−

Es decir, el residuo de la división de f(x) entre (x-r) es igual a f(r) como se quería demostrar. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente elaborará un ejercicio en donde el alumno pueda tabular la función en un rango de valores enteros de “x” usando los residuos de las divisiones.


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 41 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Graficar una función polinomial e identificar sus raíces reales tabulando a través del uso del residuo con la división sintética REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.


Tarea para hoy: Hallar los valores numéricos de un polinomio para ciertos valores de x usando la división sintética. Tabular y graficar una función de tercer grado en un rango de valores de x dados por el maestro.

Evidencias de desempeño: Evidencias de producto:


Recursos y Documentos Cuadrícula preelaborada, colores

Tarea para hoy

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clases Evidencias de producto: Trazo de la gráfica de una función polinomial con raíces enteras, y otra que contenga al menos una raíz fraccionaria.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Gráfica de una función polinomial. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Explicar brevemente que tabular mediante el uso de los residuos de las divisiones es muy gravoso, por lo que se procederá a mostrar un método más rápido llamado división sintética.

FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: A continuación se da una explicación amplia de la división sintética, aunque al alumno se le deberá explicar de una manera resumida, sin darle razones del por qué del arreglo.

Como vimos en la sección anterior, el teorema del residuo nos permite obtener el valor numérico de un polinomio sin la necesidad de sustituir la variable directamente en el polinomio.

Sin embargo cuando se trata especialmente de graficar una función polinomial, para realizar la

tabulación resultaría gravoso usar el teorema del residuo, realizando la división algebraica para cada valor de la variable. Por eso te mostraremos un método para efectuar rápidamente cada división, conocido como “división sintética”.

Vamos a explicarlo efectuando la división del polinomio 7x2x4x3)x(f 23 −−−= entre .2x −

2x2x37x2x4x32x

2

23++−−−−

23 x6x3 +− x2x2 2 −

DIVISION SINTETICA


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x4x2 2 +−

3

4x2

7x2

−

+−

−

Si eliminamos la variable x del arreglo anterior, y sabiendo que tanto el dividendo como el divisor se escriben ordenados en forma descendente, observando que el coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo, que el cociente es un polinomio con un grado menor que el dividendo y el primer término de cada producto parcial se elimina al hacer el cambio de signo automáticamente, obtenemos:

22372432

++−−−−

6+ ocupando menos espacio y 3 -4 -2 -7 -2

22 −+ arreglando el esquema en +6 +4 +4

4+ tres lineas, queda 3 +2 +2 -3

3

4

72

−

+

−+

Observa en el segundo esquema que los números de la segunda fila resultan de multiplicar cada número de tercera fila consecutivamente, por el número que representa el divisor con el signo contrario, por lo tanto invirtiendo el signo, este esquema queda: 3 -4 -2 -7 2 +6 +4 +4 3 +2 +2 -3 Observando este esquema podemos decir:

1) Los números de la primera fila, representan el dividendo .7x2x4x3 23 −−−

2) El 2 representa el divisor 2x − (observe el cambio de signo de –2 a 2). 3) El último número de la tercera fila, representa el residuo –3. 4) Los demás números de la tercera fila, de izquierda a derecha, representan el cociente, con un grado menor que el dividendo. Reglas para aplicar la división sintética Para dividir un polinomio f(x) entre x-a, se procede como sigue:

1) En la primera fila, se escriben en orden los coeficientes de los términos del polinomio después de haberse ordenado en forma descendente. Si alguna potencia de x no aparece en el polinomio, debe colocarse cero en el lugar que le corresponde a dicha potencia en la ordenación. En esta misma línea, separado a la derecha, se escribe el término independiente del binomio divisor, con el signo contrario.

2) En la tercera fila debajo de sí mismo, se escribe el primer número de la primera fila y se multiplica

por el número que se colocó a la derecha separado en la primera fila. Este producto se escribe como primer término de la segunda fila, debajo del segundo número de la primera. Ambos números se suman, colocando la suma como segundo término de la tercera fila. Se continúa de esta manera hasta que se usa como sumando el último término de la primera fila. El resultado de la última suma es el residuo de la división.

Ejemplo: Hallar por división sintética el valor del polinomio 3xx3x2)x(f 34 −−+= para x=-2


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Solución: Primeramente colocamos los coeficientes del polinomio ordenado, colocando cero en el lugar que corresponde a x2 la cual no aparece. Colocamos a la derecha de la primera fila el –2. La operación se dispone como sigue: 2 +3 0 -1 -3 -2 -4 +2 -4 +10 2 -1 +2 -4 7 Por lo tanto f(-2)= 7 Ejemplo 2. Usando división sintética, calcule el valor numérico del polinomio

g(x)= 7x5x3x2 22 −+− para x=2, -1, 0.4

Solución: el valor g(2) equivale al residuo de dividir g(x) entre x-2. Por división sintética, tenemos:

2 -3 5 -7 2 4 2 14 2 1 7 7

Por lo tanto g(2) = 7 El valor g(-1) equivale al residuo de dividir g(x) entre x+1

2 -3 5 -7 -1 -2 +5 0 2 -5 0 -7

Por lo tanto g(-1) = - 7 l valor g(0.4) equivale al residuo de dividir g(x) entre x - 0.4. Debe usarse 0.4 en su equivalente

fraccionario 52

2 -3 5 -7 52

54 25

22− 125246

2 511− 25

123 125629−

Por lo tanto: 125629

52)(f −= o bien f(0,4)=-5.032

FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente preparará un ejercicio donde el alumno tabule y grafique una función polinomial cúbica en un rango de valores que incluya los ceros reales de la función


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 42

OBJETIVO DE LA SESIÓN: Tabulará, graficará y obtendrá los ceros reales enteros de una función polinomial.

REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. Funciones polinomiales de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Regla, colores, hojas cuadriculadas

Tarea para hoy: Tabular y trazar la gráfica de una función polinomial de tercer o cuarto grado, hallar sus ceros reales enteros y mencionar entre qué valores de x estarían los ceros reales no enteros. Tabular y trazar la gráfica de una función polinomial de tercer o cuarto grado, hallar sus ceros reales enteros y mencionar entre qué valores de x estarían los ceros reales no enteros de uno de los ejercicios propuestos.

Criterios de Evaluación: Evidencia de desempeño: Participación en clases Evidencia de producto:

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. Funciones polinomiales de tercer y cuarto grado


Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencia de desempeño: Participación en clases Evidencia de producto: Graficar una fundón polinomial de tercer o cuarto grado y hallar sus ceros reales enteros.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Tabulación y graficación de los ceros reales enteros de una función polinomial. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Repetir brevemente el significado de un cero real y explicar que la curva que se va a graficar tiene cuatro ceros reales pero dos de ellos no son enteros por lo que en sesiones más adelante se abordará un método para determinarlos. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones

Cuando pensamos en la representación gráfica de una función f(x) en el plano cartesiano, lo primero que viene a nuestra mente es la elaboración de la tabla de algunos puntos o lo que llamamos tabulación.

Para realizar esta tabulación escogemos algunos valores para la variable independiente (x) y hallamos el valor que toma la función f(x) al sustituir cada uno de estos valores en el polinomio. La graficación de estos puntos en el plano nos muestra un bosquejo del recorrido que la gráfica del polinomio.

Es importante mencionar que la gráfica de una función polinomial entera racional es una curva uniforme y continua. Este hecho es de gran valor en la localización de los ceros reales de la f(x) y por tanto en la localización de las raíces de la ecuación f(x)=0.

4.5 GRAFICA DE UN POLINOMIO


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Un cero real de una función es el valor de x para el cual el valor de f(x) se anula. En concreto, un cero real es el valor de x donde la gráfica intercepta al eje X en su recorrido. En este contexto un cero real, también es una raíz real de la ecuación f(x)=0.

EJEMPLO:

Construir la grafica del polinomio ( ) 24x8x12xxxf 234 −+−−=

Solución. Primeramente obtendremos las coordenadas de un número adecuado de puntos de la grafica. La primera pregunta que se presenta es acerca de que valores deben asignarse a x . Generalmente

conviene empezar con el valor 0x = , continuar con ...,, 321 ±±± etc., mientras obtenemos información útil

acerca de los ceros reales de la función. Usando la división sintética obtenemos la siguiente tabulación:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( )xf 120 0 -16 6 24 20 0 -6 56

La razón para no continuar mas allá de 4± resulta clara. Observe las divisiones sintéticas para estos

valores:

1 -1 -12 8 24 4 1 -1 -12 8 24 -4

+4 12 0 32 -4 20 -32 96

1 3 0 8 56 1 -5 8 -24 120

Para 4x = todos los números de la tercera línea en la división sintética son positivos ó cero. Por tanto para valores mayores que 4 el residuo será siempre positivo y mayor que 56; en consecuencia no existe un cero real mayor que 4 para la función; la gráfica crece infinitamente positiva.

Así mismo, para 4x = todos los números de la tercera línea de la división sintética son

alternativamente positivos y negativos. Por tanto para valores menores que –4 el residuo será positivo y mayor que 120: en consecuencia no existe un cero real menor que –4 para la función: la gráfica crece infinitamente positiva.

De la tabulación, se observa que los valores 2x = y 3x −= son ceros de la función ya que para ambos

valores la función ( )xf se anula o es cero y por lo tanto también son raíces reales de la ecuación

024x8x12xx 234 =−+−− .

2x = y 3x −= no son los únicos ceros reales de la función, tomando en cuenta que el recorrido de la

gráfica es continua y observando la tabla, cuando x cambia de 3 a 4, ( )xf cambia de un valor negativo ( -6 )

a un valor positivo ( 56 ): esto significa que entre 3 y 4 ( )xf pasa por un valor nulo y que por tanto la gráfica

corta ( intercepta ) al eje x , es decir ( )xf tiene por lo menos otro cero real entre 3 y 4.

Análogamente vemos que ( )xf tiene por lo menos otro cero real entre -1 y –2.

Ubicando los puntos que aparecen en la tabulación y delineando la curva continua que pasa por ellos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 2.1.5b


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Figura 2.1.5b

I. En cada uno de los siguientes ejercicios, construir la gráfica del polinomio dado y hallar sus ceros.

6x11x6xxf1 23 −+−=)()

6x5x2xxf2 23 −−−=)()

4x5xxf3 24 +−=)()

12x25x11x3xxf4 234 ++−−=)()

16xxf5 4 −=)()

FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente encargará al alumno realizar la tabulación y trazar la gráfica de uno de los ejercicios anteriores y hallar sus ceros reales enteros, y, si tuviera otros ceros reales no enteros, mencionar entre qué valores de x estarían.


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 43 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Presentará bosquejos del comportamiento de la gráfica de una función polinomial, 1) que contiene ceros reales enteros, 2) ceros reales enteros combinados con ceros fraccionarios, 3) ceros reales enteros con combinados con ceros reales irracionales, y 4) ceros reales y complejos. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO:

Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5 La función polinomial de tercer y cuarto grado


Tarea para hoy: Llenar con ayude del maestro un cuadro sinóptico con información sobre la naturaleza de los ceros de una función y el comportamiento de sus gráficas. Llenar un cuadro sinóptico con la misma dinámica del llenado en clases.

Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Participación en clases Evidencia de Producto:

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5 La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Ejemplos preelaborados de los diferentes comportamientos de graficas de funciones polinomiales según la naturaleza de sus ceros en dos cuadros sinópticos. Salazar Vásquez, Pedro. Matemáticas IV. Ed. Nueva Imagen. P. 102

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Participación en clases Evidencia de Producto: Llenar un cuadro sinóptico

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Comportamiento de la gráfica de una función según la naturaleza de sus ceros. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min Instrucciones: Explicar la dinámica de la clase y repartir los cuadros sinópticos

FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: Llevar dos cuadros sinópticos preelaborados, cuyas columnas contengan: La primera, bosquejos de gráficas con diferentes tipos de raíces; la segunda un encabezado que diga “número totales de ceros” , la tercera con un encabezado que diga “ceros reales” y la cuarta columna con un encabezado que diga “ceros complejos”. uno será para llenar durante la sesión, el otro será para tarea extra clase. Hacer notar el por qué las funciones polinomiales de grado par, sus ceros reales y complejos vienen en parejas. Explicar qué es un cero complejo y hacer notar su significado geométrico. Recalcar qué es un cero real y cómo se subdividen en racionales e irracionales. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Solicitar dudas, explicar lo que debe hacer el alumno con el otro cuadro sinóptico.


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 44 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Presentará la Ley de Descartes y su uso. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado.


Tarea para hoy: Atender, entender y aplicar la ley de Descartes en la determinación del número, signo y naturaleza de los ceros de una función polinomial. Determinación del número, signo y naturaleza de los ceros de una función polinomial dada.

Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Evidencia de Producto: Evidencia de Conocimiento:

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado.


Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Participación en clases

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: La ley de Descartes y su uso FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Explicar brevemente por qué es importante considerar la ley de Descartes en la determinación del número de ceros reales de una función polinomial. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: A continuación se da una explicación detallada de la Ley de Descartes para que el docente adapte la explicación según considere.

Consideremos un teorema muy importante conocido como REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES.

Por medio de esta regla es posible determinar el número máximo de raíces positivas y negativas de una ecuación entera con coeficientes reales; sin embargo antes de estudiar este teorema primeramente consideraremos la determinación de las posibles raíces nulas de una ecuación entera, ya que tales raíces no son positivas ni negativas.

Es claro que si una ecuación ( ) 0xf = carece del término independiente, entonces todos los términos

del primer miembro de la ecuación contienen a x y al sustituir el valor coro resulta una raíz verdadera de la ecuación, por tanto es una raíz nula. El número de raíces nulas para una ecuación entera queda establecido en el siguiente teorema.

Si una ecuación ( ) 0xf = carece de término independiente y el término de menor grado es m; entonces

la ecuación tiene m raíces nulas.

En tales casos separamos estas raíces nulas sacando como factor a mx y continuando el análisis con la ecuación degradada; conviene agregar que una ecuación que contiene todas las potencias de x y el término independiente se llama ecuación completa, si no es así se llama ecuación incompleta.

REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES


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Sea ( ) 0xf = una ecuación entera, si cambiamos de signo a los términos que contiene la potencia

impar, las raíces de esta nueva ecuación son las mismas de la ecuación ( ) 0xf = pero de signo contrario.

EJEMPLO:

Consideraremos La ecuación 04x4x9xx2 234 =+−−+ la cual tiene como solución las raíces x = -2, -1, ½, y 2, entonces cambiamos de signo a los términos con potencia impar, obteniéndose la ecuación

04x4x9xx2 234 =++−− la cual tiene como solución las raíces x = 2, 1, -1/2, y –2.

Cuando dos términos sucesivos de una ecuación ( ) 0xf = difieren en signo, se dice que hay una

“variación de signo” o simplemente hay una variación.

Por ejemplo en la ecuación 024x14x13x2x 234 =+−−+ hay dos variaciones una de 23 x13ax2 −+ y la otra de 24ax14 +− conviene notar que hay variación de signo entre dos

términos sucesivos aún cuando sus potencias no sean consecutivas. El propósito de la introducción del concepto de variación, es que constituye una base para enunciar la

regla de los signos de Descartes la cual enunciamos a continuación:

Si ( ) 0xf = es una ecuación entera con coeficientes reales y sin raíces nulas, entonces:

1) El número de raíces positivas de ( ) 0xf = es igual al número de variaciones de ( )xf o es menor que

éste en un número par.

2) Después de haber cambiado de signo en ( )xf los términos con potencias impares. El número de raíces

negativas de ( ) 0xf = es igual al número de variaciones o es menor que éste en un número par.

Este teorema también proporciona información acerca del número de raíces complejas. Si f(x)=0 es una ecuación de grado n entonces tiene exactamente n raíces, por lo tanto, el número de raíces complejas es igual a n menos el numero de raíces positivas y negativas.

Como ejemplo, consideremos la ecuación 0x2x3xx2x3x 234567 =−−−++ y busquemos toda la información posible acerca de la naturaleza de sus raíces. Solución:

Primeramente observamos que la ecuación posee 2 raíces nulas. Separando el factor 2x

obtenemos la ecuación degradada 02x3xx2x3x 2345 =−−−++ y como tiene una una sola variación de signo, entonces hay exactamente una raíz positiva. Si en esta ecuación cambiamos de signo los términos

que contienen potencias impares obtenemos 02x3xx2x3x 2345 =−+−−+− y como tiene 4 variaciones de signo, hay 4, 2 ó 0 raíces negativas. Las posibles combinaciones de raíces nulas, positivas, negativas y complejas se muestran en la siguiente tabla Raíces Raíces Raíces Raíces nulas positivas negativas complejas 2 1 4 0 2 1 2 2 2 1 0 4 Observa que las raíces (ceros cuando se aplica a la función polinomial) en color azul, expresa que en este caso hay variabilidad, lo cual conlleva a una variabilidad en el número de las complejas. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Solicitar las dudas o realizar un ejercicio con una función de cuarto grado.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 45 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Evaluación parcial REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. Las funciones polinomiales Subtema: La función polinomial de tercer y cuarto grado


Tarea para hoy: Sustentar el examen en tiempo y forma, con honestidad

Evidencia de Producto: Evidencia de Desempeño: Evidencia de Conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. Las funciones polinomiales Subtema: La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Fotocopias de los exámenes

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencia de Producto: El alumno sustentará una evaluación sumativa escrita. Evidencia de Desempeño: Evidencia de Conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Evaluación parcial FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Acomodar al grupo apropiadamente par el examen y establecer las reglas para su realización. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Entregar con buen tiempo la prueba y vigilar el cumplimiento de las reglas para su realización. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Felicitar a los alumnos por su desempeño y animarlos a continuar con entusiasmo su aprendizaje.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 46

REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado.

Recursos y Documentos: Hojas cuadriculadas, colores

Tarea para hoy: Hallar loe ceros de una función polinomial y realizar el bosquejo de la gráfica. Hallar loe ceros de una función polinomial f(x) = x4 - 5x3 + 5x2 + 5x - 6 y realizar el bosquejo de la gráfica

Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Participación en clases Evidencia de Conocimiento: Evidencia de Producto:

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado.

Recursos y Documentos: Ortiz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Publicaciones culturales. P.130

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Participación en clases Evidencia de Conocimiento: Evidencia de Producto:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Bosquejo de una función polinomial con ceros enteros FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Explicar brevemente que se dedicarán seis sesiones para la realización de ejercicios para hallar los ceros de una función polinomial y aunque el tema sólo abarca de tercer y cuarto grado, se verán como ejemplo, algunas de grado superior a éstas. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Explicará que se verán ejemplos de funciones polinomiales como: 1) Las que tienen todos sus ceros enteros y/o fraccionarios, b) Las que tienen sus ceros enteros o fraccionarios combinados con ceros irracionales (raíces inexactas) y c) Las que contienen raíces complejas (raíces cuadradas de números negativos) En esta sesión se analizará la función f(x) = x4 - x3 - 4x2 + 4x. Gráfica anexa. A continuación se presentan los pasos para hallar los ceros para toda función polinomial y realizar el bosquejo de la gráfica. Para obtener los ceros racionales de una función polinomial, deben efectuarse los siguientes pasos:

1. Igualar la función a cero (convertir la función en ecuación)

2. Separar las raíces nulas y efectuar los siguientes pasos con la ecuación degradada.

3. Aplicar la regla de los signos de Descartes, para determinar la naturaleza y posible distribución de las raíces. Esta información debe usarse como guía en cualquiera de las pruebas de los pasos siguientes.

4. Aplicar el teorema de las posibles raíces de la ecuación. Probar estas posibles raíces, y cada vez que

se encuentre una raíz, separarla y continuar trabajando con la ecuación degradada.

5. Después de haber encontrado todas las raíces racionales, si quedare una ecuación degradada, necesariamente es de grado par y tiene raíces irracionales y/o raíces complejas (imaginarias). Si esta


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ecuación degradada es cuadrática, debe resolverse por alguno de los métodos o por fórmula general, obteniéndose así la totalidad de las raíces.

6. Para realizar el bosquejo de la gráfica, se usará la división sintética para evaluar la función en los

valores enteros intermedios, si los hay, entre cada cero real. Esto dará una idea del recorrido de la gráfica.

Para nuestro ejemplo los ceros son: x=-2; x=0; x=1; x=2; como entre los ceros 1 y 2 no hay entero intermedio, se puede evaluar la función para el valor 3/2. La gráfica se muestra a continuación.

FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Como ejercicio extra clase propondrá la función f(x)=x4-5x3+5x2+5x-6


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 47 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Dará un ejemplo del proceso para determinar los ceros reales de una función polinomial, escogiendo una función cuyos ceros sean enteros y fraccionarios.

REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5 La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Hojas cuadriculadas

Tarea para hoy: Hallar los ceros y el bosquejo de la gráfica de una función polinomial que contenga ceros fraccionarios. y= 2x3+9x2+7x-6

Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Participación en clases Evidencia de Producto:

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5 La función polinomial de tercer y cuarto grado


Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Participación en clases Evidencia de Producto: Hallar los ceros de una función polinomial que contenga cuyos ceros sean valores enteros o fraccionarios y hacer un bosquejo de la gráfica.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Ceros de una función polinomial y el bosquejo de su gráfica.

FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Explicará brevemente el objetivo de la sesión, aclarando el tipo de función que se va a analizar FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: Aplicará los mismos pasos de la sesión anterior para analizar la función f(x)=6x3 – 5x2 - 7x + 4 cuyos ceros son x=-1; x=1/2 y x=4/3 y su gráfica es la siguiente: FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El ejercicio para el alumno es f(x)=2x3+9x2+7x-6 Nota: Las sesiones 48 Y 49 serán de Retroalimentación para preparar a los alumnos al Examen Bimestral


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 50 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Evaluación Bimestral REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: Examen bimestral Subtema:


Tarea para hoy: Sustentar el examen en tiempo y forma, con honestidad

Criterios de Evaluación: Evidencias de Producto: El alumno sustentará una evaluación sumativa escrita

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: Examen bimestral Subtema:

Recursos y Documentos: Fotocopias de los exámenes bimestrales

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de Producto: El alumno sustentará una evaluación sumativa escrita

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Evaluación bimestral FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Acomodar al grupo apropiadamente par el examen y establecer las reglas para su realización.

FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 2 Hrs Instrucciones: Entregar con buen tiempo la prueba y vigilar el cumplimiento de las reglas para su realización. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Felicitar a los alumnos por su desempeño y animarlos a continuar con entusiasmo su aprendizaje.


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 51 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Analizará una función polinomial que contenga ceros racionales e irracionales.

REDACCIÓN PARA EL ALUMNO:

Tema: 2.1.La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Hoja cuadriculada, colores

Tarea para hoy: Analizar los ceros y el bosquejo de la gráfica de la

función x24x50x25x13x3xxf 23456 ++−−+=)( .

Analizar los ceros y el bosquejo de la gráfica de la función F(x)=x3+x2-8x-6

Criterios de Evaluación: Evidencia de desempeño: Participación en clases Evidencia de producto:

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1.La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Cuadricula preelaborada, colores

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencia de desempeño: Participación en clases Evidencia de producto: Analizar una función polinomial que contenga ceros irracionales.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Ceros irracionales de una función polinomial

FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Hacer una breve introducción de los ceros de una función y el significado geométrico de un cero irracional. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: Presentar el ejercicio y analizarlo como se te presenta a continuación:

Hallar todos los ceros de la función x24x50x25x13x3xxf 23456 ++−−+=)( y realice un bosquejo de la

gráfica. Solución: Igualando a cero la función, observamos que la ecuación posee una raíz nula. Separando esta raíz obtenemos la ecuación degradada

024x50x25x13x3x 2345 =++−−+ (1)

Aplicando la regla de Descartes para la ecuación degradada (1), obtenemos los posibles resultados indicados en la siguiente tabla:

Raíces Raíces Raíces Raíces nulas positivas negativas complejas 1 2 3 0 1 2 1 2 1 0 3 2 1 0 1 4


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Aplicando el teorema de las posibles raíces racionales (p/q), tenemos para la ecuación (1) que éstas

son: .,, 24y128643221 ±±±±±±±±± Probando estos valores usando división sintética y

aplicando el teorema del residuo, encontramos que 2, –3 y –4 son raíces. Las pruebas aparecen a continuación: 1 +3 -13 -25 +50 +24 2 1 +5 -3 -31 -12 -3 1 +2 -9 -4 -4 +2 +10 -6 -62 -24 -3 -6 +27 +12 -4 +8 +4 1 +5 -3 -31 -12 0 1 +2 -9 -4 0 1 -2 -1 0 Hemos encontrado 1 raíz positiva y 2 raíces negativas. Ahora bien, si observas la tabla de distribución de raíces, te darás cuenta que existe otra raíz positiva y otra negativa. Por tanto estas dos raíces son irracionales. Ya que la última ecuación degradada es cuadrática, x2-2x-1=0 comprobamos esta conclusión

resolviéndola por fórmula general obteniendo las raíces 21± .

Las raíces totales de la ecuación dada son de mayor a menor x=-4, -3, .21− , 0, 2 y 21+ . La gráfica se deja como ejercicio para el docente. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En ocasiones los valores de “y” son muy grandes o muy pequeños, lo cual dificulta la elaboración de la grafica cuando se quiere mantener el mismo tamaño de unidad para ambos ejes, sin embargo es válido disminuir el tamaño de la unidad en el eje “y” en estos casos para fines de bosquejo de gráfica.


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 52 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Analizará una función polinomial que contenga ceros complejos. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: La función polinomial de tercer y cuarto grado.

Recursos y Documentos: Hojas cuadriculadas, colores

Tarea para hoy Analizar la función propuesta por el maestro y con su apoyo, determinar los ceros reales y complejos, bosquejando la gráfica Realizar el mismo análisis hecho en clases pero con la función f(x)=x3-2x+4

Evidencia de Desempeño: Participación en clases Evidencia de Producto:

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: La función polinomial de tercer y cuarto grado.

Recursos y Documentos: Cuadricula, colores

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencia de Desempeño: Participación en clases Evidencia de Producto: El análisis de una función que contiene ceros complejos

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Ceros de una función polinomial en los números complejos.

FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Recordará el concepto de número complejo y de su significado geométrico como cero de una función polonomial. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: A continuación se da un ejemplo de una función con ceros en los números complejos, para presentarlo a los alumnos Halle los ceros y el bosquejo de la función 4x10x4xx2xf 234 −+−−=)(

Solución: Igualando a cero la función tenemos 04x10x4xx2 234 =−+−− Como la ecuación no tiene raíces nulas, procedemos a aplicar el teorema de Descartes, obteniendo los posibles resultados que se indican en la tabla.

Raíces Raíces Raíces positivas negativas complejas 3 1 0 1 1 2


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Aplicando el teorema de las posibles raíces racionales (p/q) tenemos las siguientes opciones:

.,,, 4y2121 ±±±± Al probar estos valores encontramos que 2y

21 − son raíces. Las

pruebas se ofrecen a continuación: 2 -1 -4 +10 -4 -2 2 -5 +6 -2 ½ -4 +10 -12 +4 +1 -2 +2 2 -5 +6 -2 0 2 -4 +4 0 Hemos obtenido 1 raíz positiva y 1 raíz negativa, y observando la tabla de distribución de raíces, nos damos cuenta que las dos raíces que faltan son complejas o imaginarias. Ya que el primer renglón de la tabla queda descartado.

La ecuación degradada que queda es 04x4x2 2 =+− o bien 02x2x2 =+− cuyas raíces pueden

hallarse por fórmula general, obteniéndose i1± . Las raíces de la ecuación dada son: –2 , ½ y i1± y el bosquejo de la gráfica es el siguiente: FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Se propondré el siguiente ejercicio para el alumno: f(x)=x3-2x+4 cuya gráfica se te da


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 53 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Llenará un cuadro sinóptico de dos columnas en donde en la primera columna hayan propuestos los ceros de una función o su gráfica y en la segunda haya que determinar su función.

REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Libreta, lápiz, colores, El

Tarea para hoy: Llenar junto con el maestro el cuadro anterior

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Evidencia de Producto: Cuadro sinóptico Evidencia de Desempeño Evidencia de Conocimiento:

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Pizarra o pintarron, plumones

Tarea para hoy: CRITERIOS DE EVALUACIÓN Evidencia de Producto: Proporcionar el material del cuadro sinoptico. Evidencia de Desempeño Evidencia de Conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Dados los ceros o la gráfica, hallar la función

FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Entregar los cuadros sinópticos y explicar la dinámica de su llenado

FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Preparar un cuadro sinóptico como el que se te da como ejemplo y llenarlo junto con los alumnos. Dados los valores de los ceros reales o la gráfica, hallar la función polinomial que corresponde

FUNCIÓN

X1=-3 X2=-1 X3=1

X1=-2 X2=1/2 X3=5/3

X1=0 X2=0 X3=-3 X1=2


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FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Recalcar la multiplicidad de ceros en la última función y explicar su significado geométrico


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UNIDAD: II Funciones Polinomiales SESIÓN: 54 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno llenará un cuadro como el de la sesión anterior. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO:

Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Libreta, lápiz, colores

Tarea para hoy: Llenar el cuadro propuesto por el maestro

Criterios de Evaluación: Evidencia de Producto: El llenado del cuadro sinóptico.

REDACCIÒN PARA EL DOCENTE: Tema: 2.1. La función polinomial Subtema: 2.1.5. La función polinomial de tercer y cuarto grado

Recursos y Documentos: Fotocopias del cuadro sinóptico

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencia de Producto: Entregar lleno el cuadro sinóptico.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Dados los ceros o la gráfica, hallar la función

FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Entregar el cuadro sinóptico e instruir para su llenado. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Para llenar el cuadro puede reunirlos en equipos tratando de que en cada equipo haya alguien que entienda bien el tema. Moderar la actividad y apoyar a aquellos alumnos que lo requieran. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Concluir la unidad felicitando a los alumnos destacados y animando a los menos afortunados


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UNIDAD III TITULO: Funciones Racionales. OBJETIVO DE LA UNIDAD III: El alumno: Resolverá problemas de funciones racionales, teóricos o prácticos, mediante el análisis, el rango y la determinación de posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión de análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Objetivos Temáticos El alumno: 3.1. Resolverá teóricos o prácticos susceptibles de ser modelados a través de una función racional, mediante el análisis de los intervalos que constituyen el dominio y el rango, o del comportamiento de su gráfica para valores muy grandes (en valor absoluto) de su dominio, o alrededor de los ceros en el denominador, que determinan asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Sesiones de la 55 a la 69


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 55 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno comprenderá e identificará ejemplos de Función Racional. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.1 Concepto de Función Racional.


Tarea para hoy: Tomar apuntes de la expresión del docente sobre el tema y participación por medio de lluvia de ideas de lo comprendido en la sesión. Investigar ejemplos de funciones racionales.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.1 Concepto de Función Racional.

Recursos y Documentos: Acetato del mapa conceptual de las características de las Funciones Racionales. Proyector de acetatos

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Revisión al azar de los apuntes de la sesión. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Definición de la Función Racional. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente pasará lista de asistencia y proporcionará el objetivo de la sesión. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Exposición del docente de la definición y las características de la función racional, con apoyo de un proyector de acetatos. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Lluvia de ideas.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 56 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno comprenderá e identificará ejemplos de Función Racional. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.1 Concepto de Función Racional.

Recursos adicionales: Ninguno Documentos:

Tarea para hoy: El alumno entregará los ejemplos de funciones racionales; conocerá diversos ejemplos de funciones racionales, así como los intervalos que constituyen el dominio y rango de una función. Aplicar lo aprendido en clase por medio de un ejemplo. Extraclase: Investigar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.1 Concepto de Función Racional.

Recursos y documentos: Acetatos con ejemplos de funciones racionales.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Los ejemplos de funciones racionales, su notación, caracterización, dominio y rango. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Ejemplos de funciones racionales, se notación, caracterización, dominio y rango. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisar los ejemplos de las funciones racionales que los alumnos investigaron. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Exposición del docente para analizar los ejemplos de funciones racionales y determinar los intervalos que constituyen el dominio y el rango. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: De los ejemplos proporcionados por los alumnos determinar el intervalo que constituyen el dominio y rango de una función..


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 57 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno identificará el comportamiento de las gráficas de funciones racionales. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Gráficas de Funciones Racionales.

Recursos y Documentos: Ninguno:

Tarea para hoy: Entregar la investigación, posteriormente observará la exposición del docente para conocer la clasificación de las asíntotas y el comportamiento de las gráficas. Discutir con sus compañeros lo observado en la exposición del docente del comportamiento de las gráficas. Construir dos ejemplos de gráficas de funciones racionales y explicar el comportamiento de ellas.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Gráficas de Funciones Racionales.

Recursos y Documentos: Acetatos:

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Apuntes de la sesión. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Presentación e identificación del comportamiento de gráficas de funciones racionales. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de la investigación de asíntotas. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Exposición del docente por medio de un acetato del comportamiento de las gráficas, así como las diversas asíntotas que se presentan en ellas. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Discutir los ejemplos expuestos con el grupo.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 58 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno construirá gráficas de funciones racionales. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Gráficas de Funciones Racionales.

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, juego de geometría, colores y calculadora:

Actividades de aprendizaje: En el aula: Entregar los ejemplos de construcción de gráficas, observación de los ejemplos demostrados por el docente para que posteriormente aplicarlo en ejercicios. Extraclase: De un ejemplo realizado en la sesión se explicará el comportamiento de la misma.



Recursos y Documentos: Calculadoras, colores, hojas milimétricas, juego de geometría, software matemático para la construcción de gráficas, acetatos y computadora.


Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: La construcción, tabulación e interpretación de gráficas. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Construcción e interpretación de gráficas. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de la construcción de los ejemplos de funciones racionales y la justificación de las mismas. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Demostración del docente de la tabulación y la construcción de gráficas. Manualmente, posteriormente se demostrará las mismas gráficas por medio de acetatos y la implementación de un software matemático para construir gráficas. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de las gráficas en las hojas milimétricas.


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Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, juego de geometría, colores y calculadora.:

Actividades de aprendizaje: En el aula: Entregar los ejemplos de construcción de gráficas, observación de los ejemplos demostrados por el docente para que posteriormente aplicarlo en ejercicios. Extraclase: Realizar ejercicios propuestos por el docente. Ejemplos:

a) 31

−=x

y b) 2

1

xy −= c)

)1(

2

−=

xy



Recursos y Documentos: Calculadora, colores, hojas milimétricas, juego de geometría, software matemático para la construcción de gráficas, acetatos y computadora.


Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: La construcción, tabulación e interpretación de gráficas. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Construcción e interpretación de gráficas. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de la explicación de la construcción de los ejemplos de funciones racionales. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Demostración del docente de la tabulación y la construcción de gráficas. Manualmente, posteriormente se demostrará las mismas gráficas por medio de acetatos y la implementación de un software matemático para construir gráficas. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de las gráficas en las hojas milimétricas.


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Recursos y Documentos: Colores, hojas milimétricas, juego de geometría. Calculadora:

Tarea para hoy: Entregará los ejemplos de construcción de gráficas, observación de los ejemplos demostrados en el software matemático por el docente con el fin de determinar el comportamiento de cada una de ellas. Se proporcionará a grupo el programa para que lo puedan utilizar y realizará 6 ejercicios de construcción de gráficas aplicando el programa y sacar acetatos por equipos de cada una de las gráficas para la exposición en la siguiente clase. Ejemplos:

1) 11

+=x

y 2) 41

+=x

y 3) 113

+=x

y

4) 212

−=x

y 5) 2

1

xy −= 6)

)3(

2

−−=

xy




Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Análisis y revisión de los ejercicios. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Revisión de los ejercicios propuestos. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de la construcción de los ejercicios propuestos. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: El docente analizará la construcción de las gráficas de los ejercicios propuestos y por medio del software se demostrará cada uno de ellos. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Discusión con el grupo de los ejemplos propuestos demostrados en la sesión y armar equipos de trabajo.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 61 y 62. OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno construirá gráficas de funciones racionales. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Gráficas de Funciones Racionales..

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, juego de geometría Calculadora, colores:

Tarea para hoy: Entregará los ejemplos de construcción de gráficas, observación de los ejemplos demostrados en el software matemático por el docente con el fin de determinar el comportamiento de cada una de ellas. Repaso de los temas vistos de la tercera unidad.




Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Exposición en equipos de los trabajos propuestos. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Revisión de los ejercicios propuestos. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de la construcción de los ejercicios propuestos. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 80 Min. Instrucciones: El docente analizará la construcción de las gráficas de los ejercicios propuestos y por medio del software se demostrará cada uno de ellos. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Discusión con el grupo de los ejemplos propuestos demostrados en la sesión.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 63 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Retroalimentación de los temas vistos de la unidad III. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Concepto de Función Racional y Gráficas de Funciones Racionales.

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, juego de geometría Calculadora, colores.

Tarea para hoy: Responder de manera correcta las preguntas que realizará el docente, observará y participará en los ejercicios propuestos en la sesión. Repaso de los temas vistos para la evaluación sumativa.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Concepto de Función Racional y Gráficas de Funciones Racionales.


Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Preguntas abiertas y la participación de los alumnos en los ejercicios para desarrollar en el salón. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Retroalimentación de los temas vistos en la unidad. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Realizar 5 preguntas a los alumnos de manera arbitraria de los temas que se estudiaron. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: El docente expondrá un resumen de los temas vistos con ejercicios y en base a esto los reforzará con la participación de los alumnos realizando ejercicios en la pizarra y en su libreta de apuntes donde el docente será el mediador del aprendizaje de los alumnos. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Lluvia de ideas.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 64 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Evaluación parcial de los temas vistos de la unidad III. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Concepto de función racional y Gráficas de Funciones Racionales.

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, juego de geometría, Calculadora, colores.

Tarea para hoy: Responderá de manera correcta los reactivos del examen. Investigará el tema de Variación inversa.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Concepto de función racional y Gráficas de Funciones Racionales.

Recursos y Documentos: Calculadora, colores, hojas milimétricas, juego de geometría y copias para evaluar los temas vistos.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento: Lo resuelto correctamente en el examen.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Evaluación sumativa. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Informar los lineamientos del examen y repartir las copias de los exámenes. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: El docente aclarará (si surgen) las dudas de la realización de los reactivos del examen. Vigilará el orden y disciplina durante la realización del examen. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Recopilará los exámenes realizados.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 65 OBJETIVO DE LA SESIÓN: Revisará y analizará con los alumnos la evaluación sumativa. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Concepto de función racional y Gráficas de Funciones Racionales.

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, juego de geometría, colores y calculadora.:

Tarea para hoy: Responder de manera correcta las preguntas que realizará el docente, observará y participará en los ejercicios propuestos en la sesión. Repaso de los temas vistos para la evaluación sumativa.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.2 Concepto de función racional y Gráficas de Funciones Racionales.

Recursos y Documentos: Calculadora y acetatos de las gráficas contenidos en los reactivos de la evaluación sumativa.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento: La correcta resolución de los reactivos de la evaluación sumativa.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Revisión y análisis de la evaluación sumativa. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de la investigación y distribución de los exámenes resueltos. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 35 Min. Instrucciones: El docente por medio de la lista revisará las investigaciones y posteriormente resolverá en la pizarra junto con los alumnos la evaluación sumativa, con el fin de analizar y buscar estrategias para reforzar los temas vistos. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Lluvia de ideas.


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UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 66 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno describirá las variaciones de una función racional (inversa y directa).

REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.3 Variación inversa

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas y calculadora.

Tarea para hoy: Exposición por equipo de una función racional inversa y directa, así como la realización de un resumen. Investigará la forma de cómo expresar matemáticamente una función racional inversa y directa.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.3 Variación inversa

Recursos y Documentos: Fotocopias.

Tarea para hoy Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Descripción de una variación directa y una variación inversa de una función racional. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Integración de copias y repartición de copias. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: El docente pedirá a los alumnos que expliquen, cuando existe una variación inversa en una función racional y una variación directa. Indicará que realicen un resumen de las fotocopias proporcionadas. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de libretas para la verificación de los resúmenes y retroalimentación de la actividad de la sesión.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE TÍTULO DE LA UNIDAD: Funciones Racionales SESIÓN: 67 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno conocerá la gráfica de una función racional de variación inversa. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.3 Variación inversa.

Recursos y Documentos: Juego de geometría, hojas milimétricas, calculadora y colores.

Tarea para hoy: Copiará la explicación del docente, realizará las gráficas de funciones racionales de variación inversa. Extraclase: Resolución de un problemario.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.3 Variación inversa.

Recursos y Documentos: Calculadora, Juego de geometría, hojas milimétricas y acetatos.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Revisión de gráficas. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Gráficas de funciones racionales en variación inversa. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de las investigaciones de los alumnos. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Explicará cómo se presenta la gráfica de una función racional de variación inversa. Indicándoles que la variable Y varía a la inversa de X. En la variación inversa el aumento de una variable significa la disminución de otra variable. La gráfica de esta variación es siempre una hipérbola. Se pondrá en la pizarra 3 ecuaciones y los alumnos construirán las gráficas. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión de las gráficas en las libretas y proporcionará un problemario.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 68 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno desarrollará ejercicios de función racional en variación inversa. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.3 Variación inversa.

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, colores, juego de geometría, papel bond, marcadores y calculadora.

Tarea para hoy: Los alumnos se integrarán por equipo. Analizarán sus resultados del problemario. Por equipo expondrán la resolución de un ejercicio. Entregarán sus libretas para su revisión. Estudiar el subtema 3.1.3.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 3.1 La Función Racional. Subtema: 3.1.3 Variación inversa.

Recursos y Documentos: Juego de geometría, hojas milimétricas, calculadora.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación y el problemario resuelto. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Exposición y revisión del problemario. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente pasará lista de asistencia y expondrá el objetivo de la sesión. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Integrará equipos de 5 y 7 personas. Análisis de los resultados del problemario por equipo. El docente indicará que cada equipo expondrá la resolución de un ejercicio del problemario. Y por último se revisarán los ejercicios en la libreta. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: El docente realizará un resumen de los resultados de los ejercicios del problemario e indicará a los alumnos que para la próxima sesión se realizará un examen sumativo correspondiente al subtema 3.1.3.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: III Funciones Racionales SESIÓN: 69 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno aplicará sus conocimientos para la resolución correcta de su examen sumativo. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: Examen sumativo. Subtema:

Recursos y Documentos: Hojas milimétricas, colores, juego de geometría y calculadora.

Tarea para hoy: Presentar el examen sumativo. Investigarán el concepto de función exponencial.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Fotocopias del Examen sumativo Evidencias de conocimiento: Resultados de la elaboración del examen.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: Examen sumativo. Subtema:

Recursos y Documentos: Fotocopias.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento: Resultados del examen

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Presentar un examen sumativo. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: Pase de lista. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: Entrega de fotocopias del examen sumativo y aclaración de dudas de las instrucciones. FASE DE CIERRE TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Indicación que los alumnos entreguen sus exámenes y que investiguen el subtema 4.1.1 de la siguiente unidad.


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UNIDAD IV TITULO: Funciones exponenciales y logarítmicas. OBJETIVO DE LA UNIDAD IV: El alumno: Resolverá problemas con funciones exponenciales y logarítmicas, teóricos a o prácticos, utilizando su relación como funciones inversas y sus propiedades algebraicas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimiento y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Objetivos Temáticos El alumno: 4.1. Resolverá problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante funciones exponenciales o logarítmicas, utilizando su interrelación como funciones inversas y sus propiedades tanto gráficas como algebraicas. 4.2 Resolverá problemas teóricos o prácticos, susceptibles de modelarse con funciones logarítmicas, utilizando su relación de función inversa de la función exponencial, sus propiedades gráficas y algebraicas y la simplificación de operaciones y expresiones con exponentes y logaritmos. 4.3 Resolverá ecuaciones simples que contengan expresiones logarítmicas y exponenciales aplicando las propiedades de exponentes y logaritmos y su relación como operaciones inversas. Sesiones de la 70 a la 85


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 70 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno estudiará el comportamiento, el efecto de los diferentes parámetros en las gráficas de las funciones exponenciales. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: .4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.1 Concepto de función exponencial.


Tarea para hoy: El alumno participará en la clase, así como en la elaboración de sus dos ejercicios propuestos. Se les dejará de tarea las siguientes actividades: ¿En cuál punto del eje y pasan las gráficas de las siguientes funciones exponenciales?

1. y = (8.3)x 2. y = 0.8(6.3)x

3. y = x

5

1

Crecimiento de un cultivo de bacterias. Un cierto cultivo que contiene inicialmente 400 bacterias se incrementa cada hora un 73.2%. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 1 hora, 3 horas, 5 horas?


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: .4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.1 Concepto de función exponencial.

Recursos y Documentos: Cañón, un software, para graficar funciones por ejemplo graphmatica o cualquier programa que grafique funciones.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Entregará las gráficas de dos funciones exponenciales propuestas. Evidencias de conocimiento:


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Analizará el comportamiento de las funciones exponenciales. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente explicará el comportamiento de las funciones exponenciales. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente explicará el concepto y el comportamiento de las funciones exponenciales por medio de un software manipulando los valores para ejemplificar el comportamiento de las funciones así como su tendencia creciente o decreciente. El docente propondrá dos ejercicios para que el alumno grafique e indique el dominio, contradominio y si la función es creciente o decreciente. Por ejemplo: Y = 2x - 4.5 ≤ X ≤ 4.8 Y = 2-x - 4.5 ≤ X ≤ 4.5 Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos durante la elaboración de las gráficas, el docente monitoreará el desarrollo de los alumnos al graficar, aclarando dudas que surjan durante el proceso. Se calificará a los alumnos que terminen la actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos que faltan, reforzando las debilidades que tuvieron durante el mismo. Se les dejará de tarea las siguientes actividades o las que el docente considerará apropiadas: Por ejemplo: ¿En cuál punto del eje y pasan las gráficas de las siguientes funciones exponenciales?

1. y = (8.3)x 2. y = 0.8(6.3)x

3. y = x

5

1

Ejemplo de aplicación: Un cierto cultivo que contiene inicialmente 400 bacterias se incrementa cada hora un 73.2 %. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 1 hora, 3 horas, 5 horas?


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 71 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno formulará un modelo de una función exponencial de una situación y detectará si se produce un incremento o decremento por un factor constante. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.2 Variación exponencial.


Tarea para hoy: El alumno participará en la clase, así como la elaboración de un modelo exponencial. Cuenta de ahorro. Si inviertes $ 20,000.00 en una cuenta bancaria que proporciona 6% de interés anual a plazo fijo de 5 años. ¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito?


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.2 Variación exponencial.


Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase. Evidencias de producto: Entrega de la actividad extraclase. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Modelo de una función exponencial. FASE DE APERTURA TIEMPO: 10 Min. Instrucciones: Revisión grupal de la actividad extraclase de sesión anterior, realizando preguntas guiadas de cómo llegaron a la solución. Presentación de las actividades de la sesión. El docente relacionará los problemas cotidianos con la función exponencial dando como ejemplo el problema de crecimiento de un cultivo de bacterias. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 30 Min. Instrucciones: El docente hará una fase de preguntas guiadas hacia la obtención de un modelo matemático que de solución al problema de aplicación, detectando a las constantes y variables que intervienen en el modelo. Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos y observaciones durante el proceso hasta llegar al modelo y = 400(1.732)x para demostrar el crecimiento de las bacterias y construimos su gráfica para demostrar el comportamiento. El docente propondrá el siguiente ejercicio o el que considere adecuado: Depreciación del valor de un automóvil. En enero del 2006 adquiriste un automóvil en $ 79,000.00. Si cada año su valor disminuye un 13% ¿cuánto valdrá en el año 2010?


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El docente coordinará la actividad y verificará el desarrollo de los alumnos, aclarando las dudas que surjan en la solución de la actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos, se hará una retroalimentación donde sea conveniente Actividad extraclase: El docente puede marcar a su criterio algunos ejercicios de repaso. Cuenta de ahorro. Si inviertes $ 20,000.00 en una cuenta bancaria que proporciona 6% de interés anual a plazo fijo de 5 años. ¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito?


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones SESIÓN: 72 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante funciones exponenciales. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.2 Variación exponencial.


Tarea para hoy: El alumno resolverá correctamente los siguientes ejercicios. DEMOGRAFÍA. Actualmente, México tiene 100,000,000 millones de habitantes. Calcula la población en el año 2050 si ésta aumenta a un ritmo de 2.2% anual. ECONOMÍA. Con una inflación del 17% anual, ¿cuánto valdrá dentro de 10 años una casa que costó este año $ 450,000.00? INFORMACIÓN En una ofician de 200 empleados corre una noticia, duplicándose cada 15 minutos la cantidad de enterados ¿en cuántas horas toda la oficina conocerá la noticia?


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.2 Variación exponencial.

Recursos y Documentos: Una copia de 3 ejercicios:

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase. Evidencias de producto: Entregar los ejercicios. Evidencias de conocimiento:


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Resolución de problemas prácticos aplicando el modelo de las funciones exponenciales. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente revisará la actividad extraclase y propondrá tres ejercicios para obtener el modelo exponencial. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente dará una lista de tres ejercicios para su solución, el docente monitoreará el desarrollo de la actividad, aclarando dudas que surjan durante el proceso. Se calificará a los alumnos que terminen la actividad. Por ejemplo: DEMOGRAFÍA. Actualmente, México tiene 100,000,000 millones de habitantes. Calcula la población en el año 2050 si ésta aumenta a un ritmo de 2.2% anual. ECONOMÍA. Con una inflación del 17% anual, ¿cuánto valdrá dentro de 10 años una casa que costó este año $ 450,000.00? INFORMACIÓN En una ofician de 200 empleados corre una noticia, duplicándose cada 15 minutos la cantidad de enterados ¿en cuántas horas toda la oficina conocerá la noticia? FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos, se hará una retroalimentación donde sea conveniente.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas SESIÓN: 73 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno estudiará el comportamiento, el efecto de los diferentes parámetros en las gráficas de las funciones exponenciales. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.3 El número e


Tarea para hoy: El alumno participará en la clase, así como la elaboración de sus dos ejercicios propuestos.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.3 El número e

Recursos y Documentos: Cañón, un software para graficar funciones por ejemplo graphmatica o cualquier programa que grafique funciones.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Entregar las gráficas de dos funciones, exponenciales propuestas. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Analizará el comportamiento de las funciones exponenciales. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente explicará el comportamiento de la función exponencial y = ex. El

número e surge de aproximar el número n

n

+1

1 conforme n crece. De hecho se puede decir que el límite de

esa expresión cuando n tiende a infinito es el número e. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente pedirá a los alumnos hacer una tabla para diferentes valores de n. n

n

1

n

11+

n

n

−1

1

100 1000 1000000 1000000000 1000000000000


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Los alumnos podrán observar de la tabla que conforme crece n, el valor de la expresión n

1 se hace más

pequeño, aproximándose a cero, el valor de la tercera columna tiende a 1, sin embargo el valor de n

n

+1

1 se

aproxima cada vez más precisamente al valor del número e. A la función descrita como y = ex se le denomina función exponencial natural, pues fue obtenida en la investigación de fenómenos físicos naturales. El docente explicará el comportamiento de las funciones exponenciales naturales por medio de un software manipulando los valores para ejemplificar el comportamiento de las funciones así como su tendencia creciente o decreciente. El docente propondrá dos ejercicios para que el alumno grafique e indique el dominio, contradominio y si la función es creciente o decreciente. Por ejemplo:

a) y = 4e0.5x - 3 ≤ X ≤ 2 b) y = 4e-0.5x - 2 ≤ X ≤ 3

Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos durante la elaboración de las gráficas, el docente monitoreará el desarrollo de los alumnos al graficar, aclarando dudas que surjan durante el proceso. Se calificará a los alumnos que terminen la actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos que falten y se hará una retroalimentación donde sea conveniente.


R02/0208 120 GD-DOC-26

ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 74 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante la función exponencial natural. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.3 El número e.


Tarea para hoy: El alumno resolverá correctamente los siguientes ejercicios. Dibuja la gráfica de la función exponencial natural.

a) y = e-x b) y = 5e-3x c) xey

25.0

2

1=

Carbono 14. Utiliza la fórmula tey 0001216.02 −= para

calcular la cantidad de carbono 14 que subsiste en un fósil con 10,000 años de antigüedad. ¿Cuál es la cantidad inicial de C14? Jardinería. Utilizas un plaguicida en polvo para aniquilar parásitos que destruyen las plantas de tu jardín. La función y = 100000e-0.1732 t te proporciona la cantidad de parásitos que sobreviven al cabo de t horas después de rociar el veneno.

a) ¿Cuál es la cantidad inicial parásitos? b) ¿Cuál es la cantidad presente después de

cuatro horas? c) Traza la gráfica en el intervalo t = 0 a t = 12

horas. El alumno estudiará para su examen de las funciones exponenciales.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 4.1 Función exponencial. Subtema: 4.1.3 El número e.

Recursos y Documentos: Una copia con cinco ejercicios sobre el tema en cuestión.

Tarea para hoy: Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Entregar las gráficas de tres funciones exponenciales naturales propuestas y dos ejercicios de aplicación. Evidencias de conocimiento:


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Las funciones exponenciales naturales. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente retroalimentará la sesión anterior y propondrá una actividad de cinco ejercicios sobre el tema. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente dará copia de cinco ejercicios a cada alumno para su resolución. Por ejemplo:

1. Dibuja la gráfica de la función exponencial natural.

a) y = e-x b) y = 5e-3x c) xey

25.0

2

1=

2. Carbono 14. Utiliza la fórmula tey 0001216.02 −= para calcular la cantidad de carbono 14 que subsiste en

un fósil con 10,000 años de antigüedad. ¿Cuál es la cantidad inicial de C14? 3. Jardinería. Utilizas un plaguicida en polvo para aniquilar parásitos que destruyen las plantas de tu

jardín. La función y = 100000e-0.1732t te proporciona la cantidad de parásitos que sobreviven al cabo de t horas después de rociar el veneno. a) ¿Cuál es la cantidad inicial parásitos? b) ¿Cuál es la cantidad presente después de cuatro horas? c) Traza la gráfica en el intervalo t = 0 a t = 12 horas.

Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos durante la elaboración de las gráficas y problemas de aplicación, el docente monitoreará el desarrollo de la actividad de los alumnos, aclarando dudas que surjan durante el proceso. Se calificará a los alumnos que terminen la actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos que faltan y se hará una retroalimentación donde sea conveniente. Se les avisará a los alumnos que en la siguiente sesión se hará un examen de las funciones exponenciales.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 75 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá un examen sumativo de las funciones exponenciales. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: Función exponencial. Subtema:


Tarea para hoy: Resolver el examen sumativo.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Evidencias de producto: Fotocopias del examen sumativo Evidencias de conocimiento:

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: Función exponencial. Subtema:

Recursos y Documentos: La elaboración de una prueba para su aplicación.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participar en el examen con responsabilidad. Evidencias de producto: El alumno entregará el examen propuesto por el docente para su revisión. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Examen de funciones exponenciales. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente dará las indicaciones para la resolución del examen. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente entregará a cada alumno su examen para su resolución cuidando que el proceso se desarrolle en un ambiente de orden y respeto. El docente coordinará el desarrollo de los alumnos en la elaboración de su examen, aclarando dudas que surjan durante el mismo. Se calificará a los alumnos que terminen con el examen. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente recibirá los exámenes que elaboraron los alumnos.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 76 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno estudiará el comportamiento, el efecto de los diferentes parámetros en las gráficas de las funciones logarítmicas. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 4.2 Función logarítmica. Subtema: 4.2.1. Concepto de función logarítmica.


Tarea para hoy: El alumno participará en la clase, así como la elaboración de las gráficas propuestas por el docente. En el mismo plano coordenado, traza las gráficas de las siguientes funciones. 1 f(x) = 3x y g(x) = log3x 2 f(x) = 10x y g(x) = log10x En el caso que no terminen con las gráficas propuestas quedarán de tarea para la próxima sesión.


REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 4.2 Función logarítmica. Subtema: 4.2.1. Concepto de función logarítmica.

Recursos y Documentos: Cañón, un software para graficar funciones, por ejemplo: graphmatica o cualquier programa que grafique funciones.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase. Evidencias de producto: Entregar las gráficas de dos funciones logarítmicas propuestas. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Analizará el comportamiento de las funciones logarítmicas. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente entregará los resultados obtenidos por los alumnos en el examen de la sesión anterior. Explicará el comportamiento de la función logarítmica. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente explicará el concepto de función logarítmica.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LOGARÌTMICA Para x > 0 y 0 < a ≠ 1, y = logax si y solo si a

y= x La función dada por f(x) = loga x

es la función logarítmica con base a.


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Al evaluar logaritmos, recuerda que un logaritmo es un exponente. Esto significa que el loga x es el exponente al cual a debe ser elevado para obtener x. Por ejemplo, log 2 8 = 3 por que 2 debe ser elevado a la tercera potencia para obtener 8. Se les pedirá a los alumnos que elaboren la gráfica de función exponencial f(x) = 2x y de la función logarítmica g(x) = log2x el cual es equivalente a la función exponencial x = 2

y en el mismo plano coordenado. x - 2 - 1 0 1 2 3 f(x) = 2

x y - 2 - 1 0 1 2 3 x = 2

y Función exponencial f(x) = 2

x

4 2 Función logarítmica 0 g(x) = log2x - 2 0 2 4

- 2 Funciones inversas El docente propondrá dos ejercicios más para que el alumno elabore su gráfica. Por ejemplo: En el mismo plano coordenado, traza las gráficas de las siguientes funciones. 1. f(x) = 3

x y g(x) = log3x

2. f(x) = 10x y g(x) = log10x

Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos durante la elaboración de las gráficas, el docente monitoreará el desarrollo de los alumnos al graficar, aclarando dudas que surjan durante el proceso. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos y representará los dos comportamientos de las gráficas y utilizando un software para graficar funciones. Avisar a los estudiantes que para la próxima sesión se utilizará calculadora científica.


R02/0208 125 GD-DOC-26

ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 77 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno identificará a los logaritmos comunes y naturales así como sus propiedades básicas. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: Función logarítmica. Subtema: 4.2.2. Logaritmos comunes y naturales.

Recursos y Documentos: Calculadora científica

Tarea para hoy: El alumno participará en las actividades indicadas por el docente, para el uso adecuado de la calculadora para la evaluación de logaritmos. Utilizar la calculadora para evaluar logaritmos comunes y naturales para demostrar las propiedades de los logaritmos.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación el la clase Evidencias de producto: Apuntes del tema de Logaritmos y la elaboración de ejercicios logarítmicos. Evidencias de conocimiento: Conocimiento de las propiedades logarítmicas.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: Función logarítmica. Subtema: 4.2.2. Logaritmos comunes y naturales.


Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase. Evidencias de producto: Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Logaritmos comunes y naturales. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En caso de ser necesario se revisará la actividad de la sesión anterior. El docente explicará que existen dos tipo de logaritmos que son muy usados en la práctica: los logaritmos comunes de base 10 y los naturales con base e. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente mencionará si el logaritmo de un número es la potencia a que se tiene que elevar ka base para obtener el número, cualquier base positiva diferente de 1 nos podría servir para construir un sistema de logaritmos; sin embargo para usos computacionales, el sistema más usado es el de base 10 y a los logaritmos de esta base se les llama logaritmos comunes o de Briggs en honor a Henry Briggs que fue quien por primera vez los usó. Otro sistema de logaritmos que también tiene muchas aplicaciones es el de base e (e = 2.71828…); a estos logaritmos los llamamos naturales. Se recomienda que el docente indique a los estudiantes el uso adecuado de la calculadora para evaluar logaritmos. Proporcionar a los alumnos las propiedades de los logaritmos.

Notación logarítmica log x = log10 x ln x = loge x

Logaritmo común Logaritmo natural


R02/0208 126 GD-DOC-26

Propiedades de las funciones logarítmicas Si a,A,B, son números reales positivos, a ≠ l, y n y x son números reales, entonces: 1.. loga l = 0

2.. loga a = l

3.. loga ax = x

4.. alogax = x,x›0

5.. loga AB = loga A+ loga B

6.. loga B

A = loga A - loga B

7.. loga An = nloga A

8.. loga A = loga B si y solo si A = B Utilice la calculadora para evaluar logaritmos comunes y naturales para demostrar las propiedades por ejemplo:

1) log10 = 1 2) log30 = log5 + log6 3) log4

3 = log4 – log3

4) log53 = 3 log 5 5) ln40 = ln4 + ln10 Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos durante la evaluación de los logaritmos, el docente monitoreará el desarrollo de los alumnos al evaluar, aclarando dudas que surjan durante al actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente hará una retroalimentación por medio de preguntas guiadas.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 78 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá ejercicios de evaluación de logaritmos sin usar calculadora. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: Función logarítmica. Subtema: 4.2.2. Logaritmos comunes y naturales.


Tarea para hoy: El alumno resolverá correctamente los siguientes ejercicios. En los ejercicios, evalúa la expresión dada sin usar calculadora.

1. log2 8 6. log3 81

2. log5 25 7. log4 8

3. log5 625 8. log2 16

1

4. log10 10000 9. log7 49

1

5. log8 4 10. log3 243

1

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase Evidencias de producto: Entrega de los ejercicios logarítmicos. Evidencias de conocimiento: Resolución de los ejercicios logarítmicos.


Recursos y Documentos: Copias de la actividad diseñadas por el docente.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Su participación en la clase. Evidencias de producto: La entrega de los ejercicios propuestos por el docente. Evidencias de conocimiento:


R02/0208 128 GD-DOC-26

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Obtener el logaritmo de un número. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente explicará el comportamiento de las funciones exponenciales. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente explicará como obtener el logaritmo de un número sin usar calculadora, pasando la expresión logarítmica a su forma exponencial. Por ejemplo:

1. log4 256 2. log3 81 3. log2

2

1 4. ln e2

4y = 256 3y = 81 2y = 2

1 ln2 = loge e2

4y= 44 3y= 34 2y= 2-1 ey= e2 y = 4 y = 4 y = - 1 y = 2

∴ log4 256 = 4 ∴ log3 81 = 4 ∴ log2

2

1 = -1 ∴ lne 2 = 2

El docente propondrá una lista de 19 ejercicios para obtener el logaritmo de un número. Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos para obtener el logaritmo de un número, el docente monitoreará el desarrollo de la actividad, aclarando dudas que surjan durante el proceso. Se pasará al pizarrón a dos o tres alumnos para que obtengan la solución de un ejercicio. Se calificará a los alumnos que terminen con la actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos que falten y realizará preguntas guiadas de los procedimientos que utilizaron los estudiantes para obtener el logaritmo de un número. Avisar a los estudiantes que para la próxima sesión se utilizará calculadora científica.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 79 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá ejercicios de evaluación de logaritmos utilizando la fórmula de cambio de base. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: Función logarítmica. Subtema: 4.2.2. Logaritmos comunes y naturales.

Recursos y Documentos: Libreta de apuntes, lápiz, calculadora científica

Tarea para hoy:

1. log2 8 6. log3 81 11. log3 7

2. log5 25 7. log4 8 12. 21log 4

3. log5 625 8. log2 16

1 13. log7 l

4. log10 10000 9. log7 49

1 14. log4 10

5. log8 4 10. log3 243

1 15. log9 (0.4)

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase Evidencias de producto: Entregar los ejercicios logarítmicos. Evidencias de conocimiento: Resultado de la elaboración de ejercicios.


Recursos y Documentos: Copias de la actividad diseñadas por el docente.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: La entrega de los ejercicios propuestos por el docente.


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TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Obtener el logaritmo de un número utilizando la fórmula de cambio de base. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente explicará la fórmula de cambio de base para obtener el logaritmo de un número. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente explicará como obtener el logaritmo de un número utilizando la fórmula de cambio de base.

FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE Supongamos que a, b y x son números reales positivos, tales que a ≠ l y b ≠ l. entonces, loga x estará dado por:

a

xx

b

ba

log

loglog =

Por ejemplo:

1. 5.136log

216log216log36 == 2. 1

2log2

1log

2

1log2 −==

3. 8227.3)13log(

)015.0log()015.0(log13 ≈=

El docente propondrá una lista de 10 a 15 ejercicios para obtener el logaritmo de un número. Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos para obtener el logaritmo de un número, el docente monitoreará el desarrollo de la actividad, aclarando dudas que surjan durante el proceso., se pasará al pizarrón a dos o tres estudiantes para que obtengan la solución de un ejercicio. Se calificará a los alumnos que terminen la actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos que falten.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 80 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá cambios en expresiones algebraicas logarítmicas. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: Función logarítmica. Subtema: 4.2.2. Logaritmos comunes y naturales.

Recursos y Documentos: Libreta de apuntes, calculadora científica, lápiz, borrador

Tarea para hoy: El alumno resolverá correctamente los siguientes ejercicios. En los siguientes ejercicios, usa las propiedades de logaritmos para escribir la expresión como suma, diferencia y/o múltiplo logaritmos. 1. log105x 6. la −ln

2. log10x

5 7. ln z(z – l)2

3. log8x4 8. 3ln

y

x

4. log6z-3 9.

5

4

lnz

yx

5. zln 10. logb 32

2

xy

x

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase Evidencias de producto: Elaboración de los ejercicios logarítmicos. Evidencias de conocimiento: Resultado de los ejercicios


Recursos y Documentos: Pizarra o pintarrón, gis o plumones.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Su participación en la clase. Evidencias de producto: La entrega de los ejercicios propuestos por el docente.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Cambios en expresiones algebraicas logarítmicas. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente explicará cómo utilizar las propiedades de los logaritmos para realizar cambios en expresiones logarítmicas. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente mencionará que las propiedades de los logaritmos son útiles cuando nos proponemos hacer cambios en expresiones logarítmicas para simplificar las operaciones de álgebra. Porque convierten complicados productos, cocientes y formas exponenciales en sumas, diferencias y productos más sencillos respectivamente.


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Por ejemplo: Usa las propiedades de logaritmos para escribir la expresión como suma, diferencia y/o múltiplo logaritmos.

1. log10 5x3y 2.

7

53ln

−x

Solución: log10 5x

3y = log105 + log10 x3y

= log105 + log10 x3 + log10y

= log105 + 3log10 x + log10y

7

53ln

−x = 7ln)53ln( 21

−−x

= 7ln)53ln(2

1−−x

El docente propondrá una lista de 10 ejercicios para usar las propiedades de logaritmos para escribir la expresión como suma, diferencia y/o múltiplo. Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos para la resolución de los ejercicios, el docente monitoreará el desarrollo de la actividad, aclarando dudas que surjan durante el proceso. Se pasará al pizarrón a dos o tres estudiantes para que obtengan la solución de un ejercicio. Se calificará a los alumnos que terminen la actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los trabajos que desarrollaron los alumnos que falten y realizará preguntas guiadas de los procedimientos que utilizaron los estudiantes para obtener la solución de los ejercicios.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 81 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá ecuaciones simples que contengan expresiones logarítmicas o exponenciales aplicando sus propiedades. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 4.3 Ecuaciones y logarítmicas. Subtema:

Recursos y Documentos: Libreta de apuntes, lápiz, calculadora científica, lápiz, borrador

Tarea para hoy: El maestro en la clase planteará otro problema similar y sólo guiará a los alumnos y no los presionará para terminarlo en la clase sino para la siguiente sesión, por ejemplo: Una sustancia radioactiva se desintegra en un tiempo que se conoce como periodo de desintegración o vida media. La vida media del radio es de 1,600 años, esto significa que si ahora se tiene una cierta cantidad de radios, dentro de 1,600 años sólo quedará la mitad. Repasar los ejercicios de la clase e intentar resolver el problema.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase Evidencias de producto: Resolución de problemas que contengan expresiones logarítmicas aplicando sus propiedades. Evidencias de conocimiento: Resultado de los problemas que contengan expresiones logarítmicas.

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 4.3 Ecuaciones y logarítmicas. Subtema:

Recursos y Documentos: Calculadora científica.

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase. Evidencias de producto: Entregar los ejercicios propuestos.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Análisis de situaciones relacionadas con el comportamiento de fenómenos vinculados con el crecimiento poblacional o el periodo de semidesintegración de materiales radioactivos por mencionar algunos. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente explicará cómo interpretar y traducir un problema en una solución logarítmica o exponencial. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente explicará el concepto, el comportamiento del problema y establecer un posible modelo matemático en base al logaritmo o exponencial, incluso el modelo por ejemplo: se plantea el siguiente problema: Consideremos un capital C y un interés i por ciento. Si el capital es de un millón de pesos y el interés es del 5% anual, entonces, después de un año el capital produce un interés del __________. (que los alumnos intenten plantear el modelo matemático y el docente los induzca al modelo matemático). Donde: C es el capital, Ci el capital más el interés. Ci = 1(0.05)= 0.05, por lo que el nuevo capital es:


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C + Ci = C(1 + i) es para el primer año y se les preguntaría a los alumnos y para el segundo año ¿cómo sería? y ¿el tercer año? Y se aplicaría el mismo proceso que ellos traten de plantear. C + Ci = C(1 + i)2

C + Ci = C(1 + i)3

Ahora de acuerdo con el comportamiento se plantea la siguiente pregunta ¿se comporta de forma exponencial? La respuesta es si entonces, ¿cómo quedaría? Cn = C (1 + i)

n entonces resolvimos un problema cotidiano y llevamos un capital a través de un tiempo y el interés se acumula y se llama: Interés Compuesto. Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos o dudas durante la sesión, el docente monitoreará el desarrollo de los alumnos al interpretar el problema, aclarando dudas que surjan durante el proceso. Se calificará a los alumnos que terminen la actividad. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los planteamientos y su participación en clase.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 82 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá ecuaciones simples que contengan expresiones logarítmicas o exponenciales aplicando sus propiedades. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO: Tema: 4.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Subtema:


Tarea para hoy: El maestro en la clase planteará otro problema similar y sólo guiará a los alumnos y no los presionará para terminarlo en la clase sino para la siguiente sesión. El docente le dejará 4 ejercicios al alumno en el cual no sólo armará el modelo matemático sino que lo resolverá y obtendrá los datos y los interpretará e incluso podrá jugar con ellos. Por ejemplo: 1. Una persona compra un autoestéreo en $ 5,000

con un interés anual compuesto mensualmente del 18% si no hace pago alguno durante seis meses ¿cuánto debe?

2. El número de bacterias de un cultivo está dado por f(t) = 3(4t), donde t está en horas y el número de bacterias F(x) en miles. Determina: a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias? b) ¿Cuántas son a los 15 minutos? c) ¿Cuántas hay a la media hora? d) ¿Cuántas hay a la hora y media?

3. Calcula la intensidad de un sonido que transporta una energía de 3.2 x 10-8 watts/cm2.

4. Una conversación tiene una intensidad de 4.5 bel. ¿Cuánta energía se transporta en ella?

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase Evidencias de producto: Resolución de problemas que contengan expresiones logarítmicas aplicando sus propiedades. Evidencias de conocimiento: Resultado de los problemas que contengan expresiones logarítmicas

REDACCIÓN PARA EL PROFESOR Tema: 4.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Subtema:


Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Entregar los ejercicios propuestos.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Análisis de situaciones relacionadas con el comportamiento de fenómenos vinculados con el crecimiento poblacional o el periodo de semidesintegración de materiales radioactivos por mencionar algunos. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente retomará el ejercicio de la sesión anterior y preguntará sobre los avances del problema en una solución logarítmica o exponencial. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente revisará los avances de los alumnos y dará tips para los que estén perdidos. El docente escribirá el problema en el pintarron.


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Una sustancia radioactiva se desintegra en un tiempo que se conoce como periodo de desintegración o vida media. La vida media del radio es de 1,600 años, esto significa que si ahora se tiene una cierta cantidad de radios, dentro de 1,600 años sólo quedará la mitad. Después de 15 minutos el docente planteará el modelo matemático que es: n = número de periodos de desintegración. m = masa original de la sustancia. F (n) = m(2)-n

Los alumnos podrán intercambiar sus conocimientos o dudas durante la sesión, el docente monitoreará el desarrollo de los alumnos al interpretar el problema, aclarando dudas que surjan durante el proceso. Se calificará a los alumnos que terminen la actividad. En un laboratorio se prepara un cultivo de bacterias que se duplican cada hora y se inicia con 500, se sugiere construir una tabla y establecer el modelo. El modelo es F(t) = (500)2t. Donde t es el número de horas, pero ahora se resuelve el problema. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los planteamientos y su participación en clase. Se le dejará al alumno que investiguen las propiedades básicas de los logaritmos.


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ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIDAD: IV Funciones exponenciales y logarítmicas. SESIÓN: 83 OBJETIVO DE LA SESIÓN: El alumno resolverá ecuaciones simples que contengan expresiones logarítmicas o exponenciales aplicando sus propiedades. REDACCIÓN PARA EL ALUMNO Tema: 4.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Subtema:


Tarea para hoy: El maestro en la clase planteará otro problema similar u solo guiará a los alumnos y no los presionará para terminarlo en la clase sino para la siguiente sesión. Repasar los ejercicios de la clase.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase Evidencias de producto: Elaboración del problema planteado por el docente. Evidencias de conocimiento: Resolución del problema planteado por el docente.



Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en la clase. Evidencias de producto: Entregar los ejercicios propuestos.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Análisis de situaciones relacionadas con el comportamiento de fenómenos vinculados con el crecimiento poblacional o el periodo de semidesintegración de materiales radioactivos por mencionar algunos. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente revisará la tarea y explicará la aplicación de las propiedades de los logaritmos. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente resolverá ejercicios para que el alumno observe la aplicación de las propiedades básicas así como el cambio de base, es decir de base 10 (logaritmos decimales), o el número e (logaritmos naturales) y planteará los siguientes ejercicios:

1. Log102 + log10X = 2. 2log10 (X + 1) = 3. Log10 (X

3 – 8) – log10 (X – 2) = 4. 23x + 1 = 34x

FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará los planteamientos y resolución de los problemas y su participación en clase.


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Tarea para hoy: El maestro en la clase planteará otro problema similar y sólo guiará a los alumnos y no los presionará para terminarlo en la clase sino para la siguiente sesión y traerán un problema cotidiano para analizarlo en la próxima sesión. Repasar los ejercicios de la clase.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase Evidencias de producto: Elaboración del problema planteado por el docente. Evidencias de conocimiento: Resolución del problema planteado por el docente.



Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Entregar los ejercicios propuestos.

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Análisis de situaciones relacionadas con el comportamiento de fenómenos vinculados con el crecimiento poblacional o el periodo de semidesintegración de materiales radioactivos por mencionar algunos. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente explicará cómo interpretar y traducir un problema en una solución logarítmica o exponencial. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente iniciará retomando el tema anterior y le explicará a los alumnos que los modelos matemáticos de un problema pueden variar hasta llegar a emplear las propiedades de los logaritmos y retomará un ejercicio de los problemas propuestos, como por ejemplo: Calcula la intensidad de un sonido que transporta una energía de 3.2 x 10-8 watts/xm2. El cual lo resolverá detalladamente. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente revisará a los planteamientos y su participación en clase.


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Recursos y Documentos: Libreta de apuntes, lápiz, borrador, plumas

Tarea para hoy: Retroalimentación Estudiar para el segundo examen bimestral.

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase Evidencias de producto: Elaboración de los ejercicios de los temas Evidencias de conocimiento: Resolución de los ejercicios.


Recursos y Documentos: Calculadora

Tarea para hoy:

Criterios de Evaluación: Evidencias de desempeño: Participación en clase. Evidencias de producto: Entregar los ejercicios propuestos. Evidencias de conocimiento:

TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Análisis de situaciones relacionadas con el comportamiento de fenómenos vinculados con el crecimiento poblacional o el periodo de semidesintegración de materiales radioactivos por mencionar algunos. FASE DE APERTURA TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: En esta sesión el docente revisará la tarea. FASE DE DESARROLLO TIEMPO: 40 Min. Instrucciones: El docente hará una retroalimentación de todos los temas de la unidad y relacionará todos los temas, en el cual participarán los alumnos y les pondrá cuatro ejercicios y los calificará. FASE DE CIERRE TIEMPO: 5 Min. Instrucciones: El docente calificará los ejercicios y su participación en clase.


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BIBLIOGRAFÍA Básica: Ruíz Basto, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Matemáticas IV. Bachillerato General. Publicaciones Cultural, México, 2006. Salazar Vasquéz Pedro y otros. Matemáticas 4. Compañía Editorial Nueva Imagen, S.A. de C.V. Ortíz Campos Francisco. Matematicas IV. Publicaciones culturales. Stewart, M. Precálculo 3ª. Edición. Internacional Thomson Editores. México, 1997. Complementaria: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. McGraw Hill Interamericana. México 2000. Larson, Ronald y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural. México, 1996. Leithold, Louis. Matemáticas previas al Cálculo. 3ª. Edición Oup-Harla. México. 1994. Sullivan, M. Precálculo, 4ª. Edición Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México, 1997. Página WEB

Portal del ILCE sobre actividades de formación docente y académica: www.cecte.ilce.edu.mx


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LA GUÍA DIDÁCTICA

DE

MATEMÁTICAS IV

Se elaboró con la valiosa participación de los docentes del Área de Matemáticas del Colegio de Bachilleres del Estado de Quintana Roo. Docente Plantel Lic. Juan Carlos Aguilar Escudero. Chetumal I Lic. Juan Daniel Ceballos Calderón Tihosuco Ing. Marcos Gpe. Cocom Tep Carlos A. Madrazo Ing. Roger Andrés Díaz Matos Río Hondo Lic. William Sosa Gorocica Cancún I Ing. Gustavo Kanxoc Dzib Ignacio Zaragoza Coordinadora: Lic. Alicia L. Suárez Martín Jefa de Materia del Área de Matemáticas.


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DIRECTORIO

Lic. José del Ángel Arjona Carrasco. Director General.

Ing. Cuauhtémoc Manelik Díaz Torres. Director Académico.

Lic. Marco Antonio Castilla Madrid. Director Administrativo.

Ing. Miriam Isabel Ortega Sabido Directora de Planeación.

Prof. Alberto Villanueva Coral Coordinador de Zona Centro- Sur

Dra. Mirza A. Burgos Azueta Coordinadora de Zona Norte

Lic. Rodolfo Cruz Cáceres. Jefe del Departamento de

Docencia y Apoyo Académico.

Lic. Alicia Lizzette Suárez Martín. Jefa de Materia del Área de Matemáticas

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