colecciÓn metodologÍa de las ciencias del comportamientoanalisisdedatos/libros/breviario.pdf ·...

COLECCIÓN METODOLOGÍA DE LAS CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO

Queda totalmente prohibida, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización de los titulares de los derechos. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual

© Emilia I. de la Fuente Solana y Joan Guàrdia Olmos

Edita: Ediciones Sider S.C. 1ª Edición octubre de 2007 I.S.B.N. 978-84-96876-12-5

Los contenidos de este libro incluyen material relacionado con técnicas de análisis de datos

que proponen el uso de la filosofía Bayesiana, gracias a la subvención del Ministerio de

Educación y Cultura dentro del proyecto SEJ2006-13009.

Emilia I. de la Fuente Solana

Joan Guàrdia i Olmos

Gustavo R. Cañadas de la Fuente

Luis Manuel Lozano Fernández

Mª Eva Martín Puga

Cristina Vargas Pecino

B P

E

D

E .

U

U B

U

5

ÍNDICE

PRESENTACIÓN 7

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 11

1.1. Reglas de contar 11

1.2. Elementos del calculo de probabilidades 12

1.3. Probabilidad como frecuencia relativa 13

1.4. Probabilidad subjetiva 13

1.5. Axiomatica de kolmogorov y teoremas básicos de la probabilidad 14

1.6. Teoremas basicos de la probabilidad 15

1.7. Función de probabilidad 15

CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD CONDICIONADA 17

2.1. Sucesos condicionados y sucesos independientes 17

2.2. Teorema de la probabilidad total 17

2.3. Teorema de Bayes 18

2.4. SUCESOS INDEPENDIENTES 18

CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA 21

3.1. Variable aleatoria 21

3.2. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 21

3.3. Propiedades de la función de probabilidad 21

3.4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta 22

3.5. Propiedades de la función de distribución 22

3.6. Características de posición de una variable aleatoria discreta 22

3.7. Dispersión de una variable aleatoria discreta 23

3.8. Propiedades del valor esperado 24

3.9. Propiedades de la varianza 25

3.10. Densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua 25

3.11. Función de distribución de una variable aleatoria continua 26

3.12. Propiedades de la función de distribución de una variable Aleatoria continua 26

3.13. Parámetros de una variable aleatoria continua 26

3.14. Tipificación de una variable aleatoria 27

6

CAPÍTULO 4. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA UNA VARIABLE

ALEATORIA DISCRETA 29

4.1. Distribución de Bernoulli 29

4.2. Distribución Binomial 30

4.3. Distribución Hipergeométrica 31

4.4. Distribución de Poisson 32

4.5. Distribución Binomial Negativa 33

4.6. Distribución Geométrica 34


ALEATORIA CONTINUA 35

5.1. Familia de Distribuciones Normales 35

5.2. Aproximación entre las distribuciones Binomial, Poisson y Normal 36

5.3. Distribuciones continuas que se construyen a partir de la distribución Normal 37

CAPÍTULO 6. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS 39

6.1. Tabulación de modelos probabilísticos para variables discretas 39

6.2. Gráficos de modelos probabilísticos para variables discretas 39

6.3. Tablas de las Distribuciones Binomial y Poisson 40

CAPÍTULO 7. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTINUOS 61

7.1. Tabulación de modelos probabilísticos para variables continuas 61

7.2. Gráficos de modelos probabilísticos para variables continuas 61

7.3. Tablas de las distribuciones Normal, t-Student, Ji-cuadrado y F de Fisher Snedecor 64

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 75

ANEXO. FORMULARIO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 77

7

PRESENTACIÓN

Efectivamente, este breve texto trata de probabilidades. Dicho así no parece muy prometedor,

especialmente para aquellos que ven en la probabilidad (cálculo de probabilidades, teoremas

fundamentales de la probabilidad o la algebra de probabilidades) uno de los episodios más

oscuros de sus historia escolar. Es cierto que la mayoría de estudiantes que en su etapa

preuniversitaria se acercan (casi siempre por obligación y casi nunca por devoción) a las

probabilidades, lo hacen con la misma actitud con la que afrontan la asignatura de

matemáticas. De hecho, la sola mención de la palabra probabilidad les lleva de nuevo a la

clase de matemáticas y algunos, incluso, se acuerdan de conceptos vagos como probabilidad

total o, como menos, visualizan un pasado en el que se asentaron durante muchos meses las

bolsas con bolas blancas y bolas negras.

Sin embargo la realidad es tozuda y el uso de los conceptos probabilísticos es de uso común,

no ya entre la población general – que también – sino en el trabajo cotidiano de los psicólogos

profesionales. Asistimos a la lectura de informes psicológicos en los que el diagnóstico final o

las recomendaciones que se hacen se asientan en conclusiones probabilísticas e incluso el

propio lenguaje escrito (y oral también, no crean) se refugia en la ambigüedad de los términos

8

para no dar como definitiva y contundente alguna conclusión. Tópicos como: es probable que

…., podría darse el caso …., nos parece razonable …. Son eufemismos que utilizamos para

esconder una valoración no categórica de aquello que se enjuicia. No es habitual emplear el

lenguaje matemático para este menester, no usamos la probabilidad asociada a un evento para

justificar lo seguros que estamos de nuestra aseveración. Pero es claro que en un mundo que

se supone en blanco y negro, nosotros afortunadamente nadamos en gris y con distintas

intensidades.

Por otro lado no hace falta establecer aquí ninguna justificación para el uso de las

probabilidades y de la importancia de las mismas para el desempeño estadístico.

Lamentablemente son pocas las ocasiones en las que los estudiantes de psicología disponen de

un marco de trabajo en el que puedan pensar, discutir y asimilar las diferencias entre la

definición axiomática de probabilidad (volvemos a las bolas blancas y negras) y la definición

“frecuentista” de la probabilidad que nos ofrecen las técnicas estadísticas. Aún peor, no

tenemos demasiado tiempo para que los futuros (… y actuales) psicólogos entiendan

exactamente que la administración de cualquier prueba de diagnóstico o de evaluación

psicológica se debe entender como un acontecimiento probabilístico y que desde esta

perspectiva es mucho más fácil y coherente el concepto de error de medida o el de sesgo de

medida. Dicho de otro modo, si los psicólogos profesionales tuvieran más presentes estas

cuestiones, muchos de los informes técnicos, evaluaciones, selecciones, diagnósticos y todo

aquello conectado con los instrumentos de clasificación que a veces son tan alegremente

usados y peor interpretados no sería campo de cultivo de múltiples errores y apreciaciones

incorrectas.

9

De ello somos responsables todos, puesto que la formación en nuestras Facultades de

Psicología adolece, en nuestra opinión, de un excesivo tono tecnológico en las asignaturas

instrumentales, en detrimento de los aspectos más metodológicos entendido esto como el

proceso de comprensión del método que hace posible medir en Psicología y el argumento

probabilístico de la Estadística. Algunos argumentaran y no sin razón, que muchos

profesionales de la salud o de la educación y también del ámbito social y organizacional (por

cubrir todo el espectro) utilizan herramientas de diagnóstico y análisis de datos sin conocer el

fundamento que los justifica y el método que los convierte en riguroso. Cierto, muy

probablemente el médico que analiza nuestras analíticas de lo que sea no recuerda ni usa el

concepto de intervalo de confianza y se limita a estudiar el ajuste de nuestros estadísticos con

los parámetros de normalidad. La diferencia con la Psicología estriba en que nuestros

elementos de diagnóstico no contienen una métrica plausible (en términos matemáticos) y por

tanto no es comparable directamente el resultado de una prueba estandarizada con el resultado

de una analítica en que la métrica euclidiana es incontrastable. Seguimos en busca del arca

perdida …..

Finalmente y para finalizar esta introducción, decir que las siguientes páginas

contienen lo que los clásicos llaman un breviario y los más modernos un formulario; en el que

de forma ordenada se expresan las expresiones más relevantes del ámbito de las

probabilidades, principales funciones de densidad y de distribución, así como sus

propiedades; al objeto de que lo posteriores desarrollos de la tecnología estadística y

psicométrica estén al amparo del discurso probabilístico que las hace posible. No se trata,

pues, de un texto académico de consulta, se trata de unos esquemas para que a su margen los

estudiantes señalen aquello que sea relevante para comprender holísticamente de que

hablamos y para que, en un momento dado, nadie se olvide que buena parte de la literatura

10

científica en Psicología propone modelos de estudio de los fenómenos propios de nuestra

disciplina que están basados en los modelos de probabilidad que a continuación se

esquematizan.

Granada, octubre de 2007

Introducción a la probabilidad

11

CAPÍTULO 1.INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1.1. REGLAS DE CONTAR

Son reglas que permiten la enumeración o cómputo de elementos, en aquellos casos en

que dicha tarea no resulta fácil; más concretamente, aquellas que se derivan desde la Teoría

de los números combinatorios, es decir, las ordenaciones de n elementos o permutaciones, las

variaciones o subgrupos ordenados de tamaño r de un total inicial de elementos n, y las

combinaciones o subconjuntos no ordenados de tamaño r de un total inicial de elementos n

(Amón, 1993; Cooms, Dawes y Tversky, 1970, MacLane y Birkhoff, 1971a, 1971b). El

cómputo con dichas reglas combinatorias se realiza a partir de las formulaciones que se

incluyen en el cuadro siguiente:

Permutaciones Variaciones Combinaciones

Sin repetición !nPn

)!rn(

!nV r,n

)!rn(!r

!n

r

nC

r,n

Con repetición

!t!s!r

!nPR t,s,r

n

rr,n nVR

r

rnCR rn

1,

Donde Pn son las permutaciones de n elementos; PRnr,s,t son las permutaciones de n

elementos entre los que hay r repetidos, s repetidos y t repetidos; Vn,r representa las

variaciones de n elementos tomados en grupos ordenados de tamaño r; VRn,r representa las

mismas variaciones que acabamos de citar pero en el caso en el que pueden repetirse algunos

elementos; Cn,r son las combinaciones de n elementos en grupos de tamaño r y CRn,r hace

referencia a la misma situación pero con repetición de los elementos.

Breviario de Probabilidades para Estadística

12

1.2. ELEMENTOS DEL CALCULO DE PROBABILIDADES

A partir de este momento trabajaremos con “experimentos o experiencias aleatorias”, que

contienen los elementos que aparecen relacionados seguidamente (Canavos, 1988).

Formulario 2. Elementos para establecer probabilidades

Un experimento o experiencia aleatoria es cualquier operación cuyo resultado no puede

ser pronosticado con certeza.

El conjunto E de todos los resultados posibles en una experiencia aleatoria es su

“espacio muestral”.

Un espacio muestral se dice discreto si sus resultados se pueden poner en

correspondencia con el conjunto de los números enteros positivos o un subconjunto

finito del mismo.

Un espacio muestral se dice continuo si no se puede establecer la correspondencia

anterior y contiene infinitos elementos que no son numerables.

Un evento o suceso es un subconjunto del espacio muestral.

El suceso nulo o vacio es aquel que no contiene ningún elemento del espacio muestral,

también se denomina suceso imposible.

El suceso total es el propio E, también se denomina suceso seguro.

Los sucesos que han sido definidos previamente son elementos de un conjunto y como tales,

vamos a poder realizar con ellos determinadas operaciones, que relacionamos a continuación.

Formulario 3. Operaciones con sucesos

Dados A y B, el suceso unión de ambos, se nota AUB y está formado por todos los

elementos de A y de B.

Dados A y B, el suceso intersección de ambos se nota A B y está formado por los

elementos comunes a ambos sucesos.

Dos sucesos A y B se dicen mutuamente excluyentes, incompatibles o disjuntos cuando

la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del otro. Dos sucesos incompatibles

cumplen que A B= .

Si todos los resultados de A están incluidos en B, se dice que A está contenido en B y se

nota


13

El suceso complemento, complementario o contrario de A es aquel cuyos elementos son

todos los elementos del espacio muestral E que no están en A. Lo vamos a notar de la

forma siguiente .

Todos los elementos anteriores se pueden estudiar en cualquier texto de introducción al

cálculo de probabilidades (Canavos, 1988).

1.3. PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA

El concepto de frecuencia relativa descansa en la idea de que una experiencia aleatoria se

puede repetir muchas, en realidad, un número casi indefinido de veces bajo las mismas

circunstancias. Si no se dan esas circunstancias utilizar el concepto de frecuencia relativa para

aproximar probabilidades no es aconsejable. Si se dan dichas circunstancias conforme

aumenta el número de veces que se repite la experiencia, los conceptos “probabilidad” y

“frecuencia relativa” tienden a aproximarse.

Formulario 4. Definición frecuentista de la probabilidad

Si una experiencia se repite n veces bajo las mismas condiciones y nA de los resultados

son favorables a la ocurrencia de un suceso A, se define la probabilidad de A como el

límite siguiente:

1.4. PROBABILIDAD SUBJETIVA

La repetición de una experiencia aleatoria bajo las mismas condiciones es el requisito para

poder aplicar la interpretación frecuentista de la probabilidad, pero existen multitud de

ocasiones en que esa repetición de la experiencia no es posible porque el fenómeno que se

estudia no se presta a repeticiones. Se dan situaciones en que tiene más sentido establecer la

probabilidad de un evento como el grado de creencia con respecto a su ocurrencia.

Suponga que se pregunta a dos aficionados sobre el resultado del partido Sevilla-Betis. A dice

que cree que ganará el Sevilla y está seguro en un 80% mientras que B informa de su grado de

seguridad acerca del mismo suceso, que en este caso es del 70%. La interpretación que


14

haríamos es que A está dispuesto a apostar ocho a dos –o cantidades que respeten dicha

proporción- y B estaría dispuesto a apostar siete a tres –o similar proporción-. De esta forma

la probabilidad subjetiva de ganar el Sevilla para A sería 8/8+2 y para B sería 7/7+3 .

Formulario 5. Probabilidad Subjetiva

La probabilidad subjetiva de un evento establecida por un sujeto es c/(c+d) si dicho

sujeto considera que las apuestas a favor de la afirmación sobre la que se le pide

establecer una probabilidad son de c a d.

Existen diferentes formas de establecer probabilidades subjetivas, para consulta sobre el tema

véase DeFinetti (1970 a y b).

1.5. AXIOMATICA DE KOLMOGOROV Y TEOREMAS BÁSICOS DE LA

PROBABILIDAD

La interpretación clásica de la probabilidad se debe a Kolmogorov; esta forma de

conceptualizar la probabilidad se basa en la repetición de una experiencia aleatoria un número

grande de veces y en la equiprobabilidad de los posibles resultados de dicha experiencia. Es

decir, no resulta recomendable utilizar esta aproximación si no se dan dichas exigencias.

Formulario 6. Axiomática de Kolmogorov

Suponga que en un experimento aleatorio se necesita asignar a un suceso A, del

conjunto (E), su probabilidad. Dicha probabilidad, P(A), será un número que debe

cumplir tres condiciones o axiomas (Amón, 1993; DeFinetti, 1970; Kyburg, 1970;

Kyburg y Smokler, ; Laplace, 1964; Savage, 1954; Tucker, 1973; Von Mises, 1957). La

primera se refiere a que dicha probabilidad siempre ha de ser positiva, la segunda indica

que si el citado suceso ocurrirá con certeza, su probabilidad vale 1, y la tercera indica

que la probabilidad que calculemos de la unión de sucesos disjuntos se puede obtener

como la suma de las probabilidades individuales de los sucesos.

Axioma 1. Para cualquier suceso A (E), P(A) 0

Axioma 2. P(E)=1

Axioma 3. Dada una sucesión infinita de sucesos incompatibles dos a

dos, se verifica


15

1.6. TEOREMAS BASICOS DE LA PROBABILIDAD

Formulario 7. Consecuencias de los axiomas de Kolmogorov

1. La probabilidad de un suceso cualquiera A, es un número menor que 1

2. La probabilidad del suceso complementario de un suceso dado, es igual a

APAP 1

3. La probabilidad del suceso imposible es cero

4. Si un suceso A está incluido en otro B, entonces BPAP

5. La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento

aleatorio vale 1

6. Si A y B son dos sucesos compatibles, BAPBPAPBAP

7. Si A, B y C son tres sucesos compatibles,

CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP

8. Dados i=1,…,n sucesos incompatibles dos a dos, se

verifica

9. Desigualdad de Boole:

1.7. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

El establecimiento de funciones de probabilidad varía según el tipo de espacio muestral que se

maneje. En el caso de espacios muestrales finitos tenemos el planteamiento siguiente.

Formulario 8. Función de probabilidad

Si se tiene un espacio muestral finito establecemos una función de probabilidad que

cumple los axiomas de Kolmogorov y de forma que se asignan probabilidades pi a cada

uno de los sucesos elementales de la forma siguiente:

1. 0 pi 1

2.

Según lo anterior, la probabilidad de un suceso se obtendrá como la suma de las

probabilidades de los sucesos elementales que lo forman.

Si el espacio muestral es finito con n resultados posibles y equiprobable, cada pi=1/n

luego si un suceso A contiene k resultados elementales, su probabilidad vale


16

P(A)=k/n, que se conoce como definición clásica de Laplace.

En el caso de espacios muestrales infinitos o no numerables, la probabilidad de un

suceso se establece a partir de las dos condiciones anteriores de forma que su valor

es el cociente entre la medida del suceso dividido por la medida del espacio

muestral.

Probabilidad condicionada

17

CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD CONDICIONADA

2.1. SUCESOS CONDICIONADOS Y SUCESOS INDEPENDIENTES

Dado un espacio de probabilidad y un suceso no nulo B, se establece la probabilidad de otro

suceso A condicionado a B, de la forma siguiente:

Formulario 9. Probabilidad condicionada

Dados dos sucesos A y B, se define la probabilidad de A condicionada por B como:

)B(P

)BA(P)B/A(P

A partir de la definición anterior se pueden calcular las probabilidades de intersecciones de

sucesos condicionados.

Formulario 10. Teorema de la multiplicación de probabilidades

Dado un espacio de probabilidad y un conjunto finito de sucesos {A1,…, An}

1. P(Ai Aj)=P(Ai)P(Aj/Ai)

2.

2.2. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Consideremos un espacio de probabilidad y una partición del espacio muestral dada por los

sucesos {Ai, i=1,...,k} , es decir, dichos sucesos cumplen las dos propiedades siguientes:

1.

2.


18

Formulario 11. Teorema de la Probabilidad Total

Bajo las hipótesis enunciadas anteriormente, la probabilidad de cualquier suceso B

viene dada por:

k

i

ii ABPAPBP1

/

Para consulta véase Cramer (1955), Feller (1957), Lindley (1980) y Savage (1954)

2.3. TEOREMA DE BAYES

Considere un experimento aleatorio y su espacio muestral asociado S. Sea Ai (i=1,...,k)

una partición del espacio muestral de forma que las probabilidades P(Ai) son valores

conocidos. Sea B un suceso cualquiera del espacio muestral, del que conocemos las

probabilidades P(B/Ai).

El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades P(Ai/B), del modo siguiente:

Formulario 12. Teorema de Bayes

i ii

iii

ABPAP

ABPAPBAP

)/()·()/()·(

)/(

Las probabilidades P(Ai) se denominan usualmente probabilidades iniciales, y P(Ai/B)

probabilidades finales, que se calcularán conocida la información P(B/Ai), también llamadas

verosimilitudes. Para consulta véase Cramer (1955), Feller (1957), Lindley (1980) y Savage

(1954).

2.4. SUCESOS INDEPENDIENTES

Dos sucesos se dicen independientes si la ocurrencia de uno no afecta para nada a la

ocurrencia del otro.

Probabilidad condicionada

19

Formulario 13. Independencia de Sucesos

Dos sucesos A y B se dicen independientes si la probabilidad de ocurrencia de

cualquiera de ellos no cambia por el hecho de que haya ocurrido el otro. Es decir:

A y B son independientes si y sólo si P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B)

Lo que equivale a establecer que:

A y B son independientes si y sólo si )()·()( BPAPBAP

Para consulta y realizar prácticas, ver Amón (1993), Cramer (1955), Feller (1957), Lindley

(1980), Quesada, Isidoro y López (1984) y Savage (1954).

Variable aleatoria

21

CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA

3.1. VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es una función que asigna a cada uno de los resultados elementales de

una experiencia aleatoria, un número real con una serie de condiciones.

Formulario 14. Clasificación de las variables aleatorias

En función de su recorrido las variables aleatorias se clasifican en dos tipos:

1. Discretas si su recorrido es finito o infinito numerable (espacio muestral finito o

infinito numerable).

2. Continuas si su recorrido –espacio muestral- continuo.

Ver Amón (1993) y Feller (1957)

3.2. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Formulario 15. Función de probabilidad de una variable discreta

Dada una variable aleatoria discreta X, su función de probabilidad es una función f

que para cualquier número real x cumple:

f(x)=P(X=x) para cualquier x que es un valor posible de X

f(x)=0 para cualquier x que no es valor posible de X


3.3. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Formulario 16. Propiedades de la función de probabilidad

1. Si X toma valores x1, x2, ... , xn, entonces ni

1ii 1)x(f

2. Si a<b<c, entonces P(a X c)=P(a X b)+P(b X c)


22

3.4. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Formulario 17. Función de distribución de una variable discreta

La función de distribución F de una variable aleatoria X es una función definida para

cada número real x, del modo siguiente:

F(x) = P(X x) para - x

Para consultas ver Amón (1993) y Feller (1957)

3.5. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Formulario 18. Propiedades de la función de distribución

1. F(x) es no decreciente a medida que x crece, es decir, x1<x2 F(x1) F(x2)

2. limx - F(x)=0 y limx + F(x)=1

3. F(x) siempre es continua por la derecha, es decir, F(x)=F(x+) en todo punto x

4. P(a<x b)=F(b) – F(a)

5. P(X>x)=1-F(x)

6. P(X b)=P(X a)+P(a<X b)

3.6. CARACTERÍSTICAS DE POSICIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La posición de una variable aleatoria es la ubicación de la misma en el eje real, de modo que

su estudio se realiza habitualmente a partir de dos conceptos diferentes el de “centro” de la

distribución de la variable y el de posicionamiento propiamente dicho de la misma. Los

indicadores teóricos que nos permiten hablar del centro o del posicionamiento de la variable

aleatoria considerada se encuentran en el formulario siguiente:

Formulario 19. Parámetros en una variable aleatoria discreta

La media, esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta

viene definida por:

E[X]= ipi·xi

Variable aleatoria

23

Los cuantiles de una variable aleatoria discreta son valores de la variable que dejan por

debajo una probabilidad determinada. Los más utilizados son los siguientes:

La mediana de una variable aleatoria discreta será el valor x en el que se cumple que

F(x)=0.5

Los cuartiles son tres y dividen en cuatro partes iguales la distribución de frecuencias.

Son los valores “x” de la variable en los que se cumple F(x)=0,25 F(x)=0,5 y F(x)=0,75

Los deciles son nueve y divididen en diez partes iguales la distribución de frecuencias,

estableciéndose para ellos ecuaciones del tipo F(x)=0,10 …… F(x)=0,90

Los percentiles o centiles son noventa y nueve y dividen en cien partes iguales la

distribución de frecuencias. En este caso se posiciona la variable desde el valor x que

cumple F(x)=0,01 hasta el valor x que cumple F(x)=0,99.

La moda en dicha variable será el valor de x en el que la función de probabilidad de la

misma alcanza un máximo absoluto o relativo

3.7. DISPERSIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La dispersión de una variable aleatoria es el grado de separación de sus datos. Existen

diferentes indicadores para valorar el grado de variabilidad de una variable aleatoria, algunos

de los cuales se incluyen en el formulario siguiente:

Formulario 20. Índices de Dispersión de una variable aleatoria discreta

La desviación absoluta media de una variable aleatoria discreta es:

XEXAD ..


24

La varianza de una variable aleatoria discreta es:

V(X)=E{(X- )2}

La desviación típica de una variable aleatoria discreta es la raíz cuadrada de su

varianza. Se tiene:

XVX

El coeficiente de variación de una variable aleatoria discreta es:

100..XE

XXVC

El recorrido de una variable es el rango de definición de la misma, es decir, los valores

que puede tomar. Se pueden establecer diferentes tipos de recorridos, entre cuartiles,

entre deciles, entre percentiles, etc.

3.8. PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO

Formulario 21. Propiedades del valor esperado

1. E[aX]=aE[X]

2. E[X+a]=E[X]+a

3.E[X±Y]=E[X]±E[Y]

Variable aleatoria

25

3.9. PROPIEDADES DE LA VARIANZA

Formulario 22. Propiedades de la varianza

1. V(X)=0 si X es una constante

2. V(X)=E[X2]-{E[X]}2

3. V(aX+b)=a2V(X)

3.10. DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Formulario 23. Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua

El cociente entre la masa de probabilidad de un intervalo dado y su amplitud, se llama

densidad de probabilidad. La función de densidad de una variable aleatoria X, es aquella

función f que se obtiene como límite de la densidad de probabilidad, cuando el intervalo

en que se define tiende a cero (Amón, 1993; Feller, 1957). La función de densidad así

definida, tiene dos propiedades:

1. f(x) es una función no negativa.

2. 1dx)x(f

La función de densidad permite el cálculo de probabilidades en un intervalo de valores

de la variable, así, P(a X b) = b

a

dx)x(f

Obsérvese que en el caso de variables continuas, se da la condición siguiente:

3. xxXP 0


26

3.11. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Formulario 24. Función de distribución de una variable aleatoria continua

La función de distribución de una variable aleatoria continua X es la función F que

asigna a cada x X la probabilidad de que la variable tome valores por debajo de x.

x

dx)x(f)xX(P)x(F


3.12. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE

ALEATORIA CONTINUA

Formulario 25. Propiedades de la Función de distribución

La función de distribución tiene las siguientes propiedades:

1. F(x) es una función monótona no decreciente

2. Limx - F(x) = 0

3. Limx F(x) = 1

4. )()()()()( aFbFaXPbXPbXaP

5. RxxFxXP 1

6. babXaPaXPbXP

3.13. PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Formulario 26. Parámetros de una variable aleatoria continua

1. La media, esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria

continua se define como:

E[X]= dx)x(xf

2. La varianza de una variable aleatoria continua X, se define como:

Variable aleatoria

27

dx)x(f)XEx()X(V 2

3.14.TIPIFICACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Formulario 27. Tipificación de una variable aleatoria

Sea X una variable aleatoria con media µ y desviación típica . La variable aleatoria

tipificada Z es aquella que se consigue del modo siguiente:

XZ

10 ZVarZE

Variables aleatorias discretas: modelos probabilísticos

29


ALEATORIA DISCRETA

4.1. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Formulario 28. Familia de distribuciones de Bernoulli

Suponga un experimento en el que sólo hay dos posibles resultados, como cara o cruz,

éxito o fracaso, presencia o ausencia, defectuoso o no defectuoso, que se pueden

designar como 0 o 1.

Una variable aleatoria X que toma los valores 1 y 0, con probabilidades p y q (1-p=q),

que representan cada uno de los dos posibles resultados del experimento aleatorio citado

anteriormente, se dice que tiene una distribución de Bernoulli con parámetro p.

X B(p)

Así, el lanzamiento de una moneda al aire es una prueba de Bernoulli, donde los dos

resultados posibles son “salir cara” y “salir cruz”, y cuyas probabilidades de ocurrencia

son p=1/2=q.

La función de probabilidad de una variable de Bernoulli, tiene la forma siguiente:

f(x)=px·q1-x

La función de distribución de la variable X, tiene la forma siguiente:

F(x)=P(X x)= xpx·q1-x

Los parámetros esperanza matemática y varianza de X toman los valores siguientes:

E[X]=p Var(X)=p·q

Ver Evans, Hasting y Peacock, 1993 y Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b


30

4.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Formulario 29. Distribución Binomial

Suponga que se realizan n pruebas independientes de Bernoulli en las que la

probabilidad de éxito, p, se mantiene constante. Es decir, considere la variable X

definida como el número de éxitos en las n pruebas de Bernoulli, X=X1+...+Xn. La

variable así definida sigue una distribución binomial de parámetros n y p.

X B(n,p)

La función de probabilidad de una variable binomial, tiene la forma siguiente:

f(x)=Cn,xpx·qn-x

La función de distribución de una variable binomial, se calcula a partir de la función

de probabilidad, como sigue:

F(k)=P(X k)= x kCn,xpx·qn-x

Los parámetros valor esperado y varianza de la variable X, tienen los valores

siguientes:

E[X]=n·p V(X)=n·p·q



31

4.3. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Formulario 30. Distribución Hipergeométrica

Suponga una urna con A bolas rojas y B bolas azules, y el experimento aleatorio que

consiste en realizar n extracciones sin reemplazamiento de la urna. La variable X,

número de bolas rojas que se obtienen, sigue una distribución hipergeométrica con

parámetros A, B y n.

)n,B,A(HX

La función de probabilidad de una distribución hipergeométrica tiene la forma

siguiente:

BAn

Bxn

Ax)xX(P)x(f

La función de distribución de una variable hipergeométrica X, se obtiene acumulando

en la función de probabilidad, del modo siguiente:

kxBA

n

Bxn

Ax)kX(P)k(F

Los valores de los parámetros valor esperado y varianza para la variable X

hipergeométrica, son:

BA

nAXE

1BA

nBA

)BA(

nAB)X(V

2



32

4.4. DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Formulario 31. Familia de distribuciones de Poisson

Una variable aleatoria X, que tiene una distribución binomial con parámetros n y p, en

la que n y p 0, es decir, en la que n es muy grande y p muy pequeña, se dice que

tiene una distribución de Poisson de parámetro =np.

X P( )

La función de probabilidad de una variable que sigue una ley de Poisson de parámetro

, tiene la forma siguiente:

!)(

x

exf

x

La función de distribución de una variable de Poisson, se obtiene como se indica

seguidamente:

kx

x

x

ekF

!)(

Los parámetros esperanza matemática y varianza para la variable X, son los

siguientes:

E[X]= V(X)=



33

4.5. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Formulario 32. Familia de distribuciones Binomial Negativa

Suponga una sucesión de pruebas independientes con dos posibles resultados, éxito y

fracaso, con probabilidades p y q respectivamente (q=1-p). La variable X: número de

fracasos que ocurren antes de que se obtengan r éxitos, sigue una distribución binomial

negativa de parámetros r y p.

BN(r, p)

La función de probabilidad de la variable X, que sigue una ley Binomial negativa,

tiene la forma siguiente:

xrxrx qpxf ·)( 1

para x=0,1, 2, ...... y cero en otro caso.

La función de distribución de la variable X, se obtiene calculando la correspondiente

probabilidad acumulada.

kx

xrxr

x qpkF ·)( 1

Los valores para la esperanza matemática y la varianza de X, serían:

p

qrXE

·2

·p

qrXV



34

4.6. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA O DISTRIBUCIÓN DE PASCAL

Formulario 33. Familia de distribuciones Geométricas

La variable aleatoria X tiene una distribución geométrica con parámetro p, si sigue una

distribución binomial negativa con r =1.

G(p)=BN(1, p)

La función de probabilidad de X vale:

xqpxf ·)(

para x=0, 1, 2, ..... y cero en otro caso.

La función de distribución de una variable X que sigue una distribución geométrica,

tiene la forma siguiente:

kx

xqpkF ·)(

Los valores de los parámetros esperanza matemática y varianza, en este caso son los

siguientes:

p

qXE

2p

qXV


Variables aleatorias continuas: modelos probabilísticos

35


ALEATORIA CONTINUA

5.1. FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES

5.1.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL

La distribución más importante en Estadística, debido a las propiedades matemáticas que

tiene, es la distribución Normal; si se selecciona una muestra de una distribución Normal,

estaremos en las condiciones de aplicación de casi todas las técnicas de Inferencia Estadística.

Formulario 34. Familia de distribuciones Normales

Una variable continua X sigue una distribución ),(N 2 , una distribución Normal con

media y varianza 2, si su función de densidad de probabilidad es la siguiente:

xparaexf

x2

2

1

2

1)(

Propiedades:

- La distribución Normal es simétrica respecto al punto x=

- Alcanza su máximo en x=

- Tiene dos puntos de inflexión en x= + y x= -

- Tiene forma de campana

- Si una variable aleatoria X tiene una distribución Normal, cualquier combinación de

X tiene una distribución Normal

- Si las variables aleatorias X1, ..., Xk son independientes y cada Xi ),(N 2ii la

suma X1+...+Xk sigue una distribución Normal con media 1+ 2+...+ k y varianza

12+ 2

2+...+ k2



36

5.1.2. DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA

Formulario 35. La distribución Normal tipificada

S X ),(N 2 y se realiza una tipificación de la variable, la variable X

Z sigue

una distribución tipificada, es decir, Z N(0,1)

5.2. APROXIMACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, POISSON Y

NORMAL

En ocasiones no se dispone de la tabulación completa de los modelos de probabilidad

expuestos hasta el momento o, sencillamente, se trabaja de forma más cómoda con unos

modelos que con otros. Para determinados valores de sus parámetros, las distribuciones

Binomial y Poisson se pueden aproximar una por otra, o por la distribución Normal. Los

casos de aproximación más usuales son los siguientes:

Formulario 36. Aproximación entre distribuciones de probabilidad

APROXIMACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, POISSON Y

NORMAL

( ) (a) n.p= n 20 p 0,01

(a)

B(n,p) (c) (b) n.p>5

(b) ),(N 2 (c) >10 = 2 =

Variables aleatorias continuas: modelos probabilísticos

37

5.3. DISTRIBUCIONES CONTINUAS QUE SE CONSTRUYEN A PARTIR DE LA

NORMAL

A continuación se introducen tres familias de distribuciones que cumplen con todas las

condiciones que se reflejaron al inicio de este apartado, son modelos para variables aleatorias

continuas. No obstante, las vamos a presentar como modelos algo distintos a los anteriores. Se

trata de distribuciones derivadas de la Normal, es decir, son variables que resultan de realizar

ciertas operaciones efectuadas entre variables Normales (Evans, Hasting y Peacock, 1993 y

Johnson Kotz y Balakrishnan, 1994a y b).

5.3.1. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

Formulario 37. Distribución Chi-cuadrado

Una variable continua X sigue una distribución Chi-cuadrado con n grados de libertad,

y se nota 2n si se obtiene del modo siguiente:

2nX si )1,0(NZ.q.tZ...ZZX i

2n

22

21

Los valores de los parámetros esperanza matemática y varianza son:

nXE y nXV ·2

5.3.2. DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

Formulario 38. Distribución t-Student

Una variable continua X sigue una distribución t con n grados de libertad, y se nota tn, si

se obtiene del modo siguiente:

X tn si )1,0(NZyW.q.t

n

W

ZX 2

n

Los valores de los parámetros esperanza matemática y varianza para este caso son:

E[tn]=0 y2n

ntV n


38

5.3.3. DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR

Formulario 39. Distribución F de Fisher-Snedecor

Una variable continua X sigue una distribución F, con n1 y n2 grados de libertad, y se

nota21 n,nF , si se obtiene del modo siguiente:

X21 n,nF si 2

ni

2

2

1

1

iW.q.t

nW

nW

X

Sus parámetros son:

2n

nXE

2

2 y2

221

2122

)2n)(4n(n

)2nn(n2XV

Distribuciones Binomial y Poisson

39

CAPÍTULO 6. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS

DISCRETOS

6.1. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES

DISCRETAS

En este capítulo se incluyen las tablas de probabilidades de los modelos Binomial y

Poisson, incluidos previamente en el Capítulo 4, en los formularios 29 y 31, respectivamente.

En la Tabla 1 se incluyen los valores de la función de probabilidad Binomial para valores de n

inferiores o iguales a 25, siendo la Tabla 2 la que contiene los valores de la función de

distribución Binomial. En la Tabla 3 se recogen los valores de la función de probabilidad de

una distribución de Poisson y en la Tabla 4 se incluyen los valores de su función de

distribución.

6.2. GRÁFICOS DE MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES DISCRETAS

En el gráfico siguiente se muestra la distribución Binomial para p=0,5 y valores de n

iguales a 10, 20, 50 y 100.

Prob. de Even0,5,100,5,200,5,500,5,100

Binomial Distribución

x

pro

babili

da

d

0 20 40 60 80 100

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25


40

En el gráfico siguiente se muestra la distribución de Poisson para valores del

parámetro que oscilan entre =1 y =20.

En los dos gráficos se puede observar que la distribución se va asemejando más a la

campana de Gauss conforme aumenta el tamaño muestral, como consecuencia del teorema

central del límite, lo que también se puede comprobar en los valores de probabilidad que

aparecen en las tablas que se incluyen a continuación (Evans, Hastings y Peacock, 1993.

6.3. TABLAS DE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON

Se incluyen seguidamente las tablas de los valores de las funciones de probabilidad y

de distribución, de las familias Binomial y de Poisson, correspondientes a las probabilidades

puntuales y acumuladas de los valores de la variable para valores de los parámetros en que

dichos modelos no pueden ser aproximados por otros modelos probabilísticos.

Media151020

Poisson Distribución

x

pro

babili

da

d

0 10 20 30 40 50

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Tabla 1. Distribución Binomial P(X=k)

41

TABLA 1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL P(X=k)

xnx ppx

nxfpnBX 1,

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

k

0 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05

1 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

0 0.9025 0.8100 0.6400 0.4900 0.3600 0.25 0.1600 0.0900 0.0400 0.0100 0.0025

1 0.095 0.1800 0.3200 0.4200 0.4800 0.5 0.4800 0.4200 0.3200 0.1800 0.0950

2 0.0025 0.0100 0.0400 0.09 0.1600 0.25 0.3600 0.4900 0.6400 0.8100 0.9025

0 0.8574 0.7290 0.5120 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.0080 0.0010 0.0001

1 0.1354 0.2430 0.3840 0.4410 0.4320 0.3750 0.2880 0.1890 0.0960 0.0270 0.0071

2 0.0071 0.0270 0.0960 0.1890 0.2880 0.3750 0.4320 0.4410 0.3840 0.2430 0.1354

3 0.0001 0.0010 0.0080 0.0270 0.0640 0.1250 0.2160 0.3430 0.5120 0.7290 0.8574

0 0.8145 0.6561 0.4096 0.2401 0.1296 0.0625 0.0256 0.0081 0.0016 0.0001 0.0000

1 0.1715 0.2916 0.4096 0.4116 0.3456 0.2500 0.1536 0.0756 0.0256 0.0036 0.0005

2 0.0135 0.0486 0.1536 0.2646 0.3456 0.3750 0.3456 0.2646 0.1536 0.0486 0.0135

3 0.0005 0.0036 0.0256 0.0756 0.1536 0.2500 0.3456 0.4116 0.4096 0.2916 0.1715

4 0.0000 0.0001 0.0016 0.0081 0.0256 0.0625 0.1296 0.2401 0.4096 0.6561 0.8145

0 0.7738 0.5905 0.3277 0.1681 0.0777 0.0312 0.0102 0.0024 0.0003 0.0000 0.0000

1 0.2036 0.3280 0.4096 0.3601 0.2592 0.1562 0.0768 0.0283 0.0064 0.0004 0.0001

2 0.0214 0.0729 0.2048 0.3087 0.3456 0.3125 0.2304 0.1323 0.0512 0.0081 0.0011

3 0.0011 0.0081 0.0512 0.1323 0.2304 0.3125 0.3456 0.3087 0.2048 0.0729 0.0214

4 0.0000 0.0004 0.0064 0.0283 0.0768 0.1562 0.2592 0.3601 0.4096 0.3280 0.2036

5 0.0000 0.0000 0.0003 0.0024 0.0102 0.0312 0.0778 0.1681 0.3277 0.5905 0.7738

0 0.7351 0.5314 0.2621 0.1176 0.0466 0.0156 0.0041 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.2321 0.3543 0.3932 0.3025 0.1866 0.0937 0.0369 0.0102 0.0015 0.0000 0.0000

2 0.0305 0.0984 0.2458 0.3241 0.3110 0.2344 0.1382 0.0595 0.0153 0.0012 0.0001

3 0.0021 0.0146 0.0819 0.1852 0.2765 0.3125 0.2765 0.1852 0.0819 0.0146 0.0021

4 0.0000 0.0012 0.0154 0.0595 0.1382 0.2344 0.3110 0.3241 0.2457 0.0984 0.0305

5 0.0000 0.0000 0.0015 0.0102 0.0369 0.0937 0.1866 0.3025 0.3932 0.3543 0.2321

6 0.0000 0.0000 0.0001 0.0007 0.0041 0.0156 0.0466 0.1176 0.2621 0.5314 0.7351

0 0.6983 0.4783 0.2097 0.0823 0.0280 0.0078 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.2573 0.3720 0.3670 0.2471 0.1306 0.0547 0.0172 0.0036 0.0003 0.0000 0.0000

2 0.0406 0.1240 0.2752 0.3176 0.2613 0.1641 0.0774 0.0250 0.0043 0.0002 0.0000

3 0.0036 0.0230 0.1147 0.2269 0.2903 0.2734 0.1935 0.0972 0.0287 0.0025 0.0002

4 0.0002 0.0025 0.0287 0.0972 0.1935 0.2734 0.2903 0.2269 0.1147 0.0230 0.0036

5 0.0000 0.0002 0.0043 0.0250 0.0774 0.1641 0.2613 0.3176 0.2752 0.1240 0.0406

6 0.0000 0.0000 0.0003 0.0036 0.0172 0.0547 0.1306 0.2471 0.3670 0.3720 0.2573

7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0016 0.0078 0.0280 0.0823 0.2097 0.4783 0.6983


42

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=8

n=9

n=10

n=11

k

0 0.6634 0.4304 0.1678 0.0576 0.0168 0.0039 0.0006 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.2793 0.3826 0.3355 0.1976 0.0896 0.0312 0.0079 0.0012 0.0001 0.0000 0.0000

2 0.0514 0.1488 0.2936 0.2965 0.2090 0.1094 0.0413 0.0100 0.0011 0.0000 0.0000

3 0.0054 0.0331 0.1468 0.2541 0.2787 0.2187 0.1239 0.0467 0.0092 0.0004 0.0000

4 0.0003 0.0046 0.0459 0.1361 0.2322 0.2734 0.2322 0.1361 0.0459 0.0046 0.0003

5 0.0000 0.0004 0.0092 0.0467 0.1239 0.2187 0.2787 0.2541 0.1468 0.0331 0.0054

6 0.0000 0.0000 0.0011 0.0100 0.0413 0.1094 0.2090 0.2965 0.2936 0.1488 0.0514

7 0.0000 0.0000 0.0001 0.0012 0.0079 0.0312 0.0896 0.1976 0.3355 0.3826 0.2793

8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0039 0.0168 0.0576 0.1678 0.4305 0.6634

0 0.6302 0.3874 0.1342 0.0403 0.0101 0.0019 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.2985 0.3874 0.3020 0.1556 0.0605 0.0176 0.0035 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.0628 0.1722 0.3020 0.2668 0.1612 0.0703 0.0212 0.0038 0.0003 0.0000 0.0000

3 0.0077 0.0446 0.1762 0.2668 0.2508 0.1641 0.0743 0.0210 0.0027 0.0001 0.0000

4 0.0006 0.0074 0.0661 0.1715 0.2508 0.2461 0.1672 0.0735 0.0165 0.0008 0.0000

5 0.0000 0.0008 0.0165 0.0735 0.1672 0.2461 0.2508 0.1715 0.0661 0.0074 0.0006

6 0.0000 0.0001 0.0027 0.0210 0.0743 0.1641 0.2508 0.2668 0.1762 0.0446 0.0077

7 0.0000 0.0000 0.0003 0.0038 0.0212 0.0703 0.1612 0.2668 0.3020 0.1722 0.0628

8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0035 0.0176 0.0605 0.1556 0.3020 0.3874 0.2985

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0019 0.0101 0.0403 0.1342 0.3874 0.6302

0 0.5987 0.3487 0.1074 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3151 0.3874 0.2684 0.1211 0.0403 0.0098 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.0746 0.1937 0.3020 0.2335 0.1209 0.0439 0.0106 0.0014 0.0001 0.0000 0.0000

3 0.0105 0.0574 0.2013 0.2668 0.2150 0.1172 0.0425 0.0090 0.0008 0.0000 0.0000

4 0.0010 0.0112 0.0881 0.2001 0.2508 0.2051 0.1115 0.0367 0.0055 0.0001 0.0000

5 0.0001 0.0015 0.0264 0.1029 0.2006 0.2461 0.2006 0.1029 0.0264 0.0015 0.0001

6 0.0000 0.0001 0.0055 0.0367 0.1115 0.2051 0.2508 0.2001 0.0881 0.0112 0.0010

7 0.0000 0.0000 0.0008 0.0090 0.0425 0.1172 0.2150 0.2668 0.2013 0.0574 0.0105

8 0.0000 0.0000 0.0001 0.0014 0.0106 0.0439 0.1209 0.2335 0.3020 0.1937 0.0746

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0098 0.0403 0.1211 0.2684 0.3874 0.3151

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0010 0.0060 0.0282 0.1074 0.3487 0.5987

0 0.5688 0.3138 0.0859 0.0198 0.0036 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3293 0.3835 0.2362 0.0932 0.0266 0.0054 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.0866 0.2131 0.2953 0.1997 0.0887 0.0268 0.0052 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0137 0.0710 0.2214 0.2568 0.1774 0.0806 0.0233 0.0037 0.0002 0.0000 0.0000

4 0.0014 0.0158 0.1107 0.2201 0.2365 0.1611 0.0701 0.0173 0.0017 0.0000 0.0000

5 0.0001 0.0024 0.0387 0.1321 0.2207 0.2256 0.1471 0.0566 0.0097 0.0003 0.0000

6 0.0000 0.0002 0.0097 0.0566 0.1471 0.2256 0.2207 0.1321 0.0387 0.0024 0.0001

7 0.0000 0.0000 0.0017 0.0173 0.0701 0.1611 0.2365 0.2201 0.1107 0.0158 0.0014

8 0.0000 0.0000 0.0002 0.0037 0.0233 0.0806 0.1774 0.2568 0.2214 0.0710 0.0137

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0052 0.0268 0.0887 0.1997 0.2953 0.2131 0.0866

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0053 0.0266 0.0932 0.2362 0.3835 0.3293

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0036 0.0198 0.0859 0.3138 0.5688


43

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=12

n=13

n=14

k

0 0.5404 0.2824 0.0687 0.0138 0.0022 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3413 0.3766 0.2061 0.0712 0.0174 0.0029 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.0988 0.2301 0.2835 0.1678 0.0638 0.0161 0.0025 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0173 0.0852 0.2362 0.2397 0.1419 0.0537 0.0124 0.0015 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0020 0.0213 0.1329 0.2311 0.2128 0.1208 0.0420 0.0078 0.0005 0.0000 0.0000

5 0.0002 0.0038 0.0531 0.1585 0.2270 0.1933 0.1009 0.0291 0.0033 0.0000 0.0000

6 0.0000 0.0005 0.0155 0.0792 0.1766 0.2256 0.1766 0.0792 0.0155 0.0005 0.0000

7 0.0000 0.0001 0.0033 0.0291 0.1009 0.1933 0.2270 0.1585 0.0531 0.0038 0.0002

8 0.0000 0.0000 0.0005 0.0078 0.0420 0.1208 0.2128 0.2311 0.1329 0.0213 0.0020

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 0.0124 0.0537 0.1419 0.2397 0.2362 0.0852 0.0173

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0025 0.0161 0.0638 0.1678 0.2835 0.2301 0.0988

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0029 0.0174 0.0712 0.2061 0.3766 0.3413

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0022 0.0138 0.0687 0.2824 0.5404

0 0.5133 0.2542 0.0550 0.0097 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3512 0.3671 0.1787 0.0540 0.0113 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1109 0.2448 0.2680 0.1388 0.0453 0.0095 0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0214 0.0997 0.2457 0.2181 0.1107 0.0349 0.0065 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0028 0.0277 0.1535 0.2337 0.1845 0.0873 0.0243 0.0034 0.0001 0.0000 0.0000

5 0.0003 0.0055 0.0691 0.1803 0.2213 0.1571 0.0656 0.0142 0.0011 0.0000 0.0000

6 0.0000 0.0008 0.0230 0.1030 0.1967 0.2095 0.1312 0.0441 0.0057 0.0001 0.0000

7 0.0000 0.0001 0.0057 0.0441 0.1312 0.2095 0.1967 0.1030 0.0230 0.0008 0.0000

8 0.0000 0.0000 0.0011 0.0142 0.0656 0.1571 0.2213 0.1803 0.0691 0.0055 0.0003

9 0.0000 0.0000 0.0001 0.0034 0.0243 0.0873 0.1845 0.2337 0.1535 0.0277 0.0028

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0065 0.0349 0.1107 0.2181 0.2457 0.0997 0.0214

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0012 0.0095 0.0453 0.1388 0.2680 0.2448 0.1109

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0113 0.0540 0.1787 0.3671 0.3512

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0013 0.0097 0.0550 0.2542 0.5133

0 0.4877 0.2288 0.0440 0.0068 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3593 0.3559 0.1539 0.0407 0.0073 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1229 0.2570 0.2501 0.1133 0.0317 0.0055 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0259 0.1142 0.2501 0.1943 0.0845 0.0222 0.0033 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0037 0.0349 0.1720 0.2290 0.1549 0.0611 0.0136 0.0014 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0004 0.0077 0.0860 0.1963 0.2066 0.1222 0.0408 0.0066 0.0033 0.0000 0.0000

6 0.0000 0.0013 0.0322 0.1262 0.2066 0.1833 0.0918 0.0232 0.0020 0.0000 0.0000

7 0.0000 0.0002 0.0092 0.0618 0.1574 0.2095 0.1574 0.0618 0.0092 0.0002 0.0000

8 0.0000 0.0000 0.0020 0.0232 0.0918 0.1833 0.2066 0.1262 0.0322 0.0013 0.0000

9 0.0000 0.0000 0.0003 0.0066 0.0408 0.1222 0.2066 0.1963 0.0860 0.0077 0.0004

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0014 0.0136 0.0611 0.1549 0.2290 0.1720 0.0349 0.0037

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0033 0.0222 0.0845 0.1943 0.2501 0.1142 0.0259

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0055 0.0317 0.1134 0.2501 0.2570 0.1229

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0073 0.0407 0.1539 0.3559 0.3594

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0068 0.0440 0.2288 0.4877


44

P 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=15

n=16

n=17

k

0 0.4633 0.2059 0.0351 0.0047 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3657 0.3431 0.1319 0.0305 0.0047 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1347 0.2669 0.2309 0.0916 0.0219 0.0032 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0307 0.1285 0.2501 0.1700 0.0634 0.0139 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0048 0.0428 0.1876 0.2186 0.1268 0.0416 0.0074 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0006 0.0105 0.1032 0.2061 0.1859 0.0916 0.0245 0.0030 0.0001 0.0000 0.0000

6 0.0000 0.0019 0.0430 0.1472 0.2066 0.1527 0.0612 0.0116 0.0007 0.0000 0.0000

7 0.0000 0.0003 0.0138 0.0811 0.1771 0.1964 0.1180 0.0348 0.0034 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0000 0.0034 0.0348 0.1180 0.1964 0.1771 0.0811 0.0138 0.0003 0.0000

9 0.0000 0.0000 0.0007 0.0116 0.0612 0.1527 0.2066 0.1472 0.0430 0.0019 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0001 0.0030 0.0245 0.0916 0.1860 0.2061 0.1032 0.0105 0.0006

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0074 0.0416 0.1268 0.2186 0.1876 0.0428 0.0048

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0139 0.0634 0.1700 0.2501 0.1285 0.0307

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0032 0.0220 0.0916 0.2309 0.2669 0.1347

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0047 0.0305 0.1319 0.3431 0.3657

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0047 0.0352 0.2059 0.4633

0 0.4401 0.1853 0.0281 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3706 0.3294 0.1126 0.0228 0.0030 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1463 0.2745 0.2111 0.0732 0.0150 0.0018 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0359 0.1423 0.2463 0.1465 0.0468 0.0085 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0061 0.0514 0.2001 0.2040 0.1014 0.0278 0.0039 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0008 0.0137 0.1201 0.2099 0.1623 0.0666 0.0142 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0001 0.0028 0.0550 0.1649 0.1983 0.1222 0.0392 0.0056 0.0002 0.0000 0.0000

7 0.0000 0.0004 0.0196 0.1010 0.1889 0.1746 0.0839 0.0185 0.0012 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0000 0.0055 0.0487 0.1417 0.1964 0.1417 0.0487 0.0055 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0000 0.0012 0.0185 0.0839 0.1746 0.1889 0.1010 0.0196 0.0004 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0002 0.0056 0.0392 0.1222 0.1983 0.1649 0.0550 0.0028 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0142 0.0666 0.1623 0.2099 0.1201 0.0137 0.0008

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0039 0.0278 0.1014 0.2040 0.2001 0.0514 0.0061

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0085 0.0468 0.1465 0.2463 0.1423 0.0359

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0018 0.0150 0.0732 0.2111 0.2745 0.1463

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0030 0.0228 0.1126 0.3294 0.3706

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0033 0.0281 0.1853 0.4401

0 0.4181 0.1668 0.0225 0.0023 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3741 0.3150 0.0957 0.0169 0.0019 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1575 0.2800 0.1914 0.0581 0.0102 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0414 0.1556 0.2392 0.1245 0.0341 0.0052 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0076 0.0605 0.2093 0.1868 0.0796 0.0181 0.0021 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0010 0.0175 0.1361 0.2081 0.1379 0.0472 0.0081 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0001 0.0039 0.0680 0.1784 0.1839 0.0944 0.0242 0.0026 0.0001 0.0000 0.0000

7 0.0000 0.0007 0.0267 0.1201 0.1927 0.1484 0.0571 0.0094 0.0004 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0001 0.0083 0.0644 0.1605 0.1855 0.1070 0.0276 0.0021 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0000 0.0021 0.0276 0.1070 0.1855 0.1605 0.0644 0.0083 0.0001 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0004 0.0094 0.0571 0.1484 0.1926 0.1201 0.0267 0.0007 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0001 0.0026 0.0242 0.0944 0.1839 0.1784 0.0680 0.0039 0.0001

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0081 0.0472 0.1379 0.2081 0.1361 0.0175 0.0010

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0021 0.0181 0.0796 0.1868 0.2093 0.0605 0.0076

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0052 0.0341 0.1245 0.2392 0.1556 0.0414

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0010 0.0102 0.0581 0.1914 0.2800 0.1575

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0019 0.0169 0.0957 0.3150 0.3741

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0023 0.0225 0.1668 0.4181


45

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=18

n=19

k

0 0.3972 0.1501 0.0180 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3763 0.3002 0.0811 0.0126 0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1683 0.2835 0.1723 0.0458 0.0069 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0472 0.1680 0.2297 0.1046 0.0245 0.0031 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0093 0.0700 0.2153 0.1681 0.0614 0.0117 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0013 0.0218 0.1507 0.2017 0.1146 0.0327 0.0045 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0001 0.0052 0.0816 0.1873 0.1655 0.0708 0.0145 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000

7 0.0000 0.0010 0.0350 0.1376 0.1892 0.1214 0.0374 0.0046 0.0001 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0001 0.0120 0.0811 0.1734 0.1669 0.0771 0.0149 0.0007 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0000 0.0033 0.0386 0.1284 0.1855 0.1284 0.0386 0.0033 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0007 0.0149 0.0771 0.1669 0.1734 0.0811 0.0120 0.0001 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0001 0.0046 0.0374 0.1214 0.1892 0.1376 0.0350 0.0010 0.0000

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0012 0.0145 0.0708 0.1655 0.1873 0.0816 0.0052 0.0001

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0045 0.0327 0.1146 0.2017 0.1507 0.0218 0.0014

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0011 0.0117 0.0614 0.1681 0.2153 0.0700 0.0093

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0031 0.0245 0.1046 0.2296 0.1680 0.0472

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0069 0.0458 0.1723 0.2835 0.1683

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0012 0.0126 0.0811 0.3002 0.3763

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0180 0.1501 0.3972

0 0.3773 0.1351 0.0144 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3773 0.2852 0.0684 0.0093 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1787 0.2852 0.1540 0.0358 0.0046 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0533 0.1795 0.2182 0.0869 0.0175 0.0018 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0112 0.0798 0.2182 0.1490 0.0466 0.0074 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0018 0.0266 0.1636 0.1916 0.0933 0.0222 0.0024 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0002 0.0069 0.0955 0.1916 0.1451 0.0517 0.0085 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000

7 0.0000 0.0014 0.0443 0.1525 0.1797 0.0961 0.0237 0.0022 0.0000 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0002 0.0166 0.0980 0.1797 0.1442 0.0532 0.0077 0.0002 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0000 0.0051 0.0514 0.1464 0.1762 0.0976 0.0220 0.0013 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0013 0.0220 0.0976 0.1762 0.1464 0.0517 0.0051 0.0000 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0002 0.0077 0.0532 0.1442 0.1797 0.0980 0.0166 0.0002 0.0000

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0022 0.0237 0.0961 0.1797 0.1525 0.0443 0.0014 0.0000

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0085 0.0517 0.1451 0.1916 0.0955 0.0069 0.0002

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0024 0.0222 0.0933 0.1916 0.1636 0.0266 0.0018

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0074 0.0466 0.1490 0.2182 0.0798 0.0112

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0018 0.0175 0.0869 0.2182 0.1795 0.0533

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0046 0.0358 0.1540 0.2852 0.1787

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0093 0.0684 0.2852 0.3773

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0011 0.0144 0.1351 0.3773


46

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=20

n=21

k

0 0.3585 0.1216 0.0115 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3773 0.2702 0.0576 0.0068 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1887 0.2852 0.1369 0.0278 0.0031 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0596 0.1901 0.2054 0.0716 0.0123 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0133 0.0898 0.2182 0.1304 0.0350 0.0046 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0022 0.0319 0.1745 0.1789 0.0746 0.0148 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0003 0.0089 0.1091 0.1916 0.1244 0.0370 0.0048 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

7 0.0000 0.0020 0.0545 0.1643 0.1659 0.0739 0.0146 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0003 0.0222 0.1144 0.1797 0.1201 0.0355 0.0038 0.0001 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0000 0.0074 0.0654 0.1597 0.1602 0.0790 0.0120 0.0005 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0020 0.0308 0.1171 0.1762 0.1171 0.0308 0.0020 0.0000 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0005 0.0120 0.0710 0.1602 0.1597 0.0654 0.0074 0.0000 0.0000

12 0.0000 0.0000 0.0001 0.0038 0.0355 0.1201 0.1797 0.1144 0.0222 0.0003 0.0000

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0010 0.0146 0.0739 0.1659 0.1643 0.0545 0.0020 0.0000

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0048 0.0370 0.1244 0.1916 0.1091 0.0089 0.0003

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0148 0.0746 0.1789 0.1745 0.0319 0.0022

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0046 0.0350 0.1304 0.2182 0.0898 0.0133

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0011 0.0123 0.0716 0.2054 0.1901 0.0596

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0031 0.0278 0.1369 0.2852 0.1887

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0068 0.0576 0.2702 0.3773

20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0115 0.1216 0.3585

0 0.3406 0.1094 0.0092 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3764 0.2553 0.0484 0.0050 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.1981 0.2837 0.1210 0.0215 0.0020 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0660 0.1996 0.1917 0.0585 0.0086 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0156 0.0998 0.2156 0.1128 0.0259 0.0028 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0028 0.0377 0.1833 0.1643 0.0588 0.0097 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0004 0.0112 0.1222 0.1878 0.1045 0.0259 0.0027 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

7 0.0000 0.0027 0.0654 0.1725 0.1493 0.0554 0.0087 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0005 0.0286 0.1293 0.1742 0.0970 0.0229 0.0019 0.0000 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0000 0.0103 0.0801 0.1677 0.1401 0.0497 0.0063 0.0002 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0031 0.0412 0.1342 0.1682 0.0894 0.0176 0.0008 0.0000 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0008 0.0176 0.0894 0.1682 0.1342 0.0412 0.0031 0.0000 0.0000

12 0.0000 0.0000 0.0001 0.0063 0.0497 0.1401 0.1677 0.0801 0.0103 0.0001 0.0000

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0019 0.0229 0.0970 0.1742 0.1293 0.0286 0.0005 0.0000

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0087 0.0554 0.1493 0.1725 0.0654 0.0027 0.0000

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0027 0.0259 0.1045 0.1878 0.1222 0.0112 0.0004

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0097 0.0588 0.1643 0.1833 0.0377 0.0028

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0028 0.0259 0.1128 0.2156 0.0998 0.0156

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0086 0.0585 0.1917 0.1996 0.0660

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0020 0.0215 0.1210 0.2837 0.1981

20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0050 0.0484 0.2553 0.3764

21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0092 0.1094 0.3406


47

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=22

n=23

k

0 0.3235 0.0985 0.0073 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3746 0.2407 0.0406 0.0037 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.2070 0.2808 0.1065 0.0166 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0726 0.2080 0.1775 0.0474 0.0060 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0182 0.1098 0.2108 0.0965 0.0190 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0034 0.0439 0.1897 0.1489 0.0456 0.0063 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0005 0.0138 0.1344 0.1808 0.0862 0.0178 0.0015 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7 0.0001 0.0035 0.0768 0.1771 0.1314 0.0407 0.0051 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0007 0.0360 0.1423 0.1642 0.0762 0.0144 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0001 0.0140 0.0949 0.1703 0.1186 0.0336 0.0032 0.0000 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0045 0.0528 0.1476 0.1542 0.0656 0.0097 0.0003 0.0000 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0012 0.0247 0.1073 0.1682 0.1073 0.0247 0.0012 0.0000 0.0000

12 0.0000 0.0000 0.0003 0.0097 0.0656 0.1542 0.1476 0.0528 0.0045 0.0000 0.0000

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0032 0.0336 0.1186 0.1703 0.0949 0.0140 0.0001 0.0000

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0144 0.0762 0.1642 0.1423 0.0360 0.0007 0.0000

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0051 0.0407 0.1314 0.1771 0.0768 0.0035 0.0001

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 0.0178 0.0862 0.1808 0.1344 0.0138 0.0005

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0063 0.0456 0.1489 0.1897 0.0439 0.0034

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0017 0.0190 0.0965 0.2108 0.1098 0.0182

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0060 0.0474 0.1775 0.2080 0.0726

20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0166 0.1065 0.2808 0.2070

21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0037 0.0406 0.2407 0.3746

22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0074 0.0985 0.3235

0 0.3073 0.0886 0.0059 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3721 0.2265 0.0339 0.0027 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.2154 0.2768 0.0933 0.0127 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0793 0.2153 0.1633 0.0381 0.0041 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0209 0.1196 0.2042 0.0817 0.0138 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0042 0.0505 0.1940 0.1331 0.0350 0.0040 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0006 0.0168 0.1455 0.1712 0.0700 0.0120 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7 0.0001 0.0045 0.0883 0.1782 0.1133 0.0292 0.0029 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0010 0.0442 0.1527 0.1511 0.0584 0.0088 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0002 0.0184 0.1091 0.1679 0.0974 0.0221 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0064 0.0654 0.1567 0.1364 0.0464 0.0051 0.0001 0.0000 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0019 0.0331 0.1234 0.1612 0.0823 0.0142 0.0005 0.0000 0.0000

12 0.0000 0.0000 0.0005 0.0142 0.0823 0.1612 0.1234 0.0331 0.0019 0.0000 0.0000

13 0.0000 0.0000 0.0001 0.0051 0.0464 0.1364 0.1567 0.0654 0.0064 0.0000 0.0000

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0016 0.0221 0.0974 0.1679 0.1091 0.0184 0.0002 0.0000

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0088 0.0584 0.1511 0.1527 0.0442 0.0010 0.0000

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0029 0.0292 0.1133 0.1782 0.0883 0.0045 0.0001

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0120 0.0700 0.1712 0.1455 0.0168 0.0006

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0040 0.0350 0.1331 0.1940 0.0505 0.0042

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0010 0.0138 0.0817 0.2042 0.1196 0.0209

20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0041 0.0381 0.1633 0.2153 0.0793

21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0127 0.0933 0.2768 0.2155

22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0027 0.0339 0.2265 0.3721

23 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0059 0.0886 0.3073


48

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=24

n=25

k

0 0.2920 0.0798 0.0047 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3688 0.2127 0.0283 0.0020 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.2232 0.2718 0.0815 0.0097 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0862 0.2215 0.1493 0.0305 0.0028 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0238 0.1292 0.1960 0.0687 0.0099 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0050 0.0574 0.1960 0.1177 0.0265 0.0025 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0008 0.0202 0.1552 0.1598 0.0560 0.0080 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7 0.0001 0.0058 0.0997 0.1761 0.0960 0.0206 0.0017 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0014 0.0530 0.1604 0.1360 0.0438 0.0053 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0003 0.0235 0.1222 0.1611 0.0779 0.0141 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0088 0.0785 0.1611 0.1169 0.0318 0.0026 0.0000 0.0000 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0028 0.0428 0.1367 0.1487 0.0608 0.0079 0.0002 0.0000 0.0000

12 0.0000 0.0000 0.0008 0.0199 0.0987 0.1612 0.0987 0.0199 0.0008 0.0000 0.0000

13 0.0000 0.0000 0.0002 0.0079 0.0608 0.1488 0.1367 0.0428 0.0028 0.0000 0.0000

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0026 0.0318 0.1169 0.1611 0.0785 0.0088 0.0000 0.0000

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0141 0.0779 0.1611 0.1222 0.0235 0.0002 0.0000

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0053 0.0438 0.1360 0.1604 0.0530 0.0014 0.0000

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0017 0.0206 0.0960 0.1761 0.0997 0.0058 0.0001

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0080 0.0560 0.1598 0.1552 0.0202 0.0008

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0025 0.0265 0.1177 0.1960 0.0574 0.0050

20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0099 0.0687 0.1960 0.1292 0.0238

21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0028 0.0305 0.1493 0.2215 0.0862

22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0097 0.0815 0.2718 0.2232

23 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0020 0.0283 0.2127 0.3688

24 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0047 0.0798 0.2920

0 0.2774 0.0718 0.0038 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.3650 0.1994 0.0236 0.0014 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.2305 0.2659 0.0708 0.0074 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0930 0.2265 0.1358 0.0243 0.0019 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0269 0.1384 0.1867 0.0572 0.0071 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0059 0.0646 0.1960 0.1030 0.0199 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.0010 0.0239 0.1633 0.1472 0.0442 0.0053 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7 0.0001 0.0072 0.1108 0.1712 0.0800 0.0143 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0018 0.0623 0.1651 0.1200 0.0322 0.0031 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

9 0.0000 0.0004 0.0294 0.1336 0.1511 0.0609 0.0088 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0001 0.0118 0.0916 0.1611 0.0974 0.0212 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000

11 0.0000 0.0000 0.0040 0.0535 0.1465 0.1328 0.0434 0.0042 0.0001 0.0000 0.0000

12 0.0000 0.0000 0.0012 0.0268 0.1139 0.1550 0.0759 0.0115 0.0003 0.0000 0.0000

13 0.0000 0.0000 0.0003 0.0115 0.0760 0.1550 0.1139 0.0268 0.0012 0.0000 0.0000

14 0.0000 0.0000 0.0001 0.0042 0.0434 0.1328 0.1465 0.0535 0.0040 0.0000 0.0000

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0212 0.0974 0.1611 0.0916 0.0118 0.0001 0.0000

16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0088 0.0609 0.1511 0.1336 0.0294 0.0004 0.0000

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0031 0.0322 0.1200 0.1651 0.0623 0.0018 0.0000

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0143 0.0800 0.1712 0.1108 0.0072 0.0000

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0053 0.0442 0.1472 0.1633 0.0239 0.0010

20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0016 0.0199 0.1030 0.1960 0.0646 0.0059

21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0071 0.0572 0.1867 0.1384 0.0269

22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0019 0.0243 0.1358 0.2265 0.0930

23 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0074 0.0708 0.2659 0.2305

24 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0014 0.0236 0.1994 0.3650

25 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0038 0.0718 0.2774

Tabla 2. Distribución Binomial P(X k)

49

TABLA 2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL P(X k)

xnxkx

x

ppx

nkFpnBX 1,

1

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

k

0 0.9500 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0.0500

1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.9025 0.8100 0.6400 0.4900 0.3600 0.2500 0.1600 0.0900 0.0400 0.0100 0.0025

1 0.9975 0.9900 0.9600 0.9100 0.8400 0.7500 0.6400 0.5100 0.3600 0.1900 0.0975

2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.8574 0.7290 0.5120 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.0080 0.0010 0.0001

1 0.9927 0.9720 0.8960 0.7840 0.6480 0.5000 0.3520 0.2160 0.1040 0.0280 0.0072

2 0.9999 0.9990 0.9920 0.9730 0.9360 0.8750 0.7840 0.6570 0.4880 0.2710 0.1426

3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.8145 0.6561 0.4096 0.2401 0.1296 0.0625 0.0256 0.0081 0.0016 0.0001 0.0000

1 0.9860 0.9477 0.8192 0.6517 0.4752 0.3125 0.1792 0.0837 0.0272 0.0037 0.0005

2 0.9995 0.9963 0.9728 0.9163 0.8208 0.6875 0.5248 0.3483 0.1808 0.0523 0.0140

3 1.0000 0.9999 0.9984 0.9919 0.9744 0.9375 0.8704 0.7599 0.5904 0.3439 0.1855

4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.7738 0.5905 0.3277 0.1681 0.0777 0.0312 0.0102 0.0024 0.0003 0.0000 0.0000

1 0.9774 0.9185 0.7373 0.5282 0.3369 0.1875 0.0870 0.0308 0.0067 0.0004 0.0000

2 0.9988 0.9914 0.9421 0.8369 0.6826 0.5000 0.3174 0.1631 0.0579 0.0085 0.0011

3 1.0000 0.9995 0.9933 0.9692 0.9130 0.8125 0.6630 0.4718 0.2627 0.0814 0.0226

4 1.0000 1.0000 0.9997 0.9976 0.9898 0.9687 0.9222 0.8319 0.6723 0.4095 0.2262

5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.7351 0.5314 0.2621 0.1176 0.0466 0.0156 0.0041 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000

1 0.9672 0.8857 0.6554 0.4202 0.2333 0.1094 0.0410 0.0109 0.0016 0.0000 0.0000

2 0.9978 0.9841 0.9011 0.7443 0.5443 0.3437 0.1792 0.0705 0.0169 0.0013 0.0001

3 0.9999 0.9987 0.9830 0.9295 0.8208 0.6562 0.4557 0.2557 0.0989 0.0158 0.0022

4 1.0000 0.9999 0.9984 0.9891 0.9590 0.8906 0.7667 0.5798 0.3446 0.1143 0.0328

5 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9959 0.9844 0.9533 0.8823 0.7378 0.4685 0.2649

6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.6983 0.4783 0.2097 0.0823 0.0280 0.0078 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.9556 0.8503 0.5767 0.3294 0.1586 0.0625 0.0188 0.0038 0.0004 0.0000 0.0000

2 0.9962 0.9743 0.8520 0.6471 0.4199 0.2266 0.0962 0.0288 0.0047 0.0002 0.0000

3 0.9998 0.9973 0.9666 0.8740 0.7102 0.5000 0.2898 0.1260 0.0333 0.0027 0.0002

4 1.0000 0.9998 0.9953 0.9712 0.9037 0.7734 0.5801 0.3529 0.1480 0.0257 0.0037

5 1.0000 1.0000 0.9996 0.9962 0.9811 0.9375 0.8414 0.6706 0.4233 0.1497 0.0444

6 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9984 0.9922 0.9720 0.9176 0.7903 0.5217 0.3017

7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


50

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=8

n=9

n=10

n=11

k

0 0.6634 0.4305 0.1678 0.0576 0.0168 0.0039 0.0006 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.9427 0.8131 0.5033 0.2553 0.1064 0.0351 0.0085 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000

2 0.9942 0.9619 0.7969 0.5518 0.3154 0.1445 0.0498 0.0113 0.0012 0.0000 0.0000

3 0.9996 0.9950 0.9437 0.8059 0.5941 0.3633 0.1737 0.0580 0.0104 0.0004 0.0000

4 1.0000 0.9996 0.9896 0.9420 0.8263 0.6367 0.4059 0.1941 0.0563 0.0050 0.0004

5 1.0000 1.0000 0.9988 0.9887 0.9502 0.8555 0.6846 0.4482 0.2031 0.0381 0.0058

6 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9915 0.9648 0.8936 0.7447 0.4967 0.1869 0.0572

7 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9961 0.9832 0.9423 0.8322 0.5695 0.3366

8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.6302 0.3874 0.1342 0.0403 0.0101 0.0019 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.9288 0.7748 0.4362 0.1960 0.0705 0.0195 0.0038 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9916 0.9470 0.7382 0.4628 0.2318 0.0898 0.0250 0.0043 0.0003 0.0000 0.0000

3 0.9993 0.9917 0.9143 0.7296 0.4826 0.2539 0.0993 0.0253 0.0031 0.0001 0.0000

4 1.0000 0.9991 0.9804 0.9012 0.7334 0.5000 0.2666 0.0988 0.0196 0.0009 0.0000

5 1.0000 0.9999 0.9969 0.9747 0.9006 0.7461 0.5174 0.2703 0.0856 0.0083 0.0006

6 1.0000 1.0000 0.9997 0.9957 0.9750 0.9101 0.7682 0.5372 0.2618 0.0530 0.0084

7 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9962 0.9805 0.9294 0.8040 0.5638 0.2251 0.0712

8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9980 0.9899 0.9596 0.8658 0.6126 0.3697

9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.5987 0.3487 0.1074 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.9139 0.7361 0.3758 0.1493 0.0463 0.0107 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9885 0.9298 0.6778 0.3828 0.1673 0.0547 0.0123 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000

3 0.9990 0.9872 0.8791 0.6496 0.3823 0.1719 0.0548 0.0106 0.0009 0.0000 0.0000

4 0.9999 0.9984 0.9672 0.4973 0.6331 0.3769 0.1662 0.0473 0.0064 0.0001 0.0000

5 1.0000 0.9998 0.9936 0.9526 0.8338 0.6230 0.3669 0.1503 0.0328 0.0016 0.0001

6 1.0000 1.0000 0.9991 0.9894 0.9452 0.8281 0.6177 0.3504 0.1209 0.0128 0.0010

7 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9877 0.9453 0.8327 0.6172 0.3222 0.0702 0.0115

8 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9983 0.9892 0.9536 0.8507 0.6242 0.2639 0.0861

9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9990 0.9939 0.9717 0.8926 0.6513 0.4013

10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.5688 0.3138 0.0859 0.0198 0.0036 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.8981 0.6973 0.3221 0.1130 0.0302 0.0058 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9848 0.9104 0.6174 0.3127 0.1189 0.0327 0.0059 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9984 0.9815 0.8389 0.5696 0.2963 0.1133 0.0293 0.0043 0.0002 0.0000 0.0000

4 0.9999 0.9972 0.9496 0.7897 0.5328 0.2744 0.0993 0.0216 0.0020 0.0000 0.0000

5 1.0000 0.9997 0.9883 0.9218 0.7535 0.5000 0.2465 0.0782 0.0116 0.0003 0.0000

6 1.0000 1.0000 0.9980 0.9784 0.9006 0.7256 0.4672 0.2103 0.0504 0.0027 0.0001

7 1.0000 1.0000 0.9998 0.9957 0.9707 0.8867 0.7037 0.4304 0.1611 0.0185 0.0015

8 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9941 0.9673 0.8811 0.6872 0.3826 0.0896 0.0152

9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9941 0.9698 0.8870 0.6779 0.3026 0.1019

10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9964 0.9802 0.9141 0.6862 0.4312

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


51

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=12

n=13

n=14

k

0 0.5404 0.2824 0.0687 0.0138 0.0022 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.8816 0.6590 0.2749 0.0850 0.0196 0.0032 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9804 0.8891 0.5583 0.2528 0.0834 0.0193 0.0028 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9978 0.9744 0.7946 0.4925 0.2253 0.0730 0.0153 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000

4 0.9992 0.9957 0.9274 0.7236 0.4382 0.1938 0.0573 0.0095 0.0006 0.0000 0.0000

5 1.0000 0.9994 0.9806 0.8821 0.6652 0.3872 0.1582 0.0386 0.0039 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9999 0.9961 0.9614 0.8418 0.6128 0.3348 0.1178 0.0194 0.0005 0.0000

7 1.0000 1.0000 0.9994 0.9905 0.9427 0.8061 0.5618 0.2763 0.0725 0.0043 0.0002

8 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9847 0.9270 0.7747 0.5075 0.2054 0.0256 0.0022

9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9972 0.9807 0.9165 0.7472 0.4416 0.1109 0.0196

10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9968 0.9804 0.9150 0.7251 0.3410 0.1183

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9978 0.9861 0.9313 0.7176 0.4596

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.5133 0.2542 0.0550 0.0097 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.8646 0.6213 0.2336 0.0637 0.0126 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9755 0.8661 0.5016 0.2025 0.0579 0.0112 0.0013 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9969 0.9658 0.7473 0.4206 0.1686 0.0461 0.0078 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9997 0.9935 0.9009 0.6543 0.3530 0.1332 0.0321 0.0040 0.0002 0.0000 0.0000

5 1.0000 0.9991 0.9700 0.8346 0.5744 0.2905 0.0977 0.0182 0.0012 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9999 0.9930 0.9376 0.7711 0.5000 0.2288 0.0624 0.0070 0.0001 0.0000

7 1.0000 1.0000 0.9987 0.9818 0.9023 0.7095 0.4256 0.1654 0.0300 0.0009 0.0000

8 1.0000 1.0000 0.9998 0.9960 0.9679 0.8666 0.6469 0.3457 0.0991 0.0065 0.0003

9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9922 0.9538 0.8314 0.5794 0.2527 0.0342 0.0031

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9888 0.9421 0.7975 0.4983 0.1339 0.0245

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9874 0.9363 0.7663 0.3786 0.1354

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9903 0.9450 0.7458 0.4866

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.4877 0.2288 0.0440 0.0068 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.8470 0.5846 0.1979 0.0475 0.0081 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9699 0.8416 0.4480 0.1608 0.0398 0.0065 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9958 0.9559 0.6982 0.3552 0.1243 0.0287 0.0039 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9996 0.9908 0.8702 0.5842 0.2792 0.0898 0.0175 0.0017 0.0000 0.0000 0.0000

5 1.0000 0.9985 0.9561 0.7805 0.4858 0.2120 0.0583 0.0083 0.0004 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9998 0.9884 0.9067 0.6924 0.3953 0.1501 0.0315 0.0024 0.0000 0.0000

7 1.0000 1.0000 0.9976 0.9685 0.8498 0.6047 0.3075 0.0933 0.0116 0.0002 0.0000

8 1.0000 1.0000 0.9996 0.9917 0.9417 0.7880 0.5141 0.2195 0.0438 0.0015 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9825 0.9102 0.7207 0.4158 0.1298 0.0092 0.0004

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9961 0.9713 0.8757 0.6448 0.3018 0.0441 0.0042

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9935 0.9602 0.8392 0.5519 0.1583 0.0300

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9919 0.9525 0.8021 0.4154 0.1530

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9992 0.9932 0.9560 0.7712 0.5123

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


52

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=15

n=16

n=17

k

0 0.4633 0.2059 0.0352 0.0047 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.8290 0.5490 0.1671 0.0353 0.0052 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9638 0.8159 0.3980 0.1268 0.0271 0.0037 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9945 0.9444 0.6482 0.2969 0.0905 0.0176 0.0019 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9994 0.9873 0.8358 0.5155 0.2173 0.0592 0.0093 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9999 0.9977 0.9389 0.7216 0.4032 0.1509 0.0338 0.0036 0.0001 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9997 0.9819 0.8688 0.6098 0.3036 0.0950 0.0152 0.0008 0.0000 0.0000

7 1.0000 1.0000 0.9958 0.9500 0.7869 0.5000 0.2131 0.0500 0.0042 0.0000 0.0000

8 1.0000 1.0000 0.9992 0.9847 0.9049 0.6964 0.3902 0.1311 0.0180 0.0003 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9999 0.9963 0.9662 0.8491 0.5968 0.2784 0.0610 0.0022 0.0000

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9906 0.9408 0.7827 0.4845 0.1642 0.0127 0.0006

11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9981 0.9824 0.9095 0.7031 0.3518 0.0555 0.0055

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9963 0.9729 0.8732 0.6020 0.1841 0.0362

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9948 0.9647 0.8329 0.4509 0.1709

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9952 0.9648 0.7941 0.5367

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.4401 0.1853 0.0281 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.8107 0.5147 0.1407 0.0261 0.0033 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9571 0.7892 0.3518 0.0993 0.0183 0.0021 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9930 0.9316 0.5981 0.2458 0.0651 0.0106 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9991 0.9830 0.7982 0.4499 0.1666 0.0384 0.0049 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9999 0.9967 0.9183 0.6598 0.3288 0.1050 0.0191 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9995 0.9733 0.8247 0.5272 0.2272 0.0583 0.0071 0.0002 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9999 0.9930 0.9256 0.7161 0.4018 0.1423 0.0257 0.0015 0.0000 0.0000

8 1.0000 1.0000 0.9985 0.9743 0.8577 0.5982 0.2839 0.0743 0.0070 0.0001 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9997 0.9929 0.9417 0.7727 0.4728 0.1753 0.0266 0.0005 0.0000

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9984 0.9808 0.8949 0.6711 0.3402 0.0817 0.0033 0.0001

11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9951 0.9616 0.8334 0.5501 0.2017 0.0170 0.0008

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9991 0.9894 0.9348 0.7541 0.4019 0.0684 0.0070

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9979 0.9817 0.9006 0.6481 0.2107 0.0429

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9967 0.9739 0.8593 0.4853 0.1892

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9967 0.9718 0.8147 0.5599

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.4181 0.1668 0.0225 0.0023 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.7922 0.4818 0.1182 0.0193 0.0021 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9497 0.7618 0.3096 0.0774 0.0123 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9912 0.9173 0.5489 0.2019 0.0464 0.0064 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9988 0.9778 0.7582 0.3887 0.1260 0.0245 0.0025 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9999 0.9953 0.8943 0.5968 0.2639 0.0717 0.0106 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9992 0.9623 0.7752 0.4478 0.1661 0.0348 0.0032 0.0001 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9999 0.9891 0.8953 0.6405 0.3145 0.0919 0.0127 0.0005 0.0000 0.0000

8 1.0000 1.0000 0.9974 0.9597 0.8011 0.5000 0.1989 0.0403 0.0026 0.0000 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9995 0.9873 0.9081 0.6855 0.3595 0.1046 0.0109 0.0001 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9999 0.9968 0.9652 0.8338 0.5521 0.2248 0.0377 0.0008 0.0000

11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9894 0.9283 0.7361 0.4032 0.1057 0.0047 0.0001

12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9975 0.9755 0.8740 0.6113 0.2418 0.0221 0.0012

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9936 0.9536 0.7981 0.4511 0.0826 0.0088

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9988 0.9877 0.9226 0.6904 0.2382 0.0502

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9979 0.9807 0.8818 0.5182 0.2078

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9977 0.9775 0.8332 0.5819

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


53

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=18

n=19

k

0 0.3972 0.1501 0.0180 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.7735 0.4503 0.0991 0.0142 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9419 0.7338 0.2713 0.0599 0.0082 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9891 0.9018 0.5010 0.1645 0.0328 0.0038 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9984 0.9718 0.7163 0.3326 0.0942 0.0154 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9998 0.9936 0.8671 0.5344 0.2087 0.0481 0.0057 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9988 0.9487 0.7217 0.3743 0.1189 0.0203 0.0014 0.0000 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9998 0.9837 0.8593 0.5634 0.2403 0.0576 0.0061 0.0001 0.0000 0.0000

8 1.0000 1.0000 0.9957 0.9404 0.7368 0.4073 0.1347 0.0210 0.0009 0.0000 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9991 0.9790 0.8653 0.5927 0.2631 0.0596 0.0042 0.0000 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9998 0.9939 0.9423 0.7596 0.4365 0.1407 0.0163 0.0002 0.0000

11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9986 0.9797 0.8810 0.6257 0.2783 0.0513 0.0012 0.0000

12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9942 0.9519 0.7912 0.4656 0.1329 0.0064 0.0002

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9987 0.9845 0.9058 0.6673 0.2836 0.0282 0.0015

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9962 0.9672 0.8354 0.4990 0.0982 0.0109

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9918 0.9400 0.7286 0.2662 0.0581

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9858 0.9009 0.5497 0.2265

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9820 0.8499 0.6028

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.3773 0.1351 0.0144 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.7547 0.4203 0.0829 0.0104 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9334 0.7054 0.2369 0.0462 0.0055 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9868 0.8850 0.4551 0.1332 0.0229 0.0022 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9980 0.9648 0.6733 0.2822 0.0696 0.0096 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9997 0.9914 0.8369 0.4739 0.1629 0.0318 0.0031 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9983 0.9324 0.6655 0.3081 0.0835 0.0116 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9997 0.9767 0.8180 0.4878 0.1796 0.0352 0.0028 0.0000 0.0000 0.0000

8 1.0000 1.0000 0.9933 0.9161 0.6675 0.3238 0.0885 0.0105 0.0003 0.0000 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9984 0.9674 0.8139 0.5000 0.1861 0.0325 0.0016 0.0000 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9997 0.9894 0.9115 0.6762 0.3325 0.0839 0.0066 0.0000 0.0000

11 1.0000 1.0000 0.9999 0.9972 0.9648 0.8203 0.5122 0.1820 0.0233 0.0003 0.0000

12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9884 0.9165 0.6919 0.3345 0.0676 0.0017 0.0000

13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9969 0.9682 0.8371 0.5261 0.1631 0.0086 0.0002

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9904 0.9304 0.7178 0.3267 0.0352 0.0020

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9978 0.9770 0.8668 0.5449 0.1150 0.0132

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9945 0.9538 0.7631 0.2945 0.0665

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9896 0.9171 0.5797 0.2453

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9989 0.9856 0.8649 0.6226

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


54

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=20

n=21

k

0 0.3585 0.1216 0.0115 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.7358 0.3917 0.0692 0.0076 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9245 0.6769 0.2061 0.0355 0.0036 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9841 0.8670 0.4114 0.1071 0.0160 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9974 0.9568 0.6296 0.2375 0.0509 0.0059 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9997 0.9887 0.8042 0.4164 0.1256 0.0207 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 1.0000 0.9976 0.9133 0.6080 0.2500 0.0576 0.0065 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9996 0.9678 0.7723 0.4159 0.1316 0.0210 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000

8 1.0000 0.9999 0.9900 0.8867 0.5956 0.2517 0.0565 0.0051 0.0001 0.0000 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9974 0.9520 0.7553 0.4119 0.1275 0.0171 0.0006 0.0000 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9994 0.9828 0.8725 0.5881 0.2447 0.0480 0.0026 0.0000 0.0000

11 1.0000 1.0000 0.9999 0.9949 0.9435 0.7483 0.4044 0.1133 0.0100 0.0000 0.0000

12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9987 0.9790 0.8684 0.5841 0.2277 0.0321 0.0004 0.0000

13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9935 0.9423 0.7500 0.3920 0.0867 0.0024 0.0000

14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9793 0.8744 0.5836 0.1958 0.0112 0.0003

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9941 0.9490 0.7625 0.3703 0.0432 0.0026

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9987 0.9840 0.8929 0.5885 0.1329 0.0159

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9964 0.9645 0.7939 0.3231 0.0755

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9924 0.9308 0.6082 0.2642

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9885 0.8784 0.6415

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.3406 0.1094 0.0092 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.7170 0.3647 0.0576 0.0056 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9151 0.6484 0.1787 0.0271 0.0024 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9811 0.8480 0.3704 0.0856 0.0110 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9967 0.9478 0.5860 0.1984 0.0369 0.0036 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9995 0.9855 0.7693 0.3627 0.0957 0.0133 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.9999 0.9967 0.8915 0.5505 0.2002 0.0392 0.0035 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9994 0.9569 0.7230 0.3495 0.0946 0.0123 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

8 1.0000 0.9999 0.9856 0.8523 0.5237 0.1916 0.0352 0.0024 0.0000 0.0000 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9959 0.9324 0.6914 0.3318 0.0849 0.0087 0.0002 0.0000 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9990 0.9736 0.8256 0.5000 0.1744 0.0264 0.0010 0.0000 0.0000

11 1.0000 1.0000 0.9998 0.9912 0.9151 0.6682 0.3085 0.0676 0.0041 0.0000 0.0000

12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9976 0.9648 0.8083 0.4763 0.1476 0.0144 0.0001 0.0000

13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9877 0.9054 0.6504 0.2770 0.0430 0.0006 0.0000

14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9964 0.9608 0.7997 0.4495 0.1085 0.0033 0.0000

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9867 0.9042 0.6373 0.2307 0.0144 0.0004

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9964 0.9630 0.8016 0.4140 0.0521 0.0032

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9890 0.9144 0.6296 0.1520 0.0189

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9976 0.9729 0.8213 0.3516 0.0849

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9944 0.9423 0.6353 0.2830

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9908 0.8906 0.6594

21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


55

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=22

n=23

k

0 0.3235 0.0985 0.0074 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.6981 0.3392 0.0480 0.0041 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.9052 0.6200 0.1545 0.0207 0.0015̀ 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9778 0.8281 0.3320 0.0681 0.0076 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9960 0.9379 0.5429 0.1645 0.0266 0.0022 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9994 0.9818 0.7326 0.3134 0.0722 0.0084 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.9999 0.9956 0.8670 0.4942 0.1584 0.0262 0.0019 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9991 0.9438 0.6712 0.2898 0.0669 0.0070 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

8 1.0000 0.9998 0.9798 0.8135 0.4540 0.1431 0.0215 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9938 0.9084 0.6243 0.2617 0.0551 0.0043 0.0001 0.0000 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9984 0.9612 0.7719 0.4159 0.1207 0.0140 0.0003 0.0000 0.0000

11 1.0000 1.0000 0.9996 0.9860 0.8793 0.5841 0.2280 0.0387 0.0016 0.0000 0.0000

12 1.0000 1.0000 0.9999 0.9957 0.9449 0.7383 0.3756 0.0916 0.0061 0.0000 0.0000

13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9989 0.9785 0.8569 0.5459 0.1864 0.0201 0.0001 0.0000

14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9929 0.9331 0.7102 0.3287 0.0561 0.0009 0.0000

15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9981 0.9738 0.8415 0.5058 0.1329 0.0044 0.0001

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9915 0.9278 0.6866 0.2674 0.0182 0.0006

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9978 0.9734 0.8354 0.4571 0.0621 0.0040

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9924 0.9319 0.6679 0.1719 0.0222

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9793 0.8455 0.3799 0.0948

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9959 0.9520 0.6608 0.3018

21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9926 0.9015 0.6765

22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.3073 0.0886 0.0059 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.6794 0.3151 0.0398 0.0030 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.8948 0.5919 0.1332 0.0157 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9742 0.8073 0.2965 0.0538 0.0052 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9951 0.9269 0.5007 0.1356 0.0190 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9992 0.9774 0.6947 0.2687 0.0540 0.0053 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.9999 0.9942 0.8402 0.4399 0.1239 0.0173 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9988 0.9285 0.6181 0.2373 0.0466 0.0040 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

8 1.0000 0.9998 0.9726 0.7708 0.3883 0.1050 0.0128 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000

9 1.0000 1.0000 0.9910 0.8799 0.5562 0.2024 0.0349 0.0021 0.0000 0.0000 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9975 0.9454 0.7129 0.3388 0.0813 0.0072 0.0001 0.0000 0.0000

11 1.0000 1.0000 0.9994 0.9785 0.8363 0.5000 0.1636 0.0214 0.0006 0.0000 0.0000

12 1.0000 1.0000 0.9999 0.9928 0.9186 0.6612 0.2871 0.0546 0.0025 0.0000 0.0000

13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9979 0.9651 0.7976 0.4438 0.1200 0.0089 0.0000 0.0000

14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9872 0.8950 0.6116 0.2291 0.0273 0.0002 0.0000

15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9960 0.9534 0.7627 0.3819 0.0715 0.0012 0.0000

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9990 0.9826 0.8760 0.5600 0.1598 0.0058 0.0001

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9947 0.9460 0.7312 0.3053 0.0226 0.0007

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9987 0.9810 0.8644 0.4993 0.0731 0.0049

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9948 0.9461 0.7035 0.1927 0.0258

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9990 0.9843 0.8668 0.4080 0.1052

21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9970 0.9601 0.6849 0.3206

22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9941 0.9114 0.6926

23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


56

p

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

n=24

n=25

k

0 0.2920 0.0798 0.0047 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.6608 0.2925 0.0330 0.0022 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.8840 0.5643 0.1145 0.0119 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9702 0.7857 0.2639 0.0424 0.0035 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9940 0.9149 0.4599 0.1111 0.0134 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9990 0.9723 0.6559 0.2288 0.0400 0.0033 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.9999 0.9925 0.8111 0.3886 0.0960 0.0113 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9983 0.9108 0.5647 0.1919 0.0319 0.0022 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

8 1.0000 0.9997 0.9638 0.7250 0.3279 0.0758 0.0075 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

9 1.0000 0.9999 0.9874 0.8472 0.4891 0.1537 0.0216 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9962 0.9258 0.6502 0.2706 0.0535 0.0036 0.0000 0.0000 0.0000

11 1.0000 1.0000 0.9990 0.9686 0.7870 0.4194 0.1143 0.0115 0.0002 0.0000 0.0000

12 1.0000 1.0000 0.9998 0.9885 0.8857 0.5806 0.2130 0.0314 0.0010 0.0000 0.0000

13 1.0000 1.0000 0.9999 0.9964 0.9465 0.7294 0.3498 0.0742 0.0038 0.0000 0.0000

14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9990 0.9783 0.8463 0.5109 0.1528 0.0126 0.0000 0.0000

15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9925 0.9242 0.6721 0.2750 0.0362 0.0003 0.0000

16 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9978 0.9680 0.8080 0.4353 0.0892 0.0017 0.0000

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9887 0.9040 0.6114 0.1889 0.0074 0.0001

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9967 0.9600 0.7712 0.3441 0.0276 0.0010

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9865 0.8889 0.5401 0.0851 0.0060

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9965 0.9576 0.7361 0.2143 0.0298

21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9993 0.9881 0.8855 0.4357 0.1159

22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9978 0.9669 0.7075 0.3392

23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9953 0.9202 0.7080

24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 0.2774 0.0718 0.0037 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.6424 0.2712 0.0274 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.8729 0.5371 0.0982 0.0090 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.9659 0.7636 0.2340 0.0332 0.0024 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.9928 0.9020 0.4207 0.0905 0.0095 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.9988 0.9666 0.6167 0.1935 0.0294 0.0020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 0.9998 0.9905 0.7800 0.3406 0.0736 0.0073 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7 1.0000 0.9977 0.8909 0.5118 0.1535 0.0216 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

8 1.0000 0.9995 0.9532 0.6769 0.2735 0.0539 0.0043 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

9 1.0000 0.9999 0.9827 0.8106 0.4246 0.1148 0.0132 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000

10 1.0000 1.0000 0.9944 0.9022 0.5858 0.2122 0.0344 0.0018 0.0000 0.0000 0.0000

11 1.0000 1.0000 0.9984 0.9557 0.7323 0.3450 0.0778 0.0060 0.0001 0.0000 0.0000

12 1.0000 1.0000 0.9996 0.9825 0.8462 0.5000 0.1538 0.0175 0.0004 0.0000 0.0000

13 1.0000 1.0000 0.9999 0.9940 0.9222 0.6550 0.2677 0.0442 0.0015 0.0000 0.0000

14 1.0000 1.0000 1.0000 0.9982 0.9656 0.7878 0.4142 0.0978 0.0055 0.0000 0.0000

15 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9868 0.8852 0.5754 0.1894 0.0173 0.0001 0.0000

16 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9957 0.9461 0.7265 0.3231 0.0468 0.0004 0.0000

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9988 0.9783 0.8464 0.4881 0.1091 0.0023 0.0000

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9927 0.9264 0.6593 0.2200 0.0095 0.0002

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9980 0.9706 0.8065 0.3833 0.0334 0.0012

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9905 0.9095 0.5793 0.0980 0.0072

21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9976 0.9667 0.7660 0.2364 0.0341

22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 0.9910 0.9018 0.4629 0.1271

23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9726 0.7288 0.3576

24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9962 0.9282 0.7226

25 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Tabla 3. Distribución de Poisson P(X=k)

57

TABLA 3. DISTRIBUCIÓN DE POISSON P(X=k)

ex

xfPXx

!

K 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679

1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679

2 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1216 0.1438 0.1647 0.1839

3 0.0001 0.0011 0.0033 0.0071 0.0126 0.0197 0.0284 0.0383 0.0494 0.0613

4 0.0000 0.0000 0.0002 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 0.0153

5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0007 0.0012 0.0020 0.0031

6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005

7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001

k 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

0 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353

1 0.3661 0.3614 0.3543 0.3452 0.3347 0.3230 0.3106 0.2975 0.2842 0.2707

2 0.2014 0.2168 0.2303 0.2417 0.2510 0.2584 0.2640 0.2678 0.2700 0.2707

3 0.0738 0.0867 0.0998 0.1128 0.1255 0.1378 0.1496 0.1607 0.1710 0.1804

4 0.0203 0.0260 .03243 0.0395 0.0471 0.0551 0.0636 0.0723 0.0812 0.0902

5 0.0045 0.0062 0.0084 0.0110 0.0141 0.0176 0.0216 0.0260 0.0309 0.0361

6 0.0008 0.0012 0.0018 0.0026 0.0035 0.0047 0.0061 0.0078 0.0098 0.0120

7 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0011 0.0015 0.0020 0.0026 0.0034

8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008

9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002

k 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00

0 0.1224 0.1108 0.1002 0.0907 0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498

1 0.2571 0.2437 0.2306 0.2177 0.2052 0.1931 0.1814 0.1703 0.1596 0.1494

2 0.2700 0.2681 0.2652 0.2613 0.2565 0.2510 0.2450 0.2384 0.2314 0.2240

3 0.1890 0.1966 0.2033 0.2090 0.2138 0.2176 0.2205 0.2225 0.2237 0.2240

4 0.0992 0.1081 0.1169 0.1254 0.1336 0.1414 0.1488 0.1557 0.1621 0.1680

5 0.0417 0.0476 0.0538 0.0602 0.0668 0.0735 0.0804 0.0872 0.0940 0.1008

6 0.0146 0.0174 0.0206 0.0241 0.0278 0.0319 0.0362 0.0407 0.0454 0.0504

7 0.0044 0.0055 0.0068 0.0082 0.0099 0.0118 0.0139 0.0163 0.0188 0.0216

8 0.0011 0.0015 0.0019 0.0025 0.0031 0.0038 0.0047 0.0057 0.0068 0.0081

9 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0009 0.0011 0.0014 0.0018 0.0022 0.0027

10 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0008

11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002

12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


58

k 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00

0 0.0450 0.0408 0.0369 0.0334 0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202 0.0183

1 0.1396 0.1304 0.1217 0.1135 0.1057 0.0984 0.0915 0.0850 0.0789 0.0733

2 0.2165 0.2087 0.2008 0.1929 0.1849 0.1770 0.1692 0.1615 0.1539 0.1465

3 0.2237 0.2226 0.2209 0.2186 0.2158 0.2125 0.2087 0.2046 0.2001 0.1954

4 0.1733 0.1781 0.1822 0.1858 0.1888 0.1912 0.1931 0.1943 0.1951 0.1954

5 0.1075 0.1140 0.1203 0.1264 0.1322 0.1377 0.1429 0.1477 0.1522 0.1563

6 0.0555 0.0608 0.0661 0.0716 0.0771 0.0826 0.0881 0.0935 0.0989 0.1042

7 0.0246 0.0278 0.0312 0.0348 0.0385 0.0425 0.0466 0.0508 0.0551 0.0595

8 0.0095 0.0111 0.0129 0.0148 0.0169 0.0191 0.0215 0.0241 0.0269 0.0298

9 0.0033 0.0039 0.0047 0.0056 0.0065 0.0076 0.0088 0.0102 0.0116 0.0132

10 0.0010 0.0013 0.0015 0.0019 0.0023 0.0027 0.0033 0.0039 0.0045 0.0053

11 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0011 0.0013 0.0016 0.0019

12 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006

13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002

14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

k 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 8.50 9.00

0 0.0111 0.0067 0.0041 0.0025 0.0015 0.0009 0.0005 0.0003 0.0002 0.0001

1 0.0500 0.0337 0.0225 0.0149 0.0098 0.0064 0.0041 0.0027 0.0017 0.0011

2 0.1125 0.0842 0.0618 0.0446 0.0318 0.0223 0.0155 0.0107 0.0073 0.0050

3 0.1687 0.1404 0.1133 0.0892 0.0688 0.0521 0.0389 0.0286 0.0208 0.0150

4 0.1898 0.1755 0.1558 0.1338 0.1118 0.0912 0.0729 0.0572 0.0442 0.0337

5 0.1708 0.1755 0.1714 0.1606 0.1454 0.1277 0.1094 0.0916 0.0752 0.0607

6 0.1281 0.1462 0.1571 0.1606 0.1575 0.1490 0.1367 0.1221 0.1066 0.0911

7 0.0824 0.1044 0.1234 0.1377 0.1462 0.1490 0.1465 0.1396 0.1294 0.1171

8 0.0463 0.0653 0.0849 0.1032 0.1188 0.1304 0.1373 0.1396 0.1375 0.1317

9 0.0232 0.0363 0.0519 0.0688 0.0858 0.1014 0.1144 0.1241 0.1299 0.1317

10 0.0104 0.0181 0.0285 0.0413 0.0558 0.0710 008583 0.0993 0.1104 0.1186

11 0.0043 0.0082 0.0143 0.0225 0.0329 0.0452 0.0585 0.0722 0.0853 0.0970

12 0.0016 0.0034 0.0065 0.0113 0.0178 0.0263 0.0366 0.0481 0.0604 0.0728

13 0.0005 0.0013 0.0028 0.0052 0.0089 0.0142 0.0211 0.0296 0.0395 0.0504

14 0.0002 0.0005 0.0011 0.0022 0.0041 0.0071 0.0113 0.0169 0.0240 0.0324

15 0.0000 0.0001 0.0004 0.0009 0.0018 0.0033 0.0056 0.0090 0.0136 0.0194

16 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0007 0.0014 0.0026 0.0045 0.0072 0.0109

17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0006 0.0012 0.0021 0.0036 0.0058

18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0005 0.0009 0.0017 0.0029

19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0008 0.0014

20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006

21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003

22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001

Tabla 4. Distribución de Poisson P(X k)

59

TABLA 4. DISTRIBUCIÓN DE POISSON P(X k)

ex

kFPXk

x

x

1 !

k 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679

1 0.9953 0.9825 0.9631 0.9384 0.9098 0.8781 0.8442 0.8088 0.7725 0.7357

2 0.9998 0.9988 0.9964 0.9921 0.9856 0.9769 0.9658 0.9526 0.9371 0.9197

3 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9982 0.9966 0.9942 0.9909 0.9865 0.9810

4 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9986 0.9976 0.9963

5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9994

6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999

7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

k 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

0 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353

1 0.6990 0.6626 0.6268 0.5918 0.5578 0.5249 0.4932 0.4628 0.4337 0.4060

2 0.9004 0.8795 0.8571 0.8335 0.8088 0.7833 0.7572 0.7306 0.7037 0.6767

3 0.9742 0.9662 0.9569 0.9427 0.9343 0.9212 0.9068 0.8913 0.8747 0.8571

4 0.9946 0.9922 0.9893 0.9857 0.9814 0.9763 0.9704 0.9636 0.9559 0.9473

5 0.9990 0.9985 0.9978 0.9968 0.9955 0.9939 0.9920 0.9896 0.9868 0.9834

6 0.9998 0.9997 0.9996 0.9994 0.9991 0.9987 0.9981 0.9974 0.9965 0.9955

7 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9998 0.9997 0.9996 0.9994 0.9992 0.9989

8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998

9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

k 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00

0 0.1224 0.1108 0.1002 0.0907 0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498

1 0.3796 0.3546 0.3308 0.3084 0.2873 0.2674 0.2487 0.2311 0.2146 0.1991

2 0.6496 0.6227 0.5960 0.5697 0.5438 0.5184 0.4936 0.4694 0.4460 0.4232

3 0.8386 0.8193 0.7993 0.7787 0.7576 0.7360 0.7141 0.6919 0.6696 0.6472

4 0.9379 0.9275 0.9162 0.9041 0.8912 0.8774 0.8629 0.8477 0.8318 0.8153

5 0.9795 0.9751 0.9700 0.9643 0.9580 0.9510 0.9433 0.9349 0.9258 0.9161

6 0.9941 0.9925 0.9906 0.9884 0.9858 0.9828 0.9794 0.9756 0.9713 0.9665

7 0.9985 0.9980 0.9974 0.9967 0.9957 0.9947 0.9934 0.9919 0.9901 0.9881

8 0.9997 0.9995 0.9993 0.9991 0.9988 0.9985 0.9981 0.9976 0.9969 0.9962

9 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9997 0.9996 0.9995 0.9993 0.9991 0.9989

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9997

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


60

k 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00

0 0.0450 0.0408 0.0369 0.0334 0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202 0.0183

1 0.1847 0.1712 0.1586 0.1468 0.1359 0.1257 0.1162 0.1074 0.0992 0.0916

2 0.4012 0.3799 0.3594 0.3397 0.3208 0.3027 0.2854 0.2689 0.2531 0.2381

3 0.6248 0.6025 0.5803 0.5583 0.5366 0.5152 0.4941 0.4735 0.4532 0.4335

4 0.7982 0.7806 0.7626 0.7442 0.7254 0.7064 0.6872 0.6678 0.6484 0.6288

5 0.9057 0.8946 0.8829 0.8705 0.8576 0.8441 0.8301 0.8155 0.8056 0.7851

6 0.9612 0.9554 0.9490 0.9421 0.9347 0.9267 0.9182 0.9091 0.8995 0.8893

7 0.9858 0.9832 0.9802 0.9769 0.9733 0.9692 0.9647 0.9599 0.9546 0.9489

8 0.9953 0.9943 0.9931 0.9917 0.9901 0.9883 0.9863 0.9840 0.9815 0.9786

9 0.9986 0.9982 0.9978 0.9973 0.9967 0.9960 0.9951 0.9942 0.9931 0.9919

10 0.9996 0.9995 0.9994 0.9992 0.9990 0.9987 0.9984 0.9981 0.9976 0.9972

11 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9997 0.9996 0.9995 0.9994 0.9993 0.9991

12 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9997

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

k 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 8.50 9.00

0 0.0111 0.0067 0.0041 0.0025 0.0015 0.0009 0.0005 0.0003 0.0002 0.0001

1 0.0611 0.0404 0.0266 0.0173 0.0113 0.0073 0.0047 0.0030 0.0019 0.0012

2 0.1736 0.1246 0.0884 0.0620 0.0430 0.0296 0.0202 0.0137 0.0093 0.0062

3 0.3423 0.2650 0.2017 0.1512 0.1118 0.0818 0.0591 0.0424 0.0301 0.0212

4 0.5321 0.4405 0.3575 0.2850 0.2237 0.1730 0.1321 0.0996 0.0744 0.0550

5 0.7029 0.6160 0.5289 0.4457 0.3690 0.3007 0.2414 0.1912 0.1496 0.1157

6 0.8310 0.7622 0.6860 0.6063 0.5265 0.4497 0.3781 0.3134 0.2562 0.2068

7 0.9134 0.8666 0.8095 0.7440 0.6727 0.5987 0.5246 0.4530 0.3856 0.3239

8 0.9597 0.9319 0.8943 0.8472 0.7916 0.7291 0.6620 0.5925 0.5231 0.4556

9 0.9829 0.9682 0.9462 0.9161 0.8774 0.8305 0.7764 0.7166 0.6530 0.5874

10 0.9933 0.9863 0.9747 0.9574 0.9332 0.9015 0.8622 0.8159 0.7634 0.7060

11 0.9976 0.9945 0.9890 0.9799 0.9661 0.9466 0.9207 0.8881 0.8487 0.8030

12 0.9992 0.9980 0.9955 0.9912 0.9840 0.9730 0.9573 0.9362 0.9091 0.8758

13 0.9997 0.9993 0.9983 0.9964 0.9929 0.9872 0.9784 0.9658 0.9486 0.9261

14 0.9999 0.9998 0.9994 0.9986 0.9970 0.9943 0.9897 0.9827 0.9726 0.9585

15 1.0000 0.9999 0.9998 0.9995 0.9988 0.9976 0.9954 0.9918 0.9862 0.9780

16 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9990 0.9980 0.9963 0.9934 0.9889

17 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9984 0.9970 0.9947

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9997 0.9993 0.9987 0.9976

19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9997 0.9995 0.9989

20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996

21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998

22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

Distribuciones Normal, Chi-cuadrado, Poisson y F de Fisher-Snedecor

61

CAPÍTULO 7. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTINUOS

7.1. TABULACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES

CONTINUAS

En este capítulo se incluyen las tablas de probabilidades de los modelos Normal, Chi-

cuadrado, t de Student y F de Fisher-Snedecor, incluidos previamente en el capítulo 5, en los

formularios 37, 38, 39, respectivamente. En la tabla 5 se incluyen los valores de la función de

distribución Normal. En la tablas 6, 7 y 8 se recogen, respectivamente, los valores de las

funciones de distribución Chi-cuadrado, t de Student y F de Fisher-Snedecor (Evans, Hastings

y Peacock, 1993; Jonson, Kotz y Balakrishnan, 1994, 1995).

7.2. GRÁFICOS DE MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES CONTINUAS

El siguiente gráfico corresponde a la curva Normal.

La distribución Chi-cuadrado aparece representada en el gráfico siguiente:

Media,Desv. T0,1-2,0,0,52,2

Normal Distribución

x

de

nsid

ad

-8 -4 0 4 8 12

0

0,2

0,4

0,6

0,8


62

En el gráfico siguiente se incluye la distribución t-Student.

En los dos gráficos que se incluyen a continuación, aparecen representadas diferentes curvas

de la familia de la distribución F de Fisher-Snedecor.

Grad. de libert1001

t de Student Distribución

x

de

nsid

ad

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Grad. de libert5102050

Chi-Cuadrado Distribución

x

de

nsid

ad

0 20 40 60 80 100

0

0,04

0,08

0,12

0,16

Distribuciones Normal, Chi-cuadrado, Poisson y F de Fisher-Snedecor

63

El gráfico anterior incluye distribuciones F en las que varía el valor de los grados de libertad

del denominador. En el gráfico siguiente, se presentan curvas F en las que varía el valor de los

grados de libertad del numerador.

También en este caso se puede observar que los gráficos de los diferentes modelos

probabilísticos se aproximan al de la distribución Normal, como indica el Teorema Central

Numerador g.l10,110,1010,1002,10

F (índice de varianza) Distribución

x

de

nsid

ad

0 1 2 3 4 5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Numerador g.l10,10100,100500,500

F (índice de varianza) Distribución

x

de

nsid

ad

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5


64

del Límite, aunque las condiciones de convergencia cambian de unos modelos a otros (Evans,

Hastings y Peacock, 1993; Jonson, Kotz y Balakrishnan, 1994, 1995).

7.3. TABLAS DE LAS DISTRIBUCIONES NORMAL, CHI-CUADRADO, t-STUDENT Y

F DE FISHER-SNEDECOR

Se incluyen seguidamente los valores de las funciones de distribución de las distribuciones

Normal, Chi-cuadrado, t-Student y F de Fisher-Snedecor (Evans, Hastings y Peacock, 1993;

Jonson, Kotz y Balakrishnan, 1994, 1995).

Tabla 5. Distribución Normal P(Z z)

65

TABLA 5. DISTRIBUCIÓN NORMAL P(Z z)

1,0NZ

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

- 3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

- 3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002

- 3.3 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003

- 3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005

- 3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007

- 3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010

- 2.9 0.0019 0.0018 0.0017 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014

- 2.8 0.0025 0.0025 0.0024 0.0023 0.0022 0.0022 0.0021 0.0020 0.0020 0.0019

- 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026

- 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036

- 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048

- 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0067 0.0066 0.0064

- 2.2 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0086 0.0084

- 2.2 0.0139 0.0135 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110

- 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143

- 2.0 0.0227 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183

- 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0238 0.0233

- 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0321 0.0314 0.0307 0.0300 0.0294

- 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0400 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367

- 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0515 0.0505 0.0495 0.0484 0.0474 0.0465 0.0455

- 1.5 0.0668 0.0655 0.0642 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0570 0.0559

- 1.4 0.0807 0.0793 0.0778 0.0763 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681

- 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0917 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823

- 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985

- 1.1 0.1357 0.1335 0.1313 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170

- 1.0 0.1586 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1468 0.1446 0.1423 0.1401 0.1378

- 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1710 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611

- 0.8 0.2118 0.2090 0.2061 0.2033 0.2004 0.1977 0.1949 0.1921 0.1894 0.1867

- 0.7 0.2420 0.2388 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

- 0.6 0.2742 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2482 0.2451

- 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2980 0.2946 0.2911 0.2877 0.2843 0.2809 0.2776

- 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3263 0.3227 0.3192 0.3156 0.3121

- 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483

- 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

- 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4246

0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641


66

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5159 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5358

0.1 0.5398 0.5438 0.5477 0.5517 0.5557 0.5596 0.5635 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5792 0.5832 0.5871 0.5909 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6627 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7356 0.7389 0.7421 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7793 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8364 0.8389

1.0 0.8413 0.8437 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8728 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8906 0.8925 0.8943 0.8962 0.8979 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9065 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9146 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9357 0.9370 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9685 0.9692 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9874 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9895 0.9898 0.9901 0.9903 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9924 0.9926 0.9928 0.9930 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9944 0.9946 0.9948 0.9949 0.9950 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9958 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9983 0.9984 0.9985 0.9985 0.9985 0.9986

3.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

Tabla 6. Distribución 2 P(X 2)

67

TABLA 6. DISTRIBUCIÓN 2 P(X 2p,n)

2X

n 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995

123456789

101112131415161718192021222324252627282930

0.00000.01000.07170.20700.41170.67570.98921.34441.73492.15582.60323.07383.56504.07474.60095.14225.69726.26486.84407.43388.03368.64279.26049.886210.52011.16011.80812.46113.12113.787

0.00010.02010.11480.29710.55430.87211.23901.64652.08792.55823.05353.57064.10694.66045.22935.81226.40787.01497.63278.26048.89729.542510.19610.85611.52412.19812.87813.56514.25614.953

0.00100.05060.21580.48440.83121.23731.68992.17972.70043.24703.81574.40375.00875.62876.26216.90777.56428.23078.90659.590810.28310.98211.68812.40113.12013.84414.57315.30816.04716.791

0.00390.10260.35180.71071.14551.63542.16732.73263.32513.94034.57485.22605.89196.57067.26097.96168.67189.390410.11710.85111.59112.33813.09013.84814.61115.37916.15116.92817.70818.493

0.01580.21070.58441.06361.61032.20412.83313.48954.16814.86525.57786.30387.04157.78958.54679.312210.08510.86511.65112.44311.59114.04114.84815.65916.47317.29218.11418.93919.76820.599

3.84145.99157.81479.48779.236310.64512.01713.36114.68415.98717.27518.54919.81221.06422.30723.54224.76925.98927.20328.41229.61530.81332.00733.19634.38135.56336.74137.91639.08740.256

3.84145.99157.81479.487711.07012.59114.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.29627.58728.86930.14331.41032.67033.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.773

5.02397.37779.348411.14312.83214.44916.01317.53419.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.84530.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.72246.979

6.63499.210311.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.00033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.892

7.879410.59712.83814.86016.75018.54720.27821.95523.58925.18826.75728.29929.82031.31932.80134.26735.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55846.92848.29049.64550.99352.33653.672

Tabla 7. Distribución t P(X t)

69

TABLA 7. DISTRIBUCIÓN t P(T T p,n)

tX

n 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995 0.999

12345678910111213141516171819202122232425262728293040506080

100120200500

3.077681.885621.637751.533211.475891.439761.414931.396821.383031.372191.363431.356221.350171.345031.340611.336761.333381.330391.327731.325341.323191.321241.319461.317841.316351.314971.313711.312531.311441.310421.303081.298721.295821.292231.290081.288651.285801.28325

6.313752.919992.353382.131852.015051.943191.894581.859551.833121.812471.795891.782291.770941.761311.753051.745891.739611.734071.729141.724721.720751.717151.713881.710891.708141.705621.703291.701131.699131.697261.683851.675911.670651.664131.660241.657651.652511.64791

12.70624.302653.182452.776452.570592.446922.364632.306012.262162.228142.200992.178822.160372.144792.131452.119912.109822.100932.093032.085972.079622.073882.068662.063902.059542.055532.051832.048412.045232.042282.021082.008562.000301.990071.983981.979931.971901.96472

31.82056.964564.540703.746953.364943.142682.997962.896472.821442.763782.718092.681002.650312.624502.602492.583492.566942.552392.539492.527982.517652.508332.499872.492162.485112.478632.472662.467152.462032.457272.423262.403282.390122.373872.364222.357832.345142.33383

63.65679.924845.840914.604104.032163.707443.499493.355403.249843.169283.105813.054553.012282.976852.946722.920792.898242.878452.860942.845352.831372.818762.807342.796952.787442.778722.770692.763272.756392.750002.704462.677802.660292.638702.625902.617432.600642.58570

318.30922.327110.21457.173185.893435.207634.785314.500814.296824.143714.024713.929643.851993.787403.732843.686163.645783. 61049 3.579413.551823.527163.505003.484973.466783.450203.435003.421043.408163.396253.385193.306883.261423.231723.195263.173753.159543.131493.10662

Tabla 8. Distribución F de Fisher-Snedecor

71

TABLA 8. DISTRIBUCIÓN F de Fisher-Snedecor D

istr

ibuc

ión

F. P

(Fn1

.n2f

0.95

. n1.

n2)

n1

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

12

15

20

24

30

40

60

12

0

n2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60

161.

4 18

.51

10.1

3 7.

709

6.60

8 5.

987

5.59

1 5.

318

5.11

7 4.

965

4.84

4 4.

747

4.66

7 4.

600

4.54

3 4.

494

4.45

1 4.

414

4.38

1 4.

351

4.32

5 4.

301

4.27

9 4.

260

4.24

2 4.

225

4.21

0 4.

196

4.18

3 4.

171

4.08

5 4.

001

199.

5 19

.00

9.55

2 6.

944

5.78

6 5.

143

4.73

7 4.

459

4.25

6 4.

103

3.98

2 3.

885

3.80

5 3.

739

3.68

2 3.

634

3.59

1 3.

554

3.52

2 3.

493

3.46

7 3.

443

3.42

2 3.

403

3.38

5 3.

369

3.35

4 3.

340

3.32

8 3.

316

3.23

2 3.

150

215.

7 19

.16

9.27

7 6.

591

5.40

9 4.

757

4.34

7 4.

066

3.86

2 3.

708

3.58

7 3.

490

3.41

0 3.

344

3.28

7 3.

239

3.19

7 3.

160

3.12

7 3.

098

3.07

2 3.

049

3.02

8 3.

009

2.99

1 2.

975

2.96

0 2.

947

2.93

4 2.

922

2.83

9 2.

525

224.

6 19

.25

9.11

7 6.

388

5.19

2 4.

534

4.12

0 3.

838

3.63

3 3.

478

3.35

7 3.

259

3.17

9 3.

112

3.05

5 3.

007

2.96

5 2.

928

2.89

5 2.

866

2.84

0 2.

817

2.79

5 2.

776

2.75

9 2.

742

2.72

8 2.

714

2.70

1 2.

690

2.60

6 2.

525

230.

2 19

.30

9.01

3 6.

256

5.05

0 4.

387

3.97

1 3.

687

3.48

2 3.

326

3.20

4 3.

106

3.02

5 2.

958

2.90

1 2.

852

2.81

0 2.

773

2.74

0 2.

711

2.68

5 2.

661

2.64

0 2.

621

2.60

3 2.

587

2.57

2 2.

558

2.54

5 2.

533

2.44

9 2.

368

234.

0 19

.33

8.94

1 6.

163

4.95

0 4.

284

3.86

6 3.

580

3.37

3 3.

217

3.09

5 2.

996

2.91

5 2.

847

2.79

0 2.

741

2.69

9 2.

661

2.62

8 2.

599

2.57

3 2.

549

2.52

8 2.

508

2.49

0 2.

474

2.45

9 2.

445

2.43

2 2.

420

2.33

6 2.

254

236.

8 19

.35

8.88

7 6.

094

4.87

6 4.

207

3.78

7 3.

500

3.29

3 3.

135

3.01

2 2.

913

2.83

2 2.

764

2.70

7 2.

657

2.61

4 2.

577

2.54

3 2.

514

2.48

7 2.

464

2.44

2 2.

423

2.40

5 2.

388

2.37

3 2.

359

2.34

6 2.

334

2.24

9 2.

166

238.

9 19

.37

8.84

5 6.

041

4.81

8 4.

147

3.72

6 3.

438

3.22

9 3.

072

2.94

8 2.

848

2.76

7 2.

699

2.64

1 2.

591

2.54

8 2.

510

2.47

7 2.

447

2.42

0 2.

396

2.37

5 2.

355

2.33

7 2.

320

2.30

5 2.

291

2.27

8 2.

266

2.18

0 2.

097

240.

5 19

.38

8.81

2 5.

999

4.77

2 4.

099

3.67

7 3.

388

3.17

9 3.

020

2.89

6 2.

796

2.71

4 2.

646

2.58

8 2.

538

2.49

4 2.

456

2.42

3 2.

393

2.36

6 2.

342

2.32

0 2.

300

2.28

2 2.

265

2.25

0 2.

236

2.22

3 2.

211

2.12

4 2.

040

241.

9 19

.39

8.78

5 5.

964

4.73

5 4.

060

3.63

6 3.

347

3.13

7 2.

978

2.85

4 2.

753

2.67

1 2.

602

2.54

4 2.

493

2.45

0 2.

412

2.37

8 2.

348

2.32

1 2.

297

2.27

5 2.

255

2.23

6 2.

220

2.20

4 2.

190

2.17

7 2.

164

2.07

7 1.

992

243.

9 19

.41

8.74

5 5.

912

4.67

8 4.

000

3.57

5 3.

284

3.07

3 2.

913

2.78

7 2.

687

2.60

4 2.

534

2.47

5 2.

425

2.38

1 2.

342

2.30

8 2.

277

2.25

0 2.

226

2.20

4 2.

183

2.16

5 2.

148

2.13

2 2.

118

2.10

4 2.

092

2.00

3 1.

917

245.

9 19

.43

8.70

3 5.

858

4.61

9 3.

938

3.51

1 3.

218

3.00

6 2.

845

2.71

9 2.

617

2.53

3 2.

463

2.40

3 2.

352

2.30

8 2.

269

2.23

4 2.

203

2.17

6 2.

151

2.12

8 2.

108

2.08

9 2.

072

2.05

6 2.

041

2.02

7 2.

015

1.92

4 1.

836

248.

0 19

.44

8.66

0 5.

802

4.55

8 3.

874

3.44

4 3.

150

2.93

6 2.

774

2.64

6 2.

543

2.45

8 2.

388

2.32

7 2.

275

2.23

0 2.

191

2.15

5 2.

124

2.09

6 2.

071

2.04

8 2.

027

2.00

7 1.

990

1.97

3 1.

958

1.94

5 1.

932

1.83

9 1.

748

249.

0 19

.45

8.63

8 5.

774

4.52

7 3.

841

3.41

0 3.

115

2.90

0 2.

737

2.60

9 2.

505

2.42

0 2.

349

2.28

8 2.

235

2.19

0 2.

150

2.11

4 2.

082

2.05

4 2.

028

2.00

5 1.

984

1.96

4 1.

946

1.93

0 1.

915

1.90

0 1.

887

1.79

3 1.

700

250.

1 19

.46

8.61

6 5.

746

4.49

6 3.

808

3.37

6 3.

079

2.86

4 2.

699

2.57

0 2.

466

2.38

0 2.

308

2.24

7 2.

194

2.14

8 2.

107

2.07

1 2.

039

2.01

0 1.

984

1.96

0 1.

939

1.91

9 1.

901

1.88

4 1.

869

1.85

4 1.

841

1.74

4 1.

649

251.

1 19

.47

8.59

4 5.

717

4.46

4 3.

774

3.34

0 3.

043

2.82

6 2.

661

2.53

1 2.

426

2.33

9 2.

266

2.20

4 2.

151

2.10

4 2.

063

2.02

6 1.

994

1.96

4 1.

938

1.91

4 1.

892

1.87

2 1.

853

1.83

6 1.

820

1.80

5 1.

792

1.69

3 1.

594

252.

2 19

.48

8.57

2 5.

688

4.43

1 3.

740

3.30

4 3.

005

2.78

7 2.

621

2.49

0 2.

384

2.29

6 2.

223

2.16

0 2.

106

2.05

8 2.

017

1.97

9 1.

946

1.91

6 1.

889

1.86

5 1.

842

1.82

2 1.

803

1.78

5 1.

769

1.75

4 1.

739

1.63

7 1.

534

253.

2 19

.49

8.54

9 5.

658

4.39

8 3.

705

3.26

7 2.

967

2.74

7 2.

580

2.44

8 2.

341

2.25

2 2.

178

2.11

4 2.

059

2.01

1 1.

968

1.93

0 1.

896

1.86

6 1.

838

1.81

3 1.

790

1.76

8 1.

749

1.73

1 1.

714

1.69

8 1.

683

1.57

7 1.

467


72

Dis

trib

ució

n F

. P(F

n1.n

2f

0.97

5. n

1. n

2)

n

1

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

12

15

20

24

30

40

60

12

0

n2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60

647.

8

38.5

1

17.4

4

12.2

2

10.0

1

8.81

3

8.07

3

7.57

1

7.20

9

6.93

7

6.72

4

6.55

4

6.41

4

6.29

8

6.19

9

6.11

5

6.04

2

5.97

8

5.92

2

5.87

1

5.82

7

5.78

6

5.75

0

5.71

7

5.68

6

5.65

9

5.63

3

5.60

9

5.58

8

5.56

7

5.42

4

5.28

6

799.

5 39

.00

16.0

4 10

.65

8.43

4 7.

260

6.54

1 6.

059

5.71

5 5.

456

5.25

6 5.

096

4.96

5 4.

857

4.76

5 4.

687

4.61

9 4.

560

4.50

7 4.

461

4.42

0 4.

383

4.34

9 4.

319

4.29

1 4.

265

4.24

2 4.

220

4.20

0 4.

182

4.05

1 3.

925

864.

2 39

.16

15.4

4 9.

979

7.76

3 6.

599

5.89

0 5.

416

5.07

8 4.

826

4.63

0 4.

474

4.34

7 4.

242

4.15

3 4.

077

4.01

1 3.

954

3.90

3 3.

859

3.81

9 3.

783

3.75

0 3.

721

3.69

4 3.

670

3.64

7 3.

626

3.60

7 3.

589

3.46

3 3.

342

899.

6 39

.25

15.1

0 9.

604

7.38

8 6.

227

5.52

2 5.

053

4.71

8 4.

468

4.27

5 4.

121

3.99

6 3.

892

3.80

4 3.

729

3.66

5 3.

608

3.55

9 3.

515

3.47

5 3.

440

3.40

8 3.

379

3.35

3 3.

329

3.30

7 3.

286

3.26

7 3.

250

3.12

6 3.

008

921.

8 39

.30

14.8

8 9.

364

7.14

6 5.

987

5.28

5 4.

817

4.48

4 4.

236

4.04

4 3.

891

3.76

7 3.

663

3.57

6 3.

502

3.43

8 3.

382

3.33

3 3.

289

3.25

0 3.

215

3.18

3 3.

155

3.12

9 3.

105

3.08

3 3.

062

3.04

4 3.

026

2.90

4 2.

786

937.

1 39

.33

14.7

3 9.

197

6.97

8 5.

820

5.11

8 4.

652

4.32

0 4.

072

3.88

1 3.

728

3.60

4 3.

501

3.41

5 3.

341

3.27

7 3.

221

3.17

2 3.

128

3.08

9 3.

055

3.02

3 2.

994

2.96

8 2.

945

2.92

3 2.

903

2.88

4 2.

867

2.74

4 2.

627

948.

2 39

.35

14.6

2 9.

074

6.85

3 5.

695

4.99

5 4.

528

4.19

7 3.

950

3.75

9 3.

606

3.48

3 3.

380

3.29

3 3.

219

3.15

5 3.

100

3.05

1 3.

007

2.96

9 2.

934

2.90

2 2.

874

2.84

8 2.

824

2.80

2 2.

782

2.76

3 2.

746

2.62

4 2.

507

956.

6 39

.37

14.5

4 8.

979

6.75

7 5.

600

4.89

9 4.

433

4.10

2 3.

855

3.66

4 3.

512

3.38

8 3.

285

3.19

9 3.

125

3.06

1 3.

005

2.95

6 2.

913

2.87

3 2.

839

2.80

8 2.

779

2.75

3 2.

729

2.70

7 2.

687

2.66

8 2.

651

2.52

9 2.

412

963.

3 39

.39

14.4

7 8.

905

6.68

1 5.

523

4.82

3 4.

357

4.02

6 3.

779

3.58

8 3.

436

3.31

2 3.

209

3.12

3 3.

049

2.98

5 2.

929

2.88

0 2.

836

2.79

8 2.

763

2.73

1 2.

703

2.67

7 2.

653

2.63

1 2.

611

2.59

2 2.

575

2.45

2 2.

334

968.

6 39

.40

14.4

2 8.

844

6.61

9 5.

461

4.76

1 4.

295

3.96

4 3.

717

3.52

6 3.

373

3.25

0 3.

147

3.06

0 2.

986

2.92

2 2.

866

2.81

7 2.

774

2.73

5 2.

700

2.66

8 2.

639

2.61

3 2.

589

2.56

7 2.

547

2.52

8 2.

511

2.38

8 2.

270

976.

7 39

.41

14.3

4 8.

751

6.52

4 5.

366

4.66

6 4.

200

3.86

8 3.

621

3.43

0 3.

277

3.15

3 3.

050

2.96

3 2.

889

2.82

5 2.

769

2.71

9 2.

676

2.63

7 2.

602

2.57

0 2.

541

2.51

5 2.

491

2.46

9 2.

448

2.42

9 2.

412

2.28

8 2.

169

984.

9 39

.43

14.2

5 8.

656

6.42

8 5.

269

4.56

8 4.

101

3.76

9 3.

522

3.33

0 3.

177

3.05

3 2.

949

2.86

2 2.

787

2.72

3 2.

667

2.61

7 2.

573

2.53

4 2.

498

2.46

6 2.

437

2.41

1 2.

387

2.36

4 2.

344

2.32

5 2.

307

2.18

2 2.

061

993.

1 39

.45

14.1

7 8.

560

6.32

8 5.

168

4.46

7 3.

999

3.66

7 3.

418

3.22

6 3.

073

2.94

8 2.

844

2.75

6 2.

681

2.61

6 2.

559

2.50

9 2.

464

2.42

5 2.

389

2.35

7 2.

327

2.30

0 2.

276

2.25

3 2.

232

2.21

3 2.

195

2.06

8 1.

944

997.

2 39

.46

14.1

2 8.

511

6.27

8 5.

117

4.41

5 3.

947

3.61

4 3.

365

3.17

2 3.

019

2.89

3 2.

789

2.70

1 2.

625

2.56

0 2.

503

2.45

2 2.

407

2.36

7 2.

331

2.29

9 2.

269

2.24

2 2.

217

2.19

4 2.

173

2.15

4 2.

136

2.00

7 1.

882

1001

.4

39.4

6 14

.08

8.46

1 6.

227

5.06

5 4.

362

3.89

4 3.

560

3.31

1 3.

118

2.96

3 2.

837

2.73

2 2.

644

2.56

8 2.

502

2.44

4 2.

394

2.34

9 2.

308

2.27

2 2.

239

2.20

9 2.

182

2.15

6 2.

133

2.11

2 2.

092

2.07

4 1.

943

1.81

5

1005

39

.47

14.0

4 8.

411

6.17

5 5.

012

4.30

9 3.

840

3.50

5 3.

255

3.06

1 2.

906

2.78

0 2.

674

2.58

5 2.

508

2.44

2 2.

384

2.33

3 2.

287

2.24

6 2.

210

2.17

6 2.

146

2.11

8 2.

093

2.06

9 2.

048

2.02

7 2.

009

1.87

5 1.

744

1009

39

.48

13.9

9 8.

360

6.12

2 4.

959

4.25

4 3.

784

3.44

9 3.

198

3.00

3 2.

848

2.72

0 2.

614

2.52

4 2.

447

2.38

0 2.

321

2.26

9 2.

223

2.18

2 2.

144

2.11

1 2.

080

2.05

2 2.

026

2.00

2 1.

980

1.95

9 1.

940

1.80

3 1.

667

1014

39

.49

13.9

5 8.

309

6.06

9 4.

904

4.19

9 3.

728

3.39

2 3.

140

2.94

4 2.

787

2.65

9 2.

552

2.46

1 2.

383

2.31

5 2.

256

2.20

3 2.

156

2.11

4 2.

076

2.04

1 2.

010

1.98

1 1.

954

1.93

0 1.

907

1.88

6 1.

866

1.72

4 1.

581

Tabla 8. Distribución F de Fisher-Snedecor

73

Dis

trib

ució

n F

. P(F

n1.n

2f

0.99

0. n

1. n

2)

n

1

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

12

15

20

24

30

40

60

12

0

n2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60

4052

98

.50

34.1

2 21

.20

16.2

6 13

.74

12.2

5 11

.26

10.5

6 10

.04

9.64

6 9.

330

9.07

4 8.

861

8.68

3 8.

531

8.40

0 8.

285

8.18

5 8.

096

8.01

6 7.

945

7.88

1 7.

823

7.77

0 7.

721

7.67

7 7.

636

7.59

8 7.

562

7.31

4 7.

077

4999

99

.00

30.8

2 18

.00

13.2

7 10

.92

9.54

6 8.

649

8.02

1 7.

559

7.20

6 6.

927

6.70

1 6.

515

6.35

9 6.

226

6.11

2 6.

013

5.92

6 5.

849

5.78

0 5.

719

5.66

4 5.

613

5.56

8 5.

526

5.48

8 5.

453

5.42

0 5.

390

5.17

8 4.

977

5403

99

.17

29.4

6 16

.69

12.0

6 9.

779

8.45

1 7.

591

6.99

2 6.

552

6.21

7 5.

952

5.73

9 5.

564

5.41

7 5.

292

5.18

5 5.

092

5.01

0 4.

938

4.87

4 4.

817

4.76

5 4.

718

4.67

5 4.

636

4.60

1 4.

568

4.53

8 4.

510

4.31

2 4.

126

5624

99

.25

28.7

1 15

.98

11.3

9 9.

148

7.84

7 7.

006

6.42

2 5.

994

5.66

8 5.

412

5.20

5 5.

035

4.89

3 4.

772

4.66

9 4.

579

4.50

0 4.

431

4.36

9 4.

313

4.26

3 4.

218

4.17

7 4.

140

4.10

6 4.

074

4.04

4 4.

018

3.82

8 3.

649

5763

99

.30

28.2

4 15

.52

10.9

7 8.

746

7.46

0 6.

632

6.05

7 5.

636

5.31

6 5.

064

4.86

2 4.

695

4.55

6 4.

437

4.33

6 4.

248

4.17

1 4.

103

4.04

2 3.

988

3.93

9 3.

895

3.85

5 3.

818

3.78

5 3.

754

3.72

5 3.

699

3.51

4 3.

339

5859

99

.33

27.9

1 15

.21

10.6

7 8.

466

7.19

1 6.

371

5.80

2 5.

386

5.06

9 4.

820

4.62

0 4.

456

4.31

8 4.

202

4.10

1 4.

015

3.93

8 3.

871

3.81

2 3.

758

3.71

0 3.

667

3.62

7 3.

591

3.55

8 3.

527

3.49

9 3.

473

3.29

1 3.

119

5928

99

.36

27.6

7 14

.97

10.4

5 8.

260

6.99

3 6.

178

5.61

3 5.

200

4.88

6 4.

639

4.44

1 4.

278

4.14

1 4.

026

3.92

7 3.

841

3.76

5 3.

699

3.63

9 3.

587

3.53

9 3.

496

3.45

7 3.

421

3.38

8 3.

358

3.33

0 3.

304

3.12

4 2.

953

5981

99

.37

27.4

9 14

.80

10.2

9 8.

102

6.84

0 6.

029

5.46

7 5.

057

4.74

4 4.

499

4.30

2 4.

140

4.00

4 3.

889

3.79

1 3.

705

3.63

0 3.

564

3.50

6 3.

453

3.40

6 3.

363

3.32

4 3.

288

3.25

6 3.

226

3.19

8 3.

173

2.99

3 2.

823

6022

99

.39

27.3

4 14

.66

10.1

6 7.

976

6.71

9 5.

911

5.35

1 4.

942

4.63

1 4.

387

4.19

1 4.

030

3.89

5 3.

780

3.68

2 3.

597

3.52

2 3.

457

3.39

8 3.

346

3.29

9 3.

256

3.21

7 3.

182

3.14

9 3.

119

3.09

2 3.

066

2.88

7 2.

718

6055

99

.40

27.2

3 14

.54

10.0

5 7.

874

6.62

0 5.

814

5.25

6 4.

849

4.53

9 4.

296

4.10

0 3.

939

3.80

5 3.

691

3.59

3 3.

508

3.43

4 3.

368

3.31

0 3.

258

3.21

0 3.

168

3.12

9 3.

094

3.06

2 3.

032

3.00

4 2.

979

2.80

0 2.

632

6106

99

.41

27.0

5 14

.37

9.88

8 7.

718

6.46

9 5.

667

5.11

1 4.

706

4.39

7 4.

155

3.96

0 3.

800

3.66

6 3.

553

3.45

5 3.

371

3.29

6 3.

231

3.17

3 3.

121

3.07

4 3.

032

2.99

3 2.

958

2.92

5 2.

896

2.86

8 2.

843

2.66

5 2.

496

6157

99

.43

26.8

7 14

.20

9.72

2 7.

559

6.31

4 5.

515

4.96

2 4.

558

4.25

1 4.

010

3.81

5 3.

656

3.52

2 3.

409

3.31

2 3.

227

3.15

3 3.

088

3.03

0 2.

978

2.93

1 2.

889

2.85

0 2.

815

2.78

3 2.

753

2.72

5 2.

700

2.52

2 2.

352

6208

99

.45

26.6

9 14

.02

9.55

3 7.

396

6.15

5 5.

359

4.80

8 4.

405

4.09

9 3.

858

3.66

5 3.

505

3.37

2 3.

259

3.16

1 3.

077

3.00

3 2.

938

2.87

9 2.

827

2.78

0 2.

738

2.69

9 2.

664

2.63

1 2.

602

2.57

4 2.

549

2.36

9 2.

198

6235

99

.46

26.6

0 13

.93

9.46

6 7.

313

6.07

4 5.

279

4.72

9 4.

327

4.02

1 3.

78

3.58

7 3.

427

3.29

4 3.

181

3.08

3 2.

999

2.92

5 2.

859

2.80

1 2.

749

2.70

2 2.

659

2.62

0 2.

585

2.55

2 2.

522

2.49

4 2.

469

2.28

8 2.

115

6261

99

.46

26.5

0 13

.84

9.37

9 7.

228

5.99

2 5.

198

4.64

8 4.

247

3.94

1 3.

701

3.50

7 3.

347

3.21

4 3.

101

3.00

3 2.

918

2.84

4 2.

778

2.72

0 2.

667

2.62

0 2.

577

2.53

8 2.

503

2.47

0 2.

440

2.41

2 2.

386

2.20

3 2.

028

6287

99

.47

26.4

1 13

.74

9.29

1 7.

143

5.90

8 5.

116

4.56

7 4.

165

3.85

9 3.

619

3.42

5 3.

266

3.13

2 3.

018

2.92

0 2.

835

2.76

1 2.

695

2.63

6 2.

583

2.53

5 2.

492

2.45

3 2.

417

2.38

4 2.

353

2.32

5 2.

299

2.11

4 1.

936

6313

99

.48

26.3

2 13

.65

9.20

2 7.

057

5.82

3 5.

032

4.48

3 4.

082

3.77

6 3.

535

3.34

1 3.

181

3.04

7 2.

933

2.83

5 2.

749

2.67

4 2.

608

2.54

8 2.

495

2.44

7 2.

403

2.36

4 2.

327

2.29

4 2.

263

2.23

4 2.

208

2.01

9 1.

836

6339

99

.49

26.2

2 13

.56

9.11

2 6.

969

5.73

7 4.

946

4.39

8 3.

996

3.69

0 3.

449

3.25

5 3.

094

2.95

9 2.

845

2.74

6 2.

660

2.58

4 2.

517

2.45

7 2.

403

2.35

4 2.

310

2.26

9 2.

232

2.19

8 2.

167

2.13

8 2.

111

1.91

7 1.

726


74

Dis

trib

ució

n F

. P(F

n1.n

2f

0.99

5. n

1. n

2)

n

1

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

12

15

20

24

30

40

60

12

0

n2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60

1621

119

8.5

55.5

531

.33

22.7

818

.63

16.2

314

.69

13.6

112

.83

12.2

311

.75

11.3

711

.06

10.8

010

.57

10.3

810

.22

10.0

79.

944

9.82

99.

727

9.63

59.

551

9.47

59.

406

9.34

29.

284

9.23

09.

180

8.82

88.

495

1999

919

9.0

49.8

026

.28

18.3

114

.54

12.4

011

.04

10.1

19.

427

8.91

28.

510

8.18

67.

922

7.70

17.

514

7.35

47.

215

7.09

36.

986

6.89

16.

806

6.73

06.

661

6.59

86.

541

6.48

86.

440

6.39

66.

355

6.06

65.

795

2161

519

9.2

47.4

724

.26

16.5

312

.92

10.8

89.

596

8.71

78.

081

7.60

07.

226

6.92

66.

680

6.47

66.

303

6.15

66.

028

5.91

65.

818

5.73

05.

652

5.58

25.

519

5.46

15.

409

5.36

15.

317

5.27

65.

239

4.97

64.

729

2249

919

9.2

46.1

923

.15

15.5

612

.03

10.0

58.

805

7.95

67.

343

6.88

16.

521

6.23

35.

998

5.80

35.

638

5.49

75.

375

5.26

85.

174

5.09

15.

017

4.95

04.

890

4.83

54.

785

4.74

04.

698

4.65

94.

623

4.37

44.

140

2305

619

9.3

45.3

922

.46

14.9

411

.46

9.52

28.

302

7.47

16.

872

6.42

26.

071

5.79

15.

562

5.37

25.

212

5.07

44.

956

4.85

34.

761

4.68

14.

609

4.54

44.

486

4.43

34.

384

4.34

04.

299

4.26

24.

227

3.98

63.

760

2343

719

9.3

44.8

421

.97

14.5

111

.07

9.15

57.

952

7.13

46.

545

6.10

15.

757

5.48

25.

257

5.07

04.

913

4.77

94.

663

4.56

14.

472

4.39

34.

322

4.25

94.

202

4.15

04.

103

4.05

94.

020

3.98

33.

949

3.71

33.

492

2371

419

9.3

44.4

321

.62

14.2

010

.78

8.88

57.

694

6.88

56.

302

5.86

55.

524

5.25

35.

031

4.84

74.

692

4.55

94.

445

4.34

54.

257

4.17

94.

109

4.04

73.

990

3.93

93.

893

3.85

03.

811

3.77

53.

741

3.50

93.

291

2392

519

9.4

44.1

221

.35

13.9

610

.56

8.67

87.

496

6.69

36.

116

5.68

25.

345

5.07

64.

857

4.67

44.

521

4.38

94.

276

4.17

74.

090

4.01

33.

944

3.88

23.

826

3.77

63.

730

3.68

73.

649

3.61

33.

580

3.35

03.

134

2409

119

9.4

43.8

821

.14

13.7

710

.39

8.51

47.

338

6.54

15.

967

5.53

75.

202

4.93

54.

717

4.53

64.

384

4.25

34.

141

4.04

33.

956

3.88

03.

811

3.75

03.

695

3.64

53.

599

3.55

73.

519

3.48

33.

450

3.22

23.

008

2422

419

9.4

43.6

820

.97

13.6

210

.25

8.38

07.

211

6.41

75.

847

5.41

85.

085

4.82

04.

603

4.42

34.

272

4.14

24.

030

3.93

33.

847

3.77

13.

703

3.64

23.

587

3.53

73.

491

3.45

03.

412

3.37

63.

344

3.11

72.

904

2442

619

9.4

43.3

920

.70

13.3

810

.03

8.17

67.

015

6.22

75.

661

5.23

64.

906

4.64

34.

428

4.25

04.

099

3.97

13.

860

3.76

33.

678

3.60

23.

535

3.47

43.

420

3.37

03.

325

3.28

43.

246

3.21

13.

179

2.95

32.

742

2463

019

9.4

43.0

820

.44

13.1

59.

814

7.96

86.

814

6.03

25.

471

5.04

94.

721

4.46

04.

247

4.07

03.

920

3.79

33.

683

3.58

63.

502

3.42

73.

360

3.30

03.

245

3.19

63.

151

3.11

03.

073

3.03

83.

006

2.78

12.

570

2483

619

9.4

42.7

820

.17

12.9

09.

589

7.75

46.

608

5.83

25.

274

4.85

54.

530

4.27

04.

058

3.88

23.

734

3.60

73.

498

3.40

23.

318

3.24

33.

176

3.11

63.

062

3.01

32.

968

2.92

72.

890

2.85

52.

823

2.59

82.

387

2493

919

9.4

42.6

220

.03

12.7

89.

474

7.64

56.

503

5.72

95.

173

4.75

64.

431

4.17

23.

961

3.78

63.

638

3.51

13.

402

3.30

63.

222

3.14

73.

081

3.02

12.

967

2.91

82.

873

2.83

22.

794

2.75

92.

727

2.50

22.

290

2504

419

9.5

42.4

619

.89

12.6

59.

358

7.53

46.

396

5.62

55.

070

4.65

44.

331

4.07

33.

862

3.68

73.

539

3.41

23.

303

3.20

73.

123

3.04

92.

982

2.92

22.

868

2.81

92.

774

2.73

32.

695

2.66

02.

628

2.40

12.

187

2514

819

9.5

42.3

119

.75

12.5

39.

241

7.42

26.

287

5.51

84.

966

4.55

14.

228

3.97

03.

760

3.58

53.

437

3.31

13.

201

3.10

63.

021

2.94

72.

880

2.82

02.

765

2.71

62.

671

2.62

92.

591

2.55

62.

524

2.29

62.

079

2525

319

9.5

42.1

519

.61

12.4

09.

122

7.30

96.

177

5.41

04.

859

4.44

54.

123

3.86

53.

655

3.48

03.

332

3.20

63.

096

3.00

02.

916

2.84

12.

774

2.71

32.

658

2.60

92.

563

2.52

22.

483

2.44

82.

415

2.18

41.

962

2535

819

9.5

41.9

919

.47

12.2

79.

001

7.19

36.

065

5.30

04.

750

4.33

74.

015

3.75

83.

547

3.37

23.

224

3.09

72.

987

2.89

12.

806

2.73

02.

662

2.60

12.

546

2.49

62.

450

2.40

82.

369

2.33

32.

300

2.06

31.

834

Referencias Bibliográficas

75

RE ERENCIAS BIBLIO RÁ ICAS

Amón, J. (1993). Estadística para psicólogos. Volumen 1. Madrid: Pirámide.

Amón, J. (1993). Estadística para Psicólogos. Volumen 2. Madrid: Pirámide.

Botella, J., León, O. y San Martín, R. (1993). Análisis de Datos en Psicología I. Madrid: Pirámide.

Canavos, G.C. (1988). Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. México: McGraw Hill.

Cooms, C.H., Dawes, R.M. y Tversky, A. (1970). Introducción a la Psicología Matemática. Madrid: Alianza

Universidad Textos.

Cramer, H. (1955). Introduction to Probability Theory. New York: Wiley.

DeFinetti, B. (1995). Theory of Probability. Volume I. New York: Wiley.

DeFinetti, B. (1995). Theory of Probability. Volume II. New York: Wiley.

Evans, M., Hasting, N. y Peacock, B. (1993). Statistical Distribution. New York: Wiley.

Feller, W. (1957). An Introduction to Probability Theory and its Applications. New York: Wiley.

Johnson, J., Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distribution. Volume I. New York:

Wiley.

Johnson, J., Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distribution. Volume II. New York:

Wiley.

Kyburg, H.E. (1970). Probability and Inductive Logia. London: McMillan Company.

Kyburg, H.E. y Smokler H. (1964). Studies in Subjective Probability. New York: Wiley.

Laplace, P.S. (1985). Ensayo Filosófico sobre las Probabilidades. Madrid: Alianza Editorial.

Lindley, D.V. (1980). Introduction to Probability and Statistics. Cambridge: Cambridge University Press.

MacLane, S. y Birkhoff, G. (1971a). AlgebreI: Structures Fondamentales. París: Gauthier-Villars.

MacLane, S. y Birkhoff, G. (1971b). AlgebreII: Les Grandes Théorems. París: Gauthier-Villars.

Pardo, A. y San Martín, R. (1998). Análisis de Datos en Psicología II. Madrid: Pirámide.

Quesada, V., Isidoro, A. y López, L.J. (1984). Curso y ejercicios de estadística. Alhambra Universidad.

Savage, L.J. (1954). Foundations of Statistics. New York: Wiley.

Tucker, H.G. (1973). Introducción a la Teoría Matemática de las Probabilidades y la Estadística. Barcelona:

Vicens-Vives.

Von Mises, R.E. (1957). Probability, Statistics and Truth. New York: McMillan

Anexo. Formulario de Estadística Descriptiva

77

ANEXO. FORMULARIO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Formulario 40. ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN

NOMBRE DATOS NO AGRUPADOS EN TABLAS

DATOS AGRUPADOS EN TABLAS

MEDIAARITMÉTICA n

X i=Xn

Xn=X ii

MEDIANAa

n

N-n+L=M i

i

1-i

id2

1

PERCENTIL ka

n

N-n/100k+L=P i

i

1-iik 1

Formulario 41. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN

NOMBRE DATOS NO AGRUPADOS EN TABLAS

DATOS AGRUPADOS EN TABLAS

DESVIACION MEDIA

n

|X-X|=XMD i)(.

n

|X-X|n=XMD Ii)(.

VARIANZA

n

XX=S

i2x

2

n

XXn=S

ii2x

2

DESVIACIÓN TÍPICA

n

XX=S

ix

2

n

XXn=S

iix

2

COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV X =

S

X.100

x( )

DESVIACION MEDIANA

MAD M X Md i d

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

CUARTÍLICO

CV =P P

P PC75 25

75 25

RANGO O AMPLITUD TOTAL

ATotal= Xn – X1 + 1

AMPLITUD INTER CUARTILICA

AQ= Q3 – Q1

AMPLITUD SEMIINTER

CUARTÍLICA

Amp =Q - Q

23 1


78

Formulario 42. TIPOS DE PUNTUACIONES

PUNTUACIONES DIRECTAS iX

PUNTUACIONES DIFERENCIALES XXx ii

PUNTUACIONES TÍPICAS X

ii

S

XXZ

ESCALAS DERIVADAS T aZ bi

Formulario 43. TRANSFORMACIONES LINEALES 1

MEDIA ARITMÉTICA

bXaY

baXY

VARIANZA 222xy SaS

baXY

DESVIACIÓN TÍPICA xy SaS

baXY

Anexo. Formulario de Estadística Descriptiva

79

Formulario 44. ESTADÍSTICOS DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES

COVARIANZA DATOS NO

AGRUPADOS EN TABLAS

n

YYXX

S

ni

i

ii

xy1

YXn

YX

S

ni

i

ii

xy1

COVARIANZA DATOS AGRUPADOS

EN TABLAS n

YYXX

S

ki

i

pj

j

ji

xy

1 1

YXn

YX

S

ki

i

pj

j

ji

xy

1 1

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE

PEARSON DATOS NO AGRUPADOS EN

TABLAS

yx

xy

xySS

Sr

ni

i

ni

i

ii

ni

i

ni

i

ii

ni

i

ni

i

ii

ni

i

ii

xy

YYnXXn

YXYXn

r

1

2

1

2

1

2

1

2

1 11

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON DATOS AGRUPADOS EN

TABLAS

yx

xy

xySS

Sr

pj

j

pj

j

jj

ki

i

ki

i

ii

ki

i

pj

j

ji

ki

i

pj

j

ji

xy

YYnXXn

YXYXn

r

1

2

1

2

1

2

1

2

1 11 1


80

Formulario 45. TRANSFORMACIONES LINEALES 2

COVARIANZA

xyvw ScaS

dcYWbaXV

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE

PEARSON

xyvw rcar

dcYWbaXV

FORMULARIO 46. RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE XDATOS NO AGRUPADOS EN TABLAS

RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE XDATOS AGRUPADOS EN TABLAS

Recta de Y sobre X: bXaY 'Estimación de los parámetros:

ni

i

ni

i

ii

ni

i

ni

i

ii

ni

i

ii

x

xy

x

y

xy

XXn

YXYXn

s

s

s

srb

1

2

1

2

1 112

XbYa

Error de predicción:ni

i

YY1

2'

Recta de Y sobre X: bXaY

Estimación de los parámetros:

ki

i

ki

i

ii

ki

i

pj

j

ki

i

pj

j

jiji

x

xy

x

y

xy

XXn

YXYXn

s

s

s

srb

1

2

1

2

1 1 1 12

XbYa

Error de predicción: ni

i

YY1

2'

colecciÓn metodologÍa de las ciencias del comportamientoanalisisdedatos/libros/breviario.pdf ·...

Documents