36

Juli

ol

20

14

SCM / Notícies / 36Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

• La Mathematical Association of America

• La festa de la matemàtica catalana: Cangur i Olimpíada

• IV Trobada de Societats Matemàtiques de Parla Catalana

• 30è aniversari del CRM

Institutd’Estudis

Catalans

Ernest Corominas, matemàtiques des de l’exili

Cob SCM Num 36.pdf 1 07/08/14 09:09

Societat Catalana de Matematiques

President: Joan de Sola-MoralesVicepres.: Joaquim Ortega-CerdaSecretari: Albert Ruiz i CireraTresorera: Mariona Petit i VilaVocals: Nuria Fagella i Rabionet

Josep Grane i ManlleuXavier Jarque i Ribera

Agustı Reventos i TarridaCarles Romero i Chesa

Oriol Serra i AlboEsther Silberstein

Manuel Udina i AbelloEnric Ventura i Capell

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iecat.net

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesJuliol 2014. Numero 36

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap: Xavier Jarquexavier.jarque@ub.edu

Disseny: Teresa Sabater

Foto de portada:

Ernest Corominas, Matematiques des de l’exili Barcelona 1913 – Lio 1992

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1Report de la Junta 1

Editorial 2

Internacional 3La columna de l’EMS 3La Mathematical Association of America (MAA) 4

Noticiari 7Medalla d’Or al Merit Cientıfic a la Reial Academia

de Ciencies i Arts de Barcelona 7La festa de la matematica catalana: Cangur i

Olimpıada 830e aniversari del CRM 11Les universitats informen 13

Activitats 18Jornades d’Interaccio entre Sistemes Dinamics i

Equacions en Derivades Parcials 18Olimpıada Catalana de Matematiques 19Activitats amb ajut de la Societat 20IV Trobada de Societats Matematiques de Parla

Catalana 29

Contribucions 31Breu introduccio a la historia de la geometria al

segle xix 31

Premis 35Premi Abel 2014 35Premis Poincare 2014 36Barcelona Dynamical Systems Prize 2015 36Premi FSB 2014 per a Veronique Fischer i Michael

Ruzhansky 36Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer 37

Raco biografic 38

Problemes 46

Tesis i treballs de fi de master 47

La Junta informa

Report de la Junta

L’acte inaugural del curs 2013-2014 tingue llocel 20 de novembre de 2013 a la Sala Pere iJoan Coromines de la seu de l’Institut d’Es-tudis Catalans. S’inicia a les sis de la tardaamb la conferencia !L’IEC i les matematiques(1911-2011): projecte d’estudi i base de dades",impartida per Miquel Terreu (historiador de laciencia i becari de l’IEC). A continuacio hi vahaver la conferencia !En el centenari del nai-xement d’un matematic catala exiliat: ErnestCorominas i Vigneaux", a carrec de Julia Cufı(UAB).

Dins el mateix acte, es va celebrar l’Assem-blea General de la Societat Catalana de Ma-tematiques. El president de la SCM, Joan Sola-Morales, presenta un informe de les activitatsdutes a terme des de finals del 2012 fins a ladata de l’Assemblea.

L’informe comenca amb les dades actualsde la SCM: te 837 socis, a qui s’ha enviat untotal de 26 correus electronics amb anuncis iinformacions. La comunicacio tambe s’ha com-pletat amb el compte de Twitter (@soccatmat),la pagina web i un compte al Facebook.

El president va destacar la creacio del pre-mi Barcelona Dynamical Systems Prize. Aquestpremi s’ofereix, sota el mecenatge del professorCarles Simo, a l’autor o autors d’un treball derecerca de l’area de sistemes dinamics i es fa-llara el maig de 2015.

La part central va estar dedicada a les acti-vitats dutes a terme per la SCM durant aquestcurs. Algunes d’aquestes ja van ser menciona-des a la SCM-Notıcies 35 i les posteriors estanresumides a la segona part d’aquest informe.

En el seguent punt de l’ordre del dia, Mario-na Petit, tresorera de la SCM, va informar delscomptes de la Societat de l’exercici del 2012i del pressupost per al 2014. Ambdos van seraprovats per assentiment.

L’Assemblea va finalitzar amb el torn obertde paraules.

A mes de l’Assemblea, destaquem aquı lesactivitats dutes a terme des de l’aparicio de ladarrera SCM/Notıcies:

El 12 de desembre hi va haver la conferencia!Pierre Deligne, premi Abel 2013" a carrec de

la professora Pilar Bayer (UB). La xerrada for-ma part del cicle de l’IEC sobre premis Nobel iAbel.

El 15 de gener es van celebrar a l’IEC lesreunions del Comite Executiu i del Comite Es-panyol de Matematiques (CEMat). Per part dela SCM hi van assistir el president i qui subscriuaquesta acta (en substitucio del vicepresident).

El 16 i 17 de gener es va reunir al centre In-ternacional de Matematiques Pures i Aplicades(CIMPA) a la seu de l’IEC. Aquesta associa-cio financa parcialment cursos de recerca enpaısos en desenvolupament. Quatre de les esco-les financades tenen participacio de matematicscatalans.

El passat 2 de febrer el MMACA va obrirl’espai expositiu permanent !Experiencies ma-tematiques" al Palau Mercader de Cornella.L’obertura es va fer amb una Jornada dePortes Obertes i el 5 de febrer es va fer laJornada Inaugural destinada a la comunitateducativa.

Dins l’apartat de premis, cal destacar ques’ha resolt el premi Evariste Galois 2014.L’acte de lliurament va ser a l’IEC, a l’acte delspremis Sant Jordi, i el jurat va atorgar el premia Ferran A. Mazaira pel treball Analisi multi-variant de series temporals.

La SCM segueix esdeveniments i trobadesde recerca amb el fons de promocio d’activi-tats. Enguany hem ates les peticions d’ajuts alsworkshops i activitats seguents:

• Joint ALAMA-GAMM/ANLA 2014.

• Encuentros de Algebra Computacional yAplicaciones (EACA 2014).

• IX Jornadas de Matematica Discreta y Al-gorıtmica 2014.

• II Spanish Young Topologists Meeting.

• Planter de Sondeigs i Experiments 2014.

• Juliols de la UB.

• Jornades de GeoGebra.

• Seminari Estalmat.

1

• Trobada d’estudiants Jornada d’Investiga-dors Predoctorals Interdisciplinaria (JIPI).

A mes de les activitats que acabem de des-criure, cal destacar que hi ha programa-des: First Joint International Meeting RSME-

SCM-SEMA-SIMAI-UMI (Bilbao, 30 de juny-4 de juliol de 2014), Congres Internacional deMatematics 2014 (Seul, 13-21 d’agost 2014)i Congres de la Societat Catalana de Ma-tematiques: Barcelona Mathematical Days 2014(Barcelona, 7-8 de novembre 2014).

Albert Ruiz CireraSecretari de la SCM

Editorial

Editorial

Benvolguts socis i lectors,

Aixı com el darrer editorial l’escrivia desd’Argentera, petit poblet del Baix Camp,aquest cop em disposo a cloure el numero 36 dela SCM/Notıcies amb un editorial, que m’en-sumo molt mes curt, des d’un avio que m’hade portar a Luton, un dels petits aeroports delnord de Londres, per fer una visita a l’OpenUniversity, es a dir, la versio britanica de lanostra Universitat Oberta de Catalunya. Espe-ro gaudir de l’hospitalitat del Departament deMatematiques de la ma de dos matematics lo-cals molt interessants, Phil Rippon i GwynethStallard, aixı com de la companyia de DavidMartı, exalumne del master de matematiquesde la UB, que actualment elabora la seva te-si doctoral en dinamica complexa a l’esmen-tat departament. Val a dir que avui, poqueshores abans d’agafar l’avio, el rei d’Espanya,Joan Carles I, ha dit que deixava el tron al seusuccessor el prıncep Felip. Quan llegiu aquesteditorial, a mitjan juliol o setembre, de ben se-gur que hauran passat moltes coses en l’ambitpolıtic. Pero aixo es una altra historia.

Pel que fa a aquest numero de laSCM/Notıcies, haig de dir que m’ha servitper constatar allo que fa un any i escaig noveia gens clar, quan l’Enric Ventura em vapassar la responsabilitat d’editar-la. Em de-ia que els diferents numeros sortien, per dir-ho co!l·loquialment, de forma una mica au-tomatica. Molts cops —em deia— quan inici-es el proces de recerca de possibles temes atractar (mes enlla d’aquells que son comuns atots els numeros) t’adones de la quantitat denotıcies i petits temes que resulten de l’activi-

tat matematica de la nostra comunitat (i mes entindrıem si indaguessim una mica mes pero eltemps es finit), de forma que una SCM/Notıcieset porta a l’altra i aixı successivament. Puc cor-roborar aquesta tesi, i dir-vos que, dels articlesinclosos en la SCM/Notıcies 36, almenys unterc no els tenia previstos quan vaig comencara recollir el material, i que ja tinc !en carte-ra" dos o tres temes molt interessants per trac-tar en la SCM/Notıcies 37, a mes a mes delsque sortiran quan l’iniciı, si tot va be. Graciesa tots per la col·laboracio entussiasta.

Com us deia en l’anterior editorial, undels reptes importants en posar-me al capda-vant de la SCM/Notıcies era la puntualitat al’hora d’arribar als lectors. A causa de moltsmotius que poc tenien a veure amb el procespropiament editorial, en els ultims numeros hihavia hagut alguns endarreriments significatius(l’Enric ja en va parlar en un dels seus ultimseditorials). No es pas per treure’m responsabi-litat com a editor en cap de la SCM/Notıcies,pero heu de saber que l’esforc que cal perfer dos numeros a l’any es alt. La feina queaixo suposa cau, basicament, sobre espatllesja forca carregades per altres feines igualmentimportants i per tant, el proces es dur. Haigde dir, pero, que almenys aquest cop ens enhem sortit pel que fa la puntualitat. Si nohi ha cap daltabaix, haurıeu d’haver rebut laSCM/Notıcies 36 a finals de juliol o, maxim,a mitjan setembre. Ara el proper repte es fer-vos arribar la SCM/Notıcies 37 a finals dedesembre o mitjans de gener. Tenint en comp-te la realitat de les activitats propies de lanostra comunitat, diria que l’optim seria un

2

numero al voltant de la Diada de Catalunyai un altre despres de Reis. Ja veurem; anempas a pas.

Finalment voldria tenir unes paraulesd’agraıment molt sinceres a Carles Romero,que durant tants i tants numeros ha estatel maxim responsable d’una de les seccionsinsıgnia de la revista: la seccio de problemes (de

fet en Carles es tambe un col·laborador entusi-asta i pal de paller de les proves Cangur i del’Olimpıada Matematica!). Per raons de saluten aquest numero s’ha pres un parentesi toti que esperem que, un cop totalment recupe-rat, en Carles ens torni a fer gaudir amb lesseves propostes. Una abracada molt forta i unarapida recuperacio.

Xavier JarqueEditor de la SCM/Notıcies

Internacional

La columna de l’EMS

En aquest numero destaquem:

• El premi Abel: El professor Yakov G.Sinai (Universitat de Princeton i InstitutLandau de Fısica Teorica de l’AcademicaRussa de Ciencies) ha estat guardonat amb elpremi Abel !per les seves contribucions fona-mentals en sistemes dinamics, teoria ergodicai fısica matematica". Yakov G. Sinai rebra elpremi Abel a una cerimonica a Oslo el dia 20de maig.

• Agenda de l’EMS: El consell de l’EMS 2014tindra lloc a Sant Sebastia els dies 28-29de juny (http://www.euro-math-soc.eu/node/4184), despres de la reunio del comiteexecutiu el dia 27 de juny. La crida per nomi-nacions de delegats esta disponible a http:

//www.euro-math-soc.eu/node/4429. Des-pres tindra lloc el primer Congres RSME-SCM-SEMA-SIMAI-UMI a Bilbao, del 30 dejuny al 4 de juliol: http://www.ehu.es/en/web/fjim2014/.

• Altres notıcies de l’EMS: La revista News-letter of the European Mathematical So-ciety ha canviat el seu disseny i araesta a Facebook i Twitter: https://

www.facebook.com/EMSnewsletter, https://twitter.com/EMSnewsletter.

Flaixos d’Europa

• Nova crida Horizon 2020-Marie Sklodowska-Curie actions-COFUND. L’esquema CO-

FUND preten estimular programes regio-nals, nacionals o internacionals per promou-re l’excel.lencia en l’aprenentatge, mobilitat idesenvolupament de la carrera dels investiga-dors. Data lımit: 2 d’octubre de 2014. https://ec.europa.eu/research/participants/

portal/desktop/en/opportunities/

h2020/calls/h2020-msca-cofund-2014.

html.

• Marie Sklodowska-Curie Actions: Crida pera beques individuals (IF). Aquestes bequesdonen l’oportunitat d’ampliar coneixementsa Europa (UE i estats associats) o forad’Europa. Data lımit: 11 de setembre de2014. Mes informacio: https://ec.europa.eu/research/participants/portal/

desktop/en/opportunities/index.html.

• Crida de l’Institut Mittag-Le"er per l’orga-nitzacio de conferencies/tallers/escoles d’es-tiu durant l’estiu de 2015. Data lımit de lapresentacio de propostes: 20 juliol 2014. Mesinformacio http://www.mittag-leffler.

se/?q=call_for_conferences.

• Altres premis: Peter Sarnak (USA) es elguanyador del premi Wolf 2014 en Mate-matiques. http://www.wolffund.org.il/

index.php?dir=site&page=news&id=3036.El professor Gerd Faltings (Alemanya)ha estat guardonat amb el premi KingFaisal 2014 http://www.kff.com/en01/kfip/KFIPTopicsIntro1435H2014G.html.

Eva MirandaUniversitat Politecnica de Catalunya

3

La Mathematical Association of America (MAA)

Als Estats Units d’America hi ha nombrosessocietats matematiques, com son l’AmericanMathematical Society (AMS), prou conegudaper molts de vosaltres per la seva activitat prio-ritaria en recerca, l’American Statistical Asso-ciation (ASA), el National Council of Teachersof Mathematics (NCTM), dedicada a l’educaciode les matematiques a secundaria, l’AmericanMathematical Association of Two-Year Colle-ges (AMATYC), i, finalment, la MathematicalAssociation of America (MAA), la misio de laqual es fer avancar la ciencia matematica engeneral amb una atencio especial al nivell decollegiate1. Tot i que jo personalment soc ac-tiu en totes aquestes associacions, vaig accep-tar presentar-me a la presidencia de la MAAl’any 2012, ja que penso que aquesta organit-zacio es just al centre de gravetat de totes lesaltres. Aixı, la MAA te l’habilitat i la necessi-tat de treballar en totes les direccions i ser unpunt d’encontre de tots els professionals de lesciencies matematiques, incloent-hi professors debatxillerat o professors del col·legis universita-ris i d’universitat, pel be de tota la comunitatmatematica.

David Bressoud (esquerra), del Macalester College,

i Robert L. Devaney (dreta) de la Universitat de

Boston. El primer va ser president de la MAA fa

dos mandats i el segon es l’actual president de la

MAA.

Un dels projectes preferents i mes reei-xits oferts per la MAA es l’anomenat projecteNExT 2. Des de principis de 1994, el projecte

NExT ha evolucionat fins a ser el primer pro-grama per a matematics joves que desenvolu-pen la seva carrera professional a l’academiaen tots els aspectes: millora i aprenentatge delconeixement matematic, promocio de la recer-ca i beques, i participacio en les activitats pro-fessionals. El projecte tambe dona als partici-pants una xarxa de suport (tant de possiblescol·laboradors com de possibles mentors) i elspermet pendre responsabilitats sobre la forma-cio de les noves generacions.

No conec exactament quin proces hi ha aCatalunya per fer que els graduats esdevinguinprofessors d’alumnes de grau, pero als EstatsUnits els graduats reben una formacio moltescassa abans d’entrar a l’aula i comencar adesenvolupar la tasca docent com a professorsajudants3. Aixı, quan els futurs professors fi-nalitzen el doctorat, han de fer front imme-diatament a tota la problematica propia del’activitat a l’aula. Un dels principals reptesdel programa NExT es millorar aquests aspec-tes. Cada any, aproximadament vuitanta jovesdoctors son seleccionats per obtenir una be-ca que els permet participar activament en di-versos congresos i trobades arreu del paıs or-ganitzats per la MAA, on es presenten i esdebaten les diferents formes d’ensenyar ma-tematiques. La MAA tambe convida profes-sors de llarga trajectoria i alt reconeixementper explicar als nous professionals la seva ex-periencia. El resultat de tota aquesta activitat(i aquest es un dels punts mes forts del pro-grama) es que aquests joves professors creenlligams d’amistat i continuen, generacio reregeneracio, interactuant sobre diferents aspec-tes de l’ensenyament de les matematiques, i,al mateix temps, alguns d’ells es converteixenen nous actius de la mateixa MAA. De fet, lameitat de les vint-i-nou seccions regionals dela MAA tenen al capdavant professionals queal seu dia van ser becaris del projecte NExT.Per tant, aquest programa te una influenciadecisiva tant en els professionals de l’ense-nyament com en els alumnes de grau que hiparticipen.

1Es a dir a nivell d’estudiants de grau.2New experiences for teaching.3L’autor parla de teaching assistance, que equival al que nosaltres anomenavem professor ajudant, figura que ja

ha desaparescut del nostre sistema universitari.

4

Una altra area en la que la MAA ha tingutuna profunda influencia es la recerca en ma-tematiques a nivell universitari (d’estudiants degrau). Fa vint anys era molt estrany que unalumne de grau s’interesses per fer recerca enmatematiques. La National Science Foundation(NSF) financa uns programes anomenats Re-search experiences for undergraduates (REUs)per tot el paıs4. Cada REU reuneix un grupd’universitaris interessats en matematiques du-rant un mes i mig o dos mesos per treballar enuna area concreta de matematiques. La majorpart dels professors dels REU son membres ac-tius de la MAA, que ofereix sessions en les sevestrobades anuals per donar-los suport i publicaarticles i llibres d’ajut per preparar-les. A talld’exemple, vaig anar recentment a una trobadad’una sectorial de la MAA en que aproximada-ment la meitat dels ponents eren alumnes degrau. Avui es forca comu que professors d’es-tudis de grau vagin amb els seus alumnes a lestrobades locals, i a mes a mes d’explicar ma-tematiques avancades es treballi com altres es-tudiants de grau han resolt diversos problemesmatematics.

Un conferenciant fent una xerrada en un dels

congressos organitzats per la MAA.

Aquest esforc sempre ha beneficiat la mevapropia recerca. En els darrers quinze anys he es-tat impulsant un seminari setmanal de sistemesdinamics complexos (dinamica holomorfa), unaarea que es particularment accesible als alum-nes de grau ja que un dels problems oberts mesimportants ha estat, i es encara, l’estudi com-plet de la dinamica de la famılia quadratica,es a dir de la famılia Qc(z) = z2 + c, c ! C.Es en l’estudi d’aquest polinomi quadratic on

apareixen imatges tan impactants com el con-junt de Mandelbrot o els conjunts de Julia. Lamajor part dels participants d’aquest seminarison professors, postdocs i estudiants de mastero doctorat, pero tambe hem tingut un nombresignificant d’alumnes de grau al llarg dels anys.De fet, actuallment tinc fins a nou publicaci-ons els coautors de les quals pertanyen a aquestdarrer grup.

De fet, aprofundint en aquest aspecte, lesconnexions que s’estableixen poden ser molt ri-ques. Fara dos anys que un alumne de graues va posar a treballar amb mi en un projec-te de dinamica complexa, i consequentment,tambe va participar en el seminari setmanal deque parlava. Va coincidir que durant el primerany la resta de participants erem tots profes-sors, postdocs o alumnes de doctorat avancats,de forma que els temes tractats eren de ni-vell forca alt. A traves de la mateixa dinamicadel grup, un dels meus alumnes de tesi vadecidir adoptar-lo i varen comencar a treba-llar plegats en diferents projectes de recerca.Al final del primer any ja tenien dos arti-cles en col·laboracio que actualment estan enproces de revisio. No tinc cap dubte que aquestacol·laboracio va tenir efectes molt positius tanten un com en l’altre. L’estudiant de grau es vabeneficiar del lideratge del seu mentor i el doc-torand va apendre a portar i guiar un estudiantmes jove (feina que despres haura de portar aterme molt cops en la seva carrera professional).Es en aquest tipus de coses que la MAA posael seu accent: la interaccio entre els diferentssectors de la comunitat matematica.

Dos dels joves premiats amb una beca del projecte

NExT.

4El nom que reben els alumnes de grau als Estats Units es undergraduates de forma que els alumnes de master odoctorat s’anomenen graduates.

5

Com ja he comentat, la MAA impulsa nom-brosos congresos i trobades, tant a nivell naci-onal com regional. De fet la MAA impulsa iorganitza dos congressos a escala nacional cadaany. El primer, fet en col·laboracio amb l’AMS,sempre es fa al mes de gener i rep el nom deJoint Mathematics Meetings. A aquesta convo-catoria es troben uns set mil matematics d’ar-reu del mon i s’hi fan un gran nombre de presen-tacions de recerca i educacio. El segon, menysmultitudinari (al voltant de mil cinc-cents par-ticipants), s’anomena MAA-MathFest i es con-voca cada mes d’agost. En aquest congres elprojecte NExT pren el primer contacte ambels nous alumnes becats en el projecte i retro-ba els alumnes ja iniciats en anys precedents.Mes enlla d’aquests dos grans congressos, hi haun total de vint-i-nou seccions regionals, i ca-dascuna organitza un o dos congressos anuals.En aquests cogressos regionals es coordinen ac-cions d’institucions properes i s’encoratgen lescol·laboracions i la comunicacio entre elles. Calfer esment especial del fet que el proper any2015 la MAA celebrara el seu centenari i que laMAA-MathFest tindra lloc a Washington D.C.,on esperem poder gaudir d’una trobada entra-nyable amb molts apunts historics.

Una altra activitat important de la MAA,des de fa mes de seixanta anys i fins ara, ha es-tat l’organitzacio i coordinacio d’examens anu-als per a alumnes avantatjats, tant preuniversi-taris com de grau. Aixı, cada any, milers d’es-tudiants de grau de tots els Estats Units fan elPutnam exam. Tambe al voltant de tres-centscinquanta mil estudiants de cursos entre el 8 iel 12, d’aproximadament sis mil escoles o ins-tituts, fan l’examen AMC (que te tres nivellsdiferents)5. De tots ells, al voltant de deu miltenen una puntuacio suficient per participaren altres examens de nivell mes elevat. Final-ment, els millors cinc-cents estudiants prenenpart en la prestigiosa Olimpıada Matematica(USAMO), i d’aquests, dotze (i les sevesfamılies) son convidats a Washington D.C.,on son rebuts amb honors en diversos ac-tes que finalitzen amb un banquet al Depar-tament d’Estat dels Estats Units. Just des-pres de la cerimonia la MAA convida unscinquanta-cinc estudiants al programa d’es-tiu de l’Olimpıada Matematica on, durantquatre setmanes, aquests alumnes reben dife-

rents cursos i activitats per millorar les se-ves habilitats innates. El guanyador de laUSAMO i molts dels millors alumnes que par-ticipen en tots aquests esdeveniments seran enel futur membres actius i destacats de la comu-nitat matematica.

La MAA tambe treballa intensament en lapublicacio de llibres i revistes. Potser la mesconeguda i prestigiosa es l’American Mathema-tical Monthly. Aquesta no es una revista de re-cerca estandard ja que la seva proposta es pu-blicar treballs de recerca matematica pero deforma que siguin accessibles a tota la comuni-tat matematica. Es a dir, no cal ser un geometrealgebraic per entendre els articles de geometriaalgebraica que apareixen al Montly ; els autorshan de ser capacos d’escriure els seus articlesde manera que puguin ser llegits per un rangampli de matematics. La MAA tambe publi-ca el Mathematics Magazine, que ofereix expo-sicions sobre diferents temes de matematiquesamb un caracter divulgatiu i atractiu, i elMAA’s College Mathematics Journal designatper ajudar en les tasques docents a l’aula imillorar-les, amb atencio especial als cursospreuniversitaris i universitaris. Aixı, aquestaultima publicacio conte articles d’educacio, pro-postes de treball a l’aula, problemes amb les se-ves solucions i revisions d’escrits apareguts enels mitjans. A aquestes dues revistes cal afegirtambe la Math Horizons, un forum de debataccessible per a estudiants, educadors i entusi-astes de les matematiques, dedicat a explorarel folklore i la cultura matematica d’avui i desempre. Per posar en relleu i exemplaritzar comson d’accessibles totes aquestes revistes, haig dedir que un dels meus estudiants de doctorat vaser l’encarregat de revisar els llibres divulgatsper la Math Horizon mentre era un estudiantde grau. Recentment la MAA ha inclos en el seullistat de revistes la MAA FOCUS, que recullinformacio de les activitats portades a termeper la MAA, novetats que poden ser d’interesper a la comunitat matematica. Com deiem,mes enlla de totes aquestes revistes de divul-gacio de les matematiques i de la cultura ma-tematica, la MAA tambe publica un gran nom-bre de llibres de caracter divulgatiu o, almenys,pensats per poder ser llegits per una gran partde la comunitat matematica. Tot plegat fa en-tendre que l’interes maxim de la MAA es con-

5Els cursos del 8 al 12 corresponen als cursos entre 3er d’ESO i 2on de batxillerat).

6

vidar tothom a participar de dues de les activi-tats propies de la comunitat com son la recercai l’educacio.

Per acabar, voldria emfatitzar que he es-tat molt content de poder ser membre ac-tiu de la MAA durant un perıode llarg dela meva vida, i ara haver tingut l’oportunitatde presidir-la en el darrer perıode. La MAAm’ha donat moltes oportunitats d’interactu-ar amb grups de persones diversos: profes-

sors de secundaria, batxillerat, colleges i uni-versitats, aixı com especialistes en educa-cio matematica i estudiants de tots els ni-vells. La MAA tambe ha estat molt gene-rosa i convenient per a molts dels meus (ide molts altres professors, obviament) alum-nes de grau, master i doctorat que han rebutajuts i oportunitats per participar i involucrar-se en tot tipus d’activitats de l’espectrematematic.

Robert L. DevaneyDepartament de Matematiques i Estadıstica, Universitat de Boston

Noticiari

Medalla d’Or al Merit Cientıfic a la Reial Academia de Ciencies i Artsde Barcelona (RACAB)

El passat 6 de maig de 2014 la Reial Academiade Ciencies i Arts de Barcelona (RACAB) varebre la maxima condecoracio cientıfica queatorga l’Ajuntament de Barcelona. La ReialAcademia de Ciencies i Arts es una associaciode professionals de la ciencia i les arts i les sevesaplicacions que promou la ciencia, la tecnica il’art en l’ambit de la cultura i la societat. Esva crear el 1764 i actualment en formen partun maxim de setanta-cinc membres que corres-ponen als ambits de les matematiques, l’astro-nomia, la fısica, la quımica, les ciencies de laterra, la biologia, la tecnologia i les arts. Desde la seva creacio, la Reial Academia ha tingutel proposit d’apropar la ciencia i les arts a la so-cietat. Te la seu a Barcelona, al num. 115 de laRambla, en un edifici obra de l’arquitecte JosepDomenech i Estapa, inaugurat l’any 1894. Elpremi coincideix amb la celebracio del 250e ani-versari d’aquesta institucio.

El lliurament del reconeixement va ser pre-sidit per l’alcalde de Barcelona, Xavier Trias, iva tenir lloc al Salo de Cent de l’Ajuntamentde Barcelona. L’alcalde va fer la presentaciotot destancant la importancia de la institucioi l’interes de l’Ajuntament perque aquestes ins-titucions cientıfiques tiguin una presencia moltrellevant a la ciutat. L’alcalde va destacar quela RACAB es !una academia comparable a lesmes prestigioses que ja existien en altres ciu-

tats europees" i que !al llarg de la seva llargahistoria, ha tingut un important paper a l’ho-ra de transmetre les innovacions tecnologiquesi cientıfiques, i tambe les innovacions en les artsi oficis". A tall d’anecdota va explicar que desde 1891 el rellotge que hi ha a la facana de laseu de la Reial Academia a la Rambla marcal’hora oficial i que des de finals del segle xix finsben entrat el segle xx, era costum, en passarper la Rambla, aturar-se davant de la RACABper comprovar que el rellotge personal anava al’hora.

L’alcalde de Barcelona, Xavier Trias, atorgant la

Medalla d’Or al Merit Cientıfic al president de la

Reial Academia, Ramon Pascual.

7

La segona intervencio va ser a carrec delconseller d’Economia i Coneixement, qui va ferun repas a la historia de la institucio repassantla trajectoria d’alguns dels seus directors i el pa-per que van tenir en diferents moments historicsde la ciutat. Particularment en va destacar elnaixement com una catedra de matematiques, iel paper rellevant de la institucio en l’us del me-tre com a mesura, la seva participacio en l’en-llumenat de la ciutat de Barcelona, i la cons-truccio i us de l’Observatori Fabra, dedicat al’astronomia, la meteorologia i la sismologia.

Academics de la RACAB escoltant la conferencia

del professor William F. van Altena durant l’acte

al Salo de Cent de l’Ajuntament de Barcelona.

Seguidament va parlar l’actual president,Ramon Pascual de Sans, que va agrair, ennom de la institucio, que Jaume SiuranaLlevadot, tinent d’alcalde de l’Ajuntament deBarcelona i president de l’Institut de Cultura,

hagues impulsat aquest reconeixent. Va desta-car i agrair els ajuts de l’Ajuntament i de laDiputacio als diferents projectes de la ReialAcademia, especialment en el cas de la cons-truccio de l’Observatori Fabra, complementantel financament privat.

L’Observatori Fabra.

L’academic Josep Maria Codina Vidalva ser l’encarregat de presentar el professorWilliam F. van Altena, de la Universitat deYale, qui va fer la conferencia central de l’ac-te sota el tıtol !L’astrometria i el paper del’Observatori Fabra: passat, present i futur".En la seva conferencia el professor Altena vafer un repas historic de l’evolucio dels telesco-pis, sempre lligant el telescopi de l’ObservatoriFabra i l’actual telescopi del Montsec a les dife-rents evolucions. Cal destacar que el professorAltena ha tingut i encara te una relacio cien-tıfica consolidada al llarg dels anys ambastronoms de la Universitat de Barcelona.

Finalment, el tinent d’alcalde JaumeSiurana Llevadot va tancar l’acte.

La redaccio

La festa de la matematica catalana: Cangur i Olimpıada

El dia 15 de maig de 2014 a les 18 horesva tenir lloc, a l’Auditori del Campus de laCiutadella de la Universitat Pompeu Fabra(UPF), l’acte d’entrega de premis de les pro-ves Cangur en la seva dinovena edicio. Lapresidencia de l’acte va anar a carrec de laconsellera d’Ensenyament de la Generalitat deCatalunya, Irene Rigau. A la taula presi-

dencial, acompanyant la consellera hi ha-via, de dreta a esquerra, Ester Guardiola(professora d’un dels instituts de secundariade Valls que ha participat des dels inicis),Pelegrı Viader (secretari general de la Uni-versitat Pompeu Fabra, i matematic de for-macio), Jaume Casals (rector de la Univer-sitat Pompeu Fabra), Joan Ros (president

8

de l’Institut d’Estudis Catalans), Joan Sola-Morales (president de la Societat Catalanade Matematiques) i Martı Prats (guanyadorde diverses convocatories del Cangur d’anyspreterits i guanyador d’un Pin de Plata).La sala, plena de gom a gom de joves premi-ats i les seves famılies, es va quedar petita ies va haver d’habilitar una aula auxiliar ambvıdeo.

La taula presidida per la consellera d’Esenyament

de la Generalitat, Irene Rigau.

La primera intervencio, a carrec del presi-dent de la Societat Catalana de Matematiques,va emfatitzar que aquesta es !la festa de lamatematica catalana", i que veure tants jovesamb les seves famılies a l’Auditori recompensala feina de la molta gent que hi ha darrere deles proves Cangur i l’Olimpıada Matematica,any rere any. Entre tots els professors volun-taris que treballen perque les proves Cangur,l’Olimpıada Matematica i la resta de compe-ticions siguin un exit (preparacio dels proble-mes, correccions, logıstica del dia de la prova,preparadors dels estudiants, etc.), va anomenarexpressament Carles Romero, membre desta-cat de les diferents comissions que, per raonsde salut, no va poder assistir a l’acte. Tambeva voler felicitar efusivament els presents i lesseves famılies, fent extensiva aquesta felicita-cio i agraıment a tots els nens que han parti-cipat ja que !es gracies a tots ells que acon-seguim tenir mes repercussio". En el capıtold’agraıments tambe hi van ser presents tots elsinstituts i universitats que participen com aseus de les proves, les institucions publiques quedes d’ambits diferents ajuden en la logıstica ifinancament dels concursos, la UniversitatPompeu Fabra com a institucio amfitriona de

l’acte i, finalment, les entitats privades Funda-cio Catalunya-La Pedrera i la Fundacio PrivadaCellex.

La part central de la seva intervencio vagirar al voltant de dues idees: d’una banda, vainsistir que malgrat que les matematiques tenenun paper central en la societat, la tecnologia, laciencia i la cultura en general, no es pot oblidarel seu carater emocional !l’emocio i la magia deresoldre un problema que es resisteix a ser re-solt es un valor fonamental de la matematica",i va llegir la cita: !les matematiques son mas-sa importants per deixar-les nomes en mansdels matematics". Una segona idea que va vo-ler destacar, tot adrecant-se a les institucionsdel paıs, i a la Conselleria d’Ensenyament enparticular, es la necessitat de treballar una do-ble visio de l’ensenyament de les matematiques:!hem de fer arribar les matematiques a tot-hom pero tambe hem de cuidar l’excel.lenciaper tal que els alumnes mes avantatjats puguindesenvolupar les seves aptituts". Al final del’acte la consellera va recollir el repte que aixosuposa.

Finalitzada la intervencio de Joan Sola-Morales, va tenir lloc l’acte de lliurament delsdinovens premis Cangur per cadascuna de lesquatre categories (des de 2n d’ESO fins a2n de batxillerat, es a dir del nivell 1 al ni-vell 4, respectivament), aixı com els premis del’Olimpıada Matematica de Catalunya i de totsels paısos de llengua catalana (per tant inclo-ent el Paıs Valencia, les Illes Balears i Andor-ra). Mariona Petit va ser l’encarregada de do-nar el premi del dese Concurs de Relats Cangur(el primer premi va anar a l’obra La bıblia ennombres, un relat sobre la creacio de l’universque fa servir el sımil de la construccio de les es-tructures matematiques). Antoni Goma, mem-bre dels jurats, es va encarregar de lliurar elspremis dels diferents concursos de les maratonsde problemes i concursos telematics, en que elsalumnes han d’anar responent a diferents pro-blemes durant un perıode d’un mes i mig o dosmesos. Va destacar el nivell dels participants ide les respostes obtingudes en els problemes deraonament.

Els alumnes premiats en les diverses cate-gories van anar pujant a recollir els seus diplo-mes (els alumnes que van aconseguir els pre-mis mes destacats van rebre tambe diversoscomponents informatics gracies al patrocini de

9

Pont-Reyes i Hewlett-Packard). Per posar-hiuna mica d’emocio i trencar la monotonia dela logıstica de l’entrega de premis, es vananar proposant alguns dels problemes que elsjoves participants del Cangur havien hagutd’afrontar en les diferents proves; per exem-ple aquest: !L’any 2014 te la propietat que,tenint totes les xifres diferents, la quarta xi-fra es mes gran que la suma de les xifres an-teriors (4 > 2 + 0 + 1 = 3). Quants anysfa que aquesta efemeride no passava?". Doncs305 anys.

Grup de joves premiats en la xlviii Olimpıada

Matematica de Catalunya.

Com deiem per trencar una mica ladinamica de l’entrega de premis, tambe es vaincloure una explicacio sobre algunes dades re-llevants de les proves Cangur en el Principat.A l’inici, a mitjans dels noranta, tenıem unaparticipacio d’uns 1.500 alumnes, mentre queen els darrers tres anys estem al voltant dels20.000, i aquest 2014 hem tingut la xiframaxima de participacio amb 21.700 alumnes.Pel que fa als centres de secundaria, la par-ticipacio tambe es espectacular: hi participenun de cada dos centres de Catalunya, un to-tal de 225, dels quals 131 tenen alumnes pre-miats o reconeguts (es a dir l’u per cent deltotal).

La cloenda del bloc de premis va anar acarrec d’un dels alumnes premiats a l’Olim-pıada Matematica (ell, amb sis alumnes mes,va ser membre de la representacio catalanaa l’Olimpıada Espanyola, que va tenir lloc aRequena el passat mes de marc, amb una valo-racio mes que satisfactoria, o potser haurıemde dir excel·lent, amb diferents premis i re-coneixements). La seva intervencio va estarcentrada a expressar gratitud per la feina

dels professors que els han ajudat altruista-ment en la preparacio de les proves. Graciesa tots. Podeu trobar tots els premis, aixı comtota la informacio al voltant del Cangur il’Olimpıada, a la plana web http://www.

cangur.org/cangur/cang2014.

Despres d’un precios programa musical acarrec de la directora de la Coral de la Pom-peu Fabra i una pianista, va ser el torn deJoandomenec Ros, president de l’Institut d’Es-tudis Catalans (IEC), qui va destacar la feinafeta per la Societat Catalana de Matematiques,filial de l’IEC en la seccio de ciencia, i vallegir una cita del fısic i matematic PaulAdrien Maurice Dirac. Seguidament el rectorde la Universitat Pompeu Fabra va mostrar laseva satisfaccio com a rector per poder celebraraquest acte a l’Auditori de la UPF per segonavegada.

Fotografia de tots els nois premiats en els diferents

concursos.

Va cloure l’acte la consellera d’Ensenya-ment de la Generalitat de Catalunya. Comdeiem, va acceptar el repte proposat pel presi-dent de la SCM, Joan Sola-Morales, de treballarper un ensenyament de les matematiques pera tothom i, al mateix temps, dedicar esforcosper aconseguir un ensenyament d’excel·lenciaper a aquells alumnes amb millors aptituds(com son molts dels premiats en les pro-ves Cangur i les Olimpıades), seguint el sımilde les polıtiques que es fan en el mon del’esport. La consellera va esmentar, tambe,l’asimetria entre la quantitat de nens i denenes premiats (mes dels primers). Finalment,i potser aquest va ser el missatge polıtic de mespes, es va referir a la necessitat que la prepara-cio dels professors de primaria en matematiques

10

sigui molt millor del que es ara, ja que esen aquests anys en que els nens tenen el seuprimer contacte amb la materia i per tant neces-

siten que els professors estiguin molt ben pre-parats. Veurem, doncs, com aixo es porta a lapractica.

Xavier JarqueEditor de la SCM/Notıcies

Acte de celebracio del 30e aniversari del Centre de Receca MatematicaCRM

El passat dia 27 de maig es va celebrar a la seude l’Institut d’Estudis Catalans, al carrer delCarme, l’acte academic de commemoracio del30e aniversari del CRM. L’acte va estar presiditper Joandomenec Ros, president de l’Institutd’Estudis Catalans (IEC), i hi van assistir l’ac-tual director del CRM, el catedratic d’AnalisiMatematica del Departament de Matematiquesde la UAB, Joaquim Bruna, i el qui va ser di-rector de l’entitat des de la seva fundacio, el ca-tedratic de Topologia del mateix departament,Manuel Castellet. Aquest ultim es l’autor deltreball, !Creixer en matematiques, fer paıs" ones fa un repas historic del CRM durant aquestsanys, que va ser exposat al pati interior del’IEC, al segon pis.

D’esquerra a dreta: Joaquim Bruna (director del

CRM), Joandomenec Ros (president de l’IEC) i

Manuel Castellet (primer director del CRM i

responsable del treball !Creixer en Matematiques,

fer paıs"), durant l’acte.

En la seva intervencio, el senyor Ros va des-tacar la feina feta pel CRM i l’orgull que suposaper a l’IEC haver-ne estat una part importantdes dels inicis. Aixı mateix, va destacar el fetque des de fa molts anys el CRM ja funcionaamb exit de forma autonoma.

Joaquim Bruna va prendre la paraula totseguit i va agrair a l’IEC !haver estat i ser lacasa mare del CRM". Va destacar el seu recol-zament des d’un bon principi i va agrair queacceptes acollir aquest acte de celebracio. Laseva intervencio es va centrar en !on som i aon anem", ja que seria despres, mirant el plafopreparat per Manuel Castellet, quan parlarıem!d’on venim".

Manuel Castellet fent explicacions del seu treball

sobre la historia del CRM, que es va exposar al

pati de l’IEC.

El CRM es el que es coneix en llenguat-ge actual com un centre de sistema, es a dir,un centre de recerca que treballa per enfor-tir la recerca (en matematiques) a Catalunya.Aquest es el centre de gravetat del centre talcom manen els seus estatuts !Promocio". Coma centre de recerca de Catalunya, el CRM esun mes dels quaranta-vuit centres de recer-ca de la xarxa CERCA de la Generalitat deCatalunya. Tot i aixo, per raons historiques ipropies de la recerca en matematiques, te uncaracter forca singular dins d’aquesta xarxa.Els seus referents internacionals han estat, en-tre d’altres, centres de recerca com l’InstitutIssac Newton per a les Ciencies Matematiques(http://newton.ac.uk), l’Institut Mittag-Le"er

11

(http://www.mittag-leffler.se), o el Cen-tre de Recerca Moore (MRCI) (http://www.mrci.com), es a dir, centres de recerca sen-se personal propi (aixo ha canviat en el CRMuna mica en els darrers anys, com explicarem),les activitats dels quals han estat sempre coor-dinades cientıficament des de l’exterior majo-ritariament per investigadors de la comunitatmatematica catalana.

Despres d’un perıode llarg de funcionamenten que l’activitat del CRM no va tenir un fi-nancament public consolidat, des de fa set anysel seu financament regular esta forca lligat alpla estrategic o full de ruta amb l’administra-cio; es a dir que l’administracio (de la Genera-litat) compromet un financament anual en fun-cio d’uns objectius prefixats. Aixı, som ara a lesportes de tancar el Pla estrategic corresponental sexenni 2008-2013, per obrir el nou perıode2014-2019.

Alguns dels participants a l’acte observant el

panell !Creixer en matematiques, fer paıs" durant

el descans.

Els punts clau del Pla estrategic que araha finalitzat son seguir donant servei a les ac-tivitats coordinades des de l’exterior pels in-vestigadors catalans, impulsar la matematicacol·laborativa, es a dir la recerca en ma-tematiques lligada a altres branques cientıfiques(!punt on la comunitat catalana encara estalluny de tenir un bon nivell" va dir), i crearuna plantilla d’investigadors propia per impul-sar precisament aquestes lınies col·laboratives(tambe, i molt important, el fet que el CRMtingui investigadors en plantilla obre noves por-tes de financament exclusives dels centres derecerca amb aquesta estructura, com es el casde les convocatories Severo Ochoa). Es potafirmar, deia Joaquim Bruna, que !hem com-plert raonablement be amb les lınies del Pla

estrategic 2008-2013, potser amb l’excepcio decaptar talent extern via els programes corres-ponents, principalment ICREA". De les vint-i-quatre sol·licituds en que el CRM era la hostinstitution nomes una ha arribat a bon port.

Cal destacar tambe que el perıode 2008-2013 ha estat marcat per una reduccio gene-ral i significativa del financament public ambmotiu de les dificultats economiques que es-tem travessant. En aquest sentit, hi ha duesconsideracions a fer. D’una banda, la davalla-da global de fons ha estat parcialment com-pensada pel projecte consolider Ingenio Mat-hematica (pero ara aixo ja es historia) i del’altra, el CRM ha obert les seves portes afonts de financament del sector privat comes el cas dels acords amb la Simons Foun-dation (http://www.simonsfoundation.org), elClay Mathematics Institute o la Fundacio“La Caixa”.

Joaquim Bruna tambe va destacar la mo-dificacio dels Estatuts del CRM que ha tingutefecte durant els darrers anys, amb la intenciod’ajustar-se a les noves necessitats vitals.

I ara que? On anem? Despres d’aquestesconsideracions anteriors sobre el present delCRM, el director va continuar explicant el Plaestrategic 2014-2019. Aquest Pla proposa se-guir treballant en les lınies ja consolidades enel Pla anterior (suport als investigadors externs,consolidacio de les lınies de recerca prioritaries,captacio de nou talent i financament privat),pero tambe te un nou repte: la BarcelonaGraduate School of Mathematics (BGSM) on!ens hi juguem molt". La BGSM es unainiciativa conjunta del Departament de Ma-tematiques de la Universitat Autonoma de Bar-celona, la Facultat de Matematiques de laUniversitat de Barcelona, la Facultat de Ma-tematiques i Estadıstica de la Universitat Po-litecnica de Catalunya, el Departament de Ma-tematiques de la Universitat Pompeu Fabra iel Centre de Recerca Matematica. Per tant, esun projecte que neix de les bases de la comu-nitat matematica, i que encara esta en procesd’una definicio final i de l’establiment d’un mo-del jurıdic definitiu. Els seus referents son tantinterns (la Barcelona Graduate School of Eco-nomics) com externs (Berlin Graduate Schoolentre d’altres). Segons Joaquim Bruna, aquestes un proces basat en la il·lusio de canviar el rolde les matematiques en la societat i en l’ambit

12

de l’activitat cientıfica a Catalunya i ha de ju-gar les cartes d’una marca com Barcelona i delgruix de la recerca en matematiques que es faen el nostre paıs, que te un bon reconeixementinternacional.

Finalitzada la seva intervencio, el presidentde l’IEC va passar la paraula a l’altre ponentde la taula, Manuel Castellet, qui va fer unabreu intervencio explicativa del plafo !Creixeren matematiques, fer paıs". Des de la visiohistorica del qui va ser un dels inspiradors delseu naixement i, posteriorment, director delCentre durant forca anys, va explicar que eltreball estava estructurat en tres parts corres-ponents als tres decennis del CRM, mes unaultima part dedicada al present i al futur. Enaquest estudi historic es poden observar l’ac-ta (escrita a ma!) d’inauguracio del CRM, lesprimeres instal·lacions, les visites de recerca

de matematics de maxima rellevancia, algunesanecdotes simpatiques que han anat passant, elcanvi de director i un llarg etc.

Entre les dues xerrades academiques de l’ac-te a carrec de la professora Angela Stevens(Universitat de Munster) “Mathematical Mo-deling in Developmental Biology”, i del pro-fessor Tamar Ziegler (Universitat Hebrea deJerusalem i Technion) “Patterns in Primes andDynamics of Nilmanifolds”, els assistents vamtenir la possibilitat de gaudir d’algunes ex-plicacions mes concretes, a carrec de ManuelCastellet, sobre els plafons que recullen les da-des de l’estudi.

Per a mes informacio sobre el contingut deles xerrades i sobre els diferents actes de cele-bracio del 30e aniversari del CRM podeu anar ala plana web del Centre http://www.crm.cat.

La redaccio

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB del curs 2013-2014

A la Facultat de Matematiques de la UB vamacabar l’any amb la joia de veure com la feinaduta a terme per dos professors de la Facultatrebia un just reconeixement.

D’una banda, el dia 12 de desembre Ge-rard Gomez Muntane, catedratic del Departa-ment de Matematica Aplicada i Analisi, va pas-sar a formar part, com a nou academic elec-te, de la Reial Academia de Ciencies i Arts deBarcelona.

D’altra banda, el mateix dia 12 de desem-bre es van lliurar els premis atorgats pel Con-sell Social i la Fundacio Bosch i Gimpera. Enl’edicio d’enguany es va concedir el premiAntoni Caparros al millor projecte de trans-ferencia de coneixement o tecnologia a PetiaIvanova Radeva, del Departament de Ma-tematica Aplicada i Analisi, i a la resta del’equip d’IVUS del Barcelona Perceptual Com-puting Laboratory pel projecte Metodes de vi-sio artificial per ajudar al tractament de la pla-ca arteriosclerotica. L’equip investigador treba-lla des de fa anys en el camp de la recerca envisio per computador i les seves aplicacions a

diversos camps d’analisi d’imatges mediques.Fruit d’aquesta recerca ha enregistrat ja quinzepatents.

En un ambit diferent destaquem que del3 al 28 de marc, amb motiu del Dia Inter-nacional de la Dona Treballadora, el CRAI-Biblioteca de Matematiques va oferir la mos-tra bibliografica titulada !Professores de la Fa-cultat de Matematiques: obra publicada". Lamostra exposava trenta-tres llibres de profes-sores de la Facultat de Matematiques publi-cats en els darrers vint-i-cinc anys i pertanyentsal fons de la Biblioteca (vegeu http://www.

mat.ub.edu/dona/index.html). Aquesta ini-ciativa s’emmarca dins els actes organitzats perles comissions d’igualtat de les Facultats deMatematiques, Geografia i Historia, Filologia iFilosofia de la UB.

En la mateixa lınia, el cap de setmana del15 i 16 de marc la nostra Facultat va acollir elcongres MiniDebConf-Women 2014. El Projec-te Debian esta format per desenvolupadors deprogramari lliure d’arreu del mon que dediquen,voluntariament, part del seu temps a produir

13

un sistema operatiu completament lliure ano-menat Debian. Aquest col·lectiu de persones esreuneix en unes jornades anomenades DebConf,que se celebren anualment i que tenen una du-rada d’una setmana. A mes, al llarg de l’any secelebren unes jornades mes curtes, normalmentde dos dies, anomenades MiniDebConf. El grupDebian Women es dedica especıficament a pro-moure la participacio femenina en el projecteDebian, objectiu que en aquest cas es va acon-seguir amb escreix: a la trobada de Barcelona el35 % dels participants foren dones, mentre queentre els desenvolupadors de Debian al mon elpercentatge es tan sols d’un 1 %.

Des de ja fa uns anys, la Facultat po-sa especial atencio a diverses activitats de di-vulgacio cientıfica destinades, principalment, al’alumnat d’ensenyament secundari. Aquestesactivitats es complementen amb d’altres ac-tivitats d’orientacio cientıfica i/o professionaladrecades a l’alumnat de la Facultat. Les deta-llem tot seguit:

• Els dies 22 i 29 de gener es va portar a ter-me la xerrada taller titulada !Analisi au-tomatica d’imatges mediques", preparadaper Laura Igual, del Departament de Ma-tematica Aplicada i Analisi. A la xerrada esva posar en relleu la importancia crucial dela informatica en el desenvolupament de no-ves tecniques d’adquisicio i analisi d’imatgesmediques, des de la seva segmentacio i in-terpretacio fins al suport al diagnostic basaten imatges. Al taller es va fer una practicade segmentacio d’un ventricle del cervell mit-jancant el programa lliure ITK–SNAP.

Aquesta xerrada taller completa, pel que faal curs 2013-2014, la que es va celebrar els di-es 13 i 20 de novembre, titulada !Coniques iquadriques: construint matematiques", pre-parada per la professora Meritxell Saez, ide la qual ja vam informar en el numeroanterior.

• Acolliment de les proves Cangur. Com ca-da any la nostra Facultat va ser una de lesseus de les proves Cangur organitzades perla SCM el tercer dijous del mes de marc, queenguany es va escaure el dia 20. La majo-ria de participants, uns dos-cents, aprofitarenaquesta ocasio per tenir el primer contacteamb el nostre centre.

• Matefest-Infofest. Els detalls de la darreraedicio d’aquesta festa ja tradicional, organit-zada com sempre pels estudiants de la Facul-tat i celebrada el dia 26 de marc, els trobareuen un article a part en aquest mateix numero.

• Jornada de Portes Obertes. El mateix dia 26de marc, coincidint amb la Matefest-Infofest,es va celebrar la Jornada de Portes Ober-tes, adrecada a alumnes de batxillerat i ci-cles formatius de grau superior i altres perso-nes interessades a cursar qualsevol dels grausque s’imparteixen a la Facultat, que avui son:Enginyeria Informatica, Matematiques, Ma-tematiques-ADE, Matematiques-EnginyeriaInformatica, Matematiques-Fısica. A mes, esvan donar a coneixer els diversos serveis uni-versitaris de que poden gaudir els alumnes dela UB.

• Trobada anual amb professorat de se-cundaria. Aprofitant la Matefest-Infofest esva celebrar tambe la trobada anual amb pro-fessorat de secundaria, en que va tenir llocun intercanvi d’opinions sobre l’oferta d’ac-tivitats de la Facultat, aixı com altres ques-tions referents a l’enllac entre secundaria i launiversitat.

• Suport a treballs de recerca en matematiques.L’objectiu d’aquest programa, iniciat ja fadeu anys, es oferir suport des de la Facultattant al professorat tutor interessat a dirigirels treballs com a l’alumnat que els porta aterme.

• Preparacio de l’Olımpiada Matematica. Perquart any consecutiu, la Facultat de Ma-tematiques de la UB ha ofert unes sessi-ons de preparacio de resolucio de problemesper a les proves de l’Olimpıada Matematica.Aquestes sessions, coordinades per ManuelTort, van adrecades a tots els estudiants in-teressats a participar en la fase catalana del’Olimpıada Matematica.

• Els Tallers d’Intel·ligencia Artificial prete-nen apropar als futurs estudiants una tecno-logia d’alt impacte de manera didactica i di-vertida i van adrecats a l’alumnat de batxille-rat i de cicles formatius. Els centres interes-sats a participar-hi han de presentar un equipformat per dos o tres alumnes i un tutor.Els tallers s’organitzen en cinc o sis sessions

14

tutoritzades de tres hores en que els alum-nes han de construir i programar un robotper resoldre una tasca complexa. Finalment,coincidint amb la Matefest-Infofest, es fa unacompeticio entre tots els centres participants,amb un premi al millor treball.

Trobareu informacio sobre totes aquestes ac-tivitats, la manera de participar-hi i els ter-minis per a cadascuna d’elles a la pagina dela Facultat: http://www.mat.ub.es/futurs\

_ub/activitats.

Antoni Benseny, Xavier MassanedaUniversitat de Barcelona

Activitats de suport i divulgacio del Departament de Matematiques de la UAB del curs2013-2014

Els Dissabtes de les Matematiques es la prin-cipal activitat divulgativa que el Departamentde Matematiques organitza regularment desdel curs 2003-2004. Els Dissabtes consisteixenen un cicle de xerrades divulgatives i tallerspractics l’objectiu principal del qual es acostarles matematiques al public general, i en particu-lar als joves estudiants de secundaria, tot mos-trant que les matematiques son una eina indis-pensable per entendre molts fenomens del monnatural, la tecnologia, l’economia i les cienciessocials. El cicle consisteix en cinc xerrades di-vulgatives distribuıdes en cinc jornades de dis-sabte matı. Les quatre darreres xerrades vanseguides d’un taller practic, mentre que la pri-mera forma part d’una sessio conjunta compar-tida amb els Dissabtes de la Fısica. L’elecciodels conferenciants, els temes de les xerradesi el format participatiu de l’activitat intentencomplir amb l’objectiu principal dels Dissabtes:veure en accio la presencia de les matematiquesen el mon que ens envolta.

L’edicio 2014 ha tingut lloc els dissabtes 8,22 i 29 de marc i el 5 i 26 d’abril a la Facul-tat de Ciencies de la UAB. L’encarregat d’obrirl’edicio d’enguany va ser el professor EduardoGallego amb la conferencia !L’univers pas apas", en la qual ens va proposar un viatge alllarg del temps amb l’objectiu de recordar comha fet l’enginy huma per determinar els mo-viments, les posicions i les distancies entre elscossos celestes.

De l’univers vam passar en la segona ses-sio a les aplicacions de l’estadıstica a carrecdel professor Pere Puig, que amb la conferencia!L’accident del Challenger i la modelitzacio es-tadıstica" ens va introduir en els aspectes es-tadıstics de diferents problemes de la tecnologia

i la vida real, mostrant el paper decisiu que jugal’estadıstica en la ciencia.

A la tercera sessio, !Les formes que ens en-volten", la professora Natalia Castellana ens vaportar al mon de les formes dels objectes, elsnusos, els jocs geometrics i les seves implica-cions matematiques. Tant a la xerrada com altaller vam aprendre algunes de les propietatsgeometriques i topologiques que hi ha al dar-rere dels nusos, les trenes i altres estructuresgeometriques quotidianes.

A la quarta sessio, !Son les matematiquesuna eina que ens ajudi a curar el cancer?" elprofessor Tomas Alarcon ens va mostrar perque les matematiques son una eina indispen-sable per entendre i proposar solucions a pre-guntes molt naturals que planteja la medicinacom ara determinar la dosi optima de radiacio

15

necessaria per aturar el creixement d’un tumorminimitzant el dany al pacient.

Finalment a la darrera sessio, !Magia ma-tematica y matematicas magicas", el profes-sor Venancio Alvarez, de la Universitat deMalaga, ens va mostrar jocs senzills de realitzarpero que amaguen trucs de natura geometrica,aritmetica o topologica. Recıprocament, certsresultats de la matematica !seriosa" es podenveure com autentics trucs de magia per la sor-presa i l’emocio, gairebe !magica", que provo-quen entre els matematics professionals.

La tarda del 29 d’abril va tenir lloc a lasala d’actes de la Facultat de Ciencies de laUAB la cinquena edicio del cicle Entre les Ma-tematiques de Secundaria i les de la Universi-tat aquesta vegada dedicada a l’estadıstica. El

principal objectiu del cicle es tendir ponts en-tre les matematiques que s’ensenyen als insti-tuts i les que s’ensenyen a la universitat. L’edi-cio d’enguany es va centrar en la importanciadels coneixements estadıstics com a eina fona-mental per entendre la complexitat del monque ens envolta, amb emfasi especial en el puntde vista docent. La jornada va constar de du-es xerrades de les professores Merce Farre, delDepartament de Matematiques de la UAB, iLucıa Bayo, de l’IES de Sant Quirze del Valles,seguides d’un debat en que matematics encontacte amb l’estadıstica als ambits docent,academic o professional van discutir sobre laproblematica docent i la percepcio social del’estadıstica.

A banda dels Dissabtes de les Ma-tematiques, el Departament de Matematiquesde la UAB porta a terme altres activitatsadrecades a estudiants de secundaria. Mit-jancant el programa ARGO de la UAB, el De-partament de Matematiques participa en la tas-ca d’assessorament per elaborar treballs de re-cerca i tambe en el programa Estades d’es-tiu, en el qual un grup seleccionat d’alum-nes tenen l’oportunitat d’establir un contactemes directe i profund amb les matematiques.El Departament de Matematiques ha continu-at oferint classes especials de preparacio per ales Olimpıades Matematiques i per a les pro-ves Cangur i edita, en format electronic, larevista divulgativa Mat2, on tant professorscom alumnes poden trobar una visio prope-ra de les matematiques. Per a mes informacio,es pot consultar la pagina web del Departa-ment de Matematiques, http://www.uab.cat/matematiques/, apartat !Divulgacio".

Jose Gonzalez LlorenteCoordinador de Relacions amb Secundaria

Universitat Autonoma de Barcelona

Activitats de la Facultat de Matematiques i Estadıstica de la UPC durant el curs2013-2014

Cada any, la Facultat de Matematiques i Es-tadıstica (FME) dedica el curs a un matematicde prestigi. El curs actual esta dedicat a la fi-gura de Joseph-Louis de Lagrange. El dia 12de marc va tenir lloc la Jornada Lagrange, ambtres conferencies relacionades amb la vida i obra

del matematic. La primera va ser a carrec deLuis Navarro Veguillas, professor emerit de laUB, que va fer un resum de la biografia de La-grange i va parlar del desenvolupament de lamecanica analıtica i de la seva influencia en eldesenvolupament posterior de la fısica. El segon

16

ponent de la jornada, Gerard Gomez, catedraticde la UB, va explicar les contribucions de La-grange a la mecanica celeste. Finalment, MarcoAntonio Lopez, professor de la Universitatd’Alacant, va parlar de la contribucio de La-grange com a precursor de l’optimitzacio i lainvestigacio operativa.

En aquest mateix apartat d’activitatacademica cal fer esment de la Primera Jor-nada sobre Estadıstica i Big Data, organitza-da per la Societat Catalana d’Estadıstica, ambla col.laboracio de l’FME i l’IES. L’eclosio deles TIC ha permes en els darrers anys l’apa-ricio de grans conjunts de dades, d’una esca-la fins ara inimaginable. Aquestes dades per-meten avancar en camps tan diferents comla investigacio (medica, biologica, industrial)i els negocis, i des del punt de vista de l’es-tadıstica presenta nous reptes i noves oportuni-tats. Fer-los palesos va ser l’objectiu d’aquestaJornada.

La jornada sobre big data va tenir lapresencia de de tres ponents especialistes en eltema: Pepe Almagro, de Bayes Forescat, PauAgullo, de Kernel Analytics, i Marcelo Soria-Rodrıguez, de BBVA, moderats per Pedro De-licado, professor de la UPC. Es va debatre so-bre quines parts de l’estadıstica convencionalson utils en un mon big data, quines parts del’estadıstica teorica son aplicables als problemesbig data i quines perden sentit en el nou con-text, i sobre si cal desenvolupar nous metodes iteories.

Al segon quadrimestre van continuar les ac-tivitats dedicades a secundaria. Ens van visi-tar diversos grups d’estudiants de batxillerat iESO que van assistir a conferencies-taller so-bre temes d’historia de les matematiques, d’es-tadıstica i de matematica aplicada. Diversos

professors de l’FME tambe es van desplacar acentres de secundaria per dur a terme aquestesxerrades-taller.

En el mateix apartat d’oferta d’activitatsper a secundaria cal esmentar la continuacio delprograma Ciencia, tecnologia i matematiquesi tambe la col·laboracio amb la Fundacio Ca-talunya La Pedrera per a un curs de formaciodestinat al professorat de secundaria dintre delprograma Professors i ciencia.

Altres activitats destinades a secundariaque acull l’FME son les sessions del progra-ma Estalmat i les sessions de preparacio per al’Olimpıada i per a la prova Cangur. La Fa-cultat va ser una de les seus de la prova Can-gur 2014, amb la presencia d’uns tres-cents par-ticipants. Tambe va acollir el dia 8 d’abril laCopa Cangur, una iniciativa nova de la Comis-sio Cangur destinada a estudiants de 1r i 2nd’ESO, que ha tingut un gran exit de partici-pacio.

En aquest apartat de concursos i premiscal esmentar el bon paper dels estudiants del’FME-CFIS en la 24th Vojtech Jarnık Interna-tional Mathematical Competition (competiciomatematica anual adrecada a estudiants uni-versitaris) que va tenir lloc a la Universitatd’Ostrava. Tots els nostres estudiants van que-dar entre els vint primers (de cent quaranta par-ticipants) i dos d’ells entre els deu primers.

El dia 9 de maig va tenir lloc l’acte de lliura-ment de premis Poincare per a treballs de recer-ca de batxillerat en matematiques o estadısticaque, com cada any, convoca l’FME. Enguany esvan presentar una cinquantena de treballs, totsd’un nivell molt alt.

Pel que fa a la relacio amb el mon laboral,l’FME ha dut a terme nombroses activitats pertal d’ajudar els nostres estudiants a incorporar-se al mercat laboral. Aquestes activitats es vaniniciar el mes d’abril amb una sessio d’orien-tacio laboral a carrec d’UPC Alumni, que varegistrar un ple total, amb consells sobre commillorar el currıculum, com planificar la cercade feina i com superar amb exit una entrevistade treball.

El mes de maig va tenir lloc el Forum FME-Empresa, organitzat a partir de presentacionsbreus (aproximadament deu minuts de dura-da) de cada una de les empreses i instituci-ons participants, amb l’objectiu de donar-se aconeixer als estudiants i titulats. Els partici-

17

pants van disposar d’un espai on van poderinteractuar amb els titulats i estudiants, res-ponent als seus dubtes, oferint oportunitats defeina, convenis o col·laboracions educatives, irecollint currıculums.

El mateix dia, a la tarda, es va dur a ter-me la Jornada MAFME-Masters FME (antigajornada MET-MEIO): exposicio de posters ambpropostes de TFM per al master interuniversi-tari en Estadıstica i Investigacio Operativa i el

Master in Advanced Mathematics and Mathe-matical Engineering, elaborats per les empresesi institucions. El 14 de maig al matı va tenir llocla sessio Que fa un Titulat FME al Mon Labo-ral. En aquesta jornada, titulats i titulades del’FME van parlar de la propia experiencia la-boral. El mateix dia a la tarda hi va haver unasessio de presentacio dels responsables i docto-rands del programa de doctorat de MatematicaAplicada.

La Facultat de Matematiques i Estadısticava tornar a acollir l’exposicio !Imatges delsud", el recull fotografic de la desena ediciodel concurs que promou el Centre de Coopera-cio per al Desenvolupament (CCD) de la UPCcorresponent a l’any 2012. El CCD impulsaaquest concurs amb l’objectiu de difondre lesdiferents realitats dels paısos del sud i de pro-moure i donar un reconeixement a la partici-pacio activa de la comunitat universitaria dela UPC en els ambits de la solidaritat i lacooperacio.

Jaume SolerVicedega de Promocio

Universitat Politecnica de Catalunya

Activitats

Jornades d’Interaccio entre Sistemes Dinamics i Equacions en DerivadesParcials

La setmana del 16 al 20 de juny va tenir lloc el12th Workshop on Interactions between Dyna-mical Systems and Partial Di#erential Equati-ons (JISD2014).

Les jornades, que com el seu nom indicaja son a la dotzena edicio, consten de qua-tre cursos, dos en l’area dels sistemes dinamicsi dos en l’area de les equacions en derivadesparcials, amb l’esperit de voler establir llacosentre aquestes dues arees de la matematicaaplicada.

En aquesta edicio els cursos han estat elsseguents:

(1) Regularity Results in Free Boundary Pro-blems, impartit pel professor Alessio Figa-lli de la Universitat de Texas Austin.

(2) Point Systems with Coulomb Interaction:from Variational Study to Statistical Mecha-nics, que va donar la professora Sylvia Ser-faty de la Universitat Pierre i Marie Curie(Parıs 6).

(3) Renormalization and Rigidity in Dynamics,que va impartir el professor Konstantin Kha-nin de la Universitat de Toronto.

(4) Parabolic Trajectories, Collisions and Regu-larization in the Variational Approach to then-Body Problem, que impartı la professoraSusanna Terracini, de la Universitat deTorino.

La gran qualitat dels cursos i dels pro-fessors que els imparteixen, aixı com la llar-ga i prestigiosa trajectoria d’aquestes jor-

18

nades, ha fet que aquest any formin partde les EMS Summer Schools (http://www.euro-math-soc.eu/) i tingui suport econo-mic de l’EMS aixı com del Clay MathematicsInstitute (http://www.claymath.org/events/workshop-interactions-between-dynami

cal-systems-and-partial-differential-

equations-jisd-2014) per ajudar els estu-diants que no tenen financament de les sevesinstitucions d’origen.

Podeu consultar tots els detalls de les Jor-nades al seu web: http://www.ma1.upc.edu/recerca/jisd/jisd2014, aixı com informaciode previes edicions a: http://www.ma1.upc.

edu/recerca/jisd.Us animem a participar en properes edici-

ons de l’Escola, que de ben segur en tindrem, ia donar a coneixer-la entre els vostres col.leguesi/o alumnes.

Tere Martınez-SearaUniversitat Politecnica de Catalunya

Olimpıada Catalana de Matematiques

Durant els dies 13 i 14 de desembre de 2013s’ha celebrat simultaniament a Tarragona, Llei-da, Girona i Barcelona la l Olimpıada Catala-na de Matematiques (OCM), primera fase del’Olimpıada Matematica Espanyola 2014. L’or-ganitzacio d’aquesta edicio de l’OCM ha es-tat a carrec de la Comissio d’Olimpıadesde la SCM. Pot trobar-se informacio de-tallada al web: http://www.cangur.org/

olimpiades/50oli/index.htm.El mes important, sense cap dubte, han es-

tat els participants que han competit per for-mar part dels equips que representaran Ca-talunya al concurs final de l’Olimpıada Ma-tematica Espanyola (OME) a Requena (PaısValencia) el marc de 2014. La competicio haconsistit en la resolucio de sis problemes endues sessions, els dies 13 i 14. El jurat ha es-tat format per Agustı Reventos, president, dela Universitat Autonoma de Barcelona; MartıCasadevall Pou, vocal, de l’Institut ArquitecteRaspall de Cardedeu, i Joaquim Serra Monto-liu, secretari, de la Universitat Politecnica deCatalunya. Aquest jurat s’ha encarregat de pro-posar la prova, elaborar els criteris de correccio,puntuar les solucions presentades pels concur-sants i proclamar els guanyadors. En nom dela SCM volem agrair-los l’excel.lent treball quetan desinteressadament han dut a terme.

Els problemes proposats han estat:

1. Sigui A = {1, 2, 3, . . . , n} el conjunt delsn primers enters positius. Determineu, enfuncio de n, el nombre de progressions

aritmetiques de tres termes, amb rao posi-tiva, que es poden formar amb els elementsd’aquest conjunt.

2. Trobeu totes les solucions reals del sistemad’equacions:!

x2+y2+6x+9 +!

x2+y2"8y+16 = 5,

9y2 " 4x2 = 60.

3. Siguin HB i HC els peus de les altures del tri-angle #ABC corresponents als vertexs B i Crespectivament. Sigui $ la circumferencia quepassa per A, H !

B, H!C , on H !

B es el simetricdel punt HB respecte del punt mig del costatAC, i H !

C es el simetric del punt HC respectedel punt mig del costat AB.

a) Demostreu que si $ es tangent al costatBC, llavors el punt de tangencia es el puntmig del costat BC.

b) Doneu una condicio en funcio de les lon-gituds a, b, c dels costats del triangle per talque es doni aquesta situacio de tangencia.

4. Sigui n un nombre enter mes gran que 3. Su-posem donats n punts en el pla de maneraque no n’hi hagi tres d’alineats. Sigui k unenter tal que n/2 < k < n. Tracem una col-leccio de segments rectilinis, amb la condicioque els extrems de cada un d’ells pertanyinal conjunt de n punts. Suposem que cada undels n punts es extrem d’almenys k segmentsdiferents. Demostreu que com a mınim hi hauna terna dels segments dibuixats que son elscostats d’un triangle.

19

5. Busquem els nombres enters positius n me-nors de 201314 tals que en dividir per 13, 3n

doni residu 3 i 5n doni residu 5. Quins son elsprimer i l’ultim? Quants n’hi ha en total?

6. Sigui ABC un triangle acutangle. Sobre ca-dascun dels seus costats es construeix un qua-drat que te per costat el corresponent costatdel triangle. Siguin PA, PB i PC els centresd’aquests quadrats. Demostreu que

Area#PAPBPC = Area#ABC+a2+b2+c2

8,

on a, b i c son les longituds del costats deltriangle #ABC.

7. Per a quins ! ! (0, 1] es certa, per a qualse-vol parella de nombres reals positius a i b, ladesigualtat seguent?

!$ab+ (1" !)

"a2 + b2

2%

a+ b

2.

El jurat va prendre l’acord d’atorgar els pre-mis seguents:

• Primers premis: Gerard Orriols Gimenez,Aula Escola Europea (Barcelona), 2n debatxillerat; Laura Pena Queralta, InstitutJaume Vicens Vives (Girona), 2n de batxi-llerat i Eloi Torrents Juste, Aula Escola Eu-ropea (Barcelona), 1r de batxillerat.

• Segons premis: Jose Andres Ballester Hues-ca, Institut Jaume Vicens Vives (Girona), 2nde batxillerat; Josep Maria Gallegos Saliner,Institut Jaume Vicens Vives (Girona), 2n debatxillerat, i Pau Mir Garcia, Institut de SantQuirze (Sant Quirze del Valles), 2n de batxi-llerat.

• Tercers premis: Jordi Bosch Bosch, InstitutJaume Vicens Vives (Girona), 1r de batxi-llerat; Carles Domingo Enrich, Escola Pia(Vilanova i la Geltru), 2n de batxillerat, i InesFranch Lopez, Aula Escola Europea (Barce-lona), 2n de batxillerat.

Els concursants Gerard Orriols Gimenez,Josep Maria Gallegos Saliner, Eloi TorrentsJuste, Carles Domingo Enrich i Ines FranchLopez ja van obtenir premi l’any anterior enla xlix OCM.

Josep Grane i Jose Luıs Dıaz-BarreroUniversitat Politecnica de Catalunya

Activitats amb ajut de la Societat

VII Seminari sobre activitats per estimular el talent precoc en Matematiques

Estalmat (Estımul del Talent Matematic) esun projecte de la Reial Academia de CienciesExactes, Fısiques i Naturals, que va ser con-cebut pel professor Miguel de Guzman, ambl’objectiu de detectar, orientar i estimular el ta-lent matematic d’estudiants dels primers anysde l’ensenyament secundari. Es va iniciar a laUniversitat Complutense de Madrid l’any 1998;pocs anys despres va comencar la seva sin-

gladura Estalmat-Catalunya, projecte impulsati coordinat per la Societat Catalana de Ma-tematiques (SCM) i la Federacio d’Entitats pera l’Ensenyament de les Matematiques a Catalu-nya (FEEMCAT). Posteriorment Estalmat s’haanat implantant en diferents llocs de la geogra-fia espanyola, de manera que ja son deu les seuson es desenvolupen les activitats del projecte.Aquest increment va fer recomanable convocaruna reunio anual, que ja ha arribat a la se-va onzena edicio, per posar en comu propostesd’activitats entre el professorat de les diferentsseus. De seguida es va copsar l’interes d’aques-tes trobades i per aquesta rao des de l’any 2008es van reconvertir en seminaris oberts al pro-fessorat local, amb l’objectiu de presentar no-ves activitats per desenvolupar-les en el context

20

d’Estalmat, intercanviar idees sobre la valide-sa i la riquesa de les propostes presentades ivalorar la possibilitat d’incorporar-les a les au-les d’ensenyament secundari en general. Per al’any 2014 l’equip de professorat d’Estalmat-Catalunya va rebre l’encarrec de coordinar elVII Seminari sobre Activitats per Estimular elTalent Precoc en Matematiques.

El seminari es va celebrar els dies 4 i 5d’abril, amb la presencia de representants delprofessorat de les deu seus d’Estalmat de l’Es-tat espanyol, de l’equip de coordinacio d’Estal-mat Catalunya i de trenta-dos professors d’en-senyament secundari de Catalunya. El Semina-ri fou patrocinat pel Departament d’Ensenya-ment de la Generalitat de Catalunya, la Funda-cio Espanyola per a la Ciencia i la Tecnologia(FECYT), la Fundacio Privada Cellex, CasioEspana i l’aportacio de les diverses seus d’Es-talmat Espanya.

Inauguracio del vii Seminari Estalmat.

La inauguracio del Seminari es va fer a l’Ins-titut d’Estudis Catalans, el divendres 4 d’abrila la tarda. La mesa presidencial estava com-posta per Jordi Sabate, subdirector d’Orde-nacio Curricular i Innovacio del Departamentd’Ensenyament, Josep Grane, en representaciode la Fundacio Cellex, Joan Sola-Morales pre-sident de la SCM, Victoria Oliu, presidentade la FEEMCAT i Eugenio Hernandez, coor-dinador general d’Estalmat-Espanya. Despresdels parlaments de les persones de la mesa ila benvinguda a carrec de Marta Berini, co-ordinadora d’Estalmat-Catalunya, va comencartot seguit la presentacio de les ponencies,que va continuar a l’endema, quan la jor-nada es va celebrar a la Facultat de Ma-tematiques i Estadıstica de la Universitat Po-litecnica de Catalunya en sessions de matı i

tarda. Tot seguit detallem els tıtols de les deuponencies, impartides per professors de les dis-tintes seus d’Estalmat. La varietat de temestractats dona idea de la vitalitat del projecteEstalmat.

La professora Ana Granados (Estalmat-Madrid)

durant la presentacio de la ponencia !El problema

de la galerıa de arte".

• !El problema de la galerıa de arte". Madrid.

• !Formulas. El volumen de la piramide". An-dalusia Oriental.

• !Triangulos con Geogebra y Scratch".Cantabria.

• !Paridad y magia". Castella-Lleo.

• !Probabilidad. Diagramas de arbol".Canaries.

• !Jornada matematica en el JardınBotanico". Comunitat Valenciana.

• !Cine y matematicas". Galıcia.

• !Matematicas en tu ciudad". Castella laManxa.

• !El producto de matrices a partir del proble-ma de los Puentes de Koningsberg". Catalu-nya.

• Conos, conicas y cuadrantes solares". Anda-lusia Occidental.

El diumenge 6 d’abril es va dur a terme lasessio de la reunio espanyola del professorat delprojecte Estalmat de les diverses seus de l’any2014. Els temes tractats van ser la prova de se-leccio del curs 2014 (aspectes a tenir en compteen el plantejament i en la valoracio de la pro-va i data de celebracio), la presentacio del iii

21

llibre d’activitats d’Estalmat, a punt de sortirpublicat, el financament del projecte a les dife-rents seus i l’activitat conjunta que es fa cadaany, els Problemes a l’Esprint. A mes dels te-mes de debat, cada seu va presentar un informesobre el desenvolupament del projecte a la se-va comunitat i en particular sobre les novetatsincorporades; Catalunya va comentar que s’ha-vien comencat a fer algunes classes en angles ique tant alumnes com pares i mares havien va-lorat molt positivament l’experiencia, que hanqualificat d’idea molt interessant i necessaria.

Professorat d’Estalmat i assistents al Seminari en

la sessio ludico-practica de presentacio de la Copa

Cangur.

Com activitats complementaries a la reunioespanyola d’Estalmat es va presentar la CopaCangur, una nova proposta d’activitat de reso-lucio de problemes per equips (sessio oberta atotes les persones assistents al Seminari), i esva fer una visita a l’exposicio permanent !Ex-periencies matematiques" del Museu de Ma-

tematiques de Catalunya (MMCA) a Can Mer-cader (Cornella).

El programa detallat del Seminari espot consultar a https://sites.google.com/site/reunionestalmatcat/ i des d’aquestamateixa adreca es poden descarregar les pre-sentacions de les diferents ponencies. Des del’organitzacio volem comentar que tant la va-loracio que s’ha fet per part del professorat deles diferents comunitats de l’Estat com algunsmissatges rebuts per part dels docents catalansassistents al Seminari han estat molt positiusi, en aquest darrer cas, conve destacar que ensdiuen que estan segurs que les ponencies ques’han presentat aporten suggeriments que se-ran molt profitosos per a la tasca docent. Coma exemple mostrem la valoracio d’un profes-sor que s’ha incorporat al grup de professo-rat d’Estalmat Catalunya el curs 2013-2014, ique ens va enviar tan bon punt va acabar elSeminari:

Marta,

Vull ser el primer en obrir el torn localde felicitacions. Ha estat un cap de set-mana delicios. M’ha encantat saber que atantes comunitats hi ha un grup de pro-fes inquiets, per als quals ensenyar ma-tematiques no es cap tortura, mes avi-at una diversio. La gent m’ha semblatmaquıssima.

Sincerament, m’ha sorpres copsar que elprojecte Estalmat te tanta forca i vitali-tat a tot Espanya. El cap em bull amb lesidees que ens han aportat els companys deles altres comunitats aquest matı.

Marta Berini i Antoni GomaCoordinadora i sotscoordinador del projecte Estalmat

Segona Jornada d’Investigadors Predoctorals Interdisciplinaria (JIPI)

El passat 6 de febrer es va celebrar la SegonaJornada d’Investigadors Predoctorals Interdis-ciplinaria (JIPI) al Paranimf de l’edifici historicde la Universitat de Barcelona. Aquesta inicia-tiva va ser organitzada per diversos investiga-dors en formacio de la Facultat de Fısica i la Fa-cultat de Quımica de la Universitat de Barcelo-na, l’Institut de Ciencies Fotoniques i el Centre

de Recerca Matematica (Anna Alemany, JosepManel Rebled Corsellas, Joan Camunas Soler,Anna May Masnou, Maria Martı Prieto, Martı-Perarnau Llobet, Daniel Reta Maneru, OleguerSagarra Pascual i Daniel Sanchez Taltavull).

L’objectiu de la Jornada era construir unespai de trobada per a investigadors en for-macio de tot Catalunya i tambe de fora.

22

Aquest any van venir participants de Madrid,Anglaterra i Xile. D’aquesta manera es vadonar l’oportunitat d’establir noves col.labora-cions cientıfiques i presentar la recerca propia,aixı com donar resposta a diferents pregun-tes: A qui li pot interessar la meva recerca? Iaixo per a que serveix? Que hi ha despres deldoctorat?

Fotografia de grup de la JIPI.

Aquest any, amb una participacio de dues-centes cinquanta vuit persones, la xifra d’as-sistents es va duplicar respecte de l’any ante-rior. Es presentaren un total de cinquanta-unflash talks, aixı com varies xerrades en grup, enque diferents conferenciants presentaven la sevafeina juntament amb els seus col.laboradors.Com a novetat tambe hi havia premis a la mi-llor xerrada de cada sessio. Les sessions van servotades pels participants de la JIPI i els premisforen entregats per Joaquim Bruna (director delCentre de Recerca Matematica) i Anna Cabre(Associacio Catalana d’Entitats de Recerca).

Les sessions es van dividir en cinc blocstematics diferents:

1. PreDoc. Jones and the climate crusade, sobreciencies ambientals.

2. Understanding society: the final frontier, so-bre ciencies socials.

3. Maths to rule them all, sobre cosmologia iciencies computacionals.

4. Elementary, PreDoc. Watson... it’s GATTA-CA, sobre sistemes complexos i biofısica.

5. “The patients always lie... go to the lab” Pre-

Doc. House, sobre ciencies biomediques i no-ves tecnologies.

Per complementar les xerrades, es va fer unasessio de doctors en el sector privat i una sessiod’emprenedoria:

• PhDs in business: consulting and new mo-dels. La sessio fou moderada per JosepPerello, i tenia com a conferenciants convi-dats Joan Antoni Cabrer, doctor en Fısicaper la UAB i actualment consultor a McKin-sey and Company, i Daniele Quercia, doc-tor en Informatica per l’University Collegeof London i actualment investigador a YahooLabs. En aquesta sessio els dos conferenciantsvan explicar la seva experiencia i van respon-dre totes les preguntes dels assistents sobre elcanvi que suposa el pas de la universitat capa l’empresa i com es la feina d’un consultor.

• Entrepreneurship session. La sessio va sermoderada per Xavier Ferrıs i va tenir coma conferenciants convidats Marc Almendros,doctor en Enginyeria de Telecomunicacionsper l’ICFO i cofundador i executiu en cap deSignadyne, Xavier Guardiola, doctor en Fısi-ca per la UB i cofundador de Woices i CTO aSimpple i Ilustrum, i Miguel Vidal, enginyeren telecomunicacions per la UPC, i cofunda-dor i director de tecnologia de TechIDEAS.En aquesta sessio, els convidats van explicarcom havia sigut muntar la seva propia em-presa i van respondre a totes les preguntesque van fer els participants.

Fotografia de vuit dels nou organitzadors de la

JIPI, d’esquerra a dreta: Martı Perarnau Llobet,

Daniel Sanchez Taltavull, Anna May Masnou,

Oleguer Sagarra Pascual, Josep Manel Rebled

Corsellas, Anna Alemany, Joan Camunas Soler i

Maria Martı Prieto.

Per acabar, es va portar a terme una sessiode speed networking destinada a crear parelles

23

cientıfiques, en que durant una hora es demana-va als assistents que expliquessin la seva recercaen dos minuts i passat aquest temps es canvia-ven les parelles.

Per treure el maxim profit de les JIPI iper estimular-ne la continuıtat es va procurarpotenciar la interactivitat a Internet i a lesxarxes socials, amb el Twitter @jipi bcn il’etiqueta #jipi2014, que malauradament noassoleix l’objectiu de ser trending topic mun-dial. A mes, les xerrades i les activitats vanser enregistrades en vıdeo i estan disponibles

a UBTV i al canal de Youtube https://www.

youtube.com/user/JIPI2013, junt amb el re-portatge de UBTV, i s’hi pot accedir des dewww.ub.edu/jipi.

La Jornada compta amb la col.laboracioeconomica de les societats catalanes de Biolo-gia, Fısica, Matematiques i Quımica, del Bar-celona Knowledge Campus, de la Facultat deFısica de la Universitat de Barcelona, de laFacultat de Matematiques de la Universitat deBarcelona, del Centre de Recerca Matematica ide l’Associacio Catalana d’Entitats de Recerca.

Daniel Sanchez TaltavullCentre de Recerca Matematica

II Spanish Young Topologists Meeting

Els passats dies 12, 13 i 14 de desembre es va ce-lebrar el segon Spanish Young Topologists Me-eting a la Universitat Politecnica de Catalunya.Aquesta va ser la segona edicio d’aquestes jor-nades, que volen ser un punt de trobada, enl’ambit de l’Estat espanyol, d’investigadors no-vells la recerca dels quals toca l’area de la to-pologia, oferint als participants un entorn onintercanviar idees i exposar la seva recerca, pos-siblement per primera vegada.

Els organitzadors d’aquesta activitat vanser Alberto Gavira i Toni Lozano, de laUniversitat Autonoma de Barcelona i AbdoRoig, de la Universitat Politecnica de Ca-

talunya. L’activitat ha estat impulsada desde la Xarxa Espanyola de Topologia i enaquesta edicio ha comptat amb el suportde la Societat Catalana de Matematiques.Hi va haver una bona participacio, sobre-tot tenint en compte que l’agenda de troba-des de topolegs per aquesta tardor era forcaatapeıda.

Sense allunyar-se gaire de la primera ediciod’aquestes jornades, el format va consistir endos cursos de tres hores impartits per investi-gadors senior, aixı com deu exposicions contri-buıdes pels participants. Els cursos van ser:

• Wolfgang Pitsch (UAB). !An introductionto the mapping class group".

• Antonio Viruel (Universitat de Malaga).!Finite transformation groups".

Les xerrades contribuıdes van ser detematiques molt diverses, i van reflectir la vi-talitat de la recerca en topologia. Es va parlarde A"-algebres, homotopia racional, topologiade varietats i teoria de catastrofes, geometriasimplectica, grafs aleatoris o teoria de grups,entre altres temes. Per a mes informacio so-bre les jornades, podeu accedir a la pagina web:http://mat.uab.cat/~sytm.

Abdo Roig-MarangesUniversitat Politecnica de Catalunya

24

VI Jornades de l’Associacio Catalana de GeoGebra

Els nous recursos del GeoGebra per a les nostres classes

El 14 i 15 de febrer passats varem cele-brar les V Jornades de GeoGebra. Des del’organitzacio estem molt satisfets de l’exit d’as-sistencia que varen tenir (cent cinquanta perso-nes) i de les respostes i comentaris que noranta-

set persones han expressat en l’enquesta quehem passat.

Varem estructurar les intervencions en trestipus: les conferencies, les comunicacions i lespındoles, com podeu veure en el quadre seguent:

Divendres 14 de febrer de 2014 Dissabte 15 de febrer de 2014

Conferencia: !GeoGebra i magia".Josep Lluıs Canadilla (Associacio Catalana deGeoGebra).

Conferencia: !Cuadrilateros sorprendentes".Jose Luıs Alvarez Garcıa (Institut GeoGebrade Cantabria).

Pındola 1: !Es possible controlar els valorsque es poden entrar en un camp de text".Antoni Goma.

Pındola 3: !Com va evolucionant l’us delGeoGebra a les Tablets?".Albert Garcia.

Divendres 14 de febrer de 2014 Dissabte 15 de febrer de 2014

Comunicacio 1: !Los lugares geometricos engeometrıa dinamica: viejos problemas, nuevassoluciones".Tomas Recio.

Comunicacio 7: !GeoGebra i Ipad’s".Olga Casaban.

Comunicacio 2: !Creacio i manipulacio depoliedres a partir de les coordenades dels seusvertexs".Juli Jurado.

Comunicacio 8: !Integracion de GeoGebraen el diseno de situaciones didacticas en edu-cacion primaria".Aitzol Lasa.

Comunicacio 3: !Dynamic mathematics inrobotics".Martha Cardenas i Dani Lopez.

Conferencia: !Espacilandia".Jose Munoz Santonja (Institut GeoGebrad’Andalusia).

Conferencia: !GeoGebra nella formazioneprofessionale del docente di matematica: le es-perienze dell’Istituto di Torino".Ada Sargenti (Institut GeoGebra de Torı).

Pındola 4: !Com es poden publicar construc-cions de GeoGebra al GeoGebraTube?"

Pep Bujosa.

Pındola 2: !Es possible fer sequencies i acti-var el trac en el GeoGebra 3D?".Bernat Ancochea.

Comunicacio 9: !Los conjuntos borrosos ysu visualizacion en GeoGebra".Itziar Garcia-Honrado, Miquel Ferrer i JosepMaria Fortuny.

Comunicacio 4: !Art generatiu per aprendreel GeoGebra a l’ESO".David Bataller.

Comunicacio 10: !Una proposta geometricades de la distancia: taxigeometria i taxi-trigonometria".Joan Castillo.

Comunicacio 5: !Art generatiu per aprendreel GeoGebra a l’ESO".Albert Salvado.

Comunicacio 11: !La fotografia i els dibuixosmatematics: una font de recursos per treballaramb el GeoGebra".Santi Vilches i Joana Villalonga.

25

Les conferencies son unes intervencions de mesdurada que encarreguem a persones que tenenun cert prestigi en el tractament i en l’us delGeoGebra.

Pep Bujosa durant la seva conferencia.

Aquest any varem tenir Josep LluısCanadilla, destacat membre de la nostra Asso-ciacio, que ens va fer una intervencio en queva mostrar les possibilitats de la programa-cio del GeoGebra. Per a la segona conferenciavarem tenir Ada Sargenti, de l’Institut Geo-Gebra de Torı, amb una intervencio sobre ex-periencies de l’us del GeoGebra al seu paıs.Va inaugurar el segon dia Jose Luıs Alvarez,de l’Institut GeoGebra de Cantabria, que vafer una conferencia sobre determinats aspec-tes curiosos de la geometria tractats amb elGeoGebra. Finalment, el quart conferenciantd’aquesta edicio va ser Jose Munoz Santonja, del’Institut GeoGebra d’Andalusia, que va parlarsobre l’us del GeoGebra 3D a les aules.

Les comunicacions foren intervencions mesbreus, seleccionades d’entre les propostes quevarem rebre. Els comunicants presenten re-flexions i experiencies sobre l’us del GeoGe-

bra a les classes. Aquest any, com en edicionspassades, han estat molt variades. Si revisemel programa, trobem referencies a l’ensenya-ment del dibuix, la tecnologia, l’us dels Ipadsa primaria, l’analisi de funcions i, sobretot, a lageometria.

En l’edicio anterior, varem encetar el con-cepte de pındola. Anomenem pındoles unes in-tervencions molt breus que responen a pregun-tes que els assistents ens han fet sobre detallsconcrets del GeoGebra. Com podeu observar,la tematica va ser molt diversa.

La sala on es va celebrar l’esdeveniment.

Van ser dos dies d’intercanvi d’experienciesamb un esperit de col.laboracio i de ganes demillorar la nostra feina. Cosa que, en aqueststemps que corren, s’ha de ressaltar i subratllar.

No vull acabar aquest resum sense agraira la Universitat Pompeu Fabra i a la SocietatCatalana de Matematiques el seu suport perpoder tirar endavant l’organitzacio d’aquestesjornades.

Pep BujosaPresident de l’Associacio Catalana de GeoGebra

FotoMath 2013, III Concurs de Fotografia Matematica del Departament deMatematica de la Universitat de Lleida (UdL)

Des del Departament de Matematica de la Uni-versitat de Lleida (http://www.matematica.udl.cat) hem organitzat la tercera edicio delconcurs de fotografia matematica FotoMath2013. La primera edicio d’aquest certamen decaracter biennal va ser l’any 2009 i va neixeramb la voluntat de divulgar i fer palesa la

presencia de les matematiques en el nostreentorn.

La participacio d’aquest concurs es ober-ta a tothom i vam fer la difusio de la convo-catoria mitjancant la pagina web http://www.

fotomath.udl.cat, on apareixen les bases del

26

concurs, els premis, el jurat, les fotografies en-viades i alguns enllacos per animar possiblesparticipants tot donant exemples d’altres con-cursos, webs o llibres dedicats a la fotografiamatematica.

Aixı mateix, tambe hem usat altres viesde difusio com son els mitjans que ens hanofert les societats matematiques SCM, SEMA iRSME, el web del CREAMAT, el taulelld’anuncis de la pagina web de la UdL i les xar-xes socials Facebook i Twitter.

Fotografia guanyadora del 1r. premi.

La participacio ha estat, com en les altresedicions, un exit, tant pel que fa al nombre departicipants com al nivell de les fotografies en-viades pel que fa a l’estetica, l’originalitat i lapresencia de conceptes matematics. En l’ediciod’enguany hi han hagut 277 participants, en-front dels 190 participants de l’edicio de 2011.Cal tenir en compte que enguany vam limitara tres el nombre maxim de fotografies per par-ticipant, enfront de les cinc que es permetia enles edicions anteriors. Aixı, el nombre de foto-grafies enviades ha estat de 654. Pensem que lafacilitat per enviar les fotografies en format di-gital i mitjancant un formulari que apareixia ala pagina web del concurs n’ha afavorit la par-ticipacio.

A partir de la meitat del mes de febrer de2014, el jurat del concurs va haver de dur a ter-me la difıcil tasca de decidir les fotografies gua-nyadores. En aquesta convocatoria el jurat haestat format per Ramon Gabriel, fotograf pro-

fessional i membre de l’equip creatiu de l’estudifotografic defoto http://www.defoto.net/,Fernando Guirado, professor del Departamentd’Informatica i Enginyeria Industrial de la UdL,Nuria Conde, investigadora del grup de recercaCell Signaling de la Universitat Pompeu Fabra,i Maite Grau, professora del Departament deMatematica de la UdL.

Fotografia guanyadora del 2n. premi.

L’ardua tasca de decidir les fotografies gua-nyadores va culminar en la tria de vint-i-duesfotografies amb accessit i els tres primers pre-mis. Tots els participants guanyadors (premiatsi finalistes) han rebut un poster amb les vint-i-cinc fotografies guanyadores.

Les tres fotografies guanyadores del Foto-Math 2013 son:

1r. premi: Circumferencies tangents, de Fran-cesca Vasile.

2n. premi: Moviment angular, de Pau Iz-quierdo Sanchez-Fortun.

3r. premi: Fibonacci tiende a infinito, deRuben Quejigo Gutierrez.

Fotografia guanyadora del 3r. premi.

27

L’acte de lliurament de premis va ser el di-lluns 31 de marc de 2014 a l’Escola PolitecnicaSuperior (EPS) de la Universitat de Lleida. Talcom es va destacar en aquest acte, les fotogra-fies guardonades en aquesta edicio excel·leixenper la sıntesi que fan d’un concepte matematici la seva elegancia en la simplicitat.

Volem agrair a Adolf Izquierdo la cessio deles fotografies de l’acte de lliurament de premisque apareixen en aquesta ressenya i tambe a ladireccio de l’EPS que ens hagi facilitat l’espaiper a l’exposicio i el piscolabis que vam poderassaborir en l’acte d’entrega de premis.

Acte d’entrega de premis del FotoMath 2013.

Totes les fotografies enviades, amb el nomdels seus autors, es poden trobar en l’apar-tat d’exposicio virtual de la pagina web delconcurs http://www.fotomath.udl.cat. Aixımateix, hem organitzat una exposicio fısica detotes les fotografies participants. Aquesta expo-sicio es pot disfrutar al primer pis de l’EscolaPolitecnica Superior fins al maig de 2014 i hemarribat a un acord amb l’Institut d’Estudis Iler-dencs (http://www.fpiei.es/) a fi de fer-laitinerant per diversos municipis del territori.

El concurs FotoMath 2013 ha estat cofi-nancat pel Vicerectorat d’Activitats Culturalsi el Departament de Matematica de la UdL.L’exposicio fısica de les fotografies ha estat co-financada per “la Caixa” i el Departament deMatematica de la UdL.

Volem agrair a tots els participants l’en-viament de fotografies, a tots els companysde l’Escola Politecnica Superior el seu ajut al’hora de muntar l’exposicio i els seus suggeri-ments de cara al desenvolupament del concurs, ials membres del jurat del concurs la seva inesti-mable tasca. Comptem que, en futures edicionsd’aquest certamen, el nivell d’organitzacio i departicipacio sera tan bo o fins i tot millor queen aquesta edicio. Una de les novetats que vo-lem engegar per a futures edicions es establiruna categoria infantil perque les fotografies en-viades per nens tambe puguin optar a premi sila forma de reflectir un concepte matematic esdestacable, sense tenir tan en compte el nivellfotografic.

Podeu trobar ressenyes de les edicionsanteriors del concurs, el FotoMath 2009 iel FotoMath 2011, publicades a la revistaSCM/Notıcies de la Societat Catalana deMatematiques (http://scm.iec.cat/), en elnumero 29, pags. 16–17, i en el numero 33,pags. 20–21.

Que que m’agrada de les matematiques?[. . . ] Les matematiques son com un correntd’aigua. Existeixen diverses teories compli-cades, es cert, pero la logica basica es moltsenzilla. De la mateixa manera que l’aiguaflueix des d’un lloc elevat cap a un altre mesbaix prenent la distancia mes curta, nomeshi ha una corrent matematica. En observaramb atencio, el curs es fa visible per si ma-teix. Nomes cal que miris fixament. No hasde fer res mes. Si et concentres i aguditzesla vista, tot s’aclareix.

En aquest mon no hi ha res, llevat de lesmatematiques, que em tracti amb amabili-tat.

Cita extreta de 1Q84, llibres 1 i 2 deHaruki Murakami, escriptor i traductor ja-pones, autor de diferents relats i novel·les(Kyoto, 1949).

Josep Conde i Maite GrauUniversitat de Lleida

28

IV Trobada de Societats Matematiques de Parla Catalana

Els passats 3 i 4 de maig de 2014 tingue lloca Mallorca la IV Trobada de Societats Mate-matiques de Parla Catalana, es a dir, un capde setmana de reunions i visites entre l’am-fitriona, la Societat Balear de MatematiquesSBM-XEIX i la resta de societats, inte-grades per la Societat Catalana de Ma-tematiques (SCM), la Federacio d’Entitatsper a l’Ensenyament de les Matematiquesa Catalunya FEEMCAT (amb represen-tants d’APaMMs, ADEMGI i ABEAM)i la Societat d’Educacio Matematica de la Co-munitat Valenciana Al-Khwarizmi SEMCV.

L’ordre del dia contemplava dos estadis bendiferenciats. Una primera trobada de feina alCastell de Bellver (on Francois Arago hi roman-gue empresonat voluntariament per preservar-lila vida el 1808) per avancar en el projecte decreacio d’una pagina web conjunta que agluti-ni tot el coneixement tant cientıfic i documentalcom didactic, sobre el meridia de Parıs i les me-sures realitzades a les terres de parla catalana.

I una segona trobada de feina al monestir deLluc, entre dissabte horabaixa i diumenge dematı, per tractar un enfiloll de temes comunscom la presentacio de les societats, les activi-tats de divulgacio, les jornades didactiques, lesactivitats amb alumnes, etc.

Fotografia de grup durant la trobada.

El meridia de Parıs a les terres de parlacatalana

La reunio al castell de Bellver compta amb lafeina previa que Anton Aubanell havia tramesa la gent de la FEEMCAT, en un esborrany queserveix de base per comencar a donar forma alcontingut de la web comuna.

El tema del meridia sorgı a partir de la re-forma de la placa de les Glories quan ens varemassabentar que s’havia de llevar el monumental metre. Es varen fer tota una serie de cor-reus electronics demanant que es mantingues elmonument a la placa. Se’ns va respondre que estindria en compte, pero que de moment deixariala placa de les Glories mentre duras la reforma,tot i que seguiria a l’avinguda Meridiana. I aixıes.

L’acord fou tirar endavant la web comu-na amb intencio d’exhaustivitat, on s’hi poguestrobar documentacio historica i cientıfica sobreel tema, i on hi tinguessin, logicament, un pa-per rellevant les activitats d’aula. Tambe es vapensar, per la seva estreta relacio, que estariabe que fos una web on hi tingues cabuda tot eltema de les mesures tradicionals a les terres deparla catalana.

En aquests moments, el projecte esta en fa-se de creacio i d’estructuracio de continguts.

Fotografia de grup durant la trobada.

Presentacio de les diverses societats

El dissabte horabaixa s’inicia amb la presen-tacio de les activitats que habitualment por-ta a terme cada una de les societats. La ideaes, com a cada trobada, saber com es repar-teixen els esforcos en les altres societats, coms’obtenen els recursos, quines son les activitatsemblematiques, etc. Entre les activitats que jareuneixen les quatre entitats logicament es vaparlar de les proves Cangur, amb les novetatsde l’edicio d’enguany com la Copa Cangur i dela trobada que habitualment es fa el darrer capde setmana de setembre a la seu de l’IEC.

29

Premi Maria Antonia Canals

Un dels fruits de la primera trobada de socie-tats (2010) fou la creacio, entre la SEMCV Al-Khwarizmi, la FEEMCAT i l’SBM-XEIX, delpremi Maria Antonia Canals, amb una periodi-citat biennal. Aquest premi ja visque la primeraentrega de guardons el passat 2012 i la seguentedicio esta prevista per al setembre vinent.

Mariona Petit en una de les sessions de treball

durant la trobada.

Jornada conjunta sobre EducacioMatematica

El tema proposat es !100 anys de ma-tematiques amb tots els sentits: Emma Castel-nuovo in memoriam". Enguany el format po-dria canviar una mica. Al matı, hi hauria unaconferencia sobre Emma Castelnuovo. A conti-nuacio, diverses taules amb alumnes i mestreso professors que mostrassin diferents materialsmanipulatius que fan servir a les seves classes,inspirats en la mestra italiana. Durant l’hora-baixa, hi hauria petites comunicacions en que

els professors i mestres poguessin descabdellaruna mica mes les experiencies mostrades durantel matı.

Activitats en l’ambit d’educacio infantil iprimaria

Una de les inquietuds que manifestaren la ma-jor part de les associacions es la necessitatd’arribar als col·lectius de mestres d’infantil iprimaria. A les darreres JAEM (Palma 2013)es va tenir en compte a l’hora de confegir elprograma que en tot moment hi hagues al-guna activitat referent a aquestes etapes edu-catives. Sorgiren diverses idees que des d’al-gunes associacions de FEEMCAT i des de lamateixa SBM-XEIX ja s’estan duent a terme.Tallers de materials, conferencies, seminaris,dia escolar de les matematiques, exposicions,etc.

Altres projectes per tirar endavant

Es feu la proposta de fer una traduccio al catalad’algun text classic sobre didactica. Es mirarad’establir contacte amb un professor jubilat fatemps que inicia la traduccio del llibre de Polya!La decouverte des mathematiques", on apa-reix el seu decaleg, per saber si li interessariapublicar la traduccio.

La trobada conclogue amb una caminadapels boscos de Lluc, amb la visita a l’avencde sa Cometa des Morts, centre de culte pre-historic, i amb un dinar de companyonia a CanGallet d’es Guix, Escorca. Tambe s’acorda ce-lebrar la proxima trobada al Paıs Valencia,el 2015.

Societat Balear de Matematiques SBM-XEIX

30

Contribucions

Una breu introduccio a la historia de la geometria al segle xix

El contingut d’aquest text prove d’un curs ambel mateix tıtol impartit per Jeremy Gray (Uni-versitat Oberta i Universitat de Warwick) iJune Barrow-Green (Universitat Oberta) elnovembre de 2013 al London Taught Cour-se Center, una associacio de les universitatsde l’area de Londres per formar els estudi-ants de doctorat en matematiques. Ens cen-trarem en l’article !Saggio di interpretazio-ne della geometria non-Euclidea" [1] que Bel-trami va escriure el 1868, pero al mateixtemps volem donar una visio general de la re-volucio que va suposar l’aparicio de geome-tries no euclidianes per a les matematiques.Vegeu [16] si voleu llegir mes sobre aquesttema.

Introduccio

El 5e axioma dels elements [4] d’Euclides(c. 300 AC), sovint anomenat el postulat de lesparal.leles, diu

Si un segment interseca dues lınies rec-tes formant dos angles interiors en el ma-teix costat que sumin menys que dos an-gles rectes, llavors les dues rectes, si s’ex-tenen indefinidament, es tallen en aquellcostat.

Aixo es pot reformular de diverses maneres, lames famosa de les quals es l’axioma que diu queper qualsevol punt que no formi part d’una rec-ta hi passa nomes una paral.lela a aquesta recta.La historia de les matematiques es plena de gentque ha intentat provar-lo a partir dels altres axi-omes pero tan sols van ser capacos de mostrarque es equivalent a altres proposicions, com araque la suma dels angles d’un triangle es 180#.Vegeu els treballs d’Omar Khayyam (1048-1131), Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733)o Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Elllibre Elements de geometrie [9] que Adrien-Marie Legendre (1752-1833) va publicar el 1794conte diversos intents fallits de provar aquestenunciat.

Els orıgens de la geometria no euclidiana:Gauss, Lobatxevski, Bolyai i Riemann

Nicolai Ivanovitx Lobatxevski (1792-1856) i in-dependentment Janos Bolyai (1802–1860) vanser els primers matematics a portar a termeinvestigacions exitoses suposant la negacio delpostulat de les paral.leles. A la figura podeuveure la imatge original que va emprar Lobat-xevski a Geometrical investigations on the the-ory of parallels [10] el 1840 per descriure la si-tuacio en que existeixen diverses paral.leles.

Diagrama de l’article de Lobatxevski.

Despres de descobrir que la geometria noeuclidiana es tan valida i consistent com l’eu-clidiana, Bolyai va escriure en una carta alseu pare Farkas Bolyai (1775-1856) la famosafrase:

He creat un mon nou i diferent a partir delno-res.

Mirant la seva correspondencia hem sabutque Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tambehavia estat interessat en la geometria no eu-clidiana al principi de la seva carrera, tot i quemai va publicar res sobre aquest tema. FarkasBolyai, que era un bon amic de Gauss vacomunicar-li els progressos que el seu fill ha-via fet recentment, pero Gauss en comptes demostrar-se content pels avencos de Janos es valimitar a dir que ell ja havia reflexionat sobre

31

aquests resultats anteriorment. Bolyai, que maiva estar convencut de l’afirmacio de Gauss, vaacabar publicant el seu treball en un annex ano-menat !Appendix scientiam spatii absolute ve-ram exhibens" al final d’un llibre escrit pel seupare [3]. D’altra banda, l’article de Lobatxevskiva apareixer en una revista russa que no es vatraduir fins al cap d’uns anys. Tot plegat va ferque els seus treballs no fossin ampliament cone-guts per la comunitat matematica de l’epoca.

El theorema egregium de Gauss [5] del1827 estableix que la curvatura d’una su-perfıcie es pot calcular mesurant angles idistancies a la superfıcie mateixa independent-ment de la manera en que aquesta estiguificada a l’espai euclidi 3-dimensional, es a dir,es una quantitat intrınseca. El 1851 BernhardRiemann (1826–1866), que era estudiant seua Gottingen, va publicar la seva tesi, enla qual ja incloıa les idees basiques delque avui en dia anomenem superfıcies deRiemann. El 1854 Riemann va entregartres temes per a la seva habiltationsvortrag—una qualificacio postdoctoral alemanya—,dels quals Gauss va escollir (molt al seu pesar)el que tenia per tıtol On the hypotheses whichlie at the foundations of geometry [13] per ladefensa. A l’exposicio, Riemann no va menci-onar explıcitament la geometria no euclidianai no es clar que fos coneixedor del treball deBolyai o fins i tot de Lobatxevski, tot i que vacitar Legendre i la foscor que segons ell va co-brir els fonaments de la geometria des del tempsd’Euclides. Riemann va anar una mica mesenlla que Gauss: segons ell, la geometria es ba-sa en mesuraments intrınsecs. En comptes detenir una geometria privilegiada, va dir que po-dem fer geometria en qualsevol espai equipatamb una metrica que ens permeti mesurar lon-gituds i angles. L’habiltationsvortrag conte lesbases de la geometria riemanniana.

El !Saggio di interpretazione dellageometria non-Euclidea" de Beltrami

El protagonista del nostre assaig, Eugenio Bel-trami (1835–1899), va neixer a Cremona (Italia)i va estudiar matematiques a la Universitat dePavia del 1853 al 1856. Per causa de dificul-tats economiques va treballar com a secreta-ri d’un enginyer ferroviari. El seu primer arti-cle es va publicar el 1862. Durant la seva vi-

da va ocupar diverses catedres per tot Italia(geodesia, mecanica classica, fısica matematica,etc.). La seva recerca es pot dividir en dosperıodes: el primer —en que va escriure el Sag-gio— sobre geometria diferencial de corbes i su-perfıcies, influenciat principalment per Gauss,Lame i Riemann i un segon, a partir de 1872,en que es va decantar per la recerca en ma-tematica aplicada. Va tenir acces a algunes deles cartes de Gauss i traduccions del treball deLobatxevski.

L’article comenca precisament amb una in-troduccio al treball de Lobatxevski en geome-tria no euclidiana, un conjunt de conceptesque, en la seva opinio, si prevalguessin canvi-arien profundament la concepcio de la geome-tria. Beltrami, que sempre mostra gran admi-racio per Gauss, comenta que tot i que mai vapublicar res d’aquesta area, Gauss va fer algu-nes investigacions sobre aquest tema i donavasuport total al treball de Lobatxevski. En pa-raules de Beltrami, l’objectiu d’aquest articleera

[...] trobar un substrat real per aquesta doc-trina [de Lobatxevski], en comptes d’adme-tre la necessitat d’un nou ordre d’entitats iconceptes.

Mostra aixı el seu interes per relacionar laconstruccio logica o axiomatica de Lobatxevskiamb un model en que poder utilitzar la geome-tria classica.

La propera seccio tracta sobre el principi desuperimposabilitat de figures, que diu que pertal de mesurar necessites ser capac de moureles figures lliurement per la superfıcie sense captipus de distorsio. Gauss va demostrar que lessuperfıcies amb aquesta propietat son precisa-ment les que tenen curvatura esferica constant(avui en dia ho anomenem curvatura gaussia-na). Beltrami observa que tots els resultats dela geometria plana que nomes depenen del prin-cipi de superimposibilitat es poden transferir aaquest context: !la conclusio d’una prova com-pren necessariament totes les situacions en queles hipotesis son satisfetes".

La part tecnica de l’article comenca a la ter-cera seccio, on s’estudia la metrica

ds2=R2 (a2"v2)du2+2uvdudv+(a2"u2)dv2

(a2"u2"v2)2,

32

que correspon a una superfıcie amb curvaturagaussiana "1/R2 < 0. La manera com Beltra-mi arriba a aquesta expressio esta descrita enuna nota al final de l’article per evitar inter-rupcions. L’element de lınia d’una superfıcie decurvatura constant positiva 1/R2 (i.e. una esfe-ra de radi R) es

ds2=R2 (a2+v2)du2"2uvdudv+(a2+u2)dv2

(a2+u2+v2)2.

El seu truc va ser substituir R i a pels nombresimaginaris iR i ia respectivament. Va denomi-nar la superfıcie resultant pseudoesfera, vegeula figura seguent per una representacio, i espot obtenir com la superfıcie de revolucio d’unatractriu al voltant de la seva asımptota.

La pseudoesfera de Beltrami.

Tornant a la tercera seccio, Beltrami conti-nua la seva exposicio observant que aquesta ex-pressio de l’element de lınia te l’avantatge queles geodesiques venen donades exactament perequacions lineals en les variables u i v. Tal compassa amb el pla euclidi, hi ha dues famılies degeodesiques resultants de fer una de les coor-denades (u, v) constant i deixar variar l’altra.Per cada punt de la superfıcie hi ha una ge-odesica de cada conjunt, pero a diferencia delque passa en el cas euclidi, aquestes geodesiquesnomes formen un angle recte als punts on u = 0o v = 0, les geodesiques fonamentals.

Per tal que l’expressio de l’element de lıniads2 tingui sentit cal que u2+ v2 ! a2. Ell es re-fereix a la circumferencia de radi a com el cerclelımit. Tot seguit fa un calcul explıcit de la longi-tud d’una geodesica que vagi des de l’origen finsal cercle lımit i conclou que es infinita. Interpre-ta que aquest cercle lımit conte una represen-tacio d’infinits punts de la superfıcie, i diu quees pot veure com una geodesica de radi infinit.A continuacio llista les normes del seu model(sovint anomenat disc de Beltrami-Klein):

I. Dues cordes diferents que es tallen dins delcercle lımit corresponen a geodesiques ques’intersequen en un punt de distancia finitaen un angle diferent de 0# i 180#.

II. Dues cordes diferents que es tallen a la cir-cumferencia lımit corresponen a geodesiquesque convergeixen en un unic punt a l’infinit itenen la mateixa inclinacio.

III. Dues cordes diferents que es tallen fora delcercle lımit o son paral.leles en el sentit eucli-dia corresponen a dues geodesiques amb cappunt en comu en la seva extensio completa ala superfıcie.

Beltrami fa servir la imatge de la figura desota per provar que per tot punt sempre hi hadues geodesiques paral.leles a una geodesica do-nada que no passi per aquell punt i que es tallenen un angle diferent de 0# o 180#. Dibuixa unacorda pq que correspon a una geodesica i unpunt finit r fora de pq. Llavors observa que lesgeodesiques que passen per r es poden classi-ficar en dos tipus: les que intersequen pq dinsdel disc de radi a i les que no (paral.leles). Ellımit entre aquests dos casos son les geodesiquescorresponents a rp i rq que conclou que s’inter-sequen en un angle que no es 0# ni 180#.

Construccio al model de Beltrami.

La resta de la seccio es dedica a examinarla correspondencia entre la geometria pseudo-esferica i la geometria no euclidiana del pla. Enparticular prova que en el seu model la sumadels anges d’un triangle no pot superar 180# iper assolir aquest valor cal que R = &, fet quees congruent amb els resultats de Lobatxevski.Per acabar, cap al final de l’article estudia elque ell anomena cercles geodesics que son elshorocicles de la teoria de Lobatxevski.

33

L’acceptacio de la geometria no euclidia-na: Klein, Poincare i Hilbert

El 1872 el jove Christian Felix Klein (1849-1925) va ser nomenat professor de ma-tematiques a Erlangen. Alla va comencar elfamos Erlanger Programm, un programa de re-cerca que proposava una visio unificada de lageometria utilitzant la geometria projectiva ila teoria de grups. Klein va traslladar l’atenciodels espais a les transformacions: va associar ungrup de simetries a cada geometria, i va veuretant la geometria euclidiana com la no euclidia-na com casos especials de la geometria projecti-va. A [7] va deduir les formules de la geometriano euclidiana utilitzant tecniques projectives,mentre que a [8] va mostrar com extendre elsseus arguments de 2 a n dimensions. Per fer-ho va desenvolupar una idea d’Arthur Cayley(1821-1895) per construir una metrica utilit-zant la rao doble. En els seus treballs mencionatant Lobatxevski i Bolyai com Beltrami. Ob-serveu que el tıtol dels articles de Klein es !Onthe so-called non-Euclidean geometry", reco-neixent la popularitat que l’area havia assoliten aquell moment.

Mes endavant Jules Henri Poincare (1854-1912) va descobrir un vincle entre les funci-ons fuchsianes i la geometria no euclidiana [11].Amb aquesta motivacio va estudiar els famo-sos models del disc D i del semipla superi-or H que porten el seu nom. De fet, aqueststambe havien estat introduıts per Beltrami,que va descriure quines son les transformaci-ons que els relacionen entre si i amb el discde Beltrami-Klein. L’avantatge dels models dePoincare es que la representacio es conformei les isometries son grups de transformacionsde Mobius. Per contra, les geodesiques no sem-pre son lınies rectes, sino que tambe poden serarcs perpendiculars a la frontera. En el seu as-saig On the Foundations of Geometry [12] del1898, Poincare adopta un punt de vista con-vencionalista. L’us de geometria no euclidianaal seus treballs sobre equacions diferencials elvan convencer que la geometria euclidiana nos’hauria de veure com una veritat a priori, sinoque els axiomes de la geometria s’haurien d’es-collir en funcio de la conveniencia dels resul-tats que produeixen i no segons una aparent co-herencia amb la intuıcio que tenim sobre el monfısic.

Finalment m’agradaria mencionar els tre-balls de David Hilbert (1862-1943). A Founda-tions of Geometry [6] va proposar un conjuntd’axiomes per a la geometria projectiva que re-emplacarien els d’Euclides. Segons ell, tot i quela geometria tracti de coses sobre les quals te-nim fortes intuıcions, no es necessari assignarcap significat concret als conceptes indefinits.Tal com Hilbert va expressar

Un hauria de poder dir sempre, en comptesde !punts, rectes, i plans", !taules, cadires,i gerres de cervesa".

volent dir que els objectes no son importants,sino que es de les relacions que hi ha entre ells,del que es tracta.

Conclusio

Beltrami va ser el primer a provar la con-sistencia de la geometria no euclidiana totmodelant-la en una superfıcie de curvaturaconstant, la pseudoesfera, i a l’interior d’undisc. El seu estil clar a l’hora d’escriure va serun factor important perque l’any seguent a lapublicacio del Saggio ja hi haguessin traducci-ons al frances. Aixo vol dir que, en contrast ambel que va passar amb Lobatxevski i Bolyai, elseu treball va arribar a les mans de molts ma-tematics. Beltrami, juntament amb Riemann,va ser el principal responsable de l’acceptaciode la geometria hiperbolica per la comunitatcientıfica. El segle xix va ser definitivament unpunt d’inflexio en la manera d’entendre la ge-ometria i, mes en general, la veritat en ma-tematiques.

Referencies

Recursos primaris

[1] E. Beltrami !Saggio di interpretazione dellageometria non-Euclidea", Giornale di Mat-hematiche VI (1868), 285-315.

[2] E. Beltrami !Teoria fondamentale deglispazii di curvatura costante", Annali. diMat., ser II, 2 (1868), 232-255.

[3] J. Bolyai and W. Bolyai Tentamen juven-tutem studiosam in elementa matheosis pu-rae... (1832), 2 vols., Maros-Vaserhely.

[4] Euclides !Elements" (c. 300 BC), 13 vols.

34

[5] C. F. Gauss !Disquisitiones generales circasuperficies curvas", Commentationes Socie-tatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recen-tiores VI (1827), 99-146.

[6] D. Hilbert Grundlagen der Geometrie(1899), Teubner-Verlag Leipzig.

[7] C. F. Klein !Uber die sogenannte nicht-Euklidische Geometrie I", MathematischeAnnalen 4 (1871), 573-625.

[8] C. F. Klein !Uber die sogenannte nicht-Euklidische Geometrie II", MathematischeAnnalen 6 (1873), 112-145.

[9] A.-M. Legendre Elements de geometrie(1794), textbook.

[10] N. I. Lobatxevski Geometrical investigati-ons on the theory of parallels (1840).

[11] J. H. Poincare Papers on Fuchsian func-tions (1985), Springer-Verlag, Heidelberg iNova York.

[12] J. H. Poincare !On the foundations of geo-metry", The Monist 9, (1898), n. 1, 1-43.

[13] B. Riemann !Uber die Hypothesen, welcheder Geometrie zu Grunde Liegen", Habilta-tionsvortrag (1854, published 1867).

Recursos secundaris

[14] L. Boi, D. Flament, and J.-M. Sa-lanskis (eds.) !1830–1930: a century of ge-ometry" (1992), Lecture Notes in Physics402, Springer-Verlag, Berlın.

[15] C. C. Gillispie Dictionary of ScientificBiography, 16 vols. (1979–1980), AmericanSociety of Learned Societies/Charles Scrib-ner’s Sons, Nova York.

[16] J. J. Gray !Worlds out of nothing: a cour-se in the history of geometry in the 19thcentury", Springer Undergraduate Mathe-matics Series, Springer, 2010.

[17] J. Stillwell !Sources of hyperbolic geo-metry", History of Mathematics 10 (1996),American Mathematical Society, Providen-ce, RI.

David Martı PeteUniversitat Oberta, Regne Unit

Premis

Premi Abel 2014: Yakov G. Sinai (1935–)

L’Academia Noruega de Ciencies i Lletres haresolt concedir el premi Abel 2014 a Yakov G.Sinai, de 78 anys. Actualment el professor Si-nai treballa a la Universitat de Princeton, EUA,i a l’Institut Landau de Fısica Teorica, a l’A-cademia de Ciencies de Russia. Les raons delpremi son !les seves constribucions fonamen-tals als sistemes dinamics, la teoria ergodicai la fısica matematica". Yakov Sinai es undels matematics de referencia i la seva obraha tingut i te una gran influencia. Entre elsseus treballs a cavall dels sistemes dinamics,la fısica matematica i la teoria de la probabili-tat hi podem incloure el concepte de l’entropiade Kolmogorov-Sinai, els billiars de Sinai, lesmesures de Sinai-Ruelle-Bowen, i la teoria de

Pirogov-Sinai. Aixı, els seus treballs estudien laconnexio entre els sistemes dinamics determi-nistes i els sistemes probabilıstics o estocastics.Durant tota la seva carrera ha escrit entorn dos-cents cinquanta treballs i ha tingut cinquantaestudiants de doctorat.

Yakov G. Sinai ha sigut mereixedor, duranttota la seva carrera, de nombrosos premis in-ternacionals de maxim prestigi com el Leroy P.Steele for Lifetime Achievement, que otorga laSocietat Matematica Americana, l’any 2013.

Des de l’editorial de la SCM/Notıcies faremtot el possible per tal que en el proper numeropuguem oferir-vos un article al mes completpossible sobre l’obra matematica del professorSinai.

35

Premis Poincare 2014

Com cada any des de l’any 2004, la Facultatde Matematiques i Estadıstica de la Univer-sitat Politecnica de Catalunya fa entrega delspremis Poincare als millors treballs de recercade batxillerat en el camp de les matematiquesi l’estadıstica.

Aquest any 2014 l’acte d’entrega de premises va fer el passat dia 9 de maig a tarda. En lalectura de l’acta de resolucio del jurat es va vo-ler destacar, unanimement, l’altıssim nivell detotes les memories presentades, i es va felicitarefusivament tots els participants, agraint-los laseva participacio. La present edicio del premiPoincare, l’onzena, ha tingut la participacio decinquanta-dos treballs, elaborats per un total

de seixanta estudiants de quaranta-vuit centresdiferents d’arreu de Catalunya.

Els primers premis van ser per als treballsseguents: Aproximacio a l’univers kepleria deMar Balcells (tercer premi), Resolucio d’equa-cions diferencials mitjancant metodes numericsde Nora Wieczorek Masdeu (segon premi), Pi,el peculiar transcendental de Jordi Fortuny Pro-fitos (primer premi) i Estudi de les transforma-cions de Mobius d’Eric Guisado Bandres (pre-mi especial del jurat).

Podeu trobar tota la informacio sobre elspremis 2014 i totes les edicions anteriors a:http://www.fme.upc.edu/premi-poincare.

Barcelona Dynamical Systems Prize 2015

El Barcelona Dynamical Systems Prize 2015 esun premi internacional que ofereix la SocietatCatalana de Matematiques, sota el patronatgedel professor Carles Simo, a un autor o autorspels seus treballs en l’area de sistemes dinamics,que hagin estat publicats o acceptats per publi-car en el perıode que va de l’1 de maig de 2013al 30 d’abril de 2015. El treball ha d’haver estatescrit en angles.

Els treballs poden ser sobre sistemesdinamics discrets o continus, tant en la sevaversio de dimensio finita com infinita. Els as-

pectes fonamentals que seran avaluats son: l’in-teres en dinamica global, la novetat dels aspec-tes teorics, la novetat de les metodologies com-putacionals (numeriques o simboliques) i la re-llevancia en l’entorn cientıfic o tecnologic.

El premi sera de quatre mil eurosi la participacio en el proces implica l’ac-ceptacio de les regulacions. Per a una in-formacio mes precisa podeu anar a la planaweb de la Societat Catalana de Matema-tiques: http://blogs.iec.cat/scm/premis/

barcelona-dynamical-systems-prize/.

Premi FSB 2014 per a Veronique Fischer i Michael Ruzhansky

El premi Ferran Sunyer i Balaguer de l’any2014 ha estat atorgat a Veronique Fischer iMichael Ruzhansky, de l’Imperial College ofLondon (Regne Unit), pel seu llibre Quantiza-tion on Nilpotent Lie Groups. En aquest llibres’hi estudien alguns dels avencos importantsque hi ha hagut en relacio amb la capaci-tat analıtica i la seva connexio amb la rec-tificabilitat en els darrers anys. La trans-formada de Cauchy es una eina fonamen-tal en aquest estudi i es un dels temesprincipals del text. Una altra de les ques-tions tractades es l’anomenada teoria deCalderon-Zygmund no homogenia, que es va

desenvolupar en gran mesura per resoldre pro-blemes en l’area de la capacitat analıtica.

El text conte demostracions completes de laconjectura de Vitushkin i de la semiadditivitatde la capacitat analıtica, dos problemes obertsfins fa poc. Tambe s’hi estudien altres questi-ons, tals com, per exemple, la relacio de la recti-ficabilitat amb l’existencia de valors principalsper la transformada de Cauchy i altres integralssingulars.

Aquesta monografia sera publicada perBirkhauser Verlag a la serie !Progress in Mat-hematics".

36

Borses Ferran Sunyer i Balaguer

Convocatories de 2014

Premi Ferran Sunyer i Balaguer de Matematiques

• Ofert a una monografia escrita en angles que exposi els resultats mes destacats d’unade les arees de les matematiques en la qual s’hagin produıt avencos recentment. L’obraha de tenir un mınim de cent cinquanta fulls, no pot estar subjecta a copyright i noha d’haver estat sotmesa a cap empresa editorial per ser publicada.

• La dotacio del premi es de 15.000 e, i l’obra guanyadora sera publicada en la col.leccio!Progress in Mathematics", de l’editorial Birkhauser Verlag.

Termini per a la presentacio de candidatures: 2 de desembre de 2014 a les 13 h.

Premi Matematiques i Societat

• Ofert a autors de reportatges o activitats en qualsevol llengua, de caracter genera-lista, sobre qualsevol aspecte de les matematiques (ensenyament, recerca, divulgacio,presencia en la societat), produıts als Paısos Catalans en els dotze mesos anteriors ala data de resolucio.

Termini d’admissio de candidatures: 27 de febrer de 2015 a les 13 hores.

Borses Ferran Sunyer i Balaguer

• Ofertes als millors projectes d’estudi o de recerca matematica relacionats amb la tesidoctoral. Els sol.licitants han de ser estudiants de doctorat de matematiques d’unauniversitat dels Paısos Catalans, en el tram final de la tesi doctoral.

• L’objectiu d’aquestes borses es reforcar la formacio en recerca dels estudiants premiatsmitjancant l’estada d’entre un i tres mesos d’estudi o de recerca en una institucio forade l’ambit geografic de la universitat d’origen.

Les sol.licituds s’han de trametre abans del dia 28 de febrer de 2015 a les 14 hores. Laresolucio de la convocatoria es fara durant la segona quinzena de marc de 2015.

Mes informacio: http://ffsb.iec.cat

37

Guardonats en la convocatoria de 2014

• El premi Matematiques i Societat ha estatatorgat a l’Associacio per Promoure i Crear elMuseu de Matematiques a Catalunya, per lacreacio de l’espai expositiu permanent !Expe-riencies matematiques" al Palau Mercader deCornella, i per les altres activitats de divulgaciode les matematiques realitzades el darrer any.• Les borses Ferran Sunyer i Balaguer han estatatorgades a Francesc Font Martınez (UPC) perfer una estada de tres mesos a l’Institut de Tec-nologia de Nova Jersey (EUA), a Elisa Lorenzo

Garcıa (UPC) per fer una estada de tres mesosa Microsoft Research (EUA), a Marina MurilloArcila (UPV) per fer una estada de dos mesosa la Universitat de Salento (Italia) i a Carlos deVera Piquero (UPC) per fer una estada de dosmesos a la Universitat de Padua (Italia).

Els premis i borses de la Fundacio forenlliurats el passat 22 d’abril de 2014 en l’ac-te de lliurament de premis i borses d’estudisde l’IEC.

Raco biografic

Ernest CorominasBarcelona 1913 – Lio 1992

Nota biografica

Ernest Corominas i Vigneaux va neixer a Bar-celona l’any 1913. Era fill del polıtic i as-sagista Pere Corominas i Montanya i germadel filoleg Joan Corominas. La seva mare,Celestina Vigneaux, era una pedagoga queva motivar l’interes per la ciencia en l’am-bient familiar. Ernest Corominas va estudi-ar matematiques i arquitectura a la Univer-sitat de Barcelona fins que, amb l’inici dela Guerra Civil, s’incorpora a l’exercit re-publica com a oficial de sapadors. En aca-bar la guerra s’exilia primer a Franca i des-pres a l’America del Sud. S’establı a San-tiago de Xile, on va comencar a treballarcom a arquitecte, pero ben aviat i merces al’ajuda de Julio Rey Pastor s’incorpora a laUniversitat de Buenos Aires per un perıoded’un any i despres va passar a ocupar unaplaca de professor titular a la seu de Men-doza de la Universitat Nacional de Cuyo. Es-tava vinculat a l’Institut d’Economia de laUniversitat i ensenyava matematica finance-ra. Hi va estar fins l’any 1946, quan ell imolts col.legues van perdre el lloc de treballper la repressio universitaria que va dur a ter-me el regim peronista. En aquest perıode vaconeixer i es va casar amb Maria Edith Gueva-

ra, cosina de qui mes tard seria el famos CheGuevara.

Des del punt de vista matematic, en aques-ta epoca de Mendoza, a mes de millorar la sevaformacio, va publicar dos articles en els qualsrefinava els metodes que A. Denjoy havia fetservir per estudiar les derivades de Peano. Pro-bablement coneixedor d’aquest treball, el ma-teix Denjoy li va oferir una posicio al CentreNacional de la Recerca Cientıfica (CNRS), aParıs, al qual es va incorporar l’any 1947.

En el perıode que va estar al CNRS,Corominas va treballar sota la direccio de Den-joy. Es va trobar en un ambient cientıfic moltric on hi havia matematics com P. Malliavin,J. P. Kahane o G. Choquet. Va defensar la se-va tesi estructurada en dues parts: la primera,en la qual desenvolupava un calcul diferencial apartir de la teoria de Peano i la segona, sobrealgebra asimptotica. En aquella epoca a Parıshi havia tambe altres estudiants de Denjoy comD. Kurepa, R. de Possel o R. Fraısse que tre-ballaven en logica matematica i teoria de con-junts ordenats i potser per aquest fet no es deltot sorprenent que mes endavant Corominas esdediques als conjunts ordenats.

Un cop acabada la tesi doctoral a Parıs,l’any 1952, Corominas va voler tornar a Bar-celona amb la finalitat d’establir-s’hi personal-

38

ment i matematicament i crear, si fos possible,una escola en els temes en els quals volia treba-llar. Pero l’ambient que va trobar a la Univer-sitat de Barcelona no li va ser gens favorable.Durant el perıode que va romandre a Barcelo-na l’unica assignacio economica fixa que teniali venia d’una placa d’investigador especial delConsell Superior d’Investigacions Cientıfiques,que havia obtingut gracies al suport encara deJ. Rey Pastor, i s’havia de mantenir amb altresfeines com ara fer classes de matematiques enun centre privat d’ensenyament secundari. Nonomes no va trobar cap suport entre els pro-fessors de Barcelona, tret d’alguna honrosa ex-cepcio, sino que li van posar dificultats perquepogues ocupar alguna placa que havia de sortira concurs.

La seva estada a Barcelona, amb tot i aques-tes dificultats, s’allarga fins l’any 1960, i s’hipoden destacar tanmateix dos fets positius: unva ser la visita a l’Institut d’Estudis Avancatsde Princeton que va fer al llarg de l’any 1955,on es va trobar per segona vegada en un am-bient matematic de primer nivell i que ell vaaprofitar per aprofundir en els problemes sobreconjunts ordenats que volia considerar.

El segon element rellevant per a Corominasen aquest perıode fou la consolidacio de la sevarelacio de treball i d’amistat amb Ferran Sunyeri Balaguer, a qui havia conegut l’any 1949. Co-rominas i Sunyer van publicar un treball con-junt el qual ha esdevingut, tant per a l’un comper a l’altre, el resultat mes conegut de la sevaproduccio matematica: es el que fa referencia ala caracteritzacio dels polinomis entre les fun-cions indefinidament derivables. La relacio en-tre Corominas i Sunyer fou molt estreta men-tre Corominas visque a Barcelona i, a partir de

l’any 1960, la correspondencia entre ells dos nos’atura fins a la mort de Sunyer, l’any 1967.

Tot i aixı, Corominas va tenir alguna opor-tunitat d’incorporar-se a la universitat espa-nyola, pero fora de Catalunya, que va deses-timar, i l’any 1960 emigra cap a Venecuela, onva ser professor a la Universitat Central, ambseu a Caracas. Alla va aconseguir una posicioeconomica mes folgada pero es va trobar aıllatcientıficament. Es va dedicar ja plenament alsconjunts ordenats pero en un departament dematematiques que s’anava desfent rapidament.Aixo, a mes de raons personals, el feren decidira tornar a prop de Catalunya, projecte que esva concretar l’any 1964.

Gracies, en part, al suport de Ferran Su-nyer, que tenia bona relacio amb diversos ma-tematics francesos, Corominas va obtenir unaposicio de professor associat a la universitatClaude-Bernard de Lio i el 1973 passa a pro-fessor titular de la mateixa universitat, on s’hiva jubilar el 1982, passant a professor emerit.Corominas morı a Lio el 1992.

El perıode frances fou l’etapa mes llarga queCorominas passa en una mateixa universitati tambe el perıode en que va tenir mes esta-bilitat academica i millors condicions de tre-ball. Aquesta situacio favorable queda reflec-tida en la feina que va poder desenvolupar:dins del camp de l’algebra ordinal va proposaruna aproximacio teorica als conjunts ordenatsa traves de la idea de !bon quasi-ordre"; vaformar un grup de deixebles, alguns dels qualsvan ser molt productius en els temes en queels va iniciar Corominas i, finalment, va con-solidar el seu grup de recerca creant un labo-ratori d’algebra ordinal a la mateixa universi-tat de Lio. Aquest corrent d’algebra ordinal vajugar un paper molt important en el desenvo-lupament de la matematica discreta a Lio, enrelacio amb la informatica.

Mes informacio sobre la biografia d’Er-nest Corominas es pot trobar a l’obra d’An-toni Malet, Ferran Sunyer i Balaguer, SocietatCatalana de Matematiques, Societat Catalanad’Historia de la Ciencia i de la Tecnica, Institutd’Estudis Catalans, 1995.

L’obra matematica

A l’hora de descriure i valorar l’obra ma-tematica d’Ernest Corominas s’ha de tenir en

39

compte la vida itinerant que va dur a terme iles circumstancies i l’ambient matematic en quees va trobar en cada una de les etapes de la sevavida.

En general la seva produccio matematica esirregular i reflecteix la provisionalitat i la ines-tabilitat que el van acompanyar durant moltsanys. Tot i aixı, almenys en dos perıodes dela seva vida, a Parıs primer i a Lio despres,va exercir de professor i d’investigador en duesuniversitats que li van proporcionar un entornacollidor i amb un bon nivell cientıfic.

Precisament es en aquests dos perıodes enels quals es concentra la seva obra publicada.Primer al CNRS, on elabora la tesi doctoralamb el professor Denjoy, etapa que dona lloc aun article llarg en el Butlletı de la Societat Ma-tematica de Franca i, mes tard, a dues publica-cions sobre algebra asimptotica, que es un temaque havia tractat tambe en la tesi. Un cop a Lio,amb una posicio estable, i ja posat de ple en larecerca en algebra ordinal, publica unes quan-tes notes al Comptes Rendus de l’Academie desScience de Parıs (algunes en col.laboracio) i unarticle mes llarg sobre el millor quasi-ordre deNash-Williams.

En el perıode entre 1952 i 1964, Coromi-nas no troba la tranquil·litat o les condicionsadequades per poder concentrar-se amb exit enla recerca matematica. Durant els vuit anysque va estar a Barcelona, set si descomptemla visita a Princeton, no nomes no va aconse-guir fer-se un lloc a la universitat sino que vapassar moltes dificultats economiques. A Cara-cas les dificultats venien mes aviat de l’ambientsocial enrarit, de la preocupacio per l’educaciodels fills i de la falta de col.legues amb qui po-der discutir, sobretot els dos ultims anys. Tam-poc hi va trobar la possibilitat de tenir cap es-tudiant. Al final de la seva etapa venecolana,Corominas recordava que portava catorze anysd’aıllament matematic, dels quals els de Barce-lona li havien deixat una frustracio infinita.

En qualsevol cas cal situar en aquests anysd’inestabilitat la relacio amb Ferran Sunyer.Nomes van publicar un treball conjunt (unanunci al Comptes Rendus de l’Academie desSciences de Paris i la demostracio del resultat ala Revista Matematica Hispano-Americana) so-bre la caracteritzacio dels polinomis com aque-lles funcions indefinidament derivables a la rec-ta que en cada punt tenen alguna derivada que

s’hi anul.la. Aquesta caracteritzacio, conegudacom a teorema de Corominas-Sunyer ha esde-vingut forca citada gracies, en part, al fet queR. P. Boas la va utilitzar com a fil conductordel seu llibre A primer of real functions.

Corominas, com a matematic, no es potadscriure d’una manera clara a cap escola del’epoca en que va desenvolupar la seva acti-vitat. Com a mestre seu haurıem de consi-derar Denjoy, pero la tematica que interessaCorominas des que va deixar Parıs no corres-pon a l’escola francesa de teoria de funcions devariable real o de variable complexa. Tot i aixıl’etapa francesa va ser un perıode decisiu en lapersonalitat matematica de Corominas i cal re-marcar la influencia que pogueren tenir sobreel seu interes per als conjunts ordenats els es-tudiants de Denjoy que van coincidir amb ellal CNRS. De fet, el mateix Denjoy va publicaren aquesta epoca alguna nota sobre nombresordinals.

Fa la impressio que la forca que empenyCorominas cap a les matematiques no li ve tantd’un aprenentatge ordenat o de la influenciad’altres matematics, sino mes aviat d’un im-puls natural que el porta a la creacio abs-tracta. Ell mateix reconeix en la seva corres-pondencia amb Sunyer que tots dos tenen encomu !el ser autodidactes i el neguit intern perfer de les matematiques una aventura creado-ra, la formacio sense escola i predisposicio en lasang" (cf. A. Malet Ferran Sunyer i Balaguer).

En els perıodes de tranquil·litat i concentra-cio en la recerca, Corominas desplega una grandedicacio i tensio, convencut que els resultatsno venen d’un cop de geni sino mes aviat dela passio, la voluntat i la dedicacio. Corominases proposa objectius difıcils que tenen a veuremes amb la fonamentacio de les matematiquesi de les diverses teories que no pas amb la so-lucio d’un problema ja plantejat. Aixı els dostemes principals en que fou productiu son la fo-namentacio del calcul diferencial, d’una banda,on aprofundeix en les derivades d’ordre supe-rior introduıdes per Peano, i d’altra banda lateoria dels nombres ordinals, a la qual hi arribaa partir de l’obra de Tarski.

Al llarg de la seva carrera Corominas vaexercir la docencia en diverses facultats; eraun professor dedicat a l’ensenyament i als seusalumnes. S’esforcava per transmetre les ma-tematiques d’una manera entenedora i alhora

40

viva i els seus alumnes en tenen un record afec-tuos. Tenir estudiants postgraduats i formar es-cola va ser per a ell una preocupacio constanti nomes ho va poder aconseguir en l’etapa deprofessor a la Universitat de Lio. Quan hi vaarribar, l’any 1964, ja feia temps que tractavaproblemes de conjunts ordenats i va introduiraquesta tematica en els seus cursos per a gra-duats sota el nom d’algebra ordinal. Va dirigirles tesis de tercer cicle de R. Bonnet, M. Pou-zet, M. Djalali i R. Assous i les tesis d’estatdels dos primers. Tots dos van anar publicantregularment sobre conjunts ordenats, de vega-des en col.laboracio amb el mateix Corominas,i tots ells participaren en seminaris i congressosd’abast internacional. La feina que va fer a Lioha tingut, doncs, una continuacio de molt bonnivell a traves dels seus deixebles. L’any 1982,amb motiu de la seva jubilacio, els seus alum-nes van organitzar un congres internacional so-bre els conjunts ordenats i les seves aplicacionsal qual la revista Discrete Mathematics hi vadedicar un numero especial.

Llista de treballs publicats

1. !Propiedades diferenciales de las funcionescontinuas que carecen de puntos angulosos",Publ. Inst. Mat. Univ. Nac. Litoral, 6 (1945),41–62.

2. !Sobre derivadas generalizadas de Peano",Revista Union Mat. Argentina, 12 (1946),88–93.

3. !Derivation de Riemann-Schwarz", C. R.Acad. Sci. Paris, 224 (1947), 176–177.

4. !Sur un theoreme de M. Denjoy", C. R.Acad. Sci. Paris, 226 (1948), 1159–1161.

5. !Contribution a la theorie de la derivationd’ordre superieur", Bull. Soc. Math. France,81 (1953), 177–222.

6. En col.laboracio amb Ferran Sunyer, !Surdes conditions pour qu’une fonction infini-ment derivable soit un polynome", C. R.Acad. Sci. Paris, 238 (1954), 558–559.

7. En col.laboracio amb Ferran Sunyer, !Con-diciones para que una funcion infinitamen-te derivable sea un polinomio", Revista Mat.Hisp.-Amer. (4), 14 (1954), 26–43.

8. !Algebre asymptotique", Rev. Acad. Ci.Madrid, 54 (1960), 453–487.

9. !Algebre asymptotique. II", Rev. Acad. Ci.Madrid, 55 (1961), 295–364.

10. !Sur une application de l’algebre ordinale ala theorie des groupes abeliens de torsion",C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 272 (1971),A1357–A1359.

11. !Application de l’algebre ordinale aux grou-pes abeliens de torsion", Comptes-Rendusdes Journees d’Algebre Pure et Appliquee,Univ. Sci. Tech. Languedoc, Montpeller(1971), 144–148.

12. En col.laboracio amb R. Bonnet i M. Pouzet,!Simplification pour la multiplication ordi-nale", C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 276(1973), A221–A224.

13. En col.laboracio amb R. Bonnet i M. Pouzet,!Simplification pour la multiplication ordi-nale", C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 276(1973), A339–A342.

14. !On better quasi-ordering countable trees:Special volume on ordered sets and theirapplications" (L’Arbresle, 1982), DiscreteMath., 53 (1985), 35–53.

15. !Sur les ensembles ordonnes projectifs et lapropriete du point fixe", C. R. Acad. Sci. Pa-ris Ser. I Math., 311 (1990), n. 4, 199–204.

Comentaris sobre els treballs publicats

Els articles publicats per Ernest Corominas espoden agrupar en dos blocs. El primer bloccorrespon als treballs inicials, la tesi docto-ral i els resultats de la seva col.laboracio ambFerran Sunyer; en el segon grup hi ha les pu-blicacions sobre conjunts ordenats en diversostemes d’algebra ordinal. Farem els comentarisen dues seccions separades.

Seccio 1: Treballs inicials, tesi doctoral,col.laboracio amb Ferran Sunyer

La tesi d’Ernest Corominas, presentada a Parısl’any 1952 sota la direccio d’Arnaud Denjoy, tedues parts diferenciades. La primera [5] tractade propietats de les derivades d’ordre superiord’una funcio en el sentit de Peano i es, d’algunamanera, la continuacio dels treballs previs [1],

41

[2], [3] i [4]. En la segona part de la tesi, [8] i[9] estudia les propietats asimptotiques dels po-linomis de grau acotat. D’altra banda, [6] i [7]contenen els resultats de la col.laboracio de Co-rominas amb Ferran Sunyer, el mes destacabledels quals es la caracteritzacio dels polinomiscom les funcions indefinidament derivables quetenen alguna derivada nul.la a cada punt de larecta.

En els primers treballs i en la primera partde la tesi, Corominas considera l’extensio de lespropietats classiques de les funcions derivablescom ara el teorema de Rolle, el teorema del va-lor mitja o el teorema de Cauchy al cas que esconsideri la nocio de derivada en el sentit deDini o de Peano. Recordem les definicions in-troduıdes per aquests autors.

Dini associa a cada funcio definida al vol-tant d’un punt x0 ! R, quatre nombres derivatsposant

D+f(x0) = lim suph$0+

f(x0 + h)" f(x)

h;

D+f(x0) = lim infh$0+

f(x0 + h)" f(x)

h

per als nombres derivats superior i inferiorper la dreta. De manera analoga es defineixenels nombres derivats per l’esquerra D%f(x0)i D%f(x0). S’anomenen nombres derivatsassociats els que corresponen a un mateix cos-tat de x0 i nombres oposats els que son decostats contraris i lımits contraris. Es clar queuna funcio es derivable en el punt x0 si els qua-tre nombres derivats en x0 coincideixen.

L’any 1935, Denjoy va introduir els nombresderivats d’ordre superior de manera inductiva.Suposant que en el punt x0 ! R els coeficientsdiferencials fk(x0), k = 1, . . . , n " 1 existeixen(es a dir, els quatre nombres derivats coincidei-xen), llavors posa

D+n f(x0)

= lim suph$0+

n!

hn

#f(x0+h)"f(x0)"

n%1$

k=1

fk(x0)

k!hk

%,

i definicions analogues per a D%n f(x0),

Dn,+f(x0) i Dn,%f(x0). Si aquests quatre nom-bres coincideixen, defineixen fn(x0).

Corominas observa que moltes de les propie-tats de les derivades ordinaries son certes per ales derivades de Dini sempre que la funcio no

tingui punts angulosos, entenent per punt an-gulos un punt en el qual la derivada superiorper un costat es mes petita que la derivada in-ferior per l’altre costat. Aixı doncs suposa que

D+f(x0) ' D%f(x0) i D%f(x0) ' D+f(x0)

a tot punt.Amb aquesta hipotesi resulta, per exemple,

que el teorema del valor mitja val per a almenysuna de les derivades per cada costat. Mes pre-cisament:

• Si f : [a, b] ( R es contınua (i no te puntsangulosos), llavors existeix un punt x0 !(a, b) en el qual D+f(x0) o D+f(x0) (o totes

dues) son iguals a f(b)%f(a)b%a . El mateix val per

a l’esquerra.

Tambe dona resultats sobre els valors excep-cionals de les derivades de Dini, les quals nosatisfan la propietat del valor intermedi:

• Qualsevol nombre derivat deixa de prendrecom a maxim una quantitat numerable devalors entre les seves cotes superior i inferior.

I, efectivament, dona exemples de funcionsper a les quals hi ha infinits valors excepcionalsper als seus nombres derivats.

Encara sobre les derivades de Dini, Coromi-nas va fer una contribucio contestant una pre-gunta de Denjoy. Els nombres derivats de pri-mer ordre de qualsevol funcio hi tenen, gairebeper a tot, les propietats seguents:

1) Si dos nombres derivats associats son finits,llavors tots quatre nombres son iguals.

2) Dos nombres derivats associats no son maiinfinits del mateix signe.

3) Si un nombre derivat es finit, tambe ho es elseu oposat.

4) Si un nombre derivat es infinit, el nombreoposat es infinit de signe contrari.

La validesa gairebe per a tot d’aquestes pro-pietats significa que la hipotesi es fa sobre elspunts d’un conjunt E i la conclusio val per alspunts de E tret d’un conjunt excepcional demesura zero.

Denjoy va provar que la propietat 1) s’estenals nombres derivats d’ordre superior i va posarla questio de si passava el mateix amb les pro-pietats 2), 3) i 4). A [4], Corominas va respon-dre negativament la pregunta tot i que Roger

42

(C. R. Acad. Sci. Paris, 214 (1942), 942–944)ho havia fet abans per a la propietat 2) en untreball que Corominas sembla que no coneixia.

Una altra extensio del concepte de deriva-da d’ordre n d’una funcio va ser introduıdaper Peano. Direm, seguint la nomenclatura deDenjoy, que una funcio contınua al voltant d’unpunt x0 ! R te una diferencial d’ordre n en elpunt x0 si f(x0 + h) es la suma d’un polino-mi de grau n en h i d’un terme que sigui uninfinitesim d’ordre superior a n quan h ( 0.Llavors el coeficient de hn

n! en el polinomi s’ano-mena l’enesim quocient diferencial de f en x0 ies representa per fn(x0). Aixı doncs

f(x0 + h) = f(x0) + f1(x0)h+ · · ·

+fn(x0)

n!hn + o(hn).

Es a dir, es parteix del desenvolupament deTaylor amb residu d’ordre n per tal de definirles diferencials successives.

Es clar que si una funcio te n derivades or-dinaries en el punt x0, llavors te definits els nprimers coeficients diferencials, pero el recıprocno es cert en general.

En la primera part de la tesi [5] Coromi-nas estudia sistematicament l’extensio a les de-rivades d’ordre superior, en el sentit de Pea-no, dels teoremes del calcul diferencial ordina-ri: teoremes de Rolle, de Cauchy i de Lagrange,i en dona algunes aplicacions. Com a metoded’aproximacio a les diferencials d’ordre supe-rior utilitza el calcul amb els quocients de di-ferencies successives d’una funcio, inspirant-seen el calcul de diferencies finites: tota diferen-cial d’ordre n (en el sentit de Peano) es pot ex-pressar com un lımit de quocients de diferenciesd’ordre n.

Per posar de manifest el tipus de resultatsque Corominas obte, posem-ne alguns exem-ples:

• Si f i g son funcions contınues i dife-renciables fins a l’ordre n a [a, b] i elsn " 1 primers quocients diferencials de f ig s’anul.len al punt a i fn(x) i gn(x) no s’a-nul.len simultaniament a cap punt de (a, b),llavors existeix un punt c ! (a, b) tal que

f(b)" f(a)

g(b) " g(a)=

fn(c)

gn(c)(amb g(a) )= g(b)).

• Si f es contınua i diferenciable fins a l’ordre na [a, b], existeix un punt c ! (a, b) tal que

f(x) = f(a) + f1(a)(x" a) + · · ·

+fn%1(a)

(n" 1)!(x" a)n%1+

fn(c)

n!(x" a)n.

Com una aplicacio d’aquesta versio de laformula de Taylor es prova que si una funciote un quocient diferencial enesim acotat a totun interval, llavors es una derivada enesima or-dinaria.

En aquesta seccio es mereix una mencio es-pecial el treball d’Ernest Corominas en col.labo-racio amb Ferran Sunyer que va donar com aresultat l’anunci [6] i l’article [7] que conte lesdemostracions i generalitzacions dels resultatsde [6].

El resultat principal afirma que si f es unafuncio indefinidament derivable en un inter-val (a, b) i per a cada x ! (a, b) existeix unenter positiu n(x) tal que f (n(x))(x) = 0, llavorsf es un polinomi. Aquı f (n) indica la derivadaordinaria d’ordre n.

La demostracio d’aquest resultat utilitza lespropietats fines de la topologia de la recta real ise’n pot donar una prova fent servir el Teoremade Baire. El llibre de R. P. Boas A primer ofreal functions [John Wiley & Sons, Nova York,1960] l’inclou com a exemple d’aplicacio delteorema de Baire juntament amb altres del ma-teix tipus, per exemple, amb integrals successi-ves en lloc de derivades. Aquest es el resultatmes conegut de Corominas. Despres Corominasi Sunyer estudien generalitzacions del seu teo-rema en dos sentits: d’una banda consideren lasituacio que es presenta quan s’imposa l’anul-lacio de les derivades nomes sobre un conjuntdeterminat i estudien com ha de ser el conjuntexcepcional. En un altre sentit permeten queles derivades siguin diferents de zero pero queprenguin valors dins d’un conjunt petit i estu-dien com ha de ser aquest conjunt. El teoremade Corominas-Sunyer ha estat objecte de ge-neralitzacions, entre les quals a funcions de di-verses variables (A. Boghossian i P. Johnson,!A pointwise condition for an infinitely dif-ferentiable function of several variables to bea polynomial", J. Math. Anal. Appl. 151(1)(1990), 17–19).

La segona part de la tesi d’Ernest Coromi-nas va ser publicada en els articles [8] i [9], que

43

son continuacio de [5]. Aquests dos articles, quetenen el mateix tıtol, !Algebra asimptotica",desenvolupen una teoria una mica enfarfegado-ra, la motivacio de la qual, per a Coromines, esl’estudi dels anomenats maxims i mınims d’or-dre n d’una funcio n vegades derivable en elsentit de Peano. Recordem que aquestes fun-cions son les que tenen un polinomi de Taylord’ordre n en cada punt. Aixı com els maximsi els mınims ordinaris son els punts a per alsquals la diferencia d’ordre 0, f(x) " f(a), tesigne constant en un entorn de a, els maxims imınims d’ordre n son els punts a per als quals ladiferencia d’ordre n (la diferencia entre la fun-cio i el seu polinomi de Taylor d’ordre n amborigen a) te signe constant.

El concepte basic de l’algebra asimptoticaes el que Corominas anomena camp de nom-bres variables. En essencia, es tracta del con-junt de totes les variables —pensem en suc-cessions de nombres reals (xn)— que tenen unordre de creixement o be equivalent o be me-nor que el d’una variable fixa (an) (es a dir, elquocient xn/an tendeix a 1 o be a zero).Dit d’una manera informal, un camp de nom-bres variables consisteix a identificar totes lesvariables que es comporten asimptoticamentde la mateixa manera i afegir-hi les varia-bles d’odre menor; tambe es parla d’un campasimptotic. Un altre concepte basic es el de po-linomi variable regular. Un polinomi variablees un polinomi que te per coeficients campsde nombres variables, i s’anomena regular res-pecte d’un camp asimptotic A si per a to-ta substitucio de la variable independent peruna variable de A s’obte una variable d’uncamp fixat. Per a aquests polinomis es pot do-nar la idea d’arrel asimptotica i de multipli-citat corresponent a una arrel. Els polinomisregulars son estables per suma, multiplicacioi divisio.

Per als polinomis regulars es pot conside-rar un tipus de factoritzacio asimptotica mit-jancant les arrels asimptotiques. Tambe es do-nen criteris de comparacio entre polinomis re-gulars per tal que les arrels asimptotiques d’und’ells ho siguin tambe de l’altre amb la mateixamultiplicitat.

Despres introdueix els camps asimptoticsmultiples obtinguts a partir d’un nombre fi-nit de variables d’un camp simple, agafant to-tes les variables que els son comparables i des-

pres els camps corresponents. Enuncia un teore-ma asimptotic general que estableix condicionsper tal que donada una successio de polinomisregulars (respecte d’un camp multiple) es pu-gui assegurar que, asimptoticament, els polino-mis i les seves diferencies successives tinguin lesmateixes arrels. Finalment aplica els resultatsasimptotics a estudiar els extrems d’ordre nd’una funcio n-vegades diferenciable. Concre-tament pot expressar l’existencia de maximsi mınims absoluts d’ordre n a partir de l’e-xistencia d’extrems absoluts de les diferenciesenesimes de la funcio.

Seccio 2: Conjunts ordenats

Des de la seva estada a Parıs, Corominas vatenir interes per la teoria dels conjunts orde-nats. Aquest tema el va tractar amb intensitata partir del moment que es va incorporar a laUniversitat Claude-Bernard, a Lio.

El seu treball en aquest camp te molt a veu-re amb els conjunts optimament preordenats,un concepte introduıt per Nash i Williams capa l’any 1968. Molt probablement, la rao perla qual Corominas s’interessa pel preordre deNash-Williams ve del seu interes per l’anome-nada conjectura de Fraısse sobre els tipus d’or-dre que el matematic Roland Fraısse, amb quiCorominas havia tingut relacio a Parıs, va for-mular el 1948 en aquests termes:

• Tota successio decreixent de tipus d’ordre nu-merables es finita i tota anticadena de tipusd’ordre numerables es finita.

Corominas va desenvolupar una aproximaciooriginal a aquest problema que es va acostarforca a la solucio, pero la resposta afirmativala va donar Laver l’any 1971, en un article alsAnnals of Mathematics utilitzant el millor or-dre de Nash-Williams.

Recordem algunes definicions: un conjuntpreordenat Q es diu que es ben preordenat siper a tota successio (an) d’elements de Q, exis-teixen ındexs i, j amb i < j i ai % aj. D’al-tra banda, una successio transfinita a Q es unafamılia d’elements de Q, a = (ai)i<! on " es unordinal; si a = (ai)i<!, b = (bj)j<", ", # ordi-nals, son dues successions transfinites, es posaa % b si existeix una aplicacio k : " ( # queconserva l’ordre, tal que ai % bk(i), i < ".

44

Finalment, es diu que Q es optimament pre-ordenat si el conjunt de les successions transfi-nites de Q es ben preordenat.

A partir d’aquı Corominas es planteja l’es-tudi del preordre optim en dos tipus d’estruc-tures: els grups abelians de torsio i els arbresnumerables.

En els articles [10] i [11], Corominas esta-bleix una correspondencia entre el conjunt d’ar-bres que contenen nomes cadenes finites o detipus $ i els grups abelians de torsio.

Si A es un arbre, considera el p-grup G(A)que te els elements de A com a generadors ambles relacions x = pry si x % y i r es la distanciade x a y a l’arbre, on p es un nombre pri-mer fixat. Els arbres es preordenen considerantA % B si G(A) es isomorf a un subgrup deG(B). Resulta que els arbres amb cadenes fini-tes es poden generar a partir de dues operacionsbasiques i s’obte la M -algebra dels arbres. Re-cordem el concepte de M -algebra:

Si hom te un conjunt A i un conjuntM i pera cada m ! M una aplicacio m : A! ( A,on " es un ordinal, es diu que A es una M -algebra. Si, a mes, A i M tenen preordresque compleixen determinades condicions decreixement es diu que la M -algebra A es or-dinal.

Un teorema de Pouzet afirma que si tenimuna M -algebra, (Q,M), on M es un sistemad’operacions a Q, i tant M com un sistema degeneradors de Q son optimament preordenats,llavors Q tambe es optimament preordenada.Aplicant aquests resultats al conjunt d’arbresdel qual s’ha parlat, Corominas prova que esoptimament preordenat i, com a consequencia,es optimament preordenada la classe dels p-grups engendrada pel conjunt d’arbres.

Els treballs [12] i [13] els va fer en col-laboracio amb els seus deixebles R. Bonnet iM. Pouzet i de fet el segon es continuacio imme-diata del primer. Tracten sobre la simplificaciode factors en els productes de nombres ordinals.

Es consideren tipus d’ordre corresponents aconjunts totalment ordenats. Es diu que un ti-pus d’ordre " es simplificable per l’esquerra siper a tot parell de tipus d’ordre #, ! tals que" · # = " · !, es dedueix que # = !.

Els resultats de Bonnet-Corominas-Pouzetson del tipus seguent:

• El tipus d’ordre " es simplificable per l’es-querra si i nomes si " · 2 )= ", o be si i nomessi " · # = " implica # = 1.

• Un tipus d’ordre numerable " es simplifica-ble per l’esquerra si i nomes si " · # )% ", pera tot tipus # )= 0, 1.

Pel que fa a la simplificacio per la dreta el tipusde condicions que donen son diferents.

Un tipus d’ordre " es complet si tota partde " te una cota superior i una cota inferior. A[13] proven, per exemple, que tot tipus d’ordrecomplet es simplificable per la dreta.

En l’article [14] Corominas repren l’estudide les relacions de preordre optim en relacioamb el segon tipus d’estructura que es va pro-posar, es a dir, els arbres numerables.

Es consideren arbres amb la propietat queexisteix l’ınfim de cada parell d’elements. Lla-vors una immersio d’un arbre T en un arbre T !

es una aplicacio injectiva de T a T ! que conserviels ınfims. Un arbre T es diu que es indescom-posable (fortament) si hi ha una immersio de Ta Tx = {y ! T : x % y} per a cada x ! T .

En primer lloc es donen dos criteris per talque un arbre numerable sigui indescomposa-ble, un dels quals te com a consequencia que elconjunt dels arbres numerables i indescompo-sables es, respecte de la immersio, un conjuntoptimament preordenat. A continuacio es trac-ten les relacions de preordre optim en algebresordinals. Si A es una M -algebra ordinal,Corominas dona dos tipus de condicions sobreM que garanteixen que si tant M com una basede A tenen un preordre optim, llavors A tambete un preordre optim. Aixı pot provar el re-sultat principal, que assegura que la classe detots els arbres numerables te un preordre optimper la relacio d’immersio i, a mes, que qualse-vol arbre numerable es la suma canonica finitad’arbres indescomposables. Aquest resultat esla clau d’una extensio del preordre optimals tipus d’ordre serie-paral.lels obtingudaper Stephan Thomasse a !On better-quasi-ordering countable series-parallel orders",Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), 2491–2505.

L’ultim article que Corominas va publi-car, [15], te a veure amb una conjectura sobreels punts fixos de les aplicacions entre conjuntsordenats i hi formula dues hipotesis sobre elsconjunts projectius. Un conjunt ordenat P es

45

diu que te la propietat del punt fix si tota apli-cacio de P a P que conserva l’ordre te un puntfix. Rival, l’any 1984, va plantejar la questiode saber si un conjunt ordenat que es el pro-ducte de dos conjunts ordenats cada un delsquals te la propietat del punt fix, tambe la te.Una condicio suficient per obtenir una respostaafirmativa, en el cas que els dos factors siguinfinits, es que tot conjunt ordenat automorf mi-nimal que sigui un retracte d’un producte, siguiun retracte d’algun dels factors. Aquı automorfminimal vol dir que no admet cap retracte quetingui algun automorfisme sense punts fixos.Per tractar aquesta questio, Corominas intro-dueix el concepte de conjunt ordenat projectiu:es un conjunt P tal que tota aplicacio creixentf : P*P ( P que compleixi f(x, x) = x, x ! Psigui una projeccio.

En l’article es demostra que si H es projec-tiu i es un retracte d’un producte P = P1 *P2,aleshores H es un retracte de P1 o de P2. Lla-vors el problema de punt fix per a un productede dos factors finits seria una consequencia dela propietat seguent:

• Tot conjunt automorf minimal i connex esprojectiu.

Aquesta afirmacio l’havia conjecturat uns

anys abans el mateix Corominas i es alhora con-sequencia d’una altra hipotesi:

• Tot conjunt primer, ramificat i connex, esprojectiu i recıprocament.

Un conjunt ordenat es primer si no admetcap factoritzacio no trivial i ramificat si tot ele-ment no maximal esta cobert per sobre per al-menys dos elements (resp. els no-minimals, co-berts per sota).

Finalment, Corominas mostra alguns exem-ples que donen suport a les seves conjectures.Prova que les corones i les seves superposicionsi els reticles truncats de Boole, aixı com els con-junts ramificats i connexos de dos nivells, sontots ells projectius.

La nota de Corominas va donar lloc a di-versos treballs, entre els quals la tesi de SimoneHazan: The projection property for orders andtriangle-free graphs, dirigida per Ralph McKen-zie i llegida a la Universitat de California aBerkeley l’any 1992, que l’autora va dedicar aCorominas.

Aquesta tesi conte un contraexemple, de-gut a Ralph McKenzie, a la segona hipotesi deCorominas. D’altra banda, M. Roddy, l’any1994, va provar que la conjectura de Rival eracerta si almenys un factor es finit. El cas gene-ral, pero, continua obert.

Joaquim Bruna i Julia CufıUniversitat Autonoma de Barcelona

Problemes

Malauradament aquest volum de laSCM/Notıcies no contindra la seccio de pre-sentacio i resolucio de problemes com sempre

es el cas. Esperem poder reprendre la seccio enel proper numero. Ho sentim.

Matemots

Recordeu que es tracta d’un joc de llengua (po-deu rellegir-ne l’article introductori al num. 33de la SCM/Notıcies). Cal resoldre els enigmeslinguıstics seguents, a partir de la definicio do-nada i les pistes incloses.

Exemple !Varietat de maneres de repre-sentar el factorial" (5 lletres). La resposta es

!gamma", ja que podem parlar indistintamentd’una gamma o varietat de productes (perexemple), pero d’altra banda la funcio gammapermet representar el factorial: n! = $(n+ 1).

En aquesta ocasio hem preparat un mo-nografic dedicat a noms propis. La major partson noms de matematics. Com que d’aquests

46

n’hi ha molts menys que de noms comuns, noinclourem el nombre de lletres de la solucio.

En cas de dubte podeu trobar-ne les respos-tes al peu de pagina.6

1. Personatge bıblic que fou assassinat per unenemic de la teoria de grups.

2. Savi que hauria pogut explicar els polıedresregulars en prime-time.

3. Matematica que sofria quan impartia lesseves classes.

4. Matematic que es queda sense sexe per laseva deria per les equacions de tercer grau.

5. Matematic extremista radical pel que fa a lesfuncions el.lıptiques.

6. Matematic destre en espases i en integrals delınia i de superfıcie.

7. Matematic que refilava dins el paradıs delsconjunts.

8. Matematica amiga dels anells pero intolerantamb l’etoxieta.

Xavier GraciaUniversitat Politecnica de Catalunya

Tesis i treballs de fi de master

Tesis

• Marıa Pilar Silvestre Albero va llegir la seva tesi, dirigida perJoan Cerda i Joaquim Martın, titulada Capacitary function spaces andapplications, el dia 8 de febrer de 2012. La tesi correspon a la Facultat deMatematiques de la Universitat de Barcelona.

Per comencar, vull enviar la meua salutacio mescordial a tots els lectors i interessats pel fasci-nant mon de les matematiques, aixı com agraira tots els que contribueixen, encara que siga demanera molt simbolica, a fer possible l’estudii la recerca en aquesta disciplina. Tambe vullagrair aquesta invitacio de la SCM.

L’any 2012 vaig llegir la tesi doctoral Capa-citary function spaces and applications graciesal suport i guia de dues grans persones, els doc-tors Joan Cerda i Joaquim Martın. Aprofito perexpressar el meu agraıment a tots dos. Fer la te-si doctoral en matematiques sempre havia sigutuna de les meues il·lusions pero mai m’haguespensat que la faria realitat a Catalunya. Deu,el meu esforc i la guia dels meus directors hovan fer possible.

El concepte de capacitat entra a l’analisiclassica amb la teoria de singularitats evitables.Un exemple classic de capacitat el trobem al’electrostatica. Siga K + R3 un conductor.Considerem una distribucio de carrega en K i

deixem que es moga fins a arribar a l’equilibri.Siga µ la distribucio d’equilibri. El potencialnewtonia de la mesura µ pren valor constant Ven K, i la capacitat de Wiener de K es

C(K) =µ(K)

V

=&,-f,22; 0 % f % 1, f = 1 enK

'.

Si pensem que la frontera de K i una esferacontenint a K son les plaques del condensador,aleshores fent el radi de l’esfera tendir a infinitobtenim un condensador ideal, i la capacitat deWiener ha de ser entesa com la capacitat d’eixecondensador ideal.

En el passat mes recent les capacitats hansigut utilitzades mes com una ferramenta ar-ran del desig d’integrar respecte a una capaci-tat. Aquesta questio va ser resolta pel celebreChoquet, qui proposa definir la integral d’u-na funcio respecte a una capacitat (integral deChoquet) utilitzant la forma distribucional d’u-na integral de Lebesgue. Aixı defineix per una

6

Respostesalsmatemots:4.Cardano,1.Abel,7.Cantor,3.Hipatia,6.Stokes,2.Plato,8.Noether,5.Jacobi.

47

capacitat C i una funcio f no-negativa(

EfdC :=

( "

0C{x ! E; f(x) > t}dt.

El concepte principal de la tesi es el decapacitat, que esta fortament relacionat amb eld’espais de funcions. En aquest treball es-tudiem les propietats dels espais capacitaris—espais funcionals modelats sobre espais decapacitat en comptes d’estar definits sobre es-pais de mesura— en relacio amb propietatsd’immersio de Sobolev.

Al congres Interpolation Theory and Ap-plications: a Conference in Honor of MichaelCwikel (Miami 2006) es proposa com a proble-ma obert l’estudi dels espais de Lorentz asso-ciats a una capacitat. Ates que un poc abansels meus directors havien estudiat els espais deLorentz associats a una entropia, cas particularde capacitat, es decidiren per seguir amb aquestestudi i me’l proposaren com a comencamentper a la tesi.

Al treball anomenem capacitat a una funciode conjunt creixent C que satisfa la propietatde Fatou, C(An) ( C(A) si An . A, i que esquasi-subadditiva, C(A/B) % c(C(A)+C(B))(c ' 1). Una propietat molt util d’algunes capa-citats es la de concavitat,

C(A /B) + C(A 0B) % C(A) + C(B),

baix la qual tenim propietats de normabilitat.La tesi s’estructura en tres capıtols. El pri-

mer capıtol conte un estudi ampli de les pro-pietats analıtiques i topologiques dels espais defuncions capacitaris. L’emfasi esta en l’estudidels elements funcionals essencials que fan pos-sible una teoria satisfactoria en el context delsespais quasi-Banach, en particular dels espaisde Lorentz capacitaris Lp,q(C) (p, q > 0) defi-nits per

,f,Lp,q(C) :=)****+

****,

-q."

0 tq%1C{|f | > t}q/pdt/1/q

< &,

q < &supt>0 tC{|f | > t}1/p < &,

q = &,

on Lp(C) = Lp,p(C) es l’espai de Lebesguecapacitari. Els elements clau son les extensionsdels resultats de Fatou, Holder i Minkowski acapacitats. Com a aplicacio veiem que els es-pais de Lorentz capacitaris son quasi-Banach

(, ·,Lp,q(C) es una quasi-norma de Banach) i es-tudiem la normabilitat de Lp(C), on recordemque un espai es normable si existeix una normacomparable a la seua quasi-norma. Primer pro-vem que, si C es invariant i quasi-concava res-pecte d’una mesura µ, es a dir, C(A) = C(B)si µ(A) = µ(B) i existeix ! ' 1 tal que siµ(A) % µ(B), aleshores

(a) C(A) % ! C(B), i

(b) C(B)µ(B) % !C(A)

µ(A) ,

tenim que

0C(A) := sup

1 n$

i=1

%iC(Ai); n ! N,

n$

i=1

%i = 1, %i ' 0,n$

i=1

%iµ(Ai) % µ(A)

2

defineix una capacitat concava equivalent a C.Amb aixo, veiem que si C es una capacitatquasi-concava respecte de µ, Lp(C) es normableper 1 % p % &.

Com es ben sabut, la interpolacio d’opera-dors te moltes aplicacions en diferents arees deles matematiques. Per aixo, estudiem les propi-etats d’interpolacio dels espais de Lorentz capa-citaris. J. L. Lions i J. Peetre van construir l’a-nomenat metode real d’interpolacio amb la ins-piracio de la prova del teorema classic de Mar-cinkiewicz. Si A = (A0, A1) es un parell d’espaisquasi-Banach, 0 < & < 1 i 0 < q % &, l’espaid’interpolacio A#,q es l’espai de quasi-Banachde totes les funcions f que satisfan

,f,#,q :=3( "

0(t%#K(t, f ; A))q

dt

t

41/q< &,

on K(t, f ; A) es el K-funcional definit per

K(t, f ; A) :=inf5,f0,A0

+t,f1,A1; f=f0+f1

6.

Al segon capıtol estudiem propietats d’in-terpolacio dels espais de Lorentz capacita-ris. L’objectiu final es interpolar espais deLorentz associats a diferents capacitats. Pri-merament obtenim una expressio integral deK(t, f ;Lp(C), L"(C)) si 0 < p < & it > 0. Amb aquesta formula obtenim els re-sultats d’interpolacio real de la manera classica.Seguidament, una extensio del metode de Sparr

48

per triples d’espais de Banach a espais quasi-Banach ens permet obtenir una expressio deltipus3-

Lp0,q0(C0), Lp2,q2(C2)

/!0,q0

,

-Lp1,q1(C1), L

p2,q2(C2)/!1,q1

4

µ,q

=-Lp0,q0(C0), L

p1,q1(C1), Lp2,q2(C2)

/(#1,#2),q

,

baix certes condicions. Com a aplicacio obte-nim el resultat principal, siguin C0, C1 un pa-rell de capacitats, 0 < ' < 1, 1

p := 1%$p0

+ $p1

i 1q := 1%$

q0+ $

q1, aleshores per C#,q(A) :=

,(A,(L(C0),L(C1))!,q (0 < & < 1),

-Lp0,q0(C0), L

p1,q1(C1)/$,q

= Lp,q

7C "p

p1,q/p

8.

V. Maz’ya, de molt jove, descobrı que lesdesigualtats isoperimetriques i isocapacitariesson equivalents a certes desigualtats de Sobo-lev. D’acı ha resultat que les classes de dominisi mesures que apareixen a certs teoremes d’im-mersio i compacitat poden ser descrits comple-tament en termes de longitud i area. V. Maz’yaconsidera la capacitat de Wiener per a un com-pacte K d’un domini % + Rn,

capp(K,%) := inf0&f&1, f=1 onK

,-f,pp

(f ! Lip0(%))

on Lip0(%) es la classe de totes les funcionsLipschitz amb suport compacte a % i -f es elseu gradient, i demostra la desigualtat de So-bolev( "

0capp(Mat,Mt)d(t

p) % c(a, p),-f,pp,

on Mt := {x ! %; |f(x)| > t} per t > 0. Enel passat recent S. Costea i V. Maz’ya este-nen aquesta desigualtat als espais de Lorentzclassics, espais de Lorentz associats a una me-sura, gracies a certes propietats de convexitatdels espais de Lorentz. La seua tecnica s’aplicaa un conjunt reduıt d’espais.

A la tesi veiem que una extensio es possibleper tot espai quasi-Banach X que satista unalower p-estimate, que es una condicio de conve-xitat. Donat (K,G) un conductor, on K es uncompacte i G es un obert a % + Rn contenint aK, es defineix la seua capacitat per

CapX(K,G) := inf{,-u,X ; u ! W (K,G)},

on W (K,G) := {u ! Lip0(G);u = 1 a unentorn de K, 0 % u % 1}. Amb un argu-ment nou, utilitzant propietats fines de la teoriade submesures, demostrem el resultat principald’aquest capıtol: si X es un espai de funcionsquasi-Banach que satisfa una lower p"estimate(0 < p < &), tenim per a > 1 que

( "

0tpCapX({|f |>at}, {f >t})p

dt

t%c1 ,-f,pX ,

per tota funcio Lipschitz amb suport compac-te en %, on c1 depen de a, p, de les constantsde convexitat i quasi-subadditivitat de X. Te-nim aixı, baix certes condicions, una desigual-tat integral que connecta la norma del gradientd’una funcio en un espai de funcions amb laintegral de la corresponent capacitat del con-ductor entre dues superfıcies de nivell de lafuncio. La desigualtat permet una caracterit-zacio de les desigualtats de tipus Sobolev perdues mesures, condicions necessaries i suficientsper desigualtats isocapacitaries de tipus Sobo-lev, i la millora de l’autointegrabilitat de lesfuncions de Lipschitz. Veiem aixı que per a mi-llores de la integrabilitat de funcions Lipschitzson necessaris no nomes metodes de truncaciosino que tambe calen condicions de convexitatde l’espai.

Els resultats de la tesi han estat publicatsals seguents articles:

Referencies

[1] J. Cerda, J. Martın, and P. Silvestre,!Capacitary function spaces", CollectaneaMath. 62 (2011), no.1, 95-118.

[2] J. Cerda, J. Martın, and P. Silvestre,!Interpolation of quasicontinuous functi-ons", Jozef Marcinkiewicz Centenary Vo-lume, Banach Center Publ. 95 (2011), 281-286.

[3] J. Cerda, J. Martın, and P. Silvestre,!Conductor Sobolev type and isocapacitaryinequalities", Indiana Univ. Math. J. 61(2012), no.5, 1925-1947.

[4] P. Silvestre, !Capacitary Orlicz spaces, Cal-deron couples and interpolation", to appe-ar in Proceedings of the conference FunctionSpaces X. Banach Center of Publications.

49

• Vıctor Ortiz va llegir la seva tesi, dirigida per Marta Sanz, titulada Prin-cipi de grans desviacions per a l’equacio en derivades parcials estocasticad’ones en dimensio espacial 3, el dia 13 de marc de 2012. La tesi corresponal Departament de Probabilitat, Logica i Estadıstica de la Universitat deBarcelona.

Sigui E un espai polones (aixo es, un espaimetric separable complet) i E la )-algebrade conjunts d’E generada per les funcionscontınues definides en E. Siguin {µ%}% unafamılia de mesures de probabilitat sobre E tals

que µ%%$0"( *p feblement, on p ! E i *p es una

delta de Dirac centrada en p. Aleshores, a cau-sa del teorema de Portmanteau, es te que, percada U ! E tal que p ! U , µ%(U c) ( 0 quan+( 0.

Situats en aquest context, es naturalpreguntar-se, donat V ! E tal que p /! V , per lavelocitat amb que µ%(V ) tendira a 0. Dit d’unaaltra manera, podem preguntar-nos amb quinavelocitat V es desvia dels esdeveniments quelim%$0 µ% considera normals (aixo es, aquellsU ! E tals que p ! U). Intuıtivament, i de ma-nera no rigorosa, direm que la famılia {µ%}%>0

satisfa un principi de grans desviacions (en en-davant, PGD) sobre E si aquesta velocitat esexponencial.

L’objectiu d’aquesta tesi es establir un PGDper a la famılia d’equacions d’ones estocasti-ques {u%, + ! (0, 1]}, amb)*****+

*****,

3&2

&t2 "&4u%(t, x) =

$+)(u%(t, x))F (t, x)

+b(u%(t, x)), t ! [0, T ],

u(0, x) = v0(x),

&&tu(0, x) = v0(x), x ! R3,

(1)on & denota el laplacia en R3, b i ) son funcionscontınues Lipschitz i el proces F es la deriva-da formal d’un camp aleatori gaussia, blanc entemps i correlacionat en espai. L’objecte que

prendrem com a solucio de (1) sera un campaleatori, {u%(t, x), t ! [0, T ], x ! R3}, i el PGDenunciat es satisfara en un espai de funcionsHolder contınues.

F. Chenal i A. Millet ja demostraren unPGD per a les lleis de l’equacio d’ones en di-mensio espacial d ! {1, 2}. Aquest resultats’obtingue emprant el que anomenem metoded’afitacio d’Azencott.

En precisar calculs sobre el nucli de Greende l’equacio en derivades parcials estocasticaconsiderada, i en esser aquest una distribu-cio en el cas de l’equacio d’ones en dimensiod = 3, aplicar el metode d’afitacio d’Azen-cott en el cas que ens ocupa resulta compli-cat: hauria de fer-se a partir d’aproximacionsexponencials de les lleis originals de la famıliad’equacions, construıdes a partir de regularit-zar el nucli de Green amb funcions test. No esgens clar, a mes, que aquesta estrategia donesfruits.

El metode que emprem per tal d’obtenirel PGD cercat es el que anomenem tecnicade Budhiraja-Dupuis. Mes recent que l’afita-cio d’Azencott, aquest metode permet tractarel cas estudiat de manera mes simplificada. Ames, els arguments realitzats per provar els re-sultats de convergencia necessaris per poder es-tablir el PGD cercat son, en general, tambeaplicables als casos d ! {1, 2}. Aixı doncs, se-guint els passos detallats en aquesta tesi, seriapossible presentar de manera unificada un PGDper a les famılies de l’equacio estocastica d’o-nes en dimensions espacials 1, 2, i 3, emprantaquesta tecnica.

• Eulalia Tramuns Figueres va llegir la seva tesi, dirigida per JordiGuardia, titulada Una formalitzacio de les construccions geometriques, eldia 18 de juliol de 2012. La tesi correspon al Departament de MatematicaAplicada IV de la Universitat Politecnica de Catalunya.

50

Aquesta tesi s’emmarca dins el context de lesconstruccions geometriques i la teoria de nom-bres.

A partir d’una analisi global d’instrumentsgeometrics i dels resultats principals que es co-neixen sobre ells, hem introduıt un llenguatgeformal que ens permet un tractament unificatdels instruments, les seves construccions i elsteoremes relacionats. Dins d’aquest llenguatgedefinim tres conceptes principals, que son elsd’axioma, eina i mapa.

D’una banda, definim les eines com a forma-litzacio dels instruments geometrics. Cada einate associats uns axiomes, que son els proces-sos basics que permet fer l’instrument. De l’al-tra, definim formalment les construccions coma successions d’axiomes, que inclouen tota la in-formacio necessaria per descriure el proces quees du a terme.

Una vegada definits els conceptes d’eina ide construccio, proposem una classificacio deles eines segons dues relacions d’equivalencia:l’equivalencia geometrica i l’equivalencia virtu-al. Aquestes classificacions permeten reformu-lar resultats coneguts, com ara el teorema deMohr-Mascheroni, i provar noves relacions en-tre eines.

Finalment, definim un mapa com un objec-te geometric i aritmetic que esta format per unaeina i un conjunt inicial de punts i de corbes.Els mapes tenen associades capes, compostes igenerades iterativament per punts i corbes. Acausa de la complexitat dels mapes i de les se-ves capes la informacio que se’n pot donar essovint escassa. Ates que el seu estudi te unarelacio estreta amb certs problemes de geome-tria computacional, es poden deduir, pero, fitesdel nombre d’objectes generats per certs axio-mes. Per a alguns mapes determinats donem el

creixement asimptotic del cardinal del nombrede punts i de corbes de cada capa. En el casdel mapa del compas fix caracteritzem exacta-ment els conjunts de punts i de corbes de cadacapa del mapa. Introduım tambe una classifi-cacio dels mapes, que agrupa aquells que tenenel mateix conjunt de punts construıbles i re-formulem el teorema de Poncelet-Steiner en elllenguatge dels mapes. A partir de la classifica-cio dels mapes, introduım una tercera classifi-cacio de les eines, aquesta vegada aritmetica, idonem nous resultats d’equivalencia aritmetica,utilitzant els conceptes algebraics de grau d’unaxioma i signatura d’una eina.

En una altra direccio, estudiem l’estructurade les construccions, a les quals associem dos ti-pus de mesures, que permeten donar criteris deminimalitat i optimalitat d’una construccio. Elprimer tipus de mesures, extrınseques a la cons-truccio, son el nivell i el nivell virtual, que fan usde les capes de mapes associats a la construc-cio. El segon tipus de mesures, intrınseques ala construccio, son la llargada, l’amplada, l’or-dre i el rang. Calculem aquestes mesures pera les construccions aritmetiques i algebraiquesbasiques i deduım relacions entre diferents ca-pes dels mapes del regle i el compas, l’origamii les coniques.

Al llarg del treball, il·lustrem la nostra for-malitzacio amb diversos catalegs: un catalegd’axiomes, un cataleg d’eines, i un cataleg demapes. Finalment, presentem un cataleg deconstruccions, que consta d’una setantena deconstruccions, descrites amb el nou llenguatgeque hem introduıt, les seves mesures i la de-mostracio de la seva validesa. La versio digitalde la tesi incorpora enllacos a animacions in-teractives on es poden reproduir els passos deles construccions.

• Victor Gonzalez va llegir la seva tesi, dirigida per Miguel Angel BarjaYanez i Juan Carlos Naranjo del Val, titulada Hode numbers of irregularvarieties and fibrations, el dia 8 de juliol de 2013. La tesi correspon al Depar-tament de Matematica Aplicada I de la Universitat Politecnica de Catalunya.

El tema central d’aquesta tesi es la geografiade varietats projectives complexes irregulars,parant especial atencio a les de fibracions. Latesi esta dividida en dues parts, diferenciadestant pel tipus de resultats obtinguts com perles tecniques utilitzades.

A la primera part s’ha relacionat l’exis-tencia d’un tipus particular de fibracions en unavarietat irregular (els anomenats higher irrati-onal pencils) amb desigualtats satisfetes pelsnombres de Hodge de la varietat. L’exempleparadigmatic es la desigualtat de Castelnuovo-

51

di Franchis, provada fa mes de cent anys persuperfıcies. Aquesta desigualtat admet diver-ses generalitzacions a dimensio superior, comles que es dedueixen de treballs de Ran iCatanese per una banda, o les demostradesmes recentment per Pareschi-Popa i Lazarsfeld-Popa. El principi general d’aquests resultatses que si la varietat te !poques" formes di-ferencials holomorfes d’un cert rang, alesho-res l’algebra de formes diferencials te algunapropietat especial que permet construir unafibracio.

En aquest context, la tesi conte diversos re-sultats nous. D’una banda, truncant el com-plex BGG de la varietat (l’eina utilitzada perLazarsfeld-Popa en el seu treball, desenvolu-pada a partir del complex derivat de Green-Lazarsfeld) s’obtenen fites inferiors per les ca-racterıstiques d’Euler parcials. Per tal de millo-rar aquests primers resultats, s’han introduıt elscomplexos derivats de rang superior, estudiant-ne l’exactitud mitjancant complexos d’Eagon-Northcott, i obtenint noves desigualtats entreels nombres de Hodge de varietats que admetencerts subespais de 1-formes diferencials (anome-nats no degenerats). En el cas de subvarietatsde varietats abelianes, l’existencia de subespaisno degenerats de qualsevol dimensio permetmillorar les desigualtats obtingudes en el casgeneral.

En el cas concret del nombre de Hodgeh(2, 0), un metode diferent proporciona un re-sultat molt millor, tant perque la fita es mesacurada, com perque nomes cal que la varietatno tingui higher irrational pencils, que es unahipotesi mes relaxada que l’existencia de subes-pais no degenerats.

A la segona part s’ha considerat un cascomplementari a l’anterior: es parteix d’una su-perfıcie fibrada sobre una corba, intentant ob-tenir fites superiors per la irregularitat de lasuperfıcie en termes del genere de la corba ba-se i propietats de la fibra generica. El proto-tipus de resultat es una desigualtat obtingudaper Xiao en el cas que la base es una corbaracional. En aquest cas, la irregularitat de la

superfıcie es com a molt el genere de les fibresgeneriques, i Xiao va demostrar que si aquestesno son totes isomorfes, aleshores la fita supe-rior es pot rebaixar a l’ordre de la meitat delgenere.

Quan la base no es una corba racional,Xiao va conjecturar que s’hauria de complirla mateixa desigualtat, pero poc temps des-pres Pirola va trobar un contraexemple, pro-posant una correccio a la conjectura. El re-sultat obtingut en aquesta tesi es una fi-ta dependent del genere i l’ındex de Cli#ordde la fibra generica. A mes, en el cas quel’ındex de Cli#ord es el maxim possible, la fi-ta coincideix amb la correccio proposada perPirola.

Les tecniques utilitzades per obtenir aques-ta fita son bastant variades. D’una banda,s’utilitzen de forma crucial les !imatges ad-juntes" subespais de formes diferencials, in-troduıdes per Collino i Pirola per estudiardeformacions infinitesimals de corbes, i ge-neralitzades posteriorment per Pirola i Zuc-coni per a varietats de dimensio arbitraria.L’aportacio d’aquesta tesi es la construccio del’!aplicacio adjunta global", que permet tro-bar subespais amb imatge adjunta zero as-sumint que almenys la meitat de les formesdiferencials de la corba es poden estendre ala deformacio. D’altra banda, s’han estes afamılies arbitraries (unidimensionals) de cor-bes alguns conceptes ben establerts per a de-formacions infinitesimals, relacionants amb laimmersio bicanonica de la corba. Totes aques-tes construccions admeten generalitzacions afamılies de varietats irregulars de dimensioqualsevol.

Tots aquests resultats previs permeten tro-bar un resultat sobre l’estructura de fibracionssuportades a un divisor relativament rıgid, quees un dels dos casos que apareixen a la prova dela conjectura de Xiao. Per a l’altre cas s’utilit-za una fita inferior del rang d’una deformacioinfinitesimal en termes d’un divisor que la su-porti (el seu grau i la dimensio de la serie linealassociada).

52

• Alexandre Ruiz Rodrıguez va llegir la seva tesi, dirigida per JavierHerranz Sotoca i German Saez i Moreno, titulada Contributions to secretsharing and other distributed cryptosystems, el dia 22 de juliol de 2013. Latesi correspon al Departament de Matematica Aplicada IV de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

Avui dia les persones estan implicades cada copmes en diferents activitats digitals tant en la vi-da professional com en el temps privat. Moltsarticles de paper, com diners i tiquets, s’estanreemplacant mes i mes per objectes digitals.La criptografia te un paper crucial en aques-ta transformacio, perque proporciona segure-tat en la comunicacio entre diferents partici-pants que utilitzen un canal digital. Depenentde la situacio especıfica, alguns requisits de se-guretat en la comunicacio poden incloure pri-vacitat (o confidencialitat), autenticitat, inte-gritat o no-repudi. La criptografia distribuıdajuga una funcio important dins de la cripto-grafia. Quan l’operacio secreta s’esten entre ungrup de participants aixo fa el proces mes se-gur i fiable que quan la informacio secreta escentralitzada en un unic participant.

La tesi aquı presentada tracta de primi-tives criptografiques relacionades amb aquestcamp. Primer, estudiem des d’un punt de vis-ta teoric esquemes signcryption, en que l’ope-racio distribuıda recau en el protocol unsig-ncryption, i tambe posem un marc de segu-retat per a ells. Llavors, es presenten dos es-quemes signcryption amb una estructura llin-

dar en l’operacio d’unsigncryption per diferentsmodels de seguretat. A mes, utilitzem la sevapropietat d’autenticitat per construir signatu-res digitals amb verificacio distribuıda. La nos-tra recerca ens dirigeix tambe a esquemes decomparticio de secrets. Despres d’estudiar al-gunes limitacions en els esquemes de compar-ticio multisecret en un escenari incondicional,presentem diversos esquemes de comparticiomultisecret computacionalment segurs. Final-ment, treballem en altres sistemes distribuıts,on utilitzem la recerca feta en els esquemes decomparticio multisecret per generalitzar-ho aun marc multiusuari, i presentar un esquemamulti-policy de dexifrat distribuıt i un esquemamulti-policy de signatura distribuıda. A mes,donem indicacions de com es poden aplicar elsesquemes de comparticio multisecret als esque-mes signcryption proposats al llarg d’aquestatesi.

Tots els esquemes que s’han proposat alllarg d’aquesta tesi, segueixen la mateixa es-tructura. Despres de definir els protocols pri-mitius i el seu model de seguretat, proposeml’esquema nou i provem formalment la seva se-guretat computacional.

• Guillem Perarnau Llobet va llegir la seva tesi, dirigida per Oriol Serra,titulada Random combinatorial structures with low dependencies: existenceand enumeration (Estructures combinatories aleatories amb dependenciesfebles: existencia i enumeracio), el dia 1 d’octubre de 2013. La tesi corresponal Departament de Matematica Aplicada IV de la Universitat Politecnica deCatalunya.

En aquesta tesi s’han estudiat diferents proble-mes en el camp de la combinatoria i la teoria degrafs, utilitzant el metode probabilıstic. Aques-ta tecnica, introduıda per Erdos als anys cin-quanta, ha esdevingut una eina molt util perdonar proves existencials a certs problemes endiferents camps de les matematiques en que al-tres metodes no ho han aconseguit. Un delsseus principals objectius es l’estudi del com-

portament de les variables aleatories. En l’es-tudi de problemes combinatoris, el cas en queaquestes variables compten el nombre d’esde-veniments dolents que tenen lloc en una es-tructura combinatoria es de particular interes.El paradigma de Poisson diu que quan les de-pendencies entre aquests esdeveniments son fe-bles o poc nombroses, la probabilitat que totsaquests esdeveniments dolents no succeeixin es

53

similar a la probabilitat que un obte quan elsesdeveniments son mutualment independents.El lema local de Lovasz o la desigualtat de Su-en son exemples concrets d’aquest paradigma.L’objectiu de la tesi ha estat estudiar aquestestecniques i donar-ne noves aplicacions en dife-rents ambits de la combinatoria.

La primera part d’aquesta tesi estudiauna conjectura de Ryser [1] sobre l’existenciade transversals llatins en quadrats llatins.Aixo equival a estudiar l’existencia d’aparella-ments multicolor en aresta-coloracions de grafscomplets bipartits. Erdos i Spencer [2] van pro-var que qualsevol aresta-coloracio en que capcolor apareix massa vegades admet un apara-llement en que tots els colors son diferents.Sota les mateixes hipotesis, en aquesta tesies donen resultats sobre el nombre d’aquestsaparellaments.

En la segona part d’aquesta tesi s’estudienels codis identificadors. Donat un graf, un codiidentificador d’aquest es un conjunt de vertexstal que per qualsevol vertex del graf, la inter-seccio del seu veınatge amb el codi es unica. Enaquesta tesi s’estableixen fites en la mida d’uncodi identificador mınim en funcio dels grausdel graf i es resol parcialment una conjectura deFoucaud et al. [3]. Tambe es mostra que qualse-vol graf suficientment dens conte un gran sub-graf que admet un codi identificador optim.

Les tecniques abans esmentades no tansols permeten donar resultats existencials sinotambe resultats enumeratius. L’estudi de pa-trons en permutacions n’es un bon exemple. Ala tercera part de la tesi es desenvolupa unanova tecnica per tal d’estimar el nombre depermutacions d’una certa llargada que evitencopies consecutives d’un patro donat. Una deles consequencies es la prova de la conjecturaCMP enunciada per Elizalde i Noy [4], aixı comnous resultats en el comportament de la majo-ria dels patrons.

En l’ultima part de la tesi s’estudia la con-jectura del corredor solitari, enunciada inde-pendentment per Wills [5] i Cusick [6], i quete multiples aplicacions en diferents camps de

les matematiques com ara en aproximacio di-ofantica o en acoloriment circular de grafs.Aquesta coneguda conjectura diu que per qual-sevol conjunt de corredors que corren al llargd’un cercle unitari, hi ha un moment en que totsels corredors estan suficientment lluny de l’ori-gen. En aquesta tesi s’ha millorat un resultat deChen [7] ampliant la distancia de tots els corre-dors a l’origen. Tambe s’ha estes el teorema delcorredor invisible de Czerwinski i Grytczuk [8].

Referencies

[1] H. J. Ryser, !Neuere probleme der kom-binatorik", Vortrageuber Kombinatorik,Oberwolfach (1967).

[2] P. Erdos i J. H. Spencer, Lopsided Lovaszlocal lemma and Latin transversals", Dis-crete Appl. Math. 30 (1991), no. 2-3, 151-154.

[3] F. Foucaud, R. Klasing, A. Kosowski, andA. Raspaud, !On the size of identifyingcodes in triangle-free graphs", DiscreteAppl. Math. 160 (2012), no. 10-11, 1532-1546.

[4] S. Elizalde i M. Noy, !Consecutive pat-terns in permutations", Adv. in Appl.Math. 30 (2003), 110-125.

[5] J. M. Wills, !Zwei Satze uber inhomoge-ne diophantische Approximation von Irra-tionalzahlen" , Monatsh. Math. 71 (1967),263-269.

[6] T. W. Cusick, !View-obstruction pro-blems II", Proc. Amer. Math. Soc. 84(1982), no. 1, 25-28.

[7] Y. G. Chen, !View-obstruction problemsin n-dimensional Euclidean space and a ge-neralization of them", Acta Math. Sinica37 (1994), no. 4, 551-562.

[8] S. Czerwnnd i J. Grytczuk, !Invisible run-ners in finite fields", Inform. Process. Lett.108 (2008), no. 2, 64-67.

54

• Daniel Ramos Guallar va llegir la seva tesi, dirigida per Joan PortiPique, titulada Ricci flow on cone surfaces and a three-dimensional expan-ding soliton, el dia 28 de gener de 2014. La tesi correspon al Departamentde Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

Aquesta tesi estudia l’evolucio mitjancant elflux de Ricci de superfıcies amb singularitatsde tipus conic; i tambe l’estructura de famıliesde solitons del flux de Ricci en dimensio 2 i 3.

El flux de Ricci es una equacio d’evolucioper a varietats Riemannianes, introduıda perR. Hamilton el 1982. Es des dels avencos as-solits per G. Perelman amb aquesta tecnica el2002 que el flux de Ricci s’ha establert com unadisciplina propia, aixecant un gran interes perla comunitat.

Un dels usos del flux de Ricci aplicat a su-perfıcies llises es la reconstruccio del resultatclassic d’uniformitzacio de superfıcies (tota su-perfıcie llisa tancada admet una metrica de cur-vatura constant, del mateix signe que la sevacaracterıstica d’Euler). Aixo ja va ser provatamb el flux per Hamilton, Chow, Chen, Lu iTian, demostrant que una metrica arbitrariaconvergeix sota el flux de Ricci, llevat de resca-laments, a una metrica de curvatura constant.Els avencos de Perelman, d’altra banda, s’en-foquen a estudiar varietats de dimensio 3 perotambe s’apliquen a superfıcies. Un resultat pre-liminar de la tesi es una revisio de les tecniquesde Hamilton i Perelman combinades per adonar una demostracio diferent del teoremad’uniformitzacio de superfıcies.

A continuacio, plantegem el problema del’evolucio del flux en superfıcies no llises, ambsingularitats de tipus conic. El punt de vis-ta combinat de Hamilton amb Perelman enspermet generalitzar l’evolucio del flux de Riccia aquest cas no llis i demostrar la seva con-vergencia. En el cas llis, Hamilton demostraque algunes metriques convergeixen als anome-nats solitons del flux de Ricci, es a dir, solu-cions especials a l’equacio d’evolucio del fluxque nomes evolucionen per difeomorfismes i ho-motecies. En el cas llis i compacte, pero, aquestssolitons tenen sempre curvatura constant. Ha-milton descobrı alguns exemples de solitons nollisos que existeixen en orbifolds.

El primer resultat principal de la nostra tesies una enumeracio exhaustiva de tots els so-litons llisos i conics en superfıcies. Aquı tro-

bem els exemples de Hamilton mes altres exem-ples en el cas no compacte. Aixo ens requereixtecniques de sistemes dinamics i retrats de fase,juntament amb les propietats geometriques deles metriques de solito.

El segon resultat principal es una unifor-mitzacio de les superfıcies coniques mitjancantel flux de Ricci. Aquest resultat, que utilit-za la classificacio anterior dels solitons, estenla teoria de Hamilton al cas singular i pro-va que el flux convergeix, llevat rescalaments,a una superfıcie de curvatura constant o be auna metrica de solito. Aquest resultat requereixadaptar els resultats de no-colapse de Perelmani tambe la teoria de convergencia de successionsde varietats en el cas de superfıcies coniques.

A continuacio ens detenim i ens plantegemla definicio que hem fet servir del flux de Riccien superfıcies coniques. Des del punt de vistad’EDP, un punt conic es la vora (puntual) deldomini de definicio de les funcions, i les condi-cions de frontera podrien variar. Des del puntde vista de la geometria, l’estructura d’espaimetric prop del punt conic podria no mantenir-se. El resultat d’uniformitzacio que hem obtin-gut assumeix un flux que preserva l’estructuraconica dels punts singulars, pero aixo podriano ser aixı. El tercer resultat principal de latesi es precisament la construccio d’un flux deRicci que elimina les singularitats coniques, demanera que l’estructura conica canvia abrupta-ment. Aixo exposa clarament la no-unicitat desolucions al flux.

Finalment, el quart i ultim resultat princi-pal es la construccio d’un nou solito gradientexpansiu en dimensio 3. Aquı fixem una topo-logia especıfica (concretament el producte car-tesia d’un tor amb una recta) i assumim unacota inferior de la curvatura. Amb tecniques deretrats de fase similars a les utilitzades per alssolitons de dimensio 2, donem una construccioexplıcita d’aquest nou solito amb una metricade warped product. Demostrem tambe que esl’unic solito amb la seva topologia i la seva cotainferior de la curvatura, i que es un cas crıticentre tots els solitons expansius en dimensio

55

3 amb curvatura acotada inferiorment. Aquestexemple es una mostra dels fenomens que po-den sorgir en el flux de Ricci en varietats ober-

tes en dimensio 3, un problema que va mes enlladels resultats de Perelman i que encara no haestat completament resolt.

• Alberto Gavira Romero va llegir la seva tesi, dirigida per NataliaCastellana Vila, titulada Aproximacions cel·lulars d’espais de llacos infinitsi d’espais, el dia 10 de febrer de 2014. La tesi correspon al Departament deMatematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona

Un argument classic en topologia algebrai-ca es l’estudi de propietats topologiques mit-jancant functors F : hoTop' ( C, on hoTop'

es la categoria homotopica d’espais topologicspuntejats i C es una categoria d’objectes al-gebraics (categoria de grups, grups abelians,anells, etc.). Com exemple tenim els grupsd’homotopia. E. Dror-Farjoun introdueix en1995 per a un espai topologic puntejat A, lanocio d’A-homotopia, on A i les seves suspen-sions juguen el mateix paper que les esferesen homotopia classica. Es defineixen els grupsd’A-homotopia d’un espai puntejat X com lesclasses d’homotopia d’aplicacions definides desde les suspensions d’A a X. A mes a mes, exis-teix una construccio analoga a l’aproximaciocel·lular: l’aproximacio A-cel·lular, es a dir, unespai A-cel·lular CWA(X) (i.e., un espai cons-truıt mitjancant colımits homotopics puntejatsd’A de manera iterada) junt amb una aplicacionatural CWA(X) ( X que indueix una equi-valencia entre els espais d’aplicacions punteja-des map'(A,CWA(X)) i map'(A,X), i alesho-res un isomorfisme en grups d’A-homotopia.

Sigui p un nombre primer. En aquest tre-ball estudiem l’A-cel·lularitzacio, on A es un es-pai classificador del tipus BZ/pm, BZ/p" o unproducte d’aquests, de dues famılies d’espais:els espais 'BZ/p-acıclics llevat p-completacioi els espais classificadors de grups p-localscompactes.

Primer demostrem que la BZ/pm-cel·lularitzacio d’un espai 'BZ/p-acıclicllevat p-completacio 1-connex X es equiva-lent a la fibra homotopica de la racionalitza-cio ,Xp ( (,Xp)Q. Com exemples estan els

espais de llacos infinits i les torres de Post-nikov 1-connexos amb segon grup d’homotopiade torsio. Aquest resultat ens permet calcularla BZ/p-cel·lularitzacio dels espais BO, BU ,BSp i dels seus recobridors connexos,completant aixo l’estudi de la K(Z/p, n)-cel·lularitzacio d’aquests espais que van rea-litzar N. Castellana, J. A. Crespo i J. Schererpel cas n > 1.

En el segon cas, donat un grup p-local com-pacte (S,(,L), per l’estudi de la cel·lularitzaciode ,|L|p estenem la definicio del nucli d’unaaplicacio f : ,|L|p ( ,Y p, donada pel cas degrup de Lie compacte pel D. Notbohm, comel subgrup de S format pels elements x talsque en restringir f a B1x2 es homotopicamenttrivial. Demostrem que, sota certes hipotesis so-bre ,|L|p, si el nucli de certa aplicacio deter-minant en el calcul de la cel·lularitzacio es totel p-grup S, llavors l’A-cel·lularitzacio de ,|L|pes equivalent a la fibra homotopica de la ra-cionalitzacio ,|L|p ( (,|L|p)Q. En el cas fi-nit som mes precisos, demostrant que ,|L|pes BZ/pm-cel·lular si i nomes si aquest nu-cli es el mınim subgrup de S fortament tan-cat que conte tota la p-torsio per i % m(aquest resultat generalitza resultats previs so-bre cel·lularitzacio d’espais classificadors degrups finits realitzats per R. J. Flores, F. Footei J. Scherer). En el cas d’un grup de Lie com-pacte simple 1-connex G provem, gracies al’estudi dels subgrups fortament tancats rea-litzat pel D. Notbohm, que en gairebe tot elscasos, si p | |G| i m > 0, CWBZ/pm(,BGp) esequivalent a la fibra homotopica de la raciona-litzacio ,BGp ( (,BGp)Q.

56

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iecat.net Adreca web: http://www.iecat.net/scm

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

(cal imprimir-a, omplir-la, signar-la i enviar-la a la SCM per correu electronic, fax o correu ordinari)

Tipus de soci: Ordinari Estudiant! Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Nom i cognoms:o institucio

Adreca: Codi postal:

Poblacio: NIF:

Correu electronic: Telefon: Fax:

Lloc d’estudi o de treball:

Dades per a la domiciliacio bancaria

Qui signa aquest document autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat

Catalana de Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi / el compte / la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte o targeta :

Entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’entitat, oficina i digits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit: Caducitat:

Data: NIF:

Signat:

Signatura

Envieu la butlleta d’inscripcio i l’ordre de domiciliacio, que trobareu al web de la SCM, http://blogs.iec.cat/

scm/la-societat/fes-ten-soci/, per correu postal o correu electronic, emplenada i signada.

Les quotes per a l’any 2014 son les seguents: 36 euros socis ordinaris, 18 euros socis estudiants i membres de

societats amb conveni de reciprocitat i 72 euros institucions.

D’acord amb la Llei organica 15/1999, del 13 de desembre, de proteccio de dades de caracter personal, us informem

que les vostres dades seran incorporades en un fitxer que es responsabilitat de l’Institut d’Estudis Catalans, amb la

finalitat de gestionar els socis i d’enviar comunicacions de les activitats i publicacions de la Societat i de l’Institut

d’Estudis Catalans (IEC). Podeu exercir els drets d’acces, rectificacio, cancel.lacio i oposicio de les vostres dades

personals adrecant-vos per escrit a l’Institut d’Estudis Catalans (carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona) o be

enviant un correu electronic a l’adreca lopd@iec.cat.

!Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula

36

Juli

ol

20

14

SCM / Notícies / 36Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

• La Mathematical Association of America

• La festa de la matemàtica catalana: Cangur i Olimpíada

• IV Trobada de Societats Matemàtiques de Parla Catalana

• 30è aniversari del CRM

Institutd’Estudis

Catalans

Ernest Corominas, matemàtiques des de l’exili

Cob SCM Num 36.pdf 1 07/08/14 09:09