Cálculo Diferencial e Integral III. Otoño 2020Ejercicios adicionales para examen final

Los siguientes ejercicios son de práctica para los temas que se incluirán en el exa-men final:

a) Multiplicadores de Lagrangeb) Máximos y mínimos en regiones cerradas y acotadasc) Teoremas de la función implícita e inversad) Integrales dobles, teorema de cambio de variablese) Integrales triples

1.Un objeto se mueve en el plano xy de tal manera que su posición al tiempot es r(t) = (t − t3, 2t + t2) para t ≤ 2. Al tiempo t = 2 el objeto comienza amoverse sobre una línea recta en dirección del vector r′(2) y a velocidad constante.Encuentra la posición del objeto al tiempo t = 3.

2.Repetir el ejercicio anterior pero con la trayectoria en R3 dada por r(t) =(2t, t2, t3 − 2t2).

3.Una partícula se mueve sobre un círculo en el plano xy. Su posición al tiempot está dado por r(t) = (cos(t2 − t), sen(t2 − t)). Observar que la partícula seencuentra en la posición (1, 0) en los tiempos t = 0 y t = 1. Decide si la partículase mueve en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario paracada uno de los tiempos t = 0, t = 1.

4.El vector posición al tiempo t para una partícula que se mueve sobre una hélicees r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (cos(t), sen(t), t2).

(a)Encuentra la velocidad de la partícula en el instante t0 = 4π.

(b)Encuentra una parametrización para la recta tangente a la curva descritapor la trayectoria r al tiempo t0 = 4π.

(c)¿En qué punto la recta tangente intersecta al plano xy?

5.Sean r1 = r1(t) y r2 = r2(t), t ∈ [a, b], dos trayectorias diferenciables en Rn. Seaf : [a, b] → R dada por f(t) = r1(t) · r2(t), donde · representa el producto puntode dos vectores. Muestra que f ′(t) = r1(t) ·r′2(t)+r′1(t) ·r2(t) para toda t ∈ [a, b].

6.Sea r(t) la posición de una partícula al tiempo t. Suponer que r es de claseC2. La aceleración de la partícula al tiempo t se define como el vector r′′(t).Muestra que si la partícula se mueve con rapidez constante, entonces la velocidady la aceleración de la partícula al tiempo t son vectores ortogonales. Es decir,r′(t) · r′′(t) = 0 para toda t. Sugerencia: Escribe el cuadrado de la rapidez comoun producto punto. Puedes usar el ejercicio anterior.

1

Los siguientes ejercicios son de práctica para los temas que se incluirán en el exa-men final (ver también los laboratorios correspondientes) :

Cálculo Diferencial e Integral III. Primavera 2021Ejercicios adicionales para el examen final

1. Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = x2 − y2 en eldisco D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}.

2. Sea f(x, y) = 1 + xy + x − 2y y sea D una región triangular en el plano xy convértices en (1,−2), (5,−2) y (1, 2). Encuentra los valores máximo y mínimo def en D.

3. Encuentra los extremos de f(x, y, z) = x+ y + z sujeta a las restricciones:x2 − y2 = 1, 2x+ z = 1.

4. Se desea diseñar una lata cilíndrica. El costo por centímetro cuadrado del mate-rial de la tapa es de 10 centavos. El costo del resto del material es de 5 centavospor centímetro cuadrado. Encuentra las dimensiones de la lata de menor costoque contenga 1 litro.

13.Muestra que existen funciones únicas de clase C1, u = u(x), v = v(x) para x enalgún abierto que contiene a −1, u y v en algún abiertos que contienen a 1, conu(−1) = v(−1) = 1, y tales que

xeu(x) + u(x)ev(x) = 0, xev(x) + v(x)eu(x) = 0.

2

xeu(x) + u(x)ev(x) = 0, xev(x) + v(x)eu(x) = 0.

Muestra que existen funciones únicas de clase C1, u = u(x), v = v(x) para x enalgún abierto que contiene a −1, u y v en algún abiertos que contienen a 1, conu(−1) = v(−1) = 1, y tales que

5.

Si G es la inversa de F restringida a U , y notando que F (1,−1) = (0,−1),calcula DG(0,−1).

(b)Muestra que F es invertible en algún abierto U que contiene al punto (1,−1).(a)

Sea F : R2 → R2 dada por F(x, y) = (x3 − y3 + 2xy, x+ 2y). 7.

∂y (0, 0) para que en la ecuación f(x + f(x, y), y − f(x, y)) = 0, lavariable x se pueda escribir en la forma x = g(y) con g de clase C1 en un abiertoque contiene a 0, x en un abierto que contiene a 0, y tal que 0 = g(0).

∂x (0, 0) y ∂fSea f : R2 → R de clase C1 tal que f(0, 0) = 0. Encuentra condiciones sobre∂f

6.

∂y(1,−1).Encuentra el valor de ∂v(b)

Muestra que en alguna vecindad del punto (x0, y0, u0, v0) = (1,−1, 2,−2),este sistema define u y v de manera implícita como funciones de las variablesx, y: u = u(x, y), v = v(x, y) de clase C1.

(a)

(2)xu2 − yv = 2,

(1)x2u3 − uy + v3 − 2xv = 6

Dado el sistema de ecuaciones 8.

¿Cuál es el volumen del sólido en el espacio xyz acotado por el paraboloidez = −x2 − y2 + 1 y el plano z = 0?

10.

¿Cuál es el volumen del sólido en el espacio xyz acotado por las superficies y = x,y = x2, z = 0 y z = x+ y?

.

D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1, x+ y ≥ 1}.

D(x2 + y2)dxdy, dondeEncuentra el valor de

∫∫ 11.

9.

12. SeaD = {(x, y) | 1 ≤ x2+y2 ≤ 4, y ≥ x}. Encuentra el valor de∫∫

Dex

2+y2dxdy.

13. Muestra que∫ ∞

−∞e−x

2dx =

√π.

14. Sea D la región en el plano xy encerrada por las curvas y = x2 + 1, y =

x3 + 1. Sea f : R2 → R continua. Escribe∫∫

Df(x, y)dxdy como una in-

tegral de la forma∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)f(x, y)dy

)dx y como una integral de la forma∫ d

c

(∫ ψ2(y)

ψ1(y)f(x, y)dx

)dy.

3

D2

g(u, v)dudv, indicando explícitamente g(u, v).la forma∫∫ D1

(x − y) cos(x2 − y2)dxdy como una integral de

Sea T : R2 → R2 dada por T (u, v) = (eu − 3v, uv2 − 2v). Suponer que D1 yD2 son dos regiones planas acotadas elementales tales que T (D2) = D1, con T

inyectiva en D2. Reescribe∫∫ 18.

.a2

∫∫Ta(xy + 1)3ex

2−y+1dxdy(a, 0) y (0, a) con a > 0. Encuentra lim

a→0

Sea Ta la región en el plano xy encerrada por un triángulo con vértices (0, 0), 17.

1 + f(x, y)dxdy = 4,muestra que existe (x0, y0) ∈ D tal que f(x0, y0) = −19/27.

D

3√

Sea D = [−1, 1]× [2, 5]. Si f : D → R es continua y∫∫

16.

Dxy dxdy.

Sea T : R2 → R2 dada por T (u, v) = (4u, 2u+ 3v) = (x, y). Si D∗ = [0, 1]× [0, 2]

y D = T (D∗), dibuja D en el plano xy y encuentra el valor de∫∫ 15.

19. Sea f : R2 → R continua tal que∫∫

Df(x, y)dxdy = 0 para todo disco cerrado D

en el plano xy. Muestra que f(x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ R2.

20. Encuentra el valor de las siguientes integrales dobles:a)∫∫

Dx2exydxdy, D = [0, 1]× [0, 1].

b)∫∫

D|x||2y − 1|dxdy, D = [−1, 1]× [0, 1].

21. Sea D la región en el plano xy encerrada por el paralelogramo con vértices (0, 0),(2, 1), (1, 1) y (3, 2). Encuentra el valor de

∫ ∫D(2x+y)dxdy haciendo un cambio

de variables tal que el dominio de integración sea el cuadrado [0, 1]× [0, 1].

4

D(x + 2y)dxdy donde D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤

4, x ≤ 0}.Encuentra el valor de

∫∫ 23.

D(x2 + y)dxdy donde D es la región en el plano xy

encerrada por las curvas x = y2, y = x− 2.

Encuentra el valor de∫∫

22.

4.

y − x+ 3dxdy ≤ 1

D

1

6≤∫∫Si D es la región plana delimitada por un triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y

(1, 1) demuestra que1

25.

x2 + y2 + 1dxdy ≤ 6.

D

1Si D = [−1, 1]× [−1, 2], demuestra que 1 ≤∫∫

24.

D = {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x), ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)}.

Sea D la semiesfera sólida D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2+y2+z2 ≤ 9, z ≥ 0}. EscribeD en la forma

27.

Df(x, y, z)dxdydz como una integral triple iterada.

Sea D la región sólida en R3 acotada por el cilindro x2 + y2 = 4 y los planosz = x−y, z = 4. Escribe

∫∫∫26.

Cálculo Diferencial e Integral III. Otoño 2019

Ejercicios adicionales sobre integración en 2 y 3 dimensiones

Los siguientes ejercicios son de práctica sobre los temas de integrales dobles y triples,cambio de variables, teorema del valor medio. Será de gran utilidad revisar tambiénlos ejercicios de los Talleres 11, 12 y 13. El examen final departamental incluye un 50%de preguntas sobre estos temas, un 10% sobre los teoremas de la función implícita einversa, y 40% de otros temas.

Los ejercicios no siguen un orden particular en cuanto a temas.

1.¿Cuál es el volumen del sólido en el espacio xyz acotado por las superficies y = x,y = x2, z = 0 y z = x+ y?

2.¿Cuál es el volumen del sólido en el espacio xyz acotado por el paraboloidez = −x2 − y2 + 1 y el plano z = 0?

.

Sea D la región sólida en R3 acotada por el cilindro x2 + y2 = 4 y los planosz = x−y, z = 4. Escribe

∫∫∫Df(x, y, z)dxdydz como una integral triple iterada.

29. Sea D la semiesfera sólida D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2+y2+z2 ≤ 9, z ≥ 0}. EscribeD en la forma

D = {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x), ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)}.

5.Encuentra el valor de

∫∫D(x2 + y2)dxdy, donde

D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1, x+ y ≥ 1}.

6.SeaD = {(x, y) | 1 ≤ x2+y2 ≤ 4, y ≥ x}. Encuentra el valor de

∫∫Dex

2+y2dxdy.

7.Muestra que

∫ ∞

−∞e−x

2dx =

√

π.

8.Sea D la región en el plano xy encerrada por las curvas y = x2 + 1, y =

x3 + 1. Sea f : R2 → R continua. Escribe∫∫

Df(x, y)dxdy como una in-

tegral de la forma∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)f(x, y)dy

)dx y como una integral de la forma∫ d

c

(∫ ψ2(y)

ψ1(y)f(x, y)dx

)dy.

5

D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 4, z ∈ [0, a]}.

x2 + y2)dxdydz = 3, dondeD(z√

Encuentra el valor de a > 0 tal que∫∫∫

30.

D = {(x, y, z) ∈ R3 | 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0, z ≤ 0}.

D(x+ 4y + z)dxdydz dondeEncuentra el valor de

∫∫∫31.

2

Df(x, y, z)dxdydz como una integral triple iterada.

Sea D la pirámide sólida en el espacio xyz con vértices (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 2, 0)y (0, 0, 2). Escribe

∫∫∫32.

D(x+ 2z) dxdydz, donde D = T (D∗).

Sea T : R3 → R3 dada por T (u, v, w) = (3u− v, u+ v − w, u). Sea D∗ = [0, 1]×[−1, 0]× [0, 2]. Encuentra el valor de

∫∫∫33.

28.