CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II UNIDAD 1: DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES. Propósitos de la unidad: Reforzar y extender el conocimiento de la derivada a través del estudio de la variación de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales para cubrir situaciones que se modelan con funciones trascendentes. Retomar las relaciones entre las gráficas de una función y su derivada. Situaciones que dan lugar al estudio de las funciones trigonométricas y al estudio de su variación. En el curso de Cálculo Diferencial e Integral I, estudiaste y resolviste problemas de variación de cambio (instantánea) y de optimización, estos involucraban modelos polinomiales (polinomios de primero, segundo y tercer grado) para su solución. En esta sección continuaremos con el estudio de problemas de variación de cambio así como de problemas de optimización, pero ahora, estos problemas requeriran de un modelo con base en funciones trigonométricas.

Para iniciar el estudio de la variación y la rapidez de cambio de las funciones trigonométricas te proponemos tres actividades, todas ellas se refieren a problemas en donde se requiere de las funciones trigonométricas y su variación instantánea para su solución. Realiza las actividades que se te indican y contesta las preguntas formuladas.

Propósitos de la actividad: Plantear problemas que den lugar a funciones trigonométricas y su rapidez de cambio.

Actividad 1 Si la parte superior de una escalera de 10 metros de largo, apoyada en una pared está resbalando a razón de 25 cm./seg. ¿Cuál es la rapidez de cambio del ángulo agudo formado por la escalera con el suelo cuando la parte superior está a 8 metros sobre el suelo? Si hacemos un dibujo, tenemos: Indica en el dibujo los datos del problema, es decir, el ángulo agudo (que denotaremos por 𝜃 y del cual queremos conocer la rapidez con que cambia), la longitud de la escalera, la distancia entre el punto de apoyo de la escalera y el piso, que denotaremos con la letra 𝑦. ¿Qué significado tiene

!"!"

?______________________________________________

En un segundo ¿cuánto se desplaza el punto de apoyo de la escalera de la pared? ___________________________________________________________________________ Escribe que significa que la parte superior de la escalera esté desplazándose a una razón de 25 cm./seg. ____________________________________________________________________________________ (Como la medida de la escalera está dada en metros, expresa 25 cms. en metros.)

Escalera

Pared

Punto de apoyo

Piso

Nos piden determinar la rapidez de cambio del ángulo θ con respecto al cambio en el tiempo 𝑡, ¿cómo expresas lo anterior? __________________________________________ Dado que nos interesa conocer cómo varía el ángulo 𝜃, cuando la escalera resbala, escribe la razón trigonométrica que relaciona a 𝑦 con la información que tienes __________________________________ Al relacionar el ángulo que forma la escalera con el piso has encontrado la relación entre las dos variables del problema, es decir la relación entre 𝑦 (longitud del punto de apoyo de la escalera con el piso) y θ, al despejar 𝑦, tienes que:

𝑦   =  10  𝑠𝑒𝑛  𝜃,                        (0   <  𝜃   <  𝜋/2) Cuando el punto de apoyo de la escalera se encuentra a 8 metros encima del piso, puedes encontrar la medida de θ, ¿cómo puedes hacerlo? Calcúlala___________________________

Sin embargo nos interesa la rapidez de cambio de θ, cuando 𝑦   =  8 y !"!"= −0.25!

!..

Por lo tanto, para resolver el problema anterior es necesario conocer la derivada de la función 𝑓 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 . Actividad 2. Queremos determina la longitud del ventanal más grande que se puede colocar en una pared, pero esta debe de dar una vuelta a la esquina de un pasillo de 2 metros de ancho hacia otro con un ancho de 4 metros, como se muestra en la figura siguiente:

El problema del pasillo

Llamemos θ al ángulo entre la pared del pasillo y la varilla, la longitud  𝐿 de la varilla la dividiremos en 𝐿!  y 𝐿!  , señala estos datos en la figura. Usando triángulos semejantes, encuentra relaciones entre 𝐿! y 𝜃, así como entre 𝐿! y 𝜃. Relaciones: Debemos tener

𝐿(𝜃) = 4 sec(𝜃) + 2csc  (𝜃) Ahora para encontrar la longitud de la ventana más grande, sólo debemos derivar a la funció 𝐿 , con respecto al ángulo 𝜃.

Lugar donde se colocará la ventana

2

4

Ventana

2

4

𝐿!

𝐿!

pero no sabemos aún la derivada de las funciones involucradas. Actividad 3. Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de radio 𝑅, como se muestra en la figura ¿Cuál es el área máxima del rectángulo? 3. El área 𝐴 del rectángulo es: 𝐴 = _________________________________________________

Para obtener el área máxima de este rectángulo ahora debemos de derivar a la función 𝐴, sin embargo como en el caso anterior no sabemos aún derivar funciones de este tipo. Construcción gráfica de la derivada de la función seno. Actividad 4. 1. Para conocer las características de la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, hagamos un análisis

gráfico de la función y de sus rectas tangentes, para ello, traza la gráfica de esta función, en el intervalo [0,2π].

Gráfica de la función

Denotemos por 𝑥 a la mitad de la longitud de la base, por 𝑦 a la longitud de la altura del mismo y por 𝜃 al ángulo entre el radio y la mitad de la base. 1. Escribe estos datos en la figura 2. De acuerdo a la definición de las razones trigonométricas seno y coseno encuentra una relación entre 𝑦

y el 𝑠𝑒𝑛(𝜃), así como entre 𝑥 y el cos(𝜃). 𝑦 = ______________________________ 𝑥 = ______________________________

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

2. Describe las propiedades de la función seno.

Propiedades de la función seno

Dominio: Rango: Período: Simetría:

3. Nuevamente, dibuja la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), y ahora, haz un bosquejo de la gráfica

de su derivada.

Gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Gráfica de la derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Hagamos un breve analisis grafico. 4. ¿En qué intervalos la función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es creciente? _______________________________ 5. ¿Es positiva o negativa la pendiente de la recta tangente a la curva en esos intervalos? __________. 6. Traza varias rectas tangentes a la gráfica de la función seno en el intervalo [0,π/2), partiendo del

origen. ¿cómo cambian las pendientes de esas rectas? __________________________________

7. ¿En qué intervalos la función es decreciente? ______________________________________ 8. ¿Cómo son las pendientes de las rectas tangentes a la curva en esos intervalos? ______________ 9. Analizando el intervalo (π/2,π), traza varias rectas tangentes, ¿cómo van cambiando las pendientes?

___________________________________ 10. En la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ¿hay cambios de concavidad en el intervalo señalado? __________

Bosqueja en la gráfica las rectas tangentes en esos puntos. 11. Con base en la gráfica de la derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), que haz bosquejado describe

sus propiedades.

Propiedades de la derivada de la función seno Dominio: Rango: Período: Simetría:

Para determinar con más precisión la gráfica de la derivada de la función 𝑓(𝑥)  =  𝑠𝑒𝑛𝑥, hagamos el siguiente análisis. Actividad 5. 1. Traza la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, en el intervalo [–2π,2π] y su recta tangente en el origen.

Gráfica de la función 𝒇(𝒙)  =  𝒔𝒆𝒏𝒙 y su recta tangente en el origen 2. Escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente – ordenada al origen: ___________________ 3. Como la recta tangente pasa por el origen, ¿cuánto vale la ordenada al origen? _______________ 4. ¿Cómo queda la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 en el origen? _________________ Por otra parte, para valores de  𝑥 muy cercanos al cero las gráficas de la recta 𝑦   =  𝑚𝑥 y de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 están muy próximas: Es decir se tiene la siguiente aproximación:

𝑚𝑥 ≈ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) por lo que 𝑚 ≈ !"#(!)!

5. El valor de 𝑚 no es posible calcularlo en 𝑥   =  0,  ¿por qué?____________________. Así que para poder determinar el valor de 𝑚, nos debemos aproximar a cero con valores cercanos a él, tanto por el lado derecho como por el izquierdo, así que nos encontramos ante un proceso infinito, que es del mismo tipo que has trabajado en la primera unidad de Cálculo I; recuerda que para calcular el límite en un proceso infinito, debemos de acercaros al valor deseado en este caso con 𝑥   =  0. Te invitamos a calcular este límite. 6. Completa las siguientes tablas (𝑥 en radianes)

𝑥 1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 𝑚

𝑥 -1 -0.5 -0.2 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 𝑚

Y como: 𝑚 ≈ !"#(!)!

7. ¿Qué puedes decir de ?0 xsenxlím

x→ ________________________________________________

Con este valor encontrado concluimos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥)  =  𝑠𝑒𝑛𝑥 en el origen es 𝑦   =  𝑥 (la función identidad). Ahora observa la gráfica de la función 𝑓(𝑥)  =  𝑠𝑒𝑛𝑥 , en el intervalo [0,π] con su recta tangente 𝑦   =  𝑥 en el origen.

8. Apoyándonos en la gráfica anterior, si trazamos la recta 𝑥 = 𝜋, la recta tangente en el origen la corta

en el punto (π,π) por la simetría que existe de la función 𝑓(𝑥)  =  𝑠𝑒𝑛𝑥 con respecto a la línea 𝑥   =  𝜋/2. La recta tangente a la gráfica de la función el punto (π,0), cortaría al eje 𝑦 en el punto _____________________,

Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función  𝑓(𝑥)  =  𝑠𝑒𝑛𝑥 en el punto (π,0), se procede similarmente; la ecuación de la recta es de la forma 𝑦 =  𝑚𝑥 + 𝑏 y como ya sabías,

f(x) = senx

x

π

π

𝑎   = 𝜋, por lo que la ecuación de la recta es 𝑦 =    𝑚𝑥 + 𝜋, y para valores muy cercanos a π las imágenes de la recta tangente y del 𝑠𝑒𝑛𝑥 son muy parecidas, es decir,

𝑚𝑥 + 𝜋 ≈ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 por lo tanto 𝑚 = !"# ! !!!

9. Entonces la pendiente  𝑚 de la recta tangente en 𝑥   =  𝜋 es: ___________________ Observa que conforme x crece (x ε [0,π/2]) la pendiente de las rectas tangentes disminuye hasta que es cero en x = π/2, por simetría de la función seno, los puntos de las pendientes en la gráfica de la derivada también son simétricos, respecto al punto (π/2,0). Tu construcción debe tener la forma siguiente.

Gráfica de la derivada de la función 𝒇(𝒙)  =  𝒔𝒆𝒏𝒙. En el siguiente plano, dibuja la gráfica de la derivada de la función 𝑓(𝑥)  =  𝑠𝑒𝑛𝑥, en el intervalo [π,2π] 5. Como la función seno es periódica con periodo 2π, lo que suceda en el intervalo [0,2π], sucederá en

toda la función ¿Crees que la derivada 𝑓(𝑥)  =  𝑠𝑒𝑛𝑥   también sea una función periódica? __________________ ¿Por qué?________________________________

6. Explica como se comportan las pendientes de las rectas tangentes a 𝑓(𝑥) =  𝑠𝑒𝑛𝑥, para valores de

𝑥  en el intervalo: [–2π,0] ________________________________________ 7. ¿Cómo se comportan las pendientes de las rectas tangentes a 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, para valores de

 𝑥  mayores de π2 ___________________________________________

En el siguiente plano cartesiano, traza la gráfica de 𝑓’(𝑥) en el intervalo −2𝜋, 2𝜋 .

y

x

. . .

1

-1

0 π 2π

y

x

. .

.

1

-1

0 π

10. ¿A qué función corresponde esta la gráfica?________________ 11. Podemos concluir que: El procedimiento anterior visualiza la derivada de 𝑠𝑒𝑛  (𝑥) y nos da un procedimiento que nos permite justificarla. Posteriormente se podrá ver la deducción formal.

. . .

. f’(x)

x

1

-1

0 π 2π -π -2π

𝐷𝑥(𝑠𝑒𝑛  𝑥) = ______________