cálculo de varias variables - grupo editorial patria · · 2015-06-26en la unidad 3 se presentan...
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CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
Ana Elizabeth García Hernández
Instituto Politécnico Nacional
PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
Ana Elizabeth García Hernández
PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Estela Delfín Ramírez
Supervisor de preprensa: Gerardo Briones González
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber
Fotografías: © Thinkstockphoto
Diagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.
Revisión técnica:
Alex Polo Velázquez
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco
Cálculo de varias variables
Derechos reservados:
© 2014, Ana Elizabeth García Hernández
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN: 978-607-438-896-1
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Dedicatoria¡Gracias, Señor, por todo!
Todo tiene su momento oportuno; hay un tiempo para todo lo que se hace bajo el cielo.
Eclesiastés 3:1
VII
PresentaciónEste libro está dedicado a los estudiantes universitarios que cursan la materia de Cálculo de varias variables, asignatura obligatoria en la gran mayoría de planes de estudio de las carreras de ingeniería. La intención de este libro es estimular el aprendizaje autónomo del cálculo de varias variables mostrando sus diversas técnicas e ilustrándolas a través de la resolución de diferentes tipos de problemas.
El material está dividido en cuatro unidades.
En la primera unidad se resuelven problemas de álgebra y geometría vectorial, así como de las diferentes representaciones de rectas y planos.
En la unidad 2 se aborda el tema de las funciones vectoriales, se resuelven problemas de una variable real, para interpretar las variaciones de una función vectorial de variable real y problemas físicos y geométricos en el sistema de referencia más conveniente.
En la unidad 3 se presentan funciones de varias variables como campos escalares o vectoriales, las cuales se representan geométricamente; de igual forma se resuelven problemas de cálculo diferencial para este tipo de funciones, así como de los operadores diferenciales vectoriales.
Por último en la unidad 4, se resuelven diferentes tipos de problemas de integrales múltiples de funciones escalares. Se utilizan los teoremas integrales en la solución de problemas de integrales múltiples y se aplican en la solución de problemas de física.
Todos los estudiantes con conocimientos básicos de álgebra lineal y cálculo de una variable seguirán de una forma cómoda el desarrollo de los problemas que contiene este libro. Espero les sea de utilidad.
La autora
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IX
Unidad 1 Vectores y geometría en el espacio 1
1.1 Introducción 2
1.2 Vectores 2
1.3 Operaciones con vectores 2
1.4 Coordenadas polares 10
1.5 Representación cartesiana en el espacio 13
1.6 Ecuaciones de la recta en el plano 15
1.7 Ecuaciones de la recta en el espacio 26
Problemas para resolver 39Problema reto 41Referencias bibliográficas 41Referencias electrónicas 41
Unidad 2 Funciones vectoriales 43
2.1 Funciones vectoriales 44
2.2 Tangente a una curva en el espacio 50
2.3 Longitud de arco 54
2.4 Tangentes a curvas polares 57
2.5 Áreas 59
2.6 Superficie de revolución 60
2.7 Triedro de Frenet 62
Problemas para resolver 71Problema reto 73Referencias bibliográficas 73Referencias electrónicas 73
Contenido
X
Contenido
Unidad 3 Funciones de varias variables 75
3.1 Funciones de varias variables 76
3.2 Representación geométrica de las funciones de varias variables 78
3.3 Superficies y curvas de nivel 80
3.4 Límites 82
3.5 Continuidad 83
3.6 Derivadas parciales en dos variables 86
3.7 Vector gradiente 88
3.8 Derivada direccional 89
3.9 Regla de la cadena para funciones de varias variables 90
3.10 Derivación implícita 91
3.11 Derivadas parciales de orden superior 91
3.12 Extremos relativos 92
3.13 Matriz hessiana 95
3.14 Método de los multiplicadores de Lagrange 96
3.15 Operadores diferenciales 99
Problemas para resolver 105Problema reto 107Referencias bibliográficas 107Referencias electrónicas 107
Unidad 4 Integrales de varias variables 109
4.1 Integral definida 110
4.2 Integrales múltiples 110
4.3 Integral en coordenadas cilíndricas 117
4.4 Aplicaciones geométricas y físicas de las integrales múltiples 120
4.5 Momento de inercia 122
4.6 Integrales de línea de campos escalares 123
4.7 Integrales de línea de campos vectoriales 124
4.8 Teoremas integrales 126
Problemas para resolver 131Problema reto 133Referencias bibliográficas 133Referencias electrónicas 133
UNIDAD 1
Vectores y geometría en el espacio
ObjetivOs
Representarrectasyplanosmedianteecuaciones.
Representargeométricamentealosvectoresysusoperaciones.
Manejarsistemasdecoordenadascartesianasypolares.
¿Qué sabes?
¿Quéesuncuaternio?
¿Ladiferenciadevectoresesuncasoparticulardelasuma?
¿Cuálesladiferenciaentreproductocruzyproductopunto?
¿Cómosedefineunarectasecante?
¿Cómosemideladistanciadeunpuntoaunarecta?
�
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 11.1 Introducción
Los términos vectoriales y escalares fueron introducidos por William Rowan Hamilton (4 de agosto de 1805-2 de septiembre de 1865), matemático, físico y astrónomo irlandés, en una reunión organizada por la Real Academia de Irlanda en noviembre de 1844. El concepto del vector había sido desarro-llado por Hamilton como parte de una teoría general de cuaternios o cuaterniones, que representan una extensión del sistema de los números complejos. Así como todo número complejo es de la forma a + bi, un cuaternio es una expresión de la forma: a + i + bj + ck donde a, b, c, d son números reales e i , j , k son objetos que satisfacen ciertas reglas bien definidas. Los cuaternios encontraron pronto aplicaciones físicas interesantes, pero no resultaban fáciles de manejar.
Afortunadamente el físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (11 de febrero de 1839-28 de abril de 1903) popularizó muchos de los conceptos desarrollados por Hamilton, tomando de los cuaternios solamente la parte no real, bi + c j + dk, lo que resultó en un objeto matemático que Gibbs llamó vec-tor, exponiéndolos de manera bastante sistemática en su libro Elementos de análisis vectorial (1881). Después Hermann Günther Grassmann (15 de abril de 1809-26 de septiembre de 1877), lingüista y matemático alemán, amplió la teoría de vectores generalizándola a espacios de n dimensiones.
1.2 Vectores
Comenzaremos el estudio de los vectores en forma geométrica, que es un segmento orientado. A los puntos A y B que definen el vector se les llama origen y extremo del vector, respectivamente.
Figura 1.1
ABn
, donde A es el origen y B es el extremo.
Definición. Un vector es una cantidad caracterizada por las siguientes propiedades:
Magnitud, que representa el tamaño del vector, la longitud del segmento.
Dirección, que indica la línea de acción del vector.
Sentido, en cada dirección hay dos posibles sentidos.
Por lo general, las cantidades vectoriales se representan por An
, Bn
.
Y su magnitud, tamaño o norma se representa por A = || An
||.
Los vectores se aplican en física, por ejemplo, son cantidades vectoriales: la velocidad, la acele-ración, la fuerza, el momento de una fuerza, la cantidad de movimiento, el momento angular de un cuerpo, entre otras.
Posteriormente estudiaremos a los vectores en forma algebraica; es decir, hablaremos de vectores del plano R2, espacio R3; y en general de Rn: si bien solo podemos visualizar vectores en una, dos y tres dimensiones, los vectores de un espacio de n dimensiones son útiles para representar y manejar información de manera eficiente.
1.3 Operaciones con vectores
A continuación se presentan las operaciones con vectores.
Desplazamiento paralelo
En algunos casos, un vector dado se puede desplazar desde su punto de aplicación, conservando, por supuesto, su magnitud, dirección y sentido. Es un vector libre. La operación correspondiente al desplazamiento de un vector libre se denomina desplazamiento paralelo.
■
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■
❚
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�
Figura 1.�
Desplazamiento paralelo.
Proyección
Se puede proyectar un vector sobre un eje arbitrario.
Figura 1.�
Multiplicación por escalares
Un vector se puede multiplicar (y por tanto dividir) por un escalar, y su resultado es un vector con la misma dirección, pero con diferente magnitud; dependiendo del signo del escalar será el sentido del vector.
Figura 1.4
Asociado con cada vector vn
, se puede construir el vector unitario vn
= vn
||vn
||, y es evidente que ||v
n
|| = 1.
❚
❚
AlertaLa magnitud de un vector unitario es uno.
4
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 1sistema cartesiano
Para ubicar puntos en el plano cartesiano, utilizamos un sistema de referencia al que llamamos sistema de coordenadas cartesianas.
Para ello trazamos rectas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical, a las que llamaremos ejes coordenados. Al eje horizontal se conoce como el eje de abscisas (eje de las x) y al eje vertical, eje de ordenadas (eje de las y).
El punto en el que se cortan los ejes lo llamamos origen de coordenadas y se le asigna, como a todo origen, el número cero para ambos ejes.
Para indicar la posición de un punto en el plano cartesiano utilizamos sus coordenadas cartesianas, que constan de un par de números reales, escritos entre paréntesis al que llamaremos par ordenado (a, b); a la componente x del punto P se le llama a, y a la componente y se le llama b. El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) se denota por R2.
Los puntos en el espacio se pueden representar de manera análoga mediante ternas ordenadas de números reales. Estas ternas representan un punto en el espacio tridimensional del sistema carte-siano, el conjunto de todas las ternas ordenadas (x, y, z) se denota por R3.
En el sistema de referencia cartesiano tridimensional, los vectores unitarios en los ejes x, y, z son los vectores unitarios i , j , k.
suma vectorial
El método gráfico utilizado para el cálculo de la suma de dos vectores An
y Bn
es la regla del paralelogramo. La suma se puede calcular utilizando la siguiente relación:
Sn
= |Sn
| = |An
+ Bn
| = A B AB A B AB2 2 2 22 2+ − = + +cos cosδ θ
(θ representa el ángulo entre los vectore An
y Bn
). Esta fórmula se conoce como la ley de los cosenos.
Una regla que permite calcular An
+ Bn
consiste en desplazar en forma pa-ralela los dos vectores, de manera que la punta de un vector coincida con el origen del otro. En la suma de vectoriales, el vector que va del origen del primer vector al extremo del segundo vector.
Propiedades de la suma de vectores
La suma de vectores es una operación conmutativa: An
+ Bn
= Bn
+ An
.
Para los ángulos del triángulo formado por los vectores An
, Bn
y An
+ Bn
es válida la ley de los senos.
S A B
sen sen senδ α β= =
Figura 1.6
❚
❚
❚
■
■
Figura 1.5
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5
Casos particulares
1. Vectores con misma dirección y mismo sentido.
Figura 1.7
θ = 0º, ⇒ cos θ = 1 ⇒ S = |Sn
| = |un
+ vn
| = u v uv u v u v2 2 22+ + = + = +( )
2. Vectores con misma dirección, pero sentido contrario.
Figura 1.8
θ = 180º, ⇒ cos θ = -1 ⇒ S = |Sn
| = |un
+ vn
| = u v uv u v u v2 2 22+ − = − = −( )
3. Vectores perpendiculares.
Figura 1.9
θ = 90º, ⇒ cos θ = 0 ⇒ S = |Sn
| = |un
+ vn
| = u v2 2+
6
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 1analíticamente (en función de las componentes cartesianas)
El vector suma es un vector cuyas componentes son la suma de las componentes.
un
= uxi + uy j + uzk
vn
= vxi + vy j + vzk
Sn
= un
+ vn
= (ux + vx )i + (uy + vy ) j + (uz + vz )k
❚
La suma vectorial es
Sn
= An
+ Bn
= (2 + 4)i + (-3 + 2) j + (1 + 5)k = 6i - j + 6k
Solución
Problema resuelto
Sumar los vectores dados An
= 2i - 3j + k y Bn
= 4i + 2 j + 5k
La diferencia de vectores es un caso particular de la suma. Para restar dos vectores, se suma al minuen-do el opuesto (misma magnitud, misma dirección, pero sentido contrario) del sustraendo.
Figura 1.10
Casos de la diferencia entre vectores.
El vector diferencia vn
- un
es un vector que tiene como origen el extremo de un
(sustraendo) y, como extremo, el extremo de v
n
(minuendo).
En función de las componentes cartesianas: el vector diferencia es un vector cuyas componentes son la diferencia de las componentes.
un
= uxi + uy j + uzk
vn
= vxi + vy j + vzk
Rn
= vn
- un
= (vx - ux )i + (vy - uy ) j + (vz - uz )k
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7
Producto de un escalar
El producto de un escalar, q, por un vector un
, es otro vector que tiene:
Magnitud: el producto de |q | por la magnitud del vector un
.
Dirección: la misma dirección de un
.
Sentido: el de un
si q es positivo, y sentido contrario a un
si q es negativo.
En componentes cartesianas se tiene:
qun
= quxi + quy j + quzk
❚
■
■
■
La diferencia vectorial An
- Bn
es
Rn
= An
- Bn
= (2 - 4)i + (-3 - 2) j + (1 - 5)k = -2i - 5 j - 4k
Solución
Problema resuelto
Determinar la diferencia de los siguientes vectores.
An
= 2i - 3j + k y Bn
= 4i + 2 j + 5k.
3An
= 3(2i ) - 3(3j ) + 3k = 6i - 9 j + 3k
An
2 =
2
2 i -
3
2 j +
1
2 k = i - 1.5 j + .5k
Solución
Problema resuelto
Sea An
= 2i - 3j + k, encuentre 3An
, 1
2 An
= An
2
Producto punto, escalar o interno
El producto interno de dos vectores es un escalar (positivo o negativo) que se define como
An
⋅ Bn = AB cos θ
Propiedades:
El producto interno de vectores es conmutativo:
An
⋅ Bn = Bn
⋅ An
El producto interno de dos vectores perpendicular entre sí es cero.
La definición del producto interno implica que
i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = (1)(1) cos 0° = 1 y i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = (1)(1) cos 90° = 0
En función de las componentes cartesianas:
An
= Axi + Ay j + Azk y Bn
= Bxi + By j + Bzk
❚
■
■
■
■
8
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 1Ya que
. i j k
i 1 0 0
j 0 1 0
k 0 0 1
Entonces,
An
⋅ Bn = AxBx + AyBy + AzBz
Se aplica la operación de producto punto, y se tiene
An
⋅ Bn = (2)(4) + (-3)(2) + (1)(5) = 8 - 6 + 5 = 7
Solución
Problema resuelto
Dados los vectores An
= 2i - 3j + k y Bn
= 4i + 2 j + 5k, calcular el producto punto.
Calculamos An
⋅ Bn y la magnitud de An
y la magnitud Bn
.
An
⋅ Bn = (2i - 3j + k) ⋅ (4i + 2 j + 5k ) = (2)(4) + (-3)(2) + (1)(5) = 7
||An
|| = 2 3 1 142 2 2+ - + =( ) ( )
||Bn
|| = 4 2 5 452 2 2+ + =
Pero
An
⋅ Bn = ||An
|| ||Bn
|| cos θ ⇒ θ = cos-1
An
⋅ Bn
||An
|| ||Bn
||
Entonces el ángulo entre los vectores An
y Bn
es
θ = cos-1
An
⋅ Bn
||An
|| ||Bn
||
= cos-1
7
14 45
= cos-1(0.2788) = 73.8
Solución
Problema resuelto
Dados los vectores An
= 2i - 3j + k y Bn
= 4i + 2 j + 5k, encuentre el ángulo entre los vectores.
Producto vectorial, cruz o externo
El producto externo de dos vectores se define como un vector
An
× Bn
= AB sen θ u
Donde u es un vector unitario, cuya dirección es perpendicular a An
y a Bn
que se puede determinar por cualquiera de las siguientes reglas.
❚
AlertaEl producto interno de dos vectores perpendiculares es cero.
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9
El sentido de u corresponde a la dirección de avance de un sacacorchos cuando se gira de An
a Bn
.
Figura 1.11
O con la regla de la mano derecha: se colocan los dedos de la mano derecha en el sentido del vector An
y se giran hacia el segundo vector Bn
; el pulgar extendido da el sentido del vector u.
Figura 1.1�
Regla de la mano derecha.
Propiedades.
El producto externo de dos vectores es anticonmutativo: An
× Bn
= -Bn
× An
.
El producto externo de dos vectores orientados en la misma dirección es igual a cero.
An
× Bn
= An
× nAn
= (A)(nA) sen 0° u = 0
La magnitud del producto externo de dos vectores es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores.
Figura 1.1�
||An
× Bn
|| = AB sen θ = área del paralelogramo
■
■
■
10
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 1Con las definiciones de producto interno y de producto externo se puede demostrar que
An
⋅ (An × Bn
) = Bn
⋅ (An × Bn
) = 0
Con la definición de producto externo se puede demostrar que
i × j = (1)(1) sen 90º k = k j × i = (1)(1) sen 90º (-k) = -k i × i = (1)(1) sen 0º u = 0
j × k = (1)(1) sen 90º i = i k × j = (1)(1) sen 90º (-i ) = -i j × j = (1)(1) sen 0º u = 0
k × i = (1)(1) sen 90º j = j i × k = (1)(1) sen 90º (-j ) = -j k × k = (1)(1) sen 0º u = 0
An
× Bn
= (AyBz - AzBy ) i
+ (AzBx - AxBz ) j
+ (AxBy - AyBx ) k
3 i j k
i 0 k j
j k 0 i
k j i 0
Expresión que se corresponde con el desarrollo del determinante:
A B
i j k
A A A
B B B
iA A
B Bj
A A
B Bx y z
x y z
y z
y z
x z
x z
n n
× = = − +
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆkk
A A
B B
x y
x y
ˆ
■
■
A Bi j k
i j k in n
× =
-
=-
- +-
=ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ1 2 42 1 3
2 41 3
1 42 3
1 22 1
10 ++ -5 5j kˆ ˆ
Solución
Problema resuelto
Dados los vectores An
= (1, 2, 4) y Bn
= (2, -1, 3), determine el producto vectorial.
Alerta
El vector C A Bn n n
= × es perpendicular tanto a A
n
como a B
n
.
1.4 Coordenadas polares
Un vector Vn
se representa en coordenadas Vn
= (V, θ) cuando se especifica su magnitud V, y un ángulo θ que forma V
n
respecto a un eje de sistema de coordenadas (generalmente el eje x).
Figura 1.14
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11
sistema cartesiano en un plano
Un vector Vn
se encuentra representado en coordenadas cartesianas en el plano como Vn
= (Vx, Vy )
Cuando se tienen las proyecciones del vector sobre los ejes xy, y la magnitud del vector se puede calcular usando la expresión:
| Vn
| = Vx2 + Vy
2√
Utilizando los vectores unitarios de los dos ejes i y j se puede escribir también como
Vn
= Vx i + Vy j
Los coeficientes Vx y Vy se llaman las componentes del vector Vn
.
Figura 1.15
Propiedades:
El producto interno de dos vectores An
y Bn
, representados en un plano en coordenadas carte-sianas, A
n
= Axi + Ay j y Bn
= Bxi + By j está dado por
An
⋅ Bn = AxBx + AyBy
Para pasar de una representación polar a una representación cartesiana en el plano (y viceversa) se pueden utilizar las siguientes relaciones.
Figura 1.16
❚
■
■
1�
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 1De la figura:
cos cos
tan
θ θ
θ θ
θ
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒
V
VV V
V
VV V
V
V
xx
y
y
y
x
sen sen
θθ =
−tan 1V
V
y
x
Y por el teorema de Pitágoras
V V Vx y= +2 2
AlertaDe coordenadas cartesianas a polares se utilizan las ecuaciones:
V V Vx y= +2 2 ,
θ =
−tan 1
V
Vy
x
De coordenadas polares a cartesianas se utilizan las siguientes ecuaciones
Vx = V cos θ, Vy = V sen θ
Primero se obtiene θ
θπ
π π=- = -
-tan , ,1 1
1 4
7
4
15
4 y r = + - =( ) ( )1 1 22 2
La representación polar es
24
, -
π, 2
7
4,
π
, 215
4,
π
.
Solución
Problema resuelto
Represente el punto con coordenadas cartesianas (1, -1) en coordenadas polares.
Los vectores unitarios de las coordenadas er y eθ son perpendiculares entre sí, y se definen como:
er = cos θ i + sen θ j
eθ = -sen θ i + cos θ j
Figura 1.17
Un vector perpendicular tanto a er como a eθ está dado por el producto vectorial er × eθ.
er × eθ =
i j k
k
ˆ ˆ ˆˆcos cosθ θ
θ θ
θ θsen
sen cos
sen0
0
2 2
1−
= +=
= k
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1�
1.5 Representación cartesiana en el espacio
Un vector An
= Axi + Ay j + Azk se encuentra representado en coordenadas cartesianas en el espacio como A
n
= (Ax , Ay , Az ).
Figura 1.18
Entonces el vector An
se puede escribir como An
= Axi + Ay j + Azk.
La magnitud del vector está dada por:
A A Axy z= +2 2
y
A A Axy x y= +2 2
Figura 1.19
Cuando se tienen las proyecciones del vector sobre los ejes x, y, z, la magnitud del vector se puede calcular usando la expresión:
A A A Ax y z
n
= + +2 2 2
14
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 1Por otra parte, si llamamos α, β y γ a los ángulos que forma el vector con el sentido positivo de los ejes coordenados x, y y z, respectivamente, las componentes del vector se pueden ver como las proyeccio-nes de la magnitud del vector sobre los ejes.
Figura 1.�0
en donde
cos cos
cos cos
cos
α α
β β
γ
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
A
AA A
A
AA A
A
AA A
xx
y
y
zz ccos γ
Los ángulos α, β y γ se llaman ángulos directores y los cosenos: cos α, cos β y cos γ se llaman cosenos directores. Un vector unitario se puede expresar en función de los cosenos directores como:
A A i A j A k A i A j A k
AA
A
x y z
n
n
= + + = + +
=
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ
cos cos cosα β γ
== + +cos cos cosˆ ˆ ˆα β γi j k
Debido a que la magnitud del vector unitario es igual a 1, se tiene que:
1 12 2 2 2 2 2= + + ⇒ + + =cos cos cos cos cos cosα β γ α β γ
AlertaLas componentes rectangulares en términos de la magnitud del vector y de los cosenos directores están dadas por:
A A A AA A
x y
z
= ==
cos , cos ,cos
α β
γ
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15
1.6 Ecuaciones de la recta en el plano
ecuación vectorial de la recta
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada v
n
. P (x1, y1) es un punto de la recta r, el vector PXOn
tiene la misma dirección que vn
, entonces es igual a v
n
multiplicado por un escalar:
PX kvOn n
= con k∈ R
PX OX OP kvOn On On n
= − = ⇒ (x, y ) = (x1, y1) + k(v1, v2)r
❚
Su magnitud
an
= + =5 6 7 812 2 .
El ángulo que forma el vector an
con el eje x es:
θ ==-tan .1 6
550 19o
Y respecto al eje de las y es 90° - 50.19° = 39.80°.
Calculemos los cosenos directores:
cos.
. .
cos.
.
α α
β
= = = ⇒ =
= = =
A
A
A
A
x
y
5
7 810 6402 50 19
6
7 810
o
77682 39 80
0
7 810 0
⇒ =
= = = ⇒ =
β
γ γ
.
cos.
o
oA
Az
Solución
Problema resuelto
Determine la magnitud del vector an
(5, 6) y el ángulo que forma con el eje de las x y con el eje de las y, y los cosenos y ángulos directores de este vector.
Figura 1.�1
AlertaLa ecuación vectorial de una recta está dada por rn
= rn
0 + kvn
, donde rn
es el punto genérico de la recta y r
n
0 es un punto de la recta y vn el vector de dirección.
16
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 1
La ecuación de la recta está dada por:
(x, y) = (x1, y1) + k(v1, v2)
Entonces,
(x, y) = (-1, 3) + k(2, 5)
Solución
Problema resuelto
Una recta pasa por el punto A (-1, 3) y tiene un vector director vn
= (2, 5). Escribir su ecuación vectorial.
ecuaciones paramétricas de la recta
A partir de la ecuación vectorial: (x, y) = (x1, y1) + k(v1, v2), realizando las operaciones indicadas se ob-tiene:
(x, y) = (x1 + kv1, y1 + kv2)
De esta ecuación vectorial se tienen dos ecuaciones escalares:
x = x1 + kv1, y = y1 + kv2
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas.
❚
Usando la ecuación x x
v
y y
v
-=-1
1
1
2
, tenemos
x y+=-1
2
3
5
Solución
Problema resuelto
Una recta pasa por el punto A (-1, 3) y tiene un vector director vn
= (2, 5). Escribir su ecuación continua.
A continuación se escriben las ecuaciones paramétricas.
x = -1 + 2k, y = 3 + 5k
Solución
Problema resuelto
Una recta pasa por el punto A (-1, 3) y tiene un vector director vn
= (2, 5). Escribir sus ecuaciones para-métricas.
ecuación continua de la recta
Si de las ecuaciones paramétricas x = x1 + kv1, y = y1 + kv2, despejamos el parámetro k.
De x = x1 + kv1, ⇒ kx x
v=
− 1
1
y de y = y1 + kv2, ⇒ ky y
v=
− 1
2
, entonces x x
v
y y
v
−=
−1
1
1
2
❚
Grupo Editorial Patria©
17
ecuación punto-pendiente de la recta
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje x.
Figura 1.��
La pendiente de la recta es:
m = tan θ = v
v
y y
x x2
1
2 1
2 1
=−
−
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje x es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo. Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
Figura 1.��
Partiendo de la ecuación continua de la recta x x
v
y y
v
−=
−1
1
1
2
, y despejando a y, obtenemos
y y m x x− = −1 1( ) Forma punto pendiente
o
yv
vx y
x v
vmx b= + − = +2
11
1 2
1
Forma pendiente intersección
Con mv
v= 2
1
y b yx v
v= −1
1 2
1
❚
18
Vectores y geometría en el espacioUNIDAD 1
ecuación general de la recta
Partiendo de la ecuación continua de la recta x x
v
y y
v
−=
−1
1
1
2
:
( ) ( ) ( ) ( )x x v y y v xv v y x v y v− = − ⇒ + − + − + =1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 0
Haciendo A = v2, B = -v1, y C = -x1v2 + y1v1, obtenemos
Ax + By + C = 0
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta.
Las componentes del vector director son: vn
= (v1, v2) = (-B, A).
La pendiente de la recta es: mA
B=−
.
❚
Calculamos su pendiente my y
x x=
-
-=++=2 1
2 1
2 3
4 2
5
6
Usamos su forma punto pendiente: y - y1 = m(x - x1 )
y x+ = +35
62( )
Solución
Problema resuelto
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2, -3) y B (4, 2).
Calculamos su pendiente.
m = tan 45° = 1
Usamos su forma punto pendiente: y - y1 = m(x - x1 )
y + 3 = (x + 2)
Solución
Problema resuelto
Determine la ecuación de la recta que pasa por A (-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.
Usando la ecuación yv
vx y
x v
vmx b= + - = +2
11
1 2
1
, obtenemos
y x x= + --
= +5
23
1 5
2
5
2
11
2
( )
Solución
Problema resuelto
Una recta pasa por el punto A (-1, 3) y tiene un vector director vn
= (2, 5). Escribir su ecuación punto intersección.