Cálculo de efemérides y previsiones de pasos desatélites geodésicos.

por

R. Parra, y M. }. Sevilla

PRESENTADO POR EL ACADÉMICO NUMERARIO D. JOSÉ M.a TORROJAMENÉNDEZ

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Para proceder a la observación de un satélite artificial, la esta-ción de observación necesita conocer la posición aparente del satéliteen un cierto momento desde ese lugar, para poder dirigir hacia esaposición los instrumentos de observación. La forma en que se pre-sentan dichas direcciones dependerán del instrumento que se use yespecialmente del tipo de montura ; así, junto con el tiempo, paraun instrumento con montura ecuatorial se necesitará la ascensiónrecta y la declinación o mejor el ángulo horario y la declinación ; siel instrumento sigue al satélite se necesitará también la velocidad an-gular aparente y el ángulo de posición del vector velocidad.

En el caso concreto de nuestra estación, donde se utilizan cáma-ras con montura fija, lo que nos interesa son las coordenadas locales,acimut y distancia cenital junto con el tiempo, corrientemente expre-sado en tiempo universal. También son interesantes, aunque no ne-cesarias, informaciones adicionales sobre el satélite, tales como la-magnitud esperada, dirección del vector velocidad, etc.

Ahora bien, para determinar la dirección aparente de un satélite,-es necesario conocer su posición en un sistema de referencia terres-tre, precisamente el mismo sistema en que tengamos referida la es-tación de observación. Podemos, pues, expresar la posición del saté-lite en coordenadas cartesianas geocéntricas (x, y, z), o bien en

— 5°6 —

coordenadas geográficas (X, 9, H), es decir, longitud, latitud y alti-tud, respectivamente.

Se presentan, pues, dos problemas consecutivos a resolver. Poruna parte, determinar las posiciones del satélite en función del tiempo-—efemérides— a partir de los elementos orbitales, efemérides que-serán las mismas para todas las estaciones participantes en un pro-grama de geodesia espacial. Por otra, determinar la dirección apa-rente del satélite a partir de las efemérides antes mencionadas, direc-ción que lógicamente será diferente para cada estación de obser-vación.

2. CÁLCULO DE EFEMÉRIDES

Respecto al primer problema, los centros especializados proveende elementos orbitales medios deducidos de la observación para unaépoca T0, tales como

Q =. ascensión recta del nodo ascendente«> = argumento del perigeo« = inclinación de la órbita

e = excentricidad de la órbitaM r = anomalía media

junto con sus variaciones por unidad de tiempo. Así, la R. S. R. S.(Radio and Space Research Station), encargada del cálculo de efe-mérides para el programa WEST presenta los elementos :

RADIO AND SPACE RESEARCH STATIONElements used for geodetic predictions

Prediction number 03103

Satellite number 1966 — 56 A

Epoch, ascending- node time (day) 344.17811014

Revolution number 15943

Mean motion (dev/day) 7.98028732

Rate of change (rev/day^) 0.000091132

Eccentricity 0.0375079

Rate of change ( /day) —0.000007327T

R. A. of ascending node (deg) 37.1512

Rate of change (deg/day) —0.10978

Argument of perigee (deg) 2.8048

Rate of change (deg/day) —0.83259

Inclination (deg) 86.2987

- 507 —

De igual forma, la S. A. O. (Smitshonian Astrophisical Observa-tory) utiliza los elementos :

SATELLITE 6605601 1966 56 A PAGEOS 1 EPOCH 41309.000000 M J D*

Epoch = TO = 1971 December 24.000000 DT = T — TO DT2 = DT.DTArgument of perigee (deg) = 336.5328 — .83189 DTR. A. (Date) of node (deg) = 35.6388 — .10794 DTInclination (deg) = 86.3309Eccentricity = .047863 + .000220 DTSemi-major /axis (megameters) = 10.577316Mean anomaly (revs) = .33594 + 7.980683 DT + .0000133 DT2

Para una época T, no muy alejada de T0, pueden calcularse unos-nuevos elementos osculadores mediante las expresiones

Q = Q0•+ A Q (T — T0)« = «)„ + A o> (T — X0)e = ea + Ae(T-T 0 ) (2.1).

M = Mo + Ml (T - T0) + M2 (T - TO)»,

donde M1 corresponde al movimiento medio anonialístico, y M,2 a la.mitad del incremento de dicho movimiento medio. Se observa quepara satélites con fines geodésicos sólo se utilizan términos secularesde la teoria de perturbaciones para los elementos U, o>, M, agregan-do, para que las efemérides tengan un mayor período de validez, un:término secular a la excentricidad y un término cuadrático a la ano-malía media a fin de amortiguar el frotamiento atmosférico. En:nuestro cálculo supondremos que durante una revolución completa delsatélite la órbita es kepleriana y sólo corregiremos los elementos or-bitales al pasar de una a la siguiente revolución.

Sean para ello (xv, yv, sv) las coordenadas cartesianas del satélite-en un instante T respecto de un sistema de referencia definido en laórbita con origen O en el foco de la misma, eje O X^ coincidente-con su eje mayor y positivo en la dirección del perigeo, eje O YB

normal al anterior y positivo en la dirección de las anomalías cre-cientes, y eje O Z„ normal al plano de la órbita y formando triedro«directo con los anteriores. Si es v la anomalía verdadera en ese ins-tante y rv el radio vector del satélite •—distancia geocéntrica— es

xv = rv cos v

yv = rv sen v (2.2}>

*„ = 0.

— 5»8 —

Sea (O, X, Y, Z) un sistema de referencia ecuatorial geocéntrico«definido por el ecuador y equinoccio medio de la fecha. Para determi-nar las expresiones que conducen al cálculo de las coordenadas ecua-toriales geocéntricas del satélite, pasaremos del sistema (O, Xtt, YU(

.Zp) al sistema (O, X, Y, Z) mediante las rotaciones sucesivas:

1. Rotación alrededor del eje O Z0 de ángulo (— w) para llevar•el eje O.X» a la línea de los nodos.

2. Rotación alrededor de O ü —posición del eje O X„ tras la-primera rotación— de ángulo (—i).

3. Rotación alrededor de O Zv de ángulo (— u).

?!-,

/ x

La matriz de transformación de un sistema en otro, usando lamotación acostumbrada, es

(2.3)

— 5Ò9 -

donde como se sabe

P = cos O cos m — sen 0 sen c» cos i

Py = sen O cos co + cos £2 sen « cos t

Pz = sen M sen i

Qx — — cos fi sen co — sen O cos w cos i

Qy = — sen fi sen w + cos fi cos w cos i (2.4)

Qz = cos w sen i

R^ = sen Cl sen i

RJ, = — cos fi sen i

R, = cos i.

Si {x, y, A) son las coordenadas cartesianas ecuatoriales geocén-"tricas dei satélite, se verifica que

* = x» p.r + y v Qxy = *„ P, + y. Q, . (2.5)* = *, Pz + y, Q,,

<o bien desarrollando

.r = r [cos fi cos (v + <o) — sen fi sen (v + u>) cos i]

y = r^ [sen fi cos (j; + eu) + cos fi sen (v + w) cos i] (2.6)

s = r^ sen (v + w) sen i.

3. SELECCIÓN DEL SUBPUNTO

Todo el cálculo de efemérides vá dirigido a la obtención de Iascoordenadas geográficas (A, 9, H) de la proyección sobre la Tierrade uno o varios puntos de Ia órbita dei satélite —subpuntos—. Suselección viene condicionada por las características de la red geodé-sica proyectada y por las del satélite utilizado.

En un programa de triangulación espacial, que se basa en la ob-•servación simultánea de un satélite desde varias estaciones, interesaseleccionar un punto de la órbita del satélite que sea visible desdeel mayor número posible de estaciones de la red con una distancia-cenital menor de 70°. Para ello se construye una cuadrícula de me-ridianos y paralelos de forma que todas las estaciones de la. red que-den incluidas dentro de dicha cuadrícula. En el programa WEST, se

— Sió -

tomó la cuadrícula formada por los paralelos 30'° N y 78° N y los?meridianos 24° E y 42° W. Para el cálculo serán eliminados aque-cos subpuntos cuya latitud y longitud no estén comprendidas en es-tos rangos de la cuadrícula.

De la tercera relación de (2.6), siendo 8 la declinación del satélite,,se sigue

sen S = sen (v + u>) sen i, (3-1)

Haciendo la simplificación de esfericidad de la Tierra y aproxi-mando c = 5

sen tp = sen (v + o>) sen í (3.2) •

y despejando la anomalía verdadera

sen cptv, = arc sen — w, (3.3).

sen i

donde el índice i corresponde a cada uno de los paralelos ?! y 92.Es inmediato, conocido el paso por el perigeo, el determinar los-

instantes de paso del satélite por ambos paralelos mediate las rela-ciones

E. — e sen E.T U, = Tp + (3.4).

donde T¡, es el instante de paso por el perigeo de la órbita, n el mo-vimiento medio anomalístico y E¡ anomalías excéntricas correspon-dientes a las vt.

Respecto de las características del satélite, en el programa WEST'se han usado fundamentalmente satélites pasivos que sólo son visi-bles cuando reflejan la luz solar. Por ello, en el cálculo de efeméri-des habrán de desecharse aquellos puntos de la órbita situados en el'interior del cono de penumbra originado por la Tierra al interponer-se entre el Sol y el satélite. Con este fin, determinaremos los ins-tantes de entrada y salida del cono de penumbra mediante el cálculo»de las anomalías verdaderas del satélite en esos instantes.

Sean (as, 8S) las coordenadas ecuatoriales del Sol referidas al equi-

— su -

moccio medio y ecuador de la fecha. Si n es el radio vector del Sol,.sus coordenadas ecuatoriales rectangulares son :

xs = r$ eos 8S eos as = rs eos As

ys = rs eos Ss sen as = rs (eos A, eos e —19,29 ßs" IO-7)

s, = r, sen 8S = rs (sen \s sen e + 44,48 ßs" IO-7),

(3.5)

donde AS y fi, son la latitud y longitud eclípticas del Sol referidas al•equinoccio medio de la fecha, y £ la oblicuidad de la eclíptica.

Consideremos un sistema de referencia cartesiano con origen Oen el centro de la Tierra (O, U, V, W), eje O W en la dirección del.Sol y positivo" hacia éste, el eje O U en la intersección del planodel ecuador con el plano que pasa por O y es perpendicular a la di-lección del Sol y el eje O V perpendicular al anterior y formando-.un ángulo agudo con la dirección del polo norte celeste.

«

Para referir la posición del satélite a este nuevo sistema de coor-denadas realizaremos sucesivamente dos rotaciones, una alrededor del«je O Z de magnitud (it/2 + o-.,), y otra alrededor del eje O X de

5'2 -

.magnitud (^/2 — 8S). Las coordenadas del satélite en este nuevo sis-tema vendrán dadas por

T /i. J = M \y

\V>¡ \ K .

donde la matriz de transformación M tiene la forma

(3.«>

- sen as cosas O

• sen §s eos as — sen Ss sen as eos 8,

eos 8, eos dr eos 8. sen oc, sen n.

(8.7>

Sea en la figura, S el punto en que la órbita del satélite corta al-eono de penumbra, C S la coordenada w del satélite, O S el radio*vector y O N el radio ecuatorial de la Tierra supuesta esférica.

_--% t* tjcncrarri

e»

En este punto S se verifica que

w-2 - r 2 _ Q C2 = r" I 1 \'— — + w tag P\ cos P /

(3.8)»

siendo P el ángulo de penumbra dado por

o + asen P = * e

(3.9)5

— S'3 —

con as y ae radios ecuatoriales del Sol y de la Tierra respectivamen-te, tomando como unidad la distancia media Sol-Tierra.

Resolviendo en w

w = ± tjrj — l cos P — sen P, (3.10>

condición que ha de verificar la tercera coordenada w del satélite-para que entre o salga del cono de penumbra.

Ahora bien, de (3.6) y (3.7) se sigue que

w = x cos 3j cos cts + y eos Ks sen as + z sen <SS

y en función de las coordenadas rectangulares del Sol

(3.11>

y sustituyendo las expresiones de -x, y, s, dadas en (2.5), se tiene

w = *„ F + yv G, (3.12>.

donde para simplificar la notación llamamos

P, *, + P, y s + F. *,rs (3.13>

Qr*s + Q,ys + Q,ssG = —

Sustituyendo en (3.12) los valores de xv e ya dados en (2.2) e-igualando a (3.10), tendremos que

rv F cos v + rv G sen v = y/ r^ — l cos P — sen P, (3.14>-

y como rv = />/(! + e cos v) con p = a (l — ez), e la excentricidad.

REV. DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS.—1973. s*-

— 5'4 -

-y. a el semieje mayor de la órbita, al elevar dos veces al cuadrado,sustituir y resolver en la anomalía verdadera v, obtendremos una

• cuártica del tipo

AO cos4 v + AI cos3 v + A2 cos2 v + A3 cos v + A^ = O, (3.15)

<<londe

<?4 i?2 / 2 F e \ 2\ = — 2 —

0 ¿4 #2

/ 2 i• * \ ;- (G2 — F2) + (G2 + FU) + I sen P J

F i>i 4 / 1 ,— 4 (G2 — F2) sen p + I sen P + 2 F I

. P . P \ P 1sen P

e* e 4 F / 2 F e 3 e2 \A = 4 „— — 4 (G2 — F2"» + / sen P -H G2 + FS + 1 sen P +

1 p* p* ' P \ P f2 )

8 G2

i sen2 P (3.16)1 t<>

e2 2 2 <?2

. A, = 6 (G2 — F2) — (1 — G2) + 2 (G2 — F2) (1 — G2) —p* />2 p2

2 4 F r F + sen P— 4 G2 F2 H O2 (F2 — G2) + ?2] sen2 P + sen P +

P'2 P l P

S c T+ + G2 (e — 2) — e\ sen P

*2 J

e e F G2

..A = 4 — 4 . (1 _ G2) + 12 sen P +3 ¿4 ¿2 ¿

4 F / 1 \ _ 4 ( g + 2G 2) _2 p4 F / 1 \, i + sen2 P s«n p +

P \P- '

-A = — (1 — G2) + sen* P + (1 + 2 G2) — 2 (1 — G2) ser.2 P.4 [P* J U2 J

Vemos en cada uno de estos coeficientes unos términos que no•»dependen de sen P, términos que se obtendrían con un cilindro de.sombra en lugar de un cono de penumbra.

— S ' S -

Obtendremos de esta cuártica cuatro soluciones, dos que corres-ponden a la entrada y salida del cono de penumbra y otras dos quecorresponden a la intersección de la órbita del satélite con dicho conode penumbra, pero del mismo lado del Sol, soluciones que desecha-remos, ya que en esos instantes el Sol estará por encima del hori-zonte de las estaciones de observación. Automáticamente pueden eli-minarse estas dos soluciones sin más que imponer la condición a todasellas de que el ángulo formado por el radio vector del satélite y ladirección del Sol sea mayor que un recto, condición que se traduceen que it> < O y por lo tanto

F cos v + G sen v < 0. (3.17)

Obtenidas las anomalías verdaderas de entrada y salida de som-bra, por relaciones análogas a las dadas en (3.4) determinaremos losinstantes correspondientes T S¡ en tiempo universal.

Supuesto que T U1 <C T U2 y que T Sj <C T S2, en general pue-den presentarse los siguientes casos :

1. T Si y T S2, son raíces imaginarias de la cuártica, lo que sig-nifica que el satélite no entra en sombra.

2. T U 2 <C T Sj, el satélite entra en sombra fuera de la cuadrícula.En ambos casos se procederá a calcular efemérides del satélite de

minuto en minuto desde T Uj a T U2.3. T Ui < T S, y T S, < T U2 <C T S2, el satélite entra en som-

bra dentro de la cuadrícula, pero no es visible el segundo corte conella. Calcularemos efemérides del satélite minuto a minuto desdeTU, a T Si.

4. T U, < T Sj y T S¡¡ < T U2, caso en el que el satélite entray sale de sombra dentro de la cuadrícula. Se considerarán para elcálculo los intervalos de tiempo de T Ua a T S, y de T S2 a T U2.

5. TU, = TS t y TU2 = T S2, el satélite entra y sale de lasombra cuando cruza los paralelos.

6. T S, < T U , y T U, < T S2, el satélite permanece en som-bra a su paso por la cuadrícula.

En ambos casos no se calcularán efemérides por no ser visible elsatélite.

7. T S, < T U, < T S, y T U, > T S2, el satélite no es visibleen su primer cruce con la cuadrícula, pero sale de la sombra dentrode ella. Se darán efemérides para el intervalo de tiempo de TS2

a TU,.

- 5'6 —

4. CALCULO DEL SUBPUNTO

Seleccionado el intervalo de tiempo durante el cual es visible .elsatélite desde las estaciones, nos proponemos calcular las coordena-das de los subpuntos del satélite de minuto en minuto durante eseintervalo de tiempo. Se reduce el cálculo a obtener las coordenadasde la proyección sobre la Tierra del satélite en un instante conocidoy reiterar el proceso para todo el intervalo.

Mediante las relaciones (2.1) para un instante T determinamos loselementos orbitales ~ ü , <o, e, i, M. La anomalía verdadera del saté-lite para ese instante T se calcula a partir de la anomalía media M.por mediación de la anomalía excéntrica E definida por

M = E — e sen E (4.1)

como

1 + e Ktag — =!/—— tag Y (4-2>. — =,}/ 1 + í

2 \/-ï~~>

y la distancia geocéntrica por

rv = a (1. — e cos E). (4.3).

.De las relaciones (2.6), considerando que (oc, S) son las coorde-nadas ecuatoriales del satélite, y que las coordenadas ecuatoriales-rectangulares geocéntricas del satétile vienen dadas por las expre-siones

x = rv eos 8 cos a

y = rv eos 8 sen a (4.4)'

s = r„ sen 8

se deduce que

y tag O + tag (v + w) COS i

tag a = = (4.5>x 1 — tag Ü tag (y + «>} cos i

Si tomamos una variable intermedia Y tal que

tag y = tag (v + w) cos i

— 517 —

resulta

tag a = tag (iì + y),

con lo que

a = O + arc tag [cos i tag (v + w)]

y en definitiva la longitud vendría dada por

As = Q — fi + arc tag [cos i tag (u + o>)],

siendo 6 la hora sidérea aparente en Greenwich.Análogamente,

s = rv sen 8 = ry sen (z.1 + o>) sen i,

de donde se deduce que

sen & = sen (v + w) sen i.

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.8)

Consideremos en una primera aproximación que el aplanamiento/ de la Tierra es nulo, entonces S = <ps latitud geográfica.

Llamemos A <p, = 8 — cs en una segunda aproximación.

vviWfi

..•*

En el triángulo O S SI; S Sx es la altitud H del satélite según lanormal al elipsoide'; el ángulo con vértice en S es (it — 9% + <?S)P

- 5'8 -

siendo o's la latitud geodésica ligada con la geográfica por la re-lación

cp's = arc tag __ tag 9i. (4.9)

En dicho triángulo se verifica

V = r/ + H2 + 2 rc H cos (ç', - <ps), (4.10)

donde »"„ es la distancia geocéntrica del subpunto S lg De esta rela-ción se deduce

H = Jrj — r/ sen* (<p's — <ps) - rc cos (9's - 9j). (4.11)

Como es sabido, la distancia geocèntrica del subpunto puede calcu-larse en función del aplanamiento, de la latitud geogràfica y del ra-dio ecuatorial de la Tierra, por la expresión

R[i-(2/- /2)] i /ü(4.12)

[l-(2/-/2)cos29 s]i/2

con R radio ecuatorial de la Tierra expresado en las mismas unida-des que el semieje mayor de la órbita.

En el mismo triángulo,

H r„ ;(4-13)

sen (8.— <ps) sen (<p's — <ps)

con lo que

Hsen A 9S = sen (tp's — <ps) = sen (<p's — <ps). (4.14)

rv

Obtenida esta diferencia A cs hacemos 9» = 8 — A íps y reiteramosel proceso hasta conseguir que A 9/ sea lo suficientemente pequeña.

Ahora bien, a estos elementos orbitales dados en las tablas, ade-

— 519 —

más de las correcciones anteriormente mencionadas en (2.1) se lehan de introducir otras calculadas por observaciones y por mediode la teoría de perturbaciones a fin de mantener constantemente con-trol sobre el satéilte en órbita.

Calculadas las coordenadas (A, cp, H) de las proyecciones del saté-lite sobre la Tierra, el seleccionar de entre ellas la más convenientees un problema propio de las dimensiones de la red geodésica. Siéstas son pequeñas, puede seleccionarse aquel subpunto cuya direc-ción geocéntrica forme un ángulo mínimo con la dirección geocén-trica del centro de gravedad de la red. En cambio, de ser muy am-plia esta red, se eligen subpuntos, dando en ciertas épocas prioridada aquellas zonas cuyas estaciones queremos reforzar.

El programa de cálculo automático EFEMSA, escrito en For-tran IV y cuyo listado se adjunta, calcula, a partir de los elementosorbitales proporcionados por la S. A. O. y usando las fórmulas an-teriormente expuestas, las coordenadas de los subpuntos minuto aminuto y selecciona aquel subpunto cuya dirección geocéntrica formaun ángulo mínimo con la dirección geocéntrica,de otro pun fo de lasuperficie de la Tierra.

Los resultados se escriben dando el año, el mes y el día, hora yminutos, así como las coordenadas latitud y longitud ,en grados ycentésimas de grado y la altitud del satélite en kilómetros.

— 52° —

iJOB 3 4 MRCI08 MSL B812005 E F E M É R I D E SSEXECUTE IBJOB

IBJOB VERSION 5 HAS CONTROL.$IBJOB»IBFTC EFEMSA

10/16/73"FEMSA - EFN - SENTENCIA FUENTE - IFN(S) -

DIMENSION F I < 2 ) , T P P ( 2 ) , T P G ( 2 ) , A ( 5 > , B ( 5 ) , C ( 5 ) , X ( 1 0 ) , Y ( 1 0 ) , D ( 1 0 , 1 0 ) ,* S L O ( 1 0 ) , S L A ( 1 0 ) , R V t l O ) , O J S ( 1 0 ) , D T N ( 2 ) , C A V P t 8 0 ) , N F ( 5 , 8 0 ) , N S ( 5 , 8 0 )

COMPLEX V1,V2,V3,V4,TR1,TR2LOGICAL L1,L2,L3,L4OERA=G.017453292RADE=57.2957795SLEO=SIN(50.*OERA)CLEO=COS(50 . *DERA)EOLO=-10.*UERAIS=0DO 299 L = l i l OREAD!5 ,60 )NAS,MS,MDIS ,SDJ ,SLG,SLM,SLS,SLAS iRVS

60 FORMAT(3I2,F9.1,FA.O,F3.0,2F5.2,F9.7)IF (MAS.EO.O) GO TO 24S L O ( L ) = < S L G + S L M / 6 G . + S L S / 3 6 0 0 . ) * D E R AS L A ( L ) = S L A SR V ( L ) = R V S

299 OJSIL )=SOJ-24't l000.524 R E A O ( 5 , 5 0 ) E N A T , A P , A R N A , O I , E , S M E O t A N O M , A M M50 FORMAT!F10.6,3F8.4,F9.6,F10.6,F8.5tF9.6)

READ! 5, 5 U C A P O , C A R N A , C E , C M M51 F D R M A T ( 2 F 8 . 5 , 2 F 1 0 . 7 )

R E A O ( 5 , 5 4 ) N U A , M E S , N D I A , I N , J , K , Â N L , A N O54 F O R M A T ( 4 I 2 , 2 I 3 , 2 F 7 . . . 3 )

R E A D I 5 . 5 2 ) I C E52 FORMATI 13)' fJA=NUA

OBL1=123.442917*ANO/3600.)*DERASMEO=SMf:0/6.37816ANIN=OI*OERASIM=SIN(ANIN)C I N = C O S ( A N I N )CALL RAIZ(CMM,AHM,ANOH,TR1,TR2)TP=cNAT*REAL(TR2')T0=0.DO 500 1 = 1 , 5T=FLOAT(J) /AMMAMM=AHM<-CMM*(T-TO)*2.

500 TO¿T530 'TP=TP*T

T A N É = I F I X ( E N A T )IDA^IFIXITP-TANE+FLOATÎNDIA))MEX=MESNI = lARNAsARNA+CARNA*!ARN=ARNA*OERAAP=AP+CAPO*TAGP=AP*DERAE=E+CE*TPOR=1. / (SMEO*(1. -E**21)FM=1. -1 .5*(SIM**2)CPK=0.001624*5QRT(1 . -E**2)*FM*(POR**2)A M M = A M H t C M M * T * 2 .AMJ=AHM*360.*OERASMED=SM£r ' . -CPK)

- 521 -

Ce INTRODUCCIÓN DE LIMITESC

FU 11=30.F I < 2 > = 7 8 .DO 800 IL=1,2AIF=-1.DO 501 1=1,2FIR=FI(I)*DERAVÌ I=SI^ (F IR) /S IMVMW = ARSIN(VIUIF(IL.GT.l) VMW=3.14159265 - VMWANVF=VMW-AGPIF tAGP.GT.FIR) ANVF=ANVF+6.28318531

501 TPG(n=TP tT IEMPQ<ANVF,E ,AMJ>TPL1 = AMINUTPG!1) ,TPG<2MT P L 2 = A M A X U T P G U ) , T P G < 2 ) )Z W = I F I X ( T P L 1 >Z1W=TPL2-ZWIFIZ1W.GT.0.3.ANÜ.Z1W.LT.0.7) GO TO 800TPL = (TPLH-TPL2)/2.IF(IL.GT.l) GO TO 506

CC CALCULO DEL INTERVALO DE SOMBRAC

SARM=SIN(ARN)CARM=COSIARN)SAGP=SIN(AGP)CAGf>=COS(AGP! ,PX=CAGP*CARN-SAGP*SARN*C!NPY=CAGP*SARN+SAr,P*CARN*CINPZ=SIM*SAGPQX=-(SAGP*CARN+CAGP*SARN*CIN)QY=CAGP*CARN*CIN-SAGP*SARNQZ = SIM*CAGPCALL nTER(SLO,OJS iTPL ,NCS iD ,ALOS) >CALL I N T E R ( S L A , n j S i T P L , N C S , D , A L A S )CALL INTER(RV,DJS,TPL,NCS,D,RVD)X5=RVD*COS(ALnS)Y S = R V D * ( S I N ! A L Ò S ) * C O S ( O B L I ) - 19.29E-7*ALAS)Z S = R V D * ( S I N < A L O S ) * S I N ( O B L I ) + 4 4 . 4 8 E - 7 * A L A S )B E T O = ( X S * P X + Y S * P Y + Z S * P Z ) / R V OC - X O = ( X S * Q X < - Y S * Q Y < - Z S * Q Z ) / R V D8ETA=BETU**2exi=pxo**2B0=''XI-BETAß'I = (POR*E)**2PE,M=0.00*6135712/RVDC( l ) = BI*(BI-2.*BO<- í f .*BETA*(í 'EN**2) ) -4.»POR*PEN*( BETO*E-*BOtPORtPEN*

*2.*ßETD)C ( 2 ) = 4 . * (PUR**2)*E*(BI -BO)+* . *RETO*POR*(2.*8ETO*E*POR<-PEm-PXH-BETA

**3.*BI)*PEN+8.*(PXO*POR*PEN)**2C(3)=2.*BI* (3 . * (PQR**2) -1 .+PXI )+2.*BO*<1. -PXI -POR**2) -4 . *BETA*PXI»

*2.*(BI-BQI*PcN**2<- ' t . *BETO*POR*( ( BETOtPEN) *POR*PENf-3. *E*POR**2<-PXI** ( E - 2 . ) - E ) * P E M

C(4)='f.*E*(POR**2)*( (POR**2)-1.+PXI)+4.*BETO*POR*PEN*(3.*PXH-POR**

- 522 —

*2-l.+ PEN**2)- i -4.*((PnR*PF.N)**2ì*(E + 2.*PXnCI5 )= { (POR**2 ) - I 1 . -PX I ) )**2><PEN**2)*( (PEN**2)+2.*{POR**2)*<l.*2.*

*PXI)-2.*(1.-PX1)1CALL CUARTKC,VltV2,V3,V4)PIGIAREAL(BETO*V1+CSQRT(1 . -V1*V1) *PXO)F1G3=R£AL(BETO*V3+CSQRT(1 . -V3*V3>*PXO)IF( AIMG(V1) .EQ.O. .ANO.F1GI.LT.O.) GO TO 111I F ( A I M A G < V 3 ) . E Q . O . . A N O . F I G 3 . L T . O . ) GO TO 112GO TO 113

111 ASV1=REAL[ ( -CSQRTU. - ( (1 . *E*V1 I *POR)* *2 ) -BETO*V Í ) /PXOIASV2=REALI<-CSQRT( l . - ( ( l .+E*V?)*PORI**2) -BFTO*V2) /PXO)A C V i = A T A N 2 ( A S V l . R E A L I V i nA C V ¿ = A T A N 2 ( A S V 2 , R E A L ( V 2 ) )GO TO 213 .

112 A S V 3 = R E A L ( ( - C S Q R T ( l . - ( ( 1 . * E * V 3 ) » P O R ) * * 2 ) - B E T D * V 3 ) / P X Û )ASV<i = R E A L U - C S O R T ( l . - ( ( 1 .»E*V4 )*POR )**2 )-BE TO*Vi ) / P X O )A C V 1 = A T A N 2 ( A S V 3 , R E A L ( V 3 ) )A C V 2 = A T A N 2 ( A S V 4 , R E A L ( V 4 ) )

213 IFIACV1.LT.O.) ACV1=ACV1+6.23318531I F ( A C V 2 . L T . O . ) ACV2=ACV2+6 .2B318531TS1=TP<-T.IEMPO(ACV1,E,AWJ)TS2 = T P - f T I E M P O ( A C V 2 , E , A M J )TES l=AMIN l (TS l tTS2 )T E S 2 = A M A X 1 ( T S 1 , T S 2 )

CC CALCULO DEL SUBPUNTOC

506 L1=1PL1.GE.TES1L2=TPL1.GE.TES2L3=TPL2.GE.TES1L iu=TPL2.GE.TES2IFIL1.ANÜ..NOT.L4I GO TO 800IF(L2.3R. .NnT.L3)GO TO 113IF( (L3.AND..NOT.L4) .AND..NOT.LDGO TO "4IF((Ll.ANn..NOT.L2).A*D.L4)GO TO 115!F(L4.AND..NOT.L1)GO TD 116

113 T f > P ( l l = TPLlDTNI1)=(TPL2-TPL11*1440.GO TO 205

114 TPPI l )=TPL lDTN(1) = ( TES 1-TPLD* 1440.GO TO 2fi5

115 T P P ( 1 ) = T E S 2OTN(1)=(TPL2-TES21*1440.GO 10 205

116 TPPd )=TPL1T P P ( 2 ) = T E S 2DTN(1)=(TES1-TPL1)*1440.OTN(2 )= (TPL2-TES2) *1440 .NI=2

205 LL=0DO 502 ,IJ = 1,NITPS=TPP(JJ )TSP1=DTM(JJ )MP= lF IX (T c . n i ) + lIMAX=1

- 523 —

00 502 1=1,NPETU=IF IX (TPS)TUM=IFIX( ITPS-ETU)*1440. )+I -1TU=TUM/1440.ANM=AMM*(ETU+TU-TP)*360.*DERAANE=ANMtE*SÍN(ANM)+(E**2 ) *S IN(2 . *ANM) /2 .00 5 K=l t5SANE=SIN(ANE) ;C A N E = C O S ( A N E )

5 ANE=ANE-(ANE-E*SANE-ANM) / (1 . -E*CANE)SEV=SO*T(1. -E**2)*SANE/(1 . -E*CANE>C O V = ( C A N E - E ) / ( 1 . - E * C A N E >A N V = A T A N 2 ( S E V , C O V >DGS=SMEO*(1.-E*CANE)RAD = AIW+AGPA L S = A R S I N < S I M * S I N ( A N V + A G P ) )TFtiUn. GT.6.2823) RAD=RAD-360.*OERAIFIRAD.GT.1.571) GO TO 223V)V=4TAN(CIN*TAN(RAD) )GO TO 225

223 RAD=180.*DERA-RADWV=180. *DERA - A T A N ( C r N * T A N ( R A D M .

225 SG=0.276919398+100.0021359*(ETU*25980.51/36525.SGD=SG+ANL*COS(OBLI )/12 t)6000. + TUtTU/365. 2<»219'(S G A = I F I X ( S G O )

. ALONG=(ARN+HV- (SGD-SGA) *360 . *DERA) *RADEIF(ALO^G.GT.360. )ALOMG=ALONG-360.!F(ALONG.LT.O. ) AI_ONG=ALONG+360.I F ( ( 4 5 . . L T . A L O M G ) . A N D . ( A L O N G . L T . 3 3 6 . ) ) GO TO 502DECLI=ALSDO 20 M=l,5RC=0.993305458/1 l . -O.00669454185*<COS(ALS)**2) IALT !>=SI N ( A L S ) / ( C O S ( A L S 1*0.99 3305458)OALT = ATAN(A l .TP ) -ALSS D A L T = S I N ( D A L T )RHS=IOGS**2 ) -RC* (SOALT**2 )H S = S B R T ( R H S ) - S Q R T ( R C * ( 1 . - S D A L T * * 2 ) )A !ALS=HS*SDALT/DGSAIALR=SQRT( l . -A IALS* *2 )A I A L = A T A N 2 ( A I A L S , A I A L R )

20 ALS = OECl,I-AIALALATI=ALS*RADtI F ( ( A L A T I . L T . 3 0 . ) . O R . ( A L A T I . G T . 7 8 . 1 ) GOT0502HSS = HS*£>378. 16"IF( ÍCE.EQ.O) Gü TO 9IF(LL .GT.O) GO TO 9LL=LL+1W R I T E I 6 . 1 3 )

13 FORMATI 1H1,5X,40HCATEDRA DE ASTRONOMIA Y GEODESIA, MADRID,5X,2H— r*5X,10HEFEMERIDES,5X,2H—,5X,29HSATELITE 1966 56 A PAGEOS l,11111

9 ALOS=(360. -ALONG)*DERACC ESCRITURA DE RESULTADOSC

TH=TU*24.NTH=TH

524 -

T M = N T HN T K = ( T H - T M ) * 6 0 .I F I N T M . L T . 6 0 ) GO TO 329N T M = N T M - 6 0N T H = N T H + 1

329 I F I N T h . L T . 2 4 ) GO TO 22N T H - N T H - 2 4! D A = I D A + 1

22 I F ( I N ) l i 2 f 31 I F U D A . L E . 2 8 ) GO TO 10

I O A = I D A - 2 8M E X = M E S * 1GO TO 10

2 I F U n A . L E . 3 0 ) GO TO 10IOA=IDA-30M E X = M E S - UGO TO 10

3 IF(IDA.LE.31) GO TO 10IDA=IDA-31MEX=MES+1

10 IFIMEX.GT.12) GO TO 328GO TO 327

328 M E X = M E X - 1 2N A = N U A * 1

327 I F ( I C E . E Q . O ) GO TO 339WR I TE (í>, 70 I N A , H E X , I D A, NTH, N T H , AL AT I , ALONG, HSS

70 FORMAT(32X,312,4X,213 ,5X,2(F6 .2 i5X) ,F6 .1)339 NF( 1, I) = I M A * 1 C O O O * - K E X * 1 0 0 + I D A

N F ( 2 , I ) = N T H * 1 0 0 + N T MMFCS, I ) = A L A T I * 1 0 0 .N F ( 4 , I ) = A L O N G * 1 0 0 .N F ( 5 , I ) = I F I X ( H S S )C A V P I I ) = A B S ( S I N ( A L S ) * S L E O * C O S ( A L S ) * C L E O * C O S ( A L O S - E O L O »I F ( C A V P ( I ) - C A V P ( I M A X ) ) 502,502,34

34 I M A X = IAIF=1.

502 C O N T I N U EI F I A I F . L T . O . ) GO TO 800I S = I S t l1)0 16 JS=1,5

16 M S I J S , I S ) = N F ( J S , I M A X )800 C O N T I N U E '

J = J + 1T = 1 . / A M MI F ( J . L E . K ) GO TO 520W R I T E ( 6 , 1 3 )W R I T E I 6 . 1 5 )

15 F O R M A T I 4 1 X , 5 H F E C H A , 4 X , 4 H H O R A , 4 X , 4 H L A T I , 4 X I 4 H L O N G , 4 X , 4 H " T I )DO 14 J = 1,IS

14 W R I T E ( 6 , 6 1 ) ( N S ( I . ' J ) t I = l i5)61 F O R M A T < 4 0 X , I 6 , 4 ( 3 X , I 5 ) )25 STOP

END

— 5*5 —

10/16/73FUNC - EFN - SENTENCIA FUENTE - IFN(S) -

FUNCTION TIEMPO(APR,EX,AMMR)SAEtl=SBRT[l.-EX**2)*SIN(ÃPR)/(l.<-EX*COS(APR))CAEO= (COSI APR) <-EX)/U.+EX*COS< APR))E=ATAN2(SAEO,CAEO)IFIc.LT.O.) Eä=E + 6.28318531TI EMPO ( E-EX*SAEO 1/AMMRRETURNEND

10/16/73BESSEL - EFM - SENTENCIA FUENTE - IFN(S)' -

SUBROUTINE TNTER(Y,X,XK,N,D,YX)DIMENSION X(N),D(N,N),YIN)DO 2 J=1,N

2 0(J,1)=Y(J)M=N-1

l 00 5 1=2,N00 4 J*l,M

4 D(J».I )*D(J + 1,I-1)-D(J,I-1)5 CONTINUEH=X(2)-X(1)K=(XK-X<1) 1/H-H.

21 PA=(XK-X(K»/HP=PA-0.5YI = (D(K,1)+D(K-H,1) 1/2.YP = P*C(K,2)CNI=1.A=l.J=K-1IM=,\i/2IMP=2*IMII=N-2IF(N.GT.IMP) II=N-300 7 1=2,11,2CNI=CNI*(P**2-(2.*A-l.)**2/4.)/!(2.*A-l.)*2.*A)CNP=P*;NI*< 2.*A+i.)YI=YI+CNI*IR(J,I + l)-i-D(J*l, 1+1)1/2.YP=YP*CNP*0( J, ! ••?.)YX=YI+YPA=A+1.

7 J=J-1RETURNEMO

10/16/73RESOLU - EFN - SENTENCIA FUENTE T IFN(S) -

SUBROUTINE GUARÌ!(A,SOLGl.SOLGZiSOLG3,SOLG4)DIMENSION A ( 5 ) t B ( 5 )COMPLEX SQLGI,SOLG2,SOLG3,SOLG'»,Y1,Y2,Y3,Y<>00 10 1=1,5

10 B ( I ) = A ( I ) / A ( 1 )H=-fl<2)/4.P = 6.*H**2*3.*e[2)*m-B(3lS=4.*H**3+3.*Bm*H**2+2.*B( 3)*H+B(4)R=H«*4*B(2)*H**3*B(31*H**2*B (4)*H+B(5)lF(aJ80t90 i80

90 CALL RAH(1. ,P,R,Z1,Z2)ri = CSQ!U(ZHY2=-Y1Y 3 = C S Q R T ( Z 2 )Y4=-Y3GH TU 50 •

80 TlG=f>«*2-'i.*RAC=(3.*T lG-4.*P**2) /3 .BC=(16.*P**3-ltì . tP*TlG-2T.*a**2>/2T.OEC=(A:**3/J7.) t ( l ìC**2>' t . )5=-2.*P/3.¡F(DEC)3U,31,32

¡32 SOL={ (-BC/2. l*SQRT([)EC))**( l . /3. 1 + SSlL=-K/2. -SQRTÌDEC )IF(SIL) 1,2,2

2 SOL'SGL+SlLtKl./S.)GO in <>c

1 SOL=SL1L-(ABS(S1LI**11./3,UGO TO *0

31 SOL = AtMXl"( (2 . * ( -BC/2 . ) * t ( l . /3 . ) + S),(S-(-BC/2.]**( l . /3. l ) lon TO to .

30 'Ra=S<J}T t -AC**3 /27 . )cnsTi=-BC/[?.*RniKCRLI=RD**( l . /3 . )SET = S'3=i.TU.-COST!**2)J E T , 4 3 = A T A M 2 ( S E T , C O S T I 1/3.S O L 1 = S * 2 . * R C R O * C O S ( T E T A 3 IS O L 2 = S t 2 . * R C R O * C O S ( T E T A 3 + 2 . 0 9 4 3 9 5 1 )SnL3=St2 . *RCROtCOS<TETA3+4 . l887902)SnL = , A M A X l (SOLI, SOL2, SOL3)GO TO <tO

40 R5QL=SO»T(SOL)B E T A = ( P t S O L - K 5 / R S O L ) / 2 .t>XI = (P* -SUL-Q/RSQLI /2 .CALL RAIZd. , R S O L , P X Í ,Y1,Y2)RSa=-RS(1LCALL R A I Z d . , R S O , B E T A , Y 3 , Y ^ 1

50 SOLGl=rH-HSOLG2=Y2<-H

.SOLC3=Y3+HSOLG4=Y4+HRETURNEND

10/16/73RMCES - EFM - -SENTENCIA FUENTE - IFN(S) -

SUBROUTINE R A I Z ( A , B , C , X l ,X2)COMPLEX X 1 | X 2DI=pt*2-4.*A*CF = S U R T ! A S S ! D [ ) )T F t i U . G E . O . l GO TO 50X 1 = - C M P L X ( B , F ) / < 2 . * A >X2=CONjr,tXl)GO TO 51

50 DU8+S[GN(F,B1X1=-OI/ I2.*AIXZi -C/DI^ 'J .

51 RETURNEND

— 527 -

EFEMÉRIDES. SATÉLITE 19GC 57 A PAGEOS 1

Kecha

711231)

711230

7112307112317112317112317201017201017201 017201027201027201027201027201 "37201037201037201 f 372010472010472010472010472010572010o72010572010672010«72010672010772010772010772010872010872010S7201097201107201107201117201117201127201127201J3720113720114

Hora

0381800210164218032105646180721093356501810211334065418142117346657181821233551.821213240218252138406

• .18292143410183341418364181840422184542618484301852434

Latí

5058507053795028511454224998515854657e0949695̂ 0055087386•494050435551700050915087599160614929700854884974

' 74255459501776485428506653924918535549695319502152835072524551235210

Long

12G63089345781061288634377856'268434175447163124743397444484462271337734463238£06833613449018593366243371656336094133145333698392912313726104435238423320040311743929142372710

Alti

469341124144472541474180475741824'-15465147£941S942514C994820423442874757484742"04362483842864485489243Í245694923435846244955439549?64411501844485049448650794523511045605140

- 528 -

5. CALCULO DE PREVISIONES DE PASOS DE SATÉLITES

Este problema consiste, como ya se ha dicho, en determinar paraun instante dado y para un punto de la superficie de la Tierra o es-tación de observación, las coordenadas horizontales, acimut (Az) ydistancia cenital (Dz) cíe un satélite y la distancia (Ds) de la esta-ción al satélite.

Como datos para verificar este cálculo, tenemos : por una parte,,las coordenadas geográficas \e, 9, de la estación de observación, ypor otra, los datos proporcionados por las efemérides, en las quefiguran :

a) El tiempo de previsión, dando el año, mes, día, hora, minutoy décimas de minuto (primera y segunda columna).

b) Las coordenadas geográficas Xs y <p, del subpunto en eseinstante (tercera y cuarta columna) en grados y centésimas de grado-sexagesimal.

c) Altitud H del satélite en kilómetros (quinta columna).En una primera aproximación pueden emplearse métodos grá-

ficos mediante la construcción de abacos y medida directa sobreellos. Más precisión tiene, sin embargo, el método analítico queexponemos a continuación, en el que supondremos la Tierra esfé-rica, lo que será suficiente en nuestro caso para la precisión reque-rida, ya que la diferencia entre la vertical geográfica y la dirección-del satélite en el subpunto no excede nunca de 11,59 minutos dearco, y la distancia de la estación al subpunto es relativamente pe-queña, a lo más 2.000 Km., a fin de que el satélite sea observablecon una distancia cenital menor de 63'°, dada la altitud media de5.000 Km. del satélite.

6. CÁLCULO DEL ACIMUT

Consideremos en la figura el triángulo de posición, polo, sub-punto, estación :

En este triángulo tenemos :

P = A ^ = ^j — u-,. '• diferencias de longitudes supuestas positivas hacia el Este-

E = A a : acimut del subpunto desde el Norte y positivo hacia el Este..'

F, S = £

— 529 —

: arco de círculo máximo determinado por la estación y el sub-punto.

P E = ¡r/2 — <pe : colatitud de la estación.

P S = ir/2 — tps : colatitud del subpunto.

Ceml·

Aplicando la primera fòrmula de Bessel al triángulo PES, re-sulta :

cos (ir/2 — cps) = cos (ir/2 — 9e) cos £ + sen (n/2 — <j>c) sen £ cos Az,

o lo que es lo mismo,

sen <ps = sen cpe cos £ + cos tpe sen £ cos Az,

de donde

cos Az =sen (ps — sen cpe cos £

cos spe sen £

REV. DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS.—1073.

(7.1)

Sí

- 53° -

El acimut Az quedará determinado por la ecuación anterior encuanto se conozcan sen \ y cos Ç.

Aplicando al mismo triángulo la misma fórmula de Bessel relati-va al lado i, resulta :

eos £ = ser. <pt sen <ps + cos <pe cos <ps cos A A. (6.2)

El acimut determinado por las relaciones (6.1) y (6.2) es unacimut contado desde el Norte hacia el Este y está limitado aO j< Az < TV, por lo que podrá presentarse algún caso de ambi-güedad. Aplicando la tercera fórmula de Bessel al mismo triángulo,obtenemos

sen A ^ sen Az

cos<p s

de donde

eos tps sen A Asen Az = (6.S)

sen £

y como

— ;r/2 <5 V¡ <^ ir/2 y O <C £ <^ tr/2,

resulta que

sig (sen Az) = sig (sen A A).

Ahora bien, según que A X = A s •—\e sea mayor o menor quecero, tendremos que Azr = Azc, o bien Azr = 2 it •—Az0 lo queindica en el primer caso que el subpunto está al este de la estacióny el acimut real coincide con el calculado, y el segundo, que el sub-punto está al oeste de la estación y el acimut real es el complemen-to a 2-re del acimut calculado.

— 53' —

7. CÁLCULO DE LA DISTANCIA CENITAL

Observando en la figura el triángulo plano formado por el sa-télite, la estación y el subpunto :

sen (ir — Dz) sen (Dz — Q= : (7.1)

r. + K

Desarrollando sen (Dz — Ü) y dividiendo por sen Dz sen E, re-sulta

cotgDz = cotg¿- (ft + H ) g e n f (7.2)

Los radios rc y re se determinan por la relación (4.12), aunque•su cálculo puede simplificarse tomando sólo los dos términos pri-.meros del desarrollo en serie, quedando de la forma

re = 6378,160 (1 — 0,00335 sen3 <pt)

(7.3)rc = 6378,160 (1 — 0,00335 sen^ yj.

Con ello nos apartamos de la hipótesis esférica en beneficio dela precisión.

8, CÁLCULO DE LA DISTANCIA AL SATÉLITE

Aunque este dato no es necesario para tener determinada la di-rección del satélite, vamos a obtener una expresión que la calcule,pues la necesitaremos posteriormente para efectuar ciertas correc-•ciones.

Aplicando de nuevo el teorema de los senos al triángulo estación,satélite subpunto, obtenemos

Ds rs + H

.S8n £ sen (x — Dz)

- 53» —

y por lo tanto,

rs + HDs = sen £ —- (8.1>

• sen Dz

9. EXACTITUD EN LAS PREDICCIONES

La exactitud necesaria para las predicciones de pasos de satéli-tes depende principalmente del sistema de observación de que se-disponga en la estación ; así, para observación óptica —visual ofotográfica—, ésta viene: determinada por el campo del aparato. En,nuestro caso, el campo de, las cámaras fotográficas es de 30 x 30",..campo que la distorsión lo reduce a una zona útil de 10 x 10".

En este caso, basta una precisión del grado en medidas de án-gulos para obtener una buena información. La simultaneidad nece-saria en un programa de triangulación espacial, obliga a manteneruna precisión del milisegundo en tiempo para satélites tipo Echo yPageos, aunque las efemérides pueden ser dadas con la precisiómde un minuto. Las órbitas de estos satélites empleados están fuer-temente afectadas por los fenómenos de presión de radiación solary por el arrastre atmosférico, especialmente en la última época desu vida, y estos fenómenos influyen desfavorablemente en la preci-sión de las efemérides y de las predicciones.

Las efemérides, en la forma antes descrita, cubren un período-de dos sem,anas y se publican quince días antes de la fecha de la.pimera observación, por consiguiente la última predicción estarácuatro semanas anticuada y por tanto es. necesario introducir cier-tas correcciones.

Para el Echo I han sido necesarias correcciones en tiempo de-quince a veinte minutos, de cinco a diez para el Echo II y para elPageos del orden de cinco minutos. Las correcciones en el progra-ma WEST se reciben por télex en forma sólo de correcciones en-tiempo y con tanta frecuencia como sea precisa para garantizar la.predicción con una exactitud de 0,1 minutos de tiempo. Es por tan-to necesario interpretar en la estación de observación esta correc-ción, a fin de lograr corregir las predicciones. Los datos suminis-trados son : época —año, mes, día, hora, minuto y décimas—, la/.

- 533 -

corrección en tiempo para esta época y la razón de variación de ellaen centésimas de minuto por día. Así, por ejemplo, el mensaje

03103 00351(9.2)

20306 18280 00302 00155

indica que el (i de enero de 1972, a las 18" 28m.O, la corrección que seaplica a las efemérides número 103 del satélite Pageos A sería de+ 3,02 minutos en tiempo y que su variación por día es de 0,15 mi-nutos. El número 00351 indica el número del mensaje.

La forma de proceder para corregir será la siguiente :

Sea S¡ la corrección en minutos que ha de aplicarse a todo tiem-po particular de la efeméride. Esta corrección viene dada por

8t = c + b c, (9.2)

donde c es la corrección en tiempo para la época del mensaje, c lavariación en minutos por día y b es el tiempo transcurrido expre-sado en días entre la época del mensaje y la época particular quese trata de corregir.

La corrección en longitud a aplicar a las efemérides viene dada por

15 A = Bt, (9.3)

siendo esta fórmula solamente aproximada porque se supone quelos planos orbitales del satélite no están afectados de precesión y-que la Tierra gira exactamente 300" en un día solar. Esta fórmulaproporciona una exactitud de 0,1 grados para el Echo I y menos de0,05 grados para el Echo II. No obstante, en nuestros cálculos parael Pageos utilizamos

SA = -— 8 t , (9.4)

que garantiza los 0,05 grados en longitud, lo que es más que su-ficiente para nuestros propósitos.

- .534 -

10. EL PROGRAMA DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

Como puede observarse en el listado que se presenta, el progra-ma está confeccionado en Fortran IV, y consiste solamente en laprogramación de las fórmulas obtenidas anteriormente. Los datosde entrada están constituidos por la tabla de efemérides precedidasde un número de ordenación de día para poder soslayar el inconve-niente del cambio de mes a la hora de introducir correcciones. Tam-bién se dan como datos las correcciones tal y como son recibidas dela R. S. R. S. La primera parte del programa efectúa las correccio-nes y escribe los títulos de salida, y la segunda realiza los cálculosy escribe los resultados dando las coordenadas Az, Dz en gradossexagesimales y centesimales, según puede verse en la tabla de re-sultados.

- 535

10/îESAMA - EFN - SENTENCIA FUENTE - IFN(S)

C EFEMÉRIDES DE SATÉLITES. PREVISIONES PARA MADRIDC LONGITUDES POSITIVAS HACIA EL ESTEC

9 READI5.99) IDC, IHC, ITC,IRC, NSAN=0DC=IOC

• HCR=IHCHC=HCR/1000.TCR=ITCTC'TCR/IOO.RCR=IRCRC'RCR/100.

11 WRITE(6,103)IF1NSÍ-4) 45,10,44

44 WRITE (6,104)60 TO 46

45 WRITE(6 ,105)GO TO 46'

10 WRITEI6.106)46 WÎUTE(6 ,102>

FE=40.45213861*0.01745329CFE=COS(FE)SFE = SW(FE)RE=6378.338*ll.O-0.00335*SFE**2>

8 READ(5,10û) ND,ID,IHORA,IFS,IALS.IHCC PASO DE HORAS SEGÚN FORMATO A MINUTOS V DECIMALESC

OJ=NDDIA=IOHORAR=IHORAHORA^HORAR/IOOO.FSR=IFSFSsFSR/100.ALS¿=IALSALS=ALSR/100.H = I HIF(OJ+1.) 21,9,21

21 IFIOJ+2.) 22,9,2222 IFIDJ+3.) 20,5,2020 I=HORA

P=IHM=HORA*100.0-P*40.0J=HCQ=JHMC=HC*100.0-0*40.O

CC CORRECCIONESC

nO=DJ-DCDH = HM-HMCFD=Dh/1440.0TT=00+FDCT = TC»-TT*RCHCM=HM*CT

10/2ESAMA - EFN - SENTENCIA FUENTE - ¡FNIS) - r

IF INCH-1440.0)50,51,5151 HCM=HCM-1440.0

D IA=DI A*1.0- 50 JM=HCM

JH=JM/AOSH = JhHORA=(SH*40.0-mCM)/100.0NH^-HCRAAH=Nl·AM=IHORA-AH)*100 .0NDIA=DIACL=CT/3 .9

i ALSC=ALS-CL.Í C

C CALCULO UÈ LA D ISTANCIA ZENITAL Y OE LA DISTANCIA AL SATÉLITEC

I F IALSC-18G.O)6 ,6 ,77 ALSC=ALSC-360.06 OL=(ALSC*3.??4450281*0 .01745329

C D L = C Q S ( O L )SOLrSINIDL.)FSR=FS*0.01745329C F S = C O S ( F S R )S F S = S I ¡ < ( F S R )RS=6378.388*( l .O-0.00335*SFS**2)CACM=SFS*SFE+CFS*CFE*C'OLSACM=SQRT(1 .0 -CACM**2)COT=CACM/SACMT A L T = C O T - ( R E / < ( RS-H) ) *SACH) ' )A L T = A T A N ( T A L T )Di=90.0-ALT*57.2957795OZC=DZ/0 .9DS=5ACM*(RS+H) /COS(ALT)

CC CALCULO DEL AZIMUTC

C A Z = ( S F S - S F E * C A C M ) / ( C F E * S A C M )S'AZ=SQRT(1.0-CAZ**2)T = S À Z / C A ZA Z = A T A N ( T )I F ( A Z - ) 1,2,2

1 AZ=AZ+3.14159262 AZ=AZ*57.2957795

IF (DL)3 ,4 ,43 AZ=360 .0 -AZ4 A Z C = A Z / 0 . 9

CC SALIDAC

WRITE(6,101) N D I A . N H . A H . A Z . D Z . A Z C . D Z C t O SN=N+1IN=N/25IIN = IN*25IF(iiN.EQ.N) GO TO 11

GO TO 899 FORMATI 13,IX,15, IX,15,IX,14, IX,II).

io/;ESAMA - EFN - SENTENCIA FUENTE - IFN(S) -

100 FORMATI 13,IX,15,IX,15,IX,15,IX,15,IX,14)101 FORMATI 1HO,9X,I5,4X,12,1X,F5.2,-8X,F7.2,8X,F6.2,18X,F7.2,8X,

1F6.2,17X,F7.2,1X)'02 FORMATI IHO.lOX.SHDIA^X^HHORA.lOX.SHAZIMUT-S.SX.llHD.ZENITAL-S,

115X,8HAZÍMUT-C,5X,llHri.ZENITAL-C,10X,15HDISTANCIA KM.)J3 FORMATI1H1,41X,52HEFEMERIDES DE SATÉLITES PREVISIONES PARA MA

10RIO//1 ,104 FORMATI1HO,50X.30HSATELITE E X P L O R E R 19///)105 FORMATI1HO,53X.25HSATELITE P A G E O S A///)106 FORMATI 1HO, 50X.30HSATF.LI TE E X P L O R E R 39///1

5 STOPEND

— 537 —

EFEMÉRIDES DE SATÉLITES. PREVISIONES PARA MADRID

Satélite Pageos A

Dia

20105

20105

20105

20106

2010620106

20107.20107

20107

20108

-20108

20109

.2010920110201102011120111J20112

20112

201132011320114

*20110*20110

-»2011.1*20111*20112

*20112

*20113

*20113

«20114

Hora

3 35.00

18 21.0021 32.00

4 2.0018 25.00

21 38.00

4 6.0018 29.0021 43.00

4 10.0018 33.00

4 14.0018 36.00

4 18.0018 40.00

4 22.00

18 45.00

4 26.00

18 48.004 30.00

18 52,00

4 34.00

4 21.5318 43.62

4 25.6818 48.77

4 29.8318 51.924 33.98

18 56.07

4 28.13

Azitnut-S

39.1453.19

. 347.25

48.85

50.09351.00

49.1546.60

352.62

49.44

42.47

49.7944.1750.1038.6950.34

32.5950.5126.1150.65

19.3550.64

49.88

36.74

50.07

3023

50.1823.3650.25

16.2950.16

D. Zenital-S

67.35

ál.2362.77

64.84

39.02

67.5803.02

36.94

70.02

(il.64

35.1359.20

30.98

57.1929.36

55.1328.1153.00

27.26

50.79

26.83

48.53

56.3828.42

54.2627.27

52.07

26.56

49.8126.3047.49

Ac¡mut-C

43.49

59.10385.83

5427

55.66

300.00

54.6151.78

391.80

54.94

47.1955.32

49.08

55.67

42.99

55.9336.22

56.1229.0156.28

21.5056.27

55. 4340.8355.63

33.59

55.76

25.9555.84

18.1055.73

D. Zenital-C

74.83

45.8169.74

72.05

43.3575.08

70.0341 .(577. SO67.93

39.04

05.78

34.43

63.5532.62

61.2531.2358.89

30.28

56.44

29.8153.í;3

62.65

31.5860.2930.30

57.86

29.5155.34

29.22

52.76

Distancia km.

7080.84

4999.616345.22

(Í959.81

4958.55

6776.10

GS66.C5

4926.637030.06

6775.034908.07

6683.50

4805.65

6593.96

4801.93

1505.33

4810.40

6417.84

4828.41

6333.21

4856.66

6250.67

6544.87

4778.71

6455.2647.90.58

6367.04

4812.29

6281.95

4844.566199.32

* Estos resultados se han obtenido aplicando a las coordenadas de los subpun-

los las correcciones dadas en (9,1)-

-33» -

B IB L I O G R A P í A .

P. R. ESCOBAL: Methods of Orbit Determination. ]. Wiley. New York (1965).COSPAR : «Information Bulletin», num. 25, octubre 1965.ASTRONOMICAL PAPERS of de American Ephemeris and Nautical Almanac. (1953),-

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Cátedra de Astronomía y Géodes'.,^Universidad Complutense