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Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniera

Departamento de Matematica

Clave de primer parcial

Realizado por:Rafael Martnez

Revisado por:Ing. Renato Ponciano

Curso:Matematica para computacion 1

Codigo de Curso:960

Ano de realizacion:2013

Semestre:Segundo

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Matematica para computacion 1 Departamento de Matematica

Segundo Semestre 2013

Primer examen parcial

Tema 1

a) De cuantas maneras pueden distribuirse 16 libros diferentes entre Hugo, Paco y Luis de manera queHugo reciba el doble de los libros que Paco y Luis reciban individualmente?

b) Determine el coeficiente de x2y5z6 en (4x 2y1 z3)9.

c) En un paquete estadstico, solo pueden usarse dos caracteres como mnimo (sean letras o numeros) ycinco como maximo para dar nombre a una variable; ademas, el primer sbolo debe ser forzosamenteuna letra. Cuantos nombres de variable pueden formarse? Cuantos pueden formarse si no puedenrepetirse letras ni numeros? Use un alfabeto de 26 letras.

d) Cuantas permutaciones de las letras de la palabra MANTARRAY A existen? Cuantas de esaspermutaciones no tienen letras Aconsecutivas?

Tema 2

Demuestre la validez del siguiente argumento:

p (q r)p s

s

r q

Tema 3

Sea P la proposicion compuesta:Si Erick Barrondo entrena adecuadamente y Quetzaltenangoorganiza los Juegos Centroamericanos y del Caribe, entonces el ganara la medalla de oroante su aficion o rompera el record mundial de marcha.

a) Escriba Pen forma simbolica.

b) De la contrapositiva, la recproca y la inversa de Pen forma simbolica.

c) Refute (niegue) Pen forma verbal.

Tema 4

Simplifique la siguiente proposicion usando las leyes de la logica.

p [(q (r r)) [q ((r s) (r s))]]

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Solucion

Tema 1

a)Hugo tendra 8 libros mientras que Paco y Luis, 4 cada uno. De cuantas formas puede elegir Hugo sus 8libros en el conjunto de los 16?

16

8

De cuantas formas puede elegir Paco sus 4 libros en el conjunto de los 8 restantes?

8

4

De cuantas formas puede elegir Luis sus 4 libros en el conjunto de los 4 restantes?

4

4

Como cada grupo de 4 libros de Paco es distinto a cada grupo de 4 libros de Luis, no hace falta dividir entrealgo mas, por lo tanto la respuesta es

16

8

8

4

4

4

= 900900900900900900

b)

Como (4x 2y1

z3

)9

es el producto de 9 parentesis (4x 2y1

z3

), el coeficiente de x2

y5

z6

es lamanera de elegir en 2 parentesis a 4x, en 5 parentesis a 2y1 y en 2 parentesis a z3 (Se cumple que2 + 5 + 2 = 9), y esto se puede hacer (Usando el coeficiente multinomial) de

9!

2!5!2! formas

Pero debemos incluir a los factores 42,(2)5 y (1)2 porque acompanan a las potencias de x,y1 y z3

respectivamente.Por lo tanto, la respuesta es

9!

2!5!2! 42 (2)5 (1)2 = 387072387072387072

2

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c)

Se tiene un alfabeto de 26 letras y 10 dgitos como caracteres disponibles (36 en total).

Caso 1: Se pueden repetir caracteres.Debemos sumar las palabras de 2,3,4 y 5 caracteres. Para el primer caracter tenemos 26 opciones porquenecesariamente debe ser una letra, para cada uno de los restantes tenemos 36 opciones, porque es el totalde caracteres y se pueden repetir. Ya que una palabra de 2 letras no puede ser de 3, 4 o 5 a la vez (sonexcluyentes, de igual manera para cada cantidad de caracteres) se aplica la regla de la suma para obtenerel resultado

26 36 + 26 36 36 + 26 36 36 36 + 26 36 36 36 36

= 449177044491770444917704 palabras posibles.

Caso 2: No se pueden repetir caracteres.

El primer caracter tambien se puede elegir de 26 formas, pero para el siguiente 35 porque no se puedenrepetir, luego 34, 33 y 32. Entonces la respuesta es

26 35 + 26 35 34 + 26 35 34 33 + 26 35 34 33 32

= 337255103372551033725510 palabras posibles.

d)

Caso 1: No hay restricciones.Como no hay restricciones, las letras de la palabra MANTARRAY A se pueden permutar de

10!

2!4! = 756007560075600 formas.

Caso 2: No deben haber letras Ajuntas.Debe existir por lo menos un espacio entre cada letra A:

AAAA

Falta repartir los 3 espacios restantes (en total son 10 espacios). Si los colocamos juntos, podemos hacerlode 5 maneras (entre una pareja de letras Ao en los extremos izquierdo o derecho).Si colocamos 2 juntos y 1 separado , podemos colocar los en 5 lugares y el en 4, por el principiodel producto, obtenemos 20 maneras de hacerlo. Si colocamos los tres todos separados, tenemos

5

3

= 10

maneras de hacerlo. Si sumamos todas las opciones, obtenemos 5 + 20 + 10 = 35 maneras de repartir losespacios restantes.Ahora solamente falta contar la manera de repartir las letras: una M, una N, una T, dos R, y una Y (LasAya tienen su lugar asignado en cada opcion contada anteriormente; en total tenemos 6 letras por ordenar,y esto se puede hacer de

6!

2!1!1!1!1!= 360 formas

La respuesta es la multiplicacion entre la cantidad de formas de elegir los espacios por la cantidad de formasde llenar los espacios

35 360 = 126001260012600 permutaciones

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Tema 2

Pasos1) s p Ley conmutativa2) s Premisa

3) p Regla del silogismo disyuntivo4) p (q r) Premisa5) q r Modus Ponens6) r q Contrapositiva

Tema 3

a)

Consideremos las siguientes proposicionesr: Erick Barrondo entrena adecuadamenteq: Quetzaltenango organiza los Juegos Centroamericanos y del Caribes: El ganara la medalla de oro ante su aficiont: El rompera el record mundial de marchaEntoncesP : (r q) (s t)P : (r q) (s t)P : (r q) (s t)

b)

Contrapositiva (s t) (r q)Recpro ca (s t) (r q)Inversa (r q) (s t)

c)

Como (r q) (s t) (r q) (s t), La negacion en forma simbolica de P es

( (r q) (s t)) (r q) (s t) (Por De Morgan)

(r q) ( s t) (Por De Morgan)

Entonces la negacion de Pen forma verbal es

Erick Barrondo entrena adecuadamente y Quetzaltenango organiza los Juegos Centroamericanos y delCaribe pero no ganara la medalla de oro ni rompera el record mundial de marcha.

Tema 4

p [(q (r r)) [q ((r s) (r s))]] Proposicionp [(q r) [q ((r s) (r s))]] Ley idempotentep [(q r) [q (r (s s)]] Ley distributivap [(q r) [q (r T0)]] Ley de inversop [(q r) [q r]] Ley de neutrop [(q r) [q r]] Equivalencia de la implicacionp [(qq) (r r)] Ley asociativap [T0 (r r)] Ley de inversop [T0 r] Ley idempotentep T0 Ley de dominacionppp Ley de neutro

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