class4crypt aula virtual de criptografía · 2020. 11. 3. · •encontrar x = log mod p, en donde...

Class4crypt© jorgeramio 2020

Class4cryptAula virtual de criptografía aplicada

Class4crypt c4c3.3 - © jorgeramio 2020

Profesor Dr. Jorge Ramió A.

Clase c4c3.3El problema del

logaritmo discretoMadrid, martes 3 de noviembre de 2020

Temario de las clases Class4crypt

Class4crypt c4c3.3 - © jorgeramio 2020 Lección 3.3 - página 3

• Módulo 1: Principios básicos de la seguridad

• Módulo 2: Matemáticas discretas en la criptografía

• Módulo 3: Complejidad algorítmica en la criptografía

• Módulo 4: Teoría de la información en la criptografía

• Módulo 5: Fundamentos de la criptografía

• Módulo 6: Algoritmos de criptografía clásica

• Módulo 7: Funciones hash en la criptografía

• Módulo 8: Criptografía simétrica en bloque

• Módulo 9: Criptografía simétrica en flujo

• Módulo 10: Criptografía asimétrica

Clases publicadas en Class4crypt (1/2)


1. Presentación de Class4crypt

2. Ciberseguridad y criptografía

3. Algoritmo RSA

4. Operaciones modulares y conjunto de restos

5. Percepción de la inseguridad según las décadas

6. Criptografía asimétrica y la analogía de los candados

7. Protocolo de intercambio de clave de Diffie y Hellman

8. Ataque man in the middle al intercambio de clave de

Diffie y Hellman

9. Cifrado por sustitución polialfabética: algoritmo de

Vigenère

10. Criptoanálisis al cifrado de Vigenère por el método

Kasiski

11. El homomorfismo de los enteros en la criptografía

12. Inverso aditivo, inverso xor e inverso multiplicativo

13. Cálculo de inversos con el algoritmo extendido de

Euclides

14. Algoritmo de exponenciación modular rápida

15. Generación de claves RSA y estándar PKCS#1

16. Cifrado y descifrado con RSA parte 1

17. Cifrado y descifrado con RSA parte 2

Clases publicadas en Class4crypt (2/2)


18. Introducción a la criptografía moderna

19. Comparación entre cifra simétrica y cifra asimétrica

20. Fundamentos de la cifra simétrica en flujo

21. Registros de desplazamiento realimentados lineales

y no lineales

22. Aleatoriedad en registros LFSR con polinomio

primitivo

23. Fundamentos de la cifra simétrica en bloque

24. Algoritmo DES: redes de Feistel y cajas S

25. Algoritmo DES: expansión de clave, cifra y rellenos

26. ECB y CBC, modos de cifra con confidencialidad

27. CFB, OFB y CTR, modos de cifra con confidencialidad

28. Ataques al DES, DES Challenge y 3DES

29. Clasificación de los sistemas de cifra clásica

30. Vulnerabilidades de la información y amenazas

31. Seguridad informática vs seguridad de información

32. Tríada confidencialidad, integridad y disponibilidad

33. Raíces primitivas en un primo p

34. Fundamentos de complejidad algorítmica

35. El problema de la mochila

36. El problema del logaritmo discreto

Estadísticas del canal Class4crypt



¡COMENZAMOS!

Módulo 3. Complejidad algorítmica en la criptografía

Lección 3.3. El problema del logaritmo discreto

1. Enunciado del problema del logaritmo discreto

2. Ejemplos y resolución de operaciones de exponenciación modular

3. Ejemplos y resolución de operaciones de logaritmo discreto

4. Usos en la criptografía: intercambio de clave de Diffie y Hellman, cifra y firma de Elgamal, algoritmo de firma digital DSA

Class4crypt c4c3.3


Potencia modular y logaritmo discreto

Lección 3.3 - página 9Class4crypt c4c3.3 - © jorgeramio 2020

• Dados los enteros , x y un cuerpo p, resolver la operación • = x mod p (Potencia o exponenciación modular)

• Es un problema polinomial de baja complejidad algorítmica, incluso con números , x y p grandes

• No obstante, conocidos los números , y el primo p, encontrar ahora un entero x de forma que • x = log mod p (Problema del Logaritmo Discreto PLD)

• Se convierte en un problema polinomial no determinista NP, que es computacionalmente intratable si p es muy grande y x no es un número demasiado pequeño de forma que pueda encontrarse ese valor por fuerza bruta con poco esfuerzo

Exponenciación modular


• Algunos cálculos con números muy pequeños pueden hacerse mentalmente

• 34 mod 50 = 81 mod 50 = 31; 53 mod 120 = 125 mod 120 = 5

• Con números más grandes, usando calculadoras

• Ejercicios prácticos con Calc Windows

• 4 dígitos4 dígitos mod 6 dígitos: 9.7159.041 mod 587.653 = 429.145

• ¿Podemos resolver con esta calculadora 12.34512.345? (son 167.789 bits)

• Y con números muy grandes, usando el software adecuado• Ejercicios prácticos con SAMCript (no modular)• 12.34512.345 = 28.678.652.250.036 …. 291.259.765.625• Un número de 50.510 dígitos (167.789 bits… 47 páginas en Word)• ¿Qué sucedería si aumentamos la base? ¿Y si aumentamos el exponente?

Exponenciación con SAMCript


• Exponenciación no modular• 12.34512.345 = 50.510 dígitos (2 segundos)• Doblando cantidad de dígitos en la base de 5 a 10:• 1.234.567.89012.345 = 112.235 dígitos (6 segundos)• Aumentando solamente un dígito el exponente:• 12.345123.456 = 505.120 dígitos (118 segundos)

• Exponenciación modular• 1 mil dígitos 1 mil dígitos mod 1 mil dígitos t < 1 segundo• 2 mil dígitos 2 mil dígitos mod 2 mil dígitos t = 1 segundo• 4 mil dígitos 4 mil dígitos mod 4 mil dígitos t = 2,5 segundos• 8 mil dígitos 8 mil dígitos mod 8 mil dígitos t = 20 segundos• Aumentamos muchísimo la base y el exponente: la complejidad es baja

¿Por qué pasa esto?

Logaritmo discreto con fuerza bruta

Lección 3.3 - página 12

• Encontrar x = log mod p, en donde , y p son conocidos

• Si el valor de x fuese muy pequeño, se podría atacar por fuerza bruta buscando todos los valores de x que hagan x mod p =

• Por ejemplo si p = 1.999, = 33 y se sabe que = 1.343• 332 mod 1.999 = 1.089; 333 mod 1.999 = 1.954; 334 mod 1.999 = 514;

• continuando… 3346 mod 1.999 = 283; 3347 mod 1.999 = 1.343 (x = 47)

• Como = 33 es una raíz primitiva de p = 1.999, la solución es única

• Efectivamente, log33 1.343 mod 1.999 = 47 (p.ej. con SAMCript)

• Si el exponente x es un número grande, este ataque no es viable


Logaritmo discreto con raíz primitiva


• Como en el cuerpo p = 13 el resto 2 es una raíz primitiva• 20 mod 13 = 1 21 mod 13 = 2 22 mod 13 = 4

• 23 mod 13 = 8 24 mod 13 = 3 25 mod 13 = 6

• 26 mod 13 = 12 27 mod 13 = 11 28 mod 13 = 9

• 29 mod 13 = 5 210 mod 13 = 10 211 mod 13 = 7

• Entonces• log2 1 mod 13 = 0 log2 2 mod 13 = 1 log2 3 mod 13 = 4

• log2 4 mod 13 = 2 log2 5 mod 13 = 9 log2 6 mod 13 = 5




Logaritmo discreto con no raíz primitiva


• Como en el cuerpo p = 13 el resto 3 no es una raíz primitiva• 30 mod 13 = 1 31 mod 13 = 3 32 mod 13 = 9

• 33 mod 13 = 1 34 mod 13 = 3 35 mod 13 = 9

• 36 mod 13 = 1 37 mod 13 = 3 38 mod 13 = 9

• 39 mod 13 = 1 310 mod 13 = 3 311 mod 13 = 9

• Entonces• log3 1 mod 13 = 0 log3 2 mod 13 = NE log3 3 mod 13 = 1

• log3 4 mod 13 = NE log3 5 mod 13 = NE log3 6 mod 13 = NE

• log3 7 mod 13 = NE log3 8 mod 13 = NE log3 9 mod 13 = 2

• log3 10 mod 13 = NE log3 11 mod 13 = NE log3 12 mod 13 = NE


Solución: exp = 2 + 3k

Logaritmo discreto con SAMCript


• Sea p un primo de 40 a 50 bits, una raíz primitiva, x = 125• 40 bits x = log2 455.724.407.932 mod 729.731.628.413 (4,3 seg)• 42 bits x = log3 1.568.712.172.137 mod 2.266.333.380.079 (6,7 seg)• 44 bits x = log3 1.400.611.805.375 mod 17.568.365.469.881 (10,6 seg)• 46 bits x = log3 31.408.415.753.007 mod 49.604.255.233.937 (83 seg)• 48 bits x = log2 68.719.082.765.791 mod 268.885.439.840.939 (140 seg)• 50 bits x = log5 312.028.532.499.463 mod 663.206.602.279.213 (167 seg)• 50 bits x = log7 161.390.513.288.025 mod 967.081.312.992.721 (33 seg)• 50 bits x = log14 801.969.266.079.988 mod 967.081.312.992.721 (54 seg)• 50 bits x = log37 739.873.271.748.987 mod 967.081.312.992.721 (166 seg)• 50 bits x = log38 434.320.563.871.606 mod 967.081.312.992.721 (68 seg)• Observa lo que sucede con 50 bits y cambiando la base para el mismo primo

Ejercicios del logaritmo discreto en CLCript


• Comportamiento típico del tiempo de ejecución versus el tamaño del primo en el PLD

• No obstante, como se ha visto en la diapositiva anterior, pueden darse casos en que aumentando pocos bits el tamaño del módulo, el tiempo disminuya mucho, o bien aumente tanto que haga imposible su cálculo

• Se recomienda leer el apartado del logaritmo discreto en CLCript09: Matemáticas discretas en criptografía con SAMCript, que encontrarás en la bibliografía

Eje no lineal

Eje

lin

eal

PLD con software Alpertron (hexadecimal)


• Primos de 25 a 40 dígitos, la raíz más pequeña y x = 0x7D1 (2.00110)• 25 x = Log13 57D92D85C2CD760A90C2E mod 5D50F43FBD07357BC53D1 (0 seg)• 26 x = Log6 2D8D65AACFCA213AADF6BA mod 2DEDDC642E83B2BE8A61C5 (0 seg)• 27 x = Log2 21A9E9D35465971F59D0F51 mod 2D5FBA7E894AEC3A2DDA045 (> 500 seg)• 28 x = Log6 16038264D13A580D45ECD1F9 mod 1CB4B7DDDDAB6FD5D1927259 (1 seg)• 29 x = Log2 7BBE39E5D82FBF348112B118 mod C8CA0B64D0B449EE2FEB6A0D (> 500 seg)• 30 x = LogD 204501199AA9295019893E8B0 mod 24D24C653651D39D24D7C89EB (12 seg)• 31 x = LogA 6207D138FCC8BCD6608A1CB75F mod 6B8976BDB8832EA914F6F06A7B (4 seg)• 32 x = Log5 25C4D0C2A58B716030A1F6BCE40 mod 375CE61F621C94A761AB1760C31 (0 seg)• 33 x = LogB DA66B4C88F2CC465F670CEE9165 mod F0787C1FF0F0F47C1F00787C1E1 (1 seg)• 34 x = Log5 6A2344989CCACCD729861C95BDB8 mod F5A6B315159AFDD33C14321357C9 (> 500 seg)• 35 x = Log3 2EDF9FAF9601C9F0DA2D2137341D5 mod C099EC8C775710571F08D04D8F149 (> 500 seg)• 36 x = Log5 45C62D2BE7A0DCCA88EBCAC668DBEA mod 5EEC038059ACAEB9A2E967723675DF (88 seg)• 37 x = Log2 177A0FC2D7EE4DBE4D6DACC6B5E58AA mod 49FCA8F44D33D81723F9FEE569FC1E5 (> 500 seg)• 38 x = Log2 7FEB160425F215CC2B5CD84FAA80FF mod 14BFF2802A7EC7C3DB9927A90EF8E165 (> 500 seg)• 39 x = Log2 ABC8168D2DB73F228B12A92B638A508 mod AB6601FAAE93909308F2D729565B64DB (1 seg)• 40 x = Log2 2367179E9D4C2C1CB7AB49476560ED743 mod 2F5E7AD8A82A3B015A24196C984E9FA55 (> 500 seg)

Algoritmos para el PLD y su complejidad


• No se conoce un algoritmo eficiente que solucione el PLD• Algoritmos para afrontar el PLD, por su nombre en inglés

• Trial multiplication (fuerza bruta, ineficiente para números grandes)• Baby-step giant-step• Function field sieve• Index calculus algorithm• Pohlig-Hellman algorithm• Pollard’s rho algorithm• General number field sieve GNFS

Hoy GNFS es el más eficiente, con una complejidad igual a

Y otros más: ver documento Advanced Cryptology de la Universidad de Oxford que se incluye en la bibliografía

Usos del PLD en la criptografía

• Intercambio de claves de Diffie y Hellman

• El usuario A calcula a mod p = A y el usuario B calcula b mod p = B. Son públicos p, , A y B, pero a y b son secretos. Para romper el algoritmo, habrá que resolver el PLD para a y para b con números grandes

• Cifra y firma de Elgamal

• La clave pública se crea utilizando un valor secreto o privado x, de forma que = x mod p. Para romper el algoritmo, habrá que resolver el PLD para x con números grandes

• Firma DSA Digital Signature Algorithm

• Es una variante de la firma de Elgamal con dos primos, p y q. Para romper el algoritmo, habrá que resolver el PLD con números grandes


Conclusiones de la lección 3.3

• La exponenciación modular = x mod p es una operación con complejidad del tipo P (polinomial), rápida y sencilla

• El problema del logaritmo discreto x = log mod p es la operación inversa a la anterior, con complejidad NP (polinomial no determinista). Si los números son grandes, se convierte en un problema de muy difícil solución

• El comportamiento típico del tiempo de cómputo versus el tamaño del módulo p en bits del problema del logaritmo discreto es de tipo exponencial

• Si bien no es siempre de crecimiento continuo, ya que en función del primo p e incluso de la base , los valores pueden ser muy dispares, al alza o a la baja

• El problema del logaritmo discreto se usa en criptografía moderna de clave pública (DH, Elgamal, DSA) para aportar fortaleza a los algoritmos


Un proyecto sin ánimo de lucro

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¡Muchas gracias!


Lectura recomendada (1/2)

• Discrete logarithm, Wikipedia

• https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_logarithm

• The computational complexity of discrete log, Cryptography

• https://crypto.stackexchange.com/questions/48767/the-computational-complexity-of-discrete-log

• On the complexity of the discrete logarithm and Diffie–Hellman problems, Blake & Garefalakis, Elsevier, 2004

• https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0885064X04000056

• Mathematics of Public Key Cryptography, Part III: Exponentiation, Factoring and Discrete Logarithms, Steven Galbraith, Cambridge University Press, 2012

• https://www.math.auckland.ac.nz/~sgal018/crypto-book/crypto-book.html


https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_logarithm

https://crypto.stackexchange.com/questions/48767/the-computational-complexity-of-discrete-log

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0885064X04000056

https://www.math.auckland.ac.nz/~sgal018/crypto-book/crypto-book.html

Lectura recomendada

• SAMCript: Software de Aritmética Modular para Criptografía, María Nieto Díaz, dirección Jorge Ramió, 2018

• http://www.criptored.upm.es/software/sw_m001t.htm

• Big primes Generator

• https://bigprimes.org/

• Matemáticas discretas en criptografía con SAMCript, CLCript, Jorge Ramió, 2019

• http://www.criptored.upm.es/descarga/CLCript_entrega_09_Matematicas_Discretas_Criptografia_SAMCript.pdf

• Calculadora de logaritmos discretos, Dario Alpern, 2020

• https://www.alpertron.com.ar/LOGDI.HTM

• Advanced Cryptology (2018-2019), Bonus slides 2 DLP and factoring algorithms, Christophe Petit, University of Oxford

• https://courses.maths.ox.ac.uk/node/38559/materials


Fin de la clase 3.3

http://www.criptored.upm.es/software/sw_m001t.htm

https://bigprimes.org/

http://www.criptored.upm.es/descarga/CLCript_entrega_09_Matematicas_Discretas_Criptografia_SAMCript.pdf

https://www.alpertron.com.ar/LOGDI.HTM

https://courses.maths.ox.ac.uk/node/38559/materials

Más lecciones en el canal Class4crypt

• https://www.youtube.com/user/jorgeramio


Fuera webcam y dentro música

1.620 suscriptores3 noviembre 2020

https://www.youtube.com/user/jorgeramio

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• Música:• Enter_Blonde, Max Surla, Media Right Productions, YouTube Audio Library -

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Próximamente una nueva videoclase de criptografía aplicada en Class4crypt

Criptosaludos

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