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Profesor: Mg. Oscar Romero Ayala
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RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Comprender los fundamentos de sensibilidad en
problemas de programacin lineal.
Analizar la variabilidad en la solucin encontrada
para problemas de programacin lineal.
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La solucin ptima de una programacin lineal se basa en
una toma instantnea de las condiciones que prevalecen
en el momento de formular y resolver el modelo.
En el mundo real rara vez permanecen estticos, y es
esencial determinar cmo cambia la solucin ptima
cuando cambian los parmetros del modelo.
Eso es lo que hace el anlisis de sensibilidad. Proporciona
tcnicas eficientes para estudiar el comportamiento
dinmico de la solucin ptima que resulta de hacer los
cambios en los parmetros.
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El problema dual es un problema de programacin lineal
definida en forma directa y sistemtica a partir del modelo
original (o primal) de programacin lineal.
Los dos problemas estn relacionados en forma tan estrecha
que la resolucin ptima de un problema produce en forma
automtica la resolucin ptima del otro.
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Nuestra definicin del problema dual requiere expresar el
problema primal en forma de ecuaciones; todas las
restricciones son ecuaciones, con lado derecho no
negativo y todas las variables son no negativo.
Este requisito es consistente con el formato de la tabla de
inicio simplex.
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Se presenta la siguiente ecuacin para definir el problema
dual:
mjx
nibxasa
xcMaxoMin
j
n
j
ijij
n
j
jj
,...,2,10
,...,2,1:1
1
Las variables xj; incluyen las variables de excedentes, holguras y artificiales, si es que las hubiera de acuerdo al signo.
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Se construye el problema dual a partir del problema primal.
1. Se define una variable dual para cada ecuacin primal(restriccin)
2. Se define una restriccin dual por cada variable primal.
3. Los coeficientes de restriccin (columna) de una variableprimal definen los coeficientes en el lado izquierdo de larestriccin dual, y su coeficiente objetivo define el ladoderecho.
4. Los coeficientes objetivos del dual son iguales al lado derechode las ecuaciones de restriccin primal.
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Reglas para determinar el sentido de la optimizacin ylas restricciones.
Objetivo del Problema
Primal
Problema DualObjetivo Tipo de
RestriccinSigno de variables
Maximizacin Minimizacin No restringido
Minimizacin Maximizacin No restringido
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EJEMPLO PROBLEMA DUALEJ: Se tiene:
Maximizar Z= 3x1 + 5x2
s/a x1 4
2x2 12
3x1 + 2x2 18
x1, x2 0
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y1 = 0; Implica que existe un supervit de este recurso, yaque no esta ligado a la solucin ptima.
y2 = 3/2; Indica que si agregamos una hora ms al tiempode produccin a la semana en la planta 2 para estosnuevos productos, aumentara la ganancia total en$1500 a la semana. (solo para aumentos pequeos,topa con eje x1)
y3 = 1; Indica un aumento proporcional a medida queaumentamos 1 hora.
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El anlisis de sensibilidad investiga el cambio de la
solucin ptima que resulta de hacer cambios en los
parmetros del modelo de programacin lineal.
Tarea: Puede Fmin(x) = - Fmax(x)?
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EJEMPLO PROBLEMA DUALEJ: Se tiene: Maximizar Z= 5x1 + 4x2
s/a 6x1 + 4x2 24-x1 + x2 1x1 + 2x2 6x2 2
x1, x2 0
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Rango de los coeficientes de la Funcin objetivo
Si c1 0, entonces
O bien
Si c2 0, entonces
1
2
6
4
1
2 c
c
4
6
2
1
2
1 c
c
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Rango de los recursos de las restricciones que
tienen directa relacin con la solucin del
problema
Restriccin 1 : Puntos Extremos
Restriccin 2 : Puntos Extremos
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Obtencin del precio sombra de las restricciones
asociadas a la solucin:
y1 :
y2 :
211
21
yextremopuntonrestricci
yextremopuntoz
432
43
yextremopuntonrestricci
yextremopuntoz
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Rango de Optimalidad
Gradiente reducido
Precio sombra
Aumento y disminucin permisible.
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El rango de optimalidad es vlido cuando un nicocoeficiente de la funcin objetivo cambia.
Cuando cambia ms de una variable se utiliza la regladel 100%.
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Para cada aumento (disminucin) en un coeficiente dela funcin objetivo calcular (y expresar como unporcentaje) la relacin de cambio del coeficiente almximo aumento posible (disminucin) determinadapor los lmites del rango de optimalidad.
Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total esmenor que 100%, la solucin ptima no cambiar. Sieste total es mayor que 100%, la solucin ptimapuede cambiar.
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1200
600
The Plastic constraint
Factible
Restriccin del plstico:
2X1+X2
-
600
800
1200
400 600 800
X2
X1
comenzar con una ganancia dada de = $2,000...
Utilid. = $ 0002,
Entonces aumente la ganancia...
3,4,
...y contine hasta que salga de la regin factible
Ganancia =$5040
-
600
800
1200
400 600 800
X2
X1
Se toma un valor cercano al punto
ptimo
FeasibleregionReginFactible
Regin no
factible
-
600
800
1200X2
X1
400 600 800
-
600
800
1200
400 600 800
X2
X1
Rango de optimalidad
-
1200
600
X2
Restriccin materiales
(plsticos)
Feasible
X1
600
800
Restriccin del
tiempo de
produccin
Ganancia mxima= 5040
Nueva restriccin materiales (plsticos)
Combinacin de restricciones
en la produccin
Puntos extremos