Clases laterales1.-Conceptos previosSi un grupo G se puede particionar en celdas de modo que la operacin inducida este bien definida en cada una de las celdasy el conjunto formado por las celdas tenga una estructura de grupo, entonces sea Be la celda, que contiene la identidad, se sabe por el teorema siguiente que Be es subgrupo de G.Teorema 1 Si un grupo G se puede partir en celdas donde la operacin inducida est bien definida y si las celdas forman un grupo bajo esta operacin inducida, entonces, la celda que contiene la identidad e de G debe ser un subgrupo de G.Sea Ba otra celda que contiene un a G. Si escogemos un representante a Ba y todos los elementos de Be, mostrado en la siguiente ecuacin BaBe=Ba, el conjunto aBe=debe estar contenido en Ba.Lo anteriormente descrito hace referencia que aBe son las clases laterales de un subgrupo Be. 2.- Definicin 1- a) Clase Lateral derecha Sea H un subgrupo del grupo G y sea a G, la clase lateral derecha Ha de H en G es el conjunto es decir:Ha = b) Clase Lateral izquierdaSea H un subgrupo del grupo de G y sea a G. La clase lateral izquierda aH de H en G es el conjunto es decir:aH = Ejemplo: Consideremos el conjunto de los nmeros enteros Z, que como sabemos tiene estructura de grupo con operacin suma. Vamos a descomponer este conjunto en tres subconjuntos de forma que cada elemento de Z est en uno solo de los subconjuntos (lo cual se denomina particin). Consideramos a S0 la celda Be que contiene al elemento identidad que es el cero. Consideramos a S1 la celda Ba

En los dos primeros subconjuntos est bien definida la operacin suma (si sumamos cualesquiera nmeros del subconjunto el resultado est en el subconjunto) pero slo uno de los subconjuntos tiene estructura de grupo, el que tiene el cero, que es el elemento neutro para la suma.Vemos tambin que si sumamos un elemento del primer subconjunto con un elemento del segundo subconjunto el resultado es un elemento del segundo subconjuntoEl subconjunto S0 es el ms importante porque tiene estructura de grupo y porque nos permite generar los otros. En efecto, si escogemos un elemento cualquiera y lo 'sumamos' a S0 obtenemos S1 .O sea, tomando cualquier elemento siempre se genera uno de los dos subconjuntos. El efecto de aplicar el subconjunto S0 (que es subgrupo) a cualquiera de los elementos del conjunto es la obtencin de otro subconjunto determinado. A esos subconjuntos obtenidos se les llama clases laterales del subgrupo S0. Ejemplos:1) Sea G=P(A), A= {a,b}; (diferencia simtrica)(G,*) es un grupo

es un subgrupo de GEntonces

El grupo G tiene:Dos clases laterales izquierdas:

Dos clases laterales derechas:

3.-Definicin 2- Sea G un grupo, H un subgrupo de G, para ab G decimos que a es congruente con b md H, lo que escribimos a b md H, si ab-1 H.Lema 01.- La relacin es una relacin de equivalencia. Para que sea una relacin de equivalencia debe cumplirse, la ley de reflexividad, ley de simetra y la ley de reflexividad para todo a,b,c G.1) ;2) implica ;3) implica Demostracin:1) H es un subgrupo de G, por definicin de subgrupo, sabemos que el elemento neutro pertenece a H es decir e H. Tambin sabemos , por consiguiente entonces por definicin .2) , por definici, como H es un subgrupo de G, sus elementos tiene elemento simtricos en H, por con siguiente , sabemos que , luego y por definicin .3) Tomando como hiptesis y . Por definicin y hiptesis tenemos y ; como H es un subgrupo de G, por la ley de cerradura, . Pero , luego , por consiguiente 4.- Lema N 02Para todo ,

Prueba Sea . i) Sabemos Ha = entonces para que este incluido en, debe darse ha por ello a de cumplirse la condicin a(ha)-1 H. . , como H es un subgrupo de G, su elemento simtrico tambin pertenece a H, es decir . Segn la definicin de congruencia md H esto implica que para todo , luego ii) Supongamos, que , debemos probar que . Por la definicin de congruencia . El elemento simtrico est tambin en H, es decir , por lo tanto , para algn . Multiplicando ambos lados por a la derecha obtenemos , luego . Por tanto, . Probado las dos inclusiones y podemos concluir que , que es lo que afirma el lema.5.-Lema N 03: Hay una correspondencia biyectiva entre dos clases laterales derechas cualquiera de H en G Definimos Para demostrar que es biyectiva debemos demostrar que es inyectiva y sobreyectiva. i) Inyectiva: Sabemos que para que sea inyectiva debe cumplir que :

Sean Hiptesis: Por definicin y Entonces por hiptesis y definicin: Por ley cancelativa: Multiplicamos por la derecha por a por lo tanto es inyectiva ii) Sobreyectiva Sabemos que para que sea sobreyectiva debe cumplir que: Sea Por hipotesis tenemos Si Por definicion

Por lo tanto De i y ii Ejemplo.- El Lema 03 nos garantiza la existencia de una correspondencia biyectiva entre dos clases laterales a derecha cualesquiera. El lema slo garantiza la existencia de esta correspondencia pero no dicta la forma que esta tendr (Es decir, queda a nuestro criterio el encontrarla o definirla). Sabemos que una relacin se puede expresar tanto con una regla de correspondencia como con un conjunto de pares ordenados. Tomemos el siguiente ejemplo y usemos la segunda forma:1) Sea G=P(A), A={a,b}; (diferencia simtrica)(G,*) es un grupo

es un subgrupo de GEl grupo G tiene dos clases a derecha:

Si establecemos la correspondencia R entre estas dos clases mediante pares ordenados tal que:

Esta correspondencia es inyectiva pues a pre imgenes diferentes le corresponde imgenes diferentes (o en otras palabras no se repiten las segundas componentes)Esta relacin tambin es sobreyectiva, pues para todo elemento de , es decir, y , existen elementos que en el dominio a los que ellos corresponden mediante R (A le corresponde y a le corresponde ). Por tanto, R es biyectiva.Adems, notamos que el teorema garantiza la existencia de una correspondencia biyectiva pero en ningn momento garantiza que esta sea nica. Existe al menos una relacin biyectiva pero pueden existir ms, por ejemplo:

Son tambin correspondencias biyectivas entre dos clases laterales a derecha de G

Como se ha dicho antes, dos clases laterales tiene el mismo nmero de elementos, entonces intuitivamente es correcto pensar que a cada elemento de una clase lateral se le puede hacer corresponder uno a uno, un elemento de otra clase lateral hasta relacionar todos los elementos de esta segunda clase; por lo que se tendra una correspondencia inyectiva y sobreyectiva (y por ende biyectiva)

Por el lema N03, se puede afirmar, si H es un subgrupo finito, dos clases laterales derechas de H tienen el mimo nmero de elementos. Como H= H.e es una clase lateral derecha de H, entonces cualquier clase lateral derecha de H en G tiene o (H).6.-Aplicaciones Teorema de Lagrange.-Si G es un grupo finito y H un subgrupo de G, entonces o (H) es un divisor de o (G). Demostracin: Sea K el nmero de clases laterales derecha de H en G, entonces por el lema N02 y el lema N03 se tiene que dos clases laterales derechas no tienen elementos en comn, luego el nmero de elementos de las clases laterales derechas ser: o(H)Para cualquiera a G se tiene una nica clase lateral derecha Ha.Por lo tanto todas las clases laterales derechas Ha, llenan totalmente a G. Si K es el nmero distinto de clases laterales derechas de H en G, entonces, Se tiene que: K o(H) = o(G)

ndice de un subgrupo Si H es un subgrupo de G, el ndice de H en G, es el nmero de distintas clases laterales derechas de H en G. Denotamos el ndice de H en G por: ig(H) (ndice de H en G)Observacin.- Si G es finito, entonces por el teorema de Lagrange se tiene que: ig(H) = 7.-AnexosObservacionesObservacin 1. Toda clase lateral es diferente del vacoObservacin 2. El nmero de clases laterales a derecha es igual al nmero de clases a izquierdaObservacin 3. El nmero de elementos de cada clase lateral es igual al nmero de elementos del subgrupoObservacin 4. En las clases laterales no siempre se cumple la propiedad conmutativaObservacin 5. La interseccin de dos clases diferentes es el vacoObservacin 6. La unin de las clases laterales derechas (izquierdas) es igual al grupoObservacin 7. Si , entonces no implica que

Teorema1.- Si un grupo G se puede partir en celdas donde la operacin inducida est bien definida y si las celdas forman un grupo bajo esta operacin inducida, entonces, la celda que contiene la identidad e de G debe ser un subgrupo de G.DemostracinSi Be es un subgrupo de G debe cumplir:i) ii) Tomamos como hiptesis que G est partido en celdas con la operacin inducida descrita anteriormente bien definida y formando un grupo, y sea Be la celda que contiene la identidad.i) Al operar Be.Br, tomamos un elemento de cada una de las celdas.Sean e y r Be.Br = e.r = r por lo tanto Be. Br = Br Br.Be = r.e = r por lo tanto Br. Be = Br Be es la identidad de las celdas.Por tanto Be.Be=BeBe es cerrado bajo la operacin inducida en G.ii) Por definicin, Be contiene a eSean a y a-1 .Sabemos que Be es la celda identidad entonces Be.Bk=Bk.Si operamos los elementos a y a-1 , observamos queBe.Bk=Be, pero Be.Bk=Bk por lo tanto Bk=Be y a-1 Be.Por lo tanto por i y ii, Be es un subgrupo de G.

Bibliografa y Linkografa

1) Algebra Moderna- I.N.Herstein Editorial Trillas, Mxico2) Algebra Abstracta Jhon Fraleigh- Addison Wesley Iberoamericana 1988.3) Teora de Grupos Camilo Quintos- Eulalio Altamirano- 1998