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Clases de Simetría de Productos Tensoriales
Clases de Simetría de Productos Tensoriales
Alicia Tocino Sánchez
Departamento de ÁlgebraFacultad de Ciencias Matemáticas, UCM
Seminario de doctorandosMadrid, 12 Marzo 2015
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Clases de Simetría de Productos Tensoriales
1 MotivaciónFunciones de dos variablesFunciones de tres variablesFunciones de más variables
2 DefinicionesProductos tensorialesDiagramas de YoungEjemplo
3 ResultadoTeoremaClases de simetría para n = 4 con λ = (1, 1, 1, 1)Clases de simetría para n = 4 con λ = (2, 1, 1)Clases de simetría para n = 4 con λ = (2, 2)Clases de simetría para n = 4 con λ = (3, 1)Clases de simetría para n = 4 con λ = (4)
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Motivación
Funciones de dos variables
Para las funciones bilineales de dos variables f (x , y) podemosconsiderar las dos clases de funciones siguientes:
funciones simétricas fs(x , y) = fs(y , x)
funciones antisimétricas fa(x , y) = −fa(y , x)Cualquier función bilineal de dos variables se puede escribir de modoúnico como suma de una función simétrica y una antisimétrica
f (x , y) = fs(x , y) + fa(x , y).
Cada una de estas clases de funciones se llaman clases de simetría yes un grupo invariante bajo permutaciones.
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Motivación
Funciones de tres variables
Consideramos ahora funciones multilineales de tres variables.Tenemos las siguientes clases de funciones:
1. funciones simétricasfs(x1, x2, x3) = fs(xσ(1), xσ(2), xσ(3))
2. funciones antisimétricasfa(x1, x2, x3) = sign(σ) · fa(xσ(1), xσ(2), xσ(3))
3. funciones cíclicasfc(x1, x2, x3) + fc(x3, x1, x2) + fc(x2, x3, x1) = 0
Cualquier función multilineal de tres variables se puede escribir demodo único como suma de funciones simétricas, antisimétricas ycíclicas
f (x1, x2, x3) = fs(x1, x2, x3) + fa(x1, x2, x3) + fc(x1, x2, x3).
Cada una de estas clases de funciones se llaman clases de simetría yes un grupo invariante bajo permutaciones.
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Clases de Simetría de Productos Tensoriales
Motivación
Funciones de más variables
En general, cada función multilineal de n variables f (x1, x2, . . . , xn)se puede expresar de modo único como suma de pn funcionesdistintas, cada una de ellas perteneciendo a una clase de simetríadiferente.
pn = número de particiones distintas de n
Esta descomposición se mantiene también para tensores. Por ahorasólo dos clases de simetría de tensores han sido estudiados enprofundidad:
productos tensoriales simétricosproductos tensoriales antisimétricos¿y los demás?
Objetivo: dar todas las clases de simetría.
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Definiciones
Productos tensoriales
V espacio vectorial de dimensión d :
V⊗n = {f :
n︷ ︸︸ ︷V ∗ × . . .× V ∗ −→ C multilineal}
SymnV = {f :
n︷ ︸︸ ︷V ∗ × . . .× V ∗ −→ C multilineal tal que
f (x1, . . . , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n))} ⊆ V⊗n
∧n V = {f :
n︷ ︸︸ ︷V ∗ × . . .× V ∗ −→ C multilineal tal que
f (x1, . . . , xn) = sign(σ)f (xσ(1), . . . , xσ(n))} ⊆ V⊗n
SλV = {f :
n︷ ︸︸ ︷V ∗ × . . .× V ∗ −→ C multilineal tal que
. . . . . .} ⊆ V⊗n con |λ| = n
V⊗n =⊕
λ SλV donde la suma recorre todos los diagramas deYoung λ tales que |λ| = n.
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Definiciones
Diagramas de Young
λ = (λ1, λ2, . . . , λm) diagrama de Young (λ1 ≥ . . . ≥ λm):
λ = (3, 2, 2, 1) = λ = (2, 1, 1) =
|λ| = λ1 + . . .+ λm número de cajasdiagrama de Young conjugado λ∗: simetría respecto de ladiagonalorden parcial entre dos diagramas de Young λ, µ:λ ≤ µ si y sólo si:
|λ| = |µ|λ1 ≤ µ1λ1 + λ2 ≤ µ1 + µ2, λ1 + λ2 + µ3 ≤ µ1 + µ2 + µ3,. . .
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Definiciones
Diagramas de Young
Conjunto crítico de λ (Crit(λ)): conjunto de elementosminimales del complementario del conjunto parcialmenteordenado {µ : µ ≤ λ}π denota particiones de {1, . . . , n}σ denota permutaciones de {1, . . . , n}de cada permutación podemos obtener una particióndescomponiendo σ en ciclos (par(σ) = π)shape(π) = λ = (λ1, λ2, . . . , λm) diagrama de Youngcorrespondiente a la forma de πPos(π) = {σ tal que par(σ) ≤ π}Neg(π) = {sign(σ)σ tal que par(σ) ≤ π}
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Definiciones
Ejemplo
Si consideramos V⊗4, entonces tenemos que considerar losdiagramas de Young de 4 cajas. Los ordenamos según el ordenparcial:
≤ ≤ ≤ ≤
(1, 1, 1, 1) ≤ (2, 1, 1) ≤ (2, 2) ≤ (3, 1) ≤ (4)
Damos los conjuntos críticos correspondientes:Crit(1, 1, 1, 1) = (2, 1, 1)Crit(2, 1, 1) = (2, 2)Crit(2, 2) = (3, 1)Crit(3, 1) = (4)Crit(4) = ∅
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Definiciones
Ejemplo
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Resultado
Teorema
Teorema
Sea V espacio vectorial de dimensión d y f ∈ SλV donde λ es undiagrama de Young de n cajas.Sea π una partición tal que shape(π) pertenece al conjunto críticode λ, entonces ∑
σ∈Pos(π)
f (xσ(1), . . . , xσ(n)) = 0 (1)
Sea π partición tal que shape(π) pertenece al conjunto crítico deλ∗, entonces ∑
σ∈Neg(π)
(fσ(1), . . . , xσ(n)) = 0 (2)
La clase de simetría de SλV está generada por las funciones quecumplen (1) y (2). Las clases de simetrías de V⊗n están formadaspor las funciones que cumplen (1) y (2) para todos los diagramasde Young posibles de n cajas.
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Resultado
Clases de simetría para n = 4 con λ = (1, 1, 1, 1)
λ = (1, 1, 1, 1)
Crit(1, 1, 1, 1) = (2, 1, 1)⇒ Calculamos todas las particiones π dela forma (2, 1, 1) y aplicamos Pos(π):
{{1, 2}, {3}, {4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x2, x1, x3, x4) = 0{{1, 3}, {2}, {4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x3, x2, x1, x4) = 0{{1, 4}, {2}, {3}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x4, x2, x3, x1) = 0{{2, 3}, {1}, {4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x1, x3, x2, x4) = 0{{2, 4}, {1}, {3}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x1, x4, x3, x2) = 0{{3, 4}, {1}, {2}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x1, x2, x4, x3) = 0
Crit(1, 1, 1, 1)∗ = Crit(4) = ∅Estas ecuaciones corresponden con las de
∧4 V .
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Clases de Simetría de Productos Tensoriales
Resultado
Clases de simetría para n = 4 con λ = (2, 1, 1)
λ = (2, 1, 1)
Crit(2, 1, 1) = (2, 2)⇒ Calculamos todas las particiones posibles πde la forma (2, 2) y aplicamos Pos(π):
{{1, 2}, {3, 4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x1, x2, x4, x3) +f (x2, x1, x3, x4) + f (x2, x1, x4, x3) = 0{{1, 3}, {2, 4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x1, x4, x3, x2) +f (x3, x2, x1, x4) + f (x3, x4, x1, x2) = 0{{1, 4}, {2, 3}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4) + f (x1, x3, x2, x4) +f (x4, x2, x3, x1) + f (x4, x3, x2, x1) = 0
Crit(2, 1, 1)∗ = Crit(3, 1) = (4)⇒ Calculamos todas las particionesposibles π de la forma (4) y aplicamos Neg(π):{1, 2, 3, 4} ⇒
∑sign(σ)f (xσ(1), xσ(2), xσ(3), xσ(4)) = 0
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Resultado
Clases de simetría para n = 4 con λ = (2, 2)
λ = (2, 2)
Crit(2, 2) = (3, 1)⇒ Calculamos todas las particiones posibles πde la forma (3, 1) y aplicamos Pos(π):
{{1, 2, 3}, {4}} ⇒f (x1, x2, x3, x4) + f (x2, x3, x1, x4) + f (x3, x1, x2, x4) +f (x2, x1, x3, x4) + f (x3, x2, x1, x4) + f (x1, x3, x2, x4) = 0{{1, 3, 4}, {2}} ⇒f (x1, x2, x3, x4) + f (x3, x2, x4, x1) + f (x4, x2, x1, x3) +f (x1, x2, x4, x3) + f (x4, x2, x3, x1) + f (x3, x2, x1, x4) = 0{{1, 2, 4}, {3}} ⇒f (x1, x2, x3, x4) + f (x2, x4, x3, x1) + f (x4, x1, x3, x2) +f (x1, x4, x3, x2) + f (x4, x2, x3, x1) + f (x2, x1, x3, x4) = 0{{2, 3, 4}, {1}} ⇒f (x1, x2, x3, x4) + f (x1, x3, x4, x2) + f (x1, x4, x2, x3) +f (x1, x2, x4, x3) + f (x1, x4, x3, x2) + f (x1, x3, x2, x4) = 0
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Clases de Simetría de Productos Tensoriales
Resultado
Clases de simetría para n = 4 con λ = (2, 2)
λ = (2, 2)
Crit(2, 2)∗ = Crit(2, 2) = (3, 1)⇒ Calculamos todas las particionesposibles π de la forma (3, 1) y aplicamos Neg(π):
{{1, 2, 3}, {4}} ⇒f (x1, x2, x3, x4) + f (x2, x3, x1, x4) + f (x3, x1, x2, x4)−f (x2, x1, x3, x4)− f (x3, x2, x1, x4)− f (x1, x3, x2, x4) = 0{{1, 3, 4}, {2}} ⇒f (x1, x2, x3, x4) + f (x3, x2, x4, x1) + f (x4, x2, x1, x3)−f (x1, x2, x4, x3)− f (x4, x2, x3, x1)− f (x3, x2, x1, x4) = 0{{1, 2, 4}, {3}} ⇒f (x1, x2, x3, x4) + f (x2, x4, x3, x1) + f (x4, x1, x3, x2)−f (x1, x4, x3, x2)− f (x4, x2, x3, x1)− f (x2, x1, x3, x4) = 0{{2, 3, 4}, {1}} ⇒f (x1, x2, x3, x4) + f (x1, x3, x4, x2) + f (x1, x4, x2, x3)−f (x1, x2, x4, x3)− f (x1, x4, x3, x2)− f (x1, x3, x2, x4) = 0
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Resultado
Clases de simetría para n = 4 con λ = (3, 1)
λ = (3, 1)
Crit(3, 1) = (4)⇒ Calculamos todas las particiones posibles π dela forma (4) y aplicamos Pos(π):
{1, 2, 3, 4} ⇒∑
f (xσ(1), xσ(2), xσ(3), xσ(4)) = 0Crit(3, 1)∗ = Crit(2, 1, 1) = (2, 2)⇒ Calculamos todas lasparticiones posibles π de la forma (2, 2) y aplicamos Neg(π):
{{1, 2}, {3, 4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x1, x2, x4, x3)−f (x2, x1, x3, x4) + f (x2, x1, x4, x3) = 0{{1, 3}, {2, 4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x1, x4, x3, x2)−f (x3, x2, x1, x4) + f (x3, x4, x1, x2) = 0{{1, 4}, {2, 3}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x1, x3, x2, x4)−f (x4, x2, x3, x1) + f (x4, x3, x2, x1) = 0
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Resultado
Clases de simetría para n = 4 con λ = (4)
λ = (4)
Crit(4) = ∅ ⇒ No hay ecuaciones Pos(π)Crit(4)∗ = Crit(1, 1, 1, 1) = (2, 1, 1)⇒ Calculamos todas lasparticiones posibles π de la forma (2, 1, 1) y aplicamos Neg(π):
{{1, 2}, {3}, {4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x2, x1, x3, x4) = 0{{1, 3}, {2}, {4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x3, x2, x1, x4) = 0{{1, 4}, {2}, {3}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x4, x2, x3, x1) = 0{{2, 3}, {1}, {4}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x1, x3, x2, x4) = 0{{2, 4}, {1}, {3}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x1, x4, x3, x2) = 0{{3, 4}, {1}, {2}} ⇒ f (x1, x2, x3, x4)− f (x1, x2, x4, x3) = 0
Estas ecuaciones corresponden con las de Sym4V .
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¡Muchas gracias!