CLASES DE NUMEROS DECIMALES

1 Decimal exacto

La parte decimal de un número decimal exacto está compuesta por una cantidad finita de términos.

Ejemplo:

2 Periódico puro

La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente.

Ejemplo:

3 Periódico mixto

Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y una parte periódica o período.

Ejemplo:

4 No exactos y no periódicos

Hay números decimales que no pertenecen a ninguno de los tipos anteriores.

Ejemplo:

EJEMPLOS DE NÚMEROS DECIMALES

Ejemplo: Convertir los decimales a palabras y a fracción.

Forma Decimal Forma en palabras Forma Fraccionaria Simplificada

0.5 5 décimas 5 ÷ 5 = 1 10 5 2

0.23 23 centésimas 23 100

0.133 133 milésimas 133 1000

43.56 43 y 56 centésimas 43 56 = 4356÷ 4 = 1089 100 100 4 25

Ejemplos:

Escribir 0.014 como una fracción simplificada

Para simplificar una fracción, se divide el numerador y denominador por un número que los divide en común. Solución:

0.014 = 14 ÷ 2 = 7 1000 2 500 Como miramos la parte fraccionaria, vemos que es .014 La posición indica que es 14 milésimas. Por lo tanto, la fracción es 14/1000.

DENSIDAD DE NUMEROS RACIONALES

Dados dos números reales diferentes y , su promedio esta comprendido entre y . Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de números reales. Esto implica que dado un número real

cualquiera no tienen sentido expresiones tales como " el número real siguiente a " o " el número real anterior a ".

Usando nuestra caracterización de los números reales como expresiones decimales, podemos refinar el resultado anterior y establecer los siguientes resultados:

Resultado 1. Entre dos números reales diferentes hay un número racional, y por lo tanto hay infinitos números racionales entre ellos.

Resultado 2. Entre dos números reales diferentes hay un número irracional, y por lo tanto hay infinitos números irracionales entre ellos.

Los resultados 1 y 2 se describen en lenguaje matemático diciendo, respectivamente, que el conjunto de los números racionales esdenso en el conjunto de los números reales y que el conjunto de los números irracionales es denso en el conjunto de los números reales.

Ejemplo 1.15. Construyamos dos números racionales y dos números irracionales entre y .

Usando expresiones decimales periódicas tenemos que

Son dos números racionales entre y .

Usando expresiones decimales no periódicas tenemos que

Son dos números irracionales entre y .

MEDIDAS LONGITUD

La unidad principal para medir longitudes es el metro.

Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:

Unidad Abreviatura Equivalencia

Kilómetro Km 1 000 m

Hectómetro hm 100 m

Decámetro dam 10 m

Metro m 1 m

Decímetro dm 0.1 m

Centímetro cm 0.01 m

Milímetro mm 0.001 m

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior.

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplo:

MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS

POTENCIACION

La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

7 · 7 · 7 · 7 = 74

Base

La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 7.

Exponente

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

Potencias de exponente natural

1. Un número elevado a 0 es igual a 1.

a0 = 1

60 = 1

Potencias de exponente negativo

La potencia de un número entero con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

Potencias de fracciones

Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numeradorcomo el denominador al exponente.

RADICACION

En matemática, la radicación de orden n de un número a es un número b, si existe, tal que bn = a, donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b se llama raíz enésima. La notación a seguir tiene varias formas:

n√x = x1/n.

Para todo n > 1 natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:1

a = bn ⇔ b = n√a.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: √x en vez de 2√x. La raíz de orden tres se llama raíz cúbica, para otros casos se acude al nombre ordinal del orden, como raíz cuarta, quinta, etc.

Dentro de los números reales ℝ+ positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar.1 La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Propiedades

Como se indica con la igualdad de la raíz n√x = x1/n, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedadesde la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente. Si existen las raíces de los factores.

n√a × b = n√a × n√b

Ejemplo

√32 × 24 = √32 × √24 = √9 × √16 = 3 × 4 = 12.

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

√32 × 24 = √9 × 16 = √144 = 12.

Como contraejemplo, resulta:

√-32 × -24 = √-9 × -16 = √144 = 12 ≠ √-32 × √-24.

NOTACION

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Teoría de conjuntos

Sean un elemento y conjuntos

Relación Notación Se lee

pertenencia x pertenece a A

inclusión A está contenido en B

A está contenido en B o es igual que B

inclusión A contiene a B

A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo es "x no pertenece a A";

Conjuntos numéricos

La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado conLaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:

TeX Unicode Uso en matemáticas

ℂ Números complejos

ℍ Cuaterniones

ℕ Números naturales

ℙ Números primos

ℚ Números racionales

ℝ Números reales

𝕊 Esfera

ℤ Números enteros

Conjuntos numéricos especiales