ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Calcular An,

IDEMPOTENTE

Una matriz A es idempotente si:

Nota: La identidad no es la única idempotente

INVOLUTIVA

Es una matriz cuadrada ( tiene igual

número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:

A es involutiva si A x A = I

A2 = I

NILPOTENTE

Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotente de orden r si y sólo si se verifica que , ( r es el menor entero positivo )

A es nilpotente de orden 3,

El método de demostración conocido como inducción matemática, se puede utilizar para demostrar que una cierta proposición p(n), que se refiere a los números naturales, es cierta para cada n. El método nos dice:

1.

Demuestra que P(1) existe

2.

Demuestra que P(n) es cierta, entonces P(n+1) es cierta

Así queda claro que P(n) es cierta

Para la matriz A empezamos calculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada A:

A estas potencias las escribimos de otro modo:

Esto nos lleva a proponer la siguiente ecuación general:

Demostramos por inducción que es verdad:

1. Comprobemos que es cierto para cada n=2, n=3 por ejemplo. 2. Supongamos que la formula es cierta para n vamos a ver que también es cierta

para n+1

Por lo tanto queda demostrado por inducción que:

Ejemplo:

Sea: , encontrar Bn

Primero encontramos sus primeras potencias tales como:

HI)

TI)

Demostración: B(k+1)=Bk*B1

BINOMIO DE NEWTON Deducción de la fórmula del binomio de newton

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

Que también se puede escribir de forma abreviada así:

Tenemos:

PASOS PARA CALCULAR An

1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma A=I+B

2. Aplicar Binomio de Newton

0 0 0

3. Simplificar:

4. Sustituir matrices y operar:

Ejemplo:

Encontrar con el binomio de newton A n

1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la forma

A=I+B

2. Aplicar Binomio de Newton

3. Simplificar:

Tenemos:

4. Sustituir matrices y operar: