CALC INTEGRAL

POR: RITA DEDERLE CABALLERO

CASO 3

Todos los factores que aparecen en el denominador son

cuadráticos irreducibles y distintos.

A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma

siendo A y B constantes a determinar.

Calcular:

Con lo que se obtiene

de donde

luego los valores a encontrar son.

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

∫ 3x2 + 2x – 2 / ( x – 1) ( x2 + x + 1) dx

3x 2 + 2x – 2 _ = _ A _ + _ Bx + C _ ( x – 1) ( x2 + x + 1) ( x – 1) ( x2 + x + 1)

3x 2 + 2x – 2 _ = _ A( x 2 + x + 1) + Bx + C ( x – 1 ) _ ( x – 1) ( x2 + x + 1) (x – 1) ( x2 + x + 1)

3x2 + 2x – 2 = Ax2 +Ax + A + Bx2 – Bx+ Cx – C 3x2 + 2x – 2 = Ax2 + Bx2 +Ax – Bx+ Cx + A– C

3x2 + 2x – 2 = (A+B)x2 +(A–B+C)x +(A– C)

Comparamos los coeficientes y llegamos a las siguientes tres formulas:

Ec#1 3 = A+B Ec#2 2 = A–B+C Ec#3 –2 = A– C _ 3 = 3A A = 1

Reemplazo Ec#1:

3 = 1+B B = 2

Reemplazo Ec#2:

2 = 1 – 2 +C C = 3

I = ∫ A _ dx + ∫_ Bx+ C _ dx x – 1 x2 + x + 1

∫ dx _ + ∫_ 2x+ 3 _ dx x – 1 x2 + x + 1 ∫ dx _ + ∫_ 2x+1+2 _ dx x – 1 x2 + x + 1

u = x2 + x +1 z = x – 1 du = 2x+1dx dz = dx

∫ dx _ + ∫_ 2x+1 dx + ∫_ 2 _ dx x – 1 x2 + x + 1 x2 + x + 1

∫ dx _ + ∫_ 2x+1 dx + 2 ∫_ dx _ x – 1 x2 + x + 1 x2 + x +1/4 –1/4+ 1

∫ dx _ + ∫_ 2x+1 dx + 2 ∫_ dx _

x – 1 x2 + x + 1 (x+ 1/2)2 +3/4

∫ dz _ + ∫_ du dx + 2 ∫_ dx _ z u (x+ 1/2)2 +3/4

I = ln z + ln u +2 [I3]

I = ln ( x – 1 ) + ln (x2 + x + 1) +2 [I3]

I3 = ∫_ dx _ (x+ 1/2)2 +3/4

∫ _ du _ = 1/a arctan u/a + C u2 + a2

u2 = (x+1/2)2 u = x+1/2a2 = 3/4 a = √3/2

I3 = 2/√3 arctan 2/√3(x+1/2) + C3

I = ln ( x – 1 ) + ln (x2 + x + 1) +2 [2/√3 arctan 2/√3(x+1/2)] + C

I = ln ( x – 1 ) + ln (x2 + x + 1) +4/√3 arctan 4/√3(x+1/2) + C

CASO 4

Todos los factores que aparecen en el denominador son

cuadráticos algunos de los cuales se repiten.

A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

Siendo los valores de A y B constantes reales.

Ejemplo:

Calcular la siguiente integral

Tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo

común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son

A = 0, B = 2, C = 0, D = 1

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

Ejercicios Resueltos:

3.

4.

Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, primero haremos una división larga.

5.

S o l u c i o n e s