clase1

Taller de Aislamiento Sısmico 1er. Semestre 2010

Clase 1Modelamiento de Estructuras Aisladas

Jose Antonio [email protected]

Facultad de Ingenierıa y Ciencias AplicadasUniversidad de los Andes

26-5-2010


Hoy veremos...

1 Contenidos del taller

2 Introduccion/Motivacion

3 Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL

4 Modelamiento 2D

5 Modelamiento 3D


Contenidos del taller





Clase 1: Modelamiento de estructuras aisladas.

Clase 2: Propiedades dinamicas de estructuras aisladas.Estrategias de solucion. Disipacion de energıa.

Clase 3: Relaciones constitutivas para la goma natural.

Clase 4: Determinacion de propiedades mecanicas de dispositivosde aislamiento. Modelos constitutivos aproximados.

Clase 5: Propiedades y modelamiento de aisladores elastomericos(relaciones macro-constitutivas).

Clase 6: Metodos de analisis de sistemas con aislamiento basal(estatico equivalente, modal, espectral, y tiempo-historialineal y no-lineal)

Clase 7: Diseno y detallamiento de sistemas de aislamiento basal.

Clase 8: Diseno segun la norma Nch. 2745.


Introduccion/Motivacion




Estructura de 1GDL



Estructura de 1GDL

• Para una estructura de 1 GDL como la mostrada la ecuacionde movimiento es:

mu+ cu+ ku = −mug(t)

• Dividiendo por m

u+ 2ξωnu+ ω2nu = −ug(t)

• Donde ξ es la razon de amortiguamiento crıtico y ωn lafrecuencia circular de vibracion.

• Estos dos parametros caracterizan completamente la respuestaestructural.

• Las frecuencia natural es fn = ωn/2π y el perıodo natural esTn = 2π/ωn.



Espectro de Respuesta

u+ 2ξωnu+ ω2nu = −ug(t)

• Para un sismo ug(t) dado, se puede resolver la ecuacion paradistintos valores de ξ y ωn (distintas estructuras). Larespuesta serıa u(t, ξ, ωn).

• Si tomamos el maximo absoluto temporal de esta funcion, seconstruye una funcion de Tn y ξ llamada espectro derespuesta de desplazamientos.

SD(Tn, ξ) = maxt {|u(t, ξ, ωn)|}• Similarmente construimos espectros de velocidad y

aceleracion,

SV (Tn, ξ) = maxt {|u(t, ξ, ωn)|}SA(Tn, ξ) = maxt {|u(t, ξ, ωn)|}



Valparaıso 1985



Para amortiguamiento variable...



Fuentes de dano

Para un sistema de varios pisos, el dano debido al movimientosısmico no se produce por las fuerzas de inercia. Se produce por

• El desplazamiento relativo de los pisos (dano muros, tabiques,etc.). Se conoce como drift de entrepiso.

• La aceleracion total del piso (caida muebles, estucos, equipossensibles, etc.).

• El objetivo del diseno deberıa ser reducir el dano.

• Tratar de reducir el drift y la aceleracion en forma conjunta.



Filosofıa de Diseno Clasico (Nch 433)

• El ’corte basal’ en una estructura es Vbasal = CIP , C = SA

coeficiente sısmico, I factor de importancia, P peso sısmico.

• Para una estructura dada (T , ξ = 5%) determinar Vbasal y‘repartirlo’ entre los pisos (analisis modal, estaticoequivalente).



Filosofıa de Diseno Clasico (Nch 433)• Disenar para comportamiento elastico es caro, se reduce el

espectro por R∗ considerando que:1. La solicitacion real va sera mayor y la estructura incursionara

en rango no-lineal.2. No-linealidad implica disipacion de energıa, si hay suficiente

ductilidad, que a su vez implica amortiguamiento adicional.3. Las estructuras se disenan por capacidad lo que implica que

hay una reserva de sobreresistencia.

• Ahora,Vbasal =CIP

R∗• Se analiza la estructura elasticamente.• Se disena por resistencia ultima.• Se provee detallamiento especial para asegurar ductilidad lo

que se traduce en1. Diseno por capacidad de elementos de importancia sısmica.2. Confinamiento de cabezas de muros y otras zonas de

plastificacion.3. Filosofıa viga debil-columna fuerte.



Pero.. ¿que otras alternativas existen?

• Aumentar amortiguamiento (disipacion).

• Flexibilizar la estructura. (Aumentar perıodo)



Flexibilizacion

T = 2π√m

k

Las opciones que existen son:

(a) Aumentar la masa (dificil y poco practico).(b) Reducir rigidez de la estructura. ⇒ aumento de

desplazamientos.



Flexibilizacion

• Flexibilizar es una buena idea ya que se disminuye el cortebasal de la estructura.

• El costo es el aumento de desplazamientos.

• Aumento de los desplzamientos puede llevar a efectos degrandes deformaciones (P -δ).

• Es deseable concentrar la demanda de desplazamientos en unsolo punto, en lo posible.

• Esto se llama aislamiento sısmico.



Aislamiento Sısmico

• Consiste en generar un ‘piso blando’ para alargar el perıodo dela estructura (T = 2 a 4 segundos).

• Esto concentra la demanda de desplazamientos en este piso yluego se disena con esto en mente.

• Se colocan dispositivos especiales llamados aisladores.



Aisladores

• Existen distintos tipos de dispositivos de aislamiento.

• Aisladores elastomericos (goma-acero).



Aisladores

• Aisladores de Pendulo Friccional

• El aislamiento ha inspirado a miles de inventores en todo elmundo. La cantidad de sistemas es tan grande como lacantidad de investigadores.



Implementacion

En este curso nos concentraremos en el caso mas tıpico y aceptadode los aisladores elastomericos de goma - acero y variantes.

http://www.youtube.com/watch?v=kzVvd4Dk6sw


Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL

Repaso de Dinamica deEstructuras MGDL



Ecuacion del Movimiento

ubx

ubθ

uby

us5x

us5θ

us5y

us4x

us4θ

us4y

us3x

us3θ

us3y

us2x

us2θ

us2y

us1x

us1θ

us1y

e=20cm

15m

8m

3m

5m

Vista General y GDL

2.7m

Sistema de AislamientoT = ~2.5s

Losa Aislamientoe=35cm

∞

ey

ex

CMx

y

Planta TípicaMuros e = 20cm

ϕ=40cm

3.6m 3.6m

4.73m

4.73m

4.73m

Mu + Cu + Ku = −Mrug



Ecuacion del Movimiento

Mu + Cu + Ku = −Mrug

Donde,

• u es el vector de grados de libertad del sistema

u = [u1, u2, u3, u4, ]T

• M es la matriz de masa del sistema.

• C es la matriz de amortiguamiento del sistema.

• K es la matriz de rigidez del sistema.

• ug es la aceleracion de la base.

• r es el vector de colocacion del input.



Matriz de Masas

• Proviene de las fuerzas que se generan debido a la aceleracionrelativa a la base.

• Hay distintos modelos

a) Masa concentrada (apto para edificios).

m3

m4

u3

..

u3

..

m3u3

..

m4u3

..

M =2664m1 0 0 00 m2 0 00 0 m3 00 0 0 m4

3775

b) Masa distribuıda o consistente (apto para estructuras que notienen masa muy concentrada, como puentes, galpones, etc.)



Matriz de Rigidez

• Proviene del analisis estructural del edificio.

• Puede incluir efectos geometricos (linealizados).



Vector de colocacion

En este caso,

r =

1111

• Indica cuanta aceleracion siente cada gdl cuando el sismo

acelera en 1.

• En caso bidimensional esta compuesta por 1 y 0 (gdl de giros).

• El caso tridimensional es distinto de esto si es que existenexcentricidades (torsion).



Formas modales

Provienen de la solucion del problema de vibraciones libresno-amortiguado

Mu + Ku = 0

• Se supone que la estructura vibra de forma estacionarau = φη(t)

• Reemplazando,

Mφη(t) + Kφη(t) = 0

• Si suponemos que la vibracion es armonica η(t) = Aexp {jωt}(Kφ− ω2Mφ

)Aexp {jωt} = 0



Formas modales

• Se llega al problema,

Kφ = ω2Mφ

• Que es un problema de valores y vectores propios.

• φ es el vector propio y ω2 es el valor propio.

• ω es la frecuencia de vibrar del modo.

• Notar que hay tantos modos como la dimension del problemay la dimension del problema depende del numero de grados delibertad modelados.



Descomposicion modal

• Llamamos φi al i-esimo modo y ηi(t) a su correspondienterespuesta modal (coordenada modal)

• Reemplazando en la EDO y premultiplicando por φiT tenemos

(φiTMφi)η + (φi

TKφi)η = 0

• φiTMφj = 0 y φi

TKφj = 0 para i 6= j. Los modosdiagonalizan el sistema de ecuaciones.

• Se llega a N sistemas desacoplados de la forma,

m∗i η + k∗i η = 0

• Con m∗i = φiTMφi y k∗i = φi

TKφi, llamados masa y rigidezmodal para el modo i.

• Que se pueden resolver independientemente como cualquiersistema de EDO de segundo orden.



Matriz de Amortiguamiento• Ahora se introduce la matriz de amortiguamiento con la idea

de que tambien se diagonalice la matriz de amortiguamiento,es decir

c∗i = φiTCφi

• Por analogıa con un sistema de 1 GDL podemos decir que.

c∗i = 2ξiωim∗i

• Esto se llama amortiguamiento clasico.• Permite asignar una razon de amortiguamiento ξi distinto a

cada modo.• Lo comun (Nch 433) es que se tome amortiguamiento

constante igual al 5% en todos los modos.• Existen otros modelos de amortiguamiento como el de

Rayleigh,C = αM + βK


Modelamiento 2D

Modelamiento 2D


Modelamiento 2D

Modelo 2D Lineal de un Piso

• Usaremos un sistema de coordenadas relativas a la base deaislamiento,

• El sistema de ecuaciones en este caso es»m + mb m

m m

– »ub

us

–+

»cb 00 cs

– »ub

us

–+

»kb 00 ks

– »ub

us

–=

−»

m + mb mm m

– »10

–ug(t)


Modelamiento 2D

Modelo 2D No-Lineal de un Piso

• Si ahora consideramos que los aisladores tienen una relacionconstitutiva no-lineal de la forma:

Faisladores = F (ub, ub, t)

• El sistema de ecuaciones en este caso es»m + mb m

m m

– »ub

us

–+

»0 00 cs

– »ub

us

–+

»0 00 ks

– »ub

us

–+

»F (ub, ub, t)

0

–= −

»m + mb m

m m

– »10

–ug(t)

• Que es un sistema no-lineal de ecuaciones diferenciales quedebemos tratar de resolver.


Modelamiento 2D

Extension a varios pisos

• Comencemos por una superestructura no-aislada

Msus + Csus + Ksus = −Msrsug

• Supongamos que agregamos al movimiento del suelo elmovimiento de una base de aislamiento ub.

Msus + Csus + Ksus = −Msrs(ug + ub)

• Ahora inspeccionamos el equilibrio de la base de aislamiento,

rsTMs(us + rsub + rsug) +mb(ub + ug) + F (ub, ub, t) = 0

rsTMsus + (m+mb)ub + F (ub, ub, t) = −(m+mb)ug

• En donde m = rsTMsrs es la masa total.


Modelamiento 2D

Extension a varios pisos

• Llegamos al sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.[Ms rs

TMs

Msrs m+mb

] [us

ub

]+[

Cs 00 0

] [us

ub

]+[

Ks 00 0

] [us

ub

]+[

0F (ub, ub, t)

]= −

[Mrs

(m+mb)

]ug

• El caso de un sistema de aislamiento lineal,[Ms rs

TMs

Msrs m+mb

] [us

ub

]+[

Cs 00 cb

] [us

ub

]+[

Ks 00 kb

] [us

ub

]= −

[Mrs

(m+mb)

]ug


Modelamiento 3D

Modelamiento 3D


Modelamiento 3D

Modelo 3D

ubx

ubθ

uby

us5x

us5θ

us5y

us4x

us4θ

us4y

us3x

us3θ

us3y

us2x

us2θ

us2y

us1x

us1θ

us1y

e=20cm

15m

8m

3m

5m

Vista General y GDL

2.7m

Sistema de AislamientoT = ~2.5s

Losa Aislamientoe=35cm

∞

ey

ex

CMx

y

Planta TípicaMuros e = 20cm

ϕ=40cm

3.6m 3.6m

4.73m

4.73m

4.73m


Modelamiento 3D

Modelo 3D

• Ahora modelamos 3 GDL por piso (dos desplazamientos y 1giro).

• La ecuacion se puede escribir[Ms rs

TMsrs

rsTMsrs M∞

] [us

ub

]+[

Cs 00 Cb

] [us

ub

]+ . . .

. . .+[

Ks 00 Kb

] [us

ub

]= −

[Mrs

M∞

]rb

[ugx

ugy

]• Con M∞ = rs

TMsrs + Mb, matriz de masa considerandosuperestructura infinitamente rıgida.

• rb es la matriz de colocacion del input del suelo a la base deaislamiento.

• rs es la matriz de colocacion del input del la base deaislamiento a la superestructura.

clase1

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